Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch ˇ ´ıhova´ Helena R FBMI
26. za´rˇ´ı 2010
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
26. za´rˇ´ı 2010
1 / 16
Obsah
1
Limita Definice limity Parcia´lnı´ derivace Tecˇna´ rovina, tota´lnı´ diferencia´l Derivace slozˇene´ funkce Literatura
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
26. za´rˇ´ı 2010
2 / 16
Definice limity
Definice ◮ Je da´na funkce f : Df ⊂ Rn → R, bod A je hromadny´ bod Df , ˇ ekneme, zˇe funkce f ma´ v bodeˇ mu˚zˇe ale nemusı´ patrˇit do Df . R ◦
A ∈ Rn limitu L ∈ R, jestlizˇe ke ∀ Uε (L) ∃ okolı´ U δ (A) tak, zˇe pro ◦
∀ X ∈ U δ (A) ∩ Df je f(X) ∈ Uε (L). Tj. ke ε > 0 ∃ δ > 0 tak, zˇe pro ∀ X ∈ Df ; |f(X) − L| < ε. Pı´sˇeme:
0 < d(X, A) < δ je
lim f(X) = L
X→A
Funkce ma´ nejvy´sˇ jednu limitu!
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
◭
26. za´rˇ´ı 2010
3 / 16
Veˇty o limita´ch Veˇta o soucˇtu, rozdı´lu, soucˇinu a podı´lu limit je stejna´ jako u funkce jedne´ promeˇnne´. Veˇta ◮ 1)
◦
Je-li f omezena´ na U δ (A) ⊂ Df a za´rovenˇ lim g(x) = 0, pak X→A
lim f(x) · g(x) = 0.
X→A
2)
◦
Necht’existuje lim h(t), lim f(X) = b a existuje U δ (A), X→A
t→b
◦
zˇe pro ∀ X ∈ U δ (A) je f(X) 6= b. Pak lim h(f(X)) = lim h(t).
X→A
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
◭
t→b
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
26. za´rˇ´ı 2010
4 / 16
Prˇ´ıklad
sin(x2 + y2 + z2 ) X→O x2 + y2 + z2
Prˇ´ıklad: ◮ Urcˇete lim Rˇesˇenı´ :
sin(x2 + y2 + z2 ) lim = X→O x2 + y2 + z2
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
t = x2 + y2 + z2 t→0
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
= lim t→0
sin t = 1. t
26. za´rˇ´ı 2010
◭
5 / 16
Spojitost
Definice ˇ ekneme, zˇe f je ◮ Je da´na funkce f : Df ⊂ Rn → R; A ∈ Df . R spojita´ v bodeˇ A, jestlizˇe ke ∀ Uε (f(A)) ∃ Uδ (A) tak, zˇe platı´: Je-li X ∈ Df ∩ Uδ (A) ⇒ f(X) ∈ Uε (f(A)). Jiny´mi slovy: ke ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tak, zˇe pro ∀ X ∈ Df ; d(X, A) < δ je |f(X) − f(A)| < ε.
◭
Za´veˇr: Funkce f je spojita´ v bodeˇ A ∈ Df , pra´veˇ kdyzˇ A je izolovany´ bod Df , nebo A je hromadny´ a lim f(X) = f(A). X→A
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
26. za´rˇ´ı 2010
6 / 16
Parcia´lnı´ derivace Definice ◮ Je da´na funkce z = f(x, y), bod A = [a, b] je vnitrˇnı´ bod definicˇnı´ho oboru. Potom parcia´lnı´ derivace funkce f podle promeˇnne´ x je fx′ (A) =
f(a + h, b) − f(a, b) ∂f (A) = lim , za prˇedpokladu, ∂x h h→0
zˇe limita existuje. Podobneˇ parcia´lnı´ derivace funkce f podle promeˇnne´ y je fy′ (A) =
∂f f(a, b + h) − f(a, b) (A) = lim , za prˇedpokladu, ∂y h h→0
zˇe limita existuje.
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
◭
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
26. za´rˇ´ı 2010
7 / 16
Geometricky´ vy´znam parcia´lnı´ derivace U funkce jedne´ promeˇnne´ byla derivace f ′ (x)|x=a cˇ´ıselneˇ rovna smeˇrnici tecˇny ke grafu funkce f v bodeˇ a. y
f(x) t f ′ (a) = tan α T
f(a)
α a
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
x
26. za´rˇ´ı 2010
8 / 16
Geometricky´ vy´znam parcia´lnı´ derivace z z = f(x, y)
T
β T1
x ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
tan β =
y ∂f (T1 ) ∂y
α tan α = ∂f (T ) 1 ∂x Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
26. za´rˇ´ı 2010
9 / 16
Geometricky´ vy´znam parcia´lnı´ derivace,tecˇna´ rovina
Parcia´lnı´ derivace funkce f(x, y) podle x je cˇ´ıselneˇ rovna smeˇrnici tecˇny ke grafu funkce ve smeˇru osy x, podobneˇ pro promeˇnnou y, viz obra´zek.
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
26. za´rˇ´ı 2010
10 / 16
Tecˇna´ rovina, tota´lnı´ diferencia´l Definice ◮ Prˇedpokla´da´me, zˇe funkce f(x, y) je definova´na v neˇjake´m okolı´ ˇ ´ıka´me, zˇe bodu A[ a, b]. R z = p(x − a) + q(y − b) + f(a, b),
p, q ∈ R je tecˇna´ rovina
k plosˇe z = f(x, y) v bodeˇ T[ a, b, f(a, b)], jestlizˇe r(x, y) lim = 0, kde r(x, y) = f(x, y) − f(a, b) − p(x − a) − q(y − b). ◭ X→A d(X, A) Definice ◮ Prˇedpokla´da´me, zˇe funkce f(x, y) je definova´na v neˇjake´m okolı´ ˇ ´ıka´me, zˇe funkce f je diferencovatelna´ v bodeˇ A bodu A[ a, b]. R (ma´ v bodeˇ A tota´lnı´ diferencia´l), jestlizˇe existuje linea´rnı´ funkce p(x − a) + q(y − b), ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
p, q ∈ R takova´, Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
26. za´rˇ´ı 2010
11 / 16
Tecˇna´ rovina, tota´lnı´ diferencia´l
zˇe funkce r(x, y), definovana´ vy´sˇe, splnˇuje r(x, y) lim = 0. X→A d(X, A) Pak funkci p(x − a) + q(y − b) nazy´va´me tota´lnı´ diferencia´l funkce f v bodeˇ A a znacˇ´ıme df, dz, df(X, A). df(X, A) = p(x − a) + q(y − b),
p, q ∈ R.
◭
Platı´ Ma´-li plocha z = f(x, y) v bodeˇ T[a, b, f(a, b)] tecˇnou rovinu (nikoli rovnobeˇzˇnou s osou z), pak ma´ funkce z = f(x, y) v bodeˇ A[a, b] tota´lnı´ diferencia´l a naopak.
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
26. za´rˇ´ı 2010
12 / 16
Tota´lnı´ diferencia´l
Veˇta ◮ Necht’funkce f ma´ v bodeˇ A tota´lnı´ diferencia´l, pak je v bodeˇ A spojita´.
◭
Veˇta ◮ Necht’funkce f ma´ v bodeˇ A tota´lnı´ diferencia´l, pak ma´ v bodeˇ A parcia´lnı´ derivace a platı´: p=
∂f (A) ∂x
q=
∂f (A), ∂y
tj.
df(X, A) = fx′ (A)(x − a) + fy′ (A)(y − b). ◭
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
26. za´rˇ´ı 2010
13 / 16
Tota´lnı´ diferencia´l
Veˇta ◮ Necht’funkce f ma´ v Uδ (A) parcia´lnı´ derivace fx′ (X), fy′ (X) a tyto derivace jsou spojite´ v A. Pak ma´ f v bodeˇ A tota´lnı´ diferencia´l (je v bodeˇ A diferencovatelna´). ◭ Platı´ Tota´lnı´ diferencia´l mu˚zˇeme psa´t ve tvaru df(X, A) = fx′ (A)dx + fy′ (A)dy,
prˇicˇemzˇ dx, dy
jsou tota´lnı´ diferencia´ly funkcı´ ϕ(x, y) = x, ψ(x, y) = y.
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
26. za´rˇ´ı 2010
14 / 16
Derivace slozˇene´ funkce
Veˇta ◮ Necht’ f, g majı´ tota´lnı´ diferencia´l v bodeˇ A, necht’ h ma´ tota´lnı´ diferencia´l v bodeˇ B = [f(A), g(A)]. Pak slozˇena´ funkce h(f, g) ma´ tota´lnı´ diferencia´l v bodeˇ A a platı´ ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z (A) = (B) (A) + (B) (A) ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v (A) = (B) (A) + (B) (A) ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y kde z = h(u, v), u = f(x, y), v = g(x, y)
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
◭
26. za´rˇ´ı 2010
15 / 16
Pouzˇita´ literatura
[1] J. Hamhalter, J. Tisˇer: Diferencia´lnı´ pocˇet funkcı´ vı´ce promeˇnny´ch, skriptum CˇVUT, 2005 [2] J. Hamhalter, J. Tisˇer: Integra´lnı´ pocˇet funkcı´ vı´ce promeˇnny´ch, skriptum CˇVUT, 2005 ˇ ady, skriptum CˇVUT, 2005 [3] L. Pru˚cha: R
ˇ ı´hova´ (CˇVUT) Helena R
Limita funkce vı´ce promeˇnny´ch
26. za´rˇ´ı 2010
16 / 16
