2015

Matematika I A – uk´ azkov´ y test 1 pro 2014/2015 1. Je d´ana soustava rovnic s parametrem a ∈ R x−y+z = 1 x + y + 3z = 1 (2a − 1)x + (a + 1)y + z = 1 − a a) Napiˇste Frobeniovu vˇetu (existence i poˇcet ˇreˇsen´ı). b) Vyˇsetˇrete poˇcet ˇreˇsen´ı soustavy v z´avislosti na hodnotˇe parametru a ∈ R. c) Najdˇete ˇreˇsen´ı zadan´e soustavy pro a = 1.   1 1 0 2. Je d´ana matice A=0 0 1 0 2 1 a) Definujte pojem inverzn´ı matice ke ˇctvercov´e matici A. b) Uved’te nˇekterou z nutn´ ych a postaˇcuj´ıc´ıch podm´ınek existence inverzn´ı matice. Ovˇeˇrte splnˇen´ı t´eto podm´ınky pro zadanou matici A. c) Vypoˇc´ıtejte A−1 , detA, det(A−1 ) a det(AA−1 ). Ovˇeˇrte spr´avnost matice A−1 . √

x2 . 2 a) Urˇcete definiˇcn´ı obor D(f ) a vypoˇc´ıtejte 1. a 2. derivaci t´eto funkce. Napiˇste rovnici teˇcny a rovnici norm´aly ke grafu dan´e funkce v bodˇe [x0 , f (x0 )], je-li x0 = 0. b) Pro tuto funkci napiˇste Taylor˚ uv polynom T2 (x) druh´eho stupnˇe se stˇredem x0 = 0. V´ ysledku pouˇzijte pro v´ ypoˇcet pˇribliˇzn´e hodnoty dan´e funkce f v bodˇe x = 1/2. c) Napiˇste Lagrange˚ uv tvar zbytku R3 (x). Odhadnˇete velikost chyby pˇri v´ ypoˇctu pˇribliˇzn´e hodnoty funkce f v bodˇe x = 1/2 pomoc´ı polynomu T2 .

3. Je d´ana funkce f (x) =

2x + 1 −

d) Urˇcete nejvˇetˇs´ı moˇzn´ y interval ⟨0, b⟩, na nˇemˇz je |R3 (x)| ≤ 1/100. ln x 4. Je d´ana funkce f (x) = x a) Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f a vypoˇc´ıtejte limity v jeho krajn´ıch bodech. b) Urˇcete intervaly monotonie a lok´aln´ı extr´emy t´eto funkce. c) Naleznˇete asymptoty grafu funkce f . Graf naˇcrtnˇete. 5. Vypoˇc´ıtejte n´asleduj´ıc´ı integr´aly. Nezapomeˇ nte na intervaly jejich existence. ˆ ˆ b) (cos2 φ + cos3 φ) dφ a) ln2 x dx Vu ´loze a) ovˇeˇrte derivov´an´ım spr´avnost v´ ysledku. 6. a) Najdˇete primitivn´ı funkci (t´eˇz interval existence) k funkci f (x) = b) Vypoˇc´ıtejte obsah obrazce, kter´ y je ohraniˇcen osou x a kˇrivkami 1 y= , x = 0, x = 2. 4 + x2 ´ +∞ c) Vypoˇc´ıtejte nevlastn´ı integr´al −∞ f (x) dx.

1 . 4 + x2

Matematika I B – uk´ azkov´ y test 1 pro 2014/2015 1.a) Definujte pojem line´ arn´ı z´avislost skupiny vektor˚ u u⃗1 , ..., u⃗n . b) Rozhodnˇete, zda vektory ⃗u = (1; 2; 3), ⃗v = (0; 1; 1) a w ⃗ = (3; 2; 1) jsou line´arnˇe nez´avisl´e. c) Je-li to moˇzn´e, vyj´adˇrete vektor ⃗a = (1; 2; 1) jako line´arn´ı kombinaci vektor˚ u ⃗u, ⃗v , w ⃗ (tzn. urˇcete koeficienty t´eto line´arn´ı kombinace). ( ) ( ) 2 −1 1 3 2. Jsou d´any matice A = , B= . 0 2 3 −4 a) Zd˚ uvodnˇete existenci a urˇcete inverzn´ı matici A−1 . Ovˇeˇrte spr´avnost v´ ysledku. b) Z rovnice X · A = B vypoˇc´ıtejte nezn´amou matici X. c) Vypoˇc´ıtejte matici Y = B · A. 3. Je d´ana funkce f (x) = e2x−4 . a) Vypoˇc´ıtejte derivace f ′ (x), f ′′ (x). b) Napiˇste rovnici teˇcny ke grafu funkce f v bodˇe [x0 , f (x0 )], je-li x0 = 2. c) Urˇcete hodnotu druh´e derivace f ′′ (2). Napiˇste Taylor˚ uv polynom 2. stupnˇe T2 (x) funkce f se stˇredem x0 = 2. d) Na z´akladˇe znalosti hodnot f (2), f ′ (2), f ′′ (2) naˇcrtnˇete graf zadan´e funkce v okol´ı bodu x0 = 2. Do t´ehoˇz obr´azku zakreslete i teˇcnu z u ´lohy b). x 4. D´ana funkce f (x) = 2 . x +4 a) Urˇcete jej´ı definiˇcn´ı obor. Je funkce f sud´a nebo lich´a? (Odpovˇed’ zd˚ uvodnˇete.) b) Vypoˇc´ıtejte derivaci funkce f a urˇcete intervaly monot´onie. c) Vypoˇc´ıtejte limity funkce f pro x → −∞ a x → +∞. Naˇcrtnˇete graf. 5. Vypoˇc´ıtejte n´asleduj´ıc´ı integr´aly. Nezapomeˇ nte na intervaly jejich existence. ˆ √ ˆ 5x − 4 2 dx a) r 1 − r dr b) x2 − 8x + 12 Vu ´loze a) ovˇeˇrte derivov´an´ım spr´avnost v´ ysledku. ´ 6. a) Vypoˇc´ıtejte integr´al (uved’te t´eˇz interval existence): (3x + 2) cos x dx b) Vypoˇc´ıtejte obsah obrazce, kter´ y je pro x ∈ ⟨0, π/2⟩ ohraniˇcen osou x a kˇrivkou y = (3x + 2) cos x.

Matematika I A – uk´ azkov´ y test 2 pro 2014/2015   1. Je d´ana matice 2 −2 3 A=1 1 1  1 3 −1 a) Napiˇste definici pojm˚ u vlastn´ı ˇc´ıslo a vlastn´ı vektor matice. b) Napiˇste charakteristick´y polynom zadan´e matice A. Ovˇeˇrte, ˇze ˇc´ısla λ1 = 1, λ2 = −2 a λ3 = 3 jsou koˇreny pˇr´ısluˇsn´e charakteristick´e rovnice. c) Pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ1 napiˇste odpov´ıdaj´ıc´ı soustavu rovnic pro v´ ypoˇcet vlastn´ıch vektor˚ u. Vlastn´ı vektory odpov´ıdaj´ıc´ı tomuto vlastn´ımu ˇc´ıslu pak urˇcete.   0 1 a −1 2. Je d´ana matice  2 2 b −3   A= a, b ∈ R  −1 0 0 2  1 −1 0 0 a) Definujte pojmy regul´ arn´ı a singul´ arn´ı matice. b) Vypoˇc´ıtejte determinant matice A. Urˇcete hodnost matice A, je-li a = 1, b = 2. c) Pro kter´e hodnoty parametr˚ u a, b ∈ R m´a homogenn´ı soustava A⃗x = ⃗0 pouze nulov´e ˇreˇsen´ı ? Odpovˇed’ zd˚ uvodnˇete. 3. a) Definujte pojem limita posloupnosti re´aln´ ych ˇc´ısel {an }∞ n=1 . b) Uved’te pˇr´ıklad posloupnosti, kter´a nem´a limitu. Odpovˇed’ zd˚ uvodnˇete. √ √ c) Vypoˇc´ıtejte limitu posloupnosti: lim n ( n(n − 2) − n2 − 3). n→∞

x−2 4. Je d´ana funkce f (x) = √ . x2 + 1 a) Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f a pr˚ useˇc´ıky grafu funkce f s osami x a y. b) Urˇcete intervaly monot´onie a lok´aln´ı extr´emy. c) Vypoˇc´ıtejte limitu pro x → +∞. Naˇcrtnˇete graf dan´e funkce na intervalu ⟨ −1, +∞). 5. Vypoˇc´ıtejte n´asleduj´ıc´ı integr´aly. Nezapomeˇ nte na intervaly jejich existence. Ovˇeˇrte derivov´an´ım spr´avnost v´ ysledku (staˇc´ı u jednoho integr´alu). ˆ ˆ x3 √ a) (x2 + 2) sin x dx dx b) 16 − x4 6x + 2 . 6. Je d´ana funkce f (x) = 2 (x − 1)(x + 3) ´ a) Vypoˇc´ıtejte integr´al f (x) dx. Urˇcete intervaly existence. b) Vypoˇc´ıtejte obsah obrazce, kter´ y je pro x ∈ ⟨ 2, 4 ⟩ ohraniˇcen osou x a kˇrivkou y = f (x). V´ ysledek upravte. ´ +∞ c) Rozhodnˇete v´ ypoˇctem, zda konverguje nevlastn´ı integr´al 1 f (x) dx.

Matematika I B – uk´ azkov´ y test 2 pro 2014/2015 1. Je d´ana soustava rovnic

x + y − 2z = 1 2x + y = −4 5x + y − 3z = −13

a) Pomoc´ı Gaussova algoritmu nebo Cramerova pravidla urˇcete ˇreˇsen´ı dan´e soustavy. Proved’te zkouˇsku. b) Urˇcete hodnost matice t´eto soustavy a hodnost matice rozˇs´ıˇren´e. ( ) 2. Je d´ana matice 1 0 A= 3 2 a) Naleznˇete vlastn´ı ˇc´ısla t´eto matice. Zvolte jedno z nich a napiˇste odpov´ıdaj´ıc´ı soustavu rovnic pro v´ ypoˇcet vlastn´ıch vektor˚ u. Vlastn´ı vektory pak urˇcete. b) Zd˚ uvodnˇete, zda k dan´e matici A existuje matice inverzn´ı A−1 . Pokud ano, vypoˇc´ıtejte ji. Ovˇeˇrte spr´avnost v´ ysledku. 3. a) Vypoˇc´ıtejte derivace 1. ˇr´adu dan´ ych funkc´ı: √ f (x) = 2x2 − 5x + 8, g(x) = tg x · ln(x2 + 1). b) Definujte, kdy posloupnost re´aln´ ych ˇc´ısel {an }∞ yv´ame klesaj´ıc´ı. n=1 naz´ c) Uved’te pˇr´ıklad klesaj´ıc´ı posloupnosti, kter´a m´a limitu rovnou 1. Spr´avnost odpovˇedi ovˇeˇrte. (2n − 3)(1 − 2n) d) Vypoˇc´ıtejte limitu posloupnosti: lim . n→∞ 5n2 − 1 √ 4. Je d´ana funkce f (x) = 2x − 3 − x. a) Urˇcete D(f ), vypoˇc´ıtejte derivaci a stanovte jej´ı definiˇcn´ı obor. b) Urˇcete intervaly, na nichˇz je funkce f rostouc´ı, resp. klesaj´ıc´ı. c) Urˇcete lok´aln´ı extr´emy funkce f a naˇcrtnˇete jej´ı graf na intervalu ⟨3/2; 6⟩. 5. Vypoˇc´ıtejte n´asleduj´ıc´ı integr´aly. Nezapomeˇ nte na intervaly jejich existence. Ovˇeˇrte derivov´an´ım spr´avnost v´ ysledku (staˇc´ı u jednoho integr´alu). ˆ ˆ b) sin(2 − 3φ) dφ a) x6 ln x dx 6. Je d´ana funkce f (x) = sin3 x cos x. a) Najdˇete neurˇcit´ y integr´al funkce f (vˇcetnˇe intervalu existence). ´π b) Vypoˇc´ıtejte urˇcit´ y integr´al 02 f (x) dx. c) Urˇcete stˇredn´ı hodnotu funkce f na intervalu ⟨0, 2π⟩, ˆ b 1 tj. hodnotu µ = f (x) dx. b−a a

Matematika I A – uk´ azkov´ y test 3 pro 2014/2015 1. a) Vypoˇc´ıtejte determinant matice soustavy ( a je re´aln´ y parametr): x + 2y + az = 0 x − 3y − az = 8 3x − y + 2z = 13 b) Vysvˇelete Cramerovo pravidlo. Urˇcete hodnoty parametru a, pro nˇeˇz lze pˇri ˇreˇsen´ı zadan´e soustavy toto pravidlo pouˇz´ıt. Odpovˇed’ zd˚ uvodnˇete ! c) Pro tyto hodnoty a vypoˇc´ıtejte nezn´amou y (v z´avisloti na parametru a). x2 cos x . x→0 cos x − 1 Pokud se rozhodnete pro l’Hospitalovo pravidlo, ovˇeˇrte, zda ho lze pouˇz´ıt.

2. a) Vypoˇc´ıtejte limitu funkce

lim

b) Vypoˇc´ıtejte limitu posloupnosti

(n + 3)2 − 8n lim . n→+∞ 4n2 − (2n + 1)2

x2 √ 3. Je d´ana funkce f (x) = + 5 − x2 . 2 a) Vypoˇc´ıtejte derivaci f ′ (x) a urˇcete definiˇcn´ı obory D(f ), D(f ′ ). Napiˇste rovnici teˇcny ke grafu t´eto funkce v bodˇe [x0 , f (x0 )], je-li x0 = −1. V´ ysledku pouˇzijte pro v´ ypoˇcet pˇribliˇzn´e hodnoty funkce f v bodˇe x0 = −1.2. b) Zd˚ uvodnˇete existenci a naleznˇete absolutn´ı extr´emy funkce f na intervalu I = ⟨−2, 2⟩ (stanovte polohu extr´em˚ u a jejich hodnotu). 4.

2

Je d´ana funkce f (x) = ex

+2x

.

a) Urˇcete intervaly monot´onie a intervaly, na kter´ ych je funkce konvexn´ı, resp. konk´avn´ı. b) Urˇcete lok´aln´ı extr´emy. Najdˇete pr˚ useˇc´ıky grafu dan´e funkce s osami x, y. c) Vypoˇc´ıtejte limity pro x → −∞, x → +∞ a naˇcrtnˇete graf. ˆ ˆ √ )1 ( 5. Vypoˇc´ıtejte integr´aly a) ln x + ln x dx, b) (2 − 3x) cos 5x dx. x Nezapomeˇ nte na intervaly existence integr´al˚ u. Ovˇeˇrte derivov´an´ım spr´avnost v´ ysledku (staˇc´ı u jednoho integr´alu). √ 6. a) Urˇcete definiˇcn´ı obor a naˇcrtnˇete graf funkce y = x − 1. √ b) Naˇcrtnˇete obrazec ohraniˇcen´ y kˇrivkami y = x − 1, x = 0, y = 0 a y = 1 a vypoˇc´ıtejte jeho ploˇsn´ y obsah. c) Vypoˇc´ıtejte objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı tohoto obrazce kolem osy y.

Matematika I B – uk´ azkov´ y test 3 pro 2014/2015 1.

x − 3y + 2z = 5 2x + y + z = 9 6x + 3y − 2z = 2 a) Napiˇste matici t´eto soustavy a spoˇc´ıtejte jej´ı determinant. Je d´ana soustava rovnic

b) Vysvˇetlete Cramerovo pravidlo pro ˇreˇsen´ı soustavy line´arn´ıch rovnic A · X = B Uved’te pˇredpoklady, kdy lze toto pravidlo pouˇz´ıt. Ovˇeˇrte splnˇen´ı tˇechto pˇredpoklad˚ u pro zadanou soustavu. c) Vypoˇc´ıtejte hodnotu nezn´am´e x. 2. a) Vypoˇc´ıtejte limitu posloupnosti

lim

n→+∞

6n2 − 3n + 2 . 9n2 − (3n − 2)2

b) Uˇzit´ım l’Hospitalova pravidla vypoˇc´ıtejte limitu funkce lim

x→0

3.

x/2 − 3x2 . 2x − sin 3x

2x + 3 . x2 + 1 a) Najdˇete pr˚ useˇc´ıky grafu funkce f s osami x a y. Je d´ana funkce f (x) =

b) Vypoˇc´ıtejte derivaci t´eto funkce a stanovte jej´ı definiˇcn´ı obor. c) Napiˇste rovnici teˇcny ke grafu t´eto funkce v bodˇe [x0 , f (x0 )], kde x0 = −1. Pomoc´ı rovnice teˇcny vypoˇc´ıtejte pˇribliˇznˇe hodnotu funkce f v bodˇe x = −0, 8. d) Popiˇste chov´an´ı dan´e funkce v okol´ı bodu x0 = −1, tj. zda je rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı, jak rychle (odhad sklonu teˇcny). 4.

Je d´ana funkce f (x) = (x − 2) ex . a) Urˇcete intervaly, na kter´ ych je dan´a funkce rostouc´ı, pˇr´ıpadnˇe klesaj´ıc´ı. b) Urˇcetete intervaly, na nichl’ je tato funkce konvexn´ı, pˇr´ıpadnˇe konk´avn´ı.

c) Urˇcete pr˚ useˇc´ıky grafu s osami. Vypoˇc´ıtejte funkˇcn´ı hodnoty ve v´ yznamn´ ych bodech (lok´aln´ı extr´emy, inflexn´ı body) a naˇcrtnˇete graf v intervalu ⟨ −1, 2 ⟩. ˆ 1 ˆ x2 x dx. 5. Vypoˇc´ıtejte integr´aly a) (4 − 3x) e dx, b) x3 + 8 0 Uved’te interval existence druh´eho integr´alu. ˆ 1 √ 6. a) Vypoˇc´ıtejte integr´aly x dx 0 √ b) Naˇcrtnˇete obrazec, kter´ y je omezen osou x a grafy funkc´ı y = x, y = 2 − x. Vypoˇc´ıtejte obsah tohoto obrazce. c) Vypoˇc´ıtejte objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı tohoto obrazce kolem osy x.