V:\11A\kombinatorika_vegleges.doc 1. A színházba egy 5 fős baráti társaság jegyei egymás mellé szólnak. Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé? Hányféleképpen ülhetnek le akkor, ha András és Bori mindenképp egymás mellett szeretne ülni? 2. Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből hány háromjegyű szám készíthető, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek. És akkor, ha ismétlődhetnek? 3. 10 ember között 4 egyforma nyereményt sorsolnak ki. Hányféleképpen végződhet a sorsolás, ha mindenki csak egyszer nyerhet? És akkor hány végeredmény lehet, ha négy különböző nyereményt sorsolnak ki és mindenki egyszer nyerhet? És ha mindenki többször is nyerhet? 4. Egy lifthez 5 ember érkezik, de egyszerre csak 3 ember fér be. Hányféleképpen választhatjuk ki az első menet utasait? 5. 20 ember közül 3 fős bizottságot választanak, ahol van elnök, alelnök és titkár. Hányféleképpen tehető ez meg? 6. Az 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből hány négyjegyű páros szám készíthető? 7. Az A,A,A,B,B betűkből hány 5 betűs (nem feltétlenül értelmes) szó készíthető? 8. Egy dobókockával 3-szor dobunk egymás után. Hány dobássorozat lehetséges? 9. Egy könyvtárban 7 könyvet szemelünk ki, de csak 3-at lehet kölcsönözni közülük. Hányféleképpen választható ki a három könyv? 10. 15 emberből 5 tagú bizottságot választunk, ahol mindenkinek ugyanaz a rangja. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? 11. Egy könyvespolcon 7 különböző matekkönyv van. Hányféleképpen tehetjük őket egymás mellé, ha az Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény két kötetét mindenképpen egymás mellé szeretnénk helyezni? 12. Egy úszóversenyen 8-an indulnak. Hányféleképpen alakulhat az első 3 dobogós sorrendje? 13. 6 ember - 3 férfi és 3 nő - egymás mellett foglal helyet. Hányféleképpen ülhetnek le, ha a férfiak és a nők felváltva szeretnének ülni? 14. Hány 5 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek egyszeri felhasználásával? 15. Hány 3 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek egyszeri felhasználásával? 16. Hány 3 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, ha mindegyiket többször is felhasználhatom? 17. Hány 4 jegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyek egyszeri felhasználásával? 18. Hány 4 jegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből, ha mindegyiket többször is felhasználhatom? 19. Egy 10 tagú társaságban mindenki mindenkivel kezet fog. Hány kézfogás történik?
1.
V:\11A\kombinatorika_vegleges.doc 20. Egy 12 csapatos labdarúgótornán hányféle sorrend alakulhat ki a dobogón? 21. Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha 4-féle festékünk van? (Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.) 22. Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha 7-féle festékünk van, és minden háznak különböző színűnek kell lenni? (Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.) 23. Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha 4-féle festékünk van, és a szomszédos házak nem lehetnek egyforma színűek? (Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.) 24. Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, egy zöld, egy kék, egy piros és egy sárga golyót? 25. Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, két zöld és három kék golyót? 26. Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha minden könyv különböző, és mindenki csak egy könyvet kaphat? 27. Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha a könyvek egyformák, és mindenki csak egy könyvet kaphat? 28. Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha minden könyv különböző, és mindenki több könyvet is kaphat? 29. Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha a könyvek egyformák, és mindenki több könyvet is kaphat? 30. Háromjegyű számokat írtunk fel a 0; 5 és 7 számjegyekkel. Írja fel ezek közül azokat, amelyek öttel oszthatók, és különböző számjegyekből állnak! 2 pont 31. Hány olyan háromjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, amelyikben csupa különböző számjegyek szerepelnek? 2 pont 32. Egy négytagú társaság e-mail kapcsolatban van egymással. Bármelyikük egy-egy társának legfeljebb egy levelet ír hetente. Válassza ki a felsorolt lehetőségek közül, hogy maximum hány levelet írhatott összesen egymásnak a társaság 4 tagja 1 hét alatt? Válaszát indokolja! a) 4 · 4 = 16
b) 4 · 3 = 12
c) 4 · 3 : 2 = 6
3
pont 33. A piacon az egyik zöldségespultnál hétféle gyümölcs kapható. Kati ezekből háromfélét vesz, mindegyikből 1-1 kilót. Hányféle összeállításban választhat Kati? (A választ egyetlen számmal adja meg!) 2 pont 34. Hány különböző háromjegyű pozitív szám képezhető a 0, 6, 7 számjegyek felhasználásával?
2 pont
2.
V:\11A\kombinatorika_vegleges.doc 35. Egy öttagú társaság egymás után lép be egy ajtón. Mekkora a valószínűsége, hogy Anna, a társaság egyik tagja, elsőnek lép be az ajtón? 2 pont 36. Rajzoljon egy olyan öt csúcspontú gráfot, amelyben a pontok fokszáma 4; 3; 3; 2; 2. 2pont 37. Rajzoljon egy olyan öt csúcspontú gráfot, amelynek 4 éle van!
2 pont
38. Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer kezet fogott. Hány kézfogás történt? 2 pont 39. Egy álláshirdetésre négyen jelentkeznek: Aladár, Béla, Cecil és Dénes. Az adott időben megjelennek a vállalatnál, s akkor kiderül, hogy közülük hárman, Aladár, Béla és Cecil osztálytársak voltak. Dénes csak Aladárt ismeri, ők régebben egy kosárlabdacsapatban játszottak. Szemléltesse az ismeretségeket gráffal! (Az ismeretségek kölcsönösek.) 2 pont 40. Az ábrán látható térképvázlat öt falu elhelyezkedését mutatja. Az öt falu között négy olyan út megépítésére van lehetőség, amelyek mindegyike pontosan két falut köt össze. Ezekből két út már elkészült. Rajzolja be a további két út egy lehetséges elhelyezkedését úgy, hogy bármelyik faluból bármelyik faluba eljuthassunk a megépült négy úton! 41. Egy szellemi vetélkedő döntőjébe 20 versenyzőt hívnak be. A zsűri az első három helyezettet és két további különdíjast fog rangsorolni. A rangsorolt versenyzők oklevelet és jutalmat kapnak. a.
Az öt rangsorolt versenyző mindegyike ugyanarra a színházi előadásra kap egy-egy jutalomjegyet. Hányféle kimenetele lehet ekkor a versenyen a jutalmazásnak? 4 pont
b.
A dobogósok három különböző értékű könyvutalványt, a különdíjasok egyike egy színházjegyet, a másik egy hangversenyjegyet kap. Hányféle módon alakulhat ekkor a jutalmazás? 4 pont
c. Ha már eldőlt, kik a rangsorolt versenyzők, hányféle módon oszthatnak ki nekik jutalmul öt különböző verseskötetet? 3 pont d. Kis Anna a döntő egyik résztvevője. Ha feltesszük, hogy a résztvevők egyenlő eséllyel versenyeznek, mekkora a valószínűsége, hogy Kis Anna eléri a három dobogós hely egyikét, illetve hogy az öt rangsorolt személy egyike lesz? 3pont 42.
Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek felhasználásával ötjegyű számokat készítünk az összes lehetséges módon (egy számjegyet többször is felhasználhatunk). Ezek között hány olyan szám van, a. amely öt azonos számjegyből áll;
3 pont
b. amelyik páros;
4 pont
c. amelyik 4-gyel osztható?
5 pont
3.
V:\11A\kombinatorika_vegleges.doc 43.
Októberben az iskolában hat osztály nevezett be a focibajnokságra egy-egy csapattal. Hány mérkőzést kell lejátszani, ha mindenki mindenkivel játszik, és szerveznek visszavágókat is? 3 pont
44.
A városi középiskolás egyéni teniszbajnokság egyik csoportjába hatan kerültek: András, Béla, Csaba, Dani, Ede és Feri. A versenykiírás szerint bármely két fiúnak pontosan egyszer kell játszania egymással. Eddig András már játszott Bélával, Danival és Ferivel. Béla játszott már Edével is. Csaba csak Edével játszott, Dani pedig Andráson kívül csak Ferivel. Ede és Feri egyaránt két mérkőzésen van túl. a. Szemléltesse gráffal a lejátszott mérkőzéseket! b.
Hány mérkőzés van még hátra?
4 pont 3 pont
c. Hány olyan sorrend alakulhat ki, ahol a hat versenyző közül Dani az első két hely valamelyikén végez? 5 pont 45.
Hányféle kétjegyű/háromjegyű/négyjegyű szám készíthető csak páros jegyekből?
46.
Hányféleképp rendezhető sorba 12 elem? És ha van köztük három egyforma?
47.
Hányféleképp lehet felöltözni 4 nyakkendő és 10 ingből, ha a piros nyakkendőhöz nem vehető fel se a lila, se a rózsaszín ing?
48.
Hányféleképp lehet 10 színből kiválasztani négyet?
49.
Hányféleképp tölthető ki a lottó? És a totó? És a legyen Ön is milliomos?
50.
Egy osztályban 10 fiú, 12 lány. Hányféleképp választható ki 2 fiú+2 lány belőlük?
51.
Hány meccs 20 csapat között, ha mindenki mindenkivel?
52.
Hányféleképp lehet egy első, két második és három harmadik helyet kiosztani 21 film között?
53.
Egy álláshirdetésre 16-an jelentkeznek, de csak 2 főt vesznek föl. Hányféleképpen választhatják ki a 2 új alkalmazottat?
54.
Az autóbuszokon a jegyeket olyan lyukasztókkal kezelik, melyek az ábrán látható négyzethálózatból a. 2, b. 3, c. 4 mezőt lyukasztanak ki. Hányféle módon állíthatók be a lyukasztók a követelményeknek megfelelően?
55.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Picurka ország lakói olyan lottón játszanak, ahol az 1; 2; …; 45 számok közül húznak ki kettőt (a szelvényen két számot kell megjelölni). A lakosok rájöttek, hogy ha mindenki egy szelvényt tölt ki a többiekétől különböző módon, akkor még lehet olyan számpárt kihúzni, amely egyik szelvényen sem szerepel. Legfeljebb hány lakosa lehet Picurka országnak?
56.
Hányféleképpen tölthető ki a lottószelvény, ha 90 számból 5-öt kell kiválasztani? Lekezeléses és körmérkőzéses feladatok
4.
V:\11A\kombinatorika_vegleges.doc 57.
Egy ötszemélyes, b. egy hétszemélyes társaságban mindenki mindenkivel kezet fog. Hány kézfogás történik összesen?
58.
Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Hányan voltak a társaságban, ha 136 kézfogásra került sor?
59.
Egy IV. osztályban az érettségi előtt minden tanuló kapott egy-egy fényképet minden társától. Hányan érettségiztek az osztályban, ha összesen 992 fénykép cserélt gazdát?
60.
a. 8, b. 10, c. 14 röplabdacsapat egyfordulós körmérkőzést játszott. Hány mérkőzésre került sor összesen?
61.
Néhány labdarúgócsapat egyfordulós körmérkőzést vívott egymással. Hány csapat játszott, ha összesen 28 mérkőzésre került sor?
62.
Egy labdarúgó-bajnokságon kétfordulós körmérkőzések alapján döntik el a helyezéseket. Hány csapat szerepelt a versenyen, ha összesen 240 mérkőzést játszottak?
63.
Geometriai feladatok
64.
Egy körön kijelölünk a. 4, b. 6, c. 10 pontot. Hány egyenest és hány háromszöget határoznak meg ezek a pontok?
65.
Néhány ponton át, amelyek úgy helyezkednek el, hogy közülük bármely három nem illeszkedik egy egyenesre, meghúzzuk a pontokat páronként összekötő egyeneseket. Hány pont van, ha 105 egyenest tudunk húzni?
66.
Hány egyenest határoznak meg egy szabályos a. hatszög, c. 17 oldalú sokszög csúcsai?
67.
Hány átlója van a konvex húszszögnek?
68.
Legfeljebb hány metszéspontja lehet egyenesnek?
69.
Mintavételes feladatok
70.
Egy dobozban 1-től 20-ig számozott 20 darab cédula van. Hányféleképpen húzhatunk ki öt cédulát úgy, hogy ezek közül: a.
a. 3,
b. hétszög
b. 4,
c. 5,
d. 10
egy cédulán meghatározott szám legyen
b. három cédulán meghatározott szám legyen 71.
Hányféleképpen választhatok ki 9 golyót 6 piros, 5 fehér és 4 kék golyóból úgy, hogy minden színből legyen legalább 3?
72.
Egy csomag magyar kártyából kihúzunk 10 lapot. Hány esetben lesz a kihúzott lapok között a.
legalább 7 zöld,
b.
legfeljebb 7 zöld?
5.
V:\11A\kombinatorika_vegleges.doc 73.
Egy csomag magyar kártyából húzzunk ki találomra 6 lapot. Hány esetben lesz a kihúzott lapok között 2 tízes?
74.
Egy 32 lapos magyar kártyából találomra kihúzunk 8 lapot. Hány esetben lesz a kihúzott lapok között pontosan két piros és két hetes?
75.
Egy mőhelyben egy mőszak alatt elkészített 500 darab zár között 4% selejtes. Hányféleképpen lehet közülük kiválasztani 10 zárat úgy, hogy a.
mind a 10 selejtes legyen,
b. 5 selejtes legyen? 76.
500 játékkockából 40 selejtes. Az 500 játékkockából 20 darabot kivéve hány esetben lesz köztük a.
legalább két selejtes,
b.
legfeljebb 2 selejtes?
Feladatok csoportosításra 77.
Hányféleképpen helyezkedhet el 15 tanuló három darab ötszemélyes csónakban, ha egy egy csónakon belül az elhelyezkedést figyelmen kívül hagyjuk?
78.
11 tanuló három csónakot bérel: egy kétülésest, egy négyülésest és egy ötülésest. a.
Hányféleképpen foglalhatnak helyet a csónakokban?
b.
Hányféleképpen foglalhatnak helyet, ha két tanuló egy csónakba akar kerülni?
c. Hányféleképpen foglalhatnak helyet, ha öt tanuló szeretne egy csónakba ülni? (A csónakon belüli elhelyezkedés közömbös.) 79.
Egy osztályból 15 tanuló kirándulni megy. Az éjszakát egy turistaházban töltik, ahol három négyszemélyes és egy háromszemélyes szobát kapnak. a. Hányféleképpen helyezkedhetnek el, ha a szobákon belüli elhelyezkedést nem vesszük figyelembe? b. Hányféleképpen helyezkedhetnek el, ha a szobákon belüli elhelyezkedést is figyelembe vesszük? Némi furfangot igénylő feladatok
80.
Egy dobozban 15 cédula van 1-től 15-ig megszámozva. Kihúzunk 5 cédulát visszatevés nélkül. Hány esetben lesz a kihúzott legkisebb szám nagyobb 5-nél? (A húzás sorrendje nem számít!)
81.
Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számjegyekből hányféleképpen tudok kiválasztani hármat úgy, hogy ne legyen közöttük 3, 5 és 7, és minden számot csak egyszer választhatok.
82.
Egy pályázatra 15 pályamő érkezett. Három pályamunkát díjaznak, egyenként 3000 dinárral. Hányféleképpen lehet a díjakat kiadni, ha a díjakat megosztani nem lehet?
6.
V:\11A\kombinatorika_vegleges.doc 83.
Egy pályázatra 25 pályamunka érkezett. Egy első, két második és három harmadik díjat adnak ki. (A díjakat megosztani nem lehet.) Hányféleképpen lehet a díjakat kiadni?
84.
Egy 32-es létszámú osztály, amelynek Nagy Pál is tagja, diákbizottságot választ. A bizottság összetétele: 1 titkár és 4 bizottsági tag. Hány olyan eset lehetséges, amikor Nagy Pál a.
titkára a bizottságnak,
b.
nem titkárként tagja a bizottságnak?
85.
Az iskolai matematikaversenyen a IV.-esek közül nyolcan, Anna, Béla, Csaba, Dóra, Éva, Ferenc, Gábor és Helga indultak. Az első három könyvjutalmat kap. (Nincs holtverseny.) Hány esetben lehet pontosan két lány a jutalmazottak között?
86.
Egy úszóversenyen a 8-as döntőbe 1 angol, 1 francia, 3 német, 2 magyar és 1 orosz versenyző került. Hány esetben kerülhet magyar versenyző a dobogóra?
87.
Egy pályázatra 20 pályamű érkezett, amelyek közül 9-et nők és 11-et férfiak küldtek be. Három pályamunkát díjaznak, egyenként 5000 dinárral. (A díjat megosztani nem lehet.) a. Hány esetben lehet a díjazottak között egy nő? b. Hány esetben lehet a díjazottak között három férfi?
88.
Egy osztály tanulói közül 17 fiú és 18 lány. Közülük 4 fiú és 4 lány együtt megy moziba. Hányféleképpen lehetséges ez?
89.
A minden lehetséges módon kitöltött lottószelvények között hány a. kéttalálatos, b. háromtalálatos,
90.
c.
négytalálatos,
d.
öttalálatos szelvény van? (90 számból 5-öthúznak ki.)
Hány olyan hétjegyű szám van, amelynek számjegyei csökkenő sorrendben következnek egymás után, egyenlő számjegyeket nem engedve meg?
Forrás: Forrás: Kosztolányi–Mike–Palánkainé–Szederkényiné–Vincze: Matematika összefoglaló feladatgyűjtemény 10–14 éveseknek, Mozaik Oktatási Stúdió, Szeged, 1993 Bartha–Bogdán–Csúri–Duró–Gyapjasné–Kántorné–Pintérné: Matematika feladatgyűjtemény I., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996 Sain Márton (szerk.): Matematika feladatgyűjtemény III., Tankönyvkiadó, 1975 Gimes Györgyné (szerk.): Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983 Hajdú Sándor (szerk.): Matematika feladatgyűjtemény, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1993 Solt György: Valószínűségszámítás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973
7.
V:\11A\kombinatorika_vegleges.doc
8.
