Creatief aan de slag met GeoGebra
11 De hoed van Napoleon 11.1 Historiek Napoleon Bonaparte (1769-1821) was van Italiaanse afkomst en begon zijn carrière als onderluitenant in de artillerie en klom op tot Frans generaal. Op zijn dertigste pleegde hij een staatsgreep. Na een mislukte poging om Rusland te veroveren in 1812 en na zijn terugkomst uit ballingschap, werd hij in 1815 definitief verslagen in Waterloo en verbannen naar het eiland Elba. Het is minder bekend dat Napoleon heel wat interesse had voor wiskunde. Een aantal eigenschappen (worden al dan niet terecht) aan hem toegewezen.
Probleem 1 Teken een gelijkzijdige driehoek ABC Plaats een punt D op één van de zijden, hierdoor wordt deze zijde verdeeld in twee stukken.
Teken nogmaals twee gelijkzijdige driehoeken met AD en DP als zijde
Bepaal de zwaartepunten P, Q, R van de driehoeken en teken de driehoek PQR. Versleep het punt D Welk vermoeden heb jij in verband met de driehoek PQR ? Probeer deze eigenschap (analytisch) te bewijzen. Uitgewerkt GeoGebra bestand Napoleon1.ggb
© Ivan De Winne
www.mathelo.net
1
Creatief aan de slag met GeoGebra Probleem 2: de driehoek van Napoleon Op de drie zijden van een willekeurige driehoek construeert men buitenwaarts telkens een gelijkzijdige driehoek. Dan zijn de zwaartepunten van deze driehoeken de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek (driehoek van Napoleon).
Maak een GeoGebra bestand om deze stelling te illustreren.
Uitgewerkt GeoGebra bestand Napoleon2.ggb Probeer deze stelling meetkundig te bewijzen. Een aantal stellingen uit de goniometrie kunnen ook handig van pas komen.
Probleem 3: Bij passer-en-liniaal-constructies worden uitsluitend een (ideale) passer en een liniaal zonder verdeling gebruikt. De liniaal mag alleen gebruikt worden om rechten te tekenen door twee bestaande punten. De passer kan worden gebruikt voor het tekenen van een cirkel of cirkelboog vanuit een bestaand punt als middelpunt en een ander punt om de straal te bepalen. Op de liniaal is er geen verdeling en de passer (volgens Euclides) moet men beschouwen als een gereedschap waarmee geen afstanden kunnen worden overgebracht, m.a.w. de “Euclidische” passer klapt dicht na het gebruik. De beperking dat een passer niet gebruikt mag worden om lengtes over te brengen is trouwens nutteloos, omdat men immers kan aantonen dat dit kan met een zuivere passer en liniaal constructie toch gerealiseerd worden. ,
,
Constructies met enkel en alleen een (Euclidische) passer:
© Ivan De Winne
www.mathelo.net
2
Creatief aan de slag met GeoGebra De Italiaanse wiskundige Lorenzo Mascheroni (1750-1800) publiceerde in 1797 in Pavia het werk Geometria del compasso. Hij toonde daarin aan dat elke passer en liniaal constructie kon worden uitgevoerd met passer alleen.. Het werk van Mascheroni werd vooral in Frankrijk bekend door toedoen van Napoleon. Tijdens zijn Italiaanse veldtocht had hij Mascheroni ontmoet en Napoleon raakte in diens werk geïnteresseerd. Ook de volgende eigenschap wordt aan Napoleon toegeschreven. Eerste constructie met de knoppen:
,
,
en ook
Construeer door enkel gebruik te maken van een Euclidische passer een vierkant met de vier hoekpunten op de cirkel gelegen. Deze laatste knop is GEEN Euclidische passer omdat men een afstand kan overbrengen ! In deze eerste constructie wordt er wel GEEN gebruik gemaakt van een liniaal
Teken een cirkel met middelpunt O en gaande door P
Teken vervolgens een cirkelboog vanuit P met straal |OP|. Zo bekom je het punt A.
Teken vervolgens een cirkelboog vanuit A met straal |AO|. Zo bekom je het punt B.
Teken vervolgens een cirkelboog vanuit B met straal |BO|. Zo bekom je het punt C.
© Ivan De Winne
www.mathelo.net
3
Creatief aan de slag met GeoGebra
Teken de cirkelboog vanuit C met straal |AC|. Teken de cirkelboog vanuit P met straal |PB|. Deze twee bogen snijden elkaar in het punt D. Teken de cirkelboog vanuit P met straal |OD|.
!!
De laatste cirkelboog snijdt de cirkel in de punten Q en S. PQCS is een vierkant.
In dit geval werden er in totaal 7 cirkels getekend. Uitgewerkt GeoGebra bestand Napoleon3.ggb
© Ivan De Winne
www.mathelo.net
4
Creatief aan de slag met GeoGebra Tweede constructie met de knoppen:
,
,
Hierbij wordt er enkel en alleen gebruik gemaakt van een Euclidische passer
Teken een cirkel met middelpunt O en gaande door P
Teken vervolgens een cirkelboog vanuit P met straal |PO|. Zo bekom je het punten A en B.
Teken cirkel met middelpunt B en gaande door A, geeft snijpunt R.
Snijpunt C van cirkel met middelpunt A en gaande door O en de cirkel door P en O
© Ivan De Winne
www.mathelo.net
5
Creatief aan de slag met GeoGebra Cirkel met middelpunt C en gaande door O en cirkel met middelpunt B en gaande door A geven het punt D
Cirkel met middelpunt P en gaande door D geven de snijpunten Q en S
In dit geval werden er slechts 6 cirkels getekend ! Uitgewerkt GeoGebra bestand Napoleon4.ggb
© Ivan De Winne
www.mathelo.net
6
Creatief aan de slag met GeoGebra Oplossing probleem 1: Plaats het punt A in de oorsprong van het assenstelsel en B op de X-as Stel AD=x en DB= y (waarbij x + y constant is). Aangezien de punten P, Q en R de zwaartepunten van een driehoek zijn kunnen wij gebruik maken van een welbekende eigenschap: de zwaartelijnen delen elkaar (in het zwaartepunt) in stukken die zich verhouden als 2 : 1. Omdat wij hier te maken hebben met een gelijkzijdige driehoek vallen de zwaartelijnen ook samen met de hoogtelijnen. Indien de hoogte van de gelijkzijdige driehoek berekend is (steunende op de stelling van Pythagoras) dan kan men ook de y-coördinaat van dit punt bepalen (delen door 3). Zodoende kunnen wij de coördinaten van de zwaartepunten P, Q en R bepalen. (
(
)
(
√
(
√
) √
(
))
)
Toon vervolgens aan dat de |PQ| = |QR| = |RP| Uit de afstandsformule volgt | Na uitwerking
|
[ |
|
(
)]
[
]
|
|
|
| |
De andere berekeningen |
© Ivan De Winne
|
en |
[ [
√ √
√ √
(
)]
]
|
| geven hetzelfde resultaat.
www.mathelo.net
7
