13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1]

• De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; • Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; • Vanaf punt A tot het lokale maximum is de functie afnemend stijgend; • Vanaf het lokale maximum is de functie toenemend dalend. Het punt A heet een zogenaamd buigpunt.

Willem-Jan van der Zanden

1


a: De grafiek is eerst toenemend stijgend en dan afnemend stijgend; b: De grafiek is eerst afnemend stijgend en dan toenemend stijgend; c: De grafiek is eerst afnemend dalend en dan toenemend dalend; d: De grafiek is eerst toenemend dalend en dan afnemend dalend; In al deze vier situaties is het punt A het buigpunt. Willem-Jan van der Zanden

2


• Waar f een buigpunt heeft, heeft de afgeleide f’ een maximum of minimum; • Het buigpunt van een functie f kan gevonden worden door de extreme waarde van f’ te berekenen; • De extreme waarde van f’ kan berekend worden door de afgeleide van f’ gelijk te stellen aan nul; • De afgeleide van f’ is de functie f’’ (tweede afgeleide). Willem-Jan van der Zanden

3

13.1 De tweede afgeleide [1] Voorbeeld: Bereken exact de coördinaten van de buigpunten van de grafiek van f(x) = ln( x 2  1) Stap 1: Bereken f’(x) en f’’(x)

f(x) = ln( x 2  1 ) = ln((x2 + 1)½) = ½ ln(x2 + 1) = ½ ln(u) met u = x2 + 1 f’(x) =

11 x x 2x   2 2u u x 1

2 2 f’’(x) = ( x  1) [ x ]' x [ x  1]'  2 2 ( x  1)

x 2  1  x 2x  2 2 ( x  1) x 2  1  2x 2 1  x2  2 2 2 ( x  1) ( x  1)2 Willem-Jan van der Zanden

4

13.1 De tweede afgeleide [1] Voorbeeld: Bereken exact de coördinaten van de buigpunten van de grafiek van f(x) = ln( x 2  1) Stap 2: Los op f’’(x) = 0

f ''( x )  0 1  x2 0 2 2 ( x  1) 1  x2  0 x2  1 x  1  x  1


5

13.1 De tweede afgeleide [1] Voorbeeld: Bereken exact de coördinaten van de buigpunten van de grafiek van f(x) = ln( x 2  1) Stap 3: Schets de grafiek van f en controleer of de oplossingen van f’’(x) = 0 buigpunten zijn. Uit de grafiek volgt dat de twee oplossingen van f’’(x) = 0 buigpunten zijn. Invullen van 1 en -1 in f(x) geeft de buigpunten: (1, ln(√2)) en (-1, ln(√2))


6

13.1 De tweede afgeleide [2] Voorbeeld: Hiernaast staat een plaatje van de functie: f(x) =

1 4 3 1 x  x  4 x 2  7x  6 12 2

Deze functie heeft geen buigpunten.


7

13.1 De tweede afgeleide [2] Voorbeeld: De afgeleide van de functie f(x) =

1 4 3 1 x  x  4 x 2  7x  6 is: 12 2

1 3 2 f’(x) = x  3x  9x  7 3

De afgeleide heeft geen extreme waarden (f(x) heeft immers geen buigpunten). De afgeleide heeft wel een punt waar de raaklijn aan de functie horizontaal is.


8

13.1 De tweede afgeleide [2] Voorbeeld: De tweede afgeleide van de functie f(x) =

1 4 3 1 x  x  4 x 2  7x  6 is: 12 2

f’’(x) = x2 – 6x + 9 De vergelijking f’’(x) = 0 heeft één oplossing. Toch heeft de grafiek van f(x) geen buigpunt. Let op: Controleer dus altijd of de oplossing(en) van f’’ (x) = 0 echt (een) buigpunt(en) zijn.


9

13.2 Toepassingen van de tweede afgeleide [1]

Een andere notatie voor de tweede afgeleide van f(x) =


d  df  dx  dx 

10

13.2 Toepassingen van de tweede afgeleide [1] Voorbeeld: Gegeven is de functie N(t) = 100(1 – e-0,02t) = 100 - 100e-0,02t Toon algebraïsch aan dat N een afnemend stijgende functie van t is. Stap 1: Bereken de eerste en tweede afgeleide van N(t):

dN  100  0,02  e 0,02t  2e 0,02t dt d  dN  0,02t 0,02t  2   0,02  e   0,04 e dt  dt  Stap 2:

dN  2e 0,02t  0 dt

De eerste afgeleide is altijd groter dan nul. N(t) is dus een stijgende functie.


11

13.2 Toepassingen van de tweede afgeleide [1] Voorbeeld: Gegeven is de functie N(t) = 100(1 – e-0,02t) = 100 - 100e-0,02t Toon algebraïsch aan dat N een afnemend stijgende functie van t is Stap 2:

dN  2e 0,02t  0 dt

De eerste afgeleide is altijd groter dan nul. N(t) is dus een stijgende functie.

d  dN  0,02t   0,04 e 0   dt  dt 

De tweede afgeleide is altijd kleiner dan nul. N’(t) is dus een dalende functie

De eerste afgeleide is dus altijd groter dan nul, maar het is wel een dalende functie. Hieruit volgt dat N(t) een afnemend stijgende functie is.


12

13.2 Toepassingen van de tweede afgeleide [2] s(t) = 2,1t2 + 3,6t is een tijd-afstandfunctie. De tijd-afstandfunctie geeft op een bepaald tijdstip de afgelegde afstand. s’(t) = v(t) = 4,2t + 3,6 is een snelheidsfunctie. De snelheidsfunctie geeft op een bepaald tijdstip de snelheid. De snelheidsfunctie is de afgeleide van de tijd-afstandfunctie. s’’(t) = v’(t) = a(t) = 4,2 is de versnelling. De versnelling is de snelheid waarmee de snelheid verandert. De versnelling is de tweede afgeleide van de tijd-afstandfunctie.


13

13.2 Toepassingen van de tweede afgeleide [2] Voorbeeld 2: Gegeven is de formule s(t) = -0,00023t3 + 0,20t2. Hierin is de tijd t in seconden met 0 ≤ t ≤ 400 en s de afgelegde afstand in meters. Bereken algebraïsch voor welke t de snelheid maximaal is: v(t) = s’(t) = -0,00069t2 + 0,40t a(t) = v’(t) = -0,00138t + 0,40 Oplossen van a(t) =0 geeft: -0,00138t + 0,40 = 0 0,00138t = 0,40 t ≈ 289,86

Uit de grafiek van v(t) volgt dat de snelheid hier maximaal is. Willem-Jan van der Zanden

14

13.2 Toepassingen van de tweede afgeleide [2] Voorbeeld 2: Gegeven is de formule s(t) = -0,00023t3 + 0,20t2. Hierin is de tijd t in seconden met 0 ≤ t ≤ 400 en s de afgelegde afstand in meters. Bereken algebraïsch vanaf welke t de versnelling minder is dan 0,1 m/s2: v(t) = s’(t) = -0,00069t2 + 0,40t a(t) = v’(t) = -0,00138t + 0,40 Oplossen van a(t) < 0,1 geeft: -0,00138t + 0,40 < 0,1 -0,00138t < -0,30 t > 217,39

Vanaf t ≈ 217 is de versnelling minder dan 0,1 m/s2.


15

13.2 Toepassingen van de tweede afgeleide [3] Voorbeeld: Een voorwerp in rust ondergaat vanaf t = 0 gedurende 10 seconden een versnelling. Op t = 0 is de versnelling 5 m/s2 en deze neemt lineair af tot 0 op t = 10. Hoeveel meter wordt gedurende deze 10 seconden afgelegd? Stap 1: Stel de versnellingsfunctie a(t) op. a(t) = mt + n m

[De versnelling is lineair]

a 0  5 1   t 10  0 2

a(0) = 5, dus a(t) = -0,5t + 5


16

13.2 Toepassingen van de tweede afgeleide [3] Voorbeeld: Een voorwerp in rust ondergaat vanaf t = 0 gedurende 10 seconden een versnelling. Op t = 0 is de versnelling 5 m/s2 en deze neemt lineair af tot 0 op t = 10. Hoeveel meter wordt gedurende deze 10 seconden afgelegd? Stap 2: Primitiveren van de versnellingsfunctie geeft de snelheidsfunctie: a(t) = -0,5t + 5 v(t) = -0,25t2 + 5t Stap 3: Primitiveren van de snelheidsfunctie geeft de tijd-afstandfunctie: 1

1

3 2 s(t) =  12 t  2 2 t

Hieruit volgt s(10) = 166

2 3 Willem-Jan van der Zanden

17

13.3 Raaklijnen aan grafieken [1] k is een lijn, die de grafiek van f raakt in het punt P. De lijn k gaat door de oorsprong. De richtingscoëfficiënt van de lijn k is gelijk aan de afgeleide van f in P. De afgeleide van f in P is: f’(xP); De richtingscoëfficiënt van de lijn k is: f ( x P )  f (0) f ( x P )  xP  0 xP Er geldt nu: f '( x P ) 


f ( xP ) xP 18

13.3 Raaklijnen aan grafieken [1] m is een lijn, die de grafiek van f raakt in het punt P. De lijn m gaat niet door de oorsprong. De richtingscoëfficiënt van de lijn m is gelijk aan de afgeleide van f in P. De afgeleide van f in P is: f’(xP); De richtingscoëfficiënt van de lijn k is: f ( xP )  f ( x A ) f ( xP )  yA  xP  x A xP  x A

Er geldt nu: f '( x )  f ( x P )  y A p xP  x A Willem-Jan van der Zanden

19

13.3 Raaklijnen aan grafieken [1] Voorbeeld: Gegeven zijn de functie f(x) = x2 – 2 en het punt A(4, 5). Bereken de coördinaten van de raakpunten van de raaklijnen aan de grafiek van f(x) en het punt A. Om dit voorbeeld op te lossen moet de vergelijking f '( x ) 

f (x )  yA x  xA

opgelost worden. x2  2  5 2x  x 4

2x(x – 4) = x2 – 7 2x2 – 8x = x2 – 7 x2 – 8x + 7 = 0 (x – 1)(x – 7) = 0 x=1˅x=7

De raakpunten zijn nu (1, -1) en (7, 47) Willem-Jan van der Zanden

20

13.3 Raaklijnen aan grafieken [2] Voorbeeld: 3ln( x ) Gegeven is de functie f(x) = . De lijn k gaat door O en raakt de grafiek x van f. Stel algebraïsch een vergelijking op van de raaklijn k. De vergelijking f '( x ) 

f (x) moet nu opgelost worden, want de raaklijn gaat door O. x

Stap 1: Bereken de afgeleide f’(x) van f(x):

f '( x ) 

x [3ln( x )]' [ x ]' 3ln( x )  2 x

x

3  1 3ln( x ) 3  3ln( x ) x  x2 x2


21

13.3 Raaklijnen aan grafieken [2] Voorbeeld: 3ln( x ) Gegeven is de functie f(x) = . De lijn k gaat door O en raakt de grafiek x van f. Stel algebraïsch een vergelijking op van de raaklijn k. Stap 2: f (x) f '( x )  Los de vergelijking op: x

f (x) x 3ln( x ) 3  3ln( x ) x  2 x x 3  3ln( x ) 3ln( x )  x2 x2 3  3ln( x )  3ln( x ) f '( x ) 

6ln( x )  3 ln( x )  1 2

1 2

x e  e


22

13.3 Raaklijnen aan grafieken [2] Voorbeeld: 3ln( x ) Gegeven is de functie f(x) = . De lijn k gaat door O en raakt de grafiek x van f. Stel algebraïsch een vergelijking op van de raaklijn k. Stap 3: Stel de vergelijking van de raaklijn k op. k : y = ax +b a = f’(√e) =

3 2e

b = 0 want de raaklijn k gaat door de oorsprong. De functie van de raaklijn k is nu: k : y =

3 x 2e


23

13.4 Raken en loodrecht snijden [1] Voorbeeld: 1 3 2 Gegeven zijn de functies f(x) = x  x 5 en g(x) = -x2 + 9x - 13 3 De beide grafieken raken elkaar in het punt A. Voor het punt A geldt: f(xA) = g(xA) EN f’(xA) = g’(xA) Toon aan dat de grafieken van f en g elkaar raken en bereken de coördinaten van het raakpunt.


24

13.4 Raken en loodrecht snijden [1] Voorbeeld: 1 3 2 Gegeven zijn de functies f(x) = x  x 5 en g(x) = -x2 + 9x - 13 3 Stap 1: Bereken de afgeleiden van f(x) en g(x). f’(x) = x2 – 2x

EN

g’(x) = -2x + 9

Stap 2: Los de vergelijkingen f(x) = g(x) ⋀ f’(x) = g’(x) op:

1 3 x  x 2 5   x 2  9x  13  x 2  2x  2x  9 3 1 3 x  9x  18  0  x 2  9 3 1 3 x  9x  18  0  x  3, x  3 3 Willem-Jan van der Zanden

25

13.4 Raken en loodrecht snijden [1] Voorbeeld: 1 3 2 Gegeven zijn de functies f(x) = x  x 5 en g(x) = -x2 + 9x - 13 3 Stap 3: Controleer of de gevonden oplossingen kloppen. f(3) = 5 EN g(3) = 5 f(-3) = -31 EN g(-3) = -49

Deze oplossing klopt Deze oplossing klopt niet.

Het punt (3, 5) is het raakpunt van beide grafieken.


26

13.4 Raken en loodrecht snijden [2] Voorbeeld: Gegeven zijn de functies f(x) = x – ln(x) en g(x) = px. Beide grafieken raken elkaar. Bereken exact de waarde van p en de coördinaten van het raakpunt. Stap 1: Bereken de afgeleiden van f(x) en g(x)

f’(x) = 1 –

1 x

EN g’(x) = p

Stap 2: Stel de vergelijkingen f(x) = g(x) ⋀ f’(x) = g’(x) op:

x – ln(x) = px

⋀

1-

1 =p x

Er onstaat nu een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden.


27

13.4 Raken en loodrecht snijden [2] Voorbeeld: Gegeven zijn de functies f(x) = x – ln(x) en g(x) = px. Beide grafieken raken elkaar. Bereken exact de waarde van p en de coördinaten van het raakpunt. Stap 3: Invullen van p = 1 - 1 in x – ln(x) = px geeft: x 1  x – ln(x) =  1   x x  x – ln(x) = x – 1 ln(x) = 1 x=e

1 e f(e) = e – ln(e) = e -1 Het raakpunt wordt nu (e, e – 1) p=1–


28

13.4 Raken en loodrecht snijden [3] Voorbeeld 1: Gegeven zijn de functies f(x) = 2x + 2 en g(x) = -½x + 1 De grafieken van deze twee functies snijden elkaar loodrecht. In het punt waar ze elkaar loodrecht snijden geldt het volgende: f(x) = g(x) ⋀ f’(x) · g’(x) = -1

Door het oplossen van dit stelsel van vergelijkingen kun je dus nagaan of een tweetal grafieken elkaar in een punt loodrecht snijden.


29

13.4 Raken en loodrecht snijden [3] Voorbeeld 2: p De grafieken van f(x) = 2√x en gp(x) =

x

Bereken exact de waarde van p en de coördinaten van het punt waar de grafieken elkaar loodrecht snijden. Stap 1: Bereken de afgeleiden van f(x) en gp(x)

1 f’(x) = x

EN g’(x) = 

p x2


30


x

Bereken exact de waarde van p en de coördinaten van het punt waar de grafieken elkaar loodrecht snijden. Stap 2: Los de vergelijkingen f(x) = g(x) ⋀ f’(x) · g’(x) = -1 op: p 1 p 2 x  1 2 x x x p p  2x x  1 2 x x 2x√x = x2√x 2x√x – x2√x = 0 x√x (2 – x) = 0 x=0˅x=2

p  x2 x


31


x

Bereken exact de waarde van p en de coördinaten van het punt waar de grafieken elkaar loodrecht snijden. Stap 3: x = 2 geeft p = 4√2 f(2) = 2√2, dus de grafieken snijden elkaar loodrecht in (2, 2√2)

Let op: Als er niet staat dat je exact of algebraïsch de oplossing moet berekenen, mag je je GR gebruiken.


32

13 Samenvatting Buigpunten: a: De grafiek is eerst toenemend stijgend en dan afnemend stijgend; b: De grafiek is eerst afnemend stijgend en dan toenemend stijgend; c: De grafiek is eerst afnemend dalend en dan toenemend dalend; d: De grafiek is eerst toenemend dalend en dan afnemend dalend. • Waar f een buigpunt heeft, heeft de afgeleide f’ een maximum of minimum; • Het buigpunt van een functie f kan gevonden worden door de extreme waarde van f’ te berekenen; • De extreme waarde van f’ kan berekend worden door de afgeleide van f’ gelijk te stellen aan nul; • De afgeleide van f’ is de functie f’’ (tweede afgeleide); d  df  • Een andere notatie voor de tweede afgeleide van f(x) = dx  dx  s(t) = 2,1t2 + 3,6t is een tijd-afstandfunctie. s’(t) = v(t) = 4,2t + 3,6 is een snelheidsfunctie. s’’(t) = v’(t) = a(t) = 4,2 is de versnelling.


33

13 Samenvatting k is een lijn, die de grafiek van f raakt in het punt P. De lijn k gaat door de oorsprong. Er geldt nu: f '( x P ) 

f ( xP ) xP

m is een lijn, die de grafiek van f raakt in het punt P. De lijn m gaat niet door de oorsprong. Er geldt nu: f '( x p ) 

f ( xP )  yA xP  x A

Twee grafieken raken elkaar in het punt A. Voor het punt A geldt: f(xA) = g(xA) EN f’(xA) = g’(xA) De grafieken van twee functies snijden elkaar loodrecht. In het punt waar ze elkaar loodrecht snijden geldt het volgende: f(x) = g(x) ⋀ f’(x) · g’(x) = -1


34

13.1 De tweede afgeleide [1]

Recommend Documents