27.B
27.B
27.B
Digitális alapáramkörök – Logikai alapfogalmak
Mutassa be a logikai függvények leírási módjait: a szövegeset, az igazság táblázatosat, a logikai vázlatosat és az algebrai alakkal történı leírást! Értelmezze az egy-, a két- és a többváltozós logikai függvényeket! Ismertesse a logikai (Boole) algebra alaptörvényeit és alaptételeit! Hasonlítsa össze a minterm- és a maxterm táblák felépítésének elvét! Alapfogalmak, logikai függvények és leírásmódjaik A függvénykapcsolatok jelölése A függvénykapcsolatokat logikai szimbólumokkal jelöljük:
• •
A „•” az ÉS kapcsolat jele a „+” a VAGY kapcsolat jele
A függvénykapcsolatok száma Mivel a bemeneti és a kimeneti változók is kétértékőek, ezért a független változók számától (n) függ a képezhetı függvénykapcsolatok száma: n
K=2 .
A logikai függvények csoportosítása A logikai függvényeket csoportosíthatjuk: • •
a logikai változók idıbeni függése szerint, a logikai változók száma szerint.
A változók idıbeni változása szerint: •
Idıfüggetlen logikai függvények: Az idıfüggetlen logikai függvények közös jellemzıje, hogy a függı (kimeneti) változó értéke csak a független (bemeneti) változó értékétıl függ. Az ilyen típusú függvényeket valósítják meg a kombinációs logikai hálózatok. Jelölésük általános alakban: F = f(X1,X2,X3,...Xn).
•
Idıfüggı logikai függvények: Az idıfüggı logikai függvények jellemzıje, hogy a függı változó aktuális értékét nemcsak a független változók adott idıpontban felvett értéke, hanem más idıpillanatban felvett értékei is meghatározzák. Ez azt jelenti, hogy az események sorrendje is befolyásolja a kimenet állapotát. Az ilyen típusú függvényeket megvalósító hálózatokat nevezzük szekvenciális hálózatoknak.
A független változók száma szerint: • • •
Egyváltozós logikai függvényekA kimeneti eseményük egyetlen bemeneti változótól függ, a gyakorlatban ritkán fordulnak elı. Kétváltozós logikai függvényekA kimeneti eseményük két független bemeneti változó értékétıl függ. Többváltozós logikai függvények
A kimeneti eseményük „n” számú független bemeneti változó értékétıl függ, a gyakorlatban ezekkel találkozunk a leggyakrabban.
A logikai függvények grafikus megadása Veitch-tábla A függı változók értékeit egy cellákból álló diagramban ábrázoljuk: a független változókat a diagram kerete mentén jelöljük. Azokban a sorokban és oszlopokban, ahol jelölés (súlyozás) van, a független változó igaz értékő. A változó igenleges vagy nemleges értékét - mivel a bekövetkezés valószínősége 50% - egyenlı területrésszel ábrázoljuk. Síkbeli Veitch-táblán 4, térbelin 6 változó ábrázolható szemléletesen. Az ábrán egy kétváltozós tábla látható, melybe szemléltetésül a celláknak megfelelı változók állapotait is jelöltük. A Veitch-tábla a logikai kapcsolatok meghatározására is alkalmas.
1
27.B
27.B
Karnaugh-tábla A függı változók értékeit egy cellákból álló diagramban ábrázoljuk: a független változók értékvariációit a diagram kerete mentén jelöljük. Az ábrán egy kétváltozós tábla látható, melybe szemléltetésül a celláknak megfelelı változók állapotait is jelöltük. Állapotdiagram Az idıfüggı logikai függvények leírására alkalmas. A változók aktuális értékeit körökben jelezzük, a köröket összekötı irányított vonalak a változás irányát jelölik.
Veitch-tábla
Karnaugh-tábla
Állapotdiagram
A logikai függvények megadása •
•
Szöveges megadási mód A független változók összes kombinációját, a logikai kapcsolatot, valamint a függı változó értékét szavakkal fogalmazzuk meg. Táblázatos leírásmód A független változók összes értékvariációit és a függvénykapcsolat hatására létrejövı függı változók értékeit egy sorba írjuk egy függıleges vonallal elválasztva. Olyan értéktáblázat, amely tartalmazza a függvény értékét minden lehetséges esetben. Igazságtáblázatnak nevezzük, mert a feltételek és az események közötti logikai igazságokat rögzíti.
Logikai vázlat A függvénykapcsolatot az ıt megvalósító szabványos áramköri szimbólumokkal ábrázoljuk. Algebrai alak A független változókat a függvénykapcsolatra jellemzı mőveleti szimbólumokkal (ÉS, VAGY, …) kapcsoljuk össze. 3
Például: F = A·B+C+A·C+B Grafikus megadási mód A grafikus megadási módok: a változók megadása történhet grafikusan is.
Táblázatos leírásmód
Logikai vázlat
Egy-, két- és többváltozós logikai függvények Az egyváltozós logikai függvények Akkor beszélünk egyváltozós logikai függvényrıl, ha a kimeneti esemény egyetlen bemeneti változótól függ. A következı táblázatban látható, hogy az A bemeneti (független) változó értékétıl függıen az F kimeneti (függı) változó milyen értékeket vehet fel. Ezt a táblázatot nevezzük igazságtáblázatnak, mert a független változók összes lehetséges kombinációja esetén tartalmazza a függvény által meghatározott kimeneti eseményt. A logikai függvények jelölésében a felsı index a bemeneti változók számát, az alsó index a függvény sorszámát adja meg. Ezt a decimális sorszámot a függvény értékeibıl alkotott bináris számból kapjuk meg. Egy független változó esetén a különbözı logikai függvények száma:
K = 2 2n = 212 = 2 2 = 4 Az egyváltozós függvények közül a negációt és az ismétlı függvényt alkalmazzuk a leggyakrabban. A logikai függvények bemutatására használjuk fel a Venn-diagramot és az idıdiagramot is. A Venn-diagramok a logikai változókhoz egy-egy síkba leképzett ponthalmazt rendelnek, amely egy tetszıleges síkidommal határolt területet jelent. Az ábrázolás szabálya, hogy a függvény logikai 1 értékeinél a megfelelı területet jelöljük (pl. vonalkázással). Hátrányuk, hogy legfeljebb három változóig használhatóak. A logikai események idıdiagramon is bemutathatók. Ennél a módszernél a kétértékő eseményeket (a bemeneteket és a
2
27.B
27.B
kimeneteket is) az idı függvényében ábrázoljuk, így az események idıbeli lefolyása is követhetı. Elınye, hogy az idıdiagramon tetszıleges számú változót ábrázolhatunk.
Egyváltozós logikai függvények igazságtáblázata Egyváltozós soha függvény
F01
- Soha függvény: a függı változó értéke a független változó minden értékénél 0. Jelölése:
F01 = 0 .
Egyváltozós negáció (tagadás) függvény
F11 - Negáció (tagadás) függvény: a függı változó értéke mindig a független változó ellentétes (negált) értékét veszi fel. A negációt a tagadáson kívül nevezik még jelfordításnak és inverziónak is. A negációt az algebrai alakban a betőjel fölé húzott vízszintes vonallal jelöljük:
F11 = A .
Egyváltozós ismétlı függvény
F11
- Ismétlı függvény: a függı változó értéke mindig a független változó értékét veszi fel. Jelölése: F21=A.
Egyváltozós mindig függvény
F21
- Mindig függvény: a függı változó értéke a független változó minden értékétıl függetlenül mindig 1. Jelölése:
F21 =1.
Egyváltozós logikai függvények Venn-diagramja
Egyváltozós logikai függvények idıdiagramja
A kétváltozós logikai függvények Akkor beszélünk kétváltozós logikai függvényrıl, ha a kimeneti esemény két bemeneti változótól függ. A következı táblázatban látható, hogy az A és a B bemeneti (független) változók értékétıl függıen az F kimeneti (függı) változó milyen értékeket vehet fel. Két független változó esetén a különbözı logikai függvények száma:
K = 2 2n = 2 22 = 2 4 = 16 . Az alábbi ábrákon a leggyakrabban alkalmazott kétváltozós függvények Venn-diagramját és idıdiagramját láthatjuk. Figyeljük meg a függvények vizsgálatakor, hogyan lehet ezeket elkészíteni!
Kétváltozós logikai függvények idıdiagramja
Kétváltozós logikai függvények igazságtáblázata
Kétváltozós logikai függvények Venn-diagramja A kétváltozós logikai függvények igazságtáblázatának vizsgálata Feladat Készítsük el az összes kétváltozós függvény Venn-diagramját és idıdiagramját!
3
27.B
27.B
A kétváltozós logikai függvények igazságtáblázatának vizsgálata közben két érdekes dolgot is észrevehetünk: •
A táblázat tartalmazza az egyváltozós függvényeket is
•
Ha a VAGY függvény
F72
F02 , F32 , F52 , F102 , F122 , F152
és a VAGY NEM (NOR) függvény
F82
közé egy képzeletbeli szimmetriavonalat
húzunk, akkor a vonaltól azonos távolságra levı függvények egymás negáltjai. •
A többváltozós logikai függvények A gyakorlati feladatok megoldása során a legtöbbször többváltozós logikai függvényekkel találkozhatunk. A képezhetı kapcsolási függvények száma a független változók számával exponenciális arányban, tehát rohamosan növekszik. Például: •
ha a független változók száma 3, akkor a különbözı logikai függvények száma:
K = 2 n2 = 2 32 = 2 8 = 256 •
ha a független változók száma 4, akkor a különbözı logikai függvények száma:
K = 2 n2 = 2 42 = 216 = 65536 Azért sem célszerő a kettınél több bemeneti változót tartalmazó függvényeket egyenként tárgyalni, mert minden többváltozós logikai függvény kétváltozós függvényekbıl felépíthetı.
Antivalencia függvény
F62
Antivalencia (KIZÁRÓ VAGY) függvény: a függvény értéke akkor 1, ha vagy csak A, vagy csak a B értéke 1,
vagyis amikor a bemeneti változók ellentétes értékőek. További elnevezései: kizáró VAGY, exclusive OR. Jelölése:
F62 = A ⋅ B + A ⋅ B . Duál tétel, duál függvény Duál tétel: Ha a logikai ÉS mőveletet VAGY mővelettel, valamint a 0-t 1-gyel (vagy az 1-et 0-val) helyettesítjük, az eredeti függvény duálfüggvényét kapjuk meg.
Ekvivalencia függvény
F92
Ekvivalencia függvény: a függı változó értéke akkor 1, ha a független változók logikai értéke megegyezik.
További elnevezései: koincidencia, exclusive NOR. Jelölése:
F92 = A ⋅ B + A ⋅ B .
ÉS függvény
F12
ÉS függvény: a függı változó értéke akkor és csakis akkor 1, ha mindkét független változó értéke egyidejőleg 1.
További elnevezései: AND mővelet, konjunkció, logikai szorzás. Jelölése:
F12 = A ⋅ B .
ÉS NEM függvény
F142
ÉS NEM (NAND) függvény: a függı változó értéke akkor és csakis akkor 0, ha mindkét független változó értéke
egyidejőleg 1. A NAND illetve az ÉS kapcsolat egymás negáltjai. Jelölése:
F142 = A ⋅ B .
Implikáció függvények
F112
Implikáció függvény: az implikáció mőveleténél a változók sorrendje nem cserélhetı fel, mert a függvény értéke
csak akkor 0, ha az elıtag 0, és az utótag 1. Jelölése:
F132
F112 = A + B .
Inverz implikáció függvény: az inverz implikáció mőveleténél a változók sorrendje nem cserélhetı fel, mert a
függvény értéke csak akkor 0, ha az elıtag 1, és az utótag 0. Jelölése:
F112 = A + B .
Inhibitáló függvények
F22
Inhibitáló függvény: az inhibíció (tiltás) mőveleténél a változók sorrendje nem cserélhetı fel, mert a függvény
értéke akkor és csakis akkor 1, ha az elıtag logikai értéke egyedül, önmagában 1. Jelölése:
4
F22 = A ⋅ B .
27.B
F42
27.B
Inverz inhibitáló függvény: az invert inhibíció (tiltás) mőveleténél a változók sorrendje nem cserélhetı fel, mert
a függvény értéke akkor és csakis akkor 1, ha az utótag logikai értéke egyedül, önmagában 1. Jelölése:
F42 = A ⋅ B .
Ismétlés függvény
F52
Ismétlı függvény: a függı változó értéke mindig az adott független változó értékét veszi fel. Jelölése:
F52 = B . Kétváltozós ismétlı függvény
F32
Kétváltozós ismétlı függvény: a függı változó értéke mindig az adott független változó értékét veszi fel.
Jelölése:
F32 = A .
Kétváltozós mindig függvény
F152
Kétváltozós mindig függvény: a függı változó értéke a független változók minden értékétıl függetlenül mindig
1. Jelölése:
F152 = 1 .
Kétváltozós negáció függvények
F102
Kétváltozós negáció függvény: a függı változó értéke mindig az adott független változó ellentétes értékét
veszi fel. Jelölése:
F122
F102 = B .
Kétváltozós negáció függvény: a függı változó értéke mindig az adott független változó ellentétes értékét
veszi fel. Jelölése:
F122 = A .
Kétváltozós soha függvény
F02 Kétváltozós soha függvény: a függı változó értéke a független változók minden értékénél 0. Jelölése: F02 = 0 . VAGY függvény
F72
VAGY függvény: a függvény értéke egyetlen esetben 0, ha valamennyi bemeneti változó értéke egyidejőleg 0.
Úgy is fogalmazhatunk, hogy a függı változó akkor 1 értékő, ha bármelyik független változó egyenként vagy együttesen 1 értékő. További elnevezései: OR mővelet, diszjunkció, logikai összeadás. Jelölése:
F72 = A + B .
VAGY NEM függvény
F82
VAGY NEM (NOR) függvény: a függı változó értéke akkor és csakis akkor 1, ha mindkét független változó
értéke egyidejőleg 0. A NOR illetve a VAGY kapcsolat egymás negáltjai. Jelölése:
F82 = A + B .
A logikai algebra szabályai Az egyszerőbb alakra hozás Egy logikai elven mőködı vezérlı berendezés ára a beépített elemek számával arányosan növekszik, ezért törekednünk kell a megvalósítandó logikai függvény legegyszerőbb alakjának létrehozására. Kommutatív szabály (felcserélhetıség) Az azonos logikai kapcsolatban levı változók sorrendje tetszıleges. A+B = B+A A·B = B·A A szabály alól természetesen az inhibíció és az implikáció mőveletei kivételek. Asszociatív szabály (társíthatóság) Az azonos logikai mőveletek eredménye nem függ a mőveletvégzés sorrendjétıl. A+B+C = C+B+A = B+C+A A·B·C = B·C·A = A·C·B
5
27.B
27.B
Disztributív szabály (szétválaszthatóság) A+ B·C = (A+ B)·(A+ C) A·(B+ C) = A·B+ A·C
A redundancia Ugyanis egy adott gyakorlati problémát, ha közvetlenül algebrai alakban megadott logikai függvény formájában írunk le, szinte elkerülhetetlen a redundancia (túlhatározottság). A logikai algebra (Boole-algebra) olyan azonosságokat illetve szabályokat fogalmazott meg az algebrai formában megadott logikai függvények esetén, amelyekkel ezek a függvények egyszerőbb alakra hozhatók.
A logikai algebra alaptételei A mennyiségek kétértékőek A = 0, ha A nem 1. A = 1, ha A nem 0. Negáció
1= 0 Kettıs tagadás
1=1 Mennyiséggel végzett mőveletek szabályai VAGY kapcsolat 0+0 0+1 1+0 1+1
= = = =
0 1 1 1
Egy változóval végzett mőveletek szabályai
A= A A·0 = 0 A+0 = A
ÉS kapcsolat
A·0 = A A+1 = 1
0·0 = 0
A·A = A A+A = A
0·1 = 0 1·0 = 0 1·1 = 1
Két változóval végzett mőveletek szabályai A·(B+ A) = A
A⋅ A= 0 A + A =1
Az alaptételek bizonyítása Az egy változóval végzett mőveletek szabályainak bizonyítása az egy és kétváltozós logikai függvények igazságtáblázata alapján önállóan elvégezhetı. Nézzük meg, hogyan kell bebizonyítani a szabályok és a többi alaptétel segítségével az összefüggést! A·B+ A = A A disztributív szabály alapján A·B+ A = A·B+ A·A. Felhasználva, hogy A·A = A A·(B+ A)=A·B+ A·A = A·B+ A Most a disztributív szabályt megfordítva alkalmazzuk, emellett tudjuk, hogy B+1 = 1 és A·1= A A·B+ A = A·(B+1) = A·1= A Vagyis teljesül az összefüggés A·(B+ A)= A.
De Morgan-téte
A + B = A⋅ B A⋅ B = A + B A De Morgan-tétel bizonyítása Készítsünk olyan igazságtáblázatot, amelyben jelöljük a független változókat, és ezek összes lehetséges kombinációjánál határozzuk meg a De Morgan-tételben szereplı összes függvény értékét!
6
27.B
27.B
A De Morgan-tétel bizonyítása A táblázatból látható, hogy
A⋅ B = A + B
és
A⋅ B = A + B
, így bebizonyítottuk, a De Morgan-tételt.
Alapvetı fogalmak és jelölésük A logikai függvények szabályos alakjának ismeretéhez a következı alapvetı fogalmakat és jelölésüket kell megismerni: • • •
Term Minterm Maxterm n
A minterm jelölése: mi , ahol • • •
m a mintermet jelenti, n a független változók száma és i a minterm sorszáma, vagyis indexszáma.
A maxterm jelölése: • • •
M in , ahol
M a maxtermet jelenti, n a független változók száma és i a maxterm sorszáma, vagyis indexszáma.
Diszjunktív szabályos alak Diszjunktív szabályos alak olyan logikai függvény, amely mintermek VAGY kapcsolatából áll.
Diszjunktív szabályos alak megadási módjai Például:
F 4 = A⋅ B⋅C ⋅ D + A⋅ B ⋅C ⋅ D + A⋅ B ⋅C ⋅ D + A⋅ B ⋅C ⋅ D
4 4 F 4 = m15 + m14 + m84 + m14
Konjunktív szabályos alak Konjunktív szabályos alak olyan logikai függvény, amely maxtermek ÉS kapcsolatából áll.
Konjunktív szabályos alak megadási módjai Például:
(
)(
F 4 = (A + B + C + D) ⋅ A + B + C + D ⋅ A + B + C + D
)
4 F 4 = M 15 ⋅ M 64 ⋅ M 34
Logikai függvények hátránya Az algebrai alakban megadott logikai függvények hátránya, egy függvényt több egymással ekvivalens módon is felírhatunk. Ezt a hátrányt azért kell kiküszöbölni, hogy két egyforma feladatot mindig felismerjünk, ne kelljen többször is egyszerősíteni és megoldani. Term: a független változók azon csoportja, amelyeket azonos logikai kapcsolatra jellemzı szimbólummal kapcsolunk.
A Karnaugh-táblák típusai 1
Egyváltozós Karnaugh-tábla: Egy független változónak (pl. A) két lehetséges állapota lehet (2 ), tehát ebben az esetben a tábla két darab cellát tartalmaz. A cella kontúrjai mellett feltüntetjük a független változó logikai értékét, a cella sarkán pedig a változó betőjelét. Az ábrán a cellákba beírtuk az általuk képviselt termeket is. 2
Kétváltozós Karnaugh-tábla: Két független változónak (pl. A, B) négy lehetséges állapota lehet (2 ), tehát ebben az esetben a tábla négy darab cellát tartalmaz. Az ábrán a cellákba beírtuk az általuk képviselt termeket is. 3
Háromváltozós Karnaugh-tábla: Három független változónak (pl. A, B, C) nyolc lehetséges állapota lehet (2 ), tehát ebben az esetben a tábla nyolc darab cellát tartalmaz. 4
Négyváltozós Karnaugh-tábla: Négy független változónak (pl. A, B, C, D) 16 lehetséges állapota lehet (2 ), tehát ebben az esetben a tábla 16 darab cellát tartalmaz.
7
27.B
27.B
Egyváltozós tábla 1
Egy független változónak (pl. A) két lehetséges állapota lehet (2 ), tehát ebben az esetben a tábla két darab cellát tartalmaz. A cella kontúrjai mellett feltüntetjük a független változó logikai értékét, a cella sarkán pedig a változó betőjelét. Az ábrán a cellákba beírtuk az általuk képviselt termeket is.
Kétváltozós tábla 2
Két független változónak (pl. A, B) négy lehetséges állapota lehet (2 ), tehát ebben az esetben a tábla négy darab cellát tartalmaz. Az ábrán a cellákba beírtuk az általuk képviselt termeket is.
Egyváltozós Karnaugh-tábla
Kétváltozós Karnaugh-tábla
Háromváltozós Karnaugh-tábla
Négyváltozós Karnaugh-tábla
Háromváltozós tábla 3
Három független változónak (pl. A, B, C) nyolc lehetséges állapota lehet (2 ), tehát ebben az esetben a tábla nyolc darab cellát tartalmaz.
Négyváltozós tábla 4
Négy független változónak (pl. A, B, C, D) 16 lehetséges állapota lehet (2 ), tehát ebben az esetben a tábla 16 darab cellát tartalmaz.
Minterm táblák Bár a gyakorlatban nem használják, de egyszerősége miatt elıször ismerkedjünk meg az egyváltozós, ezért két darab cellát tartalmazó táblával. Az egyetlen változó (jelöljük A-val) a két lehetséges állapot (0, 1) valamelyikében lehet. A cellákban található decimális szám a term sorszáma, a függıleges vonal az A változó logikai 1 (igaz) értékét jelzi, vagyis
A=0
és
A = 1.
Egyváltozós minterm-tábla
Kétváltozós minterm-tábla
Háromváltozós minterm-tábla
Négyváltozós minterm-tábla
Maxterm táblák A maxterm táblákat úgy tudunk felrajzolni, ha követjük a mintermbıl maxtermbe való átírás szabályait. Képezzük a változók negáltját, és a cellák minterm sorszámait kiegészítjük: átsorszámozzuk a cellákat az
i M = 2 n −1 − i m összefüggés alapján. Az ábrán az egy-, két-, három- és négyváltozós maxterm-tábla látható.
Egyváltozós maxterm-tábla
Kétváltozós maxterm-tábla
Háromváltozós maxterm-tábla
Négyváltozós maxterm-tábla
Veitch-táblák A logikai függvények kétféle szabályos alakjának megfelelıen Veitch kétféle táblát vezetett be. A minterm táblát a diszjunktív szabályos függvények számára és a maxterm táblát a konjunktív szabályos függvények számára. A független változók logikai értékeit a tábla kontúrja mentén húzott vonallal tüntetjük fel, és a cellákba beírjuk az ábrázolt term sorszámát.
8
