TUGAS KOMPUTASI SISTEM FISIS 2015/2016 Identitas Tugas Program Mencari Titik Nol/Titik Potong Dari Suatu Sistem 27 Oktober 2015
Disusun oleh : Zulfikar Lazuardi Maulana (10212034) Ridho Muhammad Akbar (10212067)
Pendahuluan Latar Belakang Mencari titik nol atau titik potong adalah hal yang sangat penting dalam fisika. Banyak persamaan suatu sistem membutuhkan kita untuk mencari titik-titik nol atau titik potong untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Dalam fisika kuantum, persamaan Schrodinger untuk kasus sumur potensial harus diselesaikan dengan cara mencari titik potong antara dua buah fungsi. Pada astrofisika, orbit suatu objek benda langit diketahui dengan terlebih dulu mengetahui titik potong antara kurva energi objek dengan kurva potensial efektif objek tersebut. Pada elektrodinamika, banyak pula kasus-kasus yang membutuhkan proses pencarian titik nol atau titik potong. Melanjutkan tugas sebelumnya mengenai gerak partikel bermuatan dalam pengaruh medan listrik karena kehadiran muatan lain, pada tugas kali ini akan ditunjukkan penggunaan metode pencarian titik nol pada kasus elektrostatis sederhana yang melibatkan dua buah muatan. Kasus yang ditinjau pada tugas ini bukanlah kasus yang berasal dari sistem fisis yang ada pada umumnya, melainkan hanya sistem fisis rekaan penulis yang dibuat sedemikian rupa sehingga dapat memberikan pandangan lebih jauh mengenai penggunaan metode pencarian titik nol pada berbagai kasus.
Tujuan Diagram skematik dari sistem fisis yang digunakan dalam tugas ini ditunjukkan oleh gambar 1. Misalkan ada dua buah muatan q dan Q yang semula terpisah pada jarak tertentu. Kedua muatan memiliki jenis muatan yang sama sehingga timbul gaya tolak-menolak antar keduanya. Muatan q dapat bergerak bebas dan memiliki kecepatan awal v0 ke arah sumbu-x positif sementara muatan Q memiliki massa yang jauh lebih besar daripada muatan q sehingga dianggap tidak dapat bergerak relatif terhadap muatan q. Seiring waktu berjalan, muatan q akan semakin dekat dengan muatan Q sehingga gaya tolakan yang dialami oleh muatan q semakin besar sampai pada suatu titik muatan q seolah-olah terpantul dan berubah lintasan (garis merah putus-putus). Lokasi titik dimana muatan q terpantul ditunjukkan oleh tanda panah ungu. Muatan q yang memiliki kecepatan awal lambat (gambar 1a) akan lebih dahulu terpantul dibandingkan yang memiliki kecepatan awal lebih tinggi (gambar 1b).
1
Gambar 1: Diagram skematik sistem fisis yang digunakan
Gambar 2: Diagram skematik sistem dalam sudut pandang lain
Sekarang kita bayangkan bahwa sistem pada gambar 1 seolah-olah sebuah permainan dimana muatan q ingin bergerak dari sisi luar menuju sisi dalam seperti ditunjukkan oleh gambar 2. Gaya tolak elektrostatis yang dialami oleh muatan q akibat kehadiran muatan Q seolah-olah menjadi ”tembok bayangan” berlapis yang menjaga q tetap berada di sisi luar. Setiap lapis tembok bayangan dapat dilewati apabila kecepatan muatan q cukup sehingga satu-satunya cara agar muatan q bisa masuk ke sisi dalam adalah dengan menaikkan nilai v0 . Pada tugas kali ini, akan ditentukan berapa nilai minimum v0 sehingga muatan q dapat menembus ”tembok bayangan” dan berhasil pindah dari sisi luar ke sisi dalam.
2
Gambar 3: Diagram gaya yang dialami muatan q
Teori Dasar Gerak Partikel Untuk mengetahui berapa kecepatan minimal yang dibutuhkan muatan q untuk melewati ”tembok penghalang” maka kita perlu mengetahui lokasi titik pantul untuk setiap percobaan kecepatan awal v0 . Anggaplah lokasi ”tembok bayangan” lapisan terakhir adalah x = 0, maka apabila lokasi titik pantul sudah berada pada xpantul > 0, kita bisa katakan v0 yang diberikan cukup untuk membuat muatan q bergerak ke sisi dalam seperti digambarkan pada gambar 1b. Untuk mengetahui lokasi titik pantul, kita harus mendefinisikan terlebih dahulu apa yang disebut dengan kondisi terpantul. Gambar 3 memperlihatkan diagram gaya yang dialami oleh muatan q. Gaya tolakan ke arah sumbu-x negatif menyebabkan kecepatan arah x semakin mengecil dari waktu ke waktu sementara gaya tolakan ke arah sumbu-y positif menyebabkan kecepatan arah sumbu-y semakin besar dari waktu ke-waktu. Pada kasus ini, kami definisikan kondisi terpantul adalah titik pada sumbu-x dimana pada titik tersebut, besar kecepatan pada arah sumbu-x sama dengan besar kecepatan pada arah sumbu-y. xpantul = {xpantul ∈ x|vx (xpantul ) = vy (xpantul )}
(1)
Partikel muatan q dikatakan lolos ke sisi dalam apabila nilai xpantul > 0
Metode Newton-Raphson Dengan menyelesaikan persamaan gerak partikel muatan q berdasarkan Hk. II Newton yang telah dibahas pada tugas sebelumnya, kita bisa mengetahui nilai kecepatan dan posisi partikel sebagai fungsi waktu (vx (t), vy (t), dan x(t)). Untuk mencari lokasi xpantul maka kita terlebih dahulu harus mencari waktu terjadinya titik pantul (tpantul ) dengan mencari titik potong antara 3
vx (t) dan vy (t) kemudian mensubstitusi nilai tpantul ke dalam x(t) untuk mendapatkan xpantul . Pada tugas kali ini, titik potong antara vx (t) dan vy (t) ditentukan dengan menggunakan metode Newton-Raphson. Metode Newton-Raphson adalah metode mencari akar dari suatu persamaan dengan masukan satu nilai dugaan. Metode Newton-Raphson membutuhkan masukan lain berupa nilai fungsi pada titik tebakan dan nilai turunan pertama fungsi pada titik tebakan. Metode NewtonRaphson digunakan karena algoritmanya yang sederhana dan waktu iterasi yang dibutuhkan sampai akar ditemukan relatif lebih singkat dibandingkan metode lain (contoh: metode bisection atau metode false position). Metode Newton-Raphson mengupdate nilai dugaan sesuai dengan persamaan (2) dan mengiterasi proses tersebut sampai nilai dugaan konvergen ke satu nilai, nilai akar persamaan. xguess = xguess −
f (x) f 0 (x)
(2)
Interpolasi Polinom Karena persamaan gerak partikel diselesaikan secara numerik, maka kecepatan dan posisi partikel setiap waktu berupa data yang diskrit, bukan fungsi yang kontinu. Mencari nilai fungsi dan turunan fungsi di sembarang titik menjadi masalah apabila data yang dimiliki adalah data diskrit sehingga data diskrit yang didapatkan perlu diubah menjadi bentuk fungsi yang kontinu yang terdefinisi di semua titik. Untuk mendapatkan kecepatan dan posisi sebagai fungsi waktu yang kontinu, maka kami melakukan interpolasi polinom terlebih dahulu terhadap data kecepatan dan posisi. Interpolasi dilakukan dengan mencuplik n−buah data lalu membuat fungsi polinom berderajat-(n−1) yang mencakup data tersebut. Persamaan (3) adalah persamaan yang mendekati data berjumlah n buah. f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an−1 xn−1 = a0 +
n−1 X
ai xi
(3)
i=1
Dari persamaan (3), maka kita dapat menyatakan turunan dari fungsi f (x) sebagai;
f (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + ... + (n − 1)an−1 xn−2 = a1 +
n−1 X
iai xi−1
(4)
i=2
Nilai koefisien polinom ai dapat dihitung dengan menyelesaikan n buah persamaan linier yang dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut; 1 x1 x21 · · · xn−1 a0 f (x1 ) 1 1 x2 x22 · · · xn−1 a1 f (x2 ) 2 1 x3 x2 · · · xn−1 a2 f (x3 ) 3 3 (5) = . .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . a f (x 1 xn x2n · · · xn−1 n−1 n) n Setelah interpolasi dilakukan untuk masing-masing besaran x(t), vx (t), dan vy (t), dapat dibuat fungsi selisih, δ(t); δ(t) = vx (t) − vy (t) (6) 4
Metode Newton-Raphson dilakukan pada fungsi selisih, δ(t) ini untuk mencari titik potong antara vx (t) dengan vy (t) yaitu saat δ(tpantul ) = 0.
Algoritma/FlowChart Secara singkat, metode penyelesaian kasus ini terangkum dalam diagram flowchart pada gambar 4. Konvergensi nilai tguess dilakukan dengan melihat selisih antara nilai tguess sebelum dan setelah diupdate yang ditunjukkan oleh pseudocode sebagai berikut; e r r = 1E−6; w h i l e ( abs ( d)> e r r ) { t next = t g u e s s − f ( x )/ f ’ ( x ) ; d = t next − t guess ; t guess = t next ; } t pantul = t guess ; Flowchart tersebut dilakukan untuk 12 variasi nilai kecepatan awal dari 1.0 sampai 2.2 (satuan non-dimensional). Setelah itu, dibuat grafik antara v0 dengan xpantul untuk mengetahui hubungan keduanya. Dari grafik tersebut dapat dihitung nilai kecepatan minimal partikel muatan q untuk dapat melewati ”tembok bayangan” dan lolos ke sisi dalam.
Gambar 4: Flowchart penghitungan titik potong antara vx dengan vy 5
Hasil dan Diskusi Hasil Pada kasus ini, data posisi dan kecepatan yang dihasilkan dari menyelesaikan persamaan gerak partikel diinterpolasi dengan polinomial berderajat 14. Sampling dengan interval konstan dilakukan untuk mendapatkan 15 buah data yang akan digunakan dalam proses interpolasi. Gambar 5 menunjukkan hasil interpolasi untuk x(t), vx (t), dan vy (t) untuk nilai kecepatan awal 1.1.
Gambar 5: Hasil interpolasi polinom-14 untuk x(t) (hitam), vx (t) (merah) dan vy (t) (biru), v0 = 1.2
Titik berwarna ungu menunjukkan waktu pantul yang ditentukan berdasarkan waktu terjadinya perpotongan antara kurva vx (t) dengan vy (t) serta titik pantul yang ditentukan berdasarkan proyeksi waktu pantul pada kurva x(t). Metode Newton-Raphson untuk menghitung titik potong antara kurva vx (t) dengan vy (t) dilakukan dengan memberikan tebakan awal tguess = 3.5. Proses iterasi menemukan titik potong ditunjukkan pada tabel konvergensi pada tabel 1.
Grafik antara nilai v0 dan xpantul untuk kecepatan awal dari 1.0 sampai 1.8 ditunjukkan oleh gambar 6 yang hanya memplot pada rentang xpantul = −3.6 sampai 0.0 (dari v0 = 1.0 sampai 1.8). Gambar 7 menunjukkan hubungan antara nilai v0 dan xpantul untuk semua kecepatan awal yang diuji dan nilai xpantul yang dihasilkan 6
Table 1: Tabel Konvergensi v0 = 1.1 iterasi ke- tguess 0 3.5 1 4.1055 2 4.0949 3 4.0949
pencarian titik potong untuk v0 = 1.1 dan v0 = 1.6. v0 = 1.6 δ(tguess ) iterasi ke- tguess δ(tguess ) 0 3.5 0.24478 1 4.0076 0.28366 -0.0043853 2 4.0507 0.020439 9.9481e-07 3 4.0511 1.422e-08
Gambar 6: Grafik hubungan antara v0 dengan xpantul , diplot dengan batas v0 = 1 : 1.8 dan xpantul = −3.6 : 0.0
Diskusi Pada gambar 5, hasil interpolasi polinom orde 14 terlihat memberikan gambaran secara keseluruhan yang baik mengenai fungsi yang diinterpolasi. Tabel 1 yang berisi tabel konvergensi pencarian akar persamaan menunjukkan bahwa metode interpolasi ditambah dengan metode Newton-Raphson sangat baik dalam mencari titik potong dua buah fungsi dengan ketelitian mencapai 10−6 dan hanya membutuhkan 3 iterasi. Dari grafik pada gambar 6 terlihat bahwa antara kedua variabel menunjukkan hubungan yang linier dengan persamaan; y = 3.701x − 6.8061
(7)
Dari persamaan regresi linier tersebut, dapat diketahui nilai kecepatan awal minimal agar par7
Gambar 7: Grafik hubungan antara v0 dengan xpantul , diplot dengan batas v0 = 1 : 1.8 dan xpantul = −3.6 : 0.0 tikel muatan q dapat menembus ”tembok bayangan” dan lolos ke sisi dalam yaitu sebesar; v0,min =
6.8061 = 1.8390 3.701
(8)
Hal yang menarik ditunjukkan oleh gambar 7 dimana saat nilai xpantul > 0, hubungan antara xpantul dan v0 tidak lagi linier tetapi meningkat drastis secara exponensial hingga di sekitar titik v0 = 2.05 xpantul bernilai sangat tinggi menuju tak hingga. Pada kondisi ini, artinya kecepatan partikal muatan q dalam arah sumbu-x tidak pernah sama dengan kecepatan dalam arah sumbuy. Hal ini terjadi karena saat partikel sudah melewati batas ”tembok bayangan” (x = 0) maka gaya elektrostatik yang diberikan oleh muatan Q justru mempercepat q dalam arah x dan y. Kecepatan ke arah sumbu-x dan sumbu-y sama-sama semakin tinggi dan tidak ada perpotongan antar kedua kurva. Keadaan tidak ada perpotongan antara kurva vx (t) dan vy (t) yang terjadi saat v0 ≥ 2.05 menunjukkan bahwa apabila kecepatan awal yang diberikan lebih dari 2.05 maka partikel muatan q tidak lagi merasakan pengaruh dari muatan Q. Nilai v0 = 2.05 ini kita sebut sebagai escape velocity atau kecepatan minimum yang dibutuhkan oleh muatan q untuk tidak lagi merasakan pengaruh dari muatan Q. Frase ”tidak lagi merasakan pengaruh” bukan berarti gaya elektrostatik antara kedua muatan hilang melainkan pengaruhnya tidak signifikan dirasakan oleh muatan q
Simpulan Tugas ini telah menujukkan bahwa metode pencarian titik nol atau titik potong dapat diaplikasikan dalam suatu sistem fisis. Pada kesempatan ini, kasus yang ditinjau adalah kasus partikel 8
bermuatan di dalam pengaruh medan listrik akibat kehadiran muatan lain. Metode pencarian titik potong dapat menentukan nilai kecepatan minimum untuk lolos dan nilai escape velocity untuk sistem seperti yang ditunjukkan oleh gambar 1 dan 2. Metode iterasi Newton-Raphson terbukti sangat efektif untuk menyelesaikan kasus ini. Dengan metode Newton-Raphson, hanya dibutuhkan 3 iterasi untuk memperoleh akar-akar persamaan (titik potong) dari kedua fungsi.
Referensi 1. Steven C. Chapra dan Raymond P. Canale. Numerical Methods for Engineers Ch.18 Interpolation. Slide presentasi materi Fisika Komputasi Topik 3, Departemen Fisika ITB Th.2015) 2. Suprijadi. Newton.s Method for Root Finding. Slide presentasi materi Fisika Komputasi Topik 1, Departemen Fisika ITB Th.2015)
9
