Contoh: 1. Hitunglah 3 7 a. b. 5 : :3 8 12 Solusi: 7 7 1 7 a. :3 12 12 3 36 3 8 40 1 b. 5 : 5 13 8 3 3 3
5 c. 8 : 6 9
d. 14 : 2
1 3
5 77 77 1 77 23 c. 8 : 6 :6 1 9 9 9 6 54 54 1 7 3 d. 14 : 2 14 : 14 6 3 3 7 2 2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3 5 orang anaknya dengan luas yang sama. Carilah luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing. Solusi: 2 27 1 9 4 1 hektar. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 : 3 5 5 3 5 5 a. Operasi Hitung pada Desimal Pecahan yang penyebutnya pangkat dari 10 dinamakan pecahan desimal. 1 9 23 89 Contoh: , , , , dan sebagainya. 10 10 100 1000 Pembacaan suatu desimal, angka-angkanya dinamakan tingkat (derajat). Maka 0,379 dibaca sebagai nol koma (atau desimal) tiga, tujuh, sembilan. Bilangan di belakang tanda koma dinamakan bilangan tempat desimal. Maka 2,561 mempunyai tiga tempat desimal dan 940,57 mempunyai dua tempat desimal. 1. Menyatakan Desimal dalam Pecahan Desimal Aturan: Suatu desimal dinyatakan dalam pecahan desimal dengan menuliskan angka di depan koma ditambah angka di belakang koma sebagai pembilang dibagi 10 dipangkatkan banyaknya angka di belakang koma. Contoh: Tuliskan dalam pecahan desimal setiap desimal berikut ini. a. 0,87 b. 0,0037 c. 6,019 Solusi: 87 0037 37 019 19 6 a. 0,87 b. 0,0037 c. 6,019 6 100 10000 10000 1000 1000 Jika pembilang dan penyebut dari suatu pecahan terdiri dari bilangan dengan tempat desimal yang sama, maka kita dapat menuliskannya tanpa tanda desimal. Contoh: 0,75 075 75 3,2459 32459 8,54 85400 a. b. c. 4,56 456 456 27,1875 271875 6,9703 69703
2. Penjumlahan dan Pengurangan pada Desimal Penjumlahan dan Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan lebih cepat dengan cara bersusun. Aturan:
95 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Tulis ke bawah bilangan-bilangan satu di bawah yang lain, penempatan koma decimal pada satu kolom. Bilangan sekarang dapat dijumlahkan atau dikurangkan seperti biasa. Contoh: 1. Hitunglah 7,054 + 0,9 + 120,06 + 25 Solusi: 7,054 0,9 120,06 25
+
153 ,014 Jadi, 7,054 + 0,9 + 120,06 + 25 = 153,014. 2. Hitunglah 96,4 – 27,053 Solusi: Kita tulis dua angka nol di kanan 26,4, kemudian kurangkan seperti pada kasus bilangan bulat. 96,400 27,053
69,347 Jadi, 96,4 – 27,053 = 69,347 3. Perkalian pada Desimal 1) Pada Perkalian dengan 10, 100, 1000, dan seterusnya Aturan: Pindahkan tempat koma desimal ke kanan sebanyak nol dari pengalinya. Contoh: Hitunglah a. 48,057 × 100 b. 83,45 × 1000 Solusi: a. 48,057 × 100 = 4805,7 b. 83,45 × 1000 = 83450 2) Pada Perkalian dengan Bilangan Cacah Aturan: Perkalian seperti pada kasus bilangan bulat. Tanda koma desimal diletakkan pada hasil kalinya dari belakang dengan menghitung angka-angkanya sebanyak jumlah angka-angka bilangan desimal dari bilangan-bilangan semula. Contoh: Hitunglah a. 3,6 × 14 b. 0,8 × 17 c. 0,008 × 17 d. 0,00008 × 17 Solusi: a. Langkah 1: 36 × 14 = 504 Langkah 2: Karena dalam perkalian itu ada satu tempat desimal, maka hasil kalinya juga mempunyai satu tempat desimal. Jadi, 3,6 × 14 = 50,4. b. Langkah 1: 8 × 17 = 136 Langkah 2: Karena dalam perkalian itu ada satu tempat desimal, maka hasil kalinya juga mempunyai satu tempat desimal.
96 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Jadi, 0,8 × 17 = 13,6. c. Langkah 1: 8 × 17 = 136 Langkah 2: Karena dalam perkalian itu ada tiga tempat desimal, maka hasil kalinya juga mempunyai tiga tempat desimal. Jadi, 0,008 × 17 = 0,136. d. Langkah 1: 8 × 17 = 136 Langkah 2: Karena dalam perkalian itu ada lima tempat desimal, maka hasil kalinya juga mempunyai lima tempat desimal. Jadi, 0,00008 × 17 = 0,00136. 3) Pada Perkalian Desimal dengan Desimal Aturan: Perkalian seperti pada kasus bilangan bulat. Tanda koma desimal diletakkan pada hasil kalinya dari belakang dengan menghitung angka-angkanya sebanyak jumlah angka-angka bilangan desimal dari bilangan-bilangan semula. Contoh: Hitunglah a. 0,87 × 0,09 b. 0,7362 × 0,25 Solusi: a. Langkah 1: 87 × 9 = 783 Langkah 2: Jumlah tempat desimal adalah 2 + 2 = 4, maka hasil kalinya juga ada 4 tempat desimal. Tetapi di sana hanya ada tiga angka (digit) dalam hasil kalinya, maka kita tambahkan satu angka nol sebelum tempat desimal. Jadi, 0,87 × 0,09 = 0,0783. b. Langkah 1: 7362 × 25 = 184050 Langkah 2: Jumlah tempat desimal adalah 4 + 2 = 6, maka hasil kalinya juga mempunyai 6 tempat desimal. Jadi, 0,7362 × 0,25 = 0,184050 = 0,18405 4. Pembagian pada Desimal 1. Jika Pembaginya adalah 10, 100, 1000, dan seterusnya Aturan: Pada pembagian decimal dengan 10, 100, 1000, dan seterusnya, pindahkan tempat koma desimal 1, 2, 3, dan seterusnya masing-masing ke kiri. Contoh: a. 756,9 : 10 = 75,69 b. 6,234 : 100 = 0,06234 c. 0,0007 : 1000 = 0,0000007 d. 567,921 : 1000000 = 0,000567921 e. 7,09 : 10000000 = 0,000000709 2. Jika Pembagi adalah Pecahan Desimal Aturan: 1. Jika yang dibagi dan pembagi mempunyai desimal yang sama, maka koma desimalnya dapat dihilangkan. Contoh: Hitunglah
97 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
a.
76,8 6,4
b.
0,6764 1,9
Solusi: 76,8 768 0,6764 6764 12 0,356 a. b. 6,4 64 1,9 19000 2. Jika yang dibagi dan pembagi mempunyai desimal yang berbeda, maka koma desimalnya dapat dihilangkan dengan menambahkan angka nol di belakangnya yang sesuai. Contoh: Hitunglah 62,8 0,00351 a. b. 0,0032 0,0018 Solusi: 62,8 628000 19625 a. 0,0032 32
b.
0,00351 351 1,95 0,0018 180
b. Pembulatan Desimal Pembulatan desimal adalah penentuan bilangan terdekat sesuai dengan ketelitian yang dibutuhkan atau membatasi tempat desimal (beberapa angka di belakang koma) sesuai kebutuhan. Aturan Pembulatan: Jika angka yang dihilangkan paling kanan lebih dari atau sama dengan 5, maka tambahlah angka yang letaknya tepat di sebelah kiri dari angka ini dengan 1. Jika angka yang dihilangkan paling kanan kurang dari 5, maka angka yang letaknya tepat di sebelah kiri dari angka ini tidak berubah. Contoh: Bulatkanlah desimal-desimal berikut ini. a. 9,6581 (sampai satu tempat desimal) b. 75,0548 (sampai dua tempat desimal) c. 0,747474… (sampai tiga tempat desimal) d. 2,75458 (sampai empat tempat desimal) Solusi: a. 9,6581 = 9,7 c. 0,747474 = 0,747 b. 75,0548 = 75,05 d. 2,75458 = 2,7546 c. Menaksir Operasi Hitung Pecahan 1. Menaksir Jumlah dan Selisih Pecahan dengan Menggunakan Bilangan Cacah Contoh: Taksirlah nilai n dari operasi berikut ini. 1 5 7 1 a. 8 5 b. 208 159 3 6 8 4 Solusi: a. Taksiran rendah untuk n adalah 8 + 5 = 13. Taksiran tinggi untuk n adalah 9 + 6 = 15. Jadi. 13 < n < 15. Taksiran yang baik: 7 Bilangan cacah terdekat ke 8 adalah 9. 8
98 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Bilangan cacah terdekat ke 5
1 adalah 5. 4
Jadi, n kira-kira 9 + 5 = 14. b. Untuk menentukan taksiran itu digunakan kelipatan 10 yang dekat dengan bilangan-bilangan itu. Jadi, n kira-kira 210 + 160 = 370. 2. Menaksir Hasil Kali Pecahan dengan Menggunakan Bilangan Cacah Contoh: Taksirlah nilai n dari operasi berikut. 3 1 3 8 a. 12 5 b. 149 59 5 3 8 9 Solusi: a. Taksiran rendah untuk n adalah 12 × 5 = 60. Taksiran tinggi untuk n adalah 13 × 6 = 78. Taksiran yang baik: 3 Bilangan cacah terdekat ke 12 adalah 13. 5 1 Bilangan cacah terdekat ke 5 adalah 5. 3 Jadi, n kira-kira 13 × 5 = 65. b. Taksiran yang baik adalah 150 × 60 = 9.000. 3. Menaksir Hasil Bagi Pecahan dengan Menggunakan Bilangan Cacah Contoh: Taksirlah nilai n dari operasi berikut. 7 6 33 1 a. 85 : 5 b. 207 : 19 10 10 40 4 Solusi: a. Taksiran rendah untuk n adalah 85 : 5 = 17. 1 Taksiran tinggi untuk n adalah 86 : 6 = 14 3 Taksiran yang baik: 33 Bilangan cacah terdekat ke 85 adalah 86. 40 1 Bilangan cacah terdekat ke 5 adalah 5. 4 1 Jadi, n kira-kira 86 : 5 = 17 . 5 1 b. Taksiran yang baik adalah 210 : 20 = 10 . 2 d. Menaksir Operasi Hitung Desimal Pada dasarnya menkasir operasi hitung desimal sejalan dengan menaksir operasi hitung bilangan pecahan. Contoh: Carilah nilai n pada setiap operasi berikut ini.
99 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
j.
a. 4,165 + 3,075 = n c. 59,8 × 9,59 = n b. 82,4 – 38,6 = n d. 401,675 : 2,14 = n Solusi: a. Taksiran yang baik untuk n kira-kira 4 + 3 = 7. b. Taksiran yang baik untuk n kira-kira 82 40 = 42. c. Taksiran yang baik untuk n kira-kira 60 × 10 = 600. d. Taksiran yang baik untuk n kira-kira 400 : 2 = 200. Aturan-aturan Untuk Pemecahan Masalah dalam Aritmetrika a2 b2 a2 b2 a b atau ab ab ab
1.
a 2 b 2 (a b)(a b) atau
2.
(a b) 2 a 2 2ab b 2
3.
(a b) 2 a 2 2ab b 2
4.
(a b) 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 a 3 b 3 3ab(a b)
5.
(a b) 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 a 3 b 3 3ab(a b)
6.
a 3 b 3 (a b) a 2 ab b 2 atau
7.
a 3 b 3 (a b) a 2 ab b 2 atau
8.
a 3 b 3 c 3 3abc (a b c) a 2 b 2 c 2 ab bc ca
9.
a 3 b 3 c 3 3abc jika a b c 0
a3 b3 ab a 2 ab b 2
a3 b3 ab a 2 ab b 2
10. Jumlah n bilangan asli pertama = 1 + 2 + 3 + … + n =
n (n 1) 2
11. Jumlah n bilangan ganjil pertama = 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n 2 12. Jumlah n bilangan genap pertama = 2 + 4 + 6 + … + 2n = n( n 1) n 13. Jumlah n bilangan kubik pertama = (1 + 2 + 3 + … + n ) = (1 + 2 + 3 + … + n) (n 1) 2 3
3
3
3
Contoh: 1. Hitunglah 1682 682 Solusi: Strategi 1: 1682 32 2 28224 1024 27.200
Strategi 2:
Rumus: a 2 b 2 (a b)(a b) 1682 32 2 (168 32)(168 32) (200)(136) = 27.200
100 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
2
2
2. Carilah perbedaan bilangan kuadrat yang berurutan antara 362 dan 352. Solusi: Strategi 1: 36 2 352 36 36 35 35 1.296 1.225 71
Strategi 2: Rumus: a 2 b 2 (a b)(a b) 36 2 352 (36 35)(36 35) (71)(1) 71
Strategi 3: Misalnya a dan b adalah bilangan berurutan, maka Rumus: a 2 b 2 (a b)(a b) Karena a b 1 , maka a 2 b 2 (a b)(1) a b 36 2 352 36 35 71
3. Hitunglah 6889 5776 83 76
a.
b .
2916 9216 54 96
Solusi: a. Strategi 1: 6889 5776 1113 7 83 76 159
Strtaegi 2: Rumus:
a2 b2 6889 5776 832 76 2 ab 83 76 7 ab 83 76 83 76
b. Strategi 1: 2916 9216 6300 150 54 96 42
Strtaegi 2: Rumus:
a2 b2 2916 9216 54 2 96 2 ab 54 96 150 ab 54 96 83 76
4. Hitunglah 54 × 46 dan 89 × 71. Solusi: Rumus: (a b)(a b) a 2 b 2 54 × 46 = (50 + 4)(50 – 4) = 502 – 42 = 2.500 – 16 = 2.484 89 × 71 = (80 + 9)(80 – 9) = 802 – 92 = 6.400 – 81 = 6.319 5. Hitunglah 672 .
101 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Solusi: Strategi 1: 672 = 67 × 67 = 4.489 Strategi 2: Rumus: (a b) 2 a 2 2ab b 2 672 = (60 + 7)2 = 602 + 2 × 60 × 7 + 72 = 3.600 + 840 + 49 = 4.489 6. Hitunglah dan 252 dan 752. Solusi: Strategi 1: 252 = 25 × 25 = 625 752 = 75 × 75 = 5625 Strategi 2: Rumus: (a5)2 = (a + 1) × a dan 25 252 = (2 +1) × 2 dan 25 = 625 752 = (7 + 1) × 8 dan 25 = 5625 7. Hitunglah dan 942. Solusi: Strategi 1: 942 = 94 × 94 = 8.836 Strategi 2: Rumus: (a b) 2 a 2 2ab b 2 942 = (100 6)2 = 1002 2 × 100 × 6 + 62 = 10.000 1.200 + 36 = 8.836 8. Hitunglah 16 16 16 14 14 14 90 16 14
Solusi: Rumus: a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 a 3 b 3 3ab(a b) (a b) 3 16 16 16 14 14 14 90 16 14 163 3(30 16 14) 143
163 3 16 14(16 14) 143 (16 14) 3
(30) 3
= 27.000 9. Hitunglah
68 68 68 62 62 62 68 68 68 62 62 62
Solusi:
102 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
a3 b3 68 68 68 62 62 62 683 683 a b 68 62 6 68 68 68 62 62 62 682 68 62 62 2 a 2 ab b 2
Rumus:
10. Hitunglah
72 72 72 69 69 69 72 72 72 69 72 69
Solusi: Rumus:
a3 b3 72 72 72 69 69 69 723 693 a b 72 69 141 72 72 72 69 72 69 72 2 72 69 69 2 a 2 ab b 2
11. Hitunglah nilai dari 53 33 2 3 . Solusi: Strategi 1: 53 33 2 3 125 27 8 90
Strategi 2: Rumus: a 3 b 3 c 3 3abc jika a b c 0 Karena 5 – 3 – 2 = 0, maka 5 3 33 2 3 3(5)(3)(2) 90 12. Hitunglah 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100. Solusi: Strategi 1: S=
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100
S = 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + … +
1
+ 2S = 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101 (sebanyak 100 buah) 2S = 100(101) S = 100(101) : 2 = 5.050 Jadi, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 = 5.050 Strategi 2: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 =
100 (1 100) 5.050 2
13. Hitunglah 1 + 3 + 5 + … + 101. Solusi: 2n + 1 = 101 2n = 101 – 1 2n = 100 n = 100 : 2 =50 1 + 3 + 5 + … + 101 = 502 = 2.500 14. Hitunglah 2 + 4 + 6 + … + 100. Solusi:
103 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
2n = 100 n = 100 : 2 =50 2 + 4 + 6 + … + 100 = 50(50 + 1) = 2.550 15. Hitunglah a. 13 + 23 + 33 b. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 c.
13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 + 103
Solusi: a. Strategi 1: 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 Strategi 2: 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 = (6)2 = 36 Strategi 3: 2
3 1 + 2 + 3 = (3 1) 62 36 2 3
3
3
b. Strategi 1: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 Strategi 2: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 = (15)2 = 225 Strategi 3: 2
5 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (5 1) 152 225 2
c.
Strategi 1: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 + 103 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 + 1.000 = 3.025 Strategi 2: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 + 103 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10)2 = (55)2 = 3.025 Strategi 3: 2
10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 (10 1) 552 3.025 2 3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
104 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
