3. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4?

1. Kombinatorikus valószínűség

1. Egy dobókockát kétszer feldobunk. a) Írjuk le az eseményteret! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első dobás eredménye nagyobb, mint a másodiké? 2. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hatoslottón négy találatunk lesz? 3. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4? 4. Egy szabályos pénzérmét 10-szer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy több írást kapunk, mint fejet? 2. Feltételes valószínűség, Bayes-tétel, teljes valószínűség tétele

5. Két szabályos dobókockával dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7, feltéve, hogy az összeg páratlan? 6. Két szabályos dobókockával dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 8, feltéve, hogy az összeg páros? 7. Az 52-lapos francia kártya lapjait szétosztjuk négy játékos között. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha az egyik kiválasztott játékos nem kap királyt, akkor az utána következő sem kap királyt? 8. Egy gyárban három gép dolgozik, az első a termékek 30%-át, a második a 45%-át, míg a harmadik a 25%-át állítja elő. Az első gépen készült áruk 3%-a, a másodikon készültek 5%-a, míg a harmadikon gyártottak 7%-a selejt. a) A teljes árumennyiségből egy véletlenszerűen kiválasztott darabot megvizsgálva mennyi annak a valószínűsége, hogy selejt? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első gép gyártotta az árut, feltéve, hogy a kiválasztott darab selejt? 9. Egy kft.-nek három gépkocsija van, melyek rendre 0.1, 0.05, 0.2 valószínűséggel romlanak el. Egyik reggel a kft. vezetője külföldi útja során véletlenszerűen választ a három autó közül. a) Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott gépkocsi elromlik? b) Mennyi a valószínűsége, hogy az első gépkocsit választotta, feltéve, hogy a kiválasztott autó elromlott? 1

2

3. Geometriai valószínűség

10. Legyenek x és y 1-nél kisebb nemnegatív valós számok. Mennyi annak a valószínűsége, hogy x + y < 0.75? 11. Legyenek x és y 2-nél kisebb pozitív számok. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a két szám számtani közepe 1-nél kisebb? 12. Egy 5 cm sugarú céltáblára szabályos háromszöget rajzolunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a céltáblára leadott lövés a háromszögbe esik? (Feltételezzük, hogy a céltáblát eltaláljuk.) 13. Két egyetemista megbeszéli, hogy délután 2 és 4 óra között találkoznak. Érkezésük a megbeszélt időintervallumban véletlenszerű. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a korábban érkezőnek nem kell fél óránál többet várnia a később érkezőre? 4. Diszkrét valószínűségi változók

14. Egy dobókockával egyszer dobunk. Jelölje a ξ valószínűségi változó a dobott számot. a) Írjuk fel a valószínűségi változó eloszlását! b) Ábrázoljuk az eloszlást és az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy valóban eloszlásfüggvényt kaptunk! d) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! e) Határozzuk meg ξ harmadik momentumát! 15. Egy szabályos pénzérmét kétszer feldobunk. Jelentse a ξ valószínűségi változó az írás dobások számát. a) Írjuk fel a valószínűségi változó eloszlását! b) Ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy valóban eloszlást kaptunk! d) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! √ e) Határozzuk meg ξ várható értékét! 16. Egy szabályos pénzérmét háromszor feldobunk. Jelentse a ξ valószínűségi változó a fej dobások számát. a) Írjuk fel a valószínűségi változó eloszlását! b) Ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy valóban eloszlást kaptunk! d) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását!

3

17. Egy részvény kiinduló ára 1 e. Egy év múlva vagy kétszeresére növekszik az ára, vagy pedig a felére csökken. Mindkét lehetőség ugyanakkora valószínűségű. A következő két évben ugyanez történik, és a változások egymástól függetlenek. a) Mi lesz három év múlva a részvényár eloszlása? b) Írjuk fel és ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy a kapott függvény valóban eloszlásfüggvény! d) Számoljuk ki a részvényár eloszlásának várható értékét, szórásnégyzetét és szórását! 18. Az ötöslottón a 2, 3, 4, 5 találatos szelvények esetén a nyeremény rendre 1.000, 10.000, 1.000.000, 1.000.000.000 forint. A 0 és 1 találatos szelvények esetén a „nyeremény” −200 forint. Határozzuk meg a nyereménynek, mint valószínűségi változónak a várható értékét! Binomiális eloszlás 19. Egy szabályos dobókockával tizenkétszer dobunk. Jelölje ξ a 3-as dobások számát. a) Írjuk fel a ξ eloszlását! b) Határozzuk meg ξ várható értékét, szórásnégyzetét! c) Számoljuk ki a P (ξ < 2) valószínűséget! 20. Egy kosárban 3 narancs és 2 alma van. Visszatevéssel véletlenszerűen kiválasztunk 4 gyümölcsöt. Jelöle ξ a kiválasztott narancsok számát. a) Adjuk meg a ξ eloszlását! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy lesz narancs a kiválasztott gyümölcsök között? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan egy narancs lesz a kiválasztottak között? Poisson eloszlás 21. Egy ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ = 4 paraméterrel. a) Írjuk föl a ξ eloszlását! b) Határozzuk meg a ξ várható értékét és szórását! c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a ξ a várható értéknél nagyobb értéket vesz föl? d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a ξ a ]2, 5[ intervallumba esik? 22. Egy elektromos műszer 1000 alkatrészből áll. Valamennyi alkatrész a többitől függetlenül 0,001 valószínűséggel hibásodik meg 1 év alatt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább 2 alkatrész elromlik 1 év alatt?

4

23. Egy rádiókészülék meghibásodásának átlagos száma 1000 működési óra alatt 10. A meghibásodások eloszlása csak a vizsgált időtartam hosszától függ. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a készülék 200 működési óra alatt elromlik? 24. Egy telefonközponthoz 1000 előfizető tartozik. Megfigyelték, hogy annak a relatív gyakorisága, hogy egy adott órában egy előfizető telefonál 0,005. Mennyi a valószínűsége annak, hogy abban az órában a) éppen 4-en telefonálnak? b) legalább 4-en telefonálnak? 25. Egy autónyereménybetétkönyv sorsoláson minden 2000 betétkünyvre sorsolnak ki egy gépkocsit. Egy városban 1000 darab betétkönyvet tartanak nyilván. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a városban legalább 1 autót nyernek. (Egy alkalommal összesen 500 gépkocsit sorsolnak ki.) 26. Egy augusztusi éjszakán átlag 10 percenként észlelhető csillaghullás. A csillaghullások száma Poisson-eloszlású. Mennyi annak a valószínűsége, hogy negyedóra alatt két csillaghullást látunk? 5. Folytonos valószínűségi változók

27. Legyen ( 0, ha x ≤ 2 fξ (x) = a , ha x > 2. x3 Határozzuk meg az a valós számot úgy, hogy f valamely ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen! 28. Legyen ( 0, ha x ≤ 3 fξ (x) = a , ha x > 3. x4 a) Határozzuk meg az a valós számot úgy, hogy f valamely ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen! b) Írjuk föl a ξ eloszlásfüggvényét! c) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! d) Számoljuk ki a P (ξ < 2) valószínűséget! 29. Legyen  0, ha x ≤ 2 fξ (x) = a2 − 5a + 8  , ha x > 2. x2

5

a) Határozzuk meg az a valós számot úgy, hogy f valamely ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen! b) Írjuk föl a ξ eloszlásfüggvényét! c) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! d) Számoljuk ki a P (ξ ≥ 2) valószínűséget! 30. Legyen ( a cos x, ha 0 < x < π fξ (x) = 0, egyébként. a) Határozzuk meg az a valós számot úgy, hogy f valamely ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen! b) Írjuk föl a ξ eloszlásfüggvényét! c) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! d) Számoljuk ki a P (ξ > 1) és a P (0 < ξ < 1, 2) valószínűségeket! e) Határozzuk meg a ξ harmadik momentumát! f) Számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy ξ a várható érténél nagyobb értékét vesz fel! 31. Egy egységnyi sugarú, kör alakú céltáblára lövések érkeznek. Tegyük fel, hogy minden lövés a céltáblába talál és hogy a találat helye egyenletes eloszlású a céltáblán. Jelölje a találat helyének távolságát a céltábla középpontjától. Adjuk meg a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! Egyenletes eloszlás 32. Legyen ξ egyenletes eloszlású az [1, 3] intervallumon! a) Írjuk fel és ábrázoljuk ξ eloszlásfüggvényét! b) Írjuk fel és ábrázoljuk ξ sűrűségfüggvényét! c) Határozzuk meg ξ várható értékét és szórását! 33. Egy villamosmegállóba 15 percenként érkeznek villamosok. A villamosmegállóba érkezve látjuk, hogy 1 percen belül nem jön villamos. Legyen ξ a várakozási idő hossza. a) Írjuk föl a ξ eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét! b) Számoljuk ki a várható értékét és szóránégyzetét. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy 5 percnél kevesebbet kell várkoznunk? d) Számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy legalább 7 percet kell várnunk? Exponenciális eloszlás

6

34. Egy ξ valószínűségi változó jelentse annak az útnak a hosszát, amelyet egy gépkocsi az első műszaki hibáig megtesz. Tegyük föl, hogy ξ exponenciális eloszlású és várható értéke 500 km. a) Írjuk fel a ξ eloszlás- és sűrűségfüggvényét! b) Számoljuk ki, mennyi annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó a várható értéknél kisebb értéket vesz fel? 35. Egy radioaktív anyag bomlását vizsgáljuk. Legyen a valószínűségi változó értéke egy tetszőleges atom bomlásáig eltelt idő, és annak a valószínűsége, hogy az atom x éven x belül elbomlik P (ξ < x) = 1 − e− 2 . a) Határozzuk meg a valószínűségi változó várható értékét és szórását! b) Határozzuk meg a bomlás felezési idejét! 36. Bizonyos típusú izzólámpák tönkremeneteléig eltlet égési időtartam hosszát tekintsük egy ξ valószínűségi változónak. Megállapították, hogy ξ exponenciális eloszlású és szórása 1000 óra. a) Írjuk fel a ξ eloszlás- és sűrűségfüggvényét! b) Határozzuk meg a ξ várható értékét! c) Számoljuk ki, mennyi annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó a várható értéknél kisebb értéket vesz fel? 37. Annak a valószínűsége, hogy egy benzinkútnál 6 percnél többet kell várni, 0,1. A várakozási idő hossza exponenciális eloszlású. Mennyi a valószínűsége, hogy a benzinkúthoz érkezve 3 percen belül sorra kerülünk? Normális eloszlás 38. Egy embercsoport magasságainak átlaga 175 cm, 4 cm-es szórással. A testmagasság nagysága normális eloszlásúnak tekinthető. a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott ember testmagassága az átlagtól kevesebb, mint 3 cm-el tér el? b) Mennyi a valószínűsége, hogy egy kiválasztott ember testmagassága legalább 173 cm? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott ember testmagassága 173 cm és 177 cm közé esik? 39. Egy csomagológép 1 kg tömegű sajtot csomagol. A sajtok tömege normális eloszlásúnak tekinthető, melynek szórása 5 dkg. Mennyi a valószínűsége, hogy egy sajtdarab súlya a) 96 dkg-nál több; b) 1,05 kg-nál kevesebb; c) 98 dkg és 1,02 kg közé esik?

7

6. Valószínűségi vektorváltozók

40. A (ξ, η) valószínűségi változó lehetséges értékeit a (0,0), (0,4), (4,0), (4,4) pontok által meghatározott négyzet belsejében levő egész koordinátájú pontok adják. A vektorváltozó e pontokat egyenlő valószínűséggel veszi fel a négyzet középpontja kivételével, mely négyszer akkora valószínűséggel következik be, mint a többi. a) Írjuk fel a (ξ, η) eloszlását! b) Határozzuk meg a peremeloszlásokat! c) Számoljuk ki ξ és η várható értékét! d) Számoljuk ki ξ és η szórásnégyzetét! e) Írjuk fel ξ · η eloszlását! f) Független-e ξ és η? g) Számoljuk ki a cov(ξ, η) és a corr(ξ, η) értékeket! h) Adjuk meg ξ + η eloszlását! 41. Egy dobozban 1-től 10-ig számozott golyókat helyeztünk el. Véletlenszerűen kihúzunk egy golyót. A ξ valószínűségi változó értéke legyen -1, ha páratlan számot húzunk, és 1, ha párosat húzunk. Az η értéke legyen 0, ha nem osztható öttel, és 1, ha osztható öttel a kihúzott szám. a) Írjuk fel a (ξ, η) eloszlását! b) Határozzuk meg a peremeloszlásokat! c) Független-e ξ és η? d) Számoljuk ki a cov(ξ, η) és a corr(ξ, η) értékeket! e) Adjuk meg ξ + η eloszlását! 42. Legyen ( c(x + y), ha x, y ∈ [0, 1] fξ,η (x, y) = 0, egyébként függvény valamely (ξ, η) valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvénye! a) Határozzuk meg a c konstans értékét! b) Írjuk fel a perem-sűrűségfüggvényeket! c) Írjuk fel a perem-eloszlásfüggvényeket! d) Határozzuk meg az együttes eloszlásfüggvényt! e) Számoljuk ki ξ és η várható értékét! f) Számoljuk ki ξ és η szórásnégyzetét! g) Határozzuk meg ξ · η várható értékét!

8

h) Határozzuk meg a koordináták kovarianciáját és korrelációs együtthatóját! i) Független-e ξ és η? 7. Markov egyenlőtlenség, Csebisev egyenlőtlenség, Nagy számok törvénye

43. Egy ξ valószínűségi változó várható értéke 2, szórása 1. Adjunk becslést a P (ξ ∈ ] − 2, 6[) valószínűségre! 44. Egy ξ valószínűségi változó várható értéke 3,2, szórása 1,6. Adjunk becslést a P (0, 8 < ξ < 5, 6) valószínűségre! 45. Egy pozitív értékű valószínűségi változó várható értéke 5, szórása 2. Legfeljebb mekkora valószínűséggel vesz fel 10-nál nagyobb értéket? Legalább mekkora valószínűséggel esik az [2, 8] intervallumba? 46. A dohányzó lakosság napi cigarettafogyasztása várható értéke 20 darab, szórása 6 darab. Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy a tényleges fogyasztás 11 és 29 darab közé esik? 47. Egy üzletben lévő automata élettartamának várható értéke 5 év, szórása 0,5 év. Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy az automata élettartam legalább egy évvel eltér a várható értéktől? 48. Egy postahivatalban egy meghatározott időben az eladott újságok száma Poissoneloszlású λ = 80 várható értékkel. Adjunk becslést a P (60 < ξ < 100) valószínűségre, ha ξ az eladott újságok száma. 49. Egy gyufagyárban a dobozokat automata gép tölti. Az egyes dobozokban lévő gyufaszálak száma egy ξ valószínűségi változó, amelynek eloszlása a tapasztalatok szerint a következő: darabszám 47 48 49 50 51 52 53 valószínűség 0,05 0,10 0,15 0,40 0,15 0,10 0,05 a) A Csebisev egyenlőtlenség segítségével adjunk becslést a P (48 < ξ < 52) valószínűségre! b) Az eloszlás alapján számoljuk ki a fenti valószínűség pontos értékét! 50. Egy ξ valószínűségi változó várható értéke 4, szórása 6. Adjunk becslést a P (ξ ∈]0, 8[) valószínűségre! 51. Egy ξ valószínűségi változó várható értéke 10, szórása 4. Legalább mennyi a valószínűsége, hogy a ξ a ]8, 12[ intervallumba esik? 52. Egy ξ valószínűségi változó Poisson-eloszlású λ = 16 paraméterrel. Adjunk alsó becslést a P (8 < ξ < 24) valószínűségre!

9

53. Egy augusztusi éjszakán az óránkénti csillaghullások száma λ = 12 paraméterű Poissoneloszlású valószínűségi változó. Adjunk alsó becslést a P (6 < ξ < 18) valószínűségre! 54. Egy ξ valószínűségi változó várható értéke 20, szórása 10. Legfeljebb mekkora valószínűséggel, tér el a ξ a várható értéktől abszolút értékben legalább 30 egységgel? Mekkora ennek a valószínűségnek a pontos értéke, ha a valószínűségi változó normális eloszlású? Mekkora a valószínűségnek a pontos értéke, ha a valószínűségi változó exponenciális eloszlású? 55. Egy esemény valószínűsége 0,4. Hány kísérletet kell elvégezni ahhoz, hogy az esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága és valószínűsége közötti eltérés legalább 98%-os valószínűséggel 0,01-nél kisebb legyen. 56. Szabályos dobókockát egymás után feldobunk. Hány dobást kell végeznünk ahhoz, hogy a 6-osdobás relatív gyakorisága az 16 valószínűséget 0,1-nél kisebb hibával, legalább 95%-os valószínűséggel közelítse meg. 57. Szabályos dobókockát egymás után feldobunk. Hány dobást kell végeznünk ahhoz, hogy a 4-osdobás relatív gyakorisága az 16 valószínűséget 0,1-nél kisebb hibával, legalább 98%-os valószínűséggel közelítse meg. 58. Szabályos pénzérmét egymás után feldobunk. Hány dobást kell végeznünk ahhoz, hogy a fej-dobások relatív gyakorisága az 21 valószínűséget 0,01-nél kisebb hibával, legalább 92%-os valószínűséggel közelítse meg. 59. Egy célpontra 500 lövést adunk le. A találat valószínűsége 0,3. Milyen határok közé esik legalább 90%-os valószínűséggel a találatok száma? 60. Egy célpontra 200 lövést adunk le. A találat valószínűsége 0,4. Milyen határok közé esik legalább 90%-os valószínűséggel a találatok száma? 61. Egy pénzérmét 100-szor feldobunk. Milyen határok közé esik legalább 90%-os valószínűséggel a találatok száma? 62. Egy szabályos pénzérmét 100-szor feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a fej-dobások száma 95 és 105 közé esik? 63. Hányszor kell egy szabályos pénzérmét feldobni ahhoz, hogy az írásdobások számának relatív gyakorisága legalább 95% valószínűséggel a ]0, 1, 0, 6[ intervallumba essen? 8. Központi határeloszlás tétel

64. Egy csillagász egy m távolságra lévő objektum távolságát méri. Méréseinek eredményei független, azonos eloszlású valószínűségi változók m várható értékkel és 2 fényév szórással. Hányszor kell mérnie, hogy az átlag legalább 0, 5 fényév pontos legyen legalább 95% valószínűséggel? Adjunk becslést a központi határeloszlástétel segítségével, majd érdekesség képpen a Csebisev-egyenlőtlenség segítségével is!

10

65. Tegyük föl, hogy egy tanfolyamra jelentkező diákok száma Poisson eloszlású, λ = 100 paraméterrel. Becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy 120-nál többen jelentkeznek! 66. Egy újságárus egy nap alatt eladott újságainak száma Poisson-eloszlású, λ = 50 paraméterrel. Becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy 60-nál több újságot ad el egy nap! 67. Tegyük föl, hogy egy bizonyos korcsoportban az átlagos diasztolés vérnyomás érték 80, szórása 8 Hgmm. Mi a valószínűsége annak, hogy egy 20 fős mintában az átlag diasztolás vérnyomásérték nagyobb, mint 85 Hgmm? 68. Az előző feladat adatai alapján határozzuk meg, hogy a 20 fős mintáknak milyen átlagértékei fogják közre az eloszlás 95%-át! 69. A 66. feladat adatait felhasználva hány fős mintára van szükség ahhoz, hogy a mintaátlagok 95%-a a populációs átlagtól 3 Hgmm-nél jobban ne térjen el? 70. Egy telefonközpontba óránként átlagosan 50 hívás érkezik. Az óránként hívások száma Poisson-eloszlású. Becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy egy óra alatt 40-nél kevesebb hívás érkezik! 71. Dobjunk fel egy szabályos pénzérmét egymás után 10000-szer. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a fej-dobások számának eltérése a várt 5000-tól legalább 100-zel eltér. Adjunk becslést a központi határeloszlástétel és a Csebisev-egyenlőtlenség segítségével is! 72. Dobjunk fel egy szabályos pénzérmét egymás után 2000-szer. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a fej-dobások számának eltérése a várt 1000-től legalább 80-nal eltér. Adjunk becslést a központi határeloszlástétel és a Csebisev-egyenlőtlenség segítségével is! 73. Egy szabályos dobókockát 1000-szer feldobunk egymástól függetlenül. Adjunk jó becslést a centrális határeloszlástétel segítségével arra, hogy az összeg 1800 és 2100 közé esik! 9. Becsléselmélet

74. Egy bizonyos gyártmányú elem élettartamára vonatkozóan az alábbi mérési eredmények adódtak: 42, 45, 52, 48, 42, 50 óra. a) Adjuk meg az empirikus eloszlásfüggvényt! b) Adjunk becslést az élettartam várható értékére és szórására! c) Tudjuk, hogy az elemek élettartama normális eloszlást mutat. Adjunk meg olyan intervallumot, amely a várható értéket 0,95 valószínűséggel tartalamazza!

11

75. Egy tóban a halakat betegség támadta meg, mely az egyes egyedeket 0,05 valószínűséggel támadja meg. Egy véletlen halászat során 10 haltetemet fogtak ki. Adjunk maximum likelihood becslést a betegség előtt a tóban élő halak számára! 76. Augusztusban öt éjszakán át figyeltük meg a hullócsillagok számát. A kapott minta: 4, 3, 7, 2, 4. A hullócsillagok száma Poisson-eloszlást követ. Készítsünk maximum likelihood becslést az elosztlás paraméterére az adott minta alapján! 77. Egy céllövő p valószínűséggel talál el egy célponot egy lövésből. Adjunk maximum likelihood becslést p-re, ha az első találat k-adikra következik be! 78. Egy alkatrészekből álló sokaság hat mintapéldányának a teljes élettartama: 39, 45, 67, 50, 50, 60 hónap. Tegyük fel, hogy az élettartam exponenciális eloszlású, ismeretlen λ paraméterrel. Adjunk maximum likelihood becslést λ-ra!

12

Megoldások

1. a) Az eseménytér az összes elemi események halmaza, azaz Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), ..., (6, 6)}. b) A kedvező esetek száma 15, az összes esetek száma 62 = 36, így a keresett valószínűség 15 . 36 2. A hatoslottón 45 számból kell kiválasztanunk 6-öt, így az összes esetek száma   45 . 6 Négy találatosunk úgy lehet, hogy négy számot eltalálunk, kettőt pedig nem, így a kihúzott 6 nyerőszámból 4-nek kell megegyeznie olyannal, amit bejelöltünk, a 39 nem nyerőszámból pedig kettőnek kell megegyeznie általunk bejelölttel. Így a keresett valószínűség    6 39 4 2   . 45 6 3. A dobott számok különbségének abszolútértéke 0, 1, 2, 3, 4 vagy 5 lehet, így a kedvező esetek (1, 6), (6, 1). Az összes esetek száma: 62 = 36. Tehát a keresett valőszínűség 2 1 = . 36 18 4.           10 10 10 10 10 + + + + 6 7 8 9 10 10 2 5. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a dobott számok összege 7, B-vel azt az eseményt, hogy az összeg páratlan. Ekkor A ∩ B = A. Először az A esemény valószínűségét határozzuk meg. Két dobókockával dobva az összes esetek száma 36. A dobott számok összege hatféleképpen lehet 7, így P (A) = 1/6. A feltétel valószínsűsége 1/2. A feltételes valószínűség definícióját használva P (A | B) = a keresett valószínűség.

P (A ∩ B) 1 = P (B) 3

13

6. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a dobott számok összege 8, B-vel azt az eseményt, hogy az összeg páros. Ekkor A ∩ B = A. Először az A esemény valószínűségét határozzuk meg. Két dobókockával dobva az összes esetek száma 36. A dobott számok összege ötféleképpen lehet 8, így P (A) = 5/36. A feltétel valószínűsége 1/2. A feltételes valószínűség definícióját használva P (A | B) =

P (A ∩ B) 5 = P (B) 18

a keresett valószínűség. 7. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy egy kiválasztott játékosnak nem jut király, B-vel azt az eseményt, hogy a rákövetkező játékosnak nem jut király. Az A ∩ B esemény valószínűsége         48 35 26 13 48 35 13 13 13 13 13 13 P (A ∩ B) =      =    . 52 39 26 13 52 39 13 12 13 13 13 13 A B esemény valószínűsége        48 39 26 13 48 13 13 13 13 13 P (B) =      =   . 52 39 26 13 52 13 13 13 13 13 A feltételes valószínűség definíciója szerint   35 13 P (A | B) =   . 48 13 a keresett valószínűség. 8. a) Az eredmény a teljes valószínűség tételét felhasználva adódik: 0.3 · 0.03 + 0.45 · 0.05 + 0.25 · 0.07; b) az eredmény a Bayes-tétel felhasználásával adódik: 0.3 · 0.03 0.3 · 0.03 + 0.45 · 0.05 + 0.25 · 0.07 9. a) A teljes valószínűség tétele szerint a keresett valószínűség 0.1 ·

1 1 1 + 0.05 · + 0.2 · . 3 3 3

14

b) A Bayes-tétel felhasználásával a keresett valószínűség 1 3 . 1 1 1 0.1 · + 0.05 · + 0.2 · 3 3 3 0, 1 ·

10. Az összterület egy egységnyi oldalú négyzet területe, a kedvező terület egy 0.75 egységnyi hosszúságú befogókkal rendelkező egyenlő szárú derékszögű háromszög területe.

Így a keresett valószínűség P (x + y < 0.75) =

3 4

9 · 43 9 = 16 = . 2 2 32

11. Az összeterület egy 2 oldalhosszúságú négyzet területe, a kedvező terület egy egységnyi oldalhosszúságú befogókkal rendelkező egyenlő szárú derékszögű háromszög területe.

Így a keresett valószínűség   x+y 1 P < 1 = P (x + y < 2) = . 2 2

15

12. A keresett valószínűség: √ 3 · 52 · sin 120◦ 3 3 = 2 · 52 π 4π

13. Az összterület egy 2 oldalhosszúságú négyzet területe, a kedvező terület az |x−y| < 0.5 tartománynak az előbbi négyzetbe eső része.

A keresett valószínűség tehát 7 7

·

4 − 424 95 P (|x − y| < 0.5) = = 4 144

14. a) Az eloszlás 1 P (ξ = k) = , 6

k = 1, . . . , 6.

16

 0,      1/6,      2/6, Fξ (x) = 3/6,   4/6,      5/6,    1,

b) Az eloszlásfüggvény:

ha ha ha ha ha ha ha

x≤1 1<x≤2 2<x≤3 3<x≤4 4<x≤5 5<x≤6 x > 6.

c) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá lim Fξ (x) = 0,

x→−∞

lim Fξ (x) = 1.

x→∞

d) A várható érték Eξ = 1 ·

1 1 1 1 1 1 7 +2· +3· +4· +5· +6· = . 6 6 6 6 6 6 2

e) A szórásnégyzethez először a második momentumot számoljuk ki: Eξ 2 = 12 ·

1 1 1 1 1 91 1 + 22 · + 32 · + 42 · + 52 · + 62 · = . 6 6 6 6 6 6 6

Ebből 91 D ξ = Eξ − (Eξ) = − 6 2

2

2

 2 7 91 49 35 = − = . 2 6 4 12

f) A harmadik momentum ξ 3 várható értéke: Eξ 3 = 13 ·

1 1 1 1 1 1 + 23 · + 33 · + 43 · + 53 · + 63 · . 6 6 6 6 6 6

17

15. a) A ξ valószínűségi változó értéke lehet 0,1,2. A megfelelő valószínűségek: 1 1 1 P (ξ = 0) = , P (ξ = 1) = , P (ξ = 2) = . 4 2 4  0, ha x ≤ 0    1/4, ha 0 < x ≤ 1 b) Az eloszlásfüggvény: Fξ (x) =  3/4, ha 1 < x ≤ 2    1, ha x > 2.

c) Az a) pontban a valószínűségek összege 1, így eloszlást kaptunk. d) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá lim Fξ (x) = 0,

x→−∞

lim Fξ (x) = 1.

x→∞

e) A várható érték 1 1 1 + 1 · + 2 · = 1. 4 2 4 A ξ szórásnégyzetéhez először ξ második momentumát számoljuk ki: 1 1 1 3 Eξ 2 = 02 · + 12 · + 22 · = , 4 2 4 2 Eξ = 0 ·

így D2 ξ = Eξ 2 − (Eξ)2 = Ebből a szórás

3 1 −1= . 2 2

√1 . 2

f) E

p  √ 1 √ 1 √ 1 ξ = 0· + 1· + 2· . 4 2 4

18

16. a) A ξ valószínűségi változó értéke lehet 0,1,2 vagy 3. Ezek valószínűségei: 1 3 3 1 P (ξ = 0) = , P (ξ = 1) = , P (ξ = 2) = , P (ξ = 3) = , . 8 8 8 8  0, ha x ≤ 0      1/8, ha 0 < x ≤ 1 b) Az eloszlásfüggvény: Fξ (x) = 4/8, ha 1 < x ≤ 2    7/8, ha 2 < x ≤ 3    1, ha x > 3.

c) Az a) pontban a valószínűségek összege 1, így eloszlást kaptunk. d) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá lim Fξ (x) = 0,

lim Fξ (x) = 1.

x→−∞

x→∞

e) A várható érték Eξ = 0 ·

1 3 3 1 3 +1· +2· +3· = . 8 8 8 8 2

A ξ szórásnégyzetéhez először ξ második momentumát számoljuk ki: 1 3 3 1 24 Eξ 2 = 02 · + 12 · + 22 · + 32 · = = 3, 8 8 8 8 8 így  2 3 3 D ξ = Eξ − (Eξ) = 3 − = . 2 4 2

√

Ebből a szórás

3 . 2

2

2

19

f) E

p  √ 1 √ 3 √ 3 √ 1 ξ = 0· + 1· + 2· + 3· . 8 8 8 8

17. a) Az eloszlás   1 1 P ξ= = , 8 8

 P

b) Az eloszlásfüggvény:

1 ξ= 2



3 = , 8  0,      1/8, Fξ (x) = 4/8,   7/8,    1,

3 P (ξ = 2) = , 8 ha ha ha ha ha

1 P (ξ = 8) = . 8

x ≤ 1/8 1/8 < x ≤ 1/2 1/2 < x ≤ 2 2<x≤8 x > 8.

c) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá lim Fξ (x) = 0,

x→−∞

lim Fξ (x) = 1.

x→∞

d) A várható érték Eξ =

1 1 1 3 3 1 69 · + · +2· +8· = . 8 8 2 8 8 8 64

A ξ szórásnégyzetéhez először ξ második momentumát számoljuk ki:  2  2 1 1 1 3 3 1 4881 2 Eξ = · + · + 22 · + 82 · = , 8 8 2 8 8 8 512 így  2 4881 69 2 2 2 . D ξ = Eξ − (Eξ) = − 512 64 A szórás a szórásnégyzetből vont négyzetgyök. 18. A várható érték          5 85 5 85 5 85 0 5 1 4 2 3 − 200 ·   + (−200) ·   + 1000 ·   + 90 90 90 5 5 5          5 85 5 85 5 85 3 2 4 1 5 0 + 10000 ·   + 1000000 ·   + 1000000000 ·   . 90 90 90 5 5 5 19. a) Az eloszlás    k  12−k 12 1 1 P (ξ = k) = 1− , k 6 6

(k = 0, 1, ..., 12).

20

b) A várható érték Eξ = 12 ·

1 = 2, 6

ami azt jelenti, hogy 12 dobásból várhatóan kétszer kapunk hatost. A szórásnégyzet 1 5 5 D2 ξ = 12 · · = , 6 6 3 a szórás r Dξ =

1 5 12 · · = 6 6

r

5 . 3

c) Annak valószínűsége, hogy 2-nél kevesebb hatost dobunk  12  11 5 1 5 P (ξ < 2) = P (ξ = 0) + P (ξ = 1) = + 12 · = 0, 3813. 6 6 6 20. a) Az eloszlás    k  5−k 5 3 3 P (ξ = k) = , 1− k 5 5

(k = 0, 1, 2, 3)

b) A keresett valószínűség    2  3    3  2 5 3 5 3 3 3 P (ξ = 2) + P (ξ = 3) = + 1− 1− 2 3 5 5 5 5 c) Lehetetlen esemény, így 0 a keresett valószínűség. 21. a) Az eloszlás P (ξ = k) =

4k −4 e . k!

b) A várható érték, illetve a szórásnégyzet Eξ = 4,

Dξ = 2.

c) A keresett valószínűség P (ξ > 4) = 1 − P (ξ ≤ 4) =
= 1 − P (ξ = 0) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) + P (ξ = 3) + P (ξ = 4) . d) A keresett valószínűség P (2 < ξ < 5) = P (ξ = 3) + P (ξ = 4). 22. Legyen n = 1000, p = 0, 001. Mivel az elemszám nagy, és a valószínűség kicsi, ezért Poisson-eloszlással számolhatunk, és ilyenkor λ = n · p = 1. A keresett valószínűség
P (ξ ≥ 2) = 1 − P (ξ < 2) = 1 − P (ξ = 0) + P (ξ = 1) .

21

23. A meghibásodások átlagos száma 200 óra alatt 2, így n = 200, p = 0, 01, λ = np = 2, amiből a keresett valószínűség P (ξ = 0) = e−2 =

1 . e2

24. Legyen n = 1000, p = 0, 005. Mivel az elemszán nagy, ezért Poisson-eloszlással számolhatunk, és ilyenkor λ = n · p = 5. a) P (ξ = 4) =

(−5)4 −5 e 4!

b)
P (ξ ≥ 4) = 1 − P (ξ < 4) = 1 − P (ξ = 0) + P (ξ = 1) + P (ξ = 3)

25. Legyen n = 1000, p = 0, 0005. Mivel az elemszán nagy, ezért Poisson-eloszlással számolhatunk, és ilyenkor λ = n · p = 0, 5. P (ξ ≥ 1) = 1 − P (ξ = 0) = 1 −

0, 50 −0,5 1 e =√ 0! e

26. Jelölje ξ a negyedóránkénti csillaghullások számát! Ekkor Eξ =

3 = λ, 2

amiből 1, 52 −1,5 P (ξ = 2) = e 2!

27. Az fξ függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény, ha a teljes számegyenesen az integrálja 1. Ezt felhasználva Z∞ 1= 2

amiből a = 8.

a dx = a lim c→∞ x3

Zc x 2

−3

x−2 dx = a lim c→∞ −2 

c 2



−1 = a lim c→∞ 2x2

c 2

a = , 8

22

28. a) Mivel fξ sűrűségfüggvény, ezért Z∞ 1=

a dx = a lim c→∞ x4

3

Zc x

−4

x−3 dx = a lim c→∞ −3 

3

c 3



−1 = a lim c→∞ 3x3

c = 3

a , 81

amiből a = 81. b) Mivel Zx Fξ (x) =

Zx fξ (t) dt =

−∞

így az eloszlásfüggvény

3

 −3 x  x 81 t −27 27 = 1 − 3, dt = 81 = 4 3 t −3 3 t x 3

Fξ (x) =

 0,

ha x ≤ 3 27 1 − , ha x > 3. x3

23

c) A várható érték  −2 c Z∞ Z∞ Z∞ 81 81 x 9 Eξ = xfξ (x) dx = x · 4 dx = dx = 81 lim = . 3 c→∞ −2 x x 2 3 −∞

3

3

A szórásnégyzethez először kiszámoljuk a második momentumot.  −1 c Z∞ Z∞ Z∞ 81 x 2 2 2 81 dx = 81 lim = 27, Eξ = x fξ (x) dx = x · 4 dx = c→∞ −1 x x2 3 −∞

3

3

amiből a szórásnégyzet D2 ξ = Eξ 2 − (Eξ)2 = 27 −

45 9 = . 2 2

d) A keresett valószínűség P (ξ < 2) = Fξ (2) = 0. 29. a) Mivel fξ sűrűségfüggvény, ezért Z∞ 2 Zc a − 5a + 8 2 1= dx = (a − 5a + 8) lim x−2 dx = 2 c→∞ x 2 2  −1 c  c x a2 − 5a + 8 −1 2 2 = (a − 5a + 8) lim = (a − 5a + 8) lim = , c→∞ −1 c→∞ x 2 2 2 így az a2 − 5a + 8 =1 2 egyenlet megoldásával kapjuk, hogy a1 = 2, a2 = 3.

24

b) Mivel Zx Fξ (x) =

Zx fξ (t) dt =

−∞

2

így az eloszlásfüggvény

 −1 x  x 2 −2 2 t = = 1 − , dt = 2 t2 −1 2 t 2 x

Fξ (x) =

 0,

ha x ≤ 2 2 1 − , ha x > 2. x

c) Mivel Z∞ Eξ =

Z∞ xfξ (x) dx =

−∞

=

2 lim [ln |x|]c2 c→∞

2 x · 2 dx = x

2

Z∞

2 dx = x

2

= 2 lim (ln c − ln 2) = ∞, c→∞

ezért a várható érték nem létezik, tehát a szórás sem. d) A keresett valószínűség P (ξ ≥ 2) = 1 − Fξ (2) = 1 − 0 = 1. 30. a) Mivel fξ sűrűségfüggvény, ezért Zπ 1=

Zπ a cos(x) dx = a

0

cos(x) dx = a [sin(x)]π0 = 0,

0

így ellentmondáshoz jutottunk, következésképpen nem létezik olyan a, melyre az adott függvény sűrűségfüggvény lenne.

25

31. Az eloszlásfüggvény   0, ha x ≤ 0 Fξ (x) = x2 , ha 0 < x ≤ 1  1, ha x > 1. 32. a) ξ eloszlásfüggvénye   0, ha x ≤ 1   x−1 Fξ (x) = , ha 1 < x ≤ 3  2  1, ha x > 3. b) A sűrűségfüggvény  1 , ha 1 < x < 3 fξ (x) = 2 0, egyébként. c) Eξ =

1+3 = 2, 2

D2 ξ =

(3 − 1)2 , 12

1 Dξ = √ . 3

  0, ha 0 < x ≤ 1   x−1 33. a) Az eloszlásfüggvény Fξ (x) = , ha 1 < x ≤ 15   1,14 ha x > 15.  1 , ha 1 < x < 15 A sűrűségfüggvény fξ (x) = 14 0, egyébként. b) A várható érték 8, a szórásnégyzet

49 . 3

c) 2 P (ξ < 5) = Fξ (5) = . 7 d) P (ξ > 7) = 1 − P (ξ < 7) = 1 − Fξ (7) = 1 − 34. a) Mivel Eξ = 500, ezért λ =

1 , 500

3 4 = 7 7

melyből az eloszlásfüggvény ( 0, ha x ≤ 0 Fξ (x) = 1 − 500 x 1−e , egyébként,

a sűrűségfüggvény fξ (x) =

( 0, 1 1 − 500 x e , 500

ha x ≤ 0 egyébként.

26

b) 1 1 P (ξ < 500) = Fξ (500) = 1 − e− 500 500 = 1 − . e

35. a) Mivel λ = 12 , így Eξ = 2, b) Az Fξ (x) =

1 2

D2 ξ = 2,

Dξ =

√

2.

egyenlet megoldásából kapjuk, hogy x = 1, 38 év.

36. Felhasználva, hogy λ = a) Az eloszlásfüggvény

1 1000

a feladat az előzőekhez hasonlóan oldható meg.

( 0, ha x ≤ 0 Fξ (x) = 1 − 1000 x 1−e , egyébként, a sűrűségfüggvény fξ (x) =

( 0, 1 1 e− 1000 x , 1000

ha x ≤ 0 egyébként,

b) A várható érték Eξ = 1000. c) 1 P (ξ < Eξ) = P (ξ < 1000) = Fξ (1000) = 1 − . e 37. Mivel
0, 1 = P (ξ > 6) = 1 − P (ξ ≤ 6) = 1 − Fξ (6) = 1 − 1 − e−6λ = e−6λ , ezért λ=

ln(0, 1) . −6

Ezt felhasználva P (ξ ≤ 3) = Fξ (3) = 1 − e−3λ = 1 − e−3

ln(0,1) −6

=1−

p

0, 1 = 0, 684.

38. a) A keresett valószínűség
P |ξ − 175| < 3 = P (−3 < ξ − 175 < 3) = P (172 < ξ < 178) =     178 − 175 172 − 175 = Fξ (178) − Fξ (172) = Φ −Φ = 3 3 = Φ (1) − Φ (−1) = 2Φ (1) − 1. b) A keresett valószínűség  P (ξ > 173) = 1 − Fξ (173) = 1 − Φ

173 − 175 3





2 =1−Φ − 3



  2 =Φ 3

27

c) A keresett valószínűség  P (173 < ξ < 177) = Fξ (177) − Fξ (173) = Φ       2 2 2 =Φ −Φ − = 2Φ − 1. 3 3 3

177 − 175 3



 −Φ

173 − 175 3

 =

39. a)  P (ξ > 0, 96) = 1 − P (ξ < 0, 96) = 1 − Fξ (0, 96) = 1 − Φ

0, 96 − 1 0, 05



  4 =1−Φ . 5

b)  P (ξ < 1, 05) = Fξ (1, 05) = Φ

1, 05 − 1 0, 05

 = Φ (1) .

c)  P (0, 98 < ξ < 1, 02) = Fξ (1, 02) − Fξ (0, 98) = Φ       2 2 2 =Φ −Φ − = 2Φ − 1. 5 5 5

1, 02 − 1 0, 05



 −Φ

40. a) A kontingencia-táblázat: ξ\η 1 2 3 Ebből p =

1 2 3 p p p p 4p p p p p

1 . 12

b) ξ és η peremeloszlása: P (ξ = 1) = 3p,

P (ξ = 2) = 6p,

P (ξ = 1) = 3p,

P (η = 1) = 3p,

P (η = 2) = 6p,

P (η = 3) = 3p.

c) Eξ = 1 · 3p + 2 · 6p + 3 · 3p = 24p = 2, Eη = 1 · 3p + 2 · 6p + 3 · 3p = 24p = 2,

d) Eξ 2 = 12 · 3p + 22 · 6p + 32 · 3p = 54p = 4, 5, Eη 2 = 12 · 3p + 22 · 6p + 32 · 3p = 54p = 4, 5,

0, 98 − 1 0, 05

 =

28

amiből D2 ξ = 4, 5 − 4 = 0, 5, D2 η = 4, 5 − 4 = 0, 5,

Dξ =

p

0, 5 p Dη = 0, 5

e) 1 1 1 , P (ξ · η = 2) = , P (ξ · η = 3) = , 12 6 6 1 1 1 P (ξ · η = 4) = , P (ξ · η = 6) = , P (ξ · η = 9) = . 3 6 12 f) Nem függetlenek. P (ξ · η = 1) =

g) Mivel cov(ξ, η) = E(ξη) − Eξ · Eη = (p + 4p + 6p + 16p + 12p + 9p) − 24p · 24p = 0, Mivel a kovariancia nulla, ezért a korrelációs együttható is nulla. h) ξ + η eloszlása 1 1 , P (ξ + η = 3) = , 12 6 1 1 P (ξ + η = 5) = , P (ξ + η = 6) = . 6 12 41. a) A kontingencia-táblázat: ξ\η 0 1 -1 4p p 1 4p 4 1 Ebből p = 10 . P (ξ + η = 2) =

1 P (ξ + η = 4) = , 2

b) ξ és η peremeloszlása: P (ξ = −1) = 8p, P (ξ = 1) = 2p, P (η = 0) = 8p, P (η = 1) = 2p. c) Nem függetlenek. d) Mivel cov(ξ, η) = E(ξη) − Eξ · Eη, ezért ki kell számolnunk ξ, η és ξη várható értékét! Eξ = −1 · 5p + 1 · 5p = 0, Eη = 0 · 8p + 1 · 2p = 2p, Eξ · η = −1 · p + 1 · p = 0. A kapott eredményeket felhasználva cov(ξ, η) = 0 − 0 · 2p = 0.

29

A korrelációs együtthatóhoz meg kell határoznunk ξ és η szórását. r p p 4 2 2 Dξ = 10p − 0 = 1, Dη = 2p − 4p = = 25 5 Ebből corr(ξ, η) =

cov(ξ, η) = 0. DξDη

e) ξ + η eloszlása 1 2 1 2 P (ξ + η = −1) = , P (ξ + η = 0) = , P (ξ + η = 1) = , P (ξ + η = 2) = . 5 10 5 10 42. a) Mivel Z1 Z1

 y=1 Z1  Z1  y2 1 1=c x + y dy dx = c + x dx = xy + dx = c 2 y=0 2 0 0 0 0     2 1 1 1 x 1 =c + = c, =c x+ 2 2 0 2 2 ezért c = 1. b) Mivel Z1

x2 + xy x + y dx = 2 

0

ezért

 1  y+ , fη (y) = 2 0,

Hasonlóan

 1  x+ , fξ (x) = 2 0,

x=1 = x=0

1 + y, 2

ha 0 < y < 1 egyébként.

ha 0 < x < 1 egyébként.

c) Zy Fη (y) =

Zy fη (t) dt =

−∞

0

 2 y 1 t t y2 + y t + dt = + = , 2 2 2 0 2

így az η-hoz tartozó perem-eloszlásfüggvény  2 y + y , ha y ≥ 0 Fη (y) = 2 0, ha y < 0.

(y > 0),

30

Hasonlóan  2 x + x , Fξ (x) = 2 0,

ha x > 0 ha x ≤ 0.

d) Ha x ≤ 0, y ≤ 0, akkor F (x, y) = 0. Ha x, y ∈]0, 1], akkor Zx Zy F (x, y) =

Zx Zy f (u, v) dv du =

−∞ −∞ Zx

=

uy +

0

0

y Zx  v2 uv + u + v dv du = du = 2 0 0

u2 y y 2 u y2 du = + 2 2 2 

0

x = 0

x2 y + xy 2 . 2

Ha x > 1, y ∈]0, 1], akkor Z1 Zy

y Z1  Z1 v2 y2 F (x, y) = u + v dv du = uv + du = uy + du = 2 0 2 0 0 0 0 1  2 y + y2 u y y2u + = . = 2 2 0 2 Ha y > 1, x ∈]0, 1], akkor x Z1 Z1  x2 u2 dv = xv + dv = F (x, y) = u + v du dv = uv + 2 0 2 0 0 0 0  2 1 2 2 v x xv x+x = + . = 2 2 0 2 Z1 Zx

Így az eloszlásfüggvény  0,       x2 y + xy 2   ,    2  2 F (x, y) = x + x ,   2    y + y2   ,   2    1,

ha x ≤ 0, vagy y ≤ 0 ha 0 < x ≤ 1, 0 < y ≤ 1 ha 0 < x ≤ 1 ha 0 < y ≤ 1 ha x > 1, és y > 1.

e)   3 1 Z1  Z1 1 1 x x2 7 2 Eξ = x x + dx = x + x dx = + = . 2 2 3 4 0 12 0

0

31

Hasonlóan   3 1 Z1  Z1 1 1 y y2 7 2 Eη = y y + dy = y + y dy = + = . 2 2 3 4 0 12 0

0

f) A szórásnégyzethez előbb a második momentumot kell kiszámolnunk:   4 1 Z1 Z1  1 2 x x3 5 1 3 2 2 dx = x + x dx = + = . Eξ = x x + 2 2 4 6 0 12 0

0

Ugyanígy Z1

2

Eη =

y

2



1 y+ 2

Z1



 4 1 1 2 y y3 5 y + y dy = + = . 2 4 6 0 12 3

dy =

0

0

Így 5 D ξ=D η= − 12 2

2



7 12

2 =

11 . 144

g) Z∞ Z∞ E(ξη) =

Z1 Z1 xyf (x, y) dy dx =

−∞ −∞

Z1 Z1 =

xy(x + y) dy dx = 0

2

Z1 

2

x y + xy dy dx = 0

0

0

x2 y 2 xy 3 + 2 3

0

Z1

y=1 dx = y=0

1 x2 x + dx = . 2 3 3

0

h) A kovariancia cov(ξ, η) = E(ξη) − EξEη =

1 7 7 1 − · =− , 3 12 12 144

a korrelációs együttható corr(ξ, η) =

1 cov(ξ, η) =− . DξDη 11

i) Nem függetlenek, mert fξ,η (x, y) 6= fξ (x)fη (y). 43. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva P (|ξ − Eξ| < ε) ≥ 1 − Jelen esetben Eξ = 2,

D2 ξ . ε2

Dξ = 1, így P (|ξ − 2| < 4) ≥ 1 −

1 15 = . 16 16

32

44. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva P (|ξ − Eξ| < ε) ≥ 1 − Jelen esetben Eξ = 3, 2,

D2 ξ . ε2

Dξ = 1, 6, így

P (|ξ − 3, 2| < 2, 4) ≥ 1 −

1, 62 5 = . 2 2, 4 9

45. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva P (|ξ − Eξ| ≥ ε) ≤ Jelen esetben Eξ = 3, 2,

D2 ξ . ε2

Dξ = 1, 6, így P (ξ > 10) = P (ξ − 5 > 5) ≤

4 . 25

Másrészt P (ξ ∈ [2, 8]) = P (|ξ − 5| ≤ 3) ≥ 1 −

4ξ 5 = . 2 3 9

46. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva P (|ξ − Eξ| < ε) ≥ 1 − Jelen esetben Eξ = 20,

D2 ξ . ε2

Dξ = 6, így

62 45 5 P (11 < ξ < 29) = P (|ξ − 20| < 9) ≥ 1 − 2 = = . 9 81 9 47. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva P (|ξ − Eξ| ≥ ε) ≤ Jelen esetben Eξ = 5,

D2 ξ . ε2

Dξ = 0, 5, így 0, 52 P (|ξ − 5| > 1) ≤ 2 = 0, 25. 1

48. Mivel ξ Poisson-eloszlású 80 paraméterrel, ezért Eξ = 80, D2 ξ = 80, így 80 1 4 P (60 < ξ < 100) = P (|ξ − 80| < 20) ≥ 1 − 2 = 1 − = . 20 5 5 49. a) P (48 < ξ < 52) = P (|ξ − 50| < 2) ≥ 1 −

2 1 1 = 1 − = . 22 2 2

b) A táblázatból P (48 < ξ < 52) = 0, 1 + 0, 15 + 0, 4 = 0, 65

33

50. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva P (|ξ − Eξ| < ε) ≥ 1 − Jelen esetben Eξ = 4,

D2 ξ . ε2

Dξ = 6, így

P (0 < ξ < 8) = P (|ξ − 4| < 4) ≥ 1 −

62 5 36 = − , = 1 − 42 16 4

így a Csebisev-egyenlőtlenség nem mond semmit. 51. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva P (|ξ − Eξ| < ε) ≥ 1 − Jelen esetben Eξ = 10,

D2 ξ . ε2

Dξ = 4, így

P (8 < ξ < 12) = P (|ξ − 10| < 2) ≥ 1 −

16 = 1 − 4 = −3, 4

így a Csebisev-egyenlőtlenség nem mond semmit. 52. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva P (|ξ − Eξ| < ε) ≥ 1 − Jelen esetben Eξ = 16,

D2 ξ . ε2

Dξ = 16, így

P (8 < ξ < 24) = P (|ξ − 16| < 8) ≥ 1 −

162 = 1 − 4 = −3, 82

így a Csebisev-egyenlőtlenség nem mond semmit. 53. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva P (|ξ − Eξ| < ε) ≥ 1 − Jelen esetben Eξ = 12,

D2 ξ . ε2

Dξ = 12, így

P (6 < ξ < 18) = P (|ξ − 12| < 6) ≥ 1 − így a Csebisev-egyenlőtlenség nem mond semmit.

122 = 1 − 4 = −3, 62

34

54. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva P (|ξ − Eξ| < ε) ≥ 1 − Jelen esetben Eξ = 20,

D2 ξ . ε2

Dξ = 10, így P (|ξ − 20| > 30) ≤

102 1 = . 2 30 9

Normális eloszlás esetén P (|ξ − 20| > 30) = 1 − P (|ξ − 20| < 30) = 1 − P (−10 < ξ < 50) =     50 − 30 −10 − 30 =1−Φ +Φ = 1 − Φ (2) + 1 − Φ(4) = 2 − Φ(2) + Φ(4) 10 10 Hasonlóan számolható ki exponenciális eloszlás esetén is a valószínűség. 55. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni:   k p·q P − p ≥ ε ≤ 2 . n ε ·n Jelen esetben p = 0, 4, q = 0, 6, ε = 0, 01, így   k 0, 4 · 0, 6 . P − 0, 4 ≥ 0, 01 ≤ n 0, 012 · n A szükséges kísérletek számát a 0, 4 · 0, 6 < 0, 02 0, 012 · n egyenlőtlenség megoldásával kapjuk. 56. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni:   k p·q P − p ≥ ε ≤ 2 . n ε ·n Jelen esetben p = 61 , q = 56 , ε = 0, 1, így   1 5 k 1 · P − ≥ 0, 1 ≤ 6 2 6 . n 6 0, 1 · n A szükséges kísérletek számát a 1 6

·

5 6

0, 12 · n egyenlőtlenség megoldásával kapjuk.

< 0, 05

35

57. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni:   k p·q P − p ≥ ε ≤ 2 . n ε ·n Jelen esetben p = 61 , q = 56 , ε = 0, 1, így   1 5 k 1 · P − ≥ 0, 1 ≤ 6 2 6 . n 6 0, 1 · n A szükséges kísérletek számát a 1 6

·

5 6

0, 12 · n

< 0, 02

egyenlőtlenség megoldásával kapjuk. 58. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni:   k p·q P − p ≥ ε ≤ 2 . n ε ·n Jelen esetben p = 21 , q = 12 , ε = 0, 01, így   1 1 k 1 · P − ≥ 0, 01 ≤ 2 22 . n 6 0, 01 · n A szükséges kísérletek számát a 1 2

· 21 < 0, 08 0, 012 · n egyenlőtlenség megoldásával kapjuk. 59. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni:   k p·q P − p ≥ ε ≤ 2 . n ε ·n Jelen esetben p = 0, 3, q = 0, 7, n = 500, így   k 0, 3 · 0, 7 P − 0, 3 ≥ ε ≤ 2 . 500 ε · 500 Az ε értéke az

0, 3 · 0, 7 < 0, 1 ε2 · 500

egyenlőtlenség megoldásával adódik.

36

60. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni:   k p·q P − p ≥ ε ≤ 2 . n ε ·n Jelen esetben p = 0, 4, q = 0, 6, n = 200, így   k 0, 4 · 0, 6 P − 0, 4 ≥ ε ≤ 2 . 200 ε · 200 Az ε értéke az

0, 4 · 0, 6 < 0, 1 ε2 · 200 egyenlőtlenség megoldásával adódik, mely után k értéke meghatározható, mely utána k értéke 58 ≤ k ≤ 102.

61. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni:   k p·q P − p ≥ ε ≤ 2 . n ε ·n Jelen esetben p = 0, 5, q = 0, 5, n = 100, így   k 0, 5 · 0, 5 P − 0, 5 ≥ ε ≤ 2 . 100 ε · 100 Az ε értéke az

0, 5 · 0, 5 < 0, 1 ε2 · 100 egyenlőtlenség megoldásával adódik, mely után k értéke meghatározható.

62. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni:   k p·q P − p ≤ ε ≥ 1 − 2 . n ε ·n Jelen esetben p = 0, 5, q = 0, 5, n = 100, így   k 0, 5 · 0, 5 P − 0, 5 ≤ ε ≥ 1 − 2 . 100 ε · 100 Másrészt

k 1 − ≤ ε, 100 2 melyből 50 − 100ε ≤ k ≤ 50 + 100ε. Az ε értékét megkapjuk az −ε ≤

50 + 100ε = 105 egyenletből. Így adódik, hogy ε = 0, 55. Tehát a keresett valószínűség 0, 5 · 0, 5 0, 552 · 100

37

63. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni:   k p·q P − p ≥ ε ≤ 2 . n ε ·n Jelen esetben p = 0, 5, q = 0, 5, ε = 0, 1, így   k 0, 5 · 0, 5 . P − 0, 5 ≥ ε ≤ n 0, 12 · n A szükséges dobások számát az n>

0, 25 , 0, 12 · 0, 05

egyenlőtlenség megoldásával kapjuk: n > 500. 64. A központi határeloszlás-tételt alkalmazva     ξ1 + ... + ξn − nm ξ1 + ... + ξn − m ≤ 0, 5 = P 0, 95 ≤ P ≤ 0, 5 = n n   √ √  √  ξ1 + ... + ξn − nm 0, 5 n n ξ + ... + ξ − nm n 1 n ≤ √ √ = P ≤ ≤ =P − , 2 4 4 2 n 2 n amiből  √  √  √  √  √  − n n n n n −Φ =Φ −1+Φ = 2Φ − 1, 0, 95 ≤ Φ 4 4 4 4 4 így √  1, 95 n 0, 975 = ≤Φ . 2 4 Ebből

√

n , 4 amiből kapjuk, hogy n ≥ 61, 5, tehát legalább 62 mérés szükséges. 2 A Csebisev-egyenlőtlenséggel is elvégezzük a becslést. A szórásnégyzet 2n .     ξ1 + ... + ξn ξ1 + ... + ξn P − m ≤ 0, 5 = 1 − P − m > 0, 5 ≥ n n 1, 96 ≤

4 16 ≥1− n2 =1− , 0, 5 n amiből n ≥ 320. 65. Ha ξi (i=1..100) független, Poisson-eloszlású valószínűségi változók 1-paraméterrel, akkor ξ1 + ... + ξ100 100-paraméterű, Poisson-eloszlású. P (ξ > 120) = 1 − P (ξ1 + ... + ξ100 ≤ 120) =   ξ1 + ... + ξ100 − 100 120 − 100 √ =1−P ≤ √ = 1 − Φ(2, 05) = 0, 0202. 100 100

38

66. Ha ξi (i=1..50) független, Poisson-eloszlású valószínűségi változók 1-paraméterrel, akkor ξ1 + ... + ξ50 50-paraméterű, Poisson-eloszlású. P (ξ > 60) = 1 − P (ξ1 + ... + ξ50 ≤ 60) =     ξ1 + ... + ξ50 − 50 60 − 50 10 √ =1−P ≤ √ =1−Φ √ . 50 50 50 67. Ha ξi (i=1..20) független valószínűségi változók, akkor P (ξ > 85) = 1 − P (ξ ≤ 85) = 1 − P (ξ1 + ... + ξ20 ≤ 85) =     5 · 20 ξ1 + ... + ξ20 − 20 · 80 85 · 20 − 80 · 20 √ √ √ =1−Φ = 0, 13136. =1−P ≤ 20 · 8 20 · 8 8 · 20 68.  0, 95 = P

 ξ1 + ... + ξ20 − 20 · 80 a − 80 · 20 − 80 · 20 √ √ ≤ = 20 · 8 20 · 8     a − 80 · 20 a − 80 · 20 √ √ =Φ −Φ − . 8 · 20 8 · 20

Legyen x=

a − 80 · 20 √ , 8 · 20

így 0, 95 = Φ(x) − Φ(−x) = 2Φ(x) − 1, amiből x = 1, 96. Tehát 1, 96 =

a − 20 · 80 √ . 8 · 20

Ebből a = 88, 77, tehát 71, 24 és 88, 77 közé esnek az átlagértékek. 69. 28 fős mintára van szükség. 70. A korábbiakhoz hasonlóan. 71. A Csebisev-egyenlőtlenséggel P (|ξ − Eξ| > 100) ≤

10000 · D2 ξ 1 = . 2 100 4

A központi határeloszlás-tétel segítségével: P (|ξ − Eξ| > 100) = 1 − P (|ξ − Eξ| < 100) = 1 − P (|ξ − 5000| < 100) =     5100 − 5000 4900 − 5000 = 1 − P (4900 < ξ < 5100) = 1 − Φ +Φ = 2 − 2Φ(2). 50 50

39

72. A Csebisev-egyenlőtlenséggel P (|ξ − Eξ| > 80) ≤

2000 · D2 ξ . 802

A központi határeloszlás-tétel segítségével: P (|ξ − Eξ| > 80) = 1 − P (|ξ − Eξ| < 80) = 1 − P (|ξ − 1000| < 80) =     920 − 1000 1080 − 1000 √ √ +Φ . = 1 − P (920 < ξ < 1080) = 1 − Φ 500 50 73. Legyen  2, ha az i-edik dobás 2,    4, ha az i-edik dobás 4, ξi =  6, ha az i-edik dobás 6,    0, ha az i-edik dobás 1,3,5. Ekkor 1 Eξi = (2 + 4 + 6) = 2, 6

1 16 D2 ξ = (4 + 16 + 36) − 4 = , 6 3

így 

1000 P

1000 P



  ξi − Eξi   200 100 i=1 i=1 = P (1800 ≤ ξ ≤ 2000) = P  ≤ s ≤r − r 1000 16 16  P 2   2000 · 2000 · D ξ i 3 3 i=1         100  − Φ  r −200  . = Φ   r 16 16  200 · 200 · 3 3 74. a) Az empirikus eloszlásfüggvény   0, ha x ≤ 42    1  , ha 42 < x ≤ 45   3   1 , ha 45 < x ≤ 48 Fξ (x) = 22  , ha 48 < x ≤ 50  3   5  , ha 50 < x ≤ 52   6  1, ha x > 52. b) Az átlag x=

2 · 42 + 45 + 48 + 50 + 52 = 46, 5. 6

A szórásnégyzet 2(46, 6 − 42)2 + (46, 5 − 45)2 + (46, 5 − 48)2 + (46, 5 − 50)2 + (46, 5 − 52)2 σ2 = , 6

40

a korrigált szórásnégyzet σ2 =

2(46, 6 − 42)2 + (46, 5 − 45)2 + (46, 5 − 48)2 + (46, 5 − 50)2 + (46, 5 − 52)2 . 5

c) A keresett konfidencia-intervallum s? s? x − uα √n < m < x + uα √n . n n 75. A likelihood függvény   n k L(n) = p (1 − p)n−k . k Mivel

 L(n + 1) =

ezért

 L(n + 1) = L(n)

Mivel

 n+1 k p (1 − p)n+1−k , k

 n+1 (1 − p) n+1 k   = (1 − p). n n−k+1 k n+1 (1 − p) > 1 n−k+1

pontosan akkor teljesül, ha n < kp − 1. Így n maximum likelihood becslése     k 10 n b= −1 = −1 , p 0, 05 így 199 vagy 200 a jó megoldás. 76. A likelihood függvény L(λ) =

5 Y

P (ξ = xk ) =

k=1

λ4 −λ λ3 −λ λ7 −λ λ2 −λ λ4 −λ λ20 e · e · e · e · e = e−5λ . 4! 3! 7! 2! 4! 4!3!7!2!4!

A loglikelihood függvény ln L(λ) = 20 ln λ − ln(4!3!7!2!4!) − 5λ. Az előbbi függvény λ-szerinti deriváltja ∂ ln L(λ) 20 = − 5, ∂λ λ b = 4. aminek a zérushelye λ

41

77. A likelihood függvény L(p) = p(1 − p)k−1 . A loglikelihood függvény ln L(p) = ln p + (k − 1) ln(1 − p), melynek a p-szerinti deriváltja ∂ ln L(p) 1 1 = − (k − 1), ∂p p 1−p melynek zérushelye pb = k1 . 78. A likelihood függvény L(λ) =

6 Y

λe−λxi = λ6 · e−311λ .

i=1

A loglikelihood függvény ln L(λ) = 6 ln λ − 311λ, melynek parciális deriváltja ∂ ln L(λ) 6 = − 311, ∂λ λ b= melynek zérushelye λ

6 . 311