1. Kombinatorikus valószínűség
1. Egy dobókockát kétszer feldobunk. a) Írjuk le az eseményteret! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első dobás eredménye nagyobb, mint a másodiké? 2. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hatoslottón négy találatunk lesz? 3. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4? 4. Egy szabályos pénzérmét 10-szer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy több írást kapunk, mint fejet? 2. Feltételes valószínűség, Bayes-tétel, teljes valószínűség tétele
5. Két szabályos dobókockával dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7, feltéve, hogy az összeg páratlan? 6. Két szabályos dobókockával dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 8, feltéve, hogy az összeg páros? 7. Az 52-lapos francia kártya lapjait szétosztjuk négy játékos között. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha az egyik kiválasztott játékos nem kap királyt, akkor az utána következő sem kap királyt? 8. Egy gyárban három gép dolgozik, az első a termékek 30%-át, a második a 45%-át, míg a harmadik a 25%-át állítja elő. Az első gépen készült áruk 3%-a, a másodikon készültek 5%-a, míg a harmadikon gyártottak 7%-a selejt. a) A teljes árumennyiségből egy véletlenszerűen kiválasztott darabot megvizsgálva mennyi annak a valószínűsége, hogy selejt? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első gép gyártotta az árut, feltéve, hogy a kiválasztott darab selejt? 9. Egy kft.-nek három gépkocsija van, melyek rendre 0.1, 0.05, 0.2 valószínűséggel romlanak el. Egyik reggel a kft. vezetője külföldi útja során véletlenszerűen választ a három autó közül. a) Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott gépkocsi elromlik? b) Mennyi a valószínűsége, hogy az első gépkocsit választotta, feltéve, hogy a kiválasztott autó elromlott? 1
2
3. Geometriai valószínűség
10. Legyenek x és y 1-nél kisebb nemnegatív valós számok. Mennyi annak a valószínűsége, hogy x + y < 0.75? 11. Legyenek x és y 2-nél kisebb pozitív számok. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a két szám számtani közepe 1-nél kisebb? 12. Egy 5 cm sugarú céltáblára szabályos háromszöget rajzolunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a céltáblára leadott lövés a háromszögbe esik? (Feltételezzük, hogy a céltáblát eltaláljuk.) 13. Két egyetemista megbeszéli, hogy délután 2 és 4 óra között találkoznak. Érkezésük a megbeszélt időintervallumban véletlenszerű. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a korábban érkezőnek nem kell fél óránál többet várnia a később érkezőre? 4. Diszkrét valószínűségi változók
14. Egy dobókockával egyszer dobunk. Jelölje a ξ valószínűségi változó a dobott számot. a) Írjuk fel a valószínűségi változó eloszlását! b) Ábrázoljuk az eloszlást és az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy valóban eloszlásfüggvényt kaptunk! d) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! e) Határozzuk meg ξ harmadik momentumát! 15. Egy szabályos pénzérmét kétszer feldobunk. Jelentse a ξ valószínűségi változó az írás dobások számát. a) Írjuk fel a valószínűségi változó eloszlását! b) Ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy valóban eloszlást kaptunk! d) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! √ e) Határozzuk meg ξ várható értékét! 16. Egy szabályos pénzérmét háromszor feldobunk. Jelentse a ξ valószínűségi változó a fej dobások számát. a) Írjuk fel a valószínűségi változó eloszlását! b) Ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy valóban eloszlást kaptunk! d) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását!
3
17. Egy részvény kiinduló ára 1 e. Egy év múlva vagy kétszeresére növekszik az ára, vagy pedig a felére csökken. Mindkét lehetőség ugyanakkora valószínűségű. A következő két évben ugyanez történik, és a változások egymástól függetlenek. a) Mi lesz három év múlva a részvényár eloszlása? b) Írjuk fel és ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy a kapott függvény valóban eloszlásfüggvény! d) Számoljuk ki a részvényár eloszlásának várható értékét, szórásnégyzetét és szórását! 18. Az ötöslottón a 2, 3, 4, 5 találatos szelvények esetén a nyeremény rendre 1.000, 10.000, 1.000.000, 1.000.000.000 forint. A 0 és 1 találatos szelvények esetén a „nyeremény” −200 forint. Határozzuk meg a nyereménynek, mint valószínűségi változónak a várható értékét! Binomiális eloszlás 19. Egy szabályos dobókockával tizenkétszer dobunk. Jelölje ξ a 3-as dobások számát. a) Írjuk fel a ξ eloszlását! b) Határozzuk meg ξ várható értékét, szórásnégyzetét! c) Számoljuk ki a P (ξ < 2) valószínűséget! 20. Egy kosárban 3 narancs és 2 alma van. Visszatevéssel véletlenszerűen kiválasztunk 4 gyümölcsöt. Jelöle ξ a kiválasztott narancsok számát. a) Adjuk meg a ξ eloszlását! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy lesz narancs a kiválasztott gyümölcsök között? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan egy narancs lesz a kiválasztottak között? Poisson eloszlás 21. Egy ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ = 4 paraméterrel. a) Írjuk föl a ξ eloszlását! b) Határozzuk meg a ξ várható értékét és szórását! c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a ξ a várható értéknél nagyobb értéket vesz föl? d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a ξ a ]2, 5[ intervallumba esik? 22. Egy elektromos műszer 1000 alkatrészből áll. Valamennyi alkatrész a többitől függetlenül 0,001 valószínűséggel hibásodik meg 1 év alatt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább 2 alkatrész elromlik 1 év alatt?
4
23. Egy rádiókészülék meghibásodásának átlagos száma 1000 működési óra alatt 10. A meghibásodások eloszlása csak a vizsgált időtartam hosszától függ. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a készülék 200 működési óra alatt elromlik? 24. Egy telefonközponthoz 1000 előfizető tartozik. Megfigyelték, hogy annak a relatív gyakorisága, hogy egy adott órában egy előfizető telefonál 0,005. Mennyi a valószínűsége annak, hogy abban az órában a) éppen 4-en telefonálnak? b) legalább 4-en telefonálnak? 25. Egy autónyereménybetétkönyv sorsoláson minden 2000 betétkünyvre sorsolnak ki egy gépkocsit. Egy városban 1000 darab betétkönyvet tartanak nyilván. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a városban legalább 1 autót nyernek. (Egy alkalommal összesen 500 gépkocsit sorsolnak ki.) 26. Egy augusztusi éjszakán átlag 10 percenként észlelhető csillaghullás. A csillaghullások száma Poisson-eloszlású. Mennyi annak a valószínűsége, hogy negyedóra alatt két csillaghullást látunk? 5. Folytonos valószínűségi változók
27. Legyen ( 0, ha x ≤ 2 fξ (x) = a , ha x > 2. x3 Határozzuk meg az a valós számot úgy, hogy f valamely ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen! 28. Egy egységnyi sugarú, kör alakú céltáblára lövések érkeznek. Tegyük fel, hogy minden lövés a céltáblába talál és hogy a találat helye egyenletes eloszlású a céltáblán. Jelölje a találat helyének távolságát a céltábla középpontjától. Adjuk meg a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! Egyenletes eloszlás 29. Legyen ξ egyenletes eloszlású az [1, 3] intervallumon! a) Írjuk fel és ábrázoljuk ξ eloszlásfüggvényét! b) Írjuk fel és ábrázoljuk ξ sűrűségfüggvényét! c) Határozzuk meg ξ várható értékét és szórását! 30. Egy villamosmegállóba 15 percenként érkeznek villamosok. A villamosmegállóba érkezve látjuk, hogy 1 percen belül nem jön villamos. Legyen ξ a várakozási idő hossza. a) Írjuk föl a ξ eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét!
5
b) Számoljuk ki a várható értékét és szóránégyzetét. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy 5 percnél kevesebbet kell várkoznunk? d) Számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy legalább 7 percet kell várnunk? Exponenciális eloszlás 31. Egy ξ valószínűségi változó jelentse annak az útnak a hosszát, amelyet egy gépkocsi az első műszaki hibáig megtesz. Tegyük föl, hogy ξ exponenciális eloszlású és várható értéke 500 km. a) Írjuk fel a ξ eloszlás- és sűrűségfüggvényét! b) Számoljuk ki, mennyi annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó a várható értéknél kisebb értéket vesz fel? 32. Egy radioaktív anyag bomlását vizsgáljuk. Legyen a valószínűségi változó értéke egy tetszőleges atom bomlásáig eltelt idő, és annak a valószínűsége, hogy az atom x éven x belül elbomlik P (ξ < x) = 1 − e− 2 . a) Határozzuk meg a valószínűségi változó várható értékét és szórását! b) Határozzuk meg a bomlás felezési idejét! 33. Bizonyos típusú izzólámpák tönkremeneteléig eltlet égési időtartam hosszát tekintsük egy ξ valószínűségi változónak. Megállapították, hogy ξ exponenciális eloszlású és szórása 1000 óra. a) Írjuk fel a ξ eloszlás- és sűrűségfüggvényét! b) Határozzuk meg a ξ várható értékét! c) Számoljuk ki, mennyi annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó a várható értéknél kisebb értéket vesz fel? 34. Annak a valószínűsége, hogy egy benzinkútnál 6 percnél többet kell várni, 0,1. A várakozási idő hossza exponenciális eloszlású. Mennyi a valószínűsége, hogy a benzinkúthoz érkezve 3 percen belül sorra kerülünk? Normális eloszlás 35. Egy embercsoport magasságainak átlaga 175 cm, 4 cm-es szórással. A testmagasság nagysága normális eloszlásúnak tekinthető. a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott ember testmagassága az átlagtól kevesebb, mint 3 cm-el tér el? b) Mennyi a valószínűsége, hogy egy kiválasztott ember testmagassága legalább 173 cm? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott ember testmagassága 173 cm és 177 cm közé esik?
6
36. Egy csomagológép 1 kg tömegű sajtot csomagol. A sajtok tömege normális eloszlásúnak tekinthető, melynek szórása 5 dkg. Mennyi a valószínűsége, hogy egy sajtdarab súlya a) 96 dkg-nál több; b) 1,05 kg-nál kevesebb; c) 98 dkg és 1,02 kg közé esik?
6. Valószínűségi vektorváltozók
37. A (ξ, η) valószínűségi változó lehetséges értékeit a (0,0), (0,4), (4,0), (4,4) pontok által meghatározott négyzet belsejében levő egész koordinátájú pontok adják. A vektorváltozó e pontokat egyenlő valószínűséggel veszi fel a négyzet középpontja kivételével, mely négyszer akkora valószínűséggel következik be, mint a többi. a) Írjuk fel a (ξ, η) eloszlását! b) Határozzuk meg a peremeloszlásokat! c) Számoljuk ki ξ és η várható értékét! d) Számoljuk ki ξ és η szórásnégyzetét! e) Írjuk fel ξ · η eloszlását! f) Független-e ξ és η? g) Számoljuk ki a cov(ξ, η) és a corr(ξ, η) értékeket! h) Adjuk meg ξ + η eloszlását! 38. Egy dobozban 1-től 10-ig számozott golyókat helyeztünk el. Véletlenszerűen kihúzunk egy golyót. A ξ valószínűségi változó értéke legyen -1, ha páratlan számot húzunk, és 1, ha párosat húzunk. Az η értéke legyen 0, ha nem osztható öttel, és 1, ha osztható öttel a kihúzott szám. a) Írjuk fel a (ξ, η) eloszlását! b) Határozzuk meg a peremeloszlásokat! c) Független-e ξ és η? d) Számoljuk ki a cov(ξ, η) és a corr(ξ, η) értékeket! e) Adjuk meg ξ + η eloszlását!
7
7. Becsléselmélet
39. Egy bizonyos gyártmányú elem élettartamára vonatkozóan az alábbi mérési eredmények adódtak: 42, 45, 52, 48, 42, 50 óra. a) Adjuk meg az empirikus eloszlásfüggvényt! b) Adjunk becslést az élettartam várható értékére és szórására! c) Tudjuk, hogy az elemek élettartama normális eloszlást mutat. Adjunk meg olyan intervallumot, amely a várható értéket 0,95 valószínűséggel tartalamazza! 40. Egy tóban a halakat betegség támadta meg, mely az egyes egyedeket 0,05 valószínűséggel támadja meg. Egy véletlen halászat során 10 haltetemet fogtak ki. Adjunk maximum likelihood becslést a betegség előtt a tóban élő halak számára! 41. Augusztusban öt éjszakán át figyeltük meg a hullócsillagok számát. A kapott minta: 4, 3, 7, 2, 4. A hullócsillagok száma Poisson-eloszlást követ. Készítsünk maximum likelihood becslést az elosztlás paraméterére az adott minta alapján! 42. Egy céllövő p valószínűséggel talál el egy célponot egy lövésből. Adjunk maximum likelihood becslést p-re, ha az első találat k-adikra következik be! 43. Egy alkatrészekből álló sokaság hat mintapéldányának a teljes élettartama: 39, 45, 67, 50, 50, 60 hónap. Tegyük fel, hogy az élettartam exponenciális eloszlású, ismeretlen λ paraméterrel. Adjunk maximum likelihood becslést λ-ra! 8. Hipotézisvizsgálat
44. Egy automata gép 2 literes üdítőitalokat készít 5 ml szórással. Feltételezzük, hogy az üvegekbe töltött üdítőital mennyisége normális eloszlást követ. Véletlenszerűen kiválasztva 10 terméket, és lemérve azok űrtartalmát, milliliterben kifejezve az alábbi értékeket kaptuk 2040, 1990, 1950, 2100, 1995, 1970, 2000, 1950, 2045, 2010. Döntsünk 95%-os biztonsági szinttel arról, hogy átlagosan 2 liter üdítőital van egy üvegben! 45. Egy cukorkacsomagoló gép 10 dekagramm várható súlyú csomagokat készít 5 gramm szórással. Véletlenszerűen kiválasztunk 10 darab cukorkát, melyek súlyát lemérve az alábbi adatok adódnak (grammban kifejezve) 105, 95, 100, 102, 103, 94, 99, 101, 110, 97. Döntsünk 95%-os valószínűséggel arról, hogy a cukorkák átlagos súlya 10 dkg, vagy annál kevesebb!
8
46. Két független, normális eloszlásból származó mintát vizsgálunk. Az első minta 16 elemből áll, és 0,25 szórású, a második minta 25 mintából áll, és 0,16 szórású. Az első minta átlaga 4, a másodiké 5. Elfogadható-e 95%-os döntési szinten, hogy a két sokaság várható értéke megegyezik? 47. Egy kórház két osztályán szájhigiéniás vizsgálatot végeznek, hogy a betegek szájápolása között van-e különbség a szájban lévő baktériumok számát illetően. A két minta adatai A osztály : 1500, 2000, 1300, 1000, 2500; B osztály : 800, 1500, 750, 2200, 1100, 1000. Az A osztály varianciája 1000, a B osztályé 1500. A vizsgálatot 95%-os biztonsági szinten végezzük el! 48. Egy 10-elemű minta korrigált empirikus szórásnégyzete 3, míg egy 8-elemű minta korrigált empirikus szórásnégyzete 6. Döntsünk 95%-os biztonsággal arról, hogy azonosnak tekinthető e a két minta szórása! 49. Egy automata gép 1 literes üdítőitalokat készít. Feltételezzük, hogy az üvegekbe töltött üdítőital mennyisége normális eloszlást követ. Véletlenszerűen kiválasztva 10 terméket, és lemérve azok űrtartalmát, milliliterben kifejezve az alábbi értékeket kaptuk 1010, 1020, 950, 1100, 995, 970, 1000, 950, 1045, 1010. Döntsünk 95%-os biztonsági szinttel arról, hogy átlagosan 2 liter üdítőital van egy üvegben! 50. Egy cementgyárban 50 kg-os zsákokat készítenek. Kilenc zsákot véletlenszerűen kiválasztva, majd azokat lemérve az alábbi eredmények adódtak 54, 57, 45, 55, 44, 49, 50, 41, 43. Döntsünk 95 % biztonsággal arról, hogy átlagosan 50 kg-osnak tekinthetők-e zsákokba töltött cement súlya, vagy annál kevesebb. 51. Két féjdalomcsillapító hatását vizsgálták 6-6 betegen, mérve a fájdalom megszűnéséig eltelt időt. Adataink A fájdalomcsillapító : 10, 25, 15, 20, 30, 35; B fájdalomcsillapító : 22, 32, 12, 40, 15, 30. Normális eloszlást feltételezve, van-e különbség a két gyógyszer hatása között?
9
52. Két különböző vérnyomáscsökkentő gyógyszer hatását tesztelték betegeken. Véletlenszerűen kiválasztott betegek szisztolés vérnyomásértékénének napi átlagos csökkenését mutatják az alábbi adatok A vérnyomáscsökkentő : 10, 12, 13, 25, 5, 30; B vérnyomáscsökkentő : 15, 8, 10, 20, 6, 8, 35. Normális eloszlást feltételezve, van-e különbség a két gyógyszer hatása között? 53. Egy automata gép 1 literes üdítőitalokat készít. Feltételezzük, hogy az üvegekbe töltött üdítőital mennyisége normális eloszlást követ. Véletlenszerűen kiválasztva 10 terméket, és lemérve azok űrtartalmát, milliliterben kifejezve az alábbi értékeket kaptuk 1010, 1020, 950, 1100, 995, 970, 1000, 950, 1045, 1010. Elfogadhatóan működik az automata, ha az egy üvegbe töltött üdítőital mennyiségének szórása 10 ml. Döntsünk 95%-os biztonsági szinttel arról, hogy jól működik-e a gép! 54. Állapítsuk meg, hogy szabályos-e az a dobókocka, melyet 60-szor feldobva az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös, és 6-os dobás relatív gyakorisága rendre 8, 12, 10, 13, 10, 7. 55. Egy pénzérmét 100-szor feldobva 40-szer kaptunk írást. Döntsük el, hogy az érme szabályosnak tekinthető-e? 56. Vizsgájuk meg, hogy az X valószínűségi változó eloszlása λ = 2 paraméterű Poissoneloszlásúnak tekinthető-e. Száz elemű mintát véve az esemény nem következett be 12-szer, egyszer következett be 32-szer, kétszer következett be 25-ször, háromszor következett be 21-szer, és négyszer, vagy annál többször következett be 10-szer. 57. Száz elemű mintát veszünk egy sokaságból. Döntsük el, hogy a minta normális eloszlású-e, ha az alábbi relatív gyakoriságok adódtak. ] − ∞, 0[ [0, 0.5[ [0.5, 1[ [1, 1.5[ [1.5, ∞[
12 16 28 26 18
58. A [0, 1] intervallumból 6 elemű mintát véve az alábbi adatokat kaptuk 0, 1; 0, 3; 0, 4; 0, 9; 0, 2; 0, 7. Tekinthető-e a minta (0, 1)-on egyenletes eloszlásúnak? Az intervallumot osszuk négy egyenlő részre!
10
59. Egy gyár munkavédelmi osztályán azt a kérdést vizsgálják, hogy 1 év alatt az 1 munkásra jutó balesetek száma Poisson-eloszlást követ-e. A vizsgálathoz 400 munkást választottak ki véletlenszerűen. Közülük 141 munkásnak nem volt balesete, 150 munkásnak 1 balesete volt, 83 munkásnak 2, 26 munkásnak 3 balesete volt. A Poissoneloszlás ismeretlen paraméterét a mintából becsüljük! 60. Száz ember szem- és hajszínét megfigyelve az alábbi eredmény adódott kék szem barna szem
szőke haj barna haj fekete haj 15 10 2 11 50 12
Vizsgáljuk meg, hogy van-e kapcsolat a szemszín és a hajszín között?
11
Megoldások
1. a) Az eseménytér az összes elemi események halmaza, azaz Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), ..., (6, 6)}. b) A kedvező esetek száma 15, az összes esetek száma 62 = 36, így a keresett valószínűség 15 . 36 2. A hatoslottón 45 számból kell kiválasztanunk 6-öt, így az összes esetek száma 45 . 6 Négy találatosunk úgy lehet, hogy négy számot eltalálunk, kettőt pedig nem, így a kihúzott 6 nyerőszámból 4-nek kell megegyeznie olyannal, amit bejelöltünk, a 39 nem nyerőszámból pedig kettőnek kell megegyeznie általunk bejelölttel. Így a keresett valószínűség 6 39 4 2 . 45 6 3. A dobott számok különbségének abszolútértéke 0, 1, 2, 3, 4 vagy 5 lehet, így a kedvező esetek (1, 6), (6, 1). Az összes esetek száma: 62 = 36. Tehát a keresett valőszínűség 2 1 = . 36 18 4. 10 10 10 10 10 + + + + 6 7 8 9 10 10 2 5. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a dobott számok összege 7, B-vel azt az eseményt, hogy az összeg páratlan. Ekkor A ∩ B = A. Először az A esemény valószínűségét határozzuk meg. Két dobókockával dobva az összes esetek száma 36. A dobott számok összege hatféleképpen lehet 7, így P (A) = 1/6. A feltétel valószínsűsége 1/2. A feltételes valószínűség definícióját használva P (A | B) = a keresett valószínűség.
P (A ∩ B) 1 = P (B) 3
12
6. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a dobott számok összege 8, B-vel azt az eseményt, hogy az összeg páros. Ekkor A ∩ B = A. Először az A esemény valószínűségét határozzuk meg. Két dobókockával dobva az összes esetek száma 36. A dobott számok összege ötféleképpen lehet 8, így P (A) = 5/36. A feltétel valószínűsége 1/2. A feltételes valószínűség definícióját használva P (A | B) =
P (A ∩ B) 5 = P (B) 18
a keresett valószínűség. 7. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy egy kiválasztott játékosnak nem jut király, B-vel azt az eseményt, hogy a rákövetkező játékosnak nem jut király. Az A ∩ B esemény valószínűsége 48 35 26 13 48 35 13 13 13 13 13 13 P (A ∩ B) = = . 52 39 26 13 52 39 13 12 13 13 13 13 A B esemény valószínűsége 48 39 26 13 48 13 13 13 13 13 P (B) = = . 52 39 26 13 52 13 13 13 13 13 A feltételes valószínűség definíciója szerint 35 13 P (A | B) = . 48 13 a keresett valószínűség. 8. a) Az eredmény a teljes valószínűség tételét felhasználva adódik: 0.3 · 0.03 + 0.45 · 0.05 + 0.25 · 0.07; b) az eredmény a Bayes-tétel felhasználásával adódik: 0.3 · 0.03 0.3 · 0.03 + 0.45 · 0.05 + 0.25 · 0.07 9. a) A teljes valószínűség tétele szerint a keresett valószínűség 0.1 ·
1 1 1 + 0.05 · + 0.2 · . 3 3 3
13
b) A Bayes-tétel felhasználásával a keresett valószínűség 1 3 . 1 1 1 0.1 · + 0.05 · + 0.2 · 3 3 3 0, 1 ·
10. Az összterület egy egységnyi oldalú négyzet területe, a kedvező terület egy 0.75 egységnyi hosszúságú befogókkal rendelkező egyenlő szárú derékszögű háromszög területe.
Így a keresett valószínűség P (x + y < 0.75) =
3 4
9 · 43 9 = 16 = . 2 2 32
11. Az összeterület egy 2 oldalhosszúságú négyzet területe, a kedvező terület egy egységnyi oldalhosszúságú befogókkal rendelkező egyenlő szárú derékszögű háromszög területe.
Így a keresett valószínűség x+y 1 P < 1 = P (x + y < 2) = . 2 2
14
12. A keresett valószínűség: √ 3 · 52 · sin 120◦ 3 3 = 2 · 52 π 4π
13. Az összterület egy 2 oldalhosszúságú négyzet területe, a kedvező terület az |x−y| < 0.5 tartománynak az előbbi négyzetbe eső része.
A keresett valószínűség tehát 7 7
·
4 − 424 95 P (|x − y| < 0.5) = = 4 144
14. a) Az eloszlás 1 P (ξ = k) = , 6
k = 1, . . . , 6.
15
0, 1/6, 2/6, Fξ (x) = 3/6, 4/6, 5/6, 1,
b) Az eloszlásfüggvény:
ha ha ha ha ha ha ha
x≤1 1<x≤2 2<x≤3 3<x≤4 4<x≤5 5<x≤6 x > 6.
c) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá lim Fξ (x) = 0,
x→−∞
lim Fξ (x) = 1.
x→∞
d) A várható érték Eξ = 1 ·
1 1 1 1 1 1 7 +2· +3· +4· +5· +6· = . 6 6 6 6 6 6 2
e) A szórásnégyzethez először a második momentumot számoljuk ki: Eξ 2 = 12 ·
1 1 1 1 1 91 1 + 22 · + 32 · + 42 · + 52 · + 62 · = . 6 6 6 6 6 6 6
Ebből 91 D ξ = Eξ − (Eξ) = − 6 2
2
2
2 7 91 49 35 = − = . 2 6 4 12
f) A harmadik momentum ξ 3 várható értéke: Eξ 3 = 13 ·
1 1 1 1 1 1 + 23 · + 33 · + 43 · + 53 · + 63 · . 6 6 6 6 6 6
16
15. a) A ξ valószínűségi változó értéke lehet 0,1,2. A megfelelő valószínűségek: 1 1 1 P (ξ = 0) = , P (ξ = 1) = , P (ξ = 2) = . 4 2 4 0, ha x ≤ 0 1/4, ha 0 < x ≤ 1 b) Az eloszlásfüggvény: Fξ (x) = 3/4, ha 1 < x ≤ 2 1, ha x > 2.
c) Az a) pontban a valószínűségek összege 1, így eloszlást kaptunk. d) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá lim Fξ (x) = 0,
x→−∞
lim Fξ (x) = 1.
x→∞
e) A várható érték 1 1 1 + 1 · + 2 · = 1. 4 2 4 A ξ szórásnégyzetéhez először ξ második momentumát számoljuk ki: 1 1 1 3 Eξ 2 = 02 · + 12 · + 22 · = , 4 2 4 2 Eξ = 0 ·
így D2 ξ = Eξ 2 − (Eξ)2 = Ebből a szórás
3 1 −1= . 2 2
√1 . 2
f) E
p √ 1 √ 1 √ 1 ξ = 0· + 1· + 2· . 4 2 4
17
16. a) A ξ valószínűségi változó értéke lehet 0,1,2 vagy 3. Ezek valószínűségei: 1 3 3 1 P (ξ = 0) = , P (ξ = 1) = , P (ξ = 2) = , P (ξ = 3) = , . 8 8 8 8 0, ha x ≤ 0 1/8, ha 0 < x ≤ 1 b) Az eloszlásfüggvény: Fξ (x) = 4/8, ha 1 < x ≤ 2 7/8, ha 2 < x ≤ 3 1, ha x > 3.
c) Az a) pontban a valószínűségek összege 1, így eloszlást kaptunk. d) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá lim Fξ (x) = 0,
lim Fξ (x) = 1.
x→−∞
x→∞
e) A várható érték Eξ = 0 ·
1 3 3 1 3 +1· +2· +3· = . 8 8 8 8 2
A ξ szórásnégyzetéhez először ξ második momentumát számoljuk ki: 1 3 3 1 24 Eξ 2 = 02 · + 12 · + 22 · + 32 · = = 3, 8 8 8 8 8 így 2 3 3 D ξ = Eξ − (Eξ) = 3 − = . 2 4 2
√
Ebből a szórás
3 . 2
2
2
18
f) E
p √ 1 √ 3 √ 3 √ 1 ξ = 0· + 1· + 2· + 3· . 8 8 8 8
17. a) Az eloszlás 1 1 P ξ= = , 8 8
P
b) Az eloszlásfüggvény:
1 ξ= 2
3 = , 8 0, 1/8, Fξ (x) = 4/8, 7/8, 1,
3 P (ξ = 2) = , 8 ha ha ha ha ha
1 P (ξ = 8) = . 8
x ≤ 1/8 1/8 < x ≤ 1/2 1/2 < x ≤ 2 2<x≤8 x > 8.
c) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá lim Fξ (x) = 0,
x→−∞
lim Fξ (x) = 1.
x→∞
d) A várható érték Eξ =
1 1 1 3 3 1 69 · + · +2· +8· = . 8 8 2 8 8 8 64
A ξ szórásnégyzetéhez először ξ második momentumát számoljuk ki: 2 2 1 1 1 3 3 1 4881 2 Eξ = · + · + 22 · + 82 · = , 8 8 2 8 8 8 512 így 2 4881 69 2 2 2 . D ξ = Eξ − (Eξ) = − 512 64 A szórás a szórásnégyzetből vont négyzetgyök. 18. A várható érték 5 85 5 85 5 85 0 5 1 4 2 3 − 200 · + (−200) · + 1000 · + 90 90 90 5 5 5 5 85 5 85 5 85 3 2 4 1 5 0 + 10000 · + 1000000 · + 1000000000 · . 90 90 90 5 5 5 19. a) Az eloszlás k 12−k 12 1 1 P (ξ = k) = 1− , k 6 6
(k = 0, 1, ..., 12).
19
b) A várható érték Eξ = 12 ·
1 = 2, 6
ami azt jelenti, hogy 12 dobásból várhatóan kétszer kapunk hatost. A szórásnégyzet 1 5 5 D2 ξ = 12 · · = , 6 6 3 a szórás r Dξ =
1 5 12 · · = 6 6
r
5 . 3
c) Annak valószínűsége, hogy 2-nél kevesebb hatost dobunk 12 11 5 1 5 P (ξ < 2) = P (ξ = 0) + P (ξ = 1) = + 12 · = 0, 3813. 6 6 6 20. a) Az eloszlás k 5−k 5 3 3 P (ξ = k) = , 1− k 5 5
(k = 0, 1, 2, 3)
b) A keresett valószínűség 2 3 3 2 5 3 5 3 3 3 P (ξ = 2) + P (ξ = 3) = + 1− 1− 2 3 5 5 5 5 c) Lehetetlen esemény, így 0 a keresett valószínűség. 21. a) Az eloszlás P (ξ = k) =
4k −4 e . k!
b) A várható érték, illetve a szórásnégyzet Eξ = 4,
Dξ = 2.
c) A keresett valószínűség P (ξ > 4) = 1 − P (ξ ≤ 4) = = 1 − P (ξ = 0) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) + P (ξ = 3) + P (ξ = 4) . d) A keresett valószínűség P (2 < ξ < 5) = P (ξ = 3) + P (ξ = 4). 22. Legyen n = 1000, p = 0, 001. Mivel az elemszám nagy, és a valószínűség kicsi, ezért Poisson-eloszlással számolhatunk, és ilyenkor λ = n · p = 1. A keresett valószínűség P (ξ ≥ 2) = 1 − P (ξ < 2) = 1 − P (ξ = 0) + P (ξ = 1) .
20
23. A meghibásodások átlagos száma 200 óra alatt 2, így n = 200, p = 0, 01, λ = np = 2, amiből a keresett valószínűség P (ξ = 0) = e−2 =
1 . e2
24. Legyen n = 1000, p = 0, 005. Mivel az elemszán nagy, ezért Poisson-eloszlással számolhatunk, és ilyenkor λ = n · p = 5. a) P (ξ = 4) =
(−5)4 −5 e 4!
b) P (ξ ≥ 4) = 1 − P (ξ < 4) = 1 − P (ξ = 0) + P (ξ = 1) + P (ξ = 3)
25. Legyen n = 1000, p = 0, 0005. Mivel az elemszán nagy, ezért Poisson-eloszlással számolhatunk, és ilyenkor λ = n · p = 0, 5. P (ξ ≥ 1) = 1 − P (ξ = 0) = 1 −
0, 50 −0,5 1 e =√ 0! e
26. Jelölje ξ a negyedóránkénti csillaghullások számát! Ekkor Eξ =
3 = λ, 2
amiből 1, 52 −1,5 P (ξ = 2) = e 2!
27. Az fξ függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény, ha a teljes számegyenesen az integrálja 1. Ezt felhasználva Z∞ 1= 2
amiből a = 8.
a dx = a lim c→∞ x3
Zc x 2
−3
x−2 dx = a lim c→∞ −2
c 2
−1 = a lim c→∞ 2x2
c 2
a = , 8
21
28. Az eloszlásfüggvény 0, ha x ≤ 0 Fξ (x) = x2 , ha 0 < x ≤ 1 1, ha x > 1. 29. a) ξ eloszlásfüggvénye 0, ha x ≤ 1 x−1 Fξ (x) = , ha 1 < x ≤ 3 2 1, ha x > 3. b) A sűrűségfüggvény 1 , ha 1 < x < 3 fξ (x) = 2 0, egyébként. c) Eξ =
1+3 = 2, 2
D2 ξ =
(3 − 1)2 , 12
0, ha 0 < x ≤ 1 x−1 30. a) Az eloszlásfüggvény Fξ (x) = , ha 1 < x ≤ 15 14 1, ha x > 15. 1 , ha 1 < x < 15 A sűrűségfüggvény fξ (x) = 14 0, egyébként.
1 Dξ = √ . 3
22
b) A várható érték 8, a szórásnégyzet
49 . 3
c) 2 P (ξ < 5) = Fξ (5) = . 7 d) P (ξ > 7) = 1 − P (ξ < 7) = 1 − Fξ (7) = 1 − 31. a) Mivel Eξ = 500, ezért λ =
3 4 = 7 7
1 , 500
melyből az eloszlásfüggvény ( 0, ha x ≤ 0 Fξ (x) = 1 − 500 x 1−e , egyébként,
a sűrűségfüggvény fξ (x) =
( 0, 1 1 − 500 x e , 500
ha x ≤ 0 egyébként.
b) 1 1 P (ξ < 500) = Fξ (500) = 1 − e− 500 500 = 1 − . e
32. a) Mivel λ = 12 , így Eξ = 2, b) Az Fξ (x) =
1 2
D2 ξ = 2,
Dξ =
√
2.
egyenlet megoldásából kapjuk, hogy x = 1, 38 év.
33. Felhasználva, hogy λ = a) Az eloszlásfüggvény
1 1000
a feladat az előzőekhez hasonlóan oldható meg.
( 0, ha x ≤ 0 Fξ (x) = 1 x − 1000 , egyébként, 1−e a sűrűségfüggvény fξ (x) =
( 0, 1 1 e− 1000 x , 1000
ha x ≤ 0 egyébként,
b) A várható érték Eξ = 1000. c) 1 P (ξ < Eξ) = P (ξ < 1000) = Fξ (1000) = 1 − . e
23
34. Mivel 0, 1 = P (ξ > 6) = 1 − P (ξ ≤ 6) = 1 − Fξ (6) = 1 − 1 − e−6λ = e−6λ , ezért λ=
ln(0, 1) . −6
Ezt felhasználva P (ξ ≤ 3) = Fξ (3) = 1 − e−3λ = 1 − e−3
ln(0,1) −6
=1−
p
0, 1 = 0, 684.
35. a) A keresett valószínűség P |ξ − 175| < 3 = P (−3 < ξ − 175 < 3) = P (172 < ξ < 178) = 178 − 175 172 − 175 = Fξ (178) − Fξ (172) = Φ −Φ = 3 3 = Φ (1) − Φ (−1) = 2Φ (1) − 1. b) A keresett valószínűség P (ξ > 173) = 1 − Fξ (173) = 1 − Φ
173 − 175 3
2 =1−Φ − 3
2 =Φ 3
c) A keresett valószínűség P (173 < ξ < 177) = Fξ (177) − Fξ (173) = Φ 2 2 2 =Φ −Φ − = 2Φ − 1. 3 3 3
177 − 175 3
−Φ
173 − 175 3
=
36. a) P (ξ > 0, 96) = 1 − P (ξ < 0, 96) = 1 − Fξ (0, 96) = 1 − Φ
0, 96 − 1 0, 05
4 =1−Φ . 5
b) P (ξ < 1, 05) = Fξ (1, 05) = Φ
1, 05 − 1 0, 05
= Φ (1) .
c) P (0, 98 < ξ < 1, 02) = Fξ (1, 02) − Fξ (0, 98) = Φ 2 2 2 =Φ −Φ − = 2Φ − 1. 5 5 5
1, 02 − 1 0, 05
37. a) A kontingencia-táblázat: ξ\η 1 2 3
1 2 3 p p p p 4p p p p p
−Φ
0, 98 − 1 0, 05
=
24
Ebből p =
1 . 12
b) ξ és η peremeloszlása: P (ξ = 1) = 3p,
P (ξ = 2) = 6p,
P (ξ = 1) = 3p,
P (η = 1) = 3p,
P (η = 2) = 6p,
P (η = 3) = 3p.
c) Eξ = 1 · 3p + 2 · 6p + 3 · 3p = 24p = 2, Eη = 1 · 3p + 2 · 6p + 3 · 3p = 24p = 2, d) Eξ 2 = 12 · 3p + 22 · 6p + 32 · 3p = 54p = 4, 5, Eη 2 = 12 · 3p + 22 · 6p + 32 · 3p = 54p = 4, 5, amiből D2 ξ = 4, 5 − 4 = 0, 5, D2 η = 4, 5 − 4 = 0, 5,
Dξ =
p
0, 5 p Dη = 0, 5
e) 1 1 1 , P (ξ · η = 2) = , P (ξ · η = 3) = , 12 6 6 1 1 1 P (ξ · η = 4) = , P (ξ · η = 6) = , P (ξ · η = 9) = . 3 6 12 f) Nem függetlenek. P (ξ · η = 1) =
g) Mivel cov(ξ, η) = E(ξη) − Eξ · Eη = (p + 4p + 6p + 16p + 12p + 9p) − 24p · 24p = 0, Mivel a kovariancia nulla, ezért a korrelációs együttható is nulla. h) ξ + η eloszlása 1 1 , P (ξ + η = 3) = , 12 6 1 1 P (ξ + η = 5) = , P (ξ + η = 6) = . 6 12 38. a) A kontingencia-táblázat: ξ\η 0 1 -1 4p p 1 4p 4 1 Ebből p = 10 . P (ξ + η = 2) =
1 P (ξ + η = 4) = , 2
25
b) ξ és η peremeloszlása: P (ξ = −1) = 8p, P (ξ = 1) = 2p, P (η = 0) = 8p, P (η = 1) = 2p. c) Nem függetlenek. d) Mivel cov(ξ, η) = E(ξη) − Eξ · Eη, ezért ki kell számolnunk ξ, η és ξη várható értékét! Eξ = −1 · 5p + 1 · 5p = 0, Eη = 0 · 8p + 1 · 2p = 2p, Eξ · η = −1 · p + 1 · p = 0. A kapott eredményeket felhasználva cov(ξ, η) = 0 − 0 · 2p = 0. A korrelációs együtthatóhoz meg kell határoznunk ξ és η szórását. r p p 4 2 Dξ = 10p − 0 = 1, Dη = 2p − 4p2 = = 25 5 Ebből corr(ξ, η) =
cov(ξ, η) = 0. DξDη
e) ξ + η eloszlása 2 1 2 1 P (ξ + η = −1) = , P (ξ + η = 0) = , P (ξ + η = 1) = , P (ξ + η = 2) = . 5 10 5 10 39. a) Az empirikus eloszlásfüggvény 0, 1 , 3 1, Fξ (x) = 22 , 3 5 , 6 1,
ha ha ha ha ha ha
x ≤ 42 42 < x ≤ 45 45 < x ≤ 48 48 < x ≤ 50 50 < x ≤ 52 x > 52.
b) Az átlag x=
2 · 42 + 45 + 48 + 50 + 52 = 46, 5. 6
A szórásnégyzet σ2 =
2(46, 6 − 42)2 + (46, 5 − 45)2 + (46, 5 − 48)2 + (46, 5 − 50)2 + (46, 5 − 52)2 , 6
26
a korrigált szórásnégyzet σ2 =
2(46, 6 − 42)2 + (46, 5 − 45)2 + (46, 5 − 48)2 + (46, 5 − 50)2 + (46, 5 − 52)2 . 5
c) A keresett konfidencia-intervallum s? s? x − uα √n < m < x + uα √n . n n 40. A likelihood függvény n k L(n) = p (1 − p)n−k . k Mivel
L(n + 1) =
ezért
L(n + 1) = L(n)
Mivel
n+1 k p (1 − p)n+1−k , k
n+1 (1 − p) n+1 k = (1 − p). n n−k+1 k n+1 (1 − p) > 1 n−k+1
pontosan akkor teljesül, ha n < kp − 1. Így n maximum likelihood becslése k 10 n b= −1 = −1 , p 0, 05 így 199 vagy 200 a jó megoldás. 41. A likelihood függvény L(λ) =
5 Y
P (ξ = xk ) =
k=1
λ4 −λ λ3 −λ λ7 −λ λ2 −λ λ4 −λ λ20 e · e · e · e · e = e−5λ . 4! 3! 7! 2! 4! 4!3!7!2!4!
A loglikelihood függvény ln L(λ) = 20 ln λ − ln(4!3!7!2!4!) − 5λ. Az előbbi függvény λ-szerinti deriváltja ∂ ln L(λ) 20 = − 5, ∂λ λ b = 4. aminek a zérushelye λ
27
42. A likelihood függvény L(p) = p(1 − p)k−1 . A loglikelihood függvény ln L(p) = ln p + (k − 1) ln(1 − p), melynek a p-szerinti deriváltja ∂ ln L(p) 1 1 = − (k − 1), ∂p p 1−p melynek zérushelye pb = k1 . 43. A likelihood függvény L(λ) =
6 Y
λe−λxi = λ6 · e−311λ .
i=1
A loglikelihood függvény ln L(λ) = 6 ln λ − 311λ, melynek parciális deriváltja ∂ ln L(λ) 6 = − 311, ∂λ λ b= melynek zérushelye λ
6 . 311
44. A nullhipotézis, az ellenhipotézis, illetve a szórás H0 : m = 2000; H1 : m 6= 2000; α = 0.05. A mintaelemszám, az átlag, illetve a szórás n = 10, x = 2005, σ = 5. A próbastatisztika 2005 − 2000 √ x − m0 √ u= n= 10 = 3, 16. σ 5 Mivel |u| = 3, 16 > 1, 96, ezért H0 -t elvetjük. Második megoldás: p-érték: P (|u| ≥ 3, 16) = 1 − 2Φ(3, 16) = 0, 0016 < 0, 05, ezért a nullhipotézist elvetjük.
28
45. A nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis H0 : m = 100; H1 : m < 100; α = 0.05. A mintaelemszám, az átlag, illetve a szórás n = 10, x = 100, 6, σ = 5. A próbastatisztika x − m0 √ 100, 6 − 100 √ u= n= 10 = 0, 3795. σ 5 Mivel |u| = 0, 3795 < 1, 65, ezért H0 -t elfogadjuk. Második megoldás: p-érték: P (|u| ≥ 0, 3795) = 1 − Φ(0, 3795) = 0, 352 > 0, 05, ezért a nullhipotézist elfogajduk. 46. A nullhipotézis és az ellenhipotézis H0 : m 1 = m 2 ; H1 : m1 6= m2 . A próbastatisztika 4−5 x−y u= q 2 =q = −4, 5. 2 σ2 σ1 0,252 0,162 + + 16 25 n m Mivel |u| = 4, 5 > 1, 96, ezért H0 -t elvetjük. 47. A nullhipotézis és az ellenhipotézis H0 : m 1 = m 2 ; H1 : m1 6= m2 . A próbastatisztika x−y 1660 − 1225 =q = 0, 5737. u= q 2 2 σ1 σ2 10002 15002 + + 5 6 n m Mivel |u| = 0, 5737 < 1, 96, ezért H0 -t elfogadjuk. 48. A szórások összehasonlítására F-próbát alkalmazunk. A nullhipotézis, illetve ellenhipotézis H0 : s21 = s22 ; H1 : s21 6= s22 . Az F-statisztika F =
s22 36 = = 4. 2 s1 9
A megfelelő táblázatbeli érték F7,9 = 3, 29, aminél nagyobb a számított érték, így a nullhipotézist elvetjük, azaz nem tekinthetők azonosnak a szórások.
29
49. A nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis H0 : m = 1000; H1 : m 6= 1000. A mintaelemszám és az átlag, n = 10 és x = 1005. A szórásnégyzetet a mintából számoljuk s?n = 45, 09. Mivel a szórás nem ismert, ezért t-próbát alkalmazunk. A próbastatisztika x − m0 √ 1005 − 1000 √ t= n = 10 = 0, 3507. s?n 45, 09 Mivel |t| = 0, 3507 < t9 = 2, 26, ezért H0 -t elfogadjuk. 50. A nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis H0 : m = 50; H1 : m < 50. A mintaelemszám és az átlag, n = 9 és x = 48, 67. A szórásnégyzetet a mintából számoljuk s?n = 5, 49. Mivel a szórás nem ismert, ezért t-próbát alkalmazunk. A próbastatisztika 48, 67 − 50 √ x − m0 √ t= n = 9 = −0, 7268. s?n 5, 49 Mivel |t| = 0, 7268 < t8 = 1, 86, ezért H0 -t elfogadjuk. 51. Először F-próbát kell alkalmaznunk a szórások azonosságának eldöntésére. Az A-minta 2 2 korrigált szórásnégyzete: s?1 = 9, 35, a B-minta korrigált szórásnégyzete s?2 = 10, 74. A nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis H0 : s21 = s22 ; H1 : s21 6= s22 . Az F-statisztika F =
s22 10, 74 = = 1, 1487. 2 s1 9, 35
A megfelelő táblázatbeli érték F5,5 = 5, 05, aminél kisebb a számított érték (1,1487), így a nullhipotézist elfogadjuk, azaz a szórások azonosaknak tekinthetők. Ilyenkor a két minta különbségét képezve egy újabb mintát készítünk, amire alkalmazzuk az egymintás t-tesztet. Az új minta Z : 12, 7, −3, 20, −15, −5. Erre a mintára a nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis H0 : EZ = 0 ; H1 : EZ 6= 0 .
30 2
Ekkor a mintaátlag, illetve a korrigált szórásnégyzet z = 2, 67, illetve s? = 12, 72. A próbastatisztika 2, 67 − 0 √ z − m0 √ t= n= 6 = 1, 83. ? s 3, 57 Mivel |t| = 1, 83 < t5 = 2, 57, ezért H0 -t elfogadjuk, így nincs lényeges különbség a két gyógyszer hatása között. 52. Először F-próbát kell alkalmaznunk a szórások azonosságának eldöntésére. Az A-minta 2 2 korrigált szórásnégyzete: s?1 = 8, 74, a B-minta korrigált szórásnégyzete s?2 = 10, 23. A nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis H0 : s21 = s22 ; H1 : s21 6= s22 . Az F-statisztika F =
s22 10, 23 = = 1, 17. 2 s1 8, 74
A megfelelő táblázatbeli érték F6,5 = 4, 95, aminél kisebb a számított érték (1,17), így a nullhipotézist elfogadjuk, azaz a szórások azonosaknak tekinthetők. Ilyenkor a mivel a mintaelemszám különböző, ezért a próbastatisztika s x−y n1 n2 (n1 + n2 − 2) t= p · = ?2 ?2 n1 + n2 (n1 − 1)s1 + (n2 − 1)s2 r 6 · 7(6 + 7 − 2) 15, 83 − 14, 57 = 0, 7327. =p · 6+7 (6 − 1)8, 74 + (7 − 1)10, 23 Mivel |t| = 0, 7327 < t11 = 2, 2, ezért H0 -t elfogadjuk, így nincs lényeges különbség a két gyógyszer hatása között. 53. A nullhipotézis, illetve az ellenhipotézis H0 : s = 5 ; H1 : s > 5 . Mivel normális eloszlású valószínűségi változó ismeretlen szórásáról kell dönteni, ezért khi-négyzet próbát kell alkalmaznunk. A próbastatisztika számított értéke 10 P
χ2 =
(xi − x)2
i=1
s20
= 183.
A táblázatbeli érték 16,92, aminél nagyobb a számított érték, így 95%-os szinten elvetjük a nullhipotézist, azaz nagyobb a szórás az előírtnál.
31
54. Jelöljük Ai -val azt az eseményt, hogy a kockával i-t dobunk (i=1,2,3,4,5,6). Ekkor a 1 H0 : P (A) = 6 hipotézist kell tesztelnünk. Tiszta illeszkedésvizsgálatot kell végeznünk khi-négyzet próbával. A próbastatisztika (8 − 10)2 (12 − 10)2 (10 − 10)2 + + + 10 10 10 (13 − 10)2 (10 − 10)2 (7 − 10)2 + + + = 2, 6. 10 10 10 A táblázatbeli érték χ25 = 11, 07, aminél kisebb a számított érték, így 95 %-os szinten elfogadjuk a nullhipotézist, azaz a kocka szabályosnak tekinthető.
χ2 =
55. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy az érmével fejet dobunk. Ekkor a 1 H0 : P (A) = 2 hipotézist kell tesztelnünk. Tiszta illeszkedésvizsgálatot kell végeznünk khi-négyzet próbával. A próbastatisztika (60 − 50)2 (40 − 50)2 χ2 = + = 4. 50 50 A táblázatbeli érték χ21 = 3, 84, aminél nagyobb a számított érték, így 95 %-os szinten elvetjük a nullhipotézist, azaz az érme nem tekinthető szabályosnak. 56. Ha ξ 2-paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változó, akkor P (ξ = 0) = 0, 135,
P (ξ = 1) = 0, 27,
P (ξ = 3) = 0, 18,
P (ξ ≥ 4) = 0, 145.
P (ξ = 2) = 0, 27,
A próbastatisztika (12 − 13, 5)2 (32 − 27)2 (25 − 27)2 (21 − 18)2 (10 − 14, 5)2 χ2 = + + + + = 3, 136. 13, 5 27 27 18 14, 5 A táblázatbeli érték χ24 = 9, 49, aminél kisebb a számolt érték, tehát a nullhipotézist elfogadjuk, azaz a minta 95 %-os biztosnággal Poisson-eloszlásúnak tekinthető. 57. A normális eloszlás esetén a megfelelő intervallumokba esés valószínűsége p0 = Φ(0) = 0, 5,
p1 = Φ(0, 5) − Φ(0) = 0, 1915,
p3 = Φ(1, 5) − Φ(1) = 0, 0919,
p2 = Φ(1) − Φ(0, 5) = 0, 1498,
p4 = 1 − Φ(1, 5) = 0, 0668.
A próbastatisztika χ2 =
(12 − 50)2 (16 − 19, 15)2 (28 − 14, 98)2 + + + 50 19, 15 14, 98 (26 − 9, 19)2 (18 − 6, 68)2 + + = 90, 61. 9, 19 6, 68
32
A táblázatbeli érték χ24 = 9, 49, aminél nagyobb a számolt érték, tehát a nullhipotézist elvetjük, azaz a minta 95 %-os biztosnággal nem tekinthető normális eloszlásúnak. 58. Egyenletes eloszlás esetén a megfelelő intervallumokba esés valószínűsége p0 = F (0) = 0,
p1 = F (0, 25) − F (0) = 0, 25,
p3 = F (0, 75) − F (0, 5) = 0, 25,
p2 = F (0, 5) − F (0, 25) = 0, 25,
p4 = F (1) − F (0, 75) = 0, 25.
A próbastatisztika (2 − 1, 5)2 (2 − 1, 5)2 (1 − 1, 5)2 (1 − 1, 5)2 2 χ2 = + + + = . 1, 5 1, 5 1, 5 1, 5 3 A táblázatbeli érték χ23 = 7, 81, aminél kisebb a számolt érték, tehát a nullhipotézist elfogadjuk, azaz a minta 95 %-os biztosnággal egyenletes eloszlásúnak tekinthető. 59. Az ismeretlen paraméter a mintaátlaggal becsülhető: λ = 0, 985. Ha ξ 0,985-paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változó, akkor P (ξ = 0) = 0, 348,
P (ξ = 1) = 0, 348,
P (ξ = 3) = 0, 113,
P (ξ ≥ 4) = 0, 027.
P (ξ = 2) = 0, 164,
A próbastatisztika (141 − 139, 2)2 (150 − 139, 2)2 (83 − 65, 6)2 (26 − 45, 2)2 χ2 = + + + = 13, 641. 139, 2 139, 2 65, 6 45, 2 A táblázatbeli érték χ23 = 7, 81, aminél nagyobb a számolt érték, tehát a nullhipotézist elvetjük, azaz a minta 95 %-os biztosnággal nem tekinthető Poisson-eloszlásúnak. 60. A próbastatisztika (15 − 7, 02)2 (10 − 16, 2)2 (2 − 5, 94)2 + + + 7, 02 16, 2 5, 94 (11 − 18, 98)2 (50 − 43, 8)2 (12 − 16, 06)2 + + = 19, 39. + 18, 98 43, 8 16, 06 A szabadsági fok (2-1)(3-1)=2. A χ22 táblázatbeli értéke 5,99, aminél a számolt érték nagyobb, így a nullhipotézist elvetjük, tehát nem független a hajszín és a szemszín.
χ2 =
