2007. Matematika 1. pro studenty fakulty Technologické. Marek Lampart tohoto textu

UTB 2006/2007

Matematika 1 pomocn´ y uˇ cebn´ı text pro studenty fakulty Technologick´ e

Marek Lampart1 11. 4. 2007

1 Dˇ ekuji

RNDr. Alˇzbˇetˇe Hakové za jej´ı trpˇelivost a mnohé pˇripom´ınky pˇri pˇr´ıpravˇe tohoto textu.

Matematika 1

UTB

2

Matematika 1

OBSAH

Obsah 1 Matematick´ e z´ aklady 1.1 V´ yroková logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Kvantifikátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Základn´ı mnoˇzinové operace . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Základn´ı vlastnosti mnoˇzinov´ ych operac´ı . . . . . . 1.4 Kartézsk´ y souˇcin mnoˇzin A a B . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Základn´ı typy relac´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Zobrazen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Základn´ı typy zobrazen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Kompozice zobrazen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Inverzn´ı zobrazen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Mnoˇzina reáln´ ych ˇc´ısel R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Podmnoˇziny mnoˇziny reáln´ ych ˇc´ısel R . . . . . . . . 1.9.2 Ohraniˇcenost podmnoˇziny mnoˇziny reáln´ ych ˇc´ısel R 2 Re´ aln´ a funkce jedn´ e re´ aln´ e promˇ enn´ e 2.1 Operace s funkcemi . . . . . . . . . . 2.2 Ohraniˇcené funkce . . . . . . . . . . 2.3 Monotónn´ı funkce . . . . . . . . . . . 2.4 Funkce sudé a liché . . . . . . . . . . 2.5 Funkce periodické . . . . . . . . . . . 2.6 Funkce sloˇzené . . . . . . . . . . . . 2.7 Funkce inverzn´ı . . . . . . . . . . . . 2.8 Elementárn´ı funkce . . . . . . . . . . 2.8.1 Funkce lineárn´ı . . . . . . . . 2.8.2 Funkce kvadratická . . . . . . 2.8.3 Funkce lomenná . . . . . . . . 2.8.4 Funkce exponenciáln´ı . . . . . 2.8.5 Funkce logaritmická . . . . . 2.8.6 Funkce goniometrické . . . . . 2.8.7 Funkce cyklometrické . . . . . UTB

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

7 7 10 11 11 12 13 13 14 14 14 15 16 17

. . . . . . . . . . . . . . .

19 19 20 20 21 21 21 21 23 23 23 24 25 26 27 31 3

Matematika 1 3 Limita funkce 3.1 Vˇety o limitách . . . . . . 3.2 Nevlastn´ı limita . . . . . . 3.3 Limita v nevlastn´ım bodˇe 3.3.1 Základn´ı limity . . 3.4 Asymptoty grafu funkce .

OBSAH

. . . . .

33 34 34 35 36 37

4 Spojitost funkce 4.1 Definice spojitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Základn´ı vlastnosti spojit´ ych funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 39 39

5 Derivace funkce 5.1 Definice pojmu derivace . . . . . . . . . . . . . 5.2 V´ ypoˇcet derivace funkce . . . . . . . . . . . . . 5.3 Derivace elementárn´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . 5.4 Derivace sloˇzené funkce . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Derivace inverzn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . 5.6 Diferenciál funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Derivace vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u. . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Základn´ı vˇety diferenciáln´ıho poˇctu . . . . . . . 5.8.1 Lineárn´ı homogenn´ı diferenciáln´ı rovnice 5.9 Pr˚ ubˇeh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.1 Monotónnost funkce . . . . . . . . . . . 5.9.2 Extrémy funkce . . . . . . . . . . . . . . 5.9.3 Funkce konvexn´ı a konkávn´ı . . . . . . . 5.9.4 Inflexn´ı bod . . . . . . . . . . . . . . . .

43 43 44 45 46 46 46 46 47 49 50 51 51 53 53

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

6 Integr´ aln´ı poˇ cet funkce jedn´ e re´ aln´ e promˇ enn´ e 6.1 Primitivn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Pojem neurˇcitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Tabulka základn´ıch integrál˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Základn´ı integraˇcn´ı metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Integrace rozkladem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Per partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Integrace racionáln´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5 Integrace nˇekter´ ych dalˇs´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Definice urˇcitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 V´ ypoˇcet urˇcitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Základn´ı vlastnosti urˇcitého integrálu . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Integraˇcn´ı metody per partes a substituce pro urˇcité integrály 6.5 Nevlastn´ı integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Nevlastn´ı integrál v neomezeném intervalu . . . . . . . . . UTB

57 57 58 58 59 59 60 61 61 64 65 66 66 67 68 68 4

Matematika 1

OBSAH

6.5.2

6.6 6.7 6.8

Nevlastn´ı integrál neohraniˇcené funkce na ohraniˇceném intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplikace urˇcitého integrálu v geometrii . . . . . . . . . . . . . . . Aplikace urˇcitého integrálu ve fyzice . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇribliˇzn´ y v´ ypoˇcet urˇcitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Obdéln´ıková metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2 Lichobˇeˇzn´ıková metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.3 Simpsonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Literatura

UTB

68 69 72 73 73 73 73 75

5

Matematika 1

UTB

OBSAH

6

Kapitola 1 Matematick´ e z´ aklady 1.1

V´ yrokov´ a logika

Definice 1 Výrok je “tvrzen´ı”, které je moˇzno klasifikovat jako pravdivé ˇci nepravdivé. Pravdivost v´ yroku se naz´ yvá pravdivostn´ı hodnota. ˇ´ıklad 1 Je zˇrejmé, ˇze následuj´ıc´ı vˇeta je v´ Pr yrokem: Slun´ıˇcko sv´ıt´ı. Takov´ y typ v´ yroku se naz´ yvá jednoduchý výrok. Jednoduché v´ yroky m˚ uˇzeme skládat do výrok˚ u sloˇzených pomoc´ı výrokových spojek: a,

spojka pro konjunkci,

nebo,

spojka pro disjunkci,

jestliˇze ... pak,

spojka pro implikaci,

právˇe tehdy, kdyˇz, spojka pro ekvivalenci. Napˇr´ıklad, Slun´ıˇcko sv´ıt´ı a jsem bohat´ y. Slun´ıˇcko sv´ıt´ı nebo jsem bohat´ y. Jestliˇze slun´ıˇcko sv´ıt´ı pak, jsem bohat´ y. Slun´ıˇcko sv´ıt´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz jsem bohat´ y. ? Definice 2 Bud’ p v´ yrok, pak ¬p oznaˇcuje negaci, coˇz znamená logick´ y opak. Tedy, je-li p pravdiv´ y, pak ¬p je nepravdiv´ y, kdyˇz p je nepravdiv´ y, pak ¬p je pravdiv´ y. Shrnuto v následuj´ıc´ı pravdivostn´ı tabulce, kde 1 oznaˇcuje pravdivou pravdivostn´ı hodnotu a 0 nepravdivou:

Matematika 1

1.1 V´ yroková logika

p

¬p

1

0

0

1

Definice 3 Bud’te p a q dva r˚ uzné v´ yroky, pak p ∧ q oznaˇcuje konjunkci, která je pravdivá pouze, kdyˇz jsou oba v´ yroky p, q pravdivé a je nepravdivá jinak. Shrnuto v pravdivostn´ı tabulce:

p

q

p∧q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Definice 4 Bud’te p a q dva r˚ uzné v´ yroky, pak p ∨ q oznaˇcuje (nevyluˇcuj´ıc´ı) disjunkci, je pravdivá, kdyˇz alespoˇ n jeden z v´ yrok˚ u p, q je pravdiv´ y a jinak je nepravdivá. Shrnuto v pravdivostn´ı tabulce:

p

q

p∨q

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0 ◦

Definice 5 Bud’te p a q dva r˚ uzné v´ yroky, pak p ∨ q oznaˇcuje (vyluˇcuj´ıc´ı) disjunkci. Je pravdivá, kdyˇz p je pravdiv´ y a q je nepravdiv´ y nebo p je nepravdiv´ y a q je pravdiv´ y. V ostatn´ıch pˇr´ıpadech je nepravdivá. Shrnuto v pravdivostn´ı tabulce: UTB

8

Matematika 1

1.1 V´ yroková logika ◦

p

q

p∨q

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Definice 6 Bud’te p a q dva r˚ uzné v´ yroky, pak p ⇒ q oznaˇcuje implikaci. Je nepravdivá jenom tehdy, kdyˇz p je pravdiv´ y a q je nepravdiv´ y, jinak je pravdivá. V´ yrok p se v implikaci naz´ yvá antecedent (premisa) a v´ yrok q se naz´ yvá konsekvent (závˇer). Shrnuto v pravdivostn´ı tabulce:

p

q

p⇒q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Definice 7 Bud’te p a q dva r˚ uzné v´ yroky, pak p ⇔ q oznaˇcuje ekvivalenci. Je pravdivá, kdyˇz p a q maj´ı stejnou pravdivostn´ı hodnotu a nepravdivá jinak. Shrnuto v pravdivostn´ı tabulce:

UTB

p

q

p⇔q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1 9

Matematika 1

1.2 Kvantifikátory

´mka 1 Z pˇredcházej´ıc´ıho automaticky vypl´ Pozna yvá, ˇze sloˇzené v´ yroky jsou opˇet pravdiné ˇci nepravdivé. Je-li sloˇzen´ y v´ yrok pravdiv´ y ve vˇsech pˇr´ıpadech, pak ho naz´ yváme tautologi´ı. ˇta 1 (DeMorganova pravidla) Bud’te p, q, r tˇri r˚ Ve uzné výroky. Pak n´ asleduj´ıc´ı sloˇzené výroky jsou tautologiemi: 1. p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), 2. p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).

1.2

Kvantifik´ atory

Definice 8 Tvrzen´ı, které pˇripouˇst´ı promˇennou x, se naz´ yvá výrokov´ a funkce, oznaˇcovaná p(x). Pro konkrétn´ı hodnotu h je v´ yroková funkce p(h) v´ yrokem. Definice 9 Obecný kvantifikátor se uˇz´ıvá, kdyˇz v´ yroková funkce zaˇc´ıná slovy “Pro kaˇzdé ...” nebo “Pro vˇsechna ...” a je oznaˇcován ∀. Definice 10 Existenˇcn´ı kvantifik´ ator se uˇz´ıvá, kdyˇz v´ yroková funkce zaˇc´ıná slovy “Existuje...”, “Jsou nˇejaké ...” nebo “Existuje alespoˇ n jeden...” a je oznaˇcován ∃. ´mka 2 Poznamenejme, ˇze kvantifikátory mohou b´ Pozna yt negovány, jak je naznaˇceno v následuj´ıc´ı tabulce:

kvantifikátor jeho negace (¬) ∀

∃

∃

∀

´mka 3 Chceme-li vyjádˇrit existenci jediného prvku, tedy “Existuje právˇe Pozna jeden...”, pak pouˇz´ıváme oznaˇcen´ı ∃!. UTB

10

Matematika 1

1.3

1.3 Základn´ı mnoˇzinové operace

Z´ akladn´ı mnoˇ zinov´ e operace

Definice 11 Mnoˇzina je soubor prvk˚ u. 1 Náleˇz´ı-li prvek x mnoˇzinˇe X, pak tuto skuteˇcnost oznaˇcujeme x ∈ X, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe x 6∈ X. Neobsahuje-li mnoˇzina ˇzádné prvky, pak se naz´ yvá prázdn´ a a oznaˇcuje se ∅. Definice 12 Bud’te A, B mnoˇziny. Jestliˇze kaˇzd´ y prvek mnoˇziny A náleˇz´ı mnoˇzinˇe B, pak mnoˇzinu A naz´ yváme podmnoˇzinou mnoˇziny B. Znaˇc´ıme A ⊂ B. Definice 13 Bud’te A, B podmnoˇziny mnoˇziny M . Pak definujeme následuj´ıc´ı mnoˇzinové operace: 1. pr˚ unik mnoˇzin A ∩ B = {x ∈ M : x ∈ A ∧ x ∈ B}, 2. sjednocen´ı mnoˇzin A ∪ B = {x ∈ M : x ∈ A ∨ x ∈ B}, 3. rozd´ıl mnoˇzin A \ B = {x ∈ M : x ∈ A ∧ x 6∈ B}, 4. doplnˇek mnoˇziny A0 = {x ∈ M : x 6∈ A}.

1.3.1

Z´ akladn´ı vlastnosti mnoˇ zinov´ ych operac´ı

ˇta 2 Bud’te A, B, C podmnoˇziny mnoˇziny M . Pak plat´ı: Ve komutativn´ı zákony 1. A ∩ B = B ∩ A, 2. A ∪ B = B ∪ A, asociativn´ı zákony 3. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), 4. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), distributivn´ı zákony 5. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), 1

Poznamenejme, ˇze tato definice mnoˇziny nen´ı korektn´ı. Nedefinovali jsme totiˇz pojmy ”soubor” a ”prvek”.

UTB

11

Matematika 1

1.4 Kartézsk´ y souˇcin mnoˇzin A a B

6. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), idempotentnost pr˚ uniku a sjednocen´ı 7. A ∩ A = A, 8. A ∪ A = A, pr˚ unik a sjednocen´ı s prázdnou mnoˇzinou a se z´ akladn´ı mnoˇzinou 9. A ∩ ∅ = ∅, 10. A ∪ ∅ = A, 11. A ∩ M = A, 12. A ∪ M = M, involuˇcnost doplˇ nku 13. A00 = (A0 )0 = A, doplnˇek pr˚ uniku a sjednocen´ı 14. (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0 , 15. (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0 . ˇta 3 (DeMorganovy za ´kony) Bud’te A, B, C mnoˇziny. Pak Ve 1. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C), 2. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).

1.4

Kart´ ezsk´ y souˇ cin mnoˇ zin A a B

Definice 14 Bud’te A, B mnoˇziny, pak kartézský souˇcin A × B mnoˇzin A a B je mnoˇzina A × B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}, kde (x, y) je uspoˇrádaná dvojice definovaná (x, y) = {{x}, {x, y}}. ˇta 4 Bud’te A, B, C mnoˇziny. Pak plat´ı Ve 1. (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C), 2. (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C). Definice 15 Bud’te A, B mnoˇziny, pak relac´ı ρ mezi mnoˇzinami A a B naz´ yváme libovolnou podmnoˇzinu kartézského souˇcinu mnoˇzin A a B. Je-li nav´ıc A = B, pak relaci ρ naz´ yváme relac´ı na mnoˇzinˇe A. UTB

12

Matematika 1

1.4.1

1.5 Zobrazen´ı

Z´ akladn´ı typy relac´ı

Definice 16 Bud’ ρ relace na mnoˇzinˇe A. Pak ˇr´ıkáme, ˇze relace ρ je 1. reflexivn´ı právˇe tehdy, kdyˇz ∀x ∈ A : (x, x) ∈ ρ, 2. symetrická právˇe tehdy, kdyˇz ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ ρ ⇒ (y, x) ∈ ρ, 3. antisymetrická právˇe tehdy, kdyˇz ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ ρ ∧ (y, x) ∈ ρ ⇒ x = y, 4. tranzitivn´ı právˇe tehdy, kdyˇz ∀x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ ρ ∧ (y, z) ∈ ρ ⇒ (x, z) ∈ ρ, 5. trichotomická právˇe tehdy, kdyˇz ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ ρ ∨ x = y ∨ (y, x) ∈ ρ, 6. uspoˇrádán´ı, jestliˇze je tranzitivn´ı a trichotomická, 7. ekvivalence, jestliˇze je tranzitivn´ı, reflexivn´ı a symetrická.

1.5

Zobrazen´ı

Definice 17 Necht’ A, B jsou mnoˇziny a ρ relace mezi nimi. Relaci ρ nazveme zobrazen´ım mnoˇziny A do mnoˇziny B právˇe tehdy, kdyˇz ∀x ∈ A ∃!y ∈ B : (x, y) ∈ ρ. Zobrazen´ı také oznaˇcujeme ρ : A → B, kde x 7→ y. UTB

13

Matematika 1

1.6

1.6 Základn´ı typy zobrazen´ı

Z´ akladn´ı typy zobrazen´ı

ˇ Definice 18 Bud’ f zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny B. Rekneme, ˇze dané zobrazen´ı je 1. injektivn´ı, jestliˇze ∀x1 6= x2 ∈ A ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ), 2. surjektivn´ı, jestliˇze ∀y ∈ B ∃x ∈ A : f (x) = y, 3. bijektivn´ı, jestliˇze je injektivn´ı i surjektivn´ı.

1.7

Kompozice zobrazen´ı

Definice 19 Bud’te f : A → B a g : B → C. Kompozic´ı zobrazen´ı f a g je zobrazen´ı g ◦ f : A → C definované pro kaˇzdé x ∈ A vztahem (g ◦ f )(x) = g(f (x)). ˇta 5 (Asociativita zobrazen´ı) Bud’te f : A → B, g : B → C a h : C → Ve D zobrazen´ı. Pak pro kaˇzdé x ∈ A plat´ı ((h ◦ g) ◦ f ) (x) = (h ◦ (g ◦ f )) (x). ´mka 4 Uvˇedomme si vˇsak, ˇze kompozice zobrazen´ı nen´ı obecnˇe komutaPozna tivn´ı.

1.8

Inverzn´ı zobrazen´ı

Definice 20 Bud’ f : A → B a g : B → A. Zobrazen´ı g je inverzn´ı zobrazen´ı k zobrazen´ı f , jestliˇze plat´ı g ◦ f = idA , f ◦ g = idB , kde idX oznaˇcuje identické zobrazen´ı na mnoˇzinˇe X definované pro kaˇzdé x ∈ X vztahem idX (x) = x. ˇta 6 Kaˇzdé zobrazen´ı má nejvýˇse jednu inverzi. Ve UTB

14

Matematika 1

1.9 Mnoˇzina reáln´ ych ˇc´ısel R

ˇta 7 Kaˇzdé zobrazen´ı má inverzi pr´ Ve avˇe tehdy, kdyˇz je bijektivn´ı. ˇ´ıklad 2 Bud’te A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} a C = {4, , 5} moˇziny. DefiPr nujme zobrazen´ı f = {(1, b), (2, c), (3, c)} a g = {(a, 4), (b, ), (c, 5)}. Zobrazen´ı jsme definovali jako podmnoˇziny kartézského souˇcinu A × B a B × C. M˚ uˇzeme je ale také chápat tak, ˇze f (1) = b, f (2) = c, f (3) = c a g(a) = 4, g(b) = , g(c) = 5, kde f : A → B a g : B → C. Pak kompozice g ◦ f : A → C má pˇredpis (g ◦ f )(1) = g(b) = , (g ◦ f )(2) = g(c) = 5 a (g ◦ f )(3) = g(c) = 5 mebo-li g ◦ f = {(1, ), (2, 5), (3, 5)}, kde g ◦ f : A → C. Nicménˇe, zobrazen´ı f nen´ı ani injektivn´ı ani surjektivn´ı. Skuteˇcnˇe, vezmemeli si 2 a 3, pak jejich obrazy jsou f (2) = c = f (3), f nen´ı injektivn´ı. Na bod b se ale nic nezobraz´ı, f tedy nen´ı surjekce. Avˇsak g je bijekce a podle Vˇety 7 k nˇemu existuje inverze. Snadno vid´ıme, ˇze takovou inverz´ı je g −1 = {(4, a), ( , b), (5, c)} nebo-li g −1 (4) = a, g −1 ( ) = b, g −1 (5) = c, kde g −1 : C → B. Skuteˇcnˇe: (g ◦ g −1 )(4) = g(a) = 4, (g ◦ g −1 )( ) = g(b) = , (g ◦ g −1 )(5) = g(c) = 5 a (g −1 ◦ g)(a) = g −1 (4) = a, (g −1 ◦ g)(b) = g −1 ( ) = b, (g −1 ◦ g)(c) = ? g −1 (5) = c. Celkovˇe tedy: g −1 ◦ g = idB a g ◦ g −1 = idC .

1.9

Mnoˇ zina re´ aln´ ych ˇ c´ısel R

Definice 21 Mnoˇzinou reálných ˇc´ısel R rozum´ıme mnoˇzinu, která splˇ nuje následuj´ıc´ı podm´ınky: R1 ∀x, y, z ∈ R : (x + y) + z = x + (y + z) R2 ∀x, y ∈ R : x + y = y + x R3 ∃0 ∈ R ∀x ∈ R : x + 0 = x R4 ∀x ∈ R ∃ − x ∈ R : x + (−x) = 0

R5 ∀x, y, z ∈ R \ {0} : (x · y) · z = x · (y · z) R6 ∀x, y ∈ R \ {0} : x · y = y · x R7 ∃1 ∈ R \ {0} ∀x ∈ R \ {0} : x · 1 = x R8 ∀x ∈ R \ {0} ∃x−1 ∈ R \ {0} : x · x−1 = 1

UTB

15

Matematika 1


R9 ∀x, y, z ∈ R : (x + y) · z = (x · z) + (y · z)

◦

◦

R10 ∀x, y ∈ R : (x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x) R11 ∀x, y, z ∈ R : (x < y ∧ y < z) ⇒ x < z

R12 ∀x, y, z ∈ R : (x < y) ⇒ (x + z < y + z) R13 ∀x, y, z ∈ R : (x < y ∧ z > 0) ⇒ (x · z < y · z) R14 ∀x, y ∈ R : x ≤ y ∃c ∈ R : x ≤ c ≤ y

1.9.1

Podmnoˇ ziny mnoˇ ziny re´ aln´ ych ˇ c´ısel R

Definice 22 Mnoˇzina reáln´ ych ˇc´ısel má následuj´ıc´ı ˇc´ıselné podmnoˇziny: 1. pˇrirozená ˇc´ısla N = {1, 2, 3, 4, . . .}, 2. celá ˇc´ısla Z = {−n : n ∈ N} ∪ {0} ∪ N, 3. racionáln´ı ˇc´ısla Q = {p · q −1 : p ∈ Z ∧ q ∈ N}, 4. iracionáln´ı ˇc´ısla I = R \ Q. Definice 23 Bud’te a, b ∈ R. Pak zleva uzavˇreným a zprava otevˇreným intervalem rozum´ıme mnoˇzinu [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}. Analogicky definujeme dalˇs´ı typy interval˚ u 1. (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, 2. [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, 3. [a, ∞) = {x ∈ R : a ≤ x}, 4. (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, 5. (−∞, ∞) = R. Definice 24 Bud’ x ∈ R, bud’ ∈ R, > 0. – okol´ım bodu x rozum´ıme interval O (x) = (x − , x + ). UTB

16

Matematika 1

1.9.2


Ohraniˇ cenost podmnoˇ ziny mnoˇ ziny re´ aln´ ych ˇ c´ısel R

Definice 25 Podmnoˇzina M mnoˇziny reáln´ ych ˇc´ısel R se naz´ yvá 1. shora ohraniˇcená, jestliˇze ∃x ∈ R ∀y ∈ M : y < x, 2. zdola ohraniˇcená, jestliˇze ∃x ∈ R ∀y ∈ M : y > x. 3. ohraniˇcená, je-li ohraniˇcená shora i zdola.

UTB

17

Matematika 1

UTB


18

Kapitola 2 Re´ aln´ a funkce jedn´ e re´ aln´ e promˇ enn´ e Definice 26 Reálná funkce jedné re´ alné promˇenné je kaˇzdé zobrazen´ı f : M → R, kde M ⊂ R. 1. Definiˇcn´ı obor funkce f je mnoˇzina D(f ) = M. 2. Obor hodnot funkce f je mnoˇzina H(f ) = {f (x) ∈ R : x ∈ D(f )}. 3. Vzor mnoˇziny B ⊆ H(f ) vzhledem k zobrazen´ı f je mnoˇzina f −1 (B) = {x ∈ D(f ) : ∃y ∈ B ∧ f (x) = y}. 4. Obraz mnoˇziny A ⊆ D(f ) vzhledem k zobrazen´ı f je mnoˇzina f (A) = {f (x) ∈ H(f ) : x ∈ A}. 5. Graf funkce f je mnoˇzina Gr(f ) = {(x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ D(f )} ⊆ R2 .

2.1

Operace s funkcemi

Definice 27 Bud’te f, g : R → R funkce a necht’ D(f ) = D(g). Pak 1. absolutn´ı hodnota funkce f je funkce |f | definovaná ∀x ∈ D(f ) : |f |(x) = |f (x)|,

Matematika 1

2.2 Ohraniˇcené funkce

2. funkce f a g jsou si rovny, jestliˇze ∀x ∈ D(f ) : f (x) = g(x), 3. souˇcet funkc´ı f a g je funkce f + g definovaná ∀x ∈ D(f ) : (f + g)(x) = f (x) + g(x), 4. rozd´ıl funkc´ı f a g je funkce f − g definovaná ∀x ∈ D(f ) : (f − g)(x) = f (x) − g(x), 5. souˇcin funkc´ı f a g je funkce f · g definovaná ∀x ∈ D(f ) : (f · g)(x) = f (x) · g(x), f definovaná (za pˇredpokladu, ˇze ∀x ∈ D(g) : g f f (x) ∀x ∈ D(f ) : (x) = . g g(x)

6. pod´ıl funkc´ı f a g je funkce g(x) 6= 0)

2.2

Ohraniˇ cen´ e funkce

Definice 28 Bud’ f : R → R funkce, pak ˇrekneme, ˇze funkce 1. f je shora ohraniˇcená, jestliˇze je mnoˇzina H(f ) ohraniˇcená shora, 2. f je zdola ohraniˇcená, jestliˇze je mnoˇzina H(f ) ohraniˇcená zdola, 3. f je ohraniˇcená, jestliˇze je ohraniˇcená shora i zdola.

2.3

Monot´ onn´ı funkce

Definice 29 Bud’ f : R → R funkce, pak ˇrekneme, ˇze 1. f je rostouc´ı, jestliˇze ∀x1 , x2 ∈ D(f ) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ), 2. f je klesaj´ıc´ı, jestliˇze ∀x1 , x2 ∈ D(f ) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ), 3. f je nerostouc´ı, jestliˇze ∀x1 , x2 ∈ D(f ) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ), 4. f je neklesaj´ıc´ı, jestliˇze ∀x1 , x2 ∈ D(f ) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ). UTB

20

Matematika 1

2.4

2.4 Funkce sudé a liché

Funkce sud´ e a lich´ e

Definice 30 Bud’ f : R → R funkce, pak ˇrekneme, ˇze 1. f je sudá, jestliˇze ∀x ∈ D(f ) : −x ∈ D(f ) ∧ f (−x) = f (x), 2. f je lichá, jestliˇze ∀x ∈ D(f ) : −x ∈ D(f ) ∧ f (−x) = −f (x).

2.5

Funkce periodick´ e

Definice 31 Bud’ f : R → R funkce, pak ˇrekneme, ˇze funkce f je periodick´ a, jestliˇze ∃p ∈ R \ {0} ∀x ∈ D(f ) : f (x + p) = f (x). Nejmenˇs´ı takové p se naz´ yvá perioda funkce f a ˇr´ıkáme, ˇze funkce f je periodick´ a s periodou p.

2.6

Funkce sloˇ zen´ e

Definice 32 Bud’te f, g : R → R funkce. Pak ˇrekneme, ˇze kompozic´ı funkc´ı f a g je funkce g ◦ f : R → R definovaná vztahem (g ◦ f )(x) = g(f (x)) ∀x ∈ D(f ).

2.7

Funkce inverzn´ı

Definice 33 Bud’ f : M → N, M, N ⊆ R. Funkce f −1 : N → M naz´ yváme inverzn´ı funkce k funkci f , jestliˇze plat´ı f −1 ◦ f = idM , f ◦ f −1 = idN . UTB

21

Matematika 1

2.7 Funkce inverzn´ı

Pozorujme n´ asleduj´ıc´ı vztahy: 1. D(f −1 ) = H(f ), 2. H(f −1 ) = D(f ), 3. x = f −1 (y) ⇐⇒ y = f (x), 4. f je inverzn´ı k f −1 , tedy plat´ı (f −1 )−1 = f , 5. f (f −1 (y)) = y pro kaˇzdé y ∈ H(f ), 6. f −1 (f (x)) = x pro kaˇzdé x ∈ D(f ). ˇ´ıklad 3 Pozorujme v´ Pr yˇse popsané vlastnosti na funkci f (x) =

1 : x2 + 1

1. definiˇcn´ı obor nen´ı nikterak omezen, m˚ uˇzeme dosadit libovolné ˇc´ıslo, D(f ) = R; 2. obor hodnot: zajisté

x2

1 1 >0a1≤ 2 , tedy H(f ) = (0, 1]; +1 x +1

3. z pˇredeˇslého bodu plyne, ˇze funkce je omezená; 4. funkce je sudá, skuteˇcnˇe x ∈ D(f ) ⇒ −x ∈ D(f ) a f (−x) =

1 1 = = f (x), (−x)2 + 1 x2 + 1

graf je soumˇern´ y podle osy y; 5. funkce je na intervalu (0, ∞) klesaj´ıc´ı, skuteˇcnˇe pro kaˇzdé x1 , x2 ∈ (0, ∞) takové, ˇze x1 < x2 je x21 < x22 ⇒ x21 + 1 < x22 + 1 ⇒ x21+1 > x21+1 ⇒ f (x1 ) > 1 2 f (x2 ), analogicky se ukáˇze, ˇze funkce je na intervalu (−∞, 0) rostouc´ı; 6. funkce nen´ı prostá, vezmeme-li x1 6= x2 takové, ˇze x1 = −x2 , pak f (x1 ) = 1 1 1 = = 2 = f (x2 ); 2 2 x1 + 1 (−x1 ) + 1 x2 + 1 7. funkce nen´ı invertibiln´ı, protoˇze nen´ı prostá. ? ˇ´ıklad 4 Ovˇeˇrme, ˇze funkce f (x) = 2x + 3 a g(x) = x/2 − 3/2 jsou k sobˇe Pr inverzn´ı. Tedy (f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (x/2−3/2) = 2(x/2−3/2)+3 = x = id(x) a (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)/2 − 3/2 = x = id(x). Celkovˇe tedy: ? f = g −1 a g = f −1 . UTB

22

Matematika 1

2.8 2.8.1

2.8 Elementárn´ı funkce

Element´ arn´ı funkce Funkce line´ arn´ı

Definice 34 Funkce f : R → R se naz´ yvá line´ arn´ı, má-li tvar f (x) = ax + b, kde a, b ∈ R.

Grafem takovéto funkce je pˇr´ımka

prot´ınaj´ıc´ı osu x v bodˇe −b/a a osu y v bodˇe b. Pro a > 0 je tato funkce rostouc´ı, je-li a < 0, pak je tato funkce klesaj´ıc´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze a = 0, jde o funkci konstantn´ı, má tedy tu vlastnost, ˇze pro kaˇzdé x z D(f ) nab´ yvá pouze jedné hodnoty b. Je-li vˇsak a 6= 0 a b = 0, pak má funkce specieln´ı tvar f (x) = ax naz´ yvan´ y pˇr´ım´ a u ´mˇernost. Ani v jednom z v´ yˇse popsan´ ych pˇr´ıpad˚ u nen´ı definiˇcn´ı obor nikterak omezen, tedy D(f ) = R pro libovolné a a b.

2.8.2

Funkce kvadratick´ a

Definice 35 Funkce f : R → R se naz´ yvá kvadratick´ a, má-li tvar f (x) = ax2 + bx + c, kde a, b, c ∈ R.

Grafem takovéto funkce je parabola: UTB

23

Matematika 1


Jak vidno z obrázku, popis vlastnost´ı dané funkce nebude tak jednoduch´ y jako v pˇredcházej´ıc´ım pˇr´ıpadˇe, protoˇze tato funkce nab´ yvá maxima (minima) a je jak rostouc´ı, tak klesaj´ıc´ı, a nav´ıc m˚ uˇze prot´ınat osu x aˇz ve dvou bodech. Nejprve uprav´ıme tvar f (x) = ax2 + bx + c na u ´pln´ y ˇctverec. Dostáváme b 2 b2 b b2 f (x) = a(x2 + ab x) + c = a(x + 2a ) + (c − 4a ). Oznaˇcme x0 = − 2a a y0 = c − 4a , 2 pak f (x) = a(x − x0 ) + y0 a bod V0 = [x0 , y0 ] je vrchol, tedy funkce f má v bodˇe x0 extrém, tj. maximum nebo minimum. Pr˚ useˇc´ıky s osou x jsou body x1 a x2 , které po dosazen´ı dávaj´ı nulovou hodnotu.

2.8.3

Funkce lomenn´ a

Definice 36 Funkce f : R → R se naz´ yvá lomenn´ a, má-li tvar f (x) =

ax + b , kde a, b, c, d ∈ R a c 6= 0, bc − ad 6= 0. cx + d

Definiˇcn´ım oborem je R \ {− dc }, grafem je kˇrivka zvaná (rovnoos´ a) hyperbola d a se stˇredem v bodˇe S = [x0 , y0 ] = [− c , c ] a s asymptotami procházej´ıc´ımi stˇredem a rovnobˇeˇzn´ ymi s osami x a y. (Asymptota je pˇr´ımka, k n´ıˇz se graf dané funkce “bl´ıˇz´ı”, ale nikdy ji neprotne.) Tuto funkci si m˚ uˇzeme pˇredstavit ve tvaru f (x) =

k + y0 x − x0

(podˇelili jsme ˇcitatel jmenovatelem), kde x0 = − dc a y0 = ac . Pak dostáváme dva pˇr´ıpady, pro k > 0 a k < 0: UTB

24

Matematika 1


Vid´ıme tedy, ˇze máme dvˇe moˇznosti. Ve speciáln´ım pˇr´ıpadˇe, kdy S = [0, 0], je tato funkce soumˇerná podle poˇcátku a tedy lichá.

2.8.4

Funkce exponenci´ aln´ı

Definice 37 Funkce f : R → R se naz´ yvá exponenci´ aln´ı, má-li tvar f (x) = ax , kde a > 0, a 6= 0. Definiˇcn´ı obor této funkce nen´ı nikterak omezen, je tedy roven R. Je-li a = 1, dostáváme funkci konstantn´ı a proto se obˇcas tato moˇznost volby zakazuje pˇr´ımo v definici. Zˇrejmˇe pro x = 0 je f (x) = 1 a nezávis´ı na volbˇe a. Grafem je tzv. exponenciála maj´ıc´ı tvar pro a < 1 a 0 < a < 1:

Vid´ıme tedy, ˇze pro a > 1 je tato funkce rostouc´ı a pro 0 < a < 1 je klesaj´ıc´ı. V obou pˇr´ıpadech s asymptotou y = 0. UTB

25

Matematika 1

2.8.5


Funkce logaritmick´ a

Definice 38 Funkce f : (0, ∞) → R se naz´ yvá logaritmick´ a, má-li tvar f (x) = loga (x), kde a > 0 , a 6= 0. Grafem této funkce je logaritmick´ a kˇrivka. Ovˇsem, je tˇreba rozliˇsit dva pˇr´ıpady, a > 1 a 0 < a < 1: >1

1

Jak vid´ıme, logaritmická funkce je rostouc´ı pro a > 1 a klesaj´ıc´ı pro 0 < a < 1. V obou pˇr´ıpadech graf procház´ı bodem [0, 1]. Inverze k logaritmu je exponenciáln´ı funkce. Inverzn´ı funkce k funkci f oznaˇcujeme f −1 a je to taková funkce, která splˇ nuje, ˇze f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = id, kde id je tzv. identita, id : R → R, definovaná pˇredpisem id(x) = x pro kaˇzdé x ∈ R. Skuteˇcnˇe, f ◦ f −1 = loga ax = x. Coˇz vypl´ yvá z definice logaritmu, kter´ y je definován následovnˇe y = loga x právˇe tehdy, kdyˇz x = ay , kde x > 0, a > 0 a a 6= 1. ˇ ıslo a se naz´ C´ yvá základ logaritmu a ve specieln´ım pˇr´ıpadˇe, kdy a = 10, hovoˇr´ıme o dekadickém logaritmu a znaˇc´ıme ho log . Pokud a = e (Eulerovo ˇc´ıslo), hovoˇr´ıme o pˇrirozeném logaritmu a znaˇc´ıme ho ln . UTB

26

Matematika 1


Z´ akladn´ı vzorce pro poˇ c´ıt´ an´ı s logaritmy loga (x1 · x2 · x3 . . . xn ) = loga (x1 ) + loga (x2 ) + loga (x2 ) + . . . + loga (xn ), (logaritmus souˇcinu je souˇcet logaritm˚ u) x1 = loga (x1 ) − loga (x2 ), loga x2 (logaritmus pod´ılu je rozd´ıl logaritm˚ u) loga (xr ) = r loga (x) , kde r ∈ R, (logaritmus reálné mocniny je souˇcin této mocniny a logaritmu) √ 1 loga ( n x) = loga (x). n (logaritmus n-té odmocniny je pod´ıl logaritmu ˇc´ıslem odmocnitele)

2.8.6

Funkce goniometrick´ e

Definice 39 Goniometrické funkce promˇenné u ´hlu α definujeme pomoc´ı jednotkové kruˇznice a pr˚ uvodiˇce (pr˚ uvodiˇc je u ´seˇcka spojuj´ıc´ı stˇred jednotkové kruˇznice a bod na n´ı) následovnˇe: a 1 −→ sin(α) = AB pro 0 < α < π je sin(α) = , 2 c b 1 −→ cos(α) = SA pro 0 < α < π je cos(α) = , 2 c sin(α) 1 3 1 −−→ a tan(α) = , α 6= π, π pro 0 < α < π je tan(α) = CD = , cos(α) 2 2 2 b cos(α) 1 −→ b , α 6= 0, π pro 0 < α < π je cot(α) = EF = . cot(α) = sin(α) 2 a

α

UTB

α

27

Matematika 1


−→ −→ AB je orientovaná délka u ´seˇcky AB, tj. AB > 0, je-li AB souhlasnˇe oriento−→ vaná s osou y, AB < 0, je-li AB opaˇcnˇe orientovaná vzhledem k orientované ose y. Obdobn´ y v´ yznam maj´ı i ostatn´ı délky. Dále definujeme: sin(2kπ + α) = sin(α), cos(2kπ + α) = cos(α), tan(kπ + α) = tan(α), cot(kπ + α) = cot(α), pro libovolné k ∈ Z. T´ım jsou funkce sin a cos definovány pro kaˇzdé α ∈ R, funkce tan pro kaˇzdé α 6= 12 π + kπ a cot pro kaˇzdé α 6= kπ, kde k ∈ Z. Zˇrejmˇe funkce sin a cos jsou periodické s periodou 2π a jejich hodnoty jsou v intervalu [−1, 1]. Funkce tan a cot jsou periodické s periodou π a nab´ yvaj´ı hodnot v celém R, tedy −1 ≤ sin(α) ≤ 1, −1 ≤ cos(α) ≤ 1, −∞ < tan(α) < ∞, −∞ < cot(α) < ∞. Konstrukce grafu funkce sin: Tato konstrukce plyne bezprostˇrednˇe z definice. Naˇcrtnˇeme si osy x a y a ve stejné rovinˇe i jednotkovou kruˇznici s pr˚ uvodiˇcem. Na osu x si nanesme jednotlivé u ´hly — 0, 12 π, π, 32 π, 2π, . . . a pak nastavme pr˚ uvodiˇc do tˇechto u ´hl˚ u a vynesme ’ “v´ yˇsky” vyt até na jednotkové kruˇznici nad dané u ´hly, dostáváme

0

π/4

π/2

π

3/2π

2π

Grafy funkc´ı cos, tan a cot zkonstruujeme obdobnˇe, s t´ım rozd´ılem, ˇze do grafu vynáˇs´ıme pˇr´ısluˇsné hodnoty z definice dan´ ych funkc´ı. Dostáváme tedy UTB

28

Matematika 1


0 π/4

0

π/4

π

π/2

0 π/4 π/2

3/2π

π

π/2

π

3/2π

3/2π

2π

2π

2π

Z pˇredchoz´ıch graf˚ u lze snadno vidˇet, kdy jsou goniometrické funkce rostouc´ı a kdy klesaj´ıc´ı, zda a kde maj´ı extrémy. Zda jsou sudé ˇci liché vypl´ yvá z vlastnost´ı: sin(−α) = − sin(α), cos(−α) = cos(α), tan(−α) = − tan(α), cot(−α) = − cot(α), tedy sin, tan a cot jsou funkce liché, cos je funkce sudá. UTB

29

Matematika 1


Znam´ enka goniometrick´ ych funkc´ı v jednotliv´ ych kvadrantech Kvadrant Funkce

I.

II.

III.

IV.

sin(α)

+

+

-

-

cos(α)

+

-

-

+

tan(α)

+

-

+

-

cot(α)

+

-

+

-

Z´ akladn´ı vzorce pro poˇ c´ıt´ an´ı s goniometrick´ ymi funkcemi 1. Vztahy mezi goniometrick´ ymi funkcemi stejn´ eho u ´ hlu sin2 (α) + cos2 (α) = 1, tan(α) =

cos(α) sin(α) , cot(α) = , cos(α) sin(α)

2. Vztahy mezi goniometrick´ ymi funkcemi souˇ ctu, rozd´ılu a n´ asobku u ´ hl˚ u sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β), cos(α ± β) = cos(α) cos(β) ∓ sin(α) sin(β), tan(α ± β) =

tan(α) ± tan(β) , 1 ∓ tan(α) tan(β)

sin(2α) = 2 sin(α) cos(α), cos(2α) = cos2 (α) − sin2 (α),

UTB

tan(2α) =

2 tan(α) , 1 − tan2 (α)

cot(2α) =

cot2 (α) − 1 , 2 cot(α) 30

Matematika 1


3. Souˇ cet, rozd´ıl, souˇ cin, mocnina goniometrick´ ych funkc´ı α+β α−β sin(α) + sin(β) = 2 sin cos , 2 2 α−β α+β sin , sin(α) − sin(β) = 2 cos 2 2 α+β α−β cos(α) + cos(β) = 2 cos cos , 2 2 α+β α−β cos(α) − cos(β) = −2 sin sin , 2 2

2.8.7

tan(α) ± tan(β) =

sin (α ± β) , cos (α) cos(β)

cot(α) ± cot(β) =

sin(β ± α) , sin(α) sin(β)

Funkce cyklometrick´ e

Definice 40 Hlavn´ı vˇetev funkce sin, oznaˇcovaná Sin, je z´ uˇzen´ı funkce sin na interval [−π/2, π/2], tedy Sin(x) = sin(x),

−π/2 ≤ x ≤ π/2.

Funkce Sin je rostouc´ı a tedy bijektivn´ı, má inverzn´ı funkci oznaˇcovanou arcsin a definovanou y = arcsin(x) ⇐⇒ x = Sin(y). Poznamenejme, ˇze D(arcsin) = [−1, 1] = H(Sin), H(arcsin) = [−π/2, π/2] = D(Sin). Definice 41 Hlavn´ı vˇetev funkce cos, oznaˇcovaná Cos, je z´ uˇzen´ı funkce cos na interval [0, π], tedy Cos(x) = cos(x), 0 ≤ x ≤ π. Funkce Cos je klesaj´ıc´ı a tedy bijektivn´ı, má inverzn´ı funkci oznaˇcovanou arccos a definovanou y = arccos(x) ⇐⇒ x = Cos(y). Poznamenejme, ˇze D(arccos) = [−1, 1] = H(Cos), H(arccos) = [0, π] = D(Cos). UTB

31

Matematika 1


Definice 42 Hlavn´ı vˇetev funkce tan, oznaˇcovaná T an, je z´ uˇzen´ı funkce tan na interval (−π/2, π/2), tedy Tan(x) = tan(x),

−π/2 < x < π/2.

Funkce Tan je rostouc´ı a tedy bijektivn´ı, má inverzn´ı funkci oznaˇcovanou arctan a definovanou y = arctan(x) ⇐⇒ x = Tan(y). Poznamenejme, ˇze D(arctan) = (−∞, ∞) = H(Tan), H(arctan) = (−π/2, π/2) = D(Tan). Definice 43 Hlavn´ı vˇetev funkce cotan, oznaˇcovaná Cot, je z´ uˇzen´ı funkce cot na interval (0, π), tedy Cot(x) = cot(x),

0 ≤ x ≤ π.

Funkce Cot je klesaj´ıc´ı a tedy bijektivn´ı, má inverzn´ı funkci oznaˇcovanou arccotan a definovanou y = arccot(x) ⇐⇒ x = Cot(y). Poznamenejme, ˇze D(arccot) = (−∞, ∞) = H(Cot), H(arccot) = (0, π) = D(Cot).

UTB

32

Kapitola 3 Limita funkce Definice 44 Bud’ f funkce definovaná na nˇejakém prstencovém okol´ı bodu x0 . Pak ˇrekneme, ˇze funkce f má v bodˇe x0 limitu A, jestliˇze ke kaˇzdému okol´ı O(A) existuje takové prstencové okol´ı O◦ (x0 ), ˇze plat´ı x ∈ O◦ (x0 ) ⇒ f (x) ∈ O(A). P´ıˇseme lim f (x) = A.

x→x0

Definice 45 Bud’ f funkce definovaná na nˇejakém levém prstencovém okol´ı bodu x0 . Pak ˇrekneme, ˇze funkce f m´ a v bodˇe x0 limitu zleva rovnu A, jestliˇze ke kaˇzdému okol´ı O(A) existuje takové levé prstencové okol´ı Ol◦ (x0 ), ˇze plat´ı x ∈ Ol◦ (x0 ) ⇒ f (x) ∈ O(A). P´ıˇseme lim f (x) = A.

x→x− 0

Definice 46 Bud’ f funkce definována na nˇejakém pravém prstencovém okol´ı bodu x0 . Pak ˇrekneme, ˇze funkce f m´ a v bodˇe x0 limitu zprava rovnu A, jestliˇze ke kaˇzdému okol´ı O(A) existuje takové pravé prstencové okol´ı Op◦ (x0 ), ˇze plat´ı x ∈ Op◦ (x0 ) ⇒ f (x) ∈ O(A). P´ıˇseme lim f (x) = A.

x→x+ 0

Matematika 1

3.1 Vˇety o limitách

ˇta 8 Necht’ je funkce f definov´ Ve ana na nˇejakém prstencovém okol´ı bodu x0 . Pak plat´ı lim f (x) = A ⇐⇒ lim+ f (x) = lim− f (x) = A.

x→x0

3.1

x→x0

x→x0

Vˇ ety o limit´ ach

ˇta 9 Kaˇzdá funkce má v daném bodˇe nejvýˇse jednu limitu. Ve ˇta 10 Necht’ limx→x0 f (x) = A a limx→x0 g(x) = B. Pak plat´ı Ve 1. limx→x0 (f (x) + g(x)) = limx→x0 f (x) + limx→x0 g(x) = A + B, 2. limx→x0 (f (x) − g(x)) = limx→x0 f (x) − limx→x0 g(x) = A − B, 3. limx→x0 (f (x) · g(x)) = limx→x0 f (x) · limx→x0 g(x) = A · B, 4. limx→x0

f (x g(x)

=

A limx→x0 f (x) = , pokud B 6= 0. limx→x0 g(x) B

ˇta 11 Necht’ na nˇejakém prstencovém okol´ı bodu x0 plat´ı f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) Ve a necht’ limx→x0 f (x) = limx→x0 g(x) = A. Pak limita funkce h(x) v bodˇe x0 existuje a plat´ı limx→x0 h(x) = A. ˇta 12 Necht’ limx→x0 g(x) = A, limu→A f (u) = B a necht’ existuje takové Ve prstencové okol´ı O◦ (x0 ) bodu x0 , ˇze pro kaˇzdé x ∈ O◦ (x0 ) je g(x) 6= A. Pak sloˇzená funkce f ◦ g má v bodˇe x0 limitu a plat´ı limx→x0 f (g(x)) = B. ˇta 13 Jestliˇze pro funkce f a g definované na nˇejakém prstencovém okol´ı bodu Ve x0 plat´ı f (x) = g(x) a existuje-li limita limx→x0 g(x) = A, pak existuje i limita limx→x0 f (x) = A.

3.2

Nevlastn´ı limita

Definice 47 Bud’ f funkce definovaná na nˇejakém prstencovém okol´ı bodu x0 . Pak ˇrekneme, ˇze funkce f má v bodˇe x0 nevlastn´ı limitu −∞ (resp. +∞), jestliˇze ke kaˇzdému okol´ı O(−∞) (resp. O(+∞)) existuje takové prstencové okol´ı O◦ (x0 ), ˇze plat´ı x ∈ O◦ (x0 ) ⇒ f (x) ∈ O(−∞), (resp. x ∈ O◦ (x0 ) ⇒ f (x) ∈ O(+∞)). UTB

34

Matematika 1

3.3 Limita v nevlastn´ım bodˇe

P´ıˇseme lim f (x) = −∞,

x→x0

(resp. lim f (x) = +∞). x→x0

ˇta 14 Necht’ funkce f je definovan´ Ve a na nˇejakém prstencovém okol´ı bodu x0 . Pak plat´ı lim f (x) = −∞ ⇐⇒ lim+ f (x) = lim− f (x) = −∞,

x→x0

x→x0

x→x0

(resp. lim f (x) = +∞ ⇐⇒ lim+ f (x) = lim− f (x) = +∞). x→x0

x→x0

x→x0

ˇta 15 Necht’ limx→x0 f (x) = A 6= 0 a limx→x0 g(x) = 0. Existuje-li prstencové Ve okol´ı O◦ (x0 ) bodu x0 tak, ˇze pro vˇsechna x ∈ O◦ (x0 ) jsou obˇe funkce definov´ any a plat´ı f (x) · g(x) > 0 (resp. f (x) · g(x) < 0), pak plat´ı lim

x→x0

f (x) = +∞, g(x)

(resp. lim

x→x0

3.3

f (x) = −∞). g(x)

Limita v nevlastn´ım bodˇ e

Definice 48 Bud’ f funkce definovaná na nˇejakém okol´ı nevlastn´ıho bodu +∞ (resp. −∞). Pak ˇrekneme, ˇze funkce f m´ a v nevlastn´ım bodˇe +∞ (resp. −∞) limitu A, jestliˇze ke kaˇzdému okol´ı O(A) existuje takové okol´ı O(+∞) (resp. O(−∞)), ˇze plat´ı x ∈ O(+∞) ⇒ f (x) ∈ O(A), (resp. x ∈ O(−∞) ⇒ f (x) ∈ O(A)). P´ıˇseme lim f (x) = A,

x→+∞

(resp. lim f (x) = A). x→−∞

UTB

35

Matematika 1

3.3 Limita v nevlastn´ım bodˇe

Definice 49 Bud’ f funkce definovaná na nˇejakém okol´ı nevlastn´ıho bodu +∞ (resp. −∞). Pak ˇrekneme, ˇze funkce f m´ a v nevlastn´ım bodˇe +∞ (resp. −∞) nevlastn´ı limitu +∞ (resp. −∞), jestliˇze ke kaˇzdému okol´ı O(+∞) (resp. O(−∞)) existuje takové okol´ı O(+∞) (resp. O(−∞)), ˇze plat´ı x ∈ O(+∞) ⇒ f (x) ∈ O(+∞), (resp. x ∈ O(−∞) ⇒ f (x) ∈ O(−∞)). P´ıˇseme lim f (x) = +∞,

x→+∞

(resp. lim f (x) = −∞). x→−∞

3.3.1 1.

Z´ akladn´ı limity a x lim 1 + = ea , x→∞ x

2. lim

x→−∞

1+

a x = ea , x

3. sin(x) = 1, x→0 x lim

4. tan(x) = 1, x→0 x lim

5. ln(1 + x) = 1, x→0 x lim

6. lim ax = +∞ (a > 1),

x→+∞

7. lim ax = 0 (a > 1),

x→−∞

8. lim ax = 0 (0 < a < 1),

x→+∞

UTB

36

Matematika 1

3.4 Asymptoty grafu funkce

9. lim ax = +∞ (0 < a < 1),

x→−∞

10.

ax − 1 = ln(a) (a > 0), x→0 x lim

11.

xn = 0 (k > 0, n ∈ Z), x→+∞ ekx lim

12.

lnn (x) = 0 (k > 0, n ∈ Z). x→+∞ xk lim

ˇ´ıklad 5 Spoˇctˇeme následuj´ıc´ı limity (k v´ Pr ypoˇctu uˇz´ıváme Vˇety 10, 11, 12 a pˇredchoz´ı tabulku základn´ıch limit): 1. algebraická u ´prava: limx→3

x2 −2x−3 x−3

= limx→3

(x−3)(x+1) x−3

= limx→3 (x+1) = 4,

2. Vˇeta 11: bud’te f (x) = x2 , g(x) = −x2 a h(x) = 0, pak zajisté f (x) ≥ h(x) ≥ g(x) a limx→0 f (x) = limx→0 g(x) = limx→0 h(x) = 0, x2 −1

x2 −1

3. Vˇeta 12: spoˇctˇeme limitu limx→1 e x2 −1−1 . Oznaˇcme F (x) = e x2 −1−1 , f (x) = x x2 −1 a h(x) = e x−1 . Pak F (x) = h◦f (x) a limx→1 f (x) = limx→0 x2 −1 = 0, x limx→0 h(x) = limx→0 e x−1 = 1. Celkovˇe tedy, limx→1 F (x) = limx→1 (h ◦ f )(x) = 1. ?

3.4

Asymptoty grafu funkce

Definice 50 Pˇr´ımka x = c je asymptotou bez smˇernice ke grafu funkce y = f (x), jestliˇze existuje alespoˇ n jedna z nevlastn´ıch limit: 1. lim f (x) = +∞,

x→c+

2. lim f (x) = +∞,

x→c−

3. lim f (x) = −∞,

x→c+

UTB

37

Matematika 1

3.4 Asymptoty grafu funkce

4. lim f (x) = −∞.

x→c−

Definice 51 Pˇr´ımka s rovnic´ı y = kx + q je asymptotou se smˇernic´ı ke grafu funkce y = f (x), jestliˇze plat´ı alespoˇ n jedna z podm´ınek 1. lim (f (x) − kx − q) = 0,

x→+∞

2. lim (f (x) − kx − q) = 0.

x→−∞

´mka 5 Z pˇredchoz´ı definice vypl´ Pozna yvá, ˇze pˇr´ımka y = c je horizont´ aln´ı asymptotou ke grafu funkce y = f (x), jestliˇze existuje alespoˇ n jedna z nevlastn´ıch limit: 1. lim f (x) = c,

x→+∞

2. lim f (x) = c.

x→−∞

ˇta 16 Pˇr´ımka s rovnic´ı y = kx + q je asymptota se smˇernic´ı ke grafu funkce Ve y = f (x) právˇe tehdy, kdyˇz plat´ı alespoˇ n jedna z podm´ınek 1. limx→+∞

f (x) =k x

a

2. limx→−∞

f (x) =k x

a

lim (f (x) − kx) = q,

x→+∞

lim (f (x) − kx) = q.

x→−∞

ˇ´ıklad 6 Naleznˇete asymptoty ke grafu funkce f (x) = 3x + Pr

3 . x−2

1. Definiˇcn´ı obor funkce je D(f ) = R \ {2}, je tedy tˇreba hledat asymptotu 3 bez smˇernice v bodˇe c = 2. Tedy limx→2+ 3x + x−2 = +∞ a 3 limx→2− 3x + x−2 = −∞. Asymptota bez smˇernice je tedy x = 2. 3 2. Pro asymptotu se smˇernic´ı poˇc´ıtejme limx→+∞ f (x) = limx→+∞ (3+ x2 −2x )= x 3 3 = k a limx→+∞ (f (x)−kx) = limx→+∞ (3x+ x−2 −3x) = 0 = q. Asymptota se smˇernic´ı je y = 3x.

?

UTB

38

Kapitola 4 Spojitost funkce 4.1

Definice spojitosti

Definice 52 Bud’ f funkce definovaná na okol´ı O(x0 ) bodu x0 . Kdyˇz ke kaˇzdému okol´ı O(f (x0 )) bodu f (x0 ) existuje takové okol´ı O(x0 ) bodu x0 , ˇze plat´ı x ∈ O(x0 ) ⇒ f (x) ∈ O(f (x0 )), pak ˇr´ıkáme, ˇze funkce f je spojit´ a v bodˇe x0 .

4.2

Z´ akladn´ı vlastnosti spojit´ ych funkc´ı

ˇta 17 Bud’ f funkce definovan´ Ve a na okol´ı O(x0 ) bodu x0 . Pak plat´ı f je spojitá v bodˇe x0 ⇐⇒ lim+ f (x) = lim− f (x) = lim f (x) = f (x0 ). x→x0

x→x0

x→x0

Definice 53 Bud’ f funkce definovaná na pravém (resp. levém) okol´ı Op (x0 ) (resp. Ol (x0 )) bodu x0 . Kdyˇz ke kaˇzdému pravému (resp. levému) okol´ı Op (f (x0 )) (resp. Ol (f (x0 ))) bodu f (x0 ) existuje takové pravé (resp. levé) okol´ı Op (x0 ) (resp. Ol (x0 )) bodu x0 , ˇze plat´ı x ∈ Op (x0 ) ⇒ f (x) ∈ Op (f (x0 )) (resp. x ∈ Ol (x0 ) ⇒ f (x) ∈ Ol (f (x0 ))), pak ˇr´ıkáme, ˇze funkce f je spojit´ a v bodˇe x0 zprava (resp. zleva). ˇta 18 Kaˇzdá elementárn´ı funkce je spojit´ Ve a v kaˇzdém bodˇe definiˇcn´ıho oboru. ˇta 19 Funkce f je spojitá v bodˇe x0 pr´ Ve avˇe tehdy, kdyˇz je v bodˇe x0 spojit´ a zprava i zleva.

Matematika 1

4.2 Základn´ı vlastnosti spojit´ ych funkc´ı

ˇta 20 Bud’te f a g spojité funkce v bodˇe x0 . Pak také n´ Ve asleduj´ıc´ı funkce jsou spojité v bodˇe x0 1. f + g, 2. f − g, 3. f · g, 4. f , pokud g(x0 ) 6= 0. g ˇta 21 Bud’ g funkce spojit´ Ve a v bodˇe x0 a f funkce spojit´ a v bodˇe g(x0 ), pak sloˇzená funkce f ◦ g je spojitá v bodˇe x0 . Definice 54 Funkce f je spojit´ a na otevˇreném intervalu (a, b), jestliˇze je spojitá v kaˇzdém bodˇe tohoto intervalu. Definice 55 Funkce f je spojit´ a na uzavˇreném intervalu [a, b], jestliˇze je spojitá na otevˇreném intervalu (a, b) a jestliˇze je v bodˇe a spojitá zprava a v bodˇe b zleva. ˇta 22 (Weierstrass) Je-li funkce f spojit´ Ve a na intervalu [a, b], pak na tomto intervalu nabývá svého maxima i minima. ˇta 23 Je-li funkce f spojit´ Ve a na intervalu [a, b], pak je na tomto intervalu ohraniˇcená. ˇta 24 Necht’ funkce f je spojit´ Ve a na intervalu [a, b] a necht’ f (a) 6= f (b). Pak pro kaˇzdé ˇc´ıslo r takové, ˇze f (a) < r < f (b), existuje bod c ∈ (a, b) takový, ˇze f (c) = r. ˇta 25 (Bolzano) Necht’ funkce f je spojit´ Ve a na intervalu [a, b] a necht’ f (a) · f (b) < 0. Pak existuje bod c ∈ (a, b) takový, ˇze f (c) = 0. ˇ´ıklad 7 Ukaˇzme podle definice, ˇze funkce f (x) = x2 je spojitá. K tomu Pr pouˇzijeme ekvivalentn´ı δ definice: f (x) je spojitá v bodˇe c ⇔ ∀ > 0 ∃δ > 0 : [|x − c| < δ ⇒ |f (x) − f (c)| < ] UTB

40

Matematika 1


Je-li dáno > 0, pak existuje δ > 0 tak, ˇze |x2 − c2 | < pro vˇsechna x ∈ (c − δ, c + δ). Je-li δ libovolné ˇc´ıslo, pak pro vˇsechna x ∈ (c − δ, c + δ) plat´ı: |x − c| < δ |x + c| = |(x − c) + 2c| ≤ 2|c| + |x − c| < 2|c| + δ |x2 + c2 | = |x + c||x − c| < δ(2|c| + δ)

(4.1) (4.2) (4.3)

Chceme naj´ıt δ > 0 takové, aby platilo δ(2|c| + δ) ≤

(4.4)

|x2 − c2 | ≤

(4.5)

pak podle 4.3 je

pro vˇsechna x ∈ (c − δ, c + δ). Omezme se na hodnoty δ ≤ 1. Tedy pro vˇsechna 2|c| + δ ≤ 2|c| + 1, bude-li mimo to δ(2|c| + 1) ≤ , pak bude 4.4 splnˇeno. Staˇc´ı tedy abychom zvolili δ = max{1,

1 }. 2|c| + 1 ?

UTB

41

Matematika 1

UTB


42

Kapitola 5 Derivace funkce 5.1

Definice pojmu derivace

Definice 56 Bud’ f funkce definovaná na okol´ı O(x0 ) bodu x0 . Existuje-li limita f (x0 + h) − f (x0 ) , h→0 h

kt = lim

pak pˇr´ımku procházej´ıc´ı bodem P = (x0 , f (x0 )) se smˇernic´ı kt naz´ yváme teˇcnou ke grafu funkce f v bodˇe P . Jestliˇze f (x0 + h) − f (x0 ) lim = ∞ ( nebo − ∞), h→0 h pak vertikáln´ı pˇr´ımku x = x0 naz´ yváme teˇcnou ke grafu funkce f v bodˇe P . Jestliˇze f (x0 + h) − f (x0 ) lim h→0 h neexistuje a nenab´ yvá hodnot ∞ ani −∞, pak graf funkce f nem´ a teˇcnou pˇr´ımku v bodˇe P . Definice 57 Bud’ f funkce definovaná na okol´ı O(x0 ) bodu x0 . Existuje-li limita f (x0 + h) − f (x0 ) , h→0 h lim

pak ji naz´ yváme derivac´ı funkce f v bodˇe x0 a oznaˇcujeme ji f 0 (x0 ). Nav´ıc, je-li tato limita vlastn´ı, pak mluv´ıme o vlastn´ı derivaci, je-li nevlastn´ı, pak o nevlastn´ı derivaci.

Matematika 1

5.2 V´ ypoˇcet derivace funkce

Definice 58 Bud’ f funkce definovaná na pravém okol´ı Op (x0 ) bodu x0 . Existuje-li limita f (x0 + h) − f (x0 ) , lim+ h→0 h pak ji naz´ yváme derivac´ı funkce f zprava v bodˇe x0 a oznaˇcujeme ji f+0 (x0 ). Definice 59 Bud’ f funkce definovaná na levém okol´ı Ol (x0 ) bodu x0 . Existuje-li limita f (x0 + h) − f (x0 ) lim− , h→0 h pak ji naz´ yváme derivac´ı funkce f zleva v bodˇe x0 a oznaˇcujeme ji f−0 (x0 ). ˇta 26 Funkce f má v bodˇe x0 derivaci pr´ Ve avˇe tehdy, kdyˇz existuj´ı obˇe jednostranné derivace v bodˇe x0 a plat´ı f−0 (x0 ) = f+0 (x0 ). ˇta 27 Má-li funkce f v bodˇe x0 vlastn´ı derivaci f 0 (x0 ), pak je funkce f spojit´ Ve a v bodˇe x0 . Definice 60 Funkce f má derivaci na intervalu (a, b), kdyˇz má derivaci f 0 (x0 ) v kaˇzdém bodˇe x0 ∈ (a, b). Funkce f má derivaci na intervalu [a, b], kdyˇz má derivaci na intervalu (a, b) a existuj´ı f−0 (b), f+0 (a). Definice 61 Bud’ f funkce a M = {x ∈ D(f ) : ∃ f 0 (x)}. Pak funkce f 0 : M → R definována vztahem f 0 : x 7−→ f 0 (x) se naz´ yvá derivace funkce f na mnoˇzinˇe M.

5.2

V´ ypoˇ cet derivace funkce

ˇta 28 Necht’ funkce f a g maj´ı vlastn´ı derivaci v bodˇe x0 a bud’ c ∈ R. Pak Ve plat´ı 1. (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ), 2. (f − g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) − g 0 (x0 ), 3. (f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + g 0 (x0 ) · f (x0 ), 4. (c · f )0 (x0 ) = c · f 0 (x0 ), 0 f f 0 (x0 ) · g(x0 ) − g 0 (x0 ) · f (x0 ) 5. (x0 ) = , pokud g(x0 ) 6= 0. g g 2 (x0 ) UTB

44

Matematika 1

5.3

UTB

5.3 Derivace elementárn´ıch funkc´ı

Derivace element´ arn´ıch funkc´ı

f (x)

f 0 (x)

D(f 0 )

c

0

R

xn

n · xn−1

R pro n ∈ N

xn

n · xn−1

R \ {0} pro n ∈ Z ∧ n < 0

xn

n · xn−1

(0, ∞) pro n ∈ R

sin(x)

cos(x)

R

cos(x)

− sin(x)

R

tan(x)

1 cos2 (x)

{x ∈ R : cos(x) 6= 0}

cot(x)

− sin21(x)

{x ∈ R : sin(x) 6= 0}

arcsin(x)

√ 1 1−x2

(−1, 1)

arccos(x)

1 − √1−x 2

(−1, 1)

arctan(x)

1 1+x2

R

arccot(x)

1 − 1+x 2

R

ax

ax · ln(a)

R (a > 0, a 6= 1)

ex

ex

R

loga (x)

1 x·ln(a)

(0, ∞) (a > 0, a 6= 1)

ln(x)

1 x

(0, ∞) 45

Matematika 1

5.4

5.4 Derivace sloˇzené funkce

Derivace sloˇ zen´ e funkce

ˇta 29 Má-li funkce g derivaci v bodˇe x0 a funkce f derivaci v bodˇe g(x0 ), pak Ve sloˇzená funkce f ◦ g má derivaci v bodˇe x0 , pˇriˇcemˇz plat´ı ((f ◦ g)(x0 ))0 = f 0 (g(x0 )) · g 0 (x0 ). ˇ´ıklad 8 Spoˇctˇeme derivaci funkce F (x) = sin3 (2x/(x + 1)). Pak zajisté Pr F (x) = (f ◦ g ◦ h)(x), kde h(x) = 2x/(x + 1), g(y) = a f (z) = z 3 . sin(y) dg Podle Vˇety 29 máme: F 0 (x) = dF = df · dy · dh = dx dz z=sin(2x/(x+1)) dx y=2x/(x+1)

[3z 2 ]z=sin(2x/(x+1)) [cos(y)]y=2x/(x+1) [(2(x + 1) − 2x)/(x + 1)2 ] = 3 sin2 (2x/(x + ? 1)) cos(2x/(x + 1))(2(x + 1) − 2x)/(x + 1)2 .

5.5

Derivace inverzn´ı funkce

ˇta 30 Necht’ jsou dány dvˇe navz´ Ve ajem inverzn´ı funkce f a f −1 . Necht’ f −1 je spojit´ a na intervalu J a má ve vnitˇrn´ım bodˇe y0 intervalu J derivaci (f −1 )0 (y0 ) 6= 0. Pak inverzn´ı funkce f má derivaci v bodˇe x0 , kde x0 = f −1 (y0 ) a plat´ı f 0 (x0 ) =

1 (f −1 )0 (y

0)

, kde y0 = f (x0 ).

ˇ´ıklad 9 Spoˇctˇeme derivaci funkce f (x) = arcsin(x) (y = arcsin x). Inverze Pr je f −1 (y) = sin(y) (x = sin(y)). Podle Vˇety 30 je pak f 0 (x) = (arcsin(x))0 = p √ ? 1/(sin(y))0 = 1/ cos(y) = 1/ 1 − sin2 (y) = 1/ 1 − x2 pro x ∈ (−1, 1).

5.6

Diferenci´ al funkce

Definice 62 Pˇredpokládejme, ˇze existuje derivace f 0 (x0 ) funkce f v bodˇe x0 . Necht’ 4x = h je pˇr´ır˚ ustek argumentu. Funkce F (h) = f 0 (x0 )h promˇenné h ∈ R naz´ yváme diferenciál funkce f v bodˇe x0 . ´mka 6 Hodnoty diferenciálu oznaˇcujeme jako Pozna df (x0 ) = (df (x))x=x0 = (dy)x0 = f 0 (x0 )h = f 0 (x0 )4x.

5.7

Derivace vyˇ sˇ s´ıch ˇ r´ ad˚ u

Definice 63 Je-li f (n−1) , n ∈ N, n > 1, (n − 1) – n´ı derivace funkce s definiˇcn´ım oborem D(f (n−1) ) a jestliˇze pro vˇsechna x ∈ D(f (n) ) existuje derivace funkce f (n−1) , pak funkce UTB

46

Matematika 1

5.8 Základn´ı vˇety diferenciáln´ıho poˇctu

f (n) : x 7−→ f (n) (x), kde f (n) (x) = (f (n−1) (x))0 se naz´ yvá derivace n – tého ˇrádu funkce f . Definice 64 Má-li funkce f v bodˇe x0 ∈ D(f ) derivace aˇz do ˇrádu n, ˇr´ıkáme, ˇze funkce f je v bodˇe x0 n – krát diferencovateln´ a. ˇ´ıklad 10 Spoˇctˇeme derivace funkce f (x) = 4x5 − x4 + 3x3 + 2x − 5 aˇz do Pr ˇrádu 5. Pak f 0 (x) = 20x4 − 4x3 + 9x2 + 2, f 00 (x) = 80x3 − 12x2 + 18x, f 000 (x) = ? 240x2 − 24x + 18, f (IV ) (x) = 480x − 24 a f (V ) (x) = 480. Definice 65 Necht’ funkce f je v bodˇe x0 n – krát diferencovatelná, n ∈ N, potom n – tý diferenciál funkce f v bodˇe x0 je funkce promˇenné h: F (n) : x 7−→ dn f (x0 ), kde dn f (x0 ) = f (n) (x0 )hn .

5.8

Z´ akladn´ı vˇ ety diferenci´ aln´ıho poˇ ctu

ˇta 31 (Fermat) Nabývá-li funkce f na D(f ) v bodˇe x0 maxim´ Ve aln´ı nebo minim´ aln´ı hodnotu a má-li funkce f v bodˇe x0 derivaci, pak f 0 (x0 ) = 0. ˇta 32 (Rolle) Necht’ funkce f splˇ Ve nuje n´ asleduj´ıc´ı vlastnosti: 1. je spojitá na uzavˇreném intervalu [a, b], 2. m´ a vlastn´ı derivaci v kaˇzdém bodˇe otevˇreného intervalu (a, b), 3. plat´ı f (a) = f (b). Pak existuje alespoˇ n jeden bod c ∈ (a, b) takový, ˇze f 0 (c) = 0. ˇta 33 (Lagrange) Necht’ funkce f splˇ Ve nuje n´ asleduj´ıc´ı vlastnosti: 1. je spojitá na uzavˇreném intervalu [a, b], 2. m´ a vlastn´ı derivaci v kaˇzdém bodˇe otevˇreného intervalu (a, b). Pak existuje alespoˇ n jeden bod c ∈ (a, b) takový, ˇze f (b) − f (a) = f 0 (c). b−a ˇta 34 (Cauchy) Necht’ funkce f a g maj´ı n´ Ve asleduj´ıc´ı vlastnosti: UTB

47

Matematika 1


1. jsou spojité na uzavˇreném intervalu [a, b], 2. maj´ı vlastn´ı derivaci v kaˇzdém bodˇe otevˇreného intervalu (a, b) a g(x) 6= 0 pro kaˇzdé x ∈ (a, b). Pak existuje alespoˇ n jeden bod c ∈ (a, b) takový, ˇze f 0 (c) f (b) − f (a) = . 0 g (c) g(b) − g(a) ˇta 35 (L‘Hospital) Pˇredpokl´ Ve adejme, ˇze funkce f a g maj´ı derivace v nˇejakém okol´ı bodu x0 a plat´ı 1. limx→x0 f (x) = limx→x0 g(x) = 0 nebo, 2. limx→x0 |f (x)| = limx→x0 |g(x)| = ∞. Existuje-li limita (vlastn´ı nebo nevlastn´ı) limx→x0 limx→x0

f 0 (x) , pak existuje i limita g 0 (x)

f (x) a plat´ı g(x) lim

x→x0

f (x) f 0 (x) = lim 0 . g(x) x→x0 g (x)

ˇ´ıklad 11 Poˇc´ıtejme následuj´ıc´ı limity pomoc´ı Vˇety 35: Pr 1. limity typu ” 00 ”: limx→0

ex −e−x sin(x)

2. limity typu ” ∞ ”: limx→∞ ∞

= limx→0

x3 +5x−2 x2 −1

ex +ex cos(x)

= limx→∞

= 2,

3x2 +5 2x

3. limity typu ”0 · ∞”: limx→0+ x ln x = limx→0+ limx→0+ −x = 0,

= limx→∞ ln(x) 1/x

6x 2

= ∞,

= limx→0+

1/x −1/x2

=

4. limity typu ”∞ − ∞”: limx→0+ (1/ sin(x) − 1/x) = limx→0+ (x − sin(x))/(x sin(x)) = limx→0+ (1 − cos(x))/(sin(x) + x cos(x)) = limx→0+ sin(x)/(2 cos(x) − x sin(x)) = 0, 5. limity typu ”00 , ∞0 , 1∞ , 0∞ ”: limx→0+ ex ln(x) = e0 = 1.

limx→0+ xx

=

limx→0+ eln(x

x)

= ?

Definice 66 Taylorovým polynomem funkce f (x) v bodˇe a naz´ yváme polynom tvaru Pn (x) = f (a) + UTB

f 0 (a) f 00 (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n . 1! 2! n! 48

Matematika 1


ˇta 36 (Taylor) Necht’ x, a jsou dvˇe r˚ Ve uzn´ a ˇc´ısla, n ∈ Z, n ≥ 0. Oznaˇcme ’ I = [a, x]. Necht funkce f má na intervalu I spojité derivace do n – tého ˇr´ adu a na intervalu (a, x) existuje derivace ˇr´ adu (n + 1). Pak existuje bod c ∈ (a, x) takový, ˇze plat´ı

f (x) = f (a) +

f 0 (a) f 00 (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n + Rn+1 (x), 1! 2! n!

kde Rn+1 (x) =

f (n+1) (c) (x − a)n+1 , (n + 1)!

struˇcnˇe f (x) = Pn (x) + Rn+1 (x).

5.8.1

Line´ arn´ı homogenn´ı diferenci´ aln´ı rovnice

Definice 67 Obyˇcejnou diferenci´ aln´ı rovnic´ı rozum´ıme vztah mezi hledanou ˇ sen´ım tafunkc´ı y = f (x) a jej´ımi derivacemi y 0 = f 0 (x), y 00 = f 00 (x) . . . Reˇ kové rovnice rozum´ıme takovou funkci y = f (x), ˇze po dosazen´ı do rovnice f (x) za y, f 0 (x) za y 0 . . . je daná rovnice identicky splnˇena. ´mka 7 Snadno ovˇeˇr´ıme dosazen´ım, ˇze jak funkce y = ex tak funkce y = Pozna 2ex jsou ˇreˇsen´ım diferenciáln´ı rovnice y 0 − y = 0. Vid´ıme, ˇze y = Cex je ˇreˇsen´ım dané diferenciáln´ı rovnice, kde C ∈ R. Tedy, ˇreˇsen´ı nen´ı urˇceno jednoznaˇcnˇe. Mnoˇzinu vˇsech takov´ ychto ˇreˇsen´ı pak jednoduˇse naz´ yváme obecným ˇreˇsen´ım. Jeli zadána poˇcáteˇcn´ı podm´ınka, tj. podm´ınka, kterou má rovnice splˇ novat, pak daná podm´ınka ˇreˇsen´ı urˇcuje jednoznaˇcnˇe. Takovou poˇcáteˇcn´ı podm´ınkou m˚ uˇze b´ yt y(0) = 1, pak po dosazen´ı do obecného ˇreˇsen´ı dostáváme konkrétn´ı ˇreˇsen´ı y = ex (C = 1). Takové ˇreˇsen´ı, které splˇ nuje poˇcateˇcn´ı podnm´ınku, se naz´ yvá partikul´ arn´ı. Definice 68 Lineárn´ı homogenn´ı diferenci´ aln´ı rovnic´ı rozum´ıme takovou obyˇcejnou diferenciáln´ı rovnici, která má tvar y 00 + ay 0 + by = 0.

(5.1)

Charakteristickou rovnic´ı lineárn´ı homogenn´ı diferenciáln´ı rovnice rozum´ıme kvadratickou rovnici se stejn´ ymi koeficienty α2 + aα + b = 0. UTB

(5.2) 49

Matematika 1

5.9 Pr˚ ubˇeh funkce

ˇta 37 Necht’ je dána lineárn´ı homogenn´ı diferenci´ Ve aln´ı rovnice y 00 + ay 0 + by = 0.

(5.3)

Pak jej´ı charakteristická rovnice m´ a tvar α2 + aα + b = 0.

(5.4)

Pak plat´ı: 1. má-li rovnice 5.4 dva r˚ uzné re´ alné koˇreny α1 a α2 , pak obecným ˇreˇsen´ım rovnice 5.3 je funkce y = C1 eα1 x + C2 eα2 x , 2. má-li rovnice 5.4 dvojnásobný re´ alný koˇren α, pak obecným ˇreˇsen´ım rovnice 5.3 je funkce y = C1 eαx + C2 xeαx , 3. má-li rovnice 5.4 komplexn´ı koˇreny α1 = p + iq a α2 = p − iq (p, q ∈ R a q 6= 0), pak obecným ˇreˇsen´ım rovnice 5.3 je funkce y = C1 epx cos(qx) + C2 epx sin(qx). ˇ sme následuj´ıc´ı diferenciáln´ı rovnice pomoc´ı Vˇety 37: ˇ´ıklad 12 Reˇ Pr dif. rovnice

char. rovnice

koˇreny α1 = 1

y 00 − 3y 0 + 2y = 0 α2 − 3α + 2 = 0

ˇreˇsen´ı y = C1 ex + C2 e2x

α2 = 2 y 00 − 6y 0 + 9y = 0 α2 − 6α + 9 = 0 y 00 − 2y 0 + 2y = 0 α2 − 2α + 2 = 0

α=3 α1 = 1 + i

y = C1 e3x + C2 xe3x y = C1 ex cos(x) + C2 ex sin(x)

α2 = 1 − i ?

5.9

Pr˚ ubˇ eh funkce

Postup pˇri vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce f 1. Vlastnosti plynouc´ı z funkce f UTB

50

Matematika 1


(a) urˇcit: definiˇcn´ı obor, sudost × lichost, periodicita, ohraniˇcenost (b) urˇcit: body nespojitosti a limity v nich, limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru (c) urˇcit: v´ yznaˇcné body grafu, pˇredevˇs´ım pr˚ useˇc´ıky se souˇradnicov´ ymi osami (d) urˇcit: intervaly kladnosti a zápornosti funkˇcn´ıch hodnot 2. Vlastnosti plynouc´ı z funkce f 0 (a) urˇcit: ostré lokáln´ı extrémy (b) urˇcit: intervaly monotónnosti 3. Vlastnosti plynouc´ı z funkce f 00 (a) urˇcit: inflexn´ı body (b) urˇcit: intervaly ryz´ı konvexnosti a konkávnosti 4. Urˇcit asymptoty 5. Sestavit tabulku vlastnost´ı a naˇcrtnout graf

5.9.1

Monot´ onnost funkce

ˇta 38 Necht’ je funkce f (x) na intervalu I spojit´ Ve a a necht’ m´ a v kaˇzdém vnitˇrn´ım bodˇe tohoto intervalu derivaci. Jestliˇze v kaˇzdém vnitˇrn´ım bodˇe intervalu I je       0  f (x) > 0  rostouc´ı,                klesaj´ıc´ı, f 0 (x) < 0  pak f(x) je na intervalu I     0   neklesaj´ıc´ı, f (x) ≥ 0                nerostouc´ı. f 0 (x) ≤ 0 

5.9.2

Extr´ emy funkce

Definice 69 Funkce f (x) má v bodˇe x0 ∈ D(f ) lok´ aln´ı maximum (resp. lok´ aln´ı minimum), jestliˇze existuje O(x0 ) okol´ı bodu x0 , které celé leˇz´ı v D(f ), takové, ˇze pro kaˇzdé x z tohoto okol´ı plat´ı f (x) ≤ f (x0 ) (resp. f (x) ≥ f (x0 )). UTB

51

Matematika 1


Jestliˇze pro kaˇzdé x z prstencového okol´ı O◦ (x0 ) bodu x0 plat´ı, ˇze f (x) < f (x0 ) (resp. f (x) > f (x0 )), pak hovoˇr´ıme o ostrém lok´ aln´ım maximu (resp. ostrém lok´ aln´ım minimu) funkce f (x) v bodˇe x0 . Lokáln´ı minima a lokáln´ı maxima souhrnnˇe naz´ yváme lok´ aln´ı extrémy funkce f (x). Definice 70 Funkce f (x) má v bodˇe x0 ∈ D(f ) glob´ aln´ı maximum (resp. glob´ aln´ı minimum), jestliˇze pro kaˇzdé x z definiˇcn´ıho oboru D(f ) f (x) ≤ f (x0 ) (resp. f (x) ≥ f (x0 )). Jestliˇze pro kaˇzdé x z prstencového okol´ı D(f )◦ (x0 ) bodu x0 plat´ı, ˇze f (x) < f (x0 ) (resp. f (x) > f (x0 )), pak hovoˇr´ıme o ostrém glob´ aln´ım maximu (resp. ostrém glob´ aln´ım minimu) funkce f (x) v bodˇe x0 . Globáln´ı minima a globáln´ı maxima souhrnnˇe naz´ yváme glob´ aln´ı extrémy funkce f (x). ˇta 39 Má-li funkce f v bodˇe x0 lok´ Ve aln´ı extrém a m´ a v tomto bodˇe vlastn´ı 0 derivaci, pak f (x0 ) = 0. Definice 71 Bod x0 , ve kterém je f 0 (x0 ) = 0, naz´ yváme bod stacion´ arn´ı. Definice 72 Bod x0 se naz´ yvá singul´ arn´ı bod funkce f , jestliˇze plat´ı: 1. bod x0 náleˇz´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce f , ale nen´ı bodem koncov´ ym, a 2. f 0 (x0 ) neexistuje. ˇta 40 Pˇredpokládejme, ˇze funkce f je spojit´ Ve a v bodˇe x0 a ˇze x0 je bud’to stacion´ arn´ı nebo singulárn´ı bod funkce f . Pak 1. jestliˇze f 0 (x) < 0 na nˇejakém intervalu (x1 , x0 ) a f 0 (x) > 0 na nˇejakém intervalu (x0 , x2 ), pak funkce f m´ a v bodˇe x0 ostré lok´ aln´ı mimimum. 2. jestliˇze f 0 (x) > 0 na nˇejakém intervalu (x1 , x0 ) a f 0 (x) < 0 na nˇejakém intervalu (x0 , x2 ), pak funkce f m´ a v bodˇe x0 ostré lok´ aln´ı maximum. ˇta 41 Jestliˇze pro funkci f (x) v bodˇe x0 plat´ı Ve f 0 (x0 ) = 0 ∧ f 00 (x0 ) 6= 0, pak funkce f (x) má v bodˇe x0 ostrý lok´ aln´ı extrém, a to UTB

52

Matematika 1


1. ostré lokáln´ı maximum, je-li f 00 (x0 ) < 0, 2. ostré lokáln´ı minimum, je-li f 00 (x0 ) > 0. ˇta 42 Jestliˇze pro funkci f (x) v bodˇe x0 plat´ı Ve f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 ∧ f (n) (x0 ) 6= 0, kde n je sudé ˇc´ıslo, pak funkce f (x) m´ a v bodˇe x0 ostrý lok´ aln´ı extrém, a to 1. ostré lokáln´ı maximum, je-li f (n) (x0 ) < 0, 2. ostré lokáln´ı minimum, je-li f (n) (x0 ) > 0.

5.9.3

Funkce konvexn´ı a konk´ avn´ı

Definice 73 Pˇredpokládejme, ˇze je funkce f (x) spojitá na intervalu (a, b) a v kaˇzdém bodˇe tohoto intervalu má derivaci. Pak ˇr´ıkáme, ˇze funkce f (x) je v bodˇe x0 ryze konvexn´ı (resp. ryze konk´ avn´ı), jestliˇze existuje prstencové okol´ı O◦ (x0 ) bodu x0 takové, ˇze pro vˇsechna x z tohoto okol´ı plat´ı f (x) − (f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )) > 0, (resp. f (x) − (f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )) < 0). Definice 74 Funkce f (x) je ryze konvexn´ı (resp. ryze konk´ avn´ı) na otevˇreném intervalu (a, b), jestliˇze je ryze konvexn´ı (resp. ryze konk´ avn´ı) v kaˇzdém bodˇe tohoto intervalu. ˇta 43 Necht’ je funkce f (x) spojit´ Ve a na intervalu (a, b) a m´ a v kaˇzdém bodˇe 00 tohoto intervalu druhou derivaci f (x). Jestliˇze pro kaˇzdý bod tohoto intervalu plat´ı f 00 (x) > 0 (resp. f 00 (x) < 0), pak je funkce na intervalu (a, b) ryze konvexn´ı (resp. ryze konk´ avn´ı).

5.9.4

Inflexn´ı bod

Definice 75 Bod x0 je inflexn´ı bod funkce f (x), existuje-li levé prstencové okol´ı bodu x0 takové, ˇze je funkce f (x) na nˇem ryze konvexn´ı (resp. konkávn´ı), a existuje-li pravé prstencové okol´ı bodu x0 takové, ˇze je funkce f (x) na nˇem ryze konkávn´ı (resp. konvexn´ı). ˇta 44 Jestliˇze existuje f 00 (x0 ) a x0 je inflexn´ı bod funkce f (x), pak f 00 (x0 ) = 0. Ve UTB

53

Matematika 1


ˇta 45 Jestliˇze v bodˇe x0 plat´ı f 00 (x0 ) = 0 a funkce f 00 (x0 ) mˇen´ı v tomto bodˇe Ve x0 znaménko, pak je x0 inflexn´ı bod funkce f (x). ˇta 46 Má-li funkce f (x) tˇret´ı derivaci f 000 (x) a je-li Ve f 00 (x0 ) = 0 ∧ f 000 (x) 6= 0, pak bod x0 je inflexn´ı bod funkce f (x). ˇta 47 Jestliˇze pro funkci f (x) v bodˇe x0 plat´ı Ve f 00 (x0 ) = f 000 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 ∧ f (n) (x) 6= 0, kde n je liché ˇc´ıslo, pak bod x0 je inflexn´ı bod funkce f (x). 2

ˇ´ıklad 13 Vyˇsetˇreme pˇr˚ Pr ubˇeh funkce f (x) = e−x podle v´ yˇse popsaného algoritmu: 1. Vlastnosti plynouc´ı z funkce f 2

2

(a) D(f ) = R, f (x) = e−x = e−(−x) = f (−x) je sudá, nen´ı periodická, je ohraniˇcená a zˇrejmˇe H(f ) = (0, 1], protoˇze pro kaˇzdé x ∈ D(f ) je 0 < f (x) ≤ 1, (b) funkce je spojitá, limity v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru: 2 limx→±∞ e−x = 0, 2

(c) pr˚ useˇc´ıky se souˇradnicov´ ymi osami: e−x = 1 právˇe tehdy, kdyˇz x = 0, tedy f (0) = 1, (d) intervaly kladnosti a zápornosti funkˇcn´ıch hodnot     2    x ∈ D(f ) \ {0} e−x > 0          2 6∃ e−x < 0  ⇔          2    6∃ e−x = 0  2. Vlastnosti plynouc´ı z funkce f 0     2    −2xe−x > 0  x<0         2 −2xe−x < 0  ⇔  x > 0           −x2   x=0 −2xe =0 UTB

              

2

e−x je na intervalu I

    rostouc´ı,     klesaj´ıc´ı,        lok. max. 54

Matematika 1


3. Vlastnosti plynouc´ı z funkce f 00 2

−2e−x + 4x2 e−x

   >0     

2

−2e−x + 4x2 e−x < 0  ⇔     2 2 2 −x −x  =0  + 4x e −2e 2

2

 √ √    x ∈ (−∞, − 2/2) ∪ ( 2/2, ∞)     √ √ 2/2, 2/2) x ∈ (−     √    x = ± 2/2

       

e−x

2

      

    konvexn´ı,     je na intervalu I konkávn´ı,        inflexy.

4. Funkce je spojitá, proto nemá asymptoty bez smˇernice. Asymptota se smˇernic´ı je y = 0. 5. Sestavit tabulku vlastnost´ı a naˇcrtnout graf √ − 2/2

−∞

∞

2/2

+

|

+

|

+

|

+

f0

+↑

|

+↑

lok. maximum

−↓

|

−↓

f 00

+∪

inflex

−∩

|

−∩

inflex

+∩

f

0.

√

0

&0

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 -3

-2

-1

0

1

2

3

x

?

UTB

55

Matematika 1

UTB


56

Kapitola 6 Integr´ aln´ı poˇ cet funkce jedn´ e re´ aln´ e promˇ enn´ e 6.1

Primitivn´ı funkce

Definice 76 Necht’ I je otevˇren´ y interval ohraniˇcen´ y nebo neohraniˇcen´ y. Ne’ cht F (x) a f (x) jsou funkce definované v intervalu I. Funkce F (x) se naz´ yvá primitivn´ı funkce k funkci f (x) na intervalu I, jestliˇze plat´ı F 0 (x) = f (x). Lemma 1 Necht’ F (x) je primitivn´ı funkce k funkci f (x) na otevˇreném intervalu I. Pak pro kaˇzdé c ∈ R plat´ı, ˇze F (x) + c je také primitivn´ı funkce k funkci f (x) na I. Lemma 2 Necht’ F (x) a G(x) jsou primitivn´ı funkce k funkci f (x) na otevˇreném intervalu I. Pak existuje takové ˇc´ıslo c ∈ R, ˇze pro kaˇzdé x ∈ I plat´ı G(x) = F (x) + c. D˚ usledek 1 Necht’ F (x) je primitivn´ı funkce k funkci f (x) na otevˇreném intervalu I. Pak {F (x) + c : c ∈ R} je mnoˇzina vˇsech primitivn´ıch funkc´ı k funkci f (x) na I. ˇta 48 (O existenci primitivn´ı funkce) Kaˇzd´ Ve a spojit´ a funkce na intervalu I má na tomto intervalu funkci primitivn´ı.

Matematika 1

6.2

6.2 Pojem neurˇcitého integrálu

Pojem neurˇ cit´ eho integr´ alu

Definice 77 Primitivn´ı funkce k funkci f (x) se naz´ yvá neurˇcitý integr´ al funkce f (x) a znaˇc´ı se Z f (x)dx.

6.2.1

Tabulka z´ akladn´ıch integr´ al˚ u

1.

Z 0 dx = C,

2.

Z

xn dx =

3.

Z

4.

1 dx = ln |x| + C, x

Z

5.

Z

6.

xn+1 + C, kde n 6= −1, n+1

ex dx = ex + C,

ax dx =

ax + C, ln(a)

Z cos(x)dx = sin(x) + C,

7.

Z sin(x)dx = − cos(x) + C,

8.

9.

Z

Z

1 dx = tan(x) + C, cos2 (x) 1 dx = − cot(x) + C, sin (x) 2

10.

UTB

Z

1 dx = arctan(x) + C, 1 + x2 58

Matematika 1

6.3 Základn´ı integraˇcn´ı metody

11.

12.

Z

Z

√

√

1 x2 + a

13.

14.

1 dx = arcsin(x) + C, 1 − x2

Z

Z

6.3 6.3.1

Z

√

√

x2 + a| + C,

f 0 (x) dx = ln |f (x)| + C, f (x)

x2 15.

dx = ln |x +

1 1 x dx = arctan + C, +a a a

a2

1 x dx = arcsin + C, 2 a −x

Z´ akladn´ı integraˇ cn´ı metody Integrace rozkladem

ˇta 49 Existuje-li v intervalu I neurˇcitý integr´ Ve al funkce f (x), pak v tomto intervalu existuje i neurˇcitý integr´ al funkce c · f (x), kde c ∈ R, a plat´ı Z Z c · f (x)dx = c · f (x)dx. ˇta 50 Existuj´ı-li v intervalu I neurˇcité integr´ Ve aly funkc´ı f (x) a g(x), pak v tomto intervalu existuje i neurˇcitý integr´ al funkce f (x) + g(x) a plat´ı Z Z Z (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx. D˚ usledek 2 Existuj´ı-li v intervalu I neurˇcité integr´ aly funkc´ı fi (x) a jsou-li ci ∈ R, kde 1 ≤ i ≤ n, pak v tomto intervalu existuje i neurˇcitý integr´ al funkce c1 · f1 (x) + c2 · f2 (x) + . . . + cn · fn (x) a plat´ı Z (c1 · f1 (x) + c2 · f2 (x) + . . . + cn · fn (x))dx = Z Z Z c1 · f1 (x)dx + c2 · f2 (x)dx + . . . + cn · fn (x)dx. ˇ´ıklad 14 Spoˇctˇeme následuj´ıc´ı integrály. K v´ Pr ypoˇctu uˇzijeme jak tabulku základn´ıch integrál˚ u, tak pˇredchoz´ı vˇety. UTB

59

Matematika 1 R

1.


R R R (4x3 −2x+7/x)dx = 4 x3 dx−2 xdx+7 1/xdx = x4 −x2 +7 ln |x|+c,

R R R 2. R tan2 (x) + 2/(1 + x2 )dx = R(sin2 (x))/(cos2 (x))dx + 2 1/(1 + xR2 )dx = R 2 2 2 2 (x))dx + 2 1/(1 + x )dx = 1/(cos (x))dx − 1dx + R(1 − cos (x))/(cos 2 2 1/(1 + x )dx = tan(x) − x + 2arctan(x) + c. ?

6.3.2

Per partes

ˇta 51 (Integrace per partes) Necht’ funkce u(x) a v(x) maj´ı v intervalu Ve I spojité derivace u0 (x) a v 0 (x), pak na tomto intervalu I plat´ı Z

Z

0

u (x) · v(x)dx = u(x) · v(x) −

u(x) · v 0 (x)dx.

ˇ´ıklad 15 Spoˇctˇeme následuj´ıc´ı integrál: Pr R

3 x

x e dx

u0 (x) = ex

=

= v(x) = x

u0 (x) = ex

u(x) = ex

u(x) = ex

3

3 x

0

v (x) = 3x 2 x

R

x3 ex −

R

3x2 ex dx

x

u0 (x) = ex u(x) = ex

= x e −3[x e − 2xe dx] = v(x) = x2 v 0 (x) = 2x x3 ex − 3[x2 ex − 2(xex −

= v(x) = x

R

=

2

v 0 (x) = 1

ex dx)] = x3 ex − 3x2 ex + 6xex − 6ex + c.

?

Nˇ ekter´ e typy integr´ al˚ uˇ reˇ sen´ ych metodou per partes Necht’ P (x) znaˇc´ı nˇejak´ y polynom 1.

R

P (x)eax dx, poloˇz´ıme u0 (x) = eax a v(x) = P (x),

2.

R

P (x) sin(ax)dx, poloˇz´ıme u0 (x) = sin(ax) a v(x) = P (x),

3.

R

P (x) cos(ax)dx, poloˇz´ıme u0 (x) = cos(ax) a v(x) = P (x),

4.

R

P (x) arctan(ax)dx, poloˇz´ıme u0 (x) = P (x) a v(x) = arctan(ax),

5.

R

xk lnn (x)dx, kde k ∈ R a n ∈ N, poloˇz´ıme u0 (x) = xk a v(x) = lnn (x).

UTB

60

Matematika 1

6.3.3


Substituce

ˇta 52 (O integraci substituc´ı) Necht’ f (t) je spojit´ Ve a funkce na intervalu (α, β). Necht’ funkce g(x) má na intervalu (a, b) derivaci a pro kaˇzdé x ∈ (a, b) je R g(x) ∈ (α, β). Pak na intervalu (a, b) existuje integr´ al f (g(x))g 0 (x)dx a plat´ı Z Z 0 f (g(x))g (x)dx = f (t)dt = F (g(x)), kde F je primitivn´ı funkce k funkci f na intervalu (α, β). ˇ´ıklad 16 Spoˇctˇeme následuj´ıc´ı integrály: Pr

1.

R

3

4

1 + x4 = t

x /(1 + x )dx =

R = 1/4 1/tdt = 1/4 ln |t| + c =

4x3 dx = dt {zpˇetná substituce} = 1/4 ln |1 + x4 | + c,

2.

R

√ x/( 1 − x2 )dx =

x = sin(t) =

R

p (sin(t)/ 1 − sin2 (t)) cos(t)dt =

dx = cos(t)dt p sin(t)dt = − cos(t) + c = − 1 − sin2 (t) + c = {zpˇetná substituce} = √ − 1 − x2 + c.

R

?

6.3.4

Integrace racion´ aln´ıch funkc´ı

Polynomem (nˇekdy také mnohoˇclenem) promˇenné x naz´ yváme v´ yraz P (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a1 x1 + a0 , kde ai ∈ R pro kaˇzdé i. ˇ ıslo n se naz´ C´ yvá stupeˇ n polynomu P (x) a znaˇc´ıme ho St(P (x)) = n. Dva polynomy se rovnaj´ı, maj´ı-li stejn´ y stupeˇ n a stejné koeficienty u stejn´ ych mocnin promˇenné x (tj. P (x) = Q(x), kdyˇz St(P (x)) = St(Q(x)) a ai = bi pro kaˇzdé i, kde P (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a1 x1 + a0 a Q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + bm−2 xm−2 + . . . + b1 x1 + b0 ). ˇ ıslo k je koˇrenem polynomu P (x), jestliˇze P (k) = 0, jin´ C´ ymi slovy kdyˇz do daného polynomu za promˇennou dosad´ım takové ˇc´ıslo k, dostanu nulu. Mˇejme polynomy P (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a1 x1 + a0 a Q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + bm−2 xm−2 + . . . + b1 x1 + b0 a pˇredpokládejme, ˇze n = m + l. Polynomy um´ıme UTB

61

Matematika 1


sˇ c´ıtat: P (x) + Q(x) = an xn + . . . + an−l+1 xn−l+1 + (am + bm )xm + . . . + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 ) kde St(P (x) + Q(x)) = n, n´ asobit: P (x) · Q(x) = an bm xn+m + (an bm−1 + an−1 bm )xn+m−1 + . . . + (a1 b0 + a0 b1 )x + a0 b0 , kde St(P (x)·Q(x)) = nm (násob´ıme kaˇzd´ y ˇclen polynomu P (x) s kaˇzd´ ym ˇclenem polynomu Q(x)) dˇ elit: P (x) : Q(x) = D(x), kde St(P (x) : Q(x)) = n − m. Dˇelen´ı si vysvˇetl´ıme na pˇr´ıkladu: (4x4 + 3x3 − 2x2 + x − 1) : (x2 − 1) = 4x2 + 3x + 2 + −(4x4 − 4x2 ) 3x3 + 2x2 + x − 1 −(3x3 − 3x) 2x2 + 4x − 1 −(2x2 − 2) 4x + 1

4x+1 x2 −1

Proces dˇ elen´ı: zvol´ıme takov´ y v´ yraz, aby pˇri vynásoben´ı prvn´ıho ˇclenu dˇelitele dal prvn´ı ˇclen dˇelence. T´ımto v´ yrazem (4x2 ) vynásob´ıme dˇelitel (x2 − 1), nap´ıˇseme pod dˇelence, pˇrevrát´ıme znaménko (-(4x4 − 4x2 )) a seˇcteme s dˇelencem. (Odeˇcte se prvn´ı ˇclen polynomu dˇelence a sn´ıˇz´ı se tak jeho stupeˇ n.) Dostali jsme tak nov´ y 2 2 polynom (o stupeˇ n niˇzˇs´ı) (3x +2x +x−1), kter´ y dˇel´ıme u ´plnˇe stejn´ ym zp˚ usobem jako p˚ uvodn´ı dˇelenec. Proces opakujeme tak dlouho, dokud stupeˇ n posledn´ıho dˇelence nen´ı niˇzˇs´ı neˇz stupeˇ n dˇelitele. Pokud je posledn´ı dˇelenec nulov´ y, doˇslo k dˇelen´ı bez zbytku, pokud ne, máme zbytek a ten pˇrip´ıˇseme ve tvaru (posledn´ı . dˇelenec)/(dˇelitel), tedy v naˇsem pˇr´ıkladu 4x+1 x2 −1 Definice 78 Bud’te P (x) a Q(x) polynomy takové, ˇze St(P (x)) = n a St(Q(x)) = m. Pak funkce R(x) =

P (x) Q(x)

se naz´ yvá racionáln´ı lomenná. Je-li n ≥ m, pak se funkce R(x) naz´ yvá racion´ aln´ı neryze lomenná, je-li n < m, pak se funkce R(x) naz´ yvá racion´ aln´ı ryze lomenn´ a. UTB

62

Matematika 1


P (x) ˇta 53 Je-li Q(x) Ve zlomek, kde P (x) a Q(x) jsou polynomy takové, ˇze St(P (x)) < St(Q(x)) a Q(x) = an (x − α1 )k1 (x − α2 )k2 . . . (x2 − p1 x + q1 )l1 (x2 − p2 x + q2 )l2 . . .. Pak existuj´ı taková reáln´ a ˇc´ısla A1 , A2 , . . . , Ak1 ; . . . , C1 , C2 , . . . , Cl1 ; . . . , D1 , D2 , . . . , Dl1 . . . (která jsou jednoznaˇcnˇe urˇcena), ˇze pro vˇsechna x r˚ uzn´ a od koˇren˚ u polynomu Q(x) plat´ı

A1 A2 P (x) = + + ... Q(x) x − α1 (x − α1 )2 +

Ak 1 (x − α1 )k1

+ B2 B1 + + ... x − α2 (x − α2 )2

+

Bk2 (x − α2 )k2

+ .. . C2 x + D2 C1 x + D1 + 2 + ... + p1 x + q1 (x + p1 x + q1 )2

x2 +

Cl1 x + Dl1 + p1 x + q1 )l1

(x2

+ E2 x + F2 E1 x + F1 + 2 + ... + p2 x + q2 (x + p2 x + q2 )2

x2 +

El2 x + Fl2 (x2 + p2 x + q2 )l2

+ .. .

.

To znamená, ˇze pro reáln´ y koˇren α1 s násobnost´ı k1 je tˇreba v rozkladu vyˇcerpat vˇsechny zlomky, v jejichˇz jmenovatel´ıch jsou po ˇradˇe prvn´ı, druhá, ..., k1 n´ı mocnina v´ yrazu x−α1 . Je-li α1 jednoduch´ y koˇren, pak mu v rozkladu odpov´ıdá jedin´ y zlomek. Obdobnˇe je to u ostatn´ıch koˇren˚ u a také u v´ yrazu x2 + px + q, kde v ˇcitateli je nutno psát v´ yraz tvaru Cx + D, nikoliv jen konstanty. ˇta 54 Necht’ P (x) a Q(x) jsou takové polynomy, ˇze St(P (x)) > St(Q(x)) a Ve P (x) . Pak existuj´ı polynomy S(x) a T (x) takové, ˇze pro vˇsechna komplexn´ı R(x) = Q(x) x, jeˇz nejsou koˇreny polynomu Q(x), plat´ı R(x) = S(x) +

T (x) , Q(x)

pˇritom St(T (x)) < St(Q(x)).

UTB

63

Matematika 1


ˇ´ıklad 17 Rozloˇzme následuj´ıc´ı ryze lomennou funkci: Pr 4x2 + 3x + 2 . x2 (x + 1) Postupujme podle Vˇety 53. Tedy 4x2 + 3x + 2 A B C = + 2+ , 2 x (x + 1) x x x+1 4x2 + 3x + 2 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx2 , porovnán´ım koeficient˚ u u stejn´ ych mocnin x na levé a pravé stranˇe dostáváme: x0 : 2 = B, x1 : 3 = A + B, x2 : 4 = A + C. Máme tedy: 4x2 + 3x + 2 1 2 3 = + 2+ . 1 x (x + 1) x x x+1 ? ˇ´ıklad 18 Spoˇctˇeme integrál funkce pˇr´ıkladu 17. Tedy Pr R 2 R 3 dx + x+1 dx = ln |x| − 2x−1 + ln |x + 1| + c. x2 Integrace goniometrick´ ych funkc´ı typu

R

R

4x2 +3x+2 dx x1 (x+1)

=

R

1 dx+ x

?

R(sin(x), cos(x))dx

Definice 79 Souˇcet koneˇcného poˇctu sˇc´ıtanc˚ u tvaru cum v n , kde c ∈ R, m, n ∈ N, se naz´ yvá polynom dvou promˇenných a znaˇc´ı se P (u, v). Funkce R(u, v) =

P (u, v) Q(u, v)

se naz´ yvá racionáln´ı lomená dvou promˇenných.

6.3.5

Integrace nˇ ekter´ ych dalˇ s´ıch funkc´ı

Integrály typu 1.

Z

p1

pn

R(x, x q1 , . . . , x qn )dx, UTB

64

Matematika 1

6.4 Definice urˇcitého integrálu

2.

Z R x, 3.

ax + b cx + d

Z R

4.

Z

1

,...,

ax + b cx + d

P (x) √ 2 ax + bx + c

pqn ! n

dx,

dx,

R(f (u)u0 )dx, kde f je algebraická a u transcendentn´ı funkce,

5.

6.4

pq1

Z

R(eax )dx.

Definice urˇ cit´ eho integr´ alu

Definice 80 Bud’te a < b reálná ˇc´ısla. Dˇelen´ım intervalu [a, b] rozum´ıme koneˇcnou mnoˇzinu D = {x0 , x1 , . . . , xn } reáln´ ych ˇc´ısel takovou, ˇze a = x0 < x1 < . . . < xn = b. ˇ ısla xi naz´ C´ yváme dˇel´ıc´ı body, intervaly [xi , xi+1 ] dˇel´ıc´ı intervaly dˇelen´ı D. ˇ C´ıslo ν(D) = max{|xi − xi+1 | : i = 1, 2, . . . n} naz´ yváme normou dˇelen´ı D. Posloupnost dˇelen´ı {Dn }∞ se naz´ y v´ a nulov´ a , jestliˇ z e lim n→∞ ν(Dn ) = 0. n=o Definice 81 Bud’ D = {x0 , x1 , . . . , xn } dˇelen´ı intervalu [a, b] a necht’ ξi ∈ [xi , xi+1 ] pro i = 1, 2, . . . n. Mnoˇzinu Ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . ξn } nazveme výbˇerem reprezentant˚ u dˇel´ıc´ıch interval˚ u dˇelen´ı D. Definice 82 Bud’ f ohraniˇcená funkce na intervalu [a, b], Dn dˇelen´ı intervalu [a, b] a Ξn pˇr´ısluˇsn´ y v´ ybˇer reprezentant˚ u. Klademe sn =

X

(Dn , f, Ξn ) =

n X

f (ξi )(xi − xi−1 ).

i=1

ˇ ıslo sn naz´ C´ yváme integráln´ım souˇctem, nebo také Riemannovým souˇctem pˇr´ısluˇsn´ ym k funkci f , zvolenému dˇelen´ı Dn a v´ ybˇeru reprezentant˚ u Ξn . ˇ Definice 83 Bud’ f funkce na intervalu [a, b] a P ˇc´ıslo. Rekneme, ˇze funkce f má na intervalu [a, b] (Riemann˚ uv) urˇcitý integr´ al roven P , jestliˇze pro kaˇzdou nulovou posloupnost dˇelen´ı {Dn }∞ zdou posloupnost odn=o intervalu [a, b] a kaˇ pov´ıdaj´ıc´ıch v´ ybˇer˚ u reprezentant˚ u {Ξn }∞ plat´ ı n=o X lim (Dn f, Ξn ) = P. n→∞

UTB

65

Matematika 1


Má-li funkce f na intervalu [a, b] (Riemann˚ uv) urˇcit´ y integrál, pak ˇr´ıkáme, ˇze je v tomto intervalu (Riemannovsky) integrovateln´ a. (Riemann˚ uv) urˇcit´ y integrál funkce f na intervalu [a, b] znaˇc´ıme b

Z

f (x)dx a

a ˇcteme (Riemann˚ uv) urˇcit´ y integrál v mez´ıch od a do b.

6.4.1

V´ ypoˇ cet urˇ cit´ eho integr´ alu

ˇta 55 Bud’ f integrovateln´ Ve a na intervalu [a, b]. Pro kaˇzdé x ∈ [a, b] poloˇzme Z x f (t)dt. F (x) = a

Pak funkce F je uniformnˇe spojit´ a na intervalu [a, b]. Nav´ıc, jestliˇze je funkce f spojit´ a v bodˇe c ∈ [a, b], pak F je diferencovateln´ a v bodˇe c a plat´ı F 0 (c) = f (c). ˇta 56 (Leibnitz - Newtonova formule) Bud’ f integrovateln´ Ve a na inter’ valu [a, b]. Necht F je na intervalu [a, b] spojit´ a a na (a, b) primitivn´ı k funkci f . Pak Z b

f (x)dx = F (b) − F (a). a

ˇ´ıklad 19 Spoˇctˇeme následuj´ıc´ı urˇcit´ Pr y integrál: 1/4 = 225/4.

6.4.2

R4 1

x3 dx = [x4 /4]41 = 64 − ?

Z´ akladn´ı vlastnosti urˇ cit´ eho integr´ alu

ˇta 57 (Aditivita urc ˇite ´ho integra ´lu) Necht’ f (x) je spojit´ Ve a na intervalu I, b, c, d ∈ I. Pak plat´ı Z

d

Z f (x)dx =

b

c

Z f (x)dx +

b

d

f (x)dx. c

ˇta 58 Bud’te funkce f (x) a g(x) spojité na intervalu I a necht’ a, b ∈ I; Ve c1 , c2 ∈ R. Pak plat´ı Z

b

Z (c1 f (x) + c2 g(x))dx = c1

a

UTB

b

Z f (x)dx + c2

a

b

g(x)dx. a

66

Matematika 1


D˚ usledek 3 Necht’ funkce fi (x) jsou spojité na intervalu I a necht’ a, b ∈ I; ci ∈ R, kde i = 1, . . . n. Pak plat´ı Z b (c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x))dx = a b

Z

Z f1 (x)dx + c2

c1 a

b

Z

b

f2 (x)dx + . . . + cn a

fn (x)dx. a

ˇta 59 Bud’ funkce f (x) spojit´ Ve a a nez´ aporn´ a na intervalu [a, b]. Pak plat´ı Z b f (x)dx ≥ 0. a

ˇta 60 Bud’te funkce f (x) a g(x) spojité na intervalu [a, b] a necht’ pro kaˇzdé Ve x ∈ [a, b] plat´ı f (x) ≤ g(x). Pak plat´ı Z b Z b f (x)dx ≤ g(x)dx. a

a

ˇta 61 (O str ˇedn´ı hodnote ˇ integra ´ln´ıho poc ˇtu) Bud’ funkce Ve spojit´ a na intervalu [a, b], pak existuje ˇc´ıslo c ∈ (a, b) takové, ˇze plat´ı Z b f (x)dx = f (c)(b − a).

f (x)

a

6.4.3

Integraˇ cn´ı metody per partes a substituce pro urˇ cit´ e integr´ aly

ˇta 62 Necht’ maj´ı funkce u(x) a v(x) na intervalu [a, b] spojité derivace u0 (x) Ve a v 0 (x). Pak je Z b Z b 0 b u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]a − u(x)v 0 (x)dx. a

a

ˇ´ıklad Pr ıc´ı integrál:R R π 2 20 Spoˇctˇeme následuj´ π 2 π x sin(x)dx = [−x cos(x)] 0 + 2 0 x cos(x)dx 0 2{[x sin(x)]π0 + [cos(x)]π0 } = π 2 − 4.

=

[−x2 cos(x)]π0 + ?

ˇta 63 (O substituci urc ˇite ´ho integra ´lu) Necht’ f (t) je spojit´ Ve a funkce na intervalu (α, β). Necht’ funkce g(x) m´ a na intervalu (a, b) spojitou derivaci a pro kaˇzdé x ∈ (a, b) je g(x) ∈ (α, β). Poloˇzme g(a) = α a g(b) = β. Pak plat´ı Z b Z β 0 f (g(x))g (x)dx = f (t)dt = F (β) − F (α). a

UTB

α

67

Matematika 1

6.5 Nevlastn´ı integrál

ˇ´ıklad 21 Spoˇctˇeme následuj´ıc´ı integrály: Pr

1.

R2 1

2 3/2

x/(1 + x )

1 + x2 = t2 { pˇrepoˇc´ıtáme meze }

dx = 2xdx = 2tdt

x t=

2.

R π/2 π/6

√

1

x2 + 1

√

2

2 √

=

R √5 √

2

√

1/t2 dt = [−1/t]√52 =

√

2−

√

5,

5

cos3 (x)/ sin6 (x)dx =

sin(x) = t { pˇrepoˇc´ıtáme meze } cos(x)dx = dt

x

π/6 π/2 =

t = sin(x) 1/2

R1 1/2

(1 − t2 )/t6 dt = [−1/(5t5 ) + 1/(3t3 )]11/2 =

1

58/15. ?

6.5 6.5.1

Nevlastn´ı integr´ al Nevlastn´ı integr´ al v neomezen´ em intervalu

Definice 84 Necht’ je funkce definovaná na intervalu [a, ∞) a necht’ je integrovatelná Rna intervalu [a, t) pro kaˇzdé a < t ∈ R. Necht’ existuje vlastn´ı limita t limt→∞ a f (x)dx. Pak tuto limitu naz´ yváme nevlastn´ım integr´ alem funkce f (x) od a do ∞ a oznaˇcujeme jej Z ∞ f (x)dx. a

R∞

ˇ ıkáme také, ˇze integrál R´ f (x)dx existuje nebo konverguje, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe a neexistuje nebo nekonverguje.

6.5.2

Nevlastn´ı integr´ al neohraniˇ cen´ e ohraniˇ cen´ em intervalu

funkce

na

Definice 85 Necht’ a, b ∈ R a a < b. Necht’ f (x) je funkce definovaná na interˇ ıkáme, ˇze b je singul´ valu [a, b). R´ arn´ı bod funkce f (x), jestliˇze f (x) nen´ı ohraniˇcená UTB

68

Matematika 1

6.6 Aplikace urˇcitého integrálu v geometrii

na intervalu [a, b), ale pro kaˇzdé y ∈ R takové, ˇze a < y < b, je f (x) integrovatelná na intervalu [a, y]. Definice 86 Necht’ f (x) je funkce definovaná na intervaluR [a, b) a necht’ b je t jej´ım singulárn´ım bodem. Existuje-li vlastn´ı limita limt→b− a f (x)dx, pak tuto limitu naz´ yváme nevlastn´ı integrál funkce f (x) od a do b a znaˇc´ıme ji Z b f (x)dx. a

R ˇ ıkáme také, ˇze integrál b f (x)dx existuje nebo konverguje, v opaˇcném R´ a pˇr´ıpadˇe ˇr´ıkáme, ˇze neexistuje nebo nekonverguje.

6.6

Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu v geometrii

1. Obsah rovinného obrazce (a) Kartézské souˇradnice Bud’ f (x) nezáporná a integrovatelná funkce definovaná na intervalu [a, b], pak obsah rovinného obrazce omezeného touto kˇrivkou a osou x na intervalu [a, b] je dán vzorcem b

Z P =

f (x)dx. a

(b) Parametrické rovnice Bud’ dána kˇrivka parametrick´ ymi rovnicemi     x = ϕ(t)    y = ψ(t) pro t ∈ [α, β], pak obsah rovinného obrazce omezeného touto kˇrivkou a osou x na intervalu [a, b] je dán vzorcem Z

β

P =

ϕ0 (t)ψ(t)dt.

α

ˇ´ıklad 22 Spoˇctˇeme obsah rovinného obrazce omezeného kˇrivkami Pr √ f (x) = xn a g(x) = n x, kde n ≥ 1. Snadno vid´ıme, ˇze f (x) = g(x) právˇe tehdy, kdyˇz x = 0 neboR x √ = 1. Spoˇ ych Rc1´ıtali jsem tedy body, ve kter´ 1 se funkce prot´ınaj´ı. Pak P = 0 n xdx − 0 xn dx = [x(n+1)/n (n/(n + 1))]10 − ? [xn+1 (1/(n + 1))]10 = (n − 1)/(n + 1). UTB

69

Matematika 1


2. Délka rovinné kˇrivky (a) Kartézské souˇradnice Bud’ f (x) funkce definovaná na intervalu [a, b], maj´ıc´ı zde spojitou derivaci, pak délka kˇrivky grafu funkce je daná vzorcem Z bp

1 + (f 0 (x))2 dx.

L=

a

(b) Parametrické rovnice Bud’ dána kˇrivka parametrick´ ymi rovnicemi     x = ϕ(t)    y = ψ(t) pro t ∈ [α, β], pak délka rovinné kˇrivky je dána vzorcem Z

β

p

L=

(ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 dt.

α

ˇ´ıklad 23 Spoˇctˇeme délku kruˇznice x2 + y 2 = r2 . Poˇ Pr √c´ıtejme ji r 2 − x2 a jako ˇctyˇrnásobek horn´ı pravé ˇctvrtiny. Tedy f (x) = Rrp meze budou od 0 do r. Máme Or = 4 0 1 + (x2 )/(r2 − x2 )dx = x

x = r sin(t)

0

r

{ pˇrepoˇc´ıtáme meze }

=

dx = r cos(t)dt t = arcsin(x/r) 0 π/2 p R π/2 π/2 4 0 r 1/(r2 − r2 sin2 (t))r cos(t)dx = 4r[t]0 = 2πr.

?

3. Objem tˇelesa (a) Kartézské souˇradnice Bud’ f (x) nezáporná funkce definovaná na intervalu [a, b], pak objem rotaˇcn´ıho tˇelesa vzniklého rotac´ı funkce f (x) kolem osy x je dán vzorcem Z V =π

b

f (x)2 dx.

a

UTB

70

Matematika 1


(b) Parametrické rovnice Bud’ dána kˇrivka parametrick´ ymi rovnicemi     x = ϕ(t)    y = ψ(t) pro t ∈ [α, β], kde ϕ(t) a ψ(t) jsou spojité, pak objem rotaˇcn´ıho tˇelesa vzniklého rotac´ı této kˇrivky kolem osy x je dán vzorcem Z

β

V =π

(ψ(t))2 ϕ0 (t)dt.

α

ˇ´ıklad 24 Spoˇctˇeme objem Pr rotaˇcn´ıho elipsoidu x2 /a2 + Ry 2 /b2 = 1. p a Daná funkce jest f (x) = b2 (1 − x2 /a2 ). Objem je V = π −a b2 (1 − ? x2 /a2 )dx = πb2 [x − x3 /(3a2 )]a−a = 4πb2 a/3. 4. Pl´ aˇst’ rotaˇcn´ıho tˇelesa (a) Kartézské souˇradnice Bud’ f (x) spojitá, nezáporná funkce definovaná na intervalu [a, b] se spojitou derivac´ı na [a, b], pak povrch pláˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa vzniklého rotac´ı funkce f (x) kolem osy x je dán vzorcem Z S = 2π

b

p f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx.

a

(b) Parametrické rovnice Bud’ dána kˇrivka parametrick´ ymi rovnicemi     x = ϕ(t)    y = ψ(t) pro t ∈ [α, β], pak povrch pláˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa vzniklého rotac´ı této kˇrivky kolem osy x je dán vzorcem Z

β

S = 2π

p ϕ(t) (ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 dt.

α

ˇ´ıklad Pr √ 25 Spoˇctˇeme povrch koule.0 Daná funkce √ má tady tvar 2 2 2 2 f (x)R =√ r − xpa jej´ı derivace jest f (x) = R r−x/ r − x . rPak S = r 2 2 2 2 2 2π2 0 r − x 1 + x /(r − x )dx = 4π 0 rdx = 4πr[x]0 = 4πr2 . ? UTB

71

Matematika 1

6.7

6.7 Aplikace urˇcitého integrálu ve fyzice

Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu ve fyzice

1. Tˇeˇziˇstˇe kˇrivky Bud’ f (x) spojitá funkce definovaná na intervalu [a, b] se spojitou derivac´ı na [a, b]. Necht’ je tato kˇrivka pokryta specifickou hodnotou s(x) v bodˇe (x, f (x)). Necht’ je s(x) spojitá na intervalu [a, b]. Pak celková hmota kˇrivky je daná vzorcem b

Z

p s(x) 1 + (f 0 (x))2 dx.

H= a

Statické momenty vzhledem k dan´ ym osám jsou dány vzorci b

Z

p s(x)f (x) 1 + f 0 (x)dx,

Sx = a

Z Sy =

b

s(x)x

p

1 + (f 0 (x))2 dx.

a

Tˇeˇziˇstˇe kˇrivky je T = (m, n), kde m =

Sy Sx an= . H H

2. Tˇeˇziˇstˇe rovinného obrazce Necht’ je dán rovinn´ y obrazec omezen´ y osou x, grafem nezáporné funkce f (x) a pˇr´ımkami dan´ ymi hranicemi intervalu [a, b]. Pˇredpokládejme, ˇze je tento obrazec pokryt specifickou hodnotou s(x) v bodˇe (x, f (x)). Necht’ je s(x) spojitá na intervalu [a, b]. Pak celková hmota a statické momenty jsou vzhledem k souˇradn´ ym osám dány vzorci b

Z H=

s(x)f (x)dx, a b

1 Sx = 2

Z

1 Sy = 2

Z

s(x)f 2 (x)dx,

a b

s(x)f (x)dx. a

Tˇeˇziˇstˇe rovinného obrazce je T = (m, n), kde m = UTB

Sy Sx an= . H H 72

Matematika 1

6.8

6.8 Pˇribliˇzn´ y v´ ypoˇcet urˇcitého integrálu

Pˇ ribliˇ zn´ y v´ ypoˇ cet urˇ cit´ eho integr´ alu

Bud’ f (x) funkce spojitá a nezáporná intervalu [a, b]. Rozdˇelme interval [a, b] na n podinterval˚ u délky h=

b−a , n

a oznaˇcme x1 = a + h, x2 = a + 2h, . . . , xn−1 = a + (n − 1)h.

6.8.1

Obd´ eln´ıkov´ a metoda

Daná metoda dává proximaci: Z b f (x)dx ≈ h(f (a) + f (x1 ) + . . . + f (xn−1 )). a

6.8.2

Lichobˇ eˇ zn´ıkov´ a metoda

Daná metoda dává proximaci: Z b f (b) f (a) + f (x1 ) + . . . + f (xn−1 ) + . f (x)dx ≈ h 2 2 a

6.8.3

Simpsonova metoda

Pro n je sudé dává daná metoda proximaci: b

Z

f (x)dx ≈ a

b−a (f (a) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + . . . + 4f (xn−1 ) + f (b)). 3n

ˇ´ıklad 26 Pomoc´ı pˇredeˇsl´ Pr ych metod spoˇctˇeme integrál 4, pak h = (3 − 1)/(4) = 1/2:

R3 1

x2 dx. Poloˇzme n =

R3

x2 dx ≈ 1/2 (12 + 1, 52 + 22 + 2, 52 + 32 ) = 11, 25, R3 2. Lichobˇeˇzn´ıková metoda: 1 x2 dx ≈ 1/2 (12 /2 + 1, 52 + 22 + 2, 52 + 32 /2) = 8, 75, R3 3. Simpsonova metoda: 1 x2 dx ≈ 2/12 (12 +4·1, 52 +2·22 +4·2, 52 +32 ) = 8, 67.

1. Obdéln´ıková metoda:

1

?

UTB

73

Matematika 1

UTB

6.8 Pˇribliˇzn´ y v´ ypoˇcet urˇcitého integrálu

74

Literatura [Adams]

Adams, R. A. Single-Variable Calculus. Addison-Wesley Publishers Limited, 1983.

[Dˇemidoviˇc] Dˇemidoviˇc, B. P. - Sb´ırka u ´loh a cviˇcen´ı z matematické analýzy. Fragment, Praha, 2003. [Jarn´ık1]

Jarn´ık, V. - Diferenciáln´ı poˇcet I. Academia, Praha, 1984.

[Jarn´ık2]

Jarn´ık, V. - Integráln´ı poˇcet I. Academia, Praha, 1984.

[Kˇrenek & Ostravsk´ y] Kˇrenek, J., Ostravsk´ y, J. - Diferenci´ aln´ı a integr´ aln´ı poˇcet funkce jedné promˇenné s aplikacemi v ekonomii. UTB, Zl´ın, 2001 (skripta). [Málek]

Málek, M. - Matematick´ a analýza I. Pomocn´ y uˇcebn´ı text, Slezská univerzita v Opavˇe, Opava, www.math.slu.cz.

[Rektorys1] Rektorys, K. a spolupracovn´ıci - Pˇrehled uˇzité matematiky. SNTL Nakladatelstv´ı technické literatury, 1981. [Rektorys2] Rektorys, K. - Co je a k ˇcemu je vyˇsˇs´ı matematika. Academia, Praha, 2001. [Sm´ıtal]

ˇ at T., Sm´ıtal J. - Teoria mnoˇz´ın. SNTL Alfa, Bratislava, 1986. Sal´

2007. Matematika 1. pro studenty fakulty Technologické. Marek Lampart tohoto textu

Recommend Documents