KONSTRUKCE
LICHOB
ŽNÍKU
2 HODINY Než p istoupíš k samotným konstrukcím, zopakuj si nejd íve vše, co víš o lichob žnících (co to vlastn lichob žník je, základní druhy lichob žník a jejich vlastnosti). Dále si pe liv zopakuj základní konstrukce trojúhelník (sss, sus, usu, Ssu). Nyní mám pro Tebe velmi klí ovou otázku, kterou se pokusíme spole n zodpov d t. Tak tady je ta otázka: Kolik údaj je t eba znát pro konstrukci lichob žníku? Na rtni si libovolný lichob žník a vyzna v n m jednu úhlop í ku (viz obr.). Pak odpovídej na mé jednoduché otázky:
? Na kolik trojúhelník Ti úhlop í ka rozd lí AC lichob žník ABCD ? Na dva trojúhelníky ABC, ACD ? Co mají oba trojúhelníky spole né ? Oba trojúhelníky mají spole nou úhlop í ku AC ? Kolik údaj pot ebuješ pro konstrukci trojúhelníku ABC ? Jako u každého trojúhelníku pot ebuji znát 3 údaje ? Kolik jich ješt pot ebuješ pro konstrukci trojúhelníku ACD ? Sta í mi pouze jeden údaj, jelikož spole nou stranu AC již znám. Navíc z vlastnosti lichob žníku vím, že strany AB a CD (základny) jsou rovnob žné, což je druhý údaj o trojúhelníku ACD. K jeho konstrukci tak pot ebuji znát již jen jeden údaj. ? Kolik údaj tedy pot ebuješ celkem ?
3+1 = 4
Záv r: Pro konstrukci lichob žníku je t eba znát celkem ty i údaje Postup p i konstrukci libovolného lichob žníku: 1. Pokusíš se nejprve sestrojit pomocný trojúhelník, který se skládá ze dvou stran budoucího lichob žníku a jedné ze dvou úhlop í ek lichob žníku. Tento pomocný trojúhelník sestrojíš pomocí Tob již známých konstrukcí sss, sus, usu nebo Ssu. Použiješ tak t i údaje ze zadání. Do postupu konstrukce pak sta í pouze zapsat, že jsi sestrojil nap íklad trojúhelník ABC podle dané v ty: ABC (sss) 2. Sestrojíš tvrtý vrchol pomocí t í daných údaj (úhlop í ka, rovnob žná základna, tvrtý údaj ze zadání) Konstruk ní úloha se skládá z následujících ástí: Ná rt a rozbor úlohy: V rozboru vždy p edpokládáme, že konstruk ní úloha lze sestrojit. Proto si nap íklad výsledný rovnob žník na rtneme a vyzna íme v n m barevn všechny údaje, které známe. Velmi výhodné je v ná rtu vyhledat trojúhelník, jehož vrcholy jsou sou asn vrcholy hledaného rovnob žníku. Zbývající tvrtý vrchol rovnob žníku pak získáš užitím n které vlastnosti rovnob žníku (nap . rovnob žnost prot jších stran). Do ná rtu rovn ž zazna íme všechny body, úhly, kružnice, p ímky, které k vy ešení úlohy užijeme. Ná rt je velmi d ležitou sou ástí konstruk ní úlohy, protože již v tomto kroku se úloha eší. Proto jej d láš velký a p ehledný. Do rozboru pod ná rt pak nap íklad napíšeš, jakým trojúhelníkem konstrukci za neš a jak získáš tvrtý neznámý bod rovnob žníku (pokusíš se zapsat pomocí matematické symboliky) Postup konstrukce: Zde si plánuješ sled krok p i rýsování rovnob žníku. Každý bod je zapsán pomocí matematické symboliky. M l by si již um t zapsat konstrukci kružnice, úse ky, p ímky kolmé a rovnob žné k jiné p ímce, úhlu, obrazu bodu ve st edové a osové soum rnosti. Zde Ti nabízím zápisy n kterých geometrických útvar . Zpravidla se každý zápisový krok d lí na dv ásti, mezi nimiž je st edník. P ed st edníkem píši, jaký geometrický útvar budu rýsovat, za st edníkem pak píši, co pro daný geometrický útvar platí:
AB; AB
5cm
rýsuji úse ku AB, pro kterou platí, že její délka je 5 cm
S ; S je st ed úse ky AB S; S
AB
AS
SB
jiný zápis st edu úse ky AB (znak
znamená " a sou asn " )
k ; k (S ; r 3cm) rýsuji kružnici k, která má st ed v bod S a polom r 3 cm p; p // AB rýsuji p ímku p, pro kterou platí, že je rovnob žná s úse kou AB q; q AB X q rýsuji p ímku q kolmou na úse ku AB a p ímka q prochází bodem X (bodem X vedu kolmici q na úse ku AB) ABC; X;X k S S :A O (o ) : A
ABC
45
rýsuji úhel ABC, jehož velikost je 45
p bod X dos tan u jako pr se ík kružnice k a p ímky p B ve st edové soum rnosti se st edem S je obrazem bodu A bod C B v osové soum rnosti podle osy o je obrazem bodu A bod B
Konstrukce: P i konstrukci se pokusíš sestrojit všechny rovnob žníky vyhovující zadání úlohy. Konstrukce provád j v jedné polorovin . Záv r: Skládá se ze dvou ástí, a to ov ení správnosti ešení a po tu ešení v dané polorovin . Zpravidla bývá konstruk ní úloha ukon ena následujícím zp sobem: Rovnob žník vyhovuje zadání, dv ešení v polorovin . A nyní se spole n pustíme do p íklad : P íklad 1: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: a AB 6cm; b BC 4cm; c CD 3cm, AC
6,5cm
Ná rt a rozbor: známé údaje vyzna ím v ná rtu modrou barvou, neznámé body barvou r žovou !!! Do rozboru již zaznamenávám náznak ešení konstruk ní úlohy.
Nejprve si sestrojíme trojúhelník ABC podle v ty sss. Poté sestrojíme chyb jící bod D. Ten leží na p ímce, která prochází bodem C a je rovnob žná se základnou AB. Dále pak leží na kružnici se st edem b bod C a polom rem CD 3cm . Zkrácen lze zapsat rozbor následujícím zp sobem: ABC ( sss )
D
p
k
Postup konstrukce: 1. ABC ( sss ) 2. p; p // AB C 3.k ; k (C ; r 4.D; D
c
p
p.................p ímka p je rovnob žná se základnou AB a prochází vrcholem C 3cm)
k
5.lichob žník ABCD
Konstrukce:
Záv r: Lichob žník vyhovuje zadání, jedno ešení ve zvolené polorovin Poznámka: N kdy se myln vyskytuje chyba v po tu ešení. Konkrétn v této úloze ob as studenti naleznou ješt jeden lichob žník, který však zadání úlohy neodpovídá. Podívej se na obrázek.
R žový lichob žník neodpovídá zadání (není to lichob žník ABCD, ale ABD´C). A na po adí prvk nám p i konstrukci rovinného útvaru záleží !!!
P íklad 2: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: a 64mm; b 33mm; 75 ; 60
Ná rt a rozbor: Na rtneme si zadání a barevn v p edchozím p íkladu:
vyzna íme zadané údaje stejn
jako
Nejprve si sestrojíme trojúhelník ABC podle v ty sus. Poté sestrojíme chyb jící bod D. Ten leží na p ímce, která prochází bodem C a je rovnob žná se základnou AB. Dále pak leží na polop ímce AX, která p edstavuje rameno úhlu . Zkrácen lze zapsat rozbor následujícím zp sobem: ABC (sus )
D Postup konstrukce:
1. ABC ( sus ) 2. p; p // AB C 3. BAX ;
p
BAX
4.D; D p AX 5.Lichob žník ABCD Konstrukce:
75
p
AX
Záv r: Lichob žník vyhovuje zadání, 1 ešení v polorovin P íklad 3: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: AB 9cm; BC 6cm; AC 8cm; BD 7cm Ná rt a rozbor:
ABC ( sss ) D p k
Postup konstrukce:
1. ABC ( sss ) 2. p; p // AB C
p
3.k ; k ( B; r
7cm)
BD
4.D; D p k 5.Lichob žník ABCD Konstrukce:
Záv r: Lichob žník vyhovuje zadání, jedno ešení ve zvolené polorovin P íklad 4: Sestroj pravoúhlý lichob žník ABCD s pravým úhlem p i vrcholu B, je-li dáno: AB 7cm; AD 8cm; ABD 60 Ná rt a rozbor:
ABD( Ssu ) C p q Postup konstrukce: 1. ABD( Ssu ) 2. p; p // AB
D
p
3.q; q
AB
B
q
4.C ; C
p
q
5.Lichob žník ABCD
Konstrukce:
Záv r: Lichob žník vyhovuje zadání, jedno ešení v polorovin P íklad 5: Sestroj pravoúhlý lichob žník ABCD (AB//CD) s pravým úhlem p i vrcholu A, jeli dáno: a 10cm; b 12cm; ABD 50 Ná rt a rozbor:
ABD(usu ) C p k
Postup konstrukce: 1. ABD( sus ) 2. p; p // AB 3.k ; k ( B; r 4.C ; C
D
p
12cm)
p
k
5.Lichob žník ABCD
Konstrukce:
Záv r: Lichob žník odpovídá zadání, dv ABC´D)
ešení v polorovin
(lichob žníky ABCD a
P íklad 6: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: a 8cm; 75 ; BD 7cm Ná rt a rozbor: Co platí pro délky úhlop í ek v rovnoramenné lichob žníku ?
Ur it si správn odpov d l, že úhlop í ky v rovnoramenném lichob žníku jsou shodné. Stru ný rozbor ná rtu by vypadal následujícím zp sobem:
ABC D k
p
Postup konstrukce: Jelikož konstrukce trojúhelníku ABC neodpovídá žádné z konstrukcí sss, sus, usu a Ssu, musíme popsat celou konstrukci v etn trojúhelníku ABC 1. AB; AB
a
2.m; m A; r 3. ABX ; 4.C ; C
8cm BD
7cm
ABX
m
BX
5. p; p // AB C 6.k ; k ( B; r
BD
7.D; D
l
k
75 p 7cm)
8.Lichob žník ABCD
Konstrukce:
Záv r: Lichob žník nelze sestrojit, protože pr nik polop ímky BX a kružnice m neexistuje a nemohu tedy sestrojit bod C. Všimni si, kružnice m a polop ímka x m že mít jeden pr nik nebo dva pr niky. Podle toho také mohu dostat žádné (náš p íklad), jedno nebo dv ešení (viz ne ešená úloha 10)
P íklad 7: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: a 6cm; b 9cm; ASB 120 , kde S je pr se ík úhlop í ek lichob žníku Ná rt a rozbor: Než si celou situaci na rtneš, uv dom si, co platí pro úhlop í ky rovnoramenného lichob žníku a jaký tedy bude trojúhelník ASB:
Trojúhelník ASB je rovnoramenný (pokus se ov it, pro – nap íklad pomocí trojúhelník ADC a BCD). Úhly ozna ené otazníkem mají tedy jakou velikost? Nyní se již jedná o jednoduchou úlohu:
ABC (Ssu ) D p k Postup konstrukce:
1. ABC ( Ssu ) 2. p; p // AB C 3.k ; k ( A; r 4.D; D
b
p
p 9cm)
k
5.Lichob žník ABCD
Konstrukce:
Záv r: Lichob žník odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin P íklad 8: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: a 10cm; b 6cm; v 5cm Ná rt a rozbor: Nejprve si zopakuj vlastnosti rovnoramenného lichob žníku.
Ur it si se p i opakování dozv d l, že rovnoramenný lichob žník je osov soum rný útvar. Osa soum rnosti je kolmá na ob základny a prochází jejich st edy. Navrhni postup konstrukce .
Postup konstrukce: 1. AB; AB
10cm
2.S AB ; S AB je st ed AB 3.o; o
AB
S AB
o
v
5cm
4.k ; k (S AB ; r 5.S CD ; S CD 6. p; p // AB
k
o
S CD
o
1 CD 2 8.C , D; C , D l p 7.l ; l ( S CD ; r
9.Lichob žník ABCD
Konstrukce:
3cm)
Záv r: Lichob žník odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin
CVI
ENÍ
Nabízím Ti n kolik úloh na procvi ení probrané látky. Pokus se nejprve vždy sám úlohu vy ešit. Po seznamu úloh následují nápov dy k jednotlivým úlohám formou stru ného postupu konstrukce a po tu ešení v polorovin . P eji Ti hodn št stí.
Úloha 1: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: a 6cm; c 3cm; b 4cm; AC 5cm Úloha 2: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: a 30mm; b 70mm; d 60mm; BD 50mm Úloha 3: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: a 3cm; b 7cm; d 8cm; 135 Úloha 4: Sestroj lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: a 6cm; d 5cm; 45 ; AC 7cm Úloha 5: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: a 8cm; d 6cm; BF 7cm Úloha 6: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: c 8cm; 105 ; AC 10cm
Úloha 7: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: c 5cm; d 5cm; CSD 140 Úloha 8: Sestroj pravoúhlý lichob žník ABCD (AB//CD) s pravým úhlem p i vrcholu A, je-li dáno: a 8cm; b 7cm; d 5cm Úloha 9: Sestroj pravoúhlý lichob žník ABCD (AB//CD) s pravým úhlem p i vrcholu D, je-li dáno: a 8cm; AC 9cm; BD 10cm Úloha 10: Sestroj rovnoramenný lichob žník ABCD (AB//CD), je-li dáno: a 8cm; 65 ; BD 7,5cm
NÁPOV DY K ÚLOHÁM Úloha 1:
1. ABC ( sss ) 2. p; p // AB C p 3.k ; k (C ; r c 3cm) 4.D; D k p 5.Lichob žník ABCD jedno ešení v polorovin Úloha 2:
1. ABD( sss ) 2. p; p // AB D p 3.k ; k ( B; r b) 4.C ; C p k 5.Lichob žník ABCD jedno ešení v polorovin Úloha 3:
1. ABC ( sus ) 2. p; p // AB C p 3.k ; k ( A; r d ) 4.D; D k p 5.Lichob žník ABCD 2 ešení v polorovin (lichob žníky ABCD a ABCD´)
Úloha 4: 1. ABD( sus ) 2. p; p // AB
D
3.k ; k ( A; r
AC )
4.C ; C
k
p
p
5.Lichob žník ABCD 1 ešení v polorovin
Úloha 5:
1. ABD( sss ) 2. p; p // AB
D
3.k ; k ( A; r
AC )
4.C ; C
p
k
p
5.Lichob žník ABCD 1 ešení v polorovin
Úloha 6: 1. ACD( Ssu ) 2. p; p // CD
A
3.k ; k ( D; r
AC )
4.B; B
k
p
p
5.Lichob žník ABCD 1 ešení v polorovin
Úloha 7:: 1. ACD( CD
c
2. p; p // CD
A
3.k ; k (C ; r
d)
4.B; B
p
k
5cm; AD p
5.Lichob žník ABCD 1 ešení v polorovin
Úloha 8:
1. ABD( sus ) 2. p; p // AB D p 3.k ; k ( B; r b) 4.C ; C k p 5.Lichob žník ABCD 2 ešení v polorovin
d
5cm;
ACD
20 )
Úloha 9: 1. ABD( Ssu ) 2. p; p // AB
D
3.k ; k ( A; r
AC )
4.C ; C
p
k
p
5.Lichob žník ABCD jedno ešení v polorovin
Úloha 10:
1. ABC ( AB
8cm; AC
2. p; p // AB C 3.k ; k ( B; r
BD
7,5cm;
ABC
65 )
p
BD )
4.D; D k p 5.Lichob žník ABCD 2 ešení v polorovin (lichob žníky ABCD a ABC´D´)
