Integr´aln´ı poˇcet Pˇredn´aˇska 4 a 5
26. listopadu a 10.prosince 2016
Obsah
1
Neurˇcit´y integr´al Tabulkov´e integr´aly Substituˇcn´ı metoda Metoda per-partes
2
Urˇcit´y integr´al Geometrick´e aplikace Fyzik´aln´ı aplikace
K ˇcemu integr´aln´ı poˇcet? urˇcen´ı funkce, je-li zn´ama jej´ı derivace – neurˇ cit´ y integr´ al v´ypoˇcet plochy, kter´a je vymezena grafem funkce f (x) na intervalu , ha, bi a osou nez´avisl´e promˇenn´e x, d´ elky kˇrivky, objemu, fyzik´ aln´ıch veliˇ cin - moment,... ´ Uloha: zadan´e funkci f budeme hledat funkci F takovou, aby platilo: F0 = f .
Doporuˇ cen´ y text – http://homel.vsb.cz/~s1a64/cd/pdf/print/ip.pdf
Neurˇcit´y integr´al Definice. Necht’ funkce f (x) je definovan´a na intervalu I . Funkce F (x) se naz´yv´a primitivn´ı k funkci f (x) na I , jestliˇze plat´ı F 0 (x) = f (x) pro kaˇzd´e x ∈ I . Mnoˇzina vˇsech primitivn´ıch funkc´ı k funkci R f (x) na I se naz´yv´a neurˇ cit´ y integr´ al z funkce f (x) a znaˇc´ı se f (x)dx: Z f (x)dx = F (x) Vˇ eta. Necht’ funkce F (x) je primitivn´ı k funkci f (x) na intervalu I . Pak kaˇzd´a jin´a primitivn´ı funkce k funkcif (x) na I m´a tvar F (x) + c, kde c ∈ R. Vˇ eta. Je-li funkce f spojit´ a na intervalu I , pak na tomto intervalu existuje alespoˇ n jedna primitivn´ı funkce k funkci f .
R R Vˇ eta. Necht’na intervalu I existuj´ R ı integr´aly f (x)dxR a g (x)dx. Pak na I existuj´ı tak´e integr´aly (f (x) ± g (x))dx a a · f (x)dx, kde a ∈ R je libovoln´a konstanta, a plat´ı: Z Z Z (f (x) ± g (x))dx = f (x)dx ± g (x)dx, Z
Z a · f (x)dx = a
f (x)dx
Neurˇ cit´ y integr´ al ze souˇ ctu (rozd´ılu) je souˇ ctem (rozd´ılem) neurˇ cit´ ych integr´ al˚ u, konstantu lze z neurˇ cit´ eho integr´ alu vytknout. Pˇr´ımo z definice neurˇcit´eho integr´alu vypl´yv´a platnost rovnost´ı Z 0 Z f (x)dx = f (x) a F (x)0 dx = F (x) + c, c ∈ R
Obsah
1
Neurˇcit´y integr´al Tabulkov´e integr´aly Substituˇcn´ı metoda Metoda per-partes
2
Urˇcit´y integr´al Geometrick´e aplikace Fyzik´aln´ı aplikace
Z´akladn´ı integraˇcn´ı metody
Tabulkov´e integr´aly Metoda per partes Substituˇcn´ı metoda
Tabulkov´ e integr´aly Z 0dx = c
1
1
Z dx = x + c
2
x α+1 +c α+1 α ∈ R, α 6= −1 Z 1 dx = ln |x| + c x Z ex dx = ex + c Z ax ax dx = + c, a > 0 ln a Z sin xdx = − cos x + c Z cos xdx = sin x + c Z 1 dx = arctgx + c 1 + x2 Z 1 √ dx = arcsinx + c 1 − x2 Z 1 dx = tgx + c cos2 x Z
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Pˇr´ıklady Z √
x α dx =
Z 2
4
5
6
7
8
x3 − 1 dx x −1
x4 − 1 dx x +2 2 Z √ 3 x −x dx x2 Z 2 x +2 dx 1 + x2 Z dx 2 sin x cos2 x Z cos 2x dx cos2 x Z cotg2 xdx Z
3
1 x3 − √ x
dx
Obsah
1
Neurˇcit´y integr´al Tabulkov´e integr´aly Substituˇcn´ı metoda Metoda per-partes
2
Urˇcit´y integr´al Geometrick´e aplikace Fyzik´aln´ı aplikace
Substituˇcn´ı metoda Pˇripomenut´ı: (F [ϕ(x)])0 = F 0 [ϕ(x)] · ϕ0 (x) Vˇ eta. Necht’ funkce f (u) m´a na otevˇren´em intervalu J primitivn´ı funkci F (u), funkce ϕ(x) m´a derivaci na otevˇren´em intervalu I a pro libovol´e x ∈ I je ϕ(x) ∈ J. Pak m´a sloˇzen´a funkcef [(ϕ(x))]ϕ0 (x) na intervalu I primitivn´ı funkci a plat´ı Z f [(ϕ(x))]ϕ0 (x) dx = F [ϕ(x)] + c Pouˇzit´ı: Oznaˇc´ıme u = ϕ(x). Rovnost u = ϕ(x) diferencujeme: u 0 =
du dx
Nahrad´ıme ϕ(x) → u, ϕ0 (x) dx → du: Z ϕ(x) = u 0 f [(ϕ(x))]ϕ (x) dx = 0 ϕ (x)dx = du
= 1, ϕ0 (x) = Z = f (u) du
dϕ(x) dx
Pˇr´ıklady : substituˇcn´ı metoda Z sin x cos xdx
1
Z 2
Z 3
4
5
6
7
8
dx x ln x
dx √ 1 − x 2 arccosx Z ex dx ex + 2 Z sin 2xdx Z e5x dx Z dx 2 x +9 Z dx √ 4x − x 2
Obsah
1
Neurˇcit´y integr´al Tabulkov´e integr´aly Substituˇcn´ı metoda Metoda per-partes
2
Urˇcit´y integr´al Geometrick´e aplikace Fyzik´aln´ı aplikace
Metoda per-partes Pˇripomenut´ı: (u(x) · v (x))0 = u 0 (x) · v (x) + u(x) · v 0 (x) ⇒ Z
u(x) · v 0 (x)dx = u(x) · v (x) −
Z
u 0 (x) · v (x)dx
Pˇr´ıklady Z 1.
Z
(2x + 3) cos x dx Z
2. Z 3.
x 2 ln x dx 2
x ln x dx
5. 6. 7.
cos(ln x)x dx Z
ln x dx
ex cos x dx
Z
Z 4.
arctgx dx Z
8.
2x dx sin2 x
Rozklad na parci´aln´ı zlomky
Racion´aln´ı funkce je pod´ıl dvou mnohoˇclen˚ u. Kaˇzdou neryze lomenou racion´aln´ı funkci (stupeˇ n ˇcitatele je vˇetˇs´ı neˇz stupeˇ n jmenovatele nebo je mu roven) lze dˇelen´ım pˇrev´est na souˇcet mnohoˇclenu a ryze lomen´e racion´aln´ı funkce ( stupeˇ n ˇcitatele je menˇs´ı neˇz stupeˇ n jmenovatele). Parci´ aln´ı zlomky A , k ∈ N, α, A ∈ R (x − α)k Mx + N , k ∈ N, M, N, p, q ∈ R, p 2 − 4q < 0 (x 2 + px + q)k
Rozklad na parci´aln´ı zlomky - pˇr´ıklady P(x) je racion´aln´ı ryze lomen´a funkce. Q(x) Podle rozkladu jmenovatele Q(x) = a(x −α1 )k1 . . . (x −αr )kr (x 2 +p1 x +q1 )`1 . . . (x 2 +ps x +qs )`s rozkl´ad´ame R(x) na souˇcet parci´aln´ıch zlomk˚ u: Necht’ R(x)
k n´asobn´emu re´ aln´ emu koˇrenu α hled´ame Ai : Ak A1 ,..., x −α (x − α)k ` n´asobn´ym komplexnˇe sdruˇzen´ym koˇren˚ um (x + px + q): M` x + N` M1 x + N1 ,..., 2 x 2 + px + q (x + px + q)` Z Z 2x x +8 1. dx 3. dx 2 x − 6x + 5 x3 + 8 Z Z dx 3x + 1 2. dx 4. dx 2 x (x − 1) x3 − 1
Integr´aly obsahuj´ıc´ı goniometrick´e funkce: R(cos x, sin x) Z
cosm x sinn x dx, m, n ∈ Z aspoˇ n jedno z ˇc´ısel m, n je lich´ e: substituce: (m je lich´e) sin x = t resp. (n je lich´e) cos x = t ⇒ cos x dx = dt resp. sin x dx = dt, 2 2 2 sin x = 1 − cos x cos x = 1 − sin2 x
obˇe ˇc´ısla jsou sud´ a 1 + cos 2x 1 − cos 2x 2 , cos2 x = u ´prava: sin x = 2 2 Pˇr´ıklady Z Z 1. cos5 x sin2 x dx Z 3. cos2 x dx 1 2. dx, x ∈ (0, π) sin x x univerz´aln´ı substituce t = tg , x ∈ (−π, π), 2 2 2t 1 − t2 x = arctg t, dx = dt, sin x = , cos x = 1 + t2 1 + t2 1 + t2
Integr´aly obsahuj´ıc´ı odmocniny
√ R(x, s x): substituce x = t s Z 2 √ x + x +1 √ Pˇr´ıklad: dx x+ x √ R(x, s ax + b): substituce ax + b = t s √ R(x, ax 2 + bx + c): Eulerovy substituce, goniometrick´ e substituce
Urˇcit´y integr´al Existence: Necht’ funkce f (x) je definovan´a na uzavˇren´em intervalu ha, bi. Necht’ je splnˇena na tomto intervalu kter´akoliv z n´asleduj´ıc´ıch podm´ınek: (1) f (x) je monot´onn´ı, (2) f (x) je spojit´a, (3) f (x) je omezen´a a m´a nejv´yˇse koneˇcn´y poˇcet bod˚ u nespojitosti. Z b Potom existuje urˇcit´y integr´al f (x)dx. a
V´ypoˇcet urˇcit´eho integr´alu: Newtonova - Leibnitzova formule Necht’ funkce f (x) je integrovateln´a na intervalu ha, bi a necht’ F (x) je jej´ı primitivn´ı funkce. Potom plat´ı: Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a) a
Obsah
1
Neurˇcit´y integr´al Tabulkov´e integr´aly Substituˇcn´ı metoda Metoda per-partes
2
Urˇcit´y integr´al Geometrick´e aplikace Fyzik´aln´ı aplikace
Aplikace urˇcit´eho integr´alu
Geometrick´ e aplikace Obsah rovinn´e mnoˇziny D´elka kˇrivky Objem rotaˇcn´ıho tˇelesa Obsah pl´aˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa Fyzik´ aln´ı aplikace hmotnost, statick´y moment, souˇradnice tˇeˇziˇstˇe, moment setrvaˇcnosti...
V´ypoˇcet obsahu (plochy) rovinn´ych u´tvar˚ u Necht’ je funkce f (x) integrovateln´a na intervalu ha, bi , a je na nˇem nez´ aporn´ a. Pak pro obsah kˇrivoˇcar´eho lichobˇeˇzn´ıka ohraniˇcen´eho shora grafem funkce f (x), pˇr´ımkami x = a, x = b a osou x plat´ı Z
b
P=
f (x) dx. a
Je-li funkce f (x) na intervalu ha, bi nekladn´ a, pro obsah kˇrivoˇcar´eho lichobˇeˇzn´ıka ohraniˇcen´eho zdola grafem funkce f (x), pˇr´ımkami x = a, x = b a osou x plat´ı Z b P=− f (x) dx. a
Necht’ jsou funkce f (x) a g (x) integrovateln´e a plat´ı g (x) ≤ f (x) pro kaˇzd´e x ∈ ha, bi. Pak pro obsah kˇrivoˇcar´eho lichobˇeˇzn´ıka ohraniˇcen´eho zdola grafem funkce g (x), shora grafem funkce f (x) a pˇr´ımkami x = a, x = b plat´ı Z b P= (f (x) − g (x)) dx. a
Pˇr´ıklady
Vypoˇ ctˇ ete obsah rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho 1
y = 4 − x 2; y = 0
2
xy = 4; x + y = 5
3
y 2 = 2x + 1, x − y − 1 = 0
4
y ≤ 4, x 2 ≥ y , x 2 ≤ 4y
Parametricky zadan´a funkce Necht’ funkce f je d´ana parametrick´ymi rovnicemi x = ϕ(t) a y = ψ(t), pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t) a ψ(t)jsou spojit´e pro t ∈ hα, βi. Je-li funkce ϕ(t) ryze monotonn´ı a m´a spojitou derivaci na intervalu hα, βi , pˇriˇcemˇz ϕ(α) = a a ϕ(β) = b, pak pro obsah kˇrivoˇcar´eho lichobˇeˇzn´ıka ohraniˇcen´eho shora grafem funkce f , pˇr´ımkami x = a, x = b a osou x plat´ı Z β 0 P= ψ(t)ϕ (t) dt . α
Pˇr´ıklady 1
x = 2 sin t, y = 2 cos t, 0 ≤ t ≤ π;
2
x = 2t − t 2 , y = 2t 2 − t 3 , 0 ≤ t ≤ 2
D´elka oblouku kˇrivky Necht’ je funkce f (x) definovan´a na intervalu < a, b > a m´a zde spojitou derivaci. Pak d´elka t´eto kˇrivky Z
b
q
s=
1 + [f 0 (x)]2 dx.
a
Necht’ funkce f je d´ana parametrick´ymi rovnicemi x = ϕ(t) a y = ψ(t), pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t) a ψ(t)jsou spojit´e pro t ∈ hα, βi, pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t) a ψ(t) maj´ı spojit´e derivaci na intervalu hα, βi Pak d´elka t´eto kˇrivky Z
β
q
s=
[ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt.
α
Pˇr´ıklady
√
3≤x ≤
√
1
y = ln x,
2
8
x = 2 cos t, y = 2 sin t, 0 ≤ t ≤ π
Objem rotaˇcn´ıho tˇelesa Necht’ je funkce f (x) spojit´a a nez´aporn´a na intervalu < a, b >. Pak rotaˇcn´ı tˇeleso, kter´e vznikne rotac´ı kˇrivoˇcar´eho lichobˇeˇzn´ıka ohraniˇcen´eho shora funkc´ı f (x), osou x a pˇr´ımkami x = a, x = b kolem osy x, m´a objem Z b V =π f 2 (x) dx a
Pro v´ypoˇcet objemu rotaˇcn´ıho tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı oblasti ohraniˇcen´e kˇrivkami g (x) ≤ f (x) kolem osy x pro x ∈< a, b > pouˇzijeme vztah Z b Z b Z b 2 2 2 V =π f (x) dx − π g (x) dx = π f (x) − g 2 (x) dx a
a
a
Zcela analogicky m˚ uˇzeme urˇcit objem rotaˇcn´ıho tˇelesa, jehoˇz pl´aˇst’ vznikl rotac´ı spojit´e kˇrivky x = h(y ), y ∈< c, d > kolem osy y : Z V =π
d
h2 (y ) dy
c
Pˇr´ıklad: y = x 2 , x = y 2 kolem osy x; kolem osy y
Obsah pl´aˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa Necht’ je funkcef (x) spojit´a a nez´aporn´a na intervalu < a, b > a m´a zde spojitou derivac if 0 (x). Pak pro obsah rotaˇcn´ı plochy vznikl´e rotac´ı oblouku kˇrivkyy = f (x) kolem osy x plat´ı Z S = 2π
b
q 2 f (x) 1 + [f 0 (x)] dx
a
Necht’ je funkce f d´ana parametrick´ymi rovnicemi x = ϕ(t) a y = ψ(t), t ∈ hα, βi, pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t), ψ(t) maj´ı spojit´e derivace na intervalu hα, βi a funkceψ(t) je nez´aporn´a na intervalu hα, βi. Pak pro obsah plochy, kter´a vznikne rotac´ı grafu funkce f kolem osy x plat´ı Z
β
S = 2π α
q 2 2 ψ(t) [ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt
Obsah
1
Neurˇcit´y integr´al Tabulkov´e integr´aly Substituˇcn´ı metoda Metoda per-partes
2
Urˇcit´y integr´al Geometrick´e aplikace Fyzik´aln´ı aplikace
Kˇrivka zadan´a parametricky Necht’ je kˇrivka d´ana parametrick´ymi rovnicemi x = ϕ(t) a y = ψ(t), t ∈ hα, βi, pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t), ψ(t) maj´ı spojit´e derivace na intervalu hα, βi. Je-li d´elkov´a hustota ρ kˇrivky konstantn´ı, pak m´a kˇrivka hmotnost Z q β
2
2
[ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt
m=ρ α
Pro statick´ e momenty plat´ı Z β q 2 2 Sx = ρ ψ(t) [ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt α β
Z Sy = ρ
q 2 2 ϕ(t) [ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt
α
Momenty setrvaˇ cnosti t´eto kˇrivky dostaneme ze vztah˚ u: Z β q 2 2 Ix = ρ ψ 2 (t) [ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt α
Z
β
Iy = ρ
q 2 2 ϕ2 (t) [ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt
α
Tˇ eˇ ziˇstˇ e T = (ξ, η) m´a souˇradnice ξ =
Sy Sx , η= m m
Kˇrivka zadan´a explicitnˇe Necht’ je hmotn´a kˇrivka urˇcen´a explicitn´ı rovnic´ıy = f (x) se spojitou derivaci f 0 (x) na intervalu < a, b > a konstantn´ı d´elkovou hustotou ρ. Pak m´a kˇrivka hmotnost Z bq 2 1 + [f 0 (x)] dx m=ρ a
Pro statick´ e momenty plat´ı: Z b q 2 Sx = ρ f (x) 1 + [f 0 (x)] dx a b
Z Sy = ρ
q x
2
1 + [f 0 (x)] dx
a
Momenty setrvaˇ cnosti t´eto kˇrivky dostaneme ze vztah˚ u: Z b q 2 f 2 (x) 1 + [f 0 (x)] dx Ix = ρ a
Z Iy = ρ
b
x2
q
2
1 + [f 0 (x)] dx
a
Tˇ eˇ ziˇstˇ e T = (ξ, η) m´a souˇradnice ξ =
Sy Sx , η= m m
Tˇeˇziˇstˇe a moment setrvaˇcnosti rovinn´e oblasti Necht’ je hmotn´a rovinn´a oblast ohraniˇcena kˇrivkami g (x) a f (x), kde g (x) ≤ f (x) na intervalu ha, bi. Pak hmotnost t´eto oblasti s konstantn´ı ploˇsnou hustotou ρ je Z b m=ρ [f (x) − g (x)] dx a
Pro statick´e momenty plat´ı: Z 1 b 2 [f (x) − g 2 (x)] dx Sx = ρ 2 a Z b Sy = ρ x[f (x) − g (x)] dx a
Momenty setrvaˇcnosti t´eto rovinn´e oblasti dostaneme ze vztah˚ u: Z b 1 [f 3 (x) − g 3 (x)] dx Sx = ρ 3 a Z b Sy = ρ x 2 [f (x) − g (x)] dx a
Tˇ eˇ ziˇstˇ e T = (ξ, η) m´a souˇradnice ξ =
Sy Sx , η= m m
