Numerikus módszerek. 9. előadás

Numerikus módszerek

9. előadás

Differenciálegyenletek integrálási módszerei

dx k x˙k ≡ = f k  xk ' , t  ; dt FELADAT: FELADAT meghatározni

x k ⇔t n

k , k '=1,2,. .. M

xk , n

egyenletes időlépés???

JELÖLÉS: JELÖLÉS

t n=t 0n  f k  xi , n ,t n ≡ f k ,n erő tényező

DISZKRETIZÁLÁS: DISZKRETIZÁLÁS az intervallum melyik pontjában számoljuk az erő tagot?

Az Euler módszer előre irányú diszkretizálás:

x˙n=

x n1−x n 

O = f  x n , t n  2

lokális hiba

x n1=x n  f  x n , t nO  globális hiba:

T 2 N  =  =O  2

!!!!

sérülnek a megmaradási törvények !!!

pontosság, stabilitás

számítási hatékonyság

Számítási szempontból a legegyszerűbb módszer, de nem alkalmas fizikai problémák tanulmányozására. Önmagában SOSEM használjuk!!!!

Kétlépéses módszer

másodrendű sorfejtés:

1 2 3 x n1=x n  x˙ n  x¨n  O   2 1 ˙ 2 3 x n1=x n  f n  f n  O   2 hátrafele irányú diszkretizálás

3 1 x n1=x n  f n − f n−1 O 3 2 2

ismerni kell x0 és x1-et

a módszer nem önindítós, más módszerrel kell beindítani

Taylor sorok módszere ha a

∂f ∂x

és

∂f ∂t

parciális deriváltak analitikusan kiszámolhatók

2

 3 ˙ x n1=x n  f n  f n O   , 2

˙f n≡ df = ∂ f x˙n ∂ f dt ∂ x ∂t a deriváltak a tn pillanatban vannak

2

 ∂f ∂f x n1=x n  f n   x n , t n  f n  x n , t n O3  ∂x ∂t 2

általában a parciális deriváltak számítása nem praktikus!!!

Négylépéses Adams-Bashforth módszer negyedrendű sorfejtésből indulunk ki:

2

3

4

   x n 1=x n f n  f˙ n  f¨ n  fn O 5  2 6 24

deriváltak kiszámítása: kiszámítása polinomiális interpoláció fn-3, fn-2, fn-1, fn pontokon keresztül

f  t = 

t   t 2   t 3  3

6 t t  t 3  2

3

f n− 2−

f-et sorbafejtjük tn körül t~δ kis értékekre

f n−

t  t 2   t 3  3

2 t t t 2  6

2

f = f n  f˙ n t 

d¨ n 2

f n−1

f n−3 O 4  2

t 

fn 6

3

4

t O  

beazonosítjuk a megfelelő rendű tagok együtthatóit

 5 x n 1=x n55 f n−59 f n−137 f n −2 −9 f n−3  O  24

Runge-Kutta módszerek centrális diszkretizálása x ˙ -nak az intervallum közepén x n1=x n  f  x nem ismerjük x n 1 -et, hogyan számoljuk ki az f-et??? -et

1 3 , t  O  1 n n 2 2

2

Euler módszerrel:

 x 1 = xn  f n n 2 2 RK2

RK4



 1 1 f  x 1 , t n  = f  x n f n , t n  O3  n 2 2 2 2

k1 1 k 1= f n ; k 2 = f  x n  , t n  ; 2 2 3 x n1=x nk 2O 

k 1= f n ;

k1 k2 1 1 k 2 = f  x n  , t n  ; k 3= f  x n  , t n ; 2 2 2 2 k 4= f  x nk 3 , t ; 1 1 1 1 5 x n1 =x n k 1 k 2  k 3 k 4O   6 3 3 6

Implicit módszerek eredendően stabil módszerek, de sokkal nehézkesebbek számítási szempontból explicit módszerek: az xn+1 kiszámításához az összes információ explicit módon a rekurzióban található; implicit módszerek: az információk egy része implicit módon az erő tagban van “elrejtve”.

x n1= xn  f  xn 1 , t n1   x n1=x n  [ f  x n , t n f  xn 1 , t n1 ] 2

PÉLDÁK:

a rekurzió nemlineáris!!! iteratív módszereket használunk: megbecsüljük valahogy az xn+1-et, ezzel számolunk egy jobb becslést és ismételjük az iterációt

Prediktor-korrektor módszerek explicit módszerrel megbecsüljük az xn+1-et javítjuk az értéket egy hasonló rendű implicit módszerrel

PREDIKTOR: KORREKTOR:

intervallum széle intervallum belseje

negyedrendű Adams-Bashforth módszer négylépéses Adams-Molton módszer

 x n 1=x n55 f n−59 f n−137 f n −2 −9 f n−3  O 5  24 KORREKCIÓ BECSLÉS

 x n 1=x n9 f n1 19 f n−5 f n−1 f n −2  O 5 24

Szinkronizálódások tanulmányozása Szinkronizáció a természetben

oszcillátorok

Nagyon gyakori jelenség... ingaórák szinkronizálódása (Huygens, 1667) tűzlegyek dél-kelet Ázsiában (J. Buck, Sci. Am., May 1976) „pacemaker” sejtek a szívizomban (C. Peskin, Mathematical Aspects of Heart Physiology, New York, 1975) tücskök csiriplése (E. Sismondo; Science 249, 55 ,1990) oszcilláló kémiai reakciók (J. Neu, SIAM J. Appl. Math. 38, 305 ,1980) kapcsolt Josephson átmenetek hálózata (P. Hadley et al.; Phys. Rev. B, 38, 8712 , 1988) neuron sejtek az agyban (J. Hopfield, Nature 376, 33 ,1995) egymás mellett járó emberek léptei (lásd „Holt költok társasága”) együtt élő nők menstruációs ciklusának a szinkronizációja

A Kuramoto modell tekintünk N darab oszcillátort

fázis

egyetlen nem csatolt oszcillátormozgásegyenlete:

d i = i dt

saját frekvencia

két oszcillátor szinkronizált,ha fáziskülönbségük a π páros számű többszöröse csatolt oszcillátor-rendszer egyenlete: rendparaméter:

1 r = ∣∑ cos ii sin i∣ N i Szinkronizált és nem szinkronizált fázisok jelenléte (fázisátalakulás) Kc kritikus csatolás KKc: r>0 (parciális szinkronizáció) K->∞: r=1 (teljes szinkronizáció) másodfajú fázisátalakulás http://www.ffn.ub.es/~albert/applets/Kuramoto.html

pl. Adams-Molton módszerrel integráljuk