Kurikulum 2006/2013
matematika LIMIT TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat menghitung limit fungsi trigonometri di suatu titik. 2. Dapat menghitung limit fungsi trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi. 3. Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri.
Pernahkah kamu berada pada kondisi emosional seperti optimis, senang, atau gembira pada suatu hari, kemudian pada hari berikutnya merasa kurang bersemangat atau sedih? Tidak hanya kondisi emosional, kondisi fisik dan intelektual seseorang juga selalu mengalami siklus layaknya roda yang berputar sejak ia dilahirkan. Para ahli merumuskan keteraturan siklus emosional, fisik, dan intelektual seseorang dalam model bioritme yang dinyatakan dalam fungsi sinus berikut. Fisik (siklus 23 hari): P = sin 2πt , t ≥ 0 23 Emosional (siklus 28 hari): E = sin Intelektual (siklus 33 hari): I = sin
2πt , t ≥0 28
2πt , t ≥0 33
dengan t = banyak hari sejak seseorang dilahirkan.
K e l a s
XI
1 Hari "Baik"
Hari "Buruk" −1
2 4 6 8 10 20 Juli 1987
20
24 26
30
7355
t = 7348
Siklus 23 hari
Siklus fisik Siklus emosional Siklus intelektual
Siklus 28 hari Siklus 33 hari
7369
t
September 2007
Gambar 1. Bioritme seseorang selama bulan September 2007 Model tersebut dapat membantu kamu mengetahui baik buruknya kondisi emosional, fisik, dan intelektual seseorang, misalnya saat mendekati tanggal 1 September 2007 (hari ke-7.348 sejak kelahirannya). Contoh perhitungan untuk pendekatan kondisi emosional ini dapat dituliskan sebagai berikut. lim E = lim sin
t →7.348
t →7.348
2πt 28
Agar kamu dapat menyelesaikan perhitungan tersebut dan mengetahui fakta-fakta menarik lainnya, mari pelajari tentang limit fungsi trigonometri berikut.
A. Definisi Limit Trigonometri Pada sesi sebelumnya, kamu telah mempelajari bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati c adalah lim f ( x ) , dengan f(x) merupakan fungsi aljabar dan c → R. Jika f(x) memuat x →c
perbandingan trigonometri, bentuk lim f ( x ) disebut sebagai limit trigonometri. Contoh x →c
limit trigonometri adalah sebagai berikut. 1.
lim sin x
2.
lim
x →0
x→
3.
π 4
lim x →0
1− cos 2 x x2 1+ 2 cos x 3 + tan x
Teorema pada limit aljabar juga berlaku pada limit trigonometri. Agar kamu ingat kembali, perhatikan teorema limit berikut.
2
Teorema Limit Jika lim f ( x ) dan lim g ( x ) ada, k sembarang konstanta real, serta n ∈ bilangan bulat x →c
x →c
positif, berlaku: 1. lim k = k x →c
2.
lim x = c
3.
lim k ⋅ f ( x ) = k lim f ( x )
4.
lim f ( x ) ± g ( x ) = lim f ( x ) ± lim g ( x )
5.
lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
6.
lim
x →c x →c
x →c
x →c
x →c
x →c
x →c
x →c
x →c
f (x)
g( x )
=
lim f ( x ) x →c
lim g ( x )
x →c
, dengan lim g ( x ) ≠ 0 x →c
x →c
7.
lim x n = c n
8.
lim ( f ( x ) ) = lim f ( x )
9.
lim n x = n c , dengan c ≥ 0 untuk n genap
10.
lim n f ( x ) = n lim f ( x ) , dengan lim f ( x ) ≥ 0 untuk n genap
x →c
n
x →c
(
x →c
)
n
x →c
x →c
x →c
x →c
Sama halnya dengan limit aljabar, secara umum ada dua cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan limit trigonometri, yaitu dengan substitusi langsung dan cara alternatif (memodifikasi bentuk fungsi dan menggunakan rumus limit trigonometri).
B.
Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri dengan Substitusi Langsung Bentuk umum substitusi langsung pada limit fungsi trigonometri sama dengan limit aljabar, yaitu sebagai berikut. 1.
lim f ( x ) = f ( c )
2.
lim
x →c
x →c
f (x)
g( x )
=
f (c )
g(c )
Cara ini wajib dicoba terlebih dahulu dalam perhitungan limit fungsi. Jika substitusi 0 langsung menghasilkan bentuk tak tentu misalnya , gunakan cara alternatif agar 0 diperoleh bentuk tertentu, misalnya suatu bilangan real, ∞, dan –∞. Agar kamu lebih mudah dalam menyelesaikan persoalan limit trigonometri, mari ingat kembali nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa berikut ini.
3
0°
30°
45°
60°
90°
0
π 6
π 4
π 3
π 2
sin
1 0 =0 2
1 1 1= 2 2
1 2 2
1 3 2
1 4 =1 2
cos
1 4 =1 2
1 3 2
1 2 2
1 1 1= 2 2
1 0 =0 2
tan
0
1 3 3
1
3
Tak terdefinisi
Sudut Istimewa Perbandingan Trigonometri
Contoh Soal 1 Tentukan hasil dari limit-limit fungsi trigonometri berikut. a.
lim cos 2 x x→
π 6
b.
lim ( sin2 x + tan x )
c.
lim
x→
π 4
x →0
4 cos x + 2 5 + cos 3 x
Pembahasan: a.
π 1 π lim cos 2 x = cos 2 = cos = π 3 2 x→ 6 6
b.
π π π π lim ( sin2 x + tan x ) = sin2 + tan = sin + tan = 1+ 1 = 2 π 4 2 4 x→ 4 4
c.
lim x →0
4 cos x + 2 4 cos 0 + 2 4 (1) + 2 6 = =1 = = 5 + cos 3 x 5 + cos 3 ( 0 ) 5 +1 6
C. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri dengan Cara Alternatif 1. Memodifikasi Bentuk Fungsi Jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, salah satu cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan limit trigonometri adalah dengan memodifikasi bentuk fungsi. Modifikasi dapat dilakukan dengan menggunakan rumus-rumus trigonometri yang sudah dipelajari sebelumnya, yaitu sebagai berikut.
4
a.
Identitas perbandingan tan( nx ) =
b.
sin( nx )
cos ( nx )
atau cotan( nx ) =
cos ( nx ) sin( nx )
Identitas Pythagoras sin2 ( nx ) + cos2 ( nx ) = 1
c.
Sinus sudut rangkap n n sin( nx ) = 2sin x cos x 2 2
d.
Kosinus sudut rangkap n cos ( nx ) = 1− 2 sin2 x 2 n = 2 cos2 x − 1 2 n n = cos2 x − sin2 x 2 2
Contoh Soal 2 Tentukan nilai dari limπ Pembahasan:
x→
4
cos2 2 x . 1− sin2 x
Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung. 2
π π cos2 2 cos 2 02 0 cos 2 x 2 4 = = lim lim = = π 1− sin 2 x π π 1− sin π 1− 1 0 x→ x→ 4 4 1− sin 2 2 4
0 Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu , maka cara alternatifnya 0 adalah memodifikasi bentuk fungsi.
5
Dengan menggunakan rumus identitas Pythagoras dan pemfaktoran, diperoleh: lim x→
π 4
cos2 2 x 1− sin2 2 x = lim 1− sin2 x x → π 1− sin2 x 4
(1− sin2 x ) (1+ sin2 x )
= lim x→
1− sin2 x
π 4
π = 1+ sin2 4 π = 1+ sin 2 = 1+ 1 =2 Jadi, nilai dari limπ x→
4
cos2 2 x adalah 2. 1− sin2 x
Contoh Soal 3 Tentukan nilai dari lim Pembahasan:
π x→ 4
cos 2 x . cos x − sin x
Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung. π cos 2 cos 2 x 4 = lim lim π cos x − sin x π π π x→ x→ − sin 4 4 cos 4 4 π cos 2 = π π cos − sin 4 4 0 = 1 1 2− 2 2 2 0 = 0 0 Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu , maka cara alternatifnya 0 adalah memodifikasi bentuk fungsi.
6
Dengan menggunakan rumus kosinus sudut rangkap dan pemfaktoran, diperoleh: lim x→
π 4
cos 2 x cos2 x − sin2 x = lim cos x − sin x x → π cos x − sin x 4
= lim x→
( cos x + sin x ) ( cos x − sin x ) cos x − sin x
π 4
π π = cos + sin 4 4 1 1 2+ 2= 2 = 2 2 cos 2 x Jadi, nilai dari lim adalah π cos x − sin x x→
2.
4
Contoh Soal 4 sin x − 2 sin3 x Tentukan nilai dari lim . x →0 1 sin2 x .cos x − sin3 x 2 Pembahasan: Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung. lim x →0
sin 0 − 2 ( sin 0 )
3
sin x − 2 sin3 x 1 sin2 x .cos x − sin3 x 2
=
1 3 sin2 ( 0 ) ) ( cos 0 ) − ( sin 0 ) ( 2
=
0 0
0 Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu , maka cara alternatifnya 0 adalah memodifikasi bentuk fungsi. Dengan menggunakan rumus sinus sudut rangkap dan pemfaktoran, diperoleh: lim x →0
sin x − 2 sin3 x 1 sin2 x .cos x − sin3 x 2
= lim x →0
= lim x →0
= lim x →0
= Jadi, nilai dari lim x →0
sin x (1− 2 sin2 x )
1 ( 2.sin x .cos x ) .cos x − sin3 x 2 sin x (1− 2 sin2 x ) sin x .cos2 x − sin3 x sin x (1− 2 sin2 x )
sin x ( cos2 x − sin2 x )
1 =1 1− 0
sin x − 2 sin3 x 1 sin2 x .cos x − sin3 x 2
adalah 1.
7
2.
Menggunakan Rumus Limit Trigonometri Adakalanya modifikasi fungsi masih menghasilkan bentuk tak tentu. Oleh karena itu, perlu digunakan rumus limit trigonometri. Untuk memperoleh rumus limit trigonometri, kamu sin x sin x dapat menganalisis grafik f ( x ) = dan menghitung nilai dari lim . Perhatikan x →0 x x sin x grafik fungsi f ( x ) = berikut. x Y
f (x) =
1
sin x x (3,14, 0) = ( π , 0) X
−3
−2
−1
0
1
2
(−3,14, 0) = (− π , 0)
3 (radian)
Dari grafik tersebut, terlihat bahwa jika x bergerak semakin dekat dengan 0, baik dari kiri (x < 0) maupun dari kanan (x > 0), f(x) bergerak semakin dekat dengan 1. Hal ini juga didukung dengan tabel hubungan antara x dengan −1 ≤ x < 1 dan f ( x ) = x f (x) =
±0,001
...
→0
0,84147 0,95885 0,99335 0,99833 0,99998 0,99999
...
→1
±1 sin x x
sin x berikut. x
±0,5
±0,2
±0,1
±0,01
Dari grafik dan tabel tersebut, diperoleh kesimpulan bahwa untuk x → 0, nilai sin x f (x) = semakin mendekati 1. Secara matematis, dapat ditulis sebagai berikut. x lim x →0
sin x =1 x
Dengan cara yang sama, kamu dapat memperoleh rumus berikut. lim x →0
tan x =1 x
8
Dari kedua rumus tersebut, dapat dikembangkan rumus-rumus limit trigonometri berikut. No. 1.
Rumus Limit Trigonometri
No. 3.
sin x x = lim x →0 x x → 0 sin x =1 tan x x lim = lim x →0 x → 0 tan x x
lim
2.
Rumus Limit Trigonometri a ⋅ sinbx a ⋅ tanbx = lim c ⋅ tan dx x →0 c ⋅ sin dx a.b = ax ⋅ tanbx c .d ax ⋅ sinbx = lim lim x → 0 cx ⋅ tan dx x →0 cx ⋅ sin dx
lim x →0
4.
sin ax ax = lim x → 0 bx x → 0 sin bx a = tan ax ax b lim = lim x → 0 bx x → 0 tan bx lim
sin a ( x − p )
a( x − p)
b( x − p) sinb ( x − p ) a = a( x − p) b tan a ( x − p ) = lim lim x →p x → p tan b ( x − p ) b( x − p) lim x →p
= lim x →p
Selain rumus-rumus tersebut, cara pemfaktoran dan perkalian akar sekawan seperti pada limit aljabar juga dapat digunakan dalam penyelesaian limit trigonometri.
Contoh Soal 5 Tentukan hasil dari limit-limit fungsi trigonometri berikut. a.
lim
sin 4 x x
b.
lim
sin3 x tan 6 x
c.
(x lim
x →0
x →0
x →1
2
− 4 x + 3 ) tan( x − 1)
(x
2
− 5x + 4 )
2
Pembahasan: a.
sin 4 x sin 4 ( 0 ) 0 = = x →0 x 0 0
lim
0 Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu , maka dengan 0 menggunakan rumus trigonometri nomor 2, diperoleh: lim x →0
sin 4 x 4 = =4 x 1
Cara lain yang dapat digunakan adalah sebagai berikut. lim x →0
sin 4 x sin 4 x sin 4 x 4 = 4 (1) = 4 = lim × = 4 lim x → 0 x → 0 x 4 4x x
9
Jadi, lim x →0
b.
sin 4 x = 4. x
sin3 x sin3 ( 0 ) 0 = = x → 0 tan 6 x tan 6 ( 0 ) 0
lim
0 Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu , maka dengan 0 menggunakan rumus trigonometri nomor 3, diperoleh: lim x →0
sin3 x 3 1 = = tan 6 x 6 2
Cara lain yang dapat digunakan adalah sebagai berikut. lim x →0
sin3 x 3 ( 6 ) x sin3 x = lim ⋅ x → 0 tan 6 x tan 6 x 3 ( 6 ) x sin3 x 6 x 3 = lim ⋅ ⋅ x →0 3 x tan 6 x 6 3 = 1⋅1⋅ 6 1 = 2
Jadi, lim x →0
c.
(x lim
2
sin3 x 1 = . tan 6 x 2
− 4 x + 3 ) tan( x − 1)
(x
x →1
2
− 5x + 4 )
2
(1 − 4 (1) + 3) tan(1− 1) = 0 ⋅ tan0 = 0 = 0 0 (1 − 5(1) + 4 ) 2
2
2
2
0 Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu , maka dengan 0 menggunakan rumus limit trigonometri nomor 4, diperoleh:
(x lim x →1
2
− 4 x + 3 ) tan( x − 1)
(x
2
− 5x + 4 )
2
( x − 1) ( x − 3) tan( x − 1) 2 2 ( x − 1) ( x − 4 ) ( x − 3) tan( x − 1) = lim ⋅ 2 x →1 ( x − 4 ) ( x − 1) = lim x →1
=
−2
(1− 4 )
2 9 2 ( x − 4 x + 3) tan( x − 1)
2
⋅1
=−
Jadi, lim x →1
(x
2
− 5x + 4 )
2
2 =− . 9
10
Contoh Soal 6 sin2 x = .... (SMUP 2010) x →0 x 3 + x 2
lim A.
0
B.
1
C.
−1
D.
2
E.
−2 Jawaban: B
Pembahasan: Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung. sin2 x sin2 0 0 = = x →0 x 3 + x 2 03 + 02 0
lim
0 , maka dengan 0 menggunakan rumus trigonometri nomor 1 dan pemfaktoran, diperoleh:
Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu
2 sin2 x 1 sin x = lim 2 x →0 x 3 + x 2 x →0 x + 1 x
lim
1 sin x = lim x →0 x + 1 x 1 2 = (1) 0 + 1 =1
2
sin2 x = 1. x →0 x 3 + x 2
Jadi, lim
Contoh Soal 7 8 x 2 + sin2 x 2 ! x →0 2 tan2 x
Tentukan nilai dari lim Pembahasan:
Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung.
11
8 x 2 + sin2 x 2 8 ( 0 ) + sin2 ( 0 ) 0 = = 2 2 x →0 2 tan x 2 tan ( 0 ) 0 2
2
lim
0 , maka dengan 0 menguraikan bentuknya menjadi penjumlahan pecahan, serta menggunakan rumus 1 dan 2, diperoleh:
Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu
8x2 sin2 x 2 8 x 2 + sin2 x 2 = lim + 2 2 x →0 x → 0 2 tan x 2 tan x 2 tan2 x
lim
sin2 x 2 x 2 x2 = lim 4 + × 2 2 2 x →0 tan x 2 tan x x x2 sin2 x 2 x2 = lim 4 + × 2 x →0 tan2 x 2x2 tan x = 4 (1) + 1
=5 8 x + sin2 x 2 =5. x →0 2 tan2 x
Jadi, lim
2
D. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri dengan Memadukan Cara Alternatif Dua cara alternatif yaitu memodifikasi bentuk fungsi dan menggunakan rumus limit trigonometri dapat dipadukan penggunaannya tergantung bentuk soal. Biasanya, fungsi dimodifikasi terlebih dahulu hingga memuat bentuk yang dapat diselesaikan dengan rumus limit trigonometri. Mari pahami bentuk soal dan langkah-langkah penyelesaiannya melalui contoh-contoh soal berikut.
Contoh Soal 8 Nilai dari lim x →0
1− cos x adalah .... (UN 2016) tan2 2 x
A.
1 8
D.
1
B.
1 4
E.
2
C.
1 2
Jawaban:A
12
Pembahasan: Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung. lim x →0
1− cos x 1− cos 0 1− 1 0 = = = tan2 2 x tan2 2 ( 0 ) 02 0
0 Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu , maka gunakan rumus 0 kosinus sudut rangkap berikut. n n cos ( nx ) = 1− 2 sin2 x ⇔ 1− cos ( nx ) = 2 sin2 x , dengan n = 1 2 2 Berdasarkan rumus tersebut dan rumus 2, diperoleh: 1 2 sin2 x 1− cos x 2 lim = lim x → 0 tan2 2 x x → 0 tan2 2 x 1 2 sin x 2 = lim 2 x →0 ( tan2 x )
2
1 2 .2. x . 1 .2. x 2
2
2
2 1 1 2 sin x (2 x ) 2 2 = 2.lim . . 2 2 x →0 tan2 x ) 2 ( 1 x 2
1 = 2 (1)(1) 4 1 = 8 1− cos x 1 Jadi, lim = . x → 0 tan2 2 x 8
2
Contoh Soal 9 Nilai lim x →0
A.
16
B.
12
C.
8
D.
4
E.
2
1− cos 8 x = .... (UN 2014) sin2 x .tan2 x
Jawaban: C
13
Pembahasan: Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung. lim x →0
1− cos 8 ( 0 ) 1− cos 8 x 1− 1 0 = = = sin2 x ⋅ tan2 x sin2 ( 0 ) ⋅ tan2 ( 0 ) 0 ( 0 ) 0
0 Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu , maka gunakan rumus 0 kosinus sudut rangkap berikut. n n cos ( nx ) = 1− 2 sin2 x ⇔ 1− cos ( nx ) = 2 sin2 x , dengan n = 8 2 2 Berdasarkan rumus tersebut dan rumus 2, diperoleh: 1− cos 8 x 2 sin2 4 x = lim x → 0 sin 2 x ⋅ tan 2 x x → 0 sin 2 x ⋅ tan 2 x sin 4 x ⋅ sin 4 x 4 x ⋅ 4 x ⋅ = 2 ⋅ lim x → 0 sin 2 x ⋅ tan 2 x 4 x ⋅ 4 x 2x 2x sin 4 x sin 4 x ⋅2⋅ ⋅2⋅ = 2 ⋅ lim ⋅ x →0 4 x sin2 x tan2 x 4x = 2 (1)(1)( 2 )(1)( 2 )(1)
lim
=8 1− cos 8 x Jadi, lim = 8. x → 0 sin 2 x ⋅ tan 2 x
SUPER "Solusi Quipper" Trik-trik menghitung limit trigonometri adalah sebagai berikut. 1.
2.
Sinus dan tangen dapat diabaikan (dihilangkan) dengan ketentuan berikut. a.
sinm nx = (nx)m
b.
tanm nx = (nx)m
Bentuk kosinus dapat diubah dengan menggunakan rumus berikut. 1 a. 1− cos nx = (nx )2 2 1 b. cos nx − 1 = − (nx )2 2 c. 1 − cos2 nx = (nx )2 d. e.
cos2 nx − 1 = −(nx )2 cos nx = 1
Syarat: setelah penyederhanaan (misalnya pemfaktoran), bentuk sinm nx dan tanm nx tidak terlibat dalam operasi penjumlahan dan pengurangan (pelajari contoh soal 10).
14
Sekarang, mari selesaikan contoh soal 8 dan 9 dengan SUPER "Solusi Quipper". Penyelesaian contoh soal 8 dengan SUPER "Solusi Quipper" 1 1 2 .x 1 1− cos x ( SUPER no. 2a ) lim = 2 2=2= x → 0 tan2 2 x ( SUPER no. 1b ) 4 8 2x
( )
Penyelesaian contoh soal 9 dengan SUPER "Solusi Quipper" 2 1 . 8x 32 1− cos 8 x ( SUPER no. 2a ) lim = 2 = =8 x → 0 sin 2 x ⋅ tan 2 x ( SUPER no. 1) 4 2x. 2x
( ) ( )
Contoh Soal 10 2 x ⋅ sin3 2 x ⋅ cos 2 x − 2 x ⋅ sin3 2 x = .... x → 0 4 x 2 ⋅ tan 2 x ⋅ sin 8 x 1− cos 2 x ) ( )(
Nilai lim
Pembahasan: Dengan memfaktorkan terlebih dahulu, kemudian menggunakan SUPER "Solusi Quipper", diperoleh: −2 x ⋅ sin3 2 x (1− cos 2 x ) ( SUPER no. 1a) 2 x ⋅ sin3 2 x ⋅ cos 2 x − 2 x ⋅ sin3 2 x = lim 2 x → 0 4 x 2 ⋅ tan 2 x ⋅ sin 8 x 1− cos 2 x x →0 ) ( )( ( 4 x ⋅ tan2 x ⋅ sin8 x ) (1− cos 2 x ) ( SUPER no. 1) (Faaktorkan pembilang)
lim
= lim x →0
= lim x →0
=−
−2 x ⋅ ( 2 x )
(4 x
2
3
⋅2x ⋅ 8x )
− 2⋅8⋅ x4 4 ⋅ 2⋅8⋅ x4
1 4
1 2 x ⋅ sin3 2 x ⋅ cos 2 x − 2 x ⋅ sin3 2 x =− . x → 0 4 x 2 ⋅ tan 2 x ⋅ sin 8 x 1− cos 2 x ) 4 ( )(
Jadi, lim
E.
Aplikasi Limit Trigonometri Pada umumnya, aplikasi limit trigonometri disajikan dalam bentuk soal cerita terkait disiplin ilmu seperti Fisika, Biologi, Ekonomi, dan sebagainya. Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita terkait limit trigonometri adalah sebagai berikut.
15
1.
Tentukan nilai yang didekati oleh x untuk melengkapi notasi limit fungsinya.
2.
Selesaikan limit fungsi yang diperoleh dengan cara substitusi langsung terlebih dahulu.
3.
Jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, gunakan cara alternatif yang sesuai dengan bentuk fungsinya.
Contoh Soal 11 Sebuah partikel bergerak dalam bidang datar dengan fungsi jarak (dalam meter) terhadap waktu (dalam detik) dinyatakan sebagai s ( t ) = sint + 4t . Jika kecepatan v saat t dirumuskan dengan v ( t ) = lim = 2 π detik.
s (t + h) − s (t )
h→0
h
(dalam meter/detik), tentukan kecepatan partikel saat t
Pembahasan: Mula-mula, tentukan v(t) dengan mensubstitusikan s(t) = sin t + t ke v(t). v ( t ) = lim
h→0
= lim
s (t + h) − s (t ) h sin( t + h ) + 4 ( t + h ) − [ sint + 4t ] h
h→0
( Gunakan: lim f ( x ) + g ( x ) = limf ( x ) + lim g ( x )) x →c
= lim
sin( t + h ) − sint
x →c
+ lim
4 ( t + h ) − 4t
x →c
h h 1 1 Gunakan: sin A − sin B = 2 cos ( A + B ) ⋅ sin ( A − B ) 2 2 1 1 2 cos ( t + h + t ) ⋅ sin ( t + h − t ) 4t + 4 h − 4t 2 2 = lim + lim h→0 h→0 h h 1 1 2 cos t + h ⋅ sin h 4h 2 2 = lim + lim h→0 h → 0 h h 1 sin h 1 = lim 2 cos t + h .lim 2 + 4 h→0 2 h→0 h h→0
h→0
1 = ( 2 cos t ) + 4 2 = cost + 4
16
Selanjutnya, tentukan kecepatan v saat t = 2 π detik atau v(2 π ). v ( 2π ) = cos 2π + 4 = 1+ 4 = 5 Jadi, kecepatan partikel saat t = 2π detik adalah 5 meter/detik.
17
