BAB I PENDAHULUAN
Seiring dengan pertumbuhan kebutuhan dan intensifikasi penggunaan air, masalah kualitas air menjadi faktor yang penting dalam pengembangan sumberdaya air di berbagai belahan bumi. Walaupun di beberapa daerah, kualitas dari sumberdaya air baik yang ada di permukaan maupun pada air tanah memburuk akibat tercemar oleh polusi, perhatian khusus sebaiknya dicurahkan pada polusi pada air tanah dalam aquifer yang disebabkan sangat kecilnya kecepatan air dalam aquifer tersebut. Air tanah kelihatan lebih terlindungi dari polusi dibandingkan dengan air di permukaan, namun masih mungkin tercemar polusi. Dan apabila hal ini sampai terjadi, maka pengembalian air tanah ke keadaan semula yang bersih dari polusi akan jauh lebih sulit dibandingkan air permukaan. Studi mengenai fenomena transpor polutan yang terjadi pada aliran air tanah perlu dilakukan terutama untuk memenuhi kebutuhan air yang bersumber dari air tanah yang memenuhi syarat sebagai air bersih. Salah satu studi yang dilakukan adalah mengenai distribusi polutan di aliran tanah. Selain itu ditinjau pula studi kasus mengenai hidrograf air tanah, yaitu menghitung penurunan muka air tanah setelah adanya pengisian kejut. Fenomena transpor polutan pada air tanah dapat dijelaskan serta prosesnya dapat digambarkan secara akurat dengan persamaan matematik. Pada dasarnya fenomena transpor polutan mewakili proses konveksi-difusi. Untuk mengetahui karakteristik pergerakan partikel di lapangan dapat dilakukan dengan menggunakan model fisik di laboratorium, model analitik, serta model numerik dengan menggunakan komputer. Penggunaan model fisik memerlukan biaya yang mahal dan waktu yang lama, sedangkan model analitik mempunyai keterbatasan hanya untuk kasus yang sederhana seperti saluran lurus satu dimensi dan dua dimensi. Model numerik dapat digunakan untuk kasus yang sederhana (satu dimensi) maupun bentuk geometri yang rumit (dua dimensi).
Metode yang digunakan dalam pemodelan numerik ini adalah metode Finite Volume, dengan melakukan diskritisasi pada persamaan transpor di air tanah serta persamaan hidrograf air tanah yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa pemrograman komputer Turbo Pascal. 1.1 Latar Belakang dan Identifikasi Masalah Perhitungan dalam dinamika fluida adalah sistem analisis yang melibatkan aliran fluida, perpindahan panas, dan fenomena-fenomena yang berkaitan dengan reaksi kimia yang diterangkan lewat simulasi berbasis komputer. Ada beberapa keuntungan yang dapat diperoleh dari sistem analisis dalam perhitungan dinamika fluida melalui beberapa eksperimen pada sistem desain fluida, antara lain : ♦ Adanya reduksi substansial berdasarkan perubahan waktu untuk desain baru ♦ Kemampuan untuk mempelajari sistem pada kondisi penuh resiko dan pada masa datang pada kondisi batas maksimum ♦ Adanya keterbatasan dalam menghasilkan solusi yang akurat mendorong kita untuk mencari solusi sampai level tak terhingga. Kode pada perhitungan dalam dinamika fluida adalah mempergunakan struktur algoritma numerik yang dapat menangani masalah aliran pada fluida. Ada tiga kode elemen yang memiliki peranan penting dalam sistem perhitungan dalam dinamika fluida, antara lain : ♦ Pre-procesor Pre-procesor terdiri dari input masalah aliran pada program perhitungan dinamika fluida yang dapat diselesaikan melalui transformasi input dan sistem penyelesaian (solver) yang sesuai. Pada tahap pre-processing meliputi : -
Pendefinisian geometri pada daerah domain perhitungan
-
Pembuatan grid menjadi beberapa subdivisi domain, tidak melebihi jumlah subdomain, grid dari sel ( control volume atau elemen )
-
Seleksi sifat-sifat fisik dan kimiawi yang diperlukan untuk dimodelkan
-
Pendefinisian sifat-sifat fluida
BAB I PENDAHULUAN
I-2
-
Spesifikasi dari kondisi batas yang ada pada sel-sel yang bertepatan dengan batas domain.
Solusi untuk masalah aliran (kecepatan, tekanan, temperatur dan lain-lainnya) didefinisikan pada node masing-masing sel. Ketepatan solusi pada perhitungan dalam dinamika fluida tergantung dari jumlah sel dalam grid. Pada umumnya semakin besar sel yang dibuat dalam grid akan diperoleh solusi yang semakin akurat. Namun ketepatan dari solusi dipengaruhi juga oleh perangkat keras dari komputer yang digunakan dan perhitungan waktu yang tergantung dari jumlah grid yang dibuat. ♦ Solver Ada tiga metode yang dapat digunakan dalam perhitungan numerik antara lain : finite difference, finite element dan metode spektral. Pada umumnya ketiga metode tersebut dasar langkah-langkah sebagai berikut : -
Aproksimasi dari variabel aliran yang tidak diketahui dan masing-masing variabel memiliki fungsi yang sederhana
-
Diskritisasi dengan aproksimasi substitusi melalui beberapa persamaan dan manipulasi matematika
-
Solusi persamaan aljabar
Perbedaan utama antara ketiga metode tersebut adalah dalam hal variabel-variabel aliran yang diaproksimasi dan dengan proses diskritisasi.
Metode finite difference Metode ini menggunakan variabel yang tidak diketahui φ pada masalah aliran fluida yang dapat diselesaikan dengan sampel-sampel dari node pada grid garis kordinat. Sistem penyelesaian deret Taylor sering digunakan dalam penurunan variabel φ pada di titik-titik sampel pada masing-masing titik grid dan titik grid yang bersebelahan.
Metode finite elemen Metode ini menggunakan fungsi dari masing-masing potongan (linier atau kuadratik) keakuratan untuk menggambarkan perbedaan variabel-variabel φ setempat yang tidak diketahui. Sistem penyelesaian ini memiliki tingkat keakuratan yang tinggi dengan solusi eksak φ. Jika pendekatan fungsi dari
BAB I PENDAHULUAN
I-3
masing-masing bagian disubstitusi menjadi persamaan maka hasilnya tidak akan mendekati eksak dan selisihnya digunakan untuk mengukur tingkat kesalahan (errors). Selanjutnya selisih tersebut diminimalkan dalam beberapa pengertian
dengan
mengalikannya
dengan
himpunan
fungsi
dan
mengintegralkannya. Sebagai hasilnya, kita peroleh himpunan persamaan aljabar untuk koefisien tak diketahui dari fungsi pendekatan. Teori finite elemen ini dikembangkan pertama kali untuk analisis tegangan struktur.
Metode Spektral Metode spektral mengaproksimasikan variabel yang tidak diketahui dengan sistem persamaan deret Fourier atau polinomial Chebyshef. Tidak seperti finite difference atau finite elemen, metode ini menggunakan pendekatan yang tidak setempat tetapi valid untuk seluruh domain dalam perhitungan.
Metode Finite Volume Ketiga metode diatas masing-masing memiliki kelebihan dan kekurangan. Metode finite volume merupakan suatu metode yang relatif baru yang merupakan pengembangan dari metode finite difference. Untuk mengetahui lebih lanjut tentang metode ini diambil suatu contoh aplikasi mengenai perhitungan yang berhubungan dengan dinamika fluida. Metode ini dikembangkan sebagai formulasi khusus dari metode finite difference dan dapat digunakan dalam perhitungan dinamika fluida. Algoritma numerik terdiri dari beberapa langkah sebagai berikut : Integrasi formal dari persamaan aliran fluida yang melewat seluruh kontrol volume pada seluruh domain solusi Diskritisasi yang meliputi substitusi dari tipe aproksimasi finite sebuah persamaan melukiskan proses aliran seperti konveksi, difusi dan source. Pada langkah ini dilakukan konversi persamaan dari persamaaan integral kedalam sistem persamaan aljabar Solusi persamaan aljabar dengan metode iterasi.
BAB I PENDAHULUAN
I-4
Langkah pertama dalam sistem penyelesaian dalam perhitungan dinamika fluida dengan metode finite volume adalah integrasi. Langkah inilah yang membedakan dengan langkah-langkah lain dari teknik komputasi dalam dinamika fluida. Hasil solusi (jawaban) menggambarkan nilai konservasi eksak yang relevan dengan karakteristik dari masing-masing ukuran sel. Jelaslah hubungan antara algoritma numerik dan prinsip konservasi fisik yang membentuknya merupakan salah satu daya tarik dari metode finite volume dan membuat metode ini menjadi lebih sederhana bagi para insinyur dari pada metode finite elemen dan metode spektral. Konservasi dari variabel φ dari aliran pada umunya, misalnya komponen kecepatan atau entalpi, dengan finite kontrol volume dapat diekspresikan sebagai perimbangan antara berbagai proses untuk kelajuan pertambahan ataupun pengurangan. Hal ini dapat diungkapkan sebagai berikut : Rata perubahan P dari = Net Flux P yang konveksi + Net Flux yang difusi + Rata Net yang masuk kontrol volume terhadap waktu ke dalam kontrol volume ke dalam kontrol volume ke dalam kontrol volume
Kode komputasi dalam masalah dinamika fluida (Computational Fluid Dynamic/CFD) terdiri dari teknik diskritisasi yang disesuaikan dengan fenomena transport, konveksi (transport pada aliran fluida) dan difusi (transport pada variasi φ dari titik ke titik) dan disesuaikan juga dengan source yang mengakibatkan perubahan variabel φ dan rata-rata perubahan terhadap waktu. Fenomena-fenomena seperti ini sangat kompleks dan non linier sehingga pendekatan iteratif sangat diperlukan. Prosedur solusi yang sering digunakan dalam metode ini adalah Tridiagonal Matrik Algoritma (TDMA) untuk solusi aljabar garis per garis dan algoritma SIMPLE untuk solusi perhitungan tekanan dan kecepatan.
BAB I PENDAHULUAN
I-5
♦ Post Processor Pada bagian ini meliputi antara lain :
Pembuatan geometri domain dan gambaran dari grid yang digunakan
Vector plots
Penggambaran garis dan kontur plots
Penggambaran kontur plots permukaan 2D dan3D
Manipulasi gambar
Dalam penyelesaian masalah aliran fluida kita perlu berhati-hati karena sifat fisiknya sangat kompleks dan solusi yang tepat akan dihasilkan sebaik kondisi/ sifat fisik dan kimiawinya. Pengambilan keputusan yang tepat mungkin diperlukan untuk memodelkan masalah dua atau tiga dimensi, atau untuk memecahkan persamaan-persamaan aliran turbulen, atau mengabaikan pengaruh dari gelembung-gelembung udara dalam air. Pengertian yang baik mengenai solusi algoritma adalah suatu hal yang sangat krusial dalam hal ini konsep matematik sangat diperlukan dalam menentukan kesuksesan atau pengecekan solusi mengenai konvergen, konsistensi dan stabilitas. Konvergen adalah sifat dari metode numerik untuk menghasilkan solusi yang mendekati solusi eksak seperti penempatan grid, ukuran kontrol volume atau ukuran elemen yang direduksi hingga mendekati nol. Konsistensi adalah skema numerik yang menghasilkan sistem persamaan aljabar yang dapat didemonstrasikan sehingga mirip dengan persamaan dasar seperti membuat grid hingga mendekati nol. Stabilitas diasosiasikan dengan adanya damping error (kesalahan) dalam proses perhitungan numerik. Biasanya kesalahan inilah yang menyebabkan osilasi atau divergen. Pendekatan finite volume adalah merupakan jaminan konservasi sifat fluida φ setempat untuk tiap-tiap kontrol volume. Skema numerik memiliki sifat konservatif juga untuk membenarkan konservasi global dari seluruh domain sifat fluida.
BAB I PENDAHULUAN
I-6
Pada setiap proses aliran terdiri dari pengaruh konveksi dan difusi. Fenomena difusi antara lain seperti perpindahan panas atau perubahan temperatur pada suatu tempat yang mempengaruhi tempat lain. Fenomena konveksi meliputi pengaruh eksklusif dalam arah aliran. Skema metode finite volume dengan sifat transportnya mengenai aliran fluida harus dihitung konveksi dan difusinya. Sifat konservatif, keterbatasan dan transport digunakan dalam skema finite volume dan dapat menunjukkan suksesnya simulasi dalam komputasi dinamika fluida. 1.2 Ruang Lingkup Kajian Kajian mengenai metode finite volume dimulai dengan teori dasar tentang fluida statis dan dinamik. Kemudian diterangkan tentang teori dasar metode finite volume. Sebagai salah satu cara mengenal metode ini lebih lanjut diambil salah satu aplikasi perhitungan numerik yaitu mengenai masalah konveksi dan difusi pada aliran air tanah. Dan studi kasus yang diambil adalah mengenai fenomena transpor polutan pada air tanah dan hidrograf air tanah. 1.3 TujuanPenulisan Tujuan dari studi kasus ini adalah: -
Menerapkan metode numerik untuk pemodelan simulasi transpor yang terjadi di air tanah.
-
Menerapkan metode numerik untuk pemodelan masalah penurunan muka air tanah setelah adanya pengisian kejut
-
Menganalisa skema model numerik secara matematis
-
Membandingkan hasil perhitungan yang diperoleh dari model numerik dengan model analitis satu dimensi.
-
Mempelajari fenomena transpor yang terjadi di air tanah serta hidrograf air tanah untuk kasus-kasus yang sederhana yang diharapkan dapat juga diterapkan untuk kasus yang terjadi di lapangan.
BAB I PENDAHULUAN
I-7
1.4 Sistematika Penulisan Untuk mempermudah pemahaman terhadap studi yang dilakukan, maka pada bagian ini akan dipaparkan urutan penulisan masalah. Di bawah ini diberikan bagian-bagian yang akan dibahas dalam tiap bab, yaitu : BAB I
PENDAHULUAN Pada bab ini diuraikan mengenai latar belakang dan identifikasi masalah, ruang lingkup kajian, tujuan penulisan serta sitematika penulisan
BAB II DASAR-DASAR PERSAMAAN DALAM ALIRAN FLUIDA Pada bab ini dijelaskan mengenai asumsi-asumsi yang digunakan dalam menurunkan aliran fluida, hukum kekekalan massa dalam fluida, penurunan persamaan momentum dan energi, serta bentuk differensial dan integral untuk persamaan transport. BAB III TEORI DASAR METODE FINITE VOLUME Diuraikan mengenai teori dasar metode finite volume, diantaranya persamaan konveksi – difusi untuk kondisi steady dan kondisi unsteady. BAB IV PERHITUNGAN DISTRIBUSI POLUTAN DI AIR TANAH DENGAN METODE FINITE VOLUME Pada bab ini diuraikan mengenai studi kasus terhadap distribusi polutan di air tanah dengan menggunakan metode finite volume BAB V : PENERAPAN METODE FINITE VOLUME PADA PERHITUNGAN PERUBAHAN MUKA AIR TANAH Diuraikan mengenai perhitungan penurunan muka air tanah setelah adanya pengisian kejut dengan menggunakan metode finite volume
BAB I PENDAHULUAN
I-8
BAB VI KESIMPULAN Berisi kesimpulan akhir dari seluruh permasalahan, penggunaan metode numerik terhadap studi kasus yang ditinjau dan menganalisa hasilnya.
BAB I PENDAHULUAN
I-9
