Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as III. mat. tan´aroknak 1. gyakorlat 1. Minek van nagyobb es´elye? Annak, hogy egy szab´alyos kock´at h´aromszor feldobva az eredm´eny 11, vagy annak, hogy az eredm´eny 12? 2. Egy urn´aban 3 lap van, az egyikre 1, a m´asikra 2, a harmadikra 3 van r´a´ırva; egyet kih´ uzunk ´es azt visszatessz¨ uk. N´egyszer ism´etelve ezt, mekkora a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy a kih´ uzott sz´amok ¨osszege p´aros? 3. Van h´arom szab´ alyos kock´ ank, melyek k¨oz¨ ul az els˝on a 444441, a m´asodikon a 222555, a harmadikon pedig a 333336 sz´ amok vannak. Az A j´ at´ekos v´alaszt egy kock´at, majd a B egy m´asikat. Ezut´an feldobj´ak kock´aikat, ´es az nyer, aki nagyobbat dobott. Kinek el˝ony¨os ez a j´at´ek? 4. J´anos ´es G´ abor a k¨ ovetkez˝ o j´ at´ekot j´ atssz´ak: J´anos kih´ uz egy lapot a 32 lapos magyar k´arty´ab´ol. G´abornak a kih´ uzott lap sz´ın´et kell megtippelnie. Ha eltal´alja, nyer 2 forintot J´anost´ol, ha nem, ad neki 1 forintot. Miel˝ott tippelne, megnevezhet n´egy lapot, ´es J´anosnak meg kell mondania, hogy a kih´ uzott lap k¨ozt¨ uk van-e. Hogyan v´ alassza ki G´ abor a n´egy lapot, hogy v´arhat´o nyerem´enye a lehet˝o legnagyobb legyen? Igazs´agos-e a j´ at´ek? 5. n-szer dobunk egy kock´ aval, mennyi az es´elye annak, hogy a dobott sz´amok ¨osszege oszthat´o hattal? 6. Mekkora a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy kock´ aval hatszor dobva mind a hat sz´am el˝ofordul? Mekkora annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy tizenk´etszer dobva mindegyik sz´am k´etszer fordul el˝o? 7. Kov´acs´ek vacsor´ at adnak, amelyen vel¨ uk egy¨ utt 5 h´azasp´ar vesz r´eszt. Egy 10 szem´elyes kerek asztal k¨or¨ ul foglalnak helyet v´eletlenszer˝ uen. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a Kov´acs h´azasp´ar egym´as mell´e ker¨ ul? Mennyi a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy az asztal k¨or¨ ul a f´erfiak ´es a n˝ok felv´altva u ¨lnek? 8. Az 52 lapos k´ artyapaklit v´eletlenszer˝ uen sorbarakjuk. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy nem ker¨ ul egym´as mell´e k´et (vagy t¨ obb) ´ asz? 9. Egy darab lott´ oszelv´ennyel j´ atszva mennyi az es´elye annak, hogy telital´alatunk lesz, n´egy, h´arom ill. k´et tal´alatot ´er¨ unk el? 10. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy h´eten a lott´on kih´ uzott ¨ot sz´am k¨ozti p´aronk´enti k¨ ul¨onbs´egek mindegyike legal´ abb ¨ ot? 11. Mi a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy a kih´ uzott lott´osz´amok mindegyike p´aros? Hogy t¨obb k¨ozt¨ uk a p´aros mint a p´aratlan? Hogy a kih´ uzott sz´amok a h´ uz´as sorrendj´eben n¨ovekv˝oek? 12. Mutassuk meg, hogy tetsz˝ oleges A, B esem´enyekre |P (A ∩ B) − P (A)P (B)| ≤ 1/4. 13. Hat´arozzuk meg, hogy milyen A, B esem´enyekre teljes¨ ulhetnek a k¨ovetkez˝ok: A ∪ B = A, A ∩ B = A,A ∪ B = A ∩ B, A ∪ (B ∩ A) = B, A ∪ B = B ∩ C. 14. Bizony´ıtsuk be, hogy tetsz˝ oleges k´et esem´enyre P 2 (A ∪ B) + P 2 (A ∩ B) = P 2 (A) + P 2 (B) + 2P (A ∩ B)P (A ∩ B). 15. Mutassuk meg, hogy tetsz˝ oleges A, B, C, D, E esem´enyekre P (A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E) ≥ P (A) + P (B) + P (C) + P (D) + P (E) − 4. Hogyan ´altal´ anos´ıthat´ o ez az ¨ osszef¨ ugg´es 5 helyett n esem´enyre?
Val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as III. mat. tan´aroknak 2. gyakorlat 1. Pistinek mind a 15 bar´atja a nyolcf´ele kuty´as b´elyegsorozat egyik´et k¨ uldi sz¨ ulet´esnapj´ara aj´and´ekba (egym´ast´ol f¨ ugggetlen¨ ul, b´armelyiket 1/8-ad val´osz´ın˝ us´eggel v´alasztj´ak). (a) Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy Pisti mind a 8 sorozatb´ol kap? (b) Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy csak az utols´o bor´ıt´ek tartalm´aval egy¨ utt v´alik teljess´e a gy˝ ujtem´enye? 2. Egy adventi napt´arnak 24 ajt´ocsk´aja van. Mindegyik ajt´ocska m¨og´e 10 f´ele ´edess´eg valamelyike van elrejtve (v´eletlenszer˝ uen). ´Irjuk fel annak a val´osz´ın˝ us´eg´et, hogy az eg´esz napt´arban pontosan m-f´ele ´edess´eg fordul el˝o (m = 1, 2, . . . , 10)! 3. Kulcscsom´omon kilenc kulcs van. Minden reggel u ´gy nyitom ki a szob´am ajtaj´at, hogy egym´as ut´an tal´alomra pr´ob´algatom a kulcsokat, azaz minden k´ıs´erlethez 1/9 - 1/9 val´osz´ın˝ us´eggel v´alasztok minden egyes kulcsot. Ma reggel a 20. k´ıs´erletre ny´ılt ki az ajt´o. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy k¨ozben minden kulcsot legal´abb egyszer kipr´ob´altam (a kilenc kulcs k¨oz¨ ul csak egy nyitja az ajt´ot)? 4. A1 , A2 , . . . , An tetsz˝oleges esem´enyek, Sk = i1
ahol A ◦ B a k´et esem´eny szimmetrikus differenci´aj´at jel¨oli, vagyis az (A \ B) ∪ (B \ A) esem´enyt. 5. Mutassuk meg, hogy tetsz˝oleges A1 , A2 , . . . , An esem´enyekre 2k X
(−1)j−1 Sj ≤ P (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ) ≤
j=1
2k+1 X
(−1)j−1 Sj ,
j=1
ha 2k ill. 2k + 1 ≤ n. 6. Egy 20 tag´ u t´arsas´ag tagjai kih´ uzz´ak egym´as nev´et egy kalapb´ol. (a) Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy senki sem h´ uzza saj´at mag´at? (b) Mekkora a val´osz´ın˝ us´ege, hogy pontosan k olyan p´ar van, akik egym´ast h´ uzz´ak? 7. Legyenek A1 , . . . , An esem´enyek. Jel¨olje Bs azt az esem´enyt amikor pontosan s db. k¨ovetkezik be az A1 , . . . , An esem´enyek k¨oz¨ ul, Cs pedig azt amikor legal´abb s db. Mutassuk meg, hogy P (Bs ) =
n−s X j=0
n−s X j+s j+s−1 Sj+s ´es P (Cs ) = (−1)j Sj+s j j j=0
!
(−1)j
!
Val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as III. mat. tan´aroknak 3. gyakorlat 1. Dobjunk fel egy kock´at k´etszer, ´es tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o esem´enyeket. A : az els˝o dob´as p´aros, B : a m´asodik dob´as p´aratlan, C : a k´et dob´as ¨osszege p´aros. F¨ uggetlenek-e ezek az esem´enyek? 2. Egy dobozban k´et selejtes ´es n´egy j´o csavar van. Visszatev´es n´elk¨ ul vesz¨ unk ki n´egy csavart. A: az els˝onek kih´ uzott csavar j´o, B: az utols´onak kih´ uzott csavar j´o. F¨ uggetlen-e ez a k´et esem´eny? 3. Egy k gyerekes csal´ad (k ≥ 1) eset´eben tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o esem´enyeket: A(k): a csal´adban legfeljebb egy l´any van; B(k): minden gyerek egyforma nem˝ u; C(k): legal´abb egy gyerek fi´ u. (a) Milyen k-ra lesz A(k) ´es B(k) f¨ uggetlen? (b) Milyen k-ra lesz C(k) ´es B(k) f¨ uggetlen? 4. J´anos b´acsi 1/2 val´osz´ın˝ us´eggel otthon van, 1/2 val´osz´ın˝ us´eggel pedig kocsm´aban. Ha kocsm´aban van, akkor egyforma val´osz´ın˝ us´eggel van a falu ¨ot kocsm´aj´anak b´armelyik´eben. Tegy¨ uk fel, hogy az els˝o n´egy kocsm´aban m´ar kerest¨ uk J´anos b´acsit, de nem tal´altuk. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy az ¨ot¨odik kocsm´aban van? 5. Legyen X az a val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, mely azt adja meg, hogy n kockadob´asb´ol mi volt a legnagyobb sz´am. Adjuk meg X eloszl´as´at! 6. Van egy csomag vir´agmagom, amelyr˝ol azt tudom, hogy el¨ ultetve ˝oket, mindegyik egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul 0, 1 val´osz´ın˝ us´eggel kikel, 0, 9 val´osz´ın˝ us´eggel pedig nem. H´any magot u ¨ltessek a cser´epbe, ha azt szeretn´em, hogy pontosan egy vir´agmag keljen ki? 7. Egy szab´alytalan ´erm´en a fej val´osz´ın˝ us´ege p. Ezt az ´erm´et dob´alva, ´ırjuk fel az els˝o, illetve a m´asodik futam hossz´anak az eloszl´as´at! 8. Minden nap 1/3 val´osz´ın˝ us´eggel kapunk levelet, 2/3 val´osz´ın˝ us´eggel nem. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a 15. napon fogjuk megkapni az ¨ot¨odik levelet? 9. V´eletlenorsz´agban a hal´alra´ıt´eltek kegyelmi k´erv´eny helyett sorsot h´ uznak. K´et urn´at haszn´alnak erre, mindegyikben 25 feh´er ´es 25 fekete goly´o van. Az el´ıt´elt szem´et bek¨otik, ´ıgy v´alaszt egy urn´at majd abb´ol h´ uz egy goly´ot. Ha az feh´er, kegyelmet kap. Egy el´ıt´elt utols´o k´ıv´ans´ag´aban azt k´erte, hogy a goly´okat tetsz´es szerint ´atrendezhesse az urn´ak k¨oz¨ott. K´er´es´et teljes´ıtett´ek. Hogyan c´elszer˝ u ´atrendezni a goly´okat? 10. Eszter ´es Anna h´arom ´erm´evel j´atszanak. Felv´altva dobj´ak fel a n´aluk l´ev˝o ¨osszes ´erm´et, ´es a fejre esett ´erm´eket ´atadj´ak t´arsuknak. Az nyer, akinek el˝osz¨or elfogynak az ´erm´ei. Mekkora val´osz´ın˝ us´eggel nyer Eszter, ha eredetileg n´ala van az ¨osszes ´erme, ´es ˝o kezd?
Val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as III. mat. tan´aroknak 4. gyakorlat 1. D¨onts¨ uk el, hogy a k¨ovetkez˝o v´eletlen jelens´egek le´ır´asa melyik eloszl´ashoz vezet az al´abbiak k¨oz¨ ul: binomi´alis, hipergeometriai, geometriai, negat´ıv binomi´alis, Poisson! (a) Mi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy 20 f˝os ´evfolyamb´ol legal´abb h´arman sz¨ ulettek decemberben? (b) Egy k¨onyvben h´any sajt´ohiba van a legnagyobb val´osz´ın˝ us´eggel, ha tudjuk, hogy az ´atlagos hibasz´am 25? (c) Minden h´eten lott´ozunk. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy legal´abb 10 hetet kell v´arnunk az els˝o tal´alatunkra? (d) Egy 35 f˝os oszt´alyba 20 fi´ u ´es 15 l´any j´ar. Tal´alomra h´ıvunk ki 4 felel˝ot. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy 2 fi´ u ´es 2 l´any lesz a felel˝ok k¨oz¨ott? (e) Minden m¨ uzlisdobozban 1/10 val´osz´ın˝ us´eggel tal´alunk nyerem´enykupont, 9/10 val´osz´ın˝ us´eggel nem. 5 kupont be lehet v´altani egy receptk¨onyvre. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy pont a 20. doboz kibont´asa ut´an gy˝ ulik ¨ossze egy receptk¨onyvnyi kuponunk? (f) Egy alkatr´eszhalmazb´ol 6 elem˝ u mint´at vett¨ unk visszatev´essel. Annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a minta 3 selejtet tartalmaz, 4/25. Mekkora a selejtar´any? 2. Egy dobozban 9 c´edula van, rajtuk a 11, 12, 12, 22, 23, 23, 31, 31, 33 sz´amok. Tal´alomra kih´ uzunk egy c´edul´at, X jelentse az els˝o, Y a m´asodik sz´amjegyet. Mutassuk meg, hogy (a) X ´es Y nem f¨ uggetlenek, (b) E(XY ) = E(X)E(Y ). 3. Egy aut´otelepen 10 aut´o van, melyek k¨oz¨ ul 3 motor- 2 pedig f´ekhib´as. 2 aut´ot kiv´alasztva X jel¨oli a motor-, Y pedig a f´ekhib´asak sz´am´at. Adjuk meg X ´es Y egy¨ uttes eloszl´as´at. 4. K´et tetra´eder alak´ u ”kock´at” feldobunk (a lapok 1-t˝ol 4-ig vannak megsz´amozva) . Jel¨olje X a kisebb, Y pedig a nagyobb dob´as eredm´eny´et. Adjuk meg X ´es Y egy¨ uttes eloszl´as´at ´es a peremeloszl´asokat! Sz´am´ıtsuk ki X ´es Y v´arhat´o ´ert´ek´et! 5. Egy szab´alyos ´erm´evel addig dobunk am´ıg k´et azonos eredm´enyt nem kapunk egym´as ut´an. Mennyi az ehhez sz¨ uks´eges dob´asok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke? ¨ szab´alyos kock´at feldobunk, ezek egy r´esz´evel (vagy ak´ar mindegyikkel) u 6. Ot ´jra dobhatunk, ´ majd ezek k¨oz¨ ul egy u ´jabb csoporttal m´eg egyszer dobhatunk. Igy minden egyes kock´aval egyszer, k´etszer vagy h´aromszor dobtunk. Minden kock´an´al az utols´o dobott ´ert´ek sz´am´ıt. Ezek ¨osszeg´et X jel¨oli. Milyen strat´egia mellett lesz X v´arhat´o ´ert´eke maxim´alis ´es mennyi ez a v´arhat´o ´ert´ek?
Val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as III. mat. tan´aroknak 5. gyakorlat 1. Egy szab´alyos ´erm´evel addig dobunk am´ıg k´et azonos eredm´enyt nem kapunk egym´as ut´an. Mennyi az ehhez sz¨ uks´eges dob´asok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke? 2. Egy szab´alyos kock´aval addig dobunk, am´ıg k´et szomsz´edos dob´as k¨ ul¨onbs´eg´enek abszol´ ut ´ ´ert´eke legal´abb 3 nem lesz (pl. 12441 j´o). Atlagosan h´anyat kell dobnunk? 3. Egy dobozban az 1,2,4,4 felirat´ u n´egy c´edula van. Visszatev´essel h´ uzunk, am´ıg 4-es nem ker¨ ul a kez¨ unkbe. Hat´arozzuk meg a kih´ uzott sz´amok ¨osszeg´enek illetve szorzat´anak v´arhat´o ´ert´ek´et! 4. A k¨ovetkez˝o feladatokban haszn´aljuk a v´arhat´o ´ert´ek linearit´as´at! (a) Tal´alomra v´alasztunk egy h´aromjegy˝ u sz´amot. Mennyi a sz´amjegyek ¨osszeg´enek v´arhat´o ´ert´eke? (b) Levelet ´ırtunk t´ız bar´atunknak ´es a leveleket a megc´ımzett bor´ıt´ekokba v´eletlenszer˝ uen tett¨ uk bele. V´arhat´oan h´any lev´el ker¨ ul ahhoz, akinek sz´antuk? (c) V´arhat´oan h´any lesz h´arommal oszthat´o a lott´o nyer˝osz´amai k¨oz¨ ul? (d) Egy kalapban 10 piros ´es 6 k´ek goly´o van. Visszatev´es n´elk¨ ul kih´ uzunk n´egy goly´ot. ´ ´ Atlagosan h´any pirosat h´ uzunk? Es ha visszatev´essel h´ uzunk? 5. A fogorvosn´al egy t¨om´es ´atlagosan 15, egy h´ uz´as ´atlagosan 3 percet vesz ig´enybe. A Pista b´acsi el˝ott v´arakoz´ok mindegyik´enek 1/5 val´osz´ın˝ us´eggel kih´ uzz´ak, 4/5 val´osz´ın˝ us´eggel bet¨omik a fog´at. A v´arakoz´ok sz´ama Poisson(6) eloszl´as´ u. V´arhat´oan mennyi ideig kell ´ ha a v´arakoz´ok sz´ama Geo(1/6) eloszl´as´ Pista b´acsinak v´arakoznia? Es u? ´ 6. Szab´alyos ´erm´evel addig dobunk, am´ıg az els˝o FFI sorozat meg nem jelenik. Atlagosan h´any dob´asra van sz¨ uks´eg? 7. Oldjuk meg az al´abbi feladatokat a nevezetes eloszl´asok seg´ıts´eg´evel! (a) P´eter egy 8 fi´okos ´ır´oasztal valamelyik fi´okj´aba rakta az u ´tlevel´et. Az utaz´as el˝otti kapkod´asban keresg´elni kezdi. Tal´alomra h´ uzogatja ki a fi´okokat de csak 3/4 val´osz´ın˝ us´eggel veszi ´eszre az u ´tlevel´et, ha az a kih´ uzott fi´okban van. V´arhat´oan hanyadik k´ıs´erletre fogja megtal´alni az iratot? (b) Egy rossz, de n´eha m˝ uk¨od˝o kapcsol´o ´atlagosan a 12. pr´ob´alkoz´asra gy´ ujtja fel a villanyt. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a harmadik kis´erletre gyullad fel a villany? (c) Egy sz¨ovegben ´atlagosan 15 hiba van. A szerkeszt˝o ´atolvassa, ´es minden hib´at 4/5 val´osz´ın˝ us´eggel ´eszrevesz ´es kijav´ıt, 1/5 val´osz´ın˝ us´eggel pedig nem veszi ´eszre a hib´at. ´ Atlagosan h´any hiba marad a sz¨ovegben? 8. Banach professzor szenved´elyes doh´anyos volt; hogy ne kelljen sokat keresg´elnie gyufa ut´an, mindig k´et doboz gyuf´at tartott mag´an´al; egyet a jobb zseb´eben; egyet pedig a bal zseb´eben. Amikor r´a akart gy´ ujtani, hol a bal, hol pedig a jobb zseb´eb˝ol vette el˝o a gyuf´at, 1/2, 1/2 val´osz´ın˝ us´eggel. Egyik nap egy–egy tele doboz gyuf´at tett a zsebeibe, mindkett˝oben n sz´al gyufa volt. El˝obb-ut´obb persze valamelyik doboz ki¨ ur¨ ult. Jel¨olje X a m´asik dobozban megmaradt gyuf´ak sz´am´at. Pk = P (X = k) =?, milyen k-ra lesz Pk maxim´alis, E(X) =?
Val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as III. mat. tan´aroknak 6. gyakorlat 1. Legyenek X1 ´es X2 f¨ uggetlen binomi´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, X1 1/6 param´eter˝ u ´es 10 rend˝ u, X2 1/2 param´eter˝ u ´es 5 rend˝ u. Sz´am´ıtsuk ki X1 + X1 X2 v´arhat´o ´ert´ek´et ´es sz´or´as´at! 2. Legyenek X1 , X2 , . . . , Xn f¨ uggetlen azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, m´egpedig Xi egyenletes eloszl´as´ u a 0,1,2 sz´amokon. Hat´arozzuk meg az Y = X1 ·X2 . . .·Xn val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at, v´arhat´o ´ert´ek´et ´es sz´or´as´at! 3. Van h´arom dobozunk. Az els˝oben 9 feh´er, 1 piros, a m´asodikban 5 feh´er, 5 piros, a harmadikban pedig 2 feh´er ´es 8 piros goly´o van. 10-szer h´ uzunk goly´ot u ´gy, hogy minden alkalommal (a kor´abbiakt´ol f¨ uggetlen¨ ul) u ´jra v´alasztunk (tal´alomra) egy dobozt ´es abb´ol h´ uzunk, majd visszatessz¨ uk. Mennyi a kih´ uzott feh´er goly´ok sz´am´anak a v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asn´egyzete? 4. Egy kalapban 10 piros ´es 6 k´ek goly´o van. Visszatev´es n´elk¨ ul kih´ uzunk n´egy goly´ot. Mennyi a h´ uzott piros goly´ok sz´am´anak sz´or´asa? Kisebb vagy nagyobb lesz a sz´or´as, ha visszatev´essel h´ uzunk? 5. Legyen π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} egy permut´aci´o. π inverzi´oinak sz´ama azon i < j p´arok sz´ama amelyekre π(i) > π(j), azaz azon p´arok sz´ama amelyek sorrendj´et π megford´ıtja. Jel¨olje X az inverzi´ok sz´am´at egy v´eletlen permut´aci´oban! E(X) =?, D2 (X) =? 6. Egy dobozban 3 c´edula van, rajtuk az 1, 1/2, 1/4 sz´amok. Addig h´ uzunk visszatev´essel a dobozb´ol, am´ıg 1-est nem kapunk. Hat´arozzuk meg a h´ uzott sz´amok szorzat´anak v´arhat´o ´ert´ek´et ´es sz´or´asn´egyzet´et! 7. Kock´aval n-szer dobunk. Jel¨olje X a dobott hatosok, Y pedig a dobott p´aratlan sz´amok sz´am´at. E(XY ) =? 8. Egy harminck´et lapos magyar k´artyacsomagb´ol a 4 ´asz ´es a 4 kir´aly van a kez¨ unkben. Ebb˝ol v´alasztunk 2 lapot visszatev´es n´elk¨ ul. Jel¨olje X a kapott pirosak, Y pedig a kir´alyok sz´am´at. Sz´am´ıtsuk ki X ´es Y v´arhat´o ´ert´ek´et, sz´or´as´at ´es az R(X, Y ) korrel´aci´os egy¨ utthat´ot. Mennyi lenne a korrel´aci´os egy¨ utthat´o, ha visszatev´essel h´ uzn´ank?
Val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as III. mat. tan´aroknak 7. gyakorlat 1. Egy szab´alyos dob´okock´aval dobunk. Jel¨olje X a dobott sz´amot, Y pedig azt, hogy a dobott sz´am h´arommal osztva milyen marad´ekot ad. Sz´amoljuk ki X ´es Y korrel´aci´os egy¨ utthat´oj´at! 2. Egy t´etova hangya b´okl´aszik a sz´amegyenesen. Minden l´ep´essel egy mmt tesz meg, de minden l´ep´ese el˝ott u ´jragondolja, merre menjen tov´abb. 1/2 val´osz´ın˝ us´eggel l´ep jobbra, 1/2 val´osz´ın˝ us´eggel pedig balra, a kor´abbi l´ep´esekt˝ol f¨ uggetlen¨ ul. Tudjuk, hogy hangy´ank 2n l´ep´es ut´an ism´et az orig´oban van. Mi annak az es´elye, hogy a hangya bolyong´asa sor´an el´erte a P pontot? P az orig´ot´ol jobbra, att´ol k mm-re tal´alhat´o. ¨ 3. Egy mozijegy 500 forintba ker¨ ul. Osszesen k ember ´all sorban mozijegy´ert. K¨oz¨ ul¨ uk l van aki 500-assal fizet, a t¨obbieknek 1000Ft-osuk van. Mi az es´elye, hogy a jegyelad´as sor´an nincs fennakad´as, ha kezdetben a kassza u ¨res, ´es a v´as´arl´ok b´armely sorrendje ugyanolyan val´osz´ın˝ u? 4. Egy szab´alytalan ´erm´evel addig dobunk, am´ıg el˝osz¨or fordul el˝o, hogy a dobott fejek sz´ama pontosan kett˝ovel haladja meg a dobott ´ır´asok sz´am´at. Sz´am´ıtsuk ki a sz¨ uks´eges dob´assz´am eloszl´as´at, ha a fejdob´as val´osz´ın˝ us´ege p. 5. Egy szab´alyos ´erm´et addig dob´alunk, m´ıg vagy k´et egym´as ut´ani fejet, vagy h´arom egym´as ut´ani ´ır´ast tal´alunk. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a fejeket kapjuk meg el˝obb? 6. Becs¨ ulj¨ uk meg annak a val´osz´ın˝ us´eg´et Markov-, illetve Csebisev-egyenl˝otlens´eggel, hogy 100 kockadob´as ¨osszege t¨obb, mint 400. 7. Legyen Xn a fejek sz´ama n p´enzdob´asb´ol. Milyen nagys´agrend˝ u becsl´es ad´odik a P (Xn /n > 0.6) val´osz´ın˝ us´egre a Csebisev egyenl˝otlens´egb˝ol, ill. abb´ol, hogy P (Xn > 0.6n) = P (3/2)Xn > (3/2)0.6n ? 8. X-r˝ol ´es Y -r´ol a k¨ovetkez˝ √ oket tudjuk: R(X, Y ) = −0, 75, EX = 4, EY = 6, D(X) = D(Y ) = 1/ 2. Igaz-e, hogy P (8 < X + Y < 12) > 15/16? 9. A v´eletlensz´am–t´abl´azatb´ol (amelyben 0-t´ol 9-ig szerepelnek sz´amjegyek) kiv´alasztjuk azokat a sz´amokat, amelyek h´arommal oszthat´ok, mindad-
dig, am´ıg 100 ilyen sz´amot nem tal´alunk. Becs¨ ulj¨ uk annak a val´osz´ın˝ us´eg´et Markov-, illetve Csebisev-egyenl˝otlens´eggel, hogy ehhez legal´abb 1000 sz´amot tartalmaz´o t´abl´azatra van sz¨ uks´eg¨ unk!
