15

Turunan Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII

January 8, 2015

Ayundyah Kesumawati (UII)

Turunan

January 8, 2015

1 / 15

Sub Materi Turunan : a. Turunan Fungsi b. Turunan Tingkat Tinggi c. Teorema Taylor dan McLaurin d. Aturan L’Hopital e. Teorema Rolle dan Teorema Nilai Antara


Turunan

January 8, 2015

2 / 15

Turunan Fungsi Fungsi Invers Misalkan f (x), x ∈ Df fungsi kontinu, satu-satu dan diferensiabel untuk setiap x ∈ Df , dan inversnya f −1 (x). Jika f diferensiabel, dengan f 0 (x) 6= 0, maka fungsi f −1 juga diferensiabel dengan aturan turunan sebagai berikut. Misalkan f −1 = g maka f (g (x)) = x, karena f dan g diferensiabel, amka derivatif kedua ruas terhadap x adalah f 0 (g (x))g 0 (x) = 1 g 0 (x) =

1 f 0 (g (x))

1 f 0 (f −1 (x)) dy 1 dengan menggunakan notasi Leibniz = dy dx dx Contoh Tentukan turunan dari fungsi invers y = x 2 , x ≥ 0. (f −1 )0 (x) =


Turunan

January 8, 2015

3 / 15

Fungsi Parameter Definisi Fungsi Parameter Jika suatu fungsi disajikan dengan x = f (t) t ∈ Domain y = g (t) Dengan x dan y keduanya diferensiabel terhadap t, dan dx dt 6= 0, maka fungsi y diferensiabel terhadap x, yang didefinisikan dengan dy = dx Contoh dy dari fungsi parameter Tentukan dx


dy dt dx dt

x= y=

Turunan

t−1 t+1 t+1 t−1

t ∈ R{−1, 1}

January 8, 2015

4 / 15

Fungsi Implisit Misalkan diketahui y sebagai fungsi x yang memenuhi dy dari fungsi tersebut. 3x 2 y − 4xy − 3x 2 + 1 = 0, dan akan ditentukan dx Secara intuitif, pertama yang akan dilakukan adalah mencari solusi y dari persamaan itu, yaitu: 3x 2 y − 4xy − 3x 2 + 1 = 0 ⇔ (3x − 4)xy − 3x 2 + 1 = 0 ⇔ y =

3x 2 − 1 x(3x − 4)

dy 3x 2 − 1 dari y = . dx x(3x − 4) Permasalahannya, tidak semua fungsi dengan relasi F (x, y ) = C dapat dibawa ke bentuk y = f (x). Fungsi F (x, y ) = C disebut fungsi berbentuk implisit (fungsi Implisit) sedangkan y = f (x) disebut fungsi eksplisit.

Berikutnya baru kita menentukan


Turunan

January 8, 2015

5 / 15

dy jika yang diketahui F (x, y ) tanpa terlebih dx dahulu mengubah ke bentuk y = f (x) ? Dengan selalu beranggapan bahwa y merupakan fungsi dari x, maka dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: Bagaimanan menentukan

i. Turunkan kedua ruas dari F (x, y ) = C terhadap x ii. Ganti y dafri hasil akhir (bila ada) dengan bentuk fungsi awal. Cara seperti diatas, disebut Turunan Implisit


Turunan

January 8, 2015

6 / 15

Penggunaan turunan implisit untuk menyelesaikan 3x 2 y − 4xy − 3x 2 + 1 = 0 d d 3x 2 y − 4xy − 3x 2 + 1 = (0) dx dx d d d d 3x 2 y − (4xy ) − 3x 2 + (1) = 0 dx dx dx dx dy dy 6xy + 3x 2 − 4y − 4x − 6x = 0 dx dx dy 3x 2 − 4x = 6x + 4y − 6xy dx dy 6x + 4y − 6xy = dx 3x 2 − 4x Bila disubtitusi nilai y =

3x 2 − 1 dy 6x + 4y − 6xy ke dalam = , x(3x − 4) dx 3x 2 − 4x

diperoleh dy −12x 2 + 6x − 4 = dx x 2 (3x − 4)2 Ayundyah Kesumawati (UII)

Turunan

January 8, 2015

7 / 15

Fungi Trigonometri d 1. (sinx) = cosx dx d 2. (cosx) = −sinx dx d (tanx) = sec 2 x 3. dx d 4. (cotx) = −csc 2 x dx d (secx) = secxtanx 4. dx d 4. (cscx) = −cscxcotx dx


Turunan

January 8, 2015

8 / 15

Fungsi Logaritma Bila a < 0 dan a 6= 1, maka fungsi eksponensial f (x) = ax , merupakan fungsi naik atau turun, sehingga merupakan fungsi satu-satu. Jadi f (x) = ax mempunyai fungsi invers yang disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok a. Jika digunakan definisi invers f −1 (x) = y ⇔ x = f (y ) maka a

log x = y ⇔ ay = x

Logaritma dengan bilangan pokok e disebut logaritma natural yaitu x = lnx. Sifat logaritma natural:

e log

1. lnx = y ⇔ x = e y 2. lne x = x, x ∈ R 3. e lnx = x Ayundyah Kesumawati (UII)

Turunan

January 8, 2015

9 / 15

Turunan Tingkat Tinggi Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f 0 . Jika f 0 dideferensiasikan akan menghasilkan fungsi lain, dinyatakan dengan f 00 dan disebut turunan kedua dari f , dan seterusnya. Jika, sebagai contoh f (x) = 2x 3 − 4x 2 + 7x − 8 maka f 0 (x) = 6x 2 − 8x + 7 f 00 (x) = 12x − 8 f 000 (x) = 12 f 4 (x) = 0 karena turunan fungsi nol adalah nol, turunan keempat dan turunan-turunan yang lebih tinggi dari f akan nol. Ayundyah Kesumawati (UII)

Turunan

January 8, 2015

10 / 15

Teorema nilai Rata-rata Misalkan fungsi f kontinu pada [a, b] dan diferensiabel pada (a, b), maka terdapat c ∈ (a, b) sehingga f 0 (c) =

f (b) − f (a) b−a

Teorema Rolle Misalkan fungsi f kontinu pada [a, b] dan diferensiabel pada (a, b) serta f (a) = f (b). Maka terdapat c ∈ (a, b) sehingga f 0 (c) = 0.


Turunan

January 8, 2015

11 / 15

Teorema Taylor Misalkan fungsi f n kontinu pada [a, b] dan fungsi f n+1 terdiferensilakan pada (a, b). Maka terdapat suatu c ∈ (a, b) sehingga f (b) = f (a) + f 0 (a)(b − a) +

f n (a) f n+1 (a) f 00 (a) (b − a)2 + ... + (b − a)n + 2! n! n + 1!

Teorema McLaurin Teorema ini merupakan kasus khusus dari Teorema Taylor untuk a = 0 maka kita akan peroleh f (0) + f 0 (0)b +


f 00 (0) 2 f 00 (0) 3 b + b + ... 2! 3!

Turunan

January 8, 2015

12 / 15

Aturan L’Hopital Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0 Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 dengan menggunakan aturan L’Hopital. Bagaimana jika dihadapkan pada limit-limit berikut f (x) − f (c) sin x x3 − 1 , lim , lim x→c x→0 x x→1 x − 1 x −c Ketiga limit diatas mempunyai kemiripan, yaitu pembilang dan penyebutnya sama-sama menuju 0. Ketiga limit di atas merupakan limit bentuk tak tentu tipe 0/0 Catatan lim

Ketika kita membahas sistem bilangan real, 0/0 tidak didefinisikan yang sedang kita bahas adalah limit ”bentuk tak tentu 0/0”, bukan 0/0. Limit tsb disebut ”bentuk tak tentu”, karena nilainya memang tak tentu (bisa ada, bisa tidak; dan kalaupun ada, bisa berbeda antara satu bentuk 0/0 dan bentuk 0/0 lainnya). Ayundyah Kesumawati (UII)

Turunan

January 8, 2015

13 / 15

Aturan L’Hopital Misalkan limx→c f (x) = limx→c g (x) = 0. Jika limx→c

f 0 (x) ada g 0 (x)

(terhingga atau tak terhingga), maka lim

x→c

f (x) f 0 (x) = lim 0 g (x) x→c g (x)

Contoh Hitung: 1. limx→0 2. limx→0 3. limx→1

x3 − 1 x −1 x − sin x x − sin x , limx→0 2 x x3 2 ln x x2 − 1


Turunan

January 8, 2015

14 / 15

Bentuk Tak Tentu Lainnya Menghitung bentuk tak tentu tipe ∞/∞, 0.∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 , dan 1∞ Aturan L’Hopital f 0 (x) Misalkan limx→c f (x) = limx→c g (x) = ∞. Jika limx→c 0 ada g (x) (terhingga atau tak terhingga), maka lim

x→c

f (x) f 0 (x) = lim 0 g (x) x→c g (x)

Contoh Hitung: ex 2x x2 2. limx→0 x , e 3. limx→0+ xln x 1. limx→∞


Turunan

January 8, 2015

15 / 15

15

Recommend Documents