2 Teorie radiokomunikačních signálů ( část A – deterministické signálý)
2.1 MNOŽINY SIGNÁLŮ 2.1.1 Základní pojmy Uspořádaná dvojice Uspořádaná dvojice je pár prvků dvou množin. Např.: [t0, x(t0)] Relace Relace je množina uspořádaných dvojic. B
A
Není vzorem
Množina vzorů
Množina obrazů
Obr. 1. Relace Kartézský součin A x B Je to množina všech uspořádaných dvojic, kde první složkou dvojice je prvek množiny A a druhou složkou je prvek množiny B. Zobrazení Zobrazení z množiny A do množiny B je relace R ⊂ A x B s vlastností: každý prvek x ∈ A je prvkem nanejvýš jedné uspořádané dvojice (x, y) ∈ R .
Prosté zobrazení Prosté zobrazení R je zobrazení z A do B ∧ R je zobrazení z B do A . R je inverzní relace. Rozklad množiny Výchozí množinu S rozložíme na podmnožiny Si tak, že každý prvek S je právě v jedné podmnožině (třídě). Ekvivalence na množině Relace R v množině A se nazývá ekvivalence, jestliže je současně reflexivní, symetrická a tranzitivní ( x ~x,
x ~y ⇒ y ~ x,
x ~y ∧ y ~ z ⇒ x ~ z ).
Zápis množiny Rovnost S = {x; P} označuje, že S je množina všech x, které mají vlastnost P . 1
2.1.2 Signál Norbert Wiener blíže určil pojmy informace a signál a souvislost mezi nimi. My se budeme opírat o matematickou definici signálu [5]. Signál (jednorozměrný) nejčastěji znázorňujeme a vyjadřujeme jeho časovým průběhem, tj. závislostí jeho hodnot na čase. Signály dělíme na signály se spojitým časem (zobrazení z množiny R) a signály s diskrétním časem (zobrazení z množiny Z). Signály číslicové jsou zobrazením z množiny Z do jisté konečné podmnožiny množiny Z. Jsou to posloupnosti čísel vyjádřených konečným počtem číslic.
x(t0)
0
t0
t
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
n
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
n
Obr. 2. Signál se spojitým časem, signál s diskrétním časem a signál číslicový. Naším cílem je najít mnohorozměrné prostory, ve kterých bude každý konkrétní signál zobrazen jediným bodem. Prvním krokem bude chápání signálu jako prvku jisté množiny signálů.
2.1.3 Množiny signálů Jako příklady si uvedeme několik množin signálů s diskrétním časem. 1. Množina harmonických signálů (a konstantní posloupnosti) S H = {x; ∀n ∈ Z : x(n) = Re[exp α + j (ϕ + ωn) ]}, α , ϕ , ω ∈ R
(1)
2. Množina periodických signálů S p ( N ) = {x; ∀n ∈ Z : x(n + N ) = x(n)}, N ≥ 1, N ∈ Z
(2)
3. Množina omezených signálů
2
S L ( N ) = {x; ∀n ∈ Z :| x(n) |≤ K }, K > 0
(3)
4. Množina signálů s konečnou energií ∞ ⎧ ⎫ S E ( K ) = ⎨ x; ∑ x 2 (n) ≤ K ⎬, K > 0 (4) ⎩ n=−∞ ⎭ Poznámka: Pojem energie zde nutno chápat ne ve fyzikálním, ale v přeneseném slova smyslu. Obdobné je to i s pojmem výkon a dalšími pojmy u signálů s diskrétním časem. 5. Množina signálů s konečnou dobou trvání (posloupnosti délky N) S D ( N ) = {x; ∀n ∉ 0, N − 1 : x(n) = 0}, N ≥ 1, N ∈ Z 6. Množina signálů s (periodicky) omezeným spektrem ∞ ⎧ ⎫ S B (W ) = ⎨ x; ∀ | ω |> W , ∀ | ω |< π , W < π : X (e jω ) = ∑ x(n) exp(− jω n) = 0⎬ n = −∞ ⎩ ⎭
(5)
(6)
Obdobné množiny signálů je možné zavést i pro signály se spojitým časem [1]. Zavedení těchto množin je snažší. Význam těchto množin je zřejmější než v případě diskrétního času. 7. Množina signálů s omezenou dobou trvání SD(T) ={x ; ∀ |t|>T: x(t) = 0}, T > 0. 8. Množina signálů s omezeným spektrem +∞
SB(Ω) ={x ; ∀ |ω| > Ω:
∫ x(t )e
− jωt
dt = 0}, Ω > 0.
−∞
9. Množina signálů s omezenou energií +∞
SE(K) ={x ; ∀ t ∈ R:
∫x
2
(t )dt < K}, K > 0.
−∞
Zobecnění množin signálů s konečnou energií Prostor signálů s konečnou energii se označuje symbolem L2 , jde-li o signály se spojitým časem a l2 , jde-li o signály s diskrétním časem. Pojem prostor signálů bude zaveden později v kapitole 1.4. Zobecněním lze zavést prostory L p , jde-li o signály se spojitým časem a l p , jde-li o signály s diskrétním časem. Množiny signálů vyskytujících se v těchto prostorech lze zapsat takto [2, str. 41]: 1/ p ⎧⎪ ⎛ +∞ ⎫⎪ ⎞ p S P ( K ) = ⎨ x; ⎜⎜ ∫ x(t ) dt ⎟⎟ ≤ K ⎬ , K > 0 . ⎪⎩ ⎝ −∞ ⎪⎭ ⎠ Zde integrál je Riemanův integrál.
3
(7)
1/ p ⎫⎪ ⎧⎪ ⎛ ∞ p⎞ S P ( N ) = ⎨ x; ⎜ ∑ x(n) ⎟ ≤ K ⎬, ⎪⎭ ⎪⎩ ⎝ n=−∞ ⎠
K > 0.
(8)
Množiny signálů lze získávat i jako sjednocení nebo průniky jiných množin. Příklad: SD(T) ∩ SB(Ω) ={0} = {x ; ∀ t ∈ R: x(t) = 0} .
(9)
Není to množina prázdná.
2.1.4 Rozklad množiny signálů Množina {S1, S2, …..} podmnožin S1, S2, ….. množiny S tvoří rozklad množiny S, jestliže platí: (S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ ….. ) ∧ (Si ∩ Sj = {0} pro i ≠ j ).
(13)
S1 S3
S2
Obr. 3. Rozklad množiny signálů Každá ekvivalence na množině S může být základem rozkladu množiny S na podmnožiny Sx, přičemž Sx = {y; y~x} kde x je jistý prvek množiny S. Naopak, každý rozklad množiny generuje ekvivalence. 1. Rozklad množiny celých čísel Množina S celých čísel n může být rozložena na konečný počet m podmnožin Si = {n; n = pm + i} , i = 0, 1, ... m-1, p je libovolné celé číslo. Odpovídající ekvivalence: na ~ n b ⇔ modm(na) = modm(nb).
Nazývá se kongruence podle modula m.
2. Příjem binárního signálu Ekvivalence: x ~ y ⇔ [x(t0 ) − h][ y (t0 ) − h] > 0.
(14)
Podmnožiny: S1 = {x; x(t0) > h},
(15a)
S0 = {x; x(t0) < h},
(15b)
4
Uvažování množiny S2 = {x; x(t0) = h} většinou nemá praktický smysl. x(t) h 0
t0
T
t
Obr. 4. Příjem binárního signálu
3. Rozklad pomocí soustavy funkcí u signálů se spojitým časem Nechť je dána soustava funkcí g i , i = 1, 2, ... , n. Ekvivalence, nazývaná zobecněná kongruence, +∞
x~y ⇔
+∞
∫ x(t ) gi (t )dt = ∫ y(t ) gi (t )dt
−∞
(16)
−∞
pro všechna i = 1, 2, ... n . Definujme množinu M ⎧ +∞ ⎫ M = ⎨ z; ∫ z (t ) g i (t )dt = 0 pro i = 1, 2, ...., n⎬ . ⎩ −∞ ⎭
(17)
Nyní můžeme každou množinu ekvivalentnosti (třídu) zavést pomocí jednoho jejího prvku, ) reprezentanta třídy x , takto: ) ) (18) S x) = {x; x ~ x } = {x; x = x + z , z ∈ M }, kde K ) x (t ) = ∑ ak g k (t ) , k =1
ak ∈ R pro k = 1, 2, .... , K .
(19)
4. Rozklad pomocí soustavy funkcí u signálů s diskrétním časem Ekvivalence: x je ekvivalentní y, když N −1
N −1
n =0
n =0
∀k ∈ 1,K , k ∈ Z :∑ x(n) g k (n) =∑ y (n) g k (n).
(20)
Je-li např.
⎛ 2π ⎞ g k (n) = exp⎜ j nk ⎟ ⎝ N ⎠
a
k ∈ 0, N − 1 , k ∈ Z,
n ∈ 0, N − 1 , n ∈ Z,
x ∈ R, y ∈ R , jsou x a y délky N ekvivalentní, mají-li stejných prvních obrazu DFT.
5
N je liché, N +1 2
prvků
2.2 ZOBRAZENÍ A FUNKCIONÁLY 2.2.1 Zobrazení Zobrazení z S1 do S2
f: S1 → S2 (y = f(x); x ∈ S1, y ∈ S2)
(21)
D(f) je definiční obor zobrazení, H(f) je obor hodnot zobrazeni Je-li S1 = D(f) a S2 = H(f), jedná se o zobrazení S1 na S2. Zobrazení f z S1 do S2 je vzájemně jednoznačné zobrazení S1 na S2 právě když je f zobrazení prosté a zároveň zobrazení S1 na S2. Zobrazení složené f: S1 → S3 ⇒ z = f 2 ( y ) = f 2 ( f1 ( x)) = f ( x) .
(22)
Libovolné zobrazení f: S1 → S2 generuje ekvivalenci x1~ x2 ⇐ f ( x1 ) = f ( x2 ) . Příklady rozkladu množin signálů Množinu všech signálů se spojitým časem můžeme rozložit na signály se stejným středním výkonem, na signály se stejnou energií apod. Obdobně můžeme rozložit i množiny signálů s diskrétním časem. Fourierova transformace ⎧ S1 = ⎨ x; ⎩
⎫ 2 ∫−∞x (t )dt < ∞⎬⎭,
⎧ S2 = ⎨ X ; ⎩
+∞
F : S1 → S 2 ,
X (ω ) =
+∞
∫ x(t )e
− jω t
+∞
∫ X (ω )
−∞
dt .
2
⎫ dω < ∞ ⎬ . ⎭
(23a, b)
(24a, b)
−∞
je zobrazení typu "mnoho v jeden", protože funkce x(t) lišící se v konečném množství bodů mají stejný obraz. Z praktického hlediska jsou to signály stejné. Rovnost mezi těmito signály nazveme rovností skoro všude. Z tohoto hlediska pak můžeme Fourierovu transformaci považovat za vzájemně jednoznačné přiřazení "na".
2.2.2 Funkcionály Funkce je zobrazení z R do R .
6
Funkcionál je zobrazení z množiny funkcí x(t) nebo x(n) do R nebo do C. Přepokládáme, že jsou dány vhodné funkce g (t ), g (n), w(t ) a w(n). Příklady funkcionálů: +∞
+∞
∫ x(t ) g (t )dt ,
f1 ( x) =
f 2 ( x) =
−∞
2
(t ) w(t )dt ,
−∞
+∞
+∞
− jω t ∫ x(t )e 0 dt ,
f 3 ( x) =
∫x
f 4 ( x) =
−∞
∫ x(t )δ (t − t )dt , 0
−∞
N −1
N −1
f 5 ( x ) = ∑ x ( n) g ( n) ,
f 6 ( x) = ∑ w(n) x 2 (n) , n=0
n=0
N −1
N −1
f 7 ( x) = ∑ x(n)e − jω0 n ,
f8 ( x) = ∑ x(n)δ (n − n0 ) .
n =0
n=0
2.2.3 Vyjádření signálu řadou Přibližné vyjádření signálu x(t ) ≈ ∑ f k ( x) g k (t ),
t ∈ t1 , t 2 ,
k
(25) kde
f k ; k = 1, 2, ... je spočetná posloupnost funkcionálů a
g k ; k = 1, 2, ... je předem daná množina funkcí . 1. Vyjádření signálu časovou řadou x(t ) ≈ ∑ x(nT ) Sa [(t − nT )] .
(26)
n
Sa(.) označuje Sampling function, vzorkovací funkci, T je vzorkovací interval. 2. Vyjádření signálu Fourierovou řadou. x(t ) ≅
+∞
∑c e
k =−∞
k
jkω1t
,
t ∈ t1 , t2 ,
(27)
kde t
ck =
1 2 x(t )e − jkω1t dt , ∫ t2 − t1 t1
k ∈ Z,
ω1 =
2π . t 2 − t1
(28)
Poznámka: Řada je zde zavedena původním způsobem, tj. pro funkci definovanou nad intervalem. Nepožaduje se, aby funkce x(t) byla periodická. Jisté podmínky ovšem splňovat musí.
7
2.2.4 Dualita času a kmitočtu Projevuje se symetrií dopředné a zpětné Fourierovy transformace. Každému vztahu funkcí času odpovídá duální vztah pro spektrální funkce. Dualita se v teorii často využívá. 1. Vyjádření spektrální funkce množinou jejich diskrétních hodnot x ∈ SD (T ) ⇒ X (ω ) =
πm ⎞ ⎤ ⎛ πm ⎞ ⎡ ⎛ ⎟ Sa ⎢T ⎜ ω − ⎟ . T ⎠⎥⎦ ⎠ ⎣ ⎝
+∞
∑ X ⎜⎝ T
m=−∞
(29)
2. Vyjádření spektrální funkce Fourierovou řadou x ∈ SB (W ) ⇒ X (ω ) =
+∞
∑d
n = −∞
n
⎛ πω exp⎜ j ⎝ W
n⎞ ⎟, ⎠
ω < W,
(30)
kde 1 dn = 2W
W
⎡
∫ X (ω ) exp⎢⎣− j
−W
π nω⎤
2π ⎛ π n ⎞ dω = x⎜ − ⎟. ⎥ W ⎦ 2W ⎝ W ⎠
(31)
X (ω )
-W
0
W
ω
π
t
W
Obr. 7. K vyjádření spektrální funkce Fourierovou řadou Dualita se projevuje také tím, že vzorkování časového průběhu signálu vyvolává periodizaci spektra a duálně, vzorkování spektra vyvolává periodizaci časového průběhu. fourzobr.m
2.3 PROSTORY SIGNÁLŮ 2.3.1 Metrické prostory Je dána množina signálů. Chceme posuzovat vzdálenost jejich prvků. Matematicky to lze vyřešit zavedením vzdálenosti mezi prvky. Množina signálů s příslušně zavedenou vzdáleností je prostor signálů. Vzdálenost je funkcionál d : {( x, y )} → R . Nazývá se metrikou, má-li vlastnosti: a) d ( x, y ) ≥ 0, d ( x, y ) = 0 jen když x = y ,
(32)
b) d ( x, y ) = d ( y, x), (symetrie)
(33)
8
c) d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ), (trojúhelníková nerovnost).
(34)
Množina X s metrikou d se nazývá metrickým prostorem (X, d). Dvě různé metriky definované na stejné množině prvků vytvářejí různé metrické prostory.
2.3.2 Příklady metrik. 1. Reálná osa je metrický prostor s metrikou
d ( x, y ) = x − y ,
x, y ∈ R .
(35)
2. Množina R n nebo Cn uspořádaných n-tic čísel
x = (α1 , α 2 , ....., α n ),
y = ( β1 , β 2 , ....., β n ) .
Příklady metrik: n
a) d1 ( x, y ) = ∑ α i − β i ,
(36)
i =1
2
n
∑α
b) d 2 ( x, y ) =
i =1
i
− βi ,
(37)
c) d 3 ( x, y ) = sup{α i − β i ; i = 1, 2, ....}.
(38)
Tyto metriky lze rozšířit i na případy R ∞ a C∞ . Poznámka:
Věta [12], str. 100: Supremum číselné množiny M má tyto dvě vlastnosti: a) pro každé x ∈ M platí x ≤ sup M , b) v každém levém okolí suprema leží alespoň jedno číslo x ∈ M . Konec poznámky. 3. Hamingova vzdálenost viz teorie zabezpečujících kódů [8]. 4. Množina reálných či komplexních funkcí času definovaných na intervalu T = {t ; a ≤ t ≤ b} . Příklady metrik: a) d1 ( x, y ) = ∫ x(t ) − y (t ) dt ,
(39)
T
b) d 2 ( x, y ) =
∫ x(t ) − y(t )
2
dt ,
(40)
T
c) d 3 ( x, y ) = sup{x(t ) − y (t ) ;
t ∈ T}.
(41)
U funkcí, které jsou si rovny skoro vždy, je d1 = d 2 = 0 . 5. Množina reálných či komplexních posloupností délky N. Příklady metrik.
9
N −1
a) d1 ( x, y ) = ∑ x(n) − y (n) .
(42)
n =0
b) d 2 ( x, y ) =
N −1
∑ x ( n) − y ( n )
2
.
(43)
n =0
c) d 3 ( x, y ) = sup{x(n) − y (n) ; n ∈ 0, N − 1 , n ∈ Z}.
(44)
2.3.3 Konvergence a spojitost Nechť X je jistá množina. Posloupnost {xn ; xn ∈ X, n = 1, 2, ....} konverguje, jestliže existuje x∈X
takové, že pro libovolné ε
> 0
lze najít celé kladné n0 takové, že
n ≥ n0 ⇒ d ( xn , x) < ε . ( lim xn = x ) . n→∞
Posloupnost cauchyovská: pro libovolné ε > 0
existuje kladné celé n0 takové, že
m, n ≥ n0 ⇒ d ( xm , xn ) < ε . Každá konvergující posloupnost je cauchyovská. Cauchyovská posloupnost nemusí být konvergující, protože prvek ke kterému se blíží nemusí být prvkem X. Metrický prostor se nazývá úplný, jestliže v něm všechny cauchyovské posloupnosti konvergují. [7], str. 824. Víme, že x je spojitá funkce t , jestliže pro libovolné ε > 0 a libovolný prvek t0 jejího definičního oboru lze najít δ > 0 takové, že x(t ) − x(t0 ) < ε , jestliže t − t0 < δ . Spojitost u zobrazení jednoho metrického prostoru do druhého. Nechť f : (X, d1 ) → (Y, d 2 ) . Zobrazení f je spojité v okolí x0 , jestliže pro libovolné ε > 0 existuje δ > 0 takové, že
d1 ( x, x0 ) < δ ⇒ d 2 ( y, y0 ) < ε ; x ∈ X a y ∈ Y , y = f ( x) a y0 = f ( x0 ) . Zobrazení je spojité, je-li spojité ve všech bodech definiční oblasti. Metrický prostor (X , d) je separabilní, jestliže pro libovolné ε > 0 lze najít spočetnou posloupnost x1 , x2 , .... prvků množiny X takovou, že d ( x, xi ) < ε pro některé i a libovolné x ∈ X. Separabilní prostor může být pokryt spočetným množstvím sfér s poloměrem ε a se
středy xi. Metrický prostor kompaktní vystačí s konečnou posloupností. (Kompaktní prostor může být pokryt konečným počtem sfér.
10
2.4 LINEÁRNÍ PROSTORY 2.4.1 Definice Lineární prostor nebo také vektorový prostor je tvořen množinou prvků, vektorů. Definiční vlastnosti lineárního prostoru jsou následující ([12], str. 241 a dále, [4]): A) Pro každý pár vektorů x a y existuje prvek (x + y) uvažované množiny takový, že a) x + y = y + x , b) x + (y + z ) = (x + y ) + z , c) množina obsahuje jediný vektor 0 takový, že x + 0 = x pro libovolné x. Nazývá se nulový prvek nebo nulový vektor. d) pro libovolné x existuje jediný vektor (-x) takový, že x + (-x) = 0. B) Je dána množina prvků (skalárů) , které tvoří těleso (field) a operace (násobení vektoru skalárem ) přiřazující skaláru α a vektoru x vektor αx tak, že a) α ( βx) = αβ (x) , b) 1x = x, 0x = 0, c) α (x + y ) = αx + αy , d) (α + β )x = αx + βx . Jiný soubor axiomů je uveden v [10], str. 9 , další definici najdeme v [11], str. 10. Obdobné definice lze najít v četných dalších knihách. S lineárními prostory se setkáváme také v teorii kódování, kde se pracuje s konečnými tělesy [8]. Pokud je těleso tvořeno prvky množiny R, mluvíme o reálném lineárním prostoru, pokud je těleso tvořeno prvky množiny C, mluvíme o komplexním lineárním prostoru.
2.4.2 Lineární nezávislost a báze Lineární kombinací rozumíme výraz n
x = ∑α i xi .
(45)
i =1
Množina všech lineárních kombinací vektorů x1 , x 2 , .... , x n tvoří lineární prostor. Vektory jsou lineárně nezávislé, když je jejich lineární kombinace rovna 0 jen když jsou všechny koeficienty α i = 0 .
11
Bázi lineárního prostoru tvoří n lineárně nezávislých vektorů. Nechť M je libovolný lineární n-rozměrný prostor s bází {ui ; i = 1, 2, .... , n}. Libovolný vektor x ∈ M má jediný rozklad n
x = ∑α iu i .
(46)
i =1
Uspořádanou posloupnost skalárních koeficientů α i lze považovat za řádkovou nebo sloupcovou matici. Ta sama o sobě ještě nereprezentuje vektor, navíc je nutno znát i bázi. Množina všech reálných nebo komplexních funkcí času definovaných na intervalu T je lineárním prostorem, v němž je sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem definováno takto: z = x + y ⇒ ∀t ∈ T : z (t ) = x(t ) + y (t ), z = αx
⇒ ∀t ∈ T : z (t ) = αx(t ) .
2.4.3 Normovaný lineární prostor Norma
x
vektoru x. Zavádí se pomocí zobrazení lineárního prostoru do R s vlastnostmi
[13], str. 175, a) x ≥ 0, x = 0 jen při x = 0. b) x + y ≤ x + y , c) αx = α x .
Lze ukázat, že norma je metrikou
d (x, y ) = x − y . Úplný lineární normovaný prostor se
nazývá Banachův prostor. Většinou jsou metriky získávány přes normy. 1. Norma prostorů Rn nebo Cn může být zavedena vztahem:
x =
n
∑α i =1
2
i
.
(47)
2. Norma prostoru reálných funkcí nebo komplexních funkcí definovaných nad intervalem T je dána rovnicí
x =
∫ x(t )
2
dt .
(48)
T
Množina funkcí, pro které je tato veličina ohraničena, se nazývá prostor L2(T), (T je interval). Počátkem souřadnic je funkce, která se v intervalu T rovná nule skoro všude.
12
2.4.4 Prostor se skalárním součinem Skalární součin označovaný (x, y) nebo < x, y> je zobrazení uspořádaných dvojic vektorů lineárního prostoru do komplexní roviny C , zobrazení splňující podmínky ([14], 5.2 – 6): a) (x, y) = (y, x)* , b) ( α x + β y, z) = α (x, z) + β (y, z) , c) (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 jen když x = 0 . Důsledky: ( α x, y) = α (x, y) , (x, α y) = α *(x, y) a (x, x) ∈ R. Veličina
x = (x, x) je normou.
Skalární součin generuje normu, ta generuje metriku. Prostor se skalárním součinem, pokud je úplný, se nazývá Hilbertův. Vektory x a y jsou ortogonální, pokud platí: (x, y) = 0. Skalární součin pro prostor Cn může být zapsán vztahem n
(x, y ) = ∑ ai bi* ; x, y ∈ C n .
(49)
i =1
Skalární součin pro prostor L2(T):
(x, y ) = ∫ x(t ) y * (t )dt;
x, y ∈ L2 (T) .
(50)
T
2.4.5 Reprezentace prvků vektorového prostoru se skalárním součinem Nechť je M n-rozměrný prostor s bází {ui ; i = 1, 2, .... , n}. Pak násobíme-li rovnici n
x = ∑α iu i
(51)
i =1
vektorem uj zprava skalárně, dostáváme n
(x, u j ) = ∑ (u i , u j )α i ;
( j = 1,
2, ..., n ) .
(52)
i =1
Jedná se o soustavu lineárních skalárních rovnic vzhledem k proměnným α i . Řešení dává vyjádření x v Cn vzhledem k bázi {ui ; i = 1, 2, .... , n}.
Zavedeme novou bázi párově
ortogonálních vektorů v j , pro které platí: (u i , v j ) = δ i , j , i, j = 1, 2, ..., n .
(53)
Pak
13
n
(x, v j ) = ∑ α i (u i , v j ), i =1
⇒ α j = (x, v j ) .
(54)
Ortonormální báze je báze, pro jejíž prvky platí
(u i , u j ) = δ i , j , i, j = 1, 2, ..., n ,
(55)
kde δ i , j je Kroneckerovo delta, ⎧1 pro i = j a ⎩0 pro i ≠ j.
δi, j = ⎨ Pak
α i = (x, u i )
n
a
x = ∑ (x, u i )u i .
(56)
i =1
Příklad: Vzorky analogového signálu a jejich vektorová representace Nechť je signál s (t ) = 2 cos(2πt − π/4) vzorkován se vzorkovacím intervalem Tvz =
1 8
v intervalu 0, 1 . Tak je získána posloupnost: 1 2 1 0 −1 − 2 −1 0 Přiřadíme vektoru s K-tici čísel {α i } tak, aby platilo K
s = ∑ α iui
(57)
i =1
1. způsob Za α i volím přímo hodnoty vzorků s(n). Pak bude K=8 a α i = s(i − 1) . Báze {u i , i = 1,2,.....8} bude tvořena vektory prostoru R8 u1 = (1 0 0 0 0 0 0 0), u 2 = (0 1 0 0 0 0 0 0), .............................. u8 = (0 0 0 0 0 0 0 1), Jim odpovídají signály u i (n) (nakreslit!). Je tedy s = (1
2 1 0 − 1 − 2 − 1 0) . (58)
2. způsob Zvolím si bázi
14
u1 = (1 1 1 1 1 1 1 1), u 2 = ( 2 1 0 − 1 − 2 − 1 0 1), u 3 = (0 1 2 1 0 − 1 − 2 − 1). Vektorům báze odpovídají signály u i (n) (nakreslit!). Zde K =3. α 1 = 0, α 2 =
1
α3 =
2 Toto vyjádření signálu je úspornější.
1 2
s = (0
a
1 2
1 ). 2
base.m Úkol pro studenty: Ověřit ortogonalitu, zjistit, zda jde o ortonormalitu, udělat zkoušku na součet.
Využití vzájemné báze 1. způsob
(u v ) = δ i
j
ij
v1 = (1 0 0 0 0 0 0 0), v 2 = (0 1 0 0 0 0 0 0), .............................. v 8 = (0 0 0 0 0 0 0 1), Ověřte si, že α i = (s, v i ) . 2. způsob 1 vi = ui . 8 Ověřte si vlastnost (u i v j ) = δ ij . Ověřte, že α i = (s, v i ) .
Konec příkladu. Příklad: Ortonormální báze u1 (t ) =
1 T
pro t ∈ 0, T ,
⎧ 1 1 ⎪⎪ T pro t ∈ 0, 2 T , u 2 (t ) = ⎨ ⎪− 1 pro t ∈ 1 T , T . 2 ⎪⎩ T
Nakreslete si u1 (t ) a u2 (t ) . Ověření ortonormality pro první vektor
15
T
2
T
⎛ 1 ⎞ ∫0 u (t )dt = ∫0 ⎜⎝ T ⎟⎠ dt = 1 . 2 1
Konec příkladu. Příklad: Lineárně nezávislé vektory
v1 (t ) = 1 pro t ∈ 0, T ,
∑α v i
i
=0
⎧⎪+ 1 pro t ∈ 0, 14 T ), v2 (t ) = ⎨ ⎪⎩− 1 pro t ∈ 14 T , T .
jen pro α 1 = α 2 = 0.
⇒ vektory jsou lineárně nezávislé
Jsou vektory ortogonální ?
( v1 ,
T 4
T
1 3 1 v 2 ) = ∫ 1.1dt + ∫ 1.(−1)dt = T − T = − T ≠ 0 4 4 2 T 0 4
Vektory nejsou ortogonální. Konec příkladu.
2.4.7 Lineární funkcioná1y Zobrazení komplexního lineárního prostoru X do množiny komplexních skalárů f: X → C s vlastností f( α x + β y) = α f(x) + β f(y) , pro libovolné α , β ∈ C a libovolné x, y ∈ X se nazývá lineární funkcionál. Je-li X prostor se skalárním součinem, je skalární součin
f g (x) = (x, g ) lineárním
funcionálem, [7], str. 835. Je-li navíc norma g < K , je fg spojitý lineární funkcionál. Důležité je, že pro úplný, tj. Hilbertův prostor X lze libovolný spojitý funkcionál prezentovat jako skalární součin. Norma funkcionálu
f = inf {K ; f (x) ≤ K x , x ∈ X} .
(59)
Funkcionál s konečnou normou je ohraničený. Ohraničenost lineárního funkcionálu je ekvivalentní spojitosti lineárního funkcionálu. V některých prostorech signálů (např. v L2(T)) budeme využívat nespojité (neohraničené) funkcionály. Příkladem takového funkcionálu v L2(T) je vzorkovač. F(x) = x(t0) je funkcionál.
16
Aby byla zachována forma skalárního součinu, použijeme funkci δ (t ) , která není prvkem L2(T):
f ( x) = x(t0 ) = ∫ x(t )δ (t − t0 )dt ,
t0 ∈ T .
(60)
T
V praxi není vzorkovací impuls nekonečně úzký.
Realizace libovolného funkcionálu Realizace libovolného funkcionálu zadaného ve formě skalárního součinu fg (x) = (x, g ): 1. Uspořádání první x(n )g(n )
x(n )
N −1
∑
y (n )
n =0
g (n ) Obr. 6 2. Uspořádání druhé x(n )
h(n )
y (n )
y ( N − 1) vzorkovač
Obr. 7 Aby byl dosažen žádoucí výsledek, musí být h(n ) = g ( N − 1 − n ) . Signály x(n ) a g (n ) jsou funkcnal.m
délky N.
2.5 DISKRÉTNÍ VYJÁDŘENÍ SIGNÁLU 2.5.1 Signály, které lze vyjádřit přesně – spojitý čas ÚLOHA: Zobrazení (mnoho v jedno) prostoru L2(T) do prostoru Cn . Veličinu n volíme kompromisně s ohledem na protichůdné požadavky: přesnost a hospodárnost. Nechť {gi (t )} je systém lineárně nezávislých funkcí, takže platí n
∑α g (t ) = 0 i =1
i
(61)
i
skoro vždy pro ∀t ∈ T jen tehdy, když všechna α i = 0 .
17
Bázi {gi (t )} odpovídá podprostor Mn. Pokud je signál x ∈ Mn , může být přesně a jednoznačně vyjádřen takto: n
x(t ) = ∑α i g i (t ),
t ∈T
(62)
i =1
a vektor (řádková matice) α = {α1 , α 2 , ...., α n
} je hledaným číselným vyjádřením signálu x.
Maticové vyjádření Víme, že
(x, y ) = ∫ x(t ) y * (t )dt ;
x, y ∈ L2 (T ) a
(63)
T
n
(x, u j ) = ∑ (u i , u j )α i ;
( j = 1,
2, ..., n ) .
(64)
i =1
Pak po násobení rovnice n
x = ∑α igi
zprava skalárně
i =1
gj
(65)
můžeme psát pro každé j n
(x, g j ) = ∑ (g i , g j )α i .
(66)
i =1
V maticovém zápisu →i ⎡ (g1 , g1 ) (g 2 , g1 ) ⎢ ↓⎢ j⎢ ⎢ ⎣ ( g1 , g n )
( g n , g 1 ) ⎤ ⎡α 1 ⎤ ⎡ (x, g1 ) ⎤ ⎥ ⎢α ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ↓ = ⎢ ⎥↓ , ⎥⎢ ⎥ i ⎢ ⎥j ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (g n , g n )⎦ ⎣α n ⎦ ⎣ ( x, g n ) ⎦
(67)
zkráceně Gα = β ,
(68)
α = G −1β
(69)
odtud S použitím posledního vztahu zavedeme vzájemné bázové funkce {ϑi , i = 1, 2, n} , které mohou být, jako ostatně všechny funkce v uvažovaném prostoru, vyjádřeny jako lineární kombinace funkcí gi (t): n
ϑ j = ∑ γ jk g k .
(70)
k =1
18
Rovnici vynásobíme gi skalárně zleva n
(g i , ϑ j ) = ∑ γ *jk (g i , g k ) .
(71)
k =1
pro vzájemnou bázi musí platit: (g i , ϑ j ) = δ ij ,
(72)
takže n
∑γ k =1
(g i , g k ) = δ ij .
* jk
(73)
Z této soustavy rovnic lze vypočítat všechna γ *jk a dosadit pak γ jk do rovnice n
ϑ j = ∑ γ jk g k
(74)
k =1
a tím určit všechny signály ϑ j (t ) . Vrátíme se k rovnici (62) n
x = ∑α igi i =1
a vynásobíme ji zprava skalárně ϑ j : n
n
i =1
i =1
(x, ϑ j ) = ∑ α i (g i , ϑ j ) = ∑ α iδ ij .
(75)
Proto je
α j = ( x, ϑ j ) .
(76)
2.5.2 Signály, které nelze vyjádřit přesně – spojitý čas ) Co udělat se signály x, které leží mimo Mn? Přiřadíme jim vždy nejbližší x , které prvkem
Mn je. Teorém projekce: Pro libovolné x ∈ L2(T) existuje jediný vektor n ) x = ∑ ( x, ϑ i ) g i
(77)
i =1
) ) takový, že (x - x ) je ortogonální ke všem vektorům z Mn a x − x < x − ~ x , kde ~ x je libovolný jiný vektor z Mn. ) x je ortogonální projekcí x na Mn.
) η = x − x je chyba .
2 2 )2 Přesnost je charakterizována normou η = x − x .
19
Vztah ekvivalence lze zapsat takto: x~y ⇒ (x, g i ) = (y, g i ) , pro i=1, 2, ...., n.
Jinak, x~y ⇒ x − y ∈ M, kde M = {x; (x, ~ x) =0
pro všechna ~ x ∈ Mn }.
M je ortogonální doplněk Mn. Pro libovolné x lze psát ) ) x = x + z; x ∈ M n ,
z ∈ M,
) (x, z ) = 0 .
L2(T) = Mn + M . Do Mn a M současně patří jen 0 . gramm2.m(projekce)
Příklad: Diskrétní vyjádření signálu s(t) jeho vzorky s(nTv) Vyjdeme ze vztahu x(t ) = ∑ α i g i (t ) . i
Zde
α i = s(nTv )
g i (t ) = sinc[ω c (t − nTv )] Příklady tohoto vyjádření a jeho vlastností naleznete po spuštění skriptu. dvsig1.m Konec příkladu.
2.5.3 Jiné diskrétní vyjádření diskrétního signálu
Jedná se o zobrazení prostoru l2(0, N-1) do prostoru CL. Matematický popis je téměř shodný s tím, co je uvedeno v předcházejících odstavcích. Nechť {gi (n)} je systém L lineárně nezávislých posloupností, takže L
∑ α g ( n) = 0 i =1
i
(78)
i
skoro vždy pro ∀n ∈ 0, N − 1 jen tehdy, když všechna α i = 0 . Bázi {g i (n)} odpovídá podprostor ML. Pokud je signál x ∈ ML , může být přesně a jednoznačně vyjádřen takto: L
x(n) = ∑ α i g i (n),
n ∈ 0, N - 1
(79)
i =1
a vektor (řádková matice) α = {α1 , α 2 , ...., α L
} je hledaným číselným vyjádřením signálu x.
20
Maticové vyjádření Po násobení rovnice (62) n
x = ∑α igi
zprava skalárně
i =1
gj
můžeme psát pro každé j n
(x, g j ) = ∑ (g i , g j )α i .
(80)
i =1
V maticovém zápisu →i ⎡ ( g1 , g1 ) (g 2 , g1 ) ⎢ ↓⎢ j⎢ ⎢ ⎣ (g1 , g L )
(g L , g1 ) ⎤ ⎡α1 ⎤ ⎡ ( x, g1 ) ⎤ ⎥ ⎢α ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ↓ = ⎢ ⎥↓ , ⎥⎢ ⎥ i ⎢ ⎥j ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (g L , g L )⎦ ⎣α L ⎦ ⎣ ( x, g L ) ⎦
(81)
zkráceně Gα = β ,
(82)
α = G −1β
(83)
odtud S použitím posledního vztahu zavedeme vzájemné bázové funkce {ϑi , i = 1, 2, ... , L} , které mohou být, jako ostatně všechny funkce v uvažovaném prostoru, vyjádřeny jako lineární kombinace funkcí gi (n): L
ϑ j = ∑ γ jk g k .
(84)
k =1
Rovnici vynásobíme gi skalárně zleva L
(g i , ϑ j ) = ∑ γ *jk (g i , g k ) .
(85)
k =1
Pro vzájemnou bázi musí platit: (g i , ϑ j ) = δ ij ,
(86)
takže L
∑γ k =1
* jk
(g i , g k ) = δ ij .
(87)
Z této soustavy rovnic lze vypočítat všechna γ *jk a dosadit pak γ jk do rovnice
21
L
ϑ j = ∑ γ jk g k
(88)
k =1
a tím určit všechny signály ϑ j (n) . Vrátíme se k rovnici (62) L
x = ∑α igi i =1
a vynásobíme ji zprava skalárně ϑ j : L
L
i =1
i =1
(x, ϑ j ) = ∑ α i (g i , ϑ j ) = ∑ α i δ ij .
(89)
Proto je
α j = ( x, ϑ j ) .
(90)
Příklad: Nalezení sdružené báze Nechť
g k (t ) = exp( jkω1t ) v intervalu 0, T , ω1 = Hledám n
ϑ j (t ) = ∑ γ jk g k (t ) . k =1
Vím, že (g i , ϑ j ) = ∑ γ *jk (g i , g k ) k
a
∑γ
* jk
(g i , g k ) = δ ij .
k
Pro naši bázi platí ⎧0 pro i ≠ k = Tδ i , k . (g i , g k ) = ⎨ ⎩T pro i = k Dosadíme a dostáváme
∑γ
* jk
Tδ i , k = δ i , j
k
takže jen
γ j, j =
1 , ostatní jsou rovny nule. T
Proto L
ϑ j = ∑ γ jk g k k =1
22
2π . T
dává výsledek 1 exp( jkω1t ) . T Koeficienty Fourierovy řady jsou dány nám známým vztahem [5]. Souhlasí s uvedenou teorií? T T 1 α k = (x, ϑ k ) = ∫ x(t )ϑ ∗κ (t )dt = ∫ x(t ) exp(− jkω1t )dt =c k . T 0 0 Souhlasí. Konec příkladu.
ϑk (t ) =
Úkol pro studenty: Zjistit, jak je to se stanovením sdružené báze u ortonormální soustavy.
2.5.4 Úplné ortonormální soustavy Nechť {gi} je systém ortonormálních funkcí. Označíme ([14], 4.7) n
x n = ∑ (x, g i )g i .
(91)
i =1
Pak je x − xn
2
n
= x − ∑ (x, g i ) . 2
2
(92)
i =1
Proto při libovolném n platí: n
∑ (x, g )
2
i
i =1
2
≤ x .
(Besselova nerovnost)
Pro tzv. úplný ortonormální systém {gi} je ∞
∑ (x, g )
2
i
i =1
= x
2
(93)
pro libovolné x ∈ L2(T). (Podmínka úplnosti). Pro úplný ortonormální systém platí: Pro libovolné ε > 0 a libovolné x ∈ L2(T) existuje takové n0, že n
x − ∑ (x, g i )g i < ε
při n > n0.
(94)
i =1
2.5.5 Příklady systémů ortonormálních funkcí Norma s vahou Zavedeme skalární součin
(x, y ) w = ∫ w(t ) x(t ) y * (t )dt ,
(95)
T
w(t) je reálná nezáporná funkce.
23
Norma s vahou
∫ w(t ) x(t ) − x (t ) n
2
dt
(96)
T
se může jevit jako vhodnější míra přiblížení než norma obyčejná. Jinak řečeno: {gi} je soustavou funkcí ortonormálních s vahou w(t) , jestliže (gi, gj)w = δ ij . Funkce ortonormální v obyčejném smyslu jsou pak funkce
ψ i (t ) = w(t ) gi (t ), i = 1, 2, .... .
(97)
Příklady úplných ortonormálních systémů: komplexní harmonické funkce, Čebyševovy polynomy, atd. [16]. Zvláštní skupinu představují signály tvořené konstantními úseky, o kterých bude pojednáno ve druhé kapitole. Mnohočleny Legendrovy Interval T = − 1, 1 , w(t ) = 1 . Byly získány ortonormalizačním postupem G-S aplikovaným na posloupnost funkcí 1, t , t 2 , t 3 ,........... [17].
{
}
g 0 (t ) =
1 , g1 (t ) = 2
3 t 2
g 2 (t ) =
5 ⎛3 2 1⎞ ⎜ t − ⎟, 2⎠ 2⎝2
(98a, b, c)
Mnohočleny Čebyševovy Interval T = − 1, 1 ,
w(t ) = [1 − t 2 ] . Funkce Laguerrovy
(99)
Interval T = 0, ∞ , w(t ) = exp( −t ) .
(100)
Funkce Legendrovy Interval T = 0, ∞ Funkce Čebyševovy Interval T = 0, ∞ , w(t ) = [exp(−2 pt ) − 1]
−
1 2
(101)
Příklad: Ortogonální systém posloupností délky N
24
2π ⎧ ⎫ ⎨exp(+ j kn)⎬ N ⎩ ⎭
“čas” n ∈ 0, N − 1 , “pořadí kmitočtové složky” k ∈ 0, N − 1
Měli jsme pro skalární součin: N
(x, y ) = ∑ ai bi*
x, y ∈ C N
i =1
Zde ai = exp(+ j
2π ki) N
bi = exp(+ j
2π mi) N
(komplexní číslo)
x = g k = {a 0 , a1 , ...
, ai ,....a N −1 }
y = g m = {b0 , b1 , ...
, bi ,....bN −1 }
Proto je N −1
(g k , g m ) = ∑ exp(+ j i =0
2π 2π ki) exp(− j mi) . N N
Pro k = m N −1
(g k , g k ) = ∑ exp(+ j i =0
2π 0i ) = N , N
pro k ≠ m N −1 ⎡ 2π ⎤ (g k , g m ) = ∑ exp ⎢ j (k − m)i ⎥ = 0. ⎣ N ⎦ i =0
Konec příkladu.
2.6.1 Walshovy funkce Walshovy funkce se spojitým časem mohou být označeny walx(i, Θ ), zde x je index, kterým je jedno z písmen w, p nebo h. Parametr i je celočíselný nezáporný a Θ je opět normovaný čas. Funkce rad(m, Θ ) můžeme chápat jako periodické s periodou 1. Mohou však být definovány a používány i jako funkce nad konečným intervalem 0, 1 . Nabývají hodnot 1 a -1. Jejich podmnožinou jsou dříve probrané funkce Rademacherovy. Změnou shora zmíněného indexu x se nemění množina funkcí ze kterých jsou funkce walx(i, Θ ) vybírány, mění se však pořadí ve kterém jsou vybírány. Walshovy funkce tvoří úplný ortonomovaný systém funkcí nad intervalem 0, 1) . Jsou periodické s periodou 1. Probereme postupně tři typy Walshových funkcí lišící se indexem x.
25
2.6.1.1 Uspořádání podle kmitočtu
Uspořádání funkcí walx(i, Θ ) podle kmitočtu se také nazývá Walshovo nebo Walshovo – Kaczmarzovo. Pojem kmitočet zde označuje zobecněný kmitočet chápaný jako poloviční počet přechodů funkce přes nulovou hladinu v intervalu délky 1. Funkce uspořádané podle rostoucího kmitočtu se označují walw(i, Θ ) . Průběhy prvních 16 z nich nalezneme na obr. 3. Mohou být odvozeny z Rademacherových funkcí takto: walw(0, Θ ) = rad(0, Θ )
(102)
iw ip i h
wal(i, Θ )
0
0
0
1
1
8
2
3
12
3
2
4
4
6
6
5
7
14
6
5
10
7
4
2
8
12
3
9
13
11
10
15
15
11
14
7
12
10
5
13
11
13
14
9
9
15
8
1
1
0
Θ
Obr. 8. Walshovy funkce
26
a pro kladné hodnoty parametrů i pak
wal w (i, Θ) = ∏ rad( j , Θ)
(103)
∀j
kde j nabývá těch hodnot, které udávají pozice jedniček při vyjádření čísla i Grayovým kódem. Příklad: Nechť i = 4. Víme, že 4 = (00110)Gray. Pozice jedniček, počítáno zprava doleva, jsou 2 a 3. Veličina j tedy nabývá hodnot 2 a 3. Podle vztahu (8) pak můžeme psát: walw(4, Θ ) = rad(2, Θ ) rad(3, Θ )
(104)
O správnosti výsledku nás mohou přesvědčit obr. 1 a 3. Konec příkladu. K signálům walw(i, Θ ) se spojitým časem lze přiřadit posloupnosti Walw(i, n) s diskrétním časem. Pro snazší rozlišení funkcí se spojitým časem a funkcí s diskrétním časem zde používáme u zkratky wal malé písmeno na začátku zkratky v případě funkcí se spojitým časem a velké písmeno W na začátku zkratky Wal označující posloupnost. Opět budeme předpokládat, že posloupnosti mají délku N a že N je rovno číslu 2 umocněnému na přirozené číslo. Posloupnosti Walw(i, n) bývají zapisovány do řádků čtvercové matice N x N, která může být označena Hw(log2N). Příkladem je matice Hw(2). Prvky matice byly získány odebíráním vzorků funkcí walw(i, Θ ) v okamžicích 0,125, 0,375, 0,625 a 0,875, nejprve pro i = 0 pro prvky prvního řádku, pak pro i = 1, 2 a 3 u prvků dalších řádků.
⎡1 1 1 1⎤ ⎢1 1 − 1 − 1⎥ ⎥ H w (2) = ⎢ ⎢1 − 1 − 1 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 − 1 1 − 1⎦ Tabulka 1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Grayův kód 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000 27
(105)
Grayův kód patří mezi kódy se změnou v jenom místě. Každé dvě sousední značky v tabulce kódu se liší jen v jednom místě. Tato vlastnost je výhodná v některých aplikacích. Pětimístný kód získáme tak, že před stávající značky napíšeme nulu. Tím získáme prvních 16 pětimístných značek. Pak obrátíme pořadí značek v tabulce čtyřmístných značek a napíšeme před ně 1. Tím získáme dalších 16 pětimístných značek. Konec poznámky. 2.6.1.2 Uspořádání dyadické Toto uspořádání se také nazývá Paleyovo nebo dvojkové. Funkce se spojitým časem se v tomto případě označují walp(i, Θ ). Nalezneme je opět na obrázku 3 s tím, že budeme za index i brát index ip uvedený v prostředním sloupci. Na základě Rademacherových funkcí mohou být funkce walp(i, Θ ) stanoveny takto: a pro i > 0
walp(0, Θ ) = rad(0, Θ ),
(106)
wal p (i, Θ ) = ∏ rad(k , Θ ) ,
(107)
∀k
kde k nabývá těch hodnot, které udávají pozice jedniček ve dvojkovém vyjádření čísla i. Příklad: Nechť i = 6. Víme, že 6 = (00110)2. Pozice jedniček, počítáno zprava doleva, jsou 2 a 3. Veličina k tedy nabývá hodnot 2 a 3. Podle vztahu (12) pak můžeme psát: walp(6, Θ ) = rad(2, Θ ) rad(3, Θ ). Konec příkladu.
(108)
Také k funkcím walp(i, Θ ) můžeme přiřadit posloupnosti Walp(i, n) délky N. Matice vytvořená prvky posloupností Walp(i, n) může být označena Hp(log2N). Pro N = 4 je to matice
H p (log 2 N )
⎡1 1 1 1 ⎤ ⎢ 1 1 − 1 − 1⎥ ⎥ =⎢ ⎢ 1 − 1 1 − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 −1 −1 1 ⎦
(109)
2.6.1.3 Uspořádání přirozené Přirozené uspořádání se také nazývá uspořádání podle Hadamarda nebo Kronekerovo uspořádání. Walshovy - Hadamardovy funkce se spojitým časem se označují walh(i, Θ ). Časové průběhy jednotlivých funkcí opět nalezneme na obr. 3 s tím, že parametr i nyní budeme hledat ve třetím sloupci označeném ih. Množinu N funkcí walh(ih, Θ ) můžeme získat na základě funkcí walw(iw, Θ ) takto:
28
Parametr ih vyjádříme jako dvojkové číslo (ih)2 s log2N číslicemi. Obrátíme pořadí dvojkových číslic a získáme tak číslo (ih)2‘. Toto číslo považujeme za značku Grayova kódu a dekódujeme ho jako desítkové číslo iw. Pak je walh (ih, Θ ) = walw(iw, Θ ),
(110)
Příklad: Nechť ih = 1 a N = 16. Pak je (ih)2 = (0001)2. Čtením čísla zprava doleva dostáváme (ih)2‘ = 1000. Posloupnost 1000 vyjadřuje v Grayově kódu číslo 15 v soustavě desítkové. Proto je iw = 15 a walh (1, Θ ) = walw(15, Θ ). Správnost výsledku si lze ověřit pomocí obrázku 3. Konec příkladu. Nyní opět přejdeme na případ diskrétního času a zavedeme posloupnosti Walh (i,n). Zde je matice Hh(log N), jejíž řádky jsou tvořeny jednotlivými posloupnostmi Walh (i,n), maticí Hadamardovou. Hadamardovy matice lze sestavit rekurentně pomocí vztahů:
⎡1 1 ⎤ H h (1) = ⎢ ⎥ ⎣1 − 1⎦
(111)
⎡H ( j − 1) H h ( j − 1) ⎤ Hh ( j) = ⎢ h ⎥ = H h (1) ⊗ H h ( j − 1) , ⎣H h ( j − 1) − H h ( j − 1)⎦
(112)
a
kde j je přirozené číslo větší než 1. Poznámka: Symbol zde ⊗ označuje Kroneckerův součin (přímý součin, tensorový součin), (Kronecker product, direct product, tensor product) definovaný takto: ⎡ a11B a12B ... a1M B ⎤ ⎢a B a B a2 M B ⎥⎥ 22 . (113) A ⊗ B = ⎢ 21 ⎢ : : : ⎥ ⎢ ⎥ a NM B ⎦ ⎣a N 1B a N 2 B Konec poznámky Příklad: S využitím (16) na základě (17) pro j = 2 nalézáme
⎡1 1 1 1⎤ ⎢1 − 1 1 − 1⎥ ⎥ H h (2 ) = ⎢ ⎢1 1 − 1 − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 − 1 − 1 1⎦
(114)
Konec příkladu. Zvídavý čtenář si možná zkusí porovnat posloupnosti v řádcích matice s pomyslnými vzorky funkcí walh(ih, Θ ) nakreslených na obr. 3 a bude zklamán zjištěným rozporem. Ten
29
není způsoben chybou tisku či uvedené teorie ale tím, že složení soustavy N funkcí walh(ih, Θ ) je závislé na hodnotě N. Souvislost mezi Hadamardovými maticemi a posloupnostmi Walh(i,n), případně maticemi Hh(j), nám umožňuje tyto funkce, případně matice, poměrně snadno získávat. O uplatnění ortogonálních posloupností ve funkci rozprostíracích posloupností je pojednáno v elektronickém textu [20], kapitola 6. Rozprostírací posloupnosti.
30
( část B - stochastické signály)
2.7 POČET PRAVDĚPODOBNOSTI 2.7.1 Náhodná veličina Náhodná veličina bývá označena symbolem ξ nebo X. Nabývá hodnot x. Náhodnou veličinu můžeme popsat pomocí momentů. Obecný moment
E [g ( X )] =
∞
∫ g ( x) f
( x)dx .
(1)
f X ( x)dx .
(2)
X
−∞
Střední hodnota (mean) X = E[X ] =
∞
∫x
−∞
Rozptyl (variance), disperse
[
]
var[X ] = E (X − X ) . 2
(3)
Směrodatná odchylka σ (standard deviation) Středně kvadratická hodnota E X 2
[ ]
2.7.2 Dvojice náhodných veličin Pro druhou náhodnou veličinu můžeme použít označení η nebo Y. Snažíme se popsat statistickou závislost obou veličin. Kovariance (covariance)
cov[X , Y ] = E [( X − X )(Y − Y )] . Činitel korelace (correlation coefficient)
ρ XY =
cov[ X , Y ]
σ XσY
.
2.7.3 Náhodné vektory Pro náhodné veličiny X n , n = 1, 2, … N definujeme náhodný vektor (random vector)
31
(4)
(5)
⎡ X1 ⎤ ⎢X ⎥ ⎢ 2⎥ X = ⎢ . ⎥. ⎢ . ⎥ ⎢X ⎥ ⎣ N⎦
(6)
Je to významný pojem, protože číslicový signál délky N, který je prakticky vždy předmětem čísového zpracování signálu, je většinou náhodným vektorem, případně, náhodný vektor je náhodnou složkou číslicového signálu délky N. Distribuční funkce
FX (x) = P(( X 1 < x1 ) ∧ .............. ∧ ( X N < xN ) ) .
(7)
Hustota pravděpodobnosti (joint probability density function) ∂ N FX (x) . ∂x1∂x2 .....∂xN
f X ( x) =
(8)
Střední hodnota ⎡ X1 ⎤ ⎡ X1 ⎤ ⎢X ⎥ ⎢X ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ X = E [X] = E ⎢ . ⎥ = ⎢ . ⎥ . ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥ ⎢X ⎥ ⎢ ⎣ N ⎦ ⎣X N ⎦
(9)
Variační matice
[
]
var[X] = E ( X − X)(X − X) T .
(10)
Přitom ⎡∞ ⎤ ⎢ ∫ g1 (a1 ,..., a N ) f X (a1 ,...., a N )da1 ...da N ⎥ ⎢ −∞ ⎥ . ⎢ ⎥. E [g ( X)] = ⎢ ⎥ . ⎢∞ ⎥ ⎢ g (a ,..., a ) f (a ,...., a )da ...da ⎥ N X 1 N 1 N ⎢⎣−∫∞ N 1 ⎥⎦
(11)
Je tedy
⎡∞ ⎤ ⎢ ∫ a1 f X (a1 ,..., a N )da1 ....da N ⎥ ⎢ −∞ ⎥ . ⎢ ⎥ = [X ,........, X ]T , X=⎢ N 1 ⎥ . ⎢∞ ⎥ ⎢ a f (a ,..., a )da ....da ⎥ N N 1 ⎢⎣ −∫∞ N X 1 ⎥⎦
32
(12)
a varianční matice
cov[ X 1 , X 2 ] ⎡ var[ X 1 ] ⎢ cov[ X , X ] var[X 2 ] . 1 2 var[X] = ⎢ ⎢ . . . ⎢ . . ⎣cov[ X 1 , X N ]
cov[ X 1 , X N ]⎤ ⎥ . ⎥. ⎥ . ⎥ var[X N ] ⎦
(13)
cov[Y, X] = E (Y − Y )(X − X) T = cov T [X, Y] ,
(14)
Kovarianční matice
[
u dvou stejných vektorů
]
cov[X, X] = var[X] .
(15)
T ⎛ 1 ⎞ exp⎜ − (x − X ) var −1 [X](x − X )⎟ . ⎝ 2 ⎠ (2π ) det (var[X])
(16)
Normální rozdělení f X ( x)
1
N
2.8 NÁHODNÉ PROCESY Náhodné procesy se spojitým časem, obecné označení procesu: ξ (t ), X (t ) , hodnoty náhodného procesu: x(t) . Korelační funkce Autokorelační funkce Autokovarianční funkce
R X (t1 , t 2 ) = E [ X (t1 ) X (t 2 )] .
(17)
K X (t1 , t 2 ) = E [( X (t1 ) − X (t1 ))( X (t 2 ) − X (t 2 ))]
(18)
2.9 DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ PROCESY Náhodné procesy s diskrétním časem. Uspořádaná N-tice prvků signálu délky N může být nazírána jako vektor – viz rovnice (6). ⎡ X (t1 ) ⎤ ⎢ X (t ) ⎥ 2 ⎥ . X=⎢ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ X (t N )⎦
Korelační matice
33
(19)
⎡ R (t1 , t1 ) R (t1 , t 2 ) ⎢ R(t , t ) R(t , t ) 2 2 RX = ⎢ 2 1 ⎢ . . ⎢ . ⎣ R(t N , t1 )
R(t1 , t N ) ⎤ ⎥ . ⎥. ⎥ . . ⎥ . R(t N , t N )⎦ . .
(20)
Pro stacionární náhodný proces jsou významné jen časové rozdíly τ ij = t i − t j Navíc platí, že R (τ ) = R(−τ ) . Při číslicovém zpracování je t i = (i − 1)T , takže . R(0) R(T ) R(( N − 1)T )⎤ ⎡ ⎢ R(T ) ⎥ . R(0) R(T ) ⎢ ⎥. RX = ⎢ ⎥ . . . R(T ) ⎢ ⎥ . . R(0) ⎦ ⎣ R(( N − 1)T )
(21)
Kovarianční matice Používá se častěji. Nezřídka je totožná s korelační. Někdy se také nazývá korelační v důsledku nejednotnosti terminologie.
[
[ ])] .
⎡ σ 12 σ 1σ 2 ρ12 ⎢ σ σ ρ σ 22 K = ⎢ 2 1 21 ⎢ . . ⎢ . ⎢⎣σ N σ 1 ρ N 1
. σ 1σ N ρ 1N ⎤ ⎥ . . .⎥ . ⎥ . . ⎥ σ N2 . ⎥⎦
K = E (X − E[X])(X T − E X T
Platí
[ ]
K X = R X − E[X]E X T .
(22)
(23)
U stacionárních náhodných procesů je
σ i= σ j = σ
ρ ij = ρ i − j a
⎡ 1 ⎢ ρ KX =σ 2⎢ 1 ⎢ . ⎢ ⎣ ρ N −1
ρ1
.
1
ρ1
ρ1
.
.
ρ1
ρ N −1 ⎤
. ⎥⎥ . ρ1 ⎥ ⎥ 1 ⎦
Jedná se o Toeplitzovu matici. Příklad : Vzorky stacionárního náhodného procesu s korelační funkcí
R X (τ ) = 10 exp(− τ ) + 9 . T=1, N=3. Zapište autokorelační a autokovarianční matici.
34
(24)
10 exp(0) + 9 = 19 10 exp(−1) + 9 = 12,68 10 exp(−2) + 9 = 10,35
σ 2 = 10,
⎡ 19 12,68 10,35⎤ R X = ⎢⎢12,68 19 12,68⎥⎥ . ⎢⎣10,35 12,68 19 ⎥⎦
(25)
0,368 0,135 ⎤ ⎡ 1 ⎢ K X = 10⎢0,368 1 0,368⎥⎥ . ⎢⎣ 0,135 0,368 1 ⎥⎦
(26)
střední hodnota je 3 nebo –3
Konec příkladu.
2.10 KOMPLEXNÍ NÁHODNÉ PROCESY 2.10.1 Zavedení a charakteristiky Komplexní náhodný proces je uspořádaná dvojice dvou procesů:
Střední hodnota
Korelační funkce
Z (t ) = X (t ) + jY (t ) .
(27)
E [Z (t )] = E [ X (t )] + jE [Y (t )] .
(28)
[
]
R (t1 , t 2 ) = E Z (t1 ) Z * (t 2 ) = E{[X (t1 ) + jY (t1 )][X (t 2 ) − jY (t 2 )]} =
= RXX (t1 , t 2 ) + RYY (t1 , t 2 ) + jRYX (t1 , t 2 ) − jR XY (t1 , t 2 )
.
(29)
Poznámka: Mezi RYX a R XY není vztah ani při stacionaritě procesu. Konec poznámky.
Případ
t1 = t 2 = t
{
R(t , t ) = E Z (t )
2
}= E{X (t )}+ E{Y (t )}. 2
2
(30)
R XY (t , t ) = RYX (t , t ) .
(31)
) Z (t ) = X (t ) + jX (t ) ,
(32)
2.10.2 Analytický náhodný signál
) kde X (t ) je Hilbertův obraz procesu X(t).
35
Je-li proces X(t) stacionární v širokém smyslu a má střední hodnotu rovnu nule, je i jeho Hilbertův obraz stacionární a má střední hodnotu rovnu nule. Navíc pro korelační funkci ) platí, při označení Y = X :
a
R XX (τ ) = RYY (τ ) ,
(33)
R XY (τ ) = − RYX (τ ) .
(34)
Díky tomu může být autokorelační funkce analytického signálu zapsána ve tvaru: RZZ (τ ) = 2[R XX (τ ) + jR XY (τ )] .
(35)
Je-li zaveden analytický náhodný signál, může být zavedena i náhodná komplexní obálka. Pro varianci komplexního náhodného procesu (27) platí: var[Z ] = var[X ] + var[Y ] ,
(36)
neboli:
σ 2 = σ X2 + σ Y2
(37) Pro vyjádření signálu v základním pásmu pomocí synfázní a kvadraturní a složky I a Q používáme nejčastěji komplexní signál. Někdy je potřeba přidat k tomuto komplexnímu signálu odpovídající aditivní šum pro požadovaný odstup signál-šum, např. při simulacích rádiových systémů. Jedním z řešení je použití funkce AWGN v Matlabu. Funkce k zadanému vektoru x přidá aditivní gaussovský šum odpovídající zadanému SNR v dB. Je-li vektor signálu x komplexní, je i přidávaný šum komplexní. Příklad: Pro SNR = 10 dB můžeme použít příkazy: y = awgn(x,10); výkon x je předpokládán 0 dB (výkon = 1 W), y = awgn(x,10,sigpower); výkon x v dBW je dán hodnotou sigpower, y = awgn(x,10,’measured’); výkon x je před přidáním šumu zjištěn funkcí awgn. y je signál x s přičteným šumem. Konec příkladu. Další možnosti čtenáři ukáže help awgn. 2.10.3 Ortogonální rozklad náhodného procesu – spojitý čas
Tvoří-li funkce {ϕ k (t )} ortogonální bázi pro t ≤ T , T je kladná konstanta, můžeme náhodný proces vyjádřit vztahem K
X (t ) = ∑ c k ϕ k (t )
t ≤T ,
pro
(38)
k =1
c k jsou náhodné veličiny. Zvláštní případ rozkladu Zvláštním případem ortogonálního rozkladu je rozklad, ve kterém roli náhodných koeficientů hrají vzorky: X (t ) ≈
∞
∑ X (nT ) sinc [ω
n = −∞
36
m
(t − nT )] .
(39)
Rozklad lze aplikovat na stacionární náhodný proces s konečným středním výkonem a se spektrální hustotou výkonu omezenou kmitočtem ω m . Nekorelované jsou vzorky X(nT) v případě, že proces X(t) vznikl průchodem bílého šumu ideální dolní propustí s mezním kmitočtem ω m . Obecně jsou koeficienty rozkladu c k korelované náhodné veličiny. Aby byly koeficienty nekorelované, nutno volit funkce ϕ k (t ) zvláštním způsobem a to jako řešení (vlastní funkce ϕ (t ) ) homogenní lineární integrální rovnice
λϕ (t ) =
T /2
∫ R(t − τ )ϕ (τ )dτ ,
−T / 2
t ≤
T , 2
(40)
λ je vlastní číslo. Takovýto rozklad se pak nazývá rozkladem s optimální bází, neboli rozkladem Karhunnenovým – Loevovým (KL) [13]. Rovnice typu (40) se nazývá rovnice Fredholmova a je obtížně řešitelná. Většinou se neřeší. Pro stacionární bílý šum je splněna pro libovolnou bázi. Ortogonální rozklad lze aplikovat i na komplexní náhodné procesy. 2.10.4 Ortogonální rozklad náhodného procesu – diskrétní čas
Nechť X je vektor náhodných pozorování s nulovou střední hodnotou a s korelační maticí R. X má rozměr Mx1. Nechť q1 , q 2 ,.... .., q M jsou vlastní vektory matice R. Vektor X může být vyjádřen takto: M
X = ∑ ci q i .
(41)
i =1
Koeficienty rozvoje mají nulovou střední hodnotu a jsou nekorelované. Jsou dány skalárním součinem ci = q iH X , i = 1, 2, .... , M . (42) Vlastní vektory q1 , q 2 ,.... .., q M tvoří ortonormální množinu za předpokladu, že jsou normalizovány. E[ci ] = 0 pro i = 1, 2, ... M (43) i= j ⎧λ E[ci c*j ] = ⎨ i (44) i≠ j ⎩0 Každý koeficient ci má střední kvadratickou hodnotu rovnu odpovídající vlastní hodnotě. Vlastní vektory q1 , q 2 ,.... .., q M můžeme chápat jako bázi M-rozměrného prostoru. Reprezentují náhodný vektor X množinou jejich projekcí c1 , c 2 , ...., c M na tyto souřadnice, osy. Platí: M
∑c i =1
kde X je Eukleidovská norma X.
37
2 i
= X ,
(45)
2
E[ ci ] = λi
i = 1, 2, .... , M .
(46)
karhu2.m Po spuštění m-file karhu2.m a první prohlídce výsledků se doporučují následující kroky: 1. Podívat se na autokorelační funkci (Fig. 7) 2. Změnit amplitudu harmonické složky signálu směrem k 1 a směrem k nule a přitom sledovat vlastní čísla, průběhy vlastních vektorů a autokorelační funkci. 3. Změnit velikost M matice . 4. Zkusit vynulovat malé prvky obrazu před rekonstrukcí.
2.11 CYKLOSTACIONÁRNÍ PROCESY U náhodných procesů se nejčastěji předpokládá, že jsou stacionární. V praxi předpoklad mnohdy není splněn. Obecný nestacionární popis je dosti komplikovaný a těžkopádný, takže jsme rádi, když můžeme předpokládat alespoň určitý druh nestacionarity. Na tom je postavena teorie cyklostacionárních signálů, signálů, které se ve sdělovací technice často vyskytují. Nechť X(n) je diskrétní náhodný proces (případně i komplexní). Jeho střední hodnotu označíme a(n) a jeho kovarianci c(n; m) . Zde m má význam zpoždění. DEFINICE 1 Proces se nazývá cyklostacionární (CS) v širokém slova smyslu, jestliže existuje celé číslo P takové, že ∀n, i ∈ Z : a(n) = a(n + iP) a c(n; m) = c(n + iP; m). Nejmenší taková možná hodota P se nazývá perioda. Periodicita umožňuje na kovarianci aplikovat Fourierovský rozvoj (je to v podstatě DFŘ): 2π ⎛ 2π ⎞ 1 P−1 C⎜ k ; m ⎟ = ∑ c(n; m) exp(− j kn) , P ⎠ P n =0 ⎝ P P −1 2π ⎛ 2π ⎞ c(n; m) = ∑ C ⎜ k ; m ⎟ exp( j kn) . P ⎝ P ⎠ k =0
(47)
(48)
Při vzorkování harmonické složky signálu většinou není potřebný vztah mezi jejím kmitočtem a vzorkovacím kmitočtem, takže vzniklý proces není cyklostacionární. Proto se zavádí další volnější pojem. DEFINICE 2 Proces se nazývá skoro cyklostacionární (ACS, almost cyklostacionary) v širokém slova smyslu, jestliže a(n) a c(n; m) jsou skoro periodické. Pro X(n) reálné a s nulovou střední hodotou je časově proměnná a cyklická korelace definována zobecněnou Fourierovu transformací: 1 N −1 C (α k ; m ) = lim ∑ c(n; m) exp(− jα k n) (49) N →∞ N n=0 c(n; m) =
∑ C (α
α k ∈A
38
k
; m )exp( jα k n)
(50)
Počet cyklů A = {α k : C (α k ; m) ≠ 0, − π < α k ≤ π } je spočetný a předpokládá se, že limita existuje přinejmenším ve středně kvadratickém smyslu. Příklad: Harmonický signál s multiplikativním šumem u(n) a aditivním šumem v(n).
x(n) = u (n) cosω c t + v(n)
(51)
kde u (n) a v(n) jsou reálné, stacionární a vzájemně nezávislé diskrétní náhodné procesy. Takový signál se objevuje například v kanálu s plochým únikem. Konec příkladu.
2.12 PSEUDONÁHODNÉ SIGNÁLY 2.12.1 Pseudonáhodné signály pro simulace
Počítačová simulace náhodných jevů a procesů je oblíbeným a často i jediným možným nástrojem pro řešení některých úloh. Vytvořit kvalitní generátor náhodné posloupnosti však není snadné. V dávných dobách se dokonce používaly generátory s radioaktivními prvky, později se využívaly šumové diody. Čísla jimi poskytovaná byla opravdu náhodná, u generátorů se ale mohlo projevovat stárnutí. Levnější se ukázala náhrada náhodných posloupností posloupnostmi pseudonáhodnými. Byla navržena spousta algoritmů pro jejich vytváření. V současné době se používají tzv. kongruentní generátory. Aby se omezila závislost na typu počítače, ustálilo se používání celočíselných generátorů. Generované posloupnosti jsou periodické s velmi dlouhou periodou. Pro zjišťování jejich kvality existuje celá řada testů. Ve sdělovací technice široce používáme simulace náhodných kanálů, datových signálů a šumů. V Matlabu jsou pro daný účel k disposici příkazy rand, randn a awgn. 2.12.2 Pseudonáhodné rozprostírací posloupnosti
Náhodné rozprostírací posloupnosti mají ideální autokorelační vlastnosti a méně příznivé vlastnosti vzájemné korelační funkce. Generování čistě náhodných posloupností není praktické, navíc není možné generovat repliku náhodné posloupnosti v místě příjmu. Proto používáme posloupnosti pseudonáhodné. Pro označení generátoru pseudonáhodné binární posloupnosti se používá zkratka PRBS (Pseudorandom Bit Generator) Nejznámější diskrétní pseudonáhodné náhodné (PN) posloupnosti určené pro rozprostírání můžeme rozdělit do tří skupin: • m - sekvence • Goldovy sekvence • Sekvence Kasami m - sequence Pro vytváření se používají m-stupňové posuvné registry se zpětnými vazbami nastavenými tak, aby byla generována posloupnost maximální délky. Označují se často zkratkou LFSR (Linear Feedback Shift Register). Nejsou vhodné pro kryptografické účely, protože jimi
39
generované posloupnosti jsou dokonale předpověditelné na základě pozorovaní sekvence 2m po sobě jdoucích bitů. Generovaná sekvence je periodická s periodou p = 2 m − 1 . Tabulka 2. Počty m sekvencí. Délka registu Perioda 2 3 3 7 4 15 5 31 6 63 7 127 8 255 9 511 10 1023
Počet různých sekvencí 1 2 2 6 6 18 16 48 60
Každá perioda obsahuje 12 p jedniček a 12 p − 1 nul. Autokorelační funkce je blízká ideální. Nestejný počet nul a jedniček vede k tomu, že se často na konec periody přidává nula. Tím se ovšem autokorelční vlastnosti poněkud zhorší. Někdy, a to dost často, musíme brát v úvahu a sledovat autokorelační vlastnosti úseku kratších, než je perioda.
m -s equenc e
Obr. 9. Jednoduchý generátor m-sekvence.
1 0 -1 0
5
10
15
20
25
30
t
1
Ra
0.5 0 -0.5
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15
-10
-5
0 tau
5
10
15
1
Rc
0.5 0 -0.5
Obr. 10. m-sekvence, její autorkorelační funkce a vzájemná Mseq2.m korelační funkce s jinou m-sekvencí. 40
O uplatnění ortogonálních posloupností ve funkci rozprostíracích posloupností je podrobněji pojednáno v elektronickém textu [20], kapitola 6. Rozprostírací posloupnosti.
LITERATURA [1]
L. E. Franks, Signal theory. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, Inc., 1969.
[2]
N. Kalouptidis, Signal Processing Systems. Theory and Design. New York: John Wiley & Sons, INC., 1997.
[3]
S. K. Mitra, Digital Signal Processing. A Comuter-Based Approach. New York: McGraw-Hill, 1998.
[4]
T.K. Moon and W. C. Stirling, Mathematical Methods and Algorithms for Signal Processing. Upper Sadle River: Prentice Hall, 1999.
[5]
V. Šebesta a Z. Smékal, Signály a soustavy. Brno: VUT 2003.
[6]
S. MacLane, S. and G. Birkhoff, Algebra. Bratislava 1972.
[7]
K. Rektorys, Přehled užité matematiky. 2. vydání. Praha: SNTL, 1968.
[8]
J. Adámek, Kódování. Matematika pro vysoké školy technické. Praha: SNTL, 1989.
[9]
A. Pultr. Podprostory Eukleidovských prostorů. Matematický seminář. Praha: SNTL, 1986.
[10] J. Matušů, Ortogonální systémy. Matematika pro vysoké školy technické. Praha: SNTL, 1985. [11] Z. Horský, Vektorové prostory. Matematika pro vysoké školy technické. Praha: SNTL, 1980. [12] J. Škrášek a Z. Tichý, Základy aplikované matematiky I. Praha, SNTL 1989. [13] J. Hlávka, J. Klátil a S. Kubík, Komplexní proměnná v elektrotechnice. Praha, SNTL 1990. [14] G. A. Korn and T.M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York, McGraw Hill 1968. [15] R. D. Hippenstiel, Detection Theory. Applicaions and Digital Signal Processing. CRC Press, 2002. ISBN: 0849304342 [16] A. C. den Brinker and H. J. W. Belt, „Optimal Free Parameterst in Orthonormal Approximations, “ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 46, pp. 2081-2087, August 1998. [17] E. Brookner, „Equivalence Between Voltage-Processing Methods and Discrete Orthogonal Polynomial (DOLP) Approach, “ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 47, pp. 2273-, August 1999. [18] A. Kufner, Geometrie Hilbertova prostoru. Praha: SNTL, 1973. [19] Ch. Boukis, et al., „A Novel Algorithm for the Adaptation of the Pole of Laguere Filters, “ IEEE Signal Processing Letters, vol. 13, pp. 429432, July 2006.
41
[20] Šebesta V. Vybrané statni z teorie signálu. Brno 2004. Webové stránky Laboratoře pro zpracování signálu, UREL FEKT, http://www.urel.feec.vutbr.cz//SPL2/index.html [21]
D. Lee, H. Lee and L. B. Milstein, “Direct Sequence Spread Spectrum Walsh-QPSK Modulation,” IEEE Trans. Commun., vol. 46, pp. 1227-1232, Sept. 1998.
[22]
M. K. Tsatsanis and G. B. Giannakis, „Transmitter Induced Cyclostationarity for Blind Channel Equalization,“ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 45, pp. 1785-, July 1997. M. T. Terrovitis, K. S. Kundert and R. G. Meyer, „Cyclostationary Noise in RadioFrequency Communication Systems,“ IEEE Trans. CaS I, vol 49, pp. 1666-1671, Nov. 2002. L. Izzo and A. Napolitano, „Linear Time-Variant Transformations of Generalized Almost-Cyclostationary Sognals – Part I: Theory and Method,“ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 50, pp. 2947-2961, Dec. 2002. L. Izzo and A. Napolitano, „Linear Time-Variant Transformations of Generalized Almost-Cyclostationary Sognals – Part II: Development and Applications,“ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 50, pp. 2962-, Dec. 2002. G. De Nicolao and G. Ferrari-Trecate, „On the Wold Decomposition of Discrete Cyclostationary Precesses. IEEE Trans. Signal Processing, vol. 47, pp. 2041-2043, July 1999. F. Gini and G. B. Giannakis, „Frequency Offser and Symbol Timing Recovery in FlatFading Channels: A Cyclostationary Approach,“ IEEE Trans. Commun. vol. 46, pp. 400-, March 1998. A. V. Dandawaté and G. B. Giannakis, ”Statistical Tests for Presence of Cyclostationarity,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 42, pp. 2355-, Sept. 1994. L. Izzo and A. Napolitano, „The Higher Order Theory of Generalized AlmostCyclostationary Time Series,“ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 46, pp. 2975-, Nov. 1998. Z. Hrdina, Statistická radiotechnika. Praha: ČVUT, 1996. V. K. Madisetti and D. B. Williams, The Digital Signal Processing Handbook, Boca Raton, CRC PRESS 1998. B. Porat, Digital Processing of Random Signals. Theory and Methods. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, Inc., 1993. K. Fukunaga, Introduction to Statistical Patern Recognition. Aan Diego: Margan Kaufmann, 1990. J. Navarro-Mesa, A. Moreno-Bilbao and E. Lleida-Solano, „An Improved Speech Endpoint Detection System in Noisy Enviroments by means of Third-Order Spectra,“ IEEE Signal Processing Letters, vol. 6, pp. 224-226, Sept. 1999.
[23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34]
[35]
M. Coulon, J-Y. Tourneret and A. Swami, „Detection of Multiplicative Noise in Stationary Random Processes Using Second- and Higher Order Statistics,“ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 48, pp. 2566-, Sept. 2000.
[36]
L. M. Garth and H. V. Poor, „Detection of Non-Gaussian Signals: A Paradigm for Modern Statistical Signal Processing,“ Proceedings of the IEEE, vol 82, pp. 10611095, July 1994.
[37]
D. Yellin and E. Weinstein, „Multichannel Signal Separation: Methods and Analysis,“ IEEE Trans. Signal Processing, vol. 44, pp. 106-118, Jan. 1996.
[38]
W. H. Tranter, et al., Principles of Communication Systems Simulation with Wireless Applications. Upper Sadle River: Prentice Hall, 2004.
[39]
R. F. Brcich, D. R. Iskander and A. M. Zoubir, “The Stability Test for Symetric 42
[40] [41] [42] [43]
Alpha-Stable Distributions,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 53, pp. 977-986, March 2005. I. Kaj, Stochastic Modeling in Broadband Communications Systems. 2002. ISBN 089871-519-9. Siam, Dept. BKFB02, 3600 University City Science Center, Philadelphia, PA 19104-2688. M. Ghavami, L. B. Michael and R. Kohno, Ultra Wideband Signals and Systems in Communication Engineering. Southern Gate: John Wiley & Sons, Ltd., 2004. I. Oppermann and B. S. Vucetic, “Complex Spreading Sequences with a Wide Range of Correlation Properties,” IEEE Trans. Commun., vol. 45, pp. 365-375, March 1997. T. Addabbo, et al., “Low-Hardware Complexity PRBG Based on a Piecewise-Linear Chaotic Map,” IEEE Trans.on Circuits and Systems - II, vol. 53, pp. 329-333, May 2006.
43
