12/7/2015
MataKuliah :Matematika RekayasaLanjut KodeMK :TKS8105 Pengampu :AchfasZacoeb
Sesi XIII
INTEGRAL e-Mail :
[email protected] www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339
Integral Garis Dari Gambar 6.1, sebuah obyek bergerak dengan lintasan tidak lurus dari titik A ke titik B. Jika gaya yang diberikan berubah nilai dan arahnya, maka usaha yang dilakukan adalah seperti Pers. (6.1).
Gambar 6.1. Obyek dengan lintasan tidak lurus
1
12/7/2015
Integral Garis (lanjutan) 𝑾 = 𝒊 𝑭𝒊 . 𝚫𝒓𝒊 (6.1) Jika perubahannya kontinu untuk perpindahan dari titik a ke titik b sepanjang lintasan C, maka Pers. (6.1) berubah menjadi bentuk integral seperti Pers. (6.2). 𝑾=
𝒃 𝑭. 𝒅𝒓 𝒂
(6.2)
Usaha yang dihasilkan merupakan integral garis dari fungsi vektor F.
Integral Garis (lanjutan) Integral garis dari suatu fungsi vektor A(t) sepanjang kurva C yang terdefinisi pada a t b, dapat didefinisikan seperti Pers. (6.3). 𝑪
𝑨. 𝒅𝒓 = = =
𝒃 𝑨. 𝒅𝒓 𝒂 𝑏 𝐴1 𝐢 + 𝐴2 𝐣 + 𝐴3 𝐤 . 𝐢𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝐴1 dx + 𝐴2 𝑑𝑦 + 𝐴3 𝑑𝑧 𝑎
+ 𝐣𝑑𝑦 + 𝐤𝑑𝑧 (6.3)
2
12/7/2015
Integral Garis (lanjutan) Untuk obyek yang bergerak dengan lintasan tertutup dimana A = B seperti ditunjukkan Gambar 6.2, maka digunakan Pers. (6.4).
Gambar 6.2. Obyek dengan lintasan tertutup 𝑪
𝑨. 𝒅𝒓 =
𝑪
𝐴1 𝐢 + 𝐴2 𝐣 + 𝐴3 𝐤 . 𝐢𝑑𝑥 + 𝐣𝑑𝑦 + 𝐤𝑑𝑧
=
𝐶
𝐴1 dx + 𝐴2 𝑑𝑦 + 𝐴3 𝑑𝑧
(6.4)
Integral Garis (lanjutan) Contoh : Hitung usaha yang dihasilkan sebuah obyek yang bergerak dalam vektor F = yi + x2j, sepanjang kurva x = 2t, y = t2 – 1 dari t = 0 hingga t = 2. Penyelesaian : 𝑪
𝑭. 𝒅𝒓 = = = = =
𝒚𝐢 + 𝒙𝟐 𝐣 . 𝒅𝒙𝐢 + 𝒅𝒚𝐣 𝑪 𝟐 𝒚𝒅𝒙 + 𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝟎 𝟐 𝟐 𝒕 − 𝟏 𝟐𝒅𝒕 + 𝟐𝒕 𝟐 𝟐𝒕𝒅𝒕 𝟎 𝟐 𝟐𝒕𝟐 − 𝟐 + 𝟖𝒕𝟑 𝒅𝒕 𝟎 𝟐 𝟑 𝟏𝟎𝟎 𝒕 − 𝟐𝒕 + 𝟖𝒕𝟒 𝟐𝟎 = 𝟑 satuan 𝟑
panjang
3
12/7/2015
Integral Permukaan Definisi : Jika S suatu permukaan 2 sisi yang demikian mulus dan n adalah vektor normal satuan positif, maka fluks (massa yang mengalir per satuan waktu) dari A(x,y,z) melalui permukaan S adalah seperti Pers. (6.5) yang disebut dengan integral permukaan. Fluks 𝑭 yang melintasi 𝑺 =
𝑺
𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺
(6.5)
Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung integral lipat 2 dari proyeksinya.
Integral Permukaan (lanjutan) Jika permukaan S memiliki proyeksi pada bidang xy, maka integral permukaan diberikan oleh Pers. (6.6). 𝑺
𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 =
𝑺
𝑨. 𝒏.
𝒅𝒙.𝒅𝒚 𝒏.𝐤
(6.6)
Sedangkan jika proyeksi pada bidang xz, maka integral permukaan diberikan oleh Pers. (6.7). 𝑺
𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 =
𝑺
𝑨. 𝒏.
𝒅𝒙.𝒅𝒛 𝒏.𝐣
(6.7)
Dan proyeksi pada bidang yz, maka integral permukaan diberikan oleh Pers. (6.8). 𝑺
𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 =
𝑺
𝑨. 𝒏.
𝒅𝒚.𝒅𝒛 𝒏.𝐢
(6.8)
4
12/7/2015
Integral Permukaan (lanjutan) Contoh : Hitunglah 𝑺 𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 dimana A = 18zi – 12j + 3yk, S adalah bagian dari bidang 2x + 3y + 6z = 12 yang terletak pada oktan pertama dan n adalah normal satuan pada S. Penyelesaian : Suatu normal untuk S adalah 𝛁 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟔𝒛 − 𝟏𝟐 = 𝟐𝐢 + 𝟑𝐣 + 𝟔𝐤, sehingga : 𝒏=
𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤 𝟐𝟑 +𝟑𝟐 +𝟔𝟐
=
𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤 𝟕
Integral Permukaan (lanjutan) maka : 𝑨. 𝒏 = 𝟏𝟖𝒛𝐢 − 𝟏𝟐𝐣 + 𝟑𝒚𝐤 . = = =
𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤 𝟕
𝟑𝟔𝒛−𝟑𝟔+𝟏𝟖𝒚 𝟕 𝟑𝟔
𝟏𝟐−𝟐𝒙−𝟑𝒚 𝟔
−𝟑𝟔+𝟏𝟖𝒚
𝟕 𝟑𝟔−𝟏𝟐𝒙 𝟕
5
12/7/2015
Integral Permukaan (lanjutan) Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang xy. Sehingga integral permukaan yang diinginkan adalah seperti gambar berikut :
Integral Permukaan (lanjutan) 𝑺
𝑨. 𝒏. 𝒅𝑺 = =
𝒅𝒙.𝒅𝒚 𝒏.𝐤 𝟑𝟔−𝟏𝟐𝒙 𝒅𝒙.𝒅𝒚 . 𝟐𝐢+𝟑𝐣+𝟔𝐤 𝑹 𝟕 .𝐤
𝑹
𝑨. 𝒏.
𝟏𝟐−𝟐𝒙
= = = = =
𝟕
=
𝑹
𝟑𝟔−𝟏𝟐𝒙 𝒅𝒙.𝒅𝒚 . 𝟔 𝟕
𝟔 𝟑 𝟔 − 𝟐𝒙 𝒅𝒙. 𝒅𝒚 𝒙=𝟎 𝒚=𝟎 𝟏𝟐−𝟐𝒙 𝟔 𝟑 𝟔𝒚 − 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒙 𝒙=𝟎 𝟎 𝟔 𝟏𝟐−𝟐𝒙 𝟏𝟐−𝟐𝒙 𝟔 − 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒙=𝟎 𝟑 𝟑 𝟔 𝟒𝒙𝟐 𝟐𝟒 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 𝒙=𝟎 𝟒𝒙𝟐 𝟐𝟒𝒙 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗 𝟔𝟎 = 𝟐𝟒 satuan
𝟕
luas
6
12/7/2015
Integral Volume (lanjutan) Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang menutup volume V, maka : 𝑨 𝒅𝑽 =
𝑽
𝑽
𝑨 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛
(6.9)
dan 𝝓 𝒅𝑽 = 𝑽 𝝓 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 (6.10) Pers. (6.10) dapat dinyatakan sebagai limit dari jumlah. Untuk lebih jelasnya lihat Gambar 6.3 yang membagi ruang V ke dalam M buah kubus-kubus dengan volume 𝚫𝑽𝒌 = 𝚫𝒙𝒌 𝚫𝒚𝒌 𝚫𝒛𝒌 , 𝒌 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑴. 𝑽
Integral Volume (lanjutan) Jika 𝒙𝒌 , 𝒚𝒌 , 𝒛𝒌 sebuah titik dalam kubus, dapat didefnisikan 𝝓 𝒙𝒌 , 𝒚𝒌 , 𝒛𝒌 = 𝝓𝒌 . Pandang jumlah : 𝒏
𝝓𝒌 ∆𝑽𝒌 𝒌=𝟏
yang diambil untuk semua kubus yang ada dalam ruang Gambar 6.3. Integral volume yang ditinjau.
7
12/7/2015
Integral Volume (lanjutan) Limit dari jumlah tersebut, jika 𝑴 → ∞, sehingga kuantitaskuantitas terbesar ∆𝑽𝒌 akan mendekati nol, dan jika limit ini ada, yang dinyatakan oleh Pers. (6.10) adalah integral volume.
Integral Volume (lanjutan) Contoh : Hitung 𝑽 𝒇(𝒙)𝒅𝑽 dengan V adalah ruang yang dibatasi oleh permukaan-permukaan x + y + z = 5, x = 0, y = 0, dan z = 0, jika 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 . Penyelesaian :
8
12/7/2015
Integral Volume (lanjutan) 𝑽
𝒙𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛𝟐 = = = =
𝟓 𝒙=𝟎 𝟓 𝒙=𝟎 𝟓 𝒙=𝟎 𝟓 𝒙=𝟎
𝟓−𝒙 𝟓−𝒙−𝒚 𝟐 𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙 𝒚=𝟎 𝒛=𝟎 𝟓−𝒙 𝟏 𝒙𝟐 𝒛 + 𝒚𝟐 𝒛 + 𝒛𝟑 𝟓−𝒙−𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 𝟎 𝒚=𝟎 𝟑 𝟑 𝟓−𝒙 𝟓−𝒙−𝒚 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟓 − 𝒙 − 𝒚 + 𝒙 𝒚=𝟎 𝟑 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟓−𝒙 𝟑 𝒚𝟒 𝒙𝟐 𝟓 − 𝒙 − + 𝒚 − 𝟐 𝟑 𝟒
− = =
𝟓−𝒙−𝒚 𝟒 𝟏𝟐
𝒅𝒚𝒅𝒙
𝟓−𝒙 𝒅𝒙 𝟎
𝟓 𝒙𝟐 𝟓−𝒙 𝟐 𝟓−𝒙 𝟒 + 𝒅𝒙 𝟎 𝟐 𝟔 𝟐𝟓𝒙𝟑 𝟓𝒙𝟒 𝒙𝟓 (𝟓−𝒙)𝟓 − + − 𝟔 𝟒 𝟏𝟎 𝟑𝟎
𝟓 𝟎
=
𝟔𝟐𝟓 𝟒
satuan volume
Teorema Gauss Definisi : Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan A sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka : 𝐕
𝛁. 𝐀𝐝𝐕 =
𝐒
𝐀. 𝐧𝐝𝐒 =
𝐒
𝐀. 𝐝𝐒
(7.1)
Dari Pers. (7.1), integral permukaan dari sebuah vektor A yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari divergensi A dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan dapat juga digunakan Teorema Gauss.
9
12/7/2015
Teorema Gauss (lanjutan) Agar lebih memahami teorema Gauss, lihat contoh soal berikut : Contoh Soal : Hitunglah 𝐒 𝐀. 𝐧. 𝐝𝐒 dengan 𝐀 = 2𝑥 − 𝑧 𝐢 + 𝑥 2 𝑦𝐣 − 𝑥𝑧 2 𝐤 dan S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1. Penyelesaian :
Teorema Gauss (lanjutan) Menurut teorema divergensi Gauss : 𝐀. 𝐧𝐝𝐒 =
𝐒
Maka, 𝛁. 𝐀𝐝𝐕 = 𝐕 = = = =
𝐕
𝛁. 𝐀𝐝𝐕
1 1 1 𝜕 𝜕 𝜕 𝐢 + 𝐣 + 𝐤 . 2𝑥 − 𝑧 𝐢 + 𝑥 2 𝑦𝐣 − 𝑥𝑧 2 𝐤 0 0 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 1 1 1 2 + 𝑥 2 − 2𝑥𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 0 0 0 1 1 1 1 7 𝑥3 2𝑥 + − 𝑥 2 𝑧 10 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0 0 − 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧 0 0 3 3 1 7 1 7 1 𝑦 − 𝑧𝑦 0 𝑑𝑧 = 0 − 𝑧 𝑑𝑧 0 3 3 7 1 2 1 𝟏𝟏 𝑧− 𝑧 0= 3 2 𝟔
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Jadi, 𝐒
𝐀. 𝐧𝐝𝐒 =
𝐕
𝛁. 𝐀𝐝𝐕 =
𝟏𝟏 𝟔
satuan
10
12/7/2015
Teorema Stokes Definisi : Jika S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batasbatasnya adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan F(x,y,z) adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam domain yang memuat S, maka : 𝐅. 𝐝𝐫 = 𝐒 𝛁 × 𝐅 . 𝐧. 𝐝𝐒 (7.2) Dari Pers. (7.2) dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C sama dengan integral permukaan dari curl melalui sembarang permukaan S dengan C sebagai batasnya. 𝐂
Teorema Stokes (lanjutan) Agar lebih memahami teorema Stokes, lihat contoh soal berikut : Contoh Soal : Hitunglah 𝛁 × 𝐀 . 𝐝𝐒 dengan 𝐀 = 2𝑥 − 𝑦 𝐢 + 𝑦𝑧 2 𝐣 − 𝐒 𝑦 2 𝑧𝐤 dimana S adalah separuh dari permukaan bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 bagian atas dan C batasnya. Penyelesaian :
11
12/7/2015
Teorema Stokes (lanjutan) Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, 𝑧 = 0 dan persamaan parameternya adalah 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 𝑧 = 0, dimana 0 t 2. Berdasarkan teorema Stokes 𝐂
𝐀. 𝐝𝐫 = = = = = =
Jadi,
𝐒
2𝑥 − 𝑦 𝐢 −
𝑦𝑧 2 𝐣
𝐒
−
𝛁 × 𝐀 . 𝐧. 𝐝𝐒 =
𝑦 2 𝑧𝐤
𝐂
𝐀. 𝐝𝐫.
. 𝑑 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝒊
C 2𝜋 2𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦𝑧 2 𝑑𝑦 − 𝑦 2 𝑧𝑑𝑧 0 2𝜋 2 cos 𝑡 − sin 𝑡 − sin 𝑡 𝑑𝑡 0 2𝜋 −2 sin 𝑡 cos 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 𝑑𝑡 0 2𝜋 1 cos 2𝑡 − sin 2𝑡 + − 𝑑𝑡 0 2 2 1 1 1 2𝜋 cos 2𝑡 + 𝑡 + sin 2𝑡 0 = 𝜋 2 2 4
𝛁 × 𝐀 . 𝐧. 𝐝𝐒 =
𝐂
𝐀. 𝐝𝐫 = 𝝅 satuan
Teorema Green Teorema Stokes berlaku untuk permukaan-permukaan S dalam ruang yang memiliki kurva C sebagai batasnya, sedangkan teorema Green berlaku pada daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Istilahnya, teorema Green dalam bidang adalah hal khusus dari teorema Stokes. Jadi ada satu cara lagi untuk mencari besar usaha dalam bidang, yaitu dengan menggunakan teorema Green.
12
12/7/2015
Teorema Green (lanjutan) Definisi : Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C. M dan N adalah fungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka : 𝐂
𝐌𝐝𝐱 + 𝐍𝐝𝐲 =
𝐑
𝛛𝐍 𝛛𝐌 − 𝛛𝐲 𝛛𝐱
𝐝𝐱𝐝𝐲
(7.3)
Teorema Green (lanjutan) Jika A menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah partikel dimana A = Mi + Nj, maka 𝐂 𝐀. 𝐝𝐫 adalah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup C → integral garis, yaitu : 𝐂
𝐀. 𝐝𝐫 =
𝐂
M𝐢 + N𝐣 . 𝑑𝑥𝐢 + 𝑑𝑦𝐣 + 𝑑𝑧𝐤
= 𝐂 M𝑑𝑥 + N𝑑𝑦 Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang dilakukan adalah :
=
𝐑
𝛛𝐍 𝛛𝐌 − 𝛛𝒚 𝛛𝒙
𝑑𝑥𝑑𝑦
13
12/7/2015
Teorema Green (lanjutan) Agar lebih memahami teorema Green, lihat contoh soal berikut : Contoh Soal : Periksa teorema Green pada bidang untuk 𝐂 2𝑥𝑦 − 𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦, dimana C adalah kurva tertutup yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥 2 dan 𝑦 2 = 𝑥. Penyelesaian : Kurva-kurva bidang tersebut berpotongan di (0, 0) dan (1,1), arah positif dalam menjalani C ditunjukkan pada gambar di samping.
Teorema Green (lanjutan) Sepanjang 𝑦 = 𝑥 2 , integral garisnya adalah : 1 2𝑥 𝑥 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑥 + 𝑥 2 2 𝑑 𝑥 2 𝑥=0 1
7
= 𝑥=0 2𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥 5 𝑑𝑥 = 6 Sepanjang 𝑦 2 = 𝑥, integral garisnya adalah : 0 2𝑦 2 𝑦 − 𝑦 2 2 𝑑 𝑦 2 + 𝑦 2 + 𝑦 2 𝑑y 𝑦=1 =
0 𝑦=1
17
4𝑦 4 − 2𝑦 5 + 2𝑦 2 𝑑𝑥 = − 15
Maka integral garis yang diinginkan adalah : 7 17 𝟏 = − = satuan 6
15
𝟑𝟎
14
12/7/2015
Teorema Green (lanjutan) Dengan teorema Green : 𝐑
𝛛𝐍 𝛛𝒙
−
𝛛𝐌 𝛛𝒚
𝑑𝑥𝑑𝑦 = = = = =
𝛛 𝒙+𝒚𝟐 𝐑
𝛛𝒙
−
𝛛 𝟐𝒙𝒚−𝒙𝟐 𝛛𝒚
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝟏 − 𝟐𝒙 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐑 1 𝑥 𝟏 − 𝟐𝒙 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥=0 𝑦=𝑥 2 1 𝑦 − 2𝑥𝑦 𝑥𝑥2 𝑑𝑥 𝑥=0 1 3 1 2 − 2𝑥 2 − 𝑥 2 + 2𝑥 3 𝑥 𝑥=0 𝟏 satuan 𝟑𝟎
𝑑𝑥
= (Pemeriksaan selesai dan terbukti sama!)
Latihan 1. Teorema Gauss : Hitunglah 𝐒 𝐀. 𝐧. 𝐝𝐒 dengan𝐀 = 2𝑥𝑦 − 𝑧 𝐢 + 𝑦 2 𝐣 − 𝑥 + 3𝑦 𝐤 pada daerah yang dibatasi oleh 2x + 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0. 2. Teorema Stokes : Hitunglah 𝐒 𝛁 × 𝐀 . 𝐧. 𝐝𝐒 dengan 𝐀 = 3𝑦𝐢 − 𝑥𝑧𝐣 + 𝑦𝑧 2 𝐤, dimana S adalah permukaan paraboloida 2𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 yang dibatasi oleh z = 2 dan C sebagai batasnya. 3. Teorema Green : Hitunglah 𝐂 𝑥 2 − 𝑥𝑦 3 𝑑𝑥 + 𝑦 3 − 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 dengan C adalah suatu bujursangkar dengan titik sudut (0,0), (0,2), (2,2), (2,0).
15
12/7/2015
Thanks for your kind attention!
16
