15. Goniometrické funkce

@157

15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě.

pokračování

@160

Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou nebo mírou obloukovou Stupňová míra - plný úhel rozdělíme na 360 dílků – stupně každý stupeň rozdělíme na 60 dílků – minuty každou minutu rozdělíme na 60 dílků – vteřiny

1o ~ jeden stupeň 1’ ~ jedna minuta 1“ ~ jedna vteřina

Oblouková míra - je to délka oblouku jednotkové kružnice příslušné danému úhlu. Je to reálné číslo. Jednotkou je jeden radián. Plný úhel má 2 radiánů. převodní tabulka, kterou byste měli znát více méně zpaměti (lze ji rychle odvodit) stupně 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o radiány 0 /6 /4 /3 /2 3/2  pokračování zpět

360o 2

@162

pokračování zpět

@164a


@164b

Goniometrické funkce obecně


@164c


@167 Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant (významné hodnoty zpaměti, tabulky, kalkulačka). Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v II. kvadrantu?

cos 150o = - cos(180o – 150o) = - cos 30o = - 3/2 pokračování zpět

@170 Určete následující hodnoty a) sin 150o = sin(180o - 150o) = sin 30o = 1/2 b) cos 120o = - cos(180o - 120o) = - cos 60o = - 1/2 c) sin 300o = - sin(360o - 300o) = - sin 60o = - /2 d) cos 315o = cos(360o - 315o) = cos 45o = 2/2 e) sin 225o = - sin(225o - 180o) = - sin 45o = 2/2 f) cos 240o = - cos(240o - 180o) = - cos 60o = - 1/2 Úkol: Znovu si připomeňte definici funkcí sin, cos, tg, cotg a určete definiční obory a obory hodnot. výsledek zpět

@173 Určete následující funkční hodnoty cos(270o)

=0

cos(1575o)

= - 2/2

sin(-2385o) = 2/2

cotg(-3030o) = 3

sin(1380o) = - 3/2

cos(-1260o)

=-1

Úkol: Pokuste se určit u funkcí sin, cos, tg, cotg, zda jsou sudé, liché nebo ani jedno ani druhé. výsledek zpět

@176 průběh funkce tg a cotg


@179 Mezi goniometrickými funkcemi existuje mnoho různých vztahů - identit, vzorců. Při nejrůznějších příležitostech je nutné si umět poradit a převádět jeden výraz v druhý. Příklad: Dokažte, že platí (cos x  0) 1 + tg2x = cos-2x Řešení: Identity se dokazují tak, že se vyjde z jedné strany a postupnými úpravami si dojde ke straně druhé. Nebo se vyjde z obou stran nezávisle a dojde se ke stejnému (třetímu) výrazu.

sin 2 x cos2 x  sin 2 x 1 L  1  tg x  1     cos2 x  P 2 2 2 cos x cos x cos x 2

Příklad: Dokažte, že platí (cos t  0, sin t  1)

cos t 1  sin t  1  sin t cos t

Řešení:

cos t cos t 1  sin t cos t (1  sin t )    1  sin t 1  sin t 1  sin t 1  sin 2 t cos t (1  sin t ) 1  sin t   P cos t cos2 t

L

Úkol: Dokažte, že platí (mají-li obě strany smysl) 2

2

a) (sin x + cos x) + (sin x - cos x) = 2 4

4

2

b) cos x - sin x = 2 cos x - 1

cotg 2 t  1  1  2 sin 2 t c) 2 1  cotg t d)

1 1 2   1  cos x 1  cos x sin2 x 2

2

2

e) tg t . cos t + cos t = 1 výsledek zpět

@182 Velmi důležité vztahy mezi goniometrickými funkcemi formuluje následující věta.

Věta: Součtové vzorce Pro každé  a  platí: i) sin(+ ) = sin  cos  + sin  cos  ii) sin(- ) = sin  cos  - sin  cos  iii) cos(+ ) = cos  cos  - sin  sin  iv) cos(- ) = cos  cos  + sin  sin  důkaz zpět

@185a Ověření podle iv) a známých hodnot cos(x - /2) = cos x cos /2 + sin x sin /2 = = cos x . 0 + sin x . 1 = sin x Zaveďme substituci  = x + /2 tj. x =  – /2 Z právě dokázaného plyne sin x = sin( - /2) = cos(x - /2) = cos( - /2 - /2) = cos( - ) = = cos  cos  + sin  sin  = = cos  . (-1) + sin  . 0 = - cos  Úkol: Z platnosti cos(x - /2) = sin x a sin(x - /2) = - cos x dokažte platnost i) sin(+ ) = sin  cos  + sin  cos  výsledek zpět

@185b L = sin(+ ) = cos(+  - /2) = cos(+ (- /2)) = = cos  cos(- /2) - sin  sin( - /2) = = cos  sin  - sin  (-cos ) = = cos  sin  + sin  cos  = P Tím je dokázána identita i) sin(+ ) = sin  cos  + sin  cos  Úkol: Zbývá dokázat poslední identitu. Dokažte identitu ii) sin(- ) = sin  cos  - sin  cos  výsledek zpět

@189 Platí cos(x + /2) = -sinx ? Ano, platí! L = cos(x + /2) = cosx cos(/2) – sinx sin(/2) = cosx . 0 – sinx . 1 = -sinx = P

Věta: Vzorce pro poloviční úhel Pro každé  platí

| sin

 1  cos  | 2 2

| cos

 1  cos  | 2 2

Důkaz: Víme: pro každé x platí cos2x + sin2x = 1 a cos2x – sin2x = cos2x Použijeme substituci x = /2, abychom do vzorců dostali poloviční úhel cos2(/2) + sin2(/2) = 1 cos2(/2) – sin2(/2) = cos sečteme 2cos2(/2)

= 1 + cos

odečteme 2sin2(/2) = 1 - cos a nyní stačí vydělit 2 a odmocnit Úkol: Proč je ve vzorcích absolutní hodnota? výsledek zpět

@193 Důkaz se provede prostou aplikací součtových vzorců L = sin(+ ) + sin( ) = cos sin + sin cos + cos sin  sin cos = = 2 sin cos= P ATD. Zaveďme substituci x = +  a y =   součtem a rozdílem substitučních vzorců dostaneme  = (x+y)/2 a  = (x-y)/2 Tedy předchozí identitu lze také psát takto:

sin x  sin y  2 sin

x y x y cos 2 2

Úkol: Přepište dle tohoto vzoru i zbývající identity a zformulujte do matematické věty. výsledek zpět

@196 Víte, že platí (; 3/2), (/2; ), cotg  = 12/5 a sin  = 15/17. Určete tg( - ). Tedy úhel  je ve III. kvadrantu a  je ve II. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka). Máme určit tg(   )  tg(   ( )) 

tg  tg (změna znamének, tg je lichá) 1  tg tg

Potřebujeme tedy určit tg  a tg , k čemuž užijeme vztahy tg  = 1/cotg  = 5/12 a tg  = sin /cos  . sin b je zadáno a cos b musíme určit ze vztahu cos2 + sin2 = 1 cos2= 1 – sin2 = (1 - sin )(1 + sin ) = (1 - 15/17)(1 + 15/17) = 82/172 Pro správné odmocnění musíme uvážit, že  je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy cos  = -8/17 => tg  = sin /cos  = (15/17)/(-8/17) = -15/8 Nyní stačí jen dosadit to vzorce a zlomek upravit tg( – ) = 220/21 Úkol: Víte, že platí (/2; ), (0; /2), sin  = 3/5 a cotg  = 8/15. Určete cos(- ). výsledek zpět

@158 Úkol: Dokažte, že platí sin2 + cos2= 1 . výsledek zpět

@160a Zde je ilustrace vztahu mezi obloukovou a stupňovou mírou v sadě obrázků, kružnice má, a musí mít, poloměr 1 (slovy jedna).


@160b


@160c


@160d


@160e


@160f


@160g


@160h Číselnou osu můžeme klidně natáčet dále


@163

Orientovaný úhel Až dosud jste chápali úhel jako průnik či sjednocení dvou polorovin. Takový úhel se nazývá neorinetovaný a jeho velikost může být pouze od 0o do 360o stupňů včetně.

V matematice a aplikacích fyziky používáme ještě jiný mechanizmus vzniku úhlu. Vezmeme dvě polopřímky s počátkem ve stejném bodě. Jednu polopřímku zafixujeme - počáteční rameno, druhou polopřímkou pohybujeme - koncové rameno. Rozlišujeme i směr, jak úhel vznikne otáčením polopřímky, i dovolujeme otočit polopřímkou několikrát kolem dokola. Takový úhel se nazývá orientovaný.

Otočit ramenem lze i několikrát kolem dokola


@165 V různých kvadrantech mají funkce sin, cos, tg, cotg různá znaménka. Je to dáno znaménky souřadnic u a v.

Úkol: Doplňte znaménka do tabulky kvadrant interval sin x cos x tg x cotg x výsledek zpět

I. (0; /2)

II. (/2; )

III. (3/2)

IV. (3/2; 2)

@168a Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v III. kvadrantu?

sin 200o = - sin(200o – 180o) = - sin 20o pokračování zpět

@168b Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v IV. kvadrantu?

cos 300o = cos(360o – 300o) = cos 60o = - 1/2 pokračování zpět

@171

Funkce sin: úhel může být libovolný => definiční obor R 2. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1> Funkce cos: úhel může být libovolný => definiční obor R 1. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1> Funkce tg: musíme vyloučit případy, kdy je cos roven 0, což je v lichých násobcích čísla /2 označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{(2k+1)/2, kC} podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0, může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R Funkce cotg: musíme vyloučit případy, kdy je sin roven 0, což je v sudých násobcích čísla /2 = celočíselné násobky čísla  označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{k, kC} podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0, může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R Poznámka: Funkce periodická je taková, která se pravidelně opakuje. To platí i o funkcích sin, cos, tg, cotg. Jde jen o to, kolikrát otočíme číselnou osou kolem jednotkové kružnice.

Úkol: Vyslovte přesnou definici periodické funkce a určete periodu funkcí sin, cos, tg, cotg. výsledek zpět $ 172 0 0 170

@174


@177

Platí vztahy pro záměnu funkcí sin a cos mezi sebou

 cos x  sin( x  ) 2 pokračování zpět

 sin x  cos( x  ) 2

@180 Dokažte, že platí 2

2

a) (sin x + cos x) + (sin x - cos x) = 2 L = (sin x + cos x)2 + (sin x - cos x)2 = = sin2x +2sinxcosx +cos2x +sin2x -2sinxcosx +cos2x = = 2(sin2x + cos2x) = 2 = P 4

4

2

b) cos x - sin x = 2 cos x - 1 L = cos4x - sin4x = = (cos2x + sin2x)(cos2x - sin2x) = = 1.(cos2x - (1 - cos2x)) = 2 cos2x - 1 = P

cotg 2 t  1  1  2 sin 2 t c) 2 1  cotg t

pro cotg t  ±1, sin x  0

cos2 t 1 cotg 2 t  1 sin 2 t cos2 t  sin 2 t L    (1  sin 2 t)  sin 2 t  2 2 2 2 1  cotg t cos t sin t  cos t 1 sin 2 t  1  2 sin 2 t  P

d)

1 1 2   1  cos x 1  cos x sin2 x L

pro cos x  ±1, sin x  0

1 1 1  cos x  1  cos x 2    P 2 1  cos x 1  cos x 1  cos x sin 2 x

2

2

2

e) tg t . cos t + cos t = 1

pro cos t  0

sin 2 t L  tg t . cos t  cos t  cos2 t  cos2 t  2 cos t 2 2  sin t  cos t  1  P 2


2

2

@183 Důkaz provedeme postupně v opačném pořadí. Je to tak snazší, text věty je zase zvykem uvádět tak, jak jsme to udělali i my. V důkazu iv) se vychází s porovnání vzdálenosti bodů A,B a C,D viz obrázek.

Souřadnice bodů jsou A = [cos sin], B = [cos sin], C = [cos(- ); sin(- )], D = [1; 0] Je zřejmé, že vzdálenost bodů AB je stejná jako bodů CD. Abychom se nemuseli trápit s odmocninou ve vzorci o vzdálenosti bodů, budeme pracovat s její druhou mocninou. |AB|2 = |CD|2 |AB|2 = (cos - cos)2 + (sin - sin)2 = = cos2 - 2coscos + cos2 + sin2 - 2sinsin + sin2 = = (cos2 + sin2) + (cos2 + sin2) - 2(coscos + sinsin) = = 2[1 - (coscos + sinsin)] |CD|2 = (cos(- ) - 1)2 + sin2(- ) = cos2(- ) - 2cos(- ) + 1 + sin2(- ) = = (cos2(- ) + sin2(- )) + 1 - 2cos(- ) = 2[1 - 2cos(- )] Porovnáním těchto dvou výrazů dostáváme platnost identity iv) iv) cos(- ) = cos  cos  + sin  sin  Úkol: Použijte právě dokázanou identitu iv) a znalost o sudosti, lichosti goniometrických funkcí a dokažte platnost iii) cos(+ ) = cos  cos  - sin  sin  výsledek zpět

@186 L = sin(- ) = sin(+(-)) = sin  cos(-) + sin(-) cos  = = sin  cos  - sin  cos  = P Tím je dokázána identita ii) sin(- ) = sin  cos  - sin  cos  Zopakujme ještě jednou čtyři vzorce, které je žádoucí se naučit zpaměti: Součtové vzorce Pro každé  a  platí: i) sin(+ ) = sin  cos  + sin  cos  ii) sin(- ) = sin  cos  - sin  cos  iii) cos(+ ) = cos  cos  - sin  sin  iv) cos(- ) = cos  cos  + sin  sin  Úkol: Pomocí součtových vzorců vyjádřete sin2 a cos2 pomocí sin a cos. Výsledek zformulujte do matematické věty. výsledek zpět

@191

Protože pro každé xR platí 0 

x 2 | x | a nikdy jinak.

Úkol: Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy a) cos(/6 – x) – cos(/6 + x) b) sin(/4 + x) – sin(/4 – x) c) sin 105o d) cos (/12) výsledek zpět

@194

Věta: Vzorce pro součty Pro každé x, y  R platí

x y x y cos 2 2 x y x y sin ii) sin x  sin y  2 cos 2 2 x y x y cos iii) cos x  cos y  2 cos 2 2 x y x y sin iv) cos x  cos y  2 sin 2 2 i) sin x  sin y  2 sin

Úkol: Mají-li obě strany smysl, dokažte, že platí

tg( x  y)  výsledek zpět

tgx  tgy 1  tgx tgy

@159


@161 Ať se vám to líbí nebo nelíbí, ať máte kalkulačku nebo počítač vždy při ruce, některé hodnoty je nutné znát zpaměti. Následující tabulku se zpaměti naučte, nebudete litovat. 

stupně radiány

0o 0

sin 

0

cos 

1

30o /6

45o /4

60o /3

1 2 3 2

2 2 2 2

3 2 1 2

90o /2

1 0

K zapamatování je to celkem snadné. Všimněte si, že jde o posloupnost zlomků, kde je ve jmenovateli stále číslo 2 a v čitateli druhá odmocnina z čísel postupně 0, 1, 2, 3, 4. sin 

0 2

1 2

2 2

U funkce cos jsou to táž čísla jen čteno zprava doleva. Úkol: Dokažte z definice (tj. z pravoúhlého trojúhelníka), že platí

cos /4 = sin /4 = výsledek zpět

2 2

3 2

4 2

@164


@166

kvadrant interval sin x cos x tg x cotg x pokračování zpět

I. (0; /2) + + + +

II. (/2; ) + -

III. (3/2) + +

IV. (3/2; 2) + -

@169 Úkol: Určete následující hodnoty. Využijte právě získané vzorce. a) b) c) d) e) f)

sin 150o cos 120o sin 300o cos 315o sin 225o cos 240o

výsledek zpět

@172 Definice: Mějme funkci f, pro kterou je splněno tvrzení (její funkční hodnoty stále stejně opakují) p>0 xDf : f(x+p) = f(x) Pokud lze ze všech takových čísel p nalézt minimum, tj. nalézt nejmenší kladné číslo p>0 splňující definiční vztah, funkce se nazývá periodická a číslo p se nazývá perioda.

Funkce sin a cos mají periodu 2 (360o) sin  = sin(+2k) cos  = cos(+2k) Funkce tg a cotg mají periodu  (180o), tg  = tg(+k) cotg  = cotg(+k) Příklad: Určete hodnotu cos(1500o), tg(2400o) , cotg(-750o) . Řešení: Nejprve se přesuneme do základního intervalu: přičítáním, odečítáním celočíselných násobků periody: pro sin a cos <0o; 360o) pro tg a cotg <0o; 180o) cos(1500o) = cos(1500o – 4.360o) = cos(60o) tg(2400o) = tg(2400o – 13.180o) = tg(60o) cotg(-750o) = cotg(-750o + 5.180o) = cotg(150o)

Pak případně převedeme úhel do I.kvadrantu, tj. <0o; 90o>, musíme již sledovat znaménka cotg(150o) = - cotg(30o) Nakonec určíme hodnotu zpaměti, z tabulek, pomocí kalkulačky. Pomocí kalkulačky můžeme hodnoty získat přímo. Těžko však poznáme, jaký úhel to asi je, a pak mnoho úloh těží z přesných hodnot (viz tabulka), které z kalkulačky nedostaneme. cos(1500o) = cos(60o) = - 1/2 tg(2400o) = tg(60o) = sin(60o)/ cos(60o) = (3/2)/(1/2) = 3 cotg(-750o) = - cotg(30o) = - cos(30o)/sin(30o) = - (3/2)/(1/2) = -3 Úkol: Určete následující funkční hodnoty cos(270o)

cos(1575o)

sin(-2385o)

cotg(-3030o)

sin(1380o)

cos(-1260o)

výsledek zpět

@175 průběh funkce sin a cos


@178

Vztahy (vzorce) mezi goniometrickými funkcemi Definice: Funkce sin, cos, tg, cotg se nazývají goniometrické funkce. Shrnutí: základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi

tgx 

sin x cos x

cotg x 

cos x sin x

sin2x + cos2x = 1 očividně platí

cotg x = 1/tg x = tg-1x  cos x  sin( x  ) 2

nebo ve stupních

=> tgx . cotgx = 1  sin x  cos( x  ) 2

cos  = sin( + 90o) sin  = cos( - 90o) pokračování zpět

@181

Součtové vzorce Poznámka: Vzdálenost dvou bodů v soustavě souřadnic se vypočítá na základě Pythagorovy věty.

| AB | ( b1  a1 ) 2  ( b2  a2 ) 2 pokračování zpět

@184 Máme dokázáno pro každé  a  platí cos(- ) = cos  cos  + sin  sin  a víme, že sinus je lichý sin(-x) = - sin x a cosinus je sudý cos(-x) = cos x L = cos(+ ) = cos(- (-)) = cos  cos(-) + sin  sin(-) = = cos  cos  - sin  sin  = P Tím je dokázána identita iii) cos(+ ) = cos  cos  - sin  sin  Úkol: Již víme, že platí sin(x - /2) = - cos x výsledek zpět

cos(x - /2) = sin x. Ověřte to podle iv) a dokažte, že také platí

@187

Věta: dvojnásobný úhel Pro každé a platí i) sin2 = 2sincos ii) cos2 = cos2 - sin2 Řešení: i) L = sin2 = sin(+ ) = sin  cos  + sin  cos  = 2sincos = P ii) L = cos2 = cos(+ ) = cos  cos  - sin  sin  = cos2 - sin2 = P Úkol: Dokázali jsme, že pro každé x platí

  sin( x  )  cos x sin( x  )   cos x 2 2  Platí také cos( x  )   sin x ? 2 ano ne zpět

 cos( x  )  sin x 2

@192 Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy a) cos(/6 – x) – cos(/6 + x) = sin x

- stačí použít součtové vzorce

L = [cos(/6) cosx + sin(/6) sinx] – [cos(/6) cosx - sin(/6) sinx] = = 2 sin(/6) sin x = sinx = P b) sin(/4 + x) – sin(/4 – x) = 2 sinx c) sin 105o = (6 + 2)/4

- stačí použít součtové vzorce

- rozložíme na známé hodnoty 105o = 60o + 45o

L = sin 105o = sin(60o + 45o) = sin 60o cos 45o + sin 45o cos 60o = = 3/2 . 2/2 + 2/2 . 1/2 = (6 + 2)/4 d) cos (/12) = (2 + 6)/4

- rozložíme na známé hodnoty /3 – /4 = /12

L = cos (/12) = cos(/3 – /4) = cos(/3) cos(/4) + sin(/3) sin(/4) = = 1/2 . 2/2 + 3/2 . 2/2 = (2 + 6)/4 = P NEBO použijeme vzorce pro poloviční úhel, neboť /12 = (/6)/2 a I. kvadrantu je cos(/12) > 0 a proto můžeme přidat absolutní hodnotu bez problémů

L  cos(

  1  cos( 6) ) | cos( ) |  12 12 2

Tím jsme mimoděk dokázali, že platí

2 3 2 6  2 4

Úkol: Dokažte, že pro každé  a  platí i) sin(+ ) + sin( ) = 2 sin  cos  ii) sin(+ )  sin( ) = 2 cos  sin  iii) cos(+ ) + cos( ) = 2 cos  cos  iv) cos(+ )  cos( ) = -2 sin  sin  výsledek zpět

3 2  2 3  2 3 2 4 2

1

@195 Máme dokázat, že platí tg( x  y) 

tgx  tgy , pokud mají obě strany smysl (tzn. není-li 1  tgx tgy

ve jmenovateli zlomku nula a hodnoty funkce tg jsou konečné). Řešení: K úpravě použijeme součtové vzorce a vztahy mezi goniometrickými funkcemi

sin( x  y ) sin x cos y  sin y cos x   cos( x  y ) cos x cos y  sin x sin y sin x cos y sin y cos x cos x cos y(  ) tgx  tgy cos x cos y cos x cos y   P sin x sin y 1  tgx tgy cos x cos y(1  ) cos x cos y L  tg( x  y ) 

Úkol: Víte, že platí (; 3/2), (/2; ), cotg  = 12/5 a sin  = 15/17. Určete tg( - ). výsledek zpět

@197 Víte, že platí (/2; ), (0; /2), sin  = 3/5 a cotg  = 8/15. Určete cos(- ). Tedy úhel  je ve II. kvadrantu a  je v I. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka). Máme určit cos( - ) = cos  cos  + sin  sin  . sin  = 3/5 známe, zbývá určit cos  sin  a cos  cos2= 1 – sin2 = (1 - sin )(1 + sin ) = (1 - 3/5)(1 + 3/5) = 42/52 Pro správné odmocnění musíme uvážit, že  je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy cos  = -4/5 Dále platí (na začátku této kapitoly jsme to dokázali) 1 + tg2x = cos-2x, cos2 = 1/(1 + tg2) = 1/(1 + 1/cotg2) = 1/(1 + 152/82) = 82/172 a proto cos  = 8/17 sin2 = 1 – cos2 a  je v I. kvadrantu => sin  = 15/17 Už máme všechno a tak zbývá závěrečný výpočet cos( – ) = 13/85 zpět KONEC LEKCE

tedy

15. Goniometrické funkce

Recommend Documents