1.1 Műszaki-mérnöki tervezési-szerkesztési folyamat

1 Bevezetés A grafikus kommunikáció alatt elsősorban a műszaki ötletek és a probléma megoldása közötti kommunikációt értjük valamilyen grafikai eszközzel megsegítve.

1.1

Műszaki-mérnöki tervezési-szerkesztési folyamat

Mi történik a műszaki-mérnöki tervezés-szerkesztés folyamatában? A folyamat a probléma belátásával és a lehetséges megoldásokkal kezdődik. Ezután vázlatok készülnek. Később geometriai modellek készülnek a vázlatok alapján, melyeket analízisekre használnak. Ezután részletes rajzok vagy 3D modellek készülnek, amelyek magukba foglalják a részletes adatokat, melyek szükségesek a gyártási vagy más kivitelezési folyamatokhoz. A műszaki-mérnöki tervezési-szerkesztési folyamatában a munka 92% grafikus kommunikáción alapszik, 8% pedig matematikai, írott, vagy szóbeli kommunikáción (Ábra 1). A műszaki-mérnöki tevékenység felosztása

16%

3D modellezés és dokumentáció 25%

15%

Gyártással kapcsolatos tevékenységek Funkcionális formatervezés

19% 25%

Mérnöki analízis Más

Ábra 1

A grafikus kommunikáció több eszköz segítségével hajtható végre: -

rajzokkal (Ábra 2),

-

prezentációkkal,

-

animációkkal,

-

virtuális realitás segítségével,

-

holográfiával...

Ábra 2

1.1.1

Rajz

A rajz az ötletek, tárgyak és struktúrák grafikus megnyilvánulása, szabadkézi, mechanikus, vagy számítógépes módszerek segítségével. A rajz lehet konkrét (például 3D modell) (Ábra 3), vagy absztrakt (például műszaki rajz) (Ábra 4).

Ábra 3

Ábra 4

1.1.2

A grafika felhasználói

Egy átfogó üzleti folyamatban, mely egyik része a mérnöki tervezési-szerkesztési folyamat, szinte minden résztvevő valamilyen szinten és valamilyen formában a grafika felhasználója (Ábra 5). Kutatók és Műszaki

fejlesztők

illusztrátorok

Menedzserek Vállalkozók Számítógép kezelők Vezér igazgatók

Robotikusok Vásárlók

Elnök-

Munkások

helyettesek

Ábra 5

1.2

A grafika fontossága a tervezési folyamatban

Az emberi szem mint optikai rendszer

Az ember legfontosabb érzékszerve a szeme. Becslések szerint ezzel a rendkívüli szerkezettel érzékeljük a külvilágból érkező információ 80-85 százalékát. A szemtípusok besorolása szerint az ember szeme lencserendszerrel rendelkező hólyag- vagy sötétkamra szem (szerkezetét az ábra mutatja). A szemgolyó felépítése A szemgolyó burkát kívülről befelé haladva három réteg alkotja: -

-

Az ínhártya (sclera), opálszínű külső burok, amelynek elülső 1/6 részén van az átlátszó szaruhártya (cornea). Az eres réteg (uvea), amely három részből áll: az érhártyából (chorioidea), az első pólus irányában folytatódó sugártestből (corpus ciliare), amely az úgynevezett zonularostok segítségével a lencsét felfüggeszti, és a szivárványhártyából (iris), melynek közepén lévő kerek nyílás a pupilla. A pupilla gyenge fényben kitágul, erős fényben összeszűkül, ezzel szabályozza a retinára jutó fény mennyiségét. Az ideg- vagy recehártya (retina), szemünk "képernyője", amelyben a látóideg végződései és az ezekkel összeköttetésben álló fényérzékeny elemek: a csapok (coni) és pálcikák (bacilli) helyezkednek el; számuk kb. 7, ill. 130 millióra becsülhető. A retinának a fényre legérzékenyebb része a pupillával szemközti, kb. 1,5 mm átmérőjű sárga folt (macula lutea), közepén van a kb. 0,3 mm átmérőjű látógödör (fovea centralis), ahol a csapok a legsűrűbben vannak, pálcikák viszont nincsenek. A látógödörtől az orr felé kb. 4 mm-re van a látóideg kilépési helye, ahol sem csapok sem pálcikák nincsenek, ez a hely a fényre érzéketlen vakfolt (macula coeca).

A grafika nyelvét a tervezési folyamatban a következő tevékenységeknél használják: -

vizualizáció,

-

kommunikáció,

-

dokumentáció.

1.2.1

Vizualizáció

A vizualizáció egy képesség, mely segítségével az ember el tudja képzelni egy létező vagy nem létező tárgy képét. Az elképzelt képről papíron vagy számítógépen vázlatot kell készíteni. A következő ábrán több vázlat látható (Ábra 6).

Műszaki vázlat

Ortogonális vázlat

Képies vázlat

Árnyékolt vázlat

Formatervezési vázlat

Számítógépes vázlat Ábra 6

1.2.2

Kommunikáció

A (grafikus) kommunikáció alatt egy összetett folyamatot értünk, amely rajzokon1 keresztül folyik. A vázlatok alapján 3D modellt kell készíteni. A 3D modell lehet elektronikus formában (számítógépen készült) (Ábra 7), vagy reális modell (Ábra 8).

Ábra 7

Reális modell „Rapid prototyping” technikával készített

Reális modell kézzel készített Ábra 8

1

A rajzok alatt ebben az esetben vázlatokat, 2D rajzokat, 3D modelleket (számítógépeset, valódit) értelmezünk.

A kommunikáció folyamán többek között a modell finomítása történik (Ábra 9).

Ábra 9

A kommunikáció végeredménye a MEGOLDÁS.

1.2.3

Dokumentáció

A végleges megoldást dokumentálni kell. A dokumentálás lehet 2D illetve 3D formában, elektronikus illetve klasszikus2. Egy 2D részletes műszaki rajz a következő ábrán látható (Ábra 10).

Ábra 10

2

A professzionális dokumentáció okvetlenül tartalmazza mind a két formát több példányban.

Egy 3D számítógépes modell (manapság közvetlenül a gyártási folyamatában is használható) a következő ábrán látható (Ábra 11).

Ábra 11 CAM3 programcsomagban használt 3D modell

A dokumentáció egyértelmű értelmezése miatt szabványozott a elkészítési folyamat.

3

Computer aided manufacturing – Számítógéppel megsegített gyártás.

2 Tervezési folyamat A tervezési folyamat lehet klasszikus és korszerű.

2.1

Klasszikus tervezési folyamat

A klasszikus tervezési folyamat szekvenciális, ami azt jelenti, hogy csak egy meghatározott előző tevékenység befejezése után kezdődhet a következő meghatározott tevékenység (Ábra 12). Probléma identifikálása

Ötletek

Finomítás

Analízis

Optimalizáció

Dokumentáció

Ábra 12

2.2

Korszerű hozzáállás

A korszerű hozzáállás egyik kifejlesztett módszere az úgynevezett „Concurent Engineering”. Ez a hozzáállás integrálja és koordinálja az összes műszaki és nem műszaki tevékenységet egy probléma (termék) megoldásánál (Ábra 12). Probléma identifikálás Elõzetes ötletek Elözetes terv

Ötlet

Modellezés Analízis Vizualizáció

Finomítás

Implementáció

Karbantartás Költségvetés Marketing Gyártás Tervezés Dokumentálás

Ábra 13

A kommunikáció központját a CAD4 adatbázis alkotja (Ábra 14). Oktatás

Tervezés

Kiadványok

Analízis

CAD adatbázis Gyártás

Szimuláció

Dokumentálás

Marketing

Ábra 14

4

Computer aided design- Számítógéppel megsegített tervezés/szerkesztés.

2.3

Formatervezés

A (mérnöki) tervezési folyamat egyik része a formatervezés. A formatervezés az ötlet elképzelésének, megértésének, formálásának..., a folyamata és az ötlet átadása (kommunikálása) másoknak, egyszerű érthető formában. A kommunikációs eszköz rendszerint grafikai. A formatervezés felosztása a következő ábrán látható (Ábra 15). Formatervezés

Egyéni kifejezés (muvészi)

Konkrét (Realisztikus)

Termék/folyamat fejlesztés (muszaki)

Absztrakt

Esztétikai (Ipari formatervezés)

Funkcionális (Mérnöki formatervezés)

Mérnöki tervezési folyamat

Termék

Ábra 15

Folyamat

A következő ábrán több formatervezési lehetőség látható (Ábra 16).

Absztrakt formatervezés

Esztétikai formatervezés

Funkcionális (forma)tervezés

Esztétikai és funkcionális (forma)tervezés Ábra 16

A mérnöki tervezés része egy összefogó üzleti folyamatnak (Ábra 17). ÜZLET

INPUT

- TÁRSADALMI PROBLÉMÁK - VÁSÁRLÓK (KERESLET/ SZÜKSÉGLET) - ANYAG - TÕKE - ENERGIA - IDÕ - EMBERI TUDÁS - EMBERI ÜGYESSÉG - EMBEREK

FOLYAMATOK

- FORMATERVEZÉS - TERVEZÉS - SZERKESZTÉS - GYÁRTÁS - VEZÉRLÉS - MARKETING - PÉNZÜGY - DOKUMENTÁLÁS

Ábra 17

OUTPUT

- TERMÉKEK, RENDSZEREK , ILLETVE STRUKTÚRÁK VALAMENYI PIACRA - OKTATÁS - KARBANTARTÁS - VÁSÁRLÓ ELÉGEDETSÉK - PROFIT

3 Mérnöki geometria A geometria alkotja a mérnöki tervezési folyamat építő elemeit. A mérnöki geometria nem más mint az alap geometriai alakok és formák, melyeket a mérnöki tervezésben használnak.

3.1

Alak definiálása

A mérnöki geometria a mérnöki termék alakja, mérete és funkciója definiálásával foglalkozik. Az objektum alakjának definiálása nem más mint az objektum geometriai elemeinek a pozicionálása térben. Az alak definiálása primitív formákon, pontokon, vonalakon és felületeken van alapozva, melyek kombinációja összetett formákat képez.

3.2

Koordinátarendszerek

A geometriai alakzatok helyzetét egy ismert ponthoz viszonyítva kell definiálni. Ezt a pontot referenspontnak nevezzük.

3.2.1

Cartesian (derékszögű) koordinátarendszer

A Cartesian koordinátarendszer (René Descartes 1637.) a geometriai alakzatok térbeli (2D, 3D) helyzetét határozza meg. A koordinátarendszer tengelyeinek elhelyezése úgynevezett „Jobb kéz szabály”, vagy „Ball kéz szabály” szerint történik. A „Jobb kéz szabály” szerint az XYZ tengelyek úgy helyezkednek el, hogy az X tengely megfelel a jobb kéz hüvelykujjának, az Y tengely megfelel a jobb kéz mutatóujjának, a Z tengely pedig a jobb kéz középujjának (Ábra 18). A „Bal kéz szabály” szerint a tengelyek a ball kéz ujjaival egy irányban helyezkednek el. Elforgatásnál a pozitív irány mindig az óramutató mozgásával ellentétes.

14

Ábra 18

A 2D Cartesian koordinátarendszer a következő ábrán látható (Ábra 19).

Ábra 19

15

A pont helyzetének definiálása a következő ábrán látható (Ábra 20).

Ábra 20

A 3D Cartesian koordinátarendszer a következő ábrán látható (Ábra 21).

Ábra 21

16

A pont helyzetének definiálása a következő ábrán látható (Ábra 22).

Ábra 22

3.2.2

Poláris koordináták

Poláris koordinátákkal síkban (például az XY síkban) lehet definiálni a pont helyzetét, ahol a pont távolságát kell megadni a koordinátarendszer referenspontjától, illetve a távolság és az X tengely közötti szöget (Ábra 23).

Ábra 23

3.2.3

Cilindrikus koordináták

Cilindrikus koordinátákkal térben lehet definiálni a pont helyzetét, ahol a távolságot kell megadni a koordinátarendszer referenspontjától valamelyik síkban (például, az XY síkban „jobb kéz” szabály szerint definiált koordinátarendszerben, vagy az XZ síkban „bal kéz” szabály szerint definiált koordinátarendszerben), a távolság és az X 17

tengely közötti szöget, valamint a síktól való távolságot (például, a távolságot a Z tengely irányában „jobb kéz” szabály szerint definiált koordinátarendszerben, vagy távolságot az Y tengely irányában „bal kéz” szabály szerint definiált koordinátarendszerben) (Ábra 24). Cilindrikus koordinátákkal rendszerint hengeralakzatokat szokás definiálni.

Ábra 24

3.2.4

Szférikus koordináták

Szférikus koordinátákkal térben lehet definiálni a pont helyzetét, ahol a távolságot kell megadni a koordinátarendszer referenspontjától valamelyik síkban (például, az XY síkban „jobb kéz” szabály szerint definiált koordinátarendszerben, vagy az XZ síkban „bal kéz” szabály szerint definiált koordinátarendszerben), a távolság és az X tengely közötti szöget, valamint a síktól való szöget (Ábra 25). Szférikus koordinátákkal rendszerint szférikus alakzatokat szokás definiálni.

Ábra 25

18

3.2.5

Abszolút koordináták

Abszolút koordinátákkal a pont helyzetét mindig a referensponttól definiáljuk (Ábra 26).

Ábra 26

3.2.6

Relatív koordináták

Relatív koordinátákkal a pont helyzetét mindig az előző ponttól definiáljuk (Ábra 27) azzal, hogy az első pontot a referensponttól definiáljuk.

Ábra 27

3.2.7

Világi és lokális koordinátarendszerek

A világi koordinátarendszer az alap koordinátarendszer. Szükség szerint más, úgynevezett lokális koordinátarendszereket is lehet definiálni (meghatározni a helyzetüket a világi koordinátarendszerhez viszonyítva) a pontok könnyebb meghatározása miatt. Az ábrán (Ábra 28) az A pont koordinátáit lehet látni világi és lokális koordinátarendszerben.

19

Ábra 28

3.3 3.3.1

Vetítési módszerek Vetítés elmélete

A vetítés elmélete a térbeli testek (tárgyak) síkbeli ábrázolásával foglalkozik. A vetítés eredménye a tárgy síkon megjelenő képe. Vetítéssel a kép a következő módon jön létre: A tárgy egyes pontjain sugarakat kell átbocsátani, melyek egy síkon áthatolva döfés pontjaikkal létrehozzák a síkon a tárgy képet. A síkot képsíknak (vetítősík), a tárgy képét vetületnek, a sugarakat vetítősugaraknak nevezik (Ábra 29).

Ábra 29

Ha a vetítősugarak egy pontból (vetítési középpont) indulnak ki, amely a tárgy nagyságához viszonyítva a tárgytól „véges” távolságban helyezkedik el (Ábra 30) 20

centrális vetítésről van szó. Ha a vetítési középpont a „végtelenben” van a tárgy méreteihez viszonyítva, a vetítősugarak egymás között párhuzamossá válnak és a vetítés átalakul párhuzamos vetítéssé (Ábra 31).

Ábra 30

Ábra 31

Ha a vetítősugarak a képsíkot derékszögben metszik, a vetítés merőleges (ortogonális), ha pedig 90°-tól eltérő szög alatt jutnak a képsíkhoz, a vetítés ferdeszögű (klingonális).

21

3.3.1.1

Ábrázolás ortogonális nézetpárokkal (vetületpárokkal) Gaspard Monge(1746. május 9.—1818. július 28.): francia matematikus és mérnök

Az ábrázoló és a differenciálgeometria megalapozója. A szegény családból származó és tehetséges Monge már 16 évesen instruktor volt fizikából egy lyoni iskolában. Ezután rajzoló lett a mezieresi katonai akadémián. Munkája során fedezte fel a kétképsíkos ábrázolás előnyeit. Eredményeit sokáig katonai titokként kezelték. 1768-ban a matematika, 1771-ben a fizika professzora lett az akadémián. 1780-ban Párizsba került. Tevékenyen részt vett a forradalomban. Egy ideig tengerészeti miniszter és a hadsereg fegyverellátásáért felelős biztos volt. Döntő szerepe volt a híres École Polytechnique megszervezésében (1795). NAPÓLEON csodálója volt és Fourier-rel együtt elkísérte sikertelen egyiptomi hadjáratára is 1798-ban. Ezután visszatért a tanításhoz. Jó előadó volt, sok neves matematikus került ki a keze alól. A royalista restaurációkor, 1815-ben elvesztette állását és nemsokára meghalt. Minden tárgynál szembeötlő a három, egymásra merőleges főterjeszkedési irány, a szélesség, hosszúság (mélység) és magasság. E három irány egymásra merőleges és meghatározza a test triéderének az x, y és z tengelyét. Összetettebb testeknél több triéder is felvehető, de ezek között csak egy van, amely a fő terjeszkedési irányokhoz kötött. Vetítésnél a tárgyat a triéderével együtt egy Descartes féle derékszögű koordináta rendszerbe helyezzük, melynek tengelyei a környezet helyzeti triéderét alkotják s melynek segítségével meg lehet határozni a tárgy viszonylagos helyzetét. Az ortogonális vetülettel ábrázolandó tárgyat úgy kell elhelyezni a szemlélő és a képsík közé, hogy annak a tulajdon triéder tengelyei párhuzamosak legyenek a helyzeti triéder tengelyeivel (Ábra 32). A vetítősugarak iránya merőleges kell, hogy legyen a képsíkra és a tárgy képeként csak azt lehet megrajzolni, ami látható. A tárgy ily módon való beállítása és vetítése miatt, annak egyik mérete eltűnik (ponttá zsugorodik). Ez az a méret, amelynek iránya megegyezik a képsík normálisának irányával. A két triéder megfelelő tengelyeinek párhuzamossága miatt, a másik két méret eredeti nagyságban látszik a tárgy képén. Ha mindhárom méretet láthatóvá kell tenni (eredeti nagyságban), két ortogonális vetítést kell elvégezni két egymásra merőleges képsíkra, és akkor a második képsíkon megjelenik az a méret, amely az első vetítésnél eltűnt, viszont az újabb képnél egy másik méret zsugorodik ponttá (Ábra 33). A két vetület ortogonális nézetpárt alkot.

22

Ábra 32

Ábra 33

3.3.1.2

Képies ábrázolás

Abból kifolyólag, hogy képies ábrázolásnál a tárgy három dimenzióját két dimenziós rajzlapon kell bemutatni, bizonyos nehézségek jelentkeznek. Ezért elkerülhetetlen, hogy a három dimenzió közül legalább egy ne rövidüljön (rendszerint a mélység), amely megnehezíti vagy lehetetlenné teszi a rajzon torzult részletek eredeti nagyságának a meghatározását, ha a méretek nincsenek feltüntetve, elletve ha ismeretlen a rövidülés aránya.

3.3.1.2.1

Merőleges axonometria

axon – tengely metric - mérni Ha a tárgy (például kocka) úgy van beállítva a függőleges képsíkhoz viszonyítva, hogy annak egyetlen éle sem párhuzamos a képsíkkal, és a képsíkra merőleges párhuzamos vetítősugarak segítségével jön létre a kocka képe, azon kocka mindhárom mérete látható lesz. Általános esetben mindhárom méret különböző rövidülést szenved (trimetrikus vetítés) (Ábra 34). Ha a test triéderének két tengelye egyenlő szöget zár be a képsíkkal, akkor az a két tengely irányában a rövidülés egyforma lesz, míg a harmadik tengely irányában különböző (dimetrikus vetítés) (Ábra 34). Ha a test triéderének mindhárom tengelye egyenlő szöget zár be a képsíkkal, akkor mindhárom

23

tengely irányában a rövidülés egyforma, és a tengelyek a képen külön-külön 120°-os szög alatt metszik egymást (izometrikus vetítés) (Ábra 34).

Ábra 34

Az izometrikus vetítés keletkezése a következő ábrán látható (Ábra 35). A tárgyat (kockát) az elforgatási tengely körül 45°-ban el kell forgatni, ezután a kockát meg kell dönteni ~35°16’-os szög alatt, hogy az AB térátlója pontban legyen látható.

Ábra 35

Ilyen módon a tárgy hosszai a vetületen rövidülnek körülbelül a valódi méret 80%ára.

3.3.1.2.2

Ferde vetítés

Ha a tárgy homlokhelyzetbe van állítva (például az x és a z tengely párhuzamos a vetítősíkkal) párhuzamos ferde vetítősugarak segítségével a vetítősíkon meg lehet szerkeszteni a kocka képét ferde vetítéssel. A homlokhelyzetű oldallapok a képen négyzetek maradnak, míg a többi oldallap romboiddá torzul, mivel a harmadik (például az y) tengely irányában bizonyos rövidülés áll be. Ez a rövidülés a vízszintes és a harmadik tengely által bezárt szög nagyságától függ (Ábra 36 és Ábra 37).

24

Ábra 36

Ábra 37

Rajzolásnál, a tengelyek által bezárt szög és a rövidülés mértékét előre meg kell határozni a rajz céljától függően (például 45°-os szögben és rövidülés nélküli rajzolásnál egyszerű az ellipszisek szerkesztése, mert a tengelyek iránya megegyezik az átlók irányával) (Ábra 38).

25

Ábra 38

A következő ábrán (Ábra 39), egy tárgy van ábrázolva rövidülés nélkül és 50%-os rövidüléssel.

Ábra 39

Az objektum orientálása két szabályon van alapozva. Ha nem lehet alkalmazni mindkét szabályt, akkor az első részesül előnyben (Ábra 42): 1. A test görbe éleit (körök, ívek...) a vetítősíkkal párhuzamosan kell elhelyezni (Ábra 40), 2. A test domináns hosszát a vetítősíkkal párhuzamosan kell elhelyezni (Ábra 41).

Ábra 40

26

Ábra 41

Ábra 42

3.3.1.2.3

Perspektíva

A tárgy képsíkhoz való helyzetétől függően három féle perspektívát lehet megkülönböztetni (Ábra 43): -

frontális vagy homlokperspektívát, ferde perspektívát, általános perspektívát.

Frontális perspektíva Frontális perspektívánál a tárgyat (kockát) úgy kell beállítani, hogy két oldallapja párhuzamos legyen a függőleges (homlok) képsíkkal. Az így beállított kocka centrális vetítés alkalmával kapott képen a függőleges képsíkkal párhuzamos oldalak négyzetek maradnak, míg a többi bizonyos torzulást szenved. A kocka élei amelyek párhuzamosak a tengelyekkel a függőleges síkban (például x és z), a képen is párhuzamosak maradnak, az y tengellyel párhuzamos élek irányai pedig a képen egy pontban metszik egymást, mely az y tengely végtelenben lévő pontjának a vetülete. Ferde perspektíva Ebben az esetben a tárgyat (kockát) úgy kell beállítani, hogy annak csak a z tengely irányában lévő élei legyenek párhuzamosak a függőleges vetítősíkkal. Így a képen is csak ezek maradnak egymással párhuzamosak, míg az x és az y tengely irányában lévők egy-egy pontban metszik egymást, melyek a megfelelő tengelyek végtelenben lévő pontjainak a vetületei. Általános perspektíva Ebben az esetben a tárgy (kocka) minden éle ferdén helyezkedik el a képsíkhoz viszonyítva. Ekkor mindhárom tengely végtelenben lévő pontjainak a vetülete megjelenik a képsíkon, melyekhez konvergálnak a kocka megfelelő élei a képen, vagyis az így kapott képen már nincsenek párhuzamos élek. Az összes módszer közül az általános perspektíva képez a tárgyról leghűbb képet.

27

Ábra 43

28

Leonardo Da Vinci (1452-1519) Leonardo Da Vinci az emberiség legismertebb festői, szobrászai, építészei, zenészei, mérnökei, feltalálói és tudósai közé tartozik. Képei elismertek a szépségük és a realizmusuk miatt, a vázlatai melyek anatómiával, repüléssel, fizikával és természettel kapcsolatosak messze meghaladták korát. Élete során ez a tizenötödik századi géniusz megváltoztatta a világot. A következő festmények bemutatják Leonardo három legfontosabb munkaterületét (melyek karakterisztikusak a reneszánsz időszakra): -

Realizmust, mely a „Mona LIsa” festményben mutatkozik, Tudományt, mely a „Váll és a nyakizomzat” ábrázolásában mutatkozik Perspektívát, mely az „Utolsó vacsora” festményében mutatkozik.

Realizmus A „Mona Lisa” a világ egyik legismertebb festményei közé tartozik. Da Vinci a színek és az árnyékok használatával realisztikus ábrázolást hoz létre, ami az akkori időkben igen haladónak számított.

Tudomány A képen látható vázlatok da Vinci tudomány felé irányuló érdekeltségét jelképezik. A képen az ember nyak és váll izomzata látható.

29

Perspektíva A reneszánsz festményeknél a festők már használták a perspektívát. Az „Utolsó vacsora” festményen ez tisztán látható.

30

A vetítési módszerek felosztása a következő ábrán látható (Ábra 44).

Ábra 44

31

4 Geometriai elemek A geometriai elemek lehetnek: -

pontok (points),

-

vonalak (lines),

-

felületek (surfaces),

-

testek (solids).

4.1

Pont

A pont az alap geometriai elem. A pont egy elméleti lokáció, melynek nincsen mérete. A pont néhány lehetséges definiálása a következő ábrán látható (Ábra 45).

Ábra 45

4.2

Vonal (görbe)

A vonal egy olyan geometriai elem, melynek hossza és iránya van. Az egyenes vonalak néhány lehetséges egymásközti helyzete a következő ábrán látható (Ábra 46).

32

Ábra 46

A görbe (vonal) keletkezésének néhány lehetősége a következő ábrán látható (Ábra 47).

Ábra 47

A görbe (vonalak) térbeli elhelyezésük szerint lehetnek síkbeli görbék (például egy kör), illetve térbeli görbék (például egy csavarvonal).

33

4.2.1

Kúp síkmetszetei (kúpszeletek)

A kúp síkmetszeteket a mindennapi gyakorlatban sűrűn alkalmazzák, ezért szükséges az elemzésük. Általánosan azt lehet mondani, hogy egy végtelen kiterjedésű kúpfelület úgy keletkezik, hogy egy csúcspontot össze kell kötni egy vezérgörbe (kör) pontjaival. Az összekötő egyeneseket alkotóknak nevezik. Ha a kúpfelületet elmetszik egy síkkal, akkor a csúcsponttól a síkig terjedő felületet és a síkmetszetet, azaz az alapkörrel határolt felületet kúpnak nevezik. Kúpszeleteknek nevezik azokat a görbéket, amelyeket olyan síkok metszenek ki a kúpfelületből, amelyek nem mennek keresztül a kúpfelület csúcspontján. A kúpszeletek felosztása a következő (Ábra 48): -

kör,

-

ellipszis,

-

parabola,

-

hiperbola.

Ábra 48

Az a sík, amely nem párhuzamos egy alkotóval sem, a kúpot ellipszisben metszi, ha párhuzamos az alapsíkkal akkor körben metszi, ha párhuzamos egy alkotóval akkor parabolában metszi, ha pedig párhuzamos két alkotóval, akkor hiperbolában metszi. A parabolának egy, a hiperbolának két pontja a végtelenben van. Ellipszisnél és parabolánál a sík a kúpfelületet csak az egyik ágát, míg hiperbolánál mindkét ágát metszi. A kúp síkmetszetei (kúpszeletek) síkbeli görbék. A kúpszeleteket még másodrendű görbéknek is nevezik, mert egy egyenes ezeket a görbéket két pontban metszi, algebrai egyenletük pedig másodfokú. Időszámítás előtt a harmadik században a görög matematikus Appolonius Pergából már ismerte a kúpszeletek közös definícióját: a kúpszelet olyan görbe, amelynek az

34

excentricitása, azaz pontjai egy adott F ponttól (gyújtópont – fókusz) és egy adott egyenestől (vezérvonal – direktrix) való távolságának a hányadosa állandó (Ábra 49). Ha az excentricitás kisebb egynél, akkor ellipszisről, ha nagyobb egynél, akkor hiperboláról, ha pedig egyenlő eggyel, akkor paraboláról van szó.

Ábra 49

A kúpszeleteknek két gyújtópontjuk van. A parabolánál az egyik a végtelenben van, míg a körnél fedik egymást. A kúpszeletek fontos közös tulajdonsága (amelyen alapszik ezek gyakorlati alkalmazása is) a következő: a kúpszelet bármelyik pontjában az érintő és a normális szögfelezői a pontot a fókuszokkal összekötő egyenesek által bezárt szögeknek. Ez a tulajdonság a fizikában megegyezik a beeső és a visszaverődő szögek tulajdonságával: a kúpszelet egyik fókuszából kiinduló sugarak a kúpszelet belső felületéről a másik fókusz irányába verődnek vissza (Ábra 50).

Ábra 50

A kúpszeletek közül legnagyobb gyakorlati felhasználása a parabolának van, ami annak köszönhető, hogy egyik gyújtópontja a végtelenben van. A következő ábrán a parabola két gyakorlati felhasználása látható (Ábra 51).

Ábra 51

35

4.2.2

Gördüléssel létrehozott síkbeli görbék

Gördüléssel létrehozott síkbeli görbéket a mindennapi gyakorlatban sűrűn alkalmaznak, ezért szükséges az elemzésük. Ezek a görbék egy görbe vonal, vagy egy egyenes vonal gördítésével egy másik görbe, vagy egyenes vonalon keletkeznek. Egy pont mely a gördülő vonalon van, ilyen görbét ír le. Spirál A spirál úgy keletkezik, hogy egy egyenes vonal egy pont körül forog, és a pont amely spirált ír le lineárisan mozog az egyenesen (Ábra 52).

Ábra 52

Cikloíd A cikloíd úgy keletkezik, hogy egy kör gördül egy görbén (egyenesen Ábra 53), a pont pedig amely cikloíd görbét ír le a körön van.

Ábra 53

Involút Az involút úgy keletkezik, hogy egy egyenes gördül egy görbén (körön Ábra 54), a pont pedig amely involút görbét ír le az egyenesen van.

36

Ábra 54

4.2.3

Térbeli görbék

A térbeli görbe úgy keletkezik, hogy egy pont térbeli útvonalon halad. Például két rotációs test (kúp, henger...) metszete térbeli görbét képez. A csavarvonal (a pont szögelmozdulást és lineáris elmozdulást végez) is térbeli görbe (Ábra 55).

Ábra 55

4.2.4

4.2.4.1

Szabadformájú görbék

Történelem

A számítógép-használat időszaka előtt, az építészek, mérnökök, valamint a művészek, a házak, utak, gépek..., terveit papíron, ceruzával és más rajzoló eszközök segítségével rajzolták. Az eszközök többek között vonalzók, körzők és szögmérők voltak. Természetesen az összetett alakzatú objektumok rajzolása nem volt lehetséges a felsorolt eszközök segítségével, mert tartalmaztak görbéket melyek nem csak körökből vagy ellipszisekből álltak. Sokszor a görbék több előre meghatározott ponton keresztül simulva kellett hogy áthaladjanak. Ez az elvárás különösen nagy problémákat okozott a hajógyártásban. Igaz, hogy egy ügyes művész, vagy rajzoló meglehetősen elfogadható rajzokat tudott rajzolni a rajzolótáblán, a hajógyártásban

37

szükség volt rendkívül nagy rajzokra (az alkatrészek valódi méretében), melyek rajzolása rajzolótáblákon lehetetlen volt. A nagy méretük miatt ezek a rajzok nagy épületek tetőtereiben (ang.: loft area) készültek külön szakemberek által (ang.: loftsman). A szakemberek segítségként hosszú vékony hajlékony fém vagy faléceket használtak, melyeket „spline”-nak neveztek A „spline”-ok ólom nehezékekkel voltak kifeszítve a megfelelő alakzatra. Az eredmény, a megfelelő görbe, zavartalan, folyamatos volt, változó görbüléssel. Amint bekövetkezett a számítógépek használata a tervezési-szerkesztési folyamatban, a „spline”-ok fizikai tulajdonságait elemezték, hogy megfelelő matematikai eszközök segítségével modellezhetők legyenek számítógépen.

4.2.4.2

Bevezetés

A grafikus rendszerekben egy általános görbe rajzolása nagy problémát okoz. Egy görbét véges számú rövid egyenes szegmenssel lehet definiálni. A görbe közeli elemzése láthatóvá teszi, hogy ez a definíció csak egy approximáció. Jobb approximációhoz nagyobb számú rövidebb egyenes szegmenset kellene használni, ami nagyobb számú adatot jelent. A nagyobb számú adat tárolása nehezíti a görbe kezelését. Evégett szükséges a görbék definiálása matematikai formában. Ideálisan, a definíció iránti elvárások a következők: -

reprodukálhatóság (az eredmény mindig ugyanaz a görbe),

-

gyors kiszámíthatóság,

-

könnyű kezelhetőség,

-

flexibilitás,

-

könnyű kombinálhatóság a görbe többi szegmensével.

A görbék két kategóriába oszthatók: -

interpolációs görbék,

-

approximációs görbék.

Az interpolációs görbék áthaladnak az összes ponton (a pontok definiálják a görbét). Az approximációs görbék a pontok közelében haladnak át (a pontok definiálják a görbét) (Ábra 56 A és B). A görbét mely valamilyen egyenlettel van definiálva rendszerint „spline”-nak nevezik.

38

Ábra 56

4.2.4.2.1

Explicit „spline” görbék

A görbe legalapvetőbb definíciója síkban a következő: y = f (x) . Ez a függvény segítségével egyszerű görbék rajzolhatók. Rendszerint valamilyen polinom függvényeket szoktak használni. Példaként egy harmadrendű függvény van definiálva: y = ax 3 + bx 2 + cx + d , ahol az a, b, c és d állandók. Az adott x értékekhez az y értékek kiszámíthatók. Egy ilyen görbe alakja relatív flexibilis, de nem lehet vertikális és egy x értékhez csak egy y értéket lehet meghatározni.

4.2.4.2.2

Parametrikus „spline” görbék

Parametrikus egyenletek segítségével általánosabb görbéket lehet definiálni mind az explicit egyenletekkel. Egy másodrendű parametrikus „spline” görbe a következő ⎡x ⎤ 2 formában írható le: P = a2t + a1t + a0 . A P = ⎢⎢ y ⎥⎥ a keresett pont a görbén az ⎣⎢ z ⎦⎥

⎡ a0 x ⎤ ⎡a2 x ⎤ ⎡a1x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a0 = ⎢a0 y ⎥, a1 = ⎢a1 y ⎥, a2 = ⎢a2 y ⎥ , három vektor amely definiálja a görbét, a t pedig a ⎢a ⎥ ⎢a ⎥ ⎢a ⎥ ⎣ 2z ⎦ ⎣ 1z ⎦ ⎣ 0z ⎦ paraméter. Ahhoz, hogy meg lehessen oldani az egyenletet a görbén három pontot szükséges definiálni (P0, P1, P2). A konvenció szerint a görbe a t = 0 és a t = 1 értékek között van definiálva, ahol két pont a görbe végső pontjait definiálja. Ez t = 0 P0 = a0 alapján a következő írható le: t = 1

t = t1

P2 = a2 + a1 + a0

. Az egyenlet rendszer

P1 = a2t + a1t + a0 2

a0 = P0

megoldása a következő: a2 =

( P1 − P0 ) − t1 ( P2 − P0 ) . t1 (1 − t1 )

a1 = P2 − P0 − a2

4.2.4.3

„Spline” görbék

Az egyszerű „spline” görbék interpolációs görbék (Ábra 56 A). 39

4.2.4.4

„Bezier” görbék

A „Bezier görbék parametrikus egyenletekkel vannak definiálva és interpolációs görbék. A Francia Rénault autógyárnak Pierre Bézier fejlesztette ki ezeket a görbéket az 1960as években. A legsűrűbben használt „Bezier” görbe a harmadrendű görbe, mely négy ponttal van definiálva, a végsőpontokkal és másik két kontrol ponttal, melyek nem fekszenek a görbén, de definiálják a görbe alakját (Ábra 57).

Ábra 57

A következő ábrán (Ábra 58) csak a kontrol pontok változnak, ezzel a görbe nagy mértékben változik (egyenes, metszi saját magát, törés...).

Ábra 58

4.2.4.5

„B-spline” görbék

A „B-spline” görbék parametrikus egyenletekkel vannak definiálva és approximációs görbék (Ábra 62) (elemzésük a „NURB” görbék elemzésénél található). Lehetséges a görbe alakjának lokális változtatása.

40

4.2.4.6

„NURB” görbék

A „NURB” görbék parametrikus egyenletekkel vannak definiálva és approximációs görbék. A „NURB” (nonuniform rational B-splines, egyeletlen arányos B-spline) görbék előnye az, hogy velük bármilyen alakzatot definiálni lehet, megtartva a matematikai pontosságot és a felbontástól való függetlenséget. A tulajdonságaik a következők: -

bármilyen alakzatot definiálni lehet: pontokat, egyenes vonalakat, több szegmensből álló vonalakat („polylines”), kúpszeleteket, szabad formájú görbéket...,

-

nagy szabályozási lehetőséget ad a görbe alakjával kapcsolatban. A kontrol pontok és csomópontok, melyek definiálják a görbe alakját, közvetlenül kezelhetők,

-

rendkívül komplex alakzatokat, rendkívül kevés adattal lehet definiálni (például egy kört hét kontrol ponttal lehet definiálni),

-

a görbe egyenletességének kezelése, illetve a szükséges törés pontok pontos definiálása lehetséges.

A „NURB” görbék egyik tulajdonsága az, hogy a görbe alakja többek között egy pont sorozat helyzetével van meghatározva. Ezeket a pontokat kontrol pontoknak („control point”) nevezik (Ábra 59). A kontrol pontok rendszerint csatlakoztató vonalakkal vannak összekötve, melyek vizuális segélyként szolgálnak. Ezek a vonalak az úgy nevezett „control polygon”-t képezik.

Ábra 59 Görbe definiálása kontrol pontokkal

Az ábrán látható, hogy a két görbe ugyanazt a görbét ábrázolja, csak a másodiknál a B7-es pont el van mozdítva. Ez miatt a görbe alakja egy kicsit változott, de csak a pont környékén, ami egy jó tulajdonság, mert lehetővé teszi a lokális változtatásokat. Ez azért lehetséges, mert a kontrol pontok csak lokálisan hatnak a görbére. Ezt n −1

matematikailag a következő formában lehet leírni: Q(t ) = ∑ Bi N i ,k (t ) . Más szóval, i =0

ahhoz, hogy definiálni lehessen a pont helyzetét a görbén a t paraméter függvényében,

41

össze kell adni az összes Bi kontrol pont helyzetét megszorozva a pont hatásfokával ( N i ,k (t ) ) a t paraméter függvényében5. „Basis functions” Bázis függvények

A N i ,k (t ) függvényt (az értéke reális szám), mely meghatározza milyen erősen hat a kontrol pont a görbére a t paraméter függvényében, bázis függvénynek nevezik. Innen ered a B betű a „B-spline” elnevezésben. A következő ábra egy tipikus bázis függvényt ábrázol (Ábra 60).

Ábra 60

Mivel mindegyik kontrol pontnak saját bázis függvénye van, a következő ábrán azt lehet látni, hogy például öt kontrol ponttal definiált görbénél, mindegyik pont bázis függvénye el van helyezve a görbe valamelyik részén (Ábra 61).

Ábra 61

Az előző ábrán a bázis függvények egyforma alakúak (méretűek) és egyenletesen vannak elhelyezve. Általánosan, lehetőséget kell biztosítani az egyes pontok függvényeinek változtatását (alakban, méretben, helyzetben). Ez a lehetőség miatt nevezik ezeket a görbéket „egyeletlen” (non uniform) görbéknek. Ahhoz, hogy ez lehetséges legyen csomópontokat kell definiálni, melyek a bázis függvények hatáskörét definiálják. Az előző ábrán a csomópontok (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, és 7) egyenletesen vannak elhelyezve. A görbe, mely ilyen módon van definiálva a következő ábrán látható (Ábra 62).

5

A „k” index a „NURB” görbe rendjét jelöli, de az ismertető anyag terjedelme miatt ez nem lesz elemezve.

42

Ábra 62

A következő ábrán (Ábra 63) a csomópontok (0, 1, 2, 3.75, 4, 4.25, 6 és 7) egyeletlenül vannak elhelyezve. Ezen kívül, a bázis függvények maximális értéke nem egyelő.

Ábra 63

A görbe, mely ilyen módon van definiálva a következő ábrán látható (Ábra 64).

Ábra 64

43

A bázis függvények fontos tulajdonságai a következők: -

a t intervallumon belül bármelyik pontban a bázis függvények értékeinek összege pontosan 1,

-

ha mindegyik kontrol pont súlya6 pozitív értékű, a görbe egy meghatározott kereten belül helyezkedik el7,

-

a t intervallumon belül legfeljebb „k” bázis függvény hat a görbére, ahol a „k” a görbe rendje,

-

a „k” rendű görbe csak ott van definiálva, ahol „k” bázis függvény értéke nem 0.

Az előző ábrákon látható volt, hogy a görbék nem kezdődtek és nem fejeződtek az első, illetve az utolsó kontrol pontokban, és hogy a görbéken nem volt törés. A csomópontok egyeletlen elhelyezésével lehetséges a görbe kezdetét és végét a kezdő, illetve a végső pontban definiálni és lehetséges tőrést definiálni. A következő ábrán (Ábra 65) a csomópontok (0, 0, 0, 3, 4, 5, 6 és 7). Ilyen módon a görbe kezdő pontja a megfelelő bázis függvényekkel egybe esik az első kontrol ponttal (Ábra 66).

Ábra 65

Ábra 66

6

A folytatásban lesz elemezve.

7

Az ismertető anyag terjedelme miatt ez nem lesz elemezve.

44

A következő ábrán (Ábra 67) a csomópontok (0, 1, 2, 3, 3, 5, 6 és 7). Ilyen módon a görbe a megfelelő bázis függvényekkel a harmadik kontrol pontban törik (Ábra 68).

Ábra 67

Ábra 68

„Rational curves” Arányos görbék

Egy 3D kontrol pont (x, y, z) koordináták helyett (x, y, z, w) értékekkel van definiálva. Erre azért van szükség, mert ilyen módon nagyobb szabályozási lehetőségek vannak a görbe alakját illetően. A negyedik koordináta a kontrol pont „súlyát” definiálja. Ha egy kontrol pont súlya növelve van, a pont hatása a görbére növekedik, más szóval a pont „húzza” maga felé a görbét (Ábra 69).

Ábra 69

45

n −1

Ezt matematikailag a következő formában lehet leírni: Q(t ) = ∑ Bi wi N i ,k (t ) . Ezzel a i =0

„NURB” görbe teljes egészében definiálva van.

4.3 4.3.1

Felület Sík

A sík egy 2D felület, melynek nincs vastagsága. Egy síkot három ponttal, két párhuzamos egyenessel, egy egyenessel és egy ponttal, illetve két egymást metsző egyenessel lehet definiálni (Ábra 70).

Ábra 70

46

4.3.2

Felület

A felület 3D objektum, melynek nincs vastagsága (Ábra 71).

Ábra 71

4.4

Test

A test 3D objektum, melynek van vastagsága (például definiálni lehet a térfogatát, meg lehet adni a sűrűségét és ebből kifolyólag meg lehet határozni a tömegét) (Ábra 72).

Ábra 72

47

5 3D Modellezés A 3D modellezés a geometriai elemek létrehozásával foglalkozik. Három fajta 3D modellezést lehet megkülönböztetni: -

modellezés vonalhálóval (Wireframe modeling),

-

modellezés felületekkel (Surface modeling),

-

modellezés testekkel (Solid modeling).

5.1.1

Modellezés vonalhálóval (Wireframe modeling)

A geometriai elemeket vonalak (görbék) segítségével építjük (Ábra 73, Ábra 74).

Ábra 73

Ábra 74

48

5.1.2

Modellezés felületekkel (Surface modeling)

A geometriai elemeket felületek segítségével építjük (Ábra 75, Ábra 76).

Ábra 75

Ábra 76

49

5.1.3

Modellezés testekkel (Solid modeling)

A geometriai elemeket alap geometriai testek (Ábra 72), vagy más geometriai testek kombinációjával építjük (Ábra 77).

Ábra 77 Test kreálása geometriai alakzatokkal és Bool féle operációkkal

5.2

Geometriai elemek létrehozása

A geometriai elemeket több technikával lehet létrehozni, melyekből néhány van bemutatva a folytatásban.

5.2.1

Kihúzás (Extrude)

Ennél a technikánál egy kezdő geometriai elemet egy egyenes irányában kell elmozdítani (Ábra 78).

Ábra 78

50

5.2.2

Elforgatás (Revolve)

Ennél a technikánál egy kezdő geometriai elemet egy tengely körül kell elforgatni (Ábra 79).

Ábra 79

Valamennyi technikával létrehozott geometriai elemek kombinációjával összetett geometriai elemeket lehet létrehozni. A geometriai elemek kombinálását rendszerint Bool féle operációkkal kell végrehajtani (Ábra 77).

51

6 TÉRELEMEK ÁBRÁZOLÁSA RENDEZETT MERŐLEGES VETÜLETEKBEN

6.1

A PONT ÁBRÁZOLÁSA. KOORDINÁTARENDSZER

A legegyszerűbb térelemek a pont, az egyenes és a sík. Egy pont térbeli helyzete csak egy meghatározott objektumhoz viszonyítva adható meg, amely lehet pl. a H vízszintes sík (Ábra 80). Ez a sík a teret két féltérre osztja, így a tetszőleges helyzetű A pontra az állapítható meg, hogy a felső térfélben helyezkedik el, azaz a H sík felett z távolságnyira a H síktól. Ez az adat viszont nemcsak az A pont helyzetét határozza meg (a H síkhoz viszonyítva), hanem az A pontra illesztett és a H síkkal párhuzamos sík minden pontjának a helyzetét is, amely megegyezik az A pontéval.

Ábra 80 Síktól való távolsággal meghatározható egy másik sík (a), két síktól való távolsággal meghatározható egy egyenes (b)

A H síkhoz az F függőleges síkot kapcsolva, ezek együtt a teret négy térnegyedre osztják. Az A pont helyzete most már a következő: az A pont a H sík felett z távolságra és az F sík előtt y távolságra található. Ez a két adat viszont nemcsak az A pont helyzetét határozza meg az adott két síkhoz (H és F) viszonyítva, hanem az A pontra illesztett és a H és F síkokkal, vagyis a metszetükkel (x) párhuzamos egyenes minden pontjának a helyzetét is, mivel az megegyezik az A pontéval. A térnegyedek jelölése római számokkal történik I-től IV-ig, amint ez az előző ábrán látható.

52

Az előbbi két síkhoz merőlegesen egy harmadik P síkot csatlakoztatva (Ábra 81), kialakul a tér nyolc térnyolcadra való felosztása. A térnyolcadok jelölése ugyanúgy számozással történik, mint a térnegyedeké azzal, hogy a P síktól jobbra van az első négy (I-IV), míg balra a többi (V-VIII). Bármelyik térnyolcadban levő pont helyzetét pontosan meghatározza a pont merőleges távolsága az adott három (H, F és P) síktól. E három síkot képsíkoknak nevezik. A H a vízszintes képsík, az F a függőleges képsík, míg a P a profil képsík. A képsíkok egymásra merőlegesek és egy derékszögű képsíkrendszert alkotnak. Egymással létrejött metszeteik képtengelyeket hoznak létre. Ezek szintén merőlegesek egymásra, így egy térbeli derékszögű koordináta-rendszert (Deskartes féle koordináta rendszer) alkotnak, melynek koordinátasíkjai a képsíkok. A két képsík metszeteként kapott tengely merőleges a harmadik képsíkra. A három képsík és a három tengely a koordináta-rendszer 0 kezdőpontjában metszik egymást. Az A pont merőleges távolsága (2. ábra) a három képsíktól a pont három koordinátája: a P síktól az x, az F síktól az y, a H síktól pedig a z. Az x-koordináta pozitív, ha a pont jobbra van a profil képsíktól (az I.-IV. térnyolcadban) és negatív ha balra van (az V.VIII. térnyolcadban). Az y-koordináta pozitív, ha a pont a függőleges képsík előtt (az I., IV., V. és a VIII. térnyolcadban) és negatív, ha mögötte van (az II., III., VI. és a VII. térnyolcadban). A z-koordináta pozitív, ha a pont a vízszintes képsík felett található (az I., II., V. és a VI. térnyolcadban) és negatív, ha alatta (a III., IV., VII. és a VIII. térnyolcadban.).

Ábra 81 A derékszögű koordináta-rendszer a három képsíkkal és az A pont koordinátáival

Az Ábra 81 a derékszögű koordináta-rendszert képiesen szemlélteti. Ez az ábra a ferde axonometria módszerével alakult ki, amikor is a koordináta-rendszert és a képsíkokat ferde, párhuzamos vetítősugarakkal rávetítettük a rajz síkjára, amely egybeesik a függőleges képsíkkal. Ennek köszönhetően az F sík az x és z tengellyel valódi nagyságban jelenik meg a vetületen, míg a másik két képsík, a H és a P, valamint a metszetükként kapott y tengely ferdén látszik, ezért e tengellyel párhuzamos méretek általában torzulnak (kisebbek lesznek). Viszont izometrikus vetítésnél a méretek mindhárom tengely irányában egyformák.

6.1.1

Általános helyzetű pont ábrázolása

Vegyünk fel egy általános (tetszőleges) helyzetű A(x,y,z) pontot az I. térnegyedben. E pont térbeli helyzetét, vagyis a ferde vetületét (Ábra 81) megkapjuk, ha a pozitív xféltengelyre felvisszük az x koordinátát, a pozitív y-féltengelyre az y-koordinátát és a 53

pozitív z-féltengelyre a z-koordinátát. A pont három koordinátáját tekinthetjük a pont helyvektora alkotóinak is (Ábra 82).

Ábra 82 Az A pont koordinátái, mint a pont helyvektorának alkotói

(Megjegyzés: Az y-tengely és más térelem képies vetületét, amely kötődik ehhez a tengelyhez, a méretek torzulása és a merüleges vetületektől való könnyebb megkülönböztetés miatt felülhúzással jelöljük, pl. A , olv. “A-felülhúzott”). Ha elvégezzük az A pont vetítését (Ábra 81) a H, az F és a P képsíkra merőleges, azaz az x-,y- és ztengellyel párhuzamos vetítősugarakkal, megkapjuk az A pont merőleges (ortogonális) képeit, (vetületeit): első képét a vízszintes képsíkon (A′ - avessző), második képét a függőleges képsíkon (A′′ - a kétvessző) és harmadik képét a profil képsíkon (A ′′′ - a háromvessző). Az ábráról kitűnik, hogy az A pont távolsága a képsíkoktól megegyezik az A pont és merőleges vetületei közötti távolsággal. Ferde axonometriánál, ha a lépték mindhárom tengelyen 1:1, akkor minden koordináta valódi nagyságban látszik, csak az y koordináta ferde, így a tengelyek közötti szögek közül csak egy látszik derékszögnek (az x és a z között), míg a másik kettő torzulást szenved. Annak érdekében, hogy legalább még egy tengelyek közötti szög lássék valódi nagyságban, vagyis derékszögben, a koordinátarendszert és a térelemeket két képsíkon, rendezett merőleges vetületekben kell ábrázolni (Mongeféle rendszer). Ha a képsík- (HFP), ill. a koordinátarendszert (Oxyz) a benne található A ponttal együtt merő-legesen a vízszintes képsíkra (vagy vele párhuzamos síkra) vetítjük, ill. ha az egészet felülről nézzük a pozitív z-féltengely irányával szemben, akkor a H képsík az x és y tengelyekkel valódi nagyságban látszik, az F és a P sík első vetülete egyenesben jelenik meg: az x′ -, ill. az y′ -tengelyen, melyek az O pontban metszik egymást, vagyis e két képsík metszetének, azaz a z-tengely-nek az első vetülete ( z′ ) az O pontra esik (4a ábra). Ennél a vetítésnél a háromdimenziós tér ztengely irányában levő mérete „eltünt” és látszólag kétdimenziós H síkká (Oxz) zsugorodott. Ennél a módszernél a pont z koordinátáját “feláldoztuk” annak érdekében, hogy a másik két koordináta (x és y) valódi nagyságban és derékszögben látszódjék. A pont térbeli helyzetét az előbbi módon kapott egy merőleges vetület ( A′ ) nem határozza meg teljesen, mert csak azt látjuk, hogy az A pont a P képsíktól jobbra és az F képsík előtt (tehát az I. vagy a IV. térnyolcadban) van. Nem látszik viszont a pont vízszintes képsíkhoz való helyzete, vagyis felette, alatta vagy benne van-e, mivel az A′ az A pontra illesztett és a H képsíkra merőleges egyenes bármelyik és mindegyik pontjának a vetülete. Az A pont H képsíkhoz való helyzetének a meghatározásához szükséges még egy merőleges vetület, amelyen az A pont z koordinátája valódi 54

nagyságban jelenik meg. Ez a koordináta párhuzamos az F és P síkkal, így ezekre való vetítéssel megkapható a z valódi nagysága (Ábra 83).

Ábra 83 A képsík- és koordináta-rendszer, valamint az A pont első és második képe

Ha a függőleges képsíkra vetítünk, a vetítősugarak párhuzamosok lesznek az y tengellyel, ezért e tengely második vetülete ( y ′′ ) az O pontba kerül, míg a H képsíké az x tengelyre ( H ′′ ), a P képsíké pedig a z tengelyre ( P ′′ ), amint ez az ábrán látható. Az A pont x és z koordinátája valódi nagyságban jelenik meg a második vetületen, míg az y koordináta „eltűnt”, mivel az A pont második vetületére esik. A második vetület segítségével megállapítható, hogy az A pont a vízszintes képsík felett található (vagyis az I. térnyolcadban), tehát két vetület szükséges és elégséges egy pont térbeli helyzetének a teljes meghatározásához. Az előbbiekből megállapítható, hogy egy pont három koordinátája és az általuk bezárt derékszögek valódi nagyságának ábrázolásához két olyan vetületre van szükség, amelyeket két egymásra merőleges képsíkon kapunk meg, vagyis a térelemeket két egymásra merőleges irányból kell szemlélni, ill. vetíteni (ha a vetítési irányok megegyeznek a z és az y tengellyel, akkor a kapott vetületeket a géprajzban felülnézetnek és elölnézetnek nevezik). Három egymásra merőleges egyenes (pl. a három koordináta tengely) megfelel egy síknak és normálisának, mivel két egyenes (pl. az x és y tengely) egy síkot alkot (ez a H képsík), melynek a normálisa a harmadik egyenes (a z tengely). 1. Egy sík akkor látszik valódi nagyságában, ha azt normálisának irányában nézzük, ill. vetítjük. Ebben az esetben a sík normálisa pontnak látszik. Hasonló az eset három egymásra merőleges egyenesnél is. Ha ezeket az egyeneseket az egyik egyenes irányában nézzük, ill. vetítjük, akkor ez az egyenes ponttá zsugorodik, míg a másik kettőt és az általuk bezárt derékszöget valódi nagyságban látjuk. 2. Ha egy sík képe egyenesként jelenik meg, akkor e sík normálisa valódi nagyságban látszik, merőlegesen a sík vetületére. Illetve, ha három egymásra merőleges egyenes közül az egyik képe valódi nagyságban látszik, akkor a másik kettő képe egy-egy egyenes, amelyek merőlegesek az első valódi nagyságú vetületére.

55

Mivel a képsíkrendszernek első és második vetületén (Ábra 84) két-két képsík egymásra merőleges egyenesként jelenik meg, a profil képsík minkét vetületnél függőleges egyenesként látható. A pont első képe a vízszintes képsíkon, a második pedig a függőleges képsíkon található. Mivel a pont helyzetének meghatározásához legalább két vetület szükséges és hogy a rajzi munkát egy síkban végezhessük el, a két képsíkot egyesítjük. Így a vetületek össze lettek kötve, vagyis rendezetté váltak (Ábra 84).

Ábra 84 A képsíkrendszer és az A pont rendezett vetületei az egyesített képsíkokon

Mivel a képsíkok végtelen nagy elhanyagolható vastagságú síkok, egyes vetületeik a megfelelő koordináta-tengelyeken vannak (az x-tengelyen az F′ és a H′′ , az ytengelyen a P′ és a P ′′ ), míg a H′ valódi nagyságban látszik és egybeesik magával a H-val, az F ′′ pedig az F-fel, mivel az is valódi nagyságban jelenik meg. A függőleges képsík egyben a rajz síkja is. A vetületek rajzolásánál először felvisszük az xtengelyre az x koordináta nagyságát, majd az x-tengelyre merőlegesen az y koordinátáét, hogy megkapjuk az A′ -t és a z koordinátáét, hogy megkapjuk az A′′ -t. A két vetületet ily módon összekötöttük, vagyis rendeztük. Az összekötő egyenest rendezőnek nevezik. Az xA = y az A pont első rendezője, az xA = z pedig a pont második rendezője. A rajz jobb áttekinthetőségének érdekében elég a rendezőket megrajzolni és jobb elhagyni a felesleges PA ′ és PA ′′ vízszintes vonalakat. Az előbbiekben leírt ábrázolási módnál először megrajzoljuk a tengelykeresztet, majd a tengelyeket nyilakkal és betűkkel megjelöljük, de tisztában kell lenni azzal a ténnyel, hogy a két tengely egyszerre két képet ábrázol: a képsíkrendszer két vetületét, vagyis a két egymásra merőleges vízszintes és függőleges képsíkot.

6.1.2

Különleges helyzetű pont ábrázolása

Különleges helyzetű a pont akkor, ha valamelyik képsíkban (vagyis két térnyolcad határán) vagy valamelyik koordináta tengelyen (vagyis egyidőben két képsíkban, azaz négy térnyolcad határán) van. Ha a pont egy képsíkban van, akkor a pont koordinátája, amely a pont e képsíktól való távolságát határozza meg, egyenlő nullával. Ez azt jelenti, hogy a pont és az ezen a képsíkon való vetülete egybe esik. Ha a pont egy koordináta tengelyen, vagyis

56

egyidőben két képsíkban van, akkor a pont két koordinátája egyenlő nullával, így a pont minkét vetülete egybe esik magával a ponttal (a vetület helyben marad). A következő ábrákon példák láthatók különleges helyzetű pontok ábrázolására. Figyeljük meg, hogy a vízszintes képsíkban levő pontok második vetülete és a függőleges képsíkban levő pontok első vetülete mindig az x-tengelyen található, mivel a vízszintes képsík második vetülete és a függőleges képsík első vetülete szintén az xtengelyre esik.

Ábra 85 Különleges helyzetű pontok képies ábrázolása

57

Ábra 86 A pontok szétválasztott vetületei és pontok rendezett vetületei

Az előbbi ábrákon látható pontok koordinátái a következők: H(3;3;0), F(4;0;-4), P(0;3;4), X(-3;0;0), Y(0;2;0), Z(0;0;-3).

6.2

EGYENES ÁBRÁZOLÁSA

Egy egyenest két pont határoz meg. Ha az adott két pontot bevisszük a képsíkrendszerbe, rájuk illeszthető az egyenes, a pontok képeire pedig az egyenes megfelelő képe. Ha pl. az egyenes az A és B pontokkal adott, akkor képies ábrázolásnál az egyenes az A és B összekötője, míg az egyenes képei a pontok egynevű képeinek az összekötői lesznek. A következő ábrán egy általános helyzetű egyenes látható képiesen ábrázolva, amely véges helyzetű pontokban metszi (döfi) a képsíkokat. Annak érdekében, hogy az ábra ne legyen túlzsúfolt, az A és B pontok nincsenek berajzolva, viszont azt is mondhatjuk, hogy az egyenest két-két különleges helyzetű pont határozza meg, az 1 (a H-ban) és 2 (az F-ben).

58

Ábra 87 Egyenes és a képsíkokkal való metszéspontjai (az egyenes a megfelelő vetületével képzett metszéspontban hatol át a képsíkon)

6.2.1

Az egyenes nyompontjai

Az egyenes képsíkkal való metszéspontját az egyenes nyompontjának nevezik. Ebben a pontban az egyenes és a képsíkban levő vetülete metszik egymást, ugyanúgy, mint amikor egy botot a földbe szúrunk, a bot és az árnyéka a beszúrási pontban metszik egymást. Az előző ábrán jól látható, hogy az a egyenes és az első képe a vízszintes képsíkban levő 1 pontban (ez az egyenes első nyompontja), az egyenes és a második képe a függőleges képsíkban levő 2 pontban (ez az egyenes második nyompontja), míg az egyenes és a harmadik képe a profil képsíkban levő 3 pontban (ez az egyenes harmadik nyompontja) metszik egymást. A nyompontok meghatározásához nem szükséges az egyenes minden vetülete, mivel ehhez általános helyzetben levő egyenes esetén elegendő két rendezett vetület is. Ez annak köszönhető, hogy a képsíkok egymásra merőlegesek és ha a merőleges vetítésnél a képsíkoknak a rajz síkjába való beforgatásánál, az egyik képsík valódi nagyságban látszik, akkor a másik kettőnek a vetületei az előbbi képsík koordinátatengelyeivel fedik egymást. Ha pl. a képies ábrázolásnál megnézzük az egyenest (a ) és az első vetületét ( a′ ), azok metszik egymást az első nyompontban (1 = 1′). A függőleges képsík (F) első vetülete az x-tengelyen van, tehát a második nyompont első vetületét ( 2′ ) az a′ és az x-tengely (azaz az F′ ) metszete adja. A profil képsík (P) első vetülete az y-tengelyen van, tehát a harmadik nyompont első vetülete ( 3′ ) az a′ és az y-tengely (azaz a P′ ) metszetében található. A 2 és 3 nyompont az a egyenesen van, helyzetüket megkapjuk, ha az első vetületükből a z-tengellyel párhuzamosan vetítősugarat húzunk az egyenesig. Ha az a -t és az a′′ -t vizsgáljuk, a 2′ és 3′ pontot ugyanúgy kapjuk meg, mint az előbbi példában, vagyis az a′ és az F′ (x-tengely), ill. P′ (y-tengely) metszeteként. A függőleges képsík és rajta az egyenes második vetülete ( a ′′ ) valódi nagyságban látszik. A vízszintes képsík második vetülete ( H′′ ) az xtengelyen, a profil képsík második vetülete ( P′′ ) a z-tengelyen helyezkedik el. Ebből következik, hogy az első nyompont második vetülete (1″) az a″ és H″ (x-tengely), a harmadik nyompont második vetülete pedig az a″ és a P″ (z-tengely) 59

metszéspontjában van. A nyompontokat magán az a egyenesen kapjuk meg, ha vetítősugarakat húzunk az egyenesig: az 1 pont meghatározására az 1″-ből párhuzamosan az y-tengellyel, a 3 pont meghatározására az 3″-ből szintén párhuzamosan az y-tengellyel, míg a 2 pontot az egyenes és második vetületének a metszete adja meg. Ugyanez vonatkozik az egyenes rendezett vetületeire is. Általános szabály, hogy merő-leges vetítésnél az egyenes nyompontja közvetlenül látható azon a vetületen, amelynél a képsík vetülete egyenesben látszik. Mivel a vízszintes képsíkon (H) az F első vetülete az x-tengelyen, a P első vetülete pedig az y-tengelyen helyezkedik el, a második nyompont első vetülete ( 2′ ) az a′ és az F′ (x), míg a harmadik nyompont első vetülete ( 3′ ) az a′ és a P′ (y) metszeteként alakul ki. Az első nyompont első vetületét (1′ ), amely egybeesik magával az első nyomponttal, az 1′′ -ből az xtengelyre merőlegesen meghúzott rendező kimetszi az egyenes első vetületén. A második nyompont második vetületét ( 2 ′′ ), amely egybeesik magával a második nyomponttal, a 2′ -ből meghúzott rendező, (ez ugyancsak merőleges az x-tengelyre) metszi ki az a ′′ -őn. A harmadik nyompont vetületeit ( 3 és 3 ′′ ) a z-tengely metszi ki az egyenes megfelelő vetületén.

Ábra 88 Az egyenes nyompontjainak és a láthatóságnak a meghatározása rendezett vetületeknél

6.2.2

Az egyenes térben való elhelyezkedésének láthatóságának a meghatározása

és

Feltételezve azt, hogy a képsíkok nem átlátszóak és véges kiterjedésűek, az a egyenes láthatósága és a térnyolcadokban való elhelyezkedése (Ábra 87) a képies ábrázolási módból teljesen világos. Az I. térnyolcadban található egyenesszakasz, amely az 1 és 2 pont közé esik, látható, mivel a képsíkok nem takarják. A 2 és 3 pont közötti rész a II. térnyolcadban található, melynek egy részét a füg-gőleges képsík takarja. A nem látható részek szaggatott vonallal vannak ábrázolva. A VI. térnyolcadban levő egyenesszakasz a 3 ponttól a végtelenbe tart, részben nem látható a profil képsík takarása miatt. Végül a IV. térnyolcadban levő egyenesszakasz az 1 pontnál kezdődik és szintén a végtelenbe tart. Ennek egy része nem látható, mert a vízszintes képsík takarja. Az egyenes képei is ezen a módon vannak megrajzolva, vagyis a képsíkok által eltakart nem látható részek ábrázolása szaggatott vonallal történik, míg a látható részt vastag folytonos vonal ábrázolja. 60

Ha az egyenest rendezett vetületekkel ábrázoljuk (Ábra 88), akkor az egyenes térnyolcadokban való elhelyezkedése és láthatósága meghatározásánál ne feledjük el, hogy egy ábra két képet rejt magában, amelyek közül az egyik felülnézet, a másik pedig előlnézet. Ahhoz, hogy az egyesített nézetekből a rajzot megérthessük, azokat gondolatban, és ha szükséges rajzban is szét kell választani és egyenként olvasni. A felülnézetből az látszik, hogy az egyenes első nyompontja a H síknak azon a részén található, amely az I. és a IV. térnyolcadot választja el, míg az előlnézetből az tűnik ki, hogy az egyenes második nyompontja az F síknak azon a részén foglal helyet, amely az I. és a II. térnyolcadot választja el. Ez azt jelenti, hogy az 1 és 2 pontok között levő egyenesszakasz az I. térnyolcadban van. Az I. térnyolcadból az egyenes az első nyompontján (1) keresztül átlép a IV., míg a második nyompontján (2) keresztül a II. térnyolcadba, majd a harmadik nyompontján (3) a VI: térnyolcadba kerül. Tehát, ha az egyenes egy szakaszának meghatároztuk a helyzetét, akkor a nyompontjai alapján könnyen meghatározhatjuk a többi szakasz helyzetét is. A kiinduló térnyolcad meghatározható egy tetszőleges helyzetű pont koordinátáinak az előjeléből is, mint pl. az M pont segítségével. Ha mindhárom koordináta pozitív, akkor a pont az I. térnyolcadban van.

Ábra 89 Az egyenesek és nyompontjainak szétválasztott merőleges képei

A vetületekkel ábrázolt egyenes láthatóságát a térnyolcadok láthatósága alapján határozzuk meg. Az első vetületnél (felülnézetnél) láthatóak azok a térnyolcadok (és egyben az egyenes is), amelyek a H képsík felett vannak (I., II., V. és VI.), míg a többi a H képsík alatt (IV., III., VIII: és VII.) nem látható. Mivel az ábrán látható egyenes a VI., III., I. és IV. térnyolcadon megy keresztül, a látható és nem látható részét az első nyompont (1 ≡ 1′ ) választja szét, tőle balra az egyenes látható, míg

61

jobbra nem. Ha az egyenest felülről párhuzamos fénysugárnyalábbal megvilágítanánk, csak a látható résznek lenne árnyéka. A második vetületnél, vagyis az előlnézetnél azok a térnyolcadok láthatóak, amelyek az F képsík előtt vannak (I., IV., V. és VIII.), a többi pedig nem látható. Ezért az egyenesnek csak az I. és a IV. térnyolcadban levő szakaszai láthatók. A látható részt a nem láthatótól a második nyompont ( 2 ≡ 2′′ ) választja el, jobbra tőle látható az egyenes, míg balra nem. Az egyens láthatósága a térnyolcadok nélkül is meghatározható. Az első vetületben látható a H képsík feletti egyenesszakasz, melyet a második vetületről lehet leolvasni. Mivel ebben a vetületben a H” az x-tengellyel egybeesik, az x-ten-gely feletti rész látható (a z koordináta pozitív). A második vetületben látható az F képsík előtti egyenesszakasz, ezt pedig az első vetületről olvassuk le. Itt az F’ esik egybe az xtengellyel, így az x-tengely alatti rész látható (ahol az y koordináta pozitív).

6.2.3

Meghatározott térnyolcadokon átmenő egyenes képei

Ha pl. az a feladat, hogy ábrázoljunk egy egyenest, amely az I., II., IV. és VI. térnyolcadon megy át, ez az előbbi példa fordítottja, ezért e feladat megoldásának ugyanaz a módszere, csak a sorrend fordított kell, hogy legyen. Az előbbi példában adott volt az egyenes, ill a két képe, így a megoldáshoz először megkerestük az egyenes nyompontjait, majd ezek segítségével meghatároztuk azokat a térnyolcadokat, amelyeken az egyenes áthaladt. A mostani példában adottak a térnyolcadok, ezek alapján meghatározhatók a nyompontok és azok képei, amelyekre illesztjük az egyenes képeit. A feladatból következik, hogy az első nyompont (1 ≡ 1′) a H képsíkon az I. és a IV. térnyolcad között, a második nyompont ( 2 ≡ 2′′) az F képsíkon az I. és a II. térnyolcad között, míg a harmadik nyompont (3 ≡ 3′′′) a P képsíkon a II. és VI. térnyolcad között van. Mivel egy egyenest két pont ha tároz meg, a feladat megoldásához kiválaszthatjuk bármelyik két nyompontot, a harmadikat pedig a megoldás során kell megtalálni. Ajánlatos a két szélső nyompontot meghatározni (ebben az esetben az elsőt és a harmadikat), mert ekkor kisebb a hibalehetőség.

6.2.4

Különleges helyzetű egyenes ábrázolása

Egy egyenes akkor van különleges helyzetben, amikor párhuzamos egy vagy két képsíkkal. Ha egy-időben párhuzamos két képsíkkal, akkor párhuzamos azok metszetével is, ami egy koordinátatengely, és ekkor merőleges a harmadik képsíkra. Ahhoz, hogy egy egyenes párhuzamos legyen egy képsíkkal az szükséges, hogy ne messe a saját képét azon a képsíkon, vagyis párhuzamos legyen vele. Amikor az egyenes párhuzamos a vízszintes képsíkkal, akkor párhuzamos a saját első képével (az egyenes minden pontjának a z-koordinátája e-gyenlő), amint ezt a következő ábra érzékelteti.

62

Ábra 90 A H képsíkkal párhuzamos egyenes (h) szemléltetése és ábrázolása

Amikor az egyenes párhuzamos a függőleges képsíkkal, akkor párhuzamos a saját második képével, vagyis az egyenes minden pontjának a y-koordinátája egyenlő (következő ábra).

Ábra 91 Az F képsíkkal párhuzamos egyenes (f) szemléltetése és ábrázolása

Amikor az egyenes párhuzamos a profil képsíkkal, akkor párhuzamos a saját harmadik képével, tehát az egyenes minden pontjának az x-koordinátája egyenlő (következő ábra). Abban a vetületben, amelyben egy képsík vetülete egybeesik az egyik koordinátatengellyel, akkor ezzel a képsíkkal párhuzamos egyenes ugyanazon nevű vetülete szintén párhuzamos az adott tengellyel. Ebből kifolyólag h” || H”, f’ || F’ és p” || P”, ill. p’ || P’.

Ábra 92 Az P képsíkkal párhuzamos egyenes (p) szemléltetése és ábrázolása

A térben levő általános helyzetű egyenest két vetületével, ill. két vetítősíkjának metszetével lehet meghatározni (vetítősíknak nevezzük azt a síkot, amely merőleges 63

egy képsíkra). Az a egyenes első képe szintén egyenes –a’, melynek egyenlete az Oxy koordináta-rendszerben: y = ax + b. Ez egyben a térbeli Oxyz koordináta-rendszerben elhelyezkedő és a H képsíkra merőleges vetítősík egyenlete is. Ehhez hasonlóan, az egyenes második képének ( a ′′ ) az egyenlete: z = cx + d, mely egyenlet meghatározza az F képsíkra merőleges térbeli vetítősíkot is. E két egyenlet együttesen határozzák meg a két vetítősík közös egyenesét (metszetét), vagyis az a egyenest. A P képsíkkal párhuzamos egyenes – p esetében (14. ábra) az egyenest a két képe: p’ és p” nem határozhatja meg a p egyenes térbeli helyzetét, mert a két vetítősík egybeesik, amely párhuzamos a P-vel (ebben a síkban levő bármelyik egyenes – kivéve a H-ra és F-re merőlegeseket – képei fedik egymást). Ez a vetületek egyenletéből következik, mert a p’ egyenlete az Oxy koordináta-rendszereben és a p” egyenlete az Oxz koordináta-rendszereben megegyezik, vagyis x = a, ezért esik egybe a két vetítősík. A megoldáshoz szükséges az egyenes harmadik képe (p”’), ill. egy új vetítősík, amely a P képsíkra merőleges, melynek egyenlete a térbeli Oxyz koordináta-rendszereben: z = by + d, ez az előbbi egyenlettel közösen meghatározza a p egyenest. Ha az egyenes párhuzamos két képsíkkal, azaz azok metszetével, vagyis egy koordináta-tengellyel, akkor a képei ugyanolyanok lesznek, mint a tengely képei: egyik párhuzamos a tengellyel, ill. annak egynevű képével , míg a másik pontként jelenik meg (következő ábra).

Ábra 93 Képsíkokra merőleges, ill. a koordináta-tengelyekkel párhuzamos egyenesek szemléltetése és ábrázolása

Különleges helyzetű az egyenes akkor is, ha valamelyik képsíkra illeszkedik. A következő ábra három ilyen egyenest ábrázol, melyek közül a β1 a vízszintes képsíkban (távolsága a H-tól 0, azaz z = 0), a β2 a függőleges képsíkban (távolsága az F-től 0, azaz y = 0), míg a β3 a profil képsíkban (távolsága az P-től 0, azaz x = 0) található.

Ábra 94 Képsíkokban elhelyezkedő egyenesek szemléltetése és ábrázolása

64

6.3 6.3.1

SÍK ÁBRÁZOLÁSA Általános helyzetű sík

Egy síkot három olyan pont határoz meg, amelyek nem egy egyenesre illeszkednek. A három pont különböző módon jelenhet meg az ábrázolásnál (következő ábra): egy egyenes (két pont) és egy különálló pont, két egyenes, amelyek metszik egymást vagy párhuzamosak (a végtelenben metszik egymást), egy háromszög, egy paralelogramma, melynek három csúcsa ismert, míg a negyediket meg kell szerkeszteni.

Ábra 95 Síkok meghatározása különböző módon megadott három pont segítségével

Azt a tényt, hogy egy sík meghatározásához három pont szükséges, legjobban bizonyítja egy háromlábú szék, mert egyenetlen talajon viszonylag könnyen el lehet úgy helyezni, hogy ne inogjon, míg a négylábú széknél ez majdnem lehetetlen. Egy általános helyzetű sík a képsíkrendszerben ferdén helyezkedik el, ezért mindhárom képsíkot és mindhárom koordináta-tengelyt metszi (következő ábra). A síkokat általában a görög abc kezdő betűivel jelölik (pl. α, β, γ, ...). Azokat az egyeneseket, amelyekben a sík metszi a képsíkokat, a sík nyomvonalainak nevezzük. A vízszintes képsíkban van a sík első nyomvonala (α1), a függőleges képsíkban van a sík második nyomvonala (α2) és a profil képsíkban van a sík harmadik nyomvonala ( α3). Azok a pontok, amelyekben a sík metszi a koordináta-tengelyeket, a sík tengelypontjai. Az x-tengelyen levő tengelypont jele αx, az y-tengelyen levő tengelypont jele αy, míg a z-tengelyen levő tengelypont jele αz. A tengelypont számszerű értéke a sík által a vonatkozó tengelyen kimetszett hosszat jelenti (mm-ben vagy cm-ben), amely az O kezdőponttól a tengelypontig terjed. A síkot általában ezzel a három adattal adják meg, pl. α( αx, αy, αz,). E három adat közül kettő-kettő a sík nyomvonalait határozza meg, αx és αy az α1-et; αx és αz az α2-t; az αy és αz pedig az α3at. A következő ábrán a síkot háromszög szemlélteti, de a sík és a nyomvonalai szükségszerint meghosszabbíthatók, mivel a síkot végtelen térelemnek tekintjük.

65

Ábra 96 A tengelypontjaival megadott sík szemléltetése és ábrázolása

A síkot is lehet ábrázolni merőleges vetületeivel. Ha síkot a vízszintes képsíkra vetítjük, első nyomvonala, ill. annak első képe valódi nagyságban látszik, míg a második nyomvonalának az első képe az x-tengelyre (az F-fel együtt), a harmadik nyomvonalának az első képe pedig az y-ten-gelyre (a P-vel együtt) esik. Amikor a síkot a függőleges képsíkra vetítjük, akkor a második nyomvonala, ill. annak második képe látszik valódi nagyságban, első nyomvonalának a második képe az x-tengelyre (a H-val együtt), a harmadik nyomvonalának a második képe viszont a z-ten-gelyre (a P-vel együtt) kerül.

Ábra 97 A sík ábrázolása nyomvonalai segítségével

A sík tengelypontjai lehetnek a negatív féltengelyeken is. Így pl. a β( βx, βy, βz) sík harmadik tengelypontja - βz a negatív z-féltengelyen fekszik (következő ábra). Ha összehasonlítjuk a két ábrát, látjuk, hogy az α sík a pozitív z-féltengely felé, míg a β sík a negatív z-féltengely felé hajlik. Ha elvégezzük a síkok vetítését, az α sík esetében minkét vetületképzésnél a síknak ugyanazt az oldalát, míg a β sík esetében

66

az első vetületnél a sík egyik oldalát, a második vetületnél pedig a sík ellenkező oldalát látjuk. Figyeljük meg a síkokból nyomvonalaikkal kialakított háromszöget és hasonlítsuk össze a merő-leges vetületeiket, amelyeket a tengelypontjaik αx, αy, αz, ill. βx, βy, βz határoznak meg. Ha körbejárjuk ezeket a háromszögeket, észrevehető az első és a második vetületnél, hogy az α síknál a betűzés forgásiránya megegyezik, míg a β síknál ez ellenkező. Ugyancsak szembetűnő, hogy az α sík nyomvonalai konvergensek (összetartók), míg a β síknál divergensek (eltávolodók). Az α síkot dűlt síknak, a β síkot pedig feszített síknak nevezzük.

Ábra 98 Divergens nyomvonalakkal adott sík szemléltetése és ábrázolása

Az ábrák túlzsúfoltságának elkerülése érdekében a rendezett vetületeknél általában csak az első és második nyomvonalat jelöljük meg (α1 és α2) és esetleg a tengelypontokat, de minden esetben szemelőt kell tartani, hogy két egyesített képről van szó, és hogy α1 = α′ és α =α′′ , ill. α1′′ és α2′ az x-tengelyre esik. Ami magát a rajzolást illeti, az első nyomvonal F sík előtti részét (vagyis az x-tengely alatt levő részt), valamint a második nyomvonal H sík feletti részét (vagyis az x-tengely felett levő részt) vastagabban rajzoljuk. Meg kell jegyezni pl. azt, ha βy és -βz apszolút értéke egyforma, akkor az első és a második nyomvonal egybe esik.

6.3.2

Különleges helyzetű síkok

Egy sík akkor van különleges helyzetben, amikor párhuzamos egy vagy két koordináta-tengellyel. Ha egy sík párhuzamos egy koordináta-tengellyel, akkor merőleges arra a képsíkra, amelyre merő-leges a vonatkozó koordináta-tengely is. Az ilyen síkokat vetítősíkoknak nevezik. A 21. ábrán látható β-sík párhuzamos a z-tengellyel, így merőleges a H-ra (1-re). Ebből következik, hogy a sík első képe egybeesik a sík első nyomvonalával (β′≡β1≡β1 ′ ). Természetesen a síkban levő összes mértani alakzat első képe is ezen a nyomvonalon jelenik meg. Mivel a β sík párhuzamos a z-tengellyel, a metszetük a végtelenbe kerül, vagyis a β sík z-tengelyen levő tengelypontja: βx =∞. A βz tengelypontban metszi egymást a sík β2 második és β3 harmadik nyomvonala, de mivel ez a tengelypont a végtelenben van,

67

ezért e két nyomvonal szintén párhuzamos a z-tengellyel ( β2 || z és β3 || z), amit a következő ábra szemléltet.

Ábra 99 A vízszintes képsíkra merőleges sík szemléltetése és ábrázolása

A következő ábra egy függőleges képsíkra merőleges síkot, utánna pedig egy profil képsíkra merőleges síkot mutat be.

Ábra 100 függőleges képsíkra merőleges sík, a profil képsíkra merőleges sík

Ha egy sík párhuzamos két koordináta-tengellyel, akkor párhuzamos azzal a képsíkkal is, amelyet a vonatkozó tengelyek határoznak meg. Az ilyen sík merőleges a harmadik koordináta-tengelyre, ezért csak egy tengelypontja található véges távolságban. A másik két tengelypontja a végtelenbe tolódott el, ezért az őket összekötő nyomvonal is a végtelenben található. A sík, amely párhuzamos egy képsíkkal, egyben merőleges a másik kettőre, ezért az ilyen sík kettős-vetítősíknak tekinthető. Az ilyen sík vetületei éppen úgy látszanak, mint annak a képsíknak a vetületei, amellyel párhuzamos. Ezt szemlélteti a következő három ábra.

68

Ábra 101 A vízszintes képsíkkal párhuzamos sík szemléltetése és ábrázolása

Ábra 102 A függőleges képsíkkal párhuzamos sík szemléltetése és ábrázolása

Ábra 103 A profil képsíkkal párhuzamos sík szemléltetése és ábrázolása

6.3.3

Síkon levő pont és egyenes

Ha az A pont a β síkon van, akkor e pontnak csak egy képe adható meg két koordinátájával, míg a másik képét, ill. a harmadik koordinátáját abból a feltételből kell meghatározni, hogy az a kép a sík ugyanazon nevű képén legyen. Ha pl. ismert az

69

A’, ill. a pont x és y koordinátája (következő ábra), akkor az A pontot, ill. a zkoordinátáját az A’-ből meghúzott függőleges vetítősugárral metszhetjük ki a β síkon.

Ábra 104 Pont és egyenes a síkon

Ha egy egyenes benne van a síkban, akkor annak a nyompontja rajta kell, hogy legyen a sík ugyanazon nevű nyomvonalán, ezért a megoldáshoz egy egyenest kell a pontra illeszteni, amely szintén benne van a β síkban. Tehát az A’-re illesztjük a tetszőlegesen felvett a egyenes első vetületét ( a′ ), akkor annak első1 ≡ 1′ nyompontja rajta lesz a β sík első β1≡β1 ′ nyomvonalán, a második nyompontjának 2’ első vetülete pedig a sík második nyomvonalának első vetületén β′2 ≡ x (vagyis az x-tengelyen). Az axonometrikus képen a 2’-ből a H-ra merőleges rendezővel kimetsszük az egyenes második 2 ≡2 ′′ nyompontját a β sík második β2 ≡β′′ 2 nyomvonalán. Az a egyenest megkapjuk, ha összekötjük az 1 és 2 nyompontokat, majd az A’-ből meghúzott rendezővel az a -on kimetszük az A pontot. Ennek A” második vetületét rendezővel megkapjuk az egyenes második a” vetületén, amely a nyompontok második vetületére (1′′ és 2′′) illeszkedik. A rendezett merőleges vetületeknél (27b ábra) az eljárás hasonló, csak itt az a” meghatározásához az egyenes nyompontjainak az első 1’ és 2’ vetületéből húzzuk meg a rendezőket a β sík nyomvonalainak a β1” és β2” második vetületéig. Ha a pont A” második vetülete (vagyis az x és z koordinátája) ismert, a megoldás módja megegyezik az előbbivel, azzal, hogy ebben az esetben az első lépés az a” berajzolása, amelyet a pont A” második vetületére kell illeszteni. Az előbbi eljárásoknál, amikor meghúztuk az a’-őt (vagy az a”-őt), ezzel tkp. meghatároztuk az a egyenes vetítősíkját, melynek a β síkkal képzett metszete adja magát az a egyenest. Az előbbiekben láttuk, hogyha az egyenes egy síkon van, akkor az egyenes nyompontjai illeszkednek a sík ugyanazon nevű nyomvonalára. Ez fordítva is érvényes: ha a sík illeszkedik egy egyenesre, akkor a sík első nyomvonala illeszkedik az egyenes első nyompontjára és a sík második nyomvonala illeszkedik az egyenes második nyompontjára. Ahogyan a síkban végtelen sok egyenes található, ugyanúgy egy egyenesre végtelen sok sík illeszthető. Ha egy egyenesre több síkot illesztünk, azok közös metszete maga az egyenes, a síkok első nyomvonala az egyenes első

70

nyompontjában, míg a második nyomvonalak az egyenes második nyompontjában metszik egymást (következő ábra).

Ábra 105 Egyenesre illesztett síkok szemléltetése (a) és két sík ábrázolása (b)

Amíg egy egyenesre végtelen sok sík illeszkedhet, addig két egymást metsző vagy párhuzamos egyenes csak egy síkot határoz meg, mert ezen egyenesek egynevű nyompontjait csak egy-egy egyenes kötheti össze, amelyek a kapott sík nyomvonalait adják (következő ábra).

Ábra 106 Két egyenessel adott sík nyomvonalainak meghatározása

Ahogyan két egyenes meghatároz egy síkot, hasonlóan két sík meghatároz egy egyenest, amely az adott síkok metszete. Ez az egyenes mindkét síkra illeszkedik, ezért illeszkedik a síkok egynevű nyomvonalinak a metszeteire is, amelyek az egyenes nyompontjainak felelnek meg.

6.3.4

A síkok különleges egyenesei: fővonalak és esésvonalak

A síkban levő egyenest, amely párhuzamos a sík nyomvonalával fővonalnak, amely pedig merő-leges a nyomvonalra esésvonalnak nevezik. Egy síknak három nyomvonala van, így megkülönböztethető három fővonal (h, f, p) és három esésvonal

71

(g1, g2, g3) is. Mivel egy sík meghatározásához általában elég az első és a második nyomvonal, így csak az első és második fővonalat, ill. az első és második esésvonalat fogjuk alkalmazni. Az első fővonal (h) párhuzamos az első nyomvonallal (következő ábra), ebből kifolyólag az első nyomvonalat a végtelenben metszi, vagyis az első nyompontja (1h) a végtelenben van, ami azt jelenti, hogy az első fővonal párhuzamos a vízszintes képsíkkal. Mivel az első fővonal párhuzamos az első nyomvonallal (h || β1), ezért h’ || β1’ és h” || β2’. Ugyanez érvényes a második fővonalra is, azaz f || β2, így f’ || β2’, valamint f” || β2”. A fővonalak igen alkalmasak a síkban levő pont ismeretlen képének a meghatározására, mivel képeiknek iránya adott, ezért ábrázolásukhoz elég ismerni egy pontjukat: az első fővonalnál a második nyompontot (2h), a második fővonalnál pedig az első nyompontot (1f).

Ábra 107 Az első fővonal (h) és az első esésvonal (g1) szemléltetése és ábrázolása

Ábra 108 A második fővonal (f) és a második esésvonal (g2) szemléltetése és ábrázolása

72

Ha a sík merőleges a profil képsíkra, akkor az előbbi típusú feladat az első két vetülettel nem oldható meg, mert a h és f párhuzamos az x-tengellyel. Ekkor tetszőleges helyzetű egyenest kell felvenni, vagy a harmadik vetülettel és a p-vel kell dolgozni. A fővonalak jó szolgálatot tesznek egyes feladatok megoldásában, mert egyik képük valódi nagyságban látszik: h-nak az első, az f-nek a második képe (a későbbiekben, ha egy ábrán valamelyik elem jele egy kis körbe van beírva, az a kép valódi nagyságára utal). Az első esésvonal (g1) merőleges a sík első nyomvonalára és egyben az összes első fővonalára is (ez azt jelenti, hogy a sík első fővonalai és első esésvonalai a síkon egy ortogonális hálózatot képeznek, és ez érvényes a második fő- és esésvonalakra is. Ez első fővonal és az első esésvonal által bezárt derékszög valódi nagyságban látszik az első vetületben, mivel a szög egyik szára – a h′ - is valódi nagyságban látszik. Hasonlóan, a második esésvonal merőleges a második fővonalra (és a sík második nyomvonalára) és az általuk bezárt derékszög valódi nagyságban látszik a második vetületben. Az esésvonalak rendezett vetületekben való ábrázolásánál, a g1’ és a g2” iránya adott (merőlegesek a megfelelő nyomvonalra), a hiányzó vetület pedig a nyomvonalakkal való metszéspontok segítségével megrajzolható, ill. ha a nyomvonalak ismeretlenek, akkor a sík bármelyik egyenesével kapott metszéspontok felhasználásával.

6.4 6.4.1

EGYENES ÉS SÍK KÖLCSÖNÖS HELYZETE 1.4.1. Síkra merőleges egyenes, egyenesre merőleges sík

A β sík n merőlegese (normálisa) a síkon levő minden egyenesre merőleges (következő ábra), a döféspontjára illeszkedő egyeneseket (h, f, g1 ) derékszögben metszi, míg a többit (c, β1, β2 ) derékszögben elkerüli. Rendezett vetületeken a sík normálisa csak azokra az egyenesekre lesz merőleges, amelyek azon a vetületen valódi nagyságban látszanak (azaz párhuzamosak a képsíkkal), ezek az első vetületen ez az első nyom- és fővonal, a második vetületen pedig a második nyom- és fővonal. Tehát ábrázolásnál a sík normálisának első vetületét merőlegesen az első nyom- és fővonalra, második vetületét pedig merőlegesen a második nyom- és fővonalra kell meghúzni.

73

Ábra 109 A sík normálisának a szemléltetése és ábrázolása

Ha egy egyenes merőleges egy síkra, akkor a sík is merőleges az egyenesre. Tehát rendezett vetületekben akkor merőleges a sík az egyenesre, ha az első nyomvonala és első fővonalának első képe merőleges az egyenes első képére, ill. ha a második nyomvonala és a második fővonalának második képe merőleges az egyenes második képére.

6.4.2

A sík esési triéderei

Ha a sík A pontjában (következő ábra) normálist (n) állítunk a síkra, amely pontban metszik egymást a sík első fővonala (h) és első esésvonala (g1), akkor ez a három, egymásra merőleges egyenes a sík első esési triéderét képezi (ez a három egyenes három egymásra merőleges síkot határoz meg ugyanúgy, mint a három koordináta tengely). A rendezett vetületeknél (34b ábra) az n’ és a g1’ fedik egymást, mivel mindkettő merőleges a sík első nyomvonalára.

Ábra 110 A sík első esési triéderének szemléltetése és ábrázolása 22

A sík második esési triéderét hasonlóan kapjuk meg azzal, hogy az A pontban (következő ábra) a sík második fővonala (f) és második esésvonala (g2) kell, hogy

74

messék egymást. A rendezett vetületeknél az n” és a g2” fedik egymást, mivel mindkettő merőleges a sík második nyomvonalára.

Ábra 111 A sík második esési triéderének szemléltetése és ábrázolása

6.4.3

Sík és egyenes döféspontja

A földbe szúrt bot mindig a döféspontban metszi a saját árnyékát. Ennek alapján mondhatjuk azt, hogy egy egyenes síkon levő döféspontja az a pont, amelyben az egyenes és bármely árnyéka (vetülete) az adott síkon metszi egymást. Mivel a P döféspontot meghatározhatjuk az egyenes bármely árnyékával a síkon, vegyük azt, amelynek első vetülete egybeesik az egyenes első vetületével (következő ábrák), ill. azt, amelynek második vetülete esik egybe a egyenes második vetületével (Ábra 115). Az első esetben az árnyékot a H képsíkra merőleges vetítősugarakkal, a másodikban pedig az F képsíkra merőleges vetítősugarakkal kapjuk.

Ábra 112 Sík és egyenes döféspontja meghatározásának szemléltetése

Tehát az egyenes és az árnyéka egy vetítősíkban (γ) fekszenek. Ha γ merőleges H, akkor első képeik, ha pedig γ merőleges F, akkor második képeik egybeesnek és ekkor a P metszéspontjuk nem látszik, viszont ez jól látható az ellenkező képsíkon. 75

Ábra 113 Sík és egyenes döféspontja meghatározásának ábrázolása

Az a egyenes árnyékát (a∆), amelyet a H síkra merőleges fénysugarakkal kaptunk (előző ábra), tekinthetjük egy egyenesnek (p) is, amelyben az a –ra illesztett γ vetítősík (γ merőleges H) metszi az adott háromszög síkját. Az a egyenes és a háromszög síkjának döféspontját a második vetületben kapjuk meg, mint az a″ és a p″ metszéspontját (a p″-őt a 4″ és 5″ -re kell illeszteni, amely pontokat rendezőkkel kapunk meg az első vetületből). Az egyenes láthatóságágának meghatározása. Ha egy vetítősugár két ponton megy keresztül, akkor az a pont látszik, amelyik közelebb van a szemlélőhöz. A következő ábra kitérő egyenespárt mutat be. Első vetületeik a′- b′látszólagos metszéspontjába esik a KL függőleges vetítősugár első vetülete is. Ez a vetítősugár keresztül megy a b egyenes K és az a egyenes L pontján. A második vetületből megállapítható, hogy a K pont az L pont felett van, ami azt jelenti, hogy felülről való szemlélésnél (ill. vetítésnél) a K pont látható, míg az L pont fedésben van (nem látható). Ebből következik, hogy ezen a helyen a b egyenes az a egyenes felett van, tehát a b egyenes látható, míg az a egyenes nem, így azt a rajzolásnál megszakítjuk. Hasonlóan járunk el a második vetületnél is. A látszólagos metszéspont tkp. két pontot jelent, ami az zMN vízszintes vetítősugáron jól megfigyelhető. Az a egyenesen levő M pont a b egyenesen levő N pont előtt van, így az M pont látható a második vetületen, míg az N pont fedésben van. Ezért itt a második vetületben az a egyenes látható, a b pedig nem, így azt rajzolásnál megszakítjuk.

76

Ábra 114 Kitérő egyenespár láthatóságának ábrázolása

A láthatóság meghatározásának előbbi módszerét alkalmazzuk egyenes és sík metszésénél is, melyen a síkot az ABC háromszög határozza meg. Megvizsgálva az a egyenes látszólagos metszéspontjait a háromszög oldalaival, a következőket állapíthatjuk meg: felülnézetnél (merőleges az 1-re) az a egyenes Z″ pontja a háromszög 5″ pontja felett van, tehát itt az a′ látható, így azt vastag folytonos vonallal húzzuk ki egészen a P′ döféspontig. Itt az egyenes a sík alá kerül és nem látható a háromszög A′B′oldaláig, tehát ezt a szakaszt szaggatott vonallal ábrázoljuk. Előlnézetnél (merőleges a 2-re) a háromszög oldalán levő M′pont előrébb van az egyenes N′ pontjánál, ezért az M″ látszik, így az egyenes N″P″ szakasza nem látszik, de ezt megállapíthattuk volna abból is, hogy körbejárásnál a csúcsok sorrendje megegyezik, tehát dűlt síkról van szó, melynél mindkét vetületben ugyanaz az oldal látszik.

Ábra 115 Nyomvonalaival adott sík és egyenes metszéspontja

Ugyanígy határozzuk meg a láthatóságot akkor is, ha a sík nyomvonalaival adott (végtelen kiterjedésű). Először az egyenes második vetítősíkja segítségével megkeressük az egyenes P döféspontját a β síkon (előző ábra), majd a K″ és L″ 77

helyzetéből megállapítjuk, hogy a K′ látható, így az a′ a P′-ig látható. Mivel feszített síkról van szó (a nyomvonalak divergensek), azonnal megállapítható, hogy a második vetületben a láthatóság fordított (feszített síkok vetületeinél az ellentétes oldalak látszanak), vagyis az a″ a P″-tól jobbra látható, balra pedig nem.

6.4.4

Síkkal párhuzamos egyenes, egyenessel párhuzamos sík

Ha egy egyenest bármilyen párhuzamos vetítősugarakkal vele párhuzamos síkra vetítünk, akkor az egyenes vetülete mindig valódi nagyságú. Ekkor az egyenes (p) párhuzamos a saját vetületével (árnyékával) az adott δ síkon (következő ábra). Másszóval, az egyenes akkor párhuzamos a síkkal, ha párhuzamos a sík egy egyenesével, de természetesen ekkor párhuzamos végtelen sok egyenessel is, amelyek a síkon vannak (Ábra 117). A δ síkon levő párhuzamos egyenesnyalábot e sík és a p egyenesre illesztett, a 4 síkra merőleges vetítősíkok metszeteként kapjuk meg (Ábra 116).

Ábra 116 Síkkal párhuzamos egyenes párhuzamos a saját árnyékaival (vetületeivel) is az adott síkon

Ábra 117 Síkkal párhuzamos egyenes vetületei

78

Az előbbi tétel a következő módon is megfogalmazható: ha egy adott δ sík párhuzamos két vagy több sík közös p metszetével, akkor a δ és a többi sík metszete is párhuzamos a p egyenessel. Az előbbiek fordítottja is érvényes: a δ sík párhuzamos a p egyenessel, ha egy rajta levő egyenes párhuzamos a p egyenessel. Ebből következik, hogy egy adott V pontra, amely nincs az SS1 egyenesen, számtalan olyan sík illeszthető, melyek párhuzamosak az SS1 egyenessel (Ábra 118). A síknyalábot a V pontra illesztett és az SS1 egyenessel párhuzamos p egyenes határozza meg (a p egyenes a nyalábban levő síkok közös metszésvonala).

Ábra 118 Pontra (P) illesztett, adott SS1 egyenessel párhuzamos síkok

Hasonlóképpen egy adott A pontra, amely nincs a δ síkon, illeszthető egy nyaláb egyenes, párhuzamosan a δ síkkal. Ekkor a δ síkkal párhuzamos p egyenes első képe az A pont első képén megy keresztül, párhuzamosan egy, a δ síkon levő egyenes első képével, a második képe pedig a pont második képére illeszkedik, párhuzamosan a δ síkon levő egyenes második képével (Ábra 118).

Ábra 119 Egyenes és sík véges helyzetben levő metszéspontja

Mivel a síkkal párhuzamos egyenes a síkot a végtelenben metszi, e két térelem párhuzamosságának a meghatározásánál legkézenfekvőbb kiindulni a véges távolságban levő egyenes és sík metszéspontjából (Ábra 119). Ha a p egyenes P döféspontja el kezd távolodni és a végtelenbe jut, akkor már az egyenes és az árnyéka 79

is a végtelenben metszik egymást, ami azt jelenti, hogy a p egyenes és az árnyéka párhuzamossakká váltak, vagyis a p egyenes és a δ sík is párhuzamosak egymással. Amikor egy adott S pontra kell illeszteni egy olyan síkot, amely párhuzamos az a és b kitérő egyenesekkel, akkor ezt a síkot két egymást metsző és az S pontra illeszkedő egyenes határozza meg, amelyek közül az egyik párhuzamos az a-val, a másik pedig a b-vel (Ábra 120).

Ábra 120 Sík ábrázolása, amely párhuzamos két kitérő egyenessel

Ha az előbbi példánál a síknak nem kell illeszkedni egy adott pontra, akkor egyszerűbb a síkot kialakítani az egyik egyenes önmagával való párhuzamos és az egyik képsíkra merőleges eltolásával addig, míg a két egyenes nem metszi egymást. A következő ábrán az a egyenest mozgattuk el a z-tengely irányában, vagyis merőlegesen a vízszintes képsíkra, a b egyenessel való metsződésig.

Ábra 121 A b egyenere illesztett sík, amely párhuzamos az a kitérő egyenessel

80

6.5 6.5.1

KÉT SÍK KÖLCSÖNÖS HELYZETE Két sík metszésvonala

Két sík egymást a két sík közös egyenesében (metszésvonalában) metszi. A metszésvonalat két pontja határozza meg, amelyeket az egyik síkon levő két egyenesnek a másik síkon levő döféspontjaként kapunk meg, mivel az egyik síkon levő minden egyenesnek a másik síkon levő döféspontja rajta van a két sík metszésvonalán (következő ábra.).

Ábra 122 Egy sík minden egyenese a másik síkot a két sík metszésvonalán döfi

Az ABC és DEF háromszöggel adott két sík metszésvonalának szerkesztését a következő ábra mutatja be. A keresett metszésvonalat két pont: a 6 és 7 határozza meg. A 6 pont a DE egyenes metszéspontja az ABC háromszöggel (a D″E″ metszéspontját az A″C″ és B″C″ oldalakkal levetítjük az A′C′-re és a B′C′-re, ezeket összekötve a D′E′-en kimetsszük a 6′-őt, majd rendezővel megkeressük a 6″-őt). A 7 pont az EF egyenes metszéspontja az ABC háromszög megnövelt síkjával, amelyet hasonló módon határozunk meg, mint a 6 pontot.

Ábra 123 Két háromszög metszésvonalának meghatározása

81

Természetesen az egyik háromszög bármelyik oldala döféspontjának a másik háromszög síkján, rajta kell lennie a két háromszög közös egyenesén (metszésvonalán). Erről győződjön meg az olvasó pl. a BC oldal és a DEF háromszög metszéspontjának a meghatározásával. A láthatóságot a háromszögek oldalainak, mint kitérő egyeneseknek a szemlélésével határozzuk meg. Figyeljük meg, hogy a metszésvonalnak csak a háromszögekkel határolt szakaszát ábrázoljuk vas-tag folytonos vonallal. Amikor a síkok nyomvonalaikkal adottak (tehát két különleges helyzetű egyenessel), a metszésvonal két pontja, az 1 és 2 közvetlenől, mint az egyik sík nyomvonalának a másik síkon való döféspontja látható. Ezeket a pontokat a síkok egynevű nyomvonalainak a metszéspontjaként kapjuk meg és ezek egyben a metszésvonal nyompontjait is meghatározzák (következő ábra).

Ábra 124 Nyomvonalaival adott két sík metszésvonalának szemléltetése és ábrázolása

6.5.2

Párhuzamos síkok

Két párhuzamos sík metszésvonala egy végtelenben levő egyenes, melynek nyompontjai (1 és 2) szintén a végtelenben találhatók. Ez azt jelenti, hogy a párhuzamos síkok egynevű nyomvonalai a végtelenben metszik egymást, vagyis párhuzamosak egymással. Mivel a síkot két egymást metsző egyenes határozza meg (pl. a sík két nyomvonala, amelyek az x-tengelyen metszik egymást), ebből következik, hogy két sík egymással akkor párhuzamos, ha az egyik síkon levő két egyenesnek van megfelelő párhuzamos párja a másik síkon (következő ábra). Példák: 1. Adott B pontra illesszünk egy síkot, amely párhuzamos az adott α síkkal. A keresett β sík nyomvonalait az első fővonal segítségével határozzuk meg, melynek első képe párhuzamos az α1-gyel. A fővonalat a B pontra, majd a β2-t a 2 pontra (második nyompont) illesztjük, párhuzamosan az α2-vel. Ez az xtengelyen kimetszi a βx-et, melytől meghúzzuk a β1-et. 2. Adott S pontra illesszünk egy síkot, amely párhuzamos az adott ABC háromszög síkjával. A feladat megoldásához elegendő az S pontra illeszteni két egymást metsző egyenest, amelyek párhuzamosak az adott háromszög bármely két egyenesével. A felvett egymást metsző egyenesek segítségével könnyen megrajzolhatóak a sík nyomvonalai (az egyenesek egynevű nyompontjait összekötő egyenes adja a sík ugyanazon nevű nyomvonalát). 82

Ábra 125 B pontra illesztett adott síkkal és az adott ABC három szög síkjával S pontra illesztett párhuzamos sík meghatározása

6.5.3

Egymásra merőleges síkok

Ha az α sík normálisára (nα) illesztünk egy másik síkot, ill. ha a normálissal párhuzamosan vesszük fel az új síkot, akkor az α és a másik sík egymásra merőleges. A sík normálisára, ill. annak N pontjára nemcsak egy, hanem végtelen sok síkot lehet illeszteni, melyek mind merőlegesek az adott síkra (következő ábra).

Ábra 126 Egymásra merőleges síkok

Példa: Rendezett merőleges vetületekkel adott az α sík (következő ábra). Illeszünk egy, a síkon kívül álló adott pontra (N) négy síkot, amelyek merőlegesek az α-ra. Megoldás: Fektessük a B pontra az α sík nα normálisát (nα′ merőleges α1, nα″ merőleges α2). A sík normálisának nyompontjaira (1 és 2) kell illeszteni az α síkra merőleges síkok nyomvonalait (az első nyompontra – 1 illesztjük a síkok első nyomvonalát, a második nyompontra –2 pedig a síkok második nyomvonalát).

83

Ábra 127 Adott pontra adott síkkal párhuzamos síkok ábrázolása

Ha adott az α sík és egy a egyenes (amely lehet az α síkon, vagy rajta kívül, mint a következő ábrán), akkor az a egyenesre csak egy olyan sík illeszthető, amelyik merőleges az α síkra. Ezt a síkot az a egyenes és az α sík n normálisa határozza meg, amelyet az a egyenes tetszőleges A pontjára kell illeszteni. Ez egy tetszőlegesen meghúzott egyenes, amelynek első vetületére merőleges az α sík el-ső nyomvonala, és a második vetületére merőleges az α sík második nyomvonala.

Ábra 128 Adott egyenesre merőleges sík nyomvonalának a szerkesztése

84

7 KÉPSÍKVÁLTÁS (TRANSZFORMÁCIÓ)

7.1 A KÉPSÍKVÁLTÁS LÉNYEGE (PONT TRANSZFORMÁCIÓJA) Az előbbiek alapján tudjuk, hogy egy térelem (pont, egyenes, sík) térbeli helyzetét két rendezett vetülete egyértelműen meghatározza. Képsíkváltásnak vagy transzformációnak nevezzük egy új kép megszerkesztését a két ismert kép alapján. A képsíkváltás célja, hogy az általános helyzetű egyenest vagy síkot különleges helyzetűvé alakítsuk át (új képsík vagy új vetítési, ill. rendezőirány felvételével) annak érdekében, hogy lehetővé tegyük egyes elemek (egyenesszakasz, szög, sík felület) megmérését, ill. hogy azokat valódi nagyságban láthassuk. (Ez tkp. a „térelemek méretgeometriája”, amikor lemérjük azt, amit az analitikus geometriában kiszámítunk). A képsíkváltást a pont ábrázolásával kapcsolatosan értelmezzük, de a célját csak az egyenes és a sík ábrázolásánál láthatjuk. A képsíkokat számokkal jelöljük: 1, 2, 3, 4, …, azzal, hogy az 1 a vízszintes, míg a 2 a függőleges képsík, amelyekkel már eddig is dolgoztunk. A 3 egy új képsíkot jelent, amely merőleges az 1 –re vagy a 2 –re. A pont legrövidebb távolságát a képsíktól a sík n normálisának irányában mérjük, ezért ezeknek a jelölése: n1, n2, n3 , … (n1 = z, n2 = y). Két egymásra merőleges képsík képsíkrendszert alkot, amelyen megkapjuk a pont merőleges vetületeit (vetületpárját), az 1 képsíkon a pont első vetületét, a 2 képsíkon a pont második vetületét. Képsíkváltáskor felveszünk egy új képsíkot (3), merőlegesen pl. az 1 képsíkra (következő ábrák). A 3 képsík az 1 képsíkkal egy új képsíkrendszert alkot (de a 2-vel nem, mert arra nem merőleges). Egymásra való merőleges vetítésnél a képsíkrendszer síkjai egyenesben jelennek meg a közös metszésvonalukon. Az 1 és 2 rendszer esetében az 1″/2′ tengelyen (ez tkp. az x-tengely, és a képsíkváltás első tengelye) lesz az 1″és a 2′. Mivel 3 merőleges 1, a képsíkváltás új (második) tengelye az 1′″/3′, amelyen az 1′″és a 3′ jelenik meg. Tehát az első vetületben, amikor az 1 sík n1 normálisa irányában vetítünk, a 2 és a 3 sík a 2′és 3′egyenesben látszik, így az n2 és n3 normálisok valódi nagyságban jelennek meg. A második és a harmadik vetületben, amikor a 2 sík n2 , ill. a 3 sík n3 normálisa irányában vetítünk, az 1 sík mindkét esetben egyenesként látszik (mint 1″ill. 1″′), ezért ezekben a vetületekben az n1 valódi nagyságban látható.

85

Ábra 129 A képsíkváltás lényegének szemléltetése

Ismerve az A pont első és második vetületét, a harmadik (ez az új vetület) könnyen megszerkeszthető a 3 képsíkon, ha az merőleges az 1-re. Mivel a képsíkváltás második tengelye az 1 és a 3 metszésvonala, vagyis az 1′″/3′, erre merőlegesen kell meghúzni az új rendezőt az A′-től az A′″ -ig, azaz a megmaradó vetülettől az új vetületig. Mivel a pont helyzetét két rendezett vetület meghatározza (ezek most az A′és az A′″), az A″-re már nincs szükség, ezért azt elhagyjuk és így a neve elmaradó vetület. Az A′ az előbbi vetületpárból megmaradt, ezért a neve megmaradó vetület. Az új vetületet megkapjuk, ha a rendezőre felvisszük az új tengelytől az elmaradó vetület távolságát a régi tengelytől, vagyis a harmadik rendező hossza egyenlő második rendező hosszával (n1 ″′=n1 ″). Ez a szabály érvényes minden képsíkváltásra, nemcsak a pont, hanem az egyenes (két pont) és a sík (3 pont) ábrázolásánál is. A képsíkváltás tengelyeit a rajtuk metsződő képsíkok kölcsönös merőleges vetületeinek kell tekintenünk, amiből az következik, hogy a tőlük mért merőleges távolságok valódi nagyságban látszanak. Ezért a félreértések elkerülésének érdekében a képsíkváltás IV tengelyeit megfelelően kell megjelölni: 1″/2′, 1″′/3′, 4′″/3 (olvasd: 3 négyvessző), VI 6″/2 stb., de ajánlatos a tengelyek normálisának a pozitív irányát is megjelölni (a tengelyek jelölésének kiírásánál ügyeljünk arra, hogy az összhangban legyen a pont vetületével, pl. a 3’ azon az oldalon legyen, ahol az A’ is található).

Ábra 130 A képsíkváltás lényege: az 1 képsík a második és a harmadik vetületben egyenesben látszik, így az n1 normálisa mindkét vetületben valódi nagyságban látszik (n1″ = n1″′)

86

Ábra 131 Példák a tengelyek megjelölésére többszörös képsíkváltásnál

Ha az új 3 képsík egyidőben merőleges az első két képsíkra, akkor az a már ismert P profil képsík. Tehát a P képsík bevezetése is képsíkváltásnak tekinthető azzal, hogy a P párt alkothat úgy az 1 –el, mint a 2 –vel, mivel merőleges mindkettőre (következő ábra).

Ábra 132 Képsíkváltás a profil képsíkkal

7.2 7.2.1

EGYENES TRANSZFORMÁCIÓJA Egyenesszakasz transzformációjának módja és célja

Az egyenes helyzete a képsíkokhoz viszonyítva könnyen megállapítható a rendezett vetületei alapján. Megvizsgálva a következő a ábrát, azonnal szembetűnik, hogy az a egyenes merőleges az 1 képsíkra (első képe pontként jelenik meg) és ekkor párhuzamos a 2 képsíkkal, ezért második képe valódi nagyságban látszik.

87

Az következő b ábráról az olvasható le, hogy az a egyenes párhuzamos a vízszintes képsíkkal (a″ || 1″) és ϕ2 szöget zár be a függőleges képsíkkal (a ϕ2′ valódi nagyságban látszik az a′és a 2′ között). A térben a szög szárait az a egyenes és a második vetülete - a″ képezi, mert az egyenes és sík közötti szöget az egyenes és a síkon való vetülete határozza meg. Az következő c ábráról csak az állapítható meg, hogy az a egyenes az 1 képsíkkal ϕ1 szöget (a ϕ1″ szárai az a″és az 1″), míg a 2 képsíkkal ϕ2 szöget (a ϕ2″ szárai az a’ és az 2’) zár be (egyenes és sík között a szöget általában abban a vetületben látjuk, amelyben a sík egyenesként látszik). Mivel a ϕ1 szög az a egyenes első vetítősíkjában helyezkedik el (Ábra 134), szárai az első vetületben fedik egymást az a’-őn, a ϕ1 síkja viszont a 2 képsíkkal ϕ2 szöget zár be, ezért a ϕ1″ szög nem valódi

nagyságú. Az elmondottak analóg érvényesek a ϕ2 szögre is, csak a jelekben az indexeket fel kell cserélni.

Ábra 133 Valós méretek leolvasásának lehetőségei

Ábra 134 Általános helyzetű egyenes vetítősíkjai és a képsíkokkal bezárt szögei

88

Az előbbiek alapján megállapítható, hogy a különleges helyzetben levő egyeneseknél (amikor az egyenes merőleges a képsíkra, vagy párhuzamos vele) a képsíkokhoz való helyzetük pontosan meghatározható és legalább egy vetületük valódi nagyságban jelenik meg, így pl. az AB (Ábra 133) szakasz hossza le is mérhető. Az általános helyzetű egyenesnél (Ábra 133) csak azt látjuk, hogy az bizonyos szöget zár be az 1 és 2 képsíkkal, de a szög nagysága nem ismeretes, és az AB szakasz hosszát sem tudjuk lemérni, mivel a vetületek nem valódi nagyságúak. Ahhoz, hogy meg tudjuk határozni az a egyenes AB szakaszát, felvesszük az új 3 képsíkot, merőle-gesen az 1 képsíkra és párhuzamosan az a egyenessel (következő a ábra). Az új képsíkrendszert most az 1 és a 3 képsík alkotja (a képsíkváltás tengelye a 3′ /1′″ , amely párhuzamos az a′-vel), amelyen az a egyenes, ill. az AB szakasz harmadik vetülete valódi nagyságban jelenik meg. A harmadik vetületet az egyenes nyompontjainak a transzformációjával kaptuk meg (az új vetület távolsága az új tengelytől egyenlő az elmaradó vetület távolságával az elmaradó tengelytől). Ezzel a képváltással az általános helyzetű egyenest különleges helyzetűvé alakítottuk a 3 képsíkhoz viszonyítva (ugyanaz az eset, mint az 58b ábrán az egyenes és a 2 képsík viszonyánál). Az új vetületen az a egyenes és az 1 sík által bezárt szög is valódi nagyságban látható az a″ és az 1′″ között (ez a szög tkp. az a egyenes első esésszöge).

Ábra 135 Egyenes transzformációja az AB szakasz és az egyenes első esésszöge valódi nagyságának a meghatározására

Hasonlóan járunk el, amikor az a egyenes és a 2 képsík által bezárt szög valódi nagyságát kell meghatároznunk. Felveszünk egy új 4 képsíkot, merőlegesen a 2 képsíkra és párhuzamosan az a egyenessel. Az új képsíkrendszert most a 2 és a 4 képsík alkotja, amelyen az a egyenes, ill. az AB szakasz negyedik vetülete és a ϕ 2 IV szög valódi nagyságban látszik. A képsíkváltás tengelye a 2 /4″ , melyet az a″ -vel párhuzamosan veszünk fel. Összehasonlítva az elvégzett két képsíkváltást, megállapíthatjuk, hogy az egyenesszakasz valódi nagyságának meghatározására teljesen mindegy, hogy az 1 vagy a 2 képsíkkal párosítunk egy új képsíkot, viszont az egyenes és a képsík közötti szög valódi nagyságát csak akkor kapjuk meg, ha az új képsíkot a szöget alkotó képsíkkal párosítjuk. A képsíktengelyt az egyenes vetületével (a′ vagy a″ ) párhuzamosan kell felvenni, de az attól való távolsága tetszőleges, így illeszthetjük az egyenes vetületére is és ekkor

89

az új képsík egybeesik az egyenes vetítősíkjával. A következő ábrán a 3 képsík az a egyenes első vetítősíkjával esik egybe.

7.2.2

Pont és egyenes távolsága

Ha az egyenes közelébe egy különálló M pontot helyezünk el, akkor feladatként megjelenhet a pont és egyenes közötti távolság meghatározása, mely alatt a legrövidebb, vagyis a merőleges távolságot értjük. Ennek meghatározására az M pontból merőlegest állítunk az egyenesre, amely az egyenest az N pontban metszi. Az így kapott MN egyenesszakasz valódi nagysága adja a pont egyenestől való távolságát (Ábra 136).

Ábra 136 Pont és egyenes távolságának a meghatározása

Tudván azt, hogy a derékszög abban a vetületben látszik derékszögnek, amelyben a szög egyik szára valódi nagyságban látszik.

7.2.3

Két párhuzamos egyenes távolsága

Ha az előző ábrán látható példákban az a egyenessel párhuzamos egyenest illesztünk az M pontra (az egyenesek egynevű vetületeinek párhuzamosoknak kell lenniük), akkor a közöttük levő (merőleges) távolságot ugyanúgy határozzuk meg, mint a pont és egyenes távolságát, vagyis az egyenesek közös normálisán az egyenesek kimetszik ezt a távolságot abban a vetületben, amelyikben az egyenesek valódi nagyságukban látszanak.

7.2.4

Két kitérő egyenes távolsága

Két kitérő egyenes távolságát a közös normálisukon az egyenesekkel képzett két (M és N) metszéspont határozza meg. Általános esetben kétszeres transzformációt kell végezni ahhoz, hogy az egyik egyenes vetítőegyenessé váljék (következő ábra), ekkor az pontban látszik, a normálisának az M-N szakasza pedig valódi nagyságban jelenik IV IV meg, ha az M -ből merőlegest bocsátunk a b -re. Ha az MN szakaszt vissza akarjuk IV vinni az első és a második vetületbe, akkor először az N -ből ren-dezővel megkapjuk az N′″-őt (a b″′ -őn), amelyből merőlegest húzunk az a′″-re és az az a″′-őn kimetszi az M′″-őt (az M′″-őt közvetlenül nem kaphatjuk meg az a″′-őn, mivel az a″′ vetítőegye-

90

nes). Ezután már rendezőkkel könnyen megkapjuk az M és N pont első és második vetületét.

Ábra 137 Két kitérő egyenes távolsága meghatározásának a második képsíkváltása

7.3 7.3.1

SÍK TRANSZFORMÁCIÓJA Sík transzformációjának módja és célja

A következő ábrán különböző helyzetű háromszögek vetületei láthatók: az a) ábrán a háromszög síkja me-rőleges az 1-re és párhuzamos a 2-vel; a b) ábrán a háromszög síkja szintén merőleges az 1-re, de a 2-vel szöget zár be, míg a c) ábrán a háromszög síkja általános helyzetű, mert a képsíkokkal tet-szőleges szöget zár be. Az ábráról könnyen leolvasható a háromszög helyzete, mivel első vetülete egyenesben látszik, ez arra utal, hogy merőleges az 1 képsíkra, és mert első vetülete párhuzamos az x-tengellyel (2’-vel), maga a háromszög is párhuzamos a 2 képsíkkal, így a háromszög második vetülete valódi nagyságban látszik. A háromszög síkjának az első nyomvonala egybeesik a sík első vetületével (β1 ≡ β′), a második nyomvonal pedig a végtelenbe tolódott el. Az ábrán látszik, hogy a háromszög merőleges az 1 képsíkra, és a 2 képsíkkal ϕ2 szöget zár be, ami az első vetületen valódi nagyságban látszik. Emiatt a második vetület torzult, így sem az oldalhosszakat, sem a szögeket nem látjuk valódi nagyságban. A háromszög síkjának az első nyomvonala β1 ≡ β′, a második nyomvonala pedig β2″ merőleges x; ezért a β2′ pontban látszik (a β1′ és a 2′ metszéspontjában). Az ábrán látható háromszög síkja a képsíkokkal bizonyos szöget zár be, de a szögek nagysága a rajzról nem olvasható le, sem a háromszög valódi nagysága. Emellett a sík nyomvonalai sem látszanak, mint az első két esetben.

91

Ábra 138 A méretek leolvasásának lehetőségei különböző helyzetű háromszögeknél

Ahhoz, hogy az előző ábrán levő háromszög valódi nagyságát a rajzról közvetlenül megállapíthassuk, úgy kell képsíkváltást alkalmaznunk, hogy az esetet a 138a ábrára visszavezessük. Az új 3 képsíkot az 1-re merőlegesen és a háromszög síkjával párhuzamosan vesszük fel (következő ábra). Az ilymódon kapott harmadik vetület már a háromszög valódi nagyságát mutatja be, mivel az új 1 – 3 képsíkrendszer az előbbi példa 1 – 2 rendszerének felel meg.

Ábra 139 Képsíkváltással kapott valódi nagyság

Az általános helyzetű háromszög valódi nagyságát kétszeres képsíkváltással lehet magkapni. Az első lépésben a háromszög síkját vetítősíkká kell alakítani, vagyis a 138c ábrán látható esetet a 138b ábrán lévővé kell alakítani. Ennek érdekében az új 3 képsíkot úgy kell megválasztani, hogy az merőleges legyen a háromszög síkjára és ugyanakkor az 1 (vagy 2) képsíkra is. Ez csak akkor lehetséges, ha az új képsík merőleges a másik két sík metszésvonalára, ez pedig a háromszög síkjának ( β) az első (vagy második) nyomvonala - β1. Ha a nyomvonal ismeretlen, akkor felhasználhatjuk a sík első fővonalát (h) is, amely párhuzamos a nyomvonallal. Ennek második vetülete h″ || 1, és a metszéspontok felhasználásával, rendezőkkel megkapjuk az első

92

vetületét, erre merőlegesen meghúzzuk a képsíkváltás első tengelyét (1″′/3′), amint a következő ábrán látható. A háromszög β síkja most már vetítősíkja a 3 képsíknak, így a háromszög harmadik vetülete és a β′″ egyenesben jelenik meg. A képsíkváltás tengelye 1″′/3′ és a β′″ között levő ϕ1″′ szög, amely a β sík első esési szöge, valódi nagyságban látszik.

Ábra 140 Sík vetítősíkká való alakítása 1-3 képsíkváltással

Azt, hogy az új képsík első vetületét (3’), ill. a képsíkváltás 1′″/3′ tengelyét a h’ –re merőlegesen kell meghúzni, a következő képpen is magyarázhatjuk: Két sík kölcsönösen akkor merőleges egymásra, ha az egyik sík illeszkedik a másik normálisára. Mivel a 3 képsík az első vetületben a 3’ egyenesben látszik, ezért a β síkban levő normálisának az első vetületben valódi nagyságban kell megjelennie, ez pedig csak az első fővonal lehet, mert csak az látszik valódi nagyságban a síkon levő egyenesek közül. Hasonló módon határozhatjuk meg a β sík és a 2 képsík által bezárt ϕ2 szöget is (következő ábra). Az új 3 képsík merőleges kell, hogy legyen a 2 képsíkra és a háromszög β síkjára. A képsíkváltás 2”’/3” tengelye merőleges a β2”-re, ill. a második fővonal második vetületére – f”-re. A harmadik vetületben a fővonal pontban, a β sík pedig egyenesben (β”’) látszik. A β’” és a 2”’ metszéspontjában található a β2”’, a β2 ≡ β2” pedig merőleges a 3”-re, vagyis párhuzamos az f”-vel. A képsíkváltásnál szerepet játszó második és harmadik vetületből könnyen meghatározható a β sík első nyomvonala is. Mivel a β1’” ≡ β”’, elég a β1’”-nek egy pontját (H) rendezővel „visszavinni” az első vetületbe. A H”’-ből merőlegest bocsátunk a 2”’/3” tengelyre, amely a 1”/2’ tengelyen kimetszi a H”-őt, innen meghúzzuk a rendezőt, amelyre felmérjük a H pont y-kordinátáját, amely a H”’ távolsága a 2”’/3”

93

Ábra 141 Sík vetítősíkká való alakítása 2-3 képsíkváltással

Ugyanígy határoztuk meg a β sík második nyomvonalát ( β2 ≡ β2”) a 140. ábrán. Kiválasztottunk egy tetszőleges F pontot, ill. annak harmadik vetületét a β2”’-őn (eléggé távol a βx-től), melynek első vetülete az 1”/2’ tengelyen van, innen meghúztuk az F pont második rendezőjét, amelyre felvittük az F z-koordinátáját. Abban az esetben, ha a βx tengelymetszet kívül esik a rajzon, a nyomvonal harmadik vetületéről két, egymástól távol eső pontot (ez nagyobb pontosságot biztosít) kell átvinni a második vetületbe. Az előző ábrákon részletesen látható, hogyan kell egy általános helyzetű síkot vetítősíkká alakítani képsíkváltás segítségével. A következő ábrán megismételjük ezt a transzformációt azzal, hogy a síknak csak a nyomvonalait ismerjük. Kiválasztunk a síkon három tetszőleges pontot. Kettő (G és H) az első képsíkban van, így ezek a sík első nyomvonalán találhatók. Ha elvégezzük a β1 képváltását (transzformációját), a β1”’ pontban jelenik meg az 1”’/3’ tengelyen, és ugyanide esik a G”’ és a H”’ is. Ezért a sík harmadik nyomvonalának a megrajzolásához szükség van még egy pontra. Erre a szerepre legalkalmasabb a β síknak egy olyan pontja, amelyik a második képsíkban, vagyis a β1”-őn van, nem túl közel a βx–hez. Legyen ez az F ≡ F” pont. Az F’ és az F”’ a már ismert módon való meghatározása után könnyen meghúzhatjuk a sík harmadik vetületét, ill. a harmadik nyomvonalát, amelyek természetesen egybeesnek. Ha az F pontra illesztjük a sík első nyomvonalát, akkor az F pont transzformációjával tkp. transzformáljuk a fővonal minden pontját, mert a fővonal harmadik képe pontként jelenik meg.

94

Ábra 142 Nyomvonalaival adott sík képváltása

Nyomvonalaival ( β1 és β2) adott sík képváltása a β2 irányával megegyező vetítéssel a 141. ábrán látható (3” merőleges β2) és a módszer lényegében megegyezik a 142. ábrán látható megoldással, csak az 1 és 2 képsík szerepet cserél. Egy sík vetítősíkká való transzformációjával meghatároztuk a sík harmadik nyomvonalát (és ebből az elmaradót), valamint a sík képsíkokkal bezárt szögét (a sík esési szögeit).

7.3.2

Két kitérő egyenes által bezárt szög

Adott két kitérő egyenes: a (a’, a”) és b (b’, b”). Annak érdekében ,hogy meghatározhassuk e két egyenes által bezárt szöget, az egyik egyenest párhuzamosan önmagával addig kell elcsúsztatni, amíg nem metszi a másikat. Az így kapott síkban az egyenesek ugyanakkora szög alatt metszik egymást, mint az eredeti kitérő egyenesek. A szög valódi nagysága kétszeres képsíkváltással határozható meg. A következő a ábrán a két kitérő egyenes közül a b egyenest a b1-be csúsztattuk, amely metszi az a egyenest az S pontban. Az a és b1 egyenes ugyanakkora ϕ szögben metszi egymást, mint amekkor szögben tér ki az a és b egyenes. A szög valódi nagysága meghatározásának első lépéseként meghúzzuk az a és b1 egyenes által meghatározott sík első fővonalának második h” vetületét, majd a kapott A és B1 metszéspontok felhasználásával a h’ –t. Ezután első képsíkváltással: 3’ merőleges h’ – a metsző egyenesek síkját vetítősíkká alakítjuk. Ekkor elvégezzük a második képsíkváltást: 4”’ || a”’ ≡ b1”’. A negyedik vetületben az a és b1 egyenes valódi nagyságú ϕ szögben metszi egymást. Ezeket az egyeneseket az S és az A, ill. a B1 pont felhasználásával transzformáltuk, míg a b egyenes képváltásához a B pont IV IV segített és így a B –re illesztettük a b –őt, párhuzamosan a b1 –el (párhuzamos egyenesek egynevű képei párhuzamosak egymással). A negyedik vetületben a kitérő egyenesek is valós helyzetben látszanak, ezért a közös IV

normálisuk (transzverzálisuk) pontban látszik (n ), Ez a transzverzális egyben a ϕ 95

szög síkjának is a normálisa, ezért ez a sík is valódi nagyságban látszik. (Megjegyzés: az a és b egyenest úgy vettük fel, hogy a második vetületben derékszögben messék egymást. Az első vetületben ez tompaszög, míg a valóságban hegyesszög, ami a negyedik vetületből tűnik ki). Az egyenesek transzverzálisa a harmadik vetületben a rendezők irányában helyezkedik el, ezért valódi nagyságban látszik. Végpontjait visszavetítve az 1 és 2 képsíkra, megrajzolhatjuk az n’ –őt és az n” –őt.

Ábra 143 Két egyenes által bezárt szög valódi nagyságának meghatározása kétszeres képsíkváltással és a kitérő egyenesek transzverzálisa helyezetének a meghatározása

A két kitérő egyenes transzverzálisának helyzetét meghatározhatjuk egyszeres képsíkváltással. A negyedik vetületben tetszőleges helyen megrajzoljuk az egyenesek IV közös normálisát. A b egyenesen levő végpontját (N pont, itt nincs megjelölve) rendezővel visszavisszük az első vetületbe, majd megrajzoljuk az n’-őt, párhuzamosan az 1”’/3’ tengellyel. Ezután az n’-őt párhuzamosan önmagával addig csúsztatjuk el, míg a másik végpontja (M’) nem kerül az a’-re. Az első vetület alapján könnyen megrajzolható a második vetület is (előző b ábra). Síkok képváltásával könnyen megoldhatók mind azok a feladatok, amelyekben térelemek (pontok, egyenesek, síkok) egymáshoz való helyzetét kell meghatározni, mint pl. pont és sík távolsága, ill. pont merőleges vetülete adott síkon, két pont szimmetrikus helyzete adott síkhoz, ill. adott egyenesszakasz szimmetria síkja, egyenes és sík metszéspontja, egyenes és sík által bezárt szög, két sík metszésvonala, két sík által bezárt szög, egymással párhuzamos síkok távolsága.

7.3.3

Pont és sík távolsága

Adott egy ABC háromszöggel meghatározott sík és a rajta kívülálló M pont (következő ábra). Határozzuk meg a pont távolságát a síktól. Ez alatt azt kell érteni, hogy meg kell határozni a sík pontra illesztett n normálisának MN valódi hosszát (az N pontot a normális metszi ki a síkból) és helyzetét minden megrajzolt vetületben.

96

Ábra 144 Pont legrövidebb távolsága a síktól

7.3.4

Két sík metszésvonala

Adott két sík nem átlátszó háromszögek – ABC és DEF – formájában. Határozzuk meg a háromszögek közös egyenesét (metszésvonalát) és a háromszögek láthatóságát (következő ábra). A feladatot egyszeres képsíkváltással oldjuk meg, melynek folyamán az egyik háromszög, legyen ez az ABC – síkját vetítősíkká alakítjuk. Először a C”-re illesztjük a h”-őt (h” || 2”), majd az 5’ felhasználásával megrajzoljuk a h’-őt. Erre merőlegesen vesszük fel a képsíkváltás 1”’/3’ tengelyét, ami biztosítja az új 3 képsík merőlegességét az ABC háromszög síkjára, így ez a háromszög a harmadik vetületben egyenesként jelenik meg. Megrajzolva a DEF háromszög harmadik képét, közvetlenül megkapjuk a DEF háromszög oldalainak az ABC háromszög síkjával képzett döféspontjait. A DE oldal a 6 pontban, az EF oldal a 7 pontban, a DF oldal pedig a 8 pontban döfi az ABC háromszög síkját. E három pont közül kettőt visszavetítve az első és a második képsíkra, megkapjuk a síkok metszésvonalának az első (p’) és a második (p”) vetületét. A metszésvonalnak csak az a szakasza van vastag vonallal kihúzva mindkét vetületben, amely közös, vagyis minkét háromszöghöz tartozik. Az ábráról kitűnik, hogy az ABC háromszög BC oldala is döfi a DEF háromszög síkját a 9 pontban. A láthatóság meghatározásánál először vastagon kihúzhatjuk a háromszögek oldalainak azon részét, amelyek nem fedik egymást, mivel ezek biztosan láthatóak. Az egymást látszólag metsző oldalakat úgy vizsgáljuk, mint két kitérő egyenest.

97

Ábra 145 Két sík metszésvonalának meghatározása egyszeres képsíkváltással

Viszont egyszerűbben és gyorsabban meghatározható a láthatóság, ha a háromszögek csúcspontjainak a helyzetét vizsgáljuk. Mivel az első vetületet felülről való vetítéssel kapjuk (a második és harmadik vetületben a felülnézet iránya az I), ebben a vetületben a B és E csúcs biztosan látható (nincs felettük semmi), így a háromszögek azon oldalai (B’A’, B’C’ és E’D’, E’F’), amelyek e pontokból indulnak, szintén láthatóak, legalább is a másik háromszög síkjával való döféspontig, vagyis a p’-ig. A B’A’ oldal teljes egészében látszik, mert a DEF háromszög síkját a háromszögön kívül metszi. A B’C’ oldal a 9 pontig (és az EF oldaltól) látszik. Az E’D’ oldal a 6 pontig (és az A’B’ oldaltól) látszik. Az E’F’ oldal teljes egészében látszik, mivel a 7 pont kívül van az A’B’C’ háromszögön. Tulajdonképpen elég meghatározni az egyik háromszög egy oldalának láthatóságát és tudván azt, hogy két kitérő egyenes közül az egyik látszik, míg a másik nem, könnyen meghatározhatjuk a többi oldal láthatóságát is. Mivel az E’D’ oldal E’ –től 6 –ig látható, az A’C’, mint kitérő egyenes nem látható, és ha ez nem látható, akkor az E’F’ látható, ebből következik, hogy C’B’ nem látható a 9 döféspontig, de ettől kezdve ismét látható, így a takart F’D’ nem látható, ezért a B’A’ látható és ez azt jelenti, hogy az E’D’ a 6 döfésponttól a D’ felé nem látható. Ezzel a kör bezárult, és mivel azzal kezdtük a láthatóság meghatározását, hogy az E’D’ oldal E’ –től 6 –ig látható, ez azt bizonyítja, hogy a feladatot jól oldottuk meg. A második vetületben, amelyet előlnézet formájában kapunk meg (az első vetületben a vetítési irány II) látható a B’ csúcs (előtte nincs semmi), így az A”B” oldal teljes egészében látszik és a B”C” oldal is a 9 döféspontig. A többi elem láthatóságát hasonlóan határozzuk meg, mint az első

98

vetületben, vagyis körüljárva a két háromszöget, fokozatosan állapítjuk meg az elemek láthatóságát.

7.3.5

Két sík szöge

Ha két sík nem párhuzmos egymással, akkor szöget zár be. A szög szárait a síkok metszésvonalára merőleges sík metszi ki a síkokból. Határozzuk meg az előbbi példában szereplő háromszögek síkja által bezárt szög valódi nagyságát. A feladatot kétszeres képsíkváltással oldjuk meg (következő ábra). Először meghatározzuk a síkok metszésvonalát (az előbbi példában már ezt megoldottuk). Első képváltással meg kell kapnunk a p metszésvonal valódi nagyságát, ezért a képsíkváltás 1”’/3’ tengelyét a metszésvonallal párhuzamosan vesszük fel, azaz 3’ || p’. A második képsíkváltásnál a p”’ metszésvonalat vetítőegyenessé IV alakítjuk. Ennek érdekében a 3 /4”’ tengelyt merőlegesen vesszük fel a p”’ –re, IV vagyis 4”’ merőleges p”’, ebből kifolyólag a p pontban jelenik meg. Egy síkot három pont határoz meg. Mivel kettőt már transzformáltunk a p egyenessel (a 6 és 7 közös pontot), már csak egy-egy pontját kell a síkoknak a negyedik vetületben meghatározni. Egyik pont legyen a B, a másik pediga D. Transzformálva ezeket a IV pontokat a negyedik vetületbe és összekötve őket a p -vel, megkapjuk a síkok negyedik vetületét, amelyben azok egyenesként jelennek meg (ezek az egyenesek felfoghatók a metszésvonalra merőleges síkkal kapott metszeteknek is), ezért az általuk bezárt szög adja a síkok közötti szög valódi nagyságát.

Ábra 146 Síkok által bezárt szög valódi nagysága a metszésvonalukra merőleges síkban mérhető

99

8 EGYSZERŰ TÉRBELI ALAKZATOK (GEOMETRIAI TESTEK)

8.1

SÍKLAPÚ ALAKZATOK (POLIÉDEREK)

A síklapú test a térnek az a része, melyet minden oldalról síksokszögek határolnak. Ezek a test oldallapjai, amelyek közül kettő-kettő találkozásaként (metszésvonalaként) kapjuk a test éleit. Az oldallapok szögpontjai a test csúcspontjai, melyekben mindig legalább három oldallap találkozik (metszi egymást). Ez a testnek egy szöglete. Megkülönböztetünk szabályalan és szabályos poliédereket. Szabályalanok a poliéderek, ha az oldallapjaik is szabálytalan síksokszögek, míg szabályosak, ha szabályos alakú síksokszögek határolják. A későbbiekben csak ezekkel foglalkozunk. Ide tartoznak a gúlák és a hasábok. Ha a tér egy tetszőleges V pontját valamely síkidom (vezérsokszög) oldalaival síkok segítségével (ill. csúcsival egyenesek segítségével) kötjük össze, akkor gúlát kapunk. A V csúcsponton átmenő egyenesek a gúla oldalélei, az oldallapokon fekvő és a csúcsponton átmenő egyenesek pedig a gúla alkotói. Ha a V pont a végtelenbe tolódik el, akkor hasábot kapunk. Hasábnál az egybevágó alap és fedőlapot paralelogrammák kötik össze, amelyek az oldalélekben találkoznak. A hasáb oldalélei és alkotói egymással párhuzamosak. Egyenes a hasáb, ha az alaplapjára az oldalélek merőlegesek, más esetben ferde.

Ábra 147 Szabályos poliéderek: hasáb és gúla

8.1.1

Szabályos testek

Egy síklapú test akkor szabályos, ha annak minden csúcsában egyenlőszámú egybevágó szabályos síksokszög találkozik. Ahogyan egy szabályos soksíkszögnek 100

minden csúcspontja a körülírható körön fekszik, ugyanúgy egy szabályos polédernek is minden csúcsa egy gömb felületén foglal helyet, amelynek a középpontja megyezik a test középpontjával, ami az oldallapok egybevágóságának köszönhető.

Ábra 148 Szabályos poliéderek palástjának kialakítása

Keressük meg, hány szabályos poliéder van és milyen síksokszögekből alakíthatók ki. Tetraéder. A legegyszerűbb síksokszög az egyenlőoldalú háromszög, amely belső o szögeinek nagysága 60 . Egy poliéder csúcsának a kialakításához legkevesebb három síkra van szükség, ezért három egyenlőoldalú háromszögből létrehozhatunk egy háromoldalú gúla palástját, és ha ezt bezárjuk egy negyedik ugyanakkora háromszöggel, tetraédert kapunk. Oktaéder. Ha a T pontban négy szabályos (egyenlőoldalú) háromszög találkozik, akkor egy négyoldalú gúla palástját kapjuk. Összeillesztve két ilyen palástot alaplapjuknak megfelelő oldaléleiken (ez négyzet), kialakul az oktaéder. Ikozaéder. A T pontban öt szabályos háromszög csúcsa is találkozhat (több mint öt o o már nem, mert a hatodikkal bezárul a kör: 6x60 = 360 és nem alakítható ki szöglet). Az öt háromszög egy ötoldalas gúla síkba terített palástját adja. Ha két ilyen palástot ötszögalakú alaplapjuknak éleinél összeillesztünk nem alakul ki szabályos poliéder, mert az alaplap csúcsaiban csak négy háromszög találkozik. Ahhoz, hogy minden csúcsban öt háromszög álljon, a két alaplap közé egy, tíz háromszögből álló „koszorút” kell illeszteni. Az így kapott test 20 szabályos háromszögből áll, melynek alakja már „gömbszerű” és a neve ikozaéder. Hexaéder (kocka). Négyzetből, mint szabályos síksokszögből csak egy szabályos test, o a kocka alakítható ki, mert a négyzet oldalai egymással 90 -os szöget zárnak be és így legtöbb három négyzet hozhat létre egy szögletet. A kockának hat egybevágó oldallapja van. Dodekaéder. Szabályos ötszögekből szintén csak egy szabályos poliéder alakítható o ki. Mivel az ötszög belső szöge 108 (az ötszög három háromszögre bontható, így az o o o ötszög szögeinek összege: 3 x 180 =540 : 5 = 108 ), legtöbb három ötszög találkozhat egy csúcsban, ezért 12 szabályos ötszög szükséges egy szabályos test kialakításához, melynek neve dodekaéder.

Szabályos testek kialakítása már szabályos hatszögekkel (és nagyobb oldalszámú szabályos síksokszögekkel) nem lehetséges, mert három hatszöggel bezárul a kör (3 x o o 120 = 360 ) és így szöglet nem alakulhat ki, ezért egy testszöglet élszögeinek az o összege kisebb kell, hogy legyen 360 -nál.

101

Tehát csak a felsorolt öt szabályos testet lehet kialakítani. Ezeket már a régi görögök is ismerték és Platon-féle testeknek nevezték. DUALITÁSI ÖSSZEFÜGGÉS. Ha a szabályos poliédereket figyelmesen megvizsgáljuk, láthatjuk, hogy a térelemek között dualitási összzefüggés áll fenn. Az ismert két kijelentés: „három sík metszésével pontot kapunk” és „három pont összekötésével síkot kapunk” alapján megállapíthatjuk, hogy a metszés és az összekötés között kölcsönös összefüggés áll fenn. Ez az összefüggés fenn áll a pont és sík esetében is. Ennek alapján, ha az állításba: „két sík metszeteként egyenest kapunk” a „metszést” „összekötésre” és a „síkot” „pontra” cseréljük, egy új állításhoz jutunk: „két pont összekötésével egyenest kapunk”. Azonnal kitűnik, hogy a két állítás dualitási összefüggésben van egymással. Mondhatjuk azt, hogy a térben a pont és a sík, míg az egyenes önmagával van dualitási (kettős) összefüggésben. A síkban viszontt a pont és az egyenes állnak egymással ilyen összefüggésben („két egyenes metszése pontot, míg két pont összekötése egyenest eredményez). A szabályos konvex (kidudorodó csúcsokkal bíró) testek éleinek i, oldallapjainak s és csúcspontjainak t száma közötti összefüggést Euler tétele adja meg: i = s + t – 2. A szabályos testek elemeinek számát a következő táblázat tartalmazza. Határoló Élek síksokszög száma i Tetraéder Háromszög 6 Hexaéder Négyzet 12 Oktaéder Háromszög 12 Dodekaéder Ötszög 30 Ikozaéder Háromszög 30

Lapok száma s 4 6 8 12 20

Csúcsok száma t 4 8 6 20 12

A táblázatból kitűnik, hogy a hexaéder lapjainak és az oktaéder csúcsainak, valamint a hexaéder csúcsainak és az oktaéder lapjainak a száma egyenlő, ami arra utal, hogy közöttük dualitási öszszefüggés áll fenn, de ez abból is látszik, hogy éleik száma egyforma (az egyenes önmagával függ össze). Hasonló helyzet áll fenn a dodekaéder és az ikozaéder között is, viszont a teraéder önmagával áll kölcsönös összefüggésben, mert lapjainak és csúcsainak száma egyenlő. Az első három szabályos testnél könnyű megszámolni a csúcsokat és az éleket. A dodekaédernél és az ikozaédernél ez kissé nehézkes, de mivel tudjuk, hogy elemeik száma kölcsönös összefüggésben vannak, és ha tudjuk az oldallapjaik számát (ezt görögül a nevük tartalmazza), tudjuk az éleik számát is, az oldallapjaik számát pedig Euler tétele segítségével kiszámíthatjuk (ez az összefüggés könnyen megállapítható a kocka elemeinek megszámlálásával).

102

Ábra 149 Az oktaéder geometriai szerkezete

A dualitási összefüggés lehetővé teszi, hogy az összefüggő testpárokat egymásba „skatulyázhassuk” olyképpen, hogy az egyik lapközéppontjaiba a másik csúcsai (és fordítva) kerüljenek, mert a két test között lapnak csúcs és csúcsnak lap felel meg. Ennek megfelelően az oktaédert a kockába, mint testpárjába helyezve, könnyen meghatározhatjuk térelemeik viszonyát, ill. az oktaéder geometriai szerkezetét. Ismerve a kocka geometriai szerkezetét, az ábrából könnyen megállapítható, hogy az oktaédernek három, egymásra merőleges testátlója van (hosszuk megegyezik a kocka a élével). Ezek közül kettő (ill. az oktaéder négy csúcsa) a harmadik átló szimmetriasíkjában található, vagyis az ABCD négyzet szimmetriasíkja az EF átlónak, a BEDF az AC-nek, és az AECF a BDnek. Az oktaéder élének ao hossza annak a négyzetnek az oldalhosszával egyenlő, amelynek átlói a kocka a élhossza.

Ábra 150 A tetraéder geometriai szerkezete

103

Habár a tetraéder és a kocka között nincs meg a dualitási kölcsönösség, a tetraéder mégis be-helyezhető a kockába. A tetraéder éleinek a száma megegyezik a kocka oldallapjainak a számával, így az AB él a kocka egyik lapjának az átlójával, míg a CD él a szemben levő oldal ellentétes átlójával esik egybe. Ezzel megkaptuk a tetraéder csúcsait és már csak a hiányzó éleket kell megrajzolni, amelyek szintén egy-egy oldallap átlóját is képezik. Az ellentétes oldalakon levő élek derékszögben kitérőek egymáshoz viszonyítva és normális egymásközötti távolságuk egyenlő a kocka a élének hosszával. A tetraéder kitérő éleinek a közös normálisai megfelelnek az oktaéder három testtengelyének. Ennek köszönhetően az oktaéder behelyezhető a tetraéderbe, az oktaéder csúcsainak száma megegyezik a tetraéder éleinek a számával. Ennek alapján az ikozaéder behelyezhető az oktaéderbe és a hexaéderbe is. A tetraéder geometriai szerkezetéből kitűnik, hogy egy él és normáltávolsága az ellentétes kitérő élig, a kitérő él szimmetria síkját adják, vagyis egy él merőleges arra a síkra, amelyet a kitérő él és az élek normáltávolsága alkot. A tetraéder aT éle átfogója annak a derékszögű háromszögnek, melynek befogói a kocka a élével megegyznek. A következő ábra az ikozaédert mutatja be és egy, a gömbhöz hasonló féligszabályos poliédert.

Ábra 151 Ikozaéder és a belőle kapott féligszabályos poliéder

A következő ábrán a dodekaéder látható.

Ábra 152 Dodekaéder

A tetraédert tkp. egy szabályos háromoldalú gúlának tekinthetjük. Alaplapjával a vízszintes képsíkon (1) álló tetraéder látható a következő ábrán, melynek AB éle merőleges a függőleges(2) képsíkra. A gúla vT magasságán keresztülmegy a test három szimmetriasíkja (egy illeszkedik a magasságra), melyek egyben szimmetriasíkjai az AB, a BC és a CA élnek is. Ezek a síkok az első vetületben az ABC háromszög magasságaiként jelennek meg, melyek metszéspontja a háromszög középpontja, ezért a D csúcspont első vetülete (D’) ebben a pontban lesz, vagyis 1/3 v∆-ra az oldaléltől és 2/3 v∆-ra a háromszög csúcsától. A CD él az AB él szimmetriasíkjában fekszik, párhuzamosan a 2 képsíkkal, ezért a második vetületben valódi nagyságban látszik. Másként fogalmazva: mivel az AB él a második vetületben pontban látszik, ezért a reá merőleges síkokban található minden egyenesszakasz a 104

második vetületben valódi nagyságban látszik. Ezek a következők: a CD él, az AB és CD élek a normáltranszverzálisa, az ABC háromszög magassága (C”B”) és az ABD háromszög magassága (D”B”). Mivel a tetraédert határoló háromszögek egybevágóak, a magasságuk egyenlő Ennek köszönhetően a D csúcspont D” második vetületét kimetszhetjük a tetraéder magassága vonalának második vetületén az A” ≡ B” középpontú és v∆ = B”C” sugarú körívvel. Ezzel megkaptuk a tetraéder magasságát is: vT = D1”D”.

Ábra 153 A tetraéder mint szabályos háromoldalú gúla

Ha ismerjük a tetraéder magasságát (vT = DDβ) és keressük az oldalélei hosszát (aT), ill. az oldallapjai magasságát (v∆), akkor a megoldásnál a tetraéderek hasonlóságából indulunk ki. Megrajzoljuk egy tetszőleges tetraéder második vetületét (85. ábra). Először egy egyenesen (β”) felveszünk egy tetszőleges pontot (Dβ), ebben merőlegest emelünk az egyenesre, tőle jobbra a β”-re felmérünk egy tetszőleges hosszúságú szakaszt (1), balra pedig ennek a kétszeresét (2), majd az előbbi merőlegesen a már ismert módon, körívvel kimetsszük a DM pontot és megrajzoljuk a tetraéder második vetületét. Ha a DβDM magasságra felmérjük az adott tetraéder vT = DDβ magasságát, megrajzolhatjuk az előbbi háromszöggel hasonló ACD háromszöget, amely tkp. az adott tetraéder második vetülete. Erről lepovasható a test élhossza – aT és az oldallapok v∆ magassága is.

Ábra 154 Tetraéder élhosszának meghatározása ismert testmagasságból a hasonlóság felhasználásával

105

A természetben a szabályos poliéderek megtalálhatók különböző kristályrácsok formájában, amelyekben az atomok az anyag meghatározott geometriája szerint helyezkednek el. A poliéderek szabályos geometriájának köszönhetően könnyen identifikálható háromirányú kiterjedésük ortogonális triédere, ezért a kocka, a tetraéder és az oktaéder igen alkalmasak a térelemek (pont, egyenes,sík) egymáshoz való viszonya meghatározásának a begyakorlására. Mivel a kocka a prizma alakú, a tetraéder pedig a kúp alakú testeket képviseli, az oktaéder viszont felbontható két kúpra, ezért e három szabályos poliéder tanulmányozása elegendő számunkra a síklapú testek ábrázolásának begyakorlására.

8.1.2

Félig szabályos poliéderek

Ha a szabályos poliéderek csúcsait egyformán lemetsszük az oldalél egyharmadán vagy felén, akkor félig szabályos poliédereket kapunk. Ezeket a testeket különböző szabályos síksokszögek határolják. A csúcsok fokozottabb lemetszésével, a félig szabályos poliéderek mindjobban megközelítik a gömb alakját. Ebből kifolyólag ezeket a testeket az építészetben előszeretettel alkalmazzák különböző rácsos szerkezetű kupolák, hangárok, üvegházak stb. tetőszerkezetének a kialakításánál. Így pl. az ikozaéder csúcsainak az él egyharmadánál való lemetszésével egy olyan félig szabályos poliédert kapunk, amelyet háromszögekből kialakult 20 szabályos hatszög és a csúcsokból kialakult 12 szabályos ötszög határol, vagyis ennek a testnek 32 oldallapja van (gyakorlásul számolja meg a csúcsokat és határozza meg az élek számát. Ez tkp. a futball-labda, amelyet az oldalalpoknak meg-felelő bőralakzatokból varrnak össze, majd felfújnak). A csúcsok további lemetszésével a test mégjobban megközelítené a gömb-alakot, háromfajta síksokszöggel határolva (határozza meg ezeket és számukat, ha a csúcsok lemetszése az élhossz felén és 1/3-án történik).

8.2

FORGÁSTESTEK

Valamely egyenesnek egy azt metsző egyenes körül mint tengely körül való forgatása által származó alakzatot forgási kúpfelületnek (röviden kúpnak) nevezzük. Az adott egyenes és a tengely metszéspontja e felület V csúcspontja. A kúpot leíró egyenes a kúp alkotója, (általános forgásfelületnél ezt meridiánnak nevezzük) míg az egyenes, amely körül az alkotó forog, a kúp tengelye. Ha kúpfelületet egy a tengelyre merőleges síkkal metsszük, a kúp vezérgörbéjét kapjuk. Ez bármilyen görbe lehet, de mi csak azokkal az esetekkel foglalkozunk, amikor a vezérgörbe kör és ekkor körkúpot kapunk. Egyenes körkúp (forgáskúp) az, amelynek csúcspontja a vezérkör középpontjában a vezérkör síkjára emelt merőleges egyenesen van. Ha a csúcspont nincs az előbbi egyenesen, akkor a körkúp ferde. Ha a kúp V csúcspontja a végtelenben van, vagyis az alkotók párhuzamosak a forgástengellyel, forgási hengerfelületet (körhengert) kapunk. Ha az alkotók a vezérkör síkjára merőlegesek, a henger egyenes, ellenkező esetben ferde. A henger tengelyére merőleges minden sík a felületből kört metsz ki; ezeknek sugara a henger alkotóinak a tengelytől való közös távolsága, ezt a henger sugarának nevezzük.

106

Valamely kör egyik átmérője körüli forgatásával gömbfelületet, röviden gömböt (szférát) kapunk. A gömb minden pontja egy ponttól, a gömb középpontjától egyenlő távolságra van. A középponttól a gömbfelület bármely pontjához húzott egyenesszakasz a gömb sugara. A gömb két pontját összekötő, a középponton átmenő egyenesszakasz a gömb átmérője. A gömb minden síkmetszete kör, melyet gömbi körnek nevezünk. A gömbi körök közül az a legnagyobb, amelynek középpontja a gömb középpontjába esik. Ezt a kört legnagyobb gömbi körnek vagy főkörnek mondjuk (ez a gömbfelület meridiánja, mint a földgömbnél), míg a többi (kisebb) gömbi körnek a neve kiskör.

Ábra 155 Forgásfelületek kialakulása

Ha valamely kör a síkjában levő olyan egyenes körül forog, amely nem megy a középpontján át, nyerjük a gyűrűfelületet (toruszt) vagy forgáskörgyűrűt. A torusz háromféle lehet: Ha a forgástengely a meridiánkört: a) nem metszi, akkor nyitott, b) ha érinti, akkor zárt és c) metszi, akkor csonka a torusz. Valamely ellipszis nagytengelye körüli forgatásával tojás alakú, kistengelye körüli forgatásával lencse alakú forgási ellipszoidot kapunk. Valamely hiperbola valós tengelye körüli forgatásával kétköpenyű (elliptikus), míg képzetes tengelye körüli forgatásával egyköpenyű (hiperbolikus) hiperboloidot nyerünk. Valamely parabola tengelyekörüli forgatásával forgási paraboloid alakul ki. Az összes forgásfelület közül csak a három legegyszerűbbel foglalkozunk, úgymint a kúppal, a hengerrel és a gömbbel, mint forgástestekkel (a torszusz jellegzetes vetületei a géprajznál találhatók). A gömbfelület zárt ezért egyben gömbnek, mint forgástestnek is tekinthető. A kúpfelületek és a hengerfelületek, hasonlóan az egyenesvonalú alkotóikhoz, végteleneknek tekinthetők, melyeknek csak egy behatárolt részét vizsgáljuk. Ha kúpfelületet egy, a forgástengelyére merőleges síkkal elmetsszük, akkor megkapjuk a kúpot, mint forgástestet, melyet a kúpfelület csúcspontja, a kúp palástja (a kúpfelületnek csúcstól a síkmetszetig terjedő része) és a síkmetszetként kapott alapja (alapköre) határol. Hasonló a helyzet a hengerfelületnél, amelyet két párhuzamos, a forgástengelyre merőleges síkkal kell elmetszeni. Az így

107

kapott hengert, mint forgástestet a körhengerfelületnek két körmetszete közé eső rész, a henger palástja és alap- és fedőlapja (mindkettő kör) határolnak. A kúp magasságát a csúcspontnak az alaplap síkjától mért merőleges távolsága, míg a henger magasságát az alap- és a fedősík közötti merőleges távolság adja.

8.2.1

A kör merőleges vetületei

Általános helyzetű síkon a kör átmérői egyenesszakaszok a kör síkján, amelyek az első vetületben megrövidülnek, kivéve azt, amelyik víszintes (vagyis rajta van az első fővonalon). Legnagyobb rövidülést szenved az, amelyik a legmeredekebb az első képsíkhoz viszonyítva, ez pedig az első esésvonalon levő, amely társátmérője a h-n levő átmérőnek, így e két egymásra merőleges átmérőt kapcsolt (konyugált) vagy társátmérőpárnak nevezzük. Mivel a h’-őn levő átmérő valódi nagyságban látszik, a társátmérők egymásra merőlegesek az első vetületben is, ezért a kör első vetületét képező ellipszisnek a nagy- és kistengelyét adják (következő ábra). A többi kapcsolt átmérőpár tagjainak első vetülete nem derékszögben metszi egymást, mivel egyik sem valódi nagyságú. A kapcsolt átmérőket arról lehet megismerni, hogy az egyik átmérő végpontjaihoz tartozó érintőkkel párhuzamos a társ-átmérő. A kör társátmérőinek végponjaihoz tartozó érintők négyzetet alkotnak és ha a kör vetülete ellipszis, akkor az érintőnégyzet vetülete az ellipszis érintő-paralalogrammája lesz. A h” és a g1” már nem merőlegesek egymásra, habár a h és a g1 társátmérőpárt alkotnak.

Ábra 156 Általános helyzetű kör merőleges vetületei

Hasonló a helyzet a második vetületben, ahol az ellipszis nagy- és kistengelyét a kör azon kapcsolt átmérőinek a vetülete adja, amelyek közül az egyik a második fővonalon, a másik pedig a második esésvonalon van. Ha adott a kör β síkja, a kör S középpontja és a kör R sugara, akkor a kör első vetületét képező ellipszist legkönnyebben tengelyeinek a meghatározásával rajzolhatjuk meg. Az S’-re illesztjük a h’-őt, majd felvisszük rá a 2R –t, szimmetrikusan az S’-től. Képsíkváltással megrajzoljuk a β”’-őt (3’merőleges h’) és erre is felvisszük a 2R-t, mivel 3”’ ≡ g1”’. Az ellipszis nagytengelyét az első vetületben a h’-őn a kör átmérője adja, míg a kistengelyét a g1”’-őn levő átmérő visszavetített végpontajai adják a g1’-őn. Hasonló módon rajzoljuk meg a második vetületben levő ellipsziseket is.

108

AZ ELLIPSZIS SZERKESZTÉSE. Az ellipszis szerkesztésének több módja ismert. Annak érdekében, hogy a rajzot ne terheljük újabb részletekkel, válasszuk a papírcsík segítségével való szerkesztést, amely egy kis odafigyeléssel eléggé pontos ellipszist eredményez. Egy papírcsík egyenes szélére felmérjük az ellipszis a és b féltengelyeit, amelyek meghatározzák az M, E és V pontot (következő ábra). Két változat ismert: az egyiknél a féltengelyek különbségét (ez z “a-b” papírcsík módszer), míg a másiknál az összegüket kapjuk (ez z “a+b” papírcsík módszer) a papírcsíkon (ha a féltengelyek különbsége kicsi, a második módszer a pontosabb). A papírszeletet úgy mozgatjuk az ellipszis középpontja körül, hogy a V pont mindig a nagytengelyen, az M pont pedig mindig a kistengelyen legyen. Az E pont minden helyzetben az ellipszis egy pontját határozza meg, amelyet jól meghegyezett ceruzával átviszünk a rajzlapra és végül a kapott pontokat görbevonalzó segítségével öszszekötjük.

Ábra 157 Ellipszis szerkesztése papírcsík felhasználásával

Szebben néz ki az ellipszis, ha a tengelypontjai közelében levő íveket simulókörrel helyettesítjük. amit körzővel húzhatunk ki (következő ábra). Az ellipszis nagy- és kistengelypontjában (ezek az ellipszis csúcspontjai) a simulókörök OA és OC középpontjait a következőképpen szerkesztjük meg. A féltengelyek fölé írt téglalap külső csúcspontjából állítsunk merőleges egyenest az AC-re. Az egyenes a nagytengelyből az OA , a kistengelyből az OC simulókör-középpontot metszi ki.

Ábra 158 A simulókörök középpontjának szerkesztése

Minél kisebb a tengelyhosszak közötti különbség, annál hosszabb ellipszisív helyettesíthető a simulókörrel. A köríveket görbevonalzó segítségével kell megrajzolni, de segítségül ajánlatos az átmeneti rész egy pontját (P) meghatározni egy o 45 -os érintő segítségével.

109

8.2.2

Forgástestek geometriai szerkezete

A forgástestek geometriai szerkezetének az alapja lényegében megegyezik: a forgástengelyük merőleges az alapkörre, ill. körökre. A gömbnél minden egyenes, amely keresztülmegy a gömb S középpontján, a gömb forgástengelyének tekinthető, így minden metszősík a gömböt körben metszi, (mivel a sík merőleges valamelyik tengelyre), amelynek az S1 középpontja mindig az S pontból a gömbi kör síkjára meghúzott merőleges egyenesnek a talppontjába (döféspontjába) esik (következő ábra).

Ábra 159 Forgástestek geometriai szerkezetének alapja

Vegyünk szemlére egy gömbi kört, melynek középpontja S1 és általánosítva a helyzetet, tekintsük ezt a kört a gömb vezérkörének, akkor észrevehető, hogy a gömböt meghatározza ez a „vezérköre” (S1, R1) és az S1S magassága ugyanúgy, mint a kúpot és a hengert. Az egyetlen különbség az, hogy amíg a kúpnál és a hengernél az vezérkör (alapkör) a test “élét” is képezi (ami a forgásfelület és az alapkör síkjának a metszete), addig a gömb vezérköre lehet bármelyik gömbi kiskör, még a zérus sugarú is, amely egybeesik egy sík D érintési pontjával. Ti. ha növeljük az S1S magasságot, azaz ha az S1 távolodik az S-től, akkor a vezérkör sugara csökken, tehát ha S1S →R, akkor R1 →O. A kiskör R1 sugara egy olyan derékszögú háromszög egyik alkotója, amelynek másik alkotója az S1S magasság (a vezérkör síkjának távolsága a gömb középpontjától), az átfogója pedig a gömb R sugara. Tkp. ez a derékkszögű háromszög a gömb geometriai szerkezetének az alapja, mert a gömbbel kapcsolatos feladatoknál általában e háromszög két oldala adott és meg kell határozni a harmadikat. FORGÁSFELÜLETEK PONTJAI ÉS AZOK LÁTHATÓSÁGA

Forgásfelületeken levő pontok láthatóságát elvileg ugyanazzal a módszerrel határozzuk meg, mint a síkon levőkét. Ahogyan a síkon levő pontnál a sík legegyszerűbb vonalát, vagyis egy egyenest illesztettünk a pont megfelelő vetületére, ugyanúgy a forgásfelület pontjának a megfelelő vetületére kell illeszteni a forgásfelület legegyszerűbb vonalát, amely általában egy vezérkör (természetesen azoknál a forgásfelületeknél, amelyeknek egyenes vonalú alkotói vannak. mint pl. a kúpnak és a hengernek, felhasználhatók az alkotók is). A síkon levő egyenes hiányzó vetületét a sík másik egyenesével kapott metszési pontok segítségével határoztuk meg, ezért a forgásfelületeknél a kiválasztott vezérkör vagy egyenes és a felületen levő ismert vonal metszéspontját használjuk fel a rendezett vetületek megrajzolásához.

110

A következő ábrán forgástestek legegyszerűbb rendezett vetületei láthatók, amikor a test forgástengelye merőleges az egyik képsíkra. Kúpnál az alapkörrel párhuzamos kör második vetületéből az elsőt a képhatáralkotókkal (V”A” és V”B”) képzett egyik metszéspont (pl. a 3”) segítségével kapjuk meg. (E pont első vetületét tkp. nem is szükséges rendezővel megkeresni, pontosabb lesz a rajz, ha a kör sugarát a második vetületen körzőnyílásba vesszük). Az alkotókat egyik vetületből a másikba az alkotó és az alapkör metszéspontjának a felhasználásával, rendezőkkel visszük át. Vetítőhenger minden pontjának és az alapkörrel párhuzamos minden körnek első vetülete az alapkör első vetületével esik egybe. A gömb kisköreinek hiányzó vetületét a képhatárkörrel kapott metszéspontok segítségével keressük meg. Az első vetület képhatárköre a gömb vízszintes kh’ főkörének első vetülete, második vetület képhatárköre pedig a gömb függőleges kf” főkörének második vetülete.

Ábra 160 Forgásfelületeken levő pontok vetületei és láthatósága

A kontúralkotók pontjai azok a pontok, amelyekben a vetítősugarak érintik a felületet. A második képsíkra merőleges vetítősugarak, amelyek a VA és VB alkotók mentén érintik a kúpot, két vetítő érintősíkot alkotnak, ezek a V csúcspontban metszik egymást. A hengernél az érintősíkok párhuzamosak egymással, és a hengert az A és B pontból induló alkotók mentén érintik. A második képsíkra merőleges vetítősugarak a gömböt a kf főkörön érintik és egy vetítőhengert hoznak létre. A pont helyzetének egyértelmű meghatározásához szükség van láthatóságának megállapítására is. Mivel az M és N fedőpontok, mert második vetületük egy vetítősugáron van, ezért az első vetületről kell megállapítani, hogy a pont a 2 képsíktól távolabb levő alkotón (ez az M pont, amelyik látható) vagy a közelebb levő alkotón (ez az N pont, amelyik nem látható) van-e. Ez mindhárom típusú forgástestre vonatkozik, viszont a gömbnél a pontok első vetületeinél is meg kell állapítani a láthatóságot. A vetítősugarak mindegyike, úgy a víszintesek, mint a függőlegesek két 111

pontban metszik a gömböt, amelyek fedőpontpárt alkotnak. Tehát a második vetületben a pont látható, ha az a test első, a szemlélőhöz közelebb levő felén helyezkedik el (ez az M pont) és nem látható, ha a test hátsó felén (ez az N pont) található. Az első vetületben akkor látszik a pont, ha az a gömb felső felén, vagyis a víszintes képsíktól távolabbin van (ez pl. az M pont) és nem látszik, ha a gömb alsó felén található (ez pl. a P pont). Viszont a kúp palástjának első vetülete teljes egészében látszik, fedőpontok nincsenek, mert a függőleges vetítősugár csak egy pontban metszi a palástot; a henger palástja pedig vetítőpalást, ezért csak a fedőlap látható az első vetületben. A gömbi köröket a gömb síkmetszetei adják. A következő ábrán látható párhuzamos gömbi köröket a második képsíkra merőleges és egymással párhuzamos síkok metszették ki a gömbből. Az α sík keresztül megy a gömb középpontján, így a gömböt a legnagyobb gömbi körben, azaz a főkörben metszi, melynek középpontja egybe esik a gömb S középpontjával és a sugara egyenlő a gömb R sugarával. Ahogy a metszősíkok (β, γ) távolodnak a gömb középpontjától, úgy csökken a kimetszett gömbi körök sugara (ezek a gömb kiskörei), míg végül a δ sík a gömböt zérus sugarú körben „metszi”, ezért a δ sík érintősíkja a gömbnek, a zérus sugarú kör pedig a D érintési pont. Ahogyan bármelyik gömbi kör (S1, R1) síkja merőleges az SS1 egyenesszakaszra, ugyanúgy a gömb érintősíkja merőleges az SD egyenesszakaszra, vagyis a gömb sugarára az érintési pontban. Mivel a metszősíkok vetítősíkok, a gömbi körök második vetülete a gömb kontúrkörének húrjaiként jelennek meg. Ezeknek a pontjai mind fedőpontok, mert minden egyes látható pont takar egy nem láthatót. Az első vetületben a gömbi köröknek csak azon része látszik, amelyik a látható (felső) félgömbön van. (Ha felülről megvilágítanánk a gömböt, akkor csak a felső félgömb lenne megvilágítva, míg az alsó árnyékban maradna.) A látható és nem látható gömbfelület között a választó vonal a kh vízszintes kontúrkör.

Ábra 161 A gömb síkmetszetei

112

Az első vetületben az ε sík által kimetszett kiskör nem látható, mert teljes egészében „árnyékban” van, az α síkon levő főkör fele látszik, míg a többi kiskörnek (S1, R1) nagyobb része látható. A látható részt a nem láthatótól a kontúrkörön levő K és L pontok választják el, amelyek második vetületét a sík nyomvonala metszi ki a kh kontúrkörön, mint fedőpontokat (a KL közös húrja e két körnek). Az első vetületből kitűnik, hogy ezek a kontúrkör és az ellipszis érintési pontjai. Az érintési pontokban a két görbének közös érintője van. A γ sík által kimetszett kiskör a felső félgömbön van, így az első vetületben teljesen látható, ezért az egész ellipszis vastag folytonos vonallal van kihúzva. Mivel a γ sík érinti a kh kontúrkört, az előbbi metszéspontok (K, H) egybeolvadtak, ennek köszönhetően a kh kör érinti az ellipszist a kistengelyen, tehát a kh kör simulóköre az ellipszisnek. Összegezve az előbbieket azt mondhatjuk, hogy a kh kontúrkörnek és az α síkban levő gömbikörnek közös átmérőjük, a kh-nak és a β síkban levő gömbikörnek közös húrjuk, a kh-nak és a γ síkban levő gömbikörnek közös érintőjük és görbületi sugaruk, a kh-nak és a δ síknak közös pontjuk (zérus sugarú körük) és érintőjük van, míg a kontúrkörnek és az ε síkban levő kiskörnek nincs közös pontjuk, hanem csak egy közös remete érintőjük (kitérő egyenesük) van, a kh síkjának és az ε síknak a metszésvonala.

113

9 Számítógépes grafika matematikai alapjai

9.1

Bevezetés

Az automatizált tervezés és szerkesztés tanulmányozásánál a számítógépes grafika elemzése a következőkből áll: -

alapok, elvek, törvények, módszerek, melyek segítségével az objektum (geometriai elem) modellje egy kiválasztott geometriai térben ábrázolható,

-

alapok, elvek, törvények, módszerek, melyek az objektum (geometriai elem) modelljének kezelését teszik lehetségessé.

Ezek az elvek (alapok) és törvények manapság többé vagy kevésbé szabványozva vannak és ezért a geometriai információ kezelése egy általános technológián van alapozva (nem függ a program fajtától).

9.2

A geometriai elemek (geometriai modellek) ábrázolása

Az ábrázolás programilag van vezérelve. A program struktúra a grafikai programmagban található és az automatizált tervezési rendszer (ATR) bármelyik modulusából (részéből) használható. Minden objektum modellje (a tervezés eredménye) két külön csoport (osztály) információt tartalmaz: -

geometriai információkat, melyek a geometriai elemek információit tartalmazzák (a geometriai elemekből áll a geometriai modell),

-

topológiai információkat, melyek a geometriai elemek kölcsönös viszonyait tartalmazzák.

114

Példaként egy ABC háromszög geometriai és topológiai adatai vannak bemutatva: Geometriai adatok

-

modellezési tér:

-

geometriai elemek:

x0y (sík)

o A pont

A(xA, yA)

o B pont

B(xB, yB)

o C pont

C(xC, yC)

o Oldal 1

O1 (csak információ, hogy létezik)

o Oldal 2

O2 (csak információ, hogy létezik)

o Oldal 3

O3 (csak információ, hogy létezik)

Topológiai adatok

-

objektum fajtája és típusa:

-

topológiai elemek:

Síklapú háromszögű felület

o Oldal 1

O1(A, B) (Az A ponttól a B pontig)

o Oldal 2

O2(B, C) (A B ponttól a C pontig)

o Oldal 3

O3(C, A) (A C ponttól az A pontig)

Az ABC háromszög a következő ábrán látható (Ábra 162)

Ábra 162

115

9.2.1

Egyenes vonal definiálása és ábrázolása

Az egyenes vonal nem más mint egy egyenes szakasz. A definiálása síkban a következő ábrán látható (Ábra 163).

Ábra 163

Számítógépes grafikában az ábrázolás úgy történik, hogy a megadott A és B pont közé elegendő számú pontot Pi(xi, yi) kell meghatározni a következő képlet szerint: ( y − yA ) ( yi − y A ) = B ( xi − x A ) (Ábra 164). Az elegendő számú pont a felbontástól ( xB − x A ) függ (képernyő, nyomtató).

Ábra 164

116

9.2.2

Görbe vonal definiálása és ábrázolása

A görbe vonal definiálása összetettebb probléma. A görbe vonal véges optimizált szegmensekre van osztva, melyek kezdő és végső ponttal vannak definiálva. A görbe vonalú szegmensek egyenes vonalú szegmensekre vannak cserélve. Az egyenes vonalú szegmens nem más mint egy egyenes szakasz. Ilyen módon a görbe vonal poligonná változik. Példaként egy kör ábrázolása van bemutatva (Ábra 165). A kör középpontja C(a, b), a sugara r. A kör ábrázolására egy n oldalú szabályos poligon (sokszög) van kiválasztva. A poligon pontjait a következő képlet szerint kell meghatározni: 2π xi = a + r cos(i ) n i = (0,..., n − 1) . 2π yi = b + r sin(i ) n

Ábra 165

9.2.3

Felületek definiálása és ábrázolása

A felületi objektum modellt sűrűn használják a tervezési folyamatban, mert magas szintű információ értéke van (vizualizációra alkalmas, valamint a megmunkálási folyamat tervezésére is – CNC programkód automatikus elkészítésére). A felület része egy végtelen egyenes vagy görbe (analitikusan leírható, vagy leírhatatlan) felületnek, mely kontinuális (kontinualitás feltétele) és nem metszi saját magát. Élekkel van határolva, melyek bármilyen vonalak lehetnek. A felület a geometriai test egy oldalát képezi. Felületek definiálása a következő módszerek segítségével jöhet létre: -

határ élek segítségével,

-

vonal háló segítségével.

Határ élek segítségével rendszerint síksokszögeket, vagy sima görbe vonalú, analitikakusan definiálható felületeket szokás definiálni. A módszernél a felület fajtát

117

és típust kell definiálni és meg kell határozni a felület határ-éleket. A következő ábrán egy síklapú négyszög van definiálva (Ábra 166).

Ábra 166

Vonal hálóval rendszerint olyan felületeket szokás ábrázolni melyek görbe vonal(ak) (generatrix) transzlációjával görbe vonal(ak)on (directrix) keletkeznek (Ábra 167).

Ábra 167

Mindkét módszernél a felület definiálása nem más mint egy görbe vonal struktúra (halmaz) meghatározása.

118

Felületek ábrázolása perifériákon (képernyő, nyomtató) a következő módszerek segítségével jöhet létre: -

„wire-frame”, határ élek segítségével,

-

„spider-web”, vonal háló segítségével (Ábra 167),

-

„solid”, felület kitöltés segítségével (Ábra 168),

-

„shading”, felület árnyékolás segítségével (Ábra 169).

Az első két módszer nem alkalmas az összetett objektumok ábrázolásánál, mert az ábrázolás áttekinthetetlen. Az ábrázolás felület kitöltés segítségével görbe felületek ábrázolásánál nem ad megfelelő eredményeket, mert a felület kitöltés egyenletes és emiatt nem láthatók a görbülések. Az ábrázolás felület árnyékolás segítségével úgy jön létre, hogy a felület fel van osztva kicsi alapfelületekre (háromszögekre) és ezek térben egy pontból meg vannak világítva. A fénysugarak más szögben esnek az alapfelületekre és emiatt az alapfelületek megvilágítása különbözik. Ilyen módon a görbülések láthatók. A módszer igényes de jó eredményeket ad.

Ábra 168

Ábra 169

119

9.2.4

Testek ábrázolása és definiálása

Geometriai testről akkor van szó, ha a tér egy része minden oldalról felületekkel van határolva, ahol a felületek az oldalakat képezik. Ha ez a felülethalmaz egy elemből áll, akkor ez egy görbe zárt felület, mely nem metszi saját magát és amely a teret a testre és a környezetre osztja. Testek definiálása a következő módszerek segítségével jöhet létre: -

határ élek segítségével,

-

vonal háló segítségével,

-

felületekkel,

-

egyszerű geometriai testekkel („solid body”), melynek az elve az, hogy egy test több egyszerű test kombinációja.

A magyarázatok a „3D modellezés” fejezetben találhatók. A testek ábrázolása perifériákon megegyezik a felületek ábrázolásával.

9.3

A láthatóság problémája számítógépes grafikában

Ha a testet szemléljük, a testen át sugarak hatolnak a szemünkbe. Ezek a sugarak legalább 2 ponton haladnak át a testen. Az a pont látható, mely közelebb áll a szemhez.

9.4

Tér a számítógépes grafikában

A tér geometriai, mert geometriai modelleket kell ábrázolni. A geometriai modellek elemei vektorokkal vannak definiálva (a pontok helyzet vektorai), a modellek kezelése pedig a vektorokon való algebrai operációk végrehajtásával történik. Emiatt a tér dimenziója megfelel a vektorok dimenziójával. A tér lehet: -

2D (két dimenziós)

sík,

-

3D (három dimenziós)

tér,

-

4D (négy dimenziós) helyzet + például idő, vagy más szükséges paraméter...

Ez azt jelenti, hogy a geometriai modell nem más mint egy struktúra, mely egy Ndimenziós vektor halmazt tartalmaz (ilyen módon van definiálva). Ebből a halmazból egy elementáris elemet (P pontot) a következőképen lehet ábrázolni: -

P = P( x, y ) = [x

-

P = P ( x, y, z ) = [x

y]

2D, y

z]

3D...

Egy komplex elem az elementáris elemek halmazából áll.

120

Ha egy elementáris elem egy pont, mely [x y z ] vektorral van definiálva, és ha a modellen M pont van, akkor a modellt úgynevezett helymátrix segítségével lehet y1 z1 ⎤ ⎡ x1 ⎢ x y2 z 2 ⎥⎥ ⎢ 2 ⎥. ábrázolni M sorral és N oszloppal, ahol az N a tér dimenziója: ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎢ xm−1 ym−1 zm−1 ⎥ ⎢⎣ xm ym z m ⎥⎦ Ha meg van a helymátrix, melyet memorizálni kell, a geometriai modellt a pontok összefüggéséből kapjuk, mely a modell topológiájától függ. A mátrix a modell alapja és a mátrixon történnek a későbbi transzformációk, ha változásokat kell végrehajtani a modellen.

9.4.1

A geometriai tér homogenizálása, homogén koordináták

Vannak olyan esetek (bizonyos transzformációknál, mint például a transzlációnál, a helymátrixban olyan elemek szükségesek, melyek függetlenek a pontok koordinátáitól8), amikor a geometriai modellen végrehajtott operációkat nem lehet elvégezni a Descartes féle geometriai térben (2D, 3D). Ezért a helyvektor struktúrájába be kell vezetni egy úgynevezett „homogénizációs” tényezőt. Ekkor a helyvektor formája, amely 3D esetben [x y z ] , négy dimenzióssá alakul át: x X = r [x y z r ] . Ilyen módon új homogén koordináták keletkeznek: Y = y . Az r r z Z= r tényező 0 < r < +∞ értékeket kaphatja meg.

9.5

Geometriai transzformáció az objektum modelljén

Transzformáció közben a geometriai információk (helymátrix) változnak, míg a topológiai információk változatlanok maradnak. Néhány transzformáció a 2D térben a következő:

8

-

arány változtatás,

-

tükörkép készítés,

-

elforgatás (rotáció),

-

elmozdítás (transzláció)...

A bővebb magyarázat a transzláció elemzésénél található.

121

Néhány transzformáció a 3D térben a következő: -

arány változtatás,

-

tükörkép készítés,

-

elforgatás (rotáció),

-

elmozdítás (transzláció),

-

ortogonális vetítés,

-

centrális vetítés,

-

axonometrikus ábrázolás...

A geometriai transzformáció a helymátrixon [M] van elvégezve. Eredményként új helymátrix keletkezik [M’], melynek dimenziója meg kell hogy egyezzen a kiinduló helymátrix dimenziójával. Ezért a transzformációt transzformációs mátrix [T] segítségével kell végrehajtani: M ' = M × T . Példaként egy ⎡ x1 ⎢x definiálva: ⎢ 2 ⎢ x3 ⎢ ⎣ x4

2D geometriai modell van bemutatva, mely négy ponttal van y1 ⎤ ⎡ ax1 + cy1 bx1 + dy1 ⎤ ⎥ y2 ⎥ ⎡a b ⎤ ⎢⎢ax2 + cy2 bx2 + dy2 ⎥⎥ . = × y3 ⎥ ⎢⎣ c d ⎥⎦ ⎢ ax3 + cy3 bx3 + dy3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ y4 ⎦ ⎣ax4 + cy4 bx4 + dy4 ⎦

A következő fejezetekben a geometriai modellek mint merev elemek vannak definiálva, ezért elegendő a geometriai modell egy pontjának elemzése. A geometriai modellek a példákban síkban vannak definiálva.

9.5.1

Arányváltoztatás

Az arányt úgy kell változtatni, hogy a modell mindegyik elementáris elem koordinátáit meg kell szorozni egy tényezővel, mely lehet globális (általános – egyforma minden tengely irányában), vagy lokális (különböző minden tengely irányában. A bemutatott példán (Ábra 170) egy ABCD négyszög aránya van megváltoztatva síkban (2D).

Ábra 170

122

Mindegyik pont transzformációja a következő:

[x

]

⎡a b ⎤ yi ] × ⎢ ⎥ = [axi + cyi bxi + dyi ] . A feltétel az, hogy az x ⎣c d ⎦ koordinátára nem hathat az y koordináta értéke, tehát c = b = 0 . A transzformációs ⎡a 0 ⎤ mátrix a következő: ⎢ ⎥ . Az a és a d a lokális tényezők. A transzformációs ⎣0 d ⎦ mátrixon a tényezők a főátlón vannak elhelyezve, a többi elem értéke 0. '

i

y ' i = [xi

9.5.2

Tükörkép készítése

Az objektum modelljének tükörképét egy megadott tengelyhez képest lehet létrehozni (tengelyszimmetria), vagy egy megadott ponthoz képest lehet létrehozni (centrálisszimmetria). A bemutatott példán (Ábra 171) egy P pont tükörképe van definiálva síkban (2D) az x tengelyhez viszonyítva.

Ábra 171

P = P ( x, y ) P ' = P ' ( x ' , y ' ) = P ' ( x, − y )

[x

− y ] = [x

⎡a b ⎤ y ]× ⎢ ⎥ = [ax + cy bx + dy ] ⎣c d ⎦ a =1

Ahhoz, hogy az egyenlet igaz legyen: c = b = 0 . A transzformációs mátrix a d = −1 1 0 ⎡ ⎤ következő: ⎢ ⎥. ⎣0 −1⎦

123

A következő példán (Ábra 172) egy P pont tükörképe van definiálva síkban (2D) a koordinátarendszer kezdőpontjához viszonyítva.

Ábra 172

P = P ( x, y ) P ' = P ' ( x ' , y ' ) = P ' ( − x, − y )

[− x

− y ] = [x

⎡a b ⎤ y ]× ⎢ ⎥ = [ax + cy bx + dy ] ⎣c d ⎦

Ahhoz, hogy az egyenlet igaz legyen:

a = d = −1 . A transzformációs mátrix a c=b=0

⎡− 1 0 ⎤ következő: ⎢ ⎥. ⎣ 0 − 1⎦

9.5.3

Rotáció

Egy objektum (egy objektumon lévő pont) rotációját legegyszerűbb úgy elemezni, hogy a koordinátarendszert kell elforgatni (negatív irányban, ha a pontot pozitív irányban kell elforgatni, illetve pozitív irányban, ha a pontot negatív irányban kell elforgatni). A következő példán (Ábra 173) egy P pont van elforgatva síkban (2D) a koordinátarendszer kezdőpontja körül.

124

Ábra 173

P = P ( x, y ) P ' = P ' ( x ' , y ' ) = P ' ( x cos α − y sin α , x sin α + y cos α )

[x cos α − y sin α

x sin α + y cos α ] = [x

⎡a b ⎤ y ]× ⎢ ⎥ = [ax + cy bx + dy ] ⎣c d ⎦ a = d = cos α

Ahhoz, hogy az egyenlet igaz legyen: b = sin α c = − sin α ⎡ cos α sin α ⎤ következő: ⎢ ⎥. ⎣− sin α cos α ⎦

9.5.4

. A transzformációs mátrix a

Transzláció

Transzlációnál a koordináták változása független kell, hogy legyen a koordináták értékétől. Ezért a helymátrix és a transzformációs mátrix szorzataiban olyan elemekre van szükség, melyek nem függnek a koordinátáktól. Ezt csak homogén térben lehet megvalósítani. A következő példán egy P pont van elmozdítva síkban (2D), ezért: P = P( x, y,1) P ' = P ' ( x ' , y ' ,1) = P ' ( x + m, y + n,1)

125

[x + m

y + n 1] = [x

⎡a b y 1]× ⎢⎢ c d ⎢⎣m n

Ahhoz, hogy az egyenlet igaz legyen:

p⎤ q ⎥⎥ = [ax + cy + m bx + dy + n r ⎥⎦

px + qy + r ]

a = d = r =1 . A transzformációs mátrix a b=c= p=q=0

⎡ 1 0 0⎤ következő: ⎢⎢ 0 1 0⎥⎥ . ⎢⎣m n 1⎥⎦

9.5.5

Összetett transzformációk

Összetett transzformációkról akkor van szó, ha a transzformáció az alap transzformációk kombinációjával jön létre. A következő példán (Ábra 174) egy P pont P = P ( x, y,1) van elforgatva egy R pont R = R(m, n,1) körül síkban (2D). A transzformáció összetett és három alap transzformáció segítségével jön létre: 1. az R pont transzlációja a koordinátarendszer kezdőpontjába (a P pont is az R ponttal mozog), 2. a P pont elforgatása a koordinátarendszer kezdőpontja körül, 3. az R pont visszahelyezése (transzláció) a kiinduló helyzetbe (a P pont is az R ponttal mozog).

Ábra 174

0 0⎤ ⎡ 1 ⎢ Az első transzformációs mátrix a következő: T1 = ⎢ 0 1 0⎥⎥ . ⎢⎣− m − n 1⎥⎦

126

⎡ cos α A második transzformációs mátrix a következő: T2 = ⎢⎢− sin α ⎢⎣ 0

sin α cos α 0

0⎤ 0⎥⎥ 1⎥⎦

⎡ 1 0 0⎤ A harmadik transzformációs mátrix a következő: T3 = ⎢⎢ 0 1 0⎥⎥ ⎢⎣m n 1⎥⎦

Az összetett transzformációs mátrix a következő: T = T1 × T2 × T3

9.6 Számítógéppel megsegített modellezés alapjai a mérnöki tervezési folyamatban A geometriai modellezés célja egy geometriai modell elkészítése egy geometriai térben, mely megfelel a természetben található térrel. A folyamat a következő lépésekből áll: -

koordinátarendszer és egységrendszer kiválasztása,

-

geometriai modell kiépítése,

-

a geometriai modell utólagos (pót) kezelése és analízise,

-

a modell ábrázolása megfelelő térben.

9.6.1

Koordinátarendszer és egységrendszer kiválasztása

Két fajta koordinátarendszer létezik: -

2D,

-

3D.

Együtt nem működhetnek, mert más az elemek definiálása: -

2D

P(x, y),

-

3D

P(x, y, z).

Az egységrendszer lehet: -

hosszméreteknél o m, o mm, o inch...

-

szögméreteknél o fok, o radián...

127

9.6.2

A geometriai modell építésének elvei

Az alap elve a szintézis, mely az egyszerűbbtől az összetettebb felé irányul. Az összetett modellt egyszerűbb elemekből kell összeállítani (meghatározni a topológiát).

9.6.2.1

A geometriai elemekből

modell

összeállítása

geometriai

A geometriai elemek egymásközti összefüggések több csoportra oszthatók fel: -

távolság,

-

párhuzamosság,

-

merőlegesség,

-

szög,

-

koncentrikusság,

-

pontok távolsága...

Ezeket lehet kombinálni ahhoz, hogy létrejöjjön a modell. Szerkesztésnél segédeszközöket is lehet alkalmazni (programilag alkalmazhatók): -

grid,

-

join,

-

fillet,

-

trim,

-

stretch...

9.6.2.2

A geometriai modell kiépítése transzformációkkal a geometriai elemeken

A „Geometriai elemek létrehozása” fejezetben volt elemezve.

9.6.2.3

A geometriai modell kiépítése Bool féle operációk használatával

A „Geometriai elemek létrehozása” fejezetben volt elemezve.

9.6.3

A geometriai modell utólagos kezelése

Az utólagos kezelés három féle lehet: láthatatlan élek (oldalak) eltávolítása, „shading” (árnyékolás) az objektum modelljén (definiálni kell az objektum felületeit, a fényforrások helyzeteit és a nézőpont helyzetét), „rendering” az objektum ábrázolása „természetes” színekben „természetes” környezetben (definiálni kell az anyagokat, színeket, hátteret...).

128

9.6.4

A geometriai modell analízise

A folyamat a következő ábrán látható (Ábra 175). Start

Célfunkció

Tervezés

Geometriai modell

Nem jó

Analízis

Jó

End

Ábra 175

A tervezésre használt programcsomagok számos analízis lehetőséget tesznek lehetővé (automatizált folyamatok): -

felület meghatározás,

-

térfogat meghatározás,

-

súlypont meghatározás...

Az ilyen módszerekkel lehetséges a test teljes kinematikai és dinamikai viselkedését modellezni.

9.6.5

Az objektum modell prezentációja

Ahhoz, hogy a modell megfelelően legyen prezentálva és hogy a felhasználónak átadja a szükséges információkat, megfelelő módszerekkel kell ezt lehetővé tenni: -

„redraw” (az esetleges „piszok” eltávolítása),

-

aránybeállítás,

-

„zoom”, „pan” (nagyítás, elhelyezés),

-

nézőpont megválasztása (nézetek),

-

metszetek készítése...

129

10„Bitmap” grafika A számítógépes grafika két alap csoportra osztható: -

„bitmap”,

-

vektor (részletes elemzése az előző fejezetben található).

A „bitmap” képek (raszter képek) pontmátrix segítségével ábrázolják a képet. A pontokat „pixel”-eknek nevezik. Mindegyik pixelnél definiálva van a helyzet és a szín értéke. Amikor raszter képeket kell kezelni praktikusan a pixeleket kell kezelni, nem pedig az ábrázolt objektumokat. A raszter grafikát általában akkor kell alkalmazni, ha finom átmeneteket kell képezni a színek, alakzatok között (fényképek, digitális festmények...). A raszter képek felbontás-függőek, mert meghatározott számú pixelt tartalmaznak (Ábra 176).

Ábra 176

A vektor képek felbontás-függetlenek (Ábra 177).

Ábra 177

Mivel a számítógép képernyőin a képek ábrázolása pixel mátrix segítségével jön létre, a raszter és a vektor képek pixelmátrixként vannak ábrázolva.

10.1.1.1

Kép nagysága

A kép nagyságát a pixelek száma adja a kép szélessége és magassága irányában. A kép mérete a képernyőn a kép nagysága és a képernyő beállítása arányától függ (Ábra 178).

130

Ábra 178

10.1.1.2

Kép felbontása

A kép felbontása a pixelek számát jelenti méretegységként, rendszerint pixel/Incs-ben van mérve (ppi). A kép nagysága és a kép felbontása összefüggőek. A képen bemutatott részletek a kép nagyságától függenek, a kép felbontása pedig szabályozza, hogy mekkora felületet fog a kép elfoglalni (nyomtatást követően). A következő ábra egy 72ppi és egy 300ppi felbontású képet ábrázol valódi méretben és nagyításban (Ábra 179).

Ábra 179

10.1.1.3

Képernyő felbontása

A képernyő felbontása nem más mint a pixelek, illetve a pontok (dot) száma a képernyő hosszméretegységén és rendszerint Dot/Incs-ben van mérve (dpi).

10.1.1.4

Nyomtató felbontása

A nyomtató felbontása nem más mint a pontok (dot) száma a hosszméretegységén és rendszerint Dot/Incs-ben van mérve (dpi).

10.1.1.5

File nagyság

A file nagyság a kép digitális mérete, kilobyte-okban (K), megabyte-okban (MB), vagy gigabyte-okban (GB) mérve. A file nagysága arányos a kép nagyságával. A file nagysága a kép nagyságán kívül függ az esetleges tömörítési módszer alkalmazásától is.

131

10.1.1.6

Tömörítés

A tömörítés egy módszer mely a file méretét csökkenti. A tömörítés két féle lehet: -

hat a kép minőségére (JPEG, GIF),

-

nem hat a kép minőségére (TIF).

Például, egy 100 pixelből álló fekete vonal kódja a következő lenne: az 1. pixel fekete, a 2. pixel fekete, ..., a 100. pixel fekete. Tömörítve a vonal kódja a következő lenne: A vonal 100 pixelből áll, és mindegyik fekete. Az eredmény lényegesen csökkenti a szükséges adatok számát, de nem veszít a kép minőségéből. Ha tovább kell csökkenteni a file nagyságát, akkor ez a minőség rovására történik, de rendszerint az interneten való használatnál ez elfogadható, mert a rosszabb minőség nem vehető észre a képernyőn.

10.1.1.7

Grafikus formátumok

Nagyon sok grafikus formátum létezik: TIF, EPS, BMP, WMF, PICT, GIF, JPEG, PNG... Nyomtatásnál rendszerint a következő formátumokat használják: -

TIF (tömöríthető formátum minőségvesztés nélkül),

-

EPS (Encapsulated PostScript), nyomtatókhoz kifejlesztett nyelv (nem tömöríthető),

-

BMP a klasszikus bitmap file formátum (nem tömöríthető).

Interneten rendszerint a következő formátumokat használják: -

GIF (Graphics Interchange Format), mely 256 színt használhat, valamint 72dpi-t. Ez lehetővé teszi a kicsi file nagyságot. Rendszerint olyan képekre használják, melyeknél nem szükséges a sok színárnyalat használata (gombok...). A GIF kép lehet átlátszó. A GIF formátum engedélyezi az animációkat (több kép sorozata)...,

-

JPEG (Joint Photographic Experts Group), mely több millió szín használatát teszi lehetővé és tömöríthető a képminőség rovására is, ami lényegesen csökkentheti a file nagyságát.

132

11 Tartalom 1

Bevezetés ...............................................................................................................2 1.1

Műszaki-mérnöki tervezési-szerkesztési folyamat ........................................2

1.1.1

Rajz ........................................................................................................3

1.1.2

A grafika felhasználói ............................................................................4

1.2

2

3

A grafika fontossága a tervezési folyamatban ...............................................5

1.2.1

Vizualizáció ...........................................................................................6

1.2.2

Kommunikáció.......................................................................................7

1.2.3

Dokumentáció ........................................................................................8

Tervezési folyamat...............................................................................................10 2.1

Klasszikus tervezési folyamat......................................................................10

2.2

Korszerű hozzáállás .....................................................................................11

2.3

Formatervezés ..............................................................................................12

Mérnöki geometria...............................................................................................14 3.1

Alak definiálása ...........................................................................................14

3.2

Koordinátarendszerek ..................................................................................14

3.2.1

Cartesian (derékszögű) koordinátarendszer.........................................14

3.2.2

Poláris koordináták ..............................................................................17

3.2.3

Cilindrikus koordináták .......................................................................17

3.2.4

Szférikus koordináták ..........................................................................18

3.2.5

Abszolút koordináták ...........................................................................19

3.2.6

Relatív koordináták..............................................................................19

3.2.7

Világi és lokális koordinátarendszerek ................................................19

3.3

Vetítési módszerek.......................................................................................20

3.3.1

Vetítés elmélete....................................................................................20

3.3.1.1

Ábrázolás ortogonális nézetpárokkal (vetületpárokkal) ..................22

3.3.1.2

Képies ábrázolás ..............................................................................23

3.3.1.2.1

Merőleges axonometria..............................................................23

3.3.1.2.2

Ferde vetítés ...............................................................................24

3.3.1.2.3 4

Geometriai elemek ...............................................................................................32 4.1

Pont ..............................................................................................................32

4.2

Vonal (görbe) ...............................................................................................32

4.2.1

Kúp síkmetszetei (kúpszeletek) ...........................................................34

4.2.2

Gördüléssel létrehozott síkbeli görbék.................................................36

4.2.3

Térbeli görbék......................................................................................37

4.2.4

Szabadformájú görbék .........................................................................37

4.2.4.1

Történelem .......................................................................................37

4.2.4.2

Bevezetés .........................................................................................38

4.2.4.2.1

Explicit „spline” görbék.............................................................39

4.2.4.2.2

Parametrikus „spline” görbék ....................................................39

4.2.4.3

„Spline” görbék................................................................................39

4.2.4.4

„Bezier” görbék ...............................................................................40

4.2.4.5

„B-spline” görbék ............................................................................40

4.2.4.6

„NURB” görbék...............................................................................41

4.3

Felület ..........................................................................................................46

4.3.1

Sík ........................................................................................................46

4.3.2

Felület ..................................................................................................47

4.4 5

Perspektíva.................................................................................27

Test...............................................................................................................47

3D Modellezés .....................................................................................................48 5.1.1

Modellezés vonalhálóval (Wireframe modeling) ................................48

5.1.2

Modellezés felületekkel (Surface modeling) .......................................49

5.1.3

Modellezés testekkel (Solid modeling)................................................50

5.2

Geometriai elemek létrehozása ....................................................................50

5.2.1

Kihúzás (Extrude) ................................................................................50

5.2.2

Elforgatás (Revolve) ............................................................................51

6 TÉRELEMEK ÁBRÁZOLÁSA RENDEZETT MERŐLEGES VETÜLETEKBEN ......................................................................................................52 6.1

A PONT ÁBRÁZOLÁSA. KOORDINÁTARENDSZER ..........................52

6.1.1

Általános helyzetű pont ábrázolása......................................................53

6.1.2

Különleges helyzetű pont ábrázolása...................................................56

6.2 6.2.1

EGYENES ÁBRÁZOLÁSA .......................................................................58 Az egyenes nyompontjai......................................................................59

6.2.2 Az egyenes térben való elhelyezkedésének és láthatóságának a meghatározása......................................................................................................60 134

6.2.3

Meghatározott térnyolcadokon átmenő egyenes képei ........................62

6.2.4

Különleges helyzetű egyenes ábrázolása .............................................62

6.3 6.3.1

Általános helyzetű sík ..........................................................................65

6.3.2

Különleges helyzetű síkok ...................................................................67

6.3.3

Síkon levő pont és egyenes ..................................................................69

6.3.4

A síkok különleges egyenesei: fővonalak és esésvonalak ...................71

6.4

1.4.1. Síkra merőleges egyenes, egyenesre merőleges sík...................73

6.4.2

A sík esési triéderei..............................................................................74

6.4.3

Sík és egyenes döféspontja ..................................................................75

6.4.4

Síkkal párhuzamos egyenes, egyenessel párhuzamos sík....................78 KÉT SÍK KÖLCSÖNÖS HELYZETE ........................................................81

6.5.1

Két sík metszésvonala..........................................................................81

6.5.2

Párhuzamos síkok ................................................................................82

6.5.3

Egymásra merőleges síkok ..................................................................83

KÉPSÍKVÁLTÁS (TRANSZFORMÁCIÓ) .......................................................85 7.1

A KÉPSÍKVÁLTÁS LÉNYEGE (PONT TRANSZ-FORMÁCIÓJA) .......85

7.2

EGYENES TRANSZFORMÁCIÓJA .........................................................87

7.2.1

Egyenesszakasz transzformációjának módja és célja ..........................87

7.2.2

Pont és egyenes távolsága....................................................................90

7.2.3

Két párhuzamos egyenes távolsága .....................................................90

7.2.4

Két kitérő egyenes távolsága ...............................................................90

7.3

8

EGYENES ÉS SÍK KÖLCSÖNÖS HELYZETE........................................73

6.4.1

6.5

7

SÍK ÁBRÁZOLÁSA ...................................................................................65

SÍK TRANSZFORMÁCIÓJA .....................................................................91

7.3.1

Sík transzformációjának módja és célja...............................................91

7.3.2

Két kitérő egyenes által bezárt szög.....................................................95

7.3.3

Pont és sík távolsága ............................................................................96

7.3.4

Két sík metszésvonala..........................................................................97

7.3.5

Két sík szöge ........................................................................................99

EGYSZERŰ TÉRBELI ALAKZATOK (GEOMETRIAI TESTEK) ...............100 8.1

SÍKLAPÚ ALAKZATOK (POLIÉDEREK).............................................100

8.1.1

Szabályos testek .................................................................................100

8.1.2

Félig szabályos poliéderek.................................................................106

8.2 8.2.1

FORGÁSTESTEK.....................................................................................106 A kör merőleges vetületei ..................................................................108

135

8.2.2

Forgástestek geometriai szerkezete....................................................110

FORGÁSFELÜLETEK PONTJAI ÉS AZOK LÁTHATÓSÁGA .....................110

9

Számítógépes grafika matematikai alapjai.........................................................114 9.1

Bevezetés ...................................................................................................114

9.2

A geometriai elemek (geometriai modellek) ábrázolása ...........................114

9.2.1

Egyenes vonal definiálása és ábrázolása............................................116

9.2.2

Görbe vonal definiálása és ábrázolása ...............................................117

9.2.3

Felületek definiálása és ábrázolása ....................................................117

9.2.4

Testek ábrázolása és definiálása ........................................................120

9.3

A láthatóság problémája számítógépes grafikában....................................120

9.4

Tér a számítógépes grafikában...................................................................120

9.4.1 9.5

A geometriai tér homogenizálása, homogén koordináták..................121 Geometriai transzformáció az objektum modelljén...................................121

9.5.1

Arányváltoztatás ................................................................................122

9.5.2

Tükörkép készítése.............................................................................123

9.5.3

Rotáció ...............................................................................................124

9.5.4

Transzláció.........................................................................................125

9.5.5

Összetett transzformációk..................................................................126

9.6 Számítógéppel megsegített modellezés alapjai a mérnöki tervezési folyamatban............................................................................................................127 9.6.1

Koordinátarendszer és egységrendszer kiválasztása..........................127

9.6.2

A geometriai modell építésének elvei................................................128

9.6.2.1

A geometriai modell összeállítása geometriai elemekből..............128

9.6.2.2 A geometriai modell kiépítése transzformációkkal a geometriai elemeken ........................................................................................................128 9.6.2.3

10

A geometriai modell kiépítése Bool féle operációk használatával 128

9.6.3

A geometriai modell utólagos kezelése .............................................128

9.6.4

A geometriai modell analízise ...........................................................129

9.6.5

Az objektum modell prezentációja ....................................................129

„Bitmap” grafika............................................................................................130 10.1.1.1

Kép nagysága .............................................................................130

10.1.1.2

Kép felbontása ...........................................................................131

10.1.1.3

Képernyő felbontása ..................................................................131

10.1.1.4

Nyomtató felbontása ..................................................................131

10.1.1.5

File nagyság ...............................................................................131

10.1.1.6

Tömörítés ...................................................................................132 136

10.1.1.7 11

Grafikus formátumok.................................................................132

Tartalom.........................................................................................................133

137