numerikus anal´ızis ii.
39
´ ´ ´ ´ B - SPLINEOK DERIVALTJ ARA ERV ENYES : (x) Bmi
2.
=m·
Bm−1 , i−1 (x) Bm−1 , i (x) − . ti+m − ti ti+m+1 − ti+1
´ AS ´ NUMERIKUS INTEGRAL
Hat´ arozott integr´ alok numerikus kisz´am´ıt´ asa a matematika egyik legr´egebbi probl´em´aja. P´eld´ aul g¨orb´ek ´altal hat´arozott tartom´any ter¨ ulet´enek meghat´aroz´asa. R´aad´ asul ´evezredekkel azel˝ott, hogy az anal´ızisbeli integr´ alfogalom a XVII., XVIII. sz´azadban bevezet´esre ker¨ ult. 1 10 < π < 3 . A numerikus kvadrat´ ura P´eld´ aul a k¨or ter¨ ulete: Archimedes (287 - 212 Kr.e.) : 3 71 7 elnevez´es a k¨or n´egysz¨oges´ıt´es´enek probl´em´aj´ ab´ ol j¨on. Numerikus kubat´ ura elnevez´es k´etdimenzi´os integr´ alok kisz´am´ıt´ as´ara. Newton I. (1643 - 1727) n - dimenzi´os numerikus integr´ al´ as elnevez´es n - dimenzi´os integr´ alok numerikus kisz´am´ıt´ as´ara. Leibniz G. W. (1646 - 1716) Ha m´ar van integr´ alfogalom, anal´ızis, akkor mi´ert kell a numerikus integr´ al´ as? ´ O: ´ MOTIVACI
Numerikus integr´ al´ asi m˝ uveletekre sz¨ uks´eg van, ha
1. Az integr´ aland´ o f¨ uggv´eny primit´ıv f¨ uggv´eny´et nem lehet megadni elemi f¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel. 2. A primit´ıv f¨ uggv´eny olyan bonyolult, hogy kvadrat´ ura formula haszn´ alata el˝ony¨ osebb. 3. Az integr´ aland´ o f¨ uggv´enyt csak pontokban ismerj¨ uk, p´eld´ aul m´er´esek eredm´enyel´ent. 4. Differenci´al-egyenletek, integr´ al-egyenletek numerikus megold´asakor sok esetben numerikus integr´al´ asi m´odszerekre is sz¨ uks´eg van. Fontos feladatok megold´as´aban seg´ıtett, pl. Keplernek a boroshord´ o t´erfogat´ anak kisz´am´ıt´ as´aban (1612).
FELADAT : b f (x) dx = I
Az a
Ezt az
IN =
N k=0
hat´ arozott integr´ al kisz´am´ıt´ asa.
ck f (xk )
¨osszeggel k¨ozel´ıtj¨ uk, ahol ck
´alland´ ok.
numerikus anal´ızis ii.
40
´ enyes a k¨ovetkez˝o k¨ozel´ıt˝ Erv´ o egyenl˝os´eg: b f (x) dx ≈
N
ck f (xk ) = IN
k=0
a
´ KVADRATURAFORMULA uraformula s´ ulyai. ck - k a kvadrat´ ul¨ onbs´eget a kvadrat´ uraformula hib´ aj´ anak nevezz¨ uk, ami f¨ ugg a ck egy¨ uttA ψN := I − IN k¨ hat´ok v´alaszt´as´at´ ol ´es az xk csom´opontok [ a , b ] intervallumbeli elhelyezked´es´et˝ol. Tegy¨ uk fel, hogy a feloszt´ as egyenletes [ a , b ] - n ´es f kell˝ oen sima f¨ uggv´eny. Mivel
b f (x) dx =
i=1 x
a
az´ert el´eg az
2.1.
2.1.1.
N xi
f (x) dx,
i−1
o formul´ at tal´alni. [xi−1 , xi ] r´eszintervallumon k¨ozel´ıt˝
´ ´ KLASSZIKUS KVADRATURAFORMUL AK
T´ eglalapformula
Az f g¨ orbe alatti ter¨ uletet a t´eglalap ter¨ ulet´evel k¨ozel´ıtj¨ uk.
xi f (x) dx ≈ f xi−1
2.1.2.
1 xi − 2
h := [xi−1 , xi ]
h
A t´ eglalapformula hib´ aja
A t´eglalapformula hib´ aja az i - edik r´eszintervallumon:
xi ψi :=
f (x) dx − f xi−1
1 xi − 2
h=
xi
f (x) − f xi− 1 dx
xi−1
2
A Taylor - formula alapj´ an =⇒ f (ξ) 2 + f x x − x + x − x . f (x) = f xi− 1 i− 12 i− 12 i− 12 2 2!
numerikus anal´ızis ii.
xi ´Igy
=⇒
ψi = xi−1
41
2 f (ξ) dx, x − xi− 1 2 2!
xi mivel
x − xi− 1
xi−1
2
dx = 0.
Ezt kiintegr´ alva: |ψi | ≤
M2i h3 M2i 3 · = ·h 2 12 24
ahol
M2i := maxx∈[xi−1 , xi ] |f (x)|.
2.1.3.
¨ Osszetett t´ eglalapformula
b
N = f (x) dx ≈ h f x 1 + f x 3 + . . . + f xN − 1 f xi− 1 h 2
a
2
2
i=1
2
A kvadrat´ uraformula alappontjai nem azonosak az intervallumot meghat´ arozo´o alappontokkal.
2.1.4.
Az ¨ osszetett t´ eglalapformula hib´ aja
N · h = b − a = xn − x0 |ψ| ≤
N
|ψi | ≤
N · M2 3 ·h , 24
|ψ| ≤
M2 (b − a) 2 ·h 24
i=1
ahol M2 := max f (x) . x∈[ a , b ]
Azaz a t´eglalapformula hib´ aja O h2
2.1.5.
Trap´ ezformula
Az f g¨ orbe alatti ter¨ uletet a trap´ez ter¨ ulet´evel k¨ozel´ıtj¨ uk. xi f (x) dx ≈ xi−1
f (xi−1 ) + f (xi ) ·h 2
˝ TRAPEZFORMULA ´ EGYSZERU
numerikus anal´ızis ii.
42
Most az f f¨ uggv´enyt az els˝ofok´ u (Lagrange) interpol´ aci´os polinommal helyettes´ıtett¨ uk, L1i (x) - szel.
2.1.6.
A trap´ ezformula hib´ aja
Az i - edik r´eszintervallumon: xi ψi := xi−1
xi = xi−1
f (ξ) ω(x) dx = 2!
M2i :=
max
x∈[xi−1 , xi ]
=⇒
2.1.7.
f (xi−1 ) + f (xi ) ·h= f (x) dx − 2
xi−1
xi f (x) dx −
xi−1
xi−1
xi L1 (x) dx =
[f (x) − L1 (x)] dx = xi−1
f (ξ) (x − xi−1 )(x − xi ) dx 2 h3 6
f (x)
|ψi | ≤
M2i h3 M2i 3 · = ·h 2 6 12
¨ Osszetett trap´ ezformula
b f (x) dx ≈ h
N 1 f (xi ) + f (xi−1 ) 1 f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 ) + . . . + f (xN −1 ) + f (xN ) = ·h 2 2 2 i=1
a
2.1.8.
xi
xi
¨ Osszetett trap´ ezformula hib´ aja
b−a h N · M2 3 |ψ| ≤ · h , ahol M2 := maxx∈[ a , b ] |f (x)| 12 N :=
|ψ| ≤
M2 (b − a) 2 ·h 12
Teh´at a trap´ezformula szint´en O(h2 ) nagys´agrend˝ u, de ez k´etszer akkora hiba, mint a t´eglalapformul´ an´ al.
numerikus anal´ızis ii.
2.1.9.
43
Simpson - formula
Az el˝oz˝o ´altal´ asak´ent, most az f (x) f¨ uggv´enyt az [xi−1 , xi ] intervallumon ıt´ anos´ az f (xi−1 ), f xi− 1 , f (xi ) pontokon a´tmen˝o parabol´ aval k¨ozel´ıtj¨ uk. Ez m´asodfok´ u Lagrange in2 terpol´aci´os polinom, L2i (x) az [xi−1 , xi ] - n. xi
xi f (x) dx ≈
xi−1
L2i (x),
x ∈ [xi−1 , xi ].
xi−1
´Irjuk fel L2i (x) - et explicit alakban: L2i (x) =
2 ) x − x ) − 2f x ) (x − x ) + f (x ) (x − x ) x − x f (x (x − x (x − x 1 1 1 i−1 i i−1 i i i−1 i− 2 i− 2 i− 2 h2
Integr´ al´ as ut´an: xi L2i (x) dx = xi−1
h f (xi−1 ) + 4f xi− 1 + f (xi ) 2 6
´Igy az egyszer˝ u Simpson - formula: xi f (x) dx ≈ xi−1
2.1.10.
h f (xi−1 ) + 4f xi− 1 + f (xi ) 2 6
A Simpson - formula hib´ aja
Harmadfok´ u Hermite interpol´ aci´os polinom alkalmaz´ as´aval bel´athat´ o, hogy a Simpson forula hib´ aja:
xi
xi
f (ξ)
(f − L2 ) dx =
· ω(x) dx . . . |ψi | =
3!
xi−1
xi−1
|ψi | ≤
ahol
M4i · h5 2880
M4i := maxx∈[xi−1 , xi ] f (IV ) (x) .
numerikus anal´ızis ii.
2.1.11.
¨ Osszetett Simpson - formula
b f (x) dx ≈ a
2.1.12.
h f (x0 ) + f (xn ) + 2 f (x1 ) + . . . + f (xN −1 ) + 4 f x 1 + f x 3 + . . . + f xN − 1 2 2 2 6
¨ Osszetett Simpson - formula hib´ aja
|ψ| ≤
ahol
44
M4 (b − a) 4 ·h 2880
M4 := maxx∈[ a , b ] f (IV ) (x) .
A t¨ortindexek elker¨ ul´es´ere legyen: n = 2m,
b f (x) dx ≈ a
fi = f (xi ),
h h := 2
=⇒
h = 2 h,
b−a h= 2m
h [f0 + f2m + 2(f2 + f4 + . . . + f2m−2 ) + 4(f1 + f3 + . . . + f2m−1 )] 3
A k´eplethiba most:
|ψi | ≤
M4i 5 ·h 90
|ψ| ≤
M4 (b − a) 4 ·h 180
=⇒
x ∈ [xi−1 , xi ]
=⇒
x ∈ [a, b]
Defin´ıci´ o: A kvadrat´ uraformula pontos adott f f¨ uggv´enyre, ha a kvadrat´ uraformul´ aban ≈ helyett = ´ırhat´ o, azaz b f (x) dx = a
n k=0
ck f (xk ).
numerikus anal´ızis ii.
45
Megjegyz´ es :
1. A trap´ezformula minden els˝ofok´ u polinomra pontos. 2. A Simpson - formula minden harmadfok´ u polinomra pontos.
´ OS ´ T´IPUSU ´ KVADRATURAFORMUL ´ ´ INTERPOLACI AK
2.2.
Legyenek
[ a , b ] - ben az alappontok
a = x0 < x1 < . . . < xn = b ´es
f (x) - et interpol´aljuk a Lagrange interpol´ aci´os polinommal.
f (x) = Ln (f, x) + Hn (f, x), ahol Hn (f, x) a hibatag.
Ekkor: b
b f (x) dx =
=⇒
b Ln (f, x) dx +
a
a
Hn (f, x) dx. a
alj´ at sz´amolhatjuk. Ha a hibaintegr´ al kicsi, elhagyva f integr´ alja helyett Ln integr´ b
b f (x) dx ≈
(1)
Ln (f, x) dx.
a
a
Mivel Ln (f, x) dx =
n
f (xk )lk (x) =
k=0
n k=0
f (xk ) ·
ω(x) , (x − xk )ω (xk )
az´ert ezt be´ırva =⇒ b Ln (f, x) dx = a
b n a
k=0
f (xk )
ω(x) (x − xk )ω (xk )
Defin´ıci´ o: Legyen b (2)
Ak := a
ω(x) dx, (x − xk )ω (xk )
dx =
n k=0
⎛ b f (xk ) ⎝
a
⎞ ω(x) dx⎠. (x − xk )ω (xk ) Ak
