Valószínűségszámítás, gráfok, statisztika 1. Egy 660 fős iskola tanulóinak 60%-a lány. A lány tanulók 25%-a a 12. évfolyamra jár. Egy tetszőleges tanulót választva az iskola tanulói közül, mennyi a valószínűsége, hogy ő nem12.es lány? 2. Egy dobókockával egyszer dobunk. Peti arra tippelt, hogy hatost dobtunk, Dani arra, hogy ötöst. Mennyi a valószínűsége, hogy valamelyikük eltalálta a dobott számot? 3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva, egyszer páros, egyszer páratlan számot dobunk? 4. Két piros és két fehér golyót teszünk le véletlenszerűen egy sorba. Mennyi a valószínűsége, hogy a két piros golyó nem kerül egymás mellé? 5. Egy dobozban 5 piros golyó van. Hány fehér golyót tegyünk a dobozba, hogy a fehér golyó húzásának valószínűsége legalább 0,8 legyen? 6. Tíz festékpatron közül kettő üres. Véletlenszerűen kiválasztva közülük hármat, mekkora annak a valószínűsége, hogy lesz közöttük üres? 7. A 23𝑥45𝑦 hatjegyű számban az x és y helyére tetszőleges számjegyeket beírva, mennyi a valószínűsége, hogy 15-tel osztható számot kapunk? 2015
8. A 2015−5𝑛 ≥ 0 egyenlőtlenség pozitív egész megoldásai közül egyet véletlenszerűen kiválasztva, mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám osztható 5-tel? 9. Egy dobozban 5 korong van, amelyeken az 1, 2, 3, 4, 5 szám jelek közül egy-egy szerepel. Három korongot húzunk ki egymás után úgy, hogy a kihúzottat az új húzás előtt visszatesszük a dobozba. Mi a valószínűsége annak, hogy a három korongról leolvasott számjegyek szorzata 20? 10. Egy fekete és egy piros dobókockával dobunk egyszerre. A piroson lévő értéket tekintsük egy kétjegyű szám első számjegyének, a feketén lévő értéket a második számjegyének. Mennyi a valószínűsége, hogy a) Az első számjegy nagyobb, mint a második? b) A dobott kétjegyű szám négyzetszám? 11. Egy 60 fős középiskolai közösséget vizsgálunk. Tudjuk, hogy a csoport kétharmada lány. A fiúk 18 ember kivételével nem szeretik a matekot. A lányoknak csupán az egynegyede nem szereti a matekot, a többiek imádják. Azon tanulók, akik nem szeretik a matekot, középszinten tesznek belőle érettségi vizsgát. A matekot kedvelő fiúk fele középszinten, a másik fele pedig emelt szinten szeretne érettségizni. A matekot szerető lányok egyharmada tervez középszintű vizsgát tenni, a többiek emeltre mennek. a) Összesen hány tanuló fog középszinten érettségizni matekból? b) Mekkora eséllyel megy egy véletlenszerűen kiválasztott fiú emelt szintű matematika érettségire? c) Mekkora eséllyel lesz egy véletlenszerűen kiválasztott tanuló középszinten érettségiző lány?
d) Véletlenszerűen választunk két diákot a közösségből. Mekkora az esély arra, hogy mindketten szeretik a matekot, de középszinten érettségiznek? e) A százalékos arányokat tekintve a fiúk vagy a lányok szeretik jobban a matekot? 12. Egy tétel áru harmadrésze első osztályú. Tíz darabot kiválasztunk a tételből találomra. A kiválasztás egyenként megy végbe, és a választott árut rögtön — a következő kiválasztása előtt — visszatesszük a többi közé. Mennyi a valószínűsége, hogy a) Pontosan három tétel lesz másodosztályú? b) Lesz a kiválasztott termékek között másodosztályú? 13. Fej vagy írás játékot játszunk. Melyik esemény nagyobb valószínűségű: négy dobásból pontosan háromszor dobunk fejet vagy nyolc dobásból éppen ötször lesz fej? 14. Egy üzemben a próbagyártás során 20 gép készül el, amelyek közül 5 javításra szorul. A teljes mennyiségből 4 találomra kiszemelt gépet küldenek felülvizsgálatra. A gyártás akkor indulhat meg, ha a felülvizsgált gépek közül legfeljebb egy szorul javításra. Mennyi a valószínűsége annak, hogy megindulhat a gyártás? 15. Henrik Lundqvist az amerikai profi jégkorong ligában (NHL) szereplő New York Rangers kapusa, a 2014/2015-ös szezon eddig lebonyolított részében a kapura lövések 92,2%-át hárította. Mennyi a valószínűsége, hogy a következő mérkőzésen 20 kapura lövésből pontosan egyszer gólt kap? 16. Rajzoljon egy olyan öt csúcspontú gráfot, amelynek 4 éle van! 17. Döntse el az alábbi négy állítás közül melyik igaz és melyik hamis! A: Egy 6 pontot tartalmazó teljes gráfnak 15 éle van B: Ha egy teljes gráfnak páros számú éle van, akkor a pontok száma is páros C: Nincs olyan 6 pontú gráf, amelyben a fokszámok összege 11. 18. Tekintsük a következő, egyszerű gráfokra vonatkozó állítást: Ha a gráf minden pontjának fokszáma legalább 2, akkor a gráf biztosan összefüggő. a) Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás! Válaszát indokolja! b) Fogalmazza meg az állítás megfordítását! Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás megfordítása! Válaszát indokolja! 19. Egy álláshirdetésre négyen jelentkeznek: Aladár, Béla, Cecil és Dénes. Az adott időben megjelennek a vállalatnál, s akkor kiderül, hogy közülük hárman, Aladár, Béla és Cecil osztálytársak voltak. Dénes csak Aladárt ismeri, ők régebben egy kosárlabdacsapatban játszottak. Szemléltesse az ismeretségeket gráffal! (Az ismeretségek kölcsönösek.) 20. Egy négytagú csoportban minden tagnak pontosan két ismerőse van a csoport tagjai között. Szemléltessen gráffal egy ilyen ismeretségi rendszert! (Az ismeretség kölcsönös.) 21. Rajzoljon egy gráfot, melynek 5 csúcsa és 5 éle van, továbbá legalább az egyik csúcsának a fokszáma 3.
22. Tekintsük a következő halmazokat: P = {összefüggő gráfok}, Q = {egyszerű gráfok}, R = {kört tartalmazó gráfok} a)Helyezze el az alábbi gráfok ábrájának sorszámát a fenti halmazábrán a megfelelő helyre
b) Rajzoljon egy hatpontú fagráfot és 5-ös számmal helyezze el a halmazábrán! 23. Józsefnek 3 gyermeke volt: Andor, Mátyás és Dávid. Mátyásnak 3 fia született, Dávidnak 1, Andornak egy sem. Szemléltesse gráffal az apa-fiú kapcsolatokat! Hány csúcsa és hány éle van ennek a gráfnak? 24. Adj meg olyan öt nem csupa azonos elemből álló adathalmazt, amelynek átlaga, módusza és mediánja egyenlő! 25. A növekvő sorrendben megadott 1, 3, 8, 10, N adatok mediánja megegyezik az átlaggal. Add meg az N értékét! 26. Az alábbi táblázat egy nagy divatáru üzletben eladott pólók számát mutatja méretek szerinti bontásban: A pólók mérete Eladott darabszám XS 60 S 125 M 238 L 322 XL 198 XXL 173 a) Mennyi az eladott M-es méretű pólók relatív gyakorisága? b) Melyik az egyes pólók méretéből álló adatsokaság módusza? c) Méretenként hány darabot adnának el ugyanekkora forgalom esetén, ha mindegyik méretből ugyanannyi kelne el? 27. Egy dolgozat értékelésének eloszlását mutatja a következő táblázat: osztályzat
1
2
3
4
5
gyakoriság
0
2
7
8
3
a) Határozza meg az adatok mediánját, móduszát, átlagát szórását!
b) Határozza meg a hármas osztályzat előfordulásának relatív gyakoriságát! c) Később a két hiányzó is megírta a dolgozatot és így a csoport átlaga századokra kerekítve 3,591 lett. Milyen osztályzatokat kaphatott a két tanuló? 28. A Matematika Határok Nélkül versenyre a középiskolák 9. osztályai jelentkezhetnek. A versenyen résztvevő minden osztály ugyanabban az időben, ugyanazt a feladatsort oldja meg. Az alábbi táblázat 28 osztálynak a versenyen elért eredményét tartalmazza. Elért pontszám
83
76
69
67
65
61
60
58
56
55
Gyakoriság
2
4
2
2
4
3
2
4
4
1
a) Számítsa ki, hogy eltér-e egymástól legalább 1 ponttal a pontszámok átlaga és mediánja! „Kiváló” minősítést érdemelnek, akik 70 vagy annál több pontot értek el a versenyen, „Nagyon jó”-t, akik 60 vagy annál több, de 70-nél kevesebb pontot, és „Jó” minősítést kapnak, akik 50 vagy annál több, de 60-nál kevesebb pontot szereztek. b) A megadott táblázat adatainak felhasználásával ábrázolja a három minősítés gyakoriságát oszlopdiagramon! A versenyszervezők a táblázatban felsorolt 28 osztály dolgozatai közül a hat legjobban sikerült dolgozat javítását ellenőrzik. Ezt a hat dolgozatot véletlenszerű sorrendben egymásra helyezik. c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy legfelül 83 pontos, közvetlenül alatta pedig 76 pontos dolgozat fekszik? 29. Egy kutatólaboratóriumban technikusi végzettséggel vagy egyetemi diplomával lehet dolgozni. A laborban dolgozó 50 ember közül 42 főnek van technikusi oklevele és 28 főnek van egyetemi diplomája. a) Közülük hány dolgozónak van csak technikusi végzettsége? A labor 50 dolgozójának átlagkeresete 165 000 forint. Közülük a 30 év alattiak átlagkeresete 148 000 forint, a többieké 173 000 forint. b) Hány 30 év alatti dolgozója van a labornak? A hétvégén megrendezésre kerülő konferenciára 25 kutató szeretne elmenni, közülük 17 nő és 8 férfi. A kutatóintézet a 25 jelentkező 20%-ának tudja csak a részvételi díját kifizetni. c) Ha a vezetőség véletlenszerűen választaná ki, hogy kinek a költségeit fizeti, mekkora lenne a valószínűsége annak, hogy csak nőket választanak ki? Válaszát két tizedes jegyre kerekítve adja meg! 30. Vízilabdacsapatunk játékosainak évekre kerekített életkor szerinti megoszlását mutatja az alábbi táblázat: Életkor (év) 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Játékosok száma 1 1 3 2 3 2 4 2 1 (fő) a) Az edzésterv szerint a játékosokat három csoportban foglalkoztatják:
28 1
A 22 év alattiak tartoznak az „utánpótlás” kategóriába, a 25 év felettiek a „rangidősöket” alkotják, míg a többiek a „húzóemberek” csoportját képezik. Ábrázolja a három kategóriába tartozó játékosok számát kördiagramon! b) Számítsa ki a csapat átlagéletkorát! c) Egy sajtófogadásra a csapat két 25 éves, két 28 éves és egy 20 évesnél fiatalabb játékosát sorsolják ki. Hányféle kimenetele lehet a sorsolásnak?
