¨ ´ ´ CENTRALIS ´ ´ ´ ´ A TOBBV ALTOZ OS HATARELOSZL AST ETEL A centr´ alis hat´areloszl´as sok f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o¨ osszeg´enek az aszimptotikus eloszl´ as´at ´ırja le. Bizonyos k´erd´esek vizsg´alat´aban sz¨ uks´eg¨ unk van ennek az eredm´enynek egy olyan ´ altal´ anosabb v´ altozat´ ara, amely f¨ uggetlen, vektor ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ok o¨sszeg´enek az aszimptotikus eloszl´ as´at adja meg. A centr´ alis hat´areloszl´ast´etelnek l´etezik ilyen ´ altal´ anos´ıt´ asa, ´es ezt h´ıvj´ ak t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelnek. K¨ ovetkez˝ o t´em´ank ennek az eredm´enynek a t´argyal´ asa. A t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel meg´ert´ese ´erdek´eben el˝ osz¨ or meg kell ismern¨ unk a t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as definici´ oj´at ´es annak n´eh´ any fontos tulajdons´ag´ at. Ugyanis a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelekben a t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ asok jelennek meg, mint hat´areloszl´asok. Annak ´erdek´eben, hogy ezeket az eloszl´ asokat j´ ol meg´erts¨ uk, be kell vezetni a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok v´ arhat´ o ´ert´ek´enek ´es sz´or´ asn´egyzet´enek term´eszetes megfelel˝ oj´et vektor ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eset´eben. Ez a a vektor ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok v´ arhat´ o ´ert´ek´enek ´es kovariancia m´ atrix´anak a bevezet´es´et jelenti. Ezenk´ıv¨ ul fel kell eleven´ıteni a line´aris algebra n´eh´ any eredm´eny´enek az ismeret´et. Miel˝ott a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel t´argyal´ as´at elkezden´enk, l´assunk k´et olyan probl´em´at, amelyek vizsg´alat´aban ez az eredm´eny hasznosnak bizonyult. a.) Tekints¨ unk egy dob´okock´ at. Feldobjuk sokszor, fel´ırjuk a dob´asok eredm´eny´et, ´es ennek alapj´ an akarjuk eld¨onteni, hogy a dob´okocka szab´alyos-e. Term´eszetes azt v´ arni, hogy a dob´okocka akkor szab´alyos, ha mindegyik dob´aseredm´eny el˝ ofordul´as´anak a sz´ama a dob´assz´ amok egyhatoda plusz egy kis elt´er´es. De mekkora elt´er´eseket tekinthet¨ unk kicsinek? Ha csak azt n´ezz¨ uk, hogy mennyi annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy p´eld´aul a hatos dob´asok sz´am´anak elt´er´ese a dob´asok sz´am´anak egyhatod´at´ ol kisebb mint egy adott sz´am, akkor a centr´ alis hat´areloszl´ ast´etel pontos le´ır´ast ad erre a probl´em´ara. De ha a k¨ ul¨ onb¨oz˝ o dob´aseredm´enyek egy¨ uttes viselked´es´ere vagyunk kiv´ancsiak, akkor u ´j eredm´enyre van sz¨ uks´eg¨ unk. as´ u val´ ob.) Legyenek ξ1 , . . . , ξn f¨ uggetlen, a − 12 , 21 intervallumban egyenletes eloszl´ n P sz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok. Ekkor a ξj ¨ osszeg normaliz´altj´ anak az eloszl´ as´ara j´ o le´ır´ast j=1
ad a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel. Hasonl´ o´ all´ıt´ ast mondhatunk a
n P
j=1
maliz´altj´ anak az eloszl´ as´ara. De tudunk-e hasonl´o eredm´enyt adni a
ξj2 o¨sszeg nor-
n P
j=1
osszegek normaliz´altj´ ¨ anak az egy¨ uttes eloszl´ as´ara?
ξj ´es
n P
j=1
ξj2
Annak ´erdek´eben, hogy l´assuk, hogyan lehet ezeket a k´erd´eseket vizsg´alni a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel alkalmas t¨obb-dimenzi´ os megfelel˝ oj´enek, azaz a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelnek a seg´ıts´eg´evel bevezetek be n´eh´ any jel¨ol´est. (j) (j) uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u kLegyenek ξ (j) = ξ1 , . . . , ξk , j = 1, 2, . . . , f¨
dimenzi´ os val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, (v´eletlen vektorok), ahol r¨ ogz´ıtett j indexre semmilyen (j) (j) osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok (f¨ uggetlens´eg jelleg˝ u) felt´etelt nem tesz¨ unk fel az ξ1 , . . . , ξk val´ 1
(j) 2
egy¨ uttes eloszl´ as´ara. Tegy¨ uk fel tov´ abb´a, hogy Eξs < ∞ minden 1 ≤ ! s ≤ k indexre. n n n P P P (j) (j) Tekints¨ uk az Sn = (Sn,1 , . . . , Sn,k ) = ξ (j) = ξ1 , . . . , ξk , n = 1, 2, . . . , j=1
j=1
j=1
v´eletlen o¨sszegeket. Be akarjuk l´atni, hogy az Sn v´eletlen vektorok alkalmas normaliz´altj´ anak l´etezik hat´areloszl´asa, ´es a hat´areloszl´ast pontosan le akarjuk ´ırni. L´ atni fogjuk, hogy ez lehets´eges. A hat´areloszl´ast´etelben megjelen˝o hat´areloszl´asokat fogjuk t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ asoknak nevezni. A teljess´eg kedv´e´ert f¨ olid´ezem, hogy itt ´es a tov´ abbiakban vektor ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlens´eg´enek al´ abbi, a bevezet˝ o val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as el˝ oad´asban bevezetett definici´ oj´at haszn´ aljuk.
Vektor´ ert´ ek˝ u val´ osz´ın˝ egi v´ altoz´ o k f¨ uggetlens´ eg´ enek a definici´ oja. Legye us´ (n) (n) (1) (1) k (n) (1) os = ξ1 , . . . , ξk , ´ert´ekeiket az R k-dimenzi´ nek ξ = ξ1 , . . . , ξk , . . . , ξ Euklideszi t´erben felvev˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok (vektorok) egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on. Azt mondjuk, hogy ezek a val´ osz´ın˝ us´egi vektorok f¨ uggetlenek, ha minden x(1) = (n) (1) (n) (1) os vektorra (x1 , . . . , xk ), . . . , x(n) = (x1 , . . . , xk ) k-dimenzi´ (1) (1) (1) (1) (n) (n) (n) (n) P ξ1 < x1 , . . . , ξk < xk , . . . , ξ1 < x1 , . . . , ξk < xk (n) (n) (n) (1) (1) (n) (1) (1) . = P ξ1 < x1 , . . . , ξk < xk · · · P ξ1 < x1 , . . . , ξk < xk L´ assuk, hogyan lehet t´argyalni az el˝ obb megfogalmazott k´et probl´em´at egy f¨ uggetlen, vektor ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok normaliz´alt ¨ osszegeinek hat´areloszl´as´at le´ır´o eredm´eny seg´ıts´eg´evel. Az a) feladat vizsg´alat´anak ´erdek´eben vezess¨ uk be a k¨ ovetkez˝ o (j) vektor ´ert´ek˝ u ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat: Ha a dob´okock´ at n alkalommal dobjuk fel, akkor legyen ξ (j) , 1 ≤ j ≤ n, a k¨ ovetkez˝ o 6-dimenzi´ os val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o: A ξ (j) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o l-ik koordin´ at´ aja 1, ha a j-ik dob´as ´ert´eke l, 1 ≤ l ≤ 6, ´es legyen a (j) ξ v´eletlen vektor ¨ osszes t¨obbi koordin´ at´ aja nulla. Ekkor a ξ (j) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek. (Az egyes ξ (j) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok koordin´ at´ ai ebben a p´eld´aban nem n P f¨ uggetlenek.) Tov´ abb´a az Sn = ξ (j) ¨ osszeg l-ik koordin´ at´ aja egyenl˝o az l ´ert´ek˝ u j=1
dob´asok sz´am´aval minden 1 ≤ l ≤ 6 index eset´en. Ez´ert egy az Sn v´eletlen o¨sszeg aszimptotikus viselked´es´et nagy n sz´amokra le´ır´o hat´areloszl´ast´etel hasznos lehet a sz´amunkra. Egy ilyen eredm´enyb˝ol k¨ ovetkezik, hogy az Sn v´eletlen o¨sszegek alkalmas normaliz´altjai eloszl´ asban konverg´alnak egy explicit m´ odon megadott eloszl´ asf¨ uggv´enyhez. Megjegyzem, hogy a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel t´argyal´ asa ´erdek´eben az eloszl´ asban val´ o konvergenci´ anak egy a t¨obbdimenzi´os val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eset´eben is ´erv´enyes definic´oj´at vezett¨ uk be. B´ar a t¨obbv´ altoz´ os hat´areloszl´as fogalm´at tanultuk, m´egis ´erdemes n´eh´ any e fogalommal kapcsolatos eddig nem t´argyalt k´erd´est megvizsg´ alni. Term´eszetes az a) feln n adat megold´ as´aban a v´eletlen Sn vektorb´ ol az ( 6 , . . . , 6 ) vektort kivonni, ´es ennek a 6-v´ altoz´ os k¨ ul¨ onbs´egvektornak a hossz´at tekinteni (az Euklideszi t´ avols´ agfogalom szerint). Ha a dob´okocka szab´alyos volt, akkor azt v´ arjuk, hogy e v´eletlen vektor 2
hossza viszonylag kicsi. Felmer¨ ul a k´erd´es, hogy van-e e v´eletlen vektor alkalmas normaliz´altj´ anak hat´areloszl´asa, ´es k¨ ovetkezik-e egy ilyen eredm´eny a t¨obb-dimenzi´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelb˝ ol. Be fogjuk l´atni, hogy erre a k´erd´esre igenl˝ o a v´ alasz. De ez az ´ all´ıt´ as indokl´ asra szorul. Ugyanis a t¨obb-dimenzi´ os eloszl´ asok konvergenci´ ajanak a definici´ oja annak eredeti alakj´ aban csak nagyon speci´alis halmazok val´ osz´ın˝ us´eg´enek a konvergenci´ aj´at ´ırja el˝ o. A b) p´eld´aban megfogalmazott k´erd´est hasonl´oan t´argyalhatjuk az a) p´eld´ahoz. Itt n P olyan ηj = (ξj , ξj2 ), 1 ≤ j ≤ n, k´et-dimenzi´ os f¨ uggetlen vektorok Sn = ηj o¨sszeg´et j=1 as´ u vizsg´aljuk, amelyekre ξ1 , . . . , ξn f¨ uggetlen, a − 12 , 12 intervallumban egyenletes eloszl´ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok. A t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel seg´ıts´eg´evel le´ırhat´ o az ilyen v´eletlen vektorok normaliz´altjainak a hat´areloszl´asa. Ismertetni fogom a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel term´eszetes megfelel˝ oj´et abban az esetben, ha f¨ uggetlen ´es egyforma eloszl´ as´ u v´eletlen vektorok alkalmasan normaliz´alt osszeg´enek a viselked´es´et vizsg´aljuk. Ennek ´erdek´eben bevezetem a hat´areloszl´asban ¨ megjelen˝o norm´ alis eloszl´ as t¨obb-dimenzi´ os megfelel˝ oj´et, amit t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ asnak fogok nevezni. De ehhez el˝ obb defini´alni kell a v´ arhat´ o ´ert´ek ´es sz´or´ asn´egyzet fogalm´anak a t¨obb-dimenzi´ os megfelel˝ oj´et. Ezenk´ıv¨ ul meg kell ´erteni, hogy a v´ arhat´ o ´ert´ek ´es sz´or´ asn´egyzet tulajdons´agai hogyan ¨ or¨ okl˝ odnek a t¨obb-dimenzi´ os esetben. Az egy-dimenzi´os esetben defini´alt v´ arhat´ o ´ert´eknek megfelel˝ o t¨obb-dimenzi´ os v´ arhat´ o ´ert´ek (vektor) fogalm´anak ´es tulajdons´againak a meg´ert´ese viszonylag egyszer˝ u, de a sz´or´ asn´egyzetnek megfelel˝ o kovariancia m´ atrix tulajdons´againak j´ o meg´ert´ese sz¨ uks´egess´e teszi n´eh´ any a line´aris algebr´aban tanult fogalom ´es eredm´eny feleleven´ıt´es´et. Megjegyzem, hogy most ´es a tov´ abbiakban is a t¨obb-dimenzi´ os vektorokat mint sorvektorokat tekintem. Val´ oj´aban mind a sor mind az oszlopvektor jel¨ol´es lehets´eges. Egyik jel¨ol´es sem jobb a m´ asikn´al, ´es az irodalomban nem egys´eges a jel¨ol´es. A fontos az, hogy k¨ ovetkezetes jel¨ol´est alkalmazzunk. T¨ obb-dimenzi´ os val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o v´ arhat´ o´ ert´ ek´ enek ´ es kovariancia m´ atrix´ anak a definici´ oja. Legyen Z = (Z1 , . . . , Zk ) k-dimenzi´ os v´eletlen vektor, amelynek minden koordin´ at´ aja teljes´ıti az EZj2 < ∞, 1 ≤ j ≤ k, felt´etelt. E v´eletlen vektor v´ arhat´ o ´ert´eke az EZ = (EZ1 , . . . , EZk ) k-dimenzi´ os vektor, kovariancia m´ atrixa pedig az a D = (dj,l ), 1 ≤ j, l ≤ k, k × k m´eret˝ u m´ atrix, mely m´ atrix j-ik sor´ aban ´es l-ik oszlop´ aban l´ev˝ o elem a dj,l = Cov (Zj , Zl ) = E(Zj −EZj )(Zl −EZl ) = EZj Zl −EZj EZl sz´ am. Megfogalmazom a vektor´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok v´ arhat´ o ´ert´ek´enek ´es kovariancia m´ atrix´anak n´eh´ any fontos tulajdons´ag´ at. Ezek egyszer˝ u k¨ ovetkezm´enyei a val´ os sz´am ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok m´ ar t´argyalt tulajdons´ againak, ez´ert bizony´ıt´ asukat elhagyom. T´ etel vektor ´ ert´ ek˝ u val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok v´ arhat´ o´ ert´ ek´ enek ´ es kovariancia (j) (j) (j) m´ atrix´ anak tulajdons´ agair´ ol. Legyenek Z = Z1 , . . . , Zk , 1 ≤ j ≤ n, v´eletlen
k-dimenzi´ os vektorok ugyanazon az (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on. Ekkor a Z (1) + · · · + Z (n) o ¨sszeg v´ arhat´ o ´ert´eke megegyezik a Z (j) vektorok v´ arhat´ o ´ert´ekeinek az o ¨sszeg´evel, 3
azaz E(Z (1) + · · · + Z (n) ) = EZ (1) + · · · + EZ (n) . Ha a Z (j) , 1 ≤ j ≤ n, v´eletlen vektorok f¨ uggetlenek, akkor a kovariancia m´ atrix is addit´ıv, azaz, ha a Z (j) m´ atrix kovariancia m´ atrixa a Dj m´ atrix, 1 ≤ j ≤ n, akkor a Z (1) +· · ·+Z (n) v´eletlen o ¨sszeg kovariancia m´ atrixa a D1 +· · ·+Dn m´ atrix. Ha egy Z = (Z1 , . . . , Zk ), v´eletlen vektor v´ arhat´ o ´ert´eke M = (M1 , . . . , Mk ), kovariancia m´ atrixa a D k × k m´eret˝ u m´ atrix, a tetsz˝ oleges val´ os sz´ am, akkor az aZ = (aZ1 , . . . , aZk ), v´eletlen vektor v´ arhat´ o ´ert´eke aM , kovariancia m´ atrixa pedig az a2 D kovariancia m´ atrix. Legyen tov´ abb´ a x = (x1 , . . . , xk ) tetsz˝ oleges k-dimenzi´ os vektor. Ekkor E(Z + x) = EZ + x, a Z + x vektor kovariancia m´ atrixa pedig megegyezik a Z vektor kovariancia m´ atrix´ aval. A k¨ ovetkez˝ o eredm´eny c´elja annak jellemz´ese, hogy milyen m´ atrix jelenhet meg, mint egy alkalmas v´eletlen vektor kovariancia m´ atrixa. Ennek az eredm´enynek az ismertet´es´eben ´es bizony´ıt´ as´aban fel kell haszn´ alnunk a line´aris algebra n´eh´ any alapvet˝ o fogalm´at ´es eredm´eny´et. Igyekszem az ´ all´ıt´ asokat ¨ onmagukban is ´erthet˝o m´ odon le´ırni. El˝osz¨ or felid´ezem a k¨ ovetkez˝ o line´aris algebrai fogalmat. Szimmetrikus ´ es pozit´ıv (szemi)definit m´ atrixok definici´ oja. Legyen D = (dj,l ) egy k × k m´eret˝ u m´ atrix. Azt mondjuk, hogy a D m´ atrix szimmetrikus, ha minden 1 ≤ j, l ≤ k indexre dj,l = dl,j . Pontosabban azt k¨ ovetelj¨ uk meg, (ha nemcsak val´ os, hanem a ´ltal´ anos komplex ´ert´ek˝ u elemekkel rendelkez˝ o m´ atrixokat is tekint¨ unk, hogy dj,l = d¯l,j , ahol z¯ a z komplex sz´ am konjug´ altja, azaz, ha z = a + ib, akkor z¯ = a − ib. (De ebben az el˝ oad´ asban csak val´ os elem˝ u m´ atrixokkal fogunk dolgozni.) Egy k × k m´eret˝ u szimmetrikus D = (dj,l ) m´ atrix pozit´ıv (szemi)definit, ha minden x = (x1 , . . . , xk ) kk P k P dimenzi´ os vektorra xDx∗ = xj dj,l xl ≥ 0. (Ebben a formul´ aban x∗ jel¨ oli az x j=1 l=1
vektor transzpon´ altj´ at, azaz azt az oszlopvektort, amelynek f¨ ol¨ ulr˝ ol sz´ am´ıva l-ik eleme megegyezik az x vektor balr´ ol sz´ am´ıtott l-ik elem´enek a komplex konjug´ altj´ aval. Ekkor ∗ xDx a szok´ asos vektor-m´ atrix szorz´ ast jel¨ oli. A D = (di,j ) szimmetrikus m´ atrixot (szigor´ uan) pozit´ıv definitnek nevez¨ unk, ha k k P P pozit´ıv szemidefinit, ´es r´ aad´ asul az xDx∗ = xj dj,l xl = 0 rel´ aci´ o csak abban a j=1 l=1
trivi´ alis esetben teljes¨ ul, ha x1 = x2 = · · · = xk = 0.
Az eredm´enyek ´es fogalmak jobb meg´ert´ese ´erdek´eben ´erdemes megadni a fenti koordin´ atarendszerf¨ ugg˝o definici´ ok koordin´ atarendszert˝ol f¨ uggetlen ,,absztrakt” definici´oj´at is, ´es meg´erteni a k´et definici´ o kapcsolat´ at. Ennek le´ır´as´at (a bizony´ıt´ asok t¨obbs´eg´enek elhagy´ as´aval) tartalmazza egy a honlapomon is megtal´ alhat´ o line´aris algebrai ¨ osszefoglal´ o. R¨ oviden megfogalmazom a legfontosabb fogalmakat ´es eredm´enyeket. A m´ atrixok u ´gy jelennek meg, mint line´aris transzform´ aci´ok megad´asai egy line´ arisan f¨ uggetlen vektorokb´ol ´ all´ o koordin´ atarendszerben. Ha Euklideszi terekben, teh´at olyan line´aris terekben dolgozunk, ahol van skal´ arszorzat, ´es ez´ert besz´elhet¨ unk egy vektor hossz´ar´ ol ´es k´et vektor ´ altal bez´ art sz¨ogr˝ol, akkor a line´aris transzform´ aci´okat egy ortonorm´alt b´azisban adjuk meg. Term´eszetes az el˝ obb bevezetett fogalmakat el˝ osz¨ or line´aris transzform´ aci´okra defini´alni, (ezt nevezem koordin´ atamentes definici´ onak), ´es 4
ut´ ana megvizsg´ alni azt, hogy ezek a fogalmak mit jelentenek a transzform´ aci´ ot megad´o m´ atrixok nyelv´en. Az els˝ o defini´aland´o fogalom egy Euklideszi t´erben defini´alt A transzform´ aci´o adjung´altja. Egy valamely Euklideszi t´erben megadott A line´aris transzform´ aci´o adjung´altja az az A∗ line´aris transzform´ aci´o, amelyre teljes¨ ul az (xA, y) = (x, yA∗ ) azonoss´ag az Euklideszi t´er minden x ´es y vektor´ara, ahol (·, ·) skal´ arszorzatot jel¨ol. Be lehet l´atni, hogy minden A line´aris transzform´ aci´o eset´en egy ´es csak egy olyan A∗ line´aris transzform´ aci´o van, amely teljes´ıti ezt a felt´etelt. Ez azt jelenti, hogy a line´aris transzform´aci´o, illetve a neki megfelel˝ o m´ atrix adjung´altj´ anak a definici´ oja ´ertelmes. Megjegyzem, hogy egy m´ atrix adjung´altj´ at csak Euklideszi (teh´ at nem tetsz˝oleges line´aris) t´erben defini´altuk, mert e fogalom definici´ oj´aban felhaszn´altuk a skal´ arszorzat fogalm´ at. Ezut´an az ¨ onadjung´ alt transzform´ aci´o fogalm´anak a megad´asa egyszer˝ u. Egy A line´aris transzform´ aci´o (vagy a neki megfelel˝ o m´ atrix) akkor ´es csak akkor o¨nadjung´ alt, ha ∗ A = A . Egy A ¨ onadjung´ alt m´ atrixot akkor nevez¨ unk pozit´ıv szemidefinitnek, ha (x, xA) ≥ 0 ez Euklideszi t´er minden x vektor´ara, ´es akkor nevez¨ unk (szigor´ uan) pozit´ıv definitnek, ha egyr´eszt teljes¨ ul a fenti egyenl˝otlens´eg, m´ asr´eszt az (x, xA) = 0 azonoss´ag csak a trivi´ alis x = 0 esetben ´ all fenn. Be lehet l´atni, hogy ha egy A transzform´ aci´o m´ atrix´at fel´ırjuk egy tetsz˝ oleges ortonorm´alt b´azisban, akkor a transzform´ aci´o adjung´altj´ anak a m´ atrix´at a Szimmetrikus ´es pozit´ıv (szemi)definit m´ atrixok definici´ oj´ aban megadott m´ odon sz´am´ıthatjuk ki. Fontos meg´erteni, hogy ez az ´ all´ıt´ as azt is jelenti, hogy ha egy A line´aris transzform´ aci´o m´ atrix´anak az adjung´altj´ at a line´aris transzform´ aci´o m´ atrix´anak az adjung´altja se∗ g´ıts´eg´evel sz´amoljuk ki, akkor az ´ıgy kapott A adjung´alt transzform´ aci´o ´ert´eke nem f¨ ugg att´ol, hogy melyik ortonorm´alt b´azisban dolgozunk. Azt, hogy egy o¨nadjung´ alt A line´aris transzorm´aci´o pozit´ıv szemidefinit a transzform´ aci´o (egy ortonorm´alt b´azisban fel´ırt) A m´ atrix´aval u ´gy jellemezhet˝ o, hogy xAx∗ ≥ 0, ahol x tetsz˝oleges sz´am-n-es, ´es x∗ annak transzpon´ altja. Fel´ırom egy transzform´ aci´o adjung´altj´ anak legfontosabb ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ tulajdons´agait: (A + B) = A + B , (cA) = c¯A , (A ) = A, (AB)∗ = B ∗ A∗ . A line´aris transzform´ aci´ok ´es m´ atrixok legfontosabb tulajdons´againak felsorol´ asa ut´ an megfogalmazok egy fontos eredm´enyt, amely megadja a kovariancia m´ atrixok jellemz´es´et. Ennek bizony´ıt´ as´aban felhaszn´alok egy nem trivi´ alis line´aris algebrai eredm´enyt is. T´ etel kovariancia m´ atrixok jellemz´ es´ er˝ ol. Legyen Z = (Z1 , . . . , Zk ) egy k-dimenzio ´s v´eletlen vektor. Ekkor a Z vektor kovariancia m´ atrixa szimmetrikus ´es pozit´ıv szemidefinit m´ atrix. Megford´ıtva, tetsz˝ oleges D szimmetrikus, pozit´ıv szemidefinit m´ atrixhoz l´etezik olyan Z = (Z1 , . . . , Zk ) v´eletlen vektor, amelynek ez a D m´ atrix a kovariancia m´ atrixa. S˝ ot igaz a k¨ ovetkez˝ o tartalmasabb a ´ll´ıt´ as is: Legyen Y = (Y1 , . . . , Yk ) olyan v´eletlen vektor, amelynek a kovariancia m´ atrixa az identit´ as m´ atrix, azaz Var Yj = 1, 1 ≤ j ≤ k, Cov (Yj , Yl ) = 0, ha 1 ≤ j, l ≤ k, ´es j 6= l. (Ez a helyzet p´eld´ aul akkor, ha az Yj , 1 ≤ j ≤ k val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ´es Var Yj = 1.) Ekkor l´etezik olyan A = (aj,l ) k×k m´eret˝ u m´ atrix, ! amelyre igaz, hogy a Z = (Z1 , . . . , Zk ) = (Y1 , . . . , Yk )A = k k P P atrixa a D m´ atrix. ak,p Yp v´eletlen vektor kovariancia m´ a1,p Yp , . . . , p=1
p=1
5
Igaz tov´ abb´ a a k¨ ovetkez˝ oa ´ll´ıt´ as is. Egy Z = (Z1 , . . . , Zk ) v´eletlen vektor kovariancia m´ atrixa akkor ´es csak akkor (szigor´ uan) pozit´ıv definit, ha e vektor koordin´ at´ ai k¨ oz¨ ott k P nincs line´ aris o ¨sszef¨ ugg´es, azaz ha x1 , . . . , xk val´ os sz´ amokra xj Zj = K valamilyen j=1
K (determinisztikus) val´ os sz´ amra egy val´ osz´ın˝ us´eggel, akkor x1 = · · · = xk = 0.
Megjegyz´es: Ez az ´ all´ıt´ as annak a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okr´ ol sz´ol´ o egyszer˝ u eredm´enynek t¨obb-dimenzi´ os megfelel˝ oje, amely szerint egy val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o sz´or´ asn´egyzete nem negat´ıv sz´am. Tov´ abb´a egy val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o sz´or´ asn´egyzete akkor ´es csak akkor szigor´ uan pozit´ıv, ha ez a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o nem egyenl˝o egy konstanssal egy val´ osz´ın˝ us´eggel. Ennek a t´enynek a megfelel˝ oje a t´etel v´eg´en kimondott a´ll´ıt´ as, amely szerint egy v´eletlen vektor kovariancia m´ atrixa pozit´ıv definit, ha nincs a v´eletlen vektor koordin´ at´ ainak olyan line´aris kombin´aci´oja, amelyik egy val´ osz´ın˝ us´eggel megegyezik egy sz´ammal. Ugyanis a nem negat´ıv sz´amoknak a pozit´ıv szemidefinit m´ atrixok, a pozit´ıv sz´amoknak pedig a pozit´ıv definit m´ atrixok a term´eszetes megfelel˝ oi az Euklideszi terekben. A t´etel bizony´ıt´ asa egy al´ abb megfogalmazand´ o nem trivi´ alis line´aris algebrai eredm´enyen alapul, amely szerint minden pozit´ıv szemidefinit m´ atrix fel´ırhat´ o, mint egy alkalmas m´ atrix n´egyzete. Ez az ´ all´ıt´ as annnak a t´enynek a megfelel˝ oje Euklideszi terekben, amely szerint pozit´ıv sz´amokb´ol lehet n´egyzetgy¨ok¨ot vonni. Megjegyzem, hogy a pozit´ıv szemidefinit m´ atrixokb´ol vont n´egyzetgy¨ok nem egy´ertelm˝ uen meghat´ arozott, mint ahogy a val´ os sz´amok k¨ oz¨ ott is csak akkor egy´ertelm˝ u a gy¨okvon´ as, ha csak a pozit´ıv gy¨ok¨ot tekintj¨ uk. T´ etel a line´ aris algebr´ ab´ ol. Legyen D pozit´ıv szemidefinit m´ atrix. Ekkor l´etezik olyan A m´ atrix, amelyre ´erv´enyes a D = A∗ A azonoss´ ag, ahol A∗ az A m´ atrix transzpon´ altj´ at jel¨ oli. S˝ ot, olyan A m´ atrixot is v´ alaszthatunk, amelyre az A m´ atrix o ¨nadjung´ alt, pozit´ıv szemidefinit, ´es D = A2 . Eme megszor´ıt´ as eset´en az D = A∗ A = A2 egyenlet megold´ asa ∗ egy´ertelm˝ u. (Egy A = (aj,l ) k × k m´eret˝ u m´ atrix transzpon´ altja az A = (al,j ), illetve az a ´ltal´ anos komplex sz´ amokat is tartalmaz´ o m´ atrixok eset´eben az A∗ = (¯ al,j ) k × k m´eret˝ u m´ atrix, ahol z¯ a z komplex sz´ am konjug´ altja.) A kovariancia m´ atrixok jellemz´es´er˝ ol sz´ ol´ o t´etel bizony´ıt´ asa a line´ aris algebr´ ar´ ol kimondott t´etel seg´ıts´eg´evel. Tekints¨ unk el˝ osz¨ or egy Z = (Z1 , . . . , Zk ) egy k-dimenzi´os v´eletlen vektort ´es annak D = (dj,l ), dj,l = Cov (Zj , Zl ), 1 ≤ j, l ≤ k, kovariancia m´ atrix´at. Ekkor D szimmetrikus m´ atrix, mert dj,l = dl,j , azaz Cov (Zj , Zl ) = Cov (Zl , Zj ). M´asr´eszt tetsz˝oleges x = (x1 , . . . , xk ) k-dimenzi´os vektorra k k k X k X k X X X xj xl Cov (Zj , Zl ) E (xj xl (Zj Zl − EZj EZl )) = xj Zj = Var j=1 l=1
j=1 l=1
j=1
=
k k X X
xj xl dj,l = xDx∗ ,
j=1 l=1
´es Var
k P
j=1
xj Zj
!
≥ 0. Innen k¨ ovetkezik, hogy xDx∗ ≥ 0 tetsz˝oleges x = (x1 , . . . , xk )
k-dimenzi´os vektorra, azaz D szimmetrikus, pozit´ıv szemidefinit m´ atrix. 6
Megford´ıtva, legyen D pozit´ıv szemidefinit m´ atrix, ´es Y = (Y1 , . . . , Yk ) olyan v´eletlen vektor, amelynek a kovariancia m´ atrixa az identit´ as m´ atrix, azaz Var Yj = 1, 1 ≤ j ≤ k, Cov (Yj , Yl ) = 0, ha 1 ≤ j, l ≤ k, ´es j 6= l. A kimondott line´aris algebrai eredm´eny szerint l´etezik olyan A = (aj,l ), 1 ≤ j, l ≤ k k × k m´eret˝ u m´ atrix, amelyre ∗ D = A A. Azt ´ all´ıtom, hogy a Z = (Z1 , . . . , Zk ) = Y A, azaz a Z = (Z1 , . . . , Zk ), k P ap,j Yp , 1 ≤ j ≤ k, v´eletlen vektor kovariancia m´ atrixa a D m´ atrix. Innen Zj = p=1
k¨ ovetkezik a t´etel m´ asodik ´ all´ıt´ asa is. Val´ oban, Cov (Zj , Zl ) = Cov
k X p=1
ap,j Yp ,
k X
aq,l Yq
q=1
!
=
k X k X
ap,j aq,l Cov (Yp , Yq ),
p=1 q=1
ahonnan, mivel Cov (Yp , Yq ) = 0, ha p 6= q, ´es Cov (Yp , Yp ) = 1, Cov (Zj , Zl ) = k P ap,j ap,l = dj,l , ahol dj,l a D = A∗ A m´ atrix j-ik sor´ aban ´es l-ik oszlop´ aban szerepl˝o
p=1
konstans. V´eg¨ ul a D kovariancia m´ a! trix akkor ´es csak akkor (szigor´ uan) pozit´ıv definit, ha k k P P xDx∗ > 0, azaz Var xj ξj > 0, azaz xj ξj 6= K 1 val´ osz´ın˝ us´eggel valamilyen j=1
j=1
K konstanssal minden nem azonosan nulla (x1 , . . . , xk ) 6= 0 vektorra.
Ezut´an be tudjuk vezetni a t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´enyek fogalm´ at, ´es meg tudjuk fogalmazni a t¨obb-dimenzi´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt. T¨ obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ asok definici´ oja. Defini´ aljuk el˝ osz¨ or a t¨ obb-dimenzi´ os standard norm´ alis eloszl´ ast. Azt mondjuk, hogy egy (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektor eloszl´ asa a k-dimenzi´ os standard norm´ alis eloszl´ as, ha a ξ1 , . . . , ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlenek, ´es mindegyik ξj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, 1 ≤ j ≤ k, standard norm´ alis eloszl´ as´ u. Ekvivalens megfogalmaz´ asban azt mondhatjuk, hogy egy (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektor eloszl´ asa a k-dimenzi´ os standard norm´ alis eloszl´ as, ha e v´eletlen ) vektornak l´etezik ( k P uggv´eny. u2j f¨ s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye, ´es az az f (u1 , . . . , uk ) = (2π)1k/2 exp − 12 j=1
Egy (η1 , . . . , ηk ) k dimenzi´ os v´eletlen vektor k dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u vektor nulla v´ arhat´ o ´ert´ekkel, ha e v´eletlen vektor eloszl´ asa megegyezik valamely (¯ η1 , . . . , η¯k ) = (ξ1 , . . . , ξk )A k-dimenzi´ os vektor eloszl´ as´ aval, ahol A egy k × k m´eret˝ u m´ atrix, tov´ abb´ a (ξ1 , . . . , ξk ) egy k-dimenzi´ os standard norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor. Egy (ζ1 , . . . , ζk ) v´eletlen vektor k-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u vektor, ha eloszl´ asa megegyezik egy (η1 , . . . , ηk ) + (m1 , . . . , mk ) v´eletlen vektor eloszl´ as´ aval, ahol (η1 , . . . , ηk ) egy k-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor, amelynek a v´ arhat´ o ´ert´eke nulla, ´es (m1 , . . . , mk ) k-dimenzi´ os determinisztikus vektor. Megjegyz´es: F¨ uggetlen (egy-dimenzi´os) norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ok o¨sszege szint´en norm´ alis eloszl´ as´ u. Innen, ´es a t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as definici´ oj´ab´ ol 7
k¨ ovetkezik, hogy egy t¨obb-v´ altoz´ os norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o minden koordin´ at´ aja norm´ alis eloszl´ as´ u. Az ´ all´ıt´ as megford´ıt´ asa nem igaz. K´es˝obb l´atni fogunk p´eld´at olyan k´etv´ altoz´ os val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ora, amelynek mind a k´et koordin´ at´ aja norm´ alis eloszl´ as´ u, ˝ o maga m´egsem k´etv´ altoz´ os norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor. Bebizony´ıtok m´eg egy eredm´enyt, amely sz¨ uks´eges a t¨obbv´ altoz´os centr´ alis hat´areloszl´ ast´etel kimond´as´ahoz. T´ etel a t¨ obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as tulajdons´ agair´ ol. Tekints¨ unk egy kdimenzi´ os (η1 , . . . , ηk ) = (ξ1 , . . . , ξk )A + (m1 , . . . , mk ) norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot, ahol A egy k × k m´eret˝ u m´ atrix, m = (m1 , . . . , mk ) k-dimenzi´ os (v´eletlent˝ ol nem f¨ ugg˝ o) vektor ´es (ξ1 , . . . , ξk ) egy k-dimenzi´ os standard norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor. Akkor (η1 , . . . , ηk ) m = (m1 , . . . , mk ) v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es D = A∗ A kovariancia m´ atrix´ u v´eletlen vektor. Egy norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor kovariancia m´ atrixa pozit´ıv (szemi)definit, ´es megford´ıtva, minden k×k m´eret˝ u pozit´ıv (szemi)definit m´ atrixhoz ´es k dimenzi´ os vektorhoz l´etezik olyan k-v´ altoz´ os norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor, amelynek ez a kovariancia m´ atrixa ´es v´ arhat´ o ´ert´ek vektora. Tov´ abb´ a egy k-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´ at meghat´ arozza annak m v´ arhat´ o ´ert´ek vektora ´es D kovariancia m´ atrixa. Megjegyzem, hogy egy r¨ogz´ıtett D (szimmetrikus ´es pozit´ıv szemidefinit) m´ atrixra ∗ az A A = D egyenletnek nem egy´ertelm˝ u a megold´ asa. Tekints¨ unk k´et k¨ ul¨ onb¨oz˝ o A ´es B m´ atrixot, amelyre A∗ A = B ∗ B. A fenti t´etel szerint, ha tekint¨ unk egy kdimenzi´ os standard norm´ alis eloszl´ as´ u (ξ1 , . . . , ξk ) vektort, illetve a seg´ıts´eg´evel defini´alt (ξ1 , . . . , ξk )A ´es (ξ1 , . . . , ξk )B v´eletlen vektorokat, akkor b´ar ez az ut´ obbi k´et v´eletlen vektor k¨ ul¨ onb¨oz˝ o, eloszl´ asuk megegyezik. Ugyanis mind a k´et (norm´alis eloszl´ as´ u) vek∗ ∗ tor nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es A A = B B kovariancia m´ atrix´ u. Ez a tulajdons´ag er˝ osen kihaszn´alja azt, hogy norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okr´ ol van sz´o. Annak, hogy egy t¨obb-dimenz´os norm´ alis eloszl´ ast egy´ertelm˝ uen meghat´ aroz annak v´ arhat´ o ´ert´ek vektora ´es kovariancia m´ atrixa fontos k¨ ovetkezm´enyei vannak. Ehhez a k´erd´eshez k´es˝obb visszat´erek. A t´etel bizony´ıt´ asa. Az, hogy csak pozit´ıv szemidefinit m´ atrixok lehetnek egy t¨obbdimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o kovariancia m´ atrixai, azok viszont lehetnek ilyen kovariancia m´ atrixok k¨ ovetkezik a kovariancia m´ atrixok jellemz´es´er˝ ol sz´ol´ o t´etelb˝ ol. (Az, hogy egy norm´ alis eloszl´ as´ u vektor v´ arhat´ o ´ert´eke tetsz˝oleges vektor lehet nyilv´anval´ o.) Az az ´ all´ıt´ as szorul m´eg indokl´ asra, hogy egy t¨obbdimenzi´os norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´at meghat´ arozza annak kovariancia m´ atrixa ´es v´ arhat´ o ´ert´ek vektora. Ezt az ´ all´ıt´ ast is reduk´ alni lehet arra az a´ll´ıt´ asra, hogy egy nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor eloszl´ as´ at meghat´ arozza a kovariancia m´ atrixa. K´es˝obb l´atni fogjuk, hogy ez az eredm´eny k¨ ovetkezik a t¨obbv´ altoz´ os norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´enyek karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek az alakj´ ab´ ol, de itt egy m´ asik bizony´ıt´ ast ismertetek, amely a line´aris algebra egy ¨ onmag´ aban is ´erdekes ´all´ıt´ as´ab´ ol, egy Euklideszi t´er line´aris transzform´ aci´oinak u ´gynevezett pol´ ar koordin´ at´ as felbont´as´ab´ ol k¨ ovetkezik. E t´etel megfogalmaz´asa el˝ ott felid´ezem az unit´er transzform´ aci´ok definici´ oj´at. Egy Euklideszi t´er valamely line´aris transzform´ aci´oj´at unit´ernek nevez¨ unk, ha teljes´ıti az 8
U U ∗ = I ´es U ∗ U = I azonoss´agot. Val´ oj´aban el´eg e k´et azonoss´ag k¨ oz¨ ul csak az egyiket megk¨ ovetelni, mert akkor a m´ asik azonoss´ag is sz¨ uks´egszer˝ uen teljes¨ ul. Az unit´er transzform´aci´ok geometriai tartalma az, hogy ezek ´es csak ezek az Euklideszi t´er t´avols´ agtart´o transzform´ aci´oi. A k¨ ovetkez˝ o line´aris algebrai eredm´enyre lesz sz¨ uks´eg¨ unk. T´ etel egy m´ atrix pol´ ar felbont´ as´ ar´ ol. Legyen A egy Euklideszi t´er line´ aris transzform´ aci´ oj´ anak a m´ atrixa. L´etezik az A m´ atrixnak A = U K (´es A = LV ) alak´ u pol´ ar felbont´ asa, ahol U (illetve V ) unit´er, K (illetve L) pozit´ıv szemidefinit szimmetrikus m´ atrix. A K m´ atrix az A∗ A pozit´ıv definit, szimmetrikus m´ atrix egy´ertelm˝ uen meghat´ arozott pozit´ıv n´egyzetgy¨ oke. (Az L m´ atrix az AA∗ m´ atrix pozit´ıv n´egyzetgy¨ oke.) Megjegyz´es. Ezen eredm´eny elnevez´es´enek az az oka, hogy a pozit´ıv szemidefinit m´ atrixok a nem negat´ıv val´ os sz´amoknak, az unit´er transzform´ aci´ok pedig az egy abszol´ ut ´ert´ek˝ u komplex sz´amoknak (a komplex t´er forgat´ asainak) a term´eszetes megfelel˝ oi, ha a komplex sz´amok ter´et egy Euklideszi t´er oper´ atorainak a ter´evel helyettes´ıtj¨ uk. Ahogy egy tetsz˝oleges z komplex sz´am fel´ırhat´ o z = Reiϕ ‘pol´ arkoordin´ at´ as’ alakban, u ´gy tetsz˝oleges A m´ atrix fel´ırhat´ o a t´etelben megadott A = U K alakban. Mivel a m´ atrixszorz´ as nem kommutat´ıv, ez´ert az A = U K ´es A = LV el˝ o´all´ıt´ asokban k¨ ul¨ onb¨oz˝ o m´ atrixok szerepelnek az ´ altal´ anos esetben. A K m´ atrix alakja k¨ ovetkezik az A∗ A = (U K)∗ (U K) = K ∗ (U ∗ U )K = K ∗ K = K 2
ez´ert K = (A∗ A)1/2
azonoss´agb´ol. A t¨ obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as tulajdons´ agair´ ol sz´ ol´ o t´etel bizony´ıt´ as´ anak a befejez´ese. Tekints¨ uk el˝ osz¨ or azt az esetet, amikor egy nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u Z vektor kovariancia m´ atrixa az I identit´ as m´ atrix. Ekkor tudjuk, hogy Z el˝ o´all´ıthat´ o Z = XU alakban, ahol X k-dimenzi´os standard norm´ alis eloszl´ as´ u vek∗ tor, ´es I = U U , azaz U unit´er transzform´ aci´o. Viszont tudjuk, hogy egy k-dimenzi´os standard norm´ alis eloszl´ as´ u X vektor s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye az
f (x1 , . . . , xk ) =
k Y
2 1 √ e−xj /2 2π j=1
k 1X 2 −k/2 xj = (2π) exp − 2 j=1
f¨ uggv´eny, ahonnan l´athat´ o, hogy az f (x1 , . . . , xk ) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny az x = (x1 , . . . , xk ) pontban csak az x = (x1 , . . . , xk ) vektor hossz´at´ ol f¨ ugg. Mivel egy U unit´er transzform´ aci´o t´avols´ agtart´o, innen l´athat´ o, hogy az X ´es Z = XU v´eletlen vektorok s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyei megegyeznek. Legyen Y = XA egy tetsz˝oleges nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u, norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor, ahol X standard norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor. V´eve az A m´ atrix A = KU pol´ arfelbont´as´at fel´ırhatjuk az Y = XA = XU K = ZK azonoss´agot, ahol Z = XU standard norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor. M´asr´eszt K az A∗ A, azaz az Y v´eletlen vektor kovarianciam´ atrix´anak az (egy´ertelm˝ uen meghat´ arozott) pozit´ıv n´egyzetgy¨oke. Innen k¨ ovetkezik, hogy az Y = ZK v´eletlen vektor eloszl´ as´at meghat´ arozza a kovariancia m´ atrixa. 9
Ezut´an megfogalmazom a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt. (j) (j) (j) A t¨ obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel. Legyenek ξ = ξ1 , . . . , ξk , j = 1, 2, . . . , f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u k-dimenzi´ os val´ osz´ın˝ altoz´ ok, ameus´egi v´ (1) 2
(1)
(1)
vektor < ∞, 1 ≤ l ≤ k, felt´etel. Legyen a ξ (1) = ξ1 , . . . , ξk (1) (1) atrixa pedig egy D k×k m´eret˝ u v´ arhat´ o ´ert´eke Eξ (1) = Eξ1 , . . . , Eξk , kovariancia m´ ! n n n P P P (n) (n) (j) (j) = m´ atrix. Defini´ aljuk az S (n) = S1 , . . . , Sk ξ (j) = ξ1 , . . . , ξk j=1 j=1 j=1 (n) (n) vektorok eloszl´ asban kono ¨sszegeket, n = 1, 2, . . . . Ezek az S (n) = S1 , . . . , Sk lyekre teljes¨ ul az Eξl
verg´ alnak a ΦD (x1 , . . . , xk ) k-dimenzi´ os nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u D kovariancia m´ atrix´ u norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´enyhez, ha n → ∞, azaz ´erv´enyes a 1 (n) 1 (n) (n) (n) < xk = ΦD (x1 , . . . , xk ) < x1 , . . . , √ Sk − ESk lim P √ S1 − ES1 n→∞ n n (1) minden olyan (x1 , . . . , xk ) pontban, amely folytonoss´ agi pontja a ΦD (x1 , . . . , xk ) eloszl´ asf¨ uggv´enynek.
1. megjegyz´es. Ahhoz, hogy l´assuk, hogy a fenti t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel ´ertelmes, tudnunk kell a k¨ ovetkez˝ o k´et ´ all´ıt´ ast: i) Tetsz˝oleges (v´eges) kovariancia m´ atrix-szal rendelkez˝ o v´eletlen vektorhoz l´etezik egy vele megegyez˝ o kovariancia m´ atrix´ u (´es nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u) norm´ alis eloszl´ as´ u vektor. ii) A t´etelben szerepl˝o hat´areloszl´ast egy´etelm˝ uen megadtuk, azaz egy nulla v´ arhat´ o ´ert´ek vektorral rendelkez˝ o norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor eloszl´ as´at egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza annak kovariancia m´ atrixa. Ez a k´et tulajdons´ag azonban k¨ ovetkezik a t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as tulajdons´agair´ ol sz´ol´ o t´etelb˝ ol. 2. megjegyz´es. Az egy ´es t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel megfogalmaz´as´aban m´ ast haszn´ altunk. Az egyv´ altoz´ os esetben az√o¨sszeg sz´or´ as´aval, azaz √asfajta normaliz´al´ nσ osztottunk, ahol σ 2 = Var n-nel. Az egyv´ altoz´ os ξ, m´ ıg a t¨ o bbv´ a ltoz´ o s esetben √ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es esetben is oszthattunk volna n-nel, ´es akkor a hat´areloszl´as egy nulla v´ σ 2 sz´or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asa lett volna. A t¨obbv´ altoz´ os esetben az egyv´ altoz´ os esethez hasonl´o normaliz´al´ as az n−1/2 Σ−1 m´ atrix-szal 2 val´ o szorz´as lenne, ahol Σ a tekintett v´eletlen vektorok kovariancia m´ atrixa, Σ ennek pozit´ıv n´egyzetgy¨oke, azaz az az egy´ertelm˝ uen meghat´ arozott pozit´ıv definit Σ m´ atrix, 2 −1 amelynek n´egyzete a Σ kovariancia m´ atrix, Σ pedig ennek a m´ atrixnak az inverze. Ilyen normaliz´al´ ast akkor v´ alaszthatunk, ha a Σ2 m´ atrix invert´ alhat´ o. Ez akkor teljes¨ ul, 2 ha Σ szigor´ uan pozit´ıv definit. Ekkor a limesz egy standard norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor. De bizonyos fontos esetekben ez a felt´etel nem teljes¨ ul. P´eld´aul, ha az el˝ oad´as elej´en tekintett (szab´ alyos) kocka v´eletlen dob´asait tekintj¨ uk, akkor, mint a gyakorlaton megt´ argyaljuk, nem invert´ alhat´ o kovariancia m´ atrix jelenik meg a hat´areloszl´asban. 10
Ez azzal f¨ ugg ¨ ossze, hogy a k¨ ul¨ onb¨oz˝ o eredm´eny˝ u dob´asok sz´am´anak az o¨sszege (nem v´eletlen) konstans. Ez a konstans egyenl˝o az ¨ osszes dob´as sz´am´aval. 3. megjegyz´es. A t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel megfogalmaz´as´aban nem all´ıtottuk, hogy az (1) rel´ ´ aci´o minden (x1 , . . . , xk ) pontban ´erv´enyes, hanem csak azokban a pontokban, amelyek folytonoss´agi pontjai a ΦD (x1 , . . . , xk ) (hat´ ar)eloszl´ asf¨ uggv´enynek. Ez nem u ¨res megszor´ıt´ as, mert az egyv´ altoz´ os esett˝ol elt´er˝ oen a ΦD (x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´enynek lehetnek olyan pontjai, ahol az nem folytonos. Ez az eset a´ll el˝ o p´eld´aul akkor, ha ΦD (x1 , . . . , xk ) egy olyan (elfajul´o) (ξ1 , . . . , ξn ) nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u norm´ alis vektornak az eloszl´ asf¨ uggv´enye, amelyre Var ξ1 = 0. Ebben az esetben a ΦD a´ltal gener´ alt Stieltjes m´ert´ek az x1 = 0 alt´erbe van koncentr´ alva, ´es a ΦD (x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´eny nem folytonos az x1 = 0 hipers´ık pontjaiban. A t´etelt ebben a form´aban fogom bizony´ıtani, ´es az gyakorlati alkalmaz´asokban ebben a form´aban is kiel´eg´ıt˝ o. Viszont, mint a kieg´esz´ıt´esben megmutatom, az (1) formula val´ oj´aban minden (x1 , . . . , xk ) pontban ´erv´enyes a t´etelben szerepl˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok bizonyos tulajdons´agai miatt. Megjegyzem tov´ abb´a, hogy az egyv´ altoz´ os esethez hasonl´oan a t¨obbv´ altoz´ os centr´alis hat´areloszl´ast´etelnek is l´etezik ´ altal´ anos´ıt´ asa f¨ uggetlen, nem felt´etlen¨ ul egyforma eloszl´ as´ u v´eletlen vektorok normaliz´alt ¨ osszegeinek hat´areloszl´as´ara nagyon a´ltal´ anos felt´etelek mellett. Ezzel a k´erd´essel azonban itt nem foglalkozunk. L´ assuk, hogyan tudjuk vizsg´alni a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel seg´ıts´eg´evel az el˝ oad´as elej´en megfogalmazott a) probl´em´at dob´okocka szab´alyoss´ ag´ anak a vizsg´alat´ar´ ol. Tekints¨ uk az ott bevezetetett ξ (j) , 1 ≤ j ≤ n, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat, azok Sn = (1) (6) (Sn , . . . , Sn ) ¨ osszegeit, illetve ezen ¨ osszegek 1 1 (1) (1) (6) (6) ¯ Sn = √ (Sn − ESn ), . . . , √ (Sn − ESn ) n n (l)
normaliz´altjait. Eml´ekezz¨ unk arra, hogy az Sn , 1 ≤ l ≤ 6, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o az l eredm´eny˝ u dob´asok sz´am´aval egyenl˝o. Ezenk´ıv¨ ul tudjuk, hogy ESl = n6 , 1 ≤ l ≤ 6, ´es ki tudjuk sz´amolni annak a norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok kovariancia m´ atrix´at, amelyhez az S¯n normaliz´alt ¨ osszegek eloszl´ asban tartanak. Ez a D kovariancia m´ atrix egyenl˝o a ξ (j) v´eletlen vektorok kovariancia m´ atrix´aval, ´es D = (dl,m ), 1 ≤ (j) (j) (j) (j) (j) (j) 1 l, m ≤ 6, dl,m = Eξl ξm − Eξl Eξm = −Eξl Eξm = − 36 , ha l 6= m, ´es dl,l = 1 2 5 1 ¯ odon az Sn normaliz´alt ¨ osszeg eloszl´ as´ara jogunk van alkal6 − ( 6 ) = 36 . Ilyen m´ mazni az (1) aszimptotikus azonoss´agot. De term´eszetesebb az S¯n normaliz´alt o¨sszeg n P (l) koordin´ at´ ainak a n´egyzet¨ osszeg´et, azaz a Tn = n1 (Sn − n6 )2 kifejez´est vizsg´alni. l=1
Felmer¨ ul a k´erd´es, l´etezik-e a Tn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oknak (ismert) hat´areloszl´asa. E k´erd´es jobb meg´ert´ese ´erdek´eben felid´ezem a t¨obbv´ altoz´ os eloszl´ asok konvergenci´ aj´anak a definici´ oj´at, illetve egy olyan eredm´enyt, amely e konvergenci´ anak egy ekvivalens jellemz´es´et adja korl´ atos, folytonos f¨ uggv´enyek integr´aljainak a seg´ıts´eg´evel.
Eloszl´ asf¨ uggv´ enyek konvergenci´ aj´ anak definici´ oja. Legyen Fn (x1 , . . . , xk ), n = 1, 2, . . . , k-dimenzi´ os, k ≥ 1, eloszl´ asf¨ uggv´enyek sorozata. Azt mondjuk, hogy az Fn , n = 11
1, 2, . . . , eloszl´ asf¨ uggv´enyek eloszl´ asban konverg´ alnak egy F eloszl´ asf¨ uggv´enyhez n → ∞ eset´en, ha lim Fn (x1 , . . . , xk ) = F (x1 , . . . , xk ) n→∞
az F (x1 , . . . , xk ) eloszl´ asf¨ uggv´eny minden folytonoss´ agi pontj´ aban. (n)
(n)
asAzt mondjuk, hogy v´eletlen vektorok (ξ1 , . . . , ξk ), n = 1, 2, . . . , sorozata eloszl´ ban konverg´ al egy (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektorhoz, ha azok Fn (x1 , . . . , xk ), n = 1, 2, . . . eloszl´ asf¨ uggv´enyei eloszl´ asban konverg´ alnak a (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektor F (x1 , . . . , xk ) eloszl´ asf¨ uggv´eny´ehez. T´ etel eloszl´ asok konvergenci´ aj´ anak jellemz´ es´ er˝ ol. Legyen Fn (x1 , . . . , xk ), n = 1, 2, . . . , k-v´ altoz´ os eloszl´ asf¨ uggv´enyek sorozata. Ez a sorozat akkor ´es csak akkor konverg´ al eloszl´ asban egy k-v´ altoz´ os F (x1 , . . . , xk ) eloszl´ asf¨ uggv´enyhez, ha minden a kdimenzi´ os t´erben folytonos ´es korl´ atos f (x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´enyre Z
f (x1 , . . . , xk ) dFn (x1 , . . . , xk ) →
Z
f (x1 , . . . , xk ) dF (x1 , . . . , xk ),
ha n → ∞.
Megjegyz´es. Az el˝ obb megfogalmazott definici´ o ´es eredm´eny r´eszletesebb t´argyal´ asa (a bizony´ıt´ assal egy¨ utt) megtal´ alhat´ o p´eld´aul a 2008–2009 tan´ev els˝ o f´el´ev´eben tartott Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as II. el˝ oad´assorozat m´ asodik t´em´aj´anak elej´en (Fourier anal´ızis ´ ´es hat´arelosz´ast´ atelek vizsg´alata). Erdemes megjegyezni, hogy eloszl´ asok konvergenci´ aj´anak a fenti t´etelben kimondott folytonos, korl´ atos f¨ uggv´enyek integr´ajaival val´ o jellemz´ese nem k¨ ot˝ odik az Euklideszi t´er geometri´aj´ahoz. Ez lehet˝ ov´e teszi, hogy val´osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek eloszl´ asban val´ o konvergenci´ aj´anak a definici´ oj´at olyan esetekre is ´ altal´ anos´ıtsuk, ahol a val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek egy ´ altal´ anos metrikus t´eren vannak defini´alva. Ennek a lehet˝ os´egnek fontos szerepe lesz k´es˝obb p´eld´aul a Wiener folyamatok tulajdons´againak a vizsg´alat´aban. A k¨ ovetkez˝ o k´et eredm´eny c´elja annak megmutat´ asa, hogy az el˝ obb megfogalmazott konvergens vektorok f¨ uggv´enyeinek viselked´es´r˝ol sz´ol´ o k´erd´esre, illetve e k´erd´es hasonl´o probl´em´akban megjelen˝o term´eszetes megfelel˝ oire a v´ alasz igenl˝ o. 1. t´ etel az eloszl´ asbeli konvergencia tulajdons´ agair´ ol. Legyen adva k-dimenzi´ os (n) (n) (n) asban konv´eletlen vektorok ξ = (ξ1 , . . . , ξk ), n = 1, 2, . . . , sorozata, amelyek eloszl´ verg´ alnak egy ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) k-dimenzi´ os v´eletlen vektorhoz. Legyen ezenk´ıv¨ ul adva egy u(x) = u(x1 , . . . , xk ) a k-dimenzi´ os t´eren ´ertelmezett folytonos f¨ uggv´eny. (Az egyszer˝ us´eg ´erdek´eben tekints¨ unk val´ os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyeket, de val´ oj´ aban tekinthet¨ unk tetsz˝ oleges l-dimenzi´ os vektor ´ert´ek˝ u u(·) f¨ uggv´enyt.) Ekkor az ηn = u(ξ (n) ), n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban konverg´ alnak az η = u(ξ) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz. A t´etel bizony´ıt´ asa. Haszn´ aljuk az eloszl´ asban val´ o konvergencia folytonos f¨ uggv´enyek integr´aljainak a seg´ıts´eg´evel megadott jellemz´es´et. Ekkor azt kell bel´ atni, hogy tetsz˝oleges folytonos ´es korl´ atos g(x) f¨ uggv´enyre lim Eg(ηn ) = Eg(η). Viszont g(ηn ) = n→∞
12
g(u(ξ (n) )) = v(ξ (n) ), ´es g(η) = g(u(ξ)) = v(ξ), ahol v(x) = g((ux)). Tov´ abb´a a v(x) f¨ uggv´eny is folytonos ´es korl´ atos a t´etel felt´etelei miatt. Ez´ert, a t´etel felt´etelei alapj´ an, lim Eg(ηn ) = lim Ev(ξ (n) ) = Ev(ξ) = Eg(η).
n→∞
n→∞
A t´etelt bebizony´ıtottuk. 2. t´ etel az eloszl´ asbeli konvergencia tulajdons´ agair´ ol. Legyen Fn , n = 1, 2, . . . , k-dimenzi´ os eloszl´ asok sorozata, amelyek eloszl´ asban konverg´ alnak egy F k-dimenzi´ os eloszl´ ashoz. Jel¨ olje µFn az Fn eloszl´ as szerint induk´ alt Stieltjes m´ert´eket. Ha A olyan halmaz a k-dimenzi´ os t´eren, amelynek ∂A hat´ ara teljes´ıti a µF (∂A) = 0 azonoss´ agot az F hat´ areloszl´ asm´ert´ek szerinti µF Stieltes m´ert´ek szerint, akkor lim µFn (A) = µF (A). n→∞
Mivel sz´amunkra elegend˝ o az els˝ o t´etel is, a m´ asodik t´etel bizony´ıt´ as´at csak v´ azlatosan ismertetem. A t´etel bizony´ıt´ asa. Be lehet l´atni, hogy az A halmaz indik´ator f¨ uggv´eny´et j´ ol lehet k¨ ozel´ıteni, mind alulr´ ol mind fel¨ ulr˝ ol alkalmas folytonos f¨ uggv´enyekkel. R´eszletesebben kifejtve, tetsz˝oleges ε > 0 sz´amhoz l´eteznek olyan fε (x) ´es gε (x) folytonos f¨ uggv´enyek, amelyekre 0 ≤ fε (x), gε (x) ≤ 1 minden x vektorra a k-dimenzi´os t´erben, fε (x) = 1, ha ¯ ahol A¯ az A halmaz lez´artja, fε (x) = 0, ha ρ(x, A) ≥ ε, ahol ρ(·, ·) az Euklideszi x ∈ A, metrika a k-dimenzi´os t´erben, gε (x) = 0, ha x ∈ / A, Rgε (x) = 1, ha ρ(x, Ac ) ≥ ε, ahol R Ac az A halmaz komplementere. Felhaszn´alva a lim fε (x)Fn ( dx) = fε (x)F ( dx) ´es n→∞ R R lim gε (x)Fn ( dx) = gε (x)F ( dx) rel´ aci´okat, majd elv´egezve az ε → 0 hat´ar´ atmenen→∞ tet megkapjuk a t´etel ´ all´ıt´ as´at. A r´eszletek kidolgoz´ as´at elhagyom. T´erj¨ unk vissza a szab´alyos dob´okock´ aval kapcsolatos feladat t´argyal´ as´ahoz. Alkalmazva az 1. t´etelt az eloszl´ asbeli konvergencia tulajdons´ agair´ ol a k = 6 dimenzi´ os 6 P euklideszi t´erben az u(x) = x2l f¨ uggv´ennyel azt kapjuk, hogy az ott bevezetett Tn l=1
val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban konverg´alnak egy ismert kovarianci´aj´ u, nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u vektor koordin´ at´ ainak a n´egyzet¨ osszeg´ehez. Ilyen eredm´enyre volt sz¨ uks´eg¨ unk. Felmer¨ ul m´eg a k´erd´es, hogy nem lehet-e a hat´areloszl´ast egyszer˝ ubb m´ odon jellemezni. Ehhez a k´erd´eshez k´es˝obb m´eg visszat´erek. A k¨ ovetkez˝ o feladat c´elja annak megmutat´ asa, hogy az el˝ oad´as elej´en eml´ıtett b) feladatot hogyan tudjuk megoldani a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel seg´ıts´eg´evel. Feladat: as´ u val´ oLegyenek ξ1 , . . . , ξn f¨ uggetlen, a − 21 , 21 intervallumban egyenletes eloszl´ n n P P sz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok. Mutassuk meg, hogy a ξj ´es ξj2 ¨ osszegek normaliz´altjaij=1 j=1 q P q n n P 1 180 nak, azaz a 12 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oknak az egy¨ uttes ξj2 − 12 ξ ´ e s j n n j=1
j=1
eloszl´ asa a k´et-dimenzi´ os standard norm´ alis eloszl´ ashoz konverg´ al, ha n → ∞. 13
1 1 1 1 Megold´ as: Eξ = 0, Eξ 2 = 12 , Var ξ = 12 , Var ξ 2 = Eξ 4 − (Eξ 2 )2 = 80 − 144 = √ √ 1 1 2 2 3 2 12ξj , 180 ξj − 12 , abb´a Cov (ξ, ξ ) = Eξ − EξEξ = 0. Ez´ert a 180 . Tov´ j = 1, 2, . . . , v´eletlen vektorok f¨ uggetlenek, nulla v´ arhat´ o ´ert´ekkel ´es az identit´ as kovariancia m´ atrix-szal. Innen, ´es a t¨obb-dimenzi´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelb˝ ol k¨ ovetkezik a feladat ´ all´ıt´ asa.
Be akarjuk l´atni a t¨obb-dimenzi´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt. Tudjuk eddigi eredm´enyeink alapj´an, hogy ehhez elegend˝ o megmutatni azt, hogy a normaliz´alt o¨sszegek karakterisztikus f¨ uggv´enyei konverg´alnak egy megfelel˝ o kovarianci´aj´ u ´es nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u vektor karakterisztikus f¨ uggv´eny´ehez. Ennek bizony´ıt´ as´ahoz el˝ osz¨ or ki kell sz´amolni a t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ asok karakterisztikus f¨ uggv´enyeit. Err˝ol sz´ol a k¨ ovetkez˝ o t´etel. T´ etel a t¨ obb-dimenzi´ os norm´ alis elosz´ as´ u val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok karakterisztikus f¨ uggv´ eny´ er˝ ol. Legyen η = (η1 , . . . , ηk ) = (ξ1 , . . . , ξk )A + (m1 , . . . , mk ) egy k-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ahol m = (m1 , . . . , mk ) kdimenzi´ os (determinisztikus) vektor, A = (aj,l ), 1 ≤ j, l ≤ k, k × k m´eret˝ u m´ atrix, tov´ abb´ a ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) k-dimenzi´ os standard norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor. Ekkor az (η1 , . . . , ηk ) v´eletlen vektor karakterisztikus f¨ uggv´enye az k k k X 1 XX i(t,η) i(t1 η1 +···+tk ηk ) i(t,m)−tA∗ At∗ /2 dj,l tj tl Ee = Ee =e = exp i tj mj − 2 j=1 j=1 l=1
f¨ uggv´eny, ahol (x, y) jel¨ oli az x = (x1 , . . . , xk ) ´es y = (y1 , . . . , yk ) vektorok (x, y) = k P xj yj skal´ arszorzat´ at, t = (t1 , . . . , tk ), dj,l az A∗ A kovariancia m´ atrix´ anak j-ik so-
j=1
r´ aban, ´es l-ik oszlop´ aban szerepl˝ o konstans. A D = A∗ A m´ atrix megegyezik az η = (η1 , . . . , ηk ) v´eletlen vektor kovariancia m´ atrix´ aval. Bizony´ıt´ as: ∗
Eei(t,η) = Eei(t,ξA+m) = ei(t,m) Eei(tA
,ξ)
∗
= ei(t,m) e−(tA
,tA∗ )/2
∗
= ei(t,m)−tA
∗ mert, ha tA∗ = t¯ = (t¯1 , . . . , t¯k ), akkor Eei(tA ,ξ) = Eei(t¯1 ξ1 +···+t¯k ξk ) =
k Q
At∗ /2
,
Eeit¯j ξj =
j=1 k Q
e
−t¯2j /2
= e−(t¯,t¯)/2 = e−(tA
∗
∗
,tA )/2
.
j=1
Az η v´eletlen vektor D = (dj,l ) kovariancia m´ atrix´aban a j-ik sor l-ik eleme dj,l = ! k k k k P P P P Cov (ηj , ηl ) = Cov ap,j ξp , aq,l ξq = ap,j ap,l Eξp2 = ap,j ap,l , ´es ez az A∗ A p=1
q=1
p=1
p=1
m´ atrix j-ik sor´ aban ´es l-ik oszlop´aban ´ all´ o elem. Ez´ert az η v´eletlen vektor kovariancia ∗ m´ atrixa a D = A A m´ atrix. Az ny´ılv´anval´ o, hogy az η v´eletlen vektor v´ arhat´ o ´ert´eke m. K¨ ovetkezm´ eny. Egy t¨ obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor eloszl´ as´ at egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza annak v´ arhat´ o ´ert´ek vektora ´es kovariancia m´ atrixa. 14
Megjegyz´es. Ezen ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ as´at m´ ar l´attuk line´aris algebrai m´ odszerekkel. Most azt mutatjuk meg, hogy az egyszer˝ uen k¨ ovetkezik a karakterisztikus f¨ uggv´enyek tulajdons´agaib´ol is. A k¨ ovetkezm´eny bizony´ıt´ asa. Az el˝ oz˝ o t´etel alapj´ an egy norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor karakterisztikus f¨ uggv´eny´et egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza annak v´ arhat´ o ´ert´ek vektora ´es kovariancia m´ atrixa. Viszont egy eloszl´ ast meghat´ aroz annak karakterisztikus f¨ uggv´enye. A t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel bizony´ıt´ as´aban azt kell megmutatni, hogy a tekintett v´eletlen normaliz´alt ¨ osszegek karakterisztikus f¨ uggv´enyei konverg´ alnak a hat´areloszl´as karakterisztikus f¨ uggv´eny´ehez. Ennek bizony´ıt´ asa nem nehezebb, mint a megfelel˝ o egyv´ altoz´ os ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ asa. S˝ot, az ´ all´ıt´ as igazol´as´at vissza lehet vezetni az egyv´ altoz´ os esetre az al´ abbi egyszer˝ u, de tanuls´ agos eredm´eny seg´ıts´eg´evel. Lemma t¨ obbv´ altoz´ os v´ eletlen vektorok eloszl´ as´ anak konvergenci´ aj´ anak a jel(n) (n) (n) lemz´ es´ er˝ ol. Legyen adva k-v´ altoz´ os ξ = (ξ1 , . . . , ξk ), n = 1, 2, . . . , v´eletlen vektorok egy sorozata. Ezek a v´eletlen vektorok akkor ´es csak akkor konverg´ alnak eloszl´ asban k P (n) (0) (0) aris ar ξr line´ at´ aik b´ armely egy ξ (0) = (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektorhoz, ha koordin´ r=1
kombin´ aci´ oi eloszl´ asban konverg´ alnak a
k P
(0)
ar ξr
val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz.
r=1
A lemma bizony´ıt´ asa. Azt kell meg´erteni, hogy mit jelentenek a lemm´aban megfogalmazott eloszl´ asban val´ o konvergenci´ ak a karakterisztikus f¨ uggv´enyek nyelv´en. Jel¨olje (n) (n) (n) (n) i(t1 ξ1 +···+tk ξk ) (n) ϕn (t1 , . . . , tk ) = Ee a ξ = (ξ1 , . . . , ξk ), n = 0, 1, 2, . . . , v´eletlen n P (n) (n) (n) vektor ´es ϕn (t|a1 , . . . , ak ) = Eeit(a1 ξ1 +···+ak ξk ) a aj ξj line´aris kombin´aci´o karakj=1
terisztikus f¨ uggv´eny´et. A fenti jel¨ol´esekkel, — felhaszn´alva azt a t´enyt, hogy eloszl´ asok konvergenci´ aja ekvivalens azok karakterisztikus f¨ uggv´enyeinek konvergenci´ aj´aval, — a lemma ´ all´ıt´ as´at u ´gy fogalmazhatjuk ´ at, hogy az al´ abbi a) ´es b) tulajdons´agok ekvivalensek. a) lim ϕn (t|a1 , . . . , ak ) = ϕ0 (t|a1 , . . . , ak ) minden t val´ os sz´amra ´es a1 , . . . , ak paran→∞ m´eterre. b) lim ϕn (t1 , . . . , tk ) = ϕ0 (t1 , . . . , tk ) minden t1 , . . . , tk sz´am k-asra. n→∞
Viszont a b) tulajdons´ag k¨ ovetkezik az a) tulajdons´agb´ol t = 1, ar = tr , 1 ≤ r ≤ k, v´ alaszt´ assal, az a) tulajdons´ag pedig k¨ ovetkezik a b) tulajdons´agb´ol tr = tar , 1 ≤ r ≤ k, v´ alaszt´ assal. A lemm´at bebizony´ıtottuk. A t¨ obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´ areloszl´ ast´etel bizony´ıt´ asa. Az el˝ oz˝ o lemma alapj´ an el´eg azt bebizony´ıtani, hogy tetsz˝oleges a1 , . . . , ak sz´am k-asra az Sn (a1 , . . . , ak ) = k k P P (r) (r) √1 ar ζr ) kifejez´ e sek eloszl´ a sban konverg´ a lnak a ζ(a , . . . , a ) = − ES a (S n n 1 k r n r=1
r=1
v´eletlen vektorhoz, ahol (ζ1 , . . . , ζk ) nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es D kovariancia m´ atrix´ u 15
norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor. Vezess¨ uk be az ηj = ηj (a1 , . . . , ak ) =
k P
(j)
ar ξr ,
r=1
1 ≤ j ≤ n, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat. Ekkor η1 , . . . , ηn f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u n P val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, ´es Sn = (ηj − Eηj ). Ez´ert a bizony´ıtand´ o a´ll´ıt´ as k¨ ovetkezik j=1
az egyv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelb˝ ol f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszeg´ere ´es abb´ol az ´eszrev´etelb˝ ol, hogy ζ(a1 , . . . , ak ) nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ´es Var ζ(a1 , . . . , ak ) = Var ηj .
K¨ ovetkez˝ o t´em´ank a t¨obbv´ altoz´ os norm´ alis eloszl´ asok n´eh´ any fontos tulajdons´aga. L´ attuk, hogy egy t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ ast meghat´ aroz annak v´ arhat´ o ´ert´eke ´es kovariancia m´ atrixa. Ennek egyik k¨ ovetkezm´eny´et annak fontoss´ aga miatt t´etel form´aj´aban mondom ki. T´ etel norm´ alis eloszl´ as´ u v´ eletlen vektorok korrel´ alatlan koordin´ at´ ainak f¨ uggetlens´ eg´ er˝ ol. Legyenek egy (ξ1 , . . . , ξk ) norm´ alis eloszl´ as´ u vektor koordin´ at´ ai korrel´ atlanok. Akkor e koordin´ at´ ak f¨ uggetlen, norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok. Bizony´ıt´ as. A (ξ1 − Eξ1 , . . . , ξk − Eξk ) norm´ alis eloszl´ as´ u vektor v´ arhat´ o ´ert´eke nulla, kovariancia m´ atrixa pedig e v´eletlen vektor koordin´ at´ ainak korrel´atlans´ aga miatt di2 agon´ alis. Legyenek a diagon´ alisban ´ all´ o elemek σj , 1 ≤ j ≤ k. Tekints¨ unk η1 , . . . , ηk f¨ uggetlen, standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat, ´es vezess¨ uk be seg´ıts´eg¨ ukkel a (σ1 η1 , . . . , σk ηk ) v´eletlen vektort. Ez t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u vektor, amelynek v´ arhat´ o ´ert´eke ´es kovariancia m´ atrixa megegyezik a (ξ1 − Eξ1 , . . . , ξk − Eξk ) norm´ alis eloszl´ as´ u vektor v´ arhat´ o ´ert´ek´evel ´es kovariancia m´ atrix´aval. Ez´ert e k´et v´eletlen vektor eloszl´ asa megegyezik. ´Igy a σ1 η1 , . . . , σk ηk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlens´eg´eb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy a ξ1 − Eξ1 , . . . , ξk − Eξk , illetve a ξ1 , . . . , ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok is f¨ uggetlenek ´es norm´ alis eloszl´ as´ uak. Tudjuk, hogy f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok korrel´alatlanok. A teljess´eg kedv´e´ert mutatok egy p´eld´at korrel´alatlan, de nem f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okra. Ez a p´elda mutatja, hogy a fenti eredm´enyben nagyon fontos volt, hogy egy norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor koordin´ at´ ait tekintett¨ uk. P´elda korrel´ alatlan, de nem f¨ uggetlen osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okra. Legyen ξ egyenletes 1 1 val´ osz´ın˝ ueloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o a − 2 , 2 intervallumban, Ekkor a ξ ´es η = ξ 2 val´ 1 2 s´egi v´ altoz´ ok korrel´alatlanok, de nem f¨ uggetlenek. Val´ oban, Eξ = 0, Eη = Eξ = 12 , Eξη = Eξ 3 = 0, Cov (ξ, η) = Eξη − EξEη = 0. M´asr´eszt ξ ´es η nem f¨ uggetlenek, s˝ ot az η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o determinisztikus f¨ uggv´enye. Egy lehets´eges form´alis indokl´ asa annak, hogy ξ ´es η nem f¨ uggetlen a k¨ ovetkez˝ o: Legyen 2 0 < a < 1 tetsz˝oleges sz´am. Ekkor {ω: η < a } = {ω: |ξ| < a}. Ez´ert P (ξ < a, η < a2 ) = P (ξ < a), teh´at P (ξ < a, η < a2 ) 6= P (ξ < a)P (η < a2 ).
16
Kieg´ esz´ıt´ es A. A k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ ast, amely szint´en azzal kapcsolatos, hogy norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor koordin´ at´ ainak f¨ uggetlens´ege k¨ ovetkezik azok korrel´alatlans´ ag´ ab´ ol feladat form´ aj´aban fogalmazom meg, ´es a gyakorlaton fogjuk t´argyalni. Ennek az eredm´enynek fontos k¨ ovetkezm´enye van n´eh´ any val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ asi ´es statisztikai vizsg´alatban. Feladat: Legyen (ξ, η) norm´ alis eloszl´ as´ u vektor m = (m1 , m2 ) = (Eξ, Eη) v´ arhat´ o ´ert´ekkel ´es σ1,1 , σ1,2 Eξ 2 − (Eξ)2 , Eξη − EξEη = σ2,1 , σ1,1 Eξη − EξEη, Eη 2 − (Eη)2 kovarianciam´ atrix-szal. Ekkor l´etezik a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ onak ξ = aη + ζ alak´ u el˝ o´all´ıt´ asa alkalmas a konstanssal, ´es az η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot´ ol f¨ uggetlen ζ norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oval. Ez azt jelenti, hogy ha (ξ, η) k´et-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, akkor az els˝ o koordin´ ata kifejezhet˝o, mint a m´ asodik kooordin´ ata konstansszoros´ anak ´es egy a m´ asodik koordin´ at´ at´ ol f¨ uggetlen norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ¨ osszege. A k´ıv´ant a konstanst σ explicit m´ odon megadhatjuk az a = σ1,2 k´eplet seg´ıts´eg´evel. 2,2 Hogy ´ altal´ anos´ıthat´ o a fenti ´ all´ıt´ as abban az esetben, ha ξ ´es η vektorv´altoz´ ok is lehetnek? σ η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o f¨ uggetlen az η val´ osz´ın˝ us´egi Megold´ as: A ζ = ξ − σ1,2 1,1 v´ altoz´ ot´ ol. Ehhez a t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as tulajdons´agai alapj´ an el´eg azt ellen˝ orizni, hogy Cov (ζ, η) = 0. Innen k¨ ovetkezik a feladat a´ll´ıt´ asa. Az az eset, amikor ξ = (ξ1 , . . . , ξs ), η = (η1 , . . . , ηp ), ´es (ξ1 , . . . , ξs , η1 , . . . , ηp ) egy s + p dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o hasonl´oan t´argyalhat´ o. Be lehet l´atni, hogy l´etezik olyan A m´ atrix, amelyre η ´es ξ − ηA f¨ uggetlenek. Ennek ´erdek´eben el˝ osz¨ or azt ´erdemes megmutatni, hogy l´etezik olyan U unit´er m´ atrix amelyre ηU = (¯ η1 , . . . , η¯p ) = η¯ vektor koordin´ at´ ai f¨ uggetlenek. Ez abb´ol l´athat´ o, hogy ha az η v´eletlen vektor D kovarianciam´ atrix´at D = U ∗ ΛU alakban ´ırjuk fel, ahol U unit´er Λ pedig diagon´ alis m´ atrix, akkor az η¯ = ηU v´eletlen norm´ alis eloszl´ as´ u vektor kovarianciam´ atrixa Λ, ahonnan k¨ ovetkezik, hogy az η¯ m´ atrix kop P Eξ η ¯ r k ¯k , r = 1, . . . , s. Ezt m´ atrixjel¨oordin´ at´ ai f¨ uggetlenek. Legyen ξ¯r = ξr − 2 η k=1
E η¯k
l´essel ξ¯ = ξ − η¯B form´aban ´ırhatjuk. Ekkor (ξ − η¯B, η¯) olyan p + s dimenzi´ os, norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, amelynek els˝ o s ´es utols´ o p koordin´ at´ aja korrel´alatlan, ez´ert f¨ uggetlen. Mivel a ξ − η¯B ´es η¯ vektorok f¨ uggetlenek, ez´ert ζ = ξ − η¯B = ξ − ηU B f¨ uggetlen az η = η¯U ∗ vektort´ ol.
Megjegyz´es: A val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as illetve statisztika finomabb k´erd´eseinek vizsg´alat´aban bevezett´ek a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg ´es felt´eteles eloszl´as fogalm´ at olyan esetekben is, amikor a felt´etel nulla val´ osz´ın˝ us´eggel k¨ ovetkezik be. Bizonyos vizsg´alatokban fontos kisz´ amolni, hogy mi a felt´eteles eloszl´ asa egy t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis vektor bizonyos koordin´ at´ ainak azon felt´etel mellett, hogy a t¨obbi koordin´ ata ´ert´ek´et r¨ogz´ıtj¨ uk. E feladat 17
megold´ as´anak kulcsl´ep´ese a fent t´argyalt feladat megold´ asa. E k´erd´esre visszat´erek akkor, amikor a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´egeket fogjuk tanulni. L´ attuk, hogy egy norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor koordin´ at´ ai is norm´ alis eloszl´as´ uak. Ez az ´ all´ıt´ as nem megford´ıthat´ o. Ennek meg´ert´ese ´erdek´eben p´eld´at mutatok olyan k´et-dimenzi´ os (ξ, η) v´eletlen vektorra, amelynek mind a k´et koordin´ at´ aja, azaz mind a ξ mind az η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o norm´ alis eloszl´ as´ u, viszont a (ξ, η) vektor (mint k´et-dimenzi´ os v´eletlen vektor) nem norm´ alis eloszl´ as´ u. P´ elda v´ eletlen vektorra, amely nem norm´ alis eloszl´ as´ u, noha koordin´ at´ ai norm´ alis eloszl´ as´ uak. Defini´ aljuk a k¨ ovetkez˝ o (Ω, B, P) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ ot: Ω = [0, 1], B a Borel σ-algebra [0, 1]-en, ´es P a Lebesgue m´ert´ek. Defini´ aljuk a k¨ ovetkez˝ oξ ´es η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat ezen a mez˝ on: ξ(x) = Φ−1 (x), η(x) =
ξ(1 − x) ξ x − 12
ha 0 ≤ x < 21 . ha 12 ≤ x ≤ 1
Az ebben a p´eld´ aban defini´ alt ξ ´es η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok norm´ alis eloszl´ as´ uak, de a (ξ, η) v´eletlen vektor nem norm´ alis eloszl´ as´ u. Indokl´ as: A ξ ´es η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok azonos eloszl´ as´ uak. Tov´ abb´a, P (ξ > x) = λ(Φ(x), 1]) = 1 − Φ(x) . Az, hogy a (ξ, η) v´eletlen vektor nem norm´ alis eloszl´ as´ u k¨ ovetkezik p´eld´aul a P (ξ + η = alis eloszl´ as´ u lenne, akkor az lenne a ξ + η 0) = 21 azonoss´agb´ol. Ugyanis, ha (ξ, η) norm´ aci´o. val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o is. Ennek viszont ellentmond a P (ξ + η = 0) = 21 rel´ Kisz´amolom egy t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u vektor s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et is, (felt´eve, hogy az l´etezik). T´ etel a t¨ obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u vektor s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny´ enek az alakj´ ar´ ol. Legyen adva egy η = (η1 , . . . , ηk ) k-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, amelynek m = (m1 , . . . , mk ) = (Eη1 , . . . , Eηk ) a v´ arhat´ o ´ert´ek vektora ´es D = (dj,l ), dj,l = Cov (ηj , ηl ), 1 ≤ j, l ≤ k, a kovariancia m´ atrixa. Az η k-dimenzi´ os val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ onak akkor ´es csak akkor van s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye, ha a D kovariancia m´ atrix invert´ alhat´ o. Ha a D kovariancia m´ atrix invert´ alhat´ o, akkor az η = (η1 , . . . , ηk ) v´eletlen vektor s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye a k¨ ovetkez˝ o alak´ u: f (x) = f (x1 , . . . , xk ) =
1 −1 ∗ exp −(x − m)D (x − m) /2 , (2π)k/2 det D1/2
ahol x = (x1 , . . . , xk ) ∈ Rk k-dimenzi´ os vektor.
Bizony´ıt´ as: Az η = (η1 , . . . , ηk ) v´eletlen vektor eloszl´ asa megegyezik egy olyan η¯ = (¯ η1 , . . . , η¯k ) = (ξ1 , . . . , ξk )A+(m1 , . . . , mk ) v´eletlen vektornak az eloszl´ as´aval, amelyikre ξj , 1 ≤ j ≤ k, f¨ uggetlen standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, ´es D = A∗ A. Jegyezz¨ uk meg, hogy a line´aris algebra standard eredm´enyei szerint az A ´es A∗ m´ atrixok 18
egyszerre invert´ alhat´ oak vagy nem invert´ alhat´ oak, ´es a D = A∗ A m´ atrix akkor ´es csak akkor invert´ alhat´ o, ha az A m´ atrix invert´ alhat´ o. Ez´ert, ha a D m´ atrix nem invert´ alhat´ o, akkor az η vektornak nincs s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye, ha pedig a D m´ atrix invert´ alhat´ o, akkor a k¨ ovetkez˝ o m´ odon sz´amolhatunk: Alkalmazva az x = yA + m transzform´ aci´ot ξ = (ξ1 , . . . , ξk ), x = (x1 , . . . , xk ), 2 2 y = (y1 , . . . , yk ) ´es ϕ(y) = ϕ(y1 , . . . , yk ) = (2π)1k/2 e−(y1 +···+yk )/2 jel¨ol´essel kapjuk, hogy tetsz˝oleges m´erhet˝ o B ⊂ Rk halmazra −1
Z
ϕ(y) dy P (η ∈ B) = P (¯ η ∈ B) = P ξ ∈ (B − m)A = (y1 ,...,yk )∈(B−m)A−1 Z 1 ϕ (x − m)A−1 dx = | det A| (x1 ,...,xk )∈B alak´ u, ahol | det A| az x = yA + m lek´epez´es Jacobian-ja. E formul´ ab´ ol kiolvashat´ o, hogy a vizsg´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o alt norm´ 1 −1 s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye a | det A| ϕ (x − m)A f¨ uggv´eny. Annak ´erdek´eben, hogy bebizony´ıtsuk a t´etelt vegy¨ uk ´eszre, hogy mivel D = A∗ A, ez´ert det D = det A∗ det A = 2 (det A) , ´es | det A| = det D1/2 . Tov´ abb´a, −1
ϕ (x − m)A
mert A−1 A−1
∗
((x − m)A−1 , (x − m)A−1 ) 1 exp − = 2 (2π)k/2 ) ( ∗ (x − m)A−1 A−1 (x − m)∗ 1 exp − = 2 (2π)k/2 (x − m)(A∗ A)−1 (x − m)∗ 1 exp − = 2 (2π)k/2 −1 (x − m)D (x − m)∗ 1 , exp − = 2 (2π)k/2
= A−1 (A∗ )
−1
= (A∗ A)
−1
. Innen k¨ ovetkezik a T´etel a´ll´ıt´ asa.
Megjegyz´es: Egy t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´eny´et megad´o k´epletben a kovariancia m´ atrix szerepel, m´ıg a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et megad´o k´epletben a kovariancia m´ atrix inverze. Mivel a karakterisztikus f¨ uggv´eny kisz´ amol´ as´aban nem kell invert´ alni a kovariancia m´ atrixot, ez´ert a karakterisztikus f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel k¨ onnyebb vizsg´alni a norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´enyek tulajdons´agait. Visszat´erek az el˝ oad´as elej´en megfogalmazott a) probl´em´ahoz. Megfogalmazom annak egy term´eszetes ´ altal´ anos´ıt´ as´at, amely fontos szerepet j´atszik a matematikai statisztik´aban. Az itt megfogalmazott feladat megold´ as´ara kidolgozott m´ odszert h´ıvj´ ak az irodalomban χ-n´egyzet pr´ ob´ anak. Megmutatom, hogy a χ-n´egyzet pr´ oba alapj´ aul szolg´ al´ o eredm´eny a t¨obb-dimenzi´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel ´es bizonyos line´aris algebrai eredm´enyek k¨ ovetkezm´enye. A k¨ ovetkez˝ o feladattal fogok foglalkozni. 19
Legyen adva k urna, ´es ellen˝ orizz¨ uk azt a feltev´est, amely szerint ha egy goly´ot v´eletlen¨ ul bedobunk ezen urn´ak valamelyik´ebe, akkor az pj , pj > 0, val´ osz´ın˝ us´eggel esik a jk P pj = 1. Ezen feltev´es ellen˝ orz´es´enek az ´erdek´eben dobjunk egym´ ast´ ol ik urn´aba, j=1
f¨ uggetlen¨ ul n goly´ot ezekbe az urn´akba, ´es jel¨olje νn (j) a j-ik urn´aba es˝o goly´ok sz´am´at. D¨onts¨ uk el a kapott eredm´eny alapj´ an, hogy feltev´es¨ unk helyes volt-es. Be fogjuk l´atni, hogy feltev´es¨ unk teljes¨ ul´ese eset´en a
k P
j=1
(νn (j)−npj )2 npj
val´ osz´ın˝ us´egi v´ al-
toz´oknak l´etezik hat´areloszl´asuk n → ∞ eset´en, ´es ez a hat´areloszl´as az u ´gynevezett k − 1 szabads´agfok´ u χ2 (sz´ oban khi n´egyzet) eloszl´ as. Megfogalmazom ezt az eredm´enyt pontosabban is. El˝osz¨ or bevezetem a χ2 eloszl´asok definici´ oj´at. A k szabads´ agfok´ u χ2 eloszl´ as definici´ oja. Legyen ξ1 , . . . , ξk k darab f¨ uggetlen k P standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Ekkor a ξj2 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o j=1
2
eloszl´ as´ at nevezz¨ uk k szabads´ agfok´ u χ (k) eloszl´ asnak.
Megjegyz´es: L´ attuk a gyakorlaton, hogy a 2 szabads´agfok´ u χ2 (2) eloszl´ as a λ = 12 param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´ as, azaz az az eloszl´ as, amelynek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye az 1 −x/2 , ha x ≥ 0, ´es f (x) = 0, ha x < 0. f (x) = 2 e Ezut´an megfogalmazom a χ2 pr´ oba alapj´ aul szolg´ al´ o eredm´enyt. T´ etel urnadob´ as eredm´ eny´ enek aszimptotikus viselked´ es´ er˝ ol. Legyen adva k darab urna, amelyekbe bedobunk egym´ ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul goly´ okat u ´gy, hogy mindegyik k P goly´ o pj val´ osz´ın˝ us´eggel esik a j-ik urn´ aba, 1 ≤ j ≤ k, pj = 1. Jel¨ olje νn (j) a j=1
j-ik urn´ aba es˝ o goly´ ok sz´ am´ at n dob´ as ut´ an. Ekkor a Tn =
k X (νn (j) − npj )2 j=1
npj
,
n = 1, 2, . . . ,
val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban konverg´ alnak a k − 1 szabads´ agfok´ u χ2 (k − 1) eloszl´ ashoz, ha n → ∞. (Az urn´ ak k sz´ ama r¨ ogz´ıtett.) Megjegyzem, hogy a fenti t´etelben megjelen˝o hat´areloszl´as csak az urn´ak k sz´am´at´ ol f¨ ugg, de nem f¨ ugg a pj , 1 ≤ j ≤ k, val´ osz´ın˝ us´egekt˝ ol. Ez jelzi azt, hogy term´eszetes statisztik´at vezett¨ unk be, olyat amelyben a k¨ ul¨ onb¨oz˝ o urn´akban lev˝ o goly´ok sz´am´anak az elt´er´ese annak v´ arhat´ o ´ert´ek´et˝ ol egyforma fontos szerepet j´ atszik. Az, hogy a hat´areloszl´ as a k − 1 szabads´agfog´ u χ2 (k − 1) eloszl´ as, azzal f¨ ugg ¨ ossze, hogy b´ar k v´eletlen sz´am s´ ulyozott n´egyzet¨ osszeg´et tekintett¨ uk, (az egyes urn´akba es˝o goly´ok sz´am´anak elt´er´es´et tekintett¨ uk azok v´ arhat´ o ´ert´ek´et˝ ol), de ezek k¨ oz¨ ott van egy determinisztikus osszef¨ ¨ ugg´es. Nevezetesen az, hogy az ¨ osszes urn´aba es˝o goly´ok sz´ama minusz azok v´ arhat´ o ´ert´eke null´ aval egyenl˝o. Ezt inform´ alisan u ´gy szokt´ak interpret´alni, hogy k − 1 20
szabads´agi fokkal rendelkez˝ o v´eletlen vektorok koordin´ at´ ainak a n´egyzet¨ osszeg´et tekintett¨ uk, illetve azok hat´areloszl´as´at. Ilyen esetben a hat´areloszl´ast olyan v´eletlen osszeg adja meg, amelyben mindegyik szabads´agi foknak egy olyan o¨sszeadand´ ¨ o felel meg, amely f¨ uggetlen a t¨obbi ¨ osszeadand´ ot´ ol, ´es az egy standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o n´egyzete. A t´etel bizony´ıt´ as´at t¨obb l´ep´esben adom meg. Az els˝ o l´ep´esben bebizony´ıtom a hat´areloszl´ast´etelt, de a hat´areloszl´as nem a sz´amunkra rokonszenves alakban fog megjelenni. Lemma a χ-n´ egyzet statiszika hat´ areloszl´ as´ anak l´ etez´ es´ er˝ ol. Tekints¨ uk az urnadob´ as eredm´eny´enek aszimptotikus viselked´es´er˝ ol sz´ ol´ o t´etelt ´es az abban defini´ alt k P (νn (j)−npj )2 νn (j) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat illetve a seg´ıts´eg¨ ukkel bevezetett Tn = , npj j=1
n = 1, 2, . . . , kifejez´eseket. A Tn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban konverg´ alnak egy olyan nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u (ξ1 , . . . , ξk ) norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor koordin´ at´ ainak k P ξj2 n´egyzet¨ osszeg´ehez, amelynek D = (di,j ), 1 ≤ i, j ≤ k, kovariancia m´ atrix´ at a j=1
√ di,j = − pi pj ,
ha i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ k,
dj,j = 1 − pj
1≤j≤k
(2)
k´eplet adja meg. (l)
(l)
A lemma bizony´ıt´ asa. Defini´ aljuk a k¨ ovetkez˝ o X (l) = (X1 , . . . , Xk ) k-dimenzi´os (l) v´eletlen vektorokat. Xj = √1pj , ha az l-ik dob´asban a goly´o a j-ik urn´aba esett, (l)
´es Xj
= 0, ha nem a j-ik urn´aba esett, 1 ≤ l ≤ n, 1 ≤ j ≤ k. Vezess¨ uk be (n) (n) (n) (n) (n) 1 (n) osszeget, ahol S¯j = √n (Sj − ESj ), tov´ abb´a a S¯ = (S¯1 , . . . , S¯k ) normaliz´alt ¨ n P (n) (l) ´es Sj = √1n uggetlenek, kovariXj , 1 ≤ j ≤ k. Ekkor a X (l) , 1 ≤ l ≤ n, vektorok f¨ l=1
(n)
= Sj , 1 ≤ j ≤ k, ´es ancia m´ atrixuk a (2) formul´ aban defini´alt D = (di,j ) m´ atrix, ν√n p(j) j a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel alapj´ an az S¯(n) v´eletlen vektorok eloszl´ asban konverg´ alnak egy nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u a (2) formul´ aban megadott kovarianca m´ atrix´ u k P ¯(n) 2 (ξ1 , . . . , ξk ) norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektorhoz. Ezenk´ıv¨ ul igaz a Tn = Sj j=1
azonoss´ag. Ez´ert a a lemma ´ all´ıt´ asa k¨ ovetkezik az 1. t´etel az eloszl´ asbeli konvergencia tuk P lajdons´ agair´ ol n´even megfogalmazott eredm´anyb˝ol u(x1 , . . . , xk ) = x2j v´ alaszt´ assal. j=1
Ezut´an a t´etel bizony´ıt´ as´ahoz elegend˝ o a k¨ ovetkez˝ o lemm´at bel´ atni.
Lemma a χ2 statisztik´ aban megjelen˝ o hat´ areloszl´ ast´ etel jellemz´ es´ er˝ ol. Legyen (ξ1 , . . . , ξk ) norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o nulla v´ arhat´ o ´ert´ekkel ´es a (2) fork P mul´ aban defini´ alt D = (di,j ), 1 ≤ i, j ≤ k, kovariancia m´ atrix-szal. Ekkor ξj2 j=1
2
χ (k − 1) eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o.
21
Ennek a lemm´anak a bizony´ıt´ as´aban hasznos a k¨ ovetkez˝ o o¨nmag´ aban is ´erdekes lemma. Lemma norm´ alis eloszl´ as´ u v´ eletlen vektor koordin´ ata n´ egyzet¨ osszeg eloszl´ as´ ar´ ol. Legyen η = (η1 , . . . , ηk ) k-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o nulla v´ arhat´ o ´ert´ekkel ´es D kovariancia m´ atrix-szal. Legyenek a D m´ atrix saj´ at´ert´ekei a k P λ1 , . . . , λk sz´ amok (multiplicit´ assal). Ekkor a ηj2 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asa megj=1
egyezik egy
k P
j=1
λj ξj2 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´ aval, ahol ξ1 , . . . , ξk f¨ uggetlen standard
norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok. Bizony´ıt´ as: A D m´ atrix fel´ırhat´ o D = U ΛU ∗ alakban, ahol U unit´er, Λ pedig olyan diagon´ alis m´ atrix, amelynek ´ atl´ oj´aban a D m´ atrix λj saj´ at´ert´ekei vannak (multiplicit´assal). (Az U m´ atrix is fel´ırhat´ o explicit m´ odon a D m´ atrix saj´ atvektorainak seg´ıts´eg´evel, de erre a t´enyre most nincs sz¨ uks´eg¨ unk.) Az η = (η1 , . . . , ηk ) v´eletlen vektor eloszl´ asa megegyezik egy η¯ = (¯ η1 , . . . , η¯k ) = 1/2 ∗ 1/2 ∗ ξΛ U = (ξ1 , . . . , ξk )Λ U v´eletlen vektor eloszl´ as´aval, ahol ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) standard norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor. Val´ oban η¯ norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor, melynek v´ arhat´ o ´ert´eke nulla ´es kovariancia m´ atrixa a (Λ1/2 U ∗ )∗ Λ1/2 U ∗ = U Λ1/2 Λ1/2 U ∗ = U ΛU ∗ = D m´ atrix. Innen az is k¨ ovetkezik, hogy a
k P
j=1
a
k P
j=1
ηj2 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asa megegyezik
η¯j2 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´aval. Vegy¨ uk ´eszre, hogy az η˜ = (˜ η1 , . . . , η˜k ) =
η¯U = (¯ η1 , . . . , η¯k )U vektorra teljes¨ ul a
k P
j=1
η¯j2 =
k P
j=1
η˜j2 azonoss´ag, mert U unit´er, teh´at
t´avols´ agtart´o transzform´ aci´o. Viszont η˜ = η¯U = ξΛ1/2 U ∗ U = ξΛ1/2 . Ez azt jek k k P 2 P P 1/2 lenti, hogy a ηj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asa megegyezik a (λj ξj )2 = λj ξj2 j=1
j=1
j=1
val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´aval, ´es ez a Lemma ´ all´ıt´ asa.
A χ2 statisztik´ aban megjelen˝ o hat´ areloszl´ ast´etel jellemz´es´er˝ ol sz´ ol´ o lemma bizony´ıt´ asa. Az el˝ oz˝ o lemma alapj´ an el´eg azt megmutatni, hogy a (2) k´epletben defini´alt D kovariancia m´ atrixnak az 1 k − 1 multiplicit´as´ u saj´ at´ert´eke (azaz a D m´ atrixnak k − 1 ortonorm´alt 1 saj´ at´ert´ekkel rendelkez˝ o saj´ atvektora van) ´es ezenk´ıv¨ ul m´eg a nulla a saj´ at´ert´eke 1-szeres multiplicit´assal. ´Irjuk fel a D m´ atrixot D = I − B alakban, ahol I az identit´ as m´ atrix, B = (bi,j ), √ √ atrix saj´ atvektorait ´es saj´ at´ert´ekeit egyszer˝ uen ki bi,j = pi pj , 1 ≤ i, j ≤ k. A B m´ √ √ tudjuk sz´amolni. Val´ oban, az e1 = ( p1 , . . . , pk ) vektor a B m´ atrix 1 saj´ at´ert´ek˝ u saj´ atvektora. Eg´esz´ıts¨ uk ki az e1 vektort egy tetsz˝oleges e1 , e2 , . . . , ek ortonorm´alt b´aziss´a az Rk Euklideszi t´erben. Ekkor az ej , 2 ≤ j ≤ k, vektorok a B m´ atrix 22
nulla saj´ at´ert´ek˝ u saj´ atvektorai, mert az (e1 , ej ) = 0 (azaz a
k √ P
(j)
pr xr
= 0, ha
r=1 (j)
(j)
atrix alakj´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy ej B = 0. ej = (x1 , . . . , xk )) azonoss´agb´ol ´es a B m´ Abb´ol, hogy az ej vektorok a B m´ atrix saj´ atvektorai λ1 = 1 ´es λj = 0, ha j ≥ 2 saj´ at´ert´ekkel k¨ ovetkezik, hogy e vektorok a D = I − B m´ atrixnak is saj´ atvektorai ¯ j = 1 − λj saj´ ¯ 1 = 0, ´es λ ¯ j = 1, ha 2 ≤ j ≤ k. λ at´ert´ekekkel, azaz λ Kieg´ esz´ıt´ es: Megjegyz´ es a t¨ obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel alakj´ ar´ ol. A t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt az (1) formul´ aban fogalmaztam meg. Eszerint az ebben a formul´ aban fel´ırt azonoss´ag ´erv´enyes a hat´areloszl´as minden folytonoss´ agi pontj´aban. Abban az esetben, ha a (norm´alis) hat´areloszl´as kovariancia m´ atrixa elfajul´o, akkor ez az eloszl´ as az Euklideszi t´er egy (val´ odi) alter´ere van koncentr´ alva, ´es a hat´areloszl´asnak lehetnek szakad´ asi pontjai. Ez a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelben megjelen˝o megszor´ıt´ as nem okoz probl´em´at az alkalmaz´asokban. Megmutatom m´egis, hogy ´erv´enyes a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelnek az az altal´ ´ anosabb alakja, amely szerint az (1) formul´ aban megfogalmazott azonoss´ag minden k (x1 , . . . , xk ) ∈ R pontban ´erv´enyes, ´es nemcsak a ΦD hat´areloszl´asf¨ uggv´eny folytonoss´agi pontjaiban. Ennek az eredm´enynek a bizony´ıt´ asa azon m´ ulik, hogy a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelben olyan v´eletlen vektorok hat´areloszl´as´at tekintett¨ uk, amelyek ugyanabba az alt´erbe vannak koncentr´ alva, mint a (norm´alis) hat´areloszl´ as. Az (1) formula ´ altal´ anos alakj´ anak bizony´ıt´ asa ´erdek´eben bebizony´ıtok egy lemm´at. Ennek megfogalmaz´asa el˝ ott felid´ezem, hogy a line´aris algebr´aban bevezett¨ uk egy m´ atrix rangj´ at. Ez egyenl˝o a m´ atrix sorvektorai (vagy oszlopvektorai) ´ altal kifesz´ıtett alt´er dimenzi´oj´aval. (A sor illetve oszlopvektorok ´ altal kifesz´ıtett alt´er dimenzi´ oja megegyezik. Ezt ´es n´eh´ any tov´ abbi alapvet˝ o line´aris algebrai t´enyt k¨ ul¨ on magyar´ azat n´elk¨ ul fogok haszn´ alni a bizony´ıt´ asban.) Lemma t¨ obb-dimenzi´ os v´ eletlen vektorok eloszl´ as´ ar´ ol. Legyen egy nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektor D kovariancia m´ atrix´ anak a rangja r, r ≤ k. Ekkor l´etezik a k-dimenzi´ os Euklideszi t´ernek olyan csak a D kovariancia m´ atrixt´ ol f¨ ugg˝ o S r-dimenzi´ os altere, amelyre igaz, hogy a ξ v´eletlen vektor egy val´ osz´ın˝ us´eggel ebbe az S alt´erbe van koncentr´ alva, azaz P ((ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) ∈ S) = 1. S˝ ot igaz a k¨ ovetkez˝ o k P a ´ll´ıt´ as is. L´etezik r olyan ηj = a(j, l)ξl , 1 ≤ j ≤ r, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o csak a l=1
D kovariancia m´ atrixt´ ol f¨ ugg˝ o a(j, l) egy¨ utthat´ okkal, amelyekre Eηj2 = 1, 1 ≤ j ≤ r, Eηj ηl = 0, ha 1 ≤ j, l ≤ r, ´es j 6= l. Ezenk´ıv¨ ul a ξj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok is kifejezhet˝ oek r P az ηj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok line´ aris kombin´ aci´ ojak´ent ξj = b(j, l)ηl , 1 ≤ j ≤ k, l=1
alakban alkalmas csak a D kovariancia m´ atrixt´ ol f¨ ugg˝ o b(j, l) egy¨ utthat´ okkal.
Az (1) formula kiterjeszt´ese az ´ altal´ anos esetre azon m´ ulik, hogy a tekintett normaliz´alt r´eszlet¨ osszegek ugyanabba az alt´erbe vannak koncentr´ alva, mint a hat´areloszl´as. Ezt a line´aris alteret az a k´eplet hat´arozza meg, amely megmutatja, hogy a ξ v´eletlen vektort hogyan lehet kifejezni az r ηj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o line´aris kombin´aci´ojak´ent. 23
A lemma bizony´ıt´ asa. A D kovariancia m´ atrixot fel lehet ´ırni D = U Λ2 U ∗ alakban, ahol U unit´er Λ pedig diagon´ alis m´ atrix, amelynek els˝ o r diagon´ alis eleme, λ1 , . . . , λr szigor´ uan pozit´ıv, a tov´ abbi diagon´ alis elemek pedig null´ ak. (Itt haszn´ altuk ki, hogy a D m´ atrix rangja r.) Jel¨olje uj,l a D m´ atrix fenti reprezent´aci´oj´aban szerepl˝o U unit´er m´ atrix j-ik sor´ aban ´es l-ik oszlop´aban lev˝ o elemet. Defini´ aljuk az η¯ = (¯ η1 , . . . , η¯k ) k P vektort az η¯j = uj,l ξl , 1 ≤ j ≤ k, k´eplettel. (M´ atrix jel¨ol´essel η¯ = ξU ∗ ). Ekkor l=1
ξ = η¯U , azaz ξj =
k P
η¯l ul,j , ´es n´emi sz´amol´ assal azt kapjuk, hogy a η¯ kovariancia
l=1
m´ atrixa az U ∗ DU = Λ2 m´ atrix. Innen speci´alisan az is ad´ odik, hogy E η¯j2 = 0, ´es η¯ η¯j = 0 egy val´ osz´ın˝ us´eggel minden r + 1 ≤ j ≤ k indexre. Defini´ aljuk az ηj = λjj , 1 ≤ j ≤ r, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat, ´es legyen a(j, l) = λj uj,l , 1 ≤ j ≤ r, 1 ≤ l ≤ k. k P Ekkor Eηj2 = 1, Eηj ηl = 0, ha j 6= l, 1 ≤ j, l ≤ r, ´es ηj = a(j, l)ξl , 1 ≤ j ≤ r.
Tov´ abb´a ξj =
r P
l=1
l=1
b(j, l)ηl , 1 ≤ j ≤ k, b(j, l) = ul,j λl egy¨ utthat´okkal. V´eg¨ ul az S alt´er,
ahov´ a a ξ vektor van koncentr´ alva megegyezik a ξj =
r P
l=1
alak´ u vektorokb´ol ´ all´ o alt´errel.
b(j, l)yl , 1 ≤ j ≤ k, 1 ≤ l ≤ r,
Az (1) formula bizony´ıt´ asa az a ´ltal´ anos esetben. Alkalmazzuk az el˝ oz˝ o lemm´at a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelben bevezetett mennyis´egek seg´ıts´eg´evel a ξ (n) = (n) (n) (n) (n) (n) (ξ1 , . . . , ξk ), ξj = √1n (Sj − ESj ), 1 ≤ j ≤ k, v´eletlen vektorra minden n = 1, 2, . . . indexre. Jegyezz¨ uk meg, hogy ezen vektorok D kovariancia m´ atrixa nem f¨ ugg (n) az n indext˝ ol. A t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etelb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy az ηj = k P (n) a(j, l)ξl , 1 ≤ j ≤ r, v´eletlen vektorok eloszl´ asban konverg´ alnak az r-v´altoz´ os l=1
standard norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´enyhez, amely minden pontban folytonos. M´asr´eszt a minket ´erdekl˝ o val´ osz´ın˝ us´egeket ki lehet fejezni ! r r X X (n) (n) (n) (n) b(1, l)ηl < x1 , . . . , b(k, l)ηl < xk P (ξ1 < x1 , . . . , ξk < xk ) = P l=1
l=1
alakban. Azt kell bel´ atni, hogy lim P
n→∞
r X
(n) b(1, l)ηl
< x1 , . . . ,
l=1
=P
r X
b(1, l)ζl < x1 , . . . ,
l=1
r X
l=1 r X l=1
(n) b(k, l)ηl
< xk
b(k, l)ζl < xk
!
! ,
ahol ζ1 , . . . , ζr f¨ uggetlen standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok. Ezt be lehet l´atni a t¨obbv´ altoz´ os centr´ alis hat´areloszl´ast´etel ´es a 2. t´etel az eloszl´ asbeli konvergencia tulajdons´ agair´ ol seg´ıts´eg´evel. A r´eszletek kidolgoz´ as´at elhagyom. 24
