19.9.2012, 13:36:25
Přednáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktní definici vektorového prostoru jsou podstatné vlastnosti dvou operací, sčítání vektorů a násobení vektoru (reálným číslem). Tyto dvě operace musí být definovány pro všechny prvky vektorového prostoru (které nazýváme vektory) a musí mít stejné vlastnosti (tedy musejí „fungovat stejně“) jako sčítání a násobení reálných čísel. 1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V × V → V a násobení skalárem ⋅ : ℝ × V → V tak, že pro každé vektory u , v , w ∈ V a každé skaláry a, b ∈ ℝ platí: 1. u + v = v + u , tzv. komutativní zákon, 2. (u + v ) + w = u + (v + w) a (ab) ⋅ u = a ⋅ (bu ) , tzv. asociativní zákony, 3. a (u + v ) = au + av a (a + b)u = au + bu , tzv. distributivní zákony, 4. existuje prvek o ∈ V , nazýváme jej nulový vektor, tak, že u + o = u , 5. ke každému vektoru v ∈ V existuje vektor −v ∈ V , nazýváme jej opačný vektor, tak, že v + (−v ) = o , 6. 1 ⋅ u = u . Poznámky. (i) Operací + :V × V → V rozumíme předpis, který libovolným dvěma vektorům u , v (prvkům množiny V ) přiřadí jejich součet, tedy vektor u + v (opět prvek množiny V ). Operací ⋅ : ℝ × V → V rozumíme předpis, který libovolnému reálnému číslu k a libovolnému vektoru u přiřadí k -násobek vektoru u , tedy vektor ku . Všimněte si, že ve vektorovém prostoru nemáme definován součin dvou vektorů! (ii) Množina skalárů může být i jiná než ℝ (často potřebujeme mít skaláry zejména z množiny komplexních čísel ℂ ), jen v ní musí mít sčítání a násobení stejné vlastnosti jako v ℝ ; Říkáme, že musí splňovat axiomy komutativního tělesa. V tomto textu budeme pracovat pouze s reálnými vektorovými prostory, a proto budeme přívlastek reálný vynechávat. (iii) Všimněme si, že ve vektorovém prostoru nejsou definovány body v geometrickém smyslu, vektor zde není definován rovnicí u = B − A jako orientovaná úsečka spojující dva body. Prvky vektorového prostoru jsou pouze vektory. (iv) Při definici konkrétního vektorového prostoru je nutné zadat jak množinu V tak i definovat operace sčítání a násobení. Různými definicemi operací dostáváme různé vektorové prostory. Proto bychom měli vektorový prostor definovat jako trojici (V , +, ⋅) . My se však ve snaze o stručné a jasné vyjadřování vědomě dopouštíme nepřesnosti a mluvíme o vektorovém prostoru V. 1.2. Příklady (i) Množina ℝ 2
(ii) Množina všech uspořádaných n-tic ℝ n s analogicky definovanými operacemi.
–1–
19.9.2012, 13:36:25 (iii) Buď C[ 0,1] množina všech reálných funkcí spojitých na uzavřeném intervalu [0,1] ⊂ ℝ .
(iv) Množina ℤ všech celých čísel netvoří vektorový prostor.
V následující větě uvedeme tři užitečné vlastnosti počítání s vektory: 1.3. Věta Nechť je V vektorový prostor a nechť v ∈ V . Pak platí 0⋅v = o , 1. 2. je-li v + w = o , pak je w = −v (jednoznačnost opačného vektoru), 3. (−1) ⋅ v = −v . Důkaz.
Lineární (ne)závislost vektorů Již z definice vektorového prostoru vidíme, že sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem hrají při studiu vektorů podstatnou roli. Tyto operace určují dále pojem lineární kombinace vektorů.
1.4. Definice Lineární kombinací vektorů u , v s koeficienty a, b ∈ ℝ rozumíme vektor au + bv . Obecněji, lineární kombinací vektorů u1 , u2 , … , un s koeficienty c1 , c2 ,… , cn ∈ ℝ rozumíme vektor c1u1 + c2u2 + ⋯ + cn un . Je-li c1 = c2 = ⋯ = cn = 0 , nazýváme lineární kombinaci triviální.
1.5. Aplikace (i) Ve fyzikálních oborech, které mají lineární charakter (a těch je většina), jsou základními rovnicemi tzv. lineární diferenciální rovnice, pro jejichž řešení platí princip superpozice. Například v kvantové mechanice platí Princip superpozice stavů: Jestliže se kvantový systém může nacházet ve stavech popsaných vektory ψ 1 ,ψ 2 , pak je také v principu realizovatelný také stav ψ = kψ 1 + lψ 2 , kde k , l jsou libovolná komplexní čísla. Toho se využívá při formulaci známého myšlenkového experimentu o Schrödingerově kočce. (ii) Jsou-li x1 , x2 dvě řešení homogenní soustavy lineárních rovnic, pak je x = ax1 + bx2 také řešením (pro všechna a, b ), viz čtvrtá přednáška,Věta 4.4.
–2–
19.9.2012, 13:36:25
Pomocí pojmu lineární kombinace definujeme velmi důležité pojmy lineární závislosti (a také lineární nezávislosti). Motivací nám budou následující dva speciální případy z geometrie: 1. Uvažujme dva vektory u , v . Jsou-li u , v kolineární, tedy platí-li u = k ⋅ v (často se nepřesně říká, že „leží na jedné přímce“), pak platí, že k ⋅ v + (−1) ⋅ u = o a tedy, že nulový vektor lze napsat jako netriviální lineární kombinaci vektorů u , v . 2. Podobně jsou-li tři vektory u , v , w komplanární (často nepřesně říkáme, že „leží v jedné rovině“), pak se dá nulový vektor napsat jako netriviální lineární kombinace vektorů u , v , w . 1.6. Definice Říkáme, že vektory u1 , u2 ,… , un jsou lineárně závislé, lze-li aspoň jeden z nich vyjádřit jako netriviální lineární kombinaci ostatních. V opačném případě říkáme, že vektory jsou lineárně nezávislé.
−u v u
w
u
Obrázek 1. Lineárně závislé vektory
1.7. Věta (1) Platí-li pro nějakou netriviální lineární kombinaci vektorů u1 , u2 ,… , un rovnost c1u1 + c2u2 + ⋯ + cn un = o , (1.1) tedy je-li alespoň jedno z čísel c1 , c2 ,… , cn různé od nuly, jsou vektory u1 , u2 ,… , un lineárně závislé. (2) Je-li rovnice (1.1) splněna pouze pro triviální lineární kombinaci, tedy platí-li c1 = c2 = ⋯ = cn = 0 , nazýváme vektory u1 , u2 ,… , un jsou lineárně nezávislé. 1.8. Příklady (LNZ): (i) Ukažte, že vektory u = (1, 0, −1), v = (2, −2, 0), w = (−3, 2,1) jsou lineárně závislé.
–3–
19.9.2012, 13:36:25
(ii) Zjistěte, zda jsou vektory u = (1, 2,3), v = (1,1, 0), w = (−1, 0, 0) lineárně závislé.
1.9. Aplikace: Rovnoběžnost lineárních útvarů v geometrii. Jsou-li dvě přímky p, q rovnoběžné, pak jsou jejich směrové vektory s p , sq lineárně závislé. Je-li přímka p rovnoběžná s rovinou ρ, pak je její směrový s p vektor lineární kombinací směrových vektorů s1 , s2 roviny ρ. Jsou-li dvě roviny α , β rovnoběžné, pak lze každý směrový vektor roviny α vyjádřit jako lineární kombinaci směrových vektorů roviny β .1 Rychleji a snadněji se ovšem zkontroluje lineární závislost jejich normálových vektorů. Podrobnosti viz šestá přednáška, odstavec 6.3.
Báze, souřadnice, dimenze Pojmy lineární kombinace a lineární nezávislosti nám umožní vybrat ze všech vektorů prostoru V menší množinu význačných vektorů, z nichž půjde jakýkoliv vektor v ∈ V vytvořit pomocí lineární kombinace. Pro náš nejčastější model V = ℝ n bude tato množina konečná, a dokonce ukážeme, že bude mít právě n prvků.
1
Pochopitelně lze také každý směrový vektor roviny β vyjádřit jako lineární kombinaci směrových vektorů roviny α.
–4–
19.9.2012, 13:36:25 1.10. Definice Bází vektorového prostoru V nazýváme množinu vektorů u1 , u2 , … , un takovou, že 1. u1 , u2 , … , un jsou lineárně nezávislé, 2. u1 , u2 , … , un generují vektorový prostor V, tedy pro každý vektor v ∈ V existují skaláry c1 , c2 ,… , cn takové, že v = c1u1 + c2u2 + ⋯ + cn un (1.2) Píšeme V = u1 , u2 ,… , un .
1.11. Příklad. Ve vektorových prostorech ℝ n existuje tzv. kanonická (neboli přirozená) báze e1 = (1, 0, 0,… , 0), e2 = (0,1, 0,… , 0), ⋮
(1.3)
en = (0, 0, 0,… ,1). 2
Speciálně v ℝ je to báze (1, 0), (0,1) . 1.12. Poznámka. V každém prostoru existuje nekonečně mnoho bází. Máme-li na vektorovém prostoru V definován skalární součin, můžeme vybírat báze, jejichž vektory mají velikost rovnu jedné (jsou normalizované) a každé jejich dva různé bázové vektory jsou navzájem kolmé (neboli ortogonální). Tyto významné báze nazýváme ortonormální. Kanonická báze do této skupiny také patří. 1.13. Příklad (báze). Ukažte, že vektory u = (1, 2,3), v = (1,1, 0), w = (−1, 0, 0) tvoří bázi vektorového prostoru ℝ 3 .
1.14. Věta Buď V = u1 , u2 ,… , un . Pak je vyjádření libovolného vektoru v ve tvaru lineární kombinace z rovnice (1.2) jednoznačné. Důkaz.
–5–
19.9.2012, 13:36:25
e2 v u1 e1 u2
Obrázek 2. Vektor a jeho souřadnice ve dvou různých bázích Díky této větě můžeme pomocí báze definovat na vektorovém prostoru V soustavu souřadnic: 1.15. Definice Koeficienty c1 , c2 ,… , cn z rovnice (1.2) nazýváme souřadnicemi vektoru v vzhledem k bázi
u1 , u2 ,… , un .
1.16. Příklad: Určete souřadnice vektoru (7,11,12) vzhledem ke kanonické bázi v ℝ 3 a vzhledem k bázi u = (1, 2, 3), v = (1,1, 0), w = (−1, 0, 0) . 1) vzhledem ke kanonické bázi platí, že členy uspořádané n-tice jsou přímo souřadnice vektoru, jelikož platí (7,11,12) = 7 ⋅ (1, 0, 0) + 11 ⋅ (0,1, 0) + 12 ⋅ (0, 0,1) . Hledané souřadnice jsou tedy (7,11,12) . To, co jsme doposud rozuměli pod pojmem souřadnice vektoru, jsou tedy souřadnice vzhledem k přirozené bázi prostoru ℝ n . Tato kanonická báze je takto těsně spjata se strukturou ℝ n , je přítomna aniž bychom vůbec o nějakou bázi usilovali. To ilustruje její nedocenitelný význam. 2) vzhledem k bázi u = (1, 2, 3), v = (1,1, 0), w = (−1, 0, 0) zjistíme souřadnice vektoru (7,11,12) jako koeficienty lineární kombinace bázových vektorů. Hledáme tedy koeficienty (a, b, c) ∈ ℝ 3 tak, aby a ⋅ (1, 2,3) + b ⋅ (1,1, 0) + c ⋅ (−1, 0, 0) = (7,11,12) . Porovnáním souřadnic vektorů na obou stranách rovnosti dostáváme soustavu lineárních rovnic a+b−c = 7 2a + b = 11 3a = 12 Jediným řešením této soustavy je uspořádaná trojice (4,3, 0) , což jsou hledané souřadnice vzhledem k bázi u , v , w .
–6–
19.9.2012, 13:36:25 Buď V vektorový prostor. Jelikož všechny jeho báze mají stejný počet vektorů, můžeme takto velmi snadno definovat dimenzi prostoru: 1.17. Definice Dimenzí vektorového prostoru V rozumíme počet prvků jeho libovolné báze. Píšeme dimV = n . Vektorový prostor dimenze n značíme V n . 1.18. Příklad Pro V = ℝ n máme k dispozici kanonickou bázi (1.3), která má samozřejmě právě n prvků. Proto je dim ℝ n = n .
1.19. Věta. Každý vektorový prostor V n , n < ∞, lze jednoznačně popsat pomocí prostoru ℝ n v tom smyslu, že existuje předpis, který každému vektoru v ∈ V n jednoznačně přiřadí uspořádanou n -tici (v1 ,… , vn ) ∈ ℝ n , tedy souřadnice vektoru v v kanonické bázi prostoru ℝ n .
Vektorový podprostor Vektorové prostory často obsahují podmnožiny, které jsou samy o sobě též vektorovými prostory. To nám jednak umožňuje studovat strukturu vektorových prostorů, např. rozkládat vektorové prostory na menší stavební celky, ale také má velké využití v aplikacích, například řešení soustavy homogenních lineárních algebraických rovnic o n neznámých tvoří vždy podprostor ve V n .
1.20. Definice Bud’ V vektorový prostor. Podmnožinu U ⊆ V nazýváme podprostorem, jestliže platí 1. 0 ∈ U , 2. u + v ∈ U pro všechny u , v ∈ U (uzavřenost na sčítání); 3. ku ∈ U pro každý vektor u ∈ U a každý skalár k ∈ ℝ . Vektorový podprostor je sám o sobě vektorovým prostorem, proto můžeme najít jeho bázi a spočítat jeho dimenzi. Mějme k -dimenzionální podprostor U s bází u1 , u2 ,… , uk . Pak
říkáme, že U je generován vektory u1 , u2 ,… , uk . Pro nízkodimenzionální vektorové prostory se ujalo geometrické označení i pojmenování podprostorů: Jednodimenzionální podprostory se často označují malými písmeny p, q, k ,… a mluví se o nich jako o přímkách, dvoudimenzionální podprostory se označují malými písmeny řecké abecedy a mluví se o nich jako o rovinách. Uveďme si konkrétní příklady.
–7–
19.9.2012, 13:36:25
1.21. Aplikace v analytické geometrii (i) Množina všech vektorů p = {(t , 2t ) ∈ ℝ 2 | t ∈ ℝ} je jednorozměrný podprostor v ℝ 2 , který je generován vektorem s = (1, 2) . Ukažme, že p splňuje požadavky předchozí definice:
Geometricky můžeme podprostor p interpretovat jako přímku v rovině, která prochází počátkem a má parametrické vyjádření p : x = t , y = 2t , t ∈ ℝ , resp. obecnou rovnici p : 2x − y = 0 . (ii) Množina všech vektorů
α = {(r , 2r , 0), (0, s, 2s ) | r , s ∈ ℝ}
je dvourozměrný podprostor v ℝ 3 , který je generován vektory u1 = (1, 2, 0) a u2 = (0,1, 2) . Analogicky jako v předchozím případě se dá kázat, že α splňuje požadavky definice 1.20. Geometricky jej můžeme interpretovat jako rovinu v prostoru, která prochází počátkem a má parametrické vyjádření α : x = r , y = 2r + s, z = 2 s, r , s ∈ ℝ , resp. obecnou rovnici α : 2 x − y + z = 0 , viz pátá přednáška, odstavce 5.7 a 5.10. Poznamenejme, že vektorový prostor jsme zde chápali jako speciální případ tzv. afinního prostoru, ve kterém se vektory definují vztahem u = B − A známým ze střední školy. Afinní prostor je jednoznačně určen definováním počátku. Souřadnice bodů pak získáme jako souřadnice polohových vektorů v = V − P . V našem případě (pro vektorové prostory) jsme zvolili počátek v bodě P = [ 0, 0] , resp. P = [ 0, 0, 0] .
1.22. Aplikace pro řešení soustav rovnic Množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic tvoří vektorový podprostor, více viz čtvrtá přednáška, Věta 4.4.
–8–
