15

Teori Himpunan Author-IKN MUG2B3/ Logika Matematika

1

9/8/15

Materi Jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Hukum-Hukum Operasi Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan

2

9/8/15

MUG2B3/ Logika Matematika

Teori Himpunan Himpunan – Sekumpulan elemen unik, terpisah, dan tanpa urutan tertentu. – contoh: himpunan mahasiswa IK

Notasi – x  D artinya “x adalah elemen himpunan D” – x  D artinya “x bukan elemen himpunan D”

3

9/8/15


Representasi Himpunan Enumerasi/eksplisit – Contoh: D = {a,b,c,d}

Implisit – Contoh: D = {1,2,3,…}

Notasi Baku – N = himpunan bilangan asli – Z = himpunan bilangan bulat – Q = himpunan bilangan rasional – R = himpunan bilangan real – C = himpunan bilangan kompleks 4

9/8/15


Representasi Himpunan Notasi pembentuk himpunan – Contoh: D = {x|x  Z, 0<x<10}

Diagram Venn

5

9/8/15


Kardinalitas Definisi – Kardinalitas (bilangan kardinal) dari sebuah himpunan adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut. – Kardinalitas himpunan A dinotasikan |A|

Contoh: – Jika A = {a,b,c,d}, maka |A| = 4 – Jika N = {x|x2 – 8x + 12 = 0}, maka |N| = 2

6

9/8/15


Relasi Himpunan Himpunan Semesta (Universal) – Himpunan yang anggotanya merupakan semua objek yang mungkin ada. – Dinotasikan dengan S atau U

Himpunan Kosong (Null Set) – Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki elemen. – Dinotasikan dengan {} atau  – Contoh: F = {x|x < x}

7

9/8/15


Relasi Himpunan Himpunan Bagian (Subset) – A dikatakan himpunan bagian (subset) dari B jika hanya jika setiap anggota A merupakan anggota B dan dilambangkan dengan A  B. – Contoh:  Himpunan B = {c,d} merupakan himpunan bagian dari himpunan A = {a,b,c,d}.

8

9/8/15


Relasi Himpunan Himpunan Sama – Himpunan A dan B dikatakan sama dan dinotasikan A = B, jika dan hanya jika A  B dan B  A. – Contoh:  Himpunan A = {a,b,c,d} dan B = {b,c,a,d} adalah himpunan yang sama

9

9/8/15


Relasi Himpunan Himpunan Bagian Sejati (Proper Subset) – Himpunan A dikatakan himpunan bagian sejati (proper subset) dari B jika A  B dan minimal ada satu anggota B yang bukan anggota A, biasa ditulis A  B. – Contoh:  Himpunan A = {c,d} merupakan himpunan bagian dari himpunan B = {a,b,c,d}.

10

9/8/15


Relasi Himpunan Himpunan Kuasa (Power Set) – Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang memuat semua himpunan bagian S. – Himpunan kuasa S dinotasikan sebagai P(S). – Contoh:  Himpunan A = {a,1,2} memiliki himpunan bagian : {a},{1},{2},{a,1},{a,2},{1,2},{a,1,2}  Maka P(A) = {,{a},{1},{2},{a,1},{a,2},{1,2},{a,1,2}}

– Kardinalitas untuk himpunan kuasa P(S) adalah P(S)| = 2|S|

11

9/8/15

,

|


Relasi Himpunan Himpunan Berpotongan – Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada elemen A yang menjadi elemen B. – Contoh:  A = {x|x2 – 8x + 12 = 0} dan B = {x|x2 – 4 = 0} berpotongan  P = {x|x2 – 8x + 12 = 0} dan Q = {1,3,5} tidak berpotongan

12

9/8/15


Relasi Himpunan Himpunan Saling Lepas – Himpunan A dan B dikatakan saling lepas dan dinotasikan A||B jika dan hanya jika kedua himpunan tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama – Contoh:  A = {x|x2 – 8x + 12 = 0} dan B = {x|x2 – 4 = 0} tidak saling lepas  P = {x|x2 – 8x + 12 = 0} dan Q = {1,3,5} saling lepas

13

9/8/15


Relasi Himpunan Himpunan Ekivalen – Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jika hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut sama – Contoh:  Himpunan A = {1,2,3,4} dan B = {a,b,c,d} adalah himpunan ekivalen  Himpunan P = {a,b,c} dan Q = {p,q,r,s} adalah himpunan tak ekivalen

14

9/8/15


Operasi Himpunan Gabungan (Union) – Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya. – Secara notasi dapat ditulis A  B = {x|x  A ∨ x  B} – Contoh: P

 Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka Q = {a,b,c,d,e,f}

– A  B dan B  A merupakan dua himpunan yang sama. – Kedua himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A  B.

15

9/8/15


Operasi Himpunan Irisan (Intersection) – Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. – Secara notasi dapat ditulis A  B = {x|x  A ∧ x  B} – Contoh:  Jika P = {a,b,c} dan Q = {1,2}, maka P  Q = .  Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka P  Q = {c,d}

– A  B dan B  A merupakan dua himpunan yang sama. – Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A  B.

16

9/8/15


Operasi Himpunan Komplemen – Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan semua elemen dalam semesta yang bukan elemen A. – Secara notasi dapat ditulis Ac = {x|x  S ∧ x  A} – Contoh:  Jika P = {a,b,c} dan S= {a,b,c,d,e,f,g}, maka Pc ={d,e,f,g}

– A  Ac = S dan A  Ac =  – Sc =  dan c = S – (Ac) c = A

17

9/8/15


Operasi Himpunan Selisih (Difference) – Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen A yang bukan elemen B. – Secara notasi dapat ditulis A – B atau A/B A – B = {x|x  A ∧ x  B} – Contoh:  Jika P = {a,b,c} dan Q= {1,2}, maka P – Q = P  Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka P – Q = {a,b}

– A – B dan A  Bc merupakan himpunan yang sama.

18

9/8/15


Operasi Himpunan Selisih Simetris (Symmetric Difference) – Perbedaan simetris himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya. – Secara notasi dapat ditulis A  B = {x|(x  A ∨ x  B) ∧ (x  (A  B))} – Contoh:  Jika P = {2,4,6} dan Q= {2,3,5}, maka P  Q = {3,4,5,6}

19

9/8/15


Diagram Venn Gabungan –A  B

Irisan –A  B

21

9/8/15


Diagram Venn Komplemen – Ac

Selisih –A – B

22

9/8/15


Diagram Venn Perbedaan Simetri –A  B

23

9/8/15


Latihan Soal Misalkan himpunan semesta S = {1,2,3,…,10}, A = {2,4,7,9}, B = {1,4,6,7,10}, dan C= {3,5,7,9}. Tentukan himpunan hasil operasi, serta gambar diagram Venn-nya.

24

9/8/15


Latihan Soal Diketahui himpunan A = {a,b,1,2,3}, = {a,2,4,5}

B

– Tentukan A  B, A  B, A – B, B – A, A  B. – Hitunglah |A|, |B|, |A  B|, |A  B|. – Tentukan himpunan P(A  B) dan P(A)  P(B).

25

9/8/15


Latihan Soal Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orang memiliki radio, 18 orang memiliki TV, 39 orang memiliki tape, 10 orang memiliki radio dan TV, 12 orang memiliki TV dan tape, 30 orang memiliki radio dan tape, dan 6 orang memiliki ketiganya. – Berapa orang yang hanya memiliki tape? – Berapa orang yang tidak memiliki satupun? – Berapa orang yang memiliki radio dan TV tapi tidak memiliki tape – Berapa orang yang hanya memiliki satu macam saja?

26

9/8/15


Hukum-Hukum Operasi Himpunan Hukum Komutatif –A  B = B  A –A  B = B  A

Hukum Asosiatif – (A  B)  C = A  (B  C) – (A  B)  C = A  (B  C)

Hukum Distributif – A  (B  C) = (A  B)  (A  C) – A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

27

9/8/15


Hukum-Hukum Operasi Himpunan Hukum Identitas –A   = A –A  S = A

Hukum Komplemen – A  Ac = S – A  Ac = 

Hukum Dobel Komplemen – (Ac)c = A

28

9/8/15


Hukum-hukum Operasi Himpunan Hukum Idempotent –A  A = A –A  A = A

Hukum Dominasi –A  S = S –A   = 

Hukum De Morgan – (A  B)c = Ac  Bc – (A  B)c = Ac  Bc

29

9/8/15


Hukum-Hukum Operasi Himpunan Hukum Penyerapan/ Absorpsi – A  (A  B) = A – A  (A  B) = A

Komplemen S dan  – Sc =  – c = S

Hukum Selisih Himpunan – A – B = A  Bc

30

9/8/15


Pembuktian Prosisi Himpunan Pembuktian dengan Diagram Venn – Tunjukkan bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

31

9/8/15


Pembuktian Prosisi Himpunan Pembuktian dengan Tabel Keanggotaan – Tunjukkan bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

32

9/8/15


Pembuktian Prosisi Himpunan Pembuktian dengan Aljabar Himpunan – Tunjukkan bahwa (A  (B  C))c = (Cc  Bc)  Ac  (A  (B  C))c 

33

= Ac  (B  C)c = Ac  (Bc  Cc)

(hukum De Morgan) (hukum De Morgan)



= (Bc  Cc)  Ac

(hukum komutatif)



= (Cc  Bc)  Ac

(hukum komutatif)

9/8/15


Latihan Soal Buktikan hukum De Morgan dengan menggunakan tabel keanggotaan

34

9/8/15


Representasi Komputer untuk Himpunan Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasi dalam sebuah komputer? Himpunan didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu pada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini terdapat pengecualian terhadap aturan umum mengenai urutan elemen.

35

9/8/15


Representasi Komputer untuk Himpunan Himpunan A direpresentasikan dengan sebuah string n bits, {b1 b2 … bn}, dimana n adalah bilangan kardinal dari S. Aturan pengisian nilai – bi = 1 jika elemen ke-i dari S berada dalam A – bi = 0 jika elemen ke-i dari S tidak berada dalam A

36

9/8/15


Representasi Komputer untuk Himpunan Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} – Tentukan representasi dari {2,3,5,7} sebagai sebuah bit string. – Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string 1001011011.

Jawaban: – 0110101000 – {1,4,6,7,9,10}

37

9/8/15


Representasi Komputer untuk Himpunan Operasi – Irisan, gabungan dan komplemen dapat dinyatakan dalam bit string.

Proses perhitungan – Operasi untuk mendapatkan bit string dari A  B disebut operasi bitwise and. – Operasi untuk mendapatkan bit string dari A  B disebut operasi bitwise or. – Operasi untuk mendapatkan bit string dari Ac disebut operasi bitwise not.

38

9/8/15


Representasi Komputer untuk Himpunan Contoh – Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bit string untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bit string untuk: A  B, A  B, dan Ac.

Jawab – A  B = 00100100 – A  B = 10101111 – Ac = 11010001

39

9/8/15


Latihan

40

9/8/15


Latihan

41

9/8/15


Latihan

42

9/8/15


Latihan

43

9/8/15


Latihan

44

9/8/15


Latihan

45

9/8/15


Latihan

46

9/8/15


Latihan

47

9/8/15


9/8/15 48

THANK YOU

15

Recommend Documents