2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických problémů, ve fyzice apod. je velmi často třeba řešit „obrácenou“ úlohu k derivování. K zadané funkci f budeme hledat funkci F takovou, aby platilo F   f . Budeme se tedy ptát, jakou funkci je nutné derivovat, abychom dostali zadanou funkci f. Tudíž ze znalosti směrnic tečen ke grafu funkce budeme chtít najít tuto funkci, ze znalosti okamžité rychlosti bodu budeme chtít zjistit polohu tohoto bodu, ze znalosti okamžitého zrychlení bodu budeme chtít určit jeho okamžitou rychlost apod. Poznáme, že tato úloha je podstatně složitější než derivování, protože neexistuje obecný algoritmus výpočtu. I. PRIMITIVNÍ FUNKCE A NEURČITÝ INTEGRÁL 2.1.Definice: Funkce F (x) se nazývá primitivní funkcí k funkci f (x ) na  a, b  , jestliže pro každé číslo x   a, b  platí F  x   f (x ) . 2.1.Věta: Nechť funkce F (x) je primitivní k f (x ) na intervalu

 a, b  ,

pak každá jiná

primitivní funkce k funkci f (x ) na intervalu  a, b  má tvar F ( x )  c , kde c  R . 2.2.Definice: Množina všech primitivních funkcí k funkci f (x ) na intervalu  a, b  se nazývá neurčitý integrál funkce f (x ) a značí se symbolem  f ( x)dx . Tedy

 f ( x)dx  F ( x)  c , x  a, b Poznámka: 1. Integrační znak



vznikl protažením písmene S, kterým začíná slovo suma

2. Funkci f (x ) nazýváme integrandem 3. Výraz dx je diferenciál proměnné x a v tuto chvíli je jeho význam jen v tom, že nám říká, jak je označená proměnná. 4. Číslo c nazýváme integrační konstantou Zkusme nyní najít nějakou primitivní funkci např. k funkci cos x , x  R . Ze znalostí derivací není těžké odhadnout, že taková funkce je např. F  x   sin x nebo také F  x   sin x + 3, atd.. Tzn., že všechny funkce sin x  c , kde c  R , jsou primitivní k funkci cos x

11

  cos xdx  sin x  c , c  R . 2.2.Věta: Ke každé spojité funkci f (x ) na intervalu  a, b  existuje primitivní funkce. 2.3.Věta: Nechť na intervalu

 a, b 

existují integrály

 f x dx

a

 g x dx ,

pak na

 a, b 

existuje rovněž integrál jejich součtu, rozdílu a násobku konstantou:

  f x   g x dx   f x dx   g x dx  kf x dx  k  f x dx , k  R . Poznámka: Z definice neurčitého integrálu vyplývá platnost rovností:  1.   f  x  dx   f  x    2.

 F x dx  F x   c , c  R ,

takže operace derivování a integrace jsou navzájem komplementární. O správnosti výsledku integrace se můžeme vždy přesvědčit derivací výsledku. Tabulkové integrály 1.  0dx  C 2.



dx  x  C

x n1  3.  x n dx   C , n  1 n 1 

1 4.   dx  ln x  C x

 1 dx  ln x  a  C   xa

5.  e x dx  e x  C

e

6.  a x dx 

ax

dx 

1 ax e C a

ax  C , a  1, a  0 ln a 1

7.

 sin x dx   cos x  C

 sin axdx   a cos ax  C

8.

 cos x dx  sin x  C

 cos axdx  a sin ax  C

1

1 1 x  dx  arctg  C  2 2 a a a x

1 9.   2 dx  arctgx  C  x 1

12

1  dx arcsin x  C 10.   1 x2  11.  

1 x a 2

2

1 x  dx arcsin  C  a  a2  x2

dx  ln x  x 2  a  C

 1 12.  dx  tg x  C  cos2 x

 1 dx  1 tgax  C   cos 2 ax a

1 13.  dx   cotg x  C   sin 2 x

 1 dx   1 cotg a x  C   sin 2 ax a

 f ( x )dx  F ( x )  c  14.  1  f (ax  b)dx  F (ax  b)  c, a  0 a  15.

   f  x  dx  ln f  x   c f x

Poznámka: Protože derivace funkcí arkustangens a arkuskotangens se liší pouze znaménkem (totéž platí pro arkussinus a arkuskosinus) je možné ve vzorci 9. (resp. 10.) psát 1  1 dx  arccotgx  C (resp.  dx   arccos x  C ).  2   x 1  1 x2 METODA PER PARTES Víme, že integrál ze součtu (rozdílu) je součtem (rozdílem) integrálů. Pro součin (podíl) nic takového neplatí. Z pravidla pro derivaci součinu dostaneme vztah pro integraci součinu. 2.4. Věta: Nechť funkce u (x) a v(x) mají spojitou derivaci na intervalu  a, b  . Pak na tomto intervalu platí:

 u x v x dx  ux vx    u x vx dx , Tato metoda se nazývá metoda per partes (po částech). Často používáme zkrácený zápis:

 uvdx  uv   uvdx

Poznámka: Integrály typické pro výpočet metodou per partes: Nechť je P(x) polynom. Metodou per partes integrujeme např. integrály následujících typů.

13

 P ( x) e

x

dx ,

 P ( x) sin(x)dx ,  P( x) cos(x)dx

a

 P( x)arctgxdx ,  P( x) ln

m

xdx .

U první skupiny postupujeme tak, že polynom derivujeme (snížíme jeho stupeň), v případě potřeby postup opakujeme. U druhé skupiny naopak polynom integrujeme a derivujeme druhý činitel. SUBSTITUČNÍ METODA Tato metoda se používá velmi často, její podstatou je substituce (náhrada) integrační proměnné jinou proměnnou tak, aby vznikl integrál jednodušeji řešitelný. 2.5.Věta: Nechť existuje

 f  x  dx

diferencovatelná na intervalu intervalu  c, d  existuje

 c, d 

pro x   a, b  a nechť funkce x    t  , která je zobrazuje tento interval do intervalu

 a, b  .

Pak na

 f   t       t  dt a platí  f   t      t  dt   f  x  dx

Poznámka: Integrační metoda založené na předchozí větě se nazývá první substituční metoda a spočívá v nahrazení integrační proměnné novou proměnnou tak, aby vznikl jednodušeji řešitelný integrál. Použijeme, chceme-li vypočítat integrál integrál

 f  x  dx .

 f   t       t  dt

Substitucí

na výpočet

 f   t       t  dt

a přitom umíme vypočítat

  t   x ,    t  dt  dx převedeme výpočet integrálu

 f  x  dx  F  x  a do výsledku zpětně dosadíme za x funkci

 t  .

Př.

 sin

3

t cos t dt

2.6.Věta: Nechť existuje

 f   t       t  dt

na intervalu

 c, d  ,

nechť funkce   t  je

diferencovatelná v tomto intervalu, nechť    t   0 pro každé t   c, d  a nechť funkce   t  zobrazuje interval  c, d  na  a, b  . Pak existuje

14

 f  x  dx na  a, b  a platí

 f  x  dx   f   t       t  dt Metoda založená na předchozí větě se nazývá druhá substituční metoda. Použijeme, chceme-li vypočítat integrál

 f   t       t  dt .  f  x  dx

Substitucí

na výpočet

 f  x  dx

a přitom umíme vypočítat integrál

x    t  , dx     t  dt převedeme výpočet integrálu

 f   t      t  dt  G  t 

a ve výsledku se vrátíme k původní

proměnné, tj ze t dosadíme t   1  x 



Př.

1  x 2 dx , x   1,1

INTEGRACE RACIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKCE Důležitou skupinu funkcí, které můžeme integrovat v množině elementárních funkcí, tvoří racionální lomené funkce. 2.3.Definice: Racionální funkce je funkce ve tvaru R( x) 

P( x) , kde P(x) a Q(x) jsou Q( x)

polynomy libovolných stupňů, které nemají společné kořeny, definiční obor tvoří všechna reálná čísla, pro které je Q  x   0 2.4.Definice: Racionální funkce

P ( x) se nazývá ryze lomená, když stupeň P(x) < stupeň Q( x)

Q(x) a neryze lomená když stupeň P(x)  stupeň Q(x). 2.7.Věta: Každou neryze lomenou funkci můžeme vyjádřit jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce, tzn. R  x   U  x  

W  x , kde stupeň W(x) < stupeň Q(x) Q  x

2.8.Věta: Ryze lomenou racionální funkci

W  x , jejíž jmenovatel má v reálném oboru Q  x

rozklad Q  x   an  x  x1  1   x  xm  m   x 2  p1 x  q1    x 2  pr x  qr  k

k

K1

Kr

lze jednoznačně rozložit na součet parciálních (částečných) zlomků. V tomto rozkladu přísluší: a) každému k- násobnému reálnému kořenu xi součet zlomků

15

Ak A1 A2   2 k  x  xi   x  xi   x  xi 

b) každému j- násobnému kořenu   c  di součet zlomků

M x Nj M1 x  N1 M x  N2  2 2  2 j 2 2 x  px  q ( x  px  q ) ( x  px  q ) j

kde p 2  4q < 0 , A1  Ak , M1 N1  M j N j jsou jednoznačně určené realné konstanty.

Určení koeficientů rozkladu ryze racionální funkce 1. srovnávací metoda 2. dosazovací metoda 3. obě metody kombinujeme Shrnutí: 1. racionální funkce: neryze lomená- upravíme, tj. převedeme ji dělením na součet polynomu a ryze lomené funkce. 2. jmenovatel rozložíme v součin 3. ryze lomenou funkci rozložíme na součet parciálních zlomků, určíme koeficienty rozkladu 4. integrujeme INTEGRACE NĚKTERÝCH SPECIÁLNÍCH TYPŮ FUNKCÍ Integrály obsahující goniometrické funkce Integrály typu

 cos

m

x sin n xdx , kde m, n  Z .

1) Pokud je aspoň jedno z čísel m,n liché použijeme k řešení substituce:

sin x  t , cos x  t ,

je  li m liché je  li n liché.

Pokud jsou obě liché, můžeme si vybrat. 2) Oba exponenty jsou sudé. Pokud jsou obě čísla m, n nezáporná, je nejvýhodnější použití vzorců pro dvojnásobný úhel: sin 2  

1  cos 2 , 2

cos 2  

16

1  cos 2 , kde   R. 2

tgx  t Je-li aspoň jedno z čísel m, n záporné, použijeme substituci: x  arctgt . dt dx  2 t 1 Univerzální substituce: Integrály typu

 R  cos

2

x, sin 2 x, tgx  dx , kde R značí racionální funkci, používáme substituci:

tgx  t , 1 dt , 1 t2 t2 1 sin 2 x  , cos 2 x  dt. 2 1 t 1 t2 x  arctgt ,

Integrály typu

tg

dx 

 R  cos x,sin x  dx , kde R značí racionální funkci, používáme substituci:

x  t, 2

2 dt , 1 t2 2t 1 t2 sin x  , cos x  dt. 1 t2 1 t2 x  2arctgt ,

dx 

Integrály obsahující odmocniny Iracionální funkce integrujeme většinou pomocí substituční metody. 1) Integrand obsahuje výraz

n

ax  b , n  N , n  2,

a, b  R. Zavedeme substituci

ax  b  t n a převedeme na integrál z racionální lomené funkce. Z této rovnosti nejprve osamostatníme x a pak dopočítáme diferenciál:

tn b ax  b  t  x  a n

a

nt n1 dx  dt. a

2) Obsahuje-li integrovaná funkce více odmocnin s různými odmocniteli n2

ax  b ,... , zavádíme substituci

3) Integrace goniometrickými substitucemi:



a 2  x 2 dx ,

ax  b ,

ax  b  t n , kde n je nejmenší společný násobek čísel

n1 , n2 , n3 ,... .

 R  x,

n1

substituce x  a sin t

17

 R  x,

 substituce x  cosa t  R  x, x  a  dx , substituce x  a tgt x 2  a 2 dx , 2

2

II. URČITÝ INTEGRÁL Neurčitý integrál - funkci přiřazoval množinu funkcí Určitý integrál - funkci přiřazuje číslo 2.5.Definice: Nechť F (x) je primitivní funkcí k funkci f (x ) v intervalu I . Pak pro čísla a, b z tohoto intervalu definujeme Newtonův určitý integrál funkce f (x ) v mezích od a do b vzorcem:



b

a

f ( x)dx  F ( x)a  F (b)  F (a), b

číslo a se nazývá dolní mez, číslo b horní mez, funkce f (x ) integrand a dx (diferenciál proměnné x). Říkáme, že funkce f (x ) je intergovatelná na a, b .

Geometrický význam Mějme nezápornou ohraničenou funkci f (x ) , spojitou na intervalu a, b . Dá se dokázat, že určitý integrál



b

a

f ( x)dx udává obsah rovinného obrazce U ohraničeného grafem funkce

f (x ) , osou x a přímkami x = a, x = b.

Vlastnosti určitého integrálu 2.9.Věta: Nechť f (x ) a g (x) jsou integrovatelné na a, b , k  R pak platí:

a  f x   g x dx  a b

b

 kf x dx  k  

b

a

b

b

a

a

b

f ( x )dx   g ( x)dx, a

f ( x )dx , k  R .

c

b

a

c

f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x )dx , c   a, b 

Další vlastnosti:

18

2.10.Věta: Nechť f (x ) a g (x) jsou integrovatelné na a, b , pak platí:



a

a

a

f ( x)dx  0, b

b

f ( x ) dx    f ( x )dx, a



b

a

b

f ( x )dx   f ( x ) dx, a

b

a

je-li f ( x)  g ( x ) pro x  a, b , pak také

b

f ( x ) dx   g ( x ) dx . a

Metoda per partes pro určitý integrál 2.11.Věta: Nechť jsou funkce u (x) , v(x) spojité a mají také spojité derivace prvního řádu na a, b , a  b . Potom:



b

a

u ( x )v ( x )dx  u ( x )v( x )a   u ( x )v( x)dx. b

b

a

Substituční metoda pro určitý integrál 2.12.Věta: Je-li funkce t    x  spojitá a ryze monotonní na intervalu a, b a je-li funkce f   x       x  integrovatelná na a, b , pak platí: b

 b 

a

 a

 f   x      x  dx    f  t  dt 2.13.Věta: Je-li funkce x    t  spojitá a ryze monotonní na intervalu

c, d , který

zobrazuje na interval a, b , pak platí: b

 1  b 

a

 1  a 

 f  x  dx  

f   t      t  dt

APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU Pomocí integrálního počtu je možné vypočítat obsah rovinných útvarů, objemy rotačních těles a délky rovinných křivek. Velké uplatnění má určitý integrál také ve fyzice a chemii.

19

Geometrické aplikace 1. Obsah rovinného útvaru Pokud se jedná o rovinný útvar omezený osou x, přímkami x=a , x=b a grafem spojité, nezáporné funkce y = f(x), pak je jeho obsah dán určitým integrálem, jak bylo uvedeno u b

geometrické interpretace určitého integrálu: S   f ( x)dx. a

V případě, že funkce f(x) je v intervalu záporná, je integrál rovněž záporný.

Vzhledem k tomu, že obsah každého obrazce je vždy nezáporné číslo, použijeme pro b

b

a

a

libovolnou funkci ve výpočtu obsahu její absolutní hodnotu: S   f ( x ) dx    f ( x )dx. Jestliže funkce y = f(x) nabývá v intervalu jak kladných, tak i záporných hodnot, potom tento interval rozdělíme na dílčí intervaly, ve kterých funkce nabývá pouze nekladných hodnot resp. nezáporných hodnot a vypočteme obsahy podle předcházejících úvah. Pokud je rovinný útvar ohraničený dvěma funkcemi (křivkami) y  f (x ) , y  g (x ) b

a přímkami x  a , x  b , je jeho obsah určen: S   f ( x )  g ( x ) dx . a

V případě, že je rovinný útvar ohraničený pouze dvěma funkcemi, musíme první určit x-ové souřadnice průsečíků křivek (řešíme rovnici f ( x)  g ( x ) ).

20

Je-li funkce f určena parametrickými rovnicemi x   (t ), y   (t ), t   ,  , přitom předpokládáme, že  (t ) je ryze monotonní funkce na  , 

se spojitou derivací   t  .

Pak platí pro obsah útvaru ohraničeného grafem funkce f na intervalu

,  :



S    (t ) (t ) dt 

2. Délka rovinné křivky Je-li funkce y  f (x ) definovaná na a, b spojitá a má-li zde spojitou derivaci, pak pro délku křivky platí: l  

1   f ( x ) dx.

b

2

a

Je-li funkce f určena parametrickými rovnicemi x   (t ), y   (t ), t   , 

 , ,  , spojité funkce a  , nejsou zároveň rovny nule t   ,  , pak pro délku křivky platí vztah: l  

b

a

(t )

2

a jsou-li

v žádném bodě intervalu

  (t )  dt . 2

3. Objem rotačního tělesa Necháme-li rovinný útvar rotovat kolem osy x, vznikne rotační těleso, jehož objem můžeme vypočítat pomocí určitého integrálu.

Nechť rotační těleso vznikne rotací křivky y  f (x ) kolem osy x v intervalu a, b , přičemž funkce y  f (x ) je na

b

a, b spojitá, pak pro jeho objem platí: V    f 2 ( x )dx. a

Poznámka: Pokud získáme těleso rotací útvaru ohraničeného křivkami f ( x), g ( x) na a, b , b

pak V    f 2 ( x)  g 2 ( x ) dx. a

21

Je-li funkce f určena parametrickými rovnicemi x   (t ), y   (t ), t   ,  a je-li   t  spojitá a  (t ) nezáporná, platí pro objem tělesa, které vznikne rotací útvaru kolem 

osy x: V     2 (t )  (t ) dt. 

4. Obsah rotační plochy Je-li funkce y  f (x ) definovaná na

spojitá a nezáporná a má-li zde spojitou

a, b

derivaci, pak pro obsah pláště rotačního tělesa kolem osy x platí vztah:

b

S  2  f ( x) 1   f ( x )  dx. 2

a

Je-li funkce f je určena parametrickými rovnicemi x   (t ), y   (t ), t   ,  , a jsou-li

 , ,  , spojité funkce a  (t ) nezáporná, pak pro obsah pláště rotačního tělesa kolem osy x platí vztah: 

S  2   (t ) 

 (t ) 

2

  (t )  dt. 2

Fyzikální aplikace Hmotnost a souřadnice těžiště rovinné křivky Představme si drát, který je v obecném případě nehomogenní. Matematickým modelem je křivka. Předpokládejme, že máme nezápornou funkci ρ, která je definovaná ve všech bodech křivky a každému bodu přiřazuje délkovou hustotu v tomto bodě. Je - li křivka C dána parametrickými rovnicemi

x   (t ), y   (t ) , kde t   ,  Nechť  (t ) a  (t ) mají spojitou derivaci na intervalu  , 

a  (t ) je spojitá a nezáporná.

Pak křivka C mající délkovou hustotu  (t ) má hmotnost 

M (C )    (t )  (t )    (t )  dt. 2



Pro souřadnice jejího těžiště platí  S y (C ) S x (C )  T  , ,  M (C ) M (C ) 

22

2

kde 

S x (C )    (t )  (t )  (t )    (t )  dt , 2

2





S y (C )    (t )  (t )  (t )    (t )  dt. 2

2



Veličiny S x (C ), S y (C ) nazýváme statické momenty křivky C vzhledem k ose x (y). Poznámka: Je-li křivka C grafem funkce f (x ) a  (x ) udává její délkovou hustotu v bodě, dostáváme z předchozího zjednodušenou verzi:  S y (C ) S x (C )  Pro souřadnice těžiště grafu G funkce f (x ) platí stejný vzorec T   ,  , kde  M (C ) M (C ) 

M (G )    ( x ) 1   f ( x) dx, b

2

a

S x (G )   f ( x)  ( x ) 1   f ( x ) dx, b

2

a

S y (G )   x ( x) 1   f ( x ) dx. b

2

a

23