2015

12/7/2015

MataKuliah :Matematika RekayasaLanjut KodeMK :TKS8105 Pengampu :AchfasZacoeb

Sesi XIV

DERET e-Mail : [email protected] www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339

Pendahuluan Deret Fourier ditemukan oleh ilmuan Perancis, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) yang menyatakan bahwa semua bentuk fungsi/sinyal periodik dapat direpresentasikan ke dalam Deret Fourier yang merupakan deret Sinusoidal (sinus & cosinus). Perhatikan gambar sinyal berikut :

1

12/7/2015

Pendahuluan (lanjutan) Gelombang = Getaran = Sinyal = Fungsi (model matematiknya) mengakibatkan tekanan molekul udara di suatu daerah menjadi tinggi & daerah lain rendah. Jika tekanan diukur sebagai fungsi dari t, maka akan diperoleh fungsi periodik f(t). Catatan : 1. Jika suatu bentuk sinyal/fungsi tertentu akan berulang dengan bentuk yangg sama dalam setiap periode, maka sinyal tersebut dikatakan sebagai sinyal periodik. 2. Gelombang suara merupakan gelombang sinus murni dengan frekwensi tertentu.

Pendahuluan (lanjutan) 3. Frekwensi resultan gelombang suara merupakan sejumlah nada dengan frekwensi 2, 3, 4, ... kali frekwensi dasar. 4. Frekwensi lebih tinggi berarti periode lebih pendek. 5. Jika 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝒕 dan 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝒕 = ferkwensi dasar, maka 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝛚𝒕 dan 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝛚𝒕 = nada harmonik yang lebih tinggi. 6. Kombinasi antara frekwensi dasar & harmoniknya membentuk fungsi periodik dengan periode dasar. 7. Setiap sinyal periodik dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari sinyal-sinyal harmonik. 8. Penjumlahan sinyal-sinyal harmonik dari suatu sinyal periodik dinyatakan dalam Deret Fourier.

2

12/7/2015

Fungsi/Sinyal Periodik Fungsi f(x) dikatakan punya periodik T atau f(x) periodik dengan periode T, jika untuk setiap x berlaku : 𝒇 𝒙+𝐓 =𝒇 𝒙 T = konstanta positif (T > 0), nilai terkecil T dinamakan periode terkecil atau disingkat f(x). Grafik suatu sinyal/fungsi dengan periode T didapat dengan menggambarkan grafik fungsi dasarnya secara berulang seperti gambar berikut :

Fungsi/Sinyal Periodik (lanjutan)

1. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 adalah 2

2. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 adalah 2

3. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐭𝐠 𝒙 adalah 

3

12/7/2015

Deret Fourier (lanjutan) Andaikan f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode T yang terdefinisikan dalam selang dasar a < x < a + T, yakni f(x) = f(x + T), maka fungsi f(x) dapat diuraikan dalam deret Fourier sebagai berikut : ∞ 𝒂𝟎 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒙 𝒇 𝒙 = + 𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬 + 𝒃𝒏 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝑳 𝑳 𝒏=𝟏

Dengan koefisien-koefisien a0, an, dan bn yang disebut sebagai koefisien-koefisien Fourier, ditentukan oleh fungsi f(x) melalui hubungan integral sebagai berikut :

Deret Fourier (lanjutan) 𝟏 𝒂𝟎 = 𝑳 𝒂𝒏 = 𝒃𝒏 =

𝟏 𝑳 𝟏 𝑳

𝒂+𝑻

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒂 𝒂+𝑻

𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬

𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 𝑳

𝒇 𝒙 𝐬𝐢𝐧

𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 𝑳

𝒂 𝒂+𝑻

𝒂

dengan T = periode dan L = ½ periode.

4

12/7/2015

Contoh Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut : 𝟏, 𝟎<𝒙<𝟏 𝒇 𝒙 = 𝟎, 𝟏<𝒙<𝟐 Periodik dengan periode 2, sehingga 𝒇 𝒙 ± 𝟐 = 𝒇(𝒙), uraikan fungsi tersebut dalam deret Fourier! Penyelesaian : Periode T = 2, sehingga L = ½ T = 1, interval dasarnya 0  x  2, jadi a = 0. Ekspansi f(x) dalam daerah kiri dan kanan sumbu x dapat dilihat pada gambar berikut :

Contoh (lanjutan) Koefisien-koefisien Fourier dicari sebagai berikut : 𝟏 𝒂+𝑻 𝒂𝟎 = 𝑳 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 (𝟏)𝒅𝒙 + 𝟏 (𝟎)𝒅𝒙 𝟏 𝒅𝒙 𝟎 𝟏 𝒙 𝟎 𝟏

=𝟏 = =

= =𝟏

5

12/7/2015

Contoh (lanjutan) 𝒂+𝑻 𝒏𝝅𝒙 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝑳 𝒅𝒙 𝒂 𝟏 𝟐 𝒏𝝅𝒙 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝑳 𝒅𝒙 𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟏 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 𝟎 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝟏𝟎 𝒏𝝅 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅 − 𝐬𝐢𝐧 𝟎 𝒏𝝅

𝟏

𝒂𝒏 = 𝑳 = = = =

𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙

= =𝟎

Contoh (lanjutan) 𝒂+𝑻 𝒏𝝅𝒙 𝒇 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝑳 𝒅𝒙 𝒂 𝟏 𝟐 𝒏𝝅𝒙 𝒇 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝟏 𝒅𝒙 𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟏 𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 𝟎 𝟏 − 𝒏𝝅 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝟏𝟎 𝟏 𝟏 − 𝒏𝝅 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅 − 𝐜𝐨𝐬 𝟎 = − 𝒏𝝅 −𝟏 𝒏 − 𝟏 𝟐 , 𝒏 ganjil 𝒏𝝅

𝟏

𝒃𝒏 = 𝑳 = = = = = =

𝟎, 𝒏 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

6

12/7/2015

Contoh (lanjutan) Dengan demikian deret Fourier untuk fungsi f(x) adalah : ∞ 𝒂𝟎 𝟐 𝒇 𝒙 = + 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 → dalam hal ini 𝒏 = 𝟐𝒌 − 𝟏 𝟐 𝒏𝝅 𝒌=𝟏

𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 = + 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝝅𝒙 + 𝐬𝐢𝐧𝟓 𝝅𝒙 + ⋯ 𝟐 𝝅 𝟑𝝅 𝟓𝝅 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 = + 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝝅𝒙 + 𝐬𝐢𝐧𝟓 𝝅𝒙 + ⋯ 𝟐 𝝅 𝟑 𝟓

Syarat Dirichlet Persyaratan sebuah fungsi f(x) agar dapat dinyatakan dalam deret Fourier ditentukan oleh syarat Dirichlet sebagai berikut : Jika (a) f(x) periodik dengan periode T (b) bernilai tunggal serta kontinu bagian demi bagian dalam interval dasarnya : a  x  a + T, dan (c)

𝒂+𝒕 𝒂

𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 nilainya berhingga,

Maka deret Fourier di ruas kanan konvergen ke nilai :

7

12/7/2015

Syarat Dirichlet (lanjutan)  f(x) di semua titik kekontinuan f(x) dan  ½ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙𝟎− + 𝒍𝒊𝒎 𝒇 𝒙𝟎+ di setiap titik ketakkontinuan x0 (pada daerah lompatan). Contoh : Pada contoh sebelumnya (perhatikan gambar), tentukanlah konvergen ke nilai berapa deret fourier tersebut di titik-titik 1 3 3 5 kekontinuan 𝑥 = , , , − dan di titik-titik ketakkontinuan x = 2 2 4 2 0, 1, 2, -3.

Syarat Dirichlet (lanjutan) Penyelesaian : Menurut syarat Dirichlet, maka : - Di titik-titik kekontinuan : 𝟏 𝟑 𝒙= konvergen ke 1 𝒙= 𝟐 𝟑 𝟐

𝟒

konvergen ke 1 𝟓

𝒙= konvergen ke 0 𝒙 = − 𝟐 konvergen ke 0 - Di titik-titik ketakkontinuan : x=0 konvergen ke ½ (0 + 1) = ½ x=1 konvergen ke ½ (1 + 0) = ½ x=2 konvergen ke ½ (0 + 1) = ½ x = -3 konvergen ke ½ (1 + 0) = ½

8

12/7/2015

Latihan Diketahui fungsi f(t) sebagai berikut : 𝟑, −𝟐 < 𝒕 < 𝟎 𝒇 𝒕 = −𝟓, 𝟎<𝒕<𝟐 Periodik sehingga 𝒇 𝒕 + 𝟒 = 𝒇(𝒕) , uraikan fungsi tersebut dalam deret Fourier dan gambarkan bentuk gelombangnya!

Lendutan Pelat Segiempat (Rectangular Slabs Deflection) My x

x Mx

y

z Persamaan umum pelat klasik :

 4w  4w  4w q  4 2 2 2  4 x y x y D PDP Tk. 4, linier, non homogen

y

Mx

My z

 Variabel terikat  Variabel bebas  Beban luar  Kekakuan lentur

: w (lendutan) : x dan y (jarak) : q (data) : D (data) 2h 3 E D 3 1  2





9

12/7/2015

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love)  Persamaan umum pelat klasik :

 4w  4w  4w q   2  4 4 2 2 x y x .y D  Dalam bentuk operator laplace 2D :

D 2 2 w  q  Penyelesaian : w( x , y )  wh ( x , y )  w p ( x , y ) dengan : wh(x,y) = penyelesaian homogen (ruas kanan = 0) wp(x,y) = penyelesaian khusus/integral parsial (PDP non homogen)

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d Metode Kirchhoff–Love adalah model matematika yang digunakan untuk menentukan tegangan dan deformasi pada pelat tipis 2D akibat gaya dan momen. Metode ini merupakan lanjutan dari teori balok EulerBernoulli yang dikembangkan oleh Love (Inggris) pada tahun 1888 dengan menggunakan asumsi yang diusulkan oleh Kirchhoff seperti berikut : • Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap lurus setelah deformasi. • Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap normal pada pertengahan permukaan setelah deformasi. • Ketebalan plat tidak berubah selama deformasi.

10

12/7/2015

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d Contoh : Pelat segi empat dengan tumpuan sederhana dan beban sinusoidal. a x b

b

R

R

y a Persamaan beban :

q  q0 sin

x a

R

R

sin

y b

dengan q0 = intensitas beban di tengah pelat

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d Persamaan umum pelat menjadi :

 4w  4w  4 w q0 x y  2   sin sin 4 2 2 4 x x y y D a b Kondisi batas untuk x = 0 dan x = a :  Lendutan,w = 0  Momen ujung, Mx = 0 Kondisi batas untuk y = 0 dan y = b :  Lendutan,w = 0  Momen ujung, My = 0

11

12/7/2015

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d Persamaan lendutan pelat yang memenuhi kondisi batas :

w  c sin

x a

sin

y b

Konstanta c harus dihitung dengan memperhatikan kondisi batas, sehingga didapatkan :

q0 1 2 4 D  1 1   2  2 b  a

c

Sehingga persamaan lendutan pelat menjadi :

w

q0 1 x y sin sin 2 4 D  1 a b 1   2  2 b  a

Lendutan Pelat Segiempat (Deret Fourier Sinus) Penyelesaian dengan deret Fourier : Secara praktis di lapangan, beban sinusoidal tidak ada (yang ada adalah beban merata, beban terpusat, dan beban segitiga)  harus diekspansikan dulu ke dalam deret Fourier. beban merata q0 beban sinusoidal

beban terpusat

beban segitiga

12

12/7/2015

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) Penyelesaian dengan deret Fourier ganda dikembangkan oleh Navier (Prancis) pada tahun 1820. Persamaan beban : q z  f  x , y  Persamaan beban dalam bentuk deret Fourier ganda (sinus) : 



f  x , y    Amn sin m 1 n 1

m x ny sin a b

dengan Amn adalah koefisien Fourier yang harus dicari sesuai dengan bentuk bebannya.

4 m x nx f ( x , y ) sin sin dxdy ab 0 0 a b a b

Amn 

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d Persamaan lendutan untuk keempat sisi tumpuan berupa sendi :

w x, y  

Amn 1   m x n y sin sin   2 4  D m 1 n 1  1 1  a b  2 2 b  a

Untuk beban merata f(x,y) = P0 :

z q0 beban merata

x/y

4 m x nx q0 sin sin dxdy ab 0 0 a b a b

Amn  

4q 0 ab

a b

  sin 0 0

m x nx sin dxdy a b

16q  2 0  mn

13

12/7/2015

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d Selanjutnya persamaan lendutan pelat segiempat dengan keempat sisi tumpuan berupa sendi menjadi :

w x, y  

16q0     6 D m 1 n 1

Amn 1  1 mn 2  2  b  a

2

sin

m x ny . sin a b

Untuk kondisi pelat segiempat dengan keempat sisi tumpuan berupa sendi dan akibat beban merata, lendutan maksimum terjadi di tengah bentang, pada x = a/2 dan y = b/2 :

wmax

16q    6 0   D m 1 n 1

 1

mn 1 2

1  1 mn 2  2  a b  

2

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) Penyelesaian dengan deret Fourier tunggal dikembangkan oleh Levy (Prancis) pada tahun 1899. Bentuk persamaan lendutan : w ( x , y ) 



Y

m 1

y

m

sin

m x a

dengan Ym = f(x,y) x

sendi

sendi a

b

Asumsi tumpuan pada x = 0 dan x = a adalah sendi yang sejajar sumbu, sehingga diperlukan adanya penyesuaian sistim koordinat.

14

12/7/2015

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Persamaan umum lendutan :

 4w  4w  4w q  2   2 2 2 2 x x y y D

w( x, y )  w H  w P  w H ( x, y)  w P ( x ) Catatan : wP adalah lendutan pelat ke arah sumbu x saja dengan asumsi tumpuan sisi y =  b/2 di  x, sehingga :  4 w q P

x 2



D

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Proses integrasi 4x dan 4c dengan kondisi batas di x = 0 dan x = a :

 3wP q  x  c1 x 3 D 2  wP q 2  x  c1 x  c2 2 x 2D w P q 3 c1 2  x  x  c2 x  c3 x 6D 2 q c c wP  x 4  1 x 3  2 x 2  c 3 x  c4 24 D 6 2

15

12/7/2015

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Dengan c1, c2, c3, c4 dihitung untuk kondisi batas pada x = 0 dan x = a :

q ( x 4  2ax 3  a 3 x ) 24 D

wP ( x) 

Selanjutnya, ekspansikan dalam deret Fourier tunggal : 

w P ( x )   Am sin m 1

m x a

2 m x sehingga : Am  w P ( x ) sin dx  a0 a a



4qa 4  5m 5 D

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Maka penyelesaian wP(x) :

wP ( x) 

4qa 4  5D



1

m

m 1

5

sin

m x a

Penyelesaian wH(x,y) :

 4wH  4wH  4wH  2  0 x 4 x 2 y 2 y 4  m x w H ( x , y )   Ym sin a m 1 4 2 2 2    ym m   ym m 4 4 ym 

 

m 1

 y

4

2

a

2

y

2



a

4

m x  sin 0 a 

16

12/7/2015

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d  4 ym m 2 2  2 ym m 4 4 ym 2 2  0 4 y a y 2 a4  Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) orde 4, linier, homogen dengan penyelesaian umum :

ym ( y ) 

qa 4  m y m y m y  Bm sinh   Am cosh D  a a a m y m y m y  C m sinh  Dm cosh  a a a 

 dengan : cosh y 



1 y e  e y 2



dan sinh y 



1 y y e e 2



Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d z

Penyederhanaan persamaan tersebut atas dasar garis simetris sumbu z :

y w

w(x,y) = w(x,-y) dengan w = lendutan

b z

Untuk fungsi genap : z y

y ½b sendi

½b *

w(x,y) = w(x,-y)  mungkin

w(x,y) y sendi

Untuk fungsi ganjil : z

y w(x,y)

w(x,y) = -w(x,-y)  tidak mungkin

x * simetri terhadap sumbu z, tumpuan terhadap sumbu x simetris (sendi).

17

12/7/2015

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Solusi persamaan homogen : qa 4  m y m y ym ( y ) 

m y m y m y m y   Bm sinh  C m sinh  Dm cosh  Am cosh  D  a a a a a a 

genap y

Evaluasi:

genap

ganjil

ganjil

y

x y = cos x  genap

x y = sin x  ganjil y

y x y = x  ganjil

x y = x2  ganjil

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Karena kondisi batas yang digunakan adalah fungsi genap, maka persamaannya menjadi :

ym ( y ) 

qa 4  m y m y m y   Bm sinh  Am cosh  D  a a a 

Koefisien Am dan Bm dihitung dengan kondisi batas pada y = b/2, tumpuan simetris terhadap sumbu x setelah digabung dengan solusi non homogen, sehingga persamaan lendutan total adalah :

w( x, y ) 

qa 4 D



 m

m y m y m y  m x  4  Bm sinh  5 5  Am cosh  sinh a a a  a  m

dengan m = 1,3,5

18

12/7/2015

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Hanya berlaku untuk fungsi genap dengan kondisi batas pada +b/2 :

w0

 2w 0 y 2

dan

Persamaan tersebut diturunkan, kemudian disubstitusikan ke kondisi batas dan ambil permisalan :

4 m b   m  5 5  Am cosh  m   m Bm sinh  m  0  m 2a

 ( Am  2 Bm ) cosh  m   m Bm sinh  m  0 sehingga :

Am 

 2 m tanh  m  2  dan  5 m 5 cosh  m

Bm 

2  m cosh  m 5

5

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Nilai Am dan Bm disubstitusikan ke persamaan lendutan total :

w x, y  

4qa 4  5D

2 y 1   m tanh  m  2 1  cosh m  5 2 cosh  m b m 1, 3 , 5 m  



m 2 y  2y m x sinh m  sin 2 cosh  m b b  a Lendutan maksimum pada x = a/2 dan y = 0 :

wmax

4qa 4  5  D

 m 1    

( 1) 2  m5 m 1, 3 , 5 

  m tanh  m  2   1   2 cosh  m  

Catatan : untuk desain, nilai m yang digunakan hanya sampai suku ke 5, sedangkan suku ke 7 dan setelahnya dapat diabaikan  pengaruhnya/nilainya kecil

19

12/7/2015

Thanks for your kind attention!

20