1
2. Funkce více proměnných (opakování z předch. semestru) O.1. Pojem funkce více proměnných (Reálná) funkce r (reálných) proměnných je zobrazení, jehož vzory jsou uspořádané r-tice reálných čísel (značíme X = [x1 , x2 , ..., xr ]) a obrazy (značíme y) jsou reálná čísla. Funkční předpis má tvar y = f (x1 , x2 , ..., xr ) nebo y = f (X). Formální definice: Funkce r proměnných je zobrazení f podmnožiny A množiny Rr (prostoru Er ) do množiny reálných čísel R (prostoru E1 ). Množina všech r-tic, pro které existuje funkční hodnota funkce, je definiční obor funkce. Obor hodnot je množina všech funkčních hodnot funkce. O.2. Množiny v Er , definiční obory funkcí Okolí bodu C = [c1 , c2 , ..., cr ] ∈ Er je libovolný rrozměrný interval (c1 − ε; c1 + ε) × (c2 − ε; c2 + ε) × ... × (cr − ε; cr + ε), kde ε > 0. Mějme množinu M ⊂ Er . Bod C ∈ Er se nazývá 1
2
(1) vnitřní bod množiny M, pokud je alespoň jedno jeho okolí obsaženo v množině M, (2) hraniční bod množiny M, pokud každé jeho okolí má neprázdný průnik s množinou M, i jejím doplňkem. (Doplněk množiny M je prostor Er bez množiny M). Množina všech vnitřních bodů množiny M se nazývá vnitřek množiny M. Množina všech hraničních bodů množiny M se nazývá hranice množiny M. P o z n á m k a : Prázdná množina a Er mají jako hranici prázdnou množinu. Otevřené, uzavřené, omezené, kompaktní množiny Množina M ⊂ Er se nazývá (1) otevřená, jestliže neobsahuje žádný svůj hraniční bod, (2) uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body (celou svou hranici, (3) omezená, pokud je celá obsažena v okolí nějakého bodu, (4) kompaktní, pokud je uzavřená a omezená. P o z n á m k a : Otevřená a uzavřená množina nejsou 2
3
”opačné” pojmy. Množina může být otevřená i uzavřená (prázdná množina, celý prostor Er ). Nemusí být ani otevřená ani uzavřená. Definiční obory funkcí dvou proměnných O.3. Grafy funkcí dvou proměnných. Jednoduché funkce dvou proměnných Graf je tvořen takovými body v prostoru, které mají souřadnice [x, y, f (x, y)]. Graf si můžeme představit jako ”nějakou plochu” umístěnou v trojrozměrném prostoru. Jednoduché funkce dvou proměnných Lineární funkce dvou proměnných je funkce daná předpisem f (x, y) = ax + by + c kde a, b, c jsou reálné konstanty. Grafem lineární funkce dvou proměnných je rovina daná rovnicí z = ax + by + c v prostoru. Kvadratická funkce dvou proměnných x, y je funkce daná předpisem f (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f kde a, b, c, d, e, f jsou reálné konstanty. Homogenní funkce stupně k, pro k ∈ (0, ∞), je funkce 3
4
splňující na svém definičním oboru vztah (zde homogenní funkci dvou proměnných) f (λx, λy) = λk f (x, y) kde
λ je reálná konstanta.
Cobbova-Douglasova funkce je funkce daná předpisem f (x, y) = A · xα · y β kde A > 0, α, βjsou konstanty. Obvykle se předpokládá, že 0 < α < 1, 0 < β < 1 a x ≥ 0, y ≥ 0. Obecná Cobbova-Douglasova funkce f (x, y) = Axα y β je homogenní stupně α + β. Obdobně jako v případě jedné proměnné se definují elementární funkce r proměnných. Jejich funkční předpis obsahuje výrazy pro základní funkce a symboly aritmetických operací, případně výrazy vzniklé složením základních funkcí. P o z n á m k a : Stejně jako u funkce jedné proměnné hovoříme o spojitosti funkce více proměnných, pokud blízkým argumentům odpovídají blízké funkční hodnoty. Platí: Všechny elementární funkce r proměnných jsou spojité ve svém definičním oboru. O.4. Parciální derivace 4
5
Zúžení funkce je funkce, kde všechny proměnné kromě jedné považujeme za parametry (konstanty). Zúžení f ∗ funkce f na proměnnou x, resp. y popisuje chování funkce f pouze ve směru souřadnicové osy x, resp. y. Definice. Derivace funkce f ∗ vzniklé zúžením funkce f na jednu proměnnou x (resp. y) se nazývá parciální derivace funkce f podle proměnné x (resp. y). ∂f ∂f (x, y) nebo . Značí se ∂x ∂x Parciální derivace funkce f (x, y) podle proměnné x ∂f v bodě C = [xo , yo ] ∈ D(f ) se značí (x0 , y0 ) nebo ∂x ∂f ∂x (C). Derivací funkce f v bodě C rozumíme vektor, jehož složkami jsou hodnoty parciálních derivací v bodě C, tedy vektor ∂f ∂f (C), (C) . f ′ (C) = ∂x ∂y P o z n á m k a : Derivaci funkce v daném bodě uvažujeme jen tehdy, pokud jsou parciální derivace podle všech proměnných v tomto bodě vlastní. O.5. Extrémy funkce f vzhledem k množině 5
6
M ⊂ D(f ) Funkce f má v bodě C ∈ M ⊂ D(f ) maximum vzhledem k množině M (označíme max f (X) = f (C)), platí-li pro všechna X∈M
X ∈ M nerovnost f (X) ≤ f (C). Funkce f má v bodě C ∈ M ⊂ D(f ) minimum vzhledem k množině M (označíme min f (X) = f (C)), platí-li pro všechna X∈M
X ∈ M nerovnost f (X) ≥ f (C). Extrémy funkce vzhledem k celému definičnímu oboru se nazývají globální extrémy (nebo pouze extrémy). Věta ( zobecněná Weierstrassova) . Funkce spojitá na neprázdné kompaktní množině nabývá vzhledem k této množině svého maxima a minima. O.6. Vázané extrémy funkcí dvou proměnných Vázané extrémy jsou extrémy funkce f vzhledem k množině popsané rovnicí g(x, y) = 0, což je množina bez vnitřních bodů. Rovnice g(x, y) = 0 se nazývá vazební rovnice, množina všech řešení této rovnice (tj. množina, na které hledáme extrémy) se nazývá vazba. Vázané extrémy lze hledat užitím dále uvedených tří 6
7
metod; ne každá metoda je však vhodná pro řešení každého příkladu. 1) dosazovací metoda 2) metoda jakobiánu 3) metoda Lagrangeových multiplikátorů Dosazovací metoda Dosazovací metodu je vhodné použít tehdy, lze-li z vazební rovnice jednoznačně vyjádřit proměnnou x nebo y, např. je-li množinou popsanou vazební rovnicí přímka, parabola atd. Princip dosazovací metody je ten, že se z vazební rovnice vyjádří jedna z proměnných a dosadí se do předpisu funkce, jejíž extrémy hledáme. Tím vznikne funkce jedné proměnné - její extrémy už nalézt umíme. Metoda jakobiánu Metodu jakobiánu je možno použít pouze pro hledání vázaných extrémů na kompaktních množinách - nejčastěji na kružnici, elipse. Princip metody spočívá v tom, že nalezneme podezřelé body užitím determinantu zvaného jakobián (viz dále), a protože existence extrémů je zaručena dle zobecněné Weierstrassovy věty, stačí porovnat funkční hodnoty v 7
8
podezřelých bodech a vybrat z nich největší (vázané maximum) a nejmenší (vázané minimum). Jakobián (ozn. J(x, y)) je determinant, který má pro funkce dvou proměnných tvar: ∂f (x, y), ∂f (x, y) ∂y J(x, y) = ∂x . ∂g ∂g ∂x (x, y), ∂y (x, y)
Podezřelé body jsou body, ve kterých je J(x, y) = 0; tyto body současně musí splňovat vazební rovnici. Souřadnice podezřelých bodů dostaneme tedy řešením soustavy (většinou nelineárních) rovnic: J(x, y) = 0 ∧ g(x, y) = 0.
Metoda Lagrangeových multiplikátorů Metodu Lagrangeových multiplikátorů je možno použít pouze pro hledání vázáných extrémů na kompaktních množinách. Její princip spočívá v tom, že podezřelé body hledáme jako body vazby, v nichž má tzv. Lagrangeova funkce (viz dále) parciální derivace podle obou proměnných rovny nule. Protože předpokládáme splnění předpokladů zobecněné Weierstrassovy věty, stačí pak pro nalezení vázaných 8
9
extrémů vybrat největší a nejmenší funkční hodnotu v těchto podezřelých bodech. Sestrojíme tzv. Lagrangeovu funkci (ozn. L): L(x, y) = f (x, y) + λ · g(x, y), kde λ je zatím neznámá konstanta (tzv. Lagrangeův multiplikátor). Vypočítáme parciální derivace funkce L podle obou proměnných a položíme = 0; spolu s vazební rovnicí tvoří tyto rovnice soustavu tří (obvykle nelineárních) rovnic o třech neznámých x, y, λ. Jejím řešením obdržíme podezřelé body. O.7. Vázané extrémy funkcí více proměnných Při řešení ekonomických problémů sa často setkáme s úlohou nalézt extrémy nějaké funkce více proměnných při současném splnění dalších podmínek. Jedná se o hledání vázaných extrémů funkce f (x1 , ..., xr ) na množině popsané několika vazebními rovnicemi g1 (x1 , ..., xr ) = 0, ... , gs (x1 , ..., xr ) = 0, přičemž vazebních rovnic je méně než proměnných, tzn. s < r. P o z n á m k a : Předpokládáme, že funkce f , g1 , . . . , gs mají spojité parciální derivace. 9
10
K hledání vázaných extrémů slouží tři metody uvedené pro funkce dvou proměnných, avšak dosazovací metoda je příliš komplikovaná a nebudeme ji uvádět. Metoda jakobiánu Stejně jako pro funkce dvou proměnných je určena pouze pro hledání vázaných extrémů na kompaktních množinách, navíc musí být splněno, že počet vazebních rovnic je o 1 menší než počet proměnných, tzn. s = r − 1. Tento požadavek má velmi prostý důvod - je třeba, aby matice tvořená parciálními derivacemi funkcí f , g1 , . . . , gr−1 byla čtvercová, abychom mohli počítat determinant - jakobián (ozn. J(x1 , ..., xr ) nebo zkráceně J(X)): ∂f ∂x (X) 1 ∂g1 (X) J(X) = ∂x1 ∂g ... r−1 (X) ∂x1
∂f ∂x2 (X) ∂g1 ∂x2 (X)
...
∂gr−1 ∂x2 (X)
... ... ... ...
∂f ∂xr (X) ∂g1 ∂xr (X)
. ... ∂gr−1 (X) ∂xr
Další postup je obdobný jako u funkce dvou proměnných. Metoda Lagrangeových multiplikátorů Metoda Lagrangeových multiplikátorů je opět určena pouze pro hledání vázaných extrémů 10
11
na kompaktních množinách; na rozdíl od metody jakobiánu je možno ji použít pro libovolný počet vazebních rovnic. Lagrangeova funkce má tvar: L(x1 , ..., xr ) = f (x1 , ..., xr ) + λ1 g1 (x1 , ..., xr ) + ... ...+λs gs (x1 , ..., xr ), kde λ1 , ..., λs jsou neznámé konstanty - Lagrangeovy multiplikátory. Další postup je obdobný jako u funkce dvou proměnných. O.8. Extrémy funkce uvnitř množiny Ve vnitřních bodech M ⊂ D(f ) budeme hledat podezřelé body podle následující věty, která je obdobná příslušné větě pro funkci jedné proměnné. Věta ( nutná podmínka pro extrém uvnitř množiny) . Jestliže má funkce f ve vnitřním bodě množiny M extrém vzhledem k této množině, pak jsou v tomto bodě parciální derivace funkce f podle všech proměnných rovny nule (pokud existují). Stejně jako u funkce jedné proměnné je tato podmínka pouze nutnou podmínkou, nikoliv postačující. O.9. Extrémy spojité funkce na kompaktních 11
12
množinách obsahujících vnitřní body Hledání extrémů na kompaktních množinách obsahujících vnitřní body je opět založeno na zobecněné Weierstrassově větě. Protože je podle této věty existence extrémů spojité funkce na kompaktní množině zaručena, stačí nalézt podezřelé body a vypočítat v nich funkční hodnoty. Podezřelé body budeme hledat zvlášť uvnitř množiny (podle nutné podmínky uvedené v předchozí podkapitole 4.8), zvlášť na hranici - jakožto vázané extrémy na hladkých částech hranice; dalšími hraničními podezřelými body budou ostré zlomy na hranici - hroty. Podezřelé body: 1) uvnitř množiny (parciální derivace podle všech proměnných = 0) 2) na hranici — a) na hladkých částech (body podezřelé z vázaných extrémů) — b) hroty Ve všech podezřelých bodech vypočítáme funkční hodnoty - největší je maximum, nejmenší je minimum. O.10. Extrémy lineární funkce na konvexním mnohostěnu Pojem konvexní mnohostěn nebudeme přesně vymezo12
13
vat - jedná se např. o krychli, hranol, jehlan ap. v trojrozměrném prostoru, o čtverec, obdélník, lichoběžník, trojúhelník ap. v dvourozměrném prostoru (zde mnohoúhelník). Konvexní mnohostěn je kompaktní množina, lineární funkce je spojitá - jsou tedy splněny předpoklady zobecněné Weierstrassovy věty. Extrémy lineární funkce na konvexním mnohostěnu je ale možné počítat jednodušším způsobem: Věta ( extrémy lineární funkce na konvexním mnohostěnu) . Lineární funkce definovaná na konvexním mnohostěnu nabývá svého maxima a minima v některých z vrcholů. O.11. Druhé parc. derivace funkce dvou proměnných Připomeňme, že 2. derivaci funkce jedné proměnné získáme zderivováním 1. derivace. Parciální derivace 2. řádu U funkce dvou proměnných je situace trochu složitější, protože máme dvě parciální derivace. Pokud je obě znovu parciálně zderivujeme, získáme čtyři parciální derivace 2. řádu (dále jen 2. parciální derivace). 13
14
2. parciální derivace funkce f podle proměnných x a y je parciální derivace podle proměnné y stanovená z funkce ∂f ∂x . Vypočteme ji tedy tak, že funkci f nejprve zderivujeme podle x a pak podle y. Značí se ∂2f (x, y), a platí: ∂x∂y 2 ∂ f ∂ ∂f = . ∂x∂y ∂y ∂x Podobně získáme ostatní tři 2. parciální derivace. Pořadí derivování P o z n á m k a Pokud jsou všechny druhé parciální derivace funkce f v okolí bodu [x, y] spojitými funkcemi, nezáleží při výpočtu druhé parciální derivace na pořadí ∂2f ∂2f derivování, tj. (x, y) = (x, y) (viz předchozí ∂x∂y ∂y∂x příklad). Hessova matice Druhé parciální derivace zapisujeme do tzv. Hessovy matice:
Hf =
∂2f ∂x2 , ∂2f ∂y∂x ,
∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y 2
!
.
Podle předchozí poznámky je pro vhodné funkce Hessova matice symetrická podle hlavní diagonály. 14
15
O.12. Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Funkce má v bodě C lokální maximum (minimum), má-li tam maximum (minimum) vzhledem k nějakému okolí bodu C. Funkce musí být na příslušném okolí bodu C definovaná. Je tedy bod C určitě vnitřním bodem definičního oboru funkce. Nutná podmínka lokálního extrému Má-li funkce f lokální extrém v bodě C, ve kterém existují všechny parciální derivace, jsou nutně všechny parciální derivace v tomto bodě nulové. P o z n á m k a Nulové hodnoty parciálních derivací jsou nutnou, ne však postačující podmínkou pro lokální extrém. Pokud v takovém bodě lokální extrém nenastává (a 2. parciální derivace jsou v okolí tohoto bodu spojité), říkáme, že v tomto bodě nastává sedlo dané funkce. Podezřelé body Podezřelé body (z lokálních extrémů) jsou tedy body, ve kterých je každá parciální derivace nulová (nebo neexistuje - takové příklady nebudeme počítat). Postačující podmínka lokálního extrému funkce 15
16
dvou proměnných Nechť ve vnitřním bodě C definičního oboru funkce f platí ∂f ∂f (C) = 0, (C) = 0 ∂x ∂y a funkce f má v okolí bodu C spojité 2. parciální derivace. (a) Pokud platí
∂2f ∂x2 (C), ∂2f ∂y∂x (C),
∂2f ∂x∂y (C) ∂2f ∂y 2 (C)
< 0,
nastává v bodě C sedlo funkce f . (b) Pokud platí ∂2f (C) > 0 2 ∂x
a
∂2f ∂x2 (C), ∂2f ∂y∂x (C),
∂2f ∂x2 (C), ∂2f ∂y∂x (C),
∂2f (C) ∂x∂y ∂2f ∂y 2 (C)
> 0,
nastává v bodě C lokální minimum funkce f . (c) Pokud platí ∂2f (C) < 0 2 ∂x
a
∂2f (C) ∂x∂y ∂2f ∂y 2 (C)
> 0,
nastává v bodě C lokální maximum funkce f . 16
17
P o z n á m k a Na rozdíl od globálních extrémů se lokální extrémy neurčují výpočtem funkčních hodnot. P o z n á m k a V případě, že determinant Hessovy matice je v uvažovaném bodě C nulový, nelze použít postačující podmínku lokálního extrému, extrém může a nemusí v daném bodě nastat.
17
