´ ´IZIS NUMERIKUS FUNKCIONALANAL
Jegyzetek ´ es p´ eldat´ arak a matematika egyetemi oktat´ as´ ahoz sorozat
Algoritmuselm´elet Algoritmusok bonyolults´ aga Analitikus m´ odszerek a p´enz¨ ugyekben Bevezet´es az anal´ızisbe Differential Geometry Diszkr´et optimaliz´ al´ as Diszkr´et matematikai feladatok Geometria Igazs´ agos eloszt´ asok Interakt´ıv anal´ızis feladatgy˝ ujtem´eny matematika BSc hallgat´ok sz´am´ara Introductory Course in Analysis Matematikai p´enz¨ ugy Mathematical Analysis-Exercises 1-2 M´ert´ekelm´elet ´es dinamikus programoz´as Numerikus funkcion´ alanal´ızis Oper´ aci´ okutat´ as Oper´ aci´ okutat´ asi p´eldat´ ar Optim´ alis ir´ any´ıt´ asok Parci´ alis differenci´ alegyenletek P´eldat´ ar az anal´ızishez Szimmetrikus kombinatorikai strukt´ ur´ak T¨ obbv´ altoz´ os adatelemz´es
´ tson Ja ´ nos Kara
NUMERIKUS ´ ´IZIS FUNKCIONALANAL
Eo os Lor´ and Tudom´ anyegyetem ¨tv¨ Term´ eszettudom´ anyi Kar Typotex 2014
c 2014–2019, Kar´
atson J´ anos, E¨ otv¨ os Lor´ and Tudom´ anyegyetem, Term´eszettudom´anyi Kar Lektor´ alta: Gal´ antai Aur´el Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerz˝ o nev´enek felt¨ untet´ese mellett nem kereskedelmi c´ellal szabadon m´ asolhat´ o, terjeszthet˝ o, megjelentethet˝o ´es el˝oadhat´o, de nem m´odos´ıthat´o. ISBN 978 963 279 239 2 K´esz¨ ult a Typotex Kiad´ o (http://www.typotex.hu) gondoz´as´aban Felel˝ os vezet˝ o: Votisky Zsuzsa M˝ uszaki szerkeszt˝ o: Gerner J´ozsef ´ K´esz¨ ult a TAMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 sz´am´ u, Jegyzetek ´es p´eldat´ arak a matematika egyetemi oktat´as´ahoz” c´ım˝ u projekt ” keret´eben.
KULCSSZAVAK: funkcion´ alanal´ızis, numerikus anal´ızis, oper´atoregyenletek, line´ aris, nemline´ aris, parci´ alis differenci´alegyenletek, projekci´os m´odszerek, iter´ aci´ os m´ odszerek. ´ A funkcion´alanal´ızis a matematikai anal´ızisb˝ol kin˝ott ¨ OSSZEFOGLAL AS: azon tudom´ any´ ag, melynek l´enyege v´egtelen dimenzi´os terek k¨ozti line´aris ´es nemline´ aris lek´epez´esek vizsg´alata. A benne megjelen˝o absztrakci´o lehet˝ov´e teszi az egys´eges t´ argyal´ asm´odot. E k¨onyv t´em´aj´anak, a numerikus funkcion´ alanal´ızisnek a fogalma arra alapszik, hogy ezek az egys´eges, absztrakt m´ odszerek ´eppoly alkalmasak a vizsg´alt egyenletek konstrukt´ıv megold´asi algoritmusainak kidolgoz´ as´ ara ´es anal´ızis´ere, mint elm´eleti vizsg´alatukra. E k¨ onyv meg´ır´ as´ anak mozgat´ orug´oja, hogy numerikus funkcion´alanal´ızisr´ol sz´ol´ o k¨ onyv magyarul m´eg nem el´erhet˝o. A k¨onyv n´egy r´eszb˝ol ´all. Az I. r´eszben a funkcion´ alanal´ızis egyes alapismereteit foglaljuk ¨ossze. A II. ´es III. r´esz linearis, ill. nemline´ ´ aris oper´ atoregyenletek megoldhat´os´agi eredm´enyeir˝ol, azaz a megold´ as fogalm´ ar´ ol, l´etez´es´er˝ol ´es egy´ertelm˝ us´eg´er˝ol sz´ol a sz¨ uks´eges elm´eleti h´ att´errel egy¨ utt. A IV. r´esz tartalmazza a k¨ ul¨onf´ele oper´atoregyenlett´ıpusokra vonatkoz´ o k¨ ozel´ıt˝ o m´odszerek t´argyal´as´at. A vizsg´alt elj´ar´asok els˝ osorban k´et nagy csoportba tartoznak: projekci´os, ill. iter´aci´os m´odszerek. ´ tartott funkcion´alanal´ıEnnek az anyagnak egy r´esze megfelel az ELTE-n zis BSc ´es nemline´ aris funkcion´alanal´ızis MSc el˝oad´as t´em´aj´anak, az utols´o fejezet t´ argya pedig u ´jabb kutat´asokhoz kapcsol´odik.
Tartalomjegyz´ ek El˝ osz´ o
1
I.
5
Bevezet´ es a funkcion´ alanal´ızisbe
1. Norm´ alt terek 1.1. Norm´ alt terek, Banach-terek ´es alaptulajdons´agaik . . 1.2. V´eges dimenzi´ os norm´alt terek . . . . . . . . . . . . . 1.3. Nevezetes Banach-terek, f¨ uggv´enyterek . . . . . . . . . 1.4. Line´ aris lek´epez´esek alaptulajdons´agai. A B(X, Y ) t´er
. . . .
7 7 12 14 23
2. Hilbert-terek 2.1. Hilbert-terek ´ertelmez´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ortogonalit´ asi tulajdons´agok Hilbert-t´erben . . . . . . . . . . 2.3. Fourier-sorok Hilbert-t´erben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29 29 33 36
3. Folytonos line´ aris funkcion´ alok norm´ alt t´ erben 3.1. Norm´ alt t´er du´ alisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Folytonos line´ aris funkcion´alok kiterjeszt´ese . . . . . . . . . . 3.3. Reflex´ıv Banach-terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45 45 47 50
4. Folytonos line´ aris oper´ atorok norm´ alt t´ erben 4.1. A Banach–Steinhaus-t´etelk¨or . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. A Banach-f´ele ny´ıltlek´epez´es-t´etelk¨or . . . . . . . . . . . . . .
53 53 58
5. Folytonos line´ aris funkcion´ alok Hilbert-t´ erben 5.1. Riesz reprezent´ aci´ os t´etele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Gyenge konvergencia Hilbert-t´erben . . . . . . . . . . . . . .
65 65 67
6. Folytonos line´ aris oper´ atorok Hilbert-t´ erben 6.1. Adjung´ alt oper´ ator, speci´alis oper´atort´ıpusok . . . . . . . . .
69 70
i
. . . .
. . . .
. . . .
6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7.
¨ Onadjung´ alt oper´ atorok . . . . . . . . . . . . . . . . Projektorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Izometrikus ´es unit´er oper´atorok . . . . . . . . . . . Saj´ at´ert´ek ´es spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . Kompakt oper´ atorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oper´ atorok spektr´ alis el˝o´all´ıt´asa, oper´atorf¨ uggv´enyek
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
72 77 77 79 88 99
II. Line´ aris oper´ atoregyenletek elm´ elete Hilbert-t´ erben 109 7. Oper´ atoregyenletek megoldhat´ os´ aga korl´ atos oper´ ator t´ en 7.1. Egyenletek koercivit´asi felt´etelek mellett . . . . . . . . . . 7.2. Biline´ aris form´ ak, Lax–Milgram-t´etelk¨or . . . . . . . . . . 7.3. Nyeregpont-feladatok megoldhat´os´aga, inf-sup-felt´etel . .
ese111 . . 112 . . 117 . . 120
8. Nem korl´ atos oper´ atorok 8.1. Nem korl´ atos oper´ atorok alaptulajdons´agai . . . . . . . . . . 8.2. Energiat´er ´es gyenge megold´as szimmetrikus oper´ator eset´en . 8.3. Gyenge megold´ as nem szimmetrikus oper´ator vagy nyeregpontfeladat eset´en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127 127 136 140
9. Oper´ ator-differenci´ alegyenletek 145 9.1. F´elcsoportok ´es oper´ator-differenci´alegyenletek . . . . . . . . 146 9.2. K´et megoldhat´ os´ agi eredm´eny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.A megoldhat´ os´ agi t´ etelek alkalmaz´ asai 10.1. Integr´ alegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Perem´ert´ekfeladatok gyenge megold´asa . . . . . . . . . . . 10.3. A Stokes-feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. A Maxwell-egyenletek id˝oharmonikus eset´enek megold´asa 10.5. Parabolikus Cauchy-feladat . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.
Nemline´ aris oper´ atoregyenletek elm´ elete
. . . . .
. . . . .
155 155 157 166 168 171
173
11.Nemline´ aris oper´ atorok alaptulajdons´ agai 175 11.1. Egy elliptikus oper´ ator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 11.2. Gˆ ateaux-deriv´ alt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11.3. Monoton oper´ atorok ´es konvex funkcion´alok . . . . . . . . . . 183 12.Potenci´ aloper´ atorok
185 ii
12.1. A potenci´ al fogalma ´es l´etez´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.2. Funkcion´ alok minimumhelye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 13.Nemline´ aris oper´ atoregyenletek megoldhat´ os´ aga 13.1. A vari´ aci´ os elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Monoton oper´ atoregyenletek potenci´aloper´atorral . . . . . 13.3. Oper´ atoregyenletek nem potenci´alos oper´atorral . . . . . . 13.4. Alkalmaz´ asok nemline´aris elliptikus perem´ert´ekfeladatokra
IV.
. . . .
. . . .
K¨ ozel´ıt˝ o m´ odszerek norm´ alt terekben
189 189 190 192 194
203
14.Ko o m´ odszerek ´ es a vari´ aci´ os elv 205 ¨zel´ıt˝ 14.1. Line´ aris egyenletek ´es kvadratikus funkcion´al . . . . . . . . . 205 14.2. Nemline´ aris egyenletek minimaliz´al´o funkcion´aljai . . . . . . . 208 15.Ritz–Galjorkin-f´ ele projekci´ os m´ odszerek 15.1. Ritz–Galjorkin-m´ odszer szimmetrikus line´aris egyenletekre . . 15.2. Ritz–Galjorkin-m´ odszer nem szimmetrikus line´aris egyenletekre, C´ea-lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3. Ritz–Galjorkin-m´ odszer biline´aris form´aval megfogalmazott feladatokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4. Ritz–Galjorkin-m´ odszer nemline´aris egyenletekre . . . . . . . 15.5. A v´egeselem-m´ odszer elm´eleti h´attere . . . . . . . . . . . . .
211 211
16.Iter´ aci´ os m´ odszerek line´ aris oper´ atoregyenletekre 16.1. A gradiens-m´ odszer korl´atos ¨onadjung´alt oper´atorra . . . . . 16.2. A konjug´ alt gradiens-m´odszer korl´atos ¨onadjung´alt oper´atorra 16.3. A konjug´ alt gradiens-m´odszer korl´atos, nem ¨onadjung´alt oper´ atorra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4. Iter´ aci´ os m´ odszerek nyeregpont-feladatokra . . . . . . . . . . 16.5. Iter´ aci´ os m´ odszerek ´es prekondicion´al´as . . . . . . . . . . . .
227 227 232
216 217 220 222
241 242 246
17.N´ eh´ any tov´ abbi m´ odszer line´ aris oper´ atoregyenletekre 251 17.1. K¨ ozel´ıt˝ o oper´ atorsorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 17.2. Regulariz´ aci´ o nem koerc´ıv feladatokra . . . . . . . . . . . . . 252 17.3. Oper´ ator-differenci´ alegyenletek diszkretiz´aci´oja . . . . . . . . 254 18.Iter´ aci´ os m´ odszerek nemline´ aris oper´ atoregyenletekre 18.1. Egyszer˝ u iter´ aci´ o monoton oper´atorokra . . . . . . . . . 18.2. A Newton–Kantorovics-m´odszer . . . . . . . . . . . . . . 18.3. Newton-t´ıpus´ u m´ odszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4. K¨ uls˝ o-bels˝ o iter´ aci´ ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
. . . .
. . . .
. . . .
261 261 265 269 273
19.Iter´ aci´ os m´ odszerek Ritz–Galjorkin-diszkretiz´ aci´ okra 19.1. R´ acsf¨ uggetlens´eg line´aris egyenletek eset´en . . . . . . . . 19.2. R´ acsf¨ uggetlens´eg line´aris nyeregpont-feladatok eset´en . . 19.3. R´ acsf¨ uggetlens´eg nemline´aris egyenletek eset´en . . . . . 19.4. Alkalmaz´ asok elliptikus perem´ert´ekfeladatokra . . . . . Irodalomjegyz´ ek
. . . .
. . . .
. . . .
277 277 281 283 286 296
iv
El˝ osz´ o A funkcion´ alanal´ızis a matematikai anal´ızisb˝ol kin˝ott azon tudom´any´ag, melynek l´enyege v´egtelen dimenzi´os terek k¨ozti line´aris ´es nemline´aris lek´epez´esek vizsg´ alata. A benne megjelen˝o absztrakci´o lehet˝ov´e teszi az anal´ızis k¨ ul¨onb¨ oz˝ o ter¨ uleteit ¨ osszefog´ o egys´eges t´argyal´asm´odot, ebben k¨ ul¨on eml´ıt´est ´erdemel a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o f¨ uggv´enyoszt´alyok ´altal alkotott f¨ uggv´enyterek egys´eges vizsg´ alata. A funkcion´ alanal´ızisnek jelent˝os magyar vonatkoz´asai is vannak: Riesz Frigyes, Neumann J´ anos ´es (a magyar sz´armaz´as´ u) Peter D. Lax neve elv´ alaszthatatlan e ter¨ ulet fejl˝od´es´et˝ol. Neumann munk´ass´ag´ahoz kapcsol´odik a funkcion´ alanal´ızis egyik legnagyobb hat´as´ u eredm´enye, ˝o dolgozta ki ugyanis a kvantummechanika szil´ ard matematikai megalapoz´as´at. E k¨onyv t´em´aja szempontj´ ab´ ol viszont a funkcion´alanal´ızisnek azon eredm´enyei ´allnak k¨oz´eppontban, amelyek oper´ atoregyenletekkel le´ırhat´o modellek, vagyis integr´al´es els˝ osorban differenci´ alegyenletek ´altal´anos t´argyal´as´ara vonatkoznak. A term´eszettudom´ anyok sz´ amos ter¨ ulet´en fell´ep˝o k¨oz¨ons´eges ´es f˝ok´ent parci´ alis differenci´ alegyenletek modern elm´eleti vizsg´alata nagym´ert´ekben t´amaszkodik a funkcion´ alanal´ızis eszk¨ozeire, mivel e differenci´alegyenletek term´eszetes alapter´et v´egtelen dimenzi´os f¨ uggv´enyterek alkotj´ak. A Szoboljevterek fogalma tette lehet˝ ov´e parci´alis differenci´alegyenletek megoldhat´os´ag´anak ´ altal´ anos elm´elet´et, melyen bel¨ ul p´eld´aul a line´aris elliptikus esetben a Dirichlet-f´ele energia-minimaliz´al´asi elv is ´erv´enyes´ıthet˝o, ill. a megoldhat´os´ag egy ´ altal´ anos, biline´ aris lek´epez´esekre vonatkoz´o elvre (Lax–Milgram-lemma) vezethet˝ o vissza. E k¨ onyv t´em´ aj´ anak, a numerikus funkcion´alanal´ızisnek a fogalma arra alapszik, hogy ezek az egys´eges, absztrakt m´odszerek ´eppoly alkalmasak a vizsg´alt egyenletek konstrukt´ıv megold´asi algoritmusainak kidolgoz´as´ara ´es anal´ızis´ere, mint elm´eleti vizsg´ alatukra. Ez az alapelv a Nobel-d´ıjas matematikus, L. V. Kantorovics klasszikus cikk´ere ny´ ulik vissza [32]. A funkcion´alanal´ızisben megjelen˝ o absztrakci´ o sokszor k´epes a tulajdons´agok l´enyeg´et megragadni ´es eleg´ ans kezel´esm´ odot adni, ez teszi lehet˝ov´e numerikus probl´em´ ak egyes oszt´ alyainak egys´eges meg´ert´es´et ´es kezel´es´et is. A funkcion´alanal´ızis m´ odszerei m´ ara m´ ar be´ep¨ ultek a numerikus elj´ar´asok modern elm´ele1
2
˝ szo ´ Elo
t´ebe. Itt eml´ıtend˝ o, az alapvet˝o p´eld´ak k¨ozt tall´ozva, a v´egeselem-m´odszer egzakt t´ argyal´ asa Hilbert-t´erbeli appar´atus felhaszn´al´as´aval, bele´ertve a nevezetes C´ea-lemm´ akat, vagy a parabolikus feladatok Lax-f´ele elm´elete, ill. az iter´ aci´ os m´ odszerek k¨ or´eben a Stokes-t´ıpus´ u nyeregpont-feladatok megold´ asa a megfelel˝ o oper´ ator f¨ uggv´enyt´erbeli szerkezet´ere alapozva, mint pl. az Uzawa-algoritmus. Tov´ abbi magyar vonatkoz´as´ert pedig az iter´aci´ok k¨or´eben t´erj¨ unk vissza L. V. Kantorovicshoz: n´ala ´ırt disszert´aci´oj´aban dolgozta ki Cz´ ach L´ aszl´ o nem korl´ atos oper´atorok korl´atosra val´o transzform´aci´oj´at a konvergencia el´er´es´ehez [12]. Ez az elv k´es˝obb m´atrixokra vonatkoz´oan mint a kond´ıci´ osz´ amot jav´ıt´ o prekondicion´al´as technik´aja terjedt el, amely line´aris rendszerek iter´ aci´ os megold´ as´anak ma alapvet˝o alkot´or´esze. E k¨ onyv meg´ır´ as´ anak mozgat´orug´oja, hogy numerikus funkcion´alanal´ızisr´ol sz´ ol´ o k¨ onyv magyarul m´eg nem el´erhet˝o. A funkcion´alanal´ızis eml´ıtett szerepe m´ ar sz´ amos helyen megjelenik a numerikus anal´ızist r´eszletesen ¨osszefoglal´o [69] k¨ onyvben, megford´ıtva azonban, e k´et ter¨ ulet (az absztrakt elm´elet ´es a k¨ ozel´ıt˝ o m´ odszerek) ¨ otv¨ oz´es´er˝ol sz´ol´o olyan munka, amely a funkcion´alanal´ızis ir´ any´ ab´ ol kiindulva vizsg´ alja az absztrakt m´odszerek alkalmaz´asait numerikus elj´ ar´ asokra, nem k´esz¨ ult magyarul. Az angol nyelv˝ u (mind a klasszikus, mind az u ´jabb) szakirodalomb´ol megeml´ıtj¨ uk a [3, 15, 17, 23, 25, 33, 40, 47, 49, 57, 58] m˝ uveket. Magyarul a Newton-t´ıpus´ u m´odszereket ´ep´ıti fel norm´ alt terekben a [30] k¨ onyv, amely a rom´an nyelv˝ u, klasszikus [29] v´altozatra alapul. K¨ onyv¨ unk bevezet´est ad a numerikus funkcion´alanal´ızis n´eh´any fontosabb fejezet´ebe. Ehhez el˝ osz¨ or, az I. r´eszben, a funkcion´alanal´ızis egyes alapismereteit foglaljuk ¨ ossze. Ennek nem c´elja e ter¨ ulet egy u ´jabb fel´ep´ıt´ese, hiszen sz´ amos munka l´etezik magyarul a funkcion´alanal´ızis elemibb ´es m´elyebb elm´eleti eredm´enyeir˝ ol, p´eld´ aul a klasszikus [59] m˝ u, a [37, 38] (ezekre sz´amos helyen utalunk) ´es a [13, 27, 36, 39, 43, 54] k¨onyvek. Az els˝o r´esz c´elja ehelyett ¨ onmag´ aban haszn´ alhat´ o kiindul´ast adni a tov´abbi r´eszekhez, ez egyben ´ tartott alkalmazott matematikus funkcion´alanal´ızis anyagot ad az ELTE-n el˝ oad´ ashoz is. A II. ´es III. r´esz line´aris, ill. nemline´aris oper´atoregyenletek megoldhat´ os´ agi eredm´enyeir˝ ol, azaz a megold´as fogalm´ar´ol, l´etez´es´er˝ol ´es egy´ertelm˝ us´eg´er˝ ol sz´ ol a sz¨ uks´eges elm´eleti h´att´errel egy¨ utt. A IV. r´esz tartalmazza a k¨ ul¨ onf´ele oper´ atoregyenlet-t´ıpusokra vonatkoz´o k¨ozel´ıt˝o m´odszerek t´ argyal´ as´ at. A vizsg´ alt elj´ ar´ asok els˝osorban k´et nagy csoportba tartoznak: projekci´ os, ill. iter´ aci´ os m´ odszerek. Ennek az anyagnak egy r´esze megfelel az ´ tartott nemline´ ELTE-n aris funkcion´alanal´ızis el˝oad´as t´em´aj´anak, az utols´o fejezet t´ argya pedig u ´jabb kutat´asokhoz kapcsol´odik [6, 23]. A t´argyalt m´odszereket f˝ o alkalmaz´ ask´ent a k¨onyv t¨obb pontj´an is parci´alis differenci´alegyenleteken szeml´eltetj¨ uk. A k¨ onyv felt´etelezi az anal´ızis alapjainak, els˝osorban a Lebesgue-integr´ al ´es norm´ alt terek f˝o tulajdons´againak ismeret´et.
˝ szo ´ Elo
3
Ko an´ıt´ as. E k¨ onyv r´ev´en szeretn´em kifejezni k¨osz¨onetem Cz´ach ¨szo ¨netnyilv´ L´ aszl´ onak – koll´eg´ amnak ´es kor´abbi tan´aromnak –, akit˝ol a ter¨ ulet ir´anti ´erdekl˝ od´esemet ´es elindul´ asomat nyertem, ´es aki velem egy¨ utt matematikusok nemzed´ekeivel szerettette meg az anal´ızist. A k¨ onyv elk´esz¨ ult´eben nagy seg´ıts´eget jelentett az a k´et k´ezirat, melyet Kurics Tam´ as koll´eg´ am m´eg hallgat´ok´ent k´esz´ıtett k´et kapcsol´od´o el˝oad´asom alapj´ an, ig´enyes munk´ aj´ at ez´ uton k¨osz¨on¨om, ak´arcsak neki ´es Kov´acs Bal´azs hallgat´ omnak a k¨ onyv k´ezirat´anak gondos ´atolvas´as´at, ellen˝orz´es´et. ¨ ond´ıj´anak t´amogat´as´aval v´egeztem. Munk´ amat az MTA Bolyai J´anos Oszt¨
I. r´ esz
Bevezet´ es a funkcion´ alanal´ızisbe
5
1. fejezet
Norm´ alt terek A funkcion´ alanal´ızis egyik legalapvet˝obb strukt´ ur´aja a norm´alt t´er, melynek l´enyege a hossz fogalm´ anak ´altal´anos´ıt´asa. Ennek seg´ıts´eg´evel ´altal´anos keretben vizsg´ alhat´ oak a v´egtelen dimenzi´os f¨ uggv´enyterek, melyek az alkalmaz´ asok szempontj´ ab´ ol a norm´alt t´er fogalm´anak legfontosabb realiz´aci´oi. Mivel e k¨ onyv felt´etelezi a norm´alt terek elemi ismeret´et az anal´ızisb˝ol, itt csak r¨ ovid o ast adunk n´eh´any olyan alaptulajdons´agr´ol ´es p´eld´ar´ol, ¨sszefoglal´ melyeket leggyakrabban haszn´alunk majd, vagy nem tartoznak a szok´asos alapismeretek k¨ oz´e. A skal´ arszorzatterek enn´el speci´alisabb strukt´ ur´aj´aval a 2. fejezetben foglalkozunk majd hasonl´o szellemben. Mivel a norm´ alt terek az euklideszi terek ´altal´anos´ıt´as´at jelentik, egy-egy u ´j fogalom protot´ıpusak´ent gyakran tekinthetj¨ uk mag´at Rn -et. Ez´ert k¨ ul¨on szakaszban t´er¨ unk ki a v´eges dimenzi´os esetre, ´es ezut´an adunk p´eld´akat v´egtelen dimenzi´ os terekre. A norm´alt terek tov´abbi, r´eszletesebb t´argyal´asa, bele´ertve a k´es˝ obbiekben eml´ıtett, de nem bizony´ıtott ´all´ıt´asokat ´es p´eld´akat, megtal´ alhat´ o a [37, 38] k¨ onyvekben. V´eg¨ ul megeml´ıtj¨ uk, hogy a funkcion´alanal´ızis egyes eredm´enyei a norm´alt terekn´el ´ altal´ anosabb strukt´ ur´akban (topologikus vektorterekben) is fel´ep´ıthet˝ ok, l´ asd szint´en [37, 38], erre az ´altal´anoss´agra azonban e k¨onyvben nem lesz sz¨ uks´eg¨ unk.
1.1. Norm´ alt terek, Banach-terek ´ es alaptulajdons´ agaik A norma defin´ıci´ oja a hossz fogalm´at ´altal´anos´ıtja tetsz˝oleges vektort´erben.
7
´ lt terek 1. Norma
8
1.1. Defin´ıci´ o. Legyen X vektort´er K felett, ahol K = C vagy R. Egy k·k : X → R+ f¨ uggv´enyt norm´ anak nevez¨ unk, ha teljes´ıti az al´abbi u ´n. normaaxi´ om´ akat: (i) minden x ∈ X eset´en kxk ≥ 0, ´es kxk = 0 ⇔ x = 0; (ii) minden λ ∈ K ´es x ∈ X eset´en kλxk = |λ| kxk; (iii) minden x, y ∈ X eset´en kx + yk ≤ kxk + kyk. Ekkor az (X, k·k) p´ art norm´ alt t´ernek nevezz¨ uk. Megadunk n´eh´ any egyszer˝ u p´eld´at norm´alt terekre, nagyr´eszt v´eges dimenzi´ osakat. A funkcion´ alanal´ızis alkalmaz´asaiban a v´egtelen dimenzi´os terek, els˝ osorban f¨ uggv´enyterek j´ atssz´ak a f˝o szerepet, ezek k¨oz¨ ul a legfontosabbakkal az 1.3. szakaszban foglalkozunk majd. • A legegyszer˝ ubb p´elda X := R mint ¨onmaga feletti vektort´er: ez norm´ alt t´er az abszol´ ut ´ert´ekkel mint norm´aval, azaz kxk := |x|. • Ha n ∈ N+ , akkor X := Rn norm´alt t´er a szok´asos euklideszi norm´aval, amit 2-espindexszel szok´as jel¨olni, azaz x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn eset´en Pn 2 kxk2 := i=1 xi . • Az X := Rn teret m´ as norm´akkal is ell´athatjuk, p´eld´aul az u ´gynevezett p-norm´ akkal, ahol x ∈ Rn eset´en X n 1/p p |xi | , ha 1 ≤ p < +∞; kxkp :=
i=1
max |xi | , 1≤i≤n
ha
p = +∞.
• Ha I = [a, b] adott intervallum, akkor X := C(I) = {f : I → R folytonos f¨ uggv´enyek} norm´alt t´er az kf kmax := maxI |f | norm´ R aval. Ugyanezen a vektort´eren megadhat´o m´as norma is, pl. kf k1 := I |f |. 1.2. Megjegyz´ es. Minden norm´alt t´er egyben metrikus t´er a %(x, y) = kx − yk u ´n. induk´ alt metrik´aval. (Visszafel´e ez nem igaz, vagyis nem minden metrik´ at induk´ al valamilyen norma, pl. ha az alaphalmaz nem vektort´er, vagy ha a metrika diszkr´et.) A norma r´ev´en ´ertelmezhet˝ oek a g¨omb¨ok, k¨ornyezetek ´es ehhez kapcsol´od´o topol´ ogiai fogalmak. A ny´ılt g¨omb¨ok seg´ıts´eg´evel a hat´ar´ert´ek ´es folytonoss´ag ugyan´ ugy defini´ alhat´ o, mint Rn -ben. Ut´obbiak ε ´es δ n´elk¨ ul k¨ozvetlen¨ ul is megfogalmazhat´ ok, ezt tessz¨ uk el˝osz¨or a sorozatok ´es sorok konvergenci´aj´ara, ut´ ana ´ertelmez¨ unk n´eh´ any topol´ogiai alapfogalmat.
´ lt terek, Banach-terek e ´s alaptulajdonsa ´ gaik 1.1. Norma
9
1.3. Defin´ıci´ o. (Sorozatok ´es sorok konvergenci´aja.) Legyen (X, k·k) norm´ alt t´er, (xn ) ⊂ X sorozat, x ∈ X vektor. (i) lim xn = x (vagy xn → x), ha kxn − xk → 0. (ii)
∞ P n=1
xn = x, ha az sn :=
n P
xi sorozatra sn → x.
i=1
1.4. Defin´ıci´ o. Legyen (X, k·k) norm´alt t´er. (i) Ha x0 ∈ X adott pont, r > 0 sz´am, akkor x0 k¨ozep˝ u ´es r sugar´ u ny´ılt g¨ omb¨ on, ill. z´ art g¨ omb¨ on a B(x0 , r) := {x ∈ X : kx−x0 k < r} ´es B(x0 , r) := {x ∈ X : kx−x0 k ≤ r} halmazokat ´ertj¨ uk. Egy U ⊂ X halmaz k¨ ornyezete x0 -nak, ha U tartalmaz x0 k¨ ozep˝ u ny´ılt g¨ omb¨ ot. (ii) Egy G ⊂ X halmaz ny´ılt, ha minden pontj´anak k¨ornyezete. (iii) Egy F ⊂ X halmaz z´ art, ha X \F ny´ılt. Ez ekvivalens azzal, hogy minden (xn ) ⊂ F konvergens sorozat eset´en lim xn ∈ F . (iv) Egy K ⊂ X korl´ atos halmaz ´ atm´er˝ oje: diam(K) := sup kx − yk. x,y∈K
1.5. Lemma. Norm´ alt t´erben minden x, y ∈ X eset´en kxk − kyk ≤ kx − yk. Bizony´ıt´ as. Mivel x = (x−y)+y, ez´ert kxk ≤ kx − yk+kyk, azaz kxk−kyk ≤ kx − yk. Mivel x ´es y szerepe szimmetrikus, ez´ert kyk−kxk ≤ ky − xk is igaz, amib˝ ol az ´ all´ıt´ as k¨ ovetkezik. 1.6. K¨ ovetkezm´ eny. A norma sorozatfolytonos f¨ uggv´eny, azaz ha xn → x, akkor kxn k → kxk. Bizony´ıt´ as. Az el˝ oz˝ o lemma szerint kxn k − kxk ≤ kxn − xk → 0, ha n → ∞. A fenti bizony´ıt´ asok megegyeztek az R-ben szok´asosakkal, az abszol´ ut ´ert´eket norm´ ara cser´elve. Hasonl´ oan igazolhat´o, hogy norm´alt t´erben az ¨osszead´as ´es a skal´ arral val´ o szorz´ as m˝ uveletei folytonosak. A norm´ alt terek egyik alapfogalma a t´er teljess´ege: 1.7. Defin´ıci´ o. Egy norm´ alt teret Banach-t´ernek nevez¨ unk, ha teljes, azaz ha minden Cauchy-sorozat konvergens. A teljess´eg azt jelenti, hogy ebb˝ol a szempontb´ol a t´er hasonl´ıt a val´os sz´amok halmaz´ ahoz, ahol klasszikus t´etel garant´alja a Cauchy-sorozatok konvergenci´ aj´ at. N´eh´ any tov´ abbi p´elda a norm´alt terekn´el m´ar felsoroltakb´ol:
´ lt terek 1. Norma
10
• (Rn , k·k2 ) Banach-t´er a kxk2 :=
pPn
i=1
x2i euklideszi norm´aval.
´ • Altal´ aban is: minden v´eges dimenzi´os norm´alt t´er Banach-t´er. (Ezzel k¨ ul¨ on foglalkozunk a k¨ovetkez˝o szakaszban.) • Ha K 6= ∅ tetsz˝ oleges halmaz, akkor X := {f : K → R korl´atos f¨ uggv´enyek} Banach-t´er az kf k∞ := supK |f | norm´aval. • (C[a, b], k·kmax ) Banach-t´er az kf kmax := max |f | norm´aval. (Az [a, b] [a,b]
intervallum helyett egy K ⊂ Rn kompakt halmaz is ´allhat.) Rb • (C[a, b], k·k1 ) nem teljes, azaz nem Banach-t´er az kf k1 := a |f | norm´ aval. Megadhat´ o ugyanis olyan (fn ) ⊂ C[a, b] sorozat, amely a k·k1 norm´ aban egy f ∈ / C[a, b] f¨ uggv´enyhez konverg´al, pl. a signumf¨ uggv´enyhez. Ez Cauchy-sorozat a k·k1 norm´aban, de nincs limesze C[a, b]-ben. 1.8. Megjegyz´ es. B´ ar nem minden norm´alt t´er Banach-t´er, igazolhat´o, hogy minden X norm´ alt t´er s˝ ur˝ un be´agyazhat´o Banach-t´erbe azonos´ıt´as erej´eig, vagyis X izometrikusan izomorf egy alkalmas Banach-t´er egy s˝ ur˝ u alter´evel. (K´et norm´ alt teret izometrikusan izomorfnak h´ıvunk, ha van k¨oz¨ott¨ uk normatart´ o line´ aris bijekci´ o; ilyenkor szok´as ˝oket azonos´ıtani egym´assal.) Ekkor ez a Banach-t´er sz¨ uks´egk´eppen egy´ertelm˝ u izometria erej´eig, neve X teljess´e t´etele. Egy bizony´ıt´ ast a 3.12. t´etelben l´atunk majd erre. A teljess´e t´etel l´etez´ese k¨ ozvetlen¨ ul is igazolhat´ o metrikus terekre is, azzal az alapgondolattal, hogy a Cauchy-sorozatokhoz hozz´ arendelt alkalmas ide´alis elemekb˝ol alkothat´o teljes ´ t´er. Espedig, ha k´et Cauchy-sorozatot ekvivalensnek h´ıvunk, amikor k¨ ul¨onbs´eg¨ uk 0-hoz tart, akkor az u ´j t´er a Cauchy-sorozatok ekvivalencia-oszt´alyaib´ol fog ´ allni, ´es egy X-beli elemet a bel˝ole alkotott konstans sorozat ekvivalenciaoszt´ aly´ aval azonos´ıtunk. A hossz´ u sz´amol´ast ig´enyl˝o r´eszletes bizony´ıt´ast l´asd pl. a [37] k¨ onyvben. 1.9. Defin´ıci´ o. Legyen X vektort´er, k·k1 ´es k·k2 norm´ak. Azt mondjuk, hogy a k´et norma ekvivalens, ha l´eteznek M ≥ m > 0 konstansok, hogy m kxk1 ≤ kxk2 ≤ M kxk1
(∀x ∈ X).
(1.1)
K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy ez val´oban ekvivalencia-rel´aci´o. Ha a norm´ak ekvivalensek, akkor ugyanazt a topol´ogi´at gener´alj´ak, vagyis ugyanazok a ny´ılt halmazok ´es a konvergens sorozatok is. P´eld´aul az 1.15 t´etelben l´atni fogjuk majd, hogy v´eges dimenzi´ os vektort´eren b´armely k´et norma ekvivalens. ´ ıt´ 1.10. All´ as. Legyen X vektort´er, k·k1 ´es k·k2 ekvivalens norm´ ak. Ha (X, k·k1 ) teljes, akkor (X, k·k2 ) is teljes.
´ lt terek, Banach-terek e ´s alaptulajdonsa ´ gaik 1.1. Norma
11
Bizony´ıt´ as. A defin´ıci´ okb´ ol k¨ovetkezik, hogy ha (xn ) Cauchy-sorozat a k·k2 norm´ aban, akkor Cauchy-sorozat a k·k1 norm´aban is, ´ıgy (xn ) konverg´al a k·k1 norm´ aban, de akkor konverg´al (ugyanahhoz a vektorhoz) a k·k2 norm´aban is. V´eg¨ ul a teljess´egre alapul´ o n´eh´any nevezetes eredm´enyt adunk meg. 1.11. T´ etel (Cantor-f´ ele k¨ oz¨ ospont-t´ etel). Legyen X Banach-t´er. Ha (Fn ) ⊂ X nem u art halmazok egym´ asba skatuly´ azott sorozata (azaz F1 ⊃ ¨res z´ F2 ⊃ . . . ), melyre diam(Fn ) → 0, akkor ∩Fn egy pont. Bizony´ıt´ as. Vegy¨ unk minden n-re egy xn ∈ Fn pontot. K¨onnyen l´athat´o, hogy ezek Cauchy-sorozatot alkotnak, mivel b´armely m ≥ n eg´eszek eset´en kxn − xm k ≤ diam(Fn ) → 0. Mivel X teljes, l´etezik x∗ := lim xn . Mivel minden n-re az {xn , xn+1 , . . . } sorozat (amely szint´en x∗ -hoz tart) Fn -ben fekszik, ´ıgy Fn z´ arts´ aga miatt x∗ ∈ Fn , ezekb˝ol x∗ ∈ ∩Fn . V´eg¨ ul a diam(Fn ) → 0 felt´etel miatt nem l´etezhet m´asik olyan pont, amely minden Fn -nek eleme, ´ıgy a metszet csak x∗ -b´ ol ´ all. P ´ ıt´ 1.12. All´ as (Weierstrass-krit´ erium). Legyen X Banach-t´er. Ha kxn k P konvergens, akkor xn is konvergens. n n P P Bizony´ıt´ as. Legyenek sn := xi ´es σn := kxi k a megfelel˝o r´eszleti=1 i=1 P osszegek. Ekkor kxn k konvergenci´aja miatt (σn ) Cauchy-sorozat, emellett ¨ minden n > m indexre n n
X X
kxi k = σn − σm = |σn − σm | , xi ≤ ksn − sm k = i=m+1
i=m+1
´ıgy (sn ) is Cauchy-sorozat. Mivel X teljes, ´ıgy ez azt jelenti, hogy konvergens.
P
xn
1.13. T´ etel (Banach-f´ ele fixpontt´ etel). Legyen X Banach-t´er ´es f : X → X kontrakci´ o, azaz van olyan q < 1 sz´ am, hogy kf (x) − f (y)k ≤ qkx − yk
(∀x, y ∈ X).
(1) Ekkor f -nek egy´ertelm˝ uen l´etezik fixpontja, azaz olyan x∗ ∈ X, melyre ∗ ∗ x = f (x ). (2) B´ armely x0 ∈ X eset´en az xn+1 := f (xn ) (n ∈ N) iter´ aci´ o x∗ -hoz konverg´ al, ´espedig kxn − x∗ k ≤
qn kx1 − x0 k 1−q
(∀n ∈ N).
´ lt terek 1. Norma
12
Bizony´ıt´ as. (1) Minden n-re kxn+1 − xn k = kf (xn ) − f (xn−1 )k ≤ qkxn − xn−1 k, ´ıgy indukci´ oval kxn+1 − xn k ≤ q n kx1 − x0 k. Ebb˝ol minden m > n eset´en kxm − xn k ≤
m−1 X
kxi+1 − xi k ≤
i=n
m−1 X i=n
qn kx1 − x0 k, (1.2) q i kx1 − x0 k < 1−q
amib˝ ol k¨ ovetkezik, hogy (xn ) Cauchy-sorozat. Mivel X teljes, ´ıgy l´etezik x∗ := lim xn . Ez fixpont, mert f (Lipschitz-)folytonos is, amib˝ol f (x∗ ) = lim f (xn ) = lim xn+1 = x∗ . M´as fixpont nem lehet, mert ha x∗∗ is fixpont, akkor kx∗∗ − x∗ k = kf (x∗∗ ) − f (x∗ )k ≤ qkx∗∗ − x∗ k, ami csak kx∗∗ − x∗ k = 0 eset´en lehets´eges. (2) Az (1.2) egyenl˝ otlens´eg k´et sz´el´eb˝ol m → ∞ eset´en megkapjuk a k´ıv´ant becsl´est, mivel a bal oldal kx∗ − xn k-hez tart, a jobb oldal pedig nem f¨ ugg m-t˝ ol. 1.14. Megjegyz´ es. Az 1.11 ´es 1.13. t´etelek teljes metrikus t´erben is igazak (a bizony´ıt´ asokban csup´ an a k¨ ul¨onbs´egnorm´ak helyett t´avols´agokat kell ´ırni), erre azonban nem lesz sz¨ uks´eg¨ unk. A Banach-f´ele fixpontt´etel a legegyszer˝ ubb olyan t´etel, amely egyenlet megoldhat´os´ag´at ´es a megfelel˝o iter´aci´o konvergenci´ aj´ at mondja ki, erre a k¨onyv III-IV. r´esz´eben is utalunk majd.
1.2. V´ eges dimenzi´ os norm´ alt terek A Banach-terekre adott p´eld´ak k¨oz¨ott m´ar eml´ıtett¨ uk, hogy minden v´eges dimenzi´ os norm´ alt t´er teljes. Ezt most igazoljuk is; az ehhez felhaszn´alt els˝o eredm´eny ¨ onmag´ aban is nevezetes. 1.15. T´ etel. V´eges dimenzi´ os norm´ alt t´eren b´ armely k´et norma ekvivalens. Bizony´ıt´ as. El´eg bel´ atnunk, hogy minden norma ekvivalens egy r¨ogz´ıtett norm´ aval. Ha e1 , e2 , . . . , ek b´azisa X-nek, akkor tetsz˝oleges x ∈ X fel´ırhat´o k P x= xi ei alakban, ´es az i=1
kxk∞ := max |xi |
(1.3)
1≤i≤k
kifejez´es norm´ at defini´ al. Bel´atjuk, hogy tetsz˝oleges k·k norma ekvivalens a k·k∞ norm´ aval, azaz fenn´ all (1.1) valamilyen M ≥ m > 0 konstansokkal. Legyen x ∈ X tetsz˝ oleges. Az egyik ir´any: k k k
X
X X
kxk = xi ei ≤ |xi | kei k ≤ max |xi | kei k = M kxk∞ . i=1
i=1
1≤i≤k
i=1
´ges dimenzio ´ s norma ´ lt terek 1.2. Ve
13
A m´ asik ir´ anyhoz el˝ osz¨ or vegy¨ uk ´eszre, hogy az 1.5. lemma ´es fenti ir´any miatt (∀x, y ∈ X), kxk − kyk ≤ kx − yk ≤ M kx − yk∞ ´ıgy k·k Lipschitz-folytonos a k·k∞ norm´ara n´ezve. Emiatt folytonos is, ´ıgy a Weierstrass-t´etel szerint van minimuma az S := {x ∈ X : kxk∞ = 1} korl´ atos ´es z´ art halmazon, azaz a k·k∞ norm´aval vett egys´egg¨omb felsz´ın´en. (S korl´ atoss´ aga trivi´ alis, z´ arts´aga az 1.6. k¨ovetkezm´enynek k¨osz¨onhet˝o.) Ez a minimum pozit´ıv ´ert´ek, mivel a nullvektor nincs S-en, ´ıgy min kyk =: m > 0.
kyk∞ =1
Legyen most x ∈ X tetsz˝ oleges. Feltehet˝o x 6= 0, hisz 0-ra (1.1) trivi´alis. x Ekkor y := kxk ∈ S, ´ıgy ∞
x
kxk =
kxk∞ = kyk kxk∞ ≥ m kxk∞ . kxk∞
1.16. T´ etel. Minden v´eges dimenzi´ os norm´ alt t´er Banach-t´er. Bizony´ıt´ as. Legyen (xn ) ⊂ X Cauchy-sorozat a t´er k·k norm´aj´aban. Legyen e1 , e2 , . . . , ek b´ azis X-ben, ´es tekints¨ uk az (1.3) k´epletben defini´alt k·k∞ nor1 n m´ at. Mivel minden n, l ∈ N+ eset´en xn − xl ∞ ≤ m x − xl , ´ıgy (xn ) Cauchy-sorozat k·k∞ -ban is. Ekkor minden i = 1, . . . , k koordin´ata eset´en (xni ) ⊂ R is Cauchy-sorozat, ´ıgy konvergens is, azaz l´etezik xi := lim xni ∈ R. n→∞
Ekkor (xn ) is konvergens X-ben: ha x :=
k X i=1
xi ei , akkor kxn − xk ≤ M kxn − xk∞ = M max |xni − xi | → 0, 1≤i≤k
ha n → ∞.
1.17. Megjegyz´ es. (i) A fentiek alapj´an v´eges dimenzi´os vektort´eren b´armely k´et norma ugyanazt a topol´ogi´at gener´alja, azaz ugyanazok a ny´ılt halmazok ´es a Cauchy-, ill. konvergens sorozatok is. Az ut´obbi jelent´ese, hogy a sorozat minden koordin´ at´ aja konvergens. (ii) Egy norm´ alt t´er minden v´eges dimenzi´os altere z´art, mivel ¨onmaga mint norm´ alt t´er teljes. (iii) A fentiekhez hasonl´ oan igazolhat´o, hogy v´eges dimenzi´os norm´alt t´erben minden korl´ atos sorozatnak van konvergens r´eszsorozata. Ez ui. R-ben igaz, ´ıgy az els˝ o koordin´ at´ ak sorozat´anak van konvergens r´eszsorozata. A m´asodik koordin´ at´ ak ilyen index˝ u r´eszsorozat´anak is van konvergens r´eszsorozata, ´es ´ıgy tov´ abb. Az utols´ o l´ep´esben kapott indexsorozattal az eg´esz sorozatnak kapjuk konvergens r´eszsorozat´at.
´ lt terek 1. Norma
14
Tov´ abbi k¨ ovetkezm´eny az a k´es˝obbiekben hasznos tulajdons´ag, hogy v´eges dimenzi´ os alt´ernek a t´er b´ armely elem´ehez van legk¨ozelebbi eleme. ´ ıt´ 1.18. All´ as. Legyen (X, k·k) norm´ alt t´er, X0 ⊂ X v´eges dimenzi´ os alt´er, x ∈ X tetsz˝ oleges vektor. Ekkor l´etezik y0 ∈ X0 , amelyre d := dist(x, X0 ) = kx − y0 k. Bizony´ıt´ as. V´ alasszunk olyan (yn ) ⊂ X0 sorozatot, melyre dn := kx − yn k → d. Az (dn ) sz´ amsorozat konvergens, ´ıgy korl´atos is, ´ıgy az (yn ) ⊂ X0 vektorsorozat is korl´ atos. Mivel X0 v´eges dimenzi´os, kiv´alaszthat´o (yn )-b˝ol konvergens r´eszsorozat, azaz ynk → y0 ∈ X0 . A norma folytonoss´aga miatt kx − y0 k = lim kx − ynk k = lim dnk = d. Ez a legk¨ ozelebbi elem nem mindig egy´ertelm˝ u, pl. a maximumnorm´aval ell´ atott C[0, 1] t´erben az f ≡ 1 konstansf¨ uggv´eny 1 t´avols´agra van a homog´en line´ aris f¨ uggv´enyek egydimenzi´os alter´et˝ol, ´es ezt minden 0 ≤ c ≤ 2 param´eter˝ u g(x) := cx f¨ uggv´enyen fel is veszi. K¨onnyen l´athat´o azonban, hogy ha egy t´er norm´ aja szigor´ uan konvex (azaz ha kx + yk < kxk + kyk, amikor x ´es y nem egym´ as sz´ amszorosa), akkor a legk¨ozelebbi elem m´ar egy´ertelm˝ u. Ilyenkor ezt az adott vektor v´eges dimenzi´os alt´erre val´o vet¨ ulet´enek h´ıvjuk.
1.3. Nevezetes Banach-terek, fu enyterek ¨ ggv´ Az al´ abbi p´eld´ ak ´ altal´ aban j´ol ismertek az anal´ızisb˝ol, l´asd [37, 38, 59]. Az Lp (Ω) tereket fontoss´ aguk miatt r´eszletezz¨ uk. Az egyv´altoz´os Szoboljev-t´er itt ismertetett, Cz´ ach L´ aszl´ ot´ol sz´armaz´o fel´ep´ıt´ese kev´esb´e ismert az irodalomban, c´elja a fogalom j´ ol ´erthet˝o szeml´eltet´ese. A Szoboljev-t´er ugyanis az alkalmaz´ asokban el˝ ofordul´ o legfontosabb f¨ uggv´enyt´er lesz, ´es az egydimenzios eset j´ ´ oval konstrukt´ıvabban le´ırhat´o, mint a t¨obbv´altoz´os [67], melyre a 10.2.2. szakasz elej´en utalunk majd.
1.3.1. Az Lp (Ω) terek Legyen Ω ⊂ Rn adott Lebesgue-m´erhet˝o halmaz, 1 ≤ p ≤ ∞. Tekints¨ uk azon f : Ω → R Lebesgue-m´erhet˝ o f¨ uggv´enyeket, melyekre kf kLp v´eges, ahol Z 1/p p |f | , ha 1 ≤ p < +∞, Ω kf kLp := u}, ha p = +∞. inf {sup |f | : N ⊂ Ω nullm´ert´ek˝ Ω\N
Gyakran kf kLp helyett csak kf kp -t ´ırunk, ha nem okoz f´elre´ert´est, mint pl. e szakasz sz´ amol´ asaiban. Emellett eml´ekeztet¨ unk az al´abbi fogalomra, ill. jel¨o-
´nyterek 1.3. Nevezetes Banach-terek, f¨ uggve
15
l´esre: a Lebesgue-elm´eletben egy tulajdons´agot majdnem minden¨ utt (m. m.) ´erv´enyesnek nevez¨ unk, ha nullm´ert´ek˝ u halmaz kiv´etel´evel teljes¨ ul. 1.19. Defin´ıci´ o. Az Lp (Ω) t´er azon Lebesgue-m´erhet˝o f¨ uggv´enyekb˝ol ´all, melyekre kf kLp < ∞, bele´ertve, hogy k´et f¨ uggv´enyt azonosnak tekint¨ unk, ha m. m. egyenl˝ oek. (Pontosabban teh´at, a t´er elemei ekvivalencia-oszt´alyok, ahol f ∼ g, ha f = g m. m. ) A m. m. azonos´ıt´ as ¨ onmag´ aban is term´eszetes amiatt, hogy a Lebesgue-integr´al ´erz´eketlen a nullm´ert´ek˝ u halmazon val´o v´altoztat´asra, f˝o oka azonban az, hogy csak ´ıgy lesz igaz az els˝o normaaxi´oma. Az L∞ (Ω) t´er norm´ aj´ ar´ ol eml´ıt´est ´erdemel, hogy b´armely f ∈ L∞ (Ω) f¨ uggv´enyhez megadhat´ o olyan Nf nullm´ert´ek˝ u halmaz, hogy kf kL∞ = sup |f |. Ω\Nf
(Ha ugyanis a defin´ıci´ obeli infimumot sorozattal k¨ozel´ıtj¨ uk, akkor a megfelel˝ o nullm´ert´ek˝ u halmazok uni´oja j´o lesz Nf -nek.) Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy |f | ≤ kf k∞ m.m. , ez´ert n´eha az L∞ -norm´at a f¨ uggv´eny l´enyeges supremum´ anak is nevezik ´es ess sup |f |-fel jel¨olik. Ω
Most bel´ atjuk, hogy Lp (Ω) norm´alt t´er. Az els˝o k´et normaaxi´oma trivi´alisan teljes¨ ul, az els˝ on´el kihaszn´ alva a m. m. azonos´ıt´ast (ugyanis kf kLp = 0 eset´en f = 0 m. m., azaz f az Lp (Ω) t´er 0-eleme). A h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eget a k¨ ovetkez˝ o t´etel mondja ki. 1.20. T´ etel (Minkowski-egyenl˝ otlens´ eg). Legyen 1 ≤ p ≤ ∞ adott, f, g : Ω → R m´erhet˝ o f¨ uggv´enyek. Ekkor kf + gkp ≤ kf kp + kgkp . Bizony´ıt´ as. Ha p = ∞, akkor |f | ≤ kf k∞ ´es |g| ≤ kgk∞ m.m., ez´ert |f + g| ≤ |f | + |g| ≤ kf k∞ + kgk∞ m.m., ami egy l´enyeg´eben fels˝ o korl´at, azaz kf + gk∞ ≤ kf k∞ + kgk∞ . Legyen most p v´eges. Ha a jobb oldal ∞ vagy valamelyik f¨ uggv´eny a 0, akkor az ´ all´ıt´ as trivi´ alis. Tegy¨ uk fel teh´at, hogy kf kp 6= 0 ´es kgkp 6= 0. A t 7→ tp f¨ uggv´eny konvex, ´ıgy a Jensen-egyenl˝otlens´eg szerint !p kf kp kgkp 1 |f | |g| p p (|f | + |g|) = + ≤ kf kp + kgkp kf kp kf kp + kgkp kgkp kf k + kgk p
p
≤
kf kp kf kp + kgkp
|f | kf kp
!p +
kgkp kf kp + kgkp
|g| kgkp
!p .
´ lt terek 1. Norma
16
Mindk´et oldalt integr´ alva kapjuk, hogy Z 1 p p (|f | + |g|) ≤ 1, Ω kf kp + kgkp ebb˝ ol
kf + gkp ≤ |f | + |g| ≤ kf kp + kgkp .
p
A k¨ ovetkez˝ o t´etel az Lp -terekbeli sz´am´ıt´asok igen gyakran haszn´alt seg´edeszk¨ oze. 1.21. Defin´ıci´ o. A p, q ∈ [1, ∞] sz´amokat (egym´ ashoz) konjug´ alt ´ert´ekeknek h´ıvjuk, ha p1 + 1q = 1. Ha p (vagy q) ´ert´eke 1, akkor az egyenl˝os´eget u ´gy ´ertj¨ uk, hogy q (vagy p) ´ert´eke ∞. 1.22. T´ etel (H¨ older-egyenl˝ otlens´ eg). Ha 1 ≤ p ≤ ∞ ´es 1 ≤ q ≤ ∞ egym´ ashoz konjug´ alt ´ert´ekek ´es f, g m´erhet˝ o f¨ uggv´enyek, akkor kf gk1 ≤ kf kp kgkq . Bizony´ıt´ as. Ha a jobb oldal 0 vagy v´egtelen, akkor az ´all´ıt´as trivi´alis. Ha p = 1 ´es q = ∞ (vagy ford´ıtva), akkor |f g| = |f | |g| ≤ |f | kgk∞ m.m., emiatt kf gk1 ≤ kf k1 kgk∞ . Legyenek most 1 < p, q < +∞, ´es F :=
|f | , kf kp
G :=
|g| . kgkq
A t 7→ log t f¨ uggv´eny konk´ avit´as´at felhaszn´alva 1 1 1 p 1 p 1 1 F G = exp ln F p + ln Gp ≤ exp ln F + G = F p + Gp . p q p q p q Ezt integr´ alva Z Z Z Z p q |f | |g| 1 |f | 1 |g| 1 1 1 |f g| = · ≤ + = 1, p + q = kf kp kgkq kf k kgk p q p q kf k kgk Ω Ω Ω p q p q ahonnan ´ atszorz´ assal ad´ odik a k´ıv´ant egyenl˝otlens´eg.
1.23. Megjegyz´ es. (i) A H¨ older-egyenl˝ otlens´egb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy ha f ∈ Lp (Ω) ´es g ∈ Lq (Ω), akkor f g ∈ L1 (Ω). (ii) A p = q = 2 speci´ alis esetben a f¨ uggv´enyekre vonatkoz´ o Cauchy–Schwarz– Bunyakovszkij-egyenl˝ otlens´eget kapjuk.
´nyterek 1.3. Nevezetes Banach-terek, f¨ uggve
17
(iii) A H¨ older-egyenl˝ otlens´eg t¨ obbf´elek´eppen ´ altal´ anos´ıthat´ o. Indukci´ oval igazolhat´ o, hogy ha az 1 ≤ p1 , . . . , pn ≤ ∞ sz´ amokra · · · + p1n = 1, akkor
1 p1
+
kf1 · · · fn k1 ≤ kf1 kp1 · · · kfn kpn . Ebb˝ ol, ha az 1 ≤ s1 , . . . , sn ≤ ∞ ´es 1 ≤ r ≤ ∞ sz´ amokra si 1 r , akkor a p := ´ e s f := |h | helyettes´ ıt´ e ssel i i i r r
1 s1
+· · ·+ s1n =
kh1 · · · hn kr ≤ kh1 ks1 · · · khn ksn .
(1.4)
1.24. T´ etel (Riesz–Fischer). Lp (Ω) a bevezetett norm´ aval teljes, azaz Banach-t´er. Bizony´ıt´ as. Csak 1 ≤ p < ∞ eset´ere bizony´ıtjuk, a p = ∞ eset anal´og a korl´ atos f¨ uggv´enyek ter´enek kor´abban eml´ıtett teljess´eg´evel. Legyen (fn ) egy Lp (Ω)-beli Cauchy-sorozat. Ekkor van olyan k0 ∈ N, hogy minden m > k0 eset´en kfm − fk0 kp < 1/2. Ehhez van olyan k1 > k0 , hogy minden m > k1 eset´en kfm − fk1 kp < 1/4. Hasonl´oan folytatva az elj´ar´ast, minden n-re van olyan kn > kn−1 index, hogy minden m > kn eset´en kfm − fkn kp < 1/2n+1 . Legyen most n X fki − fki−1 . gn := |fk0 | + i=1
Mivel gn monoton n¨ ov˝ o f¨ uggv´enysorozat, l´etezik g := lim gn . Mivel n→∞
kgn kp ≤ kfk0 kp +
n n X X
1
fk − fk ≤ kfk k + ≤ kfk0 kp + 1 = K, i i−1 p 0 p i 2 i=1 i=1
ez´ert a gn sorozat monotonit´asa miatt a Beppo Levi-t´etelb˝ol kapjuk, hogy Z Z Z gp = lim gnp = lim gnp ≤ K p , Ω
Ω n→∞
n→∞
Ω
teh´ at g ∈ Lp (Ω). Ekkor g m. m. v´eges, ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy az fk0 +
∞ X
fkn − fkn−1
n=1
f¨ uggv´enysor m. m. pontban abszol´ ut konvergens. Emiatt konvergens is, jel¨ olj¨ uk a sor o ¨sszeg´et f -fel. Mivel f ´es g konstrukci´oja miatt |f | ≤ g, ´ıgy
´ lt terek 1. Norma
18
f ∈ Lp (Ω). A sor n-edik r´eszlet¨osszege ´eppen fkn , teh´at fkn → f m. m. ´es p ´ıgy |fkn − f | → 0 m. m. Emellett ∞ ∞ X X fki − fki−1 + |fk0 | = g, |fkn − f | = fki − fki−1 ≤ i=1
i=n+1
p
p
´ıgy |fkn − f | ≤ g p ∈ L1 (Ω), azaz |fkn − f | → 0 m. m. R´es van L1 (Ω)-beli p major´ ansa. Lebesgue domin´ alt konvergencia-t´etele szerint Ω |fkn − f | → 0, p p azaz kfkn − f kp → 0. Ezzel bel´attuk, hogy egy tetsz˝oleges L (Ω)-beli Cauchysorozatnak van olyan r´eszsorozata, amely konvergens. Ebb˝ol az ismert elemi all´ıt´ ´ as szerint k¨ ovetkezik, hogy az eg´esz sorozat is konvergens. 1 1.25. Megjegyz´ es.Ismeretes, hogy C[a, b] az L -norm´aval ell´atva nem teljes t´er. Hasonl´ oan, C[a, b], k·kp sem az. Igazolhat´o viszont, hogy C[a, b] p s˝ ur˝ u altere L (a, b)-nek a p-norm´aval, ´ıgy C[a, b], k·kp teljess´e t´etele ´eppen
Lp (a, b). A kitev˝ o n¨ ovel´es´evel egyre sz˝ ukebb tereket kapunk, ez egyszer˝ u sz´amol´assal igazolhat´ o az (1.4) ´ altal´ anos´ıtott H¨older-egyenl˝otlens´eg alapj´an, h1 := f ´es h2 ≡ 1 v´ alaszt´ assal: ´ ıt´ 1.26. All´ as. (Lp (Ω) f¨ ugg´ese a kitev˝ ot˝ ol). Legyen Ω ⊂ Rn korl´ atos tartos m´ any, 1 ≤ r < s ≤ ∞. Ekkor L (Ω) ⊂ Lr (Ω), s˝ ot l´etezik c > 0, hogy (∀f ∈ Ls (Ω)).
kf kLr ≤ c kf kLs
1.27. Megjegyz´ es. Igazolhat´o az is, hogy ez visszafel´e nem ´all fenn, azaz k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o kitev˝ oj˝ u Lp -norm´ ak nem ekvivalensek: alkalmasan v´alasztott α > 0 eset´en el´erhet˝ o, hogy az f (x) := |x−x0 |−α f¨ uggv´enyre (ahol x0 ∈ Ω r¨ogz´ıtett pont) f ∈ Lr (Ω) \ Ls (Ω), vagy f ∈ Ls (Ω) ugyan, de a k´et norma h´anyadosa el˝ o´ırt korl´ at f¨ ol¨ ott lesz.
1.3.2. Sorozatterek ´ es C n -terek Tov´ abbi fontos p´eld´ ak Banach-terekre az `p -terek: `p :=
∞ n o X p (xn ) ⊂ K sz´ amsorozatok, melyre |xn | < ∞ ,
ha 1 ≤ p < +∞,
n=1
`∞ := {(xn ) ⊂ K korl´atos sz´amsorozatok},
ha p = +∞.
´nyterek 1.3. Nevezetes Banach-terek, f¨ uggve
19
A norma ´ertelmez´ese hasonl´ o a kor´abbi esethez: X ∞ 1/p p |x | , ha n n=1 k(xn )kp := sup |xn | , ha
1 ≤ p < +∞, p = +∞.
n
Az `p -terek val´ oj´ aban felfoghat´ok Lp -tereknek is, mivel ut´obbiak defin´ıci´oj´ aban nem kellett volna a Lebesgue-m´ert´ekre szor´ıtkoznunk: ´altal´aban egy (X, A, µ) m´ert´ekt´erb˝ ol kiindulva egy µ-m´erhet˝o f¨ uggv´enynek ugyan´ ugy defini´ alhat´ o a p-norm´ aja ´es ´ıgy az Lp -belis´ege, ahogyan el˝obb l´attuk. Ekkor az `p terek a (N, P(N), µ) kiindul´asi m´ert´ekt´erhez tartoznak, ahol µ a sz´aml´al´om´ert´ek. A fentiek alapj´ an a Riesz–Fischer t´etel ´atvihet˝o az `p terekre is, ezek teh´ at Banach-terek. Vezess¨ unk m´eg be k´et u ´jabb sorozatteret: legyen c a konvergens sorozatok tere, c0 pedig a nullsorozatok tere, a norma mindk´et esetben legyen k(xn )k := sup |xn |. K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy ezek teljes terek, mivel z´art alterei `∞ -nek. V´eg¨ ul legyen I = [a, b], n ∈ N+ ´es C n (I) = {f : I → R n-szer folytonosan differenci´alhat´o}, ahol a norma kf kC n :=
n
X
(k)
f k=0
max
=
n X k=0
max f (k) . I
Ezek a m´ ar l´ atott n = 0 esethez hasonl´oan Banach-terek.
1.3.3. Egyv´ altoz´ os Szoboljev-terek Ebben a szakaszban bevezetj¨ uk a Szoboljev-t´er fogalm´at az egyv´altoz´os esetben. A Szoboljev-terek els˝ osorban t¨obbv´altoz´oban, a parci´alis differenci´alegyenletek elm´elet´eben rendk´ıv¨ ul fontosak, erre a 10.2.2. szakaszban utalunk majd; a t¨ obbdimenzi´ os Szoboljev-terek r´eszletes t´argyal´asa a [67] k¨onyvben olvashat´ o. A most adott egyv´altoz´os defin´ıci´o speci´alis ´es j´oval konstrukt´ıvabb, mivel megadhat´ o, milyen f¨ uggv´enyekb˝ol ´all a t´er, szemben a t¨obbdimenzi´ os esettel, ahol absztrakt teljess´e t´etelk´ent defini´aljuk a Szoboljev-tereket. Az egyv´ altoz´ os eset nagyobb szeml´eletess´ege r´ev´en k¨onnyebben l´athat´o e terek jelent˝ os´ege, els˝ osorban majd a gyenge megold´asra val´o alkalmaz´asukn´al a 10.2.1. szakaszban. A tov´ abbiakban legyen I = [a, b] korl´atos, z´art intervallum. (a) Els˝ orend˝ u Szoboljev-terek
´ lt terek 1. Norma
20
1.28. Defin´ıci´ o. Legyen 1 ≤ p ≤ ∞ adott sz´am. Ekkor W 1,p (I) := {f : I → R abszol´ ut folytonos f¨ uggv´enyek, melyre f 0 ∈ Lp (I)} . 1.29. Megjegyz´ es. (i) Eml´ekeztet¨ unk az al´abbi jellemz´esekre (az abszol´ ut folytonoss´ ag defin´ıci´ oja helyett ezeket haszn´aljuk fel), l´asd [38, 18. fejezet]). Egy f : I → R f¨ uggv´eny pontosan akkor abszol´ ut folytonos, ha egy L1 (I)-beli f¨ uggv´eny integr´ alf¨ uggv´enye, ez pedig ekvivalens az al´abbi h´arom tulajdons´ag egy¨ uttes´evel : • f m. m. differenci´ alhat´ o, • f 0 ∈ L1 (I), • f integr´ alf¨ uggv´enye f 0 -nek (azaz ´erv´enyes a Newton–Leibniz t´etel). Itt az f 0 ∈ L1 (I) kit´etel ´ertelmes, mert el´eg hozz´a, hogy az f 0 f¨ uggv´enyt m. m. ´ertelmezt¨ uk. (ii) A fentiek alapj´ an: f ∈ W 1,p (I) ⇔ f egy Lp (I)-beli f¨ uggv´eny integr´alf¨ uggv´enye. T¨ obb norm´ at is bevezet¨ unk a W 1,p (I) t´eren: az alap´ertelmezett norma 1/p 1/p Z p p kf kW 1,p := kf kLp +kf 0 kLp = (|f |p +|f 0 |p ) (ha 1 ≤ p < ∞), Ω
kf kW 1,∞ := max{kf kL∞ , kf 0 kL∞ }, emellett k´et seg´ednorma” ” kf k+ := kf kLp + kf 0 kLp
´es
kf k∗ := kf kmax + kf 0 kLp .
C´elunk bel´ atni, hogy W 1,p (I) teljes, azaz Banach-t´er a W 1,p -norm´aval. Ehhez az 1.10. ´ all´ıt´ as alapj´ an azt fogjuk bel´atni, hogy a fenti norm´ak ekvivalensek ´es a t´er teljes a ∗-norm´ aval. 1.30. Lemma. A W 1,p (I) t´eren k·kW 1,p ∼ k·k+ . Bizony´ıt´ as. Mivel R2 -ben az k(x1 , x2 )kp = (|x1 |p +|x2 |p )1/p vagy k(x1 , x2 )k∞ = max{|x1 |, |x2 |} norma ekvivalens a k(x1 , x2 )k1 = |x1 | + |x2 | norm´aval, ez or¨ okl˝ odik arra az esetre, ha argumentumukba az kf kLp ´es kf 0 kLp sz´amokat ¨ ´ırjuk, ami ´eppen kf kW 1,p ´es kf k+ . 1.31. T´ etel. A W 1,p (I) t´eren k·k+ ∼ k·k∗ .
´nyterek 1.3. Nevezetes Banach-terek, f¨ uggve
21
Bizony´ıt´ as. A p = ∞ esetben az ´all´ıt´as trivi´alis, hiszen az f f¨ uggv´eny folytonoss´ aga miatt kf kL∞ = ess sup |f | = kf kmax , ´ıgy kf k+ = kf k∗ . Legyen teh´ at p < ∞. (i) Az egyik ir´ any´ u becsl´eshez szint´en f folytonoss´aga miatt kf kLp ≤
b
Z
max |f |p
1/p
a
1/p = (b − a) max |f |p = c · kf kmax
(ahol c = (b − a)1/p ), ´ıgy kf k+ = kf kLp + kf 0 kLp ≤ c kf kmax + kf 0 kLp ≤ max{1, c} · kf k∗ . (ii) A m´ asik ir´ any´ u becsl´eshez felhaszn´aljuk, hogy ha f ∈ W 1,p (I), akkor teljes¨ ul r´ a a Newton–Leibniz t´etel, azaz Z y f (y) = f (x) + f0 (∀x, y ∈ I). x
Ebb˝ ol, ism´et az 1.26. ´ all´ıt´ ast is haszn´alva Z
y
Z
0
|f (y)| ≤ |f (x)| +
b
|f | ≤ |f (x)| + x
a
|f 0 | = |f (x)| + kf 0 kL1 ≤
≤ |f (x)| + c1 · kf 0 kLp alkalmas c1 > 0 mellett. Az egyenl˝otlens´eg k´et v´eg´et integr´alva x szerint Z (b − a) |f (y)| ≤ a
b
|f | + c1 (b − a) kf 0 kLp ≤ c1 · kf kLp + c1 (b − a) kf 0 kLp ,
majd leosztva az intervallum hossz´aval |f (y)| ≤
c1 kf kLp + c1 kf 0 kLp b−a
(∀y ∈ I).
Ebb˝ ol, f folytonoss´ aga r´ev´en kf kmax = max |f (y)| ≤ y∈I
c kf kLp + c kf 0 kLp , b−a
´ıgy kf k∗ ≤
c c kf kLp + (c + 1) kf 0 kLp ≤ max{ b−a , c + 1} kf k+ . b−a
1.32. T´ etel. W 1,p (I) teljes a k·k∗ norm´ aval.
´ lt terek 1. Norma
22
Bizony´ıt´ as. Legyen (fn ) Cauchy-sorozat a k·k∗ norma szerint, ekkor (fn ) Cauchy-sorozat a k·kmax norm´aban ´es (fn0 ) Cauchy-sorozat a k·kLp norm´aban. Mivel C(I) teljes a k·kmax -norm´aval, ez´ert l´etezik f ∈ C(I), hogy fn → f egyenletesen. Mivel fn0 ∈ Lp (I), ez´ert l´etezik g ∈ Lp (I), hogy fn0 → g Lp norm´ aban. C´elunk bel´ atni azt, hogy f ∈ W 1,p (I) ´es fn → f k·k∗ -norm´aban. Mivel fn ∈ W 1,p (I), ez´ert Z x fn (x) = fn (a) + fn0 (∀x ∈ I, n ∈ N+ ). a
Tekints¨ uk az n → ∞ hat´ ar´ atmenetet. Mivel fn → f egyenletesen, ´ıgy pontonk´ent is, azaz fn (x) → f (x). Mivel fn0 → g Lp -norm´aban, ´ıgy Z x Z x Z b Z x fn0 − g ≤ |fn0 − g| ≤ |fn0 − g| = a
a
a
a
= kfn0 − gkL1 ≤ c1 kfn0 − gkLp → 0, Z x Z x ´ıgy fn0 → g. a
Ezekb˝ ol
a
Z f (x) = f (a) +
x
g
(∀x ∈ I),
a
vagyis f integr´ alf¨ uggv´enye g-nek. Mivel g ∈ Lp (I), ez ´epp azt jelenti, hogy 1,p f ∈ W (I). Emellett a fenti k´epletet m. m. deriv´alva f 0 = g m. m. ´Igy kfn − f kmax → 0 ´es kfn0 − f 0 kLp = kfn0 − gkLp → 0, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy kfn − f k∗ → 0. 1.33. K¨ ovetkezm´ eny. W 1,p (I) teljes a k·kW 1,p norma szerint is. 1.34. Megjegyz´ es. (i) A W 1,p (I) Szoboljev-t´er ´altal´anos´ıtja a C 1 (I) teret abban az ´ertelemben, hogy csak m. m. deriv´alhat´os´agot k¨ovetel¨ unk. A teljess´eget ekkor u ´gy lehetett garant´alni, ha a deriv´altaknak csak az Lp -norm´aj´at (l´enyeg´eben s´ ulyozott ´ atlag´ at) m´erj¨ uk. (ii) Mint kor´ abban eml´ıtett¨ uk, a (C(I), k·kLp ) t´er nem teljes, ´es teljess´e t´etele az Lp (I) t´er. Eg´eszen hasonl´ oan (C 1 (I), k·kW 1,p ) sem teljes, ´es teljess´e t´etele 1,p a W (I) t´er. (b) Magasabbrend˝ u Szoboljev-terek Err˝ ol az esetr˝ ol csak v´ azlatosan ejt¨ unk sz´ot, mivel teljesen hasonl´o az els˝orend˝ u esethez. Legyen 1 ≤ p ≤ ∞, N ∈ N+ ´es n o W N,p (I) := f ∈ C N −1 (I) : f (N −1) abszol´ ut folytonos, ´es f (N ) ∈ Lp (I) ,
´ ris leke ´peze ´sek alaptulajdonsa ´ gai. A B(X, Y ) te ´r 1.4. Linea
23
norm´ aja pedig kf kW N,p :=
N X
(k) p 1/p
f p . L k=0
Itt is bevezethetj¨ uk a megfelel˝o k.k+ ´es k.k∗ norm´akat, ´es seg´ıts´eg¨ ukkel igazolhat´ o: 1.35. T´ etel. W N,p (I), k·kW N,p teljes, azaz Banach-t´er. A W N,p (I) Szoboljev-t´er ´ altal´anos´ıtja a C N (I) teret u ´gy, hogy f (N ) l´etez´es´et N csak m. m. k¨ ovetelj¨ uk meg. A (C (I), k·kW N,p ) t´er nem teljes, ´es teljess´e t´etele a W N,p (I) t´er.
1.4. Line´ aris lek´ epez´ esek alaptulajdons´ agai. A B(X, Y ) t´ er Legyenek el˝ osz¨ or X ´es Y vektorterek. A line´aris lek´epez´esek vizsg´alatakor az al´ abbi jel¨ ol´eseket haszn´ aljuk majd: azt ´ırjuk, hogy A : X → Y , ha D(A) = X ´es azt, hogy A : X ⊃→ Y , ha D(A) ⊂ X alt´er. El˝osz¨or id´ezz¨ uk fel a line´aris lek´epez´es fogalm´ at. 1.36. Defin´ıci´ o. Legyenek X ´es Y vektorterek a K sz´amtest felett. Egy A : X ⊃→ Y lek´epez´es line´ aris, ha b´armely x, z ∈ D(A) ´es c ∈ K eset´en (i) A(x + z) = A(x) + A(z), (ii) A(cx) = cA(x). Ezzel ekvivalens defin´ıci´ o: b´ armely x, z ∈ X ´es c, d ∈ K eset´en A(cx + dz) = cA(x) + dA(z). A line´ aris lek´epez´eseket gyakran line´aris oper´ atoroknak h´ıvjuk. Ha A line´aris, akkor nem okoz f´elre´ert´est az argumentum z´ar´ojel n´elk¨ uli jel¨ol´ese, mivel A val´ oban u ´gy viselkedik, mint egy szorz´as: a tov´abbiakban Ax := A(x). Az al´ abbi tulajdons´ agok trivi´alis k¨ovetkezm´enyek. ´ ıt´ 1.37. All´ as. Legyen A : X ⊃→ Y line´ aris lek´epez´es. Ekkor (i) A0 = 0, azaz A a(z X-beli) nullvektort a(z Y -beli) nullvektorba viszi. (ii) R(A) ⊂ Y is alt´er. (iii) A pontosan akkor injekt´ıv, ha csak x = 0 eset´en lehet Ax = 0. A line´ aris lek´epez´esek gyakori speci´alis t´ıpus´at alkotj´ak a sz´am´ert´ek˝ u lek´epez´esek, ezeket k´es˝ obb k¨ ul¨ on is vizsg´aljuk majd.
´ lt terek 1. Norma
24
1.38. Defin´ıci´ o. Az A : X → K line´aris lek´epez´eseket line´aris funkcion´ aloknak nevezz¨ uk. A tov´ abbiakban legyenek X ´es Y norm´ alt terek, ugyanis a folytonoss´aggal foglalkozunk. El˝ osz¨ or egy fontos fogalom: 1.39. Defin´ıci´ o. Egy A : X ⊃→ Y line´aris lek´epez´est korl´ atosnak nevez¨ unk, ha van olyan M ≥ 0 ´ alland´ o, hogy kAxk ≤ M kxk
(∀x ∈ D(A)).
Az elnevez´es azt t¨ ukr¨ ozi, hogy a vektorok hossz´anak ny´ ujt´asa korl´atos m´ert´ek˝ u. Ez azt is jelenti, hogy ilyenkor A korl´atos halmazt korl´atos halmazba visz. Maga A ´ert´ekk´eszlete term´eszetesen nem korl´atos, hiszen alt´er. Megjegyezz¨ uk, hogy pontosabb lett volna az kAxkY ≤ M kxkX jel¨ol´es, mivel a szerepl˝ o k´et norma ´ altal´ aban k¨ ul¨onb¨oz˝o lehet. A jel¨ol´esek egyszer˝ ubb volta ´erdek´eben azonban itt ´es a k´es˝obbiekben sem t¨ untetj¨ uk fel ezt, ha nem okoz f´elre´ert´est. A line´ aris lek´epez´esek vizsg´ alat´aban alapvet˝o lesz az al´abbi t´etel. 1.40. T´ etel. Egy line´ aris lek´epez´es pontosan akkor folytonos, ha korl´ atos. Bizony´ıt´ as. Ha A korl´ atos, akkor a linearit´as miatt kAx − Azk = kA(x − z)k ≤ M kx − zk
(∀x, z ∈ D(A)),
´ıgy A Lipschitz-folytonos, ´es ´ıgy folytonos is. (Ha xn → x, akkor kAxn − Axk ≤ M kxn − xk → 0.) Ha A nem korl´ atos, akkor van olyan (xn ) ⊂ D(A) \ {0} sorozat, melyre kAxn k > nkxn k (∀n ∈ N+ ). Emiatt A nem lehet folytonos, mert a zn := xn /(nkxn k) vektorokra kzn k =
1 , n
´ıgy zn → 0,
de kAzn k ≥ 1,
´ıgy Azn 6→ 0.
Megjegyezz¨ uk azt (ami a fenti bizony´ıt´asb´ol is l´atszik), hogy egy A line´aris lek´epez´es pontosan akkor folytonos az eg´esz t´eren, ha egy pontban folytonos, hiszen az {xn → x0 ⇒ Axn → Ax0 } krit´eriumot a linearit´assal egy pontb´ ol b´ arhova eltolhatjuk. Teh´at A vagy mindenhol, vagy sehol sem folytonos. Hasonl´ oan, a korl´ atoss´ag ekvivalens azzal, hogy A az egys´egg¨omb¨ot korl´ atos halmazba viszi, ekkor ugyanis beszorz´as alapj´an minden orig´o k¨ozep˝ u g¨ omb¨ ot, illetve ezek r´eszhalmazait, azaz minden korl´atos halmazt korl´atos halmazba visz.
´ ris leke ´peze ´sek alaptulajdonsa ´ gai. A B(X, Y ) te ´r 1.4. Linea
25
A korl´ atos line´ aris lek´epez´esek eset´en kit¨ untetett szerepet j´atszanak az eg´esz t´eren ´ertelmezett lek´epez´esek. Ha ugyanis D(A) s˝ ur˝ u X-ben, akkor az A folytonos line´ aris lek´epez´es egy´ertelm˝ uen kiterjeszthet˝o a folytonoss´ag ´es linearit´ as megtart´ as´ aval az eg´esz t´erre az x 7→ lim Axn k´eplettel, ahol (xn ) ⊂ D(A) n→∞
olyan sorozat, melyre xn → x. Ha D(A) nem s˝ ur˝ u X-ben, akkor D(A)-ra terjesztj¨ uk ki ´es ezt tekinthetj¨ uk u ´j alapt´ernek. 1.41. Defin´ıci´ o. Jel¨ olje B(X, Y ) az A : X → Y korl´atos line´aris lek´epez´esek halmaz´ at. A B(X, Y ) halmaz term´eszetes m´odon vektorteret alkot a lek´epez´esek pontonk´enti ¨ osszead´ as´ aval ´es sz´ ammal val´o szorz´as´aval. Most norm´at is defini´alunk ebben a t´erben. 1.42. Defin´ıci´ o. Ha A ∈ B(X, Y ), akkor legyen kAk := sup{kAxk : x ∈ X, kxk ≤ 1} az A u ´gynevezett oper´ atornorm´aja, vagy egyszer˝ uen csak norm´aja. Ez val´ os sz´ am, hiszen A korl´ atos, ´ıgy valamilyen M pozit´ıv sz´amra kAxk ≤ M az egys´egg¨ ombben. S˝ ot, ebb˝ ol l´atszik, hogy ha M a korl´atoss´ag defin´ıci´oj´aban szerepl˝ o alkalmas konstans, akkor kAk ≤ M . Ha viszont a fenti norm´at tetsz˝ oleges line´ aris lek´epez´esre ´ertelmezn´enk, akkor A pontosan akkor lenne korl´ atos, ha kAk v´eges. Nyilv´anval´o az al´abbi ´ ıt´ 1.43. All´ as. A fent defini´ alt oper´ atornorma val´ oban norma. Ha teh´ at X ´es Y norm´ alt terek, akkor B(X, Y ) is norm´alt t´er az oper´atornorm´ aval. A norma al´ abbi ´ atfogalmaz´ asai a defin´ıci´ob´ol k¨ovetkeznek: ´ ıt´ 1.44. All´ as. Ha A ∈ B(X, Y ), akkor kAxk kAk = sup : x ∈ X, x 6= 0 kxk = sup{kAxk : x ∈ X, kxk = 1} = min{M ≥ 0 : kAxk ≤ M kxk ∀x ∈ X}. Az els˝ o egyenl˝ os´eg u ´gy is fogalmazhat´o, hogy kAk a vektorok megny´ ujt´as´anak fels˝ o hat´ ara (ill. lehets´eges legnagyobb m´ert´eke, amikor sup helyett max ´ırhat´ o).
´ lt terek 1. Norma
26
1.45. Ko eny. ¨vetkezm´ kAkkxk.
(i) B´ armely A ∈ B(X, Y ) ´es x ∈ X eset´en kAxk ≤
(ii) B´ armely C ∈ B(X, Y ) ´es A ∈ B(Y, Z) eset´en kACk ≤ kAk kCk (a norma szubmultiplikat´ıv). 1.46. T´ etel. Legyen X norm´ alt t´er, Y Banach-t´er. Ekkor B(X, Y ) is Banacht´er. Bizony´ıt´ as. Legyen (An ) Cauchy-sorozat B(X, Y )-ban. R¨ogz´ıtett x ∈ X eset´en az kAn x − Am xk ≤ kAn − Am k kxk egyenl˝ otlens´eg alapj´ an (An x) Cauchy-sorozat Y -ban. Mivel Y teljes, ez´ert (An x) konvergens is. Legyen A az az X-b˝ol Y -ba k´epez˝o oper´ator, amelyre Ax := lim An x. n→∞
Ekkor A line´ aris a limeszk´epz´es linearit´asa miatt. Igazoljuk, hogy korl´a tos is, azaz A ∈ B(X, Y ). Mivel (An ) Cauchy-sorozat ´es kAn k − kAm k ≤ kAn − Am k, ´ıgy (kAn k) is Cauchy-sorozat R-ben, ´ıgy konvergens is, de el´eg annyi, hogy korl´ atos. ´Igy kAn xk ≤ M kxk teljes¨ ul minden x ∈ X ´es n ∈ N eset´en ´es mivel An x → Ax, ez´ert kAxk ≤ M kxk, azaz val´oban A ∈ B(X, Y ). M´eg azt kell bel´ atnunk, hogy az (An ) sorozat a B(X, Y ) t´er norm´aj´aban, azaz oper´ atornorm´ aban konverg´al az A oper´atorhoz. Mivel Cauchy-sorozatr´ol van sz´ o, ez´ert minden ε > 0 sz´amhoz l´etezik N ∈ N, hogy minden n, m ≥ N eset´en kAn x − Am xk ≤ ε kxk (∀x ∈ X). Legyen x ´es n r¨ogz´ıtett, ´es tartsunk m-mel a v´egtelenbe, ekkor k(An − A)xk ≤ ε kxk (∀n ≥ N ), de ez minden x-re elmondhat´ o ´es N nem f¨ ugg x-t˝ol. Azt kaptuk, hogy minden ε > 0 sz´amhoz l´etezik N ∈ N, hogy minden n ≥ N eset´en kAn − Ak ≤ ε, teh´at An → A oper´ atornorm´ aban. 1.47. K¨ ovetkezm´ eny. Ha X norm´ alt t´er ´es K az alaptest, akkor B(X, K) Banach-t´er. P´ eld´ ak folytonos, ill. nem folytonos line´ aris lek´ epez´ esre. Az al´abbi p´eld´ aknak az a jelent˝ os´ege, hogy ´altal´anos elvet t¨ ukr¨oznek: az integr´al´as folytonos, m´ıg a deriv´ al´ as nem folytonos, ha adott t´erb˝ol ¨onmag´aba k´epez˝o ´ oper´ atork´ent vizsg´ aljuk. Altal´ aban is az integr´al´ast tartalmaz´o u ´n. integr´aloper´ atorok folytonosak, m´ıg a deriv´al´ast tartalmaz´o u ´n. differenci´aloper´atorok nem folytonosak adott t´erb˝ol ¨onmag´aba k´epez˝o oper´atork´ent. Tekints¨ uk az X := C[a, b] teret a maximum-norm´aval, ´es benne az al´abbi oper´ atorokat:
´ ris leke ´peze ´sek alaptulajdonsa ´ gai. A B(X, Y ) te ´r 1.4. Linea
27
1. Legyen D(A) = C[a, b] = X, ´es f ∈ C[a, b] eset´en Z x (Af )(x) := f (t)dt. a
Ekkor A line´ aris, ´es Z kAf k = max x∈[a,b]
a
x
Z f (t)dt ≤
b
|f (t)|dt ≤ (b − a) max |f (t)| = (b − a)kf k,
a
t∈[a,b]
´ıgy A korl´ atos. 2. Legyen D(A) := C 1 [a, b] ⊂ X (azaz tov´abbra is a maximum-norm´aval), ´es f ∈ D(A) eset´en Af := f 0 . Ekkor az fn (x) := enx sorozatra Afn = fn0 = nfn , ´ıgy kAfn k = n → ∞, kfn k teh´ at A nem korl´ atos. ´ Altal´ anosabb integr´ aloper´ atorokra a 6.2., differenci´aloper´atorokra t¨obbek k¨oz¨ ott a 8.1. szakaszban l´ atunk majd tov´abbi p´eld´akat, ezek a k¨ozel´ıt˝o m´odszerek vizsg´ alat´ anak is fontos t´argyai lesznek. Megeml´ıtj¨ uk azt is, hogy ha az alapt´er ´es k´ept´er k¨ ul¨ onb¨ oz˝o (a halmaz ugyanaz is lehet, de a norma m´as), akkor nem mondhat´ o ilyen ´ altal´anos elv arra, hogy mely oper´atorok korl´atosak vagy nem azok. K´et sz´els˝os´eges p´elda: ha r < s ´es az X = Y = Ls (Ω) alaphalmazon kf kX := kf kLr ´es kf kY := kf kLs , akkor az Af := f identit´asoper´ ator nem korl´ atos, mert ahhoz az kf kLs ≤ M kf kLr becsl´es kellene, ami az 1.27. megjegyz´es szerint nem igaz. M´asr´eszt tetsz˝oleges oper´ator korl´atoss´ a tehet˝ o megfelel˝ o norm´ aval: ha A line´aris lek´epez´es (X, k·kX ) ´es (Y, k·kY ) norm´ alt terek k¨ ozt, akkor az kxk∗ := kxkX + kAxkY u ´j norm´at bevezetve az X t´erben, nyilv´ anval´ oan kAxkY ≤ kxk∗ (∀x ∈ X), azaz A korl´atos az (X, k·k∗ ) ´es (Y, k·kY ) terek k¨ozt.
2. fejezet
Hilbert-terek 2.1. Hilbert-terek ´ ertelmez´ ese A k¨ ovetkez˝ okben a norm´ alt tereken bel¨ ul egy speci´alisabb t´erfogalommal foglalkozunk, melyekben skal´ arszorz´ast ´ertelmez¨ unk a t´er elemei k¨oz¨ott. Ez´altal e terek jobban hasonl´ıtanak a v´eges dimenzi´os euklideszi terekhez, mint ´altal´ aban egy norm´ alt t´er; ´ertelmezhet˝o lesz benn¨ uk a mer˝olegess´eg, valamint a vektorok ortonorm´ alt b´ azissal val´o el˝o´all´ıt´as´anak megfelel˝oje sor alakj´aban. A skal´ arszorz´ assal ell´ atott terek norm´alt terek is lesznek (az euklideszi hossz megfelel˝ ojek´ent term´eszetesen ´ertelmezett norm´aval), ´es az erre n´ezve teljes tereket nevezik Hilbert-t´ernek. A Hilbert-tereket alap´ertelmez´esben a komplex sz´amtest f¨ol¨ott szok´as tekinteni. Itt is ´ıgy tesz¨ unk, ´es csak megeml´ıtj¨ uk a val´os anal´ogi´at; a k¨onyv k´es˝obbi r´eszeiben viszont t¨ obb szerep jut majd a val´os Hilbert-tereknek is. 2.1. Defin´ıci´ o. Legyen H vektort´er C felett. Egy h·, ·i : H × H → C lek´epez´est skal´ arszorzatnak nevez¨ unk, ha b´armely x, y ∈ H eset´en (i) az x 7→ hx, yi lek´epez´es line´aris funkcion´al, (ii) hy, xi = hx, yi, (iii) hx, xi > 0, kiv´eve ha x = 0. 2.2. Megjegyz´ es. (a) Az (i) ´es (ii) tulajdons´agokb´ol ad´odik, hogy minden x ∈ H eset´en az y 7→ hx, yi hozz´arendel´essel ´ertelmezett funkcion´al konjug´altan line´ aris, azaz hx, c1 y1 + c2 y2 i = c1 hx, y1 i + c2 hx, y2 i 29
(∀x, y1 , y2 ∈ H, c1 , c2 ∈ C).
30
2. Hilbert-terek
A skal´ arszorz´ as teh´ at egy pozit´ıv definit, konjug´altan biline´aris lek´epez´es. (Ut´ obbit n´eha szeszkviline´ arisnak is mondj´ak.) (b) Mivel egy line´ aris funkcion´al 0-hoz 0-t rendel, ´ıgy az (i) tulajdons´ag miatt h0, yi = 0 (∀y ∈ H). Speci´ alisan h0, 0i = 0, ez´ert kellett kiz´arni az x = 0 esetet a (iii) pontban. (c) A fenti megford´ıt´ asa is ´erv´enyes, azaz ha egy x elemnek minden y ∈ H vektorral vett skal´ arszorzata 0, akkor x = 0. Ekkor ugyanis ¨onmag´aval vett skal´ arszorzata is 0, ´ıgy a (iii) tulajdons´ag miatt x = 0. Ha H vektort´er C felett egy h·, ·i skal´arszorzattal, akkor a (H, h·, ·i) p´art skal´ arszorzatt´ernek h´ıvjuk. Ha H az R val´os test felett vektort´er, akkor val´ os skal´ arszorzatt´err˝ ol besz´el¨ unk, ekkor a skal´arszorz´as defin´ıci´oj´aban ´ertelemszer˝ uen a konjug´ al´ as elhagyhat´o. Val´os esetben teh´at a skal´arszorzat egy pozit´ıv definit biline´ aris funkcion´al H × H-n. A skal´arszorzattereket szok´as pre-Hilbert-t´ernek vagy (els˝ osorban a val´os esetben) euklideszi t´ernek is nevezni. Norma ´ ertelmez´ ese skal´ arszorzatt´erben: ha x ∈ H, akkor legyen p kxk := hx, xi, ennek neve a skal´ arszorzat ´ altal induk´alt norma. Ez az euklideszi hossz megfelel˝ oje. A normatulajdons´ agok igazol´as´an´al csak a h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg nem lesz trivi´ alis; ennek bizony´ıt´as´ahoz olyan seg´ed´all´ıt´asra van sz¨ uks´eg¨ unk, amely ¨ onmag´ aban is a Hilbert-terek egyik technikai alapeszk¨oze. ´ ıt´ 2.3. All´ as (Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenl˝ otlens´ eg). Minden x, y ∈ H eset´en |hx, yi| ≤ kxk kyk . Bizony´ıt´ as. Legyen λ ∈ C tetsz˝oleges. Ekkor 2
2
2
2
0 ≤ kx − λyk = hx − λy, x − λyi = kxk − λ hx, yi − λ hy, xi + |λ| kyk . Ha y = 0, akkor trivi´ alisan igaz az egyenl˝otlens´eg, ez´ert feltehet˝o, hogy y 6= 0. 2 Ekkor megv´ alaszthatjuk λ-t u ´gy, hogy hx, yi = λ kyk legyen. Ekkor hy, xi = 2 2 λ kyk ´es λλ = |λ| , ´ıgy, folytatva az egyenl˝otlens´eget, 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0 ≤ kxk −|λ| kyk −|λ| kyk +|λ| kyk = kxk −|λ| kyk = kxk − Ezt ´ atrendezve a k´ıv´ ant egyenl˝otlens´eghez jutunk.
|hx, yi| kyk
2
.
A Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij” helyett majd gyakran a CSB r¨ovid´ıt´est ” haszn´ aljuk. Itt ´erdemel eml´ıt´est a CSB-egyenl˝otlens´eg els˝o k´et egyszer˝ u alkalmaz´ asa:
´rtelmeze ´se 2.1. Hilbert-terek e
31
´ ıt´ 2.4. All´ as. (i) B´ armely x ∈ H eset´en kxk = sup{ | hx, yi | : y ∈ H, kyk = 1}. (ii) A skal´ arszorz´ as mindk´et v´ altoz´ oj´ aban folytonos, azaz ha xn → x, akkor b´ armely y ∈ H eset´en hxn , yi → hx, yi ´es hy, xn i → hy, xi. Bizony´ıt´ as. (i) A CSB-egyenl˝otlens´eg szerint hx, yi ≤ kxk (∀y ∈ H, kyk = x 1), ´es y := kxk eset´en egyenl˝ os´eg ´all fenn. (ii) Ha xn → x ´es y ∈ H, akkor |hxn , yi − hx, yi| = |hxn − x, yi| ≤ kxn − xkkyk → 0. Ugyanez igaz a ford´ıtott sorrendre is. 2.5. Megjegyz´ es. A (ii) pont szerint teh´at lim hxn , yi = hlim xn , yi, azaz a limeszk´epz´es ´es skal´ arszorz´as felcser´elhet˝o. Ugyanezt egy konvergens sor ∞ ∞ P P r´eszlet¨ osszegeire alkalmazva ad´odik, hogy hxn , yi = h xn , yi. n=1
n=1
T´erj¨ unk most vissza az induk´alt norm´ahoz: p ´ ıt´ oban norm´ at defini´ al H-n. 2.6. All´ as. A kxk := hx, xi k´eplet val´ Bizony´ıt´ as. A (iii) skal´ arszorzat-axi´oma miatt b´armely x ∈ H eset´ p en kxk ≥ 0, ´ e s csak x = 0 eset´ e n lehet 0. A konstansok kiemel´ e s´ e vel kcxk = hcx, cxi = p cc hx, xi = |c|kxk b´ armely c ∈ C, x ∈ H eset´en. A CSB-egyenl˝otlens´egb˝ol pedig k¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o a h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg: 2
2
kx + yk = hx + y, x + yi = kxk + hx, yi + hy, xi + kyk 2
2
2
= kxk + kyk + 2Re hx, yi 2
2
2
2
2
≤ kxk + kyk + 2 |hx, yi| ≤ kxk + kyk + 2 kxk kyk = (kxk + kyk) . 2.7. Defin´ıci´ o. A (H, h·, ·i) skal´arszorzatteret Hilbert-t´ernek nevezz¨ uk, ha H az induk´ alt norm´ aval teljes. P´ eld´ ak Hilbert-t´ erre. • Rn mint R feletti vektort´er val´os Hilbert-t´er a szok´asos hx, yiRn :=
n X
xi yi
i=1
skal´ arszorz´ assal. Az induk´alt norma ui. ´eppen az euklideszi t´avols´ag lesz, ezzel a t´er val´ oban teljes. (A val´os Hilbert-t´er fogalma ennek ´altal´ anos´ıt´ asa.)
32
2. Hilbert-terek
• Cn mint C feletti vektort´er (komplex) Hilbert-t´er a hz, wiCn :=
n X
zi wi
i=1
skal´ arszorz´ assal. (Ennek teljess´ege ekvivalens R2n teljess´eg´evel.) • `2 =
n o ∞ P 2 (xn ) ∈ CN : |xn | < ∞ , azaz a n´egyzetesen ¨osszegezhet˝o n=1
komplex sorozatok tere Hilbert-t´er az h(xn ), (yn )i`2 :=
∞ X
xn y n
n=1
skal´ arszorz´ assal. A teljess´eg az 1.3.2. szakaszb´ol k¨ovetkezik. R 2 • L2 (Ω) = {f : Ω → C Lebesgue-m´erhet˝o: |f | dλ < ∞}, azaz egy Ω
Ω ⊂ Rn tartom´ anyon n´egyzetesen Lebesgue-integr´alhat´o f¨ uggv´enyek tere Hilbert-t´er az Z hf, giL2 := f g dλ Ω
skal´ arszorz´ assal. A teljess´eg az 1.3.1. szakaszb´ol k¨ovetkezik. Megeml´ıtj¨ uk, hogy a skal´ arszorz´as (iii) axi´om´aja megfelel az induk´alt norm´ara vonatkoz´ o els˝ o axi´ om´ anak, ´es most ez (mint az 1.3.1. szakaszban l´attuk) kihaszn´ alja az L2 (Ω)-beli egyenl˝os´eg majdnem minden¨ utt val´o ´ertelmez´es´et. Azaz, ha f ∈ L2 (Ω) ´es hf, f iL2 = 0, akkor f = 0 majdnem minden¨ utt. • A 2-es index˝ u Szoboljev-terek: W 1,2 (I) = {f : I → C abszol´ ut foly0 tonos, f ∈ L2 (I)}. A W 1,2 (I) jel¨ol´es helyett gyakran a H 1 (I) jel¨ol´es haszn´ alatos, itt ugyanis csak a deriv´al´as rendje sz´am´ıt, a kitev˝o viszont csak p = 2 lehet, ez´ert nem jel¨olj¨ uk. Ekkor teh´at H 1 (I) := W 1,2 (I) Hilbert-t´er az Z b hf, giH 1 := (f g + f 0 g 0 ) dλ a
skal´ arszorz´ assal. Itt a skal´arszorzat ´altal induk´alt norma q 2 2 kf kH 1 := kf kL2 + kf 0 kL2 , ami visszaadja az 1.3.3. r´eszben bevezetett norm´at, ´ıgy a teljess´eg az 1.33. k¨ ovetkezm´enynek k¨osz¨onhet˝o.
´ si tulajdonsa ´ gok Hilbert-te ´rben 2.2. Ortogonalita
33
• A fentihez hasonl´ oan, b´armely N ∈ N+ eset´en H N (I) := W N,2 (I) Hilbert-t´er az Z bX N hf, giH N := f (k) g (k) a k=0
skal´ arszorz´ assal.
2.2. Ortogonalit´ asi tulajdons´ agok Hilbert-t´ erben 2.8. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az x, y ∈ H vektorok ortogon´ alisak (vagy mer˝ olegesek) egym´ asra, ha hx, yi = 0. Ennek jel¨ol´ese: x ⊥ y. Ugyanez halmazokkal is ´ertelmezhet˝o: 2.9. Defin´ıci´ o. Legyen x ∈ H vektor, K, M ⊂ H halmazok. (i) x ⊥ K, ha x ⊥ k minden k ∈ K eset´en. (ii) K ⊥ M , ha k ⊥ m minden k ∈ K ´es m ∈ M eset´en. 2.10. Defin´ıci´ o. Legyen K ⊂ H tetsz˝oleges r´eszhalmaz. A K ⊥ := {y ∈ H : y ⊥ K} halmazt K ortokomplementum´ anak vagy ortogon´alis kieg´esz´ıt˝oj´enek nevezz¨ uk. M´ıg K b´ armilyen r´eszhalmaza lehet H-nak, az ortokomplementuma m´ar nem lehet ak´ armilyen. ´ ıt´ 2.11. All´ as. B´ armely K ⊂ H eset´en K ⊥ z´ art alt´er H-ban. Bizony´ıt´ as. Egyr´eszt K ⊥ alt´er, mert ha y1 , y2 ⊥ K, akkor b´armely c1 , c2 konstansokkal c1 y1 + c2 y2 ⊥ K. M´asr´eszt ha (yn ) ⊂ K ⊥ ´es yn → y ∈ H, akkor a skal´ arszorz´ as folytonoss´aga miatt 0 = hyn , ki → hy, ki minden k ∈ K eset´en, ´ıgy y ∈ K ⊥ szint´en teljes¨ ul. ´Igy K ⊥ z´art. 2.12. Megjegyz´ es. Ugyanezen megfontol´assal ad´odik, hogy b´armely K ⊂ ⊥ H halmaz eset´en K ⊥ = [K] (ahol ut´obbi a K line´aris burk´anak lez´artj´at jel¨ oli). Azaz, x ⊥ K pontosan akkor, ha x ⊥ [K]. Itt ugyanis a m´asodik form´ alisan er˝ osebb tulajdons´ag, viszont ha x ⊥ K, akkor x ortogon´alis a K-beliek line´ aris kombin´ aci´ oira, ill. ezek limeszeire is, azaz minden [K]-beli vektorra is. Most n´eh´ any nevezetes sz´ amol´asi szab´alyt mondunk ki. ´ ıt´ 2.13. All´ as. Legyen H Hilbert-t´er. Ekkor 2
2
2
1. (Pitagorasz-t´ etel) Ha x, y ∈ H ´es x ⊥ y, akkor kx + yk = kxk +kyk .
34
2. Hilbert-terek
2. (Paralelogramma-szab´ aly) Minden x, y ∈ H eset´en 2 2 2 2 kx + yk + kx − yk = 2 kxk + kyk . 3. (Polariz´ aci´ os egyenl˝ os´ eg) Minden x, y ∈ H eset´en 1 2 2 2 2 hx, yi = kx + yk − kx − yk + i kx + iyk − i kx − iyk 4 3
1X k = i kx + ik yk2 . 4 k=0
Bizony´ıt´ as. A norma-n´egyzetek kifejt´ese ut´an egyszer˝ u sz´amol´assal ad´odnak. 2.14. Megjegyz´ es. (i) Val´ os Hilbert-t´erben a polariz´aci´os egyenl˝os´eg egyszer˝ ubb: 1 2 2 hx, yi = kx + yk − kx − yk . 4 (ii) A polariz´ aci´ os egyenl˝ os´eg jelent˝os´ege, hogy a skal´arszorzat kifejezhet˝o a norma seg´ıts´eg´evel (amit a defin´ıci´oban ford´ıtva tett¨ unk). Ekkor, a metrikus terekhez hasonl´ oan, felmer¨ ul a k´erd´es: ha adott egy norm´alt t´er, akkor a norma sz´ armaztathat´ o-e valamilyen skal´arszorzatb´ol, vagyis bevezethet˝o-e olyan skal´ arszorzat, hogy az ´altala induk´alt norma megegyezik a t´er eredeti norm´ aj´ aval? A v´ alasz ´ altal´aban itt is tagad´o: igazolhat´o, hogy egy norm´ alt t´er norm´ aja pontosan akkor sz´armazik skal´arszorzatb´ol, ha teljes¨ ul a parallelogramma-szab´ aly az adott norm´ara. Ilyenkor a skal´arszorzatot (term´eszetesen) a polariz´ aci´ os egyenl˝os´eg adja meg. A k¨ ovetkez˝ o t´etel az 1.18. a´ll´ıt´as ´altal´anos´ıt´asa. Seg´ıts´eg´evel lehet ezut´an igazolni a Riesz-f´ele ortogon´ alis felbont´asi t´etelt, amely bizonyos ´ertelemben a Hilbert-tereknek a v´eges dimenzi´oshoz hasonl´o geometri´aj´at fejezi ki. 2.15. T´ etel. Legyen H Hilbert-t´er, K ⊂ H nem u art halmaz. ¨res, konvex, z´ Ekkor b´ armely x ∈ H eset´en van egyetlen olyan y ∈ K, melyre kx − yk = dist(x, K) (ahol dist(x, K) := inf {kx − zk : z ∈ K} az x-nek K-t´ ol vett t´ avols´ aga). Bizony´ıt´ as. Legyen d = dist(x, K). Az infimum defin´ıci´oja miatt l´etezik (yn ) ⊂ K, melyre dn := kx − yn k → d. ´Irjuk fel a paralelogramma-szab´alyt az x − yn ´es x − ym vektorokra: 2 2 2 2 k2x − (yn + ym )k + kyn − ym k = 2 kx − yn k + kx − ym k . | {z } | {z } dn 2
dm 2
´ si tulajdonsa ´ gok Hilbert-te ´rben 2.2. Ortogonalita
Itt k2x − (yn + ym )k = 2 x − yn +ym ∈ K. ´Igy 2
yn +ym 2
35
≥ 2d, mert K konvexit´asa miatt
2
kyn − ym k ≤ 2(dn 2 + dm 2 ) − 4d2 = 2(d2n − d2 ) + 2(d2m − d2 ). Ha n, m → ∞, akkor a jobb oldal 0-hoz tart, ´ıgy b´armely ε > 0 eset´en 2 kyn − ym k < ε, ha n, m el´eg nagy, azaz (yn ) Cauchy-sorozat. Legyen y := lim yn . Mivel K z´ art, ´ıgy y ∈ K, emellett kx − yk = lim kx − yn k = lim dn = d. V´eg¨ ul bel´ atjuk, hogy ez az y egy´ertelm˝ u. Azt kaptuk ugyanis, hogy b´armely t´ avols´ ag-minimaliz´ al´ o sorozat (azaz olyan (yn ) ⊂ K sorozat, amelyre kx − yn k → d) konvergens. Ha lenne egy m´asik z ∈ K vektor, melyre kx − zk = d, akkor vegy¨ unk egy (zn ) ⊂ K sorozatot, melyre zn → z, ez szint´en t´ avols´ ag-minimaliz´ al´ o. Ekkor (yn ) ´es (zn ) ¨osszef´es¨ ul´ese is t´avols´agminimaliz´ al´ o, ´ıgy konvergens, de ez csak y = z eset´en lehet.
2.16. T´ etel (Riesz-f´ ele ortogon´ alis felbont´ as). Legyen H Hilbert-t´er, M ⊂ H z´ art alt´er. Ekkor H = M ⊕M ⊥ , azaz b´ armely x ∈ H vektor egy´ertelm˝ uen el˝ o´ all x = x1 + x2 alakban, ahol x1 ∈ M ´es x2 ∈ M ⊥ . Bizony´ıt´ as. Legyen x ∈ H tetsz˝oleges. Mivel az M z´art alt´er egyben konvex z´ art halmaz is, az el˝ oz˝ o t´etel szerint l´etezik egyetlen olyan x1 ∈ M vektor, amelyre kx − x1 k = d := dist(x, M ). Legyen x2 = x − x1 , ekkor a felbont´as fenn´ all, ´ıgy azt kell csak bel´ atni, hogy x2 ∈ M ⊥ , azaz hx2 , yi = 0 (∀y ∈ M ). Ez trivi´ alis, ha y = 0, ´ıgy legyen y ∈ M , y 6= 0 tetsz˝oleges. Legyen λ ∈ C is tetsz˝ oleges. Ekkor x1 + λy ∈ M , ez´ert 2
2
2
2
2
d2 ≤ kx − (x1 + λy)k = kx2 − λyk = kx2 k −λ hx2 , yi−λ hy, x2 i+|λ| kyk . Mivel kx2 k = d, ´ıgy 2
2
2
2
0 ≤ |λ| kyk − λ hx2 , yi − λ hy, x2 i = |λ| kyk − λ hx2 , yi − λhx2 , yi. A CSB-egyenl˝ otlens´eg bizony´ıt´as´anak mint´aj´ara megv´alaszthatjuk λ-t u ´gy, 2 hogy hx2 , yi = λ kyk legyen, ´es ekkor 2
2
2
2
2
2
2
2
0 ≤ |λ| kyk − |λ| kyk − |λ| kyk = − |λ| kyk , ami csak akkor lehet, ha λ = 0, azaz ha hx2 , yi = 0. A felbont´ as egy´ertelm˝ u, ugyanis ha x = x1 + x2 = y1 + y2 , ahol x1 , y1 ∈ M ´es x2 , y2 ∈ M ⊥ , akkor M 3 (x1 − y1 ) = (y2 − x2 ) ∈ M ⊥ , azaz x1 = y1 ´es x2 = y2 .
36
2. Hilbert-terek
2.17. Megjegyz´ es. A t´etelbeli x1 vektort az x vektor M -re vett (mer˝oleges) vet¨ ulet´enek h´ıvjuk, ´es xM -mel jel¨olj¨ uk. Erre az al´abbiak igazak: (i) x − xM ⊥ xM ´es dist(x, M ) = kx − xM k, ez a t´etel bizony´ıt´as´aban szerepel. (ii) A vet¨ ulet egy´ertelm˝ us´ege miatt egy y ∈ M vektor pontosan akkor esik egybe xM -mel, ha x − y ⊥ M . (iii) kxM k ≤ kxk, hiszen x − xM ⊥ xM miatt kxk2 = kx − xM k2 + kxM k2 ≥ kxM k2 . (iv) Ha M v´eges dimenzi´ os alt´er ´es benne {e1 , e2 , . . . , en } ortonorm´alt b´azis, akkor n X hx, ei i ei . xM = i=1
Ugyanis, a jobb oldali vektort y-nal jel¨olve y ∈ M , ´es minden ej Pn b´ azisvektorra hy, ej i = hx, ei i δij = hx, ej i, ez´ert x − y ⊥ ej i=1 (∀j = 1, . . . , n) ´es ´ıgy x − y ⊥ M . Ekkor a (ii) pont alapj´an y = xM .
2.3. Fourier-sorok Hilbert-t´ erben E t´emak¨ or arr´ ol sz´ ol, hogyan lehet ´altal´anos´ıtani a v´eges dimenzi´os terek vektorainak ortonorm´ alt b´ azissal val´o el˝o´all´ıt´as´at v´egtelen dimenzi´os esetre. A f˝ o eredm´eny ilyen el˝ o´ all´ıt´ast ad megfelel˝o sor alakj´aban, ´ıgy egy vektor megsz´ aml´ alhat´ oan v´egtelen sok koordin´at´aval ´ırhat´o le. El˝osz¨or azon fogalmakkal foglalkozunk, amelyek a b´azis, ill. ortonorm´alt b´azis fogalma hely´ere l´ephetnek. 2.18. Defin´ıci´ o. Egy {en }n∈N ⊂ H vektorsorozat teljes rendszer, ha minden x ∈ H eset´en fenn´ all az al´ abbi tulajdons´ag: ha x ⊥ en (∀n ∈ N), akkor x = 0. 2.19. Defin´ıci´ o. Egy {en }n∈N ⊂ H vektorsorozat tot´ alis rendszer, ha line´aris burka s˝ ur˝ u. ´ ıt´ 2.20. All´ as. Hilbert-t´erben egy vektorrendszer pontosan akkor teljes, ha tot´ alis. Bizony´ıt´ as. Az M pontosan akkor teljes rendszer, ha M ⊥ = {0}, ami a ⊥
2.12. megjegyz´es szerint pontosan akkor teljes¨ ul, ha [M ] = {0}. Ez viszont a 2.16. t´etel szerint ekvivalens azzal, hogy [M ] = H, azaz M tot´alis rendszer.
´rben 2.3. Fourier-sorok Hilbert-te
37
A tot´ alis rendszer fogalm´ at Banach-t´erben is lehet majd haszn´alni, mert nem haszn´ al ortogonalit´ ast. Hilbert-t´erben viszont egyszer˝ ubben alkalmazhat´o a teljes rendszer fogalma, ´ıgy most ezzel dolgozunk. 2.21. Defin´ıci´ o. Egy {en }n∈N ⊂ H vektorsorozat ortonorm´ alt rendszer, ha elemei p´ aronk´ent ortogon´ alisak ´es norm´altak, vagyis ha hei , ej i = δij := 1, ha i = j ´es 0, ha i 6= j. Ezek alapj´ an ´ertelemszer˝ u a f˝o fogalom: 2.22. Defin´ıci´ o. Egy {en }n∈N ⊂ H vektorsorozat teljes ortonorm´ alt rendszer (TONR), ha teljes ´es ortonorm´alt. ´ ıt´ 2.23. All´ as. Szepar´ abilis Hilbert-t´erben mindig l´etezik teljes ortonorm´ alt rendszer. Bizony´ıt´ as. A t´er szepar´ abilis volta azt jelenti, hogy l´etezik s˝ ur˝ u megsz´aml´ alhat´ o halmaz. Ha ennek elemeit rekurz´ıvan megritk´ıtjuk u ´gy, hogy l´ep´esenk´ent kidobjuk az el˝ oz˝ oekt˝ol line´arisan f¨ ugg˝o elemeket, akkor egy olyan x1 , x2 , . . . line´ arisan f¨ uggetlen rendszert kapunk, melynek line´aris burka azonos az eredeti´evel, teh´ at s˝ ur˝ u. Ebb˝ol Gram–Schmidt-f´ele ortogonaliz´aci´os elj´ar´ assal ortonorm´ alt e1 , e2 , . . . sorozatot kapunk, melyre teljes¨ ul, hogy span{e1 , . . . , en } = span{x1 , . . . , xn } minden n ∈ N eset´en. Emiatt span{e1 , e2 , . . .} = span{x1 , x2 , . . .} is s˝ ur˝ u H-ban, teh´at {en }n∈N tot´alis rendszer, vagyis teljes rendszer. 2.24. Megjegyz´ es. A fenti bizony´ıt´as csak az utols´o l´ep´esben haszn´alja ki, hogy van skal´ arszorzat (ortogonalit´as). Ha ezt elhagyjuk, akkor a bizony´ıt´as tetsz˝ oleges szepar´ abilis norm´alt t´erben garant´alja megsz´aml´alhat´o ´es line´arisan f¨ uggetlen tot´ alis rendszer l´etez´es´et. 2.25. Megjegyz´ es. (i) A 2.23. ´all´ıt´as megford´ıt´asa is igaz, vagyis ha van megsz´ aml´ alhat´ o teljes ortonorm´alt rendszer egy Hilbert-t´erben, akkor az szepar´ abilis. A rendszer elemeinek racion´alis egy¨ utthat´okkal vett line´aris kombin´ aci´ oi ugyanis megsz´ aml´ alhat´o s˝ ur˝ u halmazt alkotnak. (ii) Az ortonorm´ alt rendszer defin´ıci´oj´aban feltett¨ uk, hogy az megsz´aml´alhat´o sok elemb˝ ol ´ all, c´elunk ugyanis TONR-ek szerinti sorfejt´es. Elvileg tetsz˝oleges sz´ amoss´ ag´ u ortonorm´ alt rendszer is megengedhet˝o, ebben az ´ertelemben n´ezve bebizony´ıthat´ o, hogy minden (nemcsak szepar´abilis) Hilbert-t´erben l´etezik teljes ortonorm´ alt rendszer, szepar´abilis t´erben viszont egy ilyen rendszer is csak megsz´ aml´ alhat´ o lehet. Mivel a TONR-eket eleve sorozatnak ´ertelmezt¨ uk, a tov´abbiakban csak azt ´ırjuk: (en ) ⊂ H TONR. C´elunk az ilyenek szerinti sorfejt´es, ehhez el˝osz¨or a Weierstrass-krit´eriumot (1.12. ´all´ıt´as) ´eles´ıtj¨ uk ortogon´alis sorozat eset´en.
38
2. Hilbert-terek
´ ıt´ 2.26. All´ as. Legyen {xn } ⊂ H ortogon´ alis sorozat. Ekkor ∞ X
xn konvergens ⇐⇒
n=1
∞ X
2
kxn k konvergens.
n=1
Bizony´ıt´ as. Legyenek sn :=
n P
xi ´es σn :=
i=1
n P
2
kxi k a megfelel˝o r´eszlet-
i=1
osszegek. Az ortogonalit´ as miatt n ≥ m eset´en ¨ n n
X
2 X
2 2 ksn − sm k = xi = kxi k = σn − σm = |σn − σm | , i=m+1
i=m+1
´ıgy az egyik sorozat pontosan akkor Cauchy-sorozat, ha a m´asik is az. Innen m´ ar H ´es R teljess´ege miatt k¨ovetkezik, hogy a k´et sorozat ekvikonvergens. 2.27. Defin´ıci´ o. Legyen H Hilbert-t´er, (en ) ⊂ H TONR, x ∈ H adott. A ∞ X
hx, ei i ei
i=1
sort az x elem (en ) rendszer szerinti Fourier-sor´ anak nevezz¨ uk. A ci = hx, ei i sz´ amokat Fourier-egy¨ utthat´ oknak h´ıvjuk. 2.28. T´ etel (Fourier-sorok f˝ ot´ etele). Legyen H Hilbert-t´er, (en ) ⊂ H TONR. Ekkor tetsz˝ oleges x ∈ H elem Fourier-sora konvergens ´es ¨ osszege x. Bizony´ıt´ as. (i) (Konvergencia.) Vezess¨ uk be az xi := hx, eP ol´eseket. i i ei jel¨ Mivel {xi } ortogon´ alis sorozat, ez´ert a 2.26. ´all´ıt´as alapj´an a xi ortogon´alis n P P 2 sor pontosan akkor konvergens, ha kxi k konvergens. Legyen sn := xi ´es i=1
Hn = span{e1 , . . . , en } (n ∈ N+ ). Ekkor a 2.17. megjegyz´es (iii)-(iv) pontjai szerint sn = xHn , vagyis sn az x-nek a Hn v´eges dimenzi´os alt´erre vett n P P 2 2 2 2 2 vet¨ ulete, ill. emiatt ksn k ≤ kxk . Mivel ksn k = kxi k , ez´ert a kxi k i=1 P pozit´ıv tag´ u sor szeletei fel¨ ulr˝ol korl´atosak, teh´at konvergens. ´Igy teh´at xi is konvergens. ∞ P (ii) (Az ¨ osszeg x.) Legyen a sor¨osszeg s := hx, ei i ei , be kell l´atni, hogy s = i=1
x. Az {en } rendszer teljess´ege miatt ehhez el´eg azt bel´atni, hogy hs − x, ej i =
´rben 2.3. Fourier-sorok Hilbert-te
39
0 minden j-re. Ez igaz, mert a skal´arszorz´as folytonoss´aga miatt ad´odik (l. 2.5. megjegyz´es), hogy *∞ + ∞ ∞ X X X hs, ej i = hx, ei i ei , ej = hhx, ei i ei , ej i = hx, ei i hei , ej i = hx, ej i . i=1
i=1
i=1
´ ıt´ 2.29. All´ as. Legyen H Hilbert-t´er, (en ) ⊂ H TONR, x, y ∈ H. Ha x=
∞ X
ci ei ,
i=1
y=
∞ X
di ei ,
hx, yi =
akkor
i=1
∞ X
ci di .
i=1
Speci´ alisan 2
kxk =
∞ X
2
|ci | .
(2.1)
i=1
Bizony´ıt´ as. A skal´ arszorz´ as folytonoss´aga miatt *∞ + ∞ ∞ ∞ X ∞ X X X X ci dj hei , ej i = hx, yi = ci ei , dj ej = ci di . i=1
i=1 j=1
j=1
i=1
A m´ asik egyenl˝ os´eg ebb˝ ol k¨ovetkezik x = y eset´en.
A fenti m´ asodik ´ all´ıt´ as ´ at´ırhat´o a Fourier-egy¨ utthat´ok ci = hx, ei i k´eplete r´ev´en: 2.30. K¨ ovetkezm´ eny (Parseval-egyenl˝ os´ eg). Legyen H Hilbert-t´er, (en ) ⊂ H TONR, x ∈ H. Ekkor 2
kxk =
∞ X
2
|hx, ei i| .
i=1
2.31. Megjegyz´ es. Ha (en ) ⊂ H nem teljes H-ban, csak ONR, akkor ∞ P 2 2 |hx, ei i| = kxV k , ahol V az (en ) line´aris burk´anak lez´artja. Ugyanis (en ) i=1
TONR V -ben, ´ıgy ott igaz a Parseval-egyenl˝os´eg xV -re. Itt hx, ei i = hxV , ei i minden i-re (mivel x − xV ⊥ V ), ´ıgy a fenti ¨osszeg azonos az xV -re vonatkoz´o osszeggel. ¨ ∞ P 2 2 Ebb˝ ol az is k¨ ovetkezik, hogy ONR eset´en csak |hx, ei i| ≤ kxk teljes¨ ul, i=1
ez az u ´n. Bessel-egyenl˝ otlens´eg. 2.32. T´ etel. Minden szepar´ abilis H Hilbert-t´er izometrikusan izomorf `2 vel.
40
2. Hilbert-terek
Bizony´ıt´ as. Legyen (en ) ⊂ H TONR H-ban, ´es tekints¨ uk a T : x=
∞ X
ci ei 7→ (ci )i∈N
i=1
megfeleltet´est. Ez line´ aris, ´es H → `2 lek´epez´es, mert ha x sora konvergens, akkor a 2.26. ´ all´ıt´ as alapj´ an (ci ) ∈ `2 . Emellett T k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u: injekt´ıv, mivel x egy´ertelm˝ uen meghat´arozza Fourier-egy¨ utthat´oit a ci = hx, ei i ∞ P ci e i k´eplet r´ev´en, ´es szuperjekt´ıv, mivel b´armely (ci ) ∈ `2 el˝o´all az x := i=1
sor T -k´epek´ent, ahol x sor´ anak konvergenci´aj´at ism´et a 2.26. ´all´ıt´as garant´ alja. V´eg¨ ul T izometrikus a (2.1) egyenl˝os´eg miatt.
2.33. Megjegyz´ es. A fenti t´etelnek sz´amos hasznos k¨ovetkezm´enye van. (i) Ha H szepar´ abilis Hilbert-t´er ´es (en ) ⊂ H TONR, akkor a t´etelt ´atfogalmazva, az x ∈ H vektorokat megfeleltethetj¨ uk a (c1 , c2 , . . . ) koordin´ atasorozatnak. Ez k¨ozvetlen¨ ul ´altal´anos´ıtja a v´eges dimenzi´os terek vektorainak koordin´ at´ akkal val´o le´ır´as´at. (ii) B´ armely k´et szepar´ abilis Hilbert-t´er izometrikusan izomorf egym´assal. (iii) Ha H szepar´ abilis Hilbert-t´er ´es (en ) ⊂ H TONR, akkor nemcsak a vektorok ´ırhat´ ok le v´egtelen sok koordin´at´aval, hanem az A : H → H oper´ atorok is (∞ × ∞)-es m´atrixszal. ∞ P Legyen el˝ osz¨ or A korl´ atos line´aris oper´ator. Ha x = cj ej , akkor j=1
hAx, ei i =
∞ P
cj hAej , ei i. Ez az aij := hAej , ei i jel¨ol´essel azt jelenti,
j=1
hogy ha x koordin´ at´ ai a ci sz´amok, akkor Ax koordin´at´ai a
∞ P
aij cj
j=1
sz´ amok. Ez egy ´ altal´ anos´ıtott m´atrix-vektor-szorz´as, vagyis tetsz˝oleges ilyen oper´ ator megfeleltethet˝o egy alkalmas (aij )i,j∈N+ (∞×∞)-es m´atrixnak. Ez a megfeleltet´es megfelel˝o m´odos´ıt´asokkal ´atvihet˝o arra az esetre is, ha D(A) ⊂ H ´es A nem korl´atos. Ez fizikai jelent´ese miatt nevezetes. A kvantummechanika egyik egzakt megfogalmaz´as´at ugyanis Heisenberg u ´n. m´ atrixmechanikak´ent dolgozta ki, ami az oper´atorok v´egtelen m´ atrixszal val´ o reprezent´aci´oj´at tartalmazza, a m´asik megfogalmaz´ast Schr¨ odinger hull´ ammechanikak´ent ´ırta le, amely L2 (Rn )-ben ´ertelmezett (nem korl´ atos) oper´atorokat haszn´al. Schr¨odinger azt is megmutatta, hogy a k´et megfogalmaz´as ekvivalens [65], majd Neumann J´anos
´rben 2.3. Fourier-sorok Hilbert-te
41
ugyanezt az L2 (Rn ) ´es `2 terek izometri´aj´ab´ol vezette le [50]. Ez az ekvivalencia megfelel az oper´atorok el˝obb le´ırt megfeleltet´es´enek. Most n´eh´ any nevezetes p´eld´ at mutatunk teljes ortonorm´alt rendszerre. • H := L2 (0, π), r en (x) :=
2 sin nx π
(n ∈ N+ ).
(szinuszrendszer). Itt integr´al´assal ad´odik, hogy ez ortonorm´alt rendszer, tov´ abb´ a az anal´ızis egy t´etele szerint ha f ∈ L2 (0, π) π R ´es f (x) sin nx dx = 0 minden n-re, akkor f = 0 majdnem minde0
n¨ utt [70]. Ez ´epp azt jelenti, hogy a szinuszrendszer TONR-t alkot. ∞ P A f˝ ot´etel szerint teh´ at b´armely f ∈ L2 (0, π) eset´en f = cn en , ahol cn =
Rπ
n=1 2
f en , ´es a sor¨ osszeg L -norma szerinti konvergenciak´ent ´ertend˝o.
0
A tov´ abbi p´eld´ akban csak fel´ırjuk a rendszer tagjait. (Ortonorm´alts´ aguk elemien l´ athat´ o, teljess´eg¨ uk r´eszben visszavezethet˝o a fenti sinrendszer teljess´eg´ere.) • H := L2 (0, π),
en (x) :=
√1 π
q 2 π cos nx
( ha n = 0), ( ha n ∈ N+ ).
• H := L2 (0, 2π), ´es a rendszer elemei 1 1 1 1 1 √ , √ sin x, √ cos x, √ sin 2x, √ cos 2x, . . . . π π π π 2π • H := L2 (0, 2π), az el˝ oz˝o rendszer komplex megfelel˝oje: 1 en (x) := √ einx 2π • H := `2 ,
(n ∈ Z).
en := (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0 . . .) (n ∈ N+ ). | {z } n−1
42
2. Hilbert-terek
• H := L2 ([a, b]; w) eset´en, azaz az hf, gi :=
Rb
f g w dλ s´ ulyozott ska-
a
l´ arszorzat mellett ortogon´alis polinomokb´ol TONR alkothat´o. A polinomok ugyanis tot´ alis rendszert alkotnak, ´ıgy a 2.23. ´all´ıt´as mint´aj´ara Gram–Schmidt-ortogonaliz´aci´oval TONR konstru´alhat´o, ezek a w s´ ulyf¨ uggv´enyre n´ezve ortogon´alis polinomok. Itt w > 0 m´erhet˝o, ´es konkr´et v´ alaszt´ as´ at´ ol f¨ ugg˝ oen t¨obbf´ele nevezetes rendszer ad´odik, p´eld´aul a (−1, 1) intervallumon w ≡ 1 eset´en a Legendre-, w(x) = (1 − x2 )−1/2 eset´en a Csebisev-polinomokat kapjuk, m´ıg az I = R intervallumon a 2 w(x) = e−x s´ ulyf¨ uggv´eny az Hermite-polinomokat adja. (E rendszerek numerikus integr´ al´ as sor´an hasznosak.) L´asd [45, 69]. • H := L2 (0, 1) eset´en a Haar-rendszer olyan l´epcs˝osf¨ uggv´enyekb˝ol ´all, melyek csak 0 vagy ±1 ´ert´eket vesznek fel 1/2n hossz´ u r´eszintervallumokon, ´espedig e0,0 (x) := 1, ha 0 ≤ x < 1/2 ´es −1, ha 1/2 ≤ x < 1, illetve n ∈ N+ ´es 0 ≤ k < 2n eset´en en,k (x) := e0,0 (2n x − k), ha 2kn ≤ x < k+1 2n ´es 0 k¨ ul¨ onben. (Ennek k¨ozeli rokona a Walsh–Rademacher-rendszer, a ±1 konstansok m´ as eloszt´as´aval [45].) Ez teljes ortogon´alis rendszer, melyb˝ ol norm´ alva TONR-t kapunk. 2.34. Megjegyz´ es. A Fourier-sorfejt´es ´altal´anos´ıthat´o Banach-t´erre az ortogonalit´ as n´elk¨ ul: egy (en ) ⊂ X rendszert P∞Schauder-b´azisnak h´ıvunk, ha minden x ∈ X egy´ertelm˝ uen el˝o´all x = n=1 cn en alakban. A fenti en = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0 . . .) sorozatok p´eld´aul az `p t´erben Schauder-b´azist alkotnak, ha 1 < p < ∞. 2.35. Megjegyz´ es. A Fourier-sorok gyakorlati jelent´ese az, hogy egy adott jel felbonthat´ o megsz´ aml´ alhat´o sok adott frekvenci´aj´ u jel szuperpoz´ıci´oj´ara. Tekints¨ uk pl. a H = L2 (0, 2π) t´erben az en (x) = √12π einx (n ∈ Z) TONR-t, ∞ P ekkor a f˝ ot´etel szerint b´ armely f ∈ L2 (0, 2π) eset´en f (x) = √12π cn einx , n=1
ahol cn =
2π R 0
f en =
√1 2π
2π R
f (t)e−int dt.
0
Megeml´ıtj¨ uk, hogy ha az intervallum R, akkor nincsenek ilyen kit¨ untetett frekvenci´ ak, azaz b´ armely y ∈ R eset´en az ey (x) = √12π eiyx f¨ uggv´enyek k¨ozt nem tehet˝ o k¨ ul¨ onbs´eg. Ilyenkor a jelek felbont´as´an´al a fenti sor hely´et az o sszes y-ra vonatkoz´ o integr´ al veszi ´at, a cn egy¨ utthat´ok sorozat´anak hely´et ¨ pedig a Fourier-transzform´ alt (l´asd 6.4. szakasz). A Fourier-sorok klasszikus elm´ elet´ er˝ ol. A Fourier-sorok fejl˝od´ese sor´an eredetileg a pontonk´enti konvergencia szempontj´ab´ol vizsg´alt´ak a sorokat, f˝ oleg a 3. p´eld´ aban szerepl˝ o sin-cos-rendszer eset´en ´es folytonos f¨ uggv´enyre. Ennek igen kiterjedt elm´elet´eb˝ol (l´asd pl. [45, 70]) id´ez¨ unk n´eh´any alapt´etelt.
´rben 2.3. Fourier-sorok Hilbert-te
43
A sin-cos-rendszer periodikus volta miatt f (0) = f (2π) sz¨ uks´eges felt´etel. Legyen teh´ at n
sn (x) =
a0 X + (ak cos kx + bk sin kx) 2
(n ∈ N+ ),
k=1
ahol
ak :=
1 π
Z
2π
f (x) cos kx dx, 0
bk :=
1 π
Z
2π
f (x) sin kx dx. 0
Ha f ∈ C[0, 2π], melyre f (0) = f (2π), igaz-e, hogy sn → f pontonk´ent [0, 2π]-ben? 2.36. T´ etel (Steinhaus). L´etezik f ∈ C[0, 2π], f (0) = f (2π), melynek Fourier-sora minden π · r helyen divergens, ahol r racion´ alis. Az egy pontban val´ o divergenci´ara Fej´er adott el˝osz¨or bizony´ıt´ast, ennek m´ odos´ıt´ as´ aval ad´ odott a fenti t´etel. Ha a folytonoss´ ag felt´etel´et n´emileg er˝os´ıtj¨ uk, akkor m´ar igaz a pontonk´enti konvergencia, s˝ ot az egyenletes is. Egy f : I → R f¨ uggv´enyre fenn´all az α-kitev˝ os Lipschitz-folytonoss´ag (0 < α ≤ 1), ha van olyan C > 0, hogy |f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|α (∀x, y ∈ I). Ekkor azt ´ırjuk, hogy f ∈ Lipα (I). Az α = 1 esetnek felel meg a szok´asos Lipschitz-folytonoss´ag, m´ıg az α < 1 esetet H¨ older-folytonoss´ agnak is szok´as nevezni. 2.37. T´ etel (Lipschitz-krit´ erium). Legyen 0 < α ≤ 1 adott sz´ am. Minden f ∈ Lipα [0, 2π], f (0) = f (2π) eset´en sn → f egyenletesen. Speci´ alisan, ha f ∈ C 1 (I), akkor f ∈ Lip1 (I) is, ez´ert ekkor is igaz a fenti t´etel. ´ Altal´ anosabb f¨ uggv´enyoszt´ alyra a pontonk´entin´el gyeng´ebb, de ´erdemi konvergenciat´etel ´ all fenn: 2.38. T´ etel (Carleson). Minden f ∈ L2 (0, π) f¨ uggv´eny Fourier-sora majdnem minden¨ utt konverg´ al f -hez. A pontonk´enti konvergencia is el´erhet˝o folytonos f¨ uggv´enyre is, ha nem a r´eszlet¨ osszegek konvergenci´ aj´at vizsg´aljuk, hanem azok sz´amtani k¨ozepeit. Vezess¨ uk be az u ´gynevezett Fej´er-k¨ozepeket: σn :=
1 (s0 + s1 + · · · + sn ) . n+1
2.39. T´ etel (Fej´ er). Minden f ∈ C[0, 2π], f (0) = f (2π) eset´en σn → f egyenletesen.
3. fejezet
Folytonos line´ aris funkcion´ alok norm´ alt t´ erben 3.1. Norm´ alt t´ er du´ alisa 3.1. Defin´ıci´ o. Line´ aris funkcion´ alnak nevez¨ unk egy sz´am´ert´ek˝ u line´aris lek´epez´est, azaz egy φ : X → K line´aris lek´epez´est, ahol X vektort´er ´es K = R vagy C sz´ amtest. A tov´ abbiakban legyen X norm´alt t´er. Az 1.40. t´etel funkcion´alokra is ´erv´enyes, ´ıgy egy φ : X → K line´aris funkcion´al pontosan akkor folytonos, ha korl´ atos, azaz ha van olyan M ≥ 0 ´alland´o, hogy minden x ∈ X eset´en |φx| ≤ M kxk. A korl´ atos line´aris funkcion´alok tere B(X, K). 3.2. Defin´ıci´ o. Legyen (X, k·k) norm´alt t´er. A B(X, K) teret az X du´ alis ter´enek nevezz¨ uk ´es X ∗ -gal jel¨olj¨ uk. Az 1.47. k¨ ovetkezm´eny szerint tetsz˝oleges norm´alt t´er du´alisa Banach-t´er. P´ eld´ ak. 1. V´eges dimenzi´ os terek. Ilyenkor a du´alis t´er mint vektort´er megegyezik az ¨ osz- szes line´ aris lek´epez´es halmaz´aval, mert minden line´aris lek´epez´es folytonos. Az pedig k¨ onnyen l´athat´o, hogy ekkor minden φ : X → R line´ aris funkcion´ al val´ oj´ aban egy r¨ogz´ıtett α ∈ Rn vektorral val´o skal´arszorz´as. Legyen ugyanis {e1 , . . . , en } b´azis X-ben, valamint αi := φei (i = 1, . . . , n) n n P P ´es α := (α1 , . . . , αn ). Ha x = ξi ei ∈ X, akkor φx = ξi αi = hξ, αi. Ez i=1
i=1
azt jelenti, hogy Hom(X, K) izomorf Rn -nel (´es ´ıgy X-szel). 45
´ ris funkciona ´ lok norma ´ lt te ´rben 3. Folytonos linea
46
A du´ alis t´er mint norm´ alt t´er att´ol f¨ ugg, milyen norm´at haszn´altunk X-en. Legyen p´eld´ aul X = Rn a k.k1 norm´aval, ´es {e1 , . . . , en } a standard b´azis. Ekkor a v´eges dimenzi´ os H¨older-egyenl˝otlens´eg szerint |φx| = |hx, αi| ≤ kxk1 kαk∞ , teh´ at kφk ≤ kαk∞ = maxi |αi |. M´asr´eszt ha j az az index, amelyre |αj | = kαk∞ , akkor φej = kαk∞ , ´ıgy kφk = kαk∞ . Ekkor teh´at (Rn , k·k1 ) du´ alis tere izometrikusan izomorf (Rn , k·k∞ )-nel. n Ha at haszn´aljuk (ahol p ∈ (1, ∞]), akkor du´alis tere R -ben a p-norm´ Rn , k·kq -val lesz izometrikus, ahol q a p-hez konjug´alt ´ert´ek, azaz p1 + 1q = 1.
A megfelel˝ o H¨ older-egyenl˝ otlens´eg szerint most kφk ≤ kαkq , ´es (n´emi sz´amol´ assal) az xi := |αi |q−1 sgn αi koordin´at´aj´ u x vektorra φx = kxkp kαkq , amib˝ol kφk = kαkq . 2. Az Lp (Ω) terek. Legyen 1 ≤ p ≤ ∞ ´es X := Lp (Ω). Legyen q a p-hez konjug´ alt ´ert´ek, g ∈ Lq (Ω) adott f¨ uggv´eny, ´es tekints¨ uk a Z φg : Lp (Ω) → R, f 7→ fg Ω
funkcion´ alt. Ez line´ aris, emellett a H¨older-egyenl˝otlens´eg szerint Z (∀f ∈ Lp (Ω)), |φg f | = f g ≤ kf kLp kgkLq =: M kf kLp Ω
azaz φg korl´ atos is. A fenti becsl´esb˝ ol kφg k ≤ kgkLq . N´emi sz´amol´assal most is bel´athat´o az egyenl˝ os´eg. Ha 1 ≤ q < ∞, akkor az f := |g|q−1 sgn g f¨ uggv´enyre lesz φg f = kf kLp kgkLq . Ha q = ∞, akkor minden ε > 0 eset´en legyen Ωε := {x ∈ Ω : |g(x)| ≥ kgkL∞ − ε}, ill. χΩε az Ωε karakterisztikus f¨ uggv´enye ´es λ(Ωε ) az 1 Ωε Lebesgue-m´ert´eke, ekkor az fε := λ(Ω χ f¨ u ggv´ enyekre kfε kε = 1 ´es Ωε ε) ¨ lim φg fε = kgkL∞ . Osszess´eg´eben teh´at b´armely 1 ≤ p ≤ ∞ eset´en ε→0
kφg k = kgkLq . Ha p < ∞, akkor igazolhat´ o (l´asd pl. [38, 21. fejezet]), hogy b´armely φ : Lp (Ω) → R folytonos line´ aris funkcion´al el˝o´all a fenti alakban alkalmas g ∈ Lq (Ω) mellett. ´Igy a g 7→ φg lek´epez´es izometrikus izomorfizmus Lq (Ω)-b´ol Lp (Ω)∗ -ba, vagyis Lp (Ω)∗ = Lq (Ω) izometria erej´eig. 3. A C(K)-terek. Ha K ⊂ Rn kompakt halmaz, akkor C(K)∗ izometria erej´eig a µ : K → R korl´ atos v´altoz´as´ u el˝ojeles Borel-m´ert´ekek vektortere
´ ris funkciona ´ lok kiterjeszte ´se 3.2. Folytonos linea
47
a kµk = |µ|(K) norm´ aval, azaz b´armely φ ∈ C(K)∗ el˝o´all φf = alakban, l´ asd pl. [38, 42].
R K
f dµ
´ ıt´ 3.3. All´ as. Legyen φ : X → K line´ aris funkcion´ al. Ha φ 6≡ 0, akkor ker φ 1 kodimenzi´ os alt´er. Ha φ folytonos is, akkor ker φ z´ art is. Bizony´ıt´ as. Ha φ 6≡ 0, akkor van olyan x1 ∈ X, melyre φx1 6= 0. Ekkor minden x ∈ X el˝ o´ all x = (x − λx1 ) + λx1 alakban, ahol λ = φx/φx1 v´alaszt´ assal x − λx1 ∈ ker φ. ´Igy X = ker φ + span{x1 }, azaz ker φ-nek 1-dimenzi´os kieg´esz´ıt˝ o altere van, vagyis 1 kodimenzi´os. V´eg¨ ul ha φ folytonos, akkor ker φ z´ art, mert a {0} z´ art halmaz ˝osk´epe.
3.2. Folytonos line´ aris funkcion´ alok kiterjeszt´ ese ´ ıt´ 3.4. All´ as. Legyen X norm´ alt t´er, X0 ⊂ X alt´er ´es φ : X0 → K folytonos line´ aris funkcion´ al. Ekkor φ egy´ertelm˝ uen kiterjeszthet˝ o φe : X 0 → K folytonos e = kφk. line´ aris funkcion´ all´ a, r´ aad´ asul a norma megtart´ as´ aval, azaz kφk Bizony´ıt´ as. Legyen x ∈ X 0 , ekkor l´etezik (xn ) ⊂ X0 sorozat, hogy xn → x. Ekkor (xn ) Cauchy-sorozat, valamint |φxn − φxm | ≤ kφk kxn − xm k
(n, m ∈ N+ ),
e := lim φxn , ´ıgy (φxn ) ⊂ K is Cauchy-sorozat, azaz konvergens is. Legyen φx n→∞
k¨ onnyen bel´ athat´ o, hogy ez nem f¨ ugg az (xn ) sorozat v´alaszt´as´at´ol. A kapott φe kiterjeszt´ese φ-nek, a limeszk´epz´es miatt line´aris, emellett korl´atos is, hiszen e = lim |φxn | ≤ lim kφk kxn k = kφk kxk , |φx| n→∞
n→∞
e ≤ kφk. De φe kiterjeszt´ese φ-nek, ´ıgy norm´aja nem lehet kisebb, emiatt kφk e ez´ert kφk = kφk. 3.5. T´ etel (Hahn–Banach). Legyen X norm´ alt t´er, X0 ⊂ X alt´er, φ : X0 → K folytonos line´ aris funkcion´ al. Ekkor l´etezik φ-nek az eg´esz t´erre val´ o folytonos line´ aris kiterjeszt´ese, azaz olyan φb : X → K folytonos line´ aris funkcion´ al, melyre φb|X0 = φ. S˝ ot, ez megadhat´ o normatart´ o m´ odon is, azaz b = kφk. kφk Bizony´ıt´ as. A bizony´ıt´ ast csak val´os esetben ´es szepar´abilis t´erre v´egezz¨ uk el. A szeparabilit´ as ´es a 2.24. megjegyz´es alapj´an l´etezik megsz´aml´alhat´oan
48
´ ris funkciona ´ lok norma ´ lt te ´rben 3. Folytonos linea
sok x1 , x2 , . . . ∈ X\X0 line´ arisan f¨ uggetlen elem, amelyre span{X0 , x1 , x2 , . . .} s˝ ur˝ u X-ben. El˝ osz¨ or megadunk egy φb : span{X0 , x1 } → R kiterjeszt´est. A span{X0 , x1 } alt´er b´ armely eleme x + λx1 alakban ´ırhat´o egy´ertelm˝ u m´odon, ahol x ∈ X0 , λ ∈ R. Ekkor φb line´ aris kiterjeszt´es volta miatt b + λx1 ) = φx + λα φ(x alak´ u kell legyen alkalmas α ∈ R mellett, ´ıgy csak α ´ert´ek´et kell j´ol v´alasztanunk. Legyenek y, z ∈ X0 tetsz˝ oleges elemek ´es legyen M := kφk. Ekkor φy + φz = φ(y + z) ≤ M ky + zk ≤ M (ky + x1 k + kz − x1 k) , amit ´ atrendezve azt kapjuk, hogy φz − M kz − x1 k ≤ M ky + x1 k − φy. Itt a bal oldal csak z-t˝ ol, a jobb oldal csak y-t´ol f¨ ugg, ´ıgy a bal oldal z-ben vett szupr´emuma nem nagyobb a jobb oldal y-ben vett infimum´an´al. ´Igy van olyan α ∈ R sz´ am, melyre minden y ∈ X0 eset´en φz − M kz − x1 k ≤ α ≤ M ky + x1 k − φy, ´es ezt v´ alasztjuk a kiterjeszt´esben. A bal oldalon z := −y v´alaszt´assal −φy − M ky + x1 k ≤ α ≤ M ky + x1 k − φy, azaz |φy + α| ≤ M ky + x1 k .
(3.1)
Ebb˝ ol |λ|-kel szorozva ´es x = λy helyettes´ıt´essel |φx + λα| ≤ M kx + λx1 k , azaz
b φ(x + λx1 ) ≤ M kx + λx1 k ,
vagyis φb korl´ atos ´es φb ≤ M = kφk. A ford´ıtott ir´any´ u egyenl˝otlens´eg ism´et trivi´ alisan igaz, hiszen kiterjeszt´esr˝ol van sz´o, ´ıgy a normatart´ast is igazoltuk. A fenti elj´ ar´ ast folytassuk rekurz´ıvan az Xn := span{X0 , x1 , . . . , xn } alt´erre ´es az xn+1 elemre alkalmazva; ezzel egy φb : ∪∞ o kitern=0 Xn → R normatart´ jeszt´est kapunk, ahol ∪∞ ur˝ u. Ebb˝ol az eg´esz X-re val´o kiterjeszt´est a n=0 Xn s˝ 3.4. ´ all´ıt´ as alkalmaz´ as´ aval kapjuk. Ezzel a t´etelt igazoltuk.
´ ris funkciona ´ lok kiterjeszte ´se 3.2. Folytonos linea
49
Ha a t´er nem szepar´ abilis, akkor tekints¨ uk φ normatart´o kiterjeszt´esei halmaz´ at, ´es legyen ezen a kiterjeszt´es m˝ uvelete a r´eszbenrendez´es. Bel´athat´o, hogy minden teljesen rendezett r´eszhalmaznak van fels˝o korl´atja. Ekkor a Zornb = X lemma szerint l´etezik a halmaznak maxim´alis φb eleme, melyre D(φ) b b b teljes¨ ul. Ha ugyanis D(φ) 6= X lenne, akkor egy x0 ∈ / D(φ) elemre ´es D(φ)-re alkalmazva a bizony´ıt´ as els˝ o l´ep´es´et, b˝ovebb kiterjeszt´est kapn´ank, ellentmondva φb maximalit´ as´ anak. V´eg¨ ul, a komplex eset megfelel˝o m´odos´ıt´asokkal visszavezethet˝ o a fenti bizony´ıt´asra. 3.6. K¨ ovetkezm´ eny ( kis Hahn–Banach-t´ etel”). Legyen X norm´ alt t´er. ” B´ armely x0 ∈ X, x0 6= 0 elemhez l´etezik olyan φ ∈ X ∗ , hogy kφk = 1 ´es φx0 = kx0 k. Bizony´ıt´ as. Legyen X0 = span{x0 } ´es φ0 : X0 → R a k¨ovetkez˝o lek´epez´es: ha x = cx0 ∈ X0 , akkor φ0 (cx0 ) := c kx0 k. Ekkor φ0 line´aris ´es φ0 x0 = kx0 k, emellett |φ0 x| = |φ0 (cx0 )| = |c| kx0 k = kcx0 k = kxk
(∀x ∈ X0 ),
amib˝ ol ad´ odik, hogy kφ0 k = 1. A Hahn–Banach-t´etel ´altal adott φ : X → R kiterjeszt´es j´ o lesz, hisz mindk´et tulajdons´agot meg˝orzi. 3.7. K¨ ovetkezm´ eny. Ha x ∈ X olyan, hogy φx = 0 teljes¨ ul minden φ ∈ X ∗ eset´en, akkor x = 0. Bizony´ıt´ as. Ha x 6= 0 lenne, akkor az el˝oz˝o k¨ovetkezm´eny szerint l´etezne φ ∈ X ∗ , melyre φx = kxk = 6 0, ami ellentmond a felt´eteleknek. Ennek ´ atfogalmaz´ asa (x helyett (x−y)-nal) az al´abbi, u ´gynevezett szepar´aci´os tulajdons´ ag: 3.8. K¨ ovetkezm´ eny. Ha x, y ∈ X olyan elemek, melyekre φx = φy teljes¨ ul minden φ ∈ X ∗ eset´en, akkor x = y. A Hahn–Banach-t´etel sz´ep elm´eleti alkalmaz´asa, hogy tetsz˝oleges korl´atos sz´ amsorozathoz rendelhet˝ o u ´n. Banach-limesz. Legyen ugyanis X := `∞ a korl´ atos sz´ amsorozatok tere a sup |xn | norm´aval, ´es X0 a konvergens sorozatok altere. Ekkor az X0 -on ´ertelmezett φ (xn ) := lim xn funkcion´al line´aris ´es |φ (xn ) | ≤ lim |xn | ≤ sup |xn |, azaz korl´atos is, ´ıgy l´etezik φ˜ korl´atos li ne´ aris kiterjeszt´ese az eg´esz `∞ -re. Ekkor a φ˜ (xn ) sz´amot az (xn ) korl´atos sorozat Banach-limesz´enek h´ıvjuk. A k¨ ovetkez˝ o szakaszban norm´alt terek fontos t´ıpus´aval ismerkedhet¨ unk meg, ´es t´ argyal´ asukban j´ ol alkalmazhat´ok a Hahn–Banach-t´etel k¨ovetkezm´enyei.
50
´ ris funkciona ´ lok norma ´ lt te ´rben 3. Folytonos linea
3.3. Reflex´ıv Banach-terek 3.3.1. Norm´ alt terek m´ asodik du´ alisa ∗
3.9. Defin´ıci´ o. Ha X norm´ alt t´er, akkor X ∗∗ := (X ∗ ) az X m´asodik du´alis tere. A defin´ıci´ o ´ertelmes, mert X ∗ is norm´alt t´er, ´ıgy van du´alisa. Szint´en igaz itt is, hogy a m´ asodik du´ alis mindig Banach-t´er. Adjunk p´eld´ at X ∗∗ -beli funkcion´alra. Legyen x ∈ X adott, ´es x∗∗ : X ∗ → K az a funkcion´ al, amely minden φ-hez φx-et rendeli hozz´a, azaz x∗∗ φ := φx.
(3.2)
Ekkor x∗∗ line´ aris, ´es korl´ atos is, mert |x∗∗ φ| = |φx| ≤ kxk kφk (∀φ ∈ X ∗ ); ∗∗ emellett kx k ≤ kxk. ´ ıt´ 3.10. All´ as. B´ armely x ∈ X eset´en kx∗∗ k = kxk. Bizony´ıt´ as. Ha x = 0, akkor x∗∗ = 0. Ha x 6= 0, akkor el´eg a ≥ ir´anyt megmutatnunk. A 3.6. k¨ ovetkezm´eny miatt van olyan φ1 ∈ X ∗ , hogy kφ1 k = 1 ´es φ1 x = kxk. Ebb˝ ol kx∗∗ k = sup{|x∗∗ φ| : φ ∈ X ∗ , kφk = 1} ≥ |x∗∗ φ1 | = |φ1 x| = kxk .
Ez azt jelenti, hogy az x 7→ x∗∗ lek´epez´es X izometrikus be´agyaz´asa X ∗∗ -ba. 3.11. Defin´ıci´ o. Ha az x 7→ x∗∗ lek´epez´es izometria X ´es X ∗∗ k¨ozt, akkor az X norm´ alt teret reflex´ıvnek nevezz¨ uk. Ekkor teh´ at X = X ∗∗ izometria erej´eig, azaz egy reflex´ıv t´er azonos´ıthat´o a m´ asodik du´ alis´ aval. Mivel ut´obbi mindig Banach-t´er, ez´ert minden reflex´ıv norm´ alt t´er Banach-t´er. P´ eld´ ak. 1. Minden v´eges dimenzi´os norm´alt t´er reflex´ıv. Ekkor ugyanis az X → X ∗∗ be´ agyaz´ as nem lehet val´odi, mert dim X = dim X ∗ = dim X ∗∗ . 2. Ha 1 < p < ∞, akkor Lp (Ω) reflex´ıv. Ha ugyanis p1 + 1q = 1, akkor izometria erej´eig Lp (Ω)∗∗ = (Lq (Ω))∗ = Lp (Ω). Megeml´ıt¨ unk egy gyakran haszn´alatos jel¨ol´est: ha X norm´alt t´er, φ ∈ X ∗ ´es x ∈ X, akkor legyen hφ, xi := φx.
3.3. Reflex´ıv Banach-terek
51
Ha X Hilbert-t´er, akkor az X ∗ = X azonos´ıt´as mellett ez val´oban skal´arszorzat. (El˝ ofordul ugyanerre a ford´ıtott jel¨ol´es is, azaz hx, φi = φx.) A fenti jel¨ ol´es els˝ osorban reflex´ıv Banach-terek eset´en szeml´eletes, ha ugyanis nemcsak az X ∗∗ ´es X tereket, hanem az x∗∗ ´es x elemeket is azonos´ıtjuk, akkor (3.2) u ´gy ´ırhat´ o, hogy hx, φi = hφ, xi
(∀x ∈ X, φ ∈ X ∗ ),
ami szeml´elteti X ´es X ∗ szerep´enek szimmetri´aj´at ´es a du´alis t´er” elnevez´est. ” 3.12. T´ etel. Minden norm´ alt t´er teljess´e tehet˝ o, azaz izometrikusan izomorf valamely Banach-t´ernek egy s˝ ur˝ u alter´evel. Bizony´ıt´ as. Az X → X ∗∗ be´agyaz´as alapj´an X izometrikusan izomorf az ∗∗ X Banach-t´er egy alter´evel, ´ıgy s˝ ur˝ u az ut´obbi lez´artj´aban, ami maga is Banach-t´er. 3.13. Megjegyz´ es. A 3.6. k¨ovetkezm´eny alapj´an X ´es X ∗ k¨ozt is tal´alhat´ o kapcsolat. B´ armely x ∈ X eset´en legyen ugyanis φ ∈ X ∗ olyan, hogy kφk = 1 ´es hφ, xi = kxk, majd legyen J(x) := kxk φ. Ekkor kJ(x)k = kxk ´es hJ(x), xi = kJ(x)k kxk. Ha X reflex´ıv ´es X, X ∗ szigor´ uan konvexek (azaz g¨ ombjeik szigor´ uan konvexek), akkor igazolhat´o [76, III. 45.12.], hogy J(x) egy´ertelm˝ u, ´es J : X → X ∗ bijekci´o, azonban nem line´aris, hacsak X nem Hilbert-t´er. Ekkor teh´ at X ´es X ∗ k¨ozt nemline´aris izometria ´all fenn.
3.3.2. Gyenge konvergencia 3.14. Defin´ıci´ o. Legyen X norm´alt t´er. Egy (xn ) ⊂ X sorozat gyeng´en tart az x ∈ X vektorhoz, ha minden φ ∈ X ∗ eset´en φxn → φx. A gyenge w konvergenci´ at xn −→ x vagy xn * x jel¨oli. Hogy megk¨ ul¨ onb¨ oztess´ek a gyenge konvergenci´at´ol, a m´ar bevezetett normakonvergenci´ ara gyakran mint er˝os konvergenci´ara szoktak hivatkozni. w w ´ ıt´ 3.15. All´ as. A gyenge limesz egy´ertelm˝ u, azaz ha xn −→ y1 ´es xn −→ y2 , akkor y1 = y2 .
Bizony´ıt´ as. A felt´etel szerint minden φ ∈ X ∗ eset´en φxn → φy1 ´es φxn → φy2 . Mivel K-ban a limesz egy´ertelm˝ u, ez´ert φy1 = φy2 . Ez minden φ ∈ X ∗ eset´en fenn´ all, ez´ert a 3.8. k¨ovetkezm´eny szerint y1 = y2 . Ha xn → x er˝ os ´ertelemben, azaz norm´aban, akkor a folytonoss´ag miatt φxn → φx minden φ ∈ X ∗ eset´en, azaz az er˝os konvergenci´ab´ol k¨ovetkezik a
´ ris funkciona ´ lok norma ´ lt te ´rben 3. Folytonos linea
52
gyenge konvergencia. V´eges dimenzi´oban – szok´as szerint – a k´et fogalom egy´ beesik, mindkett˝ o ekvivalens a koordin´at´ank´enti konvergenci´aval. Altal´ aban a megford´ıt´ as azonban nem igaz. P´eld´aul, v´egtelen dimenzi´os Hilbert-t´erben, mint az 5.4 ´ all´ıt´ asban l´ atni fogjuk, egy ortonorm´alt vektorokb´ol ´all´o sorozat nem konvergens, de gyeng´en konverg´al a 0-hoz. Egy Hilbert-t´erbeli ortonorm´alt sorozat arra is p´elda, hogy egy korl´atos sorozatnak nincs norm´ aban konvergens r´eszsorozata, ´ıgy a Bolzano–Weierstrasstulajdons´ ag sem marad ´erv´enyben a normakonvergenci´ara n´ezve. Ilyen norm´ alt t´erben is megadhat´ o, ami azt jelenti, hogy v´egtelen dimenzi´oban a z´art egys´egg¨ omb nem kompakt halmaz. 3.16. Lemma (Riesz-lemma). Legyen (X, k·k) v´egtelen dimenzi´ os norm´ alt t´er. Ekkor l´etezik X-ben olyan (xn ) ⊂ X vektorsorozat, amelyre (i) kxn k = 1
(∀n ∈ N);
(ii) kxn − xm k ≥ 1
(∀n, m ∈ N, n 6= m).
Bizony´ıt´ as. A keresett sorozatot rekurzi´oval ´all´ıtjuk el˝o. V´alasszunk egy x . Tegy¨ uk fel, hogy m´ar el˝o´all´ıtottuk 0 6= x ∈ X vektort, ´es legyen x1 = kxk az x1 , x2 , . . . , xn−1 vektorokat a k´ıv´ant tulajdons´agokkal. Legyen Xn−1 = span{x1 , . . . , xn−1 }, ez v´eges dimenzi´os alt´er. Legyen x ∈ X olyan, hogy x∈ / Xn−1 ´es legyen d = dist(x, Xn−1 ), az alt´er z´arts´aga miatt d > 0. Az 1.18. 0 all´ıt´ ´ as szerint l´etezik y0 ∈ Xn−1 , hogy d = kx − y0 k. Legyen xn := x−y d . Ekkor kxn k = 1, valamint dist(xn , Xn−1 ) =
inf
y∈Xn−1
kxn − yk =
1 inf kx − (y0 + dy)k d y∈Xn−1
1 dist(x, Xn−1 ) = 1, d mivel ha y befutja Xn−1 elemeit, akkor y0 + dy is. Mivel teh´at xn -nek az alt´ert˝ ol vett t´ avols´ aga 1, ´ıgy kxn − xj k ≥ 1 minden 1 ≤ j < n eset´en. =
A gyenge konvergencia fogalma viszont seg´ıt abban is, hogy megments¨ uk a Bolzano–Weierstrass-tulajdons´agot: 3.17. T´ etel. Reflex´ıv Banach-t´erben minden korl´ atos sorozatnak van gyeng´en konvergens r´eszsorozata. Ezt csak Hilbert-t´erben igazoljuk majd az 5.6. t´etelben; az ´altal´anos eset bizony´ıt´ asa megtal´ alhat´ o [38, 14. fejezet]-ben. A fenti t´etel megford´ıt´asa is igaz, vagyis ez a tulajdons´ ag jellemzi a reflex´ıv Banach-tereket, ez az Eberlein– Smulian-t´etel.
4. fejezet
Folytonos line´ aris oper´ atorok norm´ alt t´ erben 4.1. A Banach–Steinhaus-t´ etelko ¨r 4.1.1. A Banach–Steinhaus-t´ etel Ezt a t´etelt szok´ as az egyenletes korl´atoss´ag t´etel´enek” is nevezni, ´es arr´ol ” sz´ ol, hogy k´et, ´ altal´ anos esetben k¨ ul¨onb¨oz˝o korl´atoss´agi fogalom folytonos line´ aris oper´ atorokra egybeesik. Jelent˝os´ege abban ´all, hogy a gyakran hasznos egyenletes korl´ atoss´ agot ´ıgy egyszer˝ ubben garant´alhatjuk. 4.1. Defin´ıci´ o. Legyenek X, Y norm´alt terek. Egy (An ) ⊂ B(X, Y ) oper´atorsorozat pontonk´ent korl´ atos, ha minden x ∈ X eset´en (An x) ⊂ Y korl´atos, illetve egyenletesen korl´ atos, ha (kAn k) ⊂ R korl´atos sz´amsorozat. 4.2. T´ etel (Banach–Steinhaus). Legyen X Banach-t´er, Y norm´ alt t´er. Egy (An ) ⊂ B(X, Y ) oper´ atorsorozat akkor ´es csak akkor pontonk´ent korl´ atos, ha egyenletesen korl´ atos. Bizony´ıt´ as. Ha (An ) egyenletesen korl´atos, akkor minden x ∈ X eset´en kAn xk ≤ kAn k kxk ≤ sup kAn k kxk < ∞, n
azaz minden r¨ ogz´ıtett x eset´en kAn xk korl´atos. Legyen most (An ) pontonk´ent korl´atos. El˝osz¨or megmutatjuk, hogy van olyan art g¨ omb, melyre B := B(x∗ , r) ⊂ X z´ sup{kAn xk : n ∈ N+ , x ∈ B} =: M < ∞. 53
(4.1)
54
´ ris opera ´ torok norma ´ lt te ´rben 4. Folytonos linea
Tegy¨ uk fel, hogy ez nem igaz. Ekkor minden g¨ombben ´es minden n ∈ N+ eset´en van olyan x0 pont ´es kn index, hogy kAkn x0 k ≥ 2n, s˝ot ekkor Akn folytonoss´ aga miatt x0 egy k¨ ornyezet´eben l´ev˝o x pontokra kAkn xk ≥ n teljes¨ ul. Ezt a tulajdons´ agot rekurz´ıvan alkalmazva, konstru´alhat´o z´art g¨omb¨ok olyan B1 ⊃ B2 ⊃ . . . egym´ asba skatuly´azott sorozata, hogy minden x ∈ Bn pontra kAkn xk ≥ n (∀n ∈ N+ ), ´es itt feltehet˝o, hogy diam(Bn ) → 0, hiszen pl. minden Bn sugar´ at az el˝oz˝o sug´ar fel´en´el kisebbre v´alaszthatjuk. Ekkor az 1.11 Cantor-f´ele k¨ oz¨ ospont-t´etel miatt ∩Bn egy pont, legyen ez x∗ . Ek∗ kor minden n-re x ∈ Bn , ´ıgy kAkn x∗ k ≥ n, ami ellentmond annak, hogy (An x∗ ) ⊂ Y korl´ atos sorozat. A (4.1) korl´ at miatt pedig minden z ∈ X, kzk = 1 ´es n ∈ N+ eset´en
1 2M
1
kAn (x∗ + rz)k + kAn x∗ k ≤ , kAn zk = An (x∗ + rz) − x∗ ≤ r r r hiszen x∗ ´es x∗ + rz ∈ B(x∗ , r). Eszerint kAn k ≤
2M r ,
teh´at (kAn k) korl´atos.
4.1.2. A Banach–Steinhaus-t´ etel bizony´ıt´ asa a kateg´ oriat´ etellel Ez a r´esz a Banach–Steinhaus-t´etel egy m´asik bizony´ıt´as´at tartalmazza, amely egy ¨ onmag´ aban is ´erdekes, de itt nem bizony´ıtott metrikus t´erbeli eredm´enyre t´ amaszkodik. 4.3. Defin´ıci´ o. Egy (X, %) metrikus t´erben egy K ⊂ X halmaz (i) sehol sem s˝ ur˝ u, ha int K = ∅, azaz K nem tartalmaz g¨omb¨ot; (ii) els˝ o kateg´ ori´ aj´ u, ha el˝ oa´ll megsz´aml´alhat´oan sok z´art, sehol sem s˝ ur˝ u halmaz uni´ ojak´ent; (iii) m´ asodik kateg´ ori´ aj´ u, ha nem els˝o kateg´ori´aj´ u: azaz, ha K = ∪∞ j=1 Kj , ahol mindegyik Kj z´ art, akkor valamelyik Kj tartalmaz g¨omb¨ot. 4.4. T´ etel (Baire kateg´ oriat´ etele). B´ armely teljes metrikus t´er m´ asodik kateg´ ori´ aj´ u. A bizony´ıt´ as megtal´ alhat´ o pl. a [27, 37] k¨onyvekben. A Banach–Steinhaus-t´ etel 2. bizony´ıt´ asa. Csak a ford´ıtott ir´anyt igazoljuk (a m´ asik trivi´ alis volt), tegy¨ uk fel teh´at, hogy (An ) pontonk´ent korl´atos. Tekints¨ uk minden j ∈ N+ eg´eszre a Kj := {x ∈ X : kAn xk ≤ j ∀n ∈ N+ }
´telk¨ 4.1. A Banach–Steinhaus-te or
55
halmazokat. Minden r¨ ogz´ıtett j-re a Kj -beli sorozatok limeszei is Kj -beliek, azaz Kj z´ art. M´ asr´eszt b´ armely x ∈ X benne van valamelyik Kj -ben, mivel (An x) korl´ atos sorozat, ´ıgy kAn xk ≤ j (∀n ∈ N+ ) alkalmas j-re. ´Igy teh´at ∞ X = ∪j=1 Kj , azaz X el˝ o´ all megsz´aml´alhat´o sok z´art halmaz uni´ojak´ent. A 4.4. t´etel szerint van olyan j0 ∈ N+ , hogy a Kj0 halmaz tartalmaz g¨omb¨ot, azaz van olyan x0 ∈ X ´es r > 0, hogy B(x0 , r) ⊂ Kj0 . Ekkor minden z ∈ X, kzk = 1 ´es n ∈ N+ eset´en
1 2
1 kAn zk = An (x0 + rz) − x0 ≤ kAn (x0 + rz)k + kAn x0 k ≤ j0 , r r r uk norm´aja legfelhiszen x0 ´es x0 + rz ∈ B(x0 , r) ⊂ Kj0 , ´ıgy minden An -k´ep¨ jebb j0 . Eszerint kAn k ≤ 2jr0 , teh´at (kAn k) korl´atos.
4.1.3. A Banach–Steinhaus-t´ etel alkalmaz´ asai 4.5. K¨ ovetkezm´ eny. Banach-t´eren ´ertelmezett folytonos line´ aris oper´ atorsorozat pontonk´enti limesze is folytonos line´ aris. Azaz, ha X Banach-t´er, Y norm´ alt t´er ´es (An ) ⊂ B(X, Y ), melyre An x → Ax minden x ∈ X eset´en, akkor A ∈ B(X, Y ). Bizony´ıt´ as. A a limeszk´epz´es miatt line´aris. Mivel (An ) pontonk´ent (konvergens ´es ´ıgy) korl´ atos is, a 4.2. t´etel szerint egyenletesen is korl´atos. Ebb˝ol kAxk = lim kAn xk ≤ sup kAn k kxk ≤ K kxk (∀x ∈ X), n→∞
vagyis A folytonos is.
n
Gyakran a 4.2. t´etelt egyenletes korl´atoss´ag t´etel´enek nevezik, olyankor az al´ abbi k¨ ovetkezm´eny´et szokt´ak Banach–Steinhaus-t´etelnek h´ıvni. 4.6. T´ etel. Legyen X Banach-t´er, Y norm´ alt t´er, valamint An , A ∈ B(X, Y ) (n ∈ N+ ). Ekkor alis rendszer, hogy a) van olyan M ⊂ X tot´ An x → Ax (∀x ∈ M ); An → A pontonk´ent X-en ⇔ b) (An ) egyenletesen korl´ atos. Bizony´ıt´ as. Ha (An ) pontonk´ent konvergens, akkor nyilv´an pontonk´ent korl´ atos, ´ıgy az 4.2. t´etel szerint egyenletesen is korl´atos, a k´ıv´ant tulajdons´ag´ u tot´ alis rendszernek pedig az M := X v´alaszt´as j´o lesz. A ford´ıtott ir´ anyhoz el˝ osz¨ or vegy¨ uk ´eszre, hogy ha An → A M -en, akkor a linearit´ as miatt az [M ] burkon is ´erv´enyes a konvergencia. Legyen x ∈ X
´ ris opera ´ torok norma ´ lt te ´rben 4. Folytonos linea
56
tetsz˝ oleges elem. Mivel [M ] = X, ez´ert minden ε > 0 eset´en l´etezik y ∈ [M ], hogy ε kx − yk ≤ , 2 (K + kAk) ahol K := supn kAn k < ∞ az egyenletes korl´atoss´ag miatt. Ekkor kAn x − Axk ≤ kAn x − An yk + kAn y − Ayk + kAy − Axk ≤ ≤ kAn y − Ayk + (kAn k + kAk) kx − yk , ahol alkalmas k¨ usz¨ obindex ut´an az els˝o tag ε/2-vel becs¨ ulhet˝o (hiszen y ∈ [M ]), ´es ilyenkor kAn x − Axk ≤
ε ε ε ε + (kAn k + kAk) ≤ + = ε. 2 2 (K + kAk) 2 2
P´ eld´ ak. 1. A Fej´ er-ko aja. A 4.6. t´etel alapj´an iga¨zepek egyenletes konvergenci´ zolhat´ o a 2.39. t´etel. Legyen teh´at f ∈ C[0, 2π], melyre f (0) = f (2π), ´es 1 σn (f ) := s0 (f ) + s1 (f ) + · · · + sn (f ) (n ∈ N) n+1 a Fej´er-k¨ ozepek. Megmutatjuk, hogy σn (f ) → f egyenletesen. Legyen X := {f ∈ C[0, 2π] : f (0) = f (2π)} a maximum-norm´ aval. Ez C[0, 2π] z´art altere, ´ıgy maga is Banach-t´er. Tekints¨ uk az An : X → X, An f := σn (f ) (n ∈ N) oper´ atorsorozatot. A k´ıv´ ant ´all´ıt´as ´epp azt jelenti, hogy An → I pontonk´ent X-en, ahol I az identit´ as. Ehhez a 4.6. t´etel k´et felt´etel´et kell ellen˝orizn¨ unk. (a) Legyen M a trigonometrikus polinomok halmaza. Az erre vonatkoz´o Weierstrass-f´ele approxim´ aci´ os t´etel miatt b´armely f ∈ X egyenletesen k¨ozel´ıthet˝ o M -beli f¨ uggv´enyekkel, ´ıgy M s˝ ur˝ u, azaz tot´alis rendszer is. M´asr´eszt egy p trigonometrikus polinom Fourier-szelete ¨onmaga, ha a szelet foka legal´ abb p foka, ´ıgy sn (p) → p egyenletesen b´armely p ∈ M eset´en. Ekkor az sn (p) szeletek sz´ amtanik¨ oz´ep-sorozata, ami ´eppen σn (p), szint´en p-hez tart egyenletesen, azaz X norm´ aj´aban. Teh´at An → I M -en. (b) A Fej´er-k¨ ozepek z´ art alakra hozhat´ok alkalmas trigonometrikus ¨osszegz´esekkel, l´ asd pl. [70]: ha x ∈ [0, 2π], akkor Z π/2 f (x + 2t) + f (x − 2t) sin(n + 1)t 2 2 dt . σn (f )(x) = (n + 1)π 0 2 sin t
´telk¨ 4.1. A Banach–Steinhaus-te or
57
Ebb˝ ol b´ armely f ∈ X eset´en 2 kAn f k = max |σn (f )| ≤ max |f | · (n + 1)π [0,2π] [0,2π]
Z
π/2
0
sin(n + 1)t 2 dt = sin t
= max |f | · σn (1) = kf k, [0,2π]
felhaszn´ alva, hogy az 1 konstansf¨ uggv´eny 0-dfok´ u trigonometrikus polinom, ´ıgy (mint l´ attuk) minden sn ´es ´ıgy σn is helybenhagyja, vagyis σn (1) = 1. Ebb˝ ol kAn k ≤ 1 minden n-re, azaz (An ) egyenletesen korl´atos. 2. Kvadrat´ ur´ ak konvergenci´ aja. Legyen [a, b] adott intervallum. Az f ∈ C[a, b] f¨ uggv´enyek numerikus integr´al´as´ara ´altal´aban az Z b n X I(f ) := f ≈ Qn (f ) := αi f (xi ) a
i=1
alak´ u k¨ ozel´ıt´eseket, u ´n. kvadrat´ ur´akat szok´as haszn´alni, ahol xi ∈ [a, b] adott pontok ´es αi > 0 adott sz´ amok (s´ ulyok), i = 1, . . . , n. A kvadrat´ ur´akat u ´gy szok´ as defini´ alni (alkalmas interpol´aci´os m´odszerek alapj´an), hogy az n-edik k´eplet pontos legyen a legfeljebb n-edfok´ u polinomokra, azaz Qn (p) = I(p) (∀p ∈ Pn , ∀n ∈ N). Ekkor a 4.6. t´etel alapj´an k¨onnyen igazolhat´o, hogy Qn (f ) → I(f ) ∀f ∈ C[a, b],
ha n → ∞.
Legyen ugyanis An f := Qn (f ) (n ∈ N) ´es Af := I(f ). Ekkor An ´es A : X → R line´ aris funkcion´ alok az X := C[a, b] t´eren (a szok´asos maximum-norm´aval ell´ atva), melyek korl´ atosak is, ugyanis n n X X |An f | ≤ αi |f (xi )| ≤ αi kf kmax ´es |Af | ≤ (b − a) kf kmax i=1
i=1
(∀f ∈ C[a, b]). Ha M a polinomok halmaza, akkor az erre vonatkoz´o Weierstrass-f´ele approxim´ aci´ os t´etel miatt M s˝ ur˝ u, azaz tot´alis rendszer is X-ben, ´es felt´etel¨ unk szerint An → A az M halmazon, ´ıgy teljes¨ ul a 4.6. t´etel (a) felt´etele. Emellett a fenti becsl´esb˝ol n X kAn k ≤ αi = Qn (1) = 1 (∀n ∈ N), i=1
mivel Qn pontos a p ≡ 1 nulladfok´ u polinomon, ´ıgy (An ) egyenletesen korl´atos. ´ (Altal´ anosabban az is megengedhet˝o, hogy az αi s´ ulyok k¨ozt negat´ıv ´ert´ekek is szerepeljenek, ekkor viszont (A ) egyenletes korl´atoss´ag´anak igazol´an Pn uggetlen korl´at alatt marad. s´ ahoz k¨ ul¨ on fel kell tenni, hogy i=1 |αi | n-t˝ol f¨ A Qn (p) = I(p), ∀p ∈ Pn , ∀n ∈ N felt´etel is gyeng´ıthet˝o, elegend˝o, ha limn→∞ Qn (p) = I(p) b´ armely p polinom eset´en.)
58
´ ris opera ´ torok norma ´ lt te ´rben 4. Folytonos linea
4.2. A Banach-f´ ele ny´ıltlek´ epez´ es-t´ etelko ¨r 4.2.1. A ny´ılt lek´ epez´ es t´ etele ´ es a homeomorfizmus-t´ etel E k´et t´etel k¨ oz¨ ul k¨ ul¨ on¨ osen a m´asodik nevezetes, ´es sok hely¨ utt alkalmazhat´o: a Banach-f´ele homeomorfizmus-t´etel azt mondja ki, hogy Banach-terek k¨ozti folytonos line´ aris bijekci´ o inverze is folytonos. Ez u ´gy is fogalmazhat´o, hogy Banach-terek k¨ ozti folytonos izomorfizmus homeomorfizmus is (ut´obbi olyan lek´epez´est jelent, amely maga is ´es inverze is folytonos); innen ered a t´etel neve. A homeomorfizmus-t´etel k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enye lesz a ny´ılt lek´epez´es t´etel´enek, melyhez viszont t¨obb technikai eredm´enyen kereszt¨ ul juthatunk el. Ebben a fejezetben B(a, R) jel¨oli az a k¨ozep˝ u ´es R sugar´ u ny´ılt g¨omb¨ot. 4.7. Defin´ıci´ o. Legyenek X, Y norm´alt terek. Azt mondjuk, hogy A : X → Y ny´ılt lek´epez´es, ha b´ armely ny´ılt halmaz A-k´epe ny´ılt. 4.8. Megjegyz´ es. K¨ onnyen l´athat´o, hogy egy lek´epez´es pontosan akkor ny´ılt, ha b´ armely ny´ılt g¨ omb A-k´epe tartalmaz ny´ılt g¨omb¨ot a k¨oz´eppont k´epe k¨or¨ ul, azaz ha b´ armely B(x, R) ⊂ X ny´ılt g¨ombh¨oz tal´alhat´o olyan B(Ax, r) ⊂ Y ny´ılt g¨ omb, melyre A(B(x, R)) ⊃ B(Ax, r). Val´ oban: egyr´eszt, ha A ny´ılt lek´epez´es, akkor a B(x, R) ny´ılt halmaz k´epe is ny´ılt, ´ıgy tartalmaz ny´ılt g¨omb¨ot az Ax pont k¨or¨ ul. Megford´ıtva, legyen G ⊂ X ny´ılt halmaz. Ha x ∈ G, akkor G tartalmaz valamely B(x, R) ny´ılt g¨ omb¨ ot, ´ıgy A(G) tartalmazza az A(B(x, R)) halmazt, ut´obbi pedig a feltev´es miatt tartalmaz egy B(Ax, r) ny´ılt g¨omb¨ot. ´Igy A(G) tartalmaz ny´ılt g¨omb¨ot minden Ax eleme k¨ or¨ ul, azaz A(G) ny´ılt halmaz. 4.9. Lemma. Legyen X Banach-t´er, Y norm´ alt t´er, A ∈ B(X, Y ). Ha van o olyan olyan y0 ∈ Y ´es k, r > 0, hogy B(y0 , r) ⊂ A (B(0, k)), akkor megadhat´ m > 0, hogy minden y ∈ Y eset´en van olyan x ∈ X, melyre Ax = y ´es kxk ≤ m kyk. Bizony´ıt´ as. Ha B(y0 , r) ⊂ A (B(0, k)), akkor az is igaz, hogy B(−y0 , r) ⊂ A (B(0, k)). Ha ugyanis z ∈ B(−y0 , r), akkor −z ∈ B(y0 , r) ⊂ A (B(0, k)), vagyis l´etezik (xn ) ⊂ B(0, k) alkalmas sorozat, hogy Axn → −z. Ekkor z = − lim Axn = lim A(−xn ), n→∞
n→∞
´es mivel −xn ∈ B(0, k), ez´ert z ∈ A (B(0, k)). Most ezekb˝ol azt is bel´atjuk, hogy B(0, r) ⊂ A (B(0, k)) szint´en teljes¨ ul. Legyen ugyanis z ∈ B(0, r), ekkor nyilv´an z + y ∈ B(y0 , r) ´es z − y0 ∈ B(−y0 , r). Az eddigiek szerint z ± y0 ∈ A (B(0, k)), ´ıgy alkalmas
´le ny´ıltleke ´peze ´s-te ´telk¨ 4.2. A Banach-fe or
59
(vn ), (wn ) ⊂ B(0, k) sorozatokra Avn → z + y0 ´es Awn → z − y0 . Ekkor w v z + y0 z − y0 vn + w n n n z= +A = lim A + = lim A , n→∞ n→∞ 2 2 2 2 2 ahol (vn + wn )/2 ∈ B(0, k), ´ıgy z ∈ A (B(0, k)). Legyen most t :=
k . r
Ekkor azt is bel´ athatjuk, hogy minden % > 0 eset´en B(0, %) ⊂ A (B(0, t%)).
(4.2)
Ha ugyanis z ∈ B(0, %), akkor zr/% ∈ B(0, r), ami az el˝oz˝oek szerint azt jelenti, hogy zr/% ∈ A (B(0, k)), vagyis z ∈ A (B(0, k%/r)) = A (B(0, t%)). Most megmutatjuk azt, hogy a fentiekhez hasonl´o tartalmaz´as lez´art n´elk¨ ul is adhat´ o, ez a bizony´ıt´ as kulcsl´ep´ese: minden % > 0 eset´en B(0, %) ⊂ A (B(0, 2t%)) .
(4.3)
Ehhez fogjuk kihaszn´ alni, hogy X Banach-t´er. Legyen teh´at y ∈ B(0, %), megmutatjuk, hogy tal´ alhat´ o hozz´a olyan x ∈ B(0, 2t%), hogy y = Ax. A (4.2) szerint van olyan y1 ∈ A (B(0, t%)), hogy ky − y1 k <
% . 2
Itt y − y1 ∈ B(0, %/2), ´ıgy ism´et (4.2) szerint (%/2-re fel´ırva) van olyan y2 ∈ A (B(0, t%/2)), hogy % k(y − y1 ) − y2 k < . 4 Az elj´ ar´ ast folytatva egy olyan (yn ) sorozatot kapunk, hogy minden n ∈ N eset´en
n
X t% %
yn ∈ A B 0, n−1 ´es yi < n . (4.4)
y −
2 2 i=1 ∞ P
t% yi . V´alasszunk olyan xn ∈ B 0, 2n−1 i=1 P elemeket, hogy yn = Axn (ilyen van (4.4) miatt). Megmutatjuk, hogy (xn ) Cauchy-sor az X Banach-t´erben. Legyen m ≥ n, ekkor
m m m
X X X 1 t% n,m→∞
xi ≤ kxi k < t% < n−2 −−−−−→ 0,
i−1
2 2 i=n i=n i=n Ebb˝ ol az k¨ ovetkezik, hogy y =
´ ris opera ´ torok norma ´ lt te ´rben 4. Folytonos linea
60
P vagyis teljes¨ ul a Cauchy-krit´erium a (xn ) sorra. Legyen a sor o¨sszege x. Ekkor ∞ ∞ X X 1 kxk ≤ = 2t%. kxi k < t% i−1 2 i=1 i=1 P∞ Mivel x = i=1 xi , ´ıgy A folytonoss´aga miatt Ax =
∞ X
Axi =
i=1
∞ X
yi = y.
i=1
Teh´ at minden y ∈ B(0, %) vektorhoz tal´altunk olyan x ∈ B(0, 2t%) vektort, hogy Ax = y, amivel (4.3)-t bel´attuk. y . Ekkor Legyen v´eg¨ ul m := 4t. Tetsz˝oleges y ∈ Y eset´en legyen y˜ = 2kyk y˜ ∈ B(0, 1), ´ıgy az el˝ oz˝ o r´esz szerint l´etezik x ˜ ∈ B(0, 2t), hogy y˜ = A˜ x. Ha most x := 2 kyk x ˜, akkor Ax = 2 kyk A˜ x = 2 kyk y˜ = y
´es
kxk = 2 kyk k˜ xk < 4t kyk = m kyk .
4.10. Lemma. Legyen X Banach-t´er, Y norm´ alt t´er, A ∈ B(X, Y ). Ha valamely orig´ o k¨ ozep˝ u ny´ılt g¨ omb A-k´ep´enek lez´ artja tartalmaz ny´ılt g¨ omb¨ ot, akkor b´ armely ny´ılt g¨ omb A-k´epe maga is tartalmaz ny´ılt g¨ omb¨ ot a k¨ oz´eppont k´epe k¨ or¨ ul. Bizony´ıt´ as. A feltev´es ´epp azt jelenti, hogy alkalmazhat´o az el˝oz˝o lemma, ez´ert megadhat´ o olyan m > 0, hogy minden y ∈ Y eset´en van olyan x ∈ X, melyre Ax = y ´es kxk ≤ m kyk. Legyen teh´at B(x, R) ⊂ X adott ny´ılt g¨omb, tal´ alnunk kell hozz´ a olyan B(Ax, r) ⊂ Y ny´ılt g¨omb¨ot, melyre A(B(x, R)) ⊃ B(Ax, r). R Megmutatjuk, hogy r := m eset´en ez fenn´all. Legyen y := Ax ´es y˜ ∈ B(y, r), alkalmazzuk az el˝ oz˝ o lemma eredm´eny´et az y˜ −y vektorra! Eszerint van olyan z˜ ∈ X, melyre A˜ z = y˜ − y ´es k˜ z k ≤ m k˜ y − yk. Ha most x ˜ := x + z˜, akkor
k˜ x − xk = k˜ z k ≤ m k˜ y − yk < mr = R, teh´ at x ˜ ∈ B(x, R), emellett y˜ = y + A˜ z = Ax + A˜ z = A˜ x, ´ıgy y˜ ∈ A(B(x, R)).
4.11. T´ etel (Banach-f´ ele ny´ıltlek´ epez´ es-t´ etel). Legyenek X, Y Banachterek, A ∈ B(X, Y ) szuperjekt´ıv. Ekkor A ny´ılt lek´epez´es, azaz b´ armely ny´ılt halmaz A-k´epe ny´ılt.
´le ny´ıltleke ´peze ´s-te ´telk¨ 4.2. A Banach-fe or
61
Bizony´ıt´ as. Mivel A szuperjekt´ıv, tekinthetj¨ uk a k´ept´er Y = ∪∞ n=1 A(B(0, n)) felbont´ as´ at. A 4.4. t´etel miatt Y m´asodik kateg´ori´aj´ u, ´ıgy az uni´o valamelyik tagja tartalmaz ny´ılt g¨ omb¨ ot. A 4.10. lemma szerint ekkor b´armely ny´ılt g¨omb A-k´epe maga is tartalmaz ny´ılt g¨omb¨ot a k¨oz´eppont k´epe k¨or¨ ul. Ez pedig, mint a 4.8. megjegyz´esben l´ attuk, ´epp azt jelenti, hogy A ny´ılt lek´epez´es. 4.12. Megjegyz´ es. A ny´ıltlek´epez´es-t´etelhez el´eg feltenni, hogy R(A) m´asodik kateg´ ori´ aj´ u, hiszen a bizony´ıt´as ugyan´ ugy halad; ekkor menet k¨ozben a felhaszn´ alt 4.9. lemma alapj´ an kij¨on, hogy A sz¨ uks´egk´eppen szuperjekt´ıv is. Megjegyezz¨ uk azt is, hogy a szuperjektivit´asb´ol, szint´en a 4.11. t´etelhez felhaszn´ alt 4.9. lemma alapj´ an, k¨ovetkezik e lemma ´all´ıt´asa: 4.13. K¨ ovetkezm´ eny. Legyenek X, Y Banach-terek, A ∈ B(X, Y ) szuperjekt´ıv. Ekkor megadhat´ o olyan m > 0, hogy minden y ∈ Y eset´en van olyan x ∈ X, melyre Ax = y ´es kxk ≤ m kyk. 4.14. T´ etel (Banach-f´ ele homeomorfizmus-t´ etel). Legyenek X, Y Banach-terek, A ∈ B(X, Y ) bijekci´ o. Ekkor A−1 ∈ B(Y, X). Bizony´ıt´ as. Mivel A szuperjekt´ıv is, a ny´ılt lek´epez´es-t´etel szerint ny´ılt halmaz A-k´epe ny´ılt. Ez ugyanaz, mint hogy ny´ılt halmaz A−1 -˝osk´epe ny´ılt, azaz A−1 folytonos. 4.15. Megjegyz´ es. A homeomorfizmus-t´etel a 4.13. k¨ovetkezm´enyb˝ol is kij¨ on: az ott szerepl˝ u, ´espedig x = A−1 y,
−1o x az A bijekci´o volta miatt egy´ertelm˝
ebb˝ ol pedig A y ≤ m kyk. A Banach-f´ele homeomorfizmus-t´etel fontos alkalmaz´asa oper´atoregyenletekkel kapcsolatos. Tekints¨ unk egy Ax = y
(4.5)
oper´ atoregyenletet. 4.16. Defin´ıci´ o. Legyenek X, Y norm´alt terek ´es A : X ⊃→ Y line´aris oper´ ator. A (4.5) egyenlet korrekt kit˝ uz´es˝ u, ha (i) minden y ∈ Y eset´en egy´ertelm˝ uen l´etezik x megold´as, ´es (ii) x folytonosan f¨ ugg y-t´ ol. Azaz, a (4.5) egyenlet akkor korrekt kit˝ uz´es˝ u, ha (i) A : D(A) → Y bijekci´o, ´es (ii) A−1 folytonos. Mivel A−1 line´aris, a (ii) pont u ´gy is ´ırhat´o, hogy l´etezik olyan y-t´ ol f¨ uggetlen M > 0 konstans, melyre kxk ≤ M kyk. Ha most X, Y Banach-terek ´es A folytonos, akkor a 4.14. t´etel szerint a (ii) tulajdons´ ag k¨ ovetkezik (i)-b˝ ol:
62
´ ris opera ´ torok norma ´ lt te ´rben 4. Folytonos linea
4.17. Ko eny. Ha X, Y Banach-terek ´es A ∈ B(X, Y ), akkor a ¨vetkezm´ 4.16. defin´ıci´ o (ii) pontja k¨ ovetkezik (i)-b˝ ol, ´ıgy elhagyhat´ o. A homeomorfizmus-t´etel tov´abbi alkalmaz´asa az 1.10. ´all´ıt´asnak (bizonyos ´ertelemben) megford´ıt´ asa. 4.18. T´ etel. Legyen X olyan norm´ alt t´er, amely teljes az k·k1 ´es k·k2 norm´ akra vonatkoz´ oan. Tegy¨ uk fel, hogy van olyan M > 0 konstans, amelyre kxk1 ≤ M kxk2 minden x ∈ X eset´en. Ekkor a k´et norma ekvivalens. Bizony´ıt´ as. A felt´etel szerint az (X, k·k2 ) ´es (X, k·k1 ) Banach-terek k¨oz¨otti Ix := x identikus lek´epez´es folytonos line´aris ´es bijekt´ıv. A 4.14. k¨ovetkezm´
−1 eny
szerint az inverz is folytonos line´aris, azaz l´etezik c2 > 0, hogy
I x = kxk ≤ c2 kxk . 2 1 2
4.2.2. A z´ artgr´ af-t´ etel 4.19. Defin´ıci´ o. Legyenek X, Y norm´alt terek, D ⊂ X, ´es A : D → Y adott lek´epez´es. Ekkor a Γ(A) = {(x, A(x)) : x ∈ D} ⊂ X × Y halmazt A gr´ afj´ anak vagy grafikonj´ anak nevezz¨ uk. Ha D ⊂ X alt´er ´es A : D → Y line´aris, akkor Γ(A) is alt´er X × Y -ban. A tov´ abbiakban tekints¨ uk az X × Y szorzatt´eren az al´abbi norm´at: k(x, y)k := kxk + kyk
∀(x, y) ∈ X × Y.
4.20. Defin´ıci´ o. Legyenek X, Y norm´alt terek, D ⊂ X alt´er. Az A : D → Y line´ aris oper´ ator z´ art, ha minden (xn ) ⊂ D sorozatra fenn´all, hogy ha ∃x = lim xn ∈ X ´es ∃y = lim Axn ∈ Y , akkor x ∈ D ´es y = Ax. A defin´ıci´ o jelent´es´et magyar´azza a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as. ´ ıt´ 4.21. All´ as. Egy A line´ aris oper´ ator pontosan akkor z´ art, ha Γ(A) z´ art alt´er X × Y -ban. Bizony´ıt´ as. Legyen A : D → Y z´art line´aris oper´ator. Be kell l´atni, hogy Γ(A) minden torl´ od´ asi pontja eleme a gr´afnak. Legyen (x, y) ∈ ∂Γ(A), ekkor van olyan (xn , Axn ) ⊂ Γ(A) sorozat a gr´afban, amely (x, y)-hoz konverg´al a szorzatt´er norm´ aja szerint, vagyis kxn − xk + kAxn − yk → 0. Ebb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy xn → x ´es Axn → y. Mivel A z´art, ´ıgy x ∈ D ´es y = Ax, azaz (x, y) = (x, Ax) ∈ Γ(A).
´le ny´ıltleke ´peze ´s-te ´telk¨ 4.2. A Banach-fe or
63
Megford´ıtva, legyen a gr´ af z´ art ´es (xn ) ⊂ D olyan sorozat, hogy xn → x ∈ X ´es Axn → y ∈ Y . Be kell l´ atni, hogy x ∈ D ´es Ax = y. A felt´etel szerint Γ(A) 3 (xn , Axn ) → (x, y) ∈ Γ(A) = Γ(A), mert Γ(A) z´art. Vagyis x ∈ D ´es y = Ax, ´ıgy A z´ art. 4.22. T´ etel. Legyenek X, Y norm´ alt terek, D ⊂ X z´ art alt´er, A : D → Y korl´ atos line´ aris oper´ ator. Ekkor A z´ art. Speci´ alisan, minden A ∈ B(X, Y ) oper´ ator z´ art. Bizony´ıt´ as. Ha xn → x egy D-beli konvergens sorozat, melyre Axn → y, akkor D z´ arts´ aga miatt x ∈ D, tov´abb´a A folytonoss´ag´ab´ol k¨ovetkezik, hogy Axn → Ax, vagyis y = Ax. Teh´ at az oper´ atorok z´ arts´ aga a folytonoss´ag fogalm´anak enyh´ıt´ese. 4.23. T´ etel. Ha egy A : D → Y injekt´ıv line´ aris oper´ ator z´ art, akkor A−1 is z´ art. Bizony´ıt´ as. Mivel A z´ art, ez´ert Γ(A) is z´art. Az injektivit´as miatt minden y ∈ R(A) vektorhoz egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan x ∈ D, hogy y = Ax. Ez´ert Γ(A) = {(x, Ax) : x ∈ D} = {(A−1 y, y) : y ∈ R(A)}. Legyen S : X × Y → Y × X a koordin´ata-felcser´el˝o oper´ator, azaz S(x, y) := (y, x). Ez nyilv´ an izometria, emiatt z´art halmaz S-k´epe z´art, ´ıgy az S(Γ(A)) = {(y, A−1 y) : y ∈ R(A)} = Γ(A−1 ) halmaz z´art, vagyis A−1 z´art oper´ator. 4.24. T´ etel (z´ artgr´ af-t´ etel). Legyenek X, Y Banach-terek, A : X → Y line´ aris ´es z´ art oper´ ator. Ekkor A ∈ B(X, Y ). Bizony´ıt´ as. Mivel X ´es Y is Banach-t´er, ´ıgy X × Y is az. Mivel A z´art, ez´ert Γ(A) z´ art halmaz a szorzatt´erben. A z´arts´ag ´es a szorzatt´er teljess´ege miatt a gr´ af is Banach-t´er. Tekints¨ uk a P : Γ(A) → X lek´epez´est, mely egy (x, Ax) ∈ Γ(A) p´ arhoz x-et rendeli. Ekkor P line´aris, ´es korl´atos is, mert kP (x, Ax)k = kxk ≤ kxk + kAxk = k(x, Ax)k . Emellett P nyilv´ anval´ oan szuperjekt´ıv. Injekt´ıv is lesz, amihez a linearit´as miatt el´eg azt bel´ atni, hogy csak a (0, 0) elemet viszi az X t´er nullelem´ebe. Tegy¨ uk fel ugyanis, hogy P (x, Ax) = 0: ez P defin´ıci´oja szerint azt jelenti, ¨ hogy x = 0, ebb˝ ol viszont A linearit´asa miatt Ax = 0 is k¨ovetkezik. Osszess´eg´eben P : Γ(A) → X korl´ atos line´aris bijekci´o k´et Banach-t´er k¨oz¨ott, ekkor pedig a 4.14. t´etel szerint P −1 is korl´atos.
64
´ ris opera ´ torok norma ´ lt te ´rben 4. Folytonos linea
Ezek ut´ an m´ ar meg tudjuk mutatni, hogy A folytonos. Legyen (xn ) ⊂ X sorozat, xn → x ∈ X. Ekkor P −1 folytonoss´aga miatt P −1 xn → P −1 x, azaz (xn , Axn ) → (x, Ax). Ez azt jelenti, hogy kxn − xk + kAxn − Axk → 0, ebb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy Axn → Ax.
5. fejezet
Folytonos line´ aris funkcion´ alok Hilbert-t´ erben 5.1. Riesz reprezent´ aci´ os t´ etele P´elda folytonos line´ aris funkcion´ alra Hilbert-t´erben. Ha y ∈ H r¨ogz´ıtett vektor, akkor a φy : H → C, φy x := hx, yi lek´epez´es a skal´ arszorz´ as defin´ıci´oja miatt line´aris, ´es korl´atos is, ugyanis |φy x| = |hx, yi| ≤ kxk kyk
(∀x ∈ H).
Ebb˝ ol az is k¨ ovetkezik, hogy kφy k ≤ kyk. ´ ıt´ 5.1. All´ as. kφy k = kyk
(∀y ∈ H).
Bizony´ıt´ as. Az y = 0 eset trivi´alis, am´ ugy pedig kφy k = sup{|φy (x)| : kxk = 1} ≥ φy
y 1 = hy, yi = kyk . kyk kyk
Az al´ abbi nevezetes t´etel azt mondja ki, hogy a fenti p´eld´aval, vagyis adott vektorral t¨ ort´en˝ o skal´ arszorz´assal minden lehets´eges folytonos line´aris funkcion´ alt le´ırtunk. (Teh´ at ugyanaz a jellemz´es igaz, mint v´eges dimenzi´oban.)
65
´ ris funkciona ´ lok Hilbert-te ´rben 5. Folytonos linea
66
5.2. T´ etel (Riesz reprezent´ aci´ os t´ etele). Legyen H Hilbert-t´er. Ekkor minden φ : H → C folytonos line´ aris funkcion´ alhoz l´etezik egyetlen olyan y ∈ H, hogy φ = φy , azaz φx = hx, yi
(∀x ∈ H).
(5.1)
Bizony´ıt´ as. Ha φ ≡ 0, akkor y = 0 j´o lesz. Ha φ nem azonosan nulla, akkor a 3.3. ´ all´ıt´ as szerint ker φ val´odi (1 kodimenzi´os) z´art alt´er, ´ıgy a 2.16. t´etel szerint (ker φ)⊥ 6= {0}. Legyen z 6= 0, melyre z ∈ (ker φ)⊥ , ´es legyen x0 = (φx)z − (φz)x. Ekkor φx0 = 0, azaz x0 ∈ ker φ, teh´at hx0 , zi = 0. Ezt r´eszletesen ki´ırva 2
0 = hx0 , zi = h(φx)z − (φz)x, zi = φx kzk − φz hx, zi , vagyis φx =
φz hx, zi 2
kzk
D φz E = x, 2z , kzk
φz ahonnan y = kzk alaszt´ assal ad´odik (5.1). 2 z v´ Az egy´ertelm˝ us´eghez tegy¨ uk fel, hogy y1 , y2 a φ-hez tartoz´o reprezent´ans vektorok. Ekkor φx = hx, y1 i = hx, y2 i, vagyis hx, y1 − y2 i = 0 minden x ∈ H eset´en, ´ıgy y1 = y2 .
Az 5.1. ´ all´ıt´ as ´es 5.2. t´etel alapj´an a T : H → H ∗,
y 7→ φy
lek´epez´es normatart´ o (teh´ at izometria), valamint bijekci´o. A linearit´as azonban csak majdnem” teljes¨ ul, mivel a (5.1)-beli skal´arszorzatban y a h´ats´o ” helyen ´ all, ´ıgy ha c1 , c2 ∈ C ´es y1 , y2 ∈ H, akkor az hx, c1 y1 + c2 y2 i = c1 hx, y1 i + c2 hx, y2 i
(∀x ∈ H)
egyenl˝ os´eg alapj´ an T (c1 y1 + c2 y2 ) = φc1 y1 +c2 y2 = c1 φy1 + c2 φy2 = c1 T (y1 ) + c2 T (y2 ), azaz T konjug´ altan line´ aris lek´epez´es. Ez alapj´an azt mondjuk, hogy egy H Hilbert-t´er konjug´ altan izometrikus a H ∗ du´alis´aval, ´es u ´gy jel¨olj¨ uk, hogy H ∗ ≡∗ H. B´ ar ez nem teljesen a megszokott izometria, a kapott y 7→ φy megfeleltet´es r´ev´en a Hilbert-tereket azonos´ıthatjuk a du´alisukkal. A kapott eredm´enyb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy minden Hilbert-t´er reflex´ıv. K¨onnyen l´ athat´ o ugyanis, hogy a H → H ∗ ´es H ∗ → H ∗∗ k¨ozti konjug´altan line´aris izometri´ ak kompoz´ıci´ oja m´ ar line´aris izometria, ´ıgy H izometrikus H ∗∗ -gal.
´rben 5.2. Gyenge konvergencia Hilbert-te
67
5.2. Gyenge konvergencia Hilbert-t´ erben Gyenge konvergenci´ aval a 3.3. szakasz (b) r´esz´eben foglalkoztunk. A 3.14. defin´ıci´ o a Riesz-f´ele reprezent´aci´os t´etel alapj´an skal´arszorzattal ´ırhat´o fel: 5.3. K¨ ovetkezm´ eny. Legyen H Hilbert-t´er. Egy (xn ) ⊂ H sorozat pontosan akkor tart gyeng´en az x ∈ H vektorhoz, ha hxn , yi → hx, yi
(∀y ∈ H).
L´ attuk, hogy az er˝ os konvergenci´ab´ol k¨ovetkezik a gyenge konvergencia, azaz ha xn → x er˝ os ´ertelemben (vagyis norm´aban), akkor a folytonoss´ag miatt φxn → φx minden φ ∈ X ∗ eset´en. A megford´ıt´as azonban nem igaz: w
´ ıt´ 5.4. All´ as. Ha {en }n∈N teljes ortonorm´ alt rendszer H-ban, akkor en −→ 0. Norm´ aban azonban en 9 0, s˝ ot nem is konvergens. Bizony´ıt´ as. A Parseval-egyenl˝os´eg (2.29. a´ll´ıt´as) szerint tetsz˝oleges x ∈ X ∞ P w 2 eset´en |hx, en i| < ∞, ´ıgy hx, en i → 0. Ez azt jelenti, hogy en −→ 0. Az n=1
viszont vil´ agos, hogy ken k = 1 miatt en 9 0 norm´aban. S˝ot, mivel n 6= m 2 2 2 eset´en ken − em k = ken k + kem k = 2, ez´ert (en ) nem Cauchy-sorozat, ´ıgy nem is konvergens. A fenti ´ all´ıt´ as b´ armely {en }n∈N ortonorm´alt rendszerre is igaz, mivel ut´obbi teljes a span{en }n∈N t´erben, ´ıgy az ´all´ıt´ast ut´obbiban haszn´aljuk fel. Hilbert-t´erben az er˝ os ´es a gyenge konvergencia kapcsolat´at az al´abbi t´etel jellemzi. 5.5. T´ etel. Legyen (xn ) ⊂ H, x ∈ H. Ekkor i) kxn k → kxk kxn − xk → 0 ⇐⇒ w ii) xn −→ x. Bizony´ıt´ as. (⇒) Ezt m´ ar tudjuk (a norma ´es a skal´arszorz´as folytonoss´ag´ab´ ol). (⇐) Tegy¨ uk fel, hogy i) ´es ii) teljes¨ ul, ekkor 2
2
2
kxn − xk = hxn − x, xn − xi = kxn k + kxk − hxn , xi − hx, xn i → 0, 2
ugyanis a gyenge konvergencia miatt hxn , xi → hx, xi = kxk .
Az el˝ oz˝ oek szerint v´egtelen dimenzi´os t´erben a z´art egys´egg¨omb korl´atos ugyan, de nem sorozatkompakt, mert egy ortonorm´alt rendszerb˝ol nem lehet
´ ris funkciona ´ lok Hilbert-te ´rben 5. Folytonos linea
68
kiv´ alasztani konvergens r´eszsorozatot. Vagyis a Bolzano–Weierstrass t´etel ´altal´ aban nem marad ´erv´enyben. Ez a tulajdons´ag m´egis megmenthet˝o, mert gyenge ´ertelemben m´ ar igaz. 5.6. T´ etel. Hilbert-t´erben minden korl´ atos sorozatnak van gyeng´en konvergens r´eszsorozata. Bizony´ıt´ as. Legyen (xn ) ⊂ H korl´atos sorozat, melyre teh´at kxn k ≤ C valamilyen C > 0 sz´ amra. Legyen H0 := [(xn )] az (xn ) ´altal gener´alt z´art alt´er. Legyen H1 = H0⊥ , ´ıgy a 2.16. t´etel szerint H = H0 ⊕ H1 . Az (hx1 , xn i) sz´ amsorozat a CSB-egyenl˝otlens´eg szerint korl´atos, van teh´at olyan (x1n ) ⊂ (xn ) r´eszsorozat, hogy l´etezik lim x1 , x1n . n→∞
Az x2 , x1n sz´ amsorozat szint´ e n korl´ a tos, van teh´at olyan (x2n ) ⊂ (x1n )
r´eszsorozat, hogy l´etezik lim x2 , x2n . n→∞
2 1 Az elj´ ar´ ast folytatva egy olyan
(xnk) ⊃ (xn ) ⊃ (xn ) ⊃ . . . r´eszsorozat-l´ancot kapunk, melyre l´etezik lim xk , xn minden r¨ogz´ıtett k = 1, 2, . . . eset´en. n→∞
Legyen zn := xnn . A (zn ) sorozat r´eszsorozata (xn )-nek ´es a konstrukci´o szerint (zn ) minden r¨ ogz´ıtett k-ra az els˝o n´eh´any (legfeljebb k) tagt´ol eltekintve r´eszsorozata (xkn )-nak, ´ıgy l´etezik lim hxk , zn i minden k-ra. A hat´ar´ert´ek n→∞ nyilv´ an a sorozat tagjainak tetsz˝oleges v´eges line´aris kombin´aci´oj´ara is l´etezik. Legyen φn y := hy, zn i a [(xn )] line´aris burkon ´ertelmezett line´aris funkcion´ al, melyre kφn k ≤ C, teh´ at korl´atos is n-t˝ol f¨ uggetlen korl´attal. A φy := lim φn y egyenl˝ os´eggel defini´alt φ funkcion´al szint´en line´aris ´es folytonos. n→∞ Terjessz¨ uk ki ˝ oket a 3.4. ´ all´ıt´ as seg´ıts´eg´evel Φn , Φ : H0 → C folytonos line´aris funkcion´ alokk´ a normatart´ o m´odon. Ekkor a Φn ∈ H0∗ funkcion´ alok egyenletesen korl´atosak ´es Φn → Φ pontonk´ent [(xn )]-en, ´ıgy az 4.6. t´etel szerint Φn → Φ pontonk´ent eg´esz H0 -on, speci´ alisan minden y ∈ H0 eset´en l´etezik lim hy, zn i = Φy. A Φ : H0 → C n→∞ funkcion´ al line´ aris ´es folytonos is a H0 Hilbert-t´eren, ez´ert Riesz reprezent´aci´ os t´etele szerint l´etezik z˜ ∈ H0 , hogy lim hy, zn i = hy, z˜i minden y ∈ H0 w
n→∞
eset´en, azaz zn −→ z˜ H0 -on. M´ar csak az kell, hogy ez H-n is igaz. Legyen teh´ at y ∈ H tetsz˝ oleges, y = y0 + y1 , ahol y0 ∈ H0 ´es y1 ∈ H1 . Ekkor y1 = y − y0 ⊥ H0 miatt hzn − z˜, y − y0 i = 0. Ezt kifejtve 0 = hzn , yi − hzn , y0 i − h˜ z , yi + h˜ z , y0 i , ´es felhaszn´ alva, hogy hy0 , zn i → hy0 , z˜i, k¨ovetkezik, hogy hzn , yi → h˜ z , yi w minden y ∈ H eset´en, azaz zn = xnn −→ z˜.
6. fejezet
Folytonos line´ aris oper´ atorok Hilbert-t´ erben Ebben a r´eszben A : H → H folytonos line´aris oper´atorokkal foglalkozunk. A tov´ abbiakban jel¨ olje r¨ oviden B(H) a B(H, H) teret. Hilbert-t´erben folytonos line´aris oper´ator eset´en nem jelent megszor´ıt´ast, hogy az eg´esz t´eren ´ertelmezz¨ uk, ugyanis ha eredetileg csak alt´eren ´ertelmezt¨ uk, akkor l´etezik term´eszetes kiterjeszt´ese az eg´esz t´erre: ´ ıt´ 6.1. All´ as. Ha A : H ⊃→ H folytonos line´ aris oper´ ator, akkor l´etezik ˜ A : H → H folytonos line´ aris, s˝ ot normatart´ o kiterjeszt´ese. Bizony´ıt´ as. (i) El˝ osz¨ or D(A) lez´artj´ara terjesztj¨ uk ki az oper´atort az x 7→ lim Axn k´eplettel, ahol x ∈ D(A) eset´en (xn ) ⊂ D(A) olyan sorozat, melyre n→∞ xn → x. A 3.4 lemma mint´ aj´ara k¨onnyen bel´athat´o, hogy ez a limesz l´etezik ´es nem f¨ ugg az (xn ) sorozat v´alaszt´as´at´ol, valamint a kiterjesztett oper´ator line´ aris ´es norm´ aja azonos A norm´aj´aval. (ii) Most m´ ar feltehet˝ o, hogy D(A) z´art. Legyen x ∈ H tetsz˝oleges. A 2.16. t´etel alapj´ an x fel´ırhat´ o x = x1 + x2 alakban, ahol x1 ∈ D(A) ´es x2 ∈ ˜ := Ax1 (azaz a D(A)⊥ komplementeren 0 ´ert´eket adunk). D(A)⊥ . Legyen Ax Nyilv´ anval´ o, hogy A˜ line´ aris ´es kiterjeszt´ese A-nak. Emellett a norm´aj´at sem n¨ ovelheti, mert ˜ = kAx1 k ≤ kAkkx1 k ≤ kAkkxk, kAxk ahol a v´eg´en a 2.17. megjegyz´est haszn´altuk. 69
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
70
6.1. Adjung´ alt oper´ ator, speci´ alis oper´ atort´ıpusok ´ ıt´ 6.2. All´ as. B´ armely A ∈ B(H) eset´en l´etezik egyetlen olyan A∗ ∈ B(H), melyre hAx, yi = hx, A∗ yi (∀x, y ∈ H). Ezt az A∗ oper´ atort az A adjung´ altj´ anak nevezz¨ uk. Bizony´ıt´ as. Legyen y ∈ H r¨ogz´ıtett. Ekkor a ψy : H → C, ψy x := hAx, yi line´ aris funkcion´ al korl´ atos is, mert |ψy x| ≤ kAxk kyk ≤ (kAk kyk) kxk
(∀x ∈ H).
Riesz reprezent´ aci´ os t´etele szerint l´etezik egyetlen y ∗ ∈ H, hogy ψy x = hx, y ∗ i minden x ∈ H-ra. Legyen A∗ : H → H az a lek´epez´es, melyre A∗ y := y ∗ , erre igaz az hAx, yi = hx, A∗ yi k´eplet. Igazolnunk kell m´eg, hogy A∗ folytonos line´ aris. A linearit´ ast a skal´ arszorzat tulajdons´agaib´ol, a korl´atoss´agot pedig az kA∗ yk = ky ∗ k = kψy k ≤ kAk kyk becsl´esb˝ ol kapjuk, ahol a k¨ oz´eps˝o l´ep´es az 5.1. ´all´ıt´asb´ol k¨ovetkezik.
∗
A bizony´ıt´ asb´ ol az is kij¨ ott, hogy kA k ≤ kAk, val´oj´aban azonban t¨obb is igaz. ∗ ´ ıt´ 6.3. All´ as. B´ armely A ∈ B(H) eset´en A∗∗ := (A∗ ) = A ´es kA∗ k = kAk.
Bizony´ıt´ as. Mivel hAx, yi = hx, A∗ yi = hA∗∗ x, yi (∀x, y ∈ H), ez´ert Ax = ∗∗ A x (∀x ∈ H), azaz A = A∗∗ . A norm´akra vonatkoz´o egyenl˝otlens´eget figyelembev´eve kAk = kA∗∗ k ≤ kA∗ k ≤ kAk , azaz mindenhol egyenl˝ os´egnek kell teljes¨ ulnie. ´ ıt´ 6.4. All´ as. Ha A, B ∈ B(H), λ ∈ K, akkor ∗
1. (A + B) = A∗ + B ∗ , ∗
2. (λA) = λA∗ , ∗
3. (AB) = B ∗ A∗ , 2
4. kAk = kA∗ Ak
(C ∗ -tulajdons´ ag).
´ lt opera ´ tor, specia ´ lis opera ´ tort´ıpusok 6.1. Adjunga
71
Bizony´ıt´ as. Az els˝ o h´ arom az adjung´altat defini´al´o egyenl˝os´egb˝ol azonnal ad´ odik. A 4.-hez egyr´eszt 2
kAxk = hAx, Axi = hx, A∗ Axi ≤ kxk kA∗ Axk ≤ kA∗ Ak kxk
2
2
ad´ odik, amib˝ ol kAk ≤ kA∗ Ak k¨ovetkezik; visszafel´e, az el˝oz˝o ´all´ıt´ast haszn´ alva 2 kA∗ Ak ≤ kA∗ k kAk = kAk . 6.5. T´ etel. (Oper´ atorokra vonatkoz´ o ortogon´ alis felbont´ as). B´ armely A ∈ B(H) eset´en H el˝ o´ all R(A) ⊕ ker(A∗ ) = H ortogon´ alis direkt ¨ osszeg alakj´ aban. Bizony´ıt´ as. Mivel R(A) z´ art altere H-nak, a 2.16. t´etel miatt el´eg bel´atni, ⊥
hogy R(A) = ker(A∗ ). Ez az al´abbi ekvivalenci´akb´ol k¨ovetkezik: ⊥
y ∈ R(A)
⇔ y ⊥ R(A) ⇔ y ⊥ R(A) ⇔ hy, Axi = 0 ∀x ∈ H ⇔
⇔ hA∗ y, xi = 0 ∀x ∈ H ⇔ A∗ y = 0 ⇔ y ∈ ker(A∗ ).
6.6. Defin´ıci´ o. Egy A ∈ B(H) oper´ator • ¨ onadjung´ alt, ha A = A∗ ; • izometrikus, ha kAxk = kxk (∀x ∈ X); • unit´er, ha izometrikus ´es szuperjekt´ıv; • projektor, ha van olyan K ⊂ H z´art alt´er, hogy minden x ∈ H eset´en Ax = xK ; • norm´ alis, ha AA∗ = A∗ A. 6.7. Megjegyz´ es. Minden ¨onadjung´alt oper´ator norm´alis. Emellett l´atni fogjuk a 6.3 ill. 6.4. szakaszokban, hogy minden projektor ¨onadjung´alt, tov´abb´ a A pontosan akkor unit´er, ha A bijekci´o ´es A−1 = A∗ . ´Igy ezek is norm´alis oper´ atorok. 6.8. Megjegyz´ es. (Adjung´ alt k¨ ul¨onb¨oz˝o terek k¨ozt.) A 6.2. ´all´ıt´as ugyanu ´gy igazolhat´ o k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o H, K Hilbert-terek k¨oz¨ott is, azaz b´armely A ∈ B(H, K) eset´en l´etezik egyetlen olyan A∗ ∈ B(K, H), melyre hAx, yi = hx, A∗ yi (∀x ∈ H, y ∈ K). (S˝ot, b´armely X, Y Banach-terek ´es A ∈ B(X, Y ) eset´en is l´etezik egyetlen olyan A∗ ∈ B(Y ∗ , X ∗ ), melyre az anal´og formula teljes¨ ul, skal´ arszorzat helyett funkcion´al alkalmaz´asa ´ertelm´eben; ezt az A∗ -ot Banach-adjung´ altnak h´ıvjuk.)
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
72
¨ 6.2. Onadjung´ alt oper´ atorok Az ¨ onadjung´ alt oper´ ator defin´ıci´oja u ´gy ´ırhat´o, hogy hAx, yi = hx, Ayi
(∀x ∈ H),
legt¨ obbsz¨ or ezt haszn´ aljuk. A k¨ovetkez˝o jellemz´esben fontos, hogy H komplex Hilbert-t´er. ´ ıt´ 6.9. All´ as. Egy A ∈ B(H) oper´ ator pontosan akkor ¨ onadjung´ alt, ha kvadratikus alakja val´ os, azaz ha hAx, xi ∈ R (∀x ∈ H). Bizony´ıt´ as. Legyen A ∈ B(H) ¨onadjung´alt. Ekkor hAx, xi = hx, A∗ xi = hx, Axi = hAx, xi, vagyis hAx, xi val´ os. Megford´ıtva, tegy¨ uk fel, hogy a kvadratikus alak val´os ´ert´ek˝ u. Ekkor b´armely x, y ∈ H eset´en hA(x + y), x + yi = hAx, xi + hAx, yi + hAy, xi + hAy, yi, {z } | {z } | {z } | ∈R
∈R
∈R
teh´ at hAx, yi + hAy, xi val´ os. Emiatt a k´epzetes r´esz¨ uk egym´as ellentettje, ´ıgy Im hAx, yi = −Im hAy, xi = Im hx, Ayi . (6.1) Mivel x tetsz˝ oleges volt, ez ´erv´enyes ix-re is, azaz Im hA(ix), yi = Im hix, Ayi, vagyis a Re z = Im (iz) azonoss´ag r´ev´en Re hAx, yi = Im (i hAx, yi) = Im (i hx, Ayi) = Re hx, Ayi .
(6.2)
A k´et egyenl˝ os´egb˝ ol ad´ odik, hogy hAx, yi = hx, Ayi, teh´at A ¨onadjung´alt. Ez az ´ all´ıt´ as nyilv´ anval´ oan nem igaz val´os Hilbert-t´erben, hiszen ott sem minden oper´ ator ¨ onadjung´ alt. A k¨ ovetkez˝ o fontos t´etel el˝ ott megeml´ıtj¨ uk, hogy tetsz˝oleges A ∈ B(H) oper´ ator norm´ aja kifejezhet˝ o biline´aris form´aval, ami 2.4. ´all´ıt´as oper´atorokra val´ o anal´ ogi´ aja: ´ ıt´ 6.10. All´ as. B´ armely A ∈ B(H) eset´en kAk = sup{| hAx, yi | : x, y ∈ H, kxk = kyk = 1}.
¨ ´ lt opera ´ torok 6.2. Onadjung a
73
Bizony´ıt´ as. Az kAk = sup{kAxk : x ∈ H, kxk = 1} egyenl˝os´egben kAxk-ra alkalmazzuk a 2.4. ´ all´ıt´ ast. ¨ (Ebb˝ ol is levezethet˝ o az kA∗ k = kAk azonoss´ag.) Onadjung´ alt oper´ator eset´en ugyanezt el´eg kvadratikus alakkal fel´ırni: 6.11. T´ etel. Ha A ∈ B(H) ¨ onadjung´ alt, akkor kAk = sup {|hAx, xi| : kxk = 1} . Bizony´ıt´ as. Legyen F1 := {x ∈ H : kxk = 1} az egys´egg¨omb felsz´ıne, α := sup |hAx, xi|. Be kell l´ atnunk, hogy kAk = α. F1 2
Mivel minden x ∈ F1 eset´en |hAx, xi| ≤ kAk kxk = kAk, ez´ert szupr´emumot v´eve kapjuk, hogy α ≤ kAk. A m´ asik ir´ anyhoz legyen x, y, z ∈ H tetsz˝oleges. Ekkor D z z E 2 2 , |hAz, zi| = A kzk ≤ α kzk , kzk kzk illetve A ¨ onadjung´ alts´ ag´ at haszn´alva hA(x + y), x + yi − hA(x − y), x − yi = 2(hAx, yi + hAy, xi) = 2(hAx, yi + hAx, yi) = 4Re hAx, yi . Ezekb˝ ol ´es a parallelogramma-szab´alyb´ol ad´odik a 1 1 2 2 2 2 Re hAx, yi ≤ α kx + yk + kx − yk = α kxk + kyk 4 2 becsl´es. Amennyiben x, y ∈ F1 , akkor az utols´o tag ´eppen α, azaz Re hAx, yi ≤ Ax α. Legyen most x ∈ F1 tetsz˝ oleges, y := kAxk ∈ F1 . Ekkor D Ax E Re hAx, yi = Re Ax, = kAxk ≤ α, kAxk azaz kAk = sup{kAxk : kxk = 1} ≤ α.
6.12. Ko eny. Ha A ∈ B(H) olyan, hogy hAx, xi = 0 minden x ∈ ¨vetkezm´ H-ra, akkor A = 0. Bizony´ıt´ as. A felt´etel szerint hAx, xi val´os minden x ∈ H eset´en, ´ıgy a 6.9. all´ıt´ ´ as szerint A o alt, ez´ert a 6.11. t´etel szerint kAk = 0, teh´at A = 0. ¨nadjung´ Ennek A = B − C eset´ere val´o ´atfogalmaz´asa:
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
74
6.13. Ko eny. Ha B, C ∈ B(H) ´es hBx, xi = hCx, xi minden x ∈ ¨vetkezm´ H-ra, akkor B = C. Ez a k´et ´ all´ıt´ as sem igaz val´os Hilbert-t´erben: pl. R2 -ben egy der´eksz¨og˝ u forgat´ as m´ atrix´ anak kvadratikus alakja azonosan 0, hiszen a k´ep mindig mer˝ oleges az eredeti vektorra. A 6.11. t´etel seg´ıts´eg´evel r¨ ovid bizony´ıt´as adhat´o a 6.4. t´etelben szerepl˝o C ∗ tulajdons´ agra. 2 ´ ıt´ 6.14. All´ as. Tetsz˝ oleges A ∈ B(H) eset´en kA∗ Ak = kAk .
Bizony´ıt´ as. Mivel A∗ A ¨ onadjung´alt, ´ıgy 2
2
kA∗ Ak = sup |hA∗ A, xi| = sup |hAx, Axi| = sup kAxk = kAk . x∈F1
x∈F1
x∈F1
6.15. Megjegyz´ es. Ha az oper´ator nem ¨onadjung´alt, akkor a 6.11. t´etel helyett a k¨ ovetkez˝ o mondhat´o. Tetsz˝oleges A ∈ B(H) eset´en a W (A) := {hAx, xi : kxk = 1} ⊂ C halmazt az A oper´ator numerikus ´ert´ekk´eszlet´enek, a w(A) := sup{|hAx, xi| : kxk = 1} ∈ R sz´amot A numerikus sugar´anak nevezz¨ uk. Igazolhat´ o, hogy tetsz˝oleges A ∈ B(H) eset´en 21 kAk ≤ w(A) ≤ kAk, ha viszont A ∈ B(H) norm´alis, akkor ´erv´enyben marad a 6.11. t´etel, azaz w(A) = kAk, l´ asd [9]. 6.16. Defin´ıci´ o. Egy A ∈ B(H) oper´ator • pozit´ıv, ha hAx, xi ≥ 0 (∀x ∈ H), • szigor´ uan pozit´ıv, ha hAx, xi > 0 (∀x ∈ H, x 6= 0), • egyenletesen pozit´ıv, ha van olyan m > 0, hogy (∀x ∈ H).
hAx, xi ≥ m kxk
2
A fent defini´ alt oper´ atorok ¨ onadjung´altak, mert a kvadratikus alakjuk val´os. A pozit´ıv oper´ ator elnevez´es annak ellen´ere honosodott meg, hogy a kvadratikus alakja csak nemnegat´ıv. 6.17. Defin´ıci´ o. Legyen A, B ∈ B(H). Azt mondjuk, hogy A ≥ B, ha A − B ≥ 0, azaz A − B pozit´ıv oper´ator. 6.18. Megjegyz´ es. Az A ≥ B egyenl˝otlens´eg teh´at azt jelenti, hogy hAx, xi ≥ hBx, xi (∀x ∈ H). Ebb˝ ol ´es a 6.13. k¨ovetkezm´enyb˝ol ad´odik, hogy a fenti rel´ aci´ o r´eszbenrendez´est defini´al B(H)-ban.
¨ ´ lt opera ´ torok 6.2. Onadjung a
75
6.19. Defin´ıci´ o. Legyen A ∈ B(H) szigor´ uan pozit´ıv oper´ator. Ekkor az hx, yiA := hAx, yi skal´ arszorzatot az A oper´atorhoz tartoz´o energia-skal´ ar1/2 szorzatnak, az induk´ alt kxkA = hAx, xi norm´at energianorm´ anak nevezz¨ uk. (K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy h., .iA val´oban skal´arszorzat.) 2
Az energianorma mindig gyeng´ebb az eredetin´el, hiszen kxkA = hAx, xi ≤ 2 kAk kxk . Egyenletesen pozit´ıv oper´ator eset´en ez ford´ıtva is igaz, ugyanis ek2 2 kor kxkA = hAx, xi ≥ m kxk , ´ıgy a k´et norma ekvivalens. Az 1.10. ´all´ıt´asb´ol fakad ekkor a 6.20. K¨ ovetkezm´ eny. Egyenletesen pozit´ıv oper´ ator eset´en (H, k·kA ) is Hilbert-t´er. V´eg¨ ul, a 2.4 ´ all´ıt´ as energianorm´ara is fenn´all: ´ ıt´ 6.21. All´ as. Legyen A ∈ B(H) szigor´ uan pozit´ıv oper´ ator. Ekkor b´ armely x ∈ H eset´en kxkA = sup{ | hx, yiA | : y ∈ H, kykA = 1}. Az egyenletes pozitivit´ as tulajdons´aga a k¨ovetkez˝ok´epp ´altal´anos´ıthat´o. 6.22. Defin´ıci´ o. Egy A ∈ B(H) oper´atort koerc´ıvnek h´ıvunk, ha l´etezik m > 0, hogy 2 Re hAx, xi ≥ m kxk (∀x ∈ H). 6.23. Megjegyz´ es. Ha H val´os Hilbert-t´er, akkor a fenti defin´ıci´oban Re” ” elhagyhat´ o, de ilyenkor a koercivit´as nem vonja maga ut´an az ¨onadjung´alts´agot. A k´et eset megk¨ ul¨ onb¨ oztet´es´ere az egyenletesen pozit´ıv” kifejez´est val´os ” Hilbert-t´erben is csak akkor haszn´aljuk, ha az oper´ator egyidej˝ uleg koerc´ıv ´es ¨ onadjung´ alt is.
P´ elda o alt, ill. pozit´ıv oper´ atorra. (Integr´aloper´ator) ¨nadjung´ 2 Legyen I = [a, b], H := L (I), valamint K ∈ L2 (I × I) adott val´os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny ´es A : H → H a k¨ ovetkez˝o: Z (Au) (x) =
b
K(x, s)u(s)ds
(u ∈ L2 (I)).
a
´ ıt´ 6.24. All´ as. A fenti felt´etelekkel (1) A ∈ L2 (I) → L2 (I) korl´ atos line´ aris oper´ ator. (2) Ha K szimmetrikus, azaz K(x, y) = K(y, x), akkor A ¨ onadjung´ alt.
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
76
(3) Ha K u ´gynevezett pozit´ıv magf¨ uggv´eny, azaz l´etezik N ∈ L2 (I ×I) val´ os f¨ uggv´eny, hogy Z b K(x, y) = N (x, s)N (y, s)ds, a
akkor A pozit´ıv oper´ ator. Bizony´ıt´ as. A linearit´ as k¨onnyen l´athat´o, a folytonoss´aghoz legyen u ∈ L2 (I), ekkor a CSB-egyenl˝ otlens´eget alkalmazva 2 Z b Z b 2 K(x, s)u(s)ds dx ≤ kAukL2 (I) = a a ! Z Z Z b
b
a
Z
b
u2 (s)ds
a
dx =
a
b
Z
2
2
2
K 2 (x, s)ds dx · kukL2 (I) = kKkL2 (I×I) · kukL2 (I) ,
= a
b
K 2 (x, s)ds ·
≤
a
azaz kAuk ≤ kKk kuk, ´ıgy A folytonos is. Ha K szimmetrikus, akkor Z b Z bZ b (Au)v = hAu, viL2 = K(x, s)u(s)ds v(x) dx = a
a
b
Z =
K(x, s)u(s)v(x) dxds = a
Z =
b
a
b
Z u(s)
a
b
Z
Z K(s, x)v(x) dxds =
a
a
a
b
u(s)(Av)(s)ds = hu, AviL2 .
Rb V´eg¨ ul ha K pozit´ıv magf¨ uggv´eny, akkor legyen (Cu)(x) := a N (x, s)u(s)ds. Ekkor Z bZ b Z bZ b hCu, viL2 = N (x, s)u(s)ds v(x) dx = N (x, s)u(s)v(x) dxds = a
a
Z =
a
b
b
Z u(s)
a
D E ˆ N (x, s)v(x) dxds = u, Cv
L2
a a Rb N (x, s)v(x) a ∗ ˆ
,
ˆ dx. Ez a Cˆ teljes´ıti az adjung´alt defin´ıci´os ahol (Cv)(s) := egyenl˝ os´eg´et, ´ıgy C = C . V´eg¨ ul vegy¨ uk ´eszre, hogy Z b Z b (Au)(x) = N (x, s)N (y, s)ds u(y) dy = a
Z =
b
a
Z N (x, s)
a
´ıgy
b
N (y, s)u(y) dyds = (CC ∗ u)(x),
a 2
hAu, uiL2 = hCC ∗ u, uiL2 = kC ∗ ukL2 ≥ 0.
6.3. Projektorok
77
6.3. Projektorok 6.25. Defin´ıci´ o. A P ∈ B(H) oper´ator projektor (vagy ortogon´alis projekci´ o), ha l´etezik K ⊂ H z´ art alt´er, hogy minden x ∈ H eset´en P x = xK , azaz x vet¨ ulete K-ra. A K alteret is felt¨ untetve jel¨olje PK a K-ra val´o ortogon´alis projekci´ ot. Azaz, ha x = xK + xK ⊥ , ahol xK ∈ K ´es xK ⊥ ∈ K ⊥ , akkor PK : x 7→ xK . ´ ıt´ 6.26. All´ as. Ha K 6= {0} z´ art alt´er, akkor kPK k = 1. Bizony´ıt´ as. Mivel kPK xk = kxK k ≤ kxk, ez´ert kPK k ≤ 1, ´es ha 0 6= x ∈ K, akkor kPK xk = kxk, azaz kPK k = 1. ´ ıt´ 6.27. All´ as. Egy A ∈ B(H) oper´ ator pontosan akkor projektor, ha idempotens (azaz A2 = A) ´es ¨ onadjung´ alt (s˝ ot pozit´ıv). 2 Bizony´ıt´ as. Legyen el˝ osz¨ or A = PK . Ekkor PK x = PK (PK x) = PK (xK ) = xK = PK x, teh´ at PK idempotens, valamint 2
2
hPK x, xi = hxK , xK + xK ⊥ i = kxK k + hxK , xK ⊥ i = kxK k ≥ 0, ´ıgy PK pozit´ıv ´es ez´ert ¨ onadjung´alt. Legyen most A idempotens ´es ¨onadjung´alt. Legyen K := R(A), megmutatjuk, hogy K z´ art ´es A = PK . A z´ arts´aghoz az kell, hogy ha egy (Axn ) ⊂ K sorozatra l´etezik y = lim Axn ∈ H, akkor y ∈ K, ez pedig igaz, mert y = lim Axn = lim A2 xn = A(lim Axn ) = Ay ∈ K. Legyen most x ∈ H tetsz˝oleges, igazoljuk, hogy Ax = PK x, azaz Ax = xK . Itt Ax ∈ K, ´es a 2.17. megjegyz´es (ii) pontja szerint azt kell m´eg bel´atnunk, hogy Ax−x ⊥ K, azaz hAx−x, Ayi = 0 (∀y ∈ H). Ez igaz, mert hAx, Ayi = hx, A∗ Ayi = hx, A2 yi = hx, Ayi.
6.4. Izometrikus ´ es unit´ er oper´ atorok 6.28. Defin´ıci´ o. Az A ∈ B(H) oper´ator izometrikus, ha minden x ∈ H eset´en kAxk = kxk. 6.29. Megjegyz´ es. (i) Ha A ∈ B(H) izometrikus, akkor A injekt´ıv, kAk = 1 ´es A−1 is izometrikus R(A)-r´ol H-ra, ´ıgy korl´atos is. (ii) Az R(A) k´ept´er nem felt´etlen¨ ul az eg´esz H, p´eld´aul `2 -n az A(x1 , x2 , x3 , . . .) := (0, x1 , x2 , . . .) eltol´ as-oper´ator (shift) izometrikus, de nem szuperjekt´ıv. 6.30. Defin´ıci´ o. Az U ∈ B(H) oper´ator unit´er, ha izometrikus ´es szuperjekt´ıv is.
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
78
Mivel egy izometrikus oper´ ator eleve injekt´ıv, ´ıgy egy unit´er oper´ator val´oj´aban izometrikus bijekci´ o. ´ ıt´ 6.31. All´ as. Egy A ∈ B(H) izometrikus oper´ ator skal´ arszorzattart´ o is, azaz hAx, Ayi = hx, yi (∀x, y ∈ H). Bizony´ıt´ as. ´Irjuk fel a 2.13. ´all´ıt´asban szerepl˝o polariz´aci´os egyenl˝os´eget: hAx, Ayi =
3
2 1 X k i Ax + ik Ay = 4 k=0
=
3 3
2 2 1 X k 1 X k i A x + ik y = i x + ik y = hx, yi . 4 4 k=0
k=0
Visszafel´e, a skal´ arszorzattart´asb´ol trivi´alisan k¨ovetkezik az izometria (x = y helyettes´ıt´essel), ´ıgy e k´et tulajdons´ag ekvivalens. ´ ıt´ 6.32. All´ as. Egy U ∈ B(H) oper´ ator pontosan akkor unit´er, ha U bijekci´ o ´es U −1 = U ∗ . Bizony´ıt´ as. A fentiek alapj´an az ´all´ıt´as u ´gy fogalmazhat´o ´at, hogy egy U bijekci´ o pontosan akkor izometrikus, ha U −1 = U ∗ , azaz ha U ∗ U = I. Val´ oban, U pontosan akkor izometrikus, ha skal´arszorzattart´o, vagyis ha hU ∗ U x, yi ≡ hU x, U yi = hx, yi (∀x, y ∈ H), ez pedig ekvivalens azzal, hogy U ∗ U = I. P´ elda unit´ er oper´ atorra: a Fourier-transzform´ aci´ o Fontos p´elda unit´er oper´ atorra a Fourier-transzform´aci´o, melynek fogalm´at v´ azlatosan ismertetj¨ uk. E transzform´aci´o tulajdons´agai ´es alkalmaz´asai r´eszletesen olvashat´ ok a [67] k¨ onyvben. 6.33. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ L1 (Rn ). Ekkor az Z 1 ˆ f (x) := eix·y f (y) dy (2π)n/2 Rn
(x ∈ Rn )
(6.3)
osszef¨ ugg´essel defini´ alt fˆ f¨ uggv´enyt az f Fourier-transzform´ altj´ anak nevez¨ z¨ uk. Az f ∈ L1 (Rn ) felt´etel biztos´ıtja, hogy az integr´al ´ertelmes. A Fouriertranszform´ aci´ ot ki lehet terjeszteni L2 (Rn )-re is, ez az u ´n. Plancherel-t´etel: van olyan F : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) lek´epez´es (´ un. Fourier-Plancherel-transzform´ aci´ o), hogy minden f ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) eset´en Ff = fˆ. Itt az Ff
´ te ´rte ´k e ´s spektrum 6.5. Saja
79
f¨ uggv´enyre is ´erv´enyben tarthat´o a (6.3) k´eplet, ha mint Cauchy-f˝o´ert´eket ´ertj¨ uk, azaz orig´ o k¨ ozep˝ u g¨ omb¨ok¨on vett integr´alok limeszek´ent: Z 1 lim eix·y f (y) dy. (Ff )(x) = (2π)n/2 r→∞ Br (0) 6.34. T´ etel. (1) Az F : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) lek´epez´es line´ aris bijekci´ o, ´es Z 1 e−ix·y f (y) dy (x ∈ Rn ), (F −1 f )(x) = (2π)n/2 Rn ha f ∈ L1 (Rn )∩L2 (Rn ), am´ ugy pedig a fenti k´eplet szint´en Cauchy-f˝ o´ert´ekk´ent ´ertend˝ o. (2) F izometrikus, azaz kFf kL2 (Rn ) = kf kL2 (Rn ) (∀f ∈ L2 (Rn )). Teh´ at az F lek´epez´es unit´er L2 (Rn )-ben.
6.5. Saj´ at´ ert´ ek ´ es spektrum A spektrum, ezen bel¨ ul a saj´at´ert´ekek fogalma a line´aris oper´atorok fontos jellemz˝ oje. Ennek seg´ıts´eg´evel lehets´eges ugyanis bizonyos oper´atorok olyan el˝ o´ all´ıt´ asa, amely anal´ og a szimmetrikus m´atrixokra ismert f˝otengelyt´etellel: az ezekr˝ ol sz´ ol´ o eredm´enyekr˝ol a 6.7.1. szakaszban lesz sz´o. (Megeml´ıtj¨ uk a saj´ at´ert´ekek egy fizikai interpret´aci´oj´at, b´ar ez els˝osorban nem korl´atos oper´ atorokkal kapcsolatos: a kvantummechanik´aban a megfigyelhet˝o mennyis´egeket reprezent´ al´ o oper´ atorok saj´at´ert´ekei a mennyis´eg lehets´eges ´ert´ekei.) Ebben a fejezetben legyen X komplex Banach-t´er ´es A : X → X korl´atos line´ aris oper´ ator, azaz A ∈ B(X). A t´etelek nagy r´esze ugyanis ´epp´ ugy igaz lesz, mint Hilbert-t´erben; ott szor´ıtkozunk csak Hilbert-t´erre, ahol ¨onadjung´ alt vagy m´ as Hilbert-t´erbeli oper´atort´ıpusr´ol esik sz´o.
6.5.1. Alaptulajdons´ agok 6.35. Defin´ıci´ o. Egy A ∈ B(X) oper´atornak a λ ∈ C sz´am saj´ at´ert´eke, ha l´etezik 0 6= u ∈ X, hogy Au = λu; ekkor az u vektort (λ-hoz tartoz´o) saj´ atvektornak nevezz¨ uk. Az A ∈ B(X) oper´ator saj´at´ert´ekeinek halmaz´at Eig(A)-val jel¨ olj¨ uk. 6.36. Megjegyz´ es. (i) Ha u λ-hoz tartoz´o saj´atvektor, akkor b´armely c ∈ C eset´en cu is λ-hoz tartoz´ o saj´atvektor. Adott λ-hoz tartozhat t¨obb, line´arisan f¨ uggetlen saj´ atvektor is, ekkor ezek line´aris kombin´aci´oi is λ-hoz tartoz´o saj´ atvektorok. Az ¨ osszes λ-hoz tartoz´o saj´atvektor u ´n. λ-hoz tartoz´o saj´ atalteret alkot. A saj´ atalt´erre megszor´ıtva az A oper´ator hat´asa a λ-val val´o szorz´as.
80
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
(ii) Egy λ ∈ C sz´ am pontosan akkor saj´at´ert´ek, ha A − λI nem injekt´ıv. Ekkor ker(A − λI) a λ-hoz tartoz´o saj´atalt´er. ´ ıt´ 6.37. All´ as. Hilbert-t´eren ´ertelmezett speci´ alis oper´ atorok saj´ at´ert´ekeire az al´ abbiak teljes¨ ulnek. ¨ (1) Onadjung´ alt oper´ ator saj´ at´ert´ekei val´ osak, a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o saj´ at´ert´ekekhez tartoz´ o saj´ atvektorok ortogon´ alisak. (2) Pozit´ıv (szigor´ uan pozit´ıv) oper´ ator saj´ at´ert´ekei nemnegat´ıvak (pozit´ıvak). (3) Unit´er oper´ ator saj´ at´ert´ekeire |λ| = 1. (4) Ha egy A norm´ alis oper´ atorra λ ∈ Eig(A), akkor λ ∈ Eig(A∗ ) ´es ugyanazok a saj´ atvektorai. Bizony´ıt´ as. (1)-(2) Legyen Au = λu, u 6= 0. Ekkor λkuk2 = hλu, ui = hAu, ui . Itt kuk2 > 0, ´ıgy ha A ¨ onadjung´alt/pozit´ıv/szigor´ uan pozit´ıv oper´ator, akkor hAu, ui ´es ´ıgy λ is val´ os/nemnegat´ıv/pozit´ıv. Legyen most Av = µv, v 6= 0. Ha A ¨ onadjung´ alt, akkor λ hu, vi = hλu, vi = hAu, vi = hu, Avi = µ hu, vi = µ hu, vi , teh´ at ha λ 6= µ, akkor hu, vi = 0. (3) Ha A unit´er, akkor kuk = kAuk = |λ| kuk, teh´at |λ| = 1. 1/2 (4) Mivel A norm´ alis, azaz AA∗ = A∗ A, ´ıgy kAxk = hA∗ Ax, xi =
1/2 hAA∗ x, xi = kA∗ xk (∀x ∈ H). Ebb˝ol k(A − λI)uk = (A∗ − λI)u (∀λ ∈ C, u ∈ H), ´ıgy (A − λI)u = 0 ⇔ (A∗ − λI)u = 0. 6.38. Defin´ıci´ o. Legyen A ∈ B(X) adott oper´ator. (1) Egy λ ∈ C sz´ am A-nak (i) regul´ aris ´ert´eke, ha A − λI : X → X bijekci´o; (ii) szingul´ aris ´ert´eke, ha nem regul´aris. Az A oper´ ator regul´ aris ´ert´ekeinek halmaz´at jel¨olje %(A), a szingul´aris ´ert´ekek´et pedig σ(A). (2) A σ(A) ⊂ C halmazt az A oper´ator spektrum´ anak nevezz¨ uk.
´ te ´rte ´k e ´s spektrum 6.5. Saja
81 −1
6.39. Megjegyz´ es. (i) Ha λ regul´aris ´ert´eke A-nak, akkor (A − λI) ∈ B(X), mert a 4.14. k¨ ovetkezm´eny szerint korl´atos line´aris bijekci´o inverze is korl´ atos line´ aris oper´ ator. (ii) Ha λ ∈ %(A), akkor az azt jelenti, hogy az Ax − λx = y u ´n. m´asodfaj´ u egyenlet minden y ∈ X eset´en egy´ertelm˝ uen megoldhat´o, tov´abb´a a megold´ as folytonosan f¨ ugg y-t´ ol, vagyis az egyenlet korrekt kit˝ uz´es˝ u (l´asd 4.16. defin´ıci´ o). Ez azt is jelenti, hogy a regul´aris ´ert´ekek kedvez˝oek a m´asodfaj´ u egyenletek viselked´ese szempontj´ ab´ ol; ennek ellen´ere, mint a bevezet˝oben is eml´ıtett¨ uk, a spektrum bizonyul fontosabb fogalomnak az oper´atorok tov´abbi vizsg´alat´ aban. 6.40. Megjegyz´ es. (A saj´ at´ert´ekek ´es spektrum kapcsolata.) (i) Egy A ∈ B(X) oper´ ator saj´at´ert´ekei – amennyiben egy´altal´an vannak neki – mind a spektrumban is vannak, azaz Eig(A) ⊂ σ(A). Egy λ ∈ C sz´am saj´ at´ert´ek volta ugyanis azt jelenti, hogy A − λI nem injekt´ıv, akkor pedig bijekci´ o sem lehet, azaz λ szingul´aris ´ert´ek. Megford´ıtva ´ altal´ aban csak v´eges dimenzi´os t´erben igaz, vagyis ha dim X v´eges, akkor az A ∈ B(X) oper´atorra (l´enyeg´eben a m´atrixokra) Eig(A) = σ(A). Ha X v´egtelen dimenzi´os, akkor viszont λ lehet szingul´aris ´ert´ek u ´gy is, hogy nem saj´ at´ert´ek, hiszen ha A − λI nem bijekci´o, att´ol m´eg lehet injekt´ıv, felt´eve, ha nem szuperjekt´ıv. Erre a 6.88. megjegyz´esben is mutatunk p´eld´at. Az al´ abbi p´elda azt a sz´els˝ o helyzetet illusztr´alja, amikor egy´altal´an nincs saj´ at´ert´ek. (ii) (P´elda arra, hogy Eig(A) = ∅.) Legyen J := [a, b] intervallum, X = H := L2 (J) ´es A : H → H, (Af )(x) := x f (x). K¨onnyen l´athat´o, hogy A ∈ B(H). Ha λ ∈ C adott sz´am, akkor az Af = λf egyenlet megold´as´ara (x − λ)f (x) = 0 m.m. x ∈ J, de mivel x 6= λ eset´en a bal t´enyez˝o nem 0, ´ıgy f (x) = 0 kell m.m. x ∈ J eset´en, teh´at f az L2 (J) t´er 0 eleme, ´ıgy λ nem saj´ at´ert´ek. A fenti oper´ ator spektruma viszont nem u ¨res, hanem σ(A) = J. Ha ugyanis λ ∈ J, akkor A − λI nem lehet bijekci´o, mert nem szuperjekt´ıv: pl. g ≡ 1 1 ∈ L2 (J), de az (A − λI)f = g egyenlet megold´asa f (x) = x−λ (m.m. 2 ´ x ∈ J), ami nem L (J)-beli, mert n´egyzetintegr´alja v´egtelen. Igy λ ∈ σ(A). Ha λ ∈ / J, akkor a fenti f korl´atos, ´ıgy L2 (J)-beli is, teh´at A − λI bijekci´o ´es ´ıgy λ ∈ %(A). A spektrum nem u ¨res volt´at a k¨ovetkez˝o szakaszban ´altal´aban is bizony´ıtjuk. (iii) Hilbert-t´erben a spektrumra is igazolhat´ok a 6.37. ´all´ıt´as saj´at´ert´ekre kimondott tulajdons´ agai. Ezeket legegyszer˝ ubben a megoldhat´os´agi t´etelekb˝ol kaphatjuk meg, ´ıgy a 7.1. szakaszban igazoljuk a 7.7. ´all´ıt´asban.
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
82
Ha A norm´ alis, akkor igazolhat´o, hogy ha λ ∈ σ(A) nem saj´at´ert´ek, akkor van olyan (un ) ⊂ H sorozat, melyre kun k = 1 (∀n ∈ N+ ) ´es Aun − λun → 0; l´ asd szint´en a 7.1. szakaszban a 7.8. ´all´ıt´asban. Ilyenkor a λ sz´amot szok´as altal´ ´ anos´ıtott saj´ at´ert´eknek h´ıvni. (iv) Hilbert-t´erben a spektrum szorosan kapcsol´odik a 6.15. megjegyz´esben defini´ alt W (A) halmazhoz, hiszen mindkett˝o tartalmazza a saj´at´ert´ekeket, ´es norm´ alis oper´ ator eset´en mindkett˝ot kAk sugar´ u k¨orlap tartalmazza. Igazolhat´ o [8], hogy ha A norm´alis, akkor W (A) lez´artja azonos σ(A) konvex burk´ aval. 6.41. Defin´ıci´ o. Egy A ∈ B(X) oper´ator regul´ aris, ha A : X → X bijekci´o. A regul´ aris oper´ atorok halmaz´at B(X)-ban jel¨olje Reg(X). Ism´et hivatkozva a 4.14. k¨ ovetkezm´enyre, ha A ∈ Reg(X), akkor nemcsak A, hanem A−1 is folytonos line´aris oper´ator. A regul´aris” kifejez´est k´etf´e” le ´ertelemben is bevezett¨ uk; a defin´ıci´okb´ol vil´agos, hogy λ pontosan akkor regul´ aris ´ert´eke A-nak, ha A − λI regul´aris, azaz: ´ ıt´ 6.42. All´ as. λ ∈ %(A) ⇐⇒ A − λI ∈ Reg(X). A tov´ abbiakban igazolni fogjuk, hogy b´armely A ∈ B(X) oper´ator spektruma kompakt, nem u ¨res halmaz.
6.5.2. A spektrum kompakts´ aga 6.43. T´ etel (Neumann-sor). Ha A ∈ B(X) ´es kAk < 1, akkor I − A ∈ Reg(X) ´es ∞ X −1 (I − A) = An . n=0
Bizony´ıt´ as. A n
∞ P
An sor az´ert konvergens B(X)-norm´aban, mert kAn k ≤
n=0
kAk (∀n) ´es ´ıgy ∞ X
kAn k ≤
n=0
∞ X n=0
n
kAk =
1 < ∞, 1 − kAk
(6.4)
´ıgy a Weierstrass-krit´erium (1.12. ´all´ıt´as) szerint az oper´atorsor is konvergens. Legyen S ∈ B(X) az ¨ osszege. Ekkor (I − A)S = S(I − A) =
∞ X
(An − An+1 ) = I − A + A − A2 + A2 − · · · = I
n=0
(ui. a kapott sor szeletei v´ altakozva I ´es I − An , ahol kAn k → 0). Teh´at I − A −1 bijekci´ o ´es S = (I − A) .
´ te ´rte ´k e ´s spektrum 6.5. Saja
83
6.44. Ko eny. Ha A ∈ B(X) ´es kAk < 1, akkor k(I − A)−1 k ≤ ¨vetkezm´ 1 . 1 − kAk ∞
P
Bizony´ıt´ as. k(I − A)−1 k = An f¨ol¨ ulr˝ol becs¨ ulhet˝o a (6.4) egyenl˝otlenn=0
s´eggel.
´ 6.45. K¨ ovetkezm´ eny. Reg(X) ny´ılt halmaz B(X)-ben. Espedig, ha B ∈ 1 Reg(X) ´es D ∈ B(X) olyan, hogy kDk < kB −1 k , akkor B − D ∈ Reg(X). Bizony´ıt´ as. Itt B − D = B(I − B −1 D),
ahol az A := B −1 D oper´ atorra a felt´etel szerint kAk ≤ B −1 kDk < 1, ´ıgy I − A = I − B −1 D bijekci´ o, ´es akkor B − D is bijekci´o. 6.46. Ko eny. Ha B ∈ Reg(X) ´es C ∈ B(X) olyan, hogy kB − Ck < ¨vetkezm´ 1 , akkor C ∈ Reg(X). −1 kB k Bizony´ıt´ as. Legyen D := B − C. Ekkor kDk < kezm´eny szerint C = B − D ∈ Reg(X).
1 kB −1 k ,
´ıgy az el˝oz˝o k¨ovet
6.47. Megjegyz´ es. A fenti szitu´aci´oban becsl´es is adhat´o C −1 norm´aj´ara: a C = B − D = B(I − B −1 D) azonoss´agb´ol, a 6.44. k¨ovetkezm´enyt haszn´alva
−1
C = (I − B −1 D)−1 B −1 ≤ (I − B −1 D)−1 B −1 ≤
−1
−1
B
B ≤ ≤ . −1 1 − kB Dk 1 − kB −1 k kB − Ck
Ebb˝ ol l´ athat´ o, hogy ha C → B oper´atornorm´aban, akkor C −1 korl´atos marad. ´ ıt´ 6.48. All´ as. Az invert´ al´ as, mint a Reg(X) halmazon ´ertelmezett inv : B 7→ B −1 lek´epez´es folytonos. Bizony´ıt´ as. Legyen B ∈ Reg(X) r¨ogz´ıtett. Ha C ∈ Reg(X), akkor C −1 − B −1 = C −1 (B − C)B −1 . Ebb˝ ol lim
kC−Bk→0
kC −1 − B −1 k ≤
lim
kC−Bk→0
kC −1 kkB − CkkB −1 k = 0,
84
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
mert kB −1 k r¨ ogz´ıtett, ´es kC − Bk → 0 eset´en a 6.47. megjegyz´es szerint
C −1 korl´ atos. ´ 6.49. T´ etel. B´ armely A ∈ B(X) eset´en %(A) ny´ılt. Espedig, ha λ ∈ %(A) ´es 1 µ ∈ C olyan, hogy |µ| < , akkor λ + µ ∈ %(A). k(A − λI)−1 k Bizony´ıt´ as. Mivel A−(λ+µ)I = (A−λI)−µI, ez´ert a B = (A−λI), D = µI szereposzt´ assal teljes¨ ulnek a 6.45. k¨ovetkezm´eny felt´etelei, azaz A−(λ+µ)I = B − D ∈ Reg(X), vagyis λ + µ ∈ %(A). 6.50. K¨ ovetkezm´ eny. B´ armely A ∈ B(X) oper´ ator σ(A) spektruma z´ art. ´ ıt´ 6.51. All´ as. B´ armely A ∈ B(X) eset´en σ(A) korl´ atos, ´espedig ha λ ∈ σ(A), akkor |λ| ≤ kAk. Bizony´ıt´ as. Legyen λ ∈ C, |λ| > kAk. Ekkor λ regul´aris ´ert´ek, ugyanis 1 A − λI = −λ I − A = −λ(I − B), λ ahol kBk < 1, teh´ at a 6.43. t´etel szerint I−B ∈ Reg(X), ´ıgy A−λI ∈ Reg(X), azaz λ ∈ %(A). 6.52. K¨ ovetkezm´ eny. B´ armely A ∈ B(X) eset´en a σ(A) spektrum kompakt (azaz korl´ atos ´es z´ art) r´eszhalmaza C-nek.
6.5.3. A spektrum nem u alsug´ ar ¨ res volta, spektr´ A spektrum fentiekben l´ atott kompakts´aga val´os Banach-t´erben is igaz, a spektrum nem u ¨res volta igazol´asakor viszont ki fogjuk haszn´alni, hogy H komplex Banach-t´er (l´ asd a 6.58 megjegyz´est). (a) Oper´ atorhatv´ anysorok Itt olyan sorokkal foglalkozunk, ahol egy komplex sz´am hatv´anyait oper´atoregy¨ utthat´ okkal l´ atjuk el. • Legyen s > 0 adott sz´am, ´es (Cn ) ⊂ B(X) olyan oper´atorsorozat, melyre a ∞ X Cn µn (6.5) n=0
´ te ´rte ´k e ´s spektrum 6.5. Saja
85
sor konvergens B(X)-norm´aban b´armely µ ∈ Bs (0) mellett, ahol Bs (0) := {µ ∈ C : |µ| < s} ⊂ C k¨orlap. Ekkor az X = C esethez hasonl´oan l´athat´ o, hogy az f : Bs (0) → B(X),
µ 7→
∞ X
Cn µn
(6.6)
n=0
f¨ uggv´eny ak´ arh´ anyszor differenci´alhat´o, ´es f (n) (0) = n! Cn
(∀n ∈ N).
(6.7)
(Mivel f : C ⊃→ B(X) t´ıpus´ u f¨ uggv´eny, ´ıgy minden f (n) deriv´altja is ilyen, ´ıgy ezek ´ert´ekei is oper´atorok.) • Egy g : C ⊃→ B(X) f¨ uggv´enyt – sorbafejthet˝ onek h´ıvunk egy λ ∈ Dg pont k¨or¨ ul, ha a µ 7→ g(λ + µ) f¨ uggv´eny el˝ o´ all konvergens (6.5) t´ıpus´ u hatv´anysor ¨osszegek´ent valamely Bs (0) k¨ orlapon; – analitikusnak h´ıvunk, ha minden λ ∈ Dg pont k¨or¨ ul sorbafejthet˝o. • Az X = C esethez hasonl´oan igazolhat´o a Liouville-t´etel: ha f : C → B(X) analitikus ´es korl´atos, akkor konstans. (b) Rezolvens, a spektrum nem u ¨ res volta 6.53. Defin´ıci´ o. Legyen A ∈ B(X). Az RA : %(A) → B(X),
λ → (A − λI)−1
lek´epez´est A rezolvens´enek h´ıvjuk. 6.54. T´ etel. B´ armely A ∈ B(X) eset´en RA analitikus f¨ uggv´eny. Bizony´ıt´ as. Legyen λ ∈ %(A) r¨ogz´ıtett, s := kRA1(λ)k . Igazoljuk, hogy f : µ 7→ RA (λ + µ) sorbafejthet˝ o a Bs (0) k¨orlapon. Legyen |µ| < s. A 6.49. t´etel szerint λ + µ ∈ %(A), ´es A − (λ + µ)I = (A − λI) I − µ(A − λI)−1 . Invert´ alva, valamint felhaszn´alva, hogy kµRA (λ)k < skRA (λ)k = 1 ´es ´ıgy fel´ırhat´ o a megfelel˝ o Neumann-sor, ∞ −1 X n RA (λ + µ) = I − µRA (λ) RA (λ) = µRA (λ) RA (λ) = n=0
86
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
=
∞ X
µn RA (λ)n+1 .
n=0
Ekkor ´erv´enyes a (6.7) k´eplet, ahol most Cn = RA (λ)n+1 . (n)
6.55. K¨ ovetkezm´ eny. B´ armely n ∈ N eset´en RA (λ) = n! RA (λ)n+1 . Spe0 ci´ alisan, n = 1 eset´en RA (λ) = RA (λ)2 . ´ ıt´ 6.56. All´ as. Ha λ ∈ C ´es |λ| > kAk, akkor kRA (λ)k ≤
1 . |λ| − kAk
Bizony´ıt´ as. Ha |λ| > kAk, akkor λ ∈ %(A), emellett a 6.44. k¨ovetkezm´enyt felhaszn´ alva 1 −1
1 1 1 1
= . kRA (λ)k = (A − λI)−1 =
I− A
≤ 1 |λ| λ |λ| 1 − |λ| kAk |λ| − kAk 6.57. T´ etel. B´ armely A ∈ B(X) eset´en σ(A) 6= ∅. Bizony´ıt´ as. Indirekt: tegy¨ uk fel, hogy %(A) = C. Ekkor RA : C → B(X) analitikus f¨ uggv´eny. ´Igy RA folytonos is, ez´ert korl´atos a B2kAk (0) z´art k¨orlapon, ´es azon k´ıv¨ ul is korl´ atos, mert ha |λ| > 2kAk, akkor a 6.56. ´all´ıt´as 1 szerint kRA (λ)k < kAk . ´Igy RA : C → B(X) analitikus ´es korl´atos, ez´ert 0 (λ) = 0. a Liouville-t´etel szerint konstans, amib˝ol b´armely λ ∈ C eset´en RA 2 Ekkor a 6.55. k¨ ovetkezm´eny szerint RA (λ) = 0, ami lehetetlen, mert RA (λ) ´es ´ıgy RA (λ)2 is bijekci´ o. 6.58. Megjegyz´ es. A fenti t´etel nem igaz val´os Banach-t´erben, P´eld´aul R2 ben az A(x, y) := (−y, x) forgat´asnak nincs saj´at´ert´eke, ´es mivel v´eges dimenzi´ oban Eig(A) = σ(A), ´ıgy σ(A) u ¨res. ¨ Osszefoglalva, b´ armely A ∈ B(X) oper´ator spektruma nem u ¨res, kompakt halmaz. (c) Spektr´ alsug´ ar L´ attuk, hogy a spektrum benne van az orig´o k¨oz´eppont´ u, kAk sugar´ u z´art k¨ orlapban, azonban lehets´eges, hogy enn´el kisebb sugar´ u k¨orlap is tartalmazza. A legkisebb ilyen k¨orlapot a spektr´alsug´ar fogalma ´ırja le, az ezzel kapcsolatos eredm´enyeket csak r¨oviden v´azoljuk. 6.59. Defin´ıci´ o. Az A ∈ B(X) oper´ator spektr´ alsugara az r(A) := max |λ| λ∈σ(A)
sz´ am.
´ te ´rte ´k e ´s spektrum 6.5. Saja
87
A 6.51. ´ all´ıt´ as alapj´ an r(A) ≤ kAk. Mint l´atni fogjuk, Hilbert-t´erben egy t´ag oszt´ aly eset´en egyenl˝ os´eg ´ all fenn, ´espedig a norm´alis (ezen bel¨ ul az o¨nadjung´ alt, speci´ alisan pozit´ıv, ill. unit´er) oper´atorokra. Ilyenkor val´oj´aban nincs sz¨ uks´eg a spektr´ alsug´ ar k¨ ul¨ on fogalm´ara. 1/n ´ ıt´ 6.60. All´ as. r(A) ≤ inf+ kAn k . n∈N
Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk az An − λn I = (A − λI)(An−1 + λAn−2 + · · · + λn−1 I) azonoss´ agot, amelyben a szorzat t´enyez˝oi felcser´elhet˝oek, ´es legyen λ ∈ C adott. Ha |λn | > kAn k, akkor a 6.51. ´all´ıt´as miatt λn ∈ %(An ), azaz An − λn I bijekci´ o, ez´ert a fenti azonoss´agb´ol A − λI is bijekci´o, azaz λ ∈ %(A). Ez azt jelenti, hogy ha λ ∈ σ(A), akkor λn ∈ σ(An ). Ism´et a 6.51. ´all´ıt´as miatt 1/n (most An -re) ebb˝ ol |λn | ≤ kAn k, azaz |λ| ≤ kAn k . Mivel ez minden n-re igaz, az ´ all´ıt´ ast igazoltuk.
6.61. Megjegyz´ es. Az el˝ oz˝on´el t¨obb is igazolhat´o, ´espedig 1/n
r(A) = inf kAn k n
= lim kAn k
1/n
n→∞
,
l´ asd pl. [8]-ban. ´ ıt´ 6.62. All´ as. Legyen H Hilbert-t´er. Ha A ∈ B(H) norm´ alis oper´ ator, akkor r(A) = kAk. Bizony´ıt´ as. Mivel A norm´ alis, a 6.37. t´etel (4) r´esz´enek bizony´ıt´as´aban l´at∗ tuk, hogy kAxk = kA xk (∀x ∈ H). Ebben x-et Ax-re
cser´elve ad´odik, hogy
2
A x = kA∗ Axk minden x ∈ H eset´en, azaz A2 = kA∗ Ak, ekkor a C ∗ tulajdons´ ag (6.14. ´ all´ıt´ as) szerint
2
A = kAk2 .
(6.8) ∗
n
A 6.4. ´ all´ıt´ as 3. r´esze szerint b´armely n-re (An ) = (A∗ ) , emiatt ha A norm´ alis, akkor An is az. ´Igy a (6.8) tulajdons´agot An -re is fel´ırhatjuk. Ha A2 2 4 re, majd A-ra alkalmazzuk, akkor A4 = A2 = kAk . Ebb˝ol indukci´oval n n 2 ad´ odik, hogy minden n ∈ N eset´en kA2 k = kAk . ´Igy 1/n
r(A) = lim kAn k n→∞
n 1/2n
= lim A2 = lim kAk = kAk . n→∞
n→∞
88
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
6.6. Kompakt oper´ atorok 6.6.1. Kompakt halmazok Ebben a r´eszben el˝ osz¨ or r¨ oviden felid´ezz¨ uk a kompakt halmazok fogalomk¨or´et ´es alaptulajdons´ agait, l´ asd r´eszletesen pl. a [37, 38] k¨onyvekben. Tov´abbra is Banach-tereket haszn´ alunk, mivel az oper´atorokhoz csak erre lesz sz¨ uks´eg¨ unk, de megeml´ıtj¨ uk, hogy az al´abbiak teljes metrikus t´erben is hasonl´oan ´ertelmezhet˝ ok (s˝ ot, r´eszben topologikus terekben is). Ahol az eredetivel ekvivalens defin´ıci´ ot adunk meg, am¨og¨ott – ´ertelemszer˝ uen – az ekvivalenci´at kimond´ o´ all´ıt´ as ´ all, l´ asd szint´en [37, 2.6. szakasz]. Legyen teh´at X Banach-t´er. 6.63. Defin´ıci´ o. Egy K ⊂ X halmazt fed˝o v´eges ε-h´ al´ onak nevez¨ unk egy olyan {x1 , . . . , x` } ⊂ X ponthalmazt, melyre b´armely x ∈ K eset´en van olyan k ∈ {1, . . . , `}, hogy kx − xk k < ε. 6.64. Defin´ıci´ o. Egy K ⊂ X halmaz teljesen korl´ atos vagy prekompakt, ha (i) b´ armely ε > 0 sz´ amhoz tal´alhat´o a K halmazt fed˝o v´eges ε-h´al´o; (ii) (ekvivalens defin´ıci´ o) ha pre-sorozatkompakt, azaz minden K-beli sorozatnak van konvergens r´eszsorozata X-ben. 6.65. Defin´ıci´ o. Egy K ⊂ X halmaz kompakt, ha (i) b´ armely ny´ılt fed´es´eb˝ ol (azaz ha valamely Gγ ny´ılt halmazokra K ⊂ ∪γ∈Γ Gγ ) kiv´ alaszthat´ o v´eges r´eszfed´es; (ii) (ekvivalens defin´ıci´ o) ha sorozatkompakt, azaz minden K-beli sorozatnak van konvergens r´eszsorozata K-ban. A fenti defin´ıci´ ok (ii) r´esz´eb˝ ol ad´odik a 6.66. K¨ ovetkezm´ eny. Egy K ⊂ X halmaz pontosan akkor kompakt, ha teljesen korl´ atos ´es z´ art. P´ eld´ ak. (i) V´eges dimenzi´ os t´erben egy K ⊂ X halmaz pontosan akkor korl´atos, ha teljesen korl´ atos, ´es pontosan akkor kompakt, ha korl´atos ´es z´art. Az els˝ o tulajdons´ ag a Bolzano–Weierstrass-t´etel miatt igaz, a m´asodik a z´art halmazok azon jellemz´ese miatt, hogy minden (xn ) ⊂ K konvergens sorozat limesze is K-beli kell legyen. (ii) V´egtelen dimenzi´ os t´erben a B(0, 1) z´art egys´egg¨omb nem teljesen korl´ atos (´ıgy nem is kompakt), mert nem pre-sorozatkompakt: a 3.16. Rieszlemm´ aban konstru´ alt sorozatnak nincs konvergens r´eszsorozata. (iii) V´egtelen dimenzi´ os t´erben minden olyan korl´atos ´es z´art halmaz kompakt, amely v´eges dimenzi´ os alt´erben fekszik. Ez azonban nem sz¨ uks´eges. Legyen H Hilbert-t´er ´es (en ) ⊂ H TONR, ekkor pl. a T := {x ∈ H : |hx, en i| ≤
´ torok 6.6. Kompakt opera
89
2−n } u ´n. Hilbert-t´egla teljesen korl´atos ´es z´art, ´ıgy kompakt, l´asd [37, 2.7. ´ szakasz]. Altal´ aban is k¨ onnyen l´athat´o, hogy ha K ⊂ H kompakt, akkor a dn := sup{|hx, en i| : x ∈ K} (n ∈ N+ ) sorozatra (amely K ´atm´er˝oje az n-edik koordin´ ata ir´ any´ aban) lim dn = 0, azaz a K halmaz egyre kev´esb´e ” ny´ ulik az u ´jabb dimenzi´ okba”. (A Hilbert-t´egla eset´eben dn = 2−n .) (iv) A defin´ıci´ o alapj´ an teljesen korl´atos halmaz b´armely r´eszhalmaza is teljesen korl´ atos. ´ ıt´ 6.67. All´ as. (1) Ha K ⊂ X teljesen korl´ atos, akkor korl´ atos. (2) Ha K ⊂ X kompakt, akkor korl´ atos ´es z´ art. (3) A fenti ´ all´ıt´ asok megford´ıt´ asa v´eges dimenzi´ os t´erben igaz, v´egtelen dimenzi´ os t´erben viszont nem. Bizony´ıt´ as. Az (1) r´esz a defin´ıci´ob´ol k¨ovetkezik, a (2) r´esz pedig az (1) r´eszb˝ ol ´es a 6.66. k¨ ovetkezm´enyb˝ol. A (3) r´esz els˝o ´all´ıt´as´at a fenti p´eld´aban indokoltuk, a m´ asodik r´eszre p´elda a z´art egys´egg¨omb, amely korl´atos ´es z´art halmaz, de (szint´en a fenti p´eld´ab´ol) nem teljesen korl´atos. 6.68. Megjegyz´ es. A kompakt halmaz fogalma bizonyos szempontb´ol a korl´ atos ´es z´ art” ´ altal´ anos´ıt´asa v´egtelen dimenzi´ora, pl. v´eges dimenzi´oban ” korl´ atos ´es z´ art halmazon folytonos f¨ uggv´enyre ismert t´etelek (Heine-t´etel az egyenletes folytonoss´ agr´ ol, Weierstrass t´etele a maximum ´es minimum l´etez´es´er˝ ol) v´egtelen dimenzi´ os t´er eset´en kompakt halmazra ´erv´enyesek [38, 1. fejezet].
6.6.2. Kompakt oper´ atorok alaptulajdons´ agai norm´ alt t´ erben 6.69. Defin´ıci´ o. Egy A ∈ B(X) oper´ator kompakt, ha b´armely korl´atos halmazt teljesen korl´ atosba visz. Ekvivalens defin´ıci´ ok: – ha b´ armely (xn ) ⊂ X korl´atos sorozat eset´en (Axn )-nek van konvergens r´eszsorozata X-ben; – ha a B(0, 1) z´ art egys´egg¨ omb k´epe teljesen korl´atos. Itt az els˝ o ekvivalencia a halmazok pre-sorozatkompakts´aga alapj´an k¨ovetkezik. A m´ asodik form´ alisan gyeng´ebb az oper´ator kompakts´ag´an´al, de ha B(0, 1) k´epe teljesen korl´ atos, akkor line´aris transzform´aci´oval b´armely g¨omb k´epe is az, ´es akkor a g¨ omb¨ok b´armely r´eszhalmaz´anak, vagyis b´armely korl´ atos halmaznak a k´epe is teljesen korl´atos. 6.70. Megjegyz´ es. Egy oper´ator kompakts´aga er˝osebb, mint a korl´atoss´ag (folytonoss´ ag), hiszen korl´ atos halmazt teljesen korl´atosba visz, ami korl´atos is.
90
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
1. p´ elda kompakt oper´ atorra: ha A ∈ B(X) v´eges rang´ u oper´ator, azaz ha R(A) dimenzi´ oja v´eges. Ekkor ugyanis A korl´atoss´aga miatt korl´atos halmaz k´epe korl´ atos, de akkor teljesen korl´atos is, hiszen v´eges dimenzi´os alt´erben fekszik. Ez a p´elda m´eg trivi´ alis volt, de ez alapj´an k¨onnyen adhatunk majd tov´abbiakat is. Nem kompakt oper´ator megad´as´ara pedig t¨obbek k¨oz¨ott az al´abbi all´ıt´ ´ as haszn´ alhat´ o. ´ ıt´ 6.71. All´ as. Legyen A ∈ B(X), (en ) ⊂ X sorozat, melyre ken k = 1 (∀n ∈ + N ). Ha van olyan δ > 0 sz´ am, hogy kAen − Aek k ≥ δ (∀k 6= n), akkor A nem kompakt. Bizony´ıt´ as. Ekkor (en ) ⊂ X olyan korl´atos sorozat, melyre (Aen )-nek nincs konvergens r´eszsorozata. 6.72. Ko eny. Legyen H Hilbert-t´er, A ∈ B(H), (en ) ⊂ H orton¨vetkezm´ orm´ alt rendszer. Ha van olyan δ > 0 sz´ am, hogy kAen − Aek k ≥ δ (∀k 6= n), akkor A nem kompakt. P´ elda nem kompakt oper´ atorra. V´egtelen dimenzi´os t´erben az I identit´asoper´ ator nem kompakt. Hilbert-t´er eset´en ez egyszer˝ uen l´atszik a 6.72. k¨ovetkezm´enyb˝ ol, mert a 2.3. szakaszban le´ırtak szerint l´etezik teljes ortonorm´alt rendszer H-ban, ´ıgy 2
2
2
2
kIen − Iek k = ken − ek k = ken k + kek k = 2. Banach-t´er eset´en a 3.16. Riesz-lemma seg´ıts´eg´evel v´alaszthat´o ki olyan sorozat, melynek tagjai egyenletesen t´avol vannak egym´ast´ol. ´ ıt´ 6.73. All´ as. Kompakt oper´ atorok B(X)-beli limesze is kompakt. Bizony´ıt´ as. Legyen (An ) ⊂ B(X) kompakt oper´atorokb´ol ´all´o sorozat ´es lim kAn − Ak = 0. Igazoljuk, hogy A is kompakt. El´eg bel´atni, hogy n→∞
atos, azaz ha ε > 0 r¨ogz´ıtett, akkor adjunk meg hozz´a A(B(0, 1)) teljesen korl´ egy v´eges ε-h´ al´ ot. Mivel An → A oper´atornorm´aban, ez´ert l´etezik N ∈ N, hogy ε kAN − Ak < . 2 M´ asr´eszt AN kompakt, ´ıgy l´etezik y1 , y2 , . . . , y` ∈ X, hogy minden y ∈ AN (B(0, 1)) eset´en ε ky − yk k < 2
´ torok 6.6. Kompakt opera
91
valamely k indexre. Ez ugyanazt jelenti, mint hogy b´armely x ∈ B(0, 1) eset´en van olyan yk , melyre kAN x − yk k <
ε . 2
Ekkor tetsz˝ oleges x ∈ B(0, 1) eset´en van olyan yk , hogy kAx − yk k ≤ kAx − AN xk + kAN x − yk k ≤ kA − AN k kxk + kAN x − yk k < ε ε + = ε, 2 2 teh´ at az AN -hez tartoz´ o ε/2-h´al´o j´o lesz ε-h´al´onak A-hoz. <
A sorozat tagjaik´ent vehet˝ ok p´eld´aul v´eges rang´ u oper´atorok, melyekr˝ol a kor´ abbi 1. p´eld´ aban l´ attuk, hogy kompaktak. 6.74. K¨ ovetkezm´ eny. V´eges rang´ u oper´ atorok B(X)-beli limesze is kompakt. Ez alapj´ an gyakran k¨ onnyen bel´athat´o egy adott oper´atorr´ol, hogy kompakt. 2. p´ elda kompakt oper´ atorra. Legyen I = [a, b], H := L2 (I), valamint K ∈ C(I × I) adott val´ os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny ´es A : H → H a k¨ovetkez˝o: b
Z (Au) (x) :=
(u ∈ L2 (I)).
K(x, s)u(s)ds a
2
Mivel K ∈ L (I × I) is, a 6.24. ´all´ıt´as alapj´an A : L2 (I) → L2 (I) korl´atos line´ aris oper´ ator. ´ ıt´ 6.75. All´ as. A fenti A oper´ ator kompakt. Bizony´ıt´ as. A Weierstrass-f´ele approxim´aci´os t´etel szerint van olyan (Pn ) k´etv´ altoz´ os polinomsorozat, hogy max |K − Pn | =: εn → 0, ha n → ∞. I×I
Legyen Z
b
(An u) (x) :=
Pn (x, s)u(s)ds
(u ∈ L2 (I)).
a n n−i P P
Ekkor An v´eges rang´ u, hiszen ha Pn (x, s) =
cij xi sj , akkor
i=0 j=0
(An u) (x) :=
n X n−i X i=0
j=0
Z cij a
b
sj u(s)ds xi
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
92
n-edfok´ u egyv´ altoz´ os polinom. Emellett, felhaszn´alva az 1.26. ´all´ıt´ast, k(A − An )ukL2 ≤ c1 k(A − An )ukL∞ ≤ c1 sup |(A − An )u(x)| ≤ x∈I
Z ≤ c1 sup x∈I
b
|K(x, s) − Pn (x, s)||u(s)|ds a
≤ c1 εn kukL1 ≤ c2 εn kukL2
∀u ∈ L2 (I),
´ıgy kA − An k ≤ c2 εn → 0. A 6.74. k¨ovetkezm´eny szerint teh´at A kompakt. ´ 6.76. Megjegyz´ es. Altal´ anosabban, ha K ∈ L2 (I × I) magf¨ uggv´eny, akkor is igaz, hogy A kompakt oper´ator. A fenti bizony´ıt´asban ekkor polinomok helyett alkalmas l´epcs˝ osf¨ uggv´enyeket haszn´alunk.
6.6.3. Kompakt oper´ atorok n´ eh´ any tov´ abbi tulajdons´ aga ´ ıt´ 6.77. All´ as. Kompakt oper´ atorokra az al´ abbi tulajdons´ agok teljes¨ ulnek: (1) A kompakt oper´ atorok vektorteret alkotnak. (2) A kompakt oper´ atorok oszt´ alya k´etoldali ide´ alt alkot a B(X) gy˝ ur˝ uben. Azaz, kompakt ´es korl´ atos line´ aris oper´ ator szorzata kompakt oper´ ator. Bizony´ıt´ as. (1) Ha A kompakt ´es λ ∈ C, akkor λA trivi´alisan kompakt, el´eg teh´at k´et kompakt ¨ osszeg´et vizsg´ alni. Legyenek A, B ∈ B(X) kompakt oper´atorok, S ⊂ X korl´ atos halmaz. Ekkor (A + B)(S) ⊂ A(S) + B(S), ahol ut´obbi k´et teljesen korl´ atos halmaz ¨ osszege, ´ıgy maga is teljesen korl´atos. (2) Legyen K ∈ B(X) kompakt, A, B ∈ B(X), S ⊂ X korl´atos halmaz. Igazoljuk, hogy (KA)(S) ´es (BK)(S) teljesen korl´atos halmazok. Tekints¨ uk el˝osz¨ or (KA)(S) = K(A(S))-t. Mivel A folytonos, ez´ert A(S) korl´atos halmaz, ´ıgy K kompakts´ aga miatt K(A(S)) teljesen korl´atos, teh´at KA kompakt. Ha most B(K(S))-et tekintj¨ uk, K(S) teljesen korl´atos. Mivel teljesen korl´atos halmaz folytonos k´epe is teljesen korl´atos, ez´ert B folytonoss´aga miatt B(K(S)) teljesen korl´ atos. ´ ıt´ 6.78. All´ as. Ha X v´egtelen dimenzi´ os Banach-t´er, akkor egy A ∈ B(X) kompakt oper´ atornak nem lehet korl´ atos inverze. Bizony´ıt´ as. Ha l´etezne A−1 ∈ B(X), akkor A−1 A = I az ide´altulajdons´ag miatt kompakt lenne, de v´egtelen dimenzi´os t´erben az identit´as nem lehet kompakt. Enn´el t¨ obb is igaz:
´ torok 6.6. Kompakt opera
93
´ ıt´ 6.79. All´ as. Legyen X Banach-t´er, A ∈ B(X) kompakt oper´ ator. Ha R(A) z´ art, akkor sz¨ uks´egk´eppen v´eges dimenzi´ os. Bizony´ıt´ as. Mivel R(A) z´ art alt´er, ´ıgy teljes is. Ekkor A ∈ B(X, R(A)) Banach-terek k¨ oz¨ otti szuperjekt´ıv oper´ator. A 4.11. t´etel szerint A ny´ılt lek´epez´es. Eszerint a B(0, 1) ⊂ X ny´ılt egys´egg¨omb k´epe ny´ılt halmaz, azaz V := A(B(0, 1)) k¨ ornyezete a null´anak R(A)-ban, m´ask´eppen mondva l´etezik r > 0, hogy B(0, r) ⊂ V (ahol B(0, r)-et mint R(A)-beli g¨omb¨ot ´ertj¨ uk). Viszont A kompakt, ´ıgy V teljesen korl´atos (´es vele egy¨ utt V minden r´eszhalmaza is), de ez B(0, r)-re csak v´eges dimenzi´oban teljes¨ ul.
6.80. K¨ ovetkezm´ eny. Ha X v´egtelen dimenzi´ os Banach-t´er ´es A ∈ B(X) kompakt oper´ ator, akkor A nem lehet szuperjekt´ıv. Mivel egy v´eges rang´ u oper´ ator mindig kompakt, a 6.74. k¨ovetkezm´eny szerint ilyenek limesze is kompakt. Hilbert-t´erben ez ford´ıtva is igaz: 6.81. T´ etel. Legyen H Hilbert-t´er, ekkor a v´eges rang´ u oper´ atorok s˝ ur˝ u alteret alkotnak az B(H)-beli kompakt oper´ atorok halmaz´ aban. Bizony´ıt´ as. Bel´ atjuk, hogy minden A ∈ B(H) kompakt oper´ator ´es ε > 0 eset´en l´etezik A-t´ ol oper´ atornorm´aban legfeljebb ε t´avols´agra lev˝o v´eges rang´ u oper´ ator. A kompakt, teh´at A(B(0, 1)) ⊂ H teljesen korl´atos. Nyilv´an olyan ε-h´ al´ o is l´etezik, amelynek pontjai A(B(0, 1))-beliek. Legyenek teh´at x1 , . . . , xn ∈ B(0, 1) olyan elemek, hogy a Ax1 , . . . , Axn pontok ε-h´al´ot alkotnak A(B(0, 1))-re n´ezve. Legyen M := span{Ax1 , . . . , Axn }. Ez a H Hilbert-t´er v´eges dimenzi´os altere, legyen PM az M -re vett ortogon´alis projekci´o. Ekkor PM v´eges rang´ u, folytonos ´es line´ aris. Legyen x ∈ B(0, 1) tetsz˝oleges, ekkor l´etezik xi , hogy kAx − Axi k < ε. Ekkor kAx − PM Axk = kAx − Axi + Axi − PM Axk = = kAx − Axi + PM Axi − PM Axk = k(I − PM )(Ax − Axi )k ≤ kI − PM k kAx − Axi k < ε, mert (I − PM ) = PM ⊥ szint´en ortogon´alis projekci´o, ´ıgy norm´aja 1. Teh´at kA − (PM A)k ≤ ε, ahol PM A v´eges rang´ u. 6.82. K¨ ovetkezm´ eny. Ha H Hilbert t´er, akkor minden A ∈ B(H) kompakt oper´ ator el˝ o´ all v´eges rang´ u oper´ atorok limeszek´ent.
94
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
6.6.4. Kompakt o alt oper´ atorok spektruma ¨nadjung´ Ha egy ¨ onadjung´ alt oper´ ator kompakt, akkor ´erv´enyes a szimmetrikus m´atrixokra ismert f˝ otengelyt´etel [24, II. 6.3] v´egtelen dimenzi´os ´altal´anos´ıt´asa. Ezt az al´ abbi t´etel ´es a 6.85. k¨ovetkezm´eny mondja ki. (Ehhez kapcsol´odik ut´ ana a 6.92 el˝ o´ all´ıt´ asi t´etel is.) 6.83. T´ etel (kompakt ¨ onadjung´ alt oper´ atorok f˝ ot´ etele). Legyen H Hilbert-t´er, A ∈ B(H) kompakt ¨ onadjung´ alt oper´ ator. Ekkor σ(A) megsz´ aml´ alhat´ o, ´es σ(A) \ {0} csak saj´ at´ert´ekekb˝ ol ´ all, melyek csak a 0-ban torl´ odhatnak. A λ 6= 0 saj´ at´ert´ekek rangja (azaz a ker(A − λI) saj´ atalterek dimenzi´ oja) v´eges. Ha H szepar´ abilis, akkor a saj´ atvektorokb´ ol teljes ortonorm´ alt rendszer v´ alaszthat´ o H-ban. Bizony´ıt´ as. Feltehetj¨ uk, hogy H v´egtelen dimenzi´os, hiszen v´eges dimenzi´ban ´ o all´ıt´ asunk a m´ ar eml´ıtett f˝otengelyt´etel. 1. l´ep´es. Igazoljuk, hogy σ(A) \ {0} csak saj´at´ert´ekekb˝ol ´all. Mivel a 6.40. megjegyz´es (iii) pontja szerint σ(A) ⊂ R, ´ıgy ezt el´eg val´os λ-ra. Legyen teh´ at λ ∈ R, λ 6= 0, ´es tegy¨ uk fel, hogy λ nem saj´at´ert´ek. Megmutatjuk, hogy ekkor λ ∈ %(A), azaz regul´ aris ´ert´ek. Mivel λ nem saj´ at´ert´ek, ´ıgy A − λI injekt´ıv; c´elunk, hogy szuperjekt´ıv is legyen. Mivel ker(A − λI) = {0} ´es A − λI ¨onadjung´alt is, a 6.5. t´etelb˝ol ur˝ u. H = R(A − λI), azaz R(A − λI) s˝ Legyen y ∈ H tetsz˝ oleges; c´elunk, hogy y ∈ R(A−λI). Mivel ut´obbi s˝ ur˝ u, ´ıgy annyit m´ ar ´ all´ıthatunk, hogy van olyan (xn ) ⊂ H sorozat, hogy Axn −λxn → y. (i) Tegy¨ uk fel el˝ osz¨ or, hogy (xn ) korl´atos, vagy legal´abbis van korl´atos r´eszsorozata. Mivel A kompakt, ´ıgy (Axn )-nek van konvergens r´eszsorozata, azaz melyre Axnk → z valamely z ∈ H eset´en. Mivel y = lim(Axnk − λxnk ) ´es lim Axnk = z, ´ıgy (xnk ) is konvergens ´es y = z − λ lim xnk , felhaszn´alva, hogy λ 6= 0. Ha x := lim xnk , akkor y = z − λx. M´asr´eszt A folytonoss´aga miatt Ax = lim Axnk = z, ´ıgy y = Ax − λx. ´Igy teh´at y ∈ R(A − λI). (ii) N´ezz¨ uk most a m´ asik esetet, amikor (xn )-nek nincs korl´atos r´eszsorozata, azaz kxn k → ∞. Igazoljuk, hogy ez lehetetlen. Legyen ugyanis ekkor un := xn atos, ´ıgy a fentiek miatt Aunk → z valamely z ∈ H eset´en ´es kxn k , ez korl´ alkalmas r´eszsorozatra. Most y = lim(Axnk − λxnk ) = lim kxnk k(Aunk − λunk ), ami csak akkor lehet, ha lim(Aunk − λunk ) = 0, k¨ ul¨onben a szorzat nem lehetne konvergens kxnk k → ∞ miatt. Mint az el˝obb, ekkor l´etezik u := lim unk ´es fenn´ all z = λu, m´asr´eszt z = lim Aunk = Au, ezekb˝ol Au = λu. Itt u 6= 0, mivel kuk = lim kunk k = 1, ´ıgy λ saj´at´ert´ek, ami ellentmond a feltev´esnek.
´ torok 6.6. Kompakt opera
95
2. l´ep´es. Sorbarendezz¨ uk a saj´at´ert´ekeket. (i) Legyen el˝ osz¨ or λ1 a legnagyobb abszol´ ut ´ert´ek˝ u saj´at´ert´ek. Mivel A ¨onadjung´ alt, a 6.62. ´ all´ıt´ as szerint teh´at |λ1 | = max{|λ| : λ ∈ σ(A)} = kAk. Legyen e1 λ1 -hez tartoz´ o norm´alt saj´atvektor ´es H1 := span{e1 } (1-dimenzi´os alt´er). Ekkor A|H1⊥ : H1⊥ → H1⊥ , azaz A invari´ansan hagyja H1⊥ -et, mert ha x ∈ H1⊥ , azaz hx, e1 i = 0, akkor hAx, e1 i = hx, Ae1 i = λ1 hx, e1 i = 0, azaz Ax ∈ H1⊥ . (ii) Legyen λ2 az a saj´ at´ert´ek, melyre |λ2 | = max{|λ| : λ ∈ σ(A|H1⊥ )} = kA|H1⊥ k. (Ut´ obbi az´ert igaz, mert A|H1⊥ is ¨onadjung´alt.) Mivel λ2 A-nak is saj´at´ert´eke, ´ıgy |λ1 | ≥ |λ2 |. Legyen e2 λ2 -hez tartoz´o norm´alt saj´atvektor ´es H2 := span{e1 , e2 }. Ekkor A|H2⊥ : H2⊥ → H2⊥ , mert ha x ∈ H2⊥ , azaz hx, ei i = 0 (i = 1, 2), akkor hAx, ei i = hx, Aei i = λi hx, ei i = 0 (i = 1, 2), azaz Ax ∈ H2⊥ . (iii) Az elj´ ar´ ast folytatva, nyer¨ unk egy λ1 , λ2 , . . . saj´at´ert´ek-sorozatot, melyre |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ . . . , ´es egy megfelel˝ o e1 , e2 , . . . saj´atvektor-sorozatot, amely ortonorm´alt rendszert alkot. A megfelel˝ o Hn := span{e1 , . . . , en } alterekre |λn+1 | = max{|λ| : λ ∈ σ(A|Hn⊥ )} = kA|Hn⊥ k.
(6.9)
3. l´ep´es. Igazoljuk, hogy a fenti elj´ar´assal kapott λn -ek csak a 0-ban torl´odhatnak, ´es az ¨ osszes saj´ atvektorb´ol TONR-t alkothat´o ker(A)⊥ -ben. (i) Ha minden l´ep´esben |λn | > 0 marad, akkor λ0 := inf |λn | = 0, ugyanis b´ armely n 6= k eset´en 2
2
kAen − Aek k = kλn en − λk ek k = λ2n + λ2k ≥ 2λ20 , ´ıgy λ0 > 0 eset´en A nem lehetne kompakt a 6.72. k¨ovetkezm´eny miatt. ´Igy λn → 0, ´es az ¨ osszes nem 0 saj´at´ert´eket megkaptuk. Emellett az en saj´ atvektor-sorozat teljes ortonorm´alt rendszert (TONR-t) alkot ∪Hn -ban. Mi a helyzet ut´obbi ortokomplemetum´aban? Itt
A|(∪H )⊥ = A|∩(H ⊥ ) = inf A|H ⊥ = inf |λn+1 | = 0, n n n
96
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
teh´ at (∪Hn )⊥ = ker(A). Megford´ıtva, ∪Hn = ker(A)⊥ , teh´ at az en saj´ atvektor-sorozat TONR-t alkot ker(A)⊥ -ben. (ii) Ha az elj´ ar´ as v´eges sok λ1 , . . . , λn 6= 0 saj´at´ert´eket produk´al (azaz λn+1 m´ ar nulla; ez akkor lehet, ha A v´eges rang´ u), akkor a megfelel˝o e1 , . . . , en vektorok ortonorm´ alt b´ azist (ONB-t) alkotnak ker(A)⊥ -ben. 4. l´ep´es. A fentiekb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy σ(A) megsz´aml´alhat´o, ´es csak a 0 lehet torl´ od´ asi pontja. Emellett egy λ ´ert´ek csak v´eges sokszor ism´etl˝odhet, ´ıgy v´eges sok f¨ uggetlen saj´ atvektora van, teh´at a λ 6= 0 saj´at´ert´ekek rangja v´eges. 5. l´ep´es. L´ attuk, hogy a kapott en saj´atvektor-sorozat TONR-t vagy ONB-t alkot ker(A)⊥ -ben, annak dimenzi´oj´at´ol f¨ ugg˝oen. Ha H szepar´abilis, akkor ker(A) is az, ´ıgy (ha ker(A) nem csak a 0 alt´er) v´alaszthat´o benne is TONR vagy ONB, most ker(A) dimenzi´oj´at´ol f¨ ugg˝oen. Ezek is saj´atvektorok, a 0 saj´ at´ert´ekhez tartoz´ oak. Ezeket is hozz´av´eve a ker(A)⊥ -beli en saj´atvektorokhoz, a kapott sorozat TONR-t alkot H-ban. 6.84. Megjegyz´ es. Legyen H tetsz˝oleges (nem felt´etlen¨ ul szepar´abilis) Hilbertt´er. Ekkor a fenti bizony´ıt´ as 2. l´ep´es´enek elj´ar´as´aval a nem 0 saj´at´ert´ekekhez tartoz´ o saj´ atvektorokb´ ol ker(A)⊥ -ben alkothat´o teljes ortonorm´alt rendszer, ami a 6.83. t´etel befejez˝ o´ all´ıt´as´anak ´altal´anosabb megfelel˝oje. 6.85. K¨ ovetkezm´ eny. Legyen H tetsz˝ oleges (nem felt´etlen¨ ul szepar´ abilis) Hilbert-t´er, ´es (ek )k∈N+ az A oper´ ator λk 6= 0 saj´ at´ert´ekeihez tartoz´ o ortonorm´ alt saj´ atvektorrendszer. Ekkor Ax =
∞ X
λk hx, ek i ek
(x ∈ H).
(6.10)
k=1
Bizony´ıt´ as. Mivel P az (ek )k∈N+ sorozat ker(A)⊥ -beli TONR, az x ∈ H vektor ∞ fel´ırhat´ o x = x0 + k=1 hx, ek i ek alakban, ahol x0 ∈ ker(A) ´es a m´asodik tag a ker(A)⊥ -beli komponens. Mivel A folytonos line´aris ´es Ax0 = 0, ez´ert ha alkalmazzuk erre a sorra, akkor megkapjuk (6.10)-et. 6.86. Megjegyz´ es. A 6.83. t´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy Hilbert t´erben minden A ∈ B(H) kompakt ¨ onadjung´alt oper´ator el˝o´all v´eges rang´ u oper´atorok limeszek´ent, azaz a 6.82. k¨ovetkezm´eny speci´alis esete. Legyen ugyanis An ∈ B(H) a k¨ ovetkez˝ o v´eges rang´ u oper´ator: An x :=
n X k=1
λk hx, ek i ek
(x ∈ H),
(6.11)
´ torok 6.6. Kompakt opera
97
ahol (ek )k∈N+ a λk 6= 0 saj´ at´ert´ekekhez tartoz´o ortonorm´alt saj´atvektorrend⊥ szer, amely ker(A) -beli TONR. Ekkor (A − An )|Hn = 0 ´es (A − An )|Hn⊥ = A|Hn⊥ , ahol Hn := span{e1 , . . . , en }, ´ıgy (6.9) alapj´an
kA − An k = A|Hn⊥ = |λn+1 | → 0. 6.87. Megjegyz´ es. (i) A 6.83. t´etel ´all´ıt´asai kompakt norm´alis oper´ator eset´en is igazak, l´ asd [42, Chap. 28]. (ii) A 6.83. t´etel els˝ o fele X Banach-t´erben is igaz tetsz˝oleges A ∈ B(X) kompakt oper´ atorra, l´ asd [38, 14. fejezet], ez a Riesz–Schauder-t´etel. Azaz, σ(A) megsz´ aml´ alhat´ o, ´es σ(A) \ {0} csak saj´at´ert´ekekb˝ol ´all, melyek csak a 0-ban torl´ odhatnak, ill. a λ 6= 0 saj´at´ert´ekek rangja v´eges. 6.88. Megjegyz´ es. (i) Ha A ∈ B(H) kompakt ´es H v´egtelen dimenzi´os, akkor 0 ∈ σ(A), ugyanis az A − 0 · I = A oper´atornak a 6.78. ´all´ıt´as miatt nem lehet korl´ atos inverze. (ii) A fentiek alapj´ an egyszer˝ u p´eld´ak adhat´ok olyan oper´atorokra v´egtelen dimenzi´ os Hilbert-t´erben, hogy a spektrum megegyezik, ill. szigor´ uan b˝ovebb a saj´ at´ert´ekek halmaz´ an´ al. Ha ugyanis egy kompakt ¨onadjung´alt oper´ator nem injekt´ıv, akkor 0 is saj´ at´ert´eke, ´ıgy Eig(A) = σ(A); ha viszont injekt´ıv, akkor 0 nem saj´ at´ert´eke, de a fentiek szerint spektrumpontja, ´ıgy Eig(A) ( σ(A). A 6.83. t´etel eredm´enye lehet˝ ov´e teszi m´asodfaj´ u egyenletek konstrukt´ıv megold´ as´ at az A saj´ at´ert´ekei ´es saj´atvektorai ismeret´eben. 6.89. T´ etel (Hilbert–Schmidt-sorfejt´ es). Legyen H szepar´ abilis Hilbertt´er, A ∈ B(H) kompakt ¨ onadjung´ alt oper´ ator, λ ∈ C regul´ aris ´ert´eke A-nak. Ekkor az Ax − λx = y m´ asodfaj´ u egyenlet az al´ abbi m´ odon oldhat´ o meg. Legyen (ek ) a saj´ atvektorokb´ ol alkotott teljes ortonorm´ alt rendszer, (λk ) a megfelel˝ o saj´ at´ert´ekek sorozata multiplicit´ assal sz´ amolva. Ha y=
∞ X k=1
ck ek
⇒
x=
∞ X k=1
ck ek . λk − λ
Bizony´ıt´ as. Mivel λ regul´ aris ´ert´ek, ´ıgy az x megold´as l´etezik ´es egy´ertelm˝ u. ∞ P Legyen x = ξk ek , ahol a ξk egy¨ utthat´okat m´eg nem ismerj¨ uk. Ekkor ck = k=1
hy, ek i = hAx − λx, ek i = hx, Aek i − hλx, ek i = (λk − λ)hx, ek i = (λk − λ)ξk . Itt λk − λ 6= 0, ´ıgy vele osztva k¨ovetkezik az ´all´ıt´as.
98
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
6.90. Megjegyz´ es. A m´ odszer akkor is m˝ uk¨odik, ha H nem szepar´abilis. ∞ P Ekkor ker(A)⊥ -ben l´etezik TONR, ´ıgy y = x0 + ck ek alakban ´all el˝o, ahol k=1
x0 ∈ ker(A). A fenti elj´ ar´ ast kieg´esz´ıtve ekkor x = − λ1 x0 +
∞ P k=1
ck λk −λ
ek .
Line´ aris algebrai egyenletrendszerek ismert tulajdons´aga n´egyzetes m´atrix eset´en, hogy a rendszernek pontosan akkor l´etezik tetsz˝oleges jobboldal eset´en megold´ asa, ha a homog´en rendszernek csak a 0 megold´asa. (A megfelel˝o line´ aris lek´epez´es teh´ at pontosan akkor szuperjekt´ıv, ha injekt´ıv: ez abb´ol k¨ ovetkezik, hogy a k´ept´er ´es magt´er dimenzi´oja egy¨ utt kiadja az eg´esz t´er – v´eges – dimenzi´ oj´ at.) A fenti tulajdons´ag nem igaz ´altal´aban v´egtelen dimenzi´ os terekben, de kompakt oper´atorb´ol k´epzett A − λI oper´atorokra igen, amit az al´ abbi nevezetes t´etel mond ki. 6.91. T´ etel (Fredholm-f´ ele alternat´ıvat´ etel). Legyen X Banach-t´er, A ∈ B(X) kompakt oper´ ator, λ ∈ C, λ 6= 0 adott sz´ am. Ekkor az Ax − λx = y m´ asodfaj´ u egyenlet megoldhat´ os´ ag´ ara n´ezve k´et eset lehets´eges: (i) (ha λ nem saj´ at´ert´eke A-nak:) b´ armely y ∈ X eset´en az Ax − λx = y egyenletnek egy´ertelm˝ uen l´etezik megold´ asa; (ii) (ha λ saj´ at´ert´eke A-nak:) az Ax − λx = 0 homog´en egyenletnek l´etezik x 6= 0 megold´ asa. Ha H Hilbert-t´er ´es A ¨ onadjung´ alt, akkor a (ii) esetben az Ax − λx = y egyenletnek pontosan akkor l´etezik megold´ asa, ha y ⊥ ker(A − λI), azaz ha hy, vi i = 0, ahol v1 , . . . , vn b´ azis ker(A − λI)-ben. Bizony´ıt´ as. Ha λ 6= 0 nem saj´at´ert´ek, akkor 6.87. megjegyz´es (ii) r´esze alapj´ an regul´ aris ´ert´ek, ´ıgy a 6.39. megjegyz´es (ii) r´esze szerint b´armely y ∈ X eset´en az Ax − λx = y egyenletnek egy´ertelm˝ uen l´etezik megold´asa. Ha λ saj´ at´ert´ek, akkor a (ii) tulajdons´ag defin´ıci´o szerint teljes¨ ul. Ha H Hilbert-t´er, A ¨ onadjung´alt ´es λ ∈ Eig(A), akkor igazolnunk kell: y ∈ R(A − λI) ⇔ y ⊥ ker(A − λI). A (⇒) ir´any k¨ovetkezik a 6.5. t´etelb˝ol, ha azt (A − λI)-re alkalmazzuk. A (⇐) ir´anyhoz legyen λ = λj a j-edik saj´at´ert´ek ´es y ⊥ Vj := ker(A − λj I) adott vektor. Legyen el˝osz¨or H szepar´abilis, ekkor ∞ P P y= dk ek = dk ek , ahol (ek ) a saj´atvektorokb´ol alkotott TONR. Ha k=1 ek ⊥Vj P k ck := λkd−λ (k ∈ N+ ), akkor a 2.26. ´all´ıt´as alapj´an x := ck ek ´ertelmes, j ek ⊥Vj
mert minden k 6= j eset´en |λk −λj | ≥ dist(σ(A)\{λj }, ´ıgy δ := λj > 0 mellett
´ torok spektra ´ lis elo ˝a ´ ll´ıta ´ sa, opera ´ torf¨ ´nyek 6.7. Opera uggve
99
P P |dk |2 = δ12 kyk2 < ∞. Emellett (A − λj I)x = (λk − |ck |2 ≤ δ12 ek ⊥Vj ek ⊥Vj ek ⊥Vj P λj )ck ek = dk ek = y, ´ıgy y ∈ R(A − λI). Ha H nem szepar´abilis, akkor a P
ek ⊥Vj
fenti x ´es y is kieg´esz´ıthet˝ o alkalmas ker(A)-beli komponenssel, felhaszn´alva, hogy a ker(A) alt´erben A − λj I megegyezik −λj I-vel.
6.7. Oper´ atorok spektr´ alis el˝ o´ all´ıt´ asa, oper´ atorfu enyek ¨ ggv´ 6.7.1. Oper´ atorok el˝ o´ all´ıt´ asa spektrumuk alapj´ an 6.92. T´ etel (Hilbert–Schmidt). Legyen H Hilbert-t´er. Ekkor b´ armely A ∈ B(H) kompakt ¨ onadjung´ alt oper´ ator el˝ o´ all az A=
∞ X
λn Pn
(6.12)
n=1
pontonk´ent konvergens sor alakj´ aban, ahol a |λ1 | > |λ2 | > . . . val´ os sz´ amsorozatnak csak a nulla lehet torl´ od´ asi pontja, ´es Pn (n ∈ N+ ) projektor (´espedig az, amely az Sn := {x ∈ H : Ax = λn x} saj´ atalt´erre vet´ıt). Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk a (6.10) sorfejt´est, ahol (ek )k∈N+ a saj´atvektorokb´ol all´ ´ o ker(A)⊥ -beli TONR. Ha most a saj´at´ert´ekeket ´atindexelj¨ uk u ´gy, hogy csak a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o saj´ at´ert´ekeket vessz¨ uk figyelembe, akkor legyen Pn az Sn saj´ atalt´erre vett ortogon´ alis projekci´o. Ekkor X Pn x = hx, ei i ei i: ei ∈Sn
´es ´ıgy Ax =
∞ X
λ n Pn x
(∀x ∈ H).
n=1
6.93. Megjegyz´ es. (Kompakt norm´alis oper´ator spektr´alfelbont´asa.) A 6.87. megjegyz´es alapj´ an a 6.92. t´etel b´armely A ∈ B(H) kompakt norm´alis oper´atorra is igaz. ´Igy teh´ at egy A ∈ B(H) kompakt norm´alis oper´ator el˝o´all´ıthat´o a saj´ at´ert´ekei ´es megfelel˝ o projekci´ok szerinti (6.12) u ´n. spektr´ alfelbont´ assal, ahol |λ1 | > |λ2 | > . . . komplex sz´amsorozat. Ez a tulajdons´ag a szimmetrikus, ill. norm´ alis m´ atrixok spektr´alfelbont´as´anak k¨ozvetlen ´altal´anos´ıt´asa, a k¨ ul¨ onbs´eg csak az, hogy most nem v´eges sok projekci´o szerepel.
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
100
Ilyen felbont´ as nemcsak kompakt oper´atorra lehets´eges, hiszen tetsz˝oleges (en ) ⊂ H TONR ´es (λn ) ⊂ C korl´atos sz´amsorozat eset´en defini´alhat´o az al´ abbi oper´ ator: x=
∞ X
cn e n
eset´en Ax :=
n=1
∞ X
λn cn en
(x ∈ H).
(6.13)
n=1
K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy kAxk ≤ (supn |λn |)kxk, ´ıgy A ∈ B(H). Az A oper´atornak ekkor (en ) teljes saj´ atvektorrendszere. Itt A pontosan akkor kompakt, ha λn → 0. Ha a 6.92. t´etel bizony´ıt´as´ahoz hasonl´oan ´atindexelj¨ uk a saj´at´ert´ekeket ´es bevezetj¨ uk a Pn projekci´okat, akkor a (6.12) felbont´ashoz jutunk. A fenti konstrukci´ oval igazolhat´o az al´abbi tulajdons´ag, amely a 6.52. k¨ovetkezm´eny ´es 6.57. ´ all´ıt´ as megford´ıt´asa”: ” ´ ıt´ 6.94. All´ as. B´ armely K ⊂ C kompakt, nem u ¨res halmazhoz van olyan A ∈ B(H) oper´ ator, hogy K = σ(A). Bizony´ıt´ as. L´etezik olyan (λn ) ⊂ C megsz´aml´alhat´o halmaz, amely s˝ ur˝ u K-ban. Ez korl´ atos sz´ amsorozat, ´ıgy ha H szepar´abilis Hilbert-t´er ´es benne (en ) ⊂ H TONR, akkor ´ertelmezhet˝o a (6.13) oper´ator. Itt A saj´ at´ert´ekei a λn sz´ amok, ´ıgy (λn )n∈N+ ⊂ σ(A), ebb˝ol σ(A) z´arts´aga miatt K = (λn )n∈N+ ⊂ σ(A). Ha viszont λ ∈ C \ K, akkor λ regul´aris ´ert´ek, mivel ∞ ∞ P P dn b´ armely y = dn en eset´en az (A − λI)x = y egyenletnek x = λn −λ en n=1
n=1
egy´ertelm˝ u megold´ asa. Itt az ut´obbi sor konvergenci´aja a 2.26. ´all´ıt´as alapj´an ∞ ∞ P P dn 2 1 2 |dn |2 = dist(λ,K) < ∞ becsl´esb˝ol k¨oveta | λn −λ | ≤ inf |λ1n −λ|2 2 kyk n=1
n
n=1
kezik.
Mi mondhat´ o a (6.12) felbont´as helyett, ha az A oper´atornak nincs teljes saj´ atvektorrendszere? Vizsg´ aljuk meg ezt a 6.40. megjegyz´es (ii) p´eld´aja alapj´ an, amikor A-nak nincs egyetlen saj´at´ert´eke sem. Legyen most I = [0, 1], H := L2 (I) ´es A : H → H, (Af )(x) := x f (x). L´ attuk, hogy ekkor σ(A) = I = [0, 1]. A fenti A oper´ ator egyszer˝ uen k¨ozel´ıthet˝o olyan An oper´atorokkal, melyekre ´erv´enyes a (6.12)-nek megfelel˝o felbont´as. Legyen n ∈ N+ , ´es bontsuk fel (n) k [0, 1)-et az Ik ≡ Ik := [ k−1 atfed˝o intervallumokra (k = 1, . . . , n). n , n ) nem´
´ torok spektra ´ lis elo ˝a ´ ll´ıta ´ sa, opera ´ torf¨ ´nyek 6.7. Opera uggve
101
(n)
Legyen χk ≡ χk az Ik karakterisztikus f¨ uggv´enye (amely Ik -ban 1-et, I \ Ik (n) ban 0-t vesz fel) ´es λk ≡ λk := nk (k = 1, . . . , n), valamint adott f ∈ L2 (I) eset´en (ha x ∈ Ik ),
(An f )(x) := λk f (x)
azaz An f :=
n X
λk χk f,
k=1
teh´ at An a
n P
λk χk l´epcs˝ osf¨ uggv´ennyel val´o szorz´as oper´atora. K¨onnyen l´at-
k=1
hat´ o, hogy a (n)
Pk ≡ Pk
: L2 (I) → L2 (I),
Pk f := χk f
lek´epez´es (amely Ik -ban helybenhagyja ´es azon k´ıv¨ ul lenull´azza f -et) projekci´ o az Ik -n k´ıv¨ ul elt˝ un˝ o L2 -beli f¨ uggv´enyek alter´ere, ´ıgy An =
n X
λ k Pk .
k=1
Megmutatjuk, hogy An f → Af (∀f ∈ L2 (I)) L2 -norm´aban, ha n → ∞. A defin´ıci´ ob´ ol x ∈ Ik eset´en |x−λk | = |x− nk | ≤ n1 , ´ıgy |(x−λk )f (x)| ≤ n1 |f (x)|. Ez minden k-ra igaz, ´ıgy |(A − An )f | ≤ n1 |f | pontonk´ent az eg´esz I-ben, amib˝ ol k(A − An )f kL2 ≤ n1 kf kL2 → 0. Teh´at n X
λk Pk → A
pontonk´ent L2 (I)-ben.
k=1
Vezess¨ uk be azt a P lek´epez´est, amely az Ik intervallumhoz a Pk projektort rendeli, azaz legyen P (Ik ) := Pk , ekkor n X
λk P (Ik ) → A
pontonk´ent L2 (I)-ben.
(6.14)
k=1
Az oper´ atorel˝ o´ all´ıt´ as f˝ o ´eszrev´etele az, hogy a fenti formula anal´og egy egyv´ altoz´ os integr´ a llal: az id(λ) := λ val´os f¨ uggv´enyre, µ-vel jel¨olve a LebesgueR m´ert´eket ´es . dµ(λ)-val a λ val´os f¨ uggv´enyeinek µ szerinti integr´alj´at, n X k=1
Z λk µ(Ik ) →
1
λ dµ(λ). 0
Ez alapj´ an a k¨ ovetkez˝ ot mondhatjuk: jel¨olje B(I) az I intervallum Borelhalmazait, ´es legyen P : B(I) → B(H)
102
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
az a lek´epez´es, amely egy ω ∈ B(I) halmazhoz a P (ω) : f 7→ χω f projektort rendeli. (Ez a projektor teh´at ω-ban helybenhagyja ´es azon k´ıv¨ ul lenull´ azza f -et; l´enyeg´eben P (ω)f az f|ω lesz˝ uk´ıt´es, amit m´eg 0 ´ert´ekkel terjeszt¨ unk vissza I-re. Speci´ alisan, ha ω = Ik , akkor P (Ik ) ´eppen a fenti Pk projektor.) Itt teh´ at P egy projektor´ert´ek˝ u m´ert´ek. Ekkor a (6.14) formula alapj´ an az A oper´ atort u ´gy ´ertelmezhetj¨ uk, mint az id(λ) := λ identit´asf¨ uggv´enynek a P projektor´ert´ek˝ u m´ert´ek szerinti integr´alj´at az I intervallumon, azaz Z 1 n X A= λk P (Ik ). (6.15) λ dP (λ) = lim n→∞
0
k=1
A fenti konvergencia I-nek az Ik -kra val´o felbont´asa helyett tetsz˝oleges ωk n P Borel-r´eszhalmazaira val´ o felbont´asai eset´en is igazolhat´o, ha a λk χωk l´epk=1
cs˝ osf¨ uggv´eny egyenletesen tart az id(λ) := λ identit´asf¨ uggv´enyhez. A tov´abbi r´eszletek t´ argyal´ asa n´elk¨ ul most csak kimondjuk, hogy a kapott integr´alformula ´ altal´ aban is igaz b´ armely norm´alis oper´ator eset´en, ahol az I intervallum hely´ere az adott oper´ ator spektruma l´ep: 6.95. T´ etel (spektr´ alt´ etel). Legyen H Hilbert-t´er, A ∈ B(H) norm´ alis oper´ ator. Ekkor l´etezik egyetlen olyan P : B(σ(A)) → B(H) projektor´ert´ek˝ u m´ert´ek az A spektrum´ anak Borel-r´eszhalmazain, hogy Z A= λ dP (λ). (6.16) σ(A)
A P m´ert´eket az A oper´ ator spektr´ alfelbont´ as´ anak h´ıvjuk. A t´etelben szerepl˝ o integr´ al teh´at u ´gy ´ertend˝o, hogy fenn´all a (6.15)-beli limesz megfelel˝ oje, azaz A = lim
n→∞
n X
λk P (ωk )
(6.17)
k=1
σ(A)-nak tetsz˝ oleges ωk Borel-r´eszhalmazaira val´o felbont´asai eset´en, ha a Pn λ χ l´ e pcs˝ osf¨ uggv´eny egyenletesen tart az id(λ) = λ identit´asf¨ uggk ω k k=1 v´enyhez. A P m´ert´ekre a spektr´alfelbont´as” elnevez´es a kompakt esettel ” anal´ og, l´ asd 6.93. megjegyz´es. S˝ot, a 6.92. t´etel speci´alis esete a 6.95. t´etelnek, ha a P m´ert´eket a {λk } saj´at´ert´ekekb˝ol ´all´o egypont´ u halmazokon az Sk saj´ atalterekre vet´ıt˝ o PSk projektoroknak, a saj´at´ert´ekek halmaz´anak komplementer´en pedig a nulla oper´atornak defini´aljuk (diszkr´et tart´oj´ u m´ert´ek). A spektr´ alt´etel bizony´ıt´ asa ´es a t´emak¨or r´eszletes t´argyal´asa pl. a [62] k¨onyvben olvashat´ o.
´ torok spektra ´ lis elo ˝a ´ ll´ıta ´ sa, opera ´ torf¨ ´nyek 6.7. Opera uggve
103
6.7.2. Oper´ atorfu enyek ¨ ggv´ Adott A ∈ B(H) oper´ ator eset´en ´ertelmes A-nak az An hatv´anya b´armely n n ∈ N eset´en: A x := A(A(. . . (Ax)..)) (ha n ≥ 1) ´es A0 := I (az identit´ as). Ezekre ´erv´enyesek a szok´asos sz´amol´asi szab´alyok, pl. An Am = An+m . Term´eszetes m´ odon nyerhetj¨ uk ezekb˝ol A polinomjait is. K´erd´es, hogy ´altal´anosabb f val´ os f¨ uggv´eny eset´en hogyan ´ertelmezhetj¨ uk egy oper´ator f (A) ∈ B(H) f¨ uggv´eny´et u ´gy, hogy ez kiterjessze a fentieket ´es ´erv´enyben maradjanak a sz´ amol´ asi szab´ alyok. A gyakorlatban fontos esetek k¨oz¨ott eml´ıthetj¨ uk egy pozit´ıv oper´ ator n´egyzetgy¨ok´et, vagy egy oper´ator exponenci´alis f¨ uggv´eny´et. M´ atrixokra az ut´ obbi line´aris differenci´alegyenletekn´el bukkan fel, aminek v´egtelen dimenzi´ os megfelel˝oje is ´ertelmes, l´asd a 9. fejezetben. Ebben a szakaszban k´etf´ele megk¨ozel´ıt´est v´azolunk. (a) Oper´ atorfu enyek hatv´ anysorral ¨ ggv´ Az oper´ atorpolinomok term´eszetes ´altal´anos´ıt´asai az oper´atorhatv´anysorok, ezzel egy oper´ ator analitikus f¨ uggv´enyeit defini´alhatjuk. A 6.5.3. szakaszban l´ attunk ilyen p´eld´ at a Neumann-sorn´al. A (6.6) defin´ıci´ohoz k´epest viszont m´ as helyzetben vagyunk, mert ott sz´amot hatv´anyoztunk oper´atoregy¨ utthat´ okkal, most pedig adott oper´atort hatv´anyozunk ´es az egy¨ utthat´ok sz´ amok. ∞ P ´ ıt´ 6.96. All´ as. Legyen R > 0, (cn ) ⊂ C, ´es legyen a cn z n hatv´ anysor n=0
konvergens b´ armely z ∈ C, |z| < R eset´en. Ekkor b´ armely A ∈ B(H) eset´en, ∞ P n melyre kAk < R, a cn A sor konvergens B(H)-norm´ aban. n=0
Bizony´ıt´ as. Az oper´ atorsor abszol´ ut konvergens:
∞ P
kcn An k ≤
n=0
∞ P
|cn |kAkn <
n=0
∞ az kAk < R felt´etel ´es a hatv´anysor abszol´ ut konvergenci´aja miatt, ´ıgy az 1.12. ´ all´ıt´ as szerint az oper´ atorsor konvergens is. 6.97. Defin´ıci´ o. Legyen R > 0, f : C → C, melyre f (z) =
∞ P
cn z n (∀|z| <
n=0
R). Ha A ∈ B(H) ´es kAk < R, akkor f (A) :=
∞ X
c n An .
n=0
P´ eld´ ak. 1. Oper´ ator exponenci´ alisa. Tetsz˝oleges A ∈ B(H) eset´en legyen eA :=
∞ X An . n! n=0
(6.18)
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
104
Mivel a megfelel˝ o sz´ amsor minden¨ utt konvergens, a 6.96. ´all´ıt´as szerint a fenti oper´ atorsor ´ertelmes. ´ ıt´ 6.98. All´ as. Legyenek A, B ∈ B(H). (i) Ha AB = BA, akkor eA+B = eA eB . (ii) e0 = I (ahol 0 a nulla-oper´ ator ´es I az identit´ as). A A −1 −A (iii) e invert´ alhat´ o ´es (e ) = e . (iv) keA k ≤ ekAk . Bizony´ıt´ as. Ugyan´ ugy, mint a m´atrixokn´al. Az (i)-hez ´ırjuk fel hatv´anysorokkal az ea+b = ea eb (a, b ∈ R) azonoss´agot, majd cser´elj¨ uk ki a-t ´es b-t A-ra ´es B-re. A (ii) pont a defin´ıci´ob´ol k¨ovetkezik. Az (i)-ben B = −A helyettes´ıt´essel kapjuk (iii)-at. A (iv) pont abb´ol k¨ovetkezik, hogy keA k fels˝o becsl´esek´ent bevihetj¨ uk a norm´akat a szumma m¨og´e, majd a hatv´anyok al´a. 2. Egyenletesen pozit´ıv oper´ ator n´ egyzetgyo ¨ke. El˝ osz¨ or az identit´ asoper´ ator perturb´aci´oinak n´egyzetgy¨ok´et ´ertelmezz¨ uk: az ∞ P α n α (1 + x) = es alapj´an n x (|x| < 1) sorfejt´ n=0
(I + C)1/2 :=
∞ X 1/2 C n, n n=0
ha C ∈ B(H), kCk < 1.
Legyen most A ∈ B(H) egyenletesen pozit´ıv oper´ator. Ekkor teh´at A ¨onadjung´ alt ´es l´eteznek olyan M ≥ m > 0 ´alland´ok, hogy 2
m kuk ≤ hAu, ui ≤ M kuk
2
(∀u ∈ H).
(6.19)
(Itt a 6.11. t´etel alapj´ an kAk ≤ M .) N´emi sz´amol´assal igazolhat´o, hogy ekkor
2
M −m
m + M A − I ≤ M + m < 1. (A levezet´est l´ asd a 16. fejezetben, a (16.5) formul´an´al, ahol erre ´altal´anosabb helyzetben van sz¨ uks´eg.) Ha teh´at C :=
2 A − I, m+M
akkor kCk < 1 ´es A =
m+M (I + C). 2
´Igy ´ertelmezhet˝ o r r ∞ n m+M m + M X 1/2 2 1/2 1/2 A := (I + C) = A−I . 2 2 n m+M n=0
´ torok spektra ´ lis elo ˝a ´ ll´ıta ´ sa, opera ´ torf¨ ´nyek 6.7. Opera uggve
105
2 ´ ıt´ 6.99. All´ as. Ha A ∈ B(H) egyenletesen pozit´ıv oper´ ator, akkor (A1/2 ) = A, ´es A1/2 is ¨ onadjung´ alt. 2
Bizony´ ıt´ as. Az (A1/2 ) = A tulajdons´aghoz ´ırjuk fel hatv´anysorokkal a √ 2 ( 1 + c) = 1+c azonoss´ agot (c ∈ R, |c| < 1), majd cser´elj¨ uk ki c-t a fenti C1/2 -vel. A o nadjung´ alt volta abb´ol re ´es szorozzuk meg az egyenl˝os´eget m+M ¨ 2 k¨ ovetkezik, hogy hatv´ anysor´ anak minden tagja ¨onadjung´alt. (b) Oper´ atorfu enyek spektr´ alis el˝ o´ all´ıt´ assal ¨ ggv´ Legyen most H szepar´ abilis ´es A ∈ B(H) olyan oper´ator, melynek l´etezik (en )n∈N+ ⊂ H teljes saj´ atvektorrendszere, azaz (en ) TONR ´es Aen = λn en (n ∈ N+ ) valamely (λn ) ⊂ C korl´atos sz´amsorozatra. (Ha p´eld´aul A kompakt onadjung´ alt, akkor ez teljes¨ ul, ´es (λn ) val´os nullsorozat, l´asd 6.83. t´etel). ¨ Ekkor ∞ ∞ X X x= cn en eset´en Ax = λn cn en (x ∈ H). n=1
n=1
Ekkor A hatv´ anyai ´es ´ıgy polinomjai is invari´ansak a saj´atir´anyokban, azaz k k P P ha p(x) = cj xj adott polinom, akkor minden n-re p(A)en = cj Aj en = j=0 k P
cj λjn en
j=0
= p(λn )en , ez´ert
j=0
x=
∞ X
cn en
eset´en p(A)x =
∞ X
p(λn )cn en
(x ∈ H).
n=1
n=1
Ez az egyenl˝ os´eg motiv´ alja a k¨ovetkez˝o defin´ıci´ot: 6.100. Defin´ıci´ o. Ha H szepar´ abilis ´es az A ∈ B(H) oper´ atornak l´etezik atvektorrendszere λn saj´ at´ert´ekekkel, valamint ha f : (en )n∈N+ ⊂ H teljes saj´ C → C korl´ atos a (λn )n∈N+ halmazon, akkor legyen f (A) ∈ B(H) az az oper´ ator, melyre x=
∞ X n=1
cn en
eset´en
f (A)x :=
∞ X
f (λn )cn en
(x ∈ H).
n=1
6.101. Megjegyz´ es. (i) Az f (A)x sor´anak konvergenci´aj´at az (f (λn )) sz´amsorozat korl´ atoss´ aga garant´ alja. (ii) A defin´ıci´ ob´ ol k¨ ovetkezik, hogy a f¨ uggv´enym˝ uveletek meg˝orz˝odnek a megfelel˝ o oper´ atorokra, pl. (f · g)(A) = f (A)g(A) vagy (f ◦ g)(A) = f (g(A)). (iii) K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy ha az A oper´atorra ´ertelmes a 6.97. defin´ıci´o is, akkor a k´etf´elek´epp defini´alt f (A) oper´ator ugyanaz (a hatv´anysort polinomok limeszek´ent ´ırjuk fel), ´ıgy jogos, hogy mindk´etszer az f (A) jel¨ol´est
´ ris opera ´ torok Hilbert-te ´rben 6. Folytonos linea
106
haszn´ altuk. Egyik defin´ıci´ o sem speci´alis esete a m´asiknak, azaz el˝ofordul, hogy csak az egyik vagy csak a m´asik haszn´alhat´o. Mi mondhat´ o ´ altal´ anosabban, ha A olyan oper´ator, melynek nincs teljes saj´ atvektorrendszere? Erre norm´alis oper´ator eset´en a 6.95. spektr´alt´etel, ´ ill. a benne szerepl˝ o P projektor´ert´ek˝ u m´ert´ek haszn´alhat´o. Espedig, ha A ∈ B(H) norm´ alis oper´ ator ´es P a spektr´alfelbont´asa, azaz ´erv´enyes (6.16), akkor adott f : σ(A) → C korl´atos, m´erhet˝o f¨ uggv´eny eset´en legyen Z f (A) := f (λ) dP (λ), (6.20) σ(A)
ahol az integr´ alt a (6.17)-nek megfelel˝o hat´ar´atmenettel ´ertelmezz¨ uk (λk helyett f (λk ) szerepel). Ez a defin´ıci´o kiterjeszt´ese a fenti, teljes saj´atvektorrendszerrel bevezetett fogalomnak, ´es a f¨ uggv´enym˝ uveletek itt is meg˝orz˝odnek a megfelel˝ o oper´ atorokra. Az f (A) oper´ ator ´es az f f¨ uggv´eny (maximum)-norm´aja szorosan kapcsol´odik egym´ ashoz: ´ ıt´ 6.102. All´ as. Ha A ∈ B(H) norm´ alis oper´ ator ´es f : σ(A) → C korl´ atos, m´erhet˝ o f¨ uggv´eny, akkor kf (A)k ≤ sup |f |. σ(A)
Bizony´ıt´ as. Tegy¨ uk fel el˝ osz¨or, hogy A-nak van (en ) teljes saj´atvektorrend∞ ∞ P P szere. Ha x = cn en ∈ H ´es kxk2 = |cn |2 = 1, akkor n=1
n=1
kf (A)xk2 =
∞ X
|f (λn )cn |2 ≤
n=1
=
sup λ∈Eig(A)
sup
|f (λ)|2
λ∈Eig(A)
∞ X
|cn |2 =
n=1
|f (λ)|2 ≤ sup |f (λ)|2 , λ∈σ(A)
´ıgy kf (A)k ≤ sup |f |. Ha A-nak nincs teljes saj´atvektorrendszere, akkor a σ(A)
fentebb eml´ıtett hat´ ar´ atmenetet alkalmazzuk, ´es a k¨ozel´ıt˝o ¨osszegekn´el az el˝ obbi gondolatmenet megfelel˝oj´et haszn´aljuk, a r´eszleteket l´asd [62]-ben. Az (6.20) integr´ allal ´ertelmezett oper´atorf¨ uggv´enyek alaposabb t´argyal´asa szint´en [62]-ben olvashat´ o. Megeml´ıtj¨ uk innen, hogy a fenti ´all´ıt´asban folytonos f eset´en egyenl˝ os´eg ´ all fenn. (Ez teljes saj´atvektorrendszer eset´en r¨ogt¨on l´ atszik, s˝ ot itt el´eg f korl´ atoss´aga is; ha ugyanis λkn a saj´at´ert´ekek olyan r´eszsorozata, melyre |f (λkn )| → supλ∈Eig(A) |f (λ)|, ´es ekn jel¨oli a megfelel˝o norm´ alt saj´ atvektorokat, akkor kf (A)ekn k = |f (λkn )| → supλ∈Eig(A) |f (λ)|.)
´ torok spektra ´ lis elo ˝a ´ ll´ıta ´ sa, opera ´ torf¨ ´nyek 6.7. Opera uggve
107
A fenti defin´ıci´ oval p´eld´ aul tetsz˝oleges (nemcsak egyenletesen) pozit´ıv oper´ator n´egyzetgy¨ oke is ´ertelmezhet˝o: Z √ A1/2 := λ dP (λ), σ(A)
ill. speci´ alisan, TSVR mellett A
1/2
x :=
∞ √ X n=1
2
Ekkor is igaz, hogy (A1/2 ) = A.
λn cn en .
II. r´ esz
Line´ aris oper´ atoregyenletek elm´ elete Hilbert-t´ erben
109
7. fejezet
Oper´ atoregyenletek megoldhat´ os´ aga korl´ atos oper´ ator eset´ en Ebben a fejezetben oper´ atoregyenletek megold´as´anak l´etez´es´ere ´es egy´ertelm˝ us´eg´ere vonatkoz´ o t´eteleket igazolunk koercivit´asi felt´etelekre alapozva. Ez a t´emak¨ or tartalmazza a Lax–Milgram-lemm´at, amely alapvet˝o fontoss´ag´ u sz´ amos alkalmaz´ asban, els˝ osorban elliptikus feladatok gyenge megold´as´an´al ´es az erre alapul´ o v´egeselemes megold´asokn´al. Fel´ep´ıt´es¨ unkben el˝osz¨or oper´ atoregyenletekkel foglalkozunk, ´es ezekre t´amaszkodva igazoljuk a biline´aris form´ akat haszn´ al´ o Lax–Milgram-lemm´at ´es v´altozatait. Az I. r´eszben alap´ertelmez´esben komplexnek tekintett¨ unk egy Hilbert-teret, ahogy ebben a t´emak¨ orben szok´as. Ennek oka, hogy a funkcion´alanal´ızis fejl˝od´ese sor´ an a f˝ o motiv´ aci´ ot jelent˝o fizikai alkalmaz´asokban komplex t´erre volt sz¨ uks´eg. N´eh´ any fontos ´ all´ıt´ asn´al, amely kihaszn´alja a t´er komplex volt´at, ezt k¨ ul¨ on megeml´ıtett¨ uk; am´ ugy az I. r´esz t¨obbi fogalma ´es vizsg´alt tulajdons´aga altal´ ´ aban ´erv´enyes val´ os t´erben is. A tov´ abbiakban, vagyis oper´atoregyenletek ´es numerikus m´odszerek eset´en m´ ar j´ oval nagyobb szerep jut a val´os Hilbert-tereknek, s˝ot legt¨obbsz¨or csak ez haszn´ alhat´ o k´enyelmesen. ´Igy ebben ´es a k¨ovetkez˝o fejezetekben mindig sz´ ot ejt¨ unk arr´ ol, milyen (val´ os ´es/vagy komplex) terekben dolgozunk; eleinte legt¨ obbsz¨ or mindkett˝ ore ´erv´enyes t´eteleket l´atunk, k´es˝obb ´altal´aban m´ar csak val´ os terekr˝ ol lesz sz´ o. A sz´ amtestre ´altal´anosan a K jel¨ol´est haszn´aljuk, azaz K := R vagy C.
111
112
´ toregyenletek megoldhato ´ sa ´ ga 7. Opera
Ezzel kapcsolatban c´elszer˝ u el˝ore tiszt´azni k´et rokon fogalom, az egyenletes pozitivit´ as ´es a koercivit´ as kapcsolat´at, ut´obbinak ugyanis (b´ar a 6.2. szakasz¨ ban ezt is bevezett¨ uk) eddig nem jutott ´erdemi szerep. Osszefoglalva teh´at: • Egy A ∈ B(H) oper´ atort egyenletesen pozit´ıvnak h´ıvunk – H komplex Hilbert-t´er eset´en: 2 ha l´etezik m > 0, hogy hAx, xi ≥ m kxk (∀x ∈ H). (Ekkor A sz¨ uks´egk´eppen ¨onadjung´alt is.) – H val´ os Hilbert-t´er eset´en: ha A ¨ onadjung´ alt ´es l´etezik m > 0, hogy (∀x ∈ H).
2
hAx, xi ≥ m kxk
• Egy A ∈ B(H) oper´ atort koerc´ıvnek h´ıvunk – H komplex Hilbert-t´er eset´en: 2 ha l´etezik m > 0, hogy Re hAx, xi ≥ m kxk (∀x ∈ H). – H val´ os Hilbert-t´er eset´en: 2 ha l´etezik m > 0, hogy hAx, xi ≥ m kxk (∀x ∈ H). (Ekkor A nem felt´etlen¨ ul o¨nadjung´alt.) Egy oper´ ator teh´ at pontosan akkor egyenletesen pozit´ıv, ha koerc´ıv ´es onadjung´ alt. ¨
7.1. Egyenletek koercivit´ asi felt´ etelek mellett Legyen H val´ os vagy komplex Hilbert-t´er, A ∈ B(H). Ebben a szakaszban arra adunk felt´eteleket, hogy egy Ax = y egyenletnek b´armely y ∈ H eset´en l´etezz´ek egyetlen x∗ ∈ H megold´asa. Ez ugyanazt jelenti, mint hogy A bijekci´ o H-r´ ol H-ra. Az egyenletekkel val´o megfogalmaz´as els˝osorban a t´etelek alkalmaz´ asai sor´ an lesz hasznos. Az Ax = y alak´ u egyenleteket szok´as els˝ofaj´ unak, m´ıg adott λ sz´am eset´en az Ax − λx = y alak´ uakat m´ asodfaj´ unak nevezni. Ut´obbira a 6.6. szakasz v´eg´en l´ attunk p´eld´ at, amikor A kompakt; ilyenkor – ha a t´er v´egtelen dimenzi´os – az els˝ ofaj´ u egyenletnek nem is lehet minden jobboldalra megold´asa, mert a 6.80. k¨ ovetkezm´eny szerint kompakt oper´ator nem lehet szuperjekt´ıv. (Kompakt els˝ ofaj´ u oper´ atoregyenletek kezel´ese gyakran ´epp m´asodfaj´ u k¨ozel´ıt´eseikkel t¨ ort´enik, amit a 17.2. szakaszban v´azolunk.) A megold´ as l´etez´ese ´es egy´ertelm˝ us´ege mellett az is fontos tulajdons´ag, hogy az x megold´ as folytonosan f¨ uggj¨on az y jobboldalt´ol. A 4.17. k¨ovetkezm´eny
´ si felte ´telek mellett 7.1. Egyenletek koercivita
113
szerint ez eset¨ unkben k¨ ovetkezik abb´ol, hogy A bijekci´o, ´ıgy nem kellene k¨ ul¨ on igazolni, a folytonos f¨ ugg´esben szerepl˝o konstans konkr´et ´ert´eke miatt azonban t¨ obbsz¨ or m´egis megfogalmazzuk.
7.1.1. Megoldhat´ os´ agi t´ etelek 7.1. T´ etel. ( Els˝ o megoldhat´ os´ agi t´etel”.) Legyen A ∈ B(H) egyenletesen ” 2 pozit´ıv oper´ ator, azaz A ¨ onadjung´ alt ´es l´etezik m > 0, hogy hAx, xi ≥ m kxk (∀x ∈ H). Ekkor b´ armely b ∈ H eset´en az Ax = b egyenletnek l´etezik egyetlen x∗ ∈ H megold´ asa. Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk a (H, k·kA ) energiateret, amely az egyenletes pozitivit´ as miatt maga is Hilbert-t´er (l´asd 6.20. K¨ovetkezm´eny). R¨ogz´ıtett b ∈ H eset´en legyen φ : H → K, φv = hv, bi, amely nyilv´an line´aris ´es folytonos is, mert 1 1 |φv| = |hv, bi| ≤ kvk kbk ≤ √ kvkA kbk = √ kbk kvkA . m m A Riesz-f´ele reprezent´ aci´ os t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik egyetlen x∗ ∈ H, ∗ melyre φv = hv, x iA minden v ∈ H eset´en. Ut´obbi pedig ekvivalens azzal, hogy x∗ megold´ asa az Ax = b egyenletnek, mert hv, bi = φv = hv, x∗ iA = hAv, x∗ i = hv, Ax∗ i
(∀v ∈ H),
azaz b = Ax∗ .
A k¨ ovetkez˝ o megoldhat´ os´ agi t´etelben ´altal´anos´ıtjuk az egyenletes pozitivit´as felt´etel´et. Id´ezz¨ uk fel a fejezet elej´er˝ol a koercivit´as fogalm´at: l´attuk, hogy ha H val´ os Hilbert-t´er, akkor a defin´ıci´oban Re” elhagyhat´o, de ilyenkor a ” koercivit´ as nem vonja maga ut´an az ¨onadjung´alts´agot. 7.2. T´ etel. ( M´ asodik megoldhat´ os´ agi t´etel”.) Legyen A ∈ B(H) koerc´ıv ope” r´ ator. Ekkor b´ armely b ∈ H eset´en az Ax = b egyenletnek l´etezik egyetlen x∗ ∈ H megold´ asa. Bizony´ıt´ as. (1) El˝ osz¨ or megmutatjuk, hogy a tett feltev´esek eset´en az al´abbi k´et tulajdons´ ag teljes¨ ul: (i) kAxk ≥ m kxk (x ∈ H); (ii) A∗ injekt´ıv. Val´ oban, egyr´eszt az 2
m kxk ≤ Re hAx, xi ≤ |hAx, xi| ≤ kAxk kxk
(7.1)
114
´ toregyenletek megoldhato ´ sa ´ ga 7. Opera
egyenl˝ otlens´egek miatt kAxk ≥ m kxk (∀x ∈ H). Speci´alisan, emiatt A injekt´ıv is. M´ asr´eszt, itt A∗ is koerc´ıv: 2
Re hA∗ x, xi = Re hx, Axi = Re hAx, xi = Re hAx, xi ≥ m kxk
(∀x ∈ H),
ez´ert A∗ szint´en injekt´ıv. (2) Most megmutatjuk, hogy az (i)-(ii) tulajdons´agokb´ol k¨ovetkezik a k´ıv´ant megoldhat´ os´ ag. Mivel A injekt´ıv, ´ıgy legfeljebb egy megold´as lehet, azaz el´eg igazolni a megold´ as l´etez´es´et. Tekints¨ uk az eredeti egyenlet szimmetriz´altj´at, azaz az A∗ Ax = A∗ b u ´n. norm´ alegyenletet. Ennek az oper´atora m´ar ¨onadjung´alt ´es egyenletesen pozit´ıv, hiszen 2
hA∗ Ax, xi = kAxk ≥ m2 kxk
2
(∀x ∈ H).
A szimmetriz´ alt egyenlet az el˝oz˝o t´etel szerint egy´ertelm˝ uen megoldhat´o, azaz l´etezik x∗ ∈ H, melyre A∗ Ax∗ = A∗ b. Ebb˝ol pedig A∗ injektivit´asa r´ev´en Ax∗ = b is k¨ ovetkezik. A fenti t´etel ritk´ abban haszn´alt, de enyh´ebb felt´etelre ´ep¨ ul˝o v´altozata: 7.3. T´ etel. Legyen A ∈ B(H), melyre van olyan m > 0, hogy | hAx, xi | ≥ 2 m kxk (∀x ∈ H). Ekkor b´ armely b ∈ H eset´en az Ax = b egyenletnek l´etezik egyetlen x∗ ∈ H megold´ asa. Bizony´ıt´ as. Az el˝ oz˝ o t´etel bizony´ıt´asa most is m˝ uk¨odik: ott is az | hAx, xi | ≥ 2 m kxk egyenl˝ otlens´eget hoztuk ki ´es onnan folytattuk, l´asd (7.1), valamint ezt is ¨ or¨ okli A∗ , hiszen | hAx, xi | = | hA∗ x, xi |, ´ıgy A∗ most is injekt´ıv. A 7.2. t´etel bizony´ıt´ asa alapj´an m´ar egyszer˝ uen megadhat´o az ´altal´anos jellemz´es. (Megjegyezz¨ uk, hogy a gyakorlatban viszont legt¨obbsz¨or az els˝o k´et t´etel alkalmazhat´ o k¨ onnyebben.) 7.4. T´ etel. (A megoldhat´ os´ ag sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele.) Egy A ∈ B(H) oper´ ator pontosan akkor bijekci´ o H-r´ ol H-ra, ha az al´ abbi k´et tulajdons´ aggal rendelkezik: (i) l´etezik m > 0, hogy kAxk ≥ m kxk (∀x ∈ H); (ii) A∗ injekt´ıv. Bizony´ıt´ as. (⇐) A 7.2. t´etel bizony´ıt´as´anak m´asodik r´esz´eben ´eppen azt igazoltuk, hogy az (i)-(ii) tulajdons´agokb´ol k¨ovetkezik a k´ıv´ant megoldhat´os´ ag.
´ si felte ´telek mellett 7.1. Egyenletek koercivita
115
(⇒) Ha A bijekci´ o, akkor a Banach-f´ele homeomorfizmus-t´etel (4.14. t´etel) szerint A−1 korl´ atos, azaz l´etezik M > 0, melyre kA−1 yk ≤ M kyk (∀y ∈ H). Ebb˝ ol y = Ax ´es M = 1/m helyettes´ıt´esekkel ´epp az (i) felt´etelt kapjuk. M´ asr´eszt, a 6.5 felbont´ asi t´etelb˝ol R(A) = H miatt ker(A∗ ) = {0}, azaz A∗ injekt´ıv. A feladatok korrekt kit˝ uz´es´et (l´asd 4.16. defin´ıci´o) a konkr´et konstanssal fogalmazzuk meg. 7.5. T´ etel. (A megold´ as folytonos f¨ ugg´ese a jobboldalt´ ol.) Ha teljes¨ ulnek a 7.1., 7.2., 7.3 vagy 7.4. t´etel felt´etelei az Au = b oper´ atoregyenletre, akkor 1 kbk. kuk ≤ m Bizony´ıt´ as. A 7.1–7.3. t´etelek felt´eteleib˝ol k¨ovetkezik a 7.4. t´etel (i) felt´etele, amely szerint kbk = kAuk ≥ m kuk. 7.6. Megjegyz´ es. A 7.4. t´etel el´egs´eges ir´anya k¨ozvetlen¨ ul is bizony´ıthat´o az al´ abbi m´ odon. Teljes¨ uljenek az (i)-(ii) felt´etelek. Ekkor (ii) miatt ker(A∗ ) = {0}, ´ıgy a 6.5 felbont´ asi t´etelb˝ol H = R(A) ⊕ ker(A∗ ) = R(A), azaz R(A) s˝ ur˝ u. M´ asr´eszt R(A) z´ art is, mert ha Axn → y ∈ H, akkor (Axn ) Cauchy1 sorozat, ´es (i) miatt kxn − xm k ≤ m kAxn − Axm k, ´ıgy (xn ) is Cauchysorozat: teh´ at l´etezik x := lim xn , amire viszont A folytonoss´aga miatt Ax = lim Axn = y, azaz y ∈ R(A). Ezekb˝ol R(A) = H, ´es A trivi´alisan injekt´ıv is (i) miatt, azaz bijekci´ o. Ez a bizony´ıt´ as a 7.2 ´es 7.3. t´etelekre is m˝ uk¨odik, mivel azokat a fenti (i)-(ii) tulajdons´ agokra vezett¨ uk vissza.
7.1.2. N´ eh´ any ko eny ¨vetkezm´ A megoldhat´ os´ agi t´etelek seg´ıts´eg´evel igazoljuk a spektrum n´eh´any kor´abban eml´ıtett tulajdons´ ag´ at. ´ ıt´ 7.7. All´ as. Legyen A ∈ B(H). Ha A ¨ onadjung´ alt oper´ ator, akkor spektruma val´ os, ´es ha A pozit´ıv oper´ ator, akkor spektruma nemnegat´ıv. Bizony´ıt´ as. (i) Legyen A ¨ onadjung´alt ´es λ = α + iβ ∈ C \ R, azaz β 6= 0. Ekkor b´ armely u ∈ H eset´en h(A − λI)u, ui = hAu, ui − αkuk2 − iβkuk2 , ebb˝ ol kapjuk, hogy |h(A − λI)u, ui| ≥ |Im h(A − λI)u, ui| = |β|kuk2 , ´ıgy a 7.3. t´etel szerint A − λI bijekci´o, de akkor λ ∈ %(A). (ii) Legyen A pozit´ıv oper´ ator. A fentiek szerint spektruma val´os, ´ıgy el´eg igazolni, hogy ha λ < 0, akkor λ ∈ %(A). A fentiek mint´aj´ara b´armely u ∈ H eset´en h(A − λI)u, ui = hAu, ui − λkuk2 ≥ −λkuk2 = |λ|kuk2 , ´ıgy most a 7.1. t´etel szerint A − λI bijekci´ o.
´ toregyenletek megoldhato ´ sa ´ ga 7. Opera
116
´ ıt´ 7.8. All´ as. Legyen A ∈ B(H) norm´ alis. Ha λ ∈ σ(A) nem saj´ at´ert´ek, akkor van olyan (un ) ⊂ H sorozat, melyre kun k = 1 (∀n ∈ N+ ) ´es Aun − λun → 0. Bizony´ıt´ as. Legyen λ ∈ σ(A), azaz A − λI nem bijekci´o. Ekkor a 7.4. t´etel (i) vagy (ii) tulajdons´ aga nem teljes¨ ulhet (A − λI)-re. Ha λ nem saj´at´ert´eke A-nak, akkor a 6.37. ´ all´ıt´ as (iv) pontja szerint λ nem saj´at´ert´eke A∗ -nak, azaz A∗ − λI = (A − λI)∗ injekt´ıv, vagyis a (ii) tulajdons´ag teljes¨ ul (A − λI)-re. Ez´ert az (i) tulajdons´ ag s´er¨ ul (A − λI)-re, ami azt jelenti, hogy inf k(A − kuk=1
λI)uk = 0. Ez az infimum fogalma alapj´an ´epp azt jelenti, hogy l´etezik a k´ıv´ ant (un ) sorozat. Most egy hasznos ´ all´ıt´ ast igazolunk koerc´ıv oper´atorokra. ´ ıt´ 7.9. All´ as. Ha egy A ∈ B(H) oper´ ator koerc´ıv m > 0 konstanssal, azaz 2 1 Re hAx, xi ≥ m kxk (∀x ∈ H), akkor kA−1 k ≤ m . 2
1 Bizony´ıt´ as. Itt m kxk ≤ Re hAx, xi ≤ kxk kAxk, ´ıgy ≤ m kAxk (∀x ∈
kxk 1 −1 H), ´es mivel A bijekci´ o, ´ıgy v := Ax helyettes´ıt´essel A v ≤ m kvk (∀v ∈ 1 H), azaz kA−1 k ≤ m .
Ennek megfelel˝ oje ¨ onadjung´ alt esetben kvadratikus alakokra is ´erv´enyes, mindk´et ir´ anyb´ ol: ´ ıt´ 7.10. All´ as. Egyenletesen pozit´ıv oper´ ator inverze is egyenletesen pozit´ıv. ´ Espedig, ha A ¨ onadjung´ alt ´es 2
2
m kuk ≤ hAu, ui ≤ M kuk akkor
(∀u ∈ H),
1 1 2 2 kuk ≤ A−1 u, u ≤ kuk M m
(∀u ∈ H).
(7.2)
Bizony´ıt´ as. A 6.99. ´ all´ıt´ ast haszn´alva A1/2 ¨onadjung´alt ´es 2
2
m kuk ≤ kA1/2 uk2 ≤ M kuk
(∀u ∈ H),
amib˝ ol a 7.4. t´etel alapj´ an A1/2 bijekci´o, ´ıgy v := A1/2 u helyettes´ıt´essel 1 1 2 2 kvk ≤ kA−1/2 vk2 ≤ kvk M m ez ´eppen (7.2).
(∀v ∈ H),
´ ris forma ´ k, Lax–Milgram-te ´telk¨ 7.2. Bilinea or
117
7.2. Biline´ aris form´ ak, Lax–Milgram-t´ etelko ¨r Ebben a szakaszban szorzatt´eren ´ertelmezett lek´epez´esekkel foglalkozunk, ´es atvissz¨ ´ uk r´ ajuk az el˝ oz˝ o szakaszbeli megoldhat´os´agi t´eteleket. Itt a komplex mellett a val´ os eset is fontos (´es n´emileg k¨ ul¨onb¨oz˝o) lesz, ´ıgy ´altal´aban p´arhuzamosan megfogalmazott ´ertelemszer˝ u ´all´ıt´asokkal vizsg´aljuk a k´et esetet. 7.11. Defin´ıci´ o. Egy B : H × H → K (ahol K = C vagy R) lek´epez´es (a) biline´ aris, ha mindk´et v´ altoz´oj´aban line´aris; (b) konjug´ altan biline´ aris, ha els˝o v´altoz´oj´aban line´aris, m´asodik v´altoz´oj´aban konjug´ altan line´ aris; (c) szimmetrikus, ha B(x, y) = B(y, x) (∀x, y ∈ H); (d) konjug´ altan szimmetrikus, ha B(x, y) = B(y, x) (∀x, y ∈ H); (e) korl´ atos, ha l´etezik M > 0, hogy |B(x, y)| ≤ M kxk kyk (∀x, y ∈ H); (f) koerc´ıv, ha l´etezik m > 0, hogy Re B(x, x) ≥ mkxk2 (∀x ∈ H). 7.12. Megjegyz´ es. (i) A (konjug´altan) biline´aris lek´epez´eseket gyakran (konjug´ altan) biline´ aris form´ anak, a konjug´altan biline´aris lek´epez´eseket pedig n´eha szeszkviline´ arisnak is h´ıvj´ak. (ii) A biline´ aris/szimmetrikus lek´epez´esek ´ertelemszer˝ uen ink´abb a K = R, m´ıg a konjug´ altan biline´ aris/szimmetrikus lek´epez´esek ink´abb a K = C esetben fordulnak el˝ o. Tipikus p´elda a skal´arszorzat. (iii) A K = R esetben, azaz val´os Hilbert-t´erben a koercivit´as ´ertelemszer˝ uen a B(x, x) ≥ mkxk2 felt´etell´e egyszer˝ us¨odik. 7.13. T´ etel (korl´ atos form´ ak Riesz-reprezent´ aci´ oja). Legyen H val´ os (komplex) Hilbert-t´er, ´es B : H × H → K korl´ atos, (konjug´ altan) biline´ aris forma. Ekkor l´etezik egyetlen olyan A ∈ B(H) korl´ atos line´ aris oper´ ator, melyre B(x, y) = hAx, yi (∀x, y ∈ H). Bizony´ıt´ as. R¨ ogz´ıtett y ∈ H eset´en legyen ψy : H → K, ψy x := B(x, y). Ez nyilv´ an line´ aris ´es folytonos is, mert |ψy x| = |B(x, y)| ≤ M kxk kyk = (M kyk) kxk
(∀x ∈ H).
S˝ ot, kψy k ≤ M kyk. A Riesz-f´ele reprezent´aci´os t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik egyetlen y ∗ ∈ H, melyre ψy x = hx, y ∗ i minden x ∈ H-ra, ami a Cy := y ∗ jel¨ ol´essel B(x, y) = hx, Cyi. Igazoljuk, hogy C ∈ B(H). Nyilv´an C line´ aris, mivel B ´es a skal´ arszorz´as is (konjug´altan) biline´aris. Emellett az 5.1. ´ all´ıt´ asb´ ol kCyk = ky ∗ k = kψy k ≤ M kyk
(∀y ∈ H),
118
´ toregyenletek megoldhato ´ sa ´ ga 7. Opera
azaz C korl´ atos is. V´eg¨ ul A := C ∗ eset´en B(x, y) = hx, Cyi = hAx, yi (∀x, y ∈ H). Az A oper´ atort gyakran a B forma Riesz-reprezent´ ans´ anak h´ıvjuk. A t´etel megford´ıtva is trivi´ alisan igaz: adott A ∈ B(H) eset´en a fenti B forma korl´ atos ´es (konjug´ altan) biline´ aris. ´ ıt´ 7.14. All´ as. Legyen H val´ os (komplex) Hilbert-t´er, B : H × H → K korl´ atos, (konjug´ altan) biline´ aris forma, ´es A ∈ B(H) a B forma Rieszreprezent´ ansa. (1) B pontosan akkor (konjug´ altan) szimmetrikus, ha A ¨ onadjung´ alt. (2) B pontosan akkor koerc´ıv, ha A koerc´ıv. Bizony´ıt´ as. Mindkett˝ o a defin´ıci´ok k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enye.
7.15. Megjegyz´ es. A 7.13. t´etel akkor is igaz, ha k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o Hilbertt´eren ´ertelmezz¨ uk a B form´ at, azaz B : H × K → K korl´atos, (konjug´altan) biline´ aris forma. Ekkor l´etezik egyetlen olyan A ∈ B(H, K) korl´atos line´aris oper´ ator, melyre B(x, y) = hAx, yi
(∀x ∈ H, y ∈ K).
A bizony´ıt´ as ugyanis sz´ o szerint ´atvihet˝o erre az esetre. Term´eszetesen ekkor nincs ´ertelme a 7.14. ´ all´ıt´ asnak. A k¨ ovetkez˝ o t´etel alapvet˝ o fontoss´ag´ u sz´amos alkalmaz´asban. Els˝osorban val´ os t´erben haszn´ alatos, ez´ert erre k¨ ul¨on fogalmazzuk meg. B´ar alapt´etelr˝ol van sz´ o, a szakirodalomban szok´asos hagyom´any szerint a lemma” elneve” z´est viseli. 7.16. T´ etel (Lax–Milgram-lemma, koerc´ıv v´ altozat). (1) Legyen H val´ os Hilbert-t´er, B : H × H → R korl´ atos, koerc´ıv biline´ aris forma. Ekkor b´ armely φ : H → R korl´ atos line´ aris funkcion´ alhoz l´etezik egyetlen olyan u ∈ H, melyre B(u, v) = φv (∀v ∈ H). (7.3) (2) Ha H komplex Hilbert-t´er, akkor R helyett C-be k´epez˝ o, biline´ aris helyett konjug´ altan biline´ aris form´ ara ´es B(u, v) helyett B(v, u)-ra igaz a fenti ´ all´ıt´ as. Bizony´ıt´ as. (1) A 7.13. t´etel alapj´an legyen A ∈ B(H) a B forma Rieszreprezent´ ansa: B(u, v) = hAu, vi (∀u, v ∈ H). Legyen tov´abb´a b ∈ H a φ funkcion´ al Riesz-reprezent´ ansa: φv = hv, bi = hb, vi (∀v ∈ H). Azt kell teh´ at igazolnunk, hogy l´etezik egyetlen olyan u ∈ H, melyre hAu, vi = hb, vi (∀v ∈ H), azaz melyre Au = b. Mivel A koerc´ıv, ez a 7.2. t´etel szerint teljes¨ ul.
´ ris forma ´ k, Lax–Milgram-te ´telk¨ 7.2. Bilinea or
119
(2) Hasonl´ o, most a (7.3) egyenl˝os´eg az A∗ u = b egyenletre vezethet˝o vissza. A fenti t´etel ritk´ abban haszn´alt, de enyh´ebb felt´etelre ´ep¨ ul˝o v´altozata: 7.17. T´ etel (Lax–Milgram-lemma, ´ altal´ anos v´ altozat). Helyettes´ıts¨ uk a 7.16. t´etel felt´eteleiben B koercivit´ as´ at az al´ abbi felt´etellel: van olyan m > 0, hogy |B(x, x)| ≥ mkxk2 (∀x ∈ H). Ekkor is igaz, hogy val´ os t´er eset´en b´ armely φ : H → R korl´ atos line´ aris funkcion´ alhoz l´etezik egyetlen olyan u ∈ H, melyre B(u, v) = φv (∀v ∈ H). (Komplex t´er eset´en pedig a (2) ´ all´ıt´ as igaz.) Bizony´ıt´ as. Ugyan´ ugy kell, mint az el˝oz˝ot, de a 7.2 helyett a 7.3. t´etelt haszn´ aljuk. 7.18. Megjegyz´ es. A 7.6. megjegyz´es gondolatmenete a Lax–Milgram-lemma eset´eben is, k¨ ozvetlen¨ ul is alkalmazhat´o, val´oj´aban ´ıgy is sz´ol az eredeti ´ bizony´ıt´ as [42, Chap. 6]. Altalunk adott bizony´ıt´asa a Riesz-f´ele reprezent´aci´ os t´etelre ´es az A∗ Ax = A∗ y norm´alegyenletre vezette vissza, hogy ezek sz´elesk¨ or˝ u haszn´ alhat´ os´ ag´ at illusztr´alja. Leg´ altal´ anosabban az al´ abbi sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel adhat´o, ez a nevezetes eredm´eny [7] a Lax–Milgram-lemma kiterjeszt´es´enek tekinthet˝o. 7.19. T´ etel (Babuˇ ska-lemma). Legyen H val´ os Hilbert-t´er, B : H × H → R korl´ atos biline´ aris forma. Ekkor az al´ abbi k´et ´ all´ıt´ as ekvivalens: (1) B´ armely φ : H → R korl´ atos line´ aris funkcion´ alhoz l´etezik egyetlen olyan u ∈ H, melyre B(u, v) = φv (∀v ∈ H). (7.4) (2) A B form´ ara az al´ abbi k´et tulajdons´ ag teljes¨ ul: (i) l´etezik m > 0, hogy
inf
sup B(u, v) ≥ m;
kuk=1 kvk=1
(ii) sup B(u, v) > 0 (∀v 6= 0). kuk=1
Bizony´ıt´ as. Az el˝ oz˝ o t´etel bizony´ıt´asa szerint az (1) tulajdons´ag ekvivalens az Au = b egyenlettel, ahol A ∈ B(H) a B forma Riesz-reprezent´ansa ´es b ∈ H a φ funkcion´ al Riesz-reprezent´ansa. M´asr´eszt a (2)-b˝ol az (i) r´esz jelent´ese: inf sup hAu, vi = inf kAuk ≥ m, azaz kAxk ≥ mkxk ∀x ∈ H, ami a kuk=1 kvk=1
kuk=1
7.4. t´etel (i) r´esze. A (ii) r´esz jelent´ese pedig sup hAu, vi = sup hu, A∗ vi = kuk=1
kuk=1
´ toregyenletek megoldhato ´ sa ´ ga 7. Opera
120
kA∗ vk > 0 (∀v 6= 0), azaz A∗ injekt´ıv, ami a 7.4. t´etel (ii) r´esze. ´Igy a 7.4. t´etel alapj´ an (1) ´es (2) val´ oban ekvivalens. . V´eg¨ ul a 7.5. t´etelb˝ ol ´es az 5.1. ´all´ıt´asb´ol ad´odik a folytonos f¨ ugg´es: 7.20. K¨ ovetkezm´ eny. Ha teljes¨ ulnek a 7.16. vagy 7.19. t´etel felt´etelei a 1 (7.4) egyenletre, akkor kuk ≤ m kφk.
7.3. Nyeregpont-feladatok megoldhat´ os´ aga, infsup-felt´ etel 7.3.1. Oper´ atorokkal megadott nyeregpont-feladatok Sz´ amos alkalmaz´ asban tal´ alkozhatunk az al´abbi speci´alis alak´ u rendszerrel: ( Au + Bp = f (7.5) B ∗ u − Cp = g. (Ilyen p´eld´ aul a Stokes-feladat, l´asd 10.3 fejezet, vagy elliptikus feladatok els˝ orend˝ u rendszerr´e val´ o ´ at´ır´asa.) Itt feltessz¨ uk, hogy H, K val´os Hilbertterek, f ∈ H, g ∈ K, A : H → H, B : K → H ´es C : K → K korl´atos line´ aris oper´ atorok, valamint A ´es C ¨onadjung´alt, ´es van olyan m > 0, hogy 2
hAu, ui ≥ m kuk ,
hCp, pi ≥ 0
(∀u ∈ H, p ∈ K).
(7.6)
A (7.5) rendszer l´enyeg´eben egy oper´atorm´atrixra vonatkoz´o egyenlet a H ×K szorzatt´eren. A nyeregpont-feladat” elnevez´es abb´ol sz´armazik, hogy a fenti rendszer meg” old´ asa egy alkalmas kvadratikus t´ıpus´ u funkcion´al nyeregpontjak´ent ´all el˝o, ezt a 14.1 fejezet v´eg´en t´ argyaljuk. Ha C is egyenletesen pozit´ıv: 2
hCp, pi ≥ σ kuk
(∀p ∈ K)
(ahol σ > 0), akkor ´erdemes beszorozni a m´asodik egyenletet (-1)-gyel. ´Igy a kapott oper´ atorm´ atrix ugyanis (b´ar m´ar nem szimmetrikus) koerc´ıv a H × K szorzatt´eren: A B u u , = hAu, ui + hBp, ui − hB ∗ u, pi + hCp, pi −B ∗ C p p = hAu, ui + hCp, pi ≥ min{m, σ} (kuk2 + kpk2 )
∀(u, p) ∈ H × K,
´ sa ´ ga, inf-sup-felte ´tel 7.3. Nyeregpont-feladatok megoldhato
121
a 7.2. t´etel szerint teh´ at b´ armely (f, g) ∈ H × K eset´en a (7.5) feladatnak l´etezik egyetlen (u, p) ∈ H × K megold´asa. A tov´ abbiakban azt az esetet vizsg´aljuk, amikor C = 0, azaz ( Au + Bp = f B∗u
(7.7)
=g
(mint p´eld´ aul az eml´ıtett Stokes-feladat). Ekkor nem m˝ uk¨odik az el˝obbi elj´ar´ as; ehelyett A bijekci´ o volt´ at kihaszn´alva ´atrendezz¨ uk az egyenletet. Fejezz¨ uk ki az els˝ o egyenl˝ os´egb˝ ol u-t: u = A−1 (f − Bp),
(7.8)
´es helyettes´ıts¨ uk a m´ asodikba: B ∗ A−1 (f − Bp) = g,
azaz B ∗ A−1 Bp = B ∗ A−1 f − g =: g˜.
(7.9)
Legyen S := B ∗ A−1 B,
(7.10)
ez az u ´n. Schur-f´ele komplementer-oper´ ator. Itt a 6.8. megjegyz´es alapj´an B ∗ : H → K, ´ıgy S : K → K. Ha meg tudjuk oldani a (7.9)-ben kapott Sp = g˜
(7.11)
egyenletet a K t´eren, akkor (7.8)-b˝ol u-t is megkapjuk, ´ıgy k´esz vagyunk. A (7.11) egyenlet megoldhat´ os´aga nem nyilv´anval´o, mivel B, ill. B ∗ ´altal´aban nem bijekci´ ok. Az S speci´ alis alakj´ara t´amaszkodva a megoldhat´os´ag kulcsa az al´ abbi felt´etel: van olyan γ > 0, hogy kBpk ≥ γkpk
(∀p ∈ K).
(7.12)
Ezt az al´ abbi alakban szok´ as fel´ırni: 7.21. Defin´ıci´ o. A (7.7) feladathoz tartoz´o inf-sup-felt´ etel: inf
sup
p∈K\{0} u∈H\{0}
hBp, ui =: γ > 0. kpkkuk
(7.13)
K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy (7.12) ´es (7.13) ekvivalens: a 2.4. ´all´ıt´as alapj´an kBpk hBp, vi hBp, ui = sup = sup , kpk kpk v∈H u∈H\{0} kpkkuk kvk=1
´ toregyenletek megoldhato ´ sa ´ ga 7. Opera
122
teh´ at (7.12) ´es (7.13) is azt jelenti, hogy a fenti ´ert´ek valamely k¨oz¨os γ > 0 korl´ at f¨ ol¨ ott van b´ armely p eset´en. (A p = 0 eset ´erdektelen, ekkor (7.12) trivi´ alis.) Megjegyezz¨ uk, hogy itt a k.k jel¨ol´est a H ´es K terekben k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o norm´ ara haszn´ aljuk; b´ ar lehetne a prec´ızs´eg kedv´e´ert k.kH ´es k.kK jel¨ol´eseket is ´ırni, ezt – a kevesebb index ´erdek´eben – nem tessz¨ uk, mivel a k¨ornyezetb˝ol egy´ertelm˝ u, melyik norm´ ar´ ol van sz´o. ´ ıt´ 7.22. All´ as. Ha B ∗ : H → K szuperjekt´ıv, akkor teljes¨ ul a (7.13) inf-supfelt´etel. Bizony´ıt´ as. A k´ıv´ ant inf-sup-felt´etel u ´gy is ´ırhat´o, hogy l´etezik γ > 0, melyre sup u∈H\{0}
hBp, ui ≥ γ kpk kuk
(∀p ∈ K).
(7.14)
Legyen most p ∈ K tetsz˝ oleges adott vektor. A feltev´es szerint l´etezik w ∈ H, melyre B ∗ w = p, emellett a 4.13. k¨ovetkezm´eny alapj´an megadhat´o olyan pt˝ ol f¨ uggetlen γ > 0, melyre kpk ≥ γkwk. Ebb˝ ol hBp, ui hBp, wi hp, B ∗ wi kpk2 ≥ = = ≥ γ kpk. kuk kwk kwk kwk u∈H\{0} sup
7.23. T´ etel. (Nyeregpont-feladat megoldhat´ os´ agi t´etele.) Legyenek H, K val´ os Hilbert-terek, A ∈ B(H) ´es B ∈ B(K, H), ahol A ¨ onadjung´ alt ´es teljes¨ ul (7.6). Ha fenn´ all a (7.13) inf-sup-felt´etel, akkor b´ armely (f, g) ∈ H × K eset´en a (7.7) feladatnak l´etezik egyetlen (u, p) ∈ H × K megold´ asa. Bizony´ıt´ as. El˝ osz¨ or megmutatjuk, hogy a (7.10)-ben defini´alt S : K → K Schur-f´ele komplementer-oper´ator bijekci´o. Ehhez a 7.1. t´etel szerint el´eg S egyenletes pozitivit´ asa. Felhaszn´aljuk, hogy A egyenletes (´ıgy szigor´ u) pozitivit´ asa miatt A−1 is szigor´ uan pozit´ıv: val´oban, hA−1 y, yi = hx, Axi > 0 (∀y ∈ H, y = Ax helyettes´ıt´essel). Emiatt ´ertelmes az k.kA−1 energianorma, ´es teljes´ıti a 6.21. ´ all´ıt´ ast. Ezekb˝ol hSp, pi = hB ∗ A−1 Bp, pi = hA−1 Bp, Bpi = kBpk2A−1 =
=
sup
hBp, A−1 hi2 = sup hBp, zi2 =
khkA−1 =1
kzkA =1
sup
hBp, hi2A−1 =
khkA−1 =1
hBp, ui2 ≥ kuk2A u∈H\{0} sup
´ sa ´ ga, inf-sup-felte ´tel 7.3. Nyeregpont-feladatok megoldhato
≥
sup u∈H\{0}
123
γ2 hBp, ui2 ≥ kp k2 , kuk2 kAk2 kAk2
ahol el˝ obb a h = Az (´es megfelel˝o khk2A−1 = hA−1 h, hi = hz, Azi = kzk2A ), u majd a z = kuk helyettes´ıt´esseket haszn´altuk, ´es az inf-sup-felt´etel (7.14) A alakj´ at tekintett¨ uk. ´Igy teh´ at S egyenletesen pozit´ıv, azaz bijekci´o. Ebb˝ ol m´ ar k¨ onnyen k´esz vagyunk: adott f ´es g eset´en a (7.9), azaz (7.11) egyenletnek pontosan egy p ∈ K megold´asa van, ebb˝ol (7.8) alapj´an u-t is egy´ertelm˝ uen megkapjuk, ´es a kapott (u, p) p´ar az eredeti (7.7) feladat megold´ asa. Vegy¨ uk ´eszre, hogy B ∗ : H → K szuperjekt´ıv volta sz¨ uks´eges a (7.7) rendszer megoldhat´ os´ ag´ ahoz a 2. egyenlet miatt. Ebb˝ol, a 7.22. ´all´ıt´asb´ol ´es a 7.23. t´etelb˝ ol k¨ ovetkezik az al´ abbi jellemz´es: 7.24. T´ etel. Legyenek H, K val´ os Hilbert-terek, A ∈ B(H) ´es B ∈ B(K, H), ahol A ¨ onadjung´ alt ´es teljes¨ ul (7.6). Ekkor az al´ abbi h´ arom ´ all´ıt´ as ekvivalens: (1) B´ armely (f, g) ∈ H × K eset´en a (7.7) feladatnak l´etezik egyetlen (u, p) ∈ H × K megold´ asa. ∗ (2) B : H → K szuperjekt´ıv. (3) Teljes¨ ul a (7.13) inf-sup-felt´etel. Most kiterjesztj¨ uk a 7.23. t´etelt arra az esetre, ha A nem ¨onadjung´alt. Ehhez sz¨ uks´eges az al´ abbi 7.25. Lemma. Ha A ∈ B(H) koerc´ıv oper´ ator, akkor A−1 is koerc´ıv. Bizony´ıt´ as. A 7.2. t´etel szerint A bijekci´o, ´ıgy A−1 val´oban l´etezik, ´es x = −1 A y helyettes´ıt´essel hA−1 y, yi = hx, Axi ≥ mkxk2 ≥
m m kAxk2 = kyk2 kAk2 kAk2
(y ∈ H).
7.26. T´ etel. Legyenek H, K val´ os Hilbert-terek, A ∈ B(H) ´es B ∈ B(K, H), ahol A koerc´ıv. Ha fenn´ all a (7.13) inf-sup-felt´etel, akkor b´ armely (f, g) ∈ H × K eset´en a (7.7) feladatnak l´etezik egyetlen (u, p) ∈ H × K megold´ asa. Bizony´ıt´ as. Hasonl´ o a 7.23. t´etel bizony´ıt´as´ahoz. Most is el´eg megmutatnunk, hogy a (7.10)-ban defini´alt S : K → K Schur-f´ele komplementeroper´ ator bijekci´ o. Ehhez most a 7.2 t´etelt haszn´aljuk, amihez S koercivit´asa kell. A 7.25. lemma ´es 6.21. ´ all´ıt´as alapj´an hSp, pi = hB ∗ A−1 Bp, pi = hA−1 Bp, Bpi ≥
m m kBpk2 = sup hBp, zi2 2 kAk kAk2 kzk=1
´ toregyenletek megoldhato ´ sa ´ ga 7. Opera
124
=
m kAk2
hBp, ui2 mγ 2 ≥ kp k2 kuk2 kAk2 u∈H\{0} sup
(p ∈ K).
7.27. Megjegyz´ es. A 7.5. t´etel miatt a (7.7) feladat megold´asa folytonosan f¨ ugg a jobboldalakt´ ol, hiszen megoldhat´os´ag´at az S Schur-oper´ator koercivit´ as´ ara vezett¨ uk vissza. Ut´ obbi miatt teh´at p, majd (7.8) r´ev´en u is folytonosan f¨ ugg a jobboldalakt´ ol.
7.3.2. Biline´ aris form´ akkal megadott nyeregpont-feladatok Legyenek tov´ abbra is H, K val´os Hilbert-terek. Legyenek A : H × H → R ´es B : K × H → R korl´ atos biline´aris form´ak, ahol A koerc´ıv: A(u, u) ≥ m kuk
2
(∀u ∈ H),
(7.15)
legyenek tov´ abb´ a φ : H → R ´es ψ : K → R korl´atos line´aris funkcion´alok. Tekints¨ uk az al´ abbi feladatot: keresend˝o (u, p) ∈ H × K, melyre A(u, v) + B(p, v) = φv B(q, u)
= ψq
(∀v ∈ H), (∀q ∈ K).
(7.16)
Ennek megoldhat´ os´ aga k¨ ozvetlen¨ ul visszavezethet˝o az el˝oz˝o szakaszra. A f˝o tulajdons´ ag most is a megfelel˝o inf-sup-felt´etel: inf
sup
p∈K\{0} u∈H\{0}
B(p, u) = γ > 0. kpkkuk
(7.17)
7.28. Megjegyz´ es. A (7.17) inf-sup-felt´etel u ´gy is ´ırhat´o, hogy inf
sup B(p, u) = γ > 0,
kpk=1 kuk=1
ami anal´ og a 7.19. t´etelbeli (i) felt´etellel egy m´asik, rokon szitu´aci´oban. 7.29. T´ etel. Legyenek H, K val´ os Hilbert-terek, A : H × H → R ´es B : K × H → R korl´ atos biline´ aris form´ ak, ahol A koerc´ıv. Ha fenn´ all a (7.17) inf-sup-felt´etel, akkor b´ armely φ : H → R ´es ψ : K → R korl´ atos line´ aris funkcion´ alok eset´en a (7.16) feladatnak l´etezik egyetlen (u, p) ∈ H × K megold´ asa. Bizony´ıt´ as. A 7.13. t´etel ´es 7.15. megjegyz´es alapj´an legyen A ∈ B(H) ´es B ∈ B(K, H) rendre a A ´es B forma Riesz-reprezent´ansa: A(u, v) = hAu, vi (∀u, v ∈ H),
B(p, v) = hBp, vi (∀p ∈ K, v ∈ H).
´ sa ´ ga, inf-sup-felte ´tel 7.3. Nyeregpont-feladatok megoldhato
125
Legyen tov´ abb´ a f ∈ H ´es g ∈ K rendre a φ ´es ψ funkcion´al Riesz-reprezent´ansa: φv = hf, vi (∀v ∈ H),
ψq = hg, qi (∀q ∈ K).
Ekkor a (7.16) feladat u ´gy ´ırhat´o, hogy hAu + Bp, vi = hf, vi
(∀v ∈ H),
hBq, ui
(∀q ∈ K),
= hg, qi
ami ekvivalens a (7.7) feladattal (a fenti m´asodik egyenl˝os´eget hq, B ∗ ui = hq, gi alakban ´ırva). A tett feltev´esek ´epp azt garant´alj´ak, hogy A koerc´ıv ´es B-re teljes¨ ul a (7.13) inf-sup-felt´etel. ´Igy alkalmazhat´o a 7.26. t´etel, teh´at feladatunknak l´etezik egyetlen (u, p) ∈ H × K megold´asa. 7.30. Megjegyz´ es. A 7.27. megjegyz´esben elmondottak miatt a (7.16) feladat megold´ asa is folytonosan f¨ ugg a jobboldalakt´ol, hiszen a fenti bizony´ıt´ asban a (7.7) feladatra vezett¨ uk vissza.
8. fejezet
Nem korl´ atos oper´ atorok A gyakorlatban term´eszetes m´odon el˝ofordul´o differenci´aloper´atorok gyakran line´ arisak ugyan, de nem folytonosak, ha adott t´erb˝ol o¨nmag´aba k´epez˝o oper´ atork´ent vizsg´ aljuk. (Erre az 1.4. szakaszban l´attunk p´eld´at, ´es m´as esetekben is hasonl´ oan igazolhat´ o.) A megoldhat´os´agi t´etelek kiterjeszt´es´ehez ´ıgy a nem korl´ atos oper´ atorok k¨or´eben is ´ertelmez¨ unk n´eh´any fontos fogalmat, ´es megvizsg´ aljuk n´eh´ any min˝os´egileg m´as tulajdons´agukat. Ezek seg´ıts´eg´evel ´ altal´ anos´ıthat´ oak a kor´ abbi megoldhat´os´agi eredm´enyek. Megjegyezz¨ uk, hogy a nem korl´ atos oper´ atoroknak itt csak alaptulajdons´agaira van sz¨ uks´eg¨ unk; igen kiterjedt, r´eszben fizikai modellek ´altal motiv´alt elm´elet¨ ukr˝ol a [54, 59, 60, 62] k¨ onyvekben b˝ovebben olvashatunk. A tov´ abbiakban legyen H Hilbert-t´er. Az eredm´enyek (ahol k¨ ul¨on nem sz´olunk r´ ola) val´ os ´es komplex esetben is ´erv´enyesek.
8.1. Nem korl´ atos oper´ atorok alaptulajdons´ agai A nem korl´ atos oper´ atorok ´ altal´aban nem az eg´esz t´eren vannak ´ertelmezve, csak annak egy alter´en. A korl´atos esetben err˝ol term´eszetes m´odon meg lehetett adni az eg´esz t´erre val´o kiterjeszt´est (l´asd 6.1. megjegyz´es), ilyen azonban most nincs. S˝ ot, az ´ertelmez´esi tartom´any fontos szerepet j´atszik az oper´ ator tulajdons´ agaiban. 8.1. Defin´ıci´ o. Ha D(A) ⊂ D(B) ´es B kiterjeszt´ese A-nak, akkor azt ´ırjuk, hogy A ⊂ B. Az ´ertelmez´esi tartom´ anyok fontos esete az al´abbi:
127
´ tos opera ´ torok 8. Nem korla
128
8.2. Defin´ıci´ o. Egy A : H ⊃→ H line´aris oper´ator s˝ ur˝ un defini´alt, ha D(A) s˝ ur˝ u H-ban.
8.1.1. Szimmetrikus ´ es ¨ onadjung´ alt oper´ atorok 8.3. Defin´ıci´ o. Egy A : H ⊃→ H line´aris oper´ator szimmetrikus, ha hAx, yi = hx, Ayi teljes¨ ul minden x, y ∈ D(A) eset´en. Szimmetrikus oper´ atorok sz´ amos esetben el˝ofordulnak. Ilyenek p´eld´aul az elliptikus differenci´ aloper´ atorok, melyek egy oszt´aly´at a 8.1.2 szakaszban ismertetj¨ uk, ill. a kvantummechanik´aban a megfigyelhet˝o mennyis´egeket reprezent´ al´ o oper´ atorok (s˝ ot, ut´ obbiak ¨onadjung´altak). A k¨ovetkez˝o t´etel szerint egy nem korl´ atos szimmetrikus oper´ator nem lehet az eg´esz t´eren ´ertelmezett oper´ ator. Ez is jelzi, hogy nem korl´atos oper´atorok eset´en term´eszetes (az oper´ atorokhoz hozz´ atartoz´ o) tulajdons´ag az, hogy csak alt´eren ´ertelmezz¨ uk. 8.4. T´ etel (Hellinger–Toeplitz). Legyen A : H → H line´ aris oper´ ator, D(A) = H ´es hAx, yi = hx, Ayi minden x, y ∈ H eset´en. Ekkor A ∈ B(H). Bizony´ıt´ as. Bel´ atjuk, hogy a Γ(A) gr´af z´art. Legyen (xn ) ⊂ H, xn → x ´es Axn → y. A skal´ arszorz´ as folytonoss´aga miatt minden z ∈ H eset´en hz, yi = lim hz, Axn i = lim hAz, xn i = hAz, xi = hz, Axi , n→∞
n→∞
azaz hz, y − Axi = 0 minden z ∈ H eset´en, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy y = Ax. Teh´ at a z´ artgr´ af-t´etel szerint A folytonos. Szimmetrikus oper´ atorra is igaz, amit csak ¨onadjung´altra mondtunk ki, nevezetesen, a kor´ abbi bizony´ıt´as sz´o szerinti megism´etl´es´evel kapjuk: ´ ıt´ 8.5. All´ as. Ha H komplex Hilbert-t´er, akkor A : H ⊃→ H szimmetrikus ⇐⇒ hAx, xi ∈ R
∀x ∈ D(A) eset´en.
A folytonos esethez teljesen anal´og m´odon defini´alhat´ok a pozit´ıv oper´atorok: 8.6. Defin´ıci´ o. Egy A : H ⊃→ H szimmetrikus oper´ator • pozit´ıv, ha hAx, xi ≥ 0 ∀x ∈ D(A), • szigor´ uan pozit´ıv, ha hAx, xi > 0 ∀x ∈ D(A), x 6= 0, • egyenletesen pozit´ıv, ha l´etezik m > 0, hogy D(A).
2
hAx, xi ≥ m kxk
∀x ∈
´ tos opera ´ torok alaptulajdonsa ´ gai 8.1. Nem korla
129
Komplex t´erben nem kell el˝ ore feltenni, hogy A szimmetrikus, mivel a 8.5. all´ıt´ ´ as miatt ez automatikusan fenn´all, val´os t´erben viszont a szimmetri´at bele´ertj¨ uk a (szigor´ u/egyenletes) pozitivit´as fogalm´aba. Ugyan´ ugy j´arunk teh´at el, mint a korl´ atos esetben a 7. fejezet elej´en. ´ ıt´ 8.7. All´ as. Egy injekt´ıv szimmetrikus oper´ ator inverze is szimmetrikus. Bizony´ıt´ as. Ha u, v ∈ R(A), akkor l´etezik x, y ∈ D(A), hogy Ax = u ´es Ay = v. Ekkor
−1
A u, v = hx, Ayi = hAx, yi = u, A−1 v . K¨ ovetkez˝ o c´elunk az adjung´ alt fogalm´anak ´ertelmez´ese nem korl´atos esetre. Azaz, adott A oper´ atorhoz olyan A∗ oper´atort keres¨ unk, melyre hAx, yi = hx, A∗ yi
(∀x ∈ D(A), y ∈ D(A∗ ))
(8.1)
´es A∗ ´ertelmez´esi tartom´ anya a lehet˝o legb˝ovebb. Ezt az al´abbi defin´ıci´o teljes´ıti: 8.8. Defin´ıci´ o. Legyen A : H ⊃→ H s˝ ur˝ un defini´alt oper´ator. Ekkor A adjung´ altja az az oper´ ator, melyre (i) D(A∗ ) := {y ∈ H : ∃ y ∗ ∈ H, hogy hAx, yi = hx, y ∗ i ∀ x ∈ D(A)}, ´es (ii) A∗ y := y ∗
(∀y ∈ D(A∗ )).
Az adjung´ alt oper´ ator j´ oldefini´alt, ugyanis ha y ∈ D(A∗ )-hoz tartozna egy ∗ ∗ y1 ´es egy y2 is, akkor minden x ∈ D(A) eset´en hx, y1∗ i = hx, y2∗ i teljes¨ ulne, ami D(A) s˝ ur˝ us´ege miatt azt jelenti, hogy y1∗ = y2∗ . 8.9. Megjegyz´ es. D(A∗ ) a legb˝ovebb olyan halmaz, amelyen az adjung´alt (8.1) defin´ıci´ os egyenl˝ os´ege teljes¨ ul. Ez val´oj´aban megegyezik azon y ∈ H vektorok halmaz´ aval, melyekre az x 7→ hAx, yi line´aris funkcion´al korl´atos, azaz melyekre l´etezik olyan my ≥ 0, hogy | hAx, yi | ≤ my kxk (∀x ∈ H). Az ut´ obbi elvben ellen˝ orizhet˝ o felt´etel (szemben a nemkonstrukt´ıv defin´ıci´oval). 8.10. Defin´ıci´ o. Az A : H ⊃→ H oper´ator ¨ onadjung´ alt, ha A = A∗ . ´ ıt´ 8.11. All´ as. Egy A : H ⊃→ H s˝ ur˝ un defini´ alt oper´ ator pontosan akkor szimmetrikus, ha A ⊂ A∗ . Bizony´ıt´ as. A szimmetria azt jelenti, hogy hAx, yi = hx, Ayi teljes¨ ul minden x, y ∈ D(A) eset´en. Ez viszont azt jelenti, hogy y ∈ D(A∗ ), mert Ay j´o lesz y ∗ -nak. M´ as sz´ oval D(A) ⊂ D(A∗ ) ´es A∗ y = y ∗ = Ay, azaz A ⊂ A∗ .
´ tos opera ´ torok 8. Nem korla
130
´ ıt´ 8.12. All´ as. Legyen A : H ⊃→ H s˝ ur˝ un defini´ alt, szimmetrikus ´es szuperjekt´ıv. Ekkor A o nadjung´ a lt. ¨ Bizony´ıt´ as. El´eg, ha bel´ atjuk, hogy A∗ ⊂ A, ennek ford´ıtott ir´any´at ugyanis m´ ar tudjuk. Legyen y ∈ D(A∗ ), kell, hogy y ∈ D(A) szint´en teljes¨ ul. Mivel A szuperjekt´ıv, l´etezik x ∈ D(A), hogy Ax = A∗ y. Ekkor minden z ∈ D(A) eset´en hAx, zi = hA∗ y, zi is teljes¨ ul, ´ıgy a szimmetria miatt hx, Azi = hAx, zi = hA∗ y, zi = hy, Azi ⇐⇒ hx − y, Azi = 0 teljes¨ ul minden z ∈ D(A) eset´en. Itt Az befutja H-t, ´ıgy y = x ∈ D(A). A fenti bizony´ıt´ asb´ ol mellesleg az is kij¨ott, hogy A injekt´ıv. Legyenek x1 , x2 ∈ D(A) ⊂ D(A∗ ), ekkor A∗ x1 = Ax1 , ill. ha Ax1 = Ax2 , azaz A∗ x1 = Ax2 , akkor a bizony´ıtottak szerint x1 = x2 . ´ ıt´ 8.13. All´ as. Legyen A : H ⊃→ H s˝ ur˝ un defini´ alt line´ aris oper´ ator. Ekkor ker(A∗ ) = R(A)⊥ . Bizony´ıt´ as. y ∈ R(A)⊥ ⇐⇒ hAx, yi = 0 minden x ∈ D(A) eset´en. Ez y ∗ := 0 v´ alaszt´ asssal pontosan azt jelenti, hogy hAx, yi = hx, y ∗ i minden x ∈ D(A) eset´en ⇐⇒ y ∈ D(A∗ ) ´es A∗ y = y ∗ = 0 ⇐⇒ y ∈ ker(A∗ ). 8.14. Ko eny. Ha egy A : H ⊃→ H s˝ ur˝ un defini´ alt line´ aris oper´ a¨vetkezm´ tor szimmetrikus, akkor ker(A) ⊂ R(A)⊥ . Bizony´ıt´ as. Az 8.11. ´ all´ıt´ as szerint A ⊂ A∗ . Ezt az el˝oz˝o ´all´ıt´assal kombin´ alva kapjuk, hogy ker(A) ⊂ ker(A∗ ) = R(A)⊥ . Ebb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy ha egy szimmetrikus oper´ator nem injekt´ıv, akkor szuperjekt´ıv sem lehet, s˝ ot a k´ept´er s˝ ur˝ u sem lehet H-ban. ´ ıt´ 8.15. All´ as. Ha egy A : H ⊃→ H oper´ ator egyenletesen pozit´ıv m > 0 1 . konstanssal, valamint A szuperjekt´ıv, akkor kA−1 k ≤ m Bizony´ıt´ as. Mivel A injekt´ıv, a felt´etel miatt bijekci´o, azaz l´etezik A−1 : ´ H → H. Igy megism´etelhet˝ o a 7.9. ´all´ıt´as bizony´ıt´asa. P´ elda szimmetrikus oper´ atorra. Legyen H = L2 (R) ´es Au = iu0 , ahol 1 D(A) := C0 (R) a kompakt tart´oj´ u u ∈ C 1 (R) f¨ uggv´enyekb˝ol ´all, azaz melyek egy kompakt halmazon k´ıv¨ ul azonosan null´ak. Ekkor Z +∞ Z +∞ Z +∞ h i+∞ 0 0 hAu, vi = iu v = i uv −i uv = u(iv 0 ) = hu, Avi −∞
−∞
−∞
−∞
´ tos opera ´ torok alaptulajdonsa ´ gai 8.1. Nem korla
131
(∀u, v ∈ C01 (R)), azaz A szimmetrikus. Ez az A nevezetes oper´ ator. Legyen ugyanis M : L2 (R) → L2 (R), M u := id · u, azaz (M u)(x) = xu(x) (x ∈ R). Ekkor AM u − M Au = i(id · u)0 − id · iu0 = iu (∀u ∈ D(A)), azaz A ´es M teljes´ıti a kvantummechanik´aban alapvet˝o AM − M A = iI Heisenberg-f´ele felcser´el´esi rel´aci´ot. (S˝ot, igazolhat´o, hogy l´enyeg´eben, azaz unit´er transzform´ aci´ o erej´eig csak ezek az oper´atorok teljes´ıthetik, l´asd [42, Chap. 35].)
8.1.2. Elliptikus oper´ atorok Legyen Ω ⊂ Rn korl´ atos tartom´any, p ∈ C 1 (Ω), p(x) ≥ m > 0, Lu := − div(p ∇u), u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω). Perem´ert´ekfeladat alatt egy Lu ≡ − div (p ∇u) = f, (8.2) + peremfelt´etel t´ıpus´ u egyenletet ´ert¨ unk, ahol a peremfelt´etel az al´abbi h´arom lehet˝os´eg valamelyike: 1. u|∂Ω = 0 (Dirichlet-peremfelt´etel), 2. ∂ν u|∂Ω = 0 (Neumann-peremfelt´etel), 3. g ∂ν u + hu|∂Ω = 0, ahol g, h ≥ 0, g 2 + h2 6= 0 (Robin-peremfelt´etel). (Az L oper´ ator most egyszer˝ us´eg kedv´e´ert nem tartalmaz alacsonyabbrend˝ u tagot.) A sz´ am´ıt´ asok alapja legt¨ obbsz¨or a nevezetes 8.16. T´ etel (Green-formula). [67] Legyen Ω ⊂ Rn korl´ atos tartom´ any, ovetkez˝ o differenci´ aloper´ ator: melyre ∂Ω ∈ P C 1 , ´es p ∈ C 1 (Ω). Legyen L a k¨ uggv´enyre Lu = − div(p ∇u). Ekkor minden u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), v ∈ C 1 (Ω) f¨ ´erv´enyes: Z Z Z p ∇u · ∇v −
(Lu) v = Ω
Ω
p ∂ν u v dσ. ∂Ω
(8.3)
´ tos opera ´ torok 8. Nem korla
132
´ ıt´ 8.17. All´ as. Legyen H = L2 (Ω), ´es legyen az Lu := − div(p ∇u) oper´ ator ´ertelmez´esi tartom´ anya 1. D(L) = {u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) : u|∂Ω = 0}, vagy 2. D(L) = {u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) : ∂ν u|∂Ω = 0}. Mindk´et esetben L szimmetrikus ´es pozit´ıv oper´ ator, s˝ ot az 1. esetben szigor´ uan pozit´ıv is. Bizony´ıt´ as. A Green-formula alapj´an b´armely u ∈ D(L) eset´en Z Z Z 2 p |∇u| − p ∂ν u u ≥ 0. hLu, uiL2 (Ω) = (Lu)u = Ω Ω } | ∂Ω {z 0
Ha hLu, uiL2 (Ω) = 0, akkor ∇u = 0, azaz u ≡ c. Az els˝o peremfelt´etel eset´en ebb˝ ol az is k¨ ovetkezik, hogy u ≡ 0. Most p´eld´ akat adunk szimmetrikus/¨onadjung´alt oper´atorokra, ill. adjung´altra. 1. p´ elda: k¨ oz¨ ons´eges differenci´ aloper´ atorok. Legyen mindv´egig I = [a, b], H = L2 (I). (i) Legyen Lu := −u00 . Ha D(L) := H 2 (I) ∩ H01 (I) = {u ∈ H 2 (I) : u(a) = u(b) = 0}, akkor L ¨onadjung´alt oper´ator L2 (I)-ben. Itt D(L) s˝ ur˝ u r´eszhalmaza H-nak. A 8.12. ´all´ıt´as szerint el´eg megmutatnunk, hogy L szimmetrikus ´es szuperjekt´ıv. A defin´ıci´o alapj´an az ´ertelmez´esi tartom´ any elemei olyan u ∈ C 1 (I) f¨ uggv´enyek, melyekre u0 m. m. differenci´ alhat´o, u00 ∈ L2 (I) ´es u(a) = u(b) = 0. Parci´alis integr´ al´ assal kapjuk, hogy Z b Z b b 2 00 0 hLu, uiL2 (I) = − u u = [−u · u]a + |u0 | ≥ 0. | {z } a a 0
(A 8.17. ´ all´ıt´ as az n = 1, p ≡ 1 speci´alis esetben ugyanezt adja, de 2 csak C -beli u eset´en.) ´Igy L pozit´ıv (´es ez´ert szimmetrikus) oper´ator. Legyen most f ∈ L2 (I) tetsz˝oleges. Kell, hogy l´etezik u ∈ D(L), melyre Rt Lu = f , azaz megoldand´o a −u00 = f egyenlet. Legyen F (t) := a f , ekkor F ∈ H 1 (I). K´etszer integr´alva Z x u(x) = − F + cx + d, a
´ tos opera ´ torok alaptulajdonsa ´ gai 8.1. Nem korla
133
ahol u ∈ H 2 (I). A c ´es d konstansok az u(a) = u(b) = 0 peremfelt´etelekb˝ ol egy´ertelm˝ uen meghat´arozhat´ok. Teh´at L szuperjekt´ıv, amib˝ol k¨ ovetkez˝ oen ¨ onadjung´ alt is. 0
(ii) Legyen Lu := − (pu0 ) , ahol p ∈ C 1 (I, R), p(x) ≥ m > 0. Ha D(L) := H 2 (I) ∩ H01 (I), akkor L ¨onadjung´alt oper´ator L2 (I)-ben. Ez az el˝ oz˝ o p´elda ´ altal´ anos´ıt´asa, hasonl´oan ad´odik. 0
(iii) Legyen Lu := − (pu0 ) , ahol p ∈ C 1 (I, C). Legyen D(L) := H 2 (I) ∩ 0 H01 (I). Ekkor L∗ v = − (pv 0 ) (v ∈ H 2 (I) ∩ H01 (I)). Ugyanis, ha u ∈ H 2 (I) ∩ H01 (I), akkor Z hLu, viL2 (I) =
a
b
0 0
− (pu )
Z v=
b
0 u −(pv 0 )
(8.4)
a
(∀v ∈ H 2 (I) ∩ H01 (I)). 0
(iv) Legyen Lu := − (pu0 ) , ´es u ´jb´ol p ∈ C 1 (I, R), p(x) ≥ m > 0, de most 2 D(L) = {u ∈ C (I) : u(a) = u(b) = 0}. Ekkor minden u ∈ D(L)-re ´es minden v ∈ H 2 (I) ∩ H01 (I)-re teljes¨ ul (8.4) (ahol p f¨ol¨ott nem kell 0 konjug´ alt), ´ıgy L∗ v = − (pv 0 ) (∀v ∈ H 2 (I) ∩ H01 (I)). Ez azt jelenti, hogy L ( L∗ , azaz L szimmetrikus, de nem ¨onadjung´alt. Teljesen hasonl´ ok igazolhat´ oak magasabb dimenzi´oban: 2. p´ elda: parci´ alis differenci´ aloper´ atorok. Legyen mindv´egig Ω ⊂ Rn korl´ atos tartom´ any, amely egy konvex tartom´any C 2 -diffeomorf k´epe, ´es H = 2 L (Ω). Legyen Lu := − div(p ∇u). (i) Ha p ∈ C 1 (Ω, R), p(x) ≥ m > 0 ´es D(L) = H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω), akkor L szimmetrikus ´es szuperjekt´ıv, ´ıgy ¨onadjung´alt is. (ii) Ha p ∈ C 1 (Ω, C) ´es D(L) = H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω), akkor L∗ v = − div(p · ∇v). (iii) Ha pedig p ∈ C 1 (Ω, R), p(x) ≥ m > 0, D(L) = {u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) : u|∂Ω = 0}, akkor L szimmetrikus, de nem ¨onadjung´alt.
8.1.3. Saj´ at´ ert´ ekek, kompakt inverz˝ u oper´ atorok 8.18. Defin´ıci´ o. Legyen A : H ⊃→ H line´aris oper´ator. A λ ∈ C sz´am saj´ at´ert´eke A-nak, ha l´etezik 0 6= u ∈ D(A), hogy Au = λu. A korl´ atos ¨ onadjung´ alt esetre vonatkoz´o t´etel bizony´ıt´as´anak megism´etl´es´evel kapjuk:
´ tos opera ´ torok 8. Nem korla
134
´ ıt´ 8.19. All´ as. Ha A : H ⊃→ H szimmetrikus line´ aris oper´ ator, akkor a saj´ at´ert´ekei val´ osak ´es a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o saj´ at´ert´ekekhez tartoz´ o saj´ atvektorok ortogon´ alisak. ´ ıt´ 8.20. All´ as. Legyen A : H ⊃→ H line´ aris oper´ ator, amely injekt´ıv. Ekkor λ ∈ Eig(A) ⇐⇒ 1/λ ∈ Eig(A−1 ), ´es ugyanazon saj´ atvektorok tartoznak hozz´ ajuk. Bizony´ıt´ as. Az injektivit´ as miatt λ 6= 0. Ekkor Au = λu ⇐⇒
1 u = A−1 u. λ
A k¨ ovetkez˝ o t´etel a kompakt ¨onadjung´alt oper´atorok f˝ot´etel´eb˝ol ´es a fenti ´ll´ıt´ a asb´ ol k¨ ovetkezik. 8.21. T´ etel. Legyen H szepar´ abilis ´es A : H ⊃→ H line´ aris oper´ ator, amely injekt´ıv, szimmetrikus ´es R(A) = H. Ezenk´ıv¨ ul legyen A−1 : H → H kompakt. Ekkor A-nak megsz´ aml´ alhat´ oan sok saj´ at´ert´eke van, melyek val´ osak, +∞-hez tartanak ´es a norm´ alt saj´ atvektorokb´ ol teljes ortonorm´ alt rendszer (TONR) alkothat´ o. P´ eld´ ak. (a) Ha I = [0, b], H = L2 (I), Lu = −u00 , D(L) = {u ∈ C 2 (I) : u(0) = u(b) = 0}, akkor L inverze a Green-f¨ uggv´enyt tartalmaz´o folytonos mag´ u integr´ aloper´ ator, amely a 6.75. ´all´ıt´as szerint kompakt. ´Igy L-re igaz a 8.21. t´etel. Val´ oj´ aban itt L saj´at´ert´ekei ´es (norm´alt) saj´atvektorai expliciten is ismertek: r kπ 2 kπ 2 λk = , uk (x) = · sin x (k ∈ N+ ). (8.5) b b b (b) Legyen Ω ⊂ Rn korl´ atos tartom´any, amely egy konvex tartom´any C 2 diffeomorf k´epe, ´es H = L2 (Ω). Legyen Lu := − div(p ∇u), D(L) = H 2 (Ω)∩ H01 (Ω). Az el˝ oz˝ o szakaszban l´attuk, hogy L szimmetrikus, injekt´ıv (hiszen szigor´ uan pozit´ıv), R(L) = L2 (Ω) = H. Ezenk´ıv¨ ul az is teljes¨ ul, hogy L−1 kompakt. (Ez k¨ ovetkezik [67, 9.3.]-b´ol, mert az ottani G oper´ator eset¨ unkben −1 ´ ´eppen L .) Igy L-re igaz a 8.21. t´etel. Ha speci´ alisan L = −∆ ´es Ω = [0, a] × [0, b], akkor L saj´at´ert´ekei ´es (norm´alt) saj´ atvektorai ismertek: λkl = π 2
k2
l2 + , a2 b2
kπ lπ 2 ukl (x, y) = √ sin x cos y a b ab
(k, l ∈ N+ ).
´ tos opera ´ torok alaptulajdonsa ´ gai 8.1. Nem korla
135
Alkalmaz´ asok. (a) Hilbert–Schmidt sorfejt´ es. A saj´atvektorok TONR volta seg´ıts´eg´evel az Au = f egyenlet megold´ asa fel´ırhat´o a saj´atvektorok szerinti sorfejt´essel. ´ Espedig, ha (ek ) a norm´ alt saj´atvektorok rendszere, akkor f=
∞ X
ck e k ,
u=
k=1
∞ X
ξk ek .
k=1
Ekkor az u ismeretlen f¨ uggv´eny ξk egy¨ utthat´okra a ck = hf, ek i = hAu, ek i = hu, Aek i = λk hu, ek i = λk ξk egyenletb˝ ol ad´ odik, hogy ξk =
ck . λk
(b) Az els˝ o saj´ at´ ert´ ek vari´ aci´ os tulajdons´ aga. ´ ıt´ 8.22. All´ as. Legyen H szepar´ abilis ´es A : H ⊃→ H szigor´ uan pozit´ıv oper´ ator, melyre R(A) = H ´es A−1 kompakt. Ekkor 2
hAu, ui ≥ λ1 kuk
(u ∈ D(A))
(ahol λ1 = λ1 (A) a legkisebb saj´ at´ert´ek), azaz A egyenletesen pozit´ıv is. Bizony´ıt´ as. A felt´etel szerint A norm´alt {en }n∈N saj´atvektorai TONR-t alkotnak. Az el˝ oz˝ o bizony´ıt´ asban l´attuk, hogy hAu, ek i = λk ξk , ebb˝ol * + ∞ ∞ ∞ X X X 2 hAu, ui = Au, ξk ek = ξ k hAu, ek i = λk |ξk | ≥ k=1
≥ λ1
k=1 ∞ X
k=1
2
2
|ξk | = λ1 kuk .
k=1
A t´etelb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy minden u ∈ D(A) \ {0} eset´en λ1 ≤
hAu, ui 2
kuk
≡ %(u),
s˝ ot, mivel u = e1 eset´en egyenl˝os´eg van, ez´ert λ1 =
min u∈D(A)\{0}
hAu, ui 2
kuk
.
(8.6)
´ tos opera ´ torok 8. Nem korla
136
A %(u) kifejez´est az u-hoz tartoz´o Rayleigh-h´anyadosnak nevezz¨ uk. (c) Oper´ atorfu enyek ¨ ggv´ Kompakt inverz˝ u oper´ ator eset´en adapt´alhat´o az oper´atorf¨ uggv´enyek 6.100. defin´ıci´ oja: 8.23. Defin´ıci´ o. Legyen H szepar´ abilis ´es A : H ⊃→ H szigor´ uan pozit´ıv oper´ ator, melyre R(A) = H ´es A−1 kompakt. Jel¨ olje (λn ) ´es (en ) a saj´ at´ert´ekek ´es megfelel˝ o saj´ atvektorok sorozat´ at. Ekkor f : R → R adott f¨ uggv´eny eset´en legyen f (A) : H ⊃→ H az az oper´ ator, melyre D(f (A)) :=
∞ ∞ o n X X |f (λn )cn |2 < ∞ , cn e n ∈ H : x= n=1
n=1
f (A)x :=
∞ X
f (λn )cn en .
n=1
Legyen p´eld´ aul α > 0 sz´ am ´es f (x) := e−αx . Ekkor b´armely x =
∞ P
cn en ∈ H
n=1
eset´en ∞ X
|f (λn )cn |2 =
n=1
∞ X
|e−αλn cn |2 ≤
n=1 −αλn
mivel λn > 0 miatt e
∞ X
|cn |2 = kxk2 < ∞,
n=1
< 1. ´Igy
D(e−αA ) = H,
e−αA x :=
∞ X
e−αλn cn en .
(8.7)
n=1
(Az f (A) teh´ at lehet b˝ ovebben ´ertelmezve, mint A.) A korl´ atos esethez hasonl´ oan a f¨ uggv´enym˝ uveletek meg˝orz˝odnek a megfelel˝o oper´ atorokra (most a megfelel˝o ´ertelmez´esi tartom´any erej´eig). P´eld´aul, ha α, β > 0 sz´ amok, akkor (8.7) alapj´an e−(α+β)A = e−αA e−βA .
8.2. Energiat´ er ´ es gyenge megold´ as szimmetrikus oper´ ator eset´ en 8.24. Defin´ıci´ o. Legyen A : H ⊃→ H szigor´ uan pozit´ıv oper´ator. Az hu, viA := hAu, vi form´ at az A-hoz tartoz´o energia-skal´ arszorzatnak nevezz¨ uk, az Ahoz tartoz´ o energiat´er pedig HA := [D(A), h·, ·iA ], azaz D(A) teljess´e t´etele az energia-skal´ arszorzattal.
´r e ´s gyenge megolda ´s 8.2. Energiate
137
Ha speci´ alisan A egyenletesen pozit´ıv, azaz A szimmetrikus ´es A ≥ p I valamilyen p > 0 sz´ amra, akkor 2
kukA = hu, uiA = hAu, ui ≥ p kuk
2
∀ u ∈ D(A).
´ ıt´ 8.25. All´ as. Ha A egyenletesen pozit´ıv, akkor HA ⊂ H, azaz HA azonos´ıt´ as erej´eig be´ agyazhat´ o H-ba. Bizony´ıt´ as. Legyen u ∈ HA , ekkor HA defin´ıci´oja szerint l´etezik (un ) ⊂ D(A) sorozat, melyre ku − un kA → 0. Ekkor (un ) Cauchy-sorozat k·kA -ban. Az egyenletes pozitivit´ as miatt 1 kun − um k ≤ √ kun − um kA , p azaz (un ) Cauchy-sorozat k·k-ban is, azaz l´etezik u ˜ ∈ H, hogy un → u ˜ k·kban. Megmutatjuk, hogy a ψ : u 7→ u ˜ hozz´arendel´es injekt´ıv. Mivel ψ line´aris, ´ıgy el´eg bel´ atni, hogy ha u ˜ = 0, akkor u = 0. Tekints¨ uk u ˜ = 0 eset´en a fenti (un ) sorozatot. Ekkor, felhaszn´alva, hogy un → u ˜ k·k-ban ´es un → u k·kA ban, 0 = h˜ u, Avi = limhun , Avi = limhun , viA = hu, viA
(∀v ∈ D(A)),
azaz u mer˝ oleges a HA -ban s˝ ur˝ u D(A) halmazra, ´ıgy u = 0. ´Igy teh´at ψ injekt´ıv, azaz bijekci´ ot l´etes´ıt HA ´es H egy r´eszhalmaza k¨oz¨ott. 8.26. K¨ ovetkezm´ eny. Ha A ≥ p I, akkor az 2
kukA ≥ p kuk
2
(8.8)
becsl´es minden u ∈ HA eset´en is fenn´ all. Bizony´ıt´ as. Vegy¨ unk egy un → u D(A)-beli sorozatot, ahol a konvergencia k·kA szerint ´ertend˝ o. Az el˝ oz˝oek szerint k·k szerint is igaz a konvergencia. 2 2 Az kun kA ≥ p kun k egyenl˝ otlens´egb˝ol hat´ar´atmenettel k¨ovetkezik a k´ıv´ant 2 2 kukA ≥ p kuk egyenl˝ otlens´eg. (Ezt a gondolatmenetet s˝ ur˝ us´egi ´ervnek szoktuk h´ıvni, ´es a k´es˝ obbiekben is t¨obbsz¨or haszn´aljuk.) ´ ıt´ 8.27. All´ as. Ha A egyenletesen pozit´ıv, R(A) = H ´es A−1 kompakt, akkor a (8.8) becsl´esben az ´eles p hat´ ar az A oper´ ator λ1 legkisebb saj´ at´ert´eke. Azaz, 2
2
kukA ≥ λ1 kuk ´es ez a konstans nem jav´ıthat´ o.
(∀u ∈ HA )
(8.9)
´ tos opera ´ torok 8. Nem korla
138
Bizony´ıt´ as. A 8.22. ´ all´ıt´ as ´es (8.6) szerint a fenti igaz u ∈ D(A) eset´en, ´es ´ıgy (a 8.26. k¨ ovetkezm´enybeli s˝ ur˝ us´egi ´ervet megism´etelve) u ∈ HA eset´en is. P´ elda. Legyen Ω ⊂ Rn korl´atos tartom´any, H = L2 (Ω), A = −∆, ahol D(A) = H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω). Ekkor Z Z hu, viA = − ∇u · ∇v = hu, viH 1 (Ω) , (∆u) v = 0
Ω
Ω
vagyis a Laplace-oper´ ator energiatere H01 (Ω). Emellett a 8.27. ´ all´ıt´ as alapj´an kapjuk az u ´n. Poincar´e–Friedrichs-egyenl˝ otlens´eget: 2
2
k∇ukL2 (Ω) ≥ λ1 kukL2 (Ω)
(∀u ∈ H01 (Ω)),
(8.10)
ahol λ1 a −∆ oper´ ator legkisebb saj´at´ert´eke Ω-n Dirichlet-peremfelt´etel mellett. Itt eml´ıt´est ´erdemel λ1 egyszer˝ u becsl´ese: λ1 ≥
nπ 2 , diam(Ω)2
(8.11)
ahol n a t´er dimenzi´ oja ´es diam(Ω) a tartom´any ´atm´er˝oje, l´asd [67]. Ha ugyanitt az oper´ ator a 8.1.2. szakasz elej´en bevezetett Au := − div (p ∇u), akkor az energiat´er szint´en H01 (Ω), most a s´ ulyozott Z hu, viA = p ∇u · ∇v Ω
skal´ arszorzattal. Ha A egyenletesen pozit´ıv, akkor ´ertelmezhet˝o oper´atoregyenlet gyenge megold´ as´ anak fogalma az elliptikus feladatokn´al megszokottak anal´ogi´aj´ara: 8.28. Defin´ıci´ o. Legyen f ∈ H adott vektor. Az u ∈ HA vektor az Au = f feladat gyenge megold´ asa, ha hu, viA = hf, vi
(∀ v ∈ HA ).
(8.12)
Vil´ agos, hogy u ∈ D(A) eset´en a gyenge megold´as teljes´ıti az Au = f egyenl˝ os´eget, ´ıgy ennek ´ altal´ anos´ıt´as´ar´ol van sz´o az f ∈ / R(A) esetre. 8.29. T´ etel. Ha A egyenletesen pozit´ıv, akkor minden f ∈ H eset´en az Au = f egyenletnek egy´ertelm˝ uen l´etezik u ∈ HA gyenge megold´ asa.
´r e ´s gyenge megolda ´s 8.2. Energiate
139
Bizony´ıt´ as. Legyen φ : HA → C, φv := hv, f i line´aris funkcion´al. Ekkor a 1 |φv| = |hv, f i| ≤ √ kf k kvkA p
(∀ v ∈ HA )
becsl´es miatt φ korl´ atos is HA -ban. Riesz reprezent´aci´os t´etele szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik u ∈ HA , hogy φv = hv, f i = hv, uiA , ezt konjug´alva megkapjuk (8.12)-t.
8.30. Megjegyz´ es. Az Au = f egyenlet gyenge megold´as´ara az 1 kukA ≤ √ kf k p folytonos f¨ ugg´es teljes¨ ul, hiszen (8.12)-ben v = u helyettes´ıt´essel, majd a (8.8) becsl´es alapj´ an 1 kuk2A = hu, uiA = hf, ui ≤ kf kkuk ≤ √ kf kkukA . p
Fontos p´eldak´ent szolg´ al ism´et a Laplace-oper´ator. Erre a fenti t´etel a H01 (Ω) t´erben szok´ asos ´ertelemben vett gyenge megold´ast adja, mellyel a 10.2.2 szakaszban foglalkozunk. A gyenge megold´ as egy sz´ep elm´eleti alkalmaz´asak´ent kapjuk az u ´n. Friedrichsf´ele kiterjeszt´est. Itt az alapprobl´ema az, hogy egy szimmetrikus oper´atornak van-e ¨ onadjung´ alt kiterjeszt´ese. Ez ´altal´aban nem igaz, de egyenletesen pozit´ıv esetre igen, ´es egyszer˝ uen k¨ovetkezik a fentiekb˝ol: ´ ıt´ 8.31. All´ as. Ha az A szimmetrikus oper´ ator egyenletesen pozit´ıv, akkor ˜ ˜ = H. van A ¨ onadjung´ alt kiterjeszt´ese. Erre R(A) Bizony´ıt´ as. A 8.12. lemma alapj´an el´eg igazolnunk, hogy A-nak van szuperjekt´ıv, szint´en szimmetrikus kiterjeszt´ese. Legyen A˜ : H ⊃→ H a k¨ovetkez˝o: ˜ := {u ∈ HA ⊂ H : ∃f ∈ H, hogy u az Au = f egyenlet gyenge D(A) ˜ := f . Ekkor a 8.29. t´etel szerint A˜ szuperjekt´ıv. M´asr´eszt a megold´ asa, Au ˜ vi = hf, vi = hu, viA (∀u, v ∈ D(A)), ˜ gyenge megold´ as fogalma alapj´an hAu, ˜ vi = hu, viA = hv, uiA = hAv, ˜ ui = hu, Avi, ˜ ´ıgy hAu, azaz A˜ is szimmetrikus.
´ tos opera ´ torok 8. Nem korla
140
8.3. Gyenge megold´ as nem szimmetrikus oper´ ator vagy nyeregpont-feladat eset´ en A szimmetrikus oper´ ator energiatere seg´ıts´eg´evel k´et tov´abbi feladatra ´ertelmezz¨ uk a gyenge megold´ ast, valamint bizony´ıtjuk l´etez´es´et ´es egy´ertelm˝ us´eg´et.
8.3.1. Nem szimmetrikus oper´ ator esete Legyen ism´et H val´ os Hilbert-t´er, ´es tekints¨ uk az Lu = g
(8.13)
oper´ atoregyenletet, ahol L : H ⊃→ H nem szimmetrikus, nem korl´atos oper´ ator. Szeretn´enk ism´et ´ertelmezni a gyenge megold´as fogalm´at a g ∈ / R(L) esetre, de most L nem gener´al energia-skal´arszorzatot, mivel nem szimmetrikus. ´Igy a feladatot egy alkalmas m´asik S oper´ator energiater´ere vezetj¨ uk vissza, ahol S m´ ar szimmetrikus. Ez a fel´ep´ıt´es ´es alkalmaz´asai [6]-b´ol sz´armaznak. 8.32. Defin´ıci´ o. Legyen S : H ⊃→ H egyenletesen pozit´ıv oper´ator. Azt mondjuk, hogy az L : H ⊃→ H line´aris oper´ator S-korl´ atos ´es S-koerc´ıv, ha (i) D(L) ⊂ HS ´es D(L) s˝ ur˝ u HS -ben (az energianorm´aban); (ii) l´etezik M > 0 ´ alland´ o, hogy |hLu, vi| ≤ M kukS kvkS
(∀u, v ∈ D(L));
(iii) l´etezik m > 0 ´ alland´ o, hogy hLu, ui ≥ mkuk2S
(∀u ∈ D(L)).
8.33. Defin´ıci´ o. Legyen L : H ⊃→ H S-korl´atos ´es S-koerc´ıv. Ekkor LS ∈ B(HS ) az a korl´ atos line´ aris oper´ator a HS t´eren, melyre hLS u, viS = hLu, vi
(∀u, v ∈ D(L)).
´ ıt´ 8.34. All´ as. Az LS oper´ ator j´ oldefini´ alt. Bizony´ıt´ as. Az u, v 7→ hLu, vi biline´aris forma folytonos a HS -norm´ara n´ezve a 8.32. defin´ıci´ o (ii) pontja szerint, ´ıgy egy´ertelm˝ uen kiterjeszthet˝o HS -re a folytonoss´ ag (´es az M korl´at) megtart´as´aval. A kiterjesztett form´anak a 7.13. t´etel ´ altal megadott Riesz-reprezent´ansa ´epp az LS oper´ator lesz.
´ s nem szimmetrikus opera ´ tor esete ´n 8.3. Gyenge megolda
141
8.35. Megjegyz´ es. (a) Mivel D(L) s˝ ur˝ u HS -ben, a 8.32. defin´ıci´o (ii) ´es (iii) pontja o r¨ o kl˝ o dik az L oper´ a torra: ¨ S |hLS u, viS | ≤ M kukS kvkS ,
hLS u, uiS ≥ mkuk2S
(u, v ∈ HS ). (8.14)
Ut´ obbi szerint teh´ at LS koerc´ıv a HS t´eren. (b) Ha R(L) ⊂ R(S), akkor az LS oper´ator D(L)-re vett lesz˝ uk´ıt´ese felbonthat´ o az al´ abbi m´ odon: (8.15) LS D(L) = S −1 L. Ekkor ugyanis a D(L) s˝ ur˝ u alt´erre n´ezve hLS u, viS = hLu, vi = hSS −1 Lu, vi = hS −1 Lu, viS
(∀u, v ∈ D(L)).
(Megjegyezz¨ uk, hogy itt az R(L) ⊂ R(S) felt´etel nem nagy megszor´ıt´as, mert a 8.31. ´ all´ıt´ as szerint vehetj¨ uk S helyett a Friedrichs-kiterjeszt´es´et, ˜ = H.) amelyre R(S) 8.36. Defin´ıci´ o. Legyen L : H ⊃→ H S-korl´atos ´es S-koerc´ıv. Az u ∈ HS vektor a (8.13) egyenlet gyenge megold´ asa, ha hLS u, viS = hg, vi
(∀v ∈ HS ).
(8.16)
8.37. T´ etel. B´ armely g ∈ H eset´en az (8.13) egyenletnek egy´ertelm˝ uen l´etezik gyenge megold´ asa. Bizony´ıt´ as. Legyen B(u, v) := hLS u, viS
´es φv := hg, vi
(∀u, v ∈ HS ).
Ekkor (8.14) alapj´ an B : HS × HS → R korl´atos ´es koerc´ıv biline´aris forma, ill. a 8.29. t´etel bizony´ıt´ as´ aval megegyez˝o m´odon φ : HS → R korl´atos line´aris funkcion´ al. ´Igy alkalmazhatjuk a 7.16. t´etelt (Lax–Milgram-lemma). 8.38. Megjegyz´ es. Vil´ agos, hogy u ∈ D(L) eset´en a gyenge megold´as teljes´ıti az Lu = g egyenl˝ os´eget, ´ıgy ennek ´altal´anos´ıt´as´ar´ol van sz´o a g ∈ / R(L) esetre. 8.39. Megjegyz´ es. E szakaszban foglaltak komplex t´erben is ´erv´enyesek, ekkor az S-koercivit´ asn´ al a 8.32. defin´ıci´o (iii) pontj´at ´ertelemszer˝ uen a Re hLu, ui ≥ mkuk2S felt´etellel helyettes´ıtj¨ uk.
(∀u ∈ D(L))
´ tos opera ´ torok 8. Nem korla
142
8.3.2. Nyeregpont-feladat esete Tekints¨ uk a (7.7) rendszer megfelel˝oj´et nem korl´atos oper´atorokkal: ( Su + N p = f N ∗u
= g,
(8.17)
ahol H, K val´ os Hilbert-terek, S : H ⊃→ H ´es N : K ⊃→ H s˝ ur˝ un defini´alt oper´ atorok, valamint S szimmetrikus ´es egyenletesen pozit´ıv. Tegy¨ uk fel m´eg, hogy D(N ∗ ) ⊃ HS , ahol HS az S energiatere. A (8.17) feladathoz tartoz´o inf-sup-felt´etelt az S-norm´ ara n´ezve ´ırjuk el˝o: inf
sup
p∈D(N )\{0} u∈HS \{0}
hN p, ui = γ > 0. kpkkukS
(8.18)
´ Ertelmezz¨ uk a gyenge megold´as fogalm´at! Tegy¨ uk fel el˝osz¨or, hogy (u, p) er˝os megold´ as (azaz u ∈ D(S) ∩ D(N ∗ ), p ∈ D(N )) ´es szorozzuk be az els˝o, ill. m´ asodik egyenletet tetsz˝ oleges v ∈ H, ill q ∈ K vektorral: ( hSu, vi + hN p, vi = hf, vi (∀v ∈ H), hN ∗ u, qi
= hg, qi
(∀q ∈ K).
A D(N ∗ ) ⊃ HS feltev´es miatt itt v ∈ HS eset´en hN p, vi = hp, N ∗ vi. Ez alapj´ an bevezethet˝ o: 8.40. Defin´ıci´ o. Az (u, p) ∈ HS × K p´ar a (8.17) feladat gyenge megold´asa, ha ( hu, viS + hp, N ∗ vi = hf, vi (∀v ∈ HS ), (8.19) ∗ hN u, qi = hg, qi (∀q ∈ K). 8.41. T´ etel. Legyenek H, K val´ os Hilbert-terek, S : H ⊃→ H ´es N : K ⊃ → H, ahol S szimmetrikus ´es egyenletesen pozit´ıv. Tegy¨ uk fel m´eg, hogy D(N ∗ ) ⊃ HS ´es N ∗ : HS → K korl´ atos az S-norm´ aban. Ha fenn´ all a (8.18) inf-sup-felt´etel, akkor b´ armely (f, g) ∈ H × K eset´en a (8.17) feladatnak l´etezik egyetlen (u, p) ∈ HS × K gyenge megold´ asa. Bizony´ıt´ as. Legyen A(u, v) := hu, viS , B(p, v) := hp, N ∗ vi, ill. φf := hf, vi, ψg := hg, qi; ezzel feladatunk (7.16) alak´ u. C´elunk, hogy alkalmazzuk a 7.29. t´etelt, H helyett a HS t´errel. Itt A : HS × HS → R trivi´alisan korl´atos ´es koerc´ıv biline´ aris forma, hisz ez maga a HS t´er skal´arszorzata. M´asr´eszt B : K ×HS → R is korl´ atos biline´aris forma, mert N ∗ : HS → K korl´atoss´aga r´ev´en |B(p, v)| ≤ kpkkN ∗ kkvk (∀p ∈ K, v ∈ HS ). Ellen˝orizn¨ unk kell m´eg a (7.17) inf-sup-felt´etelt B-re, H helyett a HS t´errel: D(N ) s˝ ur˝ us´eg´et haszn´alva, inf
sup
p∈K\{0} u∈HS \{0}
hp, N ∗ ui B(p, u) = inf sup kpkkukS p∈K\{0} u∈HS \{0} kpkkukS
´ s nem szimmetrikus opera ´ tor esete ´n 8.3. Gyenge megolda
143
hp, N ∗ ui hN p, ui = inf sup = γ > 0. p∈D(N )\{0} u∈HS \{0} kpkkukS p∈D(N )\{0} u∈HS \{0} kpkkukS (8.20) V´eg¨ ul, φ : HS → R korl´ atos line´aris funkcion´al a 8.29. t´etel bizony´ıt´asa szerint, ill. ψ : K → R trivi´ alisan korl´atos line´aris, hiszen K-beli skal´arszorzat. ´Igy teh´ at teljes¨ ulnek a HS × K t´erben a 7.29. t´etel felt´etelei, amib˝ol m´ar k¨ ovetkezik a k´ıv´ ant megoldhat´os´ag. =
inf
sup
9. fejezet
Oper´ atordifferenci´ alegyenletek Ebben a fejezetben u(t) ˙ = Au(t)
(9.1)
alak´ u line´ aris oper´ ator-differenci´alegyenletek megoldhat´os´ag´ar´ol lesz sz´o n´eh´ any egyszer˝ u esetben, ´erintve a t´emak¨orben alapvet˝o f´elcsoportok fogalm´at. A f´elcsoportok elm´elete igen kiterjedt, gyors fejl˝od´esben l´ev˝o ter¨ ulet, amely a (9.1) egyenleten t´ uli (ill. (9.1)-re is az itt t´argyaltn´al ´altal´anosabb) esetek vizsg´ alat´ anak is hat´ekony eszk¨oze, ennek r´eszletes ¨osszefoglal´as´at adj´ak a [22, 53] k¨ onyvek. A (9.1) egyenlet vizsg´ alata el˝ott motiv´aci´ok´ent ´erdemes a skal´ar anal´ogi´aj´at felid´ezni. Legyen a 6= 0 val´ os sz´am ´es tekints¨ uk az al´abbi k¨oz¨ons´eges differenci´ alegyenlet kezdeti´ert´ek-feladat´at: x(t) ˙ = ax(t),
x(0) = x0 .
uggv´enyt expa Ennek megold´ asa x(t) = eat x0 , amit ´ırjunk az exponenci´alis f¨ val jel¨ olve, x(t) = expa (t)x0 alakban. Ekkor az expa f¨ uggv´eny tulajdonk´eppen a fenti feladat megold´ o-oper´ atora, az al´abbi tulajdons´agokkal: expa (0) = 1,
expa (t + s) = expa (t) expa (s)
(∀t, s ≥ 0).
(9.2)
Ezek b´ armely exponenci´ alis f¨ uggv´enyre igazak, az a sz´amot az exp0a (0) = a
(9.3)
deriv´ altb´ ol kapjuk meg. A (9.2) azonoss´agok f´elcsoport-tulajdons´agnak tekinthet˝ ok, a deriv´ altb´ ol visszakapott a sz´am pedig a megold´o-oper´ator gener´ ator´ anak, mivel meghat´ arozza, melyik exponenci´alis f¨ uggv´enyr˝ol van sz´o. A 145
´ tor-differencia ´ legyenletek 9. Opera
146
f´elcsoportok absztrakt fogalma ezeket u ¨lteti ´at norm´alt terekbe, megvil´ag´ıtva a skal´ ar ´es a norm´ alt t´erbeli feladat hasonl´o szerkezet´et. El˝ osz¨ or a f´elcsoportok fogalm´at ´es a (9.1) egyenlettel val´o kapcsolat´at v´azoljuk, majd ez alapj´ an k´et megoldhat´os´agi t´etelt adunk meg.
9.1. F´ elcsoportok ´ es oper´ ator-differenci´ alegyenletek Az el˝ oz˝ o fejezetekt˝ ol elt´er˝ oen itt el˝osz¨or nem csak Hilbert-t´erben n´ezz¨ uk a feladatot, mert egyes alkalmaz´ asokban X szerep´et a C(I) vagy C(Ω) t´er j´atssza, a t´ argyal´ asban pedig egy darabig nincs k¨ ul¨onbs´eg a Banach- ´es Hilbert-t´er esete k¨ ozt. Legyen teh´ at X Banach-t´er, A : X ⊃→ X s˝ ur˝ un defini´alt oper´ator, u0 ∈ D(A) adott vektor, ´es tekints¨ uk az al´abbi kezdeti´ert´ek-feladatot: keresend˝ o olyan u : [0, ∞) → X f¨ uggv´eny, melyre u(t) ˙ = Au(t),
u(0) = u0 .
(9.4)
Mivel a keresett f¨ uggv´eny u : R ⊃→ X t´ıpus´ u, ´ıgy a megold´asnak (a kezdeti felt´etelen t´ ul) egyszer˝ uen azt kell teljes´ıtenie, hogy u(t + h) − u(t) = Au(t) h→0 h
(∀t ≥ 0),
lim
(9.5)
ahol t = 0 eset´en csak h → 0+ eset´en kell a limesz. El˝ osz¨ or (9.2)-(9.3) mint´ aj´ ara ´ertelmezz¨ uk a f´elcsoport ´es a gener´ator fogalm´ at, majd ebb˝ ol sz´ armaztatjuk a (9.4) feladat megold´as´at. Egyszer˝ us´eg kedv´e´ert feltessz¨ uk a f´elcsoport folytonos f¨ ugg´es´et a param´etert˝ol a pontonk´enti konvergenci´ ara n´ezve (err˝ ol l´asd k´es˝obb a 9.3. megjegyz´est). 9.1. Defin´ıci´ o. Legyen X Banach-t´er, T : [0, ∞) → B(X) lek´epez´es, melyre (i) T (0) = I; (ii) T (t + s) = T (t)T (s) (∀t, s ≥ 0); (iii) b´ armely x ∈ H eset´en t 7→ T (t)x folytonos mint [0, ∞) → X lek´epez´es. Ekkor a {T (t)}t≥0 oper´ atorhalmazt (egyparam´eteres, er˝osen folytonos) f´elcsoportnak h´ıvjuk. 9.2. Defin´ıci´ o. Legyen X Banach-t´er, {T (t)} adott f´elcsoport, A : X ⊃→ X s˝ ur˝ un defini´ alt oper´ ator. Azt mondjuk, hogy A a {T (t)} f´elcsoport gener´ atora (vagy A gener´ alja a {T (t)} f´elcsoportot), ha n T (h) − I o D(A) = x ∈ H : ∃ x ˆ = lim x h h→0+
´es
Ax = x ˆ (∀x ∈ D(A)).
´lcsoportok e ´s opera ´ tor-differencia ´ legyenletek 9.1. Fe
147
9.3. Megjegyz´ es. (i) A f´elcsoport fenti defin´ıci´oj´aban a (iii) pont helyett szok´ as csak a t = 0 pontbeli folytonoss´agot feltenni (azaz, hogy T (t) → I pontonk´ent X-en, ha t → 0). Ebb˝ol ui. m´ar igazolhat´o a folytonoss´ag minden t-ben, vagyis a (iii) pontban feltett alakban, ezt a hosszabb levezet´est azonban elhagytuk, l´ asd pl. [62]. A takar´ekosabb defin´ıci´o eset´en is ilyenkor er˝osen folytonos f´elcsoportnak h´ıvj´ak {T (t)}-t. A f´elcsoport folytonoss´aga az´ert fontos, mert ebb˝ ol igazolhat´o, hogy mindig l´etezik a fenti defin´ıci´o szerinti gener´ atora, l´ asd szint´en [62]-ben. (ii) A gener´ ator fogalma alapj´an lim+
h→0
T (h) − I u0 = Au0 h
(∀u0 ∈ D(A)),
(9.6)
ami ´ertelmezhet˝ ou ´gy, hogy T 0 (0) = A (D(A)-ban pontonk´ent), teh´at (9.3) megfelel˝ ojek´ent. 9.4. Lemma. Ha az A : X ⊃→ X s˝ ur˝ un defini´ alt oper´ ator egy {T (t)} f´elcsoportot gener´ al, akkor b´ armely u0 ∈ D(A), t ≥ 0 eset´en T (t)u0 ∈ D(A) ´es AT (t)u0 = T (t)Au0 . Bizony´ıt´ as. A f´elcsoport-tulajdons´agok miatt b´armely t, h ≥ 0 eset´en T (t)
T (h) − I T (h) − I u0 = T (t)u0 , h h
(9.7)
(t) mivel mindk´et oldal megegyezik T (t+h)−T u0 -lal. A gener´ator fogalma szeh T (h)−I rint limh→0 h u0 = Au0 , ´ıgy h → 0 eset´en, T (t) ∈ B(X) miatt (9.7) bal oldal´ anak limesze T (t)Au0 . Ekkor (9.7) jobb oldal´anak limesze is T (t)Au0 , ami viszont a gener´ ator defin´ıci´oja szerint azt jelenti, hogy T (t)u0 ∈ D(A) ´es AT (t)u0 megegyezik ezzel a limesszel, T (t)Au0 -lal.
9.5. T´ etel. Ha az A : X ⊃→ X s˝ ur˝ un defini´ alt oper´ ator egy {T (t)} f´elcsoportot gener´ al, akkor b´ armely u0 ∈ D(A) eset´en az u(t) := T (t)u0
(t ≥ 0)
(9.8)
f¨ uggv´eny megold´ asa a (9.4) feladatnak. Bizony´ıt´ as. A T (0) = I tulajdons´ag miatt a kezdeti felt´etel trivi´alisan teljes¨ ul, ´ıgy csak az egyenletet kell igazolnunk. El˝osz¨or jobbr´ol vessz¨ uk a deriv´ altat: felhaszn´ alva rendre a f´elcsoport-tulajdons´agot, hogy T (t) ∈ B(X), a (9.6) egyenletet ´es a 9.4. lemm´at, u˙ + (t) = lim+ h→0
T (t + h) − T (t) u(t + h) − u(t) = lim+ u0 = h h h→0
´ tor-differencia ´ legyenletek 9. Opera
148
T (h) − I T (h) − I u0 = T (t) lim+ u0 = h h h→0
lim T (t)
h→0+
= T (t)Au0 = AT (t)u0 = Au(t). A balr´ ol vett deriv´ althoz (amire csak t > 0 eset´en van sz¨ uks´eg) legyen T (h)−I Ah u0 := u0 , ekkor limh→0+ Ah u0 = Au0 . Ebb˝ol h u˙ − (t) = lim
h→0+
u(t) − u(t − h) T (t) − T (t − h) = lim+ u0 = h h h→0 = lim T (t − h) Ah u0 . h→0+
Ha megmutatjuk, hogy lim T (t − h) Ah u0 = T (t)Au0 ,
h→0+
(9.9)
akkor k´esz vagyunk, mert az el˝obb m´ar l´attuk, hogy T (t)Au0 = Au(t). Val´oban, T (t − h) Ah u0 − T (t)Au0 = T (t − h) − T (t) Au0 + T (t − h) Ah u0 − Au0 , itt az els˝ o tag a f´elcsoport folytonoss´aga miatt tart 0-hoz (l´asd (iii) pont), a m´ asodik tagban pedig Ah u0 → Au0 , ´ıgy el´eg bel´atnunk, hogy kT (t − h)k korl´ atos, ha h a 0 egy el´eg kis k¨ornyezet´eb˝ol val´o. Ut´obbi ekvivalens azzal, hogy b´ armely tn → t sorozatra kT (tn )k korl´atos, ezt pedig a 4.2 Banach– Steinhaus-t´etelb˝ ol tudjuk, mert (ism´et a f´elcsoport folytonoss´aga miatt, most t-ben) T (tn ) pontonk´ent konverg´al T (t)-hez, ´ıgy pontonk´ent korl´atos. 9.6. Megjegyz´ es. Mivel T (t) az eg´esz t´eren van ´ertelmezve, b´armely u0 ∈ X eset´en ´ertelmes az u(t) := T (t)u0 (t ≥ 0) f¨ uggv´eny, ezt a (9.4) feladat altal´ ´ anos´ıtott megold´ as´ anak tekinthetj¨ uk.
9.2. K´ et megoldhat´ os´ agi eredm´ eny Ebben a szakaszban legyen H Hilbert-t´er. Tekints¨ uk el˝osz¨or a (9.1) egyenletet, amikor A ∈ B(H). Ennek megold´asa teljesen anal´og a k¨oz¨ons´eges differenci´ alegyenlet-rendszerekb˝ol ismert m´odszerrel, amit most f´elcsoportokkal fogalmazunk meg. 9.7. T´ etel. Legyen A ∈ B(H) korl´ atos line´ aris oper´ ator. Ekkor A f´elcsoportot gener´ al, ´espedig T (t) = eAt (t ≥ 0) f´elcsoport B(H)-ban ´es gener´ atora A.
´t megoldhato ´ sa ´ gi eredme ´ny 9.2. Ke
Bizony´ıt´ as. Az eAt :=
∞ P n=0
An tn n!
149
oper´atorokat a 6.7.2. szakasz (a) pontja
alapj´ an defini´ alhatjuk, l´ asd (6.18). Megmutatjuk, hogy teljes¨ ul r´ajuk a 9.1. defin´ıci´ o. Az (i) ´es (ii) pont a 6.98. ´all´ıt´asb´ol k¨ovetkezik, hiszen T (0) = e0 = I, ill. T (t + s) = eA(t+s) = eAt eAs = T (t)T (s) (∀t, s ≥ 0). A folytonoss´ag itt norm´ aban is igaz, azaz limh→0 kT (t + h) − T (t)k = 0 (∀t ≥ 0). Ugyanis kT (t + h) − T (t)k = keAt (eAh − I)k ≤ ekAkt keAh − Ik, itt a m´ asodik t´enyez˝ ore ∞ ∞
X An hn
X kAkn |h|n
= ekAk|h| − 1 → 0, keAh − Ik =
≤ n! n! n=1 n=1
ha h → 0.
V´eg¨ ul igazoljuk, hogy {T (t)} gener´atora A. A (9.6) pontonk´enti limesz helyett ez is igaz norm´ aban: ∞ ∞
eAh − I
X
X An hn−1 kAkn hn−1
lim − A = lim ≤ lim
h n! n! h→0+ h→0+ h→0+ n=2 n=2
≤ lim+ h h→0
∞ X kAkn ≤ ekAk lim+ h = 0, n! h→0 n=2
felhaszn´ alva, hogy 0 ≤ h ≤ 1 eset´en 0 ≤ hn−1 ≤ h (∀n ≥ 2).
´Igy ´erv´enyes a 9.5. t´etel. 9.8. Ko eny. B´ armely A ∈ B(H) ´es u0 ∈ H eset´en az u : [0, ∞) → ¨vetkezm´ X, u(t) = eAt u0 f¨ uggv´eny megold´ asa az u(t) ˙ = Au(t),
u(0) = u0
kezdeti´ert´ek-feladatnak. ´ ıt´ 9.9. All´ as. B´ armely A ∈ B(H) ´es u0 ∈ H eset´en az u(t) ˙ = Au(t), u(0) = u0 kezdeti´ert´ek-feladat megold´ asa egy´ertelm˝ u, ´es az ku(t)k ≤ ekAkt ku0 k (t ≥ 0) folytonos f¨ ugg´es teljes¨ ul (Gronwall-t´ıpus´ u egyenl˝ otlens´eg). Bizony´ıt´ as. El˝ osz¨ or az egyenl˝otlens´eget igazoljuk: ∞ ∞
X An t n
X kAkn tn u0 ≤ ku0 k = ekAkt ku0 k. ku(t)k = keAt u0 k = n! n! n=0 n=0
´ tor-differencia ´ legyenletek 9. Opera
150
Az egy´ertelm˝ us´eghez a linearit´as miatt el´eg megmutatnunk, hogy u0 = 0 eset´en u(t) ≡ 0, ez pedig a kapott egyenl˝otlens´egb˝ol k¨ovetkezik. Legyen most H szepar´ abilis ´es tekints¨ uk a (9.1) egyenletet akkor, ha A = −L, ahol L-nek kompakt pozit´ıv inverze van. 9.10. T´ etel. Legyen L : H ⊃→ H s˝ ur˝ un defini´ alt szigor´ uan pozit´ıv oper´ ator, melyre R(L) = H ´es L−1 kompakt. Jel¨ olje (λn ) ´es (en ) az L oper´ ator saj´ at´ert´ekeinek ´es megfelel˝ o saj´ atvektorainak sorozat´ at, ahol λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ´es a saj´ atvektorok TONR-t alkotnak. Ekkor −L egy {T (t)}t≥0 f´elcsoportot gener´ al B(H)-ban, ´espedig T (t) = e−Lt (t ≥ 0), ahol (8.7) alapj´ an e−Lt ∈ B(H), x=
∞ X
cn e n ∈ H
e−Lt x :=
eset´en
n=1
∞ X
e−λn t cn en .
(9.10)
n=1
Bizony´ıt´ as. Megmutatjuk, hogy teljes¨ ul a 9.1. defin´ıci´o. Az (i) ´es (ii) pont e−Lt defin´ıci´ oj´ ab´ ol k¨ ovetkezik. A (iii) ponthoz legyen x ∈ H, igazoljuk, hogy t 7→ T (t)x folytonos, azaz ha t ≥ 0 r¨ogz´ıtett, akkor limh→0 k(T (t + h) − T (t))xk = 0. Val´ oban, itt a (9.10) sorfejt´esek alapj´an k(T (t + h) − T (t))xk2 =
∞ X
(e−(t+h)λn − e−tλn )2 |cn |2 .
n=1
Mivel r, s ≥ 0 eset´en |e−r − e−s | ≤ |r − s| ´es |e−r − e−s | ≤ 1, ´ıgy |e−(t+h)λn − e−tλn | ≤ min{λn |h|, 1}, amib˝ol ∞ X
k(T (t + h) − T (t))xk2 ≤
min{λ2n h2 , 1}|cn |2 .
n=1
p Legyen h ∈ R. Hapλn ≤ 1/ |h|, akkor λ2n h2 ≤ |h|, ´ıgy min{λ2n h2 , 1} ≤ |h|, ha pedig λn > 1/ |h|, akkor min{λ2n h2 , 1} ≤ 1. Ezekb˝ol k(T (t + h) − T (t))xk2 ≤ |h|
X
λn ≤ √1 |h|
|cn |2 +
X
|cn |2 .
λn > √1 |h|
Ha h → 0, akkor az els˝ o tag 0-hoz tart, mert |h|kxk2 -tel becs¨ ulhet˝o, ´es a m´ asodik tag is 0-hoz tart, mert kxk2 konvergens sor´ab´ol egyre nagyobb index˝ u szeleteket vonunk le.
´t megoldhato ´ sa ´ gi eredme ´ny 9.2. Ke
151
V´eg¨ ul igazoljuk, hogy {T (t)} gener´atora −L, azaz teljes¨ ul (9.6). Ha u0 = ∞ P cn en ∈ D(L), akkor n=1 ∞ −hλn
T (h) − I
2 X
2 e −1
= u + Lu + λn cn en =
0 0 h h n=1
=
∞ −hλn 2 X e −1 + 1 λ2n |cn |2 hλn n=1
−r
Legyen f (r) := e r−1 + 1 (r > 0). Elemi deriv´al´assal igazolhat´o, hogy 1 − r ≤ 2 e−r ≤ 1 − r + r2 , amib˝ ol 0 ≤ f (r) ≤ 2r (∀r > 0). Emellett lim0 f = 0 ´es lim∞ f = 1, ´ıgy f korl´ atos. Legyen M := sup f , ekkor teh´at |f (r)| ≤ min{ 2r , M }. Ebb˝ ol ∞
T (h) − I
2 X n1 o
u0 + Lu0 ≤ min h2 λ2n , M 2 λ2n |cn |2 .
h 4 n=1
Itt Lu0 =
∞ P
λn cn en . n=1√
A kor´abbi gondolatmenethez hasonl´oan, ha h > 0,
akkor λn ≤ 1/√ h eset´en λ2n h2 ≤ h, ´ıgy a fenti minimum legfeljebb h/4, ha pedig λn > 1/ h, akkor a fenti minimum legfeljebb M 2 . Ezekb˝ol
T (h) − I
2 X h X 2
u0 + Lu0 ≤ λn |cn |2 + M 2 λ2n |cn |2 , (9.11)
h 4 1 1 λn ≤ √
h
λn > √
h
ulhet˝o, ´es a ´es ha h → 0, akkor az els˝ o tag 0-hoz tart, mert h4 kLu0 k2 -tel becs¨ m´ asodik tag is 0-hoz tart, mert M 2 kLu0 k2 konvergens sor´ab´ol egyre nagyobb index˝ u szeleteket vonunk le. 9.11. K¨ ovetkezm´ eny. Legyen L : H ⊃→ H s˝ ur˝ un defini´ alt szigor´ uan pozit´ıv oper´ ator, melyre R(L) = H ´es L−1 kompakt. B´ armely u0 ∈ D(L) eset´en az u : [0, ∞) → X, u(t) = e−Lt u0 f¨ uggv´eny megold´ asa az u(t) ˙ + Lu(t) = 0,
u(0) = u0
(9.12)
kezdeti´ert´ek-feladatnak. B´ ar itt a megoldhat´ os´ agot u0 ∈ D(L) eset´en mondtuk ki, a t 7→ e−Lt u0 f¨ uggv´eny b´ armely u0 ∈ H eset´en ´ertelmes, mivel e−Lt ∈ B(H). Ezzel motiv´alhat´o az al´ abbi
´ tor-differencia ´ legyenletek 9. Opera
152
9.12. Defin´ıci´ o. A 9.11. k¨ ovetkezm´enybeli L oper´ator eset´en, u0 ∈ H \D(L) mellett az u(t) := e−Lt u0 (t ≥ 0) f¨ uggv´enyt a (9.12) kezdeti´ert´ek-feladat ´ altal´ anos´ıtott megold´ as´ anak h´ıvjuk. Igazoljuk, hogy az ´ altal´ anos´ıtott megold´as csak annyival tud kevesebbet a kor´ abbin´ al, hogy a 0-ban nem ´ertelmes az egyenlet. (Ott nem is lehet, hiszen u(0) ˙ + Lu0 nem ´ertelmezhet˝ o, ha u0 ∈ / D(L).) 9.13. T´ etel. Legyen L a 9.11. k¨ ovetkezm´enybeli oper´ ator, ´es tegy¨ uk fel, hogy n ∞ P cn en ∈ maxim´ alis ´ertelmez´esi tartom´ annyal l´ attuk el, azaz D(L) = x = n=1 o ∞ ∞ P P H: λ2n |cn |2 < ∞ ´es ilyen x-re Lx := λn cn en . n=1
n=1
Legyen u0 ∈ H tetsz˝ oleges, u(t) := e−Lt u0 . Ekkor b´ armely t > 0 eset´en u(t) ˙ + Lu(t) = 0. Bizony´ıt´ as. El˝ osz¨ or megmutatjuk, hogy u(t) ∈ D(L) (∀t > 0). Ha ugyanis ∞ P u0 = cn en , akkor n=1
u(t) := e−Lt u0 =
∞ X
e−λn t cn en ≡
n=1
∞ X
dn en ,
n=1
´ıgy ∞ X
λ2n |dn |2 =
n=1
∞ X
λ2n e−2λn t |cn |2 ≤
n=1
∞ X µ 1 2 −2r max (r e ) |cn |2 = 2 kxk2 < ∞, t2 r≥0 t n=1
ahol az f (r) := r2 e−2r f¨ uggv´enyre µ := max f az´ert l´etezik, mert f (0) = [0,∞)
lim f = 0. ∞
Adott t > 0 eset´en a u(t) ˙ + Lu(t) = 0 egyenl˝os´eg azt jelenti, hogy lim
u(t + h) − u(t)
h→0
h
T (h) − I + Lu(t) = lim u(t) + Lu(t) = 0. h→0 h
Felhaszn´ alva, hogy u(t) ∈ D(L), a fenti limesz a (9.11)-n´el l´atottakhoz hasonl´ oan igazolhat´ o.
´ ıt´ 9.14. All´ as. A 9.11. k¨ ovetkezm´enybeli L oper´ ator eset´en a (9.12) kezdeti´ert´ek-feladat megold´ asa egy´ertelm˝ u, ´es az ku(t)k ≤ e−λ1 t ku0 k (t ≥ 0) folytonos f¨ ugg´es teljes¨ ul, ahol λ1 > 0 az L legkisebb saj´ at´ert´eke.
´t megoldhato ´ sa ´ gi eredme ´ny 9.2. Ke
Bizony´ıt´ as. Ha u0 =
∞ P
153
cn en , akkor λ1 ≤ λ2 ≤ . . . miatt
n=1
ku(t)k2 = ke−Lt u0 k2 =
∞ X n=1
e−2λn t |cn |2 ≤ e−2λ1 t
∞ X
|cn |2 = e−2λ1 t ku0 k2 ,
n=1
ennek n´egyzetgy¨ oke a k´ıv´ ant becsl´es. Az egy´ertelm˝ us´eg ebb˝ol a 9.9. ´all´ıt´ashoz hasonl´ oan k¨ ovetkezik.
10. fejezet
A megoldhat´ os´ agi t´ etelek alkalmaz´ asai Ebben a fejezetben t¨ obbf´ele p´eld´aval szeml´eltetj¨ uk az eddigi megoldhat´os´agi t´etelek alkalmaz´ asi k¨ or´et. Ut´obbiak fel´ep´ıt´ese azt is megmutatja, hogyan vezethet˝ ok vissza a koercivit´ asra ezek a megoldhat´os´agi eredm´enyek. A vizsg´alt modellekr˝ ol r´eszletesebben olvashatunk az [59, 67, 69], ill. a [40] k¨onyvekben. Tov´ abbi, itt nem vizsg´ alt hasonl´o alkalmaz´asok k¨oz¨ ul megeml´ıtj¨ uk m´eg a linearis rugalmass´ ´ agi modellt [3] ´es a tartom´anyfelbont´asi m´odszerekben fell´ep˝o Poincar´e–Sztyeklov-oper´ atort [56].
10.1. Integr´ alegyenletek Ebben a szakaszban az al´ abbi integr´aloper´atorra vonatkoz´o m´asodfaj´ u egyenletekkel foglalkozunk: legyen I = [a, b], H := L2 (I), valamint K ∈ L2 (I × I) adott val´ os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny ´es B : H → H a k¨ovetkez˝o: Z b (Bu) (x) = K(x, s)u(s)ds (u ∈ L2 (I)). a
A 6.24. ´ all´ıt´ asban l´ attuk, hogy (1) B ∈ L2 (I) → L2 (I) korl´atos line´aris oper´ator. (2) Ha K szimmetrikus, azaz K(x, y) = K(y, x), akkor B ¨onadjung´alt. (3) Ha K u ´gynevezett pozit´ıv magf¨ uggv´eny, azaz l´etezik N ∈ L2 (I × I) val´ os f¨ uggv´eny, hogy Z b K(x, y) = N (x, s)N (y, s)ds, a
155
´ sa ´ gi te ´telek alkalmaza ´ sai 10. A megoldhato
156
akkor B pozit´ıv oper´ ator. 10.1. T´ etel. Legyen K ∈ L2 (I × I) pozit´ıv magf¨ uggv´eny. Ekkor az b
Z u(x) +
K(x, y)u(y) dy = f (x)
(x ∈ I)
a
integr´ alegyenletnek b´ armely f ∈ L2 (I) eset´en egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ L2 (I) megold´ asa. Bizony´ıt´ as. Az egyenlet u + Bu = f alak´ u, ahol az I + B ∈ B(H) oper´ator onadjung´ alt, s˝ ot ¨ 2
h(I + B)u, ui = kuk + hBu, ui ≥ kuk
2
miatt egyenletesen pozit´ıv is. Ekkor a 7.1. t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik megold´ as az L2 (I) t´erben. A fenti feladatra ´ altal´ anosabb esetben (ahol a magf¨ uggv´eny pozitivit´as´at sem kell feltenn¨ unk) a Fredholm-f´ele alternat´ıvat´etel ´erv´enyes: 10.2. T´ etel. Legyen K ∈ L2 (I × I) magf¨ uggv´eny, µ ∈ C. Ekkor a Z µu(x) +
b
K(x, y)u(y) dy = f (x)
(x ∈ I)
(10.1)
a
integr´ alegyenlet megoldhat´ os´ ag´ ara n´ezve k´et eset lehets´eges: (i) b´ armely f ∈ L2 (I) eset´en egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ L2 (I) megold´ asa; (ii) az f ≡ 0 jobboldal (azaz homog´en egyenlet) eset´en l´etezik u∗ ∈ L2 (I), asa. u∗ 6= 0 megold´ Bizony´ıt´ as. Legyen λ := −µ. Ekkor az egyenlet Bu − λu = f alak´ u, ahol B a 6.24. ´ all´ıt´ asbeli oper´ ator, amely a 6.76. megjegyz´es szerint kompakt. ´Igy a 6.91. t´etel alkalmazhat´ o az L2 (I) t´erben. 10.3. Megjegyz´ es. A B integr´aloper´atort Volterra-t´ıpus´ unak h´ıvjuk, ha benne csak a-t´ ol x-ig integr´ alunk, ami akkor van ´ıgy, ha b´armely x < y ≤ b eset´en K(x, y) = 0. Ekkor igazolhat´o, hogy σ(B) csak a 0 pontb´ol ´all, ´ıgy a (10.1) egyenlet b´ armely µ ∈ C eset´en egy´ertelm˝ uen megoldhat´o minden f ∈ L2 (I) mellett, s˝ ot ez egyenesen k¨ ovetkezik a Banach-fixpontt´etelb˝ol, l´asd [37, 43].
´rte ´kfeladatok gyenge megolda ´ sa 10.2. Pereme
157
10.2. Perem´ ert´ ekfeladatok gyenge megold´ asa 10.2.1. Egydimenzi´ os perem´ ert´ ekfeladatok (Sturm–Liouville-probl´ ema) (a) A H01 (I) Szoboljev-t´ er E fejezetben sz¨ uks´eg¨ unk lesz az 1.3.3. szakaszban bevezetett Szoboljev-terekre ´es tov´ abbi tulajdons´ agaikra. Mint l´attuk, a Szoboljev-terek k¨oz¨ ul Hilbertteret alkotnak a H N (I) := W N,2 (I) = n o = u ∈ C N −1 (I) : u(N −1) abszol´ ut folytonos, u(N ) ∈ L2 (I) (´ altal´ aban komplex ´ert´ek˝ u) f¨ uggv´enyterek az Z hu, viH N =
N bX
u(k) v (k)
a k=0
skal´ arszorzattal. Ha ezen bel¨ ul N = 1, akkor teh´at a n o H 1 (I) := W 1,2 (I) = u : I → C abszol´ ut folytonos, u0 ∈ L2 (I) Szoboljev-t´err˝ ol van sz´ o, melynek skal´arszorzata, ill. az induk´alt norma Z b Z b 0 0 2 hu, viH 1 = (uv + u v ) , kukH 1 = |u0 |2 + |u|2 . (10.2) a
a
A perem´ert´ekfeladatokban sz¨ uks´eg lesz az al´abbi speci´alisabb Szoboljev-t´erre: H01 (I) = {u ∈ H 1 (I) : u(a) = u(b) = 0}. ´ ıt´ 10.4. All´ as. H01 (I) Hilbert-t´er a H 1 (I)-b˝ ol o ok¨ olt h·, ·iH 1 skal´ arszorzattal. ¨r¨ Bizony´ıt´ as. Az 1.3.3. szakaszban bevezetett k.k∗ norma seg´ıts´eg´evel k¨onnyen l´ athat´ o, hogy a norm´ aban konvergens sorozatok meg˝orzik a homog´en peremfelt´etelt, azaz H01 (I) z´ art altere H 1 (I)-nek, ´ıgy maga is Hilbert-t´er. ´j skal´arszorzatot: Vezess¨ uk most be a H01 (I) t´eren az al´abbi u Z hu, viH 1 (I) = 0
b
u0 v 0 .
a
A peremfelt´etel miatt k¨ onnyen l´athat´o, hogy ez val´oban skal´arszorzat.
(10.3)
´ sa ´ gi te ´telek alkalmaza ´ sai 10. A megoldhato
158
´ ıt´ 10.5. All´ as. (Sztyeklov-egyenl˝ otlens´eg) L´etezik olyan c > 0 konstans, hogy kukL2 (I) ≤ c ku0 kL2 (I)
(u ∈ H01 (I)).
Bizony´ıt´ as. B´ armely x ∈ I eset´en a Newton–Leibniz-t´etel, az u(a) = 0 peremfelt´etel ´es a Cauchy-Schwarz-egyenl˝os´eg felhaszn´al´as´aval Z x Z x 2 Z x 2 |u(x)|2 = u0 ≤ |u0 |2 · 12 ≤ ku0 kL2 (I) (b − a), a
ezt integr´ alva:
2
a
Z
kukL2 (I) =
a
a
b
2
|u(x)|2 dx ≤ ku0 kL2 (I) (b − a)2 .
10.6. Megjegyz´ es. (i) A Sztyeklov-egyenl˝otlens´eg val´oj´aban a (8.10) Poincar´e–Friedrichs-egyenl˝ otlens´eg speci´alis esete. S˝ot, ut´obbib´ol az ´eles c konstanst is megkapjuk: c = √1λ , ahol λ1 az Lu := −u00 oper´ator legkisebb 1 saj´ at´ert´eke I-n Dirichlet-peremfelt´etel mellett. Ismeretes (l´asd pl. (8.5)-b´ol kπ 2 ) (k ∈ N+ ), ´ıgy az ´eles konstans c = b−a eltol´ assal), hogy λk = ( b−a π . (ii) A Sztyeklov-egyenl˝ otlens´egben fontos, hogy csak homog´en peremfelt´etelt teljes´ıt˝ o u szerepelhet. Am´ ugy nem mindig teljes¨ ul, pl. ha u ≡ c 6= 0 konstansf¨ uggv´eny. ´ ıt´ 10.7. All´ as. A H01 (I)-n ´ertelmezett u ´j ´es a H 1 (I)-t˝ ol ¨ or¨ ok¨ olt r´egi skal´ arszorzat ´ altal gener´ alt norm´ ak ekvivalensek. Ezt al´ abb ´ altal´ anosabban igazoljuk a 10.9 ´all´ıt´asban. Ebb˝ol ´es az 1.10. ´all´ıt´ asb´ ol kapjuk: 10.8. K¨ ovetkezm´ eny. H01 (I), h·, ·iH 1 Hilbert-t´er. 0
´ ıt´ 10.9. All´ as. Legyenek p, q ∈ L∞ (I), p(x) ≥ m > 0 ´es q(x) ≥ 0 minden x ∈ I-re. Ekkor Z b [u, v] := (pu0 v 0 + quv) (10.4) a
skal´ arszorzat a norm´ aval.
H01 (I)
t´eren, ´es az [[u]] := [u, u]1/2 norma ekvivalens a H 1 -
Bizony´ıt´ as. A formul´ ab´ ol nyilv´anval´o, hogy [., .] teljes´ıti a skal´arszorz´as (i)(ii) axi´ om´ ait, a (iii) pedig k¨ ovetkezni fog a m´eg bizony´ıtand´o ekvivalenci´ab´ol. Itt Z b Z b 2 0 2 2 [[u]] = p|u | + q|u| ≤ max{kpkL∞ , kqkL∞ } |u0 |2 + |u|2 (10.5) a
a
´rte ´kfeladatok gyenge megolda ´ sa 10.2. Pereme
159
= M kuk2H 1 , ahol M := max{kpkL∞ , kqkL∞ }. M´asr´eszt a Sztyeklov-egyenl˝otlens´eg alapj´ an Z Z b 1 + c2 b m|u0 |2 ≤ |u0 |2 = kuk2H 1 ≤ (1 + c2 ) m a a Z 1 + c2 b f [[u]]2 , ≤ p|u0 |2 + q|u|2 = M m a f := ahol M
1+c2 m .
Az 1.10. ´ all´ıt´ as alapj´ an: 10.10. K¨ ovetkezm´ eny. H01 (I), [., .] Hilbert-t´er. (b) Perem´ ert´ ekfeladatok ´ es a megold´ asfogalom probl´ em´ aja Legyen I = [a, b] adott intervallum. Tekints¨ uk az al´abbi u ´n. Sturm–Liouvillef´ele perem´ert´ekfeladatot: ( 0 Lu ≡ − (pu0 ) + qu = f (PF) (10.6) u(a) = u(b) = 0, ahol q(x) ≥ 0, p(x) ≥ m > 0. Ismeretes a k¨ oz¨ ons´eges differenci´alegyenletek elm´elet´eb˝ol, hogy ha p ∈ C 1 (I) ´es q, f ∈ C(I), akkor l´etezik u ∈ C 2 (I) megold´as. Ezt gyakran klasszikus megold´ asnak h´ıvjuk. El˝ ofordul azonban, hogy csak enn´el gyeng´ebb simas´agi felt´etelek teljes¨ ulnek a p ´es q f¨ uggv´enyekre, u ´gy, hogy nem l´etezhet klasszikus megold´ as. Tekints¨ uk p´eldak´eppen a ( −(pu0 )0 = f (10.7) u(a) = u(b) = 0 feladatot, azaz amikor q = 0, k´etf´ele esetben. (i) Legyen tov´ abbra is p ∈ C 1 (I), de f ∈ / C(I). Ekkor nem l´etezhet u ∈ as, mert akkor pu0 ∈ C 1 (I) ´es ´ıgy −(pu0 )0 = f ∈ C(I) C 2 (I) megold´ lenne. L´etezhet viszont u ∈ H 2 (I) megold´as, azaz u ∈ C 1 (I), melyre u0 abszol´ ut folytonos, u00 ∈ L2 (I), ´es −u00 = f m. m. teljes¨ ul. P´eld´aul a p ≡ 1 esethez tartoz´ o ( −u00 = f (10.8) u(a) = u(b) = 0
´ sa ´ gi te ´telek alkalmaza ´ sai 10. A megoldhato
160
feladat eset´en b´ armely f ∈ L2 (I) eset´en l´etezik u ∈ H 2 (I) megold´as, melyre u00 = −f m.m., ezt a 8.1.2 szakasz 1.(i) p´eld´aj´aban igazoltuk. Konkr´et p´eldak´ent, ha [a, b] = [−1, 1] ´es f (x) := sgn(x), akkor u(x) = 1 1 uggv´eny, amelynek a m´asodik deriv´altja 2 x(1 − |x|) egy olyan C -beli f¨ majdnem minden¨ utt l´etezik (csak x = 0-ban nem) ´es egyenl˝o az sgn f¨ uggv´ennyel, ill. a peremfelt´eteleket is teljes´ıti. (ii) Legyen most ism´et f ∈ C(I), viszont p szakaszonk´ent konstans. (Ilyen f¨ uggv´eny lehet egy k¨ ul¨onb¨oz˝o ´alland´o ellen´all´asokat tartalmaz´o anyagegy¨ utthat´ o, pl. m´ agness´egi feladatokban.) Ekkor ´altal´aban u ∈ H 2 (I) megold´ as sem l´etezik amiatt, hogy u ∈ C 1 (I) nem teljes¨ ul, azaz u0 nem 0 folytonos. Az egyenletben ugyanis −pu deriv´altja az f ∈ C(I) f¨ uggv´eny, azaz pu0 ∈ C 1 (I) kell legyen. Ha azonban u0 folytonos lenne ´es p szakaszonk´ent konstans, akkor pu0 is szakad´asos kell legyen (kiv´eve ha u0 ´epp a szakad´ asi pontokban 0), ´ıgy pl´ane nem lehet C 1 (I)-beli. Ez´ert e megold´ asfogalmak helyett egy tov´abbi – gyeng´ebb – fogalmat kell bevezetni. (c) Az egydimenzi´ os perem´ ert´ ekfeladat gyenge megold´ asa A gyenge megold´ as fogalm´ ahoz a k¨ovetkez˝o megfontol´asb´ol indulunk ki. Amenynyiben u klasz- szikus megold´as, azaz u ∈ C 2 (I), szorozzuk be a (10.6) egyenletet egy v ∈ H01 (I) f¨ uggv´eny konjug´altj´aval ´es integr´aljunk: Z b Z b 0 − (pu0 ) v + quv = fv . a
a
Ebb˝ ol parci´ alis integr´ al´ as ut´ an, a peremfelt´eteleket felhaszn´alva az Z b Z b (pu0 v 0 + quv) = fv a
a
egyenl˝ os´eget kapjuk. Ez az´ert hasznos, mert ebben m´ar csak u els˝o deriv´altja szerepel, ´es az is el´eg, ha m.m. l´etezik ´es L2 -beli: azaz u ∈ H01 (I) eset´en is ´ertelmes kifejez´est kaptunk. A fenti egyenl˝ os´eget teh´ at egy u klasszikus megold´as teljes´ıti, de ha ilyen nem l´etezik, akkor az egyenl˝ os´eg u ∈ H01 (I) eset´en is ´ertelmes k¨ovetelm´eny. Erre alapul a k´ıv´ ant fogalom. 10.11. Defin´ıci´ o. Az u ∈ H01 (I) f¨ uggv´enyt a (10.6) perem´ert´ekfeladat gyenge megold´ as´ anak nevezz¨ uk, ha Z b Z b (pu0 v 0 + quv) = fv (∀v ∈ H01 (I)). (10.9) a
a
´rte ´kfeladatok gyenge megolda ´ sa 10.2. Pereme
161
10.12. T´ etel. Legyenek p, q ∈ L∞ (I), p(x) ≥ m > 0, q(x) ≥ 0 m. m. x ∈ I-re. Ekkor a (10.6) perem´ert´ekfeladatnak b´ armely f ∈ L2 (I) eset´en 1 egy´ertelm˝ uen l´etezik u ∈ H0 (I) gyenge megold´ asa. Bizony´ıt´ as. Vezess¨ uk be a H01 (I) t´erben a (10.4) egyenl˝os´egben defini´alt Rb arszorzatot, ´es jel¨olje most is [[u]] az induk´alt nor[u, v] = a (pu0 v 0 +quv) skal´ m´ at. A 10.10. k¨ ovetkezm´eny szerint H01 (I) Hilbert-t´er az u ´j skal´arszorzattal ell´ atva is, hiszen az ut´ obbi ´ altal induk´alt norma ekvivalens az eredeti H 1 (I)norm´ aval. Az ekvivalencia miatt l´etezik K > 0, hogy kvkL2 (I) ≤ kvkH 1 (I) ≤ K[[v]] Legyen φ : H01 (I) → C a φv := |φv| ≤ kvkL2 (I) kf kL2 (I)
(∀v ∈ H01 (I)).
Rb
vf funkcion´al. Ez line´aris, m´asr´eszt ≤ K kf kL2 (I) [[v]] (∀v ∈ H01 (I)), a
azaz φ folytonos is a fenti Hilbert-t´erben. Riesz reprezent´aci´os t´etele szerint ∃! u ∈ H01 (I), melyre φv = [v, u] minden v ∈ H01 (I)-re. Ez ´eppen azt jelenti, hogy Z b Z b vf (∀v ∈ H01 (I)), (10.10) (pv 0 u0 + qvu) = a
a
ezt konjug´ alva pedig ´eppen a gyenge megold´as defin´ıci´oj´ahoz jutunk.
10.13. Megjegyz´ es. A fenti t´etel m´as u ´ton is igazolhat´o, felhaszn´alva a (szint´en a Riesz-t´etelb˝ ol levezetett) kor´abbi Hilbert-t´erbeli megoldhat´os´agi t´eteleket. (i) (A Lax–Milgram-lemma alkalmaz´asa.) A (10.9) egyenl˝os´eg bal oldal´an ´all´o [., .] skal´ arszorzat egy B : H01 (I) × H01 (I) → C konjug´altan biline´aris forma, amelyre a [[.]] ´es k.kH 1 norm´ ak ekvivalenci´aja ´epp azt jelenti, hogy B korl´atos ´es koerc´ıv: val´ oban, (10.5) alapj´an |B(u, v)| = [u, v] ≤ [[u]][[v]] ≤ M kukH 1 kvkH 1 , f)kuk2 1 . B(u.u) = [[u]]2 ≥ (1/M H Tekints¨ uk most (10.9) konjug´altj´at, azaz a (10.10) egyenl˝os´eget. Az ennek jobb oldal´ an ´ all´ o kifejez´es a 10.12. t´etel bizony´ıt´asa szerint folytonos line´aris funkcion´ al. Ezekb˝ ol az egyenl˝os´eg B(v, u) = φv
(∀v ∈ H01 (I))
alakban ´ırhat´ o, ahol teh´ at B korl´atos ´es koerc´ıv konjug´altan biline´aris forma, ill. φ folytonos line´ aris funkcion´al, ´ıgy alkalmazhat´o a Lax–Milgram-lemma komplex alakja (a 7.16. t´etel (2) pontja).
´ sa ´ gi te ´telek alkalmaza ´ sai 10. A megoldhato
162
0
(ii) A (10.6)-ben defini´ alt Lu ≡ − (pu0 ) +qu nem korl´atos oper´ator a Dirichletperemfelt´etelek mellett egyenletesen pozit´ıv. (Ez a 8.17. ´all´ıt´as alapj´an k¨ovetkezik n = 1 dimenzi´ oban, itt a qu tag hozz´aad´asa q ≥ 0 miatt meg˝orzi a pozitivit´ ast.) Itt L energiatere a H01 (I) t´er a [., .] skal´arszorzattal, ´ıgy a 8.29. t´etel eset¨ unkben ´eppen a 10.12. t´etelt adja.
10.2.2. T¨ obbdimenzi´ os elliptikus perem´ ert´ ekfeladatok (a) Szimmetrikus feladatok Most t¨ obbdimenzi´ os esetre v´azoljuk fel a gyenge megold´as fogalm´at egy Ω ⊂ Rn korl´ atos tartom´ anyon, melyr˝ol feltessz¨ uk, hogy pereme szakaszonk´ent sima. A t¨ obbdimenzi´ os Szoboljev-terek ´es gyenge megold´as t´emak¨or´enek r´eszletes t´ argyal´ asa a [67] k¨ onyvben olvashat´o. A H01 (Ω) Szoboljev-t´er olyan 2 u ∈ L (Ω) f¨ uggv´enyekb˝ ol ´ all, amelynek minden els˝orend˝ u disztrib´ uci´os parci´ alis deriv´ altja l´etezik ´es L2 (Ω)-ban van, tov´abb´a u|∂Ω = 0 is fenn´all nyom´ertelemben. A (10.2), ill. (10.3) skal´arszorzatok megfelel˝oi: Z Z hu, viH 1 = (∇u · ∇v + uv) , ∇u · ∇v. hu, viH 1 = 0
Ω
Ω
Tekints¨ uk p´eldak´ent a (8.2) feladatot Dirichlet-peremfelt´etellel: Lu ≡ − div (p ∇u) = f, u|∂Ω = 0.
(10.11)
A gyenge megold´ as fogalm´ at (az egyv´altoz´os esetben r´eszletezettekhez hasonl´ oan) az motiv´ alja, hogy a feladatnak nem mindig van u ∈ C 2 (Ω) klasszikus megold´ asa, s˝ ot u ∈ H 2 (Ω) sem mindig teljes¨ ul. Az ut´obbi a t¨obbdimenzios esetben nemcsak p szakad´asos volta eset´en, hanem a tartom´any miatt is ´ el˝ ofordulhat, pl. ha konk´ av sarok” van a peremen, l´asd [69, III., 15.2 fej.]. ” A gyenge megold´ as fogalm´ ahoz (az egyv´altoz´os esethez hasonl´oan) abb´ol indulunk ki, hogy egy u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) klasszikus megold´asra Z Z p ∇u · ∇v = fv ∀ v ∈ C 1 (Ω), v|∂Ω = 0. (10.12) Ω
Ω
´n. tesztf¨ uggv´enyre teljes¨ ul. Mivel A fenti egyenl˝ os´eg teh´ at minden v ∈ C01 (Ω) u 1 ur˝ u halmaz ebben a H0 (Ω) Szoboljev-t´er a C01 (Ω) teljess´e t´etele – azaz C01 (Ω) s˝ a t´erben – , ´ıgy az egyenl˝ os´eg minden v ∈ H01 (Ω) eset´en is teljes¨ ul. A (10.12) alak haszna, hogy akkor is ´ertelmes, ha u-nak csak els˝o deriv´altja l´etezik m.m. ´es L2 -beli, azaz u ∈ H01 (I) eset´en is ´ertelmes kifejez´est kaptunk. Most is ez lesz a gyenge megold´as k¨ovetelm´enye:
´rte ´kfeladatok gyenge megolda ´ sa 10.2. Pereme
163
10.14. Defin´ıci´ o. Az u ∈ H01 (Ω) f¨ uggv´enyt a (10.11) perem´ert´ekfeladat gyenge megold´ as´ anak nevezz¨ uk, ha (10.12) teljes¨ ul minden v ∈ H01 (I) eset´en. A l´etez´es ´es az egy´ertelm˝ us´eg az egyv´altoz´os esethez hasonl´oan ad´odik, itt is el´eg a p ∈ L∞ (Ω), p(x) ≥ m > 0 (m. m. x ∈ Ω) felt´etel. Vezess¨ uk be az Z (u, v ∈ H01 (Ω)) [u, v] := p ∇u · ∇v Ω
skal´ arszorzatot. Az ez ´ altal induk´alt [[.]] norma a p-re tett felt´etel ´es a (8.10) Poincar´e–Friedrichs-egyenl˝ otlens´eg miatt ekvivalens a k.kH 1 norm´aval, ´ıgy H01 (Ω) ezzel is Hilbert-t´er. 10.15. T´ etel. Legyen p ∈ L∞ (Ω), p(x) ≥ m > 0 (m. m. x ∈ Ω). Ekkor a (10.6) perem´ert´ekfeladatnak b´ armely f ∈ L2 (Ω) eset´en egy´ertelm˝ uen l´etezik ∗ 1 u ∈ H0 (Ω) gyenge megold´ asa. Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk a H01 (Ω), [., .] Hilbert-teret. Legyen φ : H01 (Ω) → R C, φv := Ω f v. Ekkor φ line´aris funkcion´al, ´es korl´atos is, mert |φv| ≤ kf kL2 kvkL2 ≤ K kf kL2 [[v]]
(∀ v ∈ H01 (Ω)).
A Riesz-f´ele reprezent´ aci´ os t´etelb˝ol egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H01 (Ω), hogy [v, u∗ ] = φv
(∀ v ∈ H01 (Ω)).
Ezt konjug´ alva, [., .] ´es φ defin´ıci´oja alapj´an u∗ gyenge megold´as.
10.16. Megjegyz´ es. (i) A 10.13. megjegyz´esben elmondottakhoz hasonl´oan a fenti t´etel m´ as utakon is igazolhat´o. Haszn´ alhatjuk egyr´eszt a Lax–Milgram-lemm´ at. A (10.12) egyenl˝os´eg bal oldal´ an ´ all´ o [., .] skal´ arszorzat egy B : H01 (Ω) × H01 (Ω) → C konjug´altan biline´ aris forma, amelyre a [[.]] ´es k.kH 1 norm´ak ekvivalenci´aja ´epp azt jelenti, hogy B korl´ atos ´es koerc´ıv: az m ≤ p(x) ≤ M := max p korl´atok r´ev´en |B(u, v)| = [u, v] ≤ [[u]][[v]] ≤ M kukH01 kvkH01 , B(u.u) = [[u]]2 ≥ mkuk2H 1 . 0
A (10.12) egyenl˝ os´eg konjug´ altja most is B(v, u) = φv
(∀v ∈ H01 (Ω))
alakban ´ırhat´ o, ahol teljes¨ ulnek a Lax–Milgram-lemma komplex alakj´anak felt´etelei.
´ sa ´ gi te ´telek alkalmaza ´ sai 10. A megoldhato
164
Alkalmazhat´ o m´ asik indokl´ ask´ent a 8.29. t´etel is az Lu ≡ − div (p ∇u) oper´ atorra. (ii) A p ≥ m felt´etel, a 8.30. megjegyz´es ´es a (8.10) Poincar´e–Friedrichs1 ugg´est kapjuk. egyenl˝ otlens´eg alapj´ an a k∇u∗ kL2 ≤ √mλ kf kL2 folytonos f¨ 1 R 2 (iii) Az f ∈ L (Ω) felt´etel enyh´ıthet˝o, mivel (10.12)-ben Ω f v helyett ´altal´ aban φv is szerepelhet, ahol φ : H01 (Ω) → C tetsz˝oleges korl´atos line´aris −1 funkcion´ al. (Ut´ obbit u ´gy szok´as jel¨olni, hogy φ ∈ R H (Ω).) A bizony´ıt´as ui. csak ezt haszn´ alja ki φ-r˝ ol. Ha p´eld´aul φv := Γ βv, ahol Γ ⊂ Ω sima fel¨ ulet ´es β ∈ L2 (Γ), akkor (a Γ-ra vett nyomoper´ator folytonoss´aga miatt) φ ∈ H −1 (Ω). Ez form´ alisan az Lu = β δΓ egyenletnek felel meg, ahol δΓ a Γ fel¨ uletre koncentr´ alt Dirac-f´ele f¨ uggv´eny”. ” A t´etel emellett nulladrend˝ u taggal egy¨ utt, azaz Lu := − div (p ∇u) + qu eset´en is igazolhat´ o, ha q ∈ L∞ (Ω), q ≥ 0; ekkor csak a [[.]] ´es k.kH 1 norm´ak ekvivalenci´ aj´ ahoz kell t¨ obb (de az egydimenzi´os esettel anal´og) sz´amol´as.
(b) Nem szimmetrikus feladatok Legyen Ω ⊂ Rn korl´ atos tartom´any szakaszonk´ent sima peremmel, ´es tekints¨ uk az al´ abbi feladatot: Lu ≡ − div (p ∇u) + b · ∇u = f, (10.13) u|∂Ω = 0. 10.2.2. felt´ etelek. (i) p ∈ L∞ (Ω), p(x) ≥ m > 0 (m. m. x ∈ Ω); (ii) b ∈ C 1 (Ω, Rn ), div b = 0 (azaz b divergenciamentes vektormez˝o). A gyenge megold´ as fogalm´ at az el˝oz˝o szakaszhoz hasonl´oan ´ertelmezz¨ uk. Most azonban egyszer˝ ubb, ha val´ os Hilbert-t´erben vizsg´aljuk a feladatot, legyen teh´ at H01 (Ω) val´ os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyekb˝ol ´all´o Hilbert-t´er az Z hu, viH01 := ∇u · ∇v (u, v ∈ H01 (Ω)) Ω
uggv´enyt keres¨ unk, melyre skal´ arszorzattal. Ekkor olyan u ∈ H01 (Ω) f¨ Z Z p ∇u · ∇v + (b · ∇u)v) = fv (∀v ∈ H01 (Ω)). (10.14) Ω
Ω
10.17. T´ etel. Ha teljes¨ ulnek a 10.2.2. felt´etelek, akkor a (10.13) perem´ert´ekfeladatnak b´ armely f ∈ L2 (Ω) eset´en egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H01 (Ω) gyenge megold´ asa.
´rte ´kfeladatok gyenge megolda ´ sa 10.2. Pereme
165
Bizony´ıt´ as. A Lax–Milgram-lemm´at szeretn´enk haszn´alni (most a 7.16. t´etel (1) pontja). Legyen B : H01 (Ω) × H01 (Ω) → R az al´abbi biline´aris forma: B(u, v) :=
Z
p ∇u · ∇v + (b · ∇u)v).
Ω
Ekkor |B(u, v)| ≤ kpkL∞ kukH01 kvkH01 + kbkL∞ kukH01 kvkL2 ≤
(10.15)
≤ kpkL∞ + K2 kbkL∞ kukH01 kvkH01 , −1/2
ahol a (8.10) Poincar´e–Friedrichs-egyenl˝otlens´eget haszn´altuk ´es K2 := λ1 . ´Igy B korl´ atos biline´ aris forma. A koercivit´ashoz felhaszn´aljuk az al´abbi azonoss´ agokat: div(bu2 ) = (div b) u2 + b · ∇(u2 ) = (div b) u2 + 2(b · ∇u)u = 2(b · ∇u)u (a div b = 0 feltev´esb˝ ol), ´ıgy a Gauss–Osztrogradszkij-t´etelb˝ol ´es u|∂Ω = 0 r´ev´en Z Z Z 0= (bu2 ) · ν ds = div(bu2 ) = 2(b · ∇u)u. ∂Ω
Teh´ at
R Ω
Ω
Ω
(b · ∇u)u = 0. Ebb˝ ol
hBu, uiH01 =
Z Ω
p |∇u|2 + (b · ∇u)u) =
Z Ω
2
p |∇u|2 ≥ m kukH 1 0
(10.16)
(∀u ∈ H01 (Ω)), R ´ıgy B koerc´ıv is. M´ asr´eszt φv := Ω f v korl´atos line´aris funkcion´al a H01 (Ω) t´eren, ami ugyan´ ugy ad´ odik, mint a 10.15. t´etel bizony´ıt´as´aban. ´Igy a Lax– Milgram-lemma alapj´ an egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan u∗ ∈ H01 (Ω), amely teljes´ıti (10.14)-t.
10.18. Megjegyz´ es. A t´etel nulladrend˝ u taggal egy¨ utt is igazolhat´o a bizony´ıt´ as ´ertelemszer˝ u m´ odos´ıt´as´aval: egyr´eszt, ha Lu := − div (p ∇u) + b · ∇u + cu, ahol c ∈ L∞ (Ω) ´es c ≥ 0; ´altal´anosabban pedig, ha a div b = 0 ´es ul. c ≥ 0 felt´etelek helyett a c − 21 div b ≥ 0 egyenl˝otlens´eg teljes¨
´ sa ´ gi te ´telek alkalmaza ´ sai 10. A megoldhato
166
10.3. A Stokes-feladat ´ Araml´ asi feladatokban l´ep fel az al´abbi PDE-rendszer: −∆u + ∇p = f div u = 0 u|∂Ω = 0 ,
(10.17)
ahol Ω ⊂ RN (N = 2 vagy 3) korl´atos tartom´any szakaszonk´ent sima peremmel, u : Ω → RN az ´ araml´ as sebess´egvektora ´es p : Ω → R a nyom´as. Az f : Ω → RN adott f¨ uggv´eny a k¨ uls˝o er˝okb˝ol sz´armaztathat´o. A −∆u kifejez´es ´es az u|∂Ω = 0 peremfelt´etel koordin´at´ank´ent ´ertend˝o. A (10.17) rendszer id˝ oben stacion´arius lass´ u ´araml´ast ´ır le. (Id˝oben v´altoz´o araml´ ´ as eset´en a megfelel˝ o els˝o egyenletet id˝oben diszkretiz´alva a fentihez hasonl´ o feladatot kapunk, de az els˝o egyenlet kieg´esz¨ ul egy τ1 u taggal, ahol τ > 0. A megoldhat´ os´ agr´ ol al´abb elmondottak erre az esetre is ´ertelemszer˝ uen atvihet˝ ´ ok.) A Stokes-feladat a 7.3. szakaszban vizsg´alt nyeregpont-feladatok tipikus esete, tov´ abbi r´eszletek olvashat´ok r´ola pl. a [21, 69] k¨onyvekben. A gyenge megold´ asn´ al az u f¨ uggv´enyt (a −∆u kifejez´es ´es az u|∂Ω = 0 peremfelt´etel miatt) a H01 (Ω)N szorzatt´erben keress¨ uk, melyet most is val´os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyekkel defini´ alunk, ´ıgy val´os Hilbert-t´er. A p nyom´asn´al is szeretn´enk a deriv´ altt´ ol megszabadulni ´es csak L2 (Ω)-ban keresni. Mivel a (10.17) egyenletek a p f¨ uggv´enyt csup´ an addit´ıv konstans erej´eig hat´arozz´ak meg, ´ıgy az egy´ertelm˝ us´eg ´erdek´eben bevezetj¨ uk az al´abi teret: Z 2 2 ˙ L (Ω) := {p ∈ L (Ω) : p = 0} (10.18) Ω 2
a szok´ asos L -skal´ arszorzattal. A gyenge megold´as defin´ıci´oj´ahoz az el˝oz˝o szakaszhoz hasonl´ oan indulunk ki: a k´et egyenletet rendre beszorozzuk v = (v1 , v2 , ..., vN ) ∈ H01 (Ω)N ´es q ∈ L˙ 2 (Ω) tesztf¨ uggv´enyekkel, majd alkalmazzuk a Green-formul´ at, ill. Gauss–Osztrogradszkij-t´etelt. A kapott kifejez´es ´ertelmes akkor is, ha u csak H01 (Ω)N -ben ´es p csak L˙ 2 (Ω)-ben van. Itt a vekPN tor´ert´ek˝ u esetben haszn´ aljuk a ∇u · ∇v := i=1 ∇ui · ∇vi jel¨ol´est, ill. majd R az hu, viH 1 := Ω ∇u · ∇v skal´arszorzatot a H01 (Ω)N t´eren. ´Igy az al´abbihoz jutunk: 10.19. Defin´ıci´ o. Az (u, p) ∈ H01 (Ω)N × L˙ 2 (Ω) f¨ uggv´enyp´art a (10.17) feladat gyenge megold´ as´ anak nevezz¨ uk, ha Z Z Z ∇u · ∇v − p (div v) = f ·v (∀v ∈ H01 (Ω)N ), Ω Ω Ω (10.19) Z q (div u) = 0 (∀q ∈ L˙ 2 (Ω)). Ω
10.3. A Stokes-feladat
167
A (10.17) feladat gyenge megoldhat´os´ag´ahoz a 7.29. t´etelt szeretn´enk felhaszn´ alni. Vezess¨ uk be az al´ abbi biline´aris form´akat: Z A : H01 (Ω)N × H01 (Ω)N → R, A(u, v) := ∇u · ∇v, Ω (10.20) Z B : L˙ 2 (Ω) × H01 (Ω)N → R, B(p, v) := − p (div v). Ω
Ekkor a (10.19) rendszer ´eppen (7.16) alak´ u. ´ ıt´ 10.20. All´ as. A fenti B form´ ara teljes¨ ul az inf-sup-felt´etel: inf
B(p, u) = γ > 0. kpkL2 kukH01
sup
˙ 2 (Ω) p∈L 1 (Ω)N u∈H0 p6≡0 u6≡0
(10.21)
Bizony´ıt´ as. Ez a divergencia-oper´ator szuperjektivit´as´anak k¨osz¨onhet˝o: [48] alapj´ an b´ armely p ∈ L˙ 2 (Ω) eset´en van olyan u ∈ H01 (Ω)N , melyre p = − div u. Ekkor ugyanis a 4.13. k¨ovetkezm´eny szerint kpkL2 ≥ γkukH01 alkalmas γ > 0 ´ alland´ oval, ´es ezzel az u-val Z Z B(p, u) = − p (div u) = p2 , Ω
Ω
´ıgy B(p, u) kpkL2 = ≥ γ. kpkL2 kukH01 kukH01
10.21. T´ etel. B´ armely f ∈ L2 (Ω)N f¨ uggv´eny eset´en a (10.17) feladatnak l´etezik egyetlen (u, p) ∈ H01 (Ω)N × L˙ 2 (Ω) gyenge megold´ asa. Bizony´ıt´ as. Itt A : H01 (Ω)N × H01 (Ω)N → R korl´atos ´es koerc´ıv biline´aris forma, hiszen ez ´epp a H01 (Ω)N t´er skal´arszorzata. M´asr´eszt B : L˙ 2 (Ω) × H01 (Ω)N → R korl´ atos biline´ aris forma, hiszen √ |B(p, v)| ≤ kpkL2 k div vkL2 ≤ N kpkL2 kvkH01 , felhaszn´ alva, hogy k div vk2L2 =
Z
N X
Ω i=1
∂i v i
2
≤N
Z X N
(∂i vi )2 ≤ N
Ω i=1
Z
N X
(∂i vj )2 =
Ω i,j=1
= N k∇vk2L2 = N kvk2H 1 . 0
Mivel a 10.20. ´ all´ıt´ as alapj´ an fenn´all a (10.21) inf-sup-felt´etel, a 7.29. t´etelb˝ol nyerj¨ uk a k´ıv´ ant megoldhat´ os´agot.
168
´ sa ´ gi te ´telek alkalmaza ´ sai 10. A megoldhato
10.4. A Maxwell-egyenletek id˝ oharmonikus eset´ enek megold´ asa A Maxwell-egyenletek a fizika egyik legnevezetesebb modellj´et alkotj´ak, ´es b˝ os´eges matematikai vizsg´ alatban r´eszes¨ ultek. Itt [40] alapj´an azzal a speci´alis esettel foglalkozunk, amikor az elektromos ill. m´agneses mez˝ok az E(x1 , x2 , x3 , t) = Re (E(x1 , x2 , x3 )eiωt ) ´es H(x1 , x2 , x3 , t) = Re (H(x1 , x2 , x3 )eiωt ) (x := (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , t ∈ R) u ´n. id˝oharmonikus alakot veszik fel valamely ω > 0 adott ´ alland´ o frekvencia mellett, ´es az elektromos ´arams˝ ur˝ us´eg id˝ot˝ol f¨ uggetlen. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert legyen emellett a vezet˝ok´epess´eg ´es a permeabilit´ as ´ alland´ o: σ, µ > 0 adott konstansok. Ekkor a Maxwell-egyenletek az al´ abbi egyszer˝ ubb alakra hozhat´ok: ( rot H = σE rot E = −iωµH . Itt a m´ asodik egyenletb˝ ol H kik¨ usz¨ob¨olhet˝o ´es csak E-re kapunk ¨osszef¨ ug´est. A H-ra elhagyott egyenl˝os´eget a fenti els˝o egyenletb˝ol kapott div E = 1 ıtj¨ uk (mivel div rot ≡ 0), ´ıgy az eredetivel σ div rot H = 0 egyenlettel helyettes´ ekvivalens rendszerhez jutunk. Emellett adott Ω ⊂ R3 (szakaszonk´ent sima perem˝ u) tartom´ anyon az E mez˝ore a szok´asos (´ un. elektromos) peremfelt´etel a k¨ uls˝ o norm´ alissal val´ o vektorszorzat megad´asa: ezekb˝ol a rot rot E + iωµσE = 0 div E = 0 ˜ × ν |∂Ω E × ν |∂Ω = E ˜ adott vektormez˝o. V´eg¨ ˜ feladathoz jutunk, ahol E ul vezess¨ uk be az u := E − E ˜ u ´j ismeretlen f¨ uggv´enyt ´es rendezz¨ uk az E-os tagokat a jobb oldalakra. A kapott rendszer alakja rot rot u + iωµσu = f div u = g (10.22) u × ν |∂Ω = 0 ˜ (ahol f ´es g tartalmazza az E-os tagokat). Ennek megoldhat´os´ag´at vezetj¨ uk most le alkalmas f¨ uggv´enyt´erben.
˝ harmonikus esete ´nek megolda ´ sa 10.4. A Maxwell-egyenletek ido
169
A gyenge megold´ as fogalm´ at (az el˝oz˝o szakaszokhoz hasonl´oan) a klasszikus megold´ asra teljes¨ ul˝ o, kevesebb simas´agot k¨ovetel˝o formul´ab´ol kapjuk, most ´ertelemszer˝ uen komplex Szoboljev-terekben. Az els˝o szab´aly a Gauss– Osztrogradszkij-t´etelb˝ ol n´emi sz´amol´assal ad´odik: 10.22. Lemma. Ha u, v ∈ C 1 (Ω, C3 ), akkor Z Z Z u · rot v + rot u · v = Ω
Ω
u (ν × v).
∂Ω
Ezut´ an szorozzuk be (10.22) els˝o egyenlet´et olyan v ∈ C 1 (Ω, C3 ) f¨ uggv´eny konjug´ altj´ aval, amely teljes´ıti a v × ν |∂Ω = 0 peremfelt´etelt, valamint szorozzuk be (10.22) m´ asodik egyenlet´et div v-vel, integr´aljunk, v´eg¨ ul adjuk ¨ossze ezeket. Ekkor Z Z rot u · rot v + (div u)(div v) + iωµσuv = (f · v + g div v). (10.23) Ω
Ω
A megfelel˝ o f¨ uggv´enyt´er defin´ıci´oj´at az motiv´alja, hogy a rot u ´es div u legyen ´ertelmes mint L2 -beli f¨ uggv´eny. Ez a term´eszetes minim´alis k¨ovetelm´eny (10.23) ´ertelmezhet˝ os´eg´ehez. Vezess¨ uk be az al´abbi tereket: H(div) := {v ∈ L2 (Ω)3 : div v ∈ L2 (Ω) disztrib´ uci´o-´ertelemben}, H(rot) := {v ∈ L2 (Ω)3 : rot v ∈ L2 (Ω)3 disztrib´ uci´o-´ertelemben}, H0 (rot) := {v ∈ H(rot) : v × ν |∂Ω = 0 nyom-´ertelemben}, ahol ν a k¨ uls˝ o norm´ alvektor. (A v × ν |∂Ω nyom l´etez´ese egy megfelel˝o t´etel k¨ ovetkezm´enye [40].) V´eg¨ ul legyen H := H(div) ∩ H0 (rot) az al´ abbi skal´ arszorzattal: Z hu, viH := rot u · rot v + (div u)(div v) + uv .
(10.24)
Ω
A defin´ıci´ ok ´es az L2 terek teljess´ege alapj´an igazolhat´o, hogy H teljes. Val´ oj´ aban H nem m´ as, mint C0∞ (Ω) teljess´e t´etele a fenti skal´arszorzattal. 10.23. Defin´ıci´ o. Az u ∈ H(div)∩H0 (rot) f¨ uggv´enyt a (10.22) feladat gyenge megold´ as´ anak nevezz¨ uk, ha (10.23) teljes¨ ul b´armely v ∈ H(div) ∩ H0 (rot) eset´en. A megoldhat´ os´ ag igazol´ as´ ahoz k´et lemm´ara van sz¨ uks´eg. Az els˝o a 10.20. ´ll´ıt´ a as bizony´ıt´ as´ aban szerepl˝o szuperjektivit´as megfelel˝oje div helyett rot-ra (l´enyeg´eben a div rot ≡ 0 azonoss´ag megford´ıt´asa):
´ sa ´ gi te ´telek alkalmaza ´ sai 10. A megoldhato
170
10.24. Lemma. [40] Legyen w ∈ H(div), melyre div w = 0. Ekkor l´etezik olyan s ∈ H(rot), melyre w = rot s, s˝ ot melyre kwkL2 ≥ γkskL2 alkalmas γ>0´ alland´ oval. 10.25. Lemma. Az Z hu, vi0 :=
rot u · rot v + (div u)(div v)
Ω
skal´ arszorzat a (10.24) skal´ arszorzat´eval ekvivalens norm´ at induk´ al a H = H(div) ∩ H0 (rot) t´eren. Bizony´ıt´ as. Legyen v ∈ H adott. Nyilv´an kvkH ≥ kvk0 , a visszair´anyhoz pedig el´eg igazolnunk, hogy kvkL2 ≤ c˜ kvk0 , ahol c˜ > 0 f¨ uggetlen v-t˝ol. Tekints¨ uk a −∆z = − div v, z|∂Ω = 0 feladatot, melynek a 10.15. t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik z ∈ H01 (Ω) 2 gyenge megold´ asa. Itt div ∇z = ∆z ∈ L (Ω), ´ıgy ∇z ∈ H(div). Legyen w := v − ∇z. Ekkor kvkL2 ≤ kwkL2 + k∇zkL2 , ahol ut´ obbira a 10.16. megjegyz´es alapj´an van olyan c > 0, hogy k∇zkL2 ≤ ck div vkL2 . M´ asr´eszt w ∈ H(div) ´es div w = div v−∆z = 0, ´ıgy a 10.24. lemma szerint l´etezik olyan s ∈ H(rot), melyre w = rot s, s˝ot kwkL2 ≥ γkskL2 . Itt a z|∂Ω = 0 peremfelt´etel miatt ∇z p´arhuzamos ν-vel, ´ıgy ∇z × ν|∂Ω = 0, m´ asr´eszt a v ∈ H felt´etelb˝ol v × ν|∂Ω = 0, ´ıgy w × ν|∂Ω = 0. Ebb˝ol a R R 10.22. lemma alapj´ an kwk2L2 = Ω rot s · w = Ω s · rot w. ´Igy kwk2L2 ≤ kskL2 k rot wkL2 ≤ γ1 kwkL2 k rot wkL2 , azaz kwkL2 ≤ γ1 k rot wkL2 = 1 2 alva, hogy w = v − ∇z ´es hogy rot ∇ ≡ 0. Egy¨ utt teh´at γ k rot vkL , felhaszn´ kvkL2 ≤
1/2 1 k rot vkL2 + ck div vkL2 ≤ c˜ k rot vk2L2 + k div vk2L2 = c˜ kvk0 . γ
10.26. T´ etel. B´ armely f ∈ L2 (Ω)3 ´es g ∈ L2 (Ω) eset´en a (10.22) feladatnak l´etezik egyetlen u ∈ H(div) ∩ H0 (rot) gyenge megold´ asa. Bizony´ıt´ as. Legyen Z B(u, v) := rot u · rot v + (div u)(div v) + iωµσuv Ω
Z (f · v + g div v)
´es φv := Ω
(∀v ∈ H).
(∀u, v ∈ H)
10.5. Parabolikus Cauchy-feladat
171
Ekkor a (10.23) gyenge alak B(u, v) = φv (∀v ∈ H) alakban ´ırhat´o. Itt Z Re B(u, u) = | rot u|2 + | div u|2 ) = kuk20 (∀u ∈ H), Ω
´ıgy a 10.25. lemma szerint Re B(u, u) ≥ m kuk2H
(∀u ∈ H)
alkalmas m > 0 u-t´ ol f¨ uggetlen konstanssal, azaz B koerc´ıv biline´aris forma. B korl´ atoss´ aga a (10.24) skal´arszorzat defin´ıci´oj´ab´ol nyilv´anval´o. Emellett |φv| ≤ kf kL2 kvkL2 +kgkL2 k div vkL2 ≤ c˜ (kf kL2 +kgkL2 ) kvkH
(∀v ∈ H),
azaz φ : H → C korl´ atos line´aris funkcion´al. ´Igy alkalmazhatjuk a Lax– Milgram-lemm´ at (7.16. t´etel), amely a k´ıv´ant u ∈ H megold´ast adja. 10.27. Megjegyz´ es. Ha v ∈ H 1 (Ω)3 , akkor eleme H(div)-nek ´es H0 (rot)´ nak is. Ertelemszer˝ u a k´erd´es: megford´ıtva, ha div v ´es rot v is ´ertelmes mint L2 -beli f¨ uggv´eny, abb´ ol nem k¨ovetkezik-e m´ar, hogy v ∈ H 1 (Ω)3 ; ekkor ugyanis H ≡ H(div) ∩ H0 (rot) = {v ∈ H 1 (Ω)3 : v × ν |∂Ω = 0 nyom-´ertelemben} (10.25) lenne, ami f¨ ol¨ oslegess´e tenn´e a fent haszn´alt bonyolultabb defin´ıci´ot. Val´oban, ha Ω konvex, vagy pereme el´eg sima, akkor a fenti egyenl˝os´eg igaz; az Ω-ra val´ o pontos felt´etelek ´es a h´att´ereredm´enyek a [41, 64] cikkekben tal´alha´ t´ ok. Altal´ aban (bonyolultabb, pl. konk´av sarkokat tartalmaz´o tartom´anyokra, amik tipikusak az elektrom´ agneses feladatokban) viszont nem ismeretes ez az azonoss´ ag, ´ıgy nem ker¨ ulhet˝ o el a H := H(div) ∩ H0 (rot) defin´ıci´o.
10.5. Parabolikus Cauchy-feladat Tekints¨ uk az al´ abbi parabolikus Cauchy- (vagy kezdeti´ert´ek-)feladatot: ∂ u − ∆u = 0 (Ω × R+ -ban) t u(x, 0) = u0 (x) (∀x ∈ Ω) (10.26) u|∂Ω×R+ = 0 , ahol Ω ⊂ RN korl´ atos tartom´any. Megmutatjuk, hogy ennek megoldhat´os´aga egyszer˝ uen k¨ ovetkezik a 9.2. szakasz eredm´enyeib˝ol. A fenti feladat term´eszetesen ´ altal´ anosabb adatokkal is megoldhat´o, l´asd pl. [67].
´ sa ´ gi te ´telek alkalmaza ´ sai 10. A megoldhato
172
Legyen H := L2 (Ω) ´es L := −∆, ahol D(L) := H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω). Ekkor L teljes´ıti a 9.11. k¨ ovetkezm´eny felt´eteleit, azaz szigor´ uan pozit´ıv ´es inverze kompakt. Jel¨ olje (λn ) ´es (en ) a −∆ oper´ator saj´at´ert´ekeinek ´es megfelel˝o saj´ atvektorainak sorozat´ at, ahol ut´obbiak TONR-t alkotnak L2 (Ω)-ban. A 9.11. k¨ ovetkezm´eny ´es 9.14. ´all´ıt´as szerint ´ıgy a (10.26) feladatnak b´armely u0 ∈ D(L) eset´en egy´ertelm˝ uen l´etezik megold´asa, ´es ha u0 (x) =
∞ X
cn en (x)
(x ∈ Ω),
n=1
akkor a megold´ as el˝ o´ all u(x, t) =
∞ X
e−λn t cn en (x)
(x ∈ Ω, t > 0)
(10.27)
n=1
alakban. Megjegyezz¨ uk, hogy a 9.2. szakasz alapj´an a megold´as a (9.5) egyenl˝os´eget teljes´ıti L2 (Ω)-norm´ aban, amib˝ ol m´eg nem k¨ovetkezik, hogy (10.26) pontonk´ent teljes¨ ul, ut´ obbit a (10.27) sorfejt´esb˝ol lehet levezetni. Emellett a 9.13. t´etel alapj´ an b´ armely u0 ∈ L2 (Ω) eset´en is igaz a megoldhat´os´ag, ami klasszikus ´ertelemben szint´en a (10.27) sorfejt´esb˝ol vezethet˝o le. V´eg¨ ul, a 9.14. megjegyz´es szerint most a megold´ as L2 -norm´aja 0-hoz tart, amit szok´as disszipativit´asnak h´ıvni, ez a konstans 0 megold´as stabilit´as´at fejezi ki.
III. r´ esz
Nemline´ aris oper´ atoregyenletek elm´ elete
173
11. fejezet
Nemline´ aris oper´ atorok alaptulajdons´ agai Az eddigiekben vizsg´ alt line´ aris feladatok sokszor egyszer˝ us´ıtett modellekb˝ol sz´ armaznak, melyek pontosabb le´ır´asa m´ar nemline´aris oper´atorokat tartalmaz. A line´ aris strukt´ ura elhagy´asa jelent˝osen m´odos´ıtja a megfelel˝o oper´ atorok elm´elet´et. Ebben ´es a k¨ovetkez˝o fejezetben a nemline´aris oper´atorok egyes alapfogalmait ´es tulajdons´agait t´argyaljuk, melyekre majd sz¨ uks´eg lesz a megoldhat´ os´ agi eredm´enyekben ´es k¨ozel´ıt˝o m´odszerekn´el. A t´emak¨orr˝ol r´eszletesebben olvashatunk a [3, 19, 23, 76] k¨onyvekben. A nemline´ aris oper´ atorokr´ ol sz´ol´o r´eszekben a szerepl˝o Hilbert-terek (´es ezen bel¨ ul a Lebesgue- ´es Szoboljev-terek) val´osak lesznek, szemben a line´aris esettel, ahol alaphelyzetben a komplex esetre volt sz¨ uks´eg.
11.1. Egy elliptikus oper´ ator A fejezet bevezet´esek´ent egy fontos p´eld´at ismertet¨ unk nemline´aris oper´atorra, amely a k´es˝ obbi alkalmaz´asokban is felmer¨ ul, valamint a fejezet f˝o fogalmait is ezen szeml´eltetj¨ uk majd. El˝osz¨or a jobb ´erthet˝os´eg ´erdek´eben ennek is egy speci´ alis eset´et adjuk meg. Legyen Ω ⊂ Rn korl´ atos tartom´any. Tekints¨ uk a ( 2 − div a(|∇u| ) ∇u = g, (11.1) u|∂Ω = 0 perem´ert´ekfeladatot, ahol a : R+ → R+ adott folytonos, korl´atos f¨ uggv´eny. Ez a feladat a (10.11)-belihez hasonl´o, de most ∇u egy¨ utthat´oja maga is ∇u175
´ ris opera ´ torok alaptulajdonsa ´ gai 11. Nemlinea
176
t´ ol f¨ ugg, ett˝ ol a feladat nemline´aris. Legyen T : L2 (Ω) ⊃→ L2 (Ω) a feladatban szerepl˝ o oper´ ator, D(T ) := H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω) ´ertelmez´esi tartom´annyal: 2 T (u) := − div a(|∇u| ) ∇u , ekkor teh´ at a (11.1)-beli egyenlet a T (u) = g alakban ´ırhat´ o fel. A line´ aris esethez hasonl´ oan c´elszer˝ u ´ertelmezni a fenti feladat gyenge alakj´at. Ehhez a szok´ asos m´ odon jutunk: a form´alis egyenletet szorozzuk egy v ∈ H01 (Ω) tesztf¨ uggv´ennyel, majd integr´alunk. Egy u ∈ H01 (Ω) f¨ uggv´enyt teh´at a (11.1) feladat gyenge megold´as´anak nevez¨ unk, ha Z Z 2 a(|∇u| )∇u · ∇v = gv (∀ v ∈ H01 (Ω)). (11.2) Ω
Ω
Kor´ abban a gyenge megold´ as l´etez´ese azon m´ ult, hogy a bal oldalon szerepl˝o formula egy skal´ arszorzatot defini´alt, most azonban T nemline´aris, ´ıgy ez az u ´t nem j´ arhat´ o. Ehelyett a (11.2) egyenletet olyan oper´atoregyenlet alakj´aban szeretn´enk fel´ırni, ahol a szerepl˝o oper´ator jobb tulajdons´ag´ u az eredeti T n´el, amely az L2 (Ω) t´erben ´ertelmezve nem is folytonos. C´elunk teh´at az, hogy tal´ aljunk egy olyan F : H01 (Ω) → H01 (Ω) oper´atort, melyre Z 2 hF (u), viH 1 = a(|∇u| )∇u · ∇v (∀ v ∈ H01 (Ω)). (11.3) 0
Ω
A Riesz-f´ele reprezent´ aci´ os t´etel alapj´an ugyanis (11.2) jobb oldal´at is hasonl´o alakban ´ırhatjuk fel: l´etezik olyan b ∈ H01 (Ω), hogy Z gv = hb, viH 1 (∀ v ∈ H01 (Ω)). 0
Ω
Ha teh´ at l´etezik a (11.3)-ban k´ıv´ant F , akkor (∀ v ∈ H01 (Ω)),
hF (u), viH 1 = hb, viH 1 0
0
ami ekvivalens az F (u) = b oper´ atoregyenlettel H01 (Ω)-ban. Megjegyezz¨ uk, hogy a fejezet elej´en eml´ıtettek szerint most H01 (Ω) val´os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyekb˝ ol ´ all ´es val´os Hilbert-t´er, melyben a skal´arszorzat Z hu, viH 1 = ∇u · ∇v. (11.4) 0
Ω
´ tor 11.1. Egy elliptikus opera
177
´ ıt´ 11.1. All´ as. A (11.3) egyenl˝ os´eg egy´ertelm˝ uen meghat´ aroz egy F : H01 (Ω) → H01 (Ω) oper´ atort. Bizony´ıt´ as. Legyen u ∈ H01 (Ω) r¨ogz´ıtett ´es legyen ψu : H01 (Ω) → R a k¨ ovetkez˝ o funkcion´ al: Z 2 ψu v := a(|∇u| )∇u · ∇v. Ω
Ekkor ψu line´ aris, Z |ψu v| ≤
illetve a 2 a(|∇u| ) |∇u| |∇v| ≤ (sup a) k∇ukL2 k∇vkL2 =
Ω
= (sup a) kukH 1 kvkH 1 0
0
becsl´es miatt ψu korl´ atos. Ekkor egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan u e ∈ H01 (Ω), hogy ψu v = he u, viH 1 0
(∀ v ∈ H01 (Ω)).
Jel¨ olj¨ uk F -fel azt a hozz´ arendel´est, ami az u-hoz u e-t rendeli, ami az eddigiek szerint j´ oldefini´ alt lek´epez´es. Erre az F -re Z 2 a(|∇u| )∇u · ∇v (∀ v ∈ H01 (Ω)). u, viH 1 = ψu v = hF (u), viH 1 = he 0
0
Ω
A fenti F oper´ ator ´ altal´ anosabb helyzetben is ´ertelmezhet˝o. Legyen f ∈ C 1 (Ω × Rn , Rn ), ´es T (u) := − div f (x, ∇u). (Ez a szok´asos jel¨ol´es a prec´ızebb T (u) := − div f ◦ (id, ∇u) helyett.) Tegy¨ uk fel, hogy l´etezik M > 0, hogy
∂f
(x, η) ≤ M (∀ (x, η) ∈ Ω × Rn ), (11.5)
∂η
ahol k.k az euklideszi norma ´altal induk´alt m´atrixnorm´at jelenti. Ha p´eld´aul a(r2 )r 0 ≤ M , akkor az f (x, η) = a |η|2 η f¨ uggv´eny teljes´ıti ezt a felt´etelt (ami a k´es˝ obbi (13.4.1) egyenl˝otlens´eghez hasonl´oan l´athat´o); erre az f -re 2 f (x, ∇u) = a(|∇u| )∇u, azaz visszakapjuk az el˝obbi p´eldabeli oper´ator szerkezet´et. Az ´ altal´ anosabb esetben is ´ertelmezhet˝o olyan F : H01 (Ω) → H01 (Ω) oper´ ator, melyre most Z hF (u), viH 1 = f (x, ∇u) · ∇v (∀ v ∈ H01 (Ω)), (11.6) 0
Ω
ez a 11.1. ´ all´ıt´ as mint´ aj´ ara, n´emileg t¨obb sz´amol´assal igazolhat´o. Most megmutatjuk, hogy (az eredeti T -vel szemben) F folytonos. ´ ıt´ 11.2. All´ as. Ha teljes¨ ul (11.5), akkor F Lipschitz-folytonos a H01 (Ω) t´eren.
´ ris opera ´ torok alaptulajdonsa ´ gai 11. Nemlinea
178
Bizony´ıt´ as. A felt´etelb˝ ol a Lagrange-egyenl˝otlens´eg miatt f Lipschitz-folytonos η-ban: |f (x, η) − f (x, η 0 )| ≤ M |η − η 0 | , (11.7) ahol |.| az Rn -beli euklideszi t´avols´agot jel¨oli. Ezt ¨or¨okli F : kF (u) − F (v)kH 1 = 0
Z =
sup kzkH 1 =1
hF (u) − F (v), ziH 1 = 0
0
(f (x, ∇u) − f (x, ∇v)) · ∇z ≤
sup kzkH 1 =1 0
Ω
Z ≤
|f (x, ∇u) − f (x, ∇v)| |∇z| ≤
sup kzkH 1 =1 0
Ω
Z ≤
sup kzkH 1 =1 0
=
sup kzkH 1 =1
|∇u − ∇v| |∇z| ≤
M
sup kzkH 1 =1
Ω
M k∇u − ∇vkL2 k∇zkL2 =
0
M ku − vkH 1 kzkH 1 = M ku − vkH 1 . 0
0
0
0
Most differenci´ alhat´ os´ agi tulajdons´agokra t´er¨ unk ´at, amelyekre sz¨ uks´eg lesz az oper´ atoregyenletek vizsg´ alat´ahoz.
11.2. Gˆ ateaux-deriv´ alt 11.2.1. Alapfogalmak 11.3. Defin´ıci´ o. Legyenek X, Y norm´alt terek. Egy F : X → Y (nemline´aris) oper´ ator Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o az u ∈ X pontban, ha (i) b´ armely v ∈ X eset´en l´etezik ∂v F (u) := lim
t→0
F (u + tv) − F (u) ; t
(ii) a v 7→ ∂v F (u) hozz´ arendel´es folytonos line´aris oper´ator X-b˝ol Y -ba. A m´ asodik tulajdons´ ag szerinti oper´atort F 0 (u)-val jel¨olve F 0 (u)v = ∂v F (u) ´es F 0 (u) ∈ B(X, Y ). Id´ezz¨ uk fel a szok´ asos deriv´alhat´os´ag fogalm´at is, melyet szok´as Fr´echetderiv´ alhat´ os´ agnak is h´ıvni. Az F : X → Y oper´ator Fr´echet-deriv´ alhat´ o az u ∈ X pontban, ha van olyan A ∈ B(X, Y ) folytonos line´aris oper´ator, hogy lim
khk→0
kF (u + h) − F (u) − Ahk = 0. khk
ˆ teaux-deriva ´ lt 11.2. Ga
179
Ekkor A egy´ertelm˝ u, ´es szint´en F 0 (u)-val jel¨olj¨ uk. (Ez az al´abbiak miatt nem okoz f´elre´ert´est.) 11.4. Megjegyz´ es. (i) A Fr´echet-deriv´alhat´os´agb´ol k¨ovetkezik a Gˆateauxderiv´ alhat´ os´ ag, ´es a k´etf´ele deriv´alt egybeesik. Visszafel´e viszont nem k¨ovetkezik, m´ ar R2 → R f¨ uggv´enyek eset´en is el˝ofordul, hogy f Gˆateaux-deriv´alhat´o, de nem Fr´echet-deriv´ alhat´ o. (ii) Magasabbrend˝ u deriv´ altak a defin´ıci´o ism´etelt alkalmaz´as´aval ´ertelmezhet˝ ok. Ha p´eld´ aul Φ : X → R Gˆateaux-deriv´alhat´o ´es Φ0 : X → B(X, R) = X ∗ is Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o valamely u ∈ X pontban, akkor Φ00 (u) := (Φ0 )0 (u) ∈ ∗ B(X, X ). P´ elda Gˆ ateaux-deriv´ altra. Tekints¨ uk a (11.6)-beli oper´atort, azaz legyen Ω ⊂ Rn korl´ atos tartom´ any, H a H01 (Ω) val´os Hilbert-t´er a (11.4) skal´arszorzattal, ´es F : H01 (Ω) → H01 (Ω), Z hF (u), viH01 = f (x, ∇u) · ∇v (∀u, v ∈ H01 (Ω)), (11.8) Ω
(x,η) uk fel m´eg, hogy a ∂f ∂η deriv´altm´atrixok ahol f ∈ C 1 (Ω × Rn , Rn ). Tegy¨ szimmetrikusak ´es saj´ at´ert´ekeik k¨oz¨os korl´at al´a esnek. Mivel szimmetrikus m´ atrix euklideszi vektornorma ´altal induk´alt norm´aja a maxim´alis abszol´ ut ´ert´ek˝ u saj´ at´ert´eke, ´ıgy az el˝ oz˝oek miatt teljes¨ ul (11.5). Megmutatjuk, hogy ekkor F Gˆateaux-deriv´alhat´o. Legyen u ∈ H01 (Ω) tetsz˝oleges. R¨ ogz´ıtett h, v ∈ H01 (Ω) eset´en Z 1 1 lim hF (u + th) − F (u), viH01 = lim ((f (x, ∇u + t∇h) − f (x, ∇u)) · ∇v. t→0 t t→0 Ω t
Az f ∈ C 1 felt´etel miatt a fenti integrandus m. m. pontonk´ent konverg´al, ´es limesze 1 ∂f lim ((f (x, ∇u + t∇h) − f (x, ∇u)) · ∇v = (x, ∇u)∇h · ∇v, t→0 t ∂η ´ıgy ha ∂h F (u) l´etezik, akkor Z h∂h F (u), viH01 = hD(h, u), viH01 :=
Ω
∂f (x, ∇u)∇h·∇v ∂η
(∀h, v ∈ H01 (Ω)).
Itt adott u ∈ H01 (Ω) eset´en D(h, u) ∈ H01 (Ω) l´etez´es´et a Riesz-t´etel garant´alja, mivel a fenti integr´ al folytonos line´aris funkcion´alja v-nek: (11.5) miatt az integrandus M |∇h| |∇v|-vel, az integr´al pedig M khkH01 kvkH01 -val becs¨ ulhet˝o. Ahhoz, hogy D(h, u) = ∂h F (u) legyen (azaz a fent defini´alt D(h, u) f¨ uggv´eny val´ oban ir´ anymenti deriv´ alt legyen), az kell, hogy al´abbi limesz nulla:
1
lim (F (u + th) − F (u)) − D(h, u) H 1 = 0 t→0 t
´ ris opera ´ torok alaptulajdonsa ´ gai 11. Nemlinea
180
= lim
D1
sup
(F (u + th) − F (u)) − D(h, u), v
E
t 1 =1 H0 Z ∂f 1 (f (x, ∇u + t∇h) − f (x, ∇u) − (x, ∇u)∇h · ∇v = lim sup t→0 kvk 1 =1 Ω t ∂η H0 Z ∂f ∂f (x, ∇u + θt∇h) − (x, ∇u) ∇h · ∇v = lim sup t→0 kvk 1 =1 Ω ∂η ∂η H t→0 kvk
0
∂f ∂f
≤ lim (id, ∇u + θt∇h) − (id, ∇u) ∇h , t→0 ∂η ∂η L2 ahol |θ| ≤ 1. A kapott L2 -norm´aban olyan integr´al szerepel, melyben az integrandus t → 0 eset´en ∂f aga miatt maga is 0-hoz tart. Emellett ∂η folytonoss´ az integrandus (11.5) miatt b´armely t eset´en fel¨ ulr˝ol becs¨ ulhet˝o (2M |∇h|)2 1 1 tel, ami a h ∈ H0 (Ω) felt´etel miatt L -beli major´ans. ´Igy a Lebesgue-t´etel alapj´ an az integr´ al is 0-hoz tart, teh´at D(h, u) = ∂h F (u). Itt h 7→ ∂h F (u) line´ aris oper´ ator, ´es korl´atos is, hiszen (szint´en (11.5) miatt) Z k∂h F (u)k = sup h∂h F (u), viH01 ≤ sup M |∇h| |∇v| ≤ kvkH 1 =1
kvkH 1 =1
0
≤
sup kvkH 1 =1
0
Ω
M khkH01 kvkH01 = M khkH01 .
0
´Igy teh´ at F Gˆ ateaux-deriv´ alhat´o ´es Z ∂f hF 0 (u)h, viH01 = (x, ∇u)∇h · ∇v Ω ∂η
(∀u, h, v ∈ H01 (Ω)).
(11.9)
11.2.2. Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o funkcion´ alok Legyen Φ : X → R sz´ am´ert´ek˝ u lek´epez´es (funkcion´al). Ekkor a Gˆateauxderiv´ alt defin´ıci´ oj´ aban Y = R, ´es Φ0 (u) ∈ B(X, R) = X ∗ . Itt a 3.3 szakasz jel¨ ol´es´evel hΦ0 (u), vi := Φ0 (u)v, ami Hilbert-t´er eset´en val´ oban skal´arszorzat. 11.5. Defin´ıci´ o. Legyen X norm´alt t´er, u, v ∈ X. Ekkor (i) [u, v] = {u + t(v − u) : t ∈ [0, 1]} az u-t ´es v-t ¨osszek¨ot˝o szakasz; (ii) ha Φ : X → R, akkor φu,v : [0, 1] → R, φu,v (t) := Φ(u + t(v − u)). ´ ıt´ 11.6. All´ as (Lagrange-k¨ oz´ ep´ ert´ ekt´ etel). Legyen Φ : X → R Gˆ ateauxdifferenci´ alhat´ o, u, v ∈ X. Ekkor l´etezik ξ ∈ [u, v], hogy Φ(v) − Φ(u) = hΦ0 (ξ), v − ui.
ˆ teaux-deriva ´ lt 11.2. Ga
181
Bizony´ıt´ as. Legyen φ = φu,v , ekkor φ : [0, 1] → R differenci´alhat´o ´es φ(t + h) − φ(t) = h→0 h Φ(u + t(v − u) + h(v − u)) − Φ(u + t(v − u)) = lim = h→0 h = ∂v−u Φ(u + t(v − u)) = hΦ0 (u + t(v − u)), v − ui .
φ0 (t) = lim
A val´ os f¨ uggv´enyekre vonatkoz´o Lagrange-k¨oz´ep´ert´ekt´etel szerint l´etezik η ∈ [0, 1], hogy φ(1) − φ(0) = φ0 (η). A ξ := u + η(v − u) vektorral a k´ıv´ant ´all´ıt´ast kapjuk. ´ ıt´ 11.7. All´ as (m´ asodrend˝ u Taylor-formula). Legyen Φ : X → R k´etszer Gˆ ateaux-differenci´ alhat´ o, u, v ∈ X. Ekkor l´etezik ξ ∈ [u, v], hogy Φ(v) − Φ(u) = hΦ0 (u), v − ui +
1 00 hΦ (ξ)(v − u), v − ui . 2
Bizony´ıt´ as. Az el˝ oz˝ oekhez hasonl´oan bel´athat´o, hogy φ = φu,v k´etszer differenci´ alhat´ o ´es φ00 (t) = hΦ00 (u + t(v − u))(v − u), v − ui. A m´asodrend˝ u val´os Taylor-formul´ at φ-re fel´ırva kapjuk, hogy φ(1) − φ(0) = φ0 (0) + 21 φ00 (η), ahonnan ism´et a ξ = u + η(v − u) v´alaszt´assal ad´odik az ´all´ıt´as. 11.8. Defin´ıci´ o. Legyenek X, Y ´es Z norm´alt terek, A : X → B(Y, Z) lek´epez´es. Azt mondjuk, hogy (i) A hemifolytonos, ha minden u, v ∈ X ´es minden w ∈ Y eset´en a t 7→ A(u + tv)w lek´epez´es folytonos R-b˝ol Z-be; (ii) A bihemifolytonos, ha minden u, v, w ∈ X, z ∈ Y eset´en az (s, t) 7→ A(u + tv + sw)z lek´epez´es folytonos R2 -b˝ol Z-be. A fenti defin´ıci´ o´ altal´ anoss´ aga arra j´o, hogy t¨obbf´ele szok´asos helyzetben is ´ertelmezhess¨ unk (bi)hemifolytonoss´agot. Legyen p´eld´aul Φ : X → R adott funkcion´ al. • Ha Y = Z = R, akkor B(Y, Z) = B(R, R) = R, ´ıgy ´ertelmezhet˝o Φ : X → R (bi)hemifolytonoss´aga. • Ha X = Y ´es Z = R, akkor B(Y, Z) = B(X, R) = X ∗ , ´ıgy ´ertelmezhet˝o a Φ0 : X → X ∗ Gˆ ateaux-deriv´alt (bi)hemifolytonoss´aga. • Ha X = Y ´es Z = X ∗ , akkor B(Y, Z) = B(X, X ∗ ), ´ıgy ´ertelmezhet˝o a Φ00 : X → B(X, X ∗ ) m´ asodik Gˆateaux-deriv´alt (bi)hemifolytonoss´aga. 11.9. T´ etel (Newton–Leibniz). Legyen Φ : X → R, u, v ∈ X.
´ ris opera ´ torok alaptulajdonsa ´ gai 11. Nemlinea
182
(1) Ha Φ Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o ´es Φ0 hemifolytonos, akkor Z 1 Φ(v) − Φ(u) = hΦ0 (u + t(v − u)), v − ui dt. 0
(2) Ha Φ k´etszer Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o ´es Φ00 hemifolytonos, akkor Z 1 Φ0 (v) − Φ0 (u) = Φ00 (u + t(v − u))(v − u)dt, 0
amin azt ´ertj¨ uk, hogy minden z ∈ X eset´en 0
0
Z
hΦ (v) − Φ (u), zi =
1
hΦ00 (u + t(v − u))(v − u), zi dt.
0
Bizony´ıt´ as. (1) Legyen φ = φu,v , azaz φ(t) = Φ(u + t(v − u)), ekkor φ0 (t) = hΦ0 (u + t(v − u)), v − ui. Itt Φ0 hemifolytonoss´aga miatt φ0 folytonos, emiatt φ-re ´erv´enyes a k¨ oz¨ ons´eges Newton-Leibniz szab´aly. Azaz φ(1) − φ(0) = R1 0 φ (t)dt, ami ´ e pp a k´ ıv´ ant egyenl˝os´eg. 0 (2) Legyen z ∈ X is r¨ ogz´ıtett ´es ψ = ψu,v,z , ψ(t) := hΦ0 (u + t(v − u)), zi. Ekkor a fentihez hasonl´ oan ψ 0 (t) = hΦ00 (u + t(v − u))(v − u), zi. Itt t 7→ 00 Φ (u + t(v − u))(v − u) folytonos, mert Φ00 hemifolytonos, emiatt ψ 0 is folyR1 tonos. ´Igy ψ(1) − ψ(0) = 0 ψ 0 (t)dt, azaz hΦ0 (v) − Φ0 (u), zi = hΦ0 (v), zi − hΦ0 (u), zi = Z 1 = hΦ00 (u + t(v − u))(v − u), zi dt.
0
11.10. Megjegyz´ es. A 11.2.1 szakaszban Gˆateaux-deriv´altra adott p´elda ´ olyan, hogy a deriv´ alt bihemifolytonos. Espedig, l´attuk, hogy a (11.8)-beli 1 1 F : H0 (Ω) → H0 (Ω) oper´ ator Gˆateaux-deriv´altja a (11.9) oper´ator. Itt a ∂f ∂η deriv´ alt folytonoss´ aga miatt b´armely u, v, w, z ∈ H01 (Ω) eset´en az (s, t) 7→
∂f (x, ∇u + t∇v + s∇w)∇z ∂η
lek´epez´es folytonos R2 -b˝ ol Rn -be. Ebb˝ol b´armely u, v, w, z ∈ H01 (Ω) eset´en lim kF 0 (u+tv +sw)z −F 0 (u)zk = lim
s,t→0
sup hF 0 (u+tv +sw)z −F 0 (u)z, vi
s,t→0 kvk
1 H0
=1
Z ∂f ∂f (x, ∇u + t∇v + s∇w)∇z · ∇v − (x, ∇u)∇z · ∇v s,t→0 kvk 1 =1 Ω ∂η ∂η H
= lim
sup 0
´ torok e ´s konvex funkciona ´ lok 11.3. Monoton opera
183
∂f
∂f ≤ lim (id, ∇u + t∇v + s∇w)∇z − (id, ∇u)∇z = 0 s,t→0 ∂η ∂η az eml´ıtett p´eld´ ahoz hasonl´ o megfontol´asb´ol (az integrandus pontonk´ent 0hoz tart, ´es 2M |∇z|2 L1 -beli major´ans). Ez ´epp azt jelenti, hogy az (s, t) 7→ F 0 (u + tv + sw)z lek´epez´es folytonos R2 -b˝ol H01 (Ω)-ba, azaz F 0 bihemifolytonos.
11.3. Monoton oper´ atorok ´ es konvex funkcion´ alok Most n´eh´ any, a val´ os f¨ uggv´enyek´evel anal´og fogalommal ´es ezek kapcsolat´aval foglalkozunk. A konvexit´ as ´es monotonit´as fogalma megfelel˝o anal´ogi´aval athozhat´ ´ o, a nemnegativit´ as szerep´et pedig a pozit´ıv szemidefinits´eg j´atssza majd. 11.11. Defin´ıci´ o. A Φ : X → R funkcion´al (i) konvex, ha minden u, v ∈ X eset´en φu,v konvex; (ii) szigor´ uan konvex, ha minden u, v ∈ X eset´en φu,v szigor´ uan konvex. ´ ıt´ 11.12. All´ as. Ha Φ : X → R konvex ´es Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o, akkor minden u, v ∈ X eset´en Φ(v) − Φ(u) ≥ hΦ0 (u), v − ui. Bizony´ıt´ as. Legyen φ = φu,v . Mivel φ konvex, ez´ert φ(1) − φ(0) ≥ φ0 (0)(1 − 0 0) = φ (0), ami ´eppen a k´ıv´ ant Φ(v) − Φ(u) ≥ hΦ0 (u), v − ui ´all´ıt´ast adja. A konvexit´ as ut´ an szeretn´enk a monotonit´as fogalm´at is kiterjeszteni norm´alt t´erre. Ezt a φ : R → R val´ os monoton n¨ov˝o f¨ uggv´enyeket jellemz˝o (φ(v) − φ(u))(v − u) ≥ 0 (∀u, v ∈ R) egyenl˝otlens´eg alapj´an tehetj¨ uk meg X → X ∗ lek´epez´esekre. 11.13. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy F : X → X ∗ (i) monoton oper´ ator, ha hF (v) − F (u), v − ui ≥ 0
(∀u, v ∈ X);
(ii) szigor´ uan monoton oper´ ator, ha hF (v) − F (u), v − ui > 0
(∀u 6= v ∈ X);
(iii) egyenletesen monoton oper´ator, ha l´etezik m > 0, hogy hF (v) − F (u), v − ui ≥ mku − vk2
(∀u, v ∈ X).
184
´ ris opera ´ torok alaptulajdonsa ´ gai 11. Nemlinea
´ ıt´ 11.14. All´ as. Legyen Φ : X → R k´etszer Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o. Ekkor az al´ abbi h´ arom ´ all´ıt´ as ekvivalens: (i) Φ konvex; (ii) Φ0 : X → X ∗ monoton oper´ ator; (iii) Φ00 (u) ≥ 0 minden u ∈ X-re, azaz hΦ00 (u)h, hi ≥ 0 minden h ∈ X-re. Bizony´ıt´ as. (i) ⇒ (ii). Legyen u, v ∈ X r¨ogz´ıtett ´es φ = φu,v , ami a felt´etel szerint konvex, ´ıgy φ0 monoton n¨ ov˝ o. Ebb˝ol φ0 (1) − φ0 (0) ≥ 0, ami azt jelenti, hogy 0 0 hΦ (v) − Φ (u), v − ui ≥ 0. (ii) ⇒ (iii). A defin´ıci´ okb´ ol, v := u + th mellett Φ0 (u + th) − Φ0 (u) hΦ00 (u)h, hi = h∂h Φ0 (u), hi = lim ,h = t→0 t 1 0 = lim hΦ (u + th) − Φ0 (u), hi = t→0 t 1 = lim 2 hΦ0 (u + th) − Φ0 (u), (u + th) − ui ≥ 0. t→0 t (iii) ⇒ (i). Legyen u, v ∈ X tetsz˝oleges ´es φ = φu,v , ekkor l´etezik φ00 ´es φ00 (t) = hΦ00 (u + t(v − u))(v − u), v − ui ≥ 0 a felt´etel szerint (a h = v − u vektorral). ´Igy φ konvex, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy Φ konvex. 11.15. Megjegyz´ es. A 11.10. megjegyz´eshez hasonl´oan igazolhat´oak az al´abbi, speci´ alis esetekr˝ ol sz´ ol´ o´ all´ıt´asok: (1) Φ pontosan akkor szigor´ uan konvex, ha Φ0 : X → X ∗ szigor´ uan monoton 0 oper´ ator. Ilyenkor Φ injekt´ıv is. (2) Φ0 : X → X ∗ pontosan akkor egyenletesen monoton oper´ator, ha Φ00 egyenletesen pozit´ıv, azaz l´etezik m > 0, hogy hΦ00 (u)h, hi ≥ mkhk2 (∀u, h ∈ X). Ilyenkor Φ-t egyenletesen konvexnek h´ıvjuk. 11.16. Megjegyz´ es. Az (i) ´es (ii) tulajdons´agok ekvivalenci´aj´ahoz el´eg, ha Φ egyszer Gˆ ateaux-deriv´ alhat´o. A (ii) ⇒ (i) ir´any ekkor az (i) ⇒ (ii) mint´aj´ ara k¨ ovetkezik. Konvex funkcion´ alra. ill. monoton oper´atorra a 13.4.1. szakaszban l´atunk majd tipikus p´eld´ at.
12. fejezet
Potenci´ aloper´ atorok 12.1. A potenci´ al fogalma ´ es l´ etez´ ese 12.1. Defin´ıci´ o. Legyen X Banach-t´er. Egy A : X → X ∗ (nemline´aris) oper´ atort potenci´ aloper´ atornak nevez¨ unk, ha van olyan J : X → R Gˆateauxderiv´ alhat´ o funkcion´ al, melyre J 0 = A, azaz J 0 (u) = A(u) minden u ∈ X eset´en. Ekkor a J funkcion´ alt A potenci´ alj´ anak h´ıvjuk. 12.2. Megjegyz´ es. (i) Ha l´etezik potenci´al, akkor addit´ıv konstans erej´eig egy´ertelm˝ u. (Ez a Lagrange-k¨oz´ep´ert´ekt´etelb˝ol k¨ovetkezik, ´es nemcsak az eg´esz X-en, hanem egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o halmazon ´ertelmezett oper´atorokra is igaz.) (ii) Egyszer˝ u p´elda: ha f ∈ X ∗ adott elem, akkor az A(u) ≡ f konstans lek´epez´esnek a J(u) = hf, ui ∀u ∈ X (azaz J = f ) line´aris funkcion´al potenci´alja. V´eges dimenzi´ oban ismeretes annak sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele, hogy egy egyszeresen ¨ osszef¨ ugg˝ o halmazon ´ertelmezett C 1 -f¨ uggv´enynek l´etezzen primit´ıv f¨ uggv´enye. Ehhez hasonl´o felt´etel most is l´etezik, amit az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert az eg´esz t´eren ´ertelmezett lek´epez´esre adunk meg. 12.3. T´ etel. Legyen A : X → X ∗ Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o ´es A0 bihemifolyto0 nos. Ekkor A pontosan akkor potenci´ aloper´ ator, ha A szimmetrikus, azaz hA0 (u)v, hi = hA0 (u)h, vi
(∀u, h, v ∈ X).
(12.1)
Bizony´ıt´ as. (i) Tegy¨ uk fel, hogy A potenci´aloper´ator, ´es legyen J egy potenci´ alja. Legyenek u, h, v ∈ X adott vektorok, ´es vezess¨ uk be a G : R2 → R,
G(s, t) := J(u + sh + tv) 185
´ lopera ´ torok 12. Potencia
186
f¨ uggv´enyt. Itt J k´etszer Gˆ ateaux-deriv´alhat´o, hiszen a J 0 = A oper´ator Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o, emellett J 00 = A0 bihemifolytonos. ´Igy G m´asodik parci´ alis deriv´ altjai is l´eteznek, speci´alisan ∂t ∂s G(s, t) = hJ 00 (u + sh + tv)h, vi = hA0 (u + sh + tv)h, vi ´es ugyan´ıgy ∂s ∂t G(s, t) = hA0 (u + sh + tv)v, hi, valamint G m´ asodik parci´ alis deriv´altjai folytonosak is, ´ıgy igaz a Young-t´etel, amib˝ ol hA0 (u)h, vi = ∂t ∂s G(0, 0) = ∂s ∂t G(0, 0) = hA0 (u)v, hi . (ii) Tegy¨ uk fel most, hogy A0 szimmetrikus, igazolnunk kell, hogy l´etezik potenci´ al. Ut´ obbi szerep´ere fel´ırhat´o a sz´obaj¨ov˝o k´eplet, mivel ha J potenci´al, akkor Z 1 Z 1 0 J(u) = J(0)+ hJ (0+r(u−0)), u−0idr = J(0)+ hA(ru), uidr (u ∈ X). 0
0
Itt J(0) null´ anak v´ alaszthat´ o. Legyen teh´at mostant´ol Z
1
hA(ru), uidr
J(u) :=
(u ∈ X),
(12.2)
0
´es igazolnunk kell, hogy ez a J potenci´alja A-nak, azaz hogy hJ 0 (u), vi = hA(u), vi (∀u, v ∈ X). Legyenek u, v ∈ X adott vektorok, ´es vezess¨ uk be a K : R2 → R,
K(s, t) := J(su + tv)
f¨ uggv´enyt. Ha J 0 = A, amit szeretn´enk, akkor K 0 (s, t) = (∂s K(s, t), ∂t K(s, t)) = (hJ 0 (su + tv), ui, hJ 0 (su + tv), vi) = (hA(su + tv), ui, hA(su + tv), vi) =: k(s, t)
(s, t ∈ R).
0
Megford´ıtva, ha K = k, akkor speci´alisan ∂t K(1, 0) = k2 (1, 0),
azaz hJ 0 (u), vi = hA(u), vi.
´Igy J 0 = A pontosan akkor, ha K 0 = k b´armely u, v eset´en. Megmutatjuk, hogy ut´ obbi igaz. Itt k-nak van primit´ıv f¨ uggv´enye, mivel a feltev´esb˝ol ∂2 k1 (s, t) = ∂t k1 (s, t) = hA0 (su + tv)v, ui = = hA0 (su + tv)u, vi = ∂s k2 (s, t) = ∂1 k2 (s, t)
´ l fogalma e ´ s le ´teze ´se 12.1. A potencia
187
(∀s, t ∈ R). S˝ ot, mint ismeretes, ekkor a primit´ıv f¨ uggv´enyek megadhat´ok k-nak (egy r¨ ogz´ıtett pontb´ ol a v´altoz´o pontba halad´o g¨orbe menti) vonalintegr´ aljak´ent, ahol a g¨ orbe tetsz˝oleges lehet. Ha (s, t) adott pont, akkor teh´at egy primit´ıv f¨ uggv´eny el˝ o´ all a (0, 0) pontb´ol (s, t)-be h´ uzott szakaszon vett vonalintegr´ alk´ent, melynek ´ert´eke Z 1 Z 1 (hA(r(su + tv)), ui, hA(r(su + tv)), vi) · (s, t)dr k(rs, rt) · (s, t)dr = 0
0
Z
1
hA(r(su + tv)), su + tvidr = J(su + tv) = K(s, t),
= 0
azaz K val´ oban primit´ıv f¨ uggv´enye k-nak. Teh´at, mint l´attuk, a (12.2)-ben defini´ alt J potenci´ alja A-nak. 12.4. Megjegyz´ es. A (12.1) felt´etel val´os Hilbert-t´erben A0 (u) ¨onadjung´alts´ ag´ at jelenti. P´ elda potenci´ aloper´ atorra. Tekints¨ uk a 11.2.1 szakaszban Gˆateaux-deriv´ altra adott p´eld´ at, azaz a (11.8)-beli F : H01 (Ω) → H01 (Ω) oper´atort. Megmutatjuk, hogy F potenci´ aloper´ator. ´ Espedig, l´ attuk, hogy F Gˆ ateaux-deriv´alhat´o, ill. a 11.10. megjegyz´es szerint F 0 bihemifolytonos. A (11.9) k´eplet szerint F Gˆateaux-deriv´altj´ara Z ∂f 0 hF (u)h, viH01 = (x, ∇u)∇h · ∇v (u, h, v ∈ H01 (Ω)). (12.3) Ω ∂η (x,η) Mivel feltett¨ uk, hogy ∂f ∂η deriv´altm´atrixok szimmetrikusak, a fenti k´epletb˝ ol r¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik, hogy F 0 is szimmetrikus (azaz ¨onadjung´alt, mivel most Hilbert-t´erben vagyunk), ´ıgy a 12.3. t´etel szerint F potenci´aloper´ator. Eset¨ unkben a potenci´ al megadhat´o expliciten is. Az f -re tett felt´etelek alapj´ an ugyanis maga f is olyan, hogy minden x ∈ Ω eset´en van primit´ıv f¨ uggv´enye η szerint, vagyis olyan C 1 -beli ψ : Ω × RN → R f¨ uggv´eny, melyre
∂ψ (x, η) = f (x, η) ∂η
(∀x ∈ Ω, η ∈ Rn ).
Tekints¨ uk az al´ abbi J : H01 (Ω) → R funkcion´alt: Z J(u) := ψ(x, ∇u) (u ∈ H01 (Ω)).
(12.4)
Ω
Hasonl´ oan, mint ahogy F Gˆateaux-deriv´alhat´os´ag´at igazoltuk, bel´athat´o, hogy Z Z ∂ψ hJ 0 (u)viH01 = (x, ∇u) · ∇v = f (x, ∇u) · ∇v = hF (u), viH01 ∂η Ω
Ω
188
´ lopera ´ torok 12. Potencia
(∀u, v ∈ H01 (Ω)), azaz J 0 (u) = F (u), ami azt jelenti, hogy J potenci´alja F -nek.
12.2. Funkcion´ alok minimumhelye Ha A monoton, azaz Φ konvex, abb´ol m´eg nem k¨ovetkezik, hogy Φ-nek van minimumhelye. Egyszer˝ u p´elda az X = R esetben a Φ(x) = ex f¨ uggv´eny, amely szigor´ uan konvex, de nincs minimumhelye. Ennek t¨obbv´altoz´os megfelel˝ oje pl. a Φ : R2 → R, Φ(x, y) = ex + ey f¨ uggv´eny: ekkor Φ0 (x, y) = (ex , ey ) 0 ´es Φ szigor´ uan monoton, mert hΦ0 (x, y) − Φ0 (u, v), (x − u, y − v)i = (ex − eu ) (x − u) + (ey − ev ) (y − v) > 0, ha (x, y) 6= (u, v). Ebb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy Φ szigor´ uan konvex, ugyanakkor Φ-nek nincs minimumhelye. 12.5. T´ etel. Legyen X reflex´ıv Banach-t´er ´es tegy¨ uk fel, hogy Φ : X → R Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o, konvex ´es lim Φ(u) = ∞. Ekkor Φ-nek l´etezik minikuk→∞ muma. Bizony´ıt´ as. Legyen α = inf X Φ ≥ −∞. Ekkor van olyan (un ) ⊂ X sorozat, hogy Φ(un ) → α. Emiatt a (Φ(un )) sorozat fel¨ ulr˝ol korl´atos, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy (un ) ⊂ X korl´ atos sorozat. Ha ugyanis nem lenne korl´atos, akkor kun k nem lenne korl´ atos, azaz lenne egy v´egtelenhez tart´o r´eszsorozata; erre a r´eszsorozatra Φ(un ) → α teljes¨ ulne, ellentmondva a limkuk→∞ Φ(u) = ∞ felt´etelnek. A reflexivit´ as miatt a 3.17. t´etel alapj´an kiv´alaszthat´o gyeng´en konvergens r´eszsorozat, azaz l´etezik (unk ) ⊂ (un ) r´eszsorozat ´es u∗ ∈ X, hogy hψ, unk i → hψ, u∗ i minden ψ ∈ X ∗ eset´en. Speci´alisan hΦ0 (u∗ ), unk i → hΦ0 (u∗ ), u∗ i, amib˝ ol Φ konvexit´ as´ at felhaszn´alva kapjuk, hogy Φ(unk ) − Φ(u∗ ) ≥ hΦ0 (u∗ ), unk − u∗ i → 0, amib˝ ol k¨ ovetkezik, hogy Φ(u∗ ) ≤ α = inf Φ, vagyis Φ(u∗ ) = min Φ.
12.6. Megjegyz´ es. Ha a fenti t´etelben Φ szigor´ uan konvex is, akkor a minimumhely egy´ertelm˝ u.
13. fejezet
Nemline´ aris oper´ atoregyenletek megoldhat´ os´ aga Legyen X reflex´ıv Banach-t´er, A : X → X ∗ adott (nemline´aris) oper´ator. Ebben a fejezetben – a 7.1. szakasz nemline´aris megfelel˝ojek´ent – arra adunk felt´eteleket, hogy egy A(u) = b egyenletnek b´armely b ∈ X ∗ eset´en l´etezz´ek egyetlen u∗ ∈ X megold´ asa. Ez ugyanazt jelenti, mint hogy A bijekci´o Xr˝ ol X ∗ -ra; az egyenletekkel val´o megfogalmaz´asra f˝oleg az alkalmaz´asok sor´an lesz sz¨ uks´eg. Els˝ osorban azzal az esettel foglalkozunk, amikor X = H Hilbertt´er.
13.1. A vari´ aci´ os elv Ha az adott A oper´ ator potenci´aloper´ator, az A(u) = b egyenletek megoldhat´ os´ aga ´ atfogalmazhat´ o a potenci´allal, ´es ez gyakran hasznosnak bizonyul. Legyen teh´ at A : X → X ∗ potenci´aloper´ator, ´es J : X → R egy potenci´alja: J 0 (u) = A(u) (u ∈ X). Vezess¨ uk be a Φ : X → R,
Φ(u) := J(u) − hb, ui
(13.1)
funkcion´ alt. Ez potenci´ alja az u 7→ A(u) − b lek´epez´esnek (ld. 12.2.(ii) megjegyz´es), azaz Φ0 (u) = A(u) − b (u ∈ X). Ez azt jelenti, hogy Φ u ´n. kritikus pontjai (ahol deriv´altja 0) megegyeznek az A(u) = b egyenlet megold´ asaival. 189
190
´ ris opera ´ toregyenletek megoldhato ´ sa ´ ga 13. Nemlinea
Sok esetben a Φ funkcion´ al minimumhelyeire van sz¨ uks´eg, pl. amikor Φ energia jelleg˝ u mennyis´eget ´ır le. Ha u∗ minimumhelye Φ-nek, akkor Φ0 (u∗ ) = 0, ´ıgy u∗ megold´ asa az egyenletnek: A(u∗ ) = b. Monoton potenci´aloper´atorok eset´en a kett˝ o egybeesik: ´ ıt´ 13.1. All´ as. Legyen A : X → X ∗ monoton potenci´ aloper´ ator, J egy potenci´ alja ´es Φ a (13.1)-beli funkcion´ al. Az u∗ ∈ H vektor pontosan akkor megold´ asa az A(u) = b egyenletnek, ha minimumhelye Φ-nek. Bizony´ıt´ as. Legyen el˝ osz¨ or A(u∗ ) = b, azaz Φ0 (u∗ ) = 0. Itt A monotonit´ asa miatt, a 11.14. ´ all´ıt´ as ´es 11.16. megjegyz´es alapj´an J konvex, ´es mivel u 7→ hb, ui line´ aris, ´ıgy Φ is konvex. A 11.12. ´all´ıt´asb´ol ´ıgy Φ(u) − Φ(u∗ ) ≥ hΦ0 (u∗ ), u − u∗ i = 0 (u ∈ X), azaz u∗ minimumhely. A m´ asik ir´ anyt m´ ar az el˝ obb l´attuk. A (13.1) funkcion´ alt gyakran minimaliz´ al´ o funkcion´ alnak h´ıvj´ak. A k¨ovetkez˝o szakaszban a fenti elv alapj´ an adunk megoldhat´os´agi t´eteleket, vagyis az adott egyenlet megold´ asa helyett a megfelel˝o Φ funkcion´alt minimaliz´aljuk.
13.2. Monoton oper´ atoregyenletek potenci´ aloper´ atorral 13.2. T´ etel. Legyen H val´ os Hilbert-t´er, A : H → H adott oper´ ator. Tegy¨ uk fel, hogy (i) A Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o, A0 bihemifolytonos, (ii) minden u ∈ H eset´en A0 (u) ∈ B(H) ¨ onadjung´ alt, (iii) l´etezik m > 0, hogy 2
hA0 (u)h, hi ≥ m khk
(∀u, h ∈ H).
Ekkor b´ armely b ∈ H eset´en az A(u) = b egyenletnek egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H megold´ asa. Bizony´ıt´ as. A 12.3. ´ all´ıt´ as szerint az els˝o k´et felt´etel biztos´ıtja, hogy A potenci´ aloper´ ator. Legyen Φ : H → R, Φ(u) = J(u) − hb, ui, ahol J 0 = A. Ekkor Φ0 (u) = A(u) − b. Mivel Φ k´etszer Gˆateaux-deriv´alhat´o, a Taylorformula szerint minden u ∈ H eset´en Φ(u) = Φ(0) + hΦ0 (0), ui +
1 00 hΦ (θu)u, ui , 2
´ toregyenletek potencia ´ lopera ´ torral 13.2. Monoton opera
191
alkalmas θ ∈ [0, 1] mellett, amib˝ol a (iii) felt´etel ´es Φ00 = A0 miatt azt kapjuk, hogy m 2 Φ(u) ≥ Φ(0) − kΦ0 (0)k kuk + kuk = 2 m = Φ(0) + kuk − kΦ0 (0)k + kuk → ∞, ha kuk → ∞. 2 M´ asr´eszt a 11.15. megjegyz´esb˝ol k¨ovetkezik, hogy Φ szigor´ uan konvex. A 12.5. t´etel ´es 12.6. megjegyz´es szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ minimumhelye Φ-nek, ami a 13.1. ´ all´ıt´ as szerint pontosan akkor igaz, ha A(u∗ ) = b. A fenti t´etel felt´eteleiben a k¨oz¨os m als´o hat´ar l´etez´ese enyh´ıthet˝o: 13.3. T´ etel. Legyen H val´ os Hilbert-t´er, A : H → H adott oper´ ator. Teljes¨ ulj¨ on a 13.2.t´etel (i)-(ii) felt´etele, ´es tegy¨ uk fel, hogy (iii)’ l´etezik olyan m : R+ → R+ monoton cs¨ okken˝ o f¨ uggv´eny, melyre lim m(r)r = +∞,
r→∞
´es
2
hA0 (u)h, hi ≥ m(kuk) khk
(∀u, h ∈ H).
Ekkor b´ armely b ∈ H eset´en az A(u) = b egyenletnek egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H megold´ asa. Bizony´ıt´ as. A fenti bizony´ıt´asban csak Φ als´o becsl´es´et kell m´odos´ıtani: 1 2 Φ(u) ≥ Φ(0) − kΦ0 (0)k kuk + m(kuk) kuk = 2 1 0 = Φ(0) + kuk − kΦ (0)k + m(kuk) kuk → ∞, 2 ha kuk → ∞.
Mindk´et fenti t´etel a 12.5. t´etelre ´es 12.6. megjegyz´esre alapul; ellen˝orizhet˝o el´egs´eges felt´eteleket adnak az A oper´atorra n´ezve ezek alkalmazhat´os´ag´ara. A potenci´ alt is a feltev´esekbe ´ep´ıtve egyszer˝ ubb t´etel mondhat´o ki: 13.4. T´ etel. Legyen X reflex´ıv Banach-t´er, A : X → X ∗ szigor´ uan monoton potenci´ aloper´ ator, J egy potenci´ alja. Ha lim J(u) = ∞, akkor b´ armely kuk kuk→∞
b ∈ X ∗ eset´en az A(u) = b egyenletnek egy´ertelm˝ uen l´etezik megold´ asa. Bizony´ıt´ as. A 13.1. ´ all´ıt´ as alapj´an azt kell igazolnunk, hogy a Φ(u) := J(u)− hb, ui funkcion´ alnak egy´ertelm˝ uen l´etezik minimumhelye. Mivel A szigor´ uan monoton, a 11.15. megjegyz´es szerint J ´es ´ıgy Φ is szigor´ uan konvex. Emellett J(u) Φ(u) ≥ J(u) − kbkkuk = − kbk kuk → ∞, ha kuk → ∞, kuk ´ıgy ´erv´enyes a 12.5. t´etel.
192
´ ris opera ´ toregyenletek megoldhato ´ sa ´ ga 13. Nemlinea
13.3. Oper´ atoregyenletek nem potenci´ alos oper´ atorral 13.3.1. Monoton oper´ atoregyenletek nem potenci´ alos oper´ atorral Most kiterjesztj¨ uk az el˝ oz˝ o szakasz eredm´enyeit arra az esetre, ha A nem potenci´ aloper´ ator. Ekkor a megoldhat´os´ag a Banach-f´ele fixpontt´etelre vezethet˝ o vissza. Itt az egyenletes monotonit´ast deriv´alt n´elk¨ ul fogalmazhatjuk meg, viszont megfelel˝ o fels˝ o becsl´es (Lipschitz-folytonoss´ag) is kell. 13.5. T´ etel. Legyen H val´ os Hilbert-t´er, A : H → H adott oper´ ator. Tegy¨ uk fel, hogy (i) A egyenletesen monoton: l´etezik m > 0, hogy hA(u) − A(v), u − vi ≥ m ku − vk
2
(∀u, v ∈ H);
(ii) A Lipschitz-folytonos: l´etezik M > 0, hogy kA(u) − A(v)k ≤ M ku − vk
(∀u, v ∈ H).
Ekkor b´ armely b ∈ H eset´en az A(u) = b egyenletnek egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H megold´ asa. Bizony´ıt´ as. Ha α > 0 ´ alland´o, akkor az A(u) = b egyenlet ekvivalens az u = u − α(A(u) − b) =: G(u) egyenlettel. ´Igy azt kell bel´atnunk, hogy megfelel˝o α eset´en G-nek egy´ertelm˝ uen l´etezik fixpontja. Ehhez a Banach-f´ele fixpontt´etel szerint el´eg, ha G kontrakci´ o. Itt kG(u) − G(v)k2 = ku − v − α(A(u) − A(v))k2 = ku − vk2 − 2αhA(u) − A(v), u − vi + α2 kA(u) − A(v)k2 ≤ ≤ (1 − 2αm + α2 M 2 ) ku − vk2 . Az α 7→ 1 − 2αm + α2 M 2 f¨ uggv´eny 0-ban 1-et vesz fel ´es deriv´altja −2m, ´ıgy el´eg kis α > 0 eset´en ´ert´eke 1-n´el kisebb, azaz ilyen α-ra a megfelel˝o G kontrakci´ o. 13.6. Megjegyz´ es. A bizony´ıt´asban szerepl˝o G lek´epez´esre az optim´alis kontrakci´ os konstans a ϕ(α) := 1−2αm+α2 M 2 m´asodfok´ u f¨ uggv´ep ny minimum m´ anak n´egyzetgy¨ oke, ami az αopt := M ϕ(αopt ) = 2 mellett kapott qopt := q m2 1 − M 2 ´ert´ek. √ N´eha hasznos ennek egyszer˝ ubb becsl´ese: a 1 − t ≤ 1 − 2t (t ≤ 1) egyenl˝otm2 m lens´eg alapj´ an qopt ≤ 1 − 2M 2 = 1 − 2 αopt .
´ toregyenletek nem potencia ´ los opera ´ torral 13.3. Opera
193
13.7. Megjegyz´ es. Ha a fenti t´etelben A Gˆateaux-deriv´alhat´o is, akkor (a 11.15. megjegyz´es (2) pontj´ahoz hasonl´oan) az (i) felt´etelbeli egyenletes 2 monotonit´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy hA0 (u)h, hi ≥ m khk (∀u, h ∈ H), ami a 13.2.t´etel (iii) felt´etele. Ekkor azonban az ut´obbi nem jelenti azt, hogy A ¨onadjung´ alt is, mivel val´ os t´erben vagyunk. (Komplex t´erben a fenti t´etel (i) felt´etel´eben el´eg lenne a bal oldali kifejez´es val´os r´esz´et venni.) A t´etelbeli egyenletes Lipschitz-felt´etel enyh´ıthet˝o: 13.8. T´ etel. A 13.5. t´etelben a (ii) felt´etel helyett tegy¨ uk fel, hogy (ii)’ A lok´ alisan Lipschitz-folytonos: l´etezik olyan M : R+ → R+ monoton n¨ ov˝ o f¨ uggv´eny, melyre kA(u) − A(v)k ≤ M (r) ku − vk
(∀u, v ∈ H, kuk ≤ r, kvk ≤ r).
Ekkor b´ armely b ∈ H eset´en az A(u) = b egyenletnek egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H megold´ asa. Bizony´ıt´ as. A 13.5. t´etel bizony´ıt´as´at u ´gy m´odos´ıtjuk, hogy megmutatjuk: van olyan R > 0, hogy ha BR jel¨oli az orig´o k¨ozep˝ u R sugar´ u z´art g¨omb¨ot ´es m ´ e rt´ e khez tartoz´ o G(u) := u−α M := M (R), akkor az αopt := M 2 opt (A(u)−b) lek´epez´es kontrakci´ o BR -b˝ ol BR -be. Ekkor is igaz, hogy G-nek egy´ertelm˝ uen l´etezik fixpontja. Legyen el˝ osz¨ or R > 0 tetsz˝ oleges. A megfelel˝o G lek´epez´es kontrakci´o volta ugyan´ uq gy j¨ on ki, mint az el˝ obb, ekkor kG(u) − G(v)k ≤ qopt ku − vk, ahol qopt =
1−
m2 M (R)2
f¨ ugg R-t˝ ol. Bel´atjuk, hogy ha R el´eg nagy, akkor G BR -
b˝ ol BR -be k´epez. Legyen kuk ≤ R. Ekkor kG(u)k ≤ kG(0)k + kG(u) − G(0)k ≤ kG(0)k + qopt kuk. Itt kG(0)k = αopt kA(0) − bk, valamint kuk ≤ R ´es a 13.6. megjegyz´esb˝ol qopt ≤ 1 − m ıgy 2 αopt , ´ kG(u)k ≤ αopt kA(0) − bk + (1 −
m mR αopt )R = R − αopt ( − kA(0) − bk) ≤ R, 2 2
ha a m´ asodik z´ ar´ ojelben ´ all´ o kifejez´es nemnegat´ıv, ami fenn´all el´eg nagy R eset´en.
13.3.2. Nem monoton oper´ atoregyenletek Ebben a r¨ ovid fejezetben csak kimondunk egy ´altal´anosabb t´etelt, amely jelzi, hogy monotonit´ as n´elk¨ ul is el´erhet˝o a megoldhat´os´ag.
´ ris opera ´ toregyenletek megoldhato ´ sa ´ ga 13. Nemlinea
194
13.9. T´ etel. [55] Legyenek X, Y Banach-terek, A : X → Y Fr´echet-deriv´ alhat´ o, melyre b´ armely u, h ∈ X eset´en A0 (u) : X → Y bijekci´ o ´es kA0 (u)hk ≥ mkhk,
(13.2)
ahol m > 0 f¨ uggetlen u, h-t´ ol. Ekkor b´ armely b ∈ X eset´en az A(u) = b egyenletnek egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ X megold´ asa. 13.10. Megjegyz´ es. A (13.2) egyenl˝otlens´egnek (i) k¨ ovetkezm´enye az al´ abbi hasznos becsl´es: kA0 (u)−1 k ≤
1 m
(u ∈ X);
(ii) el´egs´eges felt´etele X = Y = H Hilbert-t´er eset´en a kor´abbiakban szerepl˝o becsl´es: 2 hA0 (u)h, hi ≥ m khk (∀u, h ∈ H).
13.4. Alkalmaz´ asok nemline´ aris elliptikus perem´ ert´ ekfeladatokra 13.4.1. F˝ or´ esz´ eben nemline´ aris egyenletek Legyen Ω ⊂ Rn korl´ atos tartom´any, ´es tekints¨ uk a ( − div f (x, ∇u) = g, (13.3)
u|∂Ω = 0 perem´ert´ekfeladatot az al´ abbi tulajdons´agokkal: 13.4.1. felt´ etelek. (i) f ∈ C 1 (Ω × Rn , Rn ); (ii) a
∂f (x,η) ∂η
deriv´ altm´ atrixok szimmetrikusak (ha x ∈ Ω, η ∈ Rn );
(iii) l´eteznek olyan M ≥ m > 0 ´alland´ok, hogy m|ξ|2 ≤
∂f (x, η) ξ · ξ ≤ M |ξ|2 ∂η
(x ∈ Ω, η, ξ ∈ Rn ).
(13.4)
A 11.1. fejezet alapj´ an ´ atfogalmazzuk a feladatot. El˝osz¨or ´ertelmezz¨ uk a fenti feladat gyenge alakj´ at: egy u ∈ H01 (Ω) f¨ uggv´eny gyenge megold´as, ha Z Z f (x, ∇u) · ∇v = gv (∀ v ∈ H01 (Ω)). (13.5) Ω
Ω
´ sok nemlinea ´ ris elliptikus feladatokra 13.4. Alkalmaza
195
A (iii) felt´etel azt jelenti, hogy a deriv´altm´atrixok saj´at´ert´ekei k¨oz¨os pozit´ıv konstansok k¨ oz´e esnek, ´ıgy teljes¨ ul (11.5) is. L´attuk, hogy ekkor ´ertelmes az F : H01 (Ω) → H01 (Ω) oper´ ator, melyre Z hF (u), viH01 = f (x, ∇u) · ∇v (u, v ∈ H01 (Ω)) (13.6) Ω
H01 (Ω)
(ahol val´ os Hilbert-t´er a (11.4) skal´arszorzattal), ´es hogy ´ıgy a (13.3) feladat ekvivalens az F (u) = b (13.7) R 1 1 oper´ atoregyenlettel H0 (Ω)-ban, ahol hb, viH 1 = Ω gv (∀ v ∈ H0 (Ω)). 0
A (13.3) feladat gyenge megold´as´at a (13.7) oper´atoregyenletre alkalmazott 13.2. t´etelb˝ ol nyerj¨ uk. 13.11. T´ etel. Ha teljes¨ ulnek a 13.4.1. felt´etelek, akkor b´ armely g ∈ L2 (Ω) eset´en a (13.3) perem´ert´ekfeladatnak egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H01 (Ω) gyenge megold´ asa. Bizony´ıt´ as. Igazolnunk kell, hogy fenn´allnak a 13.2.t´etel felt´etelei. A 11.2.1 szakaszban adott p´elda ´es a 11.10. megjegyz´es alapj´an F Gˆateaux-deriv´alhat´o ´es F 0 bihemifolytonos. A deriv´altra Z ∂f 0 (x, ∇u)∇h · ∇v (u, h, v ∈ H01 (Ω)) (13.8) hF (u)h, viH01 = Ω ∂η teljes¨ ul (11.9) szerint. Ebb˝ ol, mint a 12.1. szakasz v´eg´en is l´attuk, r¨ogt¨on k¨ ovetkezik, hogy F 0 ¨ onadjung´alt. V´eg¨ ul a (iii) felt´etelb˝ol Z Z ∂f 2 0 (x, ∇u)∇h · ∇h ≥ m |∇h|2 = m khkH 1 hF (u)h, hiH01 = 0 ∂η Ω Ω (∀u, h ∈ H01 (Ω)). P´ elda. Tekints¨ uk a (11.1) feladatot: ( 2 − div a(|∇u| ) ∇u = g,
(13.9)
u|∂Ω = 0, ahol a : R+ → R+ adott C 1 -beli f¨ uggv´eny, ´es tegy¨ uk fel, hogy l´eteznek olyan M ≥ m > 0 konstansok, hogy 0 0 < m ≤ a(r2 ) ≤ a(r2 )r ≤ M (∀r ≥ 0). (13.10) Ez a feladat olyan alak´ u, mint (13.3), ha 2 (x ∈ Ω, η ∈ Rn ), f (x, η) = a |η| η s˝ ot, itt f f¨ uggetlen x-t˝ ol. Megmutatjuk, hogy teljes¨ ulnek a 13.4.1. felt´etelek.
196
´ ris opera ´ toregyenletek megoldhato ´ sa ´ ga 13. Nemlinea
(i) Itt f : Ω × Rn → Rn , ´es az a ∈ C 1 (R+ ) felt´etel miatt f ∈ C 1 (Ω × Rn , Rn ). (ii) Kisz´ am´ıtjuk a
∂f (x,η) ∂η
deriv´altm´atrixokat. Itt fi (x, η) = a
n P j=1
n n P P ∂fi (x, η) =a ηj2 δik + 2a0 ηj2 ηi ηk , ∂ηk j=1 j=1
ηj2 ηi , ´ıgy
azaz
∂f (x, η) 2 2 = a |η| I + 2a0 |η| (ηη T ), ∂η ahol I ∈ Rn×n az identit´asm´atrix ´es az ηη T ∈ Rn×n m´atrix az η ´es η T (x,η) szimmetrikus. diadikus szorzata. Ebb˝ ol l´athat´o, hogy ∂f ∂η (iii) A deriv´ altm´ atrixok kvadratikus alakja ∂f (x, η) ξ · ξ = a(|η|2 )|ξ|2 + 2 a0 (|η|2 ) (η · ξ)2 ∂η
(ξ, η ∈ Rn ). (13.11)
A (13.10) felt´etel r´eszletesebben azt jelenti, hogy b´armely r ≥ 0 eset´en m ≤ a(r2 ),
0 ≤ a0 (r2 ),
a(r2 ) + 2a0 (r2 )r2 ≤ M.
´Igy a (13.11) k´epletb˝ ol ´es a Cauchy–Schwarz-egyenl˝os´egb˝ol ∂f (x, η) m|ξ|2 ≤ a(|η|2 )|ξ|2 ≤ ξ·ξ ≤ ∂η a(|η|2 ) + 2 a0 (|η|2 ) |η|2 |ξ|2 ≤ M |ξ|2 .
(13.12)
´Igy teh´ at ´erv´enyes a (13.9) feladatra a 13.11 megoldhat´os´agi t´etel. A fenti p´elda ´ altal´ anos´ıthat´ ou ´gy, hogy f f¨ ugghet x-t˝ol is: 2 f (x, η) = a x, |η| η,
ahol
0 < m ≤ a(x, r2 ) ≤
∂ a(x, r2 )r ≤ M ∂r
(∀x ∈ Ω, η ∈ Rn , r ≥ 0). Az im´entihez hasonl´o sz´amol´assal igazolhat´ok a 13.11. t´etel felt´etelei. Nevezetes p´elda (13.9) alak´ u feladatra a stacion´arius Maxwell-egyenletekb˝ol sz´ armaztathat´ o m´ agneses potenci´al egyenlete, amikor az elektromos ´es m´agneses t´er k¨ ozt nemline´ aris ¨ osszef¨ ug´es ´all fenn. Ekkor az r 7→ a(r) nemlinearik +% t´ as teljes´ıti a (13.10) felt´eteleket, pl. a(r) = rrk +τ , ahol %, τ > 0 ´es k ∈ N+ alland´ ´ ok [40]. Egy m´ asik fontos p´elda (13.9) alak´ u feladatra a k´epl´ekeny torzi´o egyenlete, ahol a fesz¨ ults´eg ´es ny´ır´ as er˝ oss´ege k¨oz¨ott (13.10) t´ıpus´ u nemline´aris ¨osszef¨ ug´es ´ all fenn [31].
´ sok nemlinea ´ ris elliptikus feladatokra 13.4. Alkalmaza
197
13.12. Megjegyz´ es. A 12.1. szakasz v´eg´en l´attuk, hogy a (11.8) oper´ator J : H01 (Ω) → R potenci´ alja megadhat´o Z ∂ψ J(u) := ψ(x, ∇u) alakban, ahol (x, η) = f (x, η) ∂η Ω
(∀x ∈ Ω, η ∈ Rn ). Ebb˝ ol (13.1) alapj´an a minimaliz´al´o funkcion´al Φ(u) := J(u) − hb, ui, azaz Z (ψ(x, ∇u) − gu) (u ∈ H01 (Ω)). (13.13) Φ(u) = Ω
A (13.3) feladat gyenge megold´asa teh´at ezt a Φ funkcion´alt minimaliz´alja. Megeml´ıtj¨ uk, hogy itt 00
0
hΦ (u)h, hiH01 = hF (u)h, hiH01 =
Z Ω
∂f 2 (x, ∇u)∇h · ∇h ≥ m khkH 1 0 ∂η
(∀u, h ∈ H01 (Ω)), azaz Φ egyenletesen konvex. Ez a tulajdons´ag volt az alapja a megoldhat´ os´ aghoz felhaszn´alt 13.2. t´etelnek is. A (13.9)-beli speci´ alis esethez tartoz´o Φ funkcion´al alakja Z 1 A(|∇u|2 ) − gu , Φ(u) = Ω 2 ahol A0 (r) = a(r) (r ≥ 0). Ekkor ugyanis a ψ(x, η) := 2 ∂ψ n ∂η (x, η) = a |η| η (η ∈ R ).
1 2
A(|η|2 ) f¨ uggv´enyre
A fenti p´elda a line´ aris esetet is tartalmazza speci´alis esetk´ent, amikor az egyenlet −∆u = g, ekkor a minimaliz´al´o funkcion´al Z 1 Φ(u) = |∇u|2 − gu . Ω 2 Ez az u ´n. Dirichlet-integr´ al, amire a 14.1. szakaszban is visszat´er¨ unk.
13.4.2. Szemiline´ aris feladatok Legyen Ω ⊂ R2 korl´ atos s´ıkbeli tartom´any, ´es tekints¨ uk az al´abbi feladatot: − div (a ∇u) + b · ∇u + q(x, u) = g, (13.14) u|∂Ω = 0.
´ ris opera ´ toregyenletek megoldhato ´ sa ´ ga 13. Nemlinea
198
13.4.2. felt´ etelek. (i) a ∈ L∞ (Ω), a(x) ≥ m > 0 (m. m. x ∈ Ω); (ii) b ∈ C 1 (Ω, R2 ), div b = 0 (azaz b divergenciamentes vektormez˝o); (iii) q ∈ C 1 (Ω × R), ´es l´eteznek olyan p ≥ 2, α, β ≥ 0 ´alland´ok, hogy 0≤
∂q(x, ξ) ≤ α + β|ξ|p−2 ∂ξ
(∀x ∈ Ω, ξ ∈ R).
(13.15)
A (13.14) modellekben ´ altal´ aban az oper´ator h´arom tagja rendre a diff´ uzi´ot, konvekci´ ot ´es k´emiai reakci´ ot ´ırja le, melyekb˝ol, mint itt is, legt¨obbsz¨or az els˝ o kett˝ o line´ aris. (Tov´ abbi r´eszleteket ld. majd a 13.14. megjegyz´esben.) A (13.14) feladat gyenge megold´asa olyan u ∈ H01 (Ω) f¨ uggv´eny, melyre Z Z a ∇u · ∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v = gv ∀ v ∈ H01 (Ω). (13.16) Ω
Ω
13.13. T´ etel. Ha teljes¨ ulnek a 13.4.2. felt´etelek, akkor b´ armely g ∈ L2 (Ω) eset´en a (13.14) perem´ert´ekfeladatnak egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H01 (Ω) gyenge megold´ asa. Bizony´ıt´ as. El˝ osz¨ or igazoljuk, hogy ´ertelmes az az F : H01 (Ω) → H01 (Ω) oper´ ator, melyre Z hF (u), viH01 = a ∇u · ∇v + (b · ∇u)v + q(x, u)v (u, v ∈ H01 (Ω)). Ω
(13.17) K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy a (13.15) felt´etelb˝ol |q(x, ξ)| ≤ α1 + β1 |ξ|p−1 , ahol α1 , β1 ≥ 0 alkalmas ´ alland´ ok. Ebb˝ol, a H¨older-egyenl˝otlens´eg alapj´an Z Z
α1 |v| + β1 |u|p−1 |v| ≤ α1 kvkL1 + β1 |u|p−1 q kvkLp , q(x, u)v ≤ Ω
ahol
L
Ω
1 p
+
1 q
= 1. Ekkor p − 1 = pq , ´ıgy
p−1
|u|
Lq
p
= |u| q
Lq
=
Z
|u|p
q1
=
Ω
Z Ω
|u|p
p−1 p
p−1 = kukL p .
Emellett az Ω ⊂ R2 tartom´anyon a Szoboljev-f´ele be´agyaz´asi t´etel r´ev´en [1, 67] b´ armely p ≥ 2 eset´en van olyan Kp > 0 ´alland´o, hogy H01 (Ω) ⊂ Lp (Ω),
kukLp ≤ Kp kukH01
(∀u ∈ H01 (Ω)).
(13.18)
´ sok nemlinea ´ ris elliptikus feladatokra 13.4. Alkalmaza
199
´Igy Z p−1 q(x, u)v ≤ α1 K1 + β1 Kpp kukH 1 kvkH01 . 0
Ω
A t¨ obbi tag k¨ onnyebben becs¨ ulhet˝o: a (10.15) becsl´esb˝ol Z a ∇u · ∇v + (b · ∇u)v ≤ kakL∞ + K2 kbkL∞ kukH01 kvkH01 . (13.19) Ω
Legyen u ∈ H01 (Ω) r¨ ogz´ıtett, ekkor a (13.17)-beli integr´al v-ben line´aris, ´es fel¨ ulr˝ ol becs¨ ulhet˝ o az al´ abbival: kakL∞ kukH01 + K2 kbkL∞ kukH01 + α1 K1 + β1 Kpp kukp−1 kvkH01 , 1 H 0
´ıgy korl´ atos line´ aris funkcion´alja v-nek. A Riesz-t´etel teh´at megadja azt az F (u) ∈ H01 (Ω) elemet, melyre (13.17) teljes¨ ul. Megmutatjuk, hogy F teljes´ıti a 13.5. t´etel felt´eteleit. El˝osz¨or bel´atjuk, hogy F egyenletesen monoton. Ehhez felbontjuk line´aris ´es nemline´aris r´eszre F = B + N alakban, ahol Z Z hBu, viH01 = a ∇u · ∇v + (b · ∇u)v , hN (u), viH01 = q(x, u)v. Ω
Ω
Itt (10.16) alapj´ an Z 2 hBh, hiH01 = a |∇h|2 + (b · ∇h)h ≥ m khkH 1
(∀h ∈ H01 (Ω)),
0
Ω
´ıgy a B oper´ ator koerc´ıv, ami line´aris esetben (h = u−v helyettes´ıt´essel) azt is jelenti, hogy egyenletesen monoton. Emellett a (13.15) felt´etelb˝ol ξ 7→ q(x, ξ) monoton n¨ ov˝ o, ´ıgy N is monoton oper´ator: Z (∀u, v ∈ H01 (Ω)). hN (u)−N (v), u−viH01 = (q(x, u)−q(x, v))(u−v) ≥ 0 Ω
¨ Osszegezve, F egyenletesen monoton. Ezut´ an bel´ atjuk, hogy F lok´alisan Lipschitz-folytonos, ehhez is a fenti felbont´ ast haszn´ aljuk. A line´ aris B r´esz Lipschitz-folytonos, mert korl´atos, ami (13.19)-b´ ol k¨ ovetkezik. Az N r´eszhez ism´et a (13.15) felt´etelb˝ol ´es a Lagrangeegyenl˝ otlens´egb˝ ol ˜ ≤ max |∂ξ q(x, ζ)| |ξ − ξ| ˜ ≤ α + β max{|ξ|, |ξ|} ˜ p−2 |ξ − ξ|, ˜ |q(x, ξ) − q(x, ξ)| ˜ ζ∈[ξ,ξ]
ebb˝ ol az F l´etez´es´en´el haszn´ alt sz´amol´ashoz hasonl´oan kapjuk, hogy Z kN (u)−N (v)k = sup hN (u)−N (v), ziH01 = sup (q(x, u)−q(x, v)) z kzkH 1 =1 0
kzkH 1 =1 0
Ω
´ ris opera ´ toregyenletek megoldhato ´ sa ´ ga 13. Nemlinea
200
Z ≤
sup kzkH 1 =1 0
≤
sup
kzkH 1 =1
α + β max{|u|, |v|}p−2 |u − v| |z|
Ω
αK22 + βKpp max{kukH01 , kvkH01 }p−2 ku − vkH01 kzkH01
0
≤ M (r)ku − vkH01
(kukH01 ≤ r, kvkH01 ≤ r),
ahol M (r) := αK22 + βKpp rp−2 (r ≥ 0). ´Igy N , ´es v´eg¨ ul F is lok´alisan Lipschitz-folytonos. Innen ugyan´ ugy kapjuk az eredm´enyt, mint a 13.4.1. szakaszban, mivel a (13.16) feladat jobboldala most is hb, viH 1 alakban ´ırhat´o, maga (13.16) pedig 0 F (u) = b alakban. Itt F teljes´ıti a 13.5. t´etel felt´eteleit, ´ıgy a feladatnak egy´ertelm˝ uen l´etezik gyenge megold´asa. 13.14. Megjegyz´ es. (i) A megoldhat´os´agi t´etel 3 vagy t¨obb dimenzi´oban is ´erv´enyes, ha q-ra szigor´ ubb n¨oveked´esi felt´etelt ´ırunk el˝o: a felhaszn´alt 2n felt´etel Szoboljev-f´ele be´ agyaz´ asi t´etel n ≥ 3 dimenzi´oban a 2 ≤ p ≤ n−2 eset´en ´erv´enyes. (ii) A (13.14) feladatban az u f¨ uggv´eny a vizsg´alt anyag koncentr´aci´oj´at adja meg. A (iii) felt´etel azt fejezi ki, hogy a reakci´o autokatalitikus, azaz nagyobb koncentr´ aci´ o gyorsabb reakci´ ot induk´al. A kapott megoldhat´os´agi t´etel azt az esetet is lefedi, amikor b = 0 (reakci´o-diff´ uzi´o-egyenlet monoton nemlinearit´ assal), ilyen egyenlet ´ırja le pl. sug´arz´o test leh˝ ul´es´et, ill. egyes enzimek ´altal kataliz´ alt reakci´ o-diff´ uzi´ o stacion´arius ´allapot´at, l´asd pl. [23, Chap. 1]. (iii) A kapott megoldhat´ os´ agi t´etel igaz a (13.14) egyenletn´el ´altal´anosabb, hasonl´ o feladatokra is. A reakci´o-konvekci´o-diff´ uzi´os modellekben ´altal´aban t¨ obb komponens szerepel, ´ıgy PDE-rendszer ´ırja le a keresett koncentr´aci´okat, emellett a div b felt´etel enyh´ıthet˝o. E rendszerek (13.14)-hez hasonl´o alak´ uak: − div(ai ∇ui ) + bi · ∇ui + qi (x, u1 , . . . , ul ) = gi
) (i = 1, . . . , l).
ui |∂Ω = 0 (13.20) A felt´etelek ´ertelemszer˝ uen ´ atvihet˝ok. A ∂q(x,ξ) deriv´ a ltak most Jacobi-m´ at∂ξ rixok, ´ıgy a fels˝ o becsl´est norm´ajukra tessz¨ uk:
∂q(x, ξ) p−2
(∀(x, ξ) ∈ Ω × Rl ).
∂ξ ≤ c3 + c4 |ξ| A ∂q(x,ξ) deriv´ alt nemnegativit´asa helyett pozit´ıv szemidefinits´eget tehet¨ unk ∂ξ fel, ill. koordin´ at´ ank´ent ´ırhatjuk el˝o a div bi = 0 felt´etelt. E kett˝o helyett
´ sok nemlinea ´ ris elliptikus feladatokra 13.4. Alkalmaza
201
azonban a k¨ oz¨ os, ´ altal´ anosabb ∂q(x, ξ) 1 η·η− max div bi (x) |η|2 ≥ 0 i ∂ξ 2 (∀(x, ξ) ∈ Ω × Rl , η ∈ Rl ) felt´etel is el´eg, l´asd pl. [2]. Ezek alapj´an a 13.13. t´etelhez hasonl´ oan igazolhat´ o a megoldhat´os´ag, l´asd pl. [23, Chap. 6].
IV. r´ esz
Ko o m´ odszerek ¨zel´ıt˝ norm´ alt terekben
203
14. fejezet
Ko o m´ odszerek ´ es a ¨zel´ıt˝ vari´ aci´ os elv K¨ onyv¨ unk IV. r´esz´enek t´ argya az eddig vizsg´alt oper´atoregyenletekre vonatkoz´ o k¨ ozel´ıt˝ o m´ odszerek konstrukci´oja ´es konvergenciaanal´ızise. A m´odszerek legt¨ obbj´et Hilbert-t´erben ´ertelmezz¨ uk, amely ´altal´aban val´os lesz. A 13.1. fejezetben l´ attuk, hogy oper´atoregyenletek egy fontos oszt´alya eset´en az egyenlet megoldhat´ os´ aga ´ atfogalmazhat´o megfelel˝o Φ minimaliz´al´o funkcion´ allal, ´espedig az egyenlet megold´asa ekvivalens azzal, hogy a Φ funkcion´alt minimaliz´ aljuk. Ez az u ´n. vari´aci´os elv az adott oper´atoregyenletek k¨ozel´ıt˝o megold´ as´ ara is gyakran j´ ol haszn´alhat´o. Most konkr´etabban megvizsg´aljuk n´eh´ any esetre a minimaliz´ al´ o funkcion´alt.
14.1. Line´ aris egyenletek ´ es kvadratikus funkcion´ al Legyen el˝ osz¨ or H komplex Hilbert-t´er, A : H ⊃→ H szigor´ uan pozit´ıv oper´ ator, f ∈ H adott vektor. 14.1. Defin´ıci´ o. Az Au = f egyenlethez tartoz´o kvadratikus funkcion´ al az al´ abbi Φ : H → R funkcion´ al: Φ(u) := hAu, ui − 2Re hf, ui .
(14.1)
´ ıt´ 14.2. All´ as. Ha l´etezik u∗ ∈ D(A), amelyre Au∗ = f , akkor Φ-nek pontosan egy minimumhelye van, ´es ez ´eppen u∗ . 205
˝ mo ´ dszerek e ´s a varia ´ cio ´ s elv 14. K¨ ozel´ıto
206
Bizony´ıt´ as. Tetsz˝ oleges u ∈ D(A), u 6= u∗ eset´en Φ(u) = hAu, ui − hf, ui − hu, f i = hAu, ui − hAu∗ , ui − hu, Au∗ i = hA(u − u∗ ), u − u∗ i − hAu∗ , u∗ i = hA(u − u∗ ), u − u∗ i + Φ(u∗ ) > Φ(u∗ ).
A kvadratikus funkcion´ al teh´at minimaliz´al´o annyiban, hogy az Au = f egyenlet megold´ asa ekvivalens Φ minimaliz´al´as´aval. Tudnunk kell viszont azt, hogy az egyenletnek l´etezik-e egy´altal´an megold´asa, ehhez n´emileg er˝osebb felt´etelek kellenek. 1. Ha A egyenletesen pozit´ıv ´es korl´atos is, akkor a 7.1. megoldhat´os´agi t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ megold´as. 2. Ha A egyenletesen pozit´ıv, de nem korl´atos, akkor a 8.29. t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ HA gyenge megold´as. Ekkor a vari´aci´os elvet u ´gy tudjuk haszn´ alni, ha ´att´er¨ unk az energiat´erre, azaz Φ-t kiterjesztj¨ uk e : HA → R, D(A)-r´ ol HA -ra. Legyen Φ 2 e Φ(u) := kukA − 2Re hf, ui .
e Ekkor a 14.2. ´ all´ıt´ as bizony´ıt´as´at megism´etelve kapjuk, hogy Φ-nak egy´ertelm˝ uen l´etezik minimumhelye, ´es ez a gyenge megold´as, hiszen u ∈ HA , u 6= u∗ eset´en 2 2 2 e e ∗ ) > Φ(u e ∗ ). Φ(u) = ku − u∗ kA − ku∗ kA = ku − u∗ kA + Φ(u
(14.2)
Legyen most H val´ os Hilbert-t´er, A : H ⊃→ H szimmetrikus, szigor´ uan pozit´ıv oper´ ator, f ∈ H adott vektor. Az Au = f egyenlethez tartoz´o eredeti, ill. kiterjesztett kvadratikus funkcion´al ekkor 2 e Φ(u) := kukA − 2 hf, ui .
Φ(u) := hAu, ui − 2 hf, ui ,
Ezekre is ´ertelemszer˝ uen igazak a fenti minimumeredm´enyek. P´ elda kvadratikus funkcion´ alra. Legyen H := L2 (Ω) mint komplex Hilbert-t´er, A := −∆, D(A) := H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω), f ∈ L2 (Ω) adott. Mint a 8.2. szakasz p´eld´ aj´ aban l´ attuk, ekkor HA = H01 (Ω). A megfelel˝o funkcion´alok Z Z Φ(u) = − (∆u) u − 2Re fu (u ∈ D(A)) Ω
Ω
´es Z
2
Z
|∇u| − 2Re
e Φ(u) = Ω
fu Ω
u ∈ H01 (Ω) .
´ ris egyenletek e ´s kvadratikus funkciona ´l 14.1. Linea
Az el˝ oz˝ oek szerint a
−∆u = f u|∂Ω = 0
207
e funkcion´alt a H 1 (Ω) t´eren. Gyakfeladat gyenge megold´ asa minimaliz´alja a Φ 0 ran 12 -es szorz´ oval ´ırjuk fel a funkcion´alt: Z 1 1 2 (14.3) E(u) := Φ(u) = |∇u| − Re (f u) , 2 2 Ω ami fizikai modellekben a megfelel˝o energi´at jelenti. (Emiatt, az ´altal´anos Hilbert-t´erbeli esetben is, szokt´ak a kvadratikus funkcion´alt energiafunkcion´ alnak is h´ıvni.) 14.3. Megjegyz´ es. A (14.1) funkcion´al eset´en megengedhet˝o, hogy A csak (nem felt´etlen¨ ul szigor´ uan) pozit´ıv oper´ator, de ekkor term´eszetesen csak a Φ(u) ≥ Φ(u∗ ) egyenl˝ otlens´eg garant´alhat´o u 6= u∗ eset´en is. A fenti kvadratikusokkal rokon a (7.5) feladathoz tartoz´o Ψ : H × K → R, Ψ(u, p) = hAu, ui + 2hBp, ui − hCp, pi − 2hf, ui − 2hg, pi
(14.4)
funkcion´ al, ahol A ≥ mI (m > 0) ´es C ≥ 0. (Ez is kvadratikus bizonyos ´ertelemben, hiszen u-nak kvadratikus ´es line´aris kifejez´eseib˝ol ´all.) Megmutatjuk, hogy a (7.5) feladat (u∗ , p∗ ) megold´asa Ψ nyeregpontja. ´ ıt´ 14.4. All´ as. Legyen (u∗ , p∗ ) ∈ H × K a (7.5) feladat megold´ asa. Ekkor b´ armely (u, p) ∈ H × K eset´en Ψ(u∗ , p) ≤ Ψ(u∗ , p∗ ) ≤ Ψ(u, p∗ ). (S˝ ot, ha u 6= u∗ , akkor a m´ asodik egyenl˝ otlens´eg szigor´ u, ill. ha m´eg C is szigor´ uan pozit´ıv, akkor az els˝ o egyenl˝ otlens´eg is.) Bizony´ıt´ as. (i) Igazoljuk, hogy Ψ(u∗ , p∗ ) ≤ Ψ(u, p∗ ) (u ∈ H). Az u 7→ Ψ(u, p∗ ) = hAu, ui + 2hBp∗ , ui − hCp∗ , p∗ i − 2hf, ui − 2hg, p∗ i = hAu, ui − 2hf − Bp∗ , ui − hCp∗ , p∗ i + 2hg, p∗ i funkcion´ al az Au = f − Bp∗ egyenlethez tartoz´o kvadratikus funkcion´al ´es egy konstans ¨ osszege, ´ıgy szigor´ u minimum´at ennek az egyenletnek a megold´ as´ aban, teh´ at u∗ -ban veszi fel. (ii) Hasonl´ oan j¨ on ki, hogy Ψ(u∗ , p) ≤ Ψ(u∗ , p∗ ) (p ∈ K). A p 7→ Ψ(u∗ , p) = hAu∗ , u∗ i + 2hBp, u∗ i − hCp, pi − 2hf, u∗ i − 2hg, pi = hAu∗ , u∗ i − 2hf, u∗ i − hCp, pi − 2hp, B ∗ u∗ + gi
˝ mo ´ dszerek e ´s a varia ´ cio ´ s elv 14. K¨ ozel´ıto
208
funkcion´ al egy konstans ´es a Cp = B ∗ u∗ + g egyenlethez tartoz´o kvadratikus funkcion´ al k¨ ul¨ onbs´ege, ´ıgy maximum´at ennek az egyenletnek a megold´as´aban, teh´ at p∗ -ban veszi fel. (Ha C szigor´ uan pozit´ıv is, akkor ez a maximum szigor´ u.)
14.2. Nemline´ aris egyenletek minimaliz´ al´ o funkcion´ aljai Legyen H val´ os Hilbert-t´er. El˝osz¨or tekints¨ uk azt az esetet, amikor az A : H → H nemline´ aris oper´ ator potenci´aloper´ator. Ekkor az A(u) = f egyenlethez, mint a 13.1. fejezetben l´attuk, bizonyos esetekben igen egyszer˝ uen konstru´ alhat´ o minimaliz´ al´ o funkcion´al Φ : X → R,
Φ(u) := J(u) − hf, ui
(14.5)
alakban, ahol J egy potenci´ alja A-nak. Itt ugyanis A(u∗ ) = f pontosan akkor 0 ∗ all fenn, ha Φ (u ) = 0, ´ıgy ha Φ konvex (azaz A monoton), akkor ez azt ´ jelenti, hogy u∗ minimumhelye Φ-nek (13.1. ´all´ıt´as). Mint im´ent a line´ aris esetben, garant´alnunk kell azt, hogy az egyenletnek l´etezz´ek megold´ asa, amihez n´emileg er˝osebb felt´etelek kellenek. Haszn´aljuk fel a 13.2. t´etelt, amely el´egs´eges felt´etelt ad egyenletesen konvex potenci´al l´etez´es´ere ´es ez´ altal az A(u) = f egyenlet egy´ertelm˝ u megoldhat´os´ag´ara. Ebb˝ol ad´ odik a 14.5. K¨ ovetkezm´ eny. Tegy¨ uk fel, hogy az A : H → H oper´ ator (i) Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o, ´es A0 bihemifolytonos, (ii) minden u ∈ H eset´en A0 (u) ∈ B(H) ¨ onadjung´ alt, 2
(iii) l´etezik m > 0, hogy hA0 (u)h, hi ≥ m khk
(∀u, h ∈ H).
Legyen J egy potenci´ alja A-nak. Ekkor b´ armely f ∈ H eset´en a (14.5) funkcion´ alnak egy´ertelm˝ uen l´etezik minimumhelye, ´es ez az A(u) = f egyenlet megold´ asa. Eml´ıt´est ´erdemel, hogy itt a (14.5)-beli Φ maga is potenci´al, de nem A-nak, hanem az u 7→ A(u) − f oper´atornak. ´ 14.6. Megjegyz´ es. Erdemes megvizsg´alni, hogy a fenti t´etel lefedi-e a linearis esetet, azaz az el˝ ´ oz˝ o szakaszbeli kvadratikus funkcion´al potenci´alja-e az u 7→ Au − f oper´ atornak. Itt val´os Hilbert-t´er eset´en Φ(u + tv) = hAu, ui + 2t hAu, vi + t2 hAv, vi − 2 hf, ui − 2t hf, vi
´ ris egyenletek minimaliza ´ lo ´ funkciona ´ ljai 14.2. Nemlinea
= Φ(u) + 2t hAu − f, vi + t2 hAv, vi
(∀u, v ∈ H, t ∈ R),
209
(14.6)
´ıgy l´etezik 1 Φ(u + tv) − Φ(u) = t→0 t = lim t hAv, vi + 2 hAu − f, vi = 2 hAu − f, vi . ∂v Φ(u) = lim
t→0
Emellett v 7→ 2 hAu − f, vi folytonos line´aris funkcion´alja v-nek, ´ıgy Φ Gˆateauxderiv´ alhat´ o ´es Φ0 (u) = 2(Au − f ), k´erd´es¨ unkre teh´ at igen a v´ alasz (eltekintve a 2-es szorz´ot´ol, amit persze megsz¨ untethet¨ unk (14.3) mint´ aj´ ara). Ha viszont a Hilbert-t´er komplex, akkor a fenti sz´amol´as mint´aj´ara ∂v Φ(u) = 2Re hAu − f, vi ad´ odik. Ez, mivel val´ os ´ert´ek˝ u, a komplex t´erben nem line´aris funkcion´alja vnek, hanem (mint k¨ onnyen l´ athat´o) csak val´os-line´aris, azaz addit´ıv, de csak val´ os konstanssal val´ o szorz´ o vihet˝o ki bel˝ole. Ez azt is mutatja, mi´ert a val´os Hilbert-terek alkalmasabbak a nemline´aris oper´ atoregyenletek vizsg´ alat´ ara: mivel csak val´os ´ert´ek˝ u minimaliz´al´o funkcion´ alnak van ´ertelme, ezek v ir´anymenti deriv´altjai is val´os ´ert´ek˝ u funkcion´ aljai v-nek, ´ıgy a komplex t´er ´ertelm´eben nem tekinthetn´enk ˝oket Gˆateauxderiv´ alhat´ onak. Legyen H ism´et val´ os Hilbert-t´er, ´es tekints¨ uk most azt az esetet, amikor A : H → H nem potenci´ aloper´ator. Tegy¨ uk fel, hogy az A(u) = f egyenletnek egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ megold´asa (ez pl. a 13.5 vagy a 13.9. t´etel felt´eteleivel garant´ alhat´ o), valamint hogy A Gˆateaux-deriv´alhat´o. Ekkor term´eszetes minimaliz´ al´ o funkcion´alt adhatunk meg a legkisebb n´egyzetek elve alapj´ an: legyen Φ(u) := kA(u) − f k2 (u ∈ H). (14.7) Nyilv´ anval´ o, hogy A(u∗ ) = f pontosan akkor ´all fenn, ha u∗ minimumhelye Φnek (´es ekkor Φ ´ert´eke 0). Ugyanez a norma n´egyzet n´elk¨ ul is minimaliz´alna, ∗ ´ de akkor u -ban s´er¨ ulhetne Φ Gˆateaux-deriv´alhat´os´aga. Igy viszont: ´ ıt´ 14.7. All´ as. Ha A Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o, akkor a (14.7) funkcion´ al is Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o, ´es Φ0 (u) = 2A0 (u)∗ (A(u) − f )
(u ∈ H).
˝ mo ´ dszerek e ´s a varia ´ cio ´ s elv 14. K¨ ozel´ıto
210
Bizony´ıt´ as. Felhaszn´ alva az kxk2 −kyk2 = hx+y, x−yi azonoss´agot, b´armely u, v ∈ H eset´en 1 kA(u + tv) − f k2 − kA(u) − f k2 = t→0 t E 1D = lim A(u + tv) + A(u) − 2f, A(u + tv) − A(u) t→0 t D E D E 1 lim A(u+tv)+A(u)−2f, lim (A(u+tv)−A(u)) = 2(A(u)−f ), A0 (u)v t→0 t→0 t ∂v Φ(u) = lim
= 2hA0 (u)∗ (A(u) − f ), vi, ami folytonos line´ aris funkcion´alja v-nek.
14.8. Megjegyz´ es. (i) Ha A Gˆateaux-deriv´alhat´o, akkor az eml´ıtett 13.5. vagy 13.9. t´etel felt´etelei eset´en A0 (u) bijekci´o, ´ıgy A0 (u)∗ is, teh´at a Φ0 (u) = 2A0 (u)∗ (A(u) − f ) = 0 egyenlet ekvivalens az eredeti A(u) = f egyenlettel. Az elj´ ar´ as teh´ at u ´gy is felfoghat´o, hogy ha az eredeti oper´atornak nincs potenci´ alja, akkor A0 (u)∗ -gal beszorozva m´ar van. (ii) Ha speci´ alisan A line´ aris, azaz Φ(u) = kAu−f k2 , akkor Φ0 (u) = 2A∗ (Au− f ), azaz a Φ0 (u) = 0 egyenletb˝ol az A∗ Au = A∗ f egyenletet kapjuk, ami az eredeti egyenlet szimmetriz´altja (´ un. norm´alegyenlet). A norm´ alegyenlet haszna, mint pl. a 7.2. t´etelben is l´attuk, hogy az eredetivel ekvivalens, de m´ ar szimmetrikus (azaz a szerepl˝o oper´ator o¨nadjung´ alt).
15. fejezet
Ritz–Galjorkin-f´ ele projekci´ os m´ odszerek Egy v´egtelen dimenzi´ os t´erben fel´ırt oper´atoregyenlet k¨ozel´ıt˝o megold´as´anak term´eszetes alapgondolata, hogy az alapteret v´eges dimenzi´os altereivel helyettes´ıtj¨ uk, ´es az eredeti egyenletet megfelel˝o ´ertelemben vet´ıtj¨ uk erre a t´erre. A kapott v´eges dimenzi´os feladat (algebrai egyenletrendszer) ugyanis m´ ar a numerikus anal´ızis m´ odszereivel megoldhat´o, az alterek megfelel˝o sorozat´ anak v´ alaszt´ as´ aval pedig a k¨ozel´ıt˝o megold´asok az eredetihez tartanak. A Ritz–Galjorkin-m´ odszer ezt az elvet val´os´ıtja meg. Az itt t´argyaltn´al b˝ovebb elm´eleti, ill. gyakorlati alkalmaz´asai tal´alhat´ok a [14, 67, 76] k¨onyvekben.
15.1. Ritz–Galjorkin-m´ odszer szimmetrikus line´ aris egyenletekre Legyen H val´ os Hilbert-t´er, A : H ⊃→ H szimmetrikus ´es egyenletesen pozit´ıv: A ≥ pI (ahol p > 0). Legyen f ∈ H, ´es tekints¨ uk az Au = f oper´ atoregyenletet. A 8.29. t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ HA gyenge megold´ as, azaz hu∗ , viA = hf, vi (∀v ∈ H), (15.1) a 14.1. szakaszb´ ol pedig tudjuk, hogy u∗ a 2
Φ(u) := kukA − 2 hf, ui kvadratikus funkcion´ al egyetlen minimumhelye H-n. 211
´le projekcio ´ s mo ´ dszerek 15. Ritz–Galjorkin-fe
212
Legyenek φ1 , φ2 , . . . line´ arisan f¨ uggetlen vektorok, melyek line´aris burka s˝ ur˝ u HA -ban, azaz tot´ alis rendszert alkotnak HA -ban. R¨ogz´ıtett n ∈ N+ eset´en legyen Hn := span{φ1 , φ2 , . . . , φn }. A k¨ ozel´ıt˝ o m´ odszer alapgondolata, hogy Φ minimumhely´et az eg´esz H t´er helyett csak Hn -en keress¨ uk. A pontos megold´ast teh´at egy v´eges dimenzi´os alt´eren el˝ o´ all´ıtott k¨ ozel´ıt˝ o megold´assal approxim´aljuk. Ezt az elj´ar´ast Ritz– Galjorkin-m´ odszernek nevezik. Jel¨ olje a Hn -en vett minimumhelyet un ∈ Hn , teh´at itt Φ(un ) = min Φ. Hn
Ekkor un =
n X
ci φ i
i=1
alak´ u. Itt un l´etez´ese ´es egy´ertelm˝ us´ege ugyan´ ugy k¨ovetkezik, mint u∗ -´e, hiszen a kvadratikus funkcion´alnak a Hn v´eges dimenzi´os t´eren is egyetlen minimumhelye van.
15.1.1. Konstrukci´ o El˝ osz¨ or megvizsg´ aljuk, hogyan ´all´ıthat´o el˝o un . Legyen b : Rn → R, Φ
b Φ(c) := Φ
n X
ci φ i .
i=1
b c-ben val´o minimaliz´aNyilv´ an Φ u-ban val´ o minimaliz´al´asa egyen´ert´ek˝ uΦ b konvexit´asa miatt a minil´ as´ aval. Ez ut´ obbit deriv´ al´ assal kapjuk, ´espedig Φ mumhely a deriv´ alt z´erushelye. Itt b Φ(c) =
n DX
ci φi ,
i=1
=
n X
n X j=1
cj φj
E A
n D X E − 2 f, ci φi =
ci cj hφi , φj iA − 2
i,j=1
Ekkor b ∂k Φ(c) =2
i=1 n X
ci hf, φi i .
i=1
n X i=1
ci hφi , φk iA − 2 hf, φk i ,
´ dszer szimmetrikus linea ´ ris egyenletekre 15.1. Ritz–Galjorkin-mo
213
amib˝ ol k¨ ovetkezik, hogy b 0 (c) = 0 ⇐⇒ Φ
n X
hφi , φk iA ci = hf, φk i
(∀k = 1, . . . , n).
i=1
Bevezetve a Gik = Gki := hφi , φk iA
´es bk := hf, φk i
(i, k = 1, . . . , n) jel¨ ol´eseket, azt kapjuk, hogy un keresett egy¨ utthat´oit a Gc = b
(15.2)
line´ aris algebrai egyenletrendszer megold´as´aval kapjuk, ahol c ∈ Rn a ci -kb˝ol k´epzett oszlopvektor. Itt a G = {Gik }ni,k=1 ∈ Rn×n m´atrix neve Gram-m´atrix. (Term´eszetesen itt G, c ´es b is f¨ ugg n-t˝ol, de ezt az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert nem jel¨ olt¨ uk.)
15.1.2. Konvergencia ´ es jellemz´ es A kapott un megold´ asokt´ ol azt v´arjuk, hogy a val´odi megold´ast k¨ozel´ıts´ek, ha n-et n¨ ovelj¨ uk. ´ ıt´ 15.1. All´ as. A fent konstru´ alt un vektorokra un → u∗ ha n → ∞.
k·kA -norm´ aban,
Bizony´ıt´ as. Mivel ∪n Hn s˝ ur˝ u HA -ban ´es Φ folytonos HA -n, ez´ert min Φ → Hn
min Φ, azaz Φ(un ) → Φ(u∗ ). ´Igy (14.2) alapj´an HA
2
kun − u∗ kA = Φ(un ) − Φ(u∗ ) → 0.
Az un ∈ Hn vektort mint Φ Hn -en vett minimumhely´et defini´altuk, de m´eg k´et fontos tulajdons´ aggal rendelkezik. Val´oj´aban e h´arom tulajdons´ag b´armelyik´evel bevezethet˝ o a Ritz–Galjorkin m´odszer. 15.2. T´ etel. A Ritz–Galjorkin m´ odszerrel kapott un -re az al´ abbi tulajdons´ agok teljes¨ ulnek: (1) (K¨ ozel´ıt˝ o minimaliz´ al´ as:) (2) (Vet¨ uleti egyenlet:)
un a Φ|Hn minimumhelye.
hun , viA = hf, vi
(3) (A hiba ortogonalit´ asa:)
(∀v ∈ Hn ).
hun − u∗ , viA = 0
(∀v ∈ Hn ).
´le projekcio ´ s mo ´ dszerek 15. Ritz–Galjorkin-fe
214
Bizony´ıt´ as. (1) Ez defin´ıci´ o szerint igaz. (2) Ahhoz, hogy minden v ∈ Hn eset´en fenn´alljon a vet¨ uleti egyenlet, el´eg, ha a b´ azisvektorokra bel´ atjuk az egyenl˝os´eget, ez pedig a konstrukci´ob´ol k¨ovetkezik: * n + n X X hun , φk iA = ci φi , φk = ci hφi , φk iA = hf, φk i . i=1
A
i=1
(3) A (15.1) ´es a vet¨ uleti egyenletb˝ol b´armely v ∈ Hn eset´en hun , viA − hu∗ , viA = hf, vi − hf, vi = 0.
15.3. Megjegyz´ es. A (2) tulajdons´agot az´ert h´ıvjuk vet¨ uleti egyenletnek, mert un a (15.1)-beli b´ armely v ∈ H helyett csak b´armely v ∈ Hn eset´en teljes´ıti az egyenl˝ os´eget, ami olyan, mintha Hn -re vet´ıten´enk a (15.1) egyenletet. A (3) tulajdons´ ag azt mondja ki, hogy az un − u∗ hibavektor mer˝oleges a Hn alt´erre, ez az u ´n. Galjorkin-ortogonalit´as. Mindk´et tulajdons´ ag azt jelenti, hogy un ´eppen u∗ vet¨ ulete Hn -re.
15.1.3. Klasszikus speci´ alis esetek Nagyon egyszer˝ u esetet kapunk, ha {φi } teljes ortonorm´alt rendszer (TONR) HA -ban. Ekkor Gik = hφi , φk iA = δik , azaz G = I ´es ´ıgy ci = hf, φi i. Ebb˝ol k¨ ovetkez˝ oen n n X X un = ci φi = hf, φi i φi . i=1
i=1
Ha p´eld´ aul a {φi } f¨ uggv´enyek A saj´atf¨ uggv´enyei ´es A−1 kompakt, akkor (ld. 8.21. t´etel) {φi } TONR H-ban ´es ´ıgy HA -ban is. Ekkor φi ∈ D(A). Ennek az esetnek az ´ altal´ anos´ıt´asa, ha D(A)-ban nem ortonorm´alt rendszert v´ alasztunk, ekkor a HA -beli teljess´eg a k¨ovetkez˝ok´epp garant´alhat´o: ´ ıt´ 15.4. All´ as. Legyen {φj } ⊂ D(A) olyan line´ arisan f¨ uggetlen rendszer, hogy {Aφj } tot´ alis rendszer H-ban. Ekkor {φj } tot´ alis rendszer HA -ban. Bizony´ıt´ as. Be kell l´ atni, hogy span{φj : j ∈ N} s˝ ur˝ u HA -ban. Ehhez el´eg, ha csak D(A)-ban s˝ ur˝ u (mert D(A) s˝ ur˝ u HA -ban). Legyen v ∈ D(A). Az {Aφj } rendszer teljess´ege szerint minden ε > 0-hoz l´eteznek olyan i1 , . . . , ik indexek ´es ci1 , . . . , cik konstansok, hogy kAv − (ci1 Aφi1 + . . . + cik Aφik )k <
√
p ε.
´ dszer szimmetrikus linea ´ ris egyenletekre 15.1. Ritz–Galjorkin-mo
215
Ekkor a 8.26. k¨ ovetkezm´eny alapj´an
k k
v − P cin φin ≤ √1 A v − P cin φin = p
n=1
n=1
A k
P √1 Av − cin Aφin p
< ε. n=1
Gyakorlati szempontb´ ol a φi ∈ D(A) felt´etel nagyon er˝os, ehelyett a φi ∈ HA gyeng´ıt´est nagyon is c´elszer˝ u kihaszn´alni, s˝ot az eddigi m´odszerhez k´epest l´enyegesen jobban haszn´ alhat´o az az eset, ha a Hn altereket nem egym´asba agyazva, hanem f¨ ´ uggetlen¨ ul defini´aljuk. Err˝ol sz´ol a k¨ovetkez˝o szakasz.
15.1.4. A Ritz–Galjorkin m´ odszer ´ altal´ anos´ıt´ asa A Ritz–Galjorkin m´ odszer egy lehets´eges ´altal´anos´ıt´asa, ha minden egyes n (n) (n) (n) ⊂ re u ´j b´ azisf¨ uggv´enyeket v´ alasztunk, azaz Hn = span φ1 , φ2 , . . . , φn HA , ahol az elemek line´ arisan f¨ uggetlenek. Ekkor teh´at nem k¨ovetelj¨ uk meg a Hn alterek egym´ asba ´ agyazotts´ag´at, ami j´oval nagyobb szabads´agi fokot ad. Az un k¨ ozel´ıt´est ugyan´ ugy ´ all´ıthatjuk el˝o, mint az eredeti esetben: un egy¨ utthat´ oit a (15.2) line´ aris algebrai egyenletrendszer megold´as´aval kapjuk. (A k¨ ul¨ onbs´eg csak annyi, hogy most a k¨ ul¨onb¨oz˝o n-ekhez tartoz´o Gram-m´atrixok ´ enyes a 15.2. t´etelben adott jellemz´es is, sincsenek egym´ asba ´ agyazva.) Erv´ hiszen ott nem haszn´ altuk ki a Hn alterek egym´asba ´agyazotts´ag´at. A konvergenci´ ahoz sz¨ uks´eg van megfelel˝o felt´etelre ahelyett, hogy az eredeti m´ odszerben φ1 , φ2 , . . . tot´ alis rendszert alkot HA -ban. Itt nem el´eg feltenni, hogy ∪i Hi legyen s˝ ur˝ u HA -ban, mert ez csak ahhoz el´eg, hogy un egy r´eszsorozata tartson u∗ -hoz. Ehelyett a k¨ovetkez˝o tulajdons´agra van sz¨ uks´eg: 15.1.4. felt´ etel. B´ armely u ∈ HA eset´en distA (u, Hn ) := min{ku − vn kA : vn ∈ Hn } → 0,
ha
n → ∞.
A t´ avols´ agban a 2.15. t´etel alapj´an ´ırhatunk infimum helyett minimumot. A felt´etel annyiban er˝ osebb ∪i Hi s˝ ur˝ us´eg´en´el, hogy egy u ∈ HA vektor olyan sorozattal k¨ ozel´ıthet˝ o, melynek tagjai nemcsak valamelyik Hi -ben vannak, hanem az n-edik tag ´eppen Hn -b˝ol val´o. ´ ıt´ 15.5. All´ as. Ha teljes¨ ul a 15.1.4. felt´etel, akkor un → u∗ k·kA -norm´ aban, ha n → ∞. Bizony´ıt´ as. A hiba Galjorkin-ortogonalit´asa, azaz az un − u∗ ⊥ Hn tulajdons´ ag (15.2. t´etel (3) pont) azt jelenti, hogy un ´eppen u∗ vet¨ ulete Hn -re.
216
´le projekcio ´ s mo ´ dszerek 15. Ritz–Galjorkin-fe
´Igy un van Hn -b˝ ol legk¨ ozelebb u∗ -hoz, teh´at ku∗ − un kA = min{ku∗ − vn kA : vn ∈ Hn } → 0.
15.2. Ritz–Galjorkin-m´ odszer nem szimmetrikus line´ aris egyenletekre, C´ ea-lemma Most nem szimmetrikus line´ aris oper´atoregyenleteket tekint¨ unk a 8.3.1. szakasz alapj´ an. Legyen teh´ at H ism´et val´os Hilbert-t´er, L : H ⊃→ H adott line´ aris oper´ ator, amely S-korl´atos ´es S-koerc´ıv valamely S : H ⊃→ H egyenletesen pozit´ıv oper´ atorra n´ezve. Legyen g ∈ H ´es tekints¨ uk az Lu = g
(15.3)
oper´ atoregyenletet. A 8.37. t´etel szerint ennek egy´ertelm˝ uen l´etezik gyenge megold´ asa, azaz olyan u∗ ∈ HS , melyre hLS u∗ , viS = hg, vi
(∀v ∈ HS ).
(15.4)
A Ritz–Galjorkin m´ odszert most r¨ogt¨on a 15.1.4. szakasznak megfelel˝o ´altal´anosabb helyzetben defini´ aljuk, emellett alapt´ernek HS -et vessz¨ uk. Legyenek teh´ at (n) (n) Hn = span φ1 , φ2 , . . . , φ(n) ⊂ HS n (n)
(n)
(n)
alterek (n ∈ N+ ), ahol minden n-re a φ1 , φ2 , . . . , φn elemek line´arisan f¨ uggetlenek. (A tov´ abbiakban a kevesebb index kedv´e´ert megmaradunk a (n) φk := φk jel¨ ol´esn´el.) A 15.1.4. felt´etel mint´aj´ara teljes¨ ulj¨on a 15.2. felt´ etel. B´ armely u ∈ HS eset´en distS (u, Hn ) := min{ku − vn kS : vn ∈ Hn } → 0,
ha
n → ∞.
Az un k¨ ozel´ıt´es el˝ o´ all´ıt´ as´ ahoz most nem haszn´alhatunk kvadratikus funkcion´ alt, de vet¨ uleti egyenletet ugyan´ ugy ´ertelmezhet¨ unk, mint a szimmetrikus esetben, ´ıgy ez lesz a m´ odszer defin´ıci´oja. Az un =
n X
ci φi ∈ Hn
(15.5)
i=1
k¨ ozel´ıt˝ o megold´ ast teh´ at az hLS un , viS = hg, vi
(∀v ∈ Hn )
(15.6)
egyenl˝ os´eg defini´ alja. (Ennek l´etez´es´et ´es egy´ertelm˝ us´eg´et a 8.37. t´etel garant´ alja a Hn v´eges dimenzi´ os t´erben.)
´ dszer bilinea ´ ris forma ´ kkal 15.3. Ritz–Galjorkin-mo
217
Az un egy¨ utthat´ oit a szimmetrikus esethez hasonl´oan egy line´aris algebrai egyenletrendszer megold´ as´ aval kapjuk: ha Gki := hLS φi , φk iS
´es bk := hg, φk i
(i, k = 1, . . . , n), akkor a ci -kb˝ol k´epzett c ∈ Rn oszlopvektort a Gc = b
(15.7)
rendszer megold´ asa adja meg. Ez most abb´ol k¨ovetkezik, ha a (15.5) alakot ´es a v := φk f¨ uggv´enyeket a (15.6) egyenletbe helyettes´ıtj¨ uk. 15.6. Megjegyz´ es. (A rezidu´alis hiba ortogonalit´asa.) A Galjorkin-ortogonalit´ as most nem az un − u∗ , hanem az LS (un − u∗ ) vektorra teljes¨ ul: a (15.4) ´es (15.6) egyenletekb˝ ol hLS (un − u∗ ), viS = 0
(∀v ∈ Hn ),
(15.8)
azaz LS un −LS u∗ ⊥ Hn . Ha b ∈ HS jel¨oli (15.4) jobboldal´anak Riesz-reprezent´ ans´ at, azaz hb, viS = hg, vi (∀v ∈ HS ), akkor LS u∗ = b, ´ıgy LS un − b ⊥ Hn , ´ıgy az LS un − b gyenge” rezidu´alis vektor ortogon´alis Hn -re. ” A m´ odszer konvergenci´ aja az al´abbi nevezetes eredm´enyre alapul: ´ ıt´ 15.7. All´ as. (C´ ea-lemma) B´ armely n ∈ N+ eset´en ku∗ − un kS ≤
M min{ku∗ − vn kS : vn ∈ Hn }. m
Bizony´ıt´ as. A (8.14) ´es (15.8) ¨osszef¨ ugg´esekb˝ol b´armely vn ∈ Hn eset´en mku∗ − un k2S ≤ hLS (u∗ − un ), u∗ − un iS = hLS (u∗ − un ), u∗ − vn iS ≤ M ku∗ − un kS ku∗ − vn kS , ´ıgy ku∗ − un kS ≤
M ∗ m ku
− vn kS .
M´ as sz´ oval ku∗ − un kS ≤
M m
· distS (u∗ , Hn ).
15.8. K¨ ovetkezm´ eny. Ha teljes¨ ul a 15.2. felt´etel, akkor un → u∗ norm´ aban, ha n → ∞.
k·kS -
15.3. Ritz–Galjorkin-m´ odszer biline´ aris form´ aval megfogalmazott feladatokra Ebben a szakaszban r¨ oviden v´azoljuk a Ritz–Galjorkin-m´odszer konstrukci´oj´ at ´es konvergenci´ aj´ at tov´ abbi k´et, ez´ uttal biline´aris form´aval megfogalmazott feladatt´ıpusra.
´le projekcio ´ s mo ´ dszerek 15. Ritz–Galjorkin-fe
218
15.3.1. A Lax–Milgram-lemm´ ara alapul´ o feladatok A Ritz-Galjorkin-m´ odszer az el˝oz˝o szakasszal teljesen anal´og m´odon t´argyalhat´ o a Lax–Milgram-lemm´ aban (7.16. t´etel) t´etelben szerepl˝o, biline´aris form´ aval megfogalmazott feladatokra. Ez a 7.13. t´etelnek k¨osz¨onhet˝o, amellyel visszavezethet˝ o oper´ atoregyenletre. Legyen B : H × H → R korl´ atos, koerc´ıv biline´aris forma, ` : H → R korl´atos line´ aris funkcion´ al. Tekints¨ uk a (∀v ∈ H)
B(u, v) = `v
feladatot, melynek a 7.16. t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik megold´asa. Ekkor az un ∈ Hn k¨ ozel´ıt˝ o megold´ ast a (∀v ∈ Hn )
B(un , v) = `v egyenl˝ os´eggel ´ertelmezz¨ uk, ´es a Gki := B(φk , φi ),
bk := `φk
(i, k = 1, . . . , n) alapj´ an defini´alt Gc = b line´aris egyenletrendszer megold´as´ ab´ ol kapjuk. Az un ∈ Hn elem l´etez´es´et ´es egy´ertelm˝ us´eg´et szint´en a 7.16. t´etel garant´ alja, most a Hn v´eges dimenzi´os t´erben, mivel a Hn × Hn -re lesz˝ uk´ıtett B forma ¨ or¨ okli H × H-r´ol a korl´atoss´agot ´es koercivit´ast: mindk´et egyenl˝ otlens´eg nyilv´ anval´ oan fenn´all akkor is, ha tetsz˝oleges H-beli vektor helyett csak Hn -belieket helyettes´ıt¨ unk. A (15.8) ortogonalit´ as hely´ere a B(un − u∗ , v) = 0 (∀v ∈ Hn ) azonoss´ag l´ep, ebb˝ ol a fentivel azonosan igazolhat´o a C´ea-lemma ´es ´ıgy a konvergencia: 15.9. Ko eny. Ha b´ armely u ∈ H eset´en dist(u, Hn ) := min{ku − ¨vetkezm´ vn k : vn ∈ Hn } → 0, akkor kun − u∗ k → 0.
15.3.2. Nyeregpont-feladatok LBB-felt´ etellel Tekints¨ uk a 7.3.2. szakasz feladat´at: legyenek H, K val´os Hilbert-terek, A : H ×H → R ´es B : K ×H → R korl´atos biline´aris form´ak, ahol A koerc´ıv, azaz fenn´ all (7.15), valamint teljes¨ ul a (7.17) inf-sup-felt´etel. Legyenek tov´abb´a ` : H → R ´es κ : K → R korl´atos line´aris funkcion´alok, ´es keresend˝o (u, p) ∈ H × K, melyre A(u, v) + B(p, v) = `v B(q, u)
= κq
(∀v ∈ H), (∀q ∈ K).
A 7.29. t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik (u∗ , p∗ ) ∈ H × K megold´as.
(15.9)
´ dszer bilinea ´ ris forma ´ kkal 15.3. Ritz–Galjorkin-mo
219
(n) (n) (n) (n) (n) Legyenek Hn = span φ1 , φ2 , . . . , φmn ⊂ H ´es Kn = span ψ1 , ψ2 , . . . , (n) (n) (n) (n) ψkn ⊂ K alterek (n ∈ N+ ), ahol minden n-re a φ1 , φ2 , . . . , φmn ill. (n)
(n)
(n)
ψ1 , ψ2 , . . . , ψkn elemek line´arisan f¨ uggetlenek, valamint b´ armely u ∈ H eset´en
dist(u, Hn ) := min{ku − vn k : vn ∈ Hn } → 0,
b´ armely p ∈ K eset´en dist(p, Kn ) := min{kp − qn k : qn ∈ Kn } → 0. (15.10) Az (un , pn ) ∈ Hn × Kn k¨ ozel´ıt˝o megold´ast a A(un , v) + B(pn , v) = `v
(∀v ∈ Hn ),
B(q, un )
(∀q ∈ Kn ).
= κq
(15.11)
feladat megold´ asak´ent keress¨ uk. (A k¨ozel´ıt˝o megold´asok egy¨ utthat´oira most (7.7) alak´ u line´ aris egyenletrendszer ´all fenn.) A kor´ abbi szakaszokhoz k´epest azonban a fenti diszkr´et feladat nem ¨or¨okli automatikusan az eredeti feladat megoldhat´os´ag´at. A probl´em´at az okozza, hogy a (7.17) inf-sup-felt´etel nem ¨or¨okl˝odik tetsz˝oleges Hn ´es Kn alterekre. Ez k¨ onnyen l´ athat´ o, ha a B forma B reprezent´al´o oper´ator´aval ´ırjuk fel r´ajuk az inf-sup-felt´etelt (7.14) szerint: hBp, ui ≥ γ kpk kuk u∈Hn \{0} sup
(∀p ∈ Kn ).
(15.12)
Ha ugyanis Hn -et p´eld´ aul u ´gy v´alasztjuk, hogy valamely p ∈ Kn mellett Hn ⊥Bp, akkor a fenti sz´ aml´ al´oban hBp, ui = 0 b´armely u ∈ Hn \ {0} eset´en. Ezt csak azzal oldhatjuk meg, ha az inf-sup-felt´etelt k¨ ul¨on el˝o´ırjuk a Hn ´es Kn alterek eset´en is. Ezt a k´es˝obbiek miatt egyenletesen, azaz n-t˝ol f¨ uggetlen konstanssal kell: 15.10. Defin´ıci´ o. A Hn ´es Kn alterek teljes´ıtik a (15.11) feladathoz tartoz´ o LBB-felt´ etelt (Lad¨ uzsenszkaja-Babuˇska-Brezzi-felt´etelt) vagy diszkr´ et inf-sup-felt´ etelt, ha van olyan γ0 > 0 n-t˝ol f¨ uggetlen ´alland´o, hogy inf
sup
p∈Kn \{0} u∈Hn \{0}
B(p, u) ≥ γ0 . kpkkuk
(15.13)
A gyakorlatban teh´ at Hn ´es Kn nem v´alaszthat´o egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul. Az LBB-felt´etelben az u-ra vett supremum pozit´ıv korl´at f¨ol¨ottis´ege azt k¨oveteli meg, hogy adott Kn eset´en a Hn alt´er el´eg nagy” legyen. ” 15.11. Megjegyz´ es. Az LBB-felt´etelt Babuˇska lemm´aja (7.19. t´etel) alapj´ an Brezzi dolgozta ki nyeregpont-feladatokra [11]. Az elterjedt elnevez´es Lad¨ uzsenszkaja kor´ abbi kapcsol´od´o munk´aj´ara is utal.
220
´le projekcio ´ s mo ´ dszerek 15. Ritz–Galjorkin-fe
Ha teljes¨ ul az LBB-felt´etel, akkor teh´at a (15.11) feladatnak egy´ertelm˝ uen l´etezik (un , pn ) ∈ Hn × Kn megold´asa. Az LBB-felt´etel alapj´an emellett igazolhat´ o a C´ea-lemma megfelel˝oje: l´etezik olyan c > 0 ´alland´o, hogy ku∗ − un k + kp∗ − pn k ≤ c min ku∗ − vn k + min kp∗ − qn k vn ∈Hn
qn ∈Kn
b´ armely n eset´en. (A c ´ alland´o nem f¨ ugg n-t˝ol, de f¨ ugg γ0 -t´ol. A bizony´ıt´as megtal´ alhat´ o a [21, 69] k¨ onyvekben.) Ebb˝ol ad´odik a konvergencia: 15.12. K¨ ovetkezm´ eny. Ha teljes¨ ul (15.10) ´es az LBB-felt´etel, akkor kun − u∗ k + kpn − p∗ k → 0, ha n → ∞.
15.4. Ritz–Galjorkin-m´ odszer nemline´ aris egyenletekre Most nemline´ aris oper´ atoregyenletekkel foglalkozunk a 13.3.1. szakasz alapj´ an. A line´ aris esettel ellent´etben most folytonos oper´atort n´ez¨ unk, mivel (mint a 13.4. szakasz gyenge alak´ u p´eld´ai is mutatj´ak) az alkalmaz´asok ´altal´ aban m´ ar erre az esetre ´ep¨ ulnek. Legyen teh´at H ism´et val´os Hilbert-t´er, A : H → H adott nemline´aris oper´ator, amely egyenletesen monoton ´es Lipschitz-folytonos: l´etezik M ≥ m > 0, hogy b´armely u, v ∈ H eset´en 2
hA(u)−A(v), u−vi ≥ m ku − vk ,
kA(u)−A(v)k ≤ M ku − vk . (15.14)
Tekints¨ uk az A(u) = b
(15.15)
oper´ atoregyenletet, ahol b ∈ H, ennek a 13.5. t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H megold´ asa. ´Irjuk fel ezt a vele ekvivalens tesztf¨ uggv´enyes alakban: hA(u∗ ), vi = hb, vi
(∀v ∈ H).
(15.16)
(n) (n) (n) ⊂ H alterek (n ∈ N+ ), ahol minLegyenek Hn = span φ1 , φ2 , . . . , φn (n) (n) (n) den n-re a φ1 , φ2 , . . . , φn elemek line´arisan f¨ uggetlenek ´es b´armely u ∈ H eset´en dist(u, Hn ) := min{ku − vn k : vn ∈ Hn } → 0,
ha
n → ∞.
(15.17) (n)
(A tov´ abbiakban a kevesebb index kedv´e´ert ism´et megmaradunk a φk := φk jel¨ ol´esn´el.)
Az un ∈ Hn k¨ ozel´ıt´es el˝ o´ all´ıt´as´ahoz most sem haszn´alhatunk potenci´alt, de vet¨ uleti egyenletet ugyan´ ugy ´ertelmezhet¨ unk, mint a line´aris esetben, ´ıgy
´ dszer nemlinea ´ ris egyenletekre 15.4. Ritz–Galjorkin-mo
most is ez lesz a m´ odszer defin´ıci´oja. Az n X un = ci φi ∈ Hn
221
(15.18)
i=1
k¨ ozel´ıt˝ o megold´ ast teh´ at az hA(un ), vi = hb, vi
(∀v ∈ Hn )
(15.19)
egyenl˝ os´eg defini´ alja, l´etez´es´et ´es egy´ertelm˝ us´eg´et pedig a 13.5. t´etel garant´ alja a Hn t´erben. Az un egy¨ utthat´ oit a k¨ ovetkez˝ok´epp kapjuk. Helyettes´ıts¨ uk a (15.18) alakot ´es a v := φk f¨ uggv´enyeket a (15.19) egyenletbe: D P E n A ci φi , φk = hb, φk i (k = 1, . . . , n). i=1
Vezess¨ uk be az Ak : Rn → R,
D P E n Ak (c) = Ak (c1 , . . . , cn ) := A ci φi , φk i=1
val´ os f¨ uggv´enyeket ´es legyen βk := hb, φk i (k = 1, . . . , n). Az ezekb˝ol ¨osszerakott A : Rn → Rn f¨ uggv´eny ´es β ∈ Rn vektor mellett teh´at un egy¨ utthat´oit az A(c) = β nemline´ aris algebrai egyenletrendszer megold´as´aval kapjuk. 15.13. Megjegyz´ es. (A rezidu´alis hiba ortogonalit´asa.) A (15.16) ´es (15.19) egyenletekb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy hA(u∗ ) − A(un ), vi = 0
(∀v ∈ Hn ),
(15.20)
∗
azaz A(u ) − A(un ) ⊥ Hn . Jel¨olje most rn := A(un ) − b a rezidu´alis vektort (m´ as n´even marad´ekvektort). Mivel A(u∗ ) = b, a fentiekb˝ol hrn , vi = 0 minden v ∈ Hn eset´en, azaz rn ortogon´alis Hn -re. A m´ odszer konvergenci´ aja a C´ea-lemma (15.7. ´all´ıt´as) megfelel˝oj´ere alapul: ´ ıt´ 15.14. All´ as. (Nemline´ aris C´ ea-lemma) B´ armely n ∈ N+ eset´en M min{ku∗ − vn k : vn ∈ Hn }. m Bizony´ıt´ as. A (15.14) ´es (15.20) ¨osszef¨ ugg´esekb˝ol b´armely vn ∈ Hn eset´en ku∗ − un k ≤
mku∗ − un k2 ≤ hA(u∗ ) − A(un ), u∗ − un i = hA(u∗ ) − A(un ), u∗ − vn i ≤ kA(u∗ ) − A(un )kku∗ − vn k ≤ M ku∗ − un kku∗ − vn k, ´ıgy ku∗ − un k ≤
M ∗ m ku
− vn k.
15.15. K¨ ovetkezm´ eny. Ha teljes¨ ul a (15.17) felt´etel, akkor kun − u∗ k → 0.
222
´le projekcio ´ s mo ´ dszerek 15. Ritz–Galjorkin-fe
15.5. A v´ egeselem-m´ odszer elm´ eleti h´ attere A Ritz–Galjorkin-m´ odszernek, pontosabban a 15.1.4. szakaszban le´ırt ´altal´anosabb alakj´ anak f˝ o alkalmaz´asa a v´egeselem-m´odszer (FEM – finite element method), amely (els˝ osorban parci´alis) differenci´alegyenletek perem´ert´ekfeladatainak egyik legelterjedtebb megold´asi m´odszere. A FEM l´enyege, hogy a tartom´ anyt felosztjuk v´eges sok kis egyszer˝ ubb r´esztartom´anyra ( elemekre”, ” melyek ´ altal´ aban h´ aromsz¨ ogek/tetra´ederek vagy t´eglalapok/t´eglatestek). A k´ıv´ ant v´eges dimenzi´ os alterek olyan f¨ uggv´enyekb˝ol ´allnak, amelyek lesz˝ uk´ıt´esei egy-egy ilyen elemre” valamilyen megadott fok´ u polinomok, melyeket ” az eg´esz tartom´ anyon folytonoss´ag (vagy valah´anyszori folytonos differenci´alhat´ os´ ag) k¨ ot ¨ ossze. Az alterek jel¨ol´es´ere a v´egeselem-m´odszern´el megszokott jel¨ ol´est haszn´ aljuk, ´es n ∈ N+ eg´esz helyett a h > 0 u ´n. r´acsparam´eterrel indexelj¨ uk, amely ´ altal´ aban az elemek” maxim´alis ´atm´er˝oj´evel (azaz a r´acs” finoms´ aggal) ar´ anyos. (Ekkor n ford´ıtottan ar´anyos h-nak a t´erdimenzi´ot´ol f¨ ugg˝ o hatv´ any´ aval. A Vh -beli k¨ozel´ıt˝o megold´asra az uh jel¨ol´est haszn´aljuk.) ´Igy a kor´ abbi Hn helyett most a Vh jel¨ol´est haszn´aljuk. Azaz Vh := {u ∈ C k (Ω) : u|Ti ∈ Pm ∀i = 1, . . . , n},
(15.21)
ahol k, m ≥ 0 ´es n ≥ 1 adott eg´eszek, Pm a legfeljebb m-edfok´ u polinomok halmaza ´es T1 , . . . , Tn az elemek”. A legegyszer˝ ubb, de igen elterjedt eset, ” amikor az elemek h´ aromsz¨ ogek/tetra´ederek, k = 0 ´es m = 1, azaz szakaszonk´ent line´ aris polinomokb´ ol ´ all´o folytonos f¨ uggv´enyek alkotj´ak Vh -t. A Vh alt´er b´ azisf¨ uggv´enyeit u ´gy szok´as megadni, hogy f¨ uggv´eny´ert´ekeik (´es esetleg bizonyos deriv´ altjaik ´ert´eke) adott pontokban 0 vagy 1, u ´gy, hogy m´ ar egy´ertelm˝ uen meghat´ arozz´ak az adott fok´ u polinomot. A fenti egyszer˝ u p´eld´ akban a f¨ uggv´eny´ert´ekekre egy-egy cs´ ucspontban 1-et, az o¨sszes t¨obbiben 0-t ´ırunk el˝ o. A FEM konstrukci´ oja a perem´ert´ekfeladat gyenge alakj´ara t´amaszkodik, a Gram-m´ atrix elemei megfelel˝o integr´alok (a FEM sor´an a Gram-m´atrixra a merevs´egi m´ atrix elnevez´es terjedt el). A m´odszer el˝ony¨os tulajdons´aga, hogy akkor is konverg´ al, ha nem t´etelez¨ unk fel semmilyen regularit´ast a gyenge megold´ asr´ ol. A konvergencia rendj´enek becsl´ese m´ar megk´ıv´an valamilyen (´ altal´ aban H 2 -beli) regularit´ asi felt´etelt. Ennek ´es a konkr´et v´egeselemes felbont´ asoknak, ill. a m´ odszer megval´os´ıt´asi technik´ainak rendk´ıv¨ ul kiterjedt elm´elete van, l´ asd pl. [14, 69]. Nem c´elunk ezek ismertet´ese, itt csak azt illusztr´ aljuk egy egyszer˝ u p´eld´an, hogyan illeszkedik a FEM az eddigiekben t´ argyalt absztrakt elm´eletbe. Tekints¨ uk p´eldak´ent a (10.11) feladatot: − div (p ∇u) = f, u|∂Ω = 0,
(15.22)
´geselem-mo ´ dszer elme ´leti ha ´ ttere 15.5. A ve
223
ahol Ω ⊂ Rn korl´ atos tartom´any, p ∈ L∞ (Ω), p(x) ≥ m > 0 (m. m. x ∈ Ω), f ∈ L2 (Ω). Ennek a 10.15. t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H01 (Ω) 1 gyenge megold´ asa, ahol most a H0 (Ω) teret val´os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyekkel defini´ aljuk. Ekkor Z Z p ∇u∗ · ∇v = fv (∀ v ∈ H01 (Ω)). (15.23) Ω
Ω
A FEM fel´ır´ asakor a 15.1.4. szakasz fel´ep´ıt´es´et haszn´alhatjuk a H := L2 (Ω) t´erben. Itt az Au := − div (p ∇u) oper´ator a Dirichlet-peremfelt´etel mellett szimmetrikus ´es egyenletesen pozit´ıv, ´es HA = H01 (Ω) az Z hu, viA = p ∇u · ∇v (u, v ∈ H01 (Ω)) (15.24) Ω
skal´ arszorzattal (l´ asd pl. a 8.2. szakasz p´eld´aj´aban). Ekkor (15.23) megegyezik (15.1)-gyel. Legyen Vh valamely (15.21) t´ıpus´ u alt´er. Ekkor az uh k¨ozel´ıt˝o megold´ as egy¨ utthat´ oit a Gc = b (15.25) line´ aris algebrai egyenletrendszer megold´as´aval kapjuk, ahol Z Z Gik = Gki = p ∇φi · ∇φk ´es bk = f φk Ω
(15.26)
Ω
(i, k = 1, . . . , n). Ez az uh f¨ uggv´eny teljes´ıti az Z Z p ∇uh · ∇v = fv (∀ v ∈ Vh ) Ω
Ω
vet¨ uleti egyenletet. A 15.1-beli kiindul´ asi defin´ıci´o szerint emellett uh minimaliz´alja az (energi´at kifejez˝ o) kvadratikus funkcion´alt Vh -en: a (14.3) egyenl˝os´eghez hasonl´oan, 1 oval fel´ırva 2 -es szorz´ Z Ω
1 2 p |∇uh | − f uh 2
Z = min
u∈Vh
Ω
1 2 p |∇u| − f u . 2
A hibaf¨ uggv´eny Galjorkin-ortogonalit´asa (15.2. t´etel) ebben a helyzetben: Z p ∇(uh − u∗ ) · ∇v = 0 (∀ v ∈ Vh ). Ω
V´eg¨ ul, a v´egeselemes alterek egy {Vh }h>0 csal´adja eset´en, ha a felbont´as finoms´ aga (azaz az elemek maxim´alis ´atm´er˝oje) 0-hoz tart, akkor az elemekre
224
´le projekcio ´ s mo ´ dszerek 15. Ritz–Galjorkin-fe
´es a polinomokra tett nem t´ ul szigor´ u felt´etelekkel [14, 69] el´erhet˝o, hogy b´ armely u ∈ H01 (Ω) eset´en distH01 (u, Vh ) = min{ku − vh kH01 : vh ∈ Vh } → 0,
ha
h → 0. (15.27)
Ekkor a H01 (Ω)-norma ´es a (15.24)-hoz tartoz´o s´ ulyozott norma ekvivalenci´aja miatt teljes¨ ul a 15.1.4. felt´etel. Ebb˝ol a 15.5. ´all´ıt´as alapj´an k¨ovetkezik a v´egeselem-m´ odszer konvergenci´aja: kuh − u∗ kH01 → 0. Egyszer˝ u p´ elda. Trivi´ alis szeml´eltet´esk´ent tekints¨ uk az al´abbi egydimenzi´os feladatot a [−1, 1] intervallumon: −u00 = 1 u(−1) = u(1) = 0. Osszuk fel az intervallumot n´egy egyenl˝o r´eszre, ´es a φi f¨ uggv´enyek legyenek az u ´gynevezett kalapf¨ uggv´enyek: azok a szakaszonk´ent line´aris f¨ uggv´enyek, melyek egy adott bels˝ o oszt´ opontban 1-et vesznek fel, a t¨obbiben null´at. Ekkor Z 1 Z 1 Gik = Gik = hφi , φj iA = φ0i φ0k , bk = hf, φk i = 1·φk (i, k = 1, 2, 3). −1
−1
Ebben a konkr´et p´eld´ aban kisz´amolhat´o, hogy 1 2 −1 0 1 2 −1 , G = 2 −1 b = 1 , 2 1 0 −1 2 ´es a Gc = b egyenletet megoldva megkapjuk az egy¨ utthat´ovektort: 3 1 c = 4 . 8 3 A kapott t¨ or¨ ottvonal-megold´asra m´eg az is igaz, hogy a ± 21 ´es 0 r´acspontok2 ban megegyezik az u∗ (x) = 1−x pontos megold´assal. 2 V´eg¨ ul, a fentiekhez hasonl´ oan ´ep´ıthet˝o fel a v´egeselemes megold´as a (13.3) nemline´ aris feladatra: ( − div f (x, ∇u) = g, (15.28) u|∂Ω = 0
´geselem-mo ´ dszer elme ´leti ha ´ ttere 15.5. A ve
a 13.4.1. felt´etelekkel. Ennek u∗ ∈ H01 (Ω) gyenge megold´as´ara Z Z f (x, ∇u∗ ) · ∇v = gv (∀ v ∈ H01 (Ω)). Ω
225
(15.29)
Ω
Legyen Vh ugyanolyan v´egeselemes alt´er, mint az el˝obbi line´aris esetben. Ekkor az uh ∈ Vh k¨ ozel´ıt˝ o megold´as teljes´ıti az Z Z f (x, ∇uh ) · ∇v = gv (∀ v ∈ Vh ) Ω
Ω
vet¨ uleti egyenletet, ´es uh egy¨ utthat´oit az A(c) = β nemline´ aris algebrai egyenletrendszer megold´as´aval kapjuk, ahol A : Rn → Rn , Z n P Ak (c) = Ak (c1 , . . . , cn ) = f (x, ci ∇φi ) · ∇φk Ω
i=1
(k = 1, . . . , n) Z ´es βk :=
gφk (k = 1, . . . , n). A megfelel˝o A oper´atorra igazak a (15.14) Ω
tulajdons´ agok, ´ıgy ha teljes¨ ul (15.27), akkor a 15.15. k¨ovetkezm´eny szerint kuh − u∗ kH01 → 0.
16. fejezet
Iter´ aci´ os m´ odszerek line´ aris oper´ atoregyenletekre Ebben a fejezetben kider¨ ul, hogy egyes, v´eges dimenzi´oban j´ol ismert iter´aci´os m´ odszerek ´ertelemszer˝ uen ´ atvihet˝ok a v´egtelen dimenzi´os esetre. A gyakorlatban ennek az a f˝ o jelent˝ os´ege, hogy a kapott elvi iter´aci´ok jellemzik a v´eges dimenzi´ os m´ odszerek aszimptotikus viselked´es´et a k¨ozel´ıt´es finom´ıt´asa sor´an. A t´ argyalt m´ odszerekr˝ ol r´eszletesen esik sz´o a [25, 33, 74] k¨onyvekben. Az iter´ aci´ ok vizsg´ alat´ ahoz id´ezz¨ uk fel a konvergencia legfontosabb rendjeinek fogalm´ at, l´ asd pl. [69]: egy iter´aci´o els˝orendben vagy line´ arisan konverg´al, ha van olyan 0 < q < 1 ´ alland´ o, hogy az εn hib´akra εn+1 ≤ q εn teljes¨ ul (∀n ∈ N; ekkor εn ≤ ε0 q n ∀n ∈ N), ill. m´asodrendben vagy kvadratikusan konverg´al, ha van olyan c > 0 ´ alland´ o, hogy εn+1 ≤ c ε2n (∀n ∈ N).
16.1. A gradiens-m´ odszer korl´ atos ¨ onadjung´ alt oper´ atorra 16.1.1. A gradiens-m´ odszer alapgondolata minimaliz´ al´ asi feladatra A gradiens-m´ odszer (GM) alapelv´et el˝osz¨or ´altal´anosan ismertetj¨ uk, mint funkcion´ alok minimaliz´ al´ as´ ara alkalmas m´odszert. Ezt most line´aris egyenletek eset´en a kvadratikus funkcion´alra haszn´aljuk fel, de egy k´es˝obbi fejezetben ugyanezt az elvet alkalmazzuk majd nemline´aris egyenletek megold´as´ara is. 227
228
´ cio ´ s mo ´ dszerek linea ´ ris opera ´ toregyenletekre 16. Itera
Legyen X Banach-t´er, Φ : X → R adott funkcion´al. Szeretn´enk meghat´arozni Φ egy lok´ alis minimumhely´et. Ennek term´eszetes m´odja egy olyan iter´ aci´ o, melynek minden l´ep´es´eben a legnagyobb cs¨okken´es ir´any´aban l´ep¨ unk tov´ abb (emiatt szok´ as az ilyen elj´ar´ast a leggyorsabb ereszked´es m´odszer´enek is h´ıvni). Form´ alisan ez a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o le: tegy¨ uk fel, hogy minden u, v ∈ X eset´en l´etezik a ∂v Φ(u) ir´anymenti deriv´alt. Defini´aljuk a k¨ovetkez˝o sorozatot: • legyen u0 ∈ X tetsz˝ oleges; • ha n ∈ N ´es un m´ ar megvan, akkor un+1 := un + αn vn , ahol αn > 0 konstans ´es a vn ∈ X vektor eleget tesz a ∂vn Φ(un ) = min{∂v Φ(un ) : v ∈ X, kvk = 1} felt´etelnek. Itt vn l´etez´es´et is feltessz¨ uk. Ha X = H Hilbert-t´er ´es Φ Gˆateaux-deriv´alhat´o, akkor ∂v Φ(un ) = hΦ0 (un ), vi ≥ − kΦ0 (un )k kvk , 0
Φ (un ) at a leggyorsabb ereszked´es ´es itt akkor van egyenl˝ os´eg, ha vn = − kΦ 0 (u )k , teh´ n ir´ anya −Φ0 (un ) sz´ amszorosa. V´egeredm´enyben ilyenkor a GM iter´aci´os l´ep´ese
un+1 := un − tn Φ0 (un )
(16.1)
alakban ´ırhat´ o, ahol tn > 0 a´lland´o. A GM-t legt¨ obbsz¨ or olyankor haszn´alj´ak, amikor egy´ertelm˝ uen l´etezik Φ-nek minimumhelye, ´es megfelel˝ o felt´etelekkel el´erhet˝o, hogy un ehhez tartson. Az eml´ıtett k´et eset – az al´ abbi line´aris ´es k´es˝obbi nemline´aris – is ilyen lesz a vizsg´ alt funkcion´ alok egyenletes konvexit´as´anak k¨osz¨onhet˝oen. (T¨obb lok´alis minimumhellyel rendelkez˝ o funkcion´alokra val´o alkalmaz´asok olvashat´ok pl. a [49] k¨ onyvben.)
16.1.2. A gradiens-m´ odszer korl´ atos line´ aris ¨ onadjung´ alt oper´ atorra Legyen H Hilbert-t´er, A ∈ B(H) egyenletesen pozit´ıv oper´ator. Ekkor teh´at A¨ onadjung´ alt ´es l´eteznek olyan M ≥ m > 0 ´alland´ok, hogy 2
m kuk ≤ hAu, ui ≤ M kuk
2
(∀u ∈ H),
(16.2)
´ dszer korla ´ tos o ´ lt opera ´ torra ¨ nadjunga 16.1. A gradiens-mo
229
itt a 6.11. t´etel alapj´ an vehet˝o M = kAk. Legyen f ∈ H tetsz˝ oleges ´es tekints¨ uk az Au = f oper´ atoregyenletet. Ennek a 7.1. t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H megold´ asa. Szeretn´enk iter´ aci´o seg´ıts´eg´evel megoldani az egyenletet, azaz u∗ hoz k¨ ozel´ıt˝ o sorozatot konstru´alni. A 14.2. ´ all´ıt´ as szerint a Φ(u) := hAu, ui − 2Re hf, ui kvadratikus funkcion´ al a fenti egyenlethez tartoz´o minimaliz´al´o funkcion´al, azaz Φ(u∗ ) = min Φ. (Ha H val´os t´er, akkor Re elhagyhat´o.) Alkalmazzuk teH
h´ at a gradiens-m´ odszert Φ minimaliz´al´as´ara! Ennek konstrukci´oj´ahoz el˝osz¨or ki kell sz´ am´ıtanunk a leggyorsabb ereszked´es v ir´any´at adott u pontban. Legyenek u, v ∈ H tetsz˝ olegesek. A 14.6. megjegyz´es alapj´an val´os Hilbert-t´er eset´en l´etezik a Φ0 (u) = 2(Au − f ) Gˆateaux-deriv´alt, ´ıgy a keresett v ir´any −(Au − f ) sz´ amszorosa. Ha H komplex, akkor pedig ∂v Φ(u) = 2Re hAu − f, vi , ami a Cauchy-Schwarz-egyenl˝otlens´eg alapj´an szint´en akkor minim´alis, ha v a −(Au−f ) vektor sz´ amszorosa (le kell norm´alni). A GM sor´an a lenorm´al´asb´ol sz´ armaz´ o ´ert´eket be´ep´ıthetj¨ uk az αn konstansokba, ´ıgy az al´abbi algoritmust kapjuk: • legyen u0 ∈ X tetsz˝ oleges; • ha n ∈ N ´es un m´ ar megvan, akkor un+1 := un − tn (Aun − f ), ahol tn > 0 ´ alland´ o. A l´ep´esir´ any teh´ at ´epp az rn := Aun − f rezidu´alis hibavektor (amir˝ol azt szeretn´enk hogy 0-hoz tartson). Ezzel a jel¨ol´essel az iter´aci´os l´ep´es un+1 := un − tn rn . Hogyan v´ alasszuk meg a tn konstansokat (a l´ep´esk¨ozt)? K´et term´eszetes v´alaszt´ as van: i) ´ alland´ o l´ep´esk¨ oz: tn ≡ t > 0 konstans;
´ cio ´ s mo ´ dszerek linea ´ ris opera ´ toregyenletekre 16. Itera
230
ii) optim´ alis l´ep´esk¨ oz: tn legyen olyan, hogy Φ(un − tn rn ) = min Φ(un − t>0
trn ). (i) A legjobb ´ alland´ o l´ ep´ esk¨ oz. A k¨ozel´ıt˝o sorozat ekkor un+1 := un − t(Aun − f )
(n ∈ N).
(16.3)
Szeretn´enk u ´gy v´ alasztani a t ´ert´eket, hogy l´ep´esenk´ent a legjobban cs¨okkenjen az un − u∗ hibavektor hossza. Itt un+1 − u∗ = un − u∗ − t (Aun − Au∗ ) = (I − tA)(un − u∗ ), ebb˝ ol kun+1 − u∗ k ≤ kI − tAk kun − u∗ k . A t konstanst teh´ at u ´gy kell megv´alasztani, hogy kI − tAk a legkisebb legyen. Mivel A ¨ onadjung´ alt (mert egyenletesen pozit´ıv), ez´ert I − tA is az, ´ıgy a norm´ aja az kI − tAk = sup |h(I − tA)x, xi| kxk=1
k´eplettel sz´ amolhat´ o (6.11. t´etel). Felhaszn´alva az A-ra vonatkoz´o becsl´eseket, ha kxk = 1, akkor 2
2
2
2
h(I − tA)x, xi = kxk − t hAx, xi ≤ kxk − tm kxk = (1 − tm) kxk = 1 − tm, 2
2
2
´es ugyan´ıgy h(I − tA)x, xi ≥ kxk − tM kxk = (1 − tM ) kxk = 1 − tM. Ebb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy kI − tAk ≤ max{|1 − tm| , |1 − tM |},
(16.4)
´es ez a maximum minim´ alis, ha tM − 1 = 1 − tm. ´Igy
2 2 M −m 2
≤1− ´es ekkor I − A ·m= . topt =
m+M m+M m+M M +m (16.5) Ebb˝ ol n M −m M −m kun+1 − u∗ k ≤ kun − u∗ k ≤ · · · ≤ ku0 − u∗ k , M +m M +m teh´ at a sorozat m´ertani sebess´eggel, azaz line´arisan konverg´al. A becsl´esben nem szerencs´es, hogy tartalmazza az ismeretlen u∗ -ot. Felhaszn´alva, hogy A ≥ mI eset´en kAuk ≥ m kuk (∀u ∈ H, l´asd a 7.2. t´etel bizony´ıt´as´aban), m ku0 − u∗ k ≤ kA(u0 − u∗ )k = kAu0 − f k . ¨ Osszefoglalva:
´ dszer korla ´ tos o ´ lt opera ´ torra ¨ nadjunga 16.1. A gradiens-mo
231
16.1. T´ etel. Legyen A ∈ B(H) o alt ´es teljes¨ ulj¨ on (16.2). Ekkor tet¨nadjung´ sz˝ oleges u0 ∈ H eset´en az un+1 := un −
2 (Aun − f ) m+M
(n ∈ N)
iter´ aci´ o line´ arisan konverg´ al, ´espedig kun − u∗ k ≤
1 kAu0 − f k m
M −m M +m
n .
16.2. Megjegyz´ es. Ha nem az optim´alis t ´ert´eket keress¨ uk, akkor (16.4) szerint olyan t-re konverg´ al a GM, vagyis kI − tAk < 1 akkor teljes¨ ul, ha 2 q(t) := max{|1 − tm| , |1 − tM |} < 1. K¨onnyen l´athat´o, hogy ez 0 < t < M 1 eset´en ´ all fenn, teh´ at ilyen t eset´en kun − u∗ k ≤ m kAu0 − f k q(t)n . (ii) Az optim´ alis l´ ep´ esk¨ oz. Kisz´am´ıtjuk, melyik az optim´alis tn konstans az egyes l´ep´esekben. Itt (14.6) alapj´an, u = un ´es v = −rn helyettes´ıt´essel Φ(un − trn ) a k¨ ovetkez˝ o m´ asodfok´ u polinom t-ben: Φ(un − trn ) = Φ(un ) − 2t hAun − f, rn i + t2 hArn , rn i = 2
= Φ(un ) − 2t krn k + t2 hArn , rn i . Ez akkor minim´ alis, ha 2
t = tn :=
krn k . hArn , rn i
Megeml´ıtj¨ uk, hogy a (tn ) sorozat korl´atos, nevezetesen 1 1 ≤ tn ≤ M m
∀n ∈ N,
valamint az optim´ alis ´ alland´o l´ep´esk¨oz ennek az als´o ´es fels˝o korl´atnak a harmonikus k¨ ozepe. 16.3. Megjegyz´ es. Az optim´alis l´ep´esk¨oz eset´en is csak az ´alland´o l´ep´esk¨ ozre kapott konvergenciah´ anyadossal becs¨ ulhet˝o a hiba, azaz n M −m kun − u∗ k ≤ C · M +m (l´ asd [33, Chap. XV]). Az optim´alis l´ep´esk¨oz t¨obb sz´am´ıt´ast ig´enyel, mint az ´ alland´ o, el˝ onye viszont az, hogy ez a tn akkor is kisz´am´ıthat´o, ha nem ismerj¨ uk m-et ´es M -et.
232
´ cio ´ s mo ´ dszerek linea ´ ris opera ´ toregyenletekre 16. Itera
16.4. Defin´ıci´ o. Ha egy A ∈ B(H) oper´ator invert´alhat´o, akkor az oper´ator kond´ıci´ osz´ ama
κ ≡ cond(A) := kAk A−1 . (A kond´ıci´ osz´ am a m´ atrixokhoz hasonl´oan megjelenik akkor, ha a jobboldal hib´ aja eset´en a megold´ as hib´aj´at becs¨ ulj¨ uk.) Most a GM konvergenciah´anyados´ at ´ırjuk ´ at a kond´ıci´ osz´ammal. Itt ugyanis az oper´ator ¨onadjung´alt ´es (16.2) teljes¨ ul. Ha ebben az m ´es M hat´
arok ´elesek, akkor, mint l´attuk, M = kAk, ´es ezzel anal´ og m´odon 1/m = A−1 . ´Igy egyenletesen pozit´ıv oper´ atorra M κ= , m ez a pozit´ıv definit m´ atrixokra ismert κ = λmax /λmin egyenl˝os´eg megfelel˝oje. (Ha (16.2) fenn´ all, de nem tudjuk az ´eless´eg´et, akkor κ ≤ M/m). A GM konvergenciah´ anyadosa teh´ at q=
κ−1 M −m = . M +m κ+1
Ez ann´ al kisebb, min´el k¨ ozelebb van κ 1-hez, nagy kond´ıci´osz´am eset´en viszont q ≈ 1.
16.2. A konjug´ alt gradiens-m´ odszer korl´ atos ¨ onadjung´ alt oper´ atorra 16.2.1. A KGM konstrukci´ oja Legyen H val´ os Hilbert-t´er, A ∈ B(H) egyenletesen pozit´ıv oper´ator, azaz teljes¨ ulj¨ on ism´et (16.2). A gradiens-m´odszer ´altal´anos l´ep´ese a k¨ovetkez˝o volt: un+1 := un − tn rn , ahol rn := Aun − f a rezidu´alis hibavektor, m´ask´eppen rn = Φ0 (un ), ahol Φ(u) = 21 hAu, ui − hf, ui. Rekurzi´oval l´athat´o, hogy ekkor un+1 -et az u0 ´es az r0 , r1 , . . . , rn vektorok fesz´ıtik ki, ut´obbiak negat´ıv egy¨ utthat´okkal. Ebb˝ol (v´eges dimenzi´ os szeml´elet alapj´an, az ott szok´asos megfontol´assal) ann´al nagyobb halmazon kereshetj¨ uk az u ´jabb k¨ozel´ıt´est, min´el f¨ uggetlenebbek” ” az ri vektorok, pontosabban, min´el nagyobb sz¨oget z´arnak be p´aronk´ent. Ebb˝ ol ad´ odik az u ´n. konjug´ alt gradiens-m´odszer (KGM) alapgondolata: az rn helyett a pn , u ´gynevezett konjug´alt ir´anyokban keres¨ unk, ahol a pn vektorok mer˝ olegesek az A-skal´ arszorzatban: hApi , pj i = 0
(∀i 6= j).
(konj)
´ lt gradiens-mo ´ dszer korla ´ tos opera ´ torra 16.2. A konjuga
233
Ezut´ an a sorozat a GM-hez hasonl´o: legyen u0 ∈ H tetsz˝oleges, ´es ha un megvan, akkor un+1 = un − αn pn , ahol αn > 0 ´ alland´ o. N´eh´ any el˝ ozetes megjegyz´es: 1. Ha Hn := span{p0 , p1 , . . . , pn }, akkor a fentihez hasonl´o rekurzi´oval un+1 ∈ u0 + Hn . 2. Az αn > 0 sz´ amot optim´alisan akarjuk megv´alasztani abban az ´ertelemben, hogy Φ(un+1 ) = min Φ|u0 +Hn . A Φ konvexit´ asa miatt ez ekvivalens azzal, hogy ∂p Φ(un+1 ) = hΦ0 (un+1 ), pi = 0
(∀p ∈ Hn )
ami azt jelenti, hogy hrn+1 , pi i = 0
(i = 1, 2, . . . , n).
(ort)
A c´el teh´ at u ´gy megv´ alasztani az αn konstansokat ´es a pn vektorokat, hogy a (konj) ´es (ort) tulajdons´ agok teljes¨ uljenek. Erre t¨obb lehet˝os´eg is van, a legelterjedtebb az u ´gynevezett Kn := span r0 , Ar0 , A2 r0 , . . . , An r0 ´ Krylov-alterekkel t¨ ort´enik, amelyek l´athat´oan csak u0 -t´ol f¨ uggnek. Espedig, mint l´ atni fogjuk, el´erhet˝ o, hogy Kn = Hn , azaz a pn ir´anyok Kn -ben vannak. Ekkor: A konjug´ alt gradiens-m´ odszer (KGM) algoritmusa: • Legyen u0 ∈ H tetsz˝ oleges, p0 := r0 (= Au0 − f ); • ha n ∈ N ´es un , pn ismert, akkor hrn , pn i , hApn , pn i hArn+1 , pn i := rn+1 − βn pn , ahol βn = . hApn , pn i
un+1 := un − αn pn , ahol αn = pn+1
(16.6) (16.7)
Megeml´ıtj¨ uk, hogy a fenti k´epletekb˝ol vezethet˝ok le a KGM elm´eleti tulajdons´ agai, viszont programoz´asi szempontb´ol ink´abb a 16.6. megjegyz´esben al´ abb eml´ıtett alakot ´erdemes haszn´alni. N´eh´ any hasznos megjegyz´es:
´ cio ´ s mo ´ dszerek linea ´ ris opera ´ toregyenletekre 16. Itera
234
1. Az els˝ o egyenletre alkalmazva A-t ´es mindk´et oldalb´ol kivonva f -et, azt kapjuk, hogy rn+1 = rn − αn Apn . (16.8) 2. L´ athat´ o, hogy αn defin´ıci´oja miatt hrn+1 , pn i = hrn , pn i − αn hApn , pn i = 0,
(16.9)
hasonl´ oan βn defin´ıci´ oj´ab´ol hApn+1 , pn i = hArn+1 , pn i − βn hApn , pn i = 0
(16.10)
ad´ odik. ´Igy egym´ ast k¨ovet˝o indexekre (konj) ´es (ort) teljes¨ ul. 3. Ha βn = 0 lenne, akkor visszakapn´ank a gradiens-m´odszert. 16.5. T´ etel. Legyen n ∈ N, ekkor 1. pn ∈ Kn , rn ∈ Kn ; 2. Hn = Kn ; 3. hrn+1 , pi i = 0
i = 0, 1, . . . , n, azaz (ort) teljes¨ ul;
4. hrn+1 , Api i = 0
i = 0, 1, . . . , n − 1;
5. hApn+1 , pi i = 0
i = 0, 1, . . . , n, azaz (konj) is teljes¨ ul.
Bizony´ıt´ as. Legyen n = 0. Ekkor defin´ıci´o szerint p0 = r0 , ´ıgy 1. ´es 2. trivi´ alisan teljes¨ ul. A 3. ´es 5. az el˝oz˝o megjegyz´es miatt teljes¨ ul, mert i = nre (16.9) ´es (16.10) szerint igaz, de most n = 0. Legyen most n ∈ N tetsz˝oleges ´es tegy¨ uk fel, hogy 1., 2., 3. ´es 5. teljes¨ ul n − 1-ig. 1. Az indukci´ os feltev´es szerint rn−1 ∈ Kn−1 ´es pn−1 ∈ Kn−1 , ez´ert a marad´ekvektorra kapott (16.8) rekurzi´ot haszn´alva rn =
rn−1 | {z }
∈Kn−1 ⊂Kn
− αn−1 · Apn−1 | {z }
∈A(Kn−1 )⊂Kn
pn = rn − βn−1 · pn−1 |{z} | {z } ∈Kn
∈ Kn ,
∈ Kn .
∈Kn−1 ⊂Kn
2. Tudjuk, hogy pi ∈ Ki (i = 1, . . . , n − 1) az indukci´os feltev´es szerint, i = nre a most bizony´ıtott 1. r´esz szerint. Ekkor Hn = span{p0 , p1 , . . . , pn } ⊂ Kn , ahol Kn legfeljebb n+1 dimenzi´os, Hn viszont az 5. indukci´os feltev´ese szerint pontosan n + 1 dimenzi´ os, ´ıgy Hn = Kn .
´ lt gradiens-mo ´ dszer korla ´ tos opera ´ torra 16.2. A konjuga
235
3. Ha i = n, akkor (16.9)-et kapjuk, ami teljes¨ ul. Ha i ≤ n − 1, akkor 3. ´es 5. indukci´ os feltev´es´et felhaszn´ alva hrn+1 , pi i = hrn − αn Apn , pi i = hrn , pi i −αn hApn , pi i = 0. | {z } | {z } 0
0
4. Ez az ´ all´ıt´ as a t¨ obbib˝ ol indukci´o n´elk¨ ul k¨ovetkezik: be kell l´atni, hogy hrn+1 , Api i = 0 (i = 0, 1, . . . , n − 1). Ha i ≤ n − 1, akkor Api ∈ A(Ki ) ⊂ Ki+1 ⊂ Kn . A 3. r´esz miatt rn+1 ⊥ Kn , mert minden b´aziselem´ere mer˝oleges. 5. A (16.10) szerint i = n-re teljes¨ ul az ´all´ıt´as. Ha i ≤ n − 1, akkor 4.-et ´es 5. indukci´ os feltev´es´et felhaszn´ alva hApn+1 , pi i = hArn+1 − βn Apn , pi i = hArn+1 , pi i −βn hApn , pi i = 0. {z } | {z } | hrn+1 ,Api i=0
0
16.6. Megjegyz´ es. Az αn ´es βn ´ert´ekeket gyakran m´asik alakban haszn´ alj´ ak. Egyr´eszt, az algoritmusb´ol pn := rn − βn−1 pn−1 , ´ıgy rn ⊥ pn−1 krn k2 miatt hrn , pn i = krn k2 ´es αn = . Ebb˝ol, ´es felhaszn´alva, hogy hApn , pn i αn Apn = rn − rn+1 ´es hogy rn ∈ Kn ⊥ rn+1 : 2
βn =
hrn+1 , αn Apn i krn+1 k hArn+1 , pn i αn = =− . 2 2 krn k krn k krn k2
Emellett fontos ´eszrevenni, hogy l´ep´esenk´ent sz¨ uks´eg van az rn ´ert´ekekre is, amiket rn := Aun − f kisz´ am´ıt´asa helyett a (16.8) rekurzi´oval kapunk. V´eg¨ ul, gyakran a korrekci´ os tagokat plusz el˝ojellel ´ırjuk ´es a m´ınuszt ´attessz¨ uk a konstansokba. (Nem okoz f´elre´ert´est, ha ugyanazokkal a bet˝ ukkel jel¨olj¨ uk.) Ezekb˝ ol a KGM algoritmusa az lun+1 := un + αn pn ´es rn+1 := rn + αn Apn , ahol αn = − pn+1 := rn+1 + βn pn ,
ahol βn =
krn+1 k krn k2
krn k2 , (16.11) hApn , pn i
2
(16.12)
alakban ´ırhat´ o. 16.7. Megjegyz´ es. Konjug´alt ir´anyok egy m´asik nevezetes konstrukci´oja a magyar L´ anczos Korn´el nev´ehez f˝ uz˝odik, a L´anczos-algoritmus mind egyenletrendszerek megold´ as´ aban, mind saj´at´ert´ekek ´es saj´atvektorok kisz´am´ıt´as´aban felhaszn´ alhat´ o, l´ asd pl. [4, 46].
236
´ cio ´ s mo ´ dszerek linea ´ ris opera ´ toregyenletekre 16. Itera
16.2.2. A KGM konvergenci´ aja A konvergenciatulajdons´ agok a KGM minimaliz´al´o tulajdons´ag´ab´ol vezethet˝ ok le, amit t¨ obbf´elek´epp is megfogalmazhatunk. Kiindul´ask´epp id´ezz¨ uk fel a konstrukci´ o elej´en fel´ırt form´aban: ´ ıt´ 16.8. All´ as. Φ(un+1 ) = min Φ|u0 +Kn . Bizony´ıt´ as. Mint l´ attuk, ez Φ konvexit´asa miatt ´epp az (ort) tulajdons´aggal ekvivalens, azt pedig az el˝ oz˝ o t´etelb˝ol tudjuk. 16.9. Megjegyz´ es. A fenti tulajdons´agb´ol k¨ovetkezik, hogy a KGM v´eges dimenzi´ oban kerek´ıt´esi hib´ akt´ol eltekintve v´eges (direkt) m´odszer, azaz egy A ∈ Rn×n pozit´ıv definit m´ atrix´ u egyenletrendszerre alkalmazva n l´ep´es ut´an a pontos megold´ ast adja. Ez azonban elvi v´egess´eg, a gyakorlatban mint iter´aci´ os m´ odszert haszn´ aljuk a KGM-et, mivel az n m´atrixm´eret ´altal´aban sokkal nagyobb (pl. 103 –106 ), mint ah´any l´ep´esben (pl. 10–100) m´ar elfogadhat´o hibahat´ aron bel¨ ulre konverg´ al a sorozat. 2
Mint l´ attuk, Φ(u) − Φ(u∗ ) = ku − u∗ kA , ´ıgy a fenti ´all´ıt´as szerint kun+1 − u∗ kA =
min
u∈u0 +Kn
ku − u∗ kA .
Ebb˝ ol ad´ odik az al´ abbi egyenl˝os´eg, amely a konvergenciabecsl´esek alapja. 16.10. T´ etel (a KGM minimaliz´ al´ o tulajdons´ aga). Legyen en = un − u egyv´ altoz´ os pn polinou∗ a hibavektor, ´es jel¨ olje P1n azon legfeljebb n-edfok´ mok halmaz´ at, melyekre pn (0) = 1. Ekkor ken kA = min1 kpn (A)e0 kA . pn ∈Pn
Bizony´ıt´ as. Az el˝ oz˝ oek szerint ken kA =
min
e∈e0 +Kn−1
kekA .
Itt az r0 = Au0 − f = Au0 − Au∗ = Ae0 egyenl˝os´eg miatt ( ) n−1 X i e0 + Kn−1 = e0 + ci A r0 : c0 , c1 , . . . , cn−1 ∈ R i=0
( =
e0 +
n−1 X
) ci A
i+1
e0 : c0 , c1 , . . . , cn−1 ∈ R
=
i=0
n o = pn (A)e0 : pn ∈ P1n .
´ lt gradiens-mo ´ dszer korla ´ tos opera ´ torra 16.2. A konjuga
237
Ha A-nak l´etezik teljes saj´ atvektorrendszere, akkor t¨obbet tudunk mondani. Legyen {uk } ⊂ HA saj´ atvektorokb´ol ´all´o teljes ortonorm´alt rendszer, ´es legyenek λk (k ∈ N+ ) a megfelel˝o saj´at´ert´ekek. Tekints¨ uk e0 -nak az {uk } rendszer szerint Fourier-sorfejt´es´et. Ekkor e0 =
∞ X
⇒
dk uk
pn (A)e0 =
k=1
dk pn (λk )uk
k=1
2 kpn (A)e0 kA
⇒
∞ X
=
∞ X
2
2
|dk pn (λk )| ≤ max |pn (λk )| · λk
k=1
∞ X
|dk |
2
k=1
| {z } ke0 k2A
⇒
kpn (A)e0 kA ken kA = min1 ≤ min1 max |pn (λk )| . λk ke0 kA ke0 kA pn ∈Pn pn ∈Pn (16.13)
A kapott kifejez´es becsl´es´ehez el˝osz¨or csak azt haszn´aljuk fel, hogy az mI ≤ A ≤ M I felt´etel miatt λk ∈ [m, M ] (∀k ∈ N). Ekkor az el˝oz˝oek szerint n o ken kA ≤ min1 max |pn (λ)| =: q(m, M ). ke0 kA pn ∈Pn λ∈[m,M ]
(16.14)
Ha nincs teljes saj´ atvektorrendszer, akkor A spektr´alfelbont´as´ab´ol kapjuk ugyanezt. Itt ugyanis σ(A) ⊂ [m, M ], ez a 7.7. ´all´ıt´as 2. fel´eb˝ol k¨ovetkezik, mivel az mI ≤ A ≤ M I felt´etel miatt σ(A − mI) ⊂ [0, ∞) ´es σ(M I − A) ⊂ [0, ∞), amib˝ ol σ(A) ⊂ (−∞, M ] ∩ [m, ∞). ´Igy (16.13) ´es a 6.102. ´all´ıt´as alapj´ an n o ken kA ≤ min1 kpn (A)k ≤ min1 max |pn (λ)| ≤ ke0 kA pn ∈Pn pn ∈Pn λ∈σ(A) n o ≤ min1 max |pn (λ)| = q(m, M ). pn ∈Pn
λ∈[m,M ]
A q(m, M ) ´ert´ek meghat´ aroz´asa tiszt´an approxim´aci´oelm´eleti feladat, melynek megold´ asa ismert (l´ asd pl. [69, I. 1.6.7]), ´espedig √ √ n √ √ !n √M −√m 2 M− m 1 M+ m = , q(m, M ) = √ √ √ 2n / 2 √ M+ m Tn M +m 1 + √M −√m M −m
M+ m
ahol Tn az n-edfok´ u els˝ ofaj´ u Csebisev-polinom. Ebb˝ol k¨ovetkezik a KGM nevezetes line´ aris konvergenciabecsl´ese:
´ cio ´ s mo ´ dszerek linea ´ ris opera ´ toregyenletekre 16. Itera
238
16.11. T´ etel (line´ aris konvergencia). Ha az A ∈ B(H) oper´ atorra teljes¨ ul (16.2), akkor a KGM ´ altal l´etrehozott en = un − u∗ hibavektorokra ken kA ≤2 ke0 kA
√ √ !n M− m √ √ M+ m
(∀n ∈ N).
Ha o ¨sszehasonl´ıtjuk a GM ´es KGM m´odszerek konvergenciah´anyadosait, akkor l´ athat´ o, hogy a KGM gyorsabb: √ κ−1 κ−1 < qKGM = √ = qGM , κ+1 κ+1 ahol κ =
M m
(16.15)
az oper´ ator kond´ıci´osz´ama. 2
16.12. Megjegyz´ es. Mivel ken kA = hAen , en i = hrn , A−1 rn i, ´ıgy a 7.10. 2 2 2 1 1 krn k ≤ ken kA ≤ m krn k . Ebb˝ol ´es az el˝oz˝o t´etelb˝ol all´ıt´ ´ ast alkalmazva M ad´ odik a marad´ekvektorokra ´erv´enyes becsl´es: r krn k M ≤2 kr0 k m
√ √ !n M− m √ √ M+ m
(∀n ∈ N).
Ha az A oper´ atornak speci´ alis alakja van, akkor jobb konvergenciabecsl´est is tudunk mondani. Tegy¨ uk fel, hogy A = I + L, ahol L ≥ 0 kompakt ¨onadjung´ alt oper´ ator H-ban. Ekkor tudjuk, hogy L-nek megsz´aml´alhat´o sok saj´ at´ert´eke van, amelyek csak a null´aban torl´odhatnak, valamint l´etezik teljes saj´ atvektorrendszere. Legyenek L saj´at´ert´ekei µ1 ≥ µ2 ≥ . . . ≥ 0, ekkor A saj´ at´ert´ekei λi = 1 + µi , ´es saj´atvektorai ugyanazok, mint L-nek. 16.13. T´ etel (szuperline´ aris konvergencia). Legyen A = I + L, ahol L ≥ 0 kompakt ¨ onadjung´ alt oper´ ator. Ekkor l´etezik olyan εn → 0 sorozat, hogy a KGM hibavektoraira ken kA ≤ εnn . ke0 kA Bizony´ıt´ as. Legyen Qn (λ) :=
n Y λ 1− . λj j=1
´ lt gradiens-mo ´ dszer korla ´ tos opera ´ torra 16.2. A konjuga
239
Vil´ agos, hogy Qn olyan n-edfok´ u polinom, amelyre Qn (0) = 1. Emellett Qn (λk ) = 0, ha k ≤ n. A (16.13) becsl´est haszn´alva teh´at n Y λj − λk ken kA ≤ max |Qn (λk )| = max |Qn (λk )| = max λj = λk k≥n+1 k≥n+1 ke0 kA j=1 n n n Y Y Y µj − µk µj ≤ max = max = µj = εnn , 1 + µj k≥n+1 k≥n+1 1 j=1 j=1 j=1 qQ n ahol εn := n j=1 µj egy nullsorozat m´ertani-k¨oz´ep sorozata, ´ıgy szint´en null´ ahoz tart. 16.14. Megjegyz´ es. Az εn sorozatot gyakran a sz´amtani-m´ertani k¨oz´ep k¨ ozti egyenl˝ otlens´eg r´ev´en ¨ osszeg alakban becs¨ ulj¨ uk: εn ≤
n 1 X µj , n j=1
azaz
n n 1 X ken kA µj ≤ ke0 kA n j=1
(n ∈ N).
(16.16)
P Ha µj < ∞, akkor teh´ at a konvergenciah´anyados O( n1 ) nagys´agrendben tart 0-hoz. Ha csak aztPtessz¨ uk fel, hogy L u ´n. Hilbert–Schmidt oper´ator, 2 azaz amelyre |||L||| := µ2j < ∞, akkor a n´egyzetes k¨oz´eppel becs¨ ulve v u X 1 u1 n 2 |||L||| µj ≤ √ = O √ . εn ≤ t n j=1 n n Ilyenek p´eld´ aul a 6.75. ´ all´ıt´ asban szerepl˝o integr´aloper´atorok, l´asd [3]. Az eml´ıtetteken k´ıv¨ ul hasonl´ o becsl´esek adhat´ok tetsz˝oleges p-adikus k¨ozepekkel, ezt ´es a fenti t´etel eredeti v´ altozat´at l´asd [73].
16.2.3. A prekondicion´ alt KGM al ugyan, de Ha az A oper´ ator olyan, hogy M m nagy, akkor a KGM konverg´ lassan. Ilyenkor a v´eges dimenzi´os eset mint´aj´ara bevezethet˝o a KGM prekondicion´ alt v´ altozata. Tegy¨ uk fel, hogy van olyan, szint´en ¨onadjung´alt ´es egyenletesen pozit´ıv B oper´ ator, mellyel a megfelel˝o oper´atoregyenletek egyszer˝ ubben megoldhat´ ok, mint A-val, emellett a B-norm´ara n´ezve az A oper´ ator hat´ arai k¨ ozelebb vannak egym´ashoz, azaz f hBu, ui m e hBu, ui ≤ hAu, ui ≤ M ahol f M M . m e m
(∀u ∈ H),
(16.17)
240
´ cio ´ s mo ´ dszerek linea ´ ris opera ´ toregyenletekre 16. Itera
Itt a B energia-skal´ arszorzat´aval ´es -norm´aj´aval kifejezve
hAu, ui = B −1 Au, u B
´es
hBu, ui = kuk2B ,
´ıgy
−1 2 fkuk2B mkuk e Au, u B ≤ M B ≤ B
(∀u ∈ H),
azaz a B −1 A prekondicion´ alt oper´atorra (16.2) megfelel˝oje ´all fenn B energiater´eben, jobb hat´ arokkal. Az Au = f egyenlet is ´at´ırhat´o B −1 Au = B −1 f alakba, ´ıgy alkalmazhatjuk r´a a KGM-t B energiater´eben. Ekkor a (16.11)(16.12) algoritmusban A helyett a B −1 A oper´ator ´es h., .i helyett a h., .iB skal´ arszorzat szerepel, ezen bel¨ ul αn nevez˝oj´eben B −1 Apn , pn B =
BB −1 Apn , pn = hApn , pn i marad, a t¨obbi helyen B-norma ´all. ´Igy az iter´ aci´ o un+1 := un + αn pn ´es rn+1 := rn + αn B −1 Apn , krn k2B , ahol αn = − hApn , pn i
(16.18)
2
pn+1 := rn+1 + βn pn ,
ahol βn =
krn+1 kB krn k2B
(16.19)
alak´ u. Itt az rn+1 -re vonatkoz´o l´ep´esben nem sz´am´ıtjuk ki B −1 -et, hanem meg kell oldani egy seg´edegyenletet, azaz k´et l´ep´esre bontva (
rn+1 := rn + αn zn ,
ahol (16.20)
Bzn = Apn .
1/2 1/2 A hibabecsl´esben B −1 Aen , en B = hAen , en i = ken kA marad, de a konsf tansok m e ´es M lesznek, ´ıgy ken kA ≤2 ke0 kA
√ !n m e p √ f+ m M e
p
f− M
(∀n ∈ N).
(16.21)
A fenti m´ odszer nem korl´ atos esetre is kiterjeszthet˝o, ott azonban a H-n´al sz˝ ukebb ´ertelmez´esi tartom´ anyok miatt nagyobb k¨or¨ ultekint´esre van sz¨ uks´eg. Ezt a 16.5. szakaszban ´ırjuk le.
´ lt gradiens-mo ´ dszer nem o ´ lt opera ´ torra ¨ nadjunga 16.3. A konjuga
241
16.3. A konjug´ alt gradiens-m´ odszer korl´ atos, nem ¨ onadjung´ alt oper´ atorra Legyen A ∈ B(H), ahol A most nem ¨onadjung´alt. Tegy¨ uk fel, hogy A bijekci´o. Az el˝ oz˝ o szakasz m´ odszer´et term´eszetes m´odon kiterjeszthetj¨ uk erre az esetre, ha fel´ırjuk az Au = b egyenlet szimmetriz´altj´at, azaz a norm´alegyenletet: A∗ Au = A∗ b.
(16.22)
Itt a 4.14. homeomorfizmus-t´etel szerint A−1 folytonos, ebb˝ol ´es a korl´atoss´ agb´ ol ¨ osszess´eg´eben l´eteznek olyan M ≥ m > 0 ´alland´ok, hogy m kuk ≤ kAuk ≤ M kuk
(∀u ∈ H).
(16.23)
2
Itt kAuk = hA∗ Au, ui, ebb˝ ol 2
2
m2 kuk ≤ hA∗ Au, ui ≤ M 2 kuk
(∀u ∈ H),
(16.24)
´es itt A∗ A ¨ onadjung´ alt is. Ez egyr´eszt azt jelenti, hogy a 7.1. t´etel szerint a (16.22) egyenletnek egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H megold´asa. Mivel a 6.5. felbont´ asi t´etelb˝ ol R(A) = H miatt ker(A∗ ) = {0}, azaz A∗ injekt´ıv, ´ıgy u∗ egyben az Au = b megold´ asa is. M´asr´eszt, (16.24) szerint alkalmazhatjuk az el˝ oz˝ o szakaszbeli KGM algoritmust. ´Irjuk fel a (16.11)-(16.12) algoritmust a (16.22) egyenletre! Szeretn´enk megtartani az rn jel¨ ol´est az Aun −b rezidu´alis vektorra, ez´ert a (16.11)-(16.12)-ban szerepl˝ o rn jel¨ ol´est sn -nel helyettes´ıtj¨ uk. Ekkor teh´at sn = A∗ (Aun − b) = ∗ A rn . Emellett az A oper´ ator ´es b jobboldal helyett az algoritmusban rendre A∗ A ´es A∗ b szerepel. Ezek alapj´an k¨onnyen l´athat´o, hogy a (16.22)-re kapott algoritmus a k¨ ovetkez˝ o alakban ´ırhat´o fel. Legyen u0 ∈ H tetsz˝oleges, r0 := Au0 − b, s0 := p0 := A∗ r0 . Ha n ∈ N ´es megvan pn , un , rn ´es sn , akkor legyen zn = Apn , hrn , zn i α =− , un+1 = un + αn pn , rn+1 = rn + αn zn ; n kzn k2 (16.25) ∗ s = A r , n+1 n+1 2 βn = ksn+1 k , pn+1 = sn+1 + βn pn . ksn k2 Ezt az algoritmust gyakran KGN-m´odszernek h´ıvj´ak. A KGN-m´ odszer konvergenciabecsl´esei k¨ozvetlen¨ ul ad´odnak az el˝oz˝o szakaszbeliekb˝ ol. Itt kek kA∗ A = kAek k = krk k, ´ıgy a becsl´eseket nem az ek hibavektorra, hanem az rk marad´ekvektorra kapjuk. (Ebb˝ol viszont ut´ana a (16.23)
242
´ cio ´ s mo ´ dszerek linea ´ ris opera ´ toregyenletekre 16. Itera
szerinti m kek k ≤ krk k egyenl˝otlens´eg miatt ek -ra is ´att´erhet¨ unk.) El˝osz¨or a line´ a ris konvergenciabecsl´ e st ´ ırjuk fel a 16.11. t´ e telb˝ o l, ahol (16.24) miatt √ √ M ´es m hely´ere M ´es m l´ep: n krk k M −m (∀n ∈ N). (16.26) ≤2 kr0 k M +m Ha pedig A = I + L, ahol L ≥ 0 kompakt oper´ator, akkor A∗ A = I + (L∗ + L + L∗ L), azaz A∗ A is a fenti t´ıpus´ u, hiszen L∗ + L ´es L∗ L is kompakt ´ onadjung´ alt ´es pozit´ıv. Igy a (16.16) becsl´esb˝ol ¨ k 1 X k krk k ≤ λi (L∗ + L) + λi (L∗ L) kr0 k k i=1
(n ∈ N).
(16.27)
16.15. Megjegyz´ es. A (16.23) felt´etelekhez el´egs´eges a koercivit´as, emellett a norma is kifejezhet˝ o biline´ aris form´akkal, azaz ha mkuk2 ≤ hAu, ui ´es |hAu, vi| ≤ M kukkvk
(u, v ∈ H),
akkor teljes¨ ul (16.23). Val´ oban, egyr´eszt a bal oldali koercivit´asi becsl´esb˝ol mkuk2 ≤ hAu, ui ≤ kAukkuk, amib˝ ol k¨ ovetkezik (16.23) bal oldala, m´asr´eszt a jobb oldali becsl´esb˝ol a 6.10. all´ıt´ ´ as alapj´ an kAk ≤ M , ami ekvivalens (16.23) jobb oldal´aval. A nem ¨ onadjung´ alt eset egy tov´abbi lehets´eges megk¨ozel´ıt´ese olyan algoritmusok kidolgoz´ asa, melyek elker¨ ulik a norm´alegyenletet: a keres´esi ir´anyokhoz az eredeti oper´ ator marad´ekvektor´at haszn´aljuk, ´es – a legkisebb n´egyzetek elve alapj´ an – az ´ıgy konstru´ alt Hn altereken minimaliz´aljuk a Φ(u) := kAu − f k2 funkcion´ alt. Ekkor azonban a konvergenciah´anyados is nagyobb. Ilyenek pl. az algebrai egyenletrendszerek eset´en nevezetes GMRES ´es GCG m´odszerek, l´ asd pl. [4]. Ennek a szakasznak az algoritmusaira is ´ertelemszer˝ uen konstru´alhat´o prekondicion´ alt v´ altozat.
16.4. Iter´ aci´ os m´ odszerek nyeregpont-feladatokra Tekints¨ uk a (7.7) feladatot: (
Au + Bp = f B∗u
= g,
(16.28)
´ cio ´ s mo ´ dszerek nyeregpont-feladatokra 16.4. Itera
243
ahol H, K val´ os Hilbert-terek, f ∈ H, g ∈ K, A : H → H ´es B : K → H korl´ atos line´ aris oper´ atorok, valamint A o¨nadjung´alt ´es van olyan m > 0, hogy 2 hAu, ui ≥ m kuk (∀u ∈ H), (16.29) v´eg¨ ul pedig teljes¨ ulj¨ on az inf-sup-felt´etel: inf
sup
p∈K\{0} u∈H\{0}
hBp, ui =: γ > 0. kpkkuk
(16.30)
A (16.28) feladat iter´ aci´ os megold´asa ugyanazon elven alapul, mint a megoldhat´ os´ ag igazol´ asa a 7.3.1. szakaszban, ´espedig azon, hogy a feladat visszavezethet˝ o az S := B ∗ A−1 B (16.31) Schur-f´ele komplementer-oper´atorra vonatkoz´o Sp = g˜
(16.32)
egyenletre, ahol g˜ := B ∗ A−1 f − g. Itt ugyanis S egyenletesen pozit´ıv, ´ıgy a (16.32) egyenletre alkalmazhatjuk az el˝oz˝o szakaszok m´odszereit. Ha a(z ´ alland´ o l´ep´esk¨ oz˝ u) gradiens-m´odszert haszn´aljuk a (16.32) egyenletre, akkor a nevezetes u ´n. Uzawa-algoritmust kapjuk. 16.16. T´ etel. (Az Uzawa-algoritmus konvergenci´ aja.) A (16.28) feladat felt´etelei mellett tekints¨ uk az al´ abbi iter´ aci´ ot. Legyenek u0 ∈ H, p0 ∈ K tetsz˝ olegesek ´es α > 0 adott sz´ am, ha pedig n ∈ N ´es megvan un ∈ H ´es pn ∈ K, akkor ( Aun+1 + Bpn = f (azaz un+1 ennek megold´ asa), (16.33) ∗ pn+1 := pn + α(B un+1 − g). Van olyan α0 > 0, hogy 0 < α < α0 eset´en a fenti iter´ aci´ o line´ arisan konverg´ al, vagyis alkalmas c1 , c2 > 0 ´es q < 1 mellett kun − u∗ k ≤ c1 q n , Itt α0 = kBk m
2
2m . kBk2
kpn − p∗ k ≤ c2 q n
Az optim´ alis param´eter αopt =
; ekkor q =
2 Λ+λ ,
(n ∈ N). ahol λ :=
γ2 kAk2
´es Λ :=
Λ−λ Λ+λ .
Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk a (16.32) egyenletet. Itt S egyenletesen pozit´ıv ´es γ2 2 a 7.23. t´etel bizony´ıt´ asa szerint hSp, pi ≥ kAk (∀p ∈ K). Emellett a 2 kp k 2
(16.31) defin´ıci´ o alapj´ an kSk ≤ kB ∗ kkA−1 kkBk = kBk2 kA−1 k. Itt m kuk ≤
244
´ cio ´ s mo ´ dszerek linea ´ ris opera ´ toregyenletekre 16. Itera
hAu, ui miatt kA−1 k ≤ γ2 kAk2
1 m,
l´ asd 7.9. ´all´ıt´as. Ebb˝ol kSk ≤ kBk2 m .
kBk2 m .
Az S oper´ator
hat´ arai teh´ at λ := ´es Λ := Alkalmazzuk a (16.32) egyenletre a gradiens-m´odszert: (16.3) megfelel˝oje most pn+1 := pn − α(Spn − g˜). Ha itt un+1 -et (16.33) els˝o egyenl˝os´eg´evel defini´ aljuk, akkor pn+1 = pn − α B ∗ A−1 (Bpn − f ) + g = pn − α g − B ∗ un+1 , ami ´epp (16.33) m´ asodik egyenl˝os´ege, ´ıgy a (16.32) egyenletre alkalmazott GM megegyezik a (16.33) iter´aci´oval. A 16.2. megjegyz´es alapj´an 0 < α < arisan konverg´al, ´espedig kpn − p∗ k ≤ c2 q n , ahol α0 := Λ2 eset´en ez a GM line´ c2 > 0 ´es q ≡ q(α) = max{|1 − αm| , |1 − αM |} < 1. Az un -ekre vonatkoz´o becsl´est ebb˝ ol u ´gy nyerj¨ uk, ha (16.33) els˝o sor´at ´at´ırjuk Aun + Bpn−1 = Au∗ + Bp∗ alakban, ebb˝ ol ugyanis m kun − u∗ k ≤ kAun − Au∗ k = kBpn−1 − Bp∗ k ≤ ≤ kBk kpn−1 − p∗ k ≤
kBk c2 n q . q
V´eg¨ ul az optim´ alis eset k¨ ovetkezik a 16.1. t´etelb˝ol, mivel az S oper´ator hat´arai λ ´es Λ. Az Uzawa-algoritmus ´ertelemszer˝ uen ´atvihet˝o biline´aris form´akkal megfogalmazott vagy nem korl´ atos oper´atorokat tartalmaz´o nyeregpont-feladatokra, ahogy ut´ obbiak megoldhat´ os´ag´an´al is elj´artunk. Tekints¨ uk p´eld´aul a (8.17) feladatot, melyet r¨ ogt¨ on a (8.19)-ben bevezetett gyenge alakban ´ırunk fel: ( hu, viS + hp, N ∗ vi = hf, vi (∀v ∈ HS ), (16.34) hN ∗ u, qi = hg, qi (∀q ∈ K). Itt H, K val´ os Hilbert-terek, S : H ⊃→ H ´es N : K ⊃→ H s˝ ur˝ un defini´alt oper´ atorok, S szimmetrikus ´es egyenletesen pozit´ıv, valamint f ∈ H, g ∈ K adott vektorok. Teljes¨ ulj¨ on emellett D(N ∗ ) ⊃ HS (ahol HS az S energiatere), ´es az S-norm´ aval vett inf-sup-felt´etel: inf
sup
p∈D(N )\{0} u∈HS \{0}
hN p, ui = γ > 0. kpkkukS
(16.35)
A 8.41. t´etel szerint ekkor a (16.34) feladatnak egy´ertelm˝ uen l´etezik (u∗ , p∗ ) ∈ HS × K gyenge megold´ asa. Ezt az eredm´enyt a gyenge alak biline´aris form´ait reprezent´ al´ o oper´ atorokon kereszt¨ ul a (16.28) t´ıpus´ u feladatokra vezett¨ uk
´ cio ´ s mo ´ dszerek nyeregpont-feladatokra 16.4. Itera
245
vissza a HS × K t´erben. Ugyan´ıgy ad´odik a 16.16. t´etel megfelel˝oje. Az algoritmus (16.33) alapj´ an a k¨ ovetkez˝o: legyenek u0 ∈ HS , p0 ∈ K tetsz˝olegesek ´es α > 0 adott sz´ am, ha pedig megvan un ∈ HS ´es pn ∈ K, akkor hun+1 , viS + hpn , N ∗ vi = hf, vi (∀v ∈ HS ), hpn+1 , qi = hpn , qi + α hN ∗ un+1 , qi − hg, qi (∀q ∈ K).
(16.36)
Itt az S-skal´ arszorzatot HS -en az identit´as reprezent´alja, ´ıgy kAk ´es m hely´ere most 1 ker¨ ul, kBk hely´ere pedig a B : K × HS → R biline´aris forma norm´aja l´ep, ahol B(p, v) := hp, N ∗ vi. Ezekb˝ol a megfontol´asokb´ol ad´odik a 16.17. K¨ ovetkezm´ eny. A (16.34) feladat felt´etelei mellett van olyan α0 > 0, hogy 0 < α < α0 eset´en a (16.36) iter´ aci´ o line´ arisan konverg´ al, vagyis alkalmas c1 , c2 > 0 ´es q < 1 mellett kun − u∗ kS ≤ c1 q n , A β := kBk jel¨ ol´essel α0 =
2 β2 ,
kpn − p∗ k ≤ c2 q n
(n ∈ N).
valamint az optim´ alis param´eter ´es hozz´ atar-
toz´ o konvergenciah´ anyados rendre αopt =
2 β 2 +γ 2
´es q =
β 2 −γ 2 β 2 +γ 2 .
A fentiekhez hasonl´ oan konstru´alhatunk iter´aci´ot nyeregpont-feladatra a konjug´ alt gradiens-m´ odszer alapj´an is. Tekints¨ uk ism´et a (16.28) feladatot, ´es ´ırjuk fel a KGM algoritmus´ at az (16.32) egyenletre a (16.11)–(16.12) k´epletek alapj´ an. Mivel most p jel¨ oli a m´asodik koordin´at´at, ´ıgy a keres´esi ir´anyokat dn -nel jel¨ olj¨ uk. Ekkor az algoritmus: pn+1 := pn + αn dn
´es rn+1 := rn + αn Sdn , krn k2 ahol αn = − , hSdn , dn i
(16.37)
2
dn+1 := rn+1 + βn dn ,
ahol βn =
krn+1 k . krn k2
(16.38)
A fenti iter´ aci´ o a GM-hez hasonl´oan feldarabolhat´o ´es tartalmaz l´ep´esenk´ent egy seg´edegyenletet, mivel Sdn kisz´am´ıt´asa u ´gy ´ırhat´o, hogy az Azn = Bdn ∗ egyenlet megold´ a sa ut´ a n Sd = B z . A p -re vonatkoz´o konvergencia h´an n n √ √ √λ , ahol λ ´ nyadosa q = √Λ− e s Λ az S oper´ atornak az el˝obb kisz´am´ıtott Λ+ λ hat´ arai. Adott n-re un kisz´ am´ıt´asa ´es ugyanilyen konvergenciah´anyados´ u hibabecsl´ese pedig megegyezik a GM-n´el l´atottal.
´ cio ´ s mo ´ dszerek linea ´ ris opera ´ toregyenletekre 16. Itera
246
16.5. Iter´ aci´ os m´ odszerek ´ es prekondicion´ al´ as Hilbert-t´ erben nem korl´ atos oper´ atorra Az el˝ oz˝ o szakaszokbeli gradiens- ´es konjug´alt gradiens-m´odszerek felhaszn´alj´ ak az oper´ ator korl´ atoss´ ag´ at. Nem korl´atos oper´ator eset´ere u ´gy vihet˝ok ´at ezek a m´ odszerek, ha alkalmas seg´edoper´atorral korl´atos oper´atorra transzform´ aljuk az eredeti oper´ atort. Ez a m´atrixokn´al elterjedt, ill. a 16.2.3. szakaszban korl´ atos oper´ atorokra ismertetett prekondicion´al´as m˝ uvelet´enek anal´ ogi´ aja, ´ıgy tulajdonk´eppen itt is prekondicion´al´as t¨ort´enik, ez azonban a nem korl´ atoss´ ag ´es a H-n´ al sz˝ ukebb ´ertelmez´esi tartom´anyok miatt nagyobb k¨or¨ ultekint´est k´ıv´ an. Ezt a m´ odszert Cz´ ach L´ aszl´ o vezette be [12], elliptikus oper´atorok nem korl´ atoss´ ag´ anak kezel´es´ere a gradiens-m´odszer eset´en, l´asd [33, XV. fej.] is; a transzform´ aci´ ot e munk´ ak alapj´an ismertetj¨ uk. A [12] dolgozat megel˝ozte a prekondicion´ al´ as technik´ aj´ anak k´es˝obbi elterjed´es´et, vagyis ez az elv el˝osz¨or r¨ ogt¨ on v´egtelen dimenzi´ os esetben jelent meg. A m´odszer megfelel˝oje a konjug´ alt gradiens-m´ odszerre a [18] cikkben tal´alhat´o. (M´atrixok prekondicion´al´asa eset´en nem a v´egtelen, hanem v´eges, de nagy kond´ıci´osz´amok probl´em´aj´at lehet ´ıgy kezelni, ezzel a 19.4.1. szakaszban foglalkozunk m´eg.) Legyen teh´ at L : H ⊃→ H nem korl´atos line´aris oper´ator, amely szimmetrikus ´es egyenletesen pozit´ıv. Legyen S : H ⊃→ H olyan, szint´en szimmetrikus ´es egyenletesen pozit´ıv oper´ ator, melyre D(S) = D(L) =: D ´es R(S) ⊃ R(L), valamint tegy¨ uk fel, hogy l´eteznek olyan M ≥ m > 0 konstansok, melyekre m hSu, ui ≤ hLu, ui ≤ M hSu, ui
(u ∈ D).
(Ekkor L ´es S u ´n. spektr´ alisan ekvivalens oper´atorok.) Ez azt jelenti, hogy
2 2 m kukS ≤ S −1 Lu, u S ≤ M kukS (∀u ∈ D), (16.39) vagyis az S −1 L oper´ ator m´ ar teljes´ıti a (16.2) egyenl˝otlens´egeket, de H helyett a HS energiat´erben. Itt S −1 L : HS ⊃→ HS , ahol D(S −1 L) = D s˝ ur˝ u HS -ben, ´es S −1 L szimmetrikus oper´ator HS -ben, mivel
−1
S Lu, v S = hLu, vi = hu, Lvi = u, S −1 Lv S (∀u, v ∈ D). (16.40) Terjessz¨ uk ki S −1 L-et HS -re! Ehhez igazoljuk, hogy S −1 L korl´atos: mivel az (u, v) 7→ hLu, vi biline´ aris forma val´oj´aban skal´arszorzat is a D alt´eren, ´ıgy
−1 2
S Lu = sup | S −1 Lu, v |2 = sup | hLu, vi |2 S S kvkS =1
kvkS =1 2
2
2
≤ sup hLu, ui hLv, vi ≤ sup M kukS M kvkS = (M kukS ) , kvkS =1
kvkS =1
´ cio ´ s mo ´ dszerek nem korla ´ tos opera ´ torra 16.5. Itera
247
azaz S −1 Lu S ≤ M kukS , teh´at S −1 L S ≤ M . Mivel teh´at S −1 L folytonos line´ aris, ´ıgy egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan A ∈ B(HS ), melyre A D = S −1 L. (16.41) Mivel D s˝ ur˝ u, ´ıgy A is szimmetrikus, ´ıgy a korl´atoss´ag miatt ¨onadjung´alt is, tov´ abb´ a¨ or¨ okli (16.39)-ot: 2
2
m kukS ≤ hAu, uiS ≤ M kukS
(∀u ∈ HS ).
(16.42)
´Igy A m´ ar pontosan olyan oper´ator, mint a 16.1.2. szakaszban feltett¨ uk, csak a HS t´eren. Megjegyezz¨ uk, hogy ez az A oper´ator nem m´as, mint a 8.3.1. szakaszban defini´ alt LS oper´ ator. Ezt most – a szimmetrikus esetben – k¨ozvetlen¨ ul, spektr´alis ekvivalenci´ ara alapozva lehetett bevezetni. A bevezet´es fentivel ekvivalens m´ odja, ha el˝ osz¨ or az (u, v) 7→ hLu, vi biline´aris form´at terjesztj¨ uk ki HS -re ´es ennek Riesz-f´ele reprezent´ al´ o oper´atorak´ent kapjuk A-t. A (16.41) alak azt fejezi ki, hogy a 16.2.3. szakaszbeli prekondicion´al´as megfelel˝oj´er˝ol van sz´o nem korl´ atos esetben. ´Igy a k¨ ovetkez˝ o m´ odszert kaptuk: az Lu = g eredeti egyenletr˝ol ´att´er¨ unk az S −1 Lu = S −1 g =: f egyenletre, ami helyett fel´ırjuk az Au = f egyenletet HS -ben. Ennek, mivel A ¨onadjung´alt ´es teljes´ıti a (16.2) egyenl˝ otlens´egeket, egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ HS megold´asa. Emellett alkalmazhatjuk r´ a a 16.1.2. szakaszb´ ol a gradiens-m´odszert a HS t´erben: ha u0 ∈ HS tetsz˝ oleges, akkor un+1 = un −
2 (Aun − f ) M +m
(∀n ∈ N).
Ekkor az (un ) sorozat u∗ -hoz tart az al´abbi becsl´es szerint: n M −m kun − u∗ kS ≤ C . M +m Mi k¨ ovetkezik ebb˝ ol az eredeti Lu = g egyenletre? Itt u∗ gyenge megold´asa a feladatnak a 8.28. defin´ıci´o ´ertelm´eben, ugyanis az energianorm´ak ekvivalenci´ aj´ ab´ ol HS = HL ´es (hLu, vi-b˝ol hat´ar´atmenettel) hu, viL = hAu, viS (∀u, v ∈ HS = HL ), teh´ at Au = f ekvivalens az hu, viL = hg, vi (∀v ∈ HL ) egyenl˝ os´eggel.
248
´ cio ´ s mo ´ dszerek linea ´ ris opera ´ toregyenletekre 16. Itera
Ha u0 ∈ D, akkor indukci´ oval (un ) ⊂ D ´es a gradiens-m´odszer n-edik l´ep´ese un+1 = un −
2 S −1 (Lun − g). M +m
Ez ekvivalens az
un+1
ahol Sz n
= un −
2 zn , M +m
= Lun − g
k´etl´ep´eses m´ odszerrel, azaz l´ep´esenk´ent un ismeret´eben meg kell oldani egy Sz = b t´ıpus´ u egyenletet. Ez azt mutatja, az elm´eleti esetben az S oper´atort u ´gy kell v´alasztani, hogy ezt a seg´edegyenletet viszonylag egyszer˝ uen, legal´abbis az eredetin´el l´enyegesen k¨ onnyebben meg lehessen oldani. (A gyakorlatban ugyanez a k¨ovetelm´eny akkor is, ha a fenti iter´ aci´ onak megfelel˝o numerikus elj´ar´ast n´ezz¨ uk egy v´eges dimenzi´ os alt´erben, l´ asd 19.1. szakasz.) Az R(S) ⊃ R(L) ´es u0 ∈ D regularit´asi felt´etelek kiker¨ ulhet˝ok, csak a m´ odszer ´erthet˝ obb le´ır´ as´ ahoz haszn´altuk fel. Az ´altal´anos esetben az Szn = Lun − g er˝ os” alak helyett a zn = Aun − f gyenge” alak haszn´alhat´o, ami ” ” tesztf¨ uggv´enyekkel ´ırva a k¨ ovetkez˝o m´odszert adja: 2 un+1 = un − zn , M +m ahol hz , vi = hAu , vi − hg, vi (∀v ∈ H ). n
S
n
S
S
Az A oper´ atort itt ugyan nem defini´altuk konstrukt´ıvan, de a fenti egyenlet numerikus (pl. Ritz–Galjorkin-f´ele) megold´asa eset´en el´eg lehet a fenti gyenge alak, vagyis egyes tesztf¨ uggv´enyes skal´arszorzatok ismerete. A fentihez teljesen hasonl´ o a helyzet, ha a konjug´alt gradiens-m´odszert haszn´ aljuk az Au = f egyenletre. Ez is a (16.42) tulajdons´ag miatt konverg´al a HS t´eren, ´es szint´en S-re vonatkoz´o seg´edegyenletet kell megoldani l´ep´e´ senk´ent. Espedig, a (16.8) egyenletb˝ol, gyenge alakot haszn´alva a k¨ovetkez˝o l´ep´est kapjuk: ( rn+1 = rn − αn zn , (16.43) ahol hzn , viS = hApn , viS (∀v ∈ HS ). Itt a seg´edfeladat az Szn = Lpn egyenlet gyenge alakja. (A KGM t¨obbi l´ep´ese nem tartalmaz seg´edfeladatot.) P´ eld´ ak.
´ cio ´ s mo ´ dszerek nem korla ´ tos opera ´ torra 16.5. Itera
249
1. Legyen I = [a, b], H = L2 (I), D = D(L) = D(S) = H 2 (I) ∩ H01 (I). Legyen 0 Lu = − (pu0 ) + qu, ahol p ∈ C 1 (I), q ∈ C(I), p(x) ≥ m > 0 ´es q(x) ≥ 0 (x ∈ I). Tekints¨ uk az Lu = g u(a) = u(b) = 0 feladatot. Bevezetve az Su = −u00 seg´edoper´atort, b´armely u ∈ D eset´en Z b 2 2 hLu, uiL2 (I) = p |u0 | + q |u| , a
Z hSu, uiL2 (I) =
b
2
|u0 | .
a
Ezek a 10.9. ´ all´ıt´ as szerint ekvivalens norm´ak H01 (I)-n, ´ıgy L ´es S spektr´ alisan ekvivalens, ez´ert alkalmazhat´o a fenti gradiens- vagy a konjug´alt gradiens-m´ odszer. Az iter´aci´o (er˝os alakban fel´ırva) a k¨ovetkez˝o alak´ u seg´edfeladatok megold´ as´at ig´enyli: −zn00 = wn zn (a) = zn (b) = 0. 2. Hasonl´ o mondhat´ o az el˝oz˝o p´elda t¨obbdimenzi´os v´altozat´ar´ol: legyen Ω ⊂ Rn korl´ atos, H := L2 (Ω), D := H 2 (Ω)∩H01 (Ω), Lu := − div(p ∇u)+ qu, ahol p ∈ C 1 (Ω), p(x) ≥ m > 0 (x ∈ Ω), illetve Su := −∆u. Az energianorm´ ak ekkor is ekvivalensek, ´ıgy L ´es S spektr´alisan ekvivalens oper´ atorok. Az Lu = g u|∂Ω = 0 feladat megold´ asa teh´ at visszavezethet˝o −∆zn = wn zn|∂Ω = 0 alak´ u seg´edfeladatok megold´as´ara. Mindk´et fenti p´eld´ aban az S oper´ator egyszer˝ ubb az eredetin´el, megold´ as´ ara az 1. p´eld´ aban ´es egyes tartom´anyokon a 2. p´eld´aban k´eplet is adhat´ o (Green-f¨ uggv´ennyel). A gyakorlatban e p´eld´ak jelent˝os´ege az, hogy megadj´ak a hasonl´oan prekondicion´ alt numerikus elj´ar´asok aszimptotikus viselked´es´et, ha a r´ acsokat finom´ıtjuk, ´es ebb˝ol optimalit´asi eredm´enyeket kaphatunk. Ezzel a 19.4.1. szakaszban foglalkozunk.
17. fejezet
N´ eh´ any tov´ abbi m´ odszer line´ aris oper´ atoregyenletekre 17.1. K¨ ozel´ıt˝ o oper´ atorsorozatok Legyenek X, Y norm´ alt terek ´es tekints¨ uk az Au = f oper´ atoregyenletet. Gyakran szok´as az A oper´atort valamely An oper´atorsorozattal k¨ ozel´ıteni, ahol az An -ek valamilyen szempontb´ol egyszer˝ ubb szerkezet˝ uek A-n´ al. (P´eld´ aul ha X = Y = H Hilbert-t´er ´es A = I + K, ahol K kompakt pozit´ıv oper´ ator, mint a 10.1. szakasz integr´alegyenletei, akkor K v´eges rang´ u k¨ ozel´ıt´eseivel a feladat a megfelel˝o v´eges dimenzi´os alterekre reduk´ alhat´ o.) Ilyen esetekben szeretn´enk, ha az An un = f egyenletek megold´ asaira n → ∞ eset´en un → u teljes¨ ulne. 17.1. Defin´ıci´ o. Az (An ) : X → Y line´aris oper´atorsorozat approxim´ alja az A oper´ atort, ha pontonk´ent tart hozz´a, azaz An u → Au (∀u ∈ X). 17.2. Defin´ıci´ o . Az An ≈ A approxim´aci´o stabil, ha minden n ∈ N eset´en −1
l´etezik A−1 , ´ e s ( A ) korl´ atos sz´amsorozat. n n 17.3. T´ etel. Legyenek X, Y norm´ alt terek, Y teljes. Legyenek An : X → Y + (n ∈ N+ ) ´es A : X → Y line´ aris bijekci´ ok, melyekre A−1 n ∈ B(Y, X) (n ∈ N ) ´es (An ) approxim´ alja az A oper´ atort. Ekkor az al´ abbi k´et ´ all´ıt´ as ekvivalens. 251
252
´ha ´ ny tova ´ bbi mo ´ dszer linea ´ ris egyenletekre 17. Ne
(1) B´ armely f ∈ Y eset´en az An un = f egyenletek un megold´ asai tartanak az Au = f egyenlet u megold´ as´ ahoz, ha n → ∞ . (2) Az An ≈ A approxim´ aci´ o stabil. −1 Bizony´ıt´ as. (1)⇒(2). Ha un → u, akkor un = A−1 f = u. Ez n f → A −1 minden f eset´en fenn´ all, azaz az An oper´atorsorozat pontonk´ent konvergens, amib˝ ol k¨ ovetkezik, hogy pontonk´ent korl´a tos is. A Banach–Steinhaus
korl´atos sorozat, teh´at az t´etel szerint egyenletesen korl´atos is, azaz A−1 n approxim´ aci´ o stabil.
< ∞, (2)⇒(1). Ha az An ≈ A approxim´aci´o stabil, azaz K := supn A−1 n akkor
kun − uk = A−1 n An (un − u) ≤ K kAn (un − u)k =
= K kf − An uk → K kf − Auk = 0.
17.2. Regulariz´ aci´ o nem koerc´ıv feladatokra Legyen H val´ os Hilbert-t´er, G ∈ B(H) kompakt oper´ator, melyre hGx, xi > 0 (∀x 6= 0). Legyen b ∈ H ´es tekints¨ uk a Gx = b oper´ atoregyenletet. Mivel G kompakt, ´ıgy (a 6.80. k¨ovetkezm´eny alapj´an) nem lehet szuperjekt´ıv, ´ıgy fel kell tenn¨ unk, hogy b ∈ R(G). (Ekkor a megold´as egy´ertelm˝ u.) Tov´abbi probl´ema a fenti egyenlettel kapcsolatban, hogy (mint a 15-16. fejezetekben l´ attuk) a szok´ asos numerikus m´odszerekhez fel kell tenn¨ unk, hogy az oper´ator koerc´ıv. A G kompakt oper´ator azonban nem lehet koerc´ıv, hiszen akkor szuperjekt´ıv is lenne (7.2. t´etel). Megjegyezz¨ uk, hogy a koercivit´asb´ol k¨ovetkezne az inverz korl´ atoss´ aga, amit regularit´asnak is szok´as h´ıvni. Kompakt oper´ atornak viszont nem lehet korl´atos inverze (6.78. ´all´ıt´as), ´ıgy a gondot a regularit´ as hi´ anya okozza. Ennek megker¨ ul´es´ere val´ o az al´abbi m´odszer, az u ´n. Tyihonov–Lavrentyevregulariz´ aci´ o: (i) Legyen α > 0 val´ os param´eter, ´es tekints¨ uk a Gα xα := (G + αI)xα = b egyenleteket. Ezekben a Gα oper´atorok koerc´ıvak, ´ıgy r¨ogz´ıtett α > 0 eset´en egy´ertelm˝ uen l´etezik az xα ∈ H megold´as. (ii) Az α param´eter tartson 0-hoz. C´elunk, hogy lim xα = x legyen. α→0
´ cio ´ nem koerc´ıv feladatokra 17.2. Regulariza
253
Megmutatjuk, hogy ha x maga is R(G)-beli, akkor teljes¨ ul lim xα = x. Az α→0
al´ abbiakban v´egig legyen b ∈ R(G) r¨ogz´ıtett, x ´es xα pedig a megfelel˝o egyenletek megold´ asa, azaz Gx = b, Gα xα = b. 17.4. Lemma. x − xα = α G−1 α x. Bizony´ıt´ as. A defin´ıci´ okb´ ol Gα x − αx = (Gα − αI)x = Gx = b = Gα xα , ebb˝ ol Gα (x − xα ) = Gα x − Gα xα = αx. Mivel Gα koerc´ıv, ´ıgy bijekci´ o (7.2. t´etel), ez´ert alkalmazhatjuk a fentire G−1 α et, ´es ez a k´ıv´ ant egyenl˝ os´eget adja. −1 xk. 17.5. Lemma. Ha x ∈ R(G), akkor kG−1 α xk ≤ 2kG −1 −1 Bizony´ıt´ as. Legyen y := G−1 x. Itt G−1 α x = Gα Gy = Gα (Gα − αI)y = −1 −1 y − α Gα y = y − zα , ahol zα := α Gα y. Ekkor αy = Gα zα = Gzα + αzα , amib˝ ol (mivel G pozit´ıv)
αkykkzα k ≥ hαy, zα i = hGzα + αzα , zα i = hGzα , zα i + αkzα k2 ≥ αkzα k2 , os´egb˝ol kG−1 ´ıgy kyk ≥ kzα k, ´es v´eg¨ ul a fenti G−1 α xk ≤ α x = y − zα egyenl˝ kyk + kzα k ≤ 2kyk. 17.6. T´ etel. Ha x ∈ R(G), akkor
lim kx − xα k = 0.
α→0
Bizony´ıt´ as. Ha α → 0, akkor a k´et lemma alapj´an −1 kx − xα k = α kG−1 xk → 0. α xk ≤ 2αkG
¨ Osszefoglalva: ha b ∈ R(G2 ), akkor x ∈ R(G), ´ıgy lim xα = x, s˝ot kx−xα k = α→0
O(α). A Gx = b egyenlet x megold´asa teh´at u ´gy k¨ozel´ıthet˝o, hogy el˝osz¨or el´eg kis α-ra fel´ırjuk a Gα xα = b egyenletet, majd erre alkalmazzuk a kor´abbi szakaszok (koercivit´ ast felhaszn´al´o) valamelyik k¨ozel´ıt˝o m´odszer´et. Megeml´ıtj¨ uk, hogy ha G ¨ onadjung´alt is, akkor lim xα = x abban az esetben α→0
is igazolhat´ o, ha x ∈ / R(G), de ekkor az O(α) nagys´agrend m´ar nem ´erv´enyes. Ha G nem ¨ onadjung´ alt ´es a pozitivit´ast sem tessz¨ uk fel, akkor a fenti m´odszert a G∗ Gx = G∗ b norm´ alegyenletre alkalmazzuk a G∗ G+αI seg´edoper´atorokkal, ez a Tyihonov-regulariz´ aci´ o. Tov´abbi r´eszletek tal´alhat´ok pl. a [28] k¨onyvben.
254
´ha ´ ny tova ´ bbi mo ´ dszer linea ´ ris egyenletekre 17. Ne
17.3. Oper´ ator-differenci´ alegyenletek diszkretiz´ aci´ oja Legyen X Banach-t´er, L : X ⊃→ X s˝ ur˝ un defini´alt oper´ator, u0 ∈ D(L) adott vektor, ´es tekints¨ uk az al´abbi kezdeti´ert´ek-feladatot: u(t) ˙ + Lu(t) = 0,
u(0) = u0 .
(17.1)
Az ilyen t´ıpus´ u oper´ ator-differenci´alegyenletek vizsg´alat´at els˝osorban parabolikus PDE-k numerikus megold´asa motiv´alta, sz´amos m´odszer ´es r´eszlet olvashat´ o a [3, 71, 72] k¨ onyvekben. Itt a c´elunk egy ´altal´anos eredm´eny ismertet´ese, amely ¨ osszefoglalja a k¨ozel´ıt˝o megold´as sor´an felmer¨ ul˝o tulajdons´ agokat. 17.3. felt´ etelek. (i) A −L oper´ ator egy {T (t)}t≥0 f´elcsoportot gener´al B(X)-ben. (Ekkor teh´ at a 9.5. t´etel szerint az u(t) := T (t)u0 (t ≥ 0) f¨ uggv´eny megold´asa a (17.1) feladatnak. S˝ ot, a 9.6. megjegyz´es alapj´an ez b´armely u0 ∈ X eset´en is ´ertelmes.) (ii) Folytonos f¨ ugg´es teljes¨ ul u0 -t´ol: van olyan C > 0, hogy kT (t)u0 k ≤ Cku0 k b´ armely u0 ∈ X ´es t ∈ [0, T ] eset´en. Ha p´eld´ aul X = H Hilbert-t´er, akkor a 9.2. szakasz (9.12) egyenlet´er˝ol van sz´ o, melyre a 9.10. t´etelben szerepl˝o L oper´ator eset´en teljes¨ ulnek a 17.3. felt´etelek. C´elunk a (17.1) feladat k¨ ozel´ıt˝o megold´asa valamely [0, T ] intervallumon, r¨ogz´ıtett T > 0 eset´en. Vezess¨ uk be a t id˝o”-v´altoz´o szerinti k¨ovetkez˝o diszkreti” z´ aci´ ot: legyen n ∈ N+ , τ := Tn , ti := iτ (i = 1, . . . , n) oszt´opontjai [0, T ]-nek, ´es legyen ui a megold´ as ti -beli k¨ozel´ıt´ese: ui ≈ u(ti )
(i = 1, . . . , n).
(Ha t = 0, akkor u0 = u(0) az ismert kezdeti vektor.) Az egyenletbeli deriv´alt a τ -hoz tartoz´ o alkalmas k¨ ul¨onbs´egi h´anyadossal k¨ozel´ıthet˝o: legegyszer˝ ubb az u(t + τ ) − u(t) u(t) ˙ ≈ τ explicit s´em´ at alkalmazni, ez az u ´n. explicit Euler-m´odszer. Tov´abbi lehet˝os´egek p´eld´ aul az u(t) − u(t − τ ) τ
(implicit) vagy
u(t + τ ) − u(t − τ ) 2τ
(szimmetrikus)
´ tor-differencia ´ legyenletek diszkretiza ´ cio ´ ja 17.3. Opera
255
s´em´ ak. ´Irjuk fel az egyenletben az explicit s´em´at a szomsz´edos oszt´opontokra az u(ti ) ≈ ui ´es u(ti + τ ) = u(ti+1 ) ≈ ui+1 k¨ozel´ıt´esekkel, ekkor az al´abbi rekurzi´ ot kapjuk: ui+1 − ui + Lui = 0 τ
(i = 0, . . . , n − 1).
(17.2)
Ebb˝ ol u0 ismeret´eben az ui -k sorra kisz´am´ıthat´oak, hiszen ´atrendezve ui+1 = ui − τ Lui
(i = 0, . . . , n − 1).
Ha az explicit helyett m´ as s´em´at alkalmazunk, akkor a´ltal´aban egy line´aris egyenletet vagy egyenletrendszert kell megoldani az ui -k kisz´am´ıt´as´ahoz: p´eld´ aul az implicit s´ema eset´en ui − ui−1 + Lui = 0 τ
(i = 1, . . . , n),
(17.3)
atrendezve ´ ui + τ Lui = ui−1
(i = 1, . . . , n).
A konvergencia vizsg´ alata abb´ol az ´altal´anos alakb´ol indul ki, hogy b´armelyik s´em´ aval diszkretiz´ alunk t szerint, az ui -k v´egs˝o soron u0 -t´ol f¨ uggnek, ´es el˝ o´ allnak az al´ abbi alakban: um = C(τ )m u0
(m = 1, . . . , n),
(17.4)
ahol C(τ ) ∈ B(X) a τ param´etert˝ol f¨ ugg˝o oper´ator. Az explicit s´ema eset´eben C(τ ) = I − τ L, hiszen ui+1 = (I − τ L) ui ,
´ıgy rekurzi´oval
m um = I − τ L u0 .
Hasonl´ oan ad´ odik az implicit s´ema eset´eben C(τ ) = (I + τ L)−1 .
(17.5)
´ Altal´ aban teh´ at a k¨ ovetkez˝ o fogalmat haszn´aljuk: 17.7. Defin´ıci´ o. A (17.1) feladathoz tartoz´o differenciam´ odszernek egy C : [0, τ0 ] → B(X) oper´ atorcsal´ adot h´ıvunk.
´ha ´ ny tova ´ bbi mo ´ dszer linea ´ ris egyenletekre 17. Ne
256
Itt teh´ at minden 0 < τ ≤ τ0 ´ert´ekhez tartozik egy oper´ator. Ha τ r¨ogz´ıtett, akkor C(τ ) azt mondja meg, hogy az adott m´odszerben hogyan kapjuk meg k¨ ozel´ıt˝ oleg egy f¨ uggv´eny´ert´ekb˝ol a τ -val k´es˝obbi f¨ uggv´eny´ert´eket. A pontos megold´ asra u(tm ) = T (τ )m u0 (m = 1, . . . , n), ´ıgy (17.4) u ´gy is fogalmazhat´o, hogy a C csal´ ad a T f´elcsoport k¨ozel´ıt´ese, vagyis k¨ozel´ıt˝o megold´o-oper´ator. C´elunk ezut´ an az, hogy τ → 0 eset´en egyre jobb k¨ozel´ıt´eseket kapjunk. A C oper´ atorcsal´ ad nem lehet ak´armilyen, hiszen a felhaszn´alt s´em´anak τ → 0 eset´en k¨ ozel´ıtenie kell az eredeti egyenletet. Ez a k¨ovetelm´eny ´altal´anosan a k¨ ovetkez˝ ok´epp ´ırhat´ o le. A pontos megold´asra (17.1) alapj´an b´armely t ≥ 0 eset´en 0 = lim
T (τ ) − I + Lu(t) = lim + L u(t) τ →0 τ
u(t + τ ) − u(t)
τ →0
τ
kell teljes¨ ulj¨ on. A C oper´ atorcsal´ad akkor k¨ozel´ıti az eredeti egyenletet τ → 0+ eset´en, ha ez a C(τ )-kra is igaz: 0 = lim+
C(τ ) − I
τ →0
τ
+ L u(t).
(17.6)
Ezt a k´et k´epletet kivonva egym´asb´ol, 0 = lim+ τ →0
C(τ ) − T (τ ) u(t). τ
Ha itt felhaszn´ aljuk, hogy T (τ )u(t) = T (τ )T (t)u0 = T (t + τ )u0 = u(t + τ ), akkor megkapjuk a C-re vonatkoz´o k¨ovetelm´eny szok´asos defin´ıci´oj´at, amit konzisztenci´ anak nevez¨ unk. Pontosabban, az eredeti feladat u0 ∈ D(L) felt´etel´et itt n´emileg enyh´ıtj¨ uk, mivel a gyakorlatban a konzisztencia ´altal´aban csak a D(L)-belin´el nagyobb regularit´as eset´en igazolhat´o; a k´erd´eses limeszt viszont egyenletesnek tessz¨ uk fel. 17.8. Defin´ıci´ o. A C oper´ atorcsal´addal le´ırt differenciam´odszer konzisztens, ha van olyan s˝ ur˝ u D0 ⊂ D(L) alt´er, hogy b´armely u0 ∈ D0 eset´en a megfelel˝o u megold´ asra lim+
τ →0
C(τ )u(t) − u(t + τ ) =0 τ
egyenletesen a [0, T ] intervallumban.
Az explicit s´ema C(τ ) := I − τ L csal´adja p´eld´aul trivi´alisan konzisztens, hiszen a (17.6) k´epletben m´ ar a limeszk´epz´es el˝ott azonosan 0-t kapunk. A differenciam´ odszerre tov´ abbi sz¨ uks´eges felt´etel, hogy az (17.4)-ben kapott ´ert´ekek korl´ atosak maradjanak, am´ıg a [0, T ] intervallumban vagyunk, hiszen k¨ ul¨ onben az um -ek nem k¨ ozel´ıthetik a pontos megold´ast.
´ tor-differencia ´ legyenletek diszkretiza ´ cio ´ ja 17.3. Opera
257
17.9. Defin´ıci´ o. A C oper´ atorcsal´addal le´ırt differenciam´odszer stabil, ha az oper´ atorcsal´ ad hatv´ anyai egyenletesen korl´atosak, azaz van olyan K > 0, hogy kC(τ )m k ≤ K, ha τ ≤ τ0 , mτ ≤ T. A f˝ o k´erd´es a m´ odszer konvergenci´aja. Mivel a k¨ozel´ıt˝o megold´asokat csak diszkr´et t pontokban ´ertelmezt¨ uk, a konvergencia fogalma u ´gy ´ertend˝o, hogy ha τi → 0 ´es mi τi → t valamely mi indexsorozatra, akkor az u(mi τi )-re sz´ am´ıtott megold´ asok u(t)-hez tartsanak. A sz´am´ıt´ast le´ır´o (17.4) k´eplet ´es az u(t) = T (t)u0 azonoss´ ag alapj´an kapjuk az al´abbi defin´ıci´ot. 17.10. Defin´ıci´ o. A C oper´atorcsal´addal le´ırt differenciam´odszer konvergens, ha b´ armely u0 ∈ X ´es t ∈ [0, T ] eset´en, ha τi → 0 ´es az mi indexsorozatra mi τi → t, akkor lim C(τi )mi u0 = T (t)u0 .
τi →0+
A t´emak¨ or f˝ o eredm´enye a fenti h´arom fogalom kapcsolat´at jellemzi, ´es alkalmas sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etelt ad a konvergenci´ara. 17.11. T´ etel (Lax ekvivalenciat´ etele). Teljes¨ uljenek a 17.3. felt´etelek. Egy konzisztens differenciam´ odszer pontosan akkor konvergens, ha stabil. Bizony´ıt´ as. (1) Legyen a differenciam´odszer konzisztens ´es stabil. Tegy¨ uk fel el˝ osz¨ or, hogy u0 ∈ D0 . Ha m ∈ N, τ > 0 ´es mτ ≤ T , akkor a C(τ )m u0 − u(mτ ) =
m−1 X
C(τ )m−j−1 C(τ )u(jτ ) − u((j + 1)τ )
j=0
teleszk´ opos ¨ osszegb˝ ol a stabilit´as r´ev´en kC(τ )m u0 − u(mτ )k ≤ K
m−1 X
kC(τ )u(jτ ) − u((j + 1)τ )k
j=0
kC(τ )u(t) − u(t + τ )k =: Kτ m ε(τ ). τ t∈[0,T ]
≤ Kτ m sup
A konzisztencia ´es u0 ∈ D0 miatt limτ →0+ ε(τ ) = 0. ´Igy ha τi → 0 ´es mi τi ≤ T , akkor kC(τi )mi u0 − u(mi τi )k ≤ KT ε(τi ) → 0. M´ asr´eszt t 7→ u(t) folytonos, hiszen differenci´alhat´o is, ´ıgy ha mi τi → t, akkor ku(mi τi ) − u(t)k → 0.
258
´ha ´ ny tova ´ bbi mo ´ dszer linea ´ ris egyenletekre 17. Ne
´Igy ha τi → 0 ´es mi τi → t, akkor a fenti k´et limeszb˝ol kC(τi )mi u0 − T (t)u0 k = kC(τi )mi u0 − u(t)k ≤ ≤ kC(τ )mi u0 − u(mi τi )k + ku(mi τi ) − u(t)k → 0, azaz a m´ odszer konvergens. Legyen most u0 ∈ X tetsz˝ oleges. Mivel D0 s˝ ur˝ u, van olyan un0 ⊂ D0 sorozat, n hogy u0 → u0 . A stabilit´ ast ´es a folytonos f¨ ugg´est felhaszn´alva kC(τi )mi u0 − T (t)u0 k ≤ ≤ kC(τi )mi (u0 − un0 )k + kC(τi )mi un0 − T (t)un0 k + kT (t)(un0 − u0 )k ≤ (K + C)ku0 − un0 k + kC(τi )mi un0 − T (t)un0 k. Legyen ε > 0. Ekkor el´eg nagy n-re (K + C)ku0 − un0 k < 2ε . Mivel a megfelel˝o un0 -re m´ ar tudjuk a konvergenci´at, ´ıgy ha τi ´es |mi τi − t| el´eg kicsik, akkor a m´ asodik tag is kisebb 2ε -n´el. Egy¨ uttv´eve kC(τi )mi u0 − T (t)u0 k ≤ ε, ha τi ´es |mi τi − t| el´eg kicsik, ´es ezt akartuk bel´atni. (2) Legyen a differenciam´ odszer konvergens. Tegy¨ uk fel indirekt, hogy nem stabil. Ekkor vannak olyan τi ´es mi sorozatok, hogy τi ≤ τ0 , mi τi ≤ T ´es lim kC(τi )mi k = ∞.
(17.7)
i→∞
Itt kC(τi )mi k ≤ kC(τi )kmi ≤ K mi
(∀i ∈ N),
mivel a K stabilit´ asi konstans C(τi ) els˝o hatv´anyaira is ´erv´enyes. Ebb˝ol l´athat´ o, hogy mi → ∞, ha ugyanis mi -nek lenne korl´atos r´eszsorozata, akkor kC(τi )mi k-nek is lenne korl´ atos r´eszsorozata, de az ∞-hez tart. Ha viszont mi → ∞, akkor τi → 0. Emiatt alkalmazhat´o a konvergencia defin´ıci´oja, ´es C(τi )mi pontonk´ent konverg´ al T (t)-hez X-en. ´Igy C(τi )mi pontonk´ent korl´atos is, ekkor viszont a 4.2. t´etel szerint egyenletesen is korl´atos, azaz kC(τi )mi k korl´ atos. Ez viszont ellentmond (17.7)-nek. 17.12. Megjegyz´ es. A Lax-f´ele ekvivalenciat´etel bizony´ıt´as´ab´ol l´athat´o, hogy a visszair´ anyhoz nem kellett a konzisztencia. ´Igy val´oj´aban azt mondhatjuk, hogy egy konzisztens ´es stabil differenciam´odszer konvergens is, m´ıg egy konvergens differenciam´ odszer stabil is.
´ tor-differencia ´ legyenletek diszkretiza ´ cio ´ ja 17.3. Opera
259
P´ elda. Tekints¨ uk a 9.2. szakasz m´asodik megoldhat´os´agi eredm´eny´eben szerepl˝ o feladatot: legyen H szepar´abilis Hilbert-t´er, L : H ⊃→ H s˝ ur˝ un defini´ alt szigor´ uan pozit´ıv oper´ator, melyre R(L) = H ´es L−1 kompakt. A 9.13. t´etelnek megfelel˝ oen L-et maxim´alis ´ertelmez´esi tartom´annyal l´attuk n o ∞ ∞ P P el, azaz D(L) = x = cn e n ∈ H : λ2n |cn |2 < ∞ ´es ilyen x-re Lx :=
∞ P
n=1
n=1
λn cn en .
n=1
Legyen u0 ∈ H adott vektor, ´es tekints¨ uk a (17.1) kezdeti´ert´ek-feladatot: u(t) ˙ + Lu(t) = 0,
u(0) = u0 .
(17.8)
A 9.13. t´etel ´es 9.14. k¨ ovetkezm´eny alapj´an teljes¨ ulnek a 17.3. felt´etelek. Alkalmazzuk a (17.3) implicit s´em´at! Megmutatjuk, hogy ez a differenciam´ odszer konvergens, amihez a Lax-f´ele ekvivalenciat´etelt haszn´aljuk, ´ıgy azt bizony´ıtjuk, hogy konzisztens ´es stabil. L´attuk (17.5)-ban, hogy a megfelel˝o oper´ atorcsal´ ad C(τ ) = (I + τ L)−1 . Konzisztencia. Legyen D0 := D(L), a konzisztenci´aval ekvivalens (17.6) alakot haszn´ aljuk, ´espedig igazoljuk, hogy b´armely x ∈ D(L) eset´en (I + τ L)−1 − I C(τ ) − I + L x ≡ lim+ + L x = 0. (17.9) lim+ τ τ τ →0 τ →0 Legyen x ∈ D(L), x =
∞ P
cn en . Ekkor
n=1 ∞ ∞ (I + τ L)−1 − I X X 1 1 τ λ2n +L x = ( −1)+λn cn en = cn en . τ τ 1 + τ λn 1 + τ λn n=1 n=1 τ λ2
Itt 1+τ nλn ≤ min{τ λ2n , λn }. K¨ovetve a 9.10. t´etel bizony´ıt´as´anak m´odszer´et, √ 2 2 4 2 legyen τ ∈ R r¨ ogz´ıtett. Ha λn ≤ 1/ τ , akkor √ τ λn ≤ 1, ´ıgy τ2 λn ≤2 τ λn ´e2s 2 2 2 min{τ λn , λn } ≤ τ λn , ha pedig λn > 1/ τ , akkor min{τ λn , λn } ≤ λn . Ezekb˝ ol ∞
(I + τ L)−1 − I 2 X τ λ2n 2
+ L x = |cn |2 ≤
τ 1 + τ λ n n=1 ≤τ
X
λn ≤ √1τ
λ2n |cn |2 +
X
λ2n |cn |2 ,
λn > √1τ
´es ha τ → 0, akkor az els˝ o tag 0-hoz tart, mert τ kLxk2 -tel becs¨ ulhet˝o, ´es a m´ asodik tag is 0-hoz tart, mert kLxk2 konvergens sor´ab´ol egyre nagyobb index˝ u szeleteket vonunk le.
´ha ´ ny tova ´ bbi mo ´ dszer linea ´ ris egyenletekre 17. Ne
260
Stabilit´ as. Mivel L szigor´ uan pozit´ıv, ´ıgy h(I + τ L)u, ui ≥ kuk2 (∀u ∈ D(L)), azaz I + τ L egyenletesen pozit´ıv m = 1 konstanssal. K¨onnyen l´athat´o L ∞ P ´ertelmez´es´eb˝ ol, hogy I + τ L szuperjekt´ıv is, azaz ha f = dn en ∈ H, akkor az u =
∞ P n=1
n=1 dn 1+τ λn en
vektor ´ertelmes ´es (I + τ L)u = f . ´Igy a 8.15.
´ll´ıt´ a as alapj´ an k(I + τ L)−1 k ≤ 1. Ebb˝ol b´armely m ∈ N+ eset´en kC(τ )m k = −m k(I + τ L) k ≤ k(I + τ L)−1 km ≤ 1, azaz a m´odszer stabil. 17.13. K¨ ovetkezm´ eny. A tett felt´etelek mellett a (17.8) feladatra alkalmazott implicit s´ema konvergens. 17.14. Megjegyz´ es. Az explicit s´em´ara nem u ¨ltethet˝o ´at a fenti eredm´eny, mert ha L nem korl´ atos (´es a fentiek tipikusan erre vonatkoznak), akkor a stabilit´ as nem teljes¨ ul, hiszen m´ar a C(τ ) = I − τ L oper´atorok maguk nem korl´ atosak. Ha az eredeti feladatot v´eges dimenzi´osakkal k¨ozel´ıtj¨ uk, pl. L-re Ritz–Galjorkin-f´ele diszkretiz´aci´oval, akkor a megfelel˝o Lh (h > 0) korl´ atos oper´ atorokra m´ ar el´erhet˝o I − τ Lh hatv´anyainak normakorl´atoss´aga, ha kI − τ Lh k ≤ 1, ´espedig, a 16.2. megjegyz´es alapj´an ez τ ≤ kL2h k eset´en teljes¨ ul. Itt azonban limh→0 kLh k = ∞, pl. elliptikus L oper´ator eset´en kLh k = O(h−2 ) → ∞, ha h → 0, l´asd pl. [5]. (Ennek k¨ovetkezm´eny´evel a 19.9. ´ all´ıt´ as ut´ an is foglalkozunk.) Ebben az esetben teh´at a τ id˝ol´ep´est ´es h r´ acsfinoms´ agot az a felt´etel k¨oti o¨ssze, hogy τ /h2 legyen korl´atos; a m´odszer csak ekkor lehet konvergens.
18. fejezet
Iter´ aci´ os m´ odszerek nemline´ aris oper´ atoregyenletekre A 16. fejezet nemline´ aris megfelel˝ojek´ent n´eh´any v´eges dimenzi´oban ismert iter´ aci´ os m´ odszer v´egtelen dimenzi´os megfelel˝oj´evel foglalkozunk. Az itt eml´ıtett ´es m´ as kapcsol´ od´ o m´ odszerekr˝ol a [30, 69], ill. [23, 25, 33, 40] k¨onyvek adnak b˝ ovebb inform´ aci´ ot.
18.1. Egyszer˝ u iter´ aci´ o monoton oper´ atorokra 18.1.1. Gradiens-m´ odszer potenci´ aloper´ ator eset´ en Legyen H val´ os Hilbert-t´er ´es A : H → H olyan oper´ator, amelyre teljes¨ ulnek a 13.2. t´etel felt´etelei. Legyen f ∈ H ´es keress¨ uk az A(u) = f
(18.1)
egyenletet megold´ as´ at. A 14.2. szakaszban le´ırtak szerint l´etezik olyan Φ : H → R egyenletesen konvex funkcion´al, melyre Φ0 (u) = A(u) − f , vagyis Φ minimaliz´ al´ o funkcion´ al, melynek egyetlen minimumhelye megadja (18.1) megold´ as´ at. Erre a funkcion´ alra szeretn´enk alkalmazni a gradiens-m´odszert. Mivel Φ Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o, (16.1) szerint a gradiens m´odszer a k¨ovetkez˝o. • Legyen u0 ∈ H tetsz˝ oleges; • ha n ∈ N ´es un m´ ar megvan, akkor un+1 := un − tn Φ0 (un ) = un − tn (A(un ) − f ). 261
´ cio ´ s mo ´ dszerek nemlinea ´ ris egyenletekre 18. Itera
262
Itt most csak a tn ≡ t ´ alland´ o l´ep´esk¨oz eset´evel foglalkozunk. A konvergencia igazol´ as´ ahoz a 13.2. t´etel (i)-(iii) felt´etelein k´ıv¨ ul fel kell tenn¨ unk (iii) fels˝o megfelel˝ oj´et is. Ekkor a line´aris esetben kapott optim´alis l´ep´esk¨oz mellett az ottani konvergenciah´ anyados is ´erv´enyes lesz, azaz a 16.1. t´etellel teljesen anal´ og eredm´enyt kapunk. 18.1. T´ etel. Legyen H val´ os Hilbert-t´er, A : H → H adott oper´ ator. Tegy¨ uk fel, hogy (i) A Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o, A0 bihemifolytonos, (ii) minden u ∈ H eset´en A0 (u) ∈ B(H) ¨ onadjung´ alt, (iii) l´eteznek olyan M ≥ m > 0 ´ alland´ ok, hogy 2
2
m khk ≤ hA0 (u)h, hi ≤ M khk
(∀u, h ∈ H).
Legyen f ∈ H, ´es u∗ ∈ H a (18.1) egyenlet megold´ asa. Ekkor tetsz˝ oleges u0 ∈ H eset´en az 2 (A(un ) − f ) (n ∈ N) un+1 := un − m+M sorozat az n 1 M −m kun − u∗ k ≤ kA(u0 ) − f k (n ∈ N) m M +m hibabecsl´es szerint konverg´ al u∗ -hoz. Bizony´ıt´ as. A 11.9. t´etel szerint Z 1 0 0 Φ (un+1 ) = Φ (un ) + Φ00 (un + t (un+1 − un )) (un+1 − un )dt = 0
2 = Φ (un ) − M +m =: Ln Φ0 (un ), 0
Z
1
Φ00 (un + t(un+1 − un ))Φ0 (un )dt =
0
ahol (felhaszn´ alva, hogy Φ00 = A0 ) Ln : H → H az al´abbi oper´ator: Z 1 2 Ln x := x − A0 (un + t(un+1 − un )) x dt. M +m 0 Itt Ln line´ aris oper´ ator, s˝ ot korl´atos is, mivel a (iii) felt´etel miatt kA0 (u)k ≤ M (∀u ∈ H), ´ıgy Z 1 2 kLn xk ≤ kxk + kA0 (un + t(un+1 − un ))k kxk dt M +m 0 2M ≤ 1+ kxk M +m
˝ itera ´ cio ´ monoton opera ´ torokra 18.1. Egyszeru
263
(∀x ∈ H). A (ii) felt´etelt haszn´alva kapjuk, hogy b´armely x, y ∈ H eset´en 2 hLn x, yi = hx, yi − M +m
Z
1
hA0 (un + t(un+1 − un ))x, yi dt = hx, Ln yi ,
0
azaz Ln ¨ onadjung´ alt is. Ebb˝ol kLn k = sup |hLn x, xi|. Itt a (iii) felt´etel kxk=1
szerint 2
2
m kxk ≤ hA0 (un + t(un+1 − un ))x, xi ≤ M kxk , ez´ert ha kxk = 1, akkor 2M 2m M −m M −m = 1− ≤ hLn x, xi ≤ 1 − = =: Q, − M +m M +m M +m M +m ´ıgy teh´ at kLn k ≤ Q. Emiatt kΦ0 (un+1 )k = kLn Φ0 (un )k ≤ Q kΦ0 (un )k , azaz indukci´ oval kΦ0 (un )k ≤ Qn kΦ0 (u0 )k = Qn kA(u0 ) − bk
(∀n ∈ N).
V´eg¨ ul a (iii) felt´etel szerint ´es a 11.15. megjegyz´es alapj´an Φ0 egyenletesen monoton oper´ ator, ebb˝ ol kΦ0 (un )k kun − u∗ k ≥ hΦ0 (un ), un − u∗ i = 2
= hΦ0 (un ) − Φ0 (u∗ ), un − u∗ i ≥ m kun − u∗ k , amib˝ ol k¨ ovetkezik, hogy 1 1 kun − u k ≤ kΦ0 (un )k ≤ kA(u0 ) − bk m m ∗
M −m M +m
n .
18.1.2. Egyszer˝ u iter´ aci´ o nem potenci´ alos oper´ ator eset´ en A line´ aris egyenletekn´el is eml´ıtett¨ uk, hogy ´alland´o l´ep´esk¨oz eset´en a GM egybeesik az u ´n. egyszer˝ u (vagy Richardson-f´ele) iter´aci´oval, ez most un+1 := un − t (A(un ) − f ). Ennek a m´ odszernek a motiv´ aci´oja ´es konvergenciabecsl´ese is le´ırhat´o a potenci´ alt´ ol f¨ uggetlen¨ ul is. Motiv´ aci´ot u ´gy is nyerhet¨ unk, hogy azzal az A(un ) − f taggal korrig´ aljuk un -et, amelynek 0-nak kellene lennie, ´ıgy ha a fenti sorozat
´ cio ´ s mo ´ dszerek nemlinea ´ ris egyenletekre 18. Itera
264
konverg´ al, akkor limesze csak u∗ lehet. Az el˝oz˝o szakaszbeli konvergenciabecsl´es pedig ´ at´ırhat´ ou ´gy, hogy a Φ0 (u) tagok helyett mindenhol A(u) − f szerepel, ´es l´ athat´ o, hogy val´oj´aban egy kontrakci´ora alapul´o fixpontt´eteles bizony´ıt´ as volt. Ezek az ´eszrev´etelek az´ert is hasznosak, mert ´ıgy a m´odszer ´atvihet˝o arra az esetre is, amikor A nem potenci´aloper´ator. A k¨ ul¨onbs´eg az lesz, hogy ¨onadjung´ alt A0 (u) oper´ atorok hi´ any´aban csak lassabb konvergencia garant´alhat´o. Legyen teh´ at most A : H → H olyan oper´ator, amelyre teljes¨ ulnek a 13.5. t´etel felt´etelei. Legyen f ∈ H ´es keress¨ uk ism´et az A(u) = f
(18.2)
egyenlet megold´ as´ at. 18.2. T´ etel. Legyen H val´ os Hilbert-t´er, A : H → H adott oper´ ator. Tegy¨ uk fel, hogy l´etezik M ≥ m > 0, hogy b´ armely u, v ∈ H eset´en 2
hA(u) − A(v), u − vi ≥ m ku − vk ,
kA(u) − A(v)k ≤ M ku − vk . (18.3)
Legyen f ∈ H, ´es u∗ ∈ H a (18.2) egyenlet megold´ asa. Ekkor tetsz˝ oleges u0 ∈ H eset´en az m (n ∈ N) (18.4) un+1 := un − 2 (A(un ) − f ) M sorozat az 1 m2 n/2 kun − u∗ k ≤ kA(u0 ) − f k 1 − 2 (n ∈ N) (18.5) m M hibabecsl´es szerint konverg´ al u∗ -hoz. Bizony´ıt´ as. A 13.5. t´etel bizony´ıt´asa ´es a 13.6. megjegyz´es alapj´an αopt := m mellett a G : H → H, 2 M G(u) := u − αopt (A(u) − f ) q m2 lek´epez´es kontrakci´ o, melynek konstansa qopt = 1− M 2 . Az A(u) = f ∗ egyenlet ekvivalens az u = G(u) egyenlettel, ´ıgy u -ot k¨ozel´ıt˝o sorozatot kapunk az ut´ obbira fel´ırt un+1 := G(un ) fixpont-iter´aci´oval, ami ´eppen (18.4), n ´es a konvergenciabecsl´es kun − u∗ k ≤ qopt ku0 − u∗ k. Itt (18.3) alapj´an 2
m ku0 − u∗ k ≤ hA(u0 ) − A(u∗ ), u0 − u∗ i = = hA(u0 ) − f, u0 − u∗ i ≤ kA(u0 ) − f kku0 − u∗ k, ebb˝ ol n kun − u∗ k ≤ ku0 − u∗ k qopt ≤
ami ´eppen a (18.5) becsl´es.
1 n kA(u0 ) − f k qopt , m
´ dszer 18.2. A Newton–Kantorovics-mo
265
18.2. A Newton–Kantorovics-m´ odszer Az el˝ oz˝ o szakasz line´ arisan konvergens m´odszerein´el sokkal gyorsabb elj´ar´ast ad a nevezetes Newton–Kantorovics-m´odszer, l´ep´esenk´ent egy-egy line´aris seg´edegyenlet megold´ asa ´ ar´ an. A Newton–Kantorovics-m´odszer k¨ozvetlen¨ ul ´altal´ anos´ıtja a klasszikus egyv´ altoz´os Newton-m´odszert, ahol adott f : R → R differenci´ alhat´ o f¨ uggv´eny eset´en az f (x) = 0 egyenlet megold´as´at keress¨ uk az al´ abbi iter´ aci´ oval: • x0 ∈ R tetsz˝ oleges ´es • xn+1 := xn −
f (xn ) . f 0 (xn )
Ismeretes, hogy bizonyos felt´etelek mellett a Newton-m´odszer konvergenci´aja m´ asodrend˝ u, l´ asd pl. [69, I. 6.4]. A fenti iter´aci´o alkalmas ´altal´anos´ıt´asa Banach-t´erre, ha az f 0 (xn )-nel val´o oszt´as helyett form´alisan az F 0 (xn ) oper´ atorok inverz´et alkalmazzuk; az eml´ıtett felt´etelek megfelel˝oi eset´en ekkor is igaz a m´ asodrend˝ u konvergencia. Ezt Kantorovics vezette be [33, Chap. XVIII], az´ ota sz´ amtalan m´ odos´ıt´ast ´es tov´abbi ´altal´anos´ıt´ast dolgoztak ki, ´es v´eges dimenzi´ oban nemline´aris egyenletrendszerek megold´as´ara ez a m´odszercsal´ ad bizonyult a leghat´ekonyabbnak, l´asd pl. [26, 52, 69]. A standard Newton–Kantorovics-m´ odszert a j´oval k¨onnyebb ´erthet˝os´eg kedv´e´ert el˝osz¨or er˝ osebb felt´etelek mellett t´ argyaljuk, ak´arcsak majd a k¨ovetkez˝o szakaszbeli v´ altozatait, ezek [23, 5.2.2. fejezet]-re alapulnak. A Newton-t´ıpus´ u m´ odszerek eset´en X, Y Banach-terek k¨ozt hat´o oper´atorokat tekint¨ unk, mivel az eredm´enyek nem haszn´alnak fel enn´el speci´alisabb helyzetet. Legyen teh´ at F : X → Y nemline´aris oper´ator. Keress¨ uk az F (u) = 0
(18.6)
egyenletet u∗ ∈ X megold´ as´at. A jobboldal ilyenkor szok´asos 0 volt´at az egyv´ altoz´ os anal´ og helyzet (z´erushelykeres´es) motiv´alja, de ez nyilv´anval´oan nem jelent megszor´ıt´ ast, hiszen egy A(u) = f t´ıpus´ u feladat eset´en csak az F (u) := A(u) − f oper´ atorra kell ´att´ern¨ unk. Tegy¨ uk fel, hogy F : X → Y Fr´echet-deriv´alhat´o. A m´asodrend˝ u konvergencia m¨ og¨ ott ´ all´ o kulcsfelt´etel F 0 Lipschitz-folytonoss´aga lesz, azaz hogy l´etezik olyan L > 0 ´ alland´ o, melyre kF 0 (u) − F 0 (v)k ≤ Lku − vk
(∀u, v ∈ X).
(18.7)
Ez´ altal ugyanis az F oper´ atort az iter´aci´o l´ep´eseiben els˝ofok´ u Taylor-polinomjaival lineariz´ alhatjuk, ´es a marad´ek m´asodrendben kicsi lesz. El˝osz¨or olyan
´ cio ´ s mo ´ dszerek nemlinea ´ ris egyenletekre 18. Itera
266
egyenletekkel foglalkozunk, ahol garant´alhat´o az egy´ertelm˝ u megold´as, ebben a helyzetben a 13.9. t´etellel: ha b´armely u, h ∈ X eset´en F 0 (u) : X → Y bijekci´o ´es kF 0 (u)hk ≥ mkhk,
(18.8)
ahol m > 0 f¨ uggetlen u, h-t´ ol, akkor a (18.6) egyenletnek egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ X megold´ asa. 18.3. T´ etel. Legyenek X, Y Banach-terek ´es F : X → Y Fr´echet-deriv´ alhat´ o. Tegy¨ uk fel, hogy teljes¨ ul (18.8), valamint F 0 Lipschitz-folytonos L konstanssal. Ha u0 ∈ X tetsz˝ oleges, akkor az un+1 = un − F 0 (un )−1 F (un )
(n ∈ N)
iter´ aci´ ora az al´ abbiak teljes¨ ulnek: (1) kF (un+1 )k ≤
L 2 kF (un )k 2m2
(n ∈ N).
(2) Ha u0 olyan, hogy q :=
L kF (u0 )k < 1, 2m2
akkor mkun − u∗ k ≤ kF (un )k ≤
2m2 2n q → 0. L
(18.9)
(18.10)
18.4. Megjegyz´ es. A megadott iter´aci´os l´ep´es az al´abbi alakba ´ırhat´o ´at: 0 F (un )pn = −F (un ), un+1 = un + pn , s˝ ot ez az, amit val´ oj´ aban haszn´alunk: nem kell meghat´arozni F 0 (un ) inverz´et, hanem a megfelel˝ o line´ aris oper´atoregyenletet kell megoldani pn kisz´am´ıt´as´ahoz. A 18.3. t´ etel bizony´ıt´ asa. (1) A 11.9. t´etellel anal´og Newton–Leibnizformula szerint Z 1 F (un+1 ) = F (un ) + F 0 (un + t(un+1 − un ))(un+1 − un )dt = 0
= −F 0 (un )pn +
Z
1
F 0 (un + tpn )pn dt =
0
Z = 0
1 0
(F (un + tpn ) − F 0 (un )) pn dt.
´ dszer 18.2. A Newton–Kantorovics-mo
267
1 Itt (18.8) miatt F 0 (u)−1 ≤ m minden u ∈ H eset´en. Ebb˝ol, ´es felhaszn´alva 0 F Lipschitz-folytonoss´ ag´ at, Z 1 kF (un+1 )k ≤ kF 0 (un + tpn ) − F 0 (un )k kpn k dt ≤ 0
Z
1
2
Lt kpn k dt =
≤ 0
≤
2 L L 2 kpn k = F 0 (un )−1 F (un ) ≤ 2 2
L 2 kF (un )k . 2m2
(2) Most alkalmazzuk a fenti becsl´est n-szer: 2 L L L 2 4 kF (un−1 )k ≤ kF (un−2 )k = kF (un )k ≤ 2m2 2m2 2m2 1+2 1+2+22 L L 22 23 = kF (un−2 )k ≤ kF (un−3 )k 2m2 2m2 1+2+22 +...+2n−1 L 2n ≤ ... ≤ kF (u0 )k = 2m2 2n −1 L 2n = kF (u0 )k , 2 2m azaz 2m2 kF (un )k ≤ L
2n L 2m2 2n kF (u )k = q . 0 2m2 L
Ha (18.9) teljes¨ ul, akkor q < 1 ´es ´ıgy kF (un )k → 0.
18.5. Megjegyz´ es. Mint l´ attuk, Hilbert-t´erben a (18.8) felt´etel garant´alhat´ o pl. az 2 hF 0 (u)h, hi ≥ m khk (∀u, h ∈ H) egyenl˝ otlens´eggel. Ekkor a (18.6) egyenlet megoldhat´os´ag´ahoz m´eg feltessz¨ uk vagy F 0 bihemifolytonoss´ ag´ at ´es ¨onadjung´alts´ag´at, vagy F (lok´alis) Lipschitzfolytonoss´ ag´ at, viszont a Fr´echet-deriv´alhat´os´ag helyett el´eg a Gˆateaux-deriv´ alhat´ os´ ag. K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy a 18.3. t´etel bizony´ıt´as´aban is el´eg a Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ os´ ag. 18.6. Megjegyz´ es. A 18.3. t´etelben szerepl˝o Lipschitz-felt´etel t¨obb m´odon is enyh´ıthet˝ o. (a) El´eg feltenni a H¨ older-folytonoss´agot: kF 0 (u) − F 0 (v)k ≤ Lku − vkα
(u, v ∈ X)
´ cio ´ s mo ´ dszerek nemlinea ´ ris egyenletekre 18. Itera
268
ahol L > 0, 0 < α < 1 ´alland´ok. Ekkor a t´etel bizony´ıt´as´aval kvadratikus helyett 1 + α rend˝ u konvergenci´at kapunk: kF (un+1 )k ≤ c kF (un )k1+α
(n ∈ N).
(b) El´eg feltenni F 0 Lipschitz-folytonoss´ag´at egy u∗ k¨ozep˝ u olyan g¨omb¨on, 1 kF (u0 )k ≤ R. Az eredeti t´etelben ui. az kF (un )k melynek R sugar´ ara m sorozat cs¨ okken, ´ıgy kun − u∗ k ≤
1 m kF (un )k
≤
1 m kF (u0 )k
≤R
´es a felt´etelek csak az eml´ıtett g¨omb¨on kellenek. (c)
El´eg feltenni F 0 lok´ alis Lipschitz-folytonoss´ag´at, azaz hogy l´etezik ˜ : R+ → R+ f¨ olyan monoton n¨ ov˝ oL uggv´eny, hogy ˜ kF 0 (u) − F 0 (v)k ≤ L(r)ku − vk
(u, v ∈ X, kuk, kvk ≤ r). (18.11)
2 Ez az el˝ oz˝ o (b) pont miatt van ´ıgy. Legyen ugyanis R0 := m kF (u0 )k + 0 ˜ 0 ), ku0 k. Ekkor F Lipschitz-konstansa a B(0, R0 ) g¨omb¨on L = L(R 1 ∗ u m´ asr´eszt a B(0, R0 ) g¨omb tartalmazza az u k¨or¨ uli m kF (u0 )k sugar´ g¨ omb¨ ot, amelyben a sorozat fut: ha u eleme az ut´obbi g¨ombnek, akkor
kuk ≤ ku − u∗ k + ku∗ − u0 k + ku0 k ≤
2 m kF (u0 )k
+ ku0 k = R0 .
Most id´ezz¨ uk a klasszikus Kantorovics-f´ele t´etelt, amely hasonl´o konvergenciarendet ad kevesebb felt´etellel. Az el˝oz˝o megjegyz´es (b) pontja alapj´an el´eg a felt´eteleket az eg´esz t´er helyett egy g¨omb¨on feltenni, ha a g¨omb sugara osszhangban ´ all a t¨ obbi konstanssal. Emellett ha a (18.8) regularit´ast csak ¨ a kezd˝ opontban tessz¨ uk fel, akkor a Lipschitz-folytonoss´ag miatt annak egy k¨ ornyezet´eben is teljes¨ ul. Az al´abbi t´etel a megold´as l´etez´es´et is garant´alja. 18.7. T´ etel. Legyenek X, Y Banach-terek, F : X → Y Fr´echet-deriv´ alhat´ o egy D ⊂ X konvex halmazon, ´es legyen F 0 Lipschitz-folytonos D-ben L konstanssal. Legyen u0 ∈ D, ´es tegy¨ uk fel, hogy kF 0 (u0 )−1 k ≤ 1/m,
kF 0 (u0 )−1 F (u0 )k ≤ µ
´es ∗
Legyen t := Ekkor az
L m
θ := Lµ/m < 1/2. 1 − (1 − 2θ)1/2 ´es S := {u ∈ X : ku − u0 k ≤ t∗ } ⊂ D. un+1 = un − F 0 (un )−1 F (un ) ∗
(n ∈ N)
iter´ aci´ o j´ oldefini´ alt, ´es konverg´ al egy u ∈ S vektorhoz. Ez az u∗ a (18.6) egyenlet egyetlen megold´ asa az S g¨ ombben, ´es ´erv´enyes a (18.10) konvergenciabecsl´es q = 2θ mellett.
´ mo ´ dszerek 18.3. Newton-t´ıpusu
269
A fenti t´etel ´es sz´ amos, els˝ osorban algebrai rendszerekre elterjedt v´altozata tal´ alhat´ o a [15, 52] k¨ onyvekben, ezek ´ertelemszer˝ uen igazak Banach-t´erben is. Kantorovics eredeti eredm´enyei ´es bizony´ıt´asaik [33]-ban olvashat´ok. 18.8. Megjegyz´ es. A Newton-m´odszer felfoghat´o a gradiens-m´odszer ´altal´ anos´ıt´ as´ anak, ha l´ep´esenk´ent v´altoz´o skal´arszorzatra n´ezve keress¨ uk a leggyorsabb ereszked´es ir´ any´ at [35]; igazolhat´o, hogy az ilyen elj´ar´asok k¨oz¨ott a Newton-m´ odszer optim´ alis [34].
18.3. Newton-t´ıpus´ u m´ odszerek Az el˝ oz˝ o szakaszban defini´ alt ( un+1 := un + pn ,
ahol
0
F (un )pn = −F (un ) iter´ aci´ o a gyakorlatban k´et okb´ol is m´odos´ıt´asra szorul. Egyr´eszt, a line´aris seg´edegyenletet ´ altal´ aban csak k¨ozel´ıt˝oleg tudjuk megoldani, m´asr´eszt a konvergencia csak lok´ alisan, azaz el´eg j´o kezdeti k¨ozel´ıt´es eset´en teljes¨ ul. A line´ aris seg´edegyenletek k¨ ozel´ıt˝o megold´as´aval fel´ırt iter´aci´ot inegzakt Newton-m´ odszernek h´ıvjuk. Itt teh´at pn -et valamilyen el˝o´ırt hibahat´aron bel¨ ul sz´ am´ıtjuk ki, vagyis az F 0 (un )pn + F (un ) = 0 egyenl˝ os´eget az kF 0 (un )pn + F (un )k ≤ δn kF (un )k egyenl˝ otlens´eggel helyettes´ıtj¨ uk, ahol δn > 0 el˝ore megadott relat´ıv hibahat´ar. 18.9. T´ etel (inegzakt Newton-m´ odszer). Teljes¨ uljenek a 18.3. t´etel felt´etelei ´es legyen u∗ ∈ X a (18.6) egyenlet megold´ asa. Ekkor van olyan ε > 0, hogy ha ku0 − u∗ k < ε ´es tekintj¨ uk az al´ abbi sorozatot: ( un+1 := un + pn (n ∈ N), ahol (18.12) kF 0 (un )pn + F (un )k ≤ δn kF (un )k ´es 0 < δn ≤ δ0 < 1, ´ akkor un → u∗ a (δn ) sorozatt´ ol f¨ ugg˝ o rendben. Espedig, ha δn ≤ c kF (un )kγ valamely 0 < γ ≤ 1 ´es c > 0 konstansok mellett, akkor a konvergencia rendje 1 + γ: kF (un+1 )k ≤ c1 kF (un )k1+γ (n ∈ N) ´es
kun − u∗ k ≤
1 m kF (un )k
n
≤ d1 q (1+γ)
(ahol 0 < q < 1, c1 , d1 > 0 alkalmas ´ alland´ ok).
(n ∈ N)
´ cio ´ s mo ´ dszerek nemlinea ´ ris egyenletekre 18. Itera
270
Bizony´ıt´ as. A 18.3. t´etel bizony´ıt´as´at m´odos´ıtjuk. Az (1) r´esz helyett most kF (un+1 )k ≤ δn kF (un )k + (L/2)kpn k2 .
(18.13)
A (18.12) felt´etelb˝ ol kpn k ≤ kF 0 (un )−1 kkF 0 (un )pn k ≤ kF 0 (un )−1 k kF 0 (un )pn +F (un )k+kF (un )k ≤ m−1 kF (un )k(1 + δn ),
(18.14)
´ıgy kF (un+1 )k ≤ δn kF (un )k + (L/2m2 )(1 + δn )2 kF (un )k2 .
(18.15)
Legyen δn := c kF (un )kγ
(∀n ∈ N)
(18.16)
(ahol c > 0 and 0 < γ ≤ 1 ´ alland´ok). Ekkor (18.15) ´es (18.16) alapj´an 2
kF (un+1 )k ≤ ckF (un )k1+γ + (L/2m2 ) (1 + ckF (un )kγ ) kF (un )k2 2 ≤ kF (un )k ckF (un )kγ + (L/2m2 ) (1 + ckF (un )kγ ) kF (un )k . (18.17) Ha u0 olyan, hogy 2
%0 := ckF (u0 )kγ + (L/2m2 ) (1 + ckF (u0 )kγ ) kF (u0 )k < 1,
(18.18)
akkor (kF (un )k) cs¨ okken, hiszen (18.17)–(18.18) miatt kF (u1 )k ≤ %0 kF (u0 )k, ´es indukci´ oval, ha valamely n-re kF (un )k ≤ ... ≤ kF (u0 )k, akkor ism´et (18.17)–(18.18) r´ev´en kF (un+1 )k ≤ %0 kF (un )k. Legyen c1 := c+(L/2m2 )(1+ckF (u0 )kγ )2 kF (u0 )k1−γ . A (18.17) ´es kF (un )k ≤ kF (u0 )k becsl´esek alapj´ an 2 kF (un+1 )k ≤ kF (un )k1+γ c + (L/2m2 ) (1 + ckF (un )kγ ) kF (un )k1−γ ≤ c1 kF (un )k1+γ . Ebb˝ ol indukci´ oval (1+γ)n −1 γ
kF (un )k ≤ c1 −1/γ
ahol d1 = c1
1/γ
n
kF (u0 )k(1+γ) = d1 q (1+γ) 1/γ
´es q = c1 kF (u0 )k = %0
< 1.
n
´ mo ´ dszerek 18.3. Newton-t´ıpusu
271
18.10. Megjegyz´ es. Az inegzakt Newton-m´odszer speci´alis esetei az u ´n. kv´ azi-Newton m´ odszerek, melyekben az F 0 (un ) deriv´alt valamely Bn k¨ozel´ıt´es´et haszn´ aljuk: ( un+1 = un − Bn−1 F (un ) (n ∈ N), ahol (18.19) 0 −1 kI − F (un )Bn k ≤ δn ´es 0 < δn ≤ δ0 < 1. (Itt I az identit´ as Y -ban). Ekkor ui. pn = −Bn−1 F (un ), ´ıgy kF 0 (un )pn + (F (un ))k = k(−F 0 (un )Bn−1 + I)(F (un ))k ≤ δn kF (un )k. A k¨ ovetkez˝ o m´ odos´ıt´ as az u ´n. csillap´ıtott Newton-m´odszer, melyben a glob´alis konvergencia ´erdek´eben a pn vektorokat alkalmas τn ∈ (0, 1] ´alland´okkal szorozzuk. 18.11. T´ etel (csillap´ıtott Newton-m´ odszer). Teljes¨ uljenek a 18.3. t´etel felt´etelei ´es legyen u∗ ∈ X a (18.6) egyenlet megold´ asa. Legyen u0 ∈ X tetsz˝ oleges, ´es tekints¨ uk az al´ abbi sorozatot: (n ∈ N), ahol un+1 := un + τn pn n o (18.20) 2 F 0 (un )pn = −F (un ) ´es τn = min 1, LkFm(un )k . Ekkor kun − u∗ k ≤
1 m kF (un )k
→0
monoton cs¨ okken˝ oen ´es lok´ alisan m´ asodrendben, azaz alkalmas n0 ∈ N index ut´ an kF (un+1 )k ≤ c1 kF (un )k2 (n ≥ n0 ) (18.21) ´es
kun − u∗ k ≤
1 m kF (un )k
≤ d1 q 2
n
(n ≥ n0 )
(18.22)
(ahol 0 < q < 1, c1 , d1 > 0). Bizony´ıt´ as. Most is a 18.3. t´etel bizony´ıt´as´at m´odos´ıtjuk: az (1) r´esz helyett most F (un+1 ) = (1 − τn )F (un ) + τn (F (un ) + F 0 (un )pn )+ Z 1 +τn (F 0 (un + tτn pn ) − F 0 (un ))pn dt,
(18.23)
0
´ıgy
kF (un+1 )k ≤ (1 − τn )kF (un )k + τn2 (L/2m2 )kF (un )k2 = kF (un )k 1 − τn + τn2 (L/2m2 )kF (un )k . (18.24)
´ cio ´ s mo ´ dszerek nemlinea ´ ris egyenletekre 18. Itera
272
Ha (L/2m2 )kF (u0 )k < 1, akkor τn ≡ 1 ´es a 18.3. t´etel haszn´alhat´o, k¨ ul¨onben pedig r¨ ogz´ıtett n eset´en a val´os ϕ(t) := 1 − t + t2 (L/2m2 )kF (un )k (t ≥ 0) 2 f¨ uggv´eny minimum´ at t = τn := LkFm(un )k eset´en veszi fel, ´es itt ´ert´eke ϕ(τn ) = 1 −
m2 . 2LkF (un )k
(18.25)
´Igy (18.3) alapj´ an ´es indukci´oval az (kF (un )k) sorozat cs¨okken ´es n m2 kF (un )k ≤ 1 − kF (u0 )k (n ∈ N). 2LkF (u0 )k
(18.26)
´Igy alkalmas n0 ∈ N+ ut´ an az (L/2m2 )kF (un0 )k < 1 becsl´es ´all fenn, ekkor τn ≡ 1 (n ≥ n0 ) ´es a 18.3. t´etel haszn´alhat´o un0 kezd˝ovektorral. A fenti k´et v´ altozat el˝ onyei k¨oz¨os m´odszerben egyes´ıthet˝oek, amely ´epp emiatt a legelterjedtebb. Az u ´n. csillap´ıtott inegzakt Newton-m´odszer teh´at glob´ alis konvergenci´ at ny´ ujt a seg´edegyenletek k¨ozel´ıt˝o megold´asa mellett is. 18.12. T´ etel (csillap´ıtott inegzakt Newton-m´ odszer). Teljes¨ uljenek a 18.3. t´etel felt´etelei ´es legyen u∗ ∈ X a (18.6) egyenlet megold´ asa. Legyen u0 ∈ X tetsz˝ oleges, ´es tekints¨ uk az al´ abbi sorozatot: (n ∈ N), ahol un+1 := un + τn pn kF 0 (un )pn + F (un )k ≤ δn kF (un )k ´es 0 < δn ≤ δ0 < 1, valamint n o 2 (1−δn ) m . τn := min 1, (1+δ 2 n ) LkF (un )k (18.27) Ekkor kun − u∗ k ≤
1 m kF (un )k
→0
´ monoton cs¨ okken˝ oen, a (δn ) sorozatt´ ol f¨ ugg˝ o rendben. Espedig, ha δn ≤ γ c kF (un )k valamely 0 < γ ≤ 1 ´es c > 0 konstansok mellett, akkor a konvergencia rendje lok´ alisan 1 + γ, azaz alkalmas n0 ∈ N index ut´ an kF (un+1 )k ≤ c1 kF (un )k1+γ ´es
kun − u∗ k ≤
1 m kF (un )k
(n ≥ n0 )
≤ d1 q (1+γ)
n
(n ≥ n0 )
(ahol 0 < q < 1, c1 , d1 > 0 alkalmas ´ alland´ ok). Bizony´ıt´ as. A kor´ abbiakhoz hasonl´o, most (18.3) ´es (18.14) alapj´an kF (un+1 )k ≤ (1 − τn )kF (un )k + τn δn kF (un )k + τn2 (L/2)kpn k2
˝ -belso ˝ itera ´ cio ´k 18.4. K¨ ulso
273
≤ kF (un )k 1 − τn (1 − δn ) + τn2 (L/2m2 )(1 + δn )2 kF (un )k .
(18.28)
2
(1−δn ) m A z´ ar´ ojelben ´ all´ o kifejez´es minimum´at τn = (1+δ eset´en veszi fel, 2 n ) LkF (un )k ´es itt ´ert´eke 2 m2 1 − δn ϕ(τn ) = 1 − . (18.29) 2LkF (un )k 1 + δn
Indukci´ oval, δn ≤ δ0 < 1 miatt ϕ(τn ) ≤ ϕ(τ0 ) ´es kF (un )k line´arisan cs¨okken, ezen bel¨ ul valamely n0 ∈ N+ eset´en (18.18) teljes¨ ul, ha ott kF (u0 )k helyett kF (un0 )k-t ´ırunk. ´Igy a 18.3. t´etel haszn´alhat´o un0 kezd˝ovektorral. 18.13. Megjegyz´ es. A fenti h´arom t´etelben szerepl˝o Lipschitz-felt´etel t¨obb m´ odon is enyh´ıthet˝ o, ugyan´ ugy, mint a 18.6. megjegyz´esben eml´ıtett¨ uk az eredeti Newton-iter´ aci´ ora.
18.4. Ku o-bels˝ o iter´ aci´ ok ¨ ls˝ Legyen H val´ os Hilbert-t´er, A : H → H adott oper´ator az al´abbi tulajdons´ agokkal: 18.4. felt´ etelek. (i) A Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o, A0 bihemifolytonos; (ii) b´ armely u ∈ H eset´en A0 (u) ∈ B(H) ¨onadjung´alt; (iii) l´etezik M ≥ m > 0, hogy 2
2
m khk ≤ hA0 (u)h, hi ≤ M khk
(∀u, h ∈ H);
(iv) A0 Lipschitz-folytonos L konstanssal. Tekints¨ uk az A(u) = b egyenletet, melynek a 13.2. t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H megold´ asa. Az el˝ oz˝ o szakaszban bevezetett inegzakt Newton-m´odszer ´es csillap´ıtott v´altozata eset´en a seg´edegyenletek k¨ozel´ıt˝o megold´as´ara most haszn´alhatjuk a konjug´ alt gradiens-m´ odszert. Ez´altal a k¨ozel´ıt˝o sorozatot k´etszeres, u ´n. k¨ uls˝obels˝ o iter´ aci´ oval adjuk meg. A konstrukci´o ´es a konvergencia a megfelel˝o kor´ abbi eredm´enyekb˝ ol levezethet˝o, ezt foglaljuk most ¨ossze. Legyen u0 ∈ H tetsz˝ oleges.
´ cio ´ s mo ´ dszerek nemlinea ´ ris egyenletekre 18. Itera
274
(a) A k¨ uls˝ o Newton-iter´ aci´o: un+1 = un + τn pn
(n ∈ N),
(18.30)
ahol pn ∈ H az al´ abbi line´aris egyenlet k¨ozel´ıt˝o megold´asa: A0 (un )pn ≈ −(A(un ) − b),
(18.31)
emellett δn > 0
el˝ o´ırt konstans, melyre 0 < δn ≤ δ0 < 1,
τn = min{ 1,
(1−δn ) µ1 (1+δn ) Lkpn k
(18.32) } ∈ (0, 1] .
(b) Bels˝ o iter´ aci´ o: a (18.31)-beli pn vektor kisz´am´ıt´as´ara a KGM seg´ıts´eg´evel konstru´ alunk egy (p(k) n )⊂H (0)
(k ∈ N) (k )
u k¨ ozel´ıt˝ o sorozatot. Legyen pn := 0 ´es pn := pn n a legkisebb kn index˝ tag, melyre m´ ar teljes¨ ul az n) kA0 (un )p(k + (A(un ) − b)k ≤ δn kA(un ) − bk n
(18.33)
relat´ıv hibabecsl´es, ahol δn > 0 a (18.32)-ben el˝o´ırt hibakorl´at. 18.14. T´ etel. Teljes¨ uljenek a 18.4. felt´etelek. Ekkor az al´ abbi konvergenciabecsl´esek ´ allnak fenn. (1) A bels˝ o iter´ aci´ ora r kA
0
(un )p(k) n
+ (A(un ) − b)k ≤ 2
M m
√ √ !k M− m √ kA(un ) − bk √ M+ m
(k ∈ N).
´ Igy ahhoz, hogy az n-edik k¨ uls˝ o l´ep´esben (18.33) m´ ar teljes¨ ulj¨ on, a sz¨ uks´eges bels˝ o iter´ aci´ os l´ep´esek minim´ alis sz´ ama legfeljebb az a kn ∈ N, melyre √ r √ !kn M− m δn m √ ≤ . (18.34) √ 2 M M+ m (2) Az (un ) k¨ uls˝ o iter´ aci´ ora kun − u∗ k ≤
1 kA(un ) − bk → 0 m
˝ -belso ˝ itera ´ cio ´k 18.4. K¨ ulso
275
´ monoton cs¨ okken˝ oen, a (δn ) sorozatt´ ol f¨ ugg˝ o rendben. Espedig, ha δn ≤ c kA(un ) − bkγ valamely 0 < γ ≤ 1 ´es c > 0 konstansok mellett, akkor a konvergencia rendje lok´ alisan 1 + γ, azaz alkalmas n0 ∈ N index ut´ an kA(un+1 ) − bk ≤ c1 kA(un ) − bk1+γ ´es
kun − u∗ k ≤
1 m kA(un )
− bk ≤ d1 q (1+γ)
(n ≥ n0 ) n
(n ≥ n0 )
(ahol 0 < q < 1, c1 , d1 > 0 alkalmas ´ alland´ ok). Bizony´ıt´ as. (1) A 18.4. felt´etel miatt az A0 (un ) oper´atorra vonatkoz´o (18.31) (k) line´ aris egyenletre ´erv´enyes a 16.11. t´etel. Itt a marad´ekvektorok az rn := (0) (0) (k) A0 (un )pn +(A(un )−b) vektorok, speci´alisan pn := 0 miatt rn = A(un )−b, ´ıgy a 16.12. megjegyz´es alapj´an kapjuk a konvergenciabecsl´est, abb´ol ´es a (18.33) becsl´esb˝ ol pedig azonnal k¨ovetkezik (18.34). (2) Az F (u) := A(u) − b oper´atorra a 18.5. megjegyz´es alapj´an teljes¨ ulnek a 18.3. t´etel felt´etelei ´es el´eg a Gˆateaux-deriv´alhat´os´ag. ´Igy fenn´allnak a 18.12. t´etel felt´etelei is, ez pedig ´epp a k´ıv´ant becsl´eseket adja.
19. fejezet
Iter´ aci´ os m´ odszerek Ritz– Galjorkin-diszkretiz´ aci´ okra 19.1. R´ acsfu eg line´ aris egyenletek ese¨ ggetlens´ t´ en Legyen H val´ os Hilbert-t´er ´es tekints¨ uk az Lu = g
(19.1)
line´ aris oper´ atoregyenletet, ahol L S-korl´atos ´es S-koerc´ıv a 8.32. defin´ıci´o szerint, ´es g ∈ H adott vektor. A 8.37. t´etel szerint ennek egy´ertelm˝ uen l´etezik gyenge megold´ asa. A gyakorlatban az ilyen oper´atoregyenlettel modellezett feladatok megold´asa altal´ ´ aban a k¨ ovetkez˝ o k´et l´ep´esb˝ol ´all: i) diszkretiz´ aci´ o (azaz v´eges dimenzi´os feladattal k¨ozel´ıtj¨ uk, amely line´aris algebrai egyenletrendszerre vezet); ii) iter´ aci´ o (amellyel megoldjuk a fent kapott line´aris egyenletrendszert). Mindk´et l´ep´esben t¨ obbf´ele lehet˝os´eg van megfelel˝o m´odszer v´alaszt´as´ara. Itt az eddig bemutatott algoritmusok alapj´an a diszkretiz´aci´ora Ritz–Galjorkinf´ele, az iter´ aci´ ora pedig prekondicion´alt konjug´alt gradiens-m´odszert alkalmazunk. A fejezet fontos eredm´enye, hogy alkalmas prekondicion´al´as seg´ıts´eg´evel a konvergencia r´ acsf¨ uggetlens´eg´et fogjuk igazolni. Ez azt jelenti, hogy a prekondicion´ alt m´ atrixok kond´ıci´ osz´ama ´es ´ıgy a konvergencia h´anyadosa is korl´atos 277
278
´ cio ´k e ´s Ritz–Galjorkin-diszkretiza ´ cio ´k 19. Itera
marad a diszkretiz´ aci´ o finom´ıt´asa (azaz az alterek dimenzi´oj´anak tetsz˝oleges n¨ ovel´ese) sor´ an. Ennek jelent˝os´eg´er˝ol a 19.4. szakaszban is sz´ot ejt¨ unk majd, amikor a fenti eredm´enyt elliptikus feladatokra alkalmazzuk. Az eml´ıtettekhez hasonl´ o eredm´enyek r´eszletes t´argyal´asa olvashat´o a [6, 23] munk´ akban.
19.1.1. A megold´ as menete El˝ osz¨ or teh´ at a 15.2. szakasz alapj´an Ritz–Galjorkin-m´odszerrel k¨ozel´ıtj¨ uk a (19.1) egyenlet megold´ as´ at. Az alterek jel¨ol´es´ere a v´egeselem-m´odszern´el megszokott jel¨ ol´est haszn´ aljuk a 15.5. szakaszhoz hasonl´oan, azaz N ∈ N+ eg´esz helyett h > 0 param´eterrel indexelj¨ uk (amely a gyakorlatban ford´ıtottan ar´ anyos N -nek a feladatt´ol f¨ ugg˝o hatv´any´aval). Legyen teh´at Vh = span{ϕ1 , . . . , ϕN } ⊂ HS adott alt´er, ahol a ϕi vektorok line´arisan f¨ uggetlenek. Jel¨olje most a megfelel˝o Gram-m´ atrixot n oN Lh := hLS ϕj , ϕi iS . i,j=1
Az uh ∈ Vh k¨ ozel´ıt˝ o megold´ast ekkor uh =
N P
ci ϕi alakban kapjuk, ahol
i=1
bh := {hg, ϕj i}N es a c = (c1 , . . . , cN ) ∈ RN vektor az j=1 , ´ Lh c = bh
(19.2)
N ×N -es line´ aris egyenletrendszer megold´asa. L´attuk, hogy ha teljes¨ ul a 15.2. felt´etel, akkor uh → u∗ k·kS -norm´aban. A (19.2) rendszer megold´ as´ ara alkalmazzuk a prekondicion´alt KGM-t, ahol a prekondicion´ al´ o m´ atrix az S oper´atorhoz tartoz´o merevs´egi m´atrix: n oN Sh = hϕi , ϕj iS . i,j=1
Ez azt jelenti, hogy az eredeti rendszer helyett form´alisan az al´abbi prekondicion´ alt rendszert tekintj¨ uk: ˜ S−1 h Lh c = bh
(19.3)
˜ h = S−1 bh ), ´es erre alkalmazzuk a KGM algoritmus´at. Ut´obbiban (ahol b h ekkor l´ep´esenk´ent az S−1 atrix szerepel, ami val´oj´aban azt jelenti, hogy h Lh m´ Sh zn = Lh wn t´ıpus´ u seg´edrendszereket kell megoldani, l´asd (16.20). A prekondicion´ al´ as l´enyege, hogy az Sh -val fel´ırt rendszerek egyszer˝ ubben megoldhat´ ok legyenek, mint Lh -val. M´asr´eszt a konvergenci´ara az al´abbi r´acsf¨ uggetlens´egi tulajdons´ agot fogjuk igazolni: az S−1 L m´ a trixok kond´ ıci´ o sz´ a ma, h h amely f¨ ugg h-t´ ol (azaz N -t˝ ol), korl´atos marad h → 0 (azaz N → ∞) eset´en.
´ csf¨ ´g linea ´ ris egyenletek esete ´n 19.1. Ra uggetlense
279
19.1.2. Szimmetrikus feladatok Legyen el˝ osz¨ or L maga is szimmetrikus oper´ator, ekkor az S-korl´atos ´es Skoerc´ıv volta nem jelent m´ ast, mint az al´abbi spektr´alis ekvivalenci´at: mkuk2S ≤ hLS u, uiS ≤ M kuk2S
(u ∈ HS ).
(19.4)
Ekkor Lh is szimmetrikus. Itt S−1 onadjung´alt a hc, diSh := Sh c · d skah Lh ¨ l´ arszorzatra n´ezve (hasonl´ oan, mint oper´atorokra l´attuk (16.40)-n´el). ´Igy alkalmazhat´ o a (16.11)-(16.12) algoritmus a (19.3) rendszerre, ahol RN -ben a h., .iSh skal´ arszorzatot ´es megfelel˝o |.|Sh norm´at haszn´aljuk, vagyis a (16.18)(16.19) algoritmus megfelel˝ oje. Ekkor igaz a 16.11. t´etel becsl´ese, amihez sz¨ uks´eg van S−1 L hat´ a raira a h., .i skal´ a rszorzatra n´ e zve. Megmutatjuk, hogy h S h h itt S−1 or¨ okli az eredeti hat´arokat Vh -t´ol f¨ uggetlen¨ ul. Az eredeti oper´atoh Lh ¨ rokra vonatkoz´ o felt´etel az L ´es S spektr´alis ekvivalenci´aja lesz. ´ ıt´ 19.1. All´ as. Legyenek L ´es S spektr´ alisan ekvivalensek, azaz D(L) = D(S) =: D ´es l´etezik M ≥ m > 0, hogy mhSu, ui ≤ hLu, ui ≤ M hSu, ui
(u ∈ D).
(19.5)
Ekkor b´ armely Vh ⊂ HS alt´er eset´en 2 m |c|2Sh ≤ hS−1 h Lh c, ciSh ≤ M |c|Sh
(∀c ∈ RN )
Vh -t´ ol f¨ uggetlen¨ ul. Bizony´ıt´ as. A (19.5) spektr´alis ekvivalencia ´es LS defin´ıci´oja alapj´an teljeN P s¨ ul (19.4). Tetsz˝ oleges c ∈ RN eset´en az u = cj ϕj ∈ Vh vektorra j=1 N N
2
X X
cj ϕj = hϕi , ϕj iS ci cj = Sh c · c, kuk2S = j=1
S
(19.6)
i,j=1
´es hasonl´ oan hLS u, uiS = Lh c · c. Ezeket (19.4)-be be´ırva m (Sh c · c) ≤ Lh c · c ≤ M (Sh c · c) , ami megegyezik a k´ıv´ ant egyenl˝otlens´eggel.
´Igy alkalmazhatjuk (16.21)-et m ´es M hat´arokkal, teh´at a (19.3) rendszerre fel´ırt KGM-algoritmusra az √ √ !n M− m ken kLh ≤2 √ (n = 1, 2, . . . , N ) (19.7) √ ke0 kLh M+ m Vh -t´ ol f¨ uggetlen becsl´est kapjuk.
´ cio ´k e ´s Ritz–Galjorkin-diszkretiza ´ cio ´k 19. Itera
280
19.1.3. Nem szimmetrikus feladatok Legyen most L tetsz˝ oleges S-korl´atos ´es S-koerc´ıv oper´ator. L´attuk (8.14)ben, hogy mkuk2S ≤ hLS u, uiS ,
|hLS u, viS | ≤ M kukS kvkS
(u, v ∈ HS ).
(19.8)
´ ıt´ 19.2. All´ as. Ha fenn´ all (19.8), akkor b´ armely Vh ⊂ HS alt´er eset´en m |c|2Sh ≤ hS−1 h Lh c, ciSh ,
|hS−1 h Lh c, diSh | ≤ M |c|Sh |d|Sh
(∀c, d ∈ RN ) (19.9)
Vh -t´ ol f¨ uggetlen¨ ul. Bizony´ıt´ as. Ugyan´ ugy megy, mint a 19.1. ´all´ıt´as bizony´ıt´asa; most tetsz˝oleN N P P ges c, d ∈ RN eset´en az u = cj ϕj ∈ Vh ´es v = dj ϕj ∈ Vh vektorokat j=1
j=1
(19.8)-ba helyettes´ıtve m (Sh c·c) ≤ Lh c·c,
|Lh c·d| ≤ M |c|Sh |d|Sh
(∀c, d ∈ RN ), (19.10)
ez pedig nem m´ as, mint (19.9).
A 16.15. megjegyz´est felhaszn´alva ad´odik a 19.3. K¨ ovetkezm´ eny. Ha fenn´ all (19.8), akkor m |c|Sh ≤ |S−1 h Lh c|Sh ≤ M |c|Sh
(∀c ∈ RN ).
Ekkor teh´ at alkalmazhatjuk a 16.3. szakaszban kapott line´aris konvergenciabecsl´est: 19.4. K¨ ovetkezm´ eny. Ha fenn´ all (19.8), akkor a (16.25) KGN algoritmust a (19.3) rendszerre alkalmazva n M −m krn kSh ≤2 (n = 1, 2, . . . , N ) (19.11) kr0 kSh M +m Vh -t´ ol f¨ uggetlen¨ ul. 19.5. Megjegyz´ es. A fenti becsl´es azt mutatja, hogy a 16.3. szakaszban oper´ atorokra kapott line´ aris konvergenciabecsl´es ¨or¨okl˝odik a Ritz–Galjorkindiszkretiz´ aci´ ora megfelel˝ o prekondicion´al´as eset´en. Hasonl´o igaz a (16.27) szuperline´ aris konvergenciabecsl´esre is: ha LS = I + QS alak´ u, ahol QS ≥ 0 kompakt, akkor a (16.25) KGN algoritmust a (19.3) rendszerre alkalmazva krn kSh ≤ εnn kr0 kSh
(n = 1, 2, ..., N ),
(19.12)
´ csf¨ ´g linea ´ ris nyeregpont-feladatok esete ´n 19.2. Ra uggetlense
281
ahol εn :=
n 1 X λi (Q∗S + QS ) + λi (Q∗S QS ) → 0 n i=1
(ha n → ∞) (19.13)
Vh -t´ ol f¨ uggetlen nullsorozat. Ez (´altal´anosabb esetre) [6]-ban tal´alhat´o.
19.2. R´ acsfu eg line´ aris nyeregpont-fela¨ ggetlens´ datok eset´ en Legyenek H, K val´ os Hilbert-terek, ´es tekints¨ uk a (8.17) feladatot: ( Su + N p = f N ∗u
= g,
(19.14)
ahol S : H ⊃→ H ´es N : K ⊃→ H s˝ ur˝ un defini´alt oper´atorok, S szimmetrikus ´es egyenletesen pozit´ıv, valamint f ∈ H, g ∈ K adott vektorok. Teljes¨ ulj¨on emellett D(N ∗ ) ⊃ HS (ahol HS az S energiatere), ´es az S-norm´aval vett inf-sup-felt´etel: inf
sup
p∈D(N )\{0} u∈HS \{0}
hN p, ui = γ > 0. kpkkukS
A feladat gyenge alakja ( hu, viS + hp, N ∗ vi = hf, vi ∗
hN u, qi
= hg, qi
(∀v ∈ HS ), (∀q ∈ K).
(19.15)
(19.16)
A 8.41. t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik az (u∗ , p∗ ) ∈ HS × K gyenge megold´ as. A t´etel bizony´ıt´ as´ ahoz ´at´ırtuk a fenti inf-sup-felt´etelt: inf
sup
p∈K\{0} u∈HS \{0}
hp, N ∗ ui = γ > 0. kpkkukS
A (19.14) feladatot Ritz–Galjorkin-m´odszerrel diszkretiz´aljuk a 15.3.2. szakasz alapj´ an. Az altereket (a 15.5. szakaszbeli jel¨ol´eshez hasonl´oan) h > 0 param´eterrel indexelj¨ uk, legyenek teh´at Vh ⊂ HS ´es Ph ⊂ K v´eges dimenzi´os alterek. Az (uh , ph ) ∈ Vh × Ph k¨ozel´ıt˝o megold´ast az ( huh , viS + hph , N ∗ vi = hf, vi (∀v ∈ Vh ), (19.17) hN ∗ uh , qi = hg, qi (∀q ∈ Ph ). feladat megold´ asak´ent keress¨ uk.
´ cio ´k e ´s Ritz–Galjorkin-diszkretiza ´ cio ´k 19. Itera
282
L´ attuk, hogy a fenti diszkr´et feladat nem o¨r¨okli automatikusan az inf-supfelt´etelt, hanem ezt k¨ ul¨ on el˝ o kell ´ırnunk; s˝ot, ezt a Ritz–Galjorkin-m´odszer konvergenci´ aj´ ahoz egyenletesen, azaz h-t´ol f¨ uggetlen konstanssal kell tenn¨ unk. A 15.10. defin´ıci´ o alapj´an teh´at feltessz¨ uk, hogy a Vh ´es Ph alterek teljes´ıtik az u ´n. LBB-felt´etelt, azaz van olyan γ0 > 0 h-t´ol f¨ uggetlen ´alland´o, hogy hp, N ∗ ui ≥ γ0 . (19.18) inf sup p∈Ph \{0} u∈Vh \{0} kpkkukS Ekkor a (19.17) diszkr´et feladatnak egy´ertelm˝ uen l´etezik (uh , ph ) ∈ Vh × Ph megold´ asa, emellett ha {Vh }h>0 ´es {Ph }h>0 alterek olyan csal´adja, melyre b´ armely u ∈ HS eset´en
dist(u, Vh ) := min{ku − vh k : vh ∈ Vh } → 0,
b´ armely p ∈ K eset´en dist(p, Ph ) := min{kp − qh k : qh ∈ Ph } → 0 (19.19) (ha h → 0), akkor a 15.12. k¨ ovetkezm´eny szerint kuh − u∗ kS + kph − p∗ k → 0, ha h → 0. ´Irjuk fel most a 16.4. szakaszban defini´alt Uzawa-algoritmust a (19.17) diszkr´et feladat megold´ as´ ara! Ez nem m´as, mint (16.36) vet´ıt´ese a Vh × Ph alt´erbe. Legyenek u0 ∈ Vh , p0 ∈ Ph tetsz˝olegesek ´es α > 0 adott sz´am, ha pedig megvan un ∈ Vh ´es pn ∈ Ph , akkor hun+1 , viS + hpn , N ∗ vi = hf, vi (∀v ∈ Vh ), (19.20) hpn+1 , qi = hpn , qi + α hN ∗ un+1 , qi − hg, qi (∀q ∈ Ph ). A 16.17. k¨ ovetkezm´enyben l´ attuk ennek konvergenciabecsl´es´et. Eset¨ unkben γ hely´ere a (19.18)-beli γ0 a´lland´o, kBk hely´ere pedig a B|Vh ×Ph biline´aris forma norm´ aja l´ep, ahol B : K × HS → R ´es B(p, v) := hp, N ∗ vi. Itt kB|Vh ×Ph k =
sup p∈Ph \{0} v∈Vh \{0}
|hp, N ∗ vi| ≤ kpkkvkS
sup p∈K\{0} v∈HS \{0}
|hp, N ∗ vi| = kBk =: β, kpkkvkS
ahol β > 0 f¨ uggetlen h-t´ ol. 19.6. K¨ ovetkezm´ eny. A (19.14) feladat felt´etelei ´es a (19.18) LBB-felt´etel mellett van olyan α0 > 0, hogy 0 < α < α0 eset´en a (19.20) iter´ aci´ o line´ arisan konverg´ al, vagyis alkalmas c1 , c2 > 0 ´es q < 1 mellett kun − u∗ kS ≤ c1 q n , Itt α0 =
2 β2 ,
kpn − p∗ k ≤ c2 q n
(n ∈ N).
valamint az optim´ alis param´eter ´es hozz´ atartoz´ o konvergencia-
h´ anyados rendre αopt = Vh -t´ ol ´es Ph -t´ ol.
2 β 2 +γ02
´es q =
β 2 −γ02 ; β 2 +γ02
mindezen ´ alland´ ok f¨ uggetlenek
´ csf¨ ´g nemlinea ´ ris egyenletek esete ´n 19.3. Ra uggetlense
283
19.3. R´ acsfu eg nemline´ aris egyenletek ¨ ggetlens´ eset´ en Legyen H val´ os Hilbert-t´er, A : H → H adott oper´ator a 18.4-hez hasonl´o felt´etelekkel, ahol a (iv) pontot a 6.11. t´etel alapj´an ´ırjuk fel: 19.3. felt´ etelek. (i) A Gˆ ateaux-deriv´ alhat´ o, A0 bihemifolytonos; (ii) b´ armely u ∈ H eset´en A0 (u) ∈ B(H) ¨onadjung´alt; (iii) l´etezik M ≥ m > 0, hogy 2
2
m khk ≤ hA0 (u)h, hi ≤ M khk
(∀u, h ∈ H);
(iv) l´etezik olyan L > 0 ´ alland´o, melyre kA0 (u) − A0 (v)k ≡ sup |h(A0 (u) − A0 (v))z, zi| ≤ Lku − vk
(∀u, v ∈ H).
kzk=1
(19.21) Tekints¨ uk az A(u) = b egyenletet, melynek a 13.2. t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H megold´ asa. A 19.1. szakaszhoz hasonl´ oan ezt a feladatot a k¨ovetkez˝o k´et l´ep´esben oldjuk meg: diszkretiz´ aci´ o (azaz v´eges dimenzi´os feladattal k¨ozel´ıtj¨ uk, amely nemline´ aris algebrai egyenletrendszerre vezet), majd iter´aci´o (amellyel megoldjuk a fent kapott nemline´ aris egyenletrendszert). A diszkretiz´aci´ora most is a Ritz–Galjorkin-m´ odszert haszn´aljuk, ´es az iter´aci´o r´acsf¨ uggetlen konvergenci´ aj´ at mutatjuk meg. Ut´ obbi a gradiens-m´odszer eset´en nagyban hasonl´ıt az el˝ oz˝ o szakasz line´ aris egyenlet´ere vonatkoz´o eredm´eny´ehez, ez´ert ezzel most nem foglalkozunk, hanem a Newton-m´odszer kvadratikus konvergenci´aj´anak r´ acsf¨ uggetlens´eg´et igazoljuk a fenti felt´etelek mellett. Az el˝ oz˝ o szakaszhoz hasonl´ oan legyen Vh = span{ϕ1 , . . . , ϕN } ⊂ H adott alt´er, ahol a ϕi vektorok line´arisan f¨ uggetlenek. A 15.4. szakaszt k¨ovetve N P az uh ∈ Vh k¨ ozel´ıt˝ o megold´ast uh = ci ϕi alakban keress¨ uk u ´gy, hogy i=1
teljes¨ ulj¨ on az hA(uh ), vi = hb, vi
(∀v ∈ Vh )
(19.22)
´ cio ´k e ´s Ritz–Galjorkin-diszkretiza ´ cio ´k 19. Itera
284
vet¨ uleti egyenlet. Mint l´ attuk, az uh vektor c = (c1 , . . . , cN ) egy¨ utthat´oit egy nemline´ aris egyenletrendszerb˝ol kapjuk, az ebben szerepl˝o f¨ uggv´enyt jel¨olj¨ uk most Ah -val, felt¨ untetve a h param´etert˝ol val´o f¨ ugg´est. Ekkor a sz´oban forg´o egyenletrendszer Ah (c) = bh , (19.23) ahol A h : R n → Rn ,
Ah (c) :=
n
A
n X
oN ci ϕi , ϕk
k=1
i=1
n oN ´es bh := hb, ϕk i ∈ Rn . k=1
L´ attuk, hogy ha teljes¨ ul a (15.17). felt´etel, akkor kuh − u∗ k → 0. C´elunk most a 18.3. t´etelbeli Newton-m´odszer alkalmaz´asa a (19.22) v´eges dimenzi´ os feladatra. Ehhez abb´ol indulunk ki, hogy az eredeti egyenletben szerepl˝ o F (u) := A(u) − b oper´atorra a 19.3. felt´etelek r´ev´en ´es a 18.5. megjegyz´es alapj´ an teljes¨ ulnek a 18.3. t´etel felt´etelei. Megmutatjuk, hogy a 19.3. felt´etelek ¨ or¨ okl˝ odnek a vet¨ uleti egyenletre is. Legyen Ah : V h → V h ,
Ah := Ph ◦ A|Vh ,
ahol Ph : H → Vh a Vh alt´erre vet´ıt˝o ortogon´alis projekci´o. Mivel b´armely u ∈ Vh eset´en A(u) − Ah (u) = A(u) − Ph A(u) ⊥ Vh , ´ıgy hAh (u), vi = hA(u), vi
(∀u, v ∈ Vh ).
(19.24)
K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy a 19.3.(i) felt´etel teljes¨ ul Ah -ra, hiszen Ph folytonos ´es line´ aris, ´ıgy A0h (u) = Ph A0 (u)|Vh . Ebb˝ol hA0h (u)z, vi = hA0 (u)z, vi
(∀u, z, v ∈ Vh ),
ebb˝ ol vil´ agos Ah -ra a (ii) tulajdons´ag, ´es (iii) is ugyanazon m-mel ´es M -mel, mint A-ra. Hasonl´ oan, kA0h (u)−A0h (v)k = sup |h(A0h (u)−A0h (v))z, zi| = sup |h(A0 (u)−A0 (v))z, zi| z∈Vh kzk=1
z∈Vh kzk=1
≤ sup |h(A0 (u) − A0 (v))z, zi| = kA0 (u) − A0 (v)k ≤ Lku − vk
(∀u, v ∈ Vh ).
z∈H kzk=1
Legyen u0 ∈ H adott, uh0 ennek vet¨ ulete Vh -ra. ´Irjuk fel ezzel a kezd˝ovektorral az (19.22) feladatra vonatkoz´o Newton-iter´aci´ot: ( un+1 := un + pn , ahol (19.25) A0h (un )pn = −(Ah (un ) − bh ).
´ csf¨ ´g nemlinea ´ ris egyenletek esete ´n 19.3. Ra uggetlense
285
19.7. T´ etel. Ha teljes¨ ulnek a 19.3. felt´etelek, akkor (1) kAh (un+1 ) − bh k ≤
L 2 kAh (un ) − bh k 2m2
(n ∈ N).
(2) Ha u0 olyan, hogy q :=
L kA(0) − bk + M ku k < 1, 0 2m2
(19.26)
2m2 2n q → 0. L
(19.27)
akkor mkun − u∗ k ≤ kAh (un ) − bh k ≤ Mindk´et becsl´es ´ alland´ oi Vh -t´ ol f¨ uggetlenek. Bizony´ıt´ as. A fenti megfontol´asban l´attuk, hogy a 19.3. felt´etelek ¨or¨okl˝odnek a (19.22) feladatra is, ´ıgy a 18.5. megjegyz´es alapj´an teljes¨ ulnek a 18.3. t´etel felt´etelei. ´Igy ´erv´enyes a 18.3. t´etel az Fh (u) := Ah (u) − bh oper´atorb´ol sz´ armaztatott (19.25) sorozatra, h-t´ol f¨ uggetlen¨ ul ugyanazon m ´es L ´alland´ okkal. A 18.3. t´etel (1) pontja erre az esetre egybeesik a fentivel, ´ıgy ut´obbit bel´attuk. A 18.3. t´etel (2) pontja most azt mondja ki, hogy ha uh0 olyan, hogy qh :=
L
Ah (uh0 ) − bh < 1, 2m2
akkor mkun − u∗ k ≤ kAh (un ) − bh k ≤
(19.28)
2m2 2n q → 0. L
Itt
Ah (uh0 ) − bh ≤ kAh (0) − bh k + Ah (uh0 ) − Ah (0) . Egyr´eszt kAh (0) − bh k = sup |hAh (0) − bh , vi| = sup |hA(0) − b, vi| ≤ v∈Vh kvk=1
v∈Vh kvk=1
≤ sup |hA(0) − b, vi| = kA(0) − bk , v∈H kvk=1
m´ asfel˝ ol, hasonl´ o megfontol´ asb´ol ´es az kA0 (z)k ≤ M becsl´esb˝ol (ami a (iii) felt´etel k¨ ovetkezm´enye)
Ah (uh0 ) − Ah (0) ≤ A(uh0 ) − A(0) ≤ M uh0 ≤ M ku0 k . Ezekb˝ ol
Ah (uh0 ) − bh ≤ kA(0) − bk + M ku0 k ,
286
´ cio ´k e ´s Ritz–Galjorkin-diszkretiza ´ cio ´k 19. Itera
azaz qh ≤ q. Ezt a (19.28) felt´etellel o¨sszevetve azt kapjuk, hogy ha q < 1, azaz teljes¨ ul (19.26), akkor qh is kisebb 1-n´el, ez´ert igaz (19.27) is. Teh´at (2)-t is bel´ attuk. 19.8. Megjegyz´ es. A felt´etelek alapj´an az is igaz, hogy ha a (19.25)-beli line´ aris egyenletekre a 18.4. szakasz szerint a KGM-t alkalmazzuk bels˝o iter´ aci´ ok´ent, akkor annak konvergenci´aja is M -t˝ol ´es m-t˝ol f¨ ugg, ´ıgy Vh -t´ol f¨ uggetlen.
19.4. Alkalmaz´ asok elliptikus perem´ ert´ ekfeladatokra 19.4.1. Line´ aris perem´ ert´ ekfeladatok Legyen L line´ aris elliptikus oper´ator, ´es tekints¨ uk az Lu = f, u|∂Ω = 0
(19.29)
perem´ert´ekfeladatot. A gyakorlatban a megold´as szok´asos menete k´et l´ep´esb˝ol all, amit absztrakt esetben a 19.1. szakasz elej´en ´ırtuk fel: ´ i) diszkretiz´ aci´ o (azaz v´eges dimenzi´os feladattal k¨ozel´ıtj¨ uk, amely line´aris algebrai egyenletrendszerre vezet); ii) iter´ aci´ o (amellyel megoldjuk a fent kapott line´aris egyenletrendszert). Mindk´et l´ep´esben t¨ obbf´ele m´odszer v´alaszthat´o, itt az el˝oz˝o, Hilbert-t´erben t´ argyalt algoritmusok alapj´ an a k¨ovetkez˝oket haszn´aljuk: a diszkretiz´aci´ora v´egeselem-m´ odszert ´ırunk fel, az iter´aci´ora pedig prekondicion´alt konjug´alt gradiens-m´ odszert v´ alasztunk, melyben a 16.3. szakasz prekondicion´al´o oper´ atorainak diszkr´et megfelel˝ oit alkalmazzuk. Az ´ıgy konstru´ alt prekondicion´al´asnak k¨osz¨onhet˝oen ´erv´enyesek lesznek a 19.1. szakasz r´ acsf¨ uggetlens´egi eredm´enyei: a prekondicion´alt m´atrixok kond´ıci´ osz´ ama ´es ´ıgy a konvergencia h´anyadosa is korl´atos marad a v´egeselemes r´ acsh´ al´ o finom´ıt´ asa (azaz h → 0) sor´an. Ez az´ert jelent˝os tulajdons´ag, mert a prekondicion´ al´ as el˝ otti m´ atrixok kond´ıci´osz´ama v´egtelenhez tart, azaz ha prekondicion´ al´ as n´elk¨ ul alkalmazn´ank a KGM-et, akkor a r´acs finom´ıt´as´aval a konvergencia lelassulna, ´ıgy viszont a konvergencia sebess´ege nem f¨ ugg a h r´ acsfinoms´ agt´ ol.
´ sok elliptikus pereme ´rte ´kfeladatokra 19.4. Alkalmaza
287
1. p´ elda: feladat szimmetrikus oper´ atorral. Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o feladatot: Lu ≡ − div (p ∇u) = f, u|∂Ω = 0,
(19.30)
ahol Ω ⊂ Rn korl´ atos tartom´any szakaszonk´ent sima peremmel, p ∈ L∞ (Ω), p(x) ≥ m > 0 (m. m. x ∈ Ω), f ∈ L2 (Ω). A 10.15. t´etel szerint ennek egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H01 (Ω) gyenge megold´asa. El˝ osz¨ or a 15.5. szakasz alapj´ an v´egeselem-m´odszerrel k¨ozel´ıtj¨ uk (19.30) megold´ as´ at. Legyen teh´ at Vh ⊂ H01 (Ω) v´eges dimenzi´os alt´er ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕN b´azissal. Az uh ∈ Vh k¨ ozel´ıt˝ o megold´ast a Vh b´azisvektorainak line´aris kombin´ aci´ ojak´ent keress¨ uk. Az uh egy¨ utthat´oit az Lh c = fh line´ aris egyenletrendszer c ∈ RN megold´as´anak koordin´at´ai adj´ak, ahol most Lh -val jel¨ olj¨ uk a merevs´egi m´atrixot (azaz a v´egeselem-m´odszer Gram-m´atrix´ at). Itt (15.26) alapj´ an Z Z (Lh )ij = p ∇ϕi · ∇ϕj , (fh )i = f ϕi (i, j = 1, . . . , N ). Ω
Ω
Most szeretn´enk konjug´ alt gradiens-m´odszerrel megoldani a fenti rendszert. El˝ osz¨ or n´ezz¨ uk meg, milyen konvergenci´at kapn´ank, ha k¨ozvetlen¨ ul, azaz prekondicion´ al´ as n´elk¨ ul alkalmazn´ank a KGM-et. Ekkor Lh hat´arai mh := λmin (Lh ) ´es Mh := λmax (Lh ), azaz 2
mh |c| ≤ Lh c · c ≤ Mh |c| A m´ atrix kond´ıci´ osz´ ama κ(Lh ) = √ κ(Lh )−1 √ , l´ asd (16.15).
Mh mh ,
2
(∀c ∈ RN ).
a KGM konvergenciah´anyadosa q(Lh ) =
κ(Lh )+1
´ ıt´ 19.9. All´ as. [5] Az L oper´ atorb´ ol sz´ armaztatott O(h−2 ) → ∞, ha h → 0.
Lh m´ atrixra κ(Lh ) =
Ebb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy a KGM konvergenciah´anyadosa 1-hez tart, ha a feloszt´ ast finom´ıtjuk, ami azt jelenti, hogy adott pontoss´ag el´er´es´ehez egyre t¨ obbet kellene iter´ alni. Ez a probl´ema megoldhat´ o prekondicion´al´assal: legyen Sh olyan pozit´ıv definit m´ atrix, amelyre ch (Sh c · c) m b h (Sh c · c) ≤ (Lh c · c) ≤ M ´es teljes´ıti az al´ abbi k´et k¨ ovetelm´enyt:
(∀c ∈ RN )
(19.31)
´ cio ´k e ´s Ritz–Galjorkin-diszkretiza ´ cio ´k 19. Itera
288
(i) Sh egyszer˝ ubb szerkezet˝ u legyen, mint Lh , vagyis az Sh -val fel´ırt rendszerek egyszer˝ ubben megoldhat´ok legyenek, mint Lh -val; (ii)
ch M Mh . m bh mh
Tekints¨ uk az eredeti rendszer helyett az al´abbi prekondicion´alt rendszert: ˜ S−1 h Lh c = fh
(19.32)
(ahol ˜fh = S−1 es erre alkalmazzuk a KGM (16.11)-(16.12) algoritmus´at a h f ), ´ hc, diSh := Sh c·d skal´ arszorzatra n´ezve. Az iter´aci´oban ekkor l´ep´esenk´ent az S−1 L m´ a trix szerepel, ami val´oj´aban azt jelenti, hogy Sh zn = Lh wn t´ıpus´ u h h seg´edrendszereket kell megoldani, ez pedig a felt´etel szerint egyszer˝ ubb az eredetin´el. A prekondicion´ alt KGM konvergenciah´anyadosa q q √ ch − m κ(S−1 L ) − 1 M bh h h −1 =q , q(Sh Lh ) = q √ c κ(S−1 L ) + 1 Mh + m bh h h Mh (l´ asd 16.2.3. szakasz), ahol a kond´ıci´osz´am κ(S−1 el teh´at az, h Lh ) = m b h . A c´ hogy ez a kond´ıci´ osz´ am l´enyegesen jobb legyen az eredetin´el. Megmutatjuk a 19.1.2. szakasz alapj´ an, hogy alkalmas oper´ator seg´ıts´eg´evel κ(S−1 ah Lh ) korl´ tos marad, ha h → 0. V´ alasszuk az S := −∆ seg´edoper´atort, ´es legyen Sh ennek merevs´egi m´atrixa ugyanazon v´egeselemes diszkretiz´aci´o szerint, azaz Z (Sh )ij = ∇ϕi · ∇ϕj (i, j = 1, . . . , N ). (19.33) c
Ω
Ilyen m´ atrix´ u egyenletek megold´as´ara ismeretesek egyszer˝ ubb m´odszerek, mint az eredeti´ere, felhaszn´ alva, hogy az S oper´ator ´alland´o egy¨ utthat´os: p´eld´ aul Fourier-m´ odszer (FFT) vagy FACR t´ıpus´ u p´arhuzamos´ıthat´o direkt m´ odszerek [61, 69]. ´Igy az (i) felt´etel teljes¨ ul, n´ezz¨ uk (ii)-t. ch a (19.33)-beli Sh m´ ´ ıt´ 19.10. All´ as. Legyenek m b h ´es M atrixhoz tartoz´ o (19.31)-beli ´eles hat´ arok. Ekkor m≤m bh
´es
ch ≤ M, M
ahol m := min p ´es M := max p f¨ uggetlenek Vh -t´ ol. Bizony´ıt´ as. Legyen H := L2 (Ω), D := H 2 (Ω)∩H01 (Ω). El´eg megmutatnunk, hogy mhSu, uiL2 ≤ hLu, uiL2 ≤ M hSu, uiL2
(u ∈ D).
(19.34)
´ sok elliptikus pereme ´rte ´kfeladatokra 19.4. Alkalmaza
289
Ekkor ugyanis a 19.1. ´ all´ıt´ as szerint 2 m |c|2Sh ≤ hS−1 h Lh c, ciSh ≤ M |c|Sh
(∀c ∈ RN ),
ami ekvivalens azzal, hogy (19.31) teljes¨ ul m ´es M hat´arokkal is, ´es ez az, amit igazolni akartunk. Legyen teh´ at u ∈ D. Ekkor a Green-formul´ab´ol Z Z Z Z 2 2 (Lu)u = p |∇u| , (Su)u = |∇u| . Ω
Ω
Ω
Ω
Mivel m ≤ p(x) ≤ M miatt Z Z Z 2 2 2 m |∇u| ≤ p |∇u| ≤ M |∇u| , Ω
Ω
Ω
´epp azt kapjuk, hogy (19.34) teljes¨ ul. 19.11. K¨ ovetkezm´ eny. Ekkor κ(S−1 h Lh ) = megfelel˝ oen a prekondicion´ alt KGM-re az √ √ !n ken kLh M− m ≤2 √ √ ke0 kLh M+ m
ch M M (∀h > 0), ´es ennek ≤ m bh m
(n = 1, 2, . . . , N )
Vh -t´ ol f¨ uggetlen becsl´est kapjuk. Ez azt jelenti, hogy egy el˝ ore megadott pontoss´aghoz sz¨ uks´eges iter´aci´os l´ep´esek sz´ ama korl´ atos marad, ha a r´acsot finom´ıtjuk. Speci´alisan, ha az Sh zn = Lh wn t´ıpus´ u N × N -es seg´edrendszereket O(N ) optim´alis m˝ uveletig´ennyel oldjuk meg, akkor az iter´aci´ot is figyelembe vev˝o teljes m˝ uveletig´eny is az optim´ alis O(N ). 2. p´ elda: feladat nem szimmetrikus oper´ atorral. Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o feladatot, amely konvekci´o-diff´ uzi´os ´allapotot ´ır le: Lu ≡ − div (p ∇u) + b · ∇u = f, (19.35) u|∂Ω = 0, ahol teljes¨ ulnek a 10.2.2. felt´etelek, azaz p ∈ L∞ (Ω), p(x) ≥ m > 0 (m. m. x ∈ Ω), b ∈ C 1 (Ω)n , div b = 0, valamint f ∈ L2 (Ω). A 10.17. t´etel szerint ennek egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H01 (Ω) gyenge megold´asa. A megold´ast az el˝ oz˝ o p´eld´ ahoz hasonl´ o m´odon k¨ozel´ıtj¨ uk, ´ıgy f˝oleg csak a k¨ ul¨onbs´egeket hangs´ ulyozzuk.
´ cio ´k e ´s Ritz–Galjorkin-diszkretiza ´ cio ´k 19. Itera
290
Legyen el˝ osz¨ or ism´et Vh ⊂ H01 (Ω) v´eges dimenzi´os alt´er ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕN b´azissal. Az Lh c = fh egyenletrendszerben most Z Z (Lh )ij = p ∇ϕj · ∇ϕi + (b · ∇ϕj ) ϕi , (fh )i = f ϕi (i, j = 1, . . . , N ). Ω
Ω
Mivel most az egyenletrendszer nem szimmetrikus, a 16.3. szakaszban ismertetett KGN-m´ odszert (pontosabban, annak prekondicion´alt v´altozat´at) alkalmazzuk. Legyen az Sh prekondicion´al´o m´atrix ism´et az S := −∆ seg´edoper´ ator merevs´egi m´ atrixa, azaz (19.33). Megmutatjuk, hogy a konvergenciah´ anyados most is korl´ atos marad, ha h → 0. ˜ ´ ıt´ 19.12. All´ as. A fenti felt´etelek mellett a KGN algoritmust az S−1 h Lh c = fh rendszerre alkalmazva n M −m krk kSh ≤2 (n = 1, 2, ..., N ), (19.36) kr0 kSh M +m −1/2
ahol m := min p ´es M := kpkL∞ + λ1 kbkL∞ (ahol λ1 a −∆ oper´ ator els˝ o saj´ at´ert´eke), azaz m ´es M f¨ uggetlenek Vh -t´ ol. Bizony´ıt´ as. A 19.4. k¨ ovetkezm´eny szerint el´eg megmutatnunk, hogy fenn´all (19.8) a HS = H01 (Ω) t´erben a fenti m ´es M konstansokkal. Ez pedig a 10.17. t´etel bizony´ıt´ as´ ab´ ol k¨ovetkezik, mivel az ottani B(u, v) biline´aris forma azonos a fenti L oper´ atorhoz tartoz´o hLS u, viS biline´aris form´aval. Megjegyezz¨ uk, hogy ha λ1 -re a (8.11) becsl´est haszn´aljuk, akkor a konvergenciah´ anyados fels˝ o becsl´ese is egyszer˝ uen kisz´am´ıthat´o.
19.4.2. Stokes-feladat Tekints¨ uk a (10.17) Stokes-feladatot: −∆u + ∇p = f div u = 0 u|∂Ω = 0 ,
(19.37)
d
ahol Ω ⊂ Rd (d = 2 vagy 3) korl´atos tartom´any, f ∈ L2 (Ω) adott vektor. A 10.21. t´etel szerint ennek egy´ertelm˝ uen l´etezik (u∗ , p∗ ) ∈ H01 (Ω)d × L˙ 2 (Ω) gyenge megold´ asa. A Stokes-feladatot megfelel˝ o v´egeselemes diszkretiz´aci´oval, majd az Uzawaalgoritmus alkalmaz´ as´ aval oldjuk meg, a 19.2. szakasz alapj´an pedig igazoljuk, hogy r´ acsf¨ uggetlen konvergenciabecsl´est kapunk.
´ sok elliptikus pereme ´rte ´kfeladatokra 19.4. Alkalmaza
291
El˝ osz¨ or megmutatjuk, hogy a (19.37) feladat speci´alis esete (19.14)-nek. Led gyenek H := L2 (Ω) ´es K := L˙ 2 (Ω) val´os Hilbert-terek, d
d
d
N := ∇ : L˙ 2 (Ω) ⊃→ L2 (Ω) ,
S := (−∆, · · · , −∆) : L2 (Ω) ⊃→ L2 (Ω) ,
ahol D(S) := (H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω))d ´es D(N ) := H 1 (Ω) ∩ L˙ 2 (Ω). Ezek s˝ ur˝ un defini´ alt oper´ atorok, S szimmetrikus ´es egyenletesen pozit´ıv, ´es HS = H01 (Ω)d . Emellett a Gauss-Osztrogradszkij-t´etelb˝ol Z Z ∇p · u = − p (div u) (p ∈ H 1 (Ω), u ∈ H01 (Ω)d ), Ω
Ω
∗
´ıgy N u = − div u (∀u ∈ H01 (Ω)d ), ´es teljes¨ ul D(N ∗ ) ⊃ HS = H01 (Ω)d . V´eg¨ ul ´erv´enyes a (19.15) inf-sup-felt´etel is a 10.20. ´all´ıt´as alapj´an. A v´egeselemes diszkretiz´ aci´ ohoz olyan Vh ⊂ H01 (Ω)d ´es Ph ⊂ L˙ 2 (Ω) v´eges dimenzi´ os altereket kell v´ alasztanunk, melyek teljes´ıtik a (19.18) LBB-felt´etelt, azaz van olyan γ0 > 0 h-t´ ol f¨ uggetlen ´alland´o, hogy R − Ω p (div u) inf sup ≥ γ0 . (19.38) kpkL2 kukH01 p∈Ph \{0} u∈Vh \{0} Mint l´ attuk, ez nem felt´etlen¨ ul o¨r¨okl˝odik az eredeti inf-sup-felt´etelb˝ol: csak speci´ alis, megfelel˝ oen egym´ ashoz v´alasztott (Vh , Ph ) p´arok eset´en teljes¨ ul. Ilyen, u ´n. stabil t´erp´ arok konstrukci´oja tal´alhat´o pl. [69, III. 17.5.4]-ben. ´Irjuk fel most a (19.20) Uzawa-algoritmust a diszkretiz´alt Stokes-feladatra. Legyenek u0 ∈ Vh , p0 ∈ Ph tetsz˝olegesek ´es α > 0 adott sz´am. Ha megvan un ∈ Vh ´es pn ∈ Ph , akkor un+1 ´es pn+1 rendre az al´abbi diszkr´et feladatok megold´ asa: Z Z Z ∇un+1 · ∇v − pn (div v) = f ·v (∀v ∈ Vh ), Ω
Ω
Z
Z
Ω
pn q − α
pn+1 q = Ω
(19.39)
Z
Ω
(div un+1 ) q
(∀q ∈ Ph ).
Ω
Ez nem m´ as, mint a −∆un+1 + ∇pn = f , ´es
un+1 |∂Ω = 0
pn+1 = pn − α div un+1
feladatok Vh - ill. Ph -beli v´egeselemes megold´asa. 19.13. T´ etel. Ha teljes¨ ul a (19.38) LBB-felt´etel, akkor 0 < α < 2 eset´en a (19.39) iter´ aci´ o line´ arisan konverg´ al, vagyis alkalmas c1 , c2 > 0 ´es q < 1 mellett kun − u∗ kH 1 ≤ c1 q n , 0
kpn − p∗ kL2 ≤ c2 q n
(n ∈ N).
´ cio ´k e ´s Ritz–Galjorkin-diszkretiza ´ cio ´k 19. Itera
292
Itt az optim´ alis param´eter ´es hozz´ atartoz´ o konvergenciah´ anyados rendre αopt = 2 1+γ02
´es q =
1−γ02 , 1+γ02
ezek f¨ uggetlenek Vh -t´ ol ´es Ph -t´ ol.
Bizony´ıt´ as. A fenti eredm´enyeket a 19.6. k¨ovetkezm´eny mondja ki, ha megmutatjuk, hogy β = 1. Itt R − Ω p (div u) |hp, N ∗ vi| = sup , β := sup kpkL2 kvkH01 kpkL2 kukH01 ˙ 2 (Ω)\{0} ˙ 2 (Ω)\{0} p∈L p∈L 1 (Ω)d \{0} v∈H0
1 (Ω)d \{0} v∈H0
R valamint | Ω p (div u)| ≤ kpkL2 k div ukL2 . A 10.21. t´etel bizony´ıt´as´aban √ √ l´ attuk, hogy k div ukL2 elemien becs¨ ulhet˝o dkukH01 -val, de itt a d szorR z´ o alkalmas sz´ amol´ assal 1-re jav´ıthat´o, l´asd pl. [51]. ´Igy | Ω p (div u)| ≤ kpkL2 kukH01 , amit a fenti sup-ba be´ırva megkapjuk, hogy β = 1.
19.4.3. Nemline´ aris perem´ ert´ ekfeladatok Legyen Ω ⊂ R2 korl´ atos s´ıkbeli tartom´any, ´es tekints¨ uk a − div (a ∇u) + s(x, u) = g, u|∂Ω = 0
(19.40)
feladatot az al´ abbi felt´etelekkel: (i) a ∈ L∞ (Ω), a(x) ≥ m > 0 (m. m. x ∈ Ω); monoton n¨ov˝o ´es korl´atos, (ii) s ∈ C 1 (Ω × R), valamint ∂ξ s(x, ξ) := ∂s(x,ξ) ∂ξ ´espedig l´etezik olyan α ≥ 0 ´alland´o, hogy 0 ≤ ∂ξ s(x, ξ) ≤ α
(∀x ∈ Ω, ξ ∈ R);
(19.41)
(iii) ∂ξ s Lipschitz-folytonos ξ-ben, ´espedig l´etezik olyan Ls ≥ 0 ´alland´o, hogy |∂ξ s(x, ξ1 ) − ∂ξ s(x, ξ2 )| ≤ Ls |ξ1 − ξ2 |
(∀x ∈ Ω, ξ1 , ξ2 ∈ R); (19.42)
(iv) g ∈ L2 (Ω). Ez a feladat speci´ alis esete (13.14)-nek, ´ıgy a 13.13. t´etel szerint egy´ertelm˝ uen l´etezik u∗ ∈ H01 (Ω) gyenge megold´asa, azaz, bevezetve az Z hA(u), viH01 = (a ∇u · ∇v + s(x, u)v) (∀u, v ∈ H01 (Ω)) Ω
´ sok elliptikus pereme ´rte ´kfeladatokra 19.4. Alkalmaza
293
oper´ atort, ∗
Z
hA(u ), vi
H01
=
gv
(∀v ∈ H01 (Ω)).
Ω
A 19.3. szakaszt k¨ ovetve el˝ osz¨or v´egeselemes diszkretiz´aci´ot alkalmazunk, majd a kapott nemline´ aris algebrai egyenletrendszerre a Newton-m´odszert haszn´ aljuk. Igazolni fogjuk a Newton-m´odszer kvadratikus konvergenci´aj´anak r´ acsf¨ uggetlens´eg´et. Legyen Vh ⊂ H01 (Ω) v´eges dimenzi´os alt´er ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕN b´azissal. Az uh ∈ Vh k¨ ozel´ıt˝ o megold´ ast u ´gy keress¨ uk, hogy teljes¨ ulj¨on az Z hA(uh ), viH01 = hb, viH01 := gv (∀v ∈ Vh ) Ω
vet¨ uleti egyenlet, azaz Z Z (a ∇uh · ∇v + s(x, uh )v) = gv Ω
(∀v ∈ Vh ).
Ω
Legyen u0 ∈ H01 (Ω) adott, uh0 ennek vet¨ ulete Vh -ra. ´Irjuk fel (19.25) alapj´an ezzel a kezd˝ ovektorral a fenti feladatra vonatkoz´o Newton-iter´aci´ot: ( un+1 := un + pn , ahol (19.43) hA0h (un )pn , viH01 = −h(Ah (un ) − bh ), viH01 (∀v ∈ Vh ). Itt (a 11.2.1 szakasz p´eld´ aj´ ahoz hasonl´oan) A Gˆateaux-deriv´alhat´o ´es Z hA0 (u)v, ziH01 = (a ∇v · ∇z + ∂ξ s(x, u) vz) (∀u, v, z ∈ H01 (Ω)), Ω
(19.44) tov´ abb´ a a 19.3. szakasz szerint Ah ´es A0h defin´ıci´oj´at u ´gy kapjuk a fentiekb˝ol, ha H01 (Ω) helyett Vh -t ´ırunk. ´Igy a (19.43)-beli lineariz´alt egyenlet, amit meg kell oldanunk az n. l´ep´esben, Z (a ∇pn · ∇v + ∂ξ s(x, un ) pn v) = Ω
Z =−
(a ∇un · ∇v + s(x, un )v − gv)
(∀v ∈ Vh ).
Ω
Ez nem m´ as, mint a − div (a ∇pn ) + ∂ξ s(x, un ) pn = div (a ∇un ) − s(x, un ) + g, pn |∂Ω = 0 line´ aris elliptikus feladat v´egeselemes megold´asa a Vh alt´erben.
´ cio ´k e ´s Ritz–Galjorkin-diszkretiza ´ cio ´k 19. Itera
294
19.14. T´ etel. Teljes¨ uljenek a (19.40) feladatra adott felt´etelek, ´es legyen Ls diam(Ω) 2 L := √ , π 2
m := min a,
ahol Ls a ∂ξ s f¨ uggv´eny (19.42)-beli Lipschitz-konstansa ´es diam(Ω) a tartom´ any ´ atm´er˝ oje. Ekkor (1) kAh (un+1 ) − bh kH 1 ≤ 0
L 2 kAh (un ) − bh kH 1 0 2m2
(n ∈ N).
(2) Ha u0 olyan, hogy L < 1, kA(0) − bk 1 + M ku0 kH 1 H 0 0 2m2
q :=
(19.45)
akkor mkun − u∗ kH01 ≤ kAh (un ) − bh kH 1 ≤ 0
2m2 2n q → 0. L
(19.46)
Mindk´et becsl´es ´ alland´ oi Vh -t´ ol f¨ uggetlenek. Bizony´ıt´ as. A 19.7. t´etelt szeretn´enk haszn´alni, ehhez teljes¨ ulni kell a 19.3. felt´eteleknek. Itt A Gˆ ateaux-deriv´alhat´o ´es A0 bihemifolytonos, ami a 11.2. szakasz p´eld´ aival teljesen anal´og m´odon j¨on ki, emellett A0 -re (19.44) teljes¨ ul, 0 amib˝ ol A (u) ¨ onadjung´ alts´ aga is l´atszik. Itt Z hA0 (u)h, hiH01 = a |∇h|2 + ∂ξ s(x, u) h2 (∀u, v, z ∈ H01 (Ω)), Ω
´ıgy a feltev´esek miatt 2 m khkH 1 0
Z
Z
2
|∇h| ≤
=m Ω
Ω
a |∇h|2 ≤ hA0 (u)h, hiH01 ≤
Z
kak∞ |∇h|2 + αh2 = Ω α 2 2 2 + α khkL2 ≤ kak∞ + khkH 1 =: M khkH 1 , 0 0 λ1 ≤
2
= kak∞ khkH 1 0
ahol a (8.10) Poincar´e–Friedrichs-egyenl˝otlens´eget haszn´altuk. V´eg¨ ul igazoljuk, hogy A0 Lipschitz-folytonos. Itt Z 0 0 2 |h(A (u) − A (v))z, zi| = (∂ξ s(x, u) − ∂ξ s(x, v)) z (19.47) Ω
Z ≤ Ls Ω
|u − v| z 2 ≤ Ls ku − vkL2 (Ω) kzk2L4 (Ω) ,
´ sok elliptikus pereme ´rte ´kfeladatokra 19.4. Alkalmaza
295
ahol az ´ altal´ anos H¨ older-egyenl˝otlens´eget haszn´altuk az 12 + 14 + 14 = 1 felbont´ asra. A z f¨ uggv´eny val´ oban L4 (Ω)-beli, felhaszn´alva a (13.18) Szoboljev-f´ele be´ agyaz´ asi t´etelt a p = 4 esetre: H01 (Ω) ⊂ L4 (Ω),
kvkL4 ≤ K4 kvkH01
(v ∈ H01 (Ω)).
(19.48)
Ezt ´es ism´et a (8.10) Poincar´e–Friedrichs-egyenl˝otlens´eget haszn´alva |h(A0 (u) − A0 (v))z, zi| ≤
Ls K42 √ ku λ1
− vkH01 kzk2H 1 , 0
´ıgy kA0 (u) − A0 (v)k =
sup
|h(A0 (u) − A0 (v)) z, zi| ≤
kzkH 1 =1
Ls K42 √ ku λ1
− vkH01 ,
0
L K2
teh´ at A0 Lipschitz-folytonos L := √s λ 4 konstanssal. A K4 be´agyaz´asi kons1 tansra q K42 ≤ λ21 (l´ asd pl. [23, Chap. 11]), ´ıgy, felhaszn´alva a (8.11) becsl´est is, 2 √ Ls diam(Ω) L ≤ Lsλ1 2 ≤ √ . π 2 ´Igy teh´ at ez a kisz´ am´ıthat´ o Lipschitz-konstans vehet˝o az iter´aci´oban, ´es ekkor a 19.7. t´etel szerint fenn´ allnak a (19.45)–(19.46) becsl´esek. 19.15. Megjegyz´ es. (i) Az itt haszn´alt eredeti Newton-iter´aci´o csak lok´alisan konverg´ al. Ennek kik¨ usz¨ob¨ol´es´ere haszn´alhat´o a 18.11. t´etelbeli csillap´ıtott Newton-m´ odszer, amely az els˝o l´ep´esekben line´arisan, majd lok´alisan kvadratikusan konverg´ al. Az ut´obbi lok´alis szakasz kvadratikus becsl´es´ere a fenti eredm´eny ´ertelemszer˝ u adapt´aci´oja ´erv´enyes. Ha a 18.12. t´etelbeli csillap´ıtott inegzakt Newton-m´odszert haszn´aljuk, ´es a 18.4. szakasz alapj´ an a seg´edegyenletek k¨ozel´ıt˝o megold´as´ara bels˝o konjug´ alt gradiens-iter´ aci´ ot alkalmazunk, akkor az ottani eredm´eny szerint a bels˝o iter´ aci´ o konvergenci´ aja is r´ acsf¨ uggetlen¨ ul becs¨ ulhet˝o. (ii) A 19.14. t´etel ´ altal´ anos´ıthat´o arra az esetre, ha a (19.40) feladat felt´eteleiben a (19.41) korl´ atoss´ ag helyett ∂ξ s hatv´anyrend˝ u n¨oveked´es´et is megengedj¨ uk, ´es a (19.42) felt´etelben csak lok´alis Lipschitz-folytonoss´agot ´ırunk el˝o szint´en hatv´ anyrendben n¨ oveked˝o Lipschitz-konstanssal. Ekkor A0 is csak lok´ alisan Lipschitz-folytonos lesz, ekkor a 18.6 (ill. csillap´ıtott/inegzakt Newtonm´ odszer eset´en a 18.13) megjegyz´es alapj´an m´odos´ıtott konvergenciat´etelt haszn´ aljuk, l´ asd [23, sec. 5.2].
Irodalomjegyz´ ek [1] Adams, R.A., Sobolev Spaces, Academic Press, 1975. ´ tson J., A mesh independent superlinear algorithm [2] Antal I., Kara for some nonlinear nonsymmetric elliptic systems, Comput. Math. Appl. 55 (2008), 2185-2196. [3] Atkinson, K., Han, W., Theoretical numerical analysis. A functional analysis framework, Texts in Applied Mathematics, 39, Springer-Verlag, New York, 2001. [4] Axelsson, O., Iterative Solution Methods, Cambridge University Press, 1994. [5] Axelsson, O., Barker, V.A., Finite Element Solution of Boundary Value Problems, Academic Press, 1984. ´ tson J., Equivalent operator preconditioning for [6] Axelsson, O., Kara elliptic problems, Numer. Algor. (2009) 50:297–380. [7] Babuˇ ska, I., Error bound for the finite element method, Numer. Math. 16 (1971), pp. 322-333. [8] Bachman, G., Narici, L., Functional Analysis, Dover, 2000. [9] Bernau, S. J., Smithies, F. A note on normal operators, Proc. Cambridge Philos. Soc. 59 (1963), pp. 727–729. ´zis, H., Analyse fonctionnelle. Th´eorie et applications, Masson, Pa[10] Bre ris, 1983. [11] Brezzi, F., On the existence, uniqueness and approximation of saddlepoint problems arising from Lagrangian multipliers, Rev. Franc. Automat. Inform. Rech. Operat. 8, R-2, 129-151 (1974). ´ ch L., A leggyorsabb ereszked´es m´odszere elliptikus parci´alis diffe[12] Cza renci´ alegyenletekre (oroszul), kandid´atusi ´ertekez´es, Leningr´ad, 1955. 297
298
´k Irodalomjegyze
´ ch L., Line´ [13] Cza aris oper´ atorok elm´elete, egyetemi jegyzet. [14] Ciarlet, P. G., The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Amsterdam, 1978. [15] Collatz, L., Functional Analysis and Numerical Mathematics, Academic Press, N.Y., 1966. [16] Conway, J. B., A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, 1990. [17] Cryer, C. W., Numerical functional analysis, Oxford University Press, New York, 1982. [18] Daniel, J.W., The conjugate gradient method for linear and nonlinear operator equations, SIAM J. Numer. Anal., 4 (1967), 10-26. [19] Deimling, K., Nonlinear functional analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1985. [20] Dunford, N., Schwartz, J. T., Linear operators, I–III., Reprint of the original, John Wiley & Sons, New York, 1988. [21] Elman, H. C., Silvester, D. J., Wathen, A. J., Finite Elements and Fast Iterative Solvers: with Applications in Incompressible Fluid Dynamics, Oxford University Press, New York, 2005. [22] Engel, K.-J., Nagel, R., A short course on operator semigroups, Springer, New York, 2006. ´ , I., Kara ´ tson, J., Numerical Solution of Nonlinear Elliptic [23] Farago Problems via Preconditioning Operators. Theory and Applications. Advances in Computation, Vol. 11, NOVA Science Publishers, New York, 2002. [24] Fried E., Klasszikus ´es line´ aris algebra, Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1977. [25] Gajewski, H., Gr¨ oger, K., Zacharias, K., Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen, Akademie-Verlag, Berlin, 1974 ´ ntai A., The theory of Newton’s method, J. Comput. Appl. Math. [26] Gala 124 (2000), no. 1-2, 25–44. [27] Gruber T., Anal´ızis VIII. (Funkcion´ alanal´ızis), ELTE jegyzet, 1997.
´k Irodalomjegyze
299
[28] Hofmann, B., Regularization for Applied Inverse and Ill-Posed Problems: a Numerical Approach, Teubner-Texte zur Mathematik, 85, Leipzig, 1986. ´ B., Rezolvarea Ecuatiilor Operationale Neliniare in Spatii Ba[29] Janko nach, Bucuresti, Editura Academiei RSR, 1969. ´ B., Nemline´ [30] Janko aris oper´ atoregyenletek numerikus megold´ asa, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1990. [31] Kachanov, L.M., Foundations of the Theory of Plasticity, NorthHolland, 1971. [32] Kantorovich, L.V., Funkcon´alanal´ızis ´es alkalmazott matematika (oroszul), Uszpehi Mat. Nauk 3 (1948), no. 6(28), 89–185. [33] Kantorovich, L.V., Akilov, G.P., Functional Analysis, Pergamon Press, 1982. ´ tson J., Numerical preconditioning methods for elliptic PDEs, [34] Kara in J.W. Neuberger: Sobolev Gradients and Differential Equations, 2nd Edition, Lecture Notes Math. 1670, pp. 245-258; Springer, 2010. ´ tson J., Farago ´ I., Variable preconditioning via quasi-Newton [35] Kara methods for nonlinear problems in Hilbert space, SIAM J. Numer. Anal. 41 (2003), No. 4, 1242-1262. ´rchy L., Val´ [36] Ke os- ´es funkcion´alanal´ızis, Polygon, Szeged, 2008. [37] Kolmogorov, A. N., Fomin, Sz. V., A f¨ uggv´enyelm´elet ´es a funkcion´ alanal´ızis elemei, M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, 1981. [38] Komornik Vilmos, Val´ os anal´ızis el˝ oad´ asok I.–II., Typotex, 2003. ´ f Ja ´ nos, Az anal´ızis elemei I.–IV., ELTE jegyzet, 1994-98. [39] Kristo ˇiˇ [40] Kr zek, M., Neittaanm¨ aki, P., Mathematical and Numerical Modelling in Electrical Engineering: Theory and Applications, Kluwer Academic Publishers, 1996. ˇiˇ [41] Kr zek, M., Neittaanm¨ aki, P., On the validity of Friedrichs’ inequalities, Math. Scand. 54 (1984), no. 1, 17–26. [42] Lax, P. D., Functional Analysis, John Wiley & Sons, New York, 2002. [43] Losonczi L., Funkcion´ alanal´ızis I., Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1985.
300
´k Irodalomjegyze
[44] Matolcsi M., Neumann J´anos szerepe a Hilbert-terek elm´elet´enek megalapoz´ as´ aban, Matematikai Lapok, 11 (2002/03), no. 2, 26-35 (2006). ´ s M., Val´ [45] Mikola os f¨ uggv´enytan ´es ortogon´ alis sorok, Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1978. [46] Meurant, G., The Lanczos and Conjugate Gradient Algorithms: from Theory to Finite Precision Computations, SIAM, Philadelphia, 2006. [47] Moore, R. E., Computational functional analysis, Ellis Horwood Ltd., Chichester; Halsted Press [John Wiley & Sons, Inc.], New York, 1985. ˇas, J., Equations aux d´eriv´ees partielles, Presse de l’Universit´e de [48] Nec Montr´eal, Canada, 1965. [49] Neuberger, J. W., Sobolev Gradients and Differential Equations, Lecture Notes in Math., No. 1670, Springer, 1997. [50] Neumann J., A kvantummechanika matematikai alapjai, Akad´emiai Kiad´ o, Budapest, 1980. (Eredeti: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin, Springer, 1932.) [51] Nochetto, R. H., Pyo, J.-H., Optimal relaxation parameter for the Uzawa method, Numer. Math. 98 (2004), no. 4, 695–702. [52] Ortega, J.M., Rheinboldt, W.C., Iterative Solutions for Nonlinear Equations in Several Variables, Academic Press, 1970. [53] Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1983. [54] Petz D., Line´ aris anal´ızis, Akad´emiai kiad´o, 2002. [55] Plastock, R., Homeomorphisms between Banach spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 200 (1974), 169–183. [56] Quarteroni, A., Valli, A., Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations, Oxford University Press, New York, 1999. [57] Rall, L. B., Computational solution of nonlinear operator equations, John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney, 1969. [58] Reddy, J. N., Applied Functional Analysis and Variational Methods in Engineering, McGraw-Hill, New York, 1986. ˝ kefalvi-Nagy B., Funkcion´ [59] Riesz F., Szo alanal´ızis, Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1988.
´k Irodalomjegyze
301
[60] Reed, M., Simon, B., Methods of Modern Mathematical Physics, I. Functional Analysis, Academic Press, New York-London, 1972. [61] Rossi, T., Toivanen, J., A parallel fast direct solver for block tridiagonal systems with separable matrices of arbitrary dimension, SIAM J. Sci. Comput. 20 (1999), no. 5, 1778–1796. [62] Rudin, W., Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991. [63] Rudin, W., Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1987. [64] Saranen, J., On an inequality of Friedrichs, Math. Scand. 51 (1982), no. 2, 310–322. ¨ [65] Schr¨ odinger, E., Uber das Verh¨altnis der Heisenberg-BornJordanschen Quantenmechanik zu der meinem, Annalen der Physik 384 (1926), No. 8, pp. 734–756. [66] Swartz, C., Elementary Functional Analysis, World Scientific Publishing Co., 2009. [67] Simon L., Baderko, E., M´ asodrend˝ u parci´ alis differenci´ alegyenletek, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1983. ´ th J., Simon L. P., Differenci´ [68] To alegyenletek. Bevezet´es az elm´eletbe ´es az alkalmaz´ asokba, Typotex, 2005. ´ G., Numerikus m´ [69] Stoyan G., Tako odszerek, I–III, Typotex, 1997. ˝ kefalvi-Nagy B., Val´ [70] Szo os f¨ uggv´enyek ´es f¨ uggv´enysorok, Tank¨onyvkiad´ o, Budapest, 1977. ´e V., Finite Difference Methods for Linear Parabolic Equations, [71] Thome Elsevier, North-Holland, 1990. ´e, V., Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems, [72] Thome Springer, Berlin, 1997. [73] Winther, R., Some superlinear convergence results for the conjugate gradient method, SIAM J. Numer. Anal., 17 (1980), 14-17. [74] Wouk, A., A course of applied functional analysis, John Wiley & Sons, New York, 1979. [75] Yosida, K., Functional analysis, Sixth edition, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 123, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. [76] Zeidler, E., Nonlinear Functional Analysis and its Applications, I–IV., Springer-Verlag, New York, 1988.
