10 Zonnestelsel en heelal

10 Zonnestelsel en heelal Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo

Uitwerkingen basisboek 10.1 INTRODUCTIE 1

[W] Bewegingen in het zonnestelsel

2

[W] Kracht en beweging

3

[W] Arbeid en energie

4

[W] Experiment: Bochten nemen

5

[W] Computersimulatie: Satellietbanen

6

Waar of niet waar? a Niet waar: In een draaimolen is de middelpuntzoekende kracht naar het midden van de draaimolen gericht. b Waar c Waar d Waar e Niet waar: De snelheid waarmee een satelliet rond de aarde draait hangt af van de afstand tussen de satelliet en de aarde. f Niet waar: De gravitatiekracht op een voorwerp is hetzelfde als de zwaartekracht. Een synoniem dus. g Niet waar: De middelpuntzoekende kracht die een satelliet een cirkelbaan laat beschrijven is de gravitatiekracht.

7 a b c

De afstand tussen de stippen wordt kleiner terwijl de tijd tussen twee stippen gelijk blijft, dus neemt de snelheid af. De grootte van de snelheid blijft gelijk terwijl de richting verandert.

8 a b

9

De spankracht in het touw. Als het touw breekt, beweegt de puck in een rechte lijn verder, de richting is gelijk aan de richting van de raaklijn aan de cirkel op het punt van het wegvallen van de spankracht.

De middelpuntzoekende kracht die de ijshockeypuck een cirkelbeweging laat beschrijven wordt geleverd door de spankracht. Deze twee krachten hebben dus dezelfde richting en

© ThiemeMeulenhoff bv

CONCEPT

Pagina 1 van 18

grootte. De middelpuntzoekende kracht zorgt ervoor dat de snelheid voortdurend van richting verandert. De snelheid is dus alleen constant in grootte en niet in richting. 10 a b

De wrijvingskracht van het wegdek op de band. Dan maakt de motorfiets geen bocht maar gaat rechtuit verder (‘vliegt de bocht uit’).

a b c

Groter, als je op dezelfde afstand van de draai-as blijft zitten of liggen. Kleiner, als de omwentelingssnelheid van de draaischijf gelijk blijft. Je voelt de wrijvingskracht van de draaischijf tegen jou aanduwen richting het centrum van de draaischijf, net zo als wanneer iemand jou over de stilstaande draaischijf naar de rand zou duwen. Die duwkracht, die er niet is, denk je te voelen. Een schijnkracht dus.

a b

De gravitatiekracht. Rechtdoor, dus weg van de aarde.

a b

De baan is dan een ellips, de hoogte boven het aardoppervlak is dan niet constant. Dan zou het steeds dichter bij de aarde komen en in de dampkring waarschijnlijk verbranden. De snelheid wordt daardoor kleiner. De hoogte neemt geleidelijk af, want als de snelheid kleiner is, is de benodigde middelpuntzoekende kracht kleiner. De gravitatiekracht is dan groter dan de benodigde middelpuntzoekende kracht voor die baan waardoor de satelliet naar de aarde toe beweegt. Schuin naar beneden en naar achter: naar achter om de snelheid te verhogen en naar beneden om de hoogte weer te laten toenemen.

11

12

13

c d

e

14 a b c d

15

De kracht staat voortdurend loodrecht op de richting van de snelheid. Hierdoor kan de grootte van de snelheid niet veranderen, maar de richting wel. De massa, de snelheid en de straal van de cirkelbaan. Zie bij d. Als de massa 𝑚 groter is, dan is de middelpuntzoekende kracht 𝐹mpz groter, als de snelheid 𝑣 groter is, dan is de middelpuntzoekende kracht 𝐹mpz groter, als de baanstraal 𝑟 groter is, dan is de middelpuntzoekende kracht 𝐹mpz kleiner.

Eigen antwoord.

16 a b c d

2x zo groot. 4x zo groot. 0,5x zo groot (of 2x zo klein). Als ze elk tweemaal zo groot zijn is Fmpz 4x zo groot en als ze elk tweemaal zo klein zijn is Fmpz 4x zo klein.


CONCEPT

Pagina 2 van 18

17

A – E – D – C – F – B. De kleinste middelpuntzoekende kracht hoort bij de kleinste snelheid in combinatie met de grootste straal, dat is situatie A. Een afname van de straal heeft minder invloed dan een toename van de snelheid, dus is de volgende E, gevolgd door D. De andere 3 situaties hebben een twee keer zo hoge snelheid, dan is voor eenzelfde middelpuntzoekende kracht een vier keer zo grote straal nodig dan bij D (dus 8 m), maar die situatie is er niet. De grootste straal heeft nu de kleinste middelpuntzoekende kracht, dus volgorde C – F – B.

18 a

In de formule voor 𝐹mpz staat de straal in de noemer. Een flauwere bocht heeft een

b

grotere straal, dus is bij dezelfde snelheid een kleinere middelpuntzoekende kracht nodig. In de formule voor 𝐹mpz staat de snelheid in de teller. Dus is bij dezelfde straal en een

c

grotere snelheid een grotere middelpuntzoekende kracht nodig. Als de kracht die werkt als middelpuntzoekende kracht te klein is, zal de fiets of auto uit de bocht ‘glijden’: de straal van de bocht wordt groter.

19 a b c

Groter, want de maximale kracht is gelijk, de straal (in de noemer) is groter en de snelheid staat in de teller. De maximale kracht is gelijk, de straal is tweemaal zo groot, dan mag 𝑣 ² ook 2x zo groot zijn. Dus 𝑣 is √2 keer zo groot. De buitenbocht is tweemaal zo lang, de snelheid is √2 keer zo groot. De binnenbocht is dus sneller.

20 a b

Als de omlooptijd tweemaal zo groot wordt, wordt de snelheid tweemaal zo klein. Dan wordt de benodigde middelpuntzoekende kracht viermaal zo klein. Als je tweemaal zo ver van het midden gaat zitten wordt de straal tweemaal zo groot. Als de straal tweemaal zo groot wordt, wordt de snelheid ook tweemaal zo groot. De middelpuntzoekende kracht is evenredig met de snelheid in het kwadraat en omgekeerd evenredig met de straal, dus wordt deze dan 22/2 = 2 x zo groot.

21 a

Als de baanstraal tweemaal zo groot wordt, wordt de cirkelbaan (dus de afstand) tweemaal zo groot. Alice blijft in hetzelfde tempo rondjes draaien dus wordt de baansnelheid ook tweemaal zo groot. De middelpuntzoekende kracht evenredig met het kwadraat van de baansnelheid en omgekeerd evenredig met de straal, dus zal de middelpuntzoekende kracht tweemaal zo groot worden.

b

De eenheid van 𝐹mpz is: N = kg ∙ m/s2 en de eenheid van

𝑚∙𝑣 𝑟

is:

kg∙m/s m

= kg/s.

De eenheden zijn niet gelijk. 22 a b c

De normaalkracht van de baan. Door de zwaartekracht neemt de snelheid af. In punt A, daar is de snelheid het grootst. De straal is steeds even groot.

a

De afstand van het ISS tot het middelpunt van de aarde is 6371 + 342 = 6713 km, dus

23


CONCEPT

Pagina 3 van 18

𝑟 = 6713 km. Voor de baansnelheid geldt: 𝑣 =

𝑇= b

2𝜋∙𝑟

=

𝑣

2𝜋∙6713 7,7

2𝜋∙𝑟



𝑇

= 5478 s = 1,5 uur.

De gravitatiekracht is de middelpuntzoekende kracht, dus 𝐹mpz = 8,8 N. Bij een snelheid van 7,7 km/s is 𝐹mpz

𝑚∙𝑣 2

=

𝑟

=

1,0∙(7,7∙103 )

2

= 8,8 N, dus is deze snelheid

6713∙103

precies groot genoeg om de benodigde middelpuntzoekende kracht te leveren. 24 a

𝑟 = 23616 + 6371 = 29987 km en 𝑣 =  𝐹mpz

=

𝑚∙𝑣 2 𝑟

=

525∙(3,64∙103 )

2

29987∙103

2𝜋∙𝑟 𝑇

2𝜋∙29987∙103

=

5,17∙104

= 3,64 ∙ 103 m/s

= 2,33 ∙ 102 N.

b

Veel kleiner, op aarde is de zwaartekracht 5,1·10³ N.

a

De zwaartekracht bij het maanoppervlak werkt als middelpuntzoekende kracht die nodig is voor een cirkelbeweging vlak boven het maanoppervlak, dus 𝐹z = 𝐹mpz 

25

𝑚∙𝑔 =

𝑚∙𝑣 2 𝑟

𝑚

∙ 1,63 =

𝑚∙𝑣 2

𝑅maan



𝑣 = √1,63 ∙ 𝑅maan = √1,63 ∙ 1,738 ∙ 106 = 1,68 ∙ 103 m/s. b 26

Op de maan is er geen lucht die de kogel van Newton kan afremmen.

𝑟 = 5,0 m en 𝐹mpz = 9 ∙ 9,81 ∙ 𝑚 geeft: 𝑣 = 21,0 m/s. Voor de baansnelheid geldt: 𝑣 toerental is dus

1 1,50

=

2𝜋∙𝑟 𝑇

𝑚∙𝑣 2 𝑟

𝑇

𝑣2

= 9 ∙ 9,81 ∙ 𝑚  5,0 = 9 ∙ 9,81 

=

2𝜋∙𝑟 𝑣

=

2𝜋∙5,0 21,0

= 1,50 s. Het maximale

= 0,67 omw/s.

27 a

Zie figuur.

b

𝐹N = 𝑚 ∙ 𝑔 = 920 ∙ 9,8 = 9,0 ∙ 103 N = 9,0 kN. Aflezen uit figuur 20: 𝐹w max = 8,3 kN. 𝐹w max = 𝐹mpz  𝐹w max =

𝑚∙𝑣max 2

𝑣max = 14,1 m/s = 51 km/h.

𝑟

 8,3 ∙ 103

28

[W] Computersimulatie: Ellipsbanen

29

[W] Middelpuntzoekende versnelling en kracht


=

920∙𝑣max 2

CONCEPT

22



Pagina 4 van 18

10.3 GRAVITATIEKRACHT 30

[W] Gravitatiekracht

31

[W] Computersimulatie: Planeetbanen

32

Waar of niet waar? a Waar b Niet waar: De baansnelheid van planeten neemt af als de baanstraal toeneemt. c Niet waar: De zwaartekracht aan het oppervlak van een planeet hangt af van de massa en de straal van de planeet. d Waar e Niet waar: Op de maan wordt je ook nog aangetrokken door de aarde, al is die kracht heel veel kleiner dan de zwaartekracht van de maan.

33 a

b

c

d

Elke kg van de aarde oefent op elke kg van de maan 4,52∙10-28 N uit en de massa van de aarde is 5,98∙1024 kg, dus oefent de aarde op elke kg van de maan 5,98∙1024 x -28 -3 4,52∙10 = 2,7∙10 N uit. De aarde oefent op elke kg van de maan 2,7∙10-3 N uit en de massa van de maan is 24 24 0,0735∙10 kg dus is de gravitatiekracht van de aarde op de maan 0,0735∙10 x -3 20 2,7∙10 = 1,99∙10 N. Elke kg van de aarde oefent op elke kg van de maan een kracht uit van 4,52∙10-28 N. Omgekeerd oefent dus ook elke kg van de maan een kracht van 4,52∙10-28 N uit op elke kg van de aarde, het is immers een wisselwerking. De massa van de maan is 0,0735∙1024 kg, dus oefent de maan op elke kg van de aarde 0,0735∙1024 x 4,52∙10-28 = 3,32∙10-5 N uit. De maan oefent op elke kg van de aarde 3,32∙10-5 N uit en de massa van de aarde is 5,98∙1024 N dus is de gravitatiekracht van de maan op de aarde 5,98∙1024 x 3,32∙10-5 = 1,99∙1020 N.

34 𝑚∙𝑣 2

2

= 1,99 ∙ 1020 N.

𝐹mpz =

b c

De gravitatiekracht werkt als middelpuntzoekende kracht, dus 1,99∙1020 N. Ja, de gravitatiekracht en de benodigde middelpuntzoekende kracht worden beide tweemaal zo groot. Nee, de gravitatiekracht wordt dan tweemaal zo groot, dan zou de snelheid (en dus ook de middelpuntzoekende kracht) ook groter moeten worden om in dezelfde baan te kunnen blijven.

d

𝑟

=

0,0735∙1024 ∙(1,02∙103 )

a

384∙106

35

=

𝑚∙𝑣aarde 2

b

Op een kg zal de middelpuntzoekende kracht dus 90,4 x zo klein zijn. Nee, de afstand wordt 9,53x zo groot en de kracht 90,4 x zo klein, dus het is omgekeerd kwadratisch (9,532 = 90,8).

9,53∙𝑟aarde

CONCEPT

= 90,4 ∙

𝑚∙𝑣aarde 2

Aarde: 𝐹mpz


=

1

a

𝑟aarde

, Saturnus: 𝐹mpz

𝑚∙𝑣aarde 2 ) 3,08

(

𝑟aarde

.

Pagina 5 van 18

36 a b 37 a b c

100 x 9,8 = 980 N/kg. Omgekeerd kwadratisch

𝑟Saturnus 𝑟Aarde 𝑣Aarde 𝑣Saturnus

143

= 15,0 = 9,53. 29,8

= 9,67 = 3,08.

Als 𝑣 omgekeerd evenredig is met √𝑟, dan geldt dat 𝑣 ∙ √𝑟 = constant: 𝑣Saturnus ∙ √𝑟Saturnus = 9,67 ∙ 103 ∙ √143 ∙ 1010 = 1,16 ∙ 1010 en

𝑣Aarde ∙ √𝑟Aarde = 29,8 ∙ 103 ∙ √15,0 ∙ 1010 = 1,15 ∙ 1010. d

De baanstraal is groter, dus is de omtrek van de cirkel groter en de snelheid kleiner. Beide factoren zorgen ervoor dat de omlooptijd groter zal zijn.

e

𝑣=

f

klein, dus is de omlooptijd 9,53 x 3,08 = 29,4 x zo groot. Als de baanstraal 9,53 x zo groot is, dan is de omlooptijd 29,4 x zo groot en

2𝜋∙𝑟 𝑇

𝑇

=

2𝜋∙𝑟 𝑣

, de baanstraal is 9,53 x zo groot en de snelheid is 3,08 x zo

√9,533 = 29,4. 38 a b

Van de massa’s van de zon en de planeten en van de afstand tussen de zon en de planeten. Als de massa 𝑀 van de zon groter is, dan is de gravitatiekracht 𝐹g van de zon op de planeet groter. Als de massa 𝑚 van de planeet groter is, dan is de gravitatiekracht 𝐹g van de zon op de planeet groter. Als de afstand 𝑟 tussen de zon en de planeet groter is, dan is de gravitatiekracht 𝐹g

c

van de zon op de planeet kleiner. Uit opgave 35 en 36 blijkt dat de gravitatiekracht omgekeerd kwadratisch is met de onderlinge afstand. We weten al dat de gravitatiekracht evenredig is met beide massa’s, dus 𝐹g

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∙

𝑚∙𝑀 𝑟2

.

39

[W] Computersimulatie: Baanstraal en baansnelheid

40

Eigen antwoord.

41

De gravitatiekracht is een wisselwerking, dus is de gravitatiekracht van de aarde op de zon ook 3,54∙1022 N.

42

𝐹g = 𝐺 ∙

𝑚∙𝑀 𝑟2

dus als 𝑚, 𝑀, en 𝑟 allemaal tweemaal zo groot zijn zal de gravitatiekracht

hetzelfde blijven. 43

Zon - maan: 𝑟 = 0,1496 ∙ 1012 m (gebruik de afstand zon – aarde) en

𝑀 = 1,9884 ∙ 1030 kg dus

𝑀 𝑟2

1,9884∙1030

= (0,1496∙1012 )2 = 8,88 ∙ 107 .

Aarde - maan: r = 384,4∙106 m en M = 5,972∙1024 kg dus

𝑀 𝑟2

5,972∙1024

= (384,4∙106 )2 = 4,04 ∙ 107 .

Dus de gravitatiekracht van de zon op de maan is ongeveer tweemaal zo groot als de gravitatiekracht van de aarde op de maan.


CONCEPT

Pagina 6 van 18

44

De uitspraak is niet juist: de gravitatiekracht van de zon werkt als middelpuntzoekende kracht van de cirkelbeweging. Het is één en dezelfde kracht. De naam gravitatiekracht geeft de oorzaak van de kracht aan en de naam middelpuntzoekend slaat op het gevolg: een versnelling naar het middelpunt.

45 a

Uit 𝐹mpz = 𝐹g volgt: 𝑣 2 ∙ 𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑀. Als de afstand vijfmaal zo groot is, zal de baansnelheid √5x zo klein zijn.

b

𝑣=

2𝜋∙𝑟 𝑇

𝑇

=

2𝜋∙𝑟 𝑣

, de afstand is 5x zo groot en de baansnelheid √5x zo klein, dus

is de omlooptijd 5∙√5 = 11,2x zo groot, dus 11,2 jaar. Binas: TJupiter = 11,86 jaar. 46 a

b

Als de massa van de aarde 100 x zo groot is, is de gravitatiekracht tussen de zon en de aarde ook 100 x zo groot, maar ook de middelpuntzoekende kracht is dan 100 x zo groot en dus blijven de snelheid en de omlooptijd gelijk. Als de massa van de ster 100 x zo groot is en de afstand tussen de ster en de planeet hetzelfde is, dan is de gravitatiekracht tussen de ster en de planeet ook 100 x zo groot. De middelpuntzoekende kracht hangt niet van de massa van de ster af maar moet wel 100 x zo groot worden om gelijk te blijven aan de gravitatiekracht. De middelpuntzoekende kracht is evenredig met 𝑣 2 dus moet de snelheid √100 = 10 x zo groot zijn en dus moet de omlooptijd 10 x zo kort zijn.

47 a

Uit de omlooptijd en de afstand van de aarde tot de zon is de omloopsnelheid te berekenen met 𝑣

b c d

=

2𝜋∙𝑟 𝑇

. Vervolgens kun je met 𝐹g = 𝐹mpz  𝐺 ∙ 𝑀 = 𝑣 2 ∙ 𝑟 de

massa van de zon berekenen. Je kunt ook de afstand tot een andere planeet en de omlooptijd van die planeet gebruiken om de massa van de zon te berekenen. Voor het bepalen van de massa van de aarde kun je de omlooptijd en afstand van maan tot de aarde ‘gebruiken’. Je kunt op die manier van alle planeten die een maan (of meerdere manen) hebben de massa bepalen, dus bij Mars en Jupiter. Mercurius, Venus, Saturnus, Uranus en Neptunus hebben geen maan dus daarbij is het niet mogelijk om op deze manier de massa te bepalen.

48 a

Oriëntatie: In de af te leiden formule ontbreekt de snelheid 𝑣 . Door de formule voor de snelheid:

𝑣=

2𝜋∙𝑟 𝑇

in te vullen in de andere formule: 𝑣 2 ∙ 𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑀 kunnen we de snelheid uit

de formule halen. Uitwerking:

( b

2𝜋∙𝑟 2

𝑇 𝐺∙𝑀 4𝜋 2

𝑟3

𝐺∙𝑀

) ∙ 𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑀  2 = 2. 𝑇 4𝜋

=

6,674∙10−11∙1,9884∙1030 4𝜋 2

= 3,361 ∙ 1018 m3 ⁄s2 .

Saturnus: 𝑟 = 1,427 ∙ 1012 m en 𝑇 = 29,45 jaar = 29,45 ∙ 3,156 ∙ 107 =

9,294 ∙ 108 s 


𝑟3 𝑇2

=

(1,427∙1012 )

3

(9,294∙108 )2

= 3,374 ∙ 1018 m3 /s2 .

CONCEPT

Pagina 7 van 18

Mars: 𝑟 = 0,228 ∙ 1012 m en 𝑇 = 687,0 dag = 687,0 ∙ 8,640 ∙ 104 = 5,936 ∙ 107 s  c

𝑟3 𝑇2

𝑟3 𝑇2

=

(0,228∙1012 )

3

(5,936∙107 )2 𝐺∙𝑀

= 3,364 ∙ 1018 m3 /s2 .

= 4𝜋2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡. Als de baanstraal 𝑟 2 x zo groot is, dan is 𝑟 3 8 x zo groot.

Dan moet 𝑇 2 ook 8 x zo groot zijn om te zorgen dan

𝑟3

𝑇2

constant blijft. Als 𝑇 2 8 x zo

groot moet zijn, dan is de omlooptijd √8 = 2,8 x zo groot. 49 a

b

c d e

f

50

De astronauten draaien, net als het ISS, in een baan rond de aarde. Voor die baan is een middelpuntzoekende kracht nodig en dat is hier de aantrekkingskracht van de aarde. Nee, de astronaut valt niet naar beneden. Hij heeft net als het ISS een baansnelheid die precies goed is op die hoogte en valt daardoor niet naar beneden. De zwaartekracht van de aarde houdt de astronaut in zijn baan. Ja, dezelfde snelheid als het ISS. Er is geen luchtwrijving die de astronaut afremt. Als de astronaut van het ISS afzweeft zal hij steeds verder van het ISS af bewegen, omdat hij niet wordt afgeremd. Hij kan dan nooit meer terugkomen bij het ISS. (Alleen door een stuk gereedschap in de tegenoverliggende richting weg te gooien kan hij weer naar het ruimteschip terugkeren, zoals kapitein Hadock deed in het avontuur van Kuifje naar de maan.) Er is gewichtloosheid omdat er geen normaalkracht in het ISS is, alles valt voortdurend met dezelfde versnelling naar de aarde toe.

Als de komeet dichter bij de zon komt heeft de gravitatiekracht niet alleen een component loodrecht op de snelheid (die voor de afbuiging zorgt) maar ook een component in de richting van de snelheid. Hierdoor neemt de snelheid van de komeet toe. Als de komeet verder van de zon af beweegt heeft de gravitatiekracht juist een component die tegengesteld aan de richting van de snelheid is, waardoor de snelheid afneemt.

51 a b

52

Ze worden allebei door de aarde aangetrokken volgens de gravitatiekracht. De maan heeft een snelheid die loodrecht op de gravitatiekracht staat waarbij gravitatiekracht even groot is als de middelpuntzoekende kracht die nodig is om een cirkelbaan te beschrijven. Bij de appel is gravitatiekracht veel groter dan de vereiste middelpuntzoekende kracht omdat de horizontale snelheid veel te klein is.

Niet alle bewegingen van sterren en sterrenstelsels zijn te verklaren met alleen de gravitatiewet. Dit kan een reden zijn om te twijfelen aan de juistheid van de gravitatiewet of om te zoeken naar aanvullingen op deze wet. Ook is het slecht voor te stellen hoe twee massa’s op afstand invloed op elkaar kunnen hebben, terwijl daar niets tussen zit (hoe ‘weten’ die massa’s van elkaars bestaan?).

53 a

De massa van de maan is 5,976 / 0,0735 = 81,3 x zo klein en de straal is 6,378 / 1,738 = 3,67 x zo klein. 𝐹z = 𝐹g  𝑔

=𝐺∙

𝑀

𝑅2

dus zal de valversnelling op de

2

maan 81,3 / 3,67 = 6,04 x zo klein zijn.


CONCEPT

Pagina 8 van 18

b

Voor de aarde is 𝑔 de maan is 𝑔

5,976∙1024

𝑀

= 𝐺 ∙ 𝑅2 = 6,674 ∙ 10−11 ∙ (6,378∙106 )2 = 9,80 m/s2 en voor

=𝐺∙

0,0735∙1024

𝑀 𝑅2

= 6,674 ∙ 10−11 ∙ (1,738∙106 )2 = 1,62 m/s2 .

(en 9,80 / 1,62 = 6,05). 54

Op zeeniveau is g

5,976∙1024

M

= G ∙ R2 = 6,674 ∙ 10−11 ∙ (6,378∙106 )2 = 9,905 m/s2

Op de top van de Mount Everest wordt de afstand dan 6378 + 8 = 6386 km  5,976∙1024

M

g = G ∙ R2 = 6,674 ∙ 10−11 ∙ (6,386∙106 )2 = 9,780 m/s2 . Dat verschil merk je niet. 55 a

Voor de baansnelheid geldt: 𝑣 𝑚∙𝑣 2

𝐹mpz = b

𝑟 𝑚∙𝑀

𝐹g = 𝐺 ∙

𝑟2

=

2𝜋∙𝑟

=

𝑇 2 5,972∙1024 ∙(2,979∙104 ) 1,496∙1011

= 6,674 ∙ 10−11 ∙

2𝜋∙1,496∙1011

= 365,25∙24∙3600 = 2,979 ∙ 104 m/s. = 3,543 ∙ 1022 N.

5,972∙1024 ∙1,9884∙1030 (1,496∙1011 )2

= 3,541 ∙ 1022 N. Dat

klopt dus. 56

11

De afstand van de aarde tot de zon is 1,496∙10 m en de omlooptijd is 365,25 dagen 

𝑣=

2𝜋∙1,496∙1011

2𝜋∙𝑟

= 365,25∙24∙3600 = 2,979 ∙ 104 m/s.

𝑇

Gebruik dat: 𝐹g = 𝐹mpz  𝐺 ∙ 𝑀 = 𝑣 2 ∙ 𝑟 met 𝐺 = 6,674 ∙ 10−11 Nm2 /kg 2 

𝑀= 57 a

𝑣 2∙𝑟 𝐺

2

=

(2,979∙104 ) ∙1,496∙1011 6,674∙10−11

= 1,989 ∙ 1030 kg.

Voor alle manen geldt dat 𝐹g = 𝐹mpz  𝐺 ∙ 𝑀 = 𝑣 2 ∙ 𝑟. 𝑀 en 𝐺 zijn voor alle manen hetzelfde en dus moet 𝑣 2 ∙ 𝑟 steeds dezelfde waarde hebben. Io: 𝑣

=

2𝜋∙𝑟 𝑇

=

2𝜋∙4,22∙108 1,53∙105

= 1,73 ∙ 104 m/s 

𝑣 2 ∙ 𝑟 = (1,73 ∙ 104 )2 ∙ 4,22 ∙ 108 = 1,26 ∙ 1017 , Europa: 𝑣

=

2𝜋∙𝑟 𝑇

=

2𝜋∙6,74∙108 3,07∙105

= 1,38 ∙ 104 m/s 

𝑣 2 ∙ 𝑟 = (1,38 ∙ 104 )2 ∙ 6,74 ∙ 108 = 1,28 ∙ 1017 , Ganymedes: 𝑣

=

2𝜋∙𝑟 𝑇

=

2𝜋∙10,7∙108 6,18∙105

= 1,09 ∙ 104 m/s 

𝑣 2 ∙ 𝑟 = (1,09 ∙ 104 )2 ∙ 10,7 ∙ 108 = 1,27 ∙ 1017 , Callisto: 𝑣 b

2𝜋∙𝑟 𝑇

=

2𝜋∙18,8∙108 14,4∙105

= 8,20 ∙ 103 m/s 

𝑣 2 ∙ 𝑟 = (8,20 ∙ 103 )2 ∙ 18,8 ∙ 108 = 1,26 ∙ 1017 . De gemiddelde waarde van 𝑣 2 ∙ 𝑟 is 1,27∙1017 

𝑀= 58

=

𝑣2 ∙𝑟 𝐺

1,27∙1017

= 6,674∙10−11 = 1,90 ∙ 1027 kg. Binas: m = 1900∙1024 kg.

De straal van de aarde is 6,371 ∙ 106 m, dus 𝑟 = 23,616 ∙ 106 + 6,371 ∙ 106 = 29,987 ∙ 106 m. Voor de satellieten geldt dat 𝐹g = 𝐹mpz  𝐺 ∙ 𝑀 = 𝑣 2 ∙ 𝑟 

𝑣=√ 𝑣=

𝐺∙𝑀

𝑟 2𝜋∙𝑟 𝑇

=√

𝑇

6,674∙10−11∙5,976∙1024

=

29,987∙106 2𝜋∙𝑟 2𝜋∙29,987∙106 𝑣


=

3,647∙103

= 3,647 ∙ 103 m/s. = 5,166 ∙ 104 s = 861,1 min. CONCEPT

Pagina 9 van 18

59

De satellieten moeten meedraaien met de aarde, dus moeten ze precies dezelfde omlooptijd hebben. De exacte rotatieperiode van de aarde is: 𝑇 = 0,9973 d = 23,935 u = 8,617 ∙ 104 s. Door 𝑣

=

2𝜋∙𝑟 𝑇

te combineren met 𝑣 2 ∙ 𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑀 is af te leiden dat

opgave 48), waarbij 𝐺 = 6,674 ∙ 10−11 Invullen geeft

𝑟3 (8,617∙104 )2

=

Nm2 kg2

𝐺∙𝑀

= 4𝜋2 (zie ook

en 𝑀 = 5,976 ∙ 1024 kg.

6,674∙10−11 ∙5,976∙1024 4𝜋 2

𝑟3

𝑇2

 𝑟 = 4,217 ∙ 107 m.

De geostationaire baan ligt recht boven de evenaar. De straal van de aarde is bij de evenaar: 𝑟aarde = 6,378 ∙ 106 m, dus de hoogte van de geostationaire baan boven het aardoppervlak is 4,217 ∙ 107 − 6,378 ∙ 106 = 3,580 ∙ 107 m. 60

[W] Vallen op de maan

61

[W] Wegen van de aarde

62

[W] Gravitatiewet van Newton

63

[W] Computermodel van planeetbanen

10.5 GRAVITATIE-ENERGIE 64

[W] Zwaarte-energie

65

Waar of niet waar? a Waar b Niet waar: Het nulpunt van de gravitatie-energie is in de natuurkunde gekozen ‘in het oneindige’. c Waar / niet waar: De negatieve gravitatie-energie van een voorwerp wordt steeds kleiner (dus komt steeds dichter bij 0) naarmate de afstand tot het middelpunt van de aarde groter is. d Niet waar: De (negatieve) gravitatie-energie van een voorwerp is omgekeerd evenredig met de afstand tot het middelpunt van de aarde. e Waar f Waar.

66 a

De kracht is gelijk en de afgelegde weg is tweemaal zo groot, dus is de arbeid tweemaal zo groot (𝑊 = 𝐹g ∙ 𝑠 ).

b

Op het eerste stuk vallen van ℎ = 3 ∙ 𝑅 naar ℎ = 2 ∙ 𝑅 is de gravitatiekracht kleiner dan op het tweede stuk (van ℎ = 2 ∙ 𝑅 tot aan het aardoppervlak). De totale arbeid zal dus minder dan tweemaal zo groot zijn. Hoe groter de afstand van het voorwerp tot het middelpunt van de aarde, hoe kleiner de gravitatiekracht. De arbeid die verricht wordt door de gravitatiekracht bij een meter vallen is dan steeds kleiner, er komt dus steeds minder gravitatie-energie bij als een voorwerp zich verder van het middelpunt van de aarde bevindt.

c

67


CONCEPT

Pagina 10 van 18

a

Trek een rechte lijn om met een driehoek de oppervlakte onder de grafiek af te schatten: het stuk dat je aan de linkerkant teveel meeneemt, kom je aan de 1 rechterkant te kort (zie figuur). De oppervlakte van de driehoek is 𝑊g = ∙ 9,7 N ∙ 2

(17 − 6,5) ∙ 106 m = 5,1 ∙ 107 Nm = 5,1 ∙ 107 J. b

68

De gravitatie-energie is 0 in het oneindige, dus is de gravitatie-energie op het aardoppervlak 𝐸g = −5,1 ∙ 107 J. Aflezen in figuur 38: 𝐸g = −6,2 ∙ 107 J.

[W] Arbeid van de gravitatiekracht

69 a

b c

Als de massa van het voorwerp tweemaal zo groot is, is ook de gravitatiekracht tweemaal zo groot en daarmee ook de arbeid die de gravitatiekracht verricht tijdens het vallen van het voorwerp vanaf een bepaalde afstand. De gravitatie-energie wordt dus bij elke afstand tweemaal zo groot. Dit effect is te bereiken door de grafiek in verticale richting uit te rekken of door de verticale schaal met twee te vermenigvuldigen. Ook als de massa van de aarde tweemaal zo groot is, is de gravitatiekracht tweemaal zo groot en zal de gravitatie-energie dus bij elke afstand tweemaal zo groot zijn. Als de straal van de aarde tweemaal zo groot is, zit het aardoppervlak op tweemaal zo grote afstand van het middelpunt, dus zal de grafiek beginnen in het punt (13∙106 m, -3,1∙107 J).

70 a

b

In een ellipsbaan verandert de afstand tussen de planeet en de zon voortdurend en dus ook de gravitatie-energie. Omdat de som van de kinetische energie en gravitatieenergie constant is zal de kinetische energie ook voortdurend veranderen en daarmee ook de snelheid. De snelheid is het grootst als de kinetische energie het grootst is en dus waar de gravitatie-energie het kleinst is en dat is wanneer de planeet het dichtst bij de zon is. De snelheid is het kleinst als de gravitatie-energie het grootst is dus wanneer de planeet het verst van de zon verwijderd is.

71 a b

De gravitatie-energie hangt van de massa van het voorwerp, de massa van de planeet en van de afstand tussen het voorwerp en de planeet. Als één van de massa’s groter is, zal de gravitatie-energie groter zijn. Als de afstand tussen het voorwerp en de planeet groter is, zal de gravitatie-energie kleiner zijn.

72

Eigen antwoord.

73

De formule luidt: 𝐸g

= −𝐺 ∙

is te zien dat dan 𝐸g nul is. 74

𝑀∙𝑚 𝑟

. In het oneindige is 𝑟 oneindig groot en aan de formule

[𝐺] = N ∙ m2 ∙ kg −2  [𝐸g ] = [−𝐺 ∙

𝑀∙𝑚 𝑟

] = N ∙ m2 ∙ kg −2 ∙

kg∙kg m

= N ∙ m = J.

75


CONCEPT

Pagina 11 van 18

a

b c

De satelliet komt steeds verder van het middelpunt van de aarde, dus neemt 𝑟 toe. De gravitatie-energie is negatief en de grootte is omgekeerd evenredig met 𝑟 dus wordt de gravitatie-energie een steeds kleiner negatief getal, dat is dus een toename. 𝑟 wordt 3 x zo groot, dus wordt de (negatieve) gravitatie-energie 3 x zo klein. 𝑀aarde = 5,972 ∙ 1024 kg en 𝑀maan = 0,0735 ∙ 1024 kg terwijl 𝑟 gelijk blijft.

𝑀 wordt

5,972

0,0735

= 81,3 x zo klein, dus de gravitatie-energie wordt 81,3 x zo klein.

76

De gravitatie-energie is evenredig met de massa 𝑚 en de kinetische energie is ook evenredig met de massa 𝑚, dus zal de ontsnappingssnelheid 𝑣o niet afhangen van de grootte van de massa 𝑚 van het voorwerp.

77

[𝐺] = N ∙ m2 ∙ kg −2 en 1 N = 1 kg ∙ m ∙ s−2 

[𝑣o ] = [√

2𝐺∙𝑀 𝑅

]=√

N∙m2∙kg−2 ∙kg m

N∙m

= √ kg = √

kg∙m∙s−2∙m kg

m2

= √ s2 = m/s.

78 a

𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑉 dus als de dichtheid 𝜌 hetzelfde is en de massa 𝑚 tweemaal zo groot, dan is het volume 𝑉 ook tweemaal zo groot. Het volume van een bol is te berekenen met 4 3 𝑉 = 3 𝜋 ∙ 𝑟 3 dus voor een tweemaal zo groot volume moet de straal √2 = 1,26 x zo groot zijn.

b

𝑣o = √

2𝐺∙𝑀 𝑅

dus als de straal 𝑅 1,26 x zo groot is, dan is de ontsnappingssnelheid 𝑣o

√1,26 = 1,12 x zo klein. 79

De ontsnappingssnelheid 𝑣o is vijfmaal zo klein, dus is de kinetische energie 25 x zo klein, 1 want 𝐸k = 2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 . Er is dus niet vijfmaal maar vijfentwintigmaal zo weinig energie nodig om iets vanaf de maan weg te schieten.

80

𝐸g = −𝐺 ∙

𝑀∙𝑚 𝑅

= −6,674 ∙ 10−11 ∙

5,972∙1024 ∙1,0 6,371∙106

= −6,3 ∙ 107 J.

Uit figuur 38: 𝐸g = −6,2 ∙ 107 J dus dit is in overeenstemming met elkaar. 81 a

De geostationaire baan bevindt zich boven de evenaar, dus 𝑅aarde = 6,378 ∙ 106 m. 𝑀∙𝑚

𝐸g,aardopp = −𝐺 ∙ 𝑅 b

aarde

= −6,674 ∙ 10−11 ∙

5,972∙1024 ∙100 6,378∙106

= −6,25 ∙ 109 J.

𝑟 = 𝑅aarde + 36 ∙ 106 = 6,378 ∙ 106 + 36 ∙ 106 = 42,4 ∙ 106 m 

𝐸g,geos baan = −𝐺 ∙

𝑀∙𝑚 𝑟

= −6,674 ∙ 10−11 ∙

5,972∙1024 ∙100 42,4∙106

= −9,4 ∙ 108 J.

c

De benodigde arbeid om de satelliet in de geostationaire baan te brengen is minimaal 6,25 ∙ 109 − 0,940 ∙ 109 = 5,3 ∙ 109 J energie nodig.

a

Bij het wegvliegen van de aarde zal de (negatieve) gravitatie-energie afnemen, want het nulpunt van de gravitatie-energie ligt in het oneindige. Vergelijk de energetische situatie direct na het afwerpen (300 km boven het aardoppervlak) met die wanneer het ruimteschip de maan heeft bereikt. Op 300 km is 𝑟op 300 km = 𝑅aarde + 0,300 ∙ 106 = 6,371 ∙ 106 + 0,300 ∙ 106 = 6,671 ∙ 106 m.

82

b

De afstand aarde-maan is 𝑟aarde−maan = 384,4 ∙ 106 m.


CONCEPT

Pagina 12 van 18

𝐸k op 300 km + 𝐸g op 300 km = 𝐸g op de maan  1 2

∙ 𝑚 ∙ 𝑣2 − 𝐺 ∙ 𝑟

𝑀∙𝑚

op 300 km

= −𝐺 ∙ 𝑟

1

𝑣 = √2 ∙ 𝐺 ∙ 𝑀 ∙ (𝑟

op 300 km

𝑀∙𝑚

g op de maan

1

+𝑟

g op de maan



) 1

1

= √2 ∙ 6,674 ∙ 10−11 ∙ 5,972 ∙ 1024 ∙ (6,671∙106 + 384,4∙106 ) = 1,1 ∙ 104 m/s = 11 km/s. c

In de energievergelijking moet er dan aan de rechterkant de (negatieve) gravitatieenergie van de maan op de satelliet bij geteld worden:

𝐸k,300 km + 𝐸g,van

d

e

= 𝐸g,van aarde bij maan + 𝐸g,van maan bij maan .

aarde,300 km

Hierdoor wordt de benodigde kinetische energie kleiner, dus zal de snelheid kleiner zijn. Als de satelliet precies in het midden zit (bij E) zal de gravitatiekracht van de aarde groter zijn dan de gravitatiekracht van de maan, omdat de massa van de aarde groter is. Dichter naar de aarde toe neemt de gravitatiekracht van de aarde nog meer toe, dus B t/m E kunnen niet de plek zijn waar de gravitatiekracht van de aarde gelijk is aan de gravitatiekracht van de maan. 𝐹g,aarde→maan = 𝐹g,maan→aarde . Noem de afstand van de aarde tot satelliet 𝑟a en de afstand van de maan tot de satelliet 𝑟m . De massa van de aarde 𝑀a = 5,972 ∙ 1024 kg en de massa van de maan 𝑀m = 0,0735 ∙ 1024 kg.

𝐺∙

𝑚∙𝑀a 𝑟a

2

=𝐺∙

𝑚∙𝑀m 𝑟m

2



𝑟m 2 𝑟a

2

𝑀m

=

𝑀a

=

0,0735∙1024 5,972∙1024

𝑟

= 0,0123  𝑟m = 0,11  a

𝑟m = 0,11 ∙ 𝑟a dus plaats G is de juiste. 83 2𝐺∙𝑀

= 1,12 ∙ 104 m/s = 11,2 km/s.

𝑣o,aarde = √

b

𝑀 is 81 x zo klein  𝑣o is √81 = 9,0 x zo klein, 𝑟 is 3,7 x zo klein  𝑣o is √3,7 = 1,9

𝑅

=√

2∙6,674∙10−11 ∙5,972∙1024

a

6,371∙106

x zo groot dus is de ontsnappingssnelheid vanaf de maan is

𝑣o,maan = √ 11,2 2,38

c

2𝐺∙𝑀 𝑅

=√

2∙6,674∙10−11∙0,0735∙1024 1,738∙106

9,0 1,9

= 4,7 x zo klein.

= 2,38 ∙ 103 m⁄s = 2,38 km/s.

= 4,7 dus dat klopt. Binas: 𝑣o,aarde = 11,2 km/s en 𝑣o,maan = 2,38 km/s.

𝑣o = √

2𝐺∙𝑀 𝑅

=√

2∙6,674∙10−11 ∙1900∙1024 69,91∙106

= 6,02 ∙ 104 m/s = 60 km/s.

Binas: 𝑣o,Jupiter = 60 km/s. 84 a

𝑚 =𝜌∙𝑉 𝑉 =

𝑚 𝜌

= 3

4

𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟3  𝑟 = √ 3

85

106 ∙2∙1030 1019

3∙𝑉 4∙𝜋

3

=√

= 2 ∙ 1017 m3 .

3∙2∙1017 4∙𝜋

= 3,6 ∙ 105 m. 6,4∙106

b

𝑅aarde = 6,4 ∙ 106 m. De straal van het zwarte gat is

c

𝑀aarde = 6 ∙ 1024 kg. De massa van het zwarte gat is

d

𝑣o = √

2𝐺∙𝑀 𝑅

=√

2∙6,674∙10−11 ∙2∙1036 3,6∙105

3,6∙105 2∙1036 6∙1024

= 18 x zo klein. = 3 ∙ 1011 x zo groot.

= 3 ∙ 1010 m/s.

[W] Gravitatie-energie


CONCEPT

Pagina 13 van 18

10.5 AFSLUITING 86

Eigen antwoord.

87 a

Een eenparige cirkelbeweging is een cirkelbeweging met een constante snelheid.

b

𝑣=

c

d e f

g

h

i

j

k

l

2𝜋∙𝑟 𝑇

, hierin is 𝑣 de baansnelheid (in m/s), 𝑟 de baanstraal (in m) en 𝑇 de

omlooptijd (in s). Voor het uitvoeren van een eenparige cirkelbeweging is een nettokracht nodig die voortdurend naar het middelpunt van de cirkelbaan is gericht: de middelpuntzoekende kracht.

𝐹mpz =

𝑚∙𝑣 2 𝑟

, hierin is 𝐹mpz de middelpuntzoekende kracht (in N), 𝑚 de massa (in

kg) van het voorwerp, 𝑣 de snelheid (in m/s) en 𝑟 de baanstraal (in m). Hier werkt de gravitatiekracht als middelpuntzoekende kracht. De gravitatiekracht is een wisselwerking op afstand. Beide voorwerpen trekken elkaar aan. De gravitatiekrachten die twee voorwerpen op elkaar uitoefenen zijn even groot en tegengesteld gericht langs de verbindingslijn van de middelpunten (of zwaartepunten) van de voorwerpen.

𝐹g = 𝐺 ∙

𝑚∙𝑀 𝑟2

, hierin is 𝐹g de gravitatiekracht (in N), zijn 𝑚 en 𝑀 de massa’s (in kg)

van de twee (hemel)lichamen, en is 𝑟 de afstand (in m) tussen hun twee middelpunten (of zwaartepunten). De snelheid is in een ellipsbaan niet constant. De snelheid is het kleinst in het punt waar de planeet het verst van de zon verwijderd is. De snelheid is daar te klein voor een cirkelbaan op die afstand. De planeet valt vervolgens in de richting van de zon. De snelheid neemt toe doordat de gravitatiekracht niet loodrecht op de baan staat, maar schuin naar voren is gericht. De snelheid blijft toenemen naarmate de planeet dichter bij de zon komt. De snelheid is het grootst in het punt waar de planeet het dichtst bij de zon staat. De snelheid is daar te groot voor een cirkelbaan op die afstand. De planeet beweegt vervolgens weer van de zon af. De snelheid neemt nu af doordat de gravitatiekracht schuin naar achteren is gericht. De valversnelling 𝑔 aan het oppervlak van de planeet is evenredig met de massa 𝑀 en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de straal 𝑅 van de planeet. De formule voor het verband tussen deze grootheden is af te leiden uit de formule voor de gravitatiekracht door de zwaartekracht gelijk te stellen aan de gravitatiekracht. De baansnelheid 𝑣 van een planeet is omgekeerd evenredig met de wortel van de baanstraal 𝑟 en evenredig met de wortel van de massa 𝑀 van het hemellichaam waar het omheen draait. De formule voor het verband tussen deze grootheden is af te leiden door de middelpuntzoekende kracht gelijk te stellen aan de gravitatiekracht. De geostationaire baan van communicatiesatellieten is zodanig dat de satellieten vanaf de aarde gezien altijd op een vaste plaats boven het aardoppervlak staan. Dit is alleen mogelijk als de satelliet op 35 786 km boven zeeniveau boven de evenaar meedraait met de aarde. Alleen dan is de omlooptijd van de satelliet gelijk aan de tijd van één omwenteling van de aarde. De gravitatie-energie van een voorwerp op een bepaalde hoogte is gelijk aan de arbeid die de gravitatiekracht verricht tijdens het vallen van het voorwerp vanaf die hoogte.


CONCEPT

Pagina 14 van 18

m De gravitatie-energie van een voorwerp is met behulp van de oppervlaktemethode te bepalen uit het diagram van de gravitatiekracht als functie van de afstand tot het middelpunt van het hemellichaam. n

𝐸g = −𝐺 ∙

𝑀∙𝑚 𝑟

. Hierin is 𝐸g de gravitatie-energie, 𝐺 de gravitatieconstante

(6,674∙10 N∙m 2∙kg-2), 𝑀 de massa van het hemellichaam, 𝑚 de massa van het voorwerp en 𝑟 hun onderlinge afstand. Het afgesproken nulpunt van de gravitatieenergie is ‘in het oneindige’. De ontsnappingssnelheid van een voorwerp is die snelheid waarmee je het voorwerp weg moet schieten waarbij het voorwerp niet meer terug komt. De ontsnappingssnelheid vanaf het oppervlak van een planeet is evenredig met de wortel van de massa 𝑀 van de planeet en omgekeerd evenredig met de wortel van de straal 𝑟 van de planeet. De formule voor het verband tussen deze grootheden is af te leiden door de som van de kinetische energie en de gravitatie-energie gelijk aan nul te stellen. -11

o p

88

Oriëntatie: Zoek de straal van de maan op in Binas en bereken eerst de baanstraal van de ruimtecapsule en vervolgens de baansnelheid met 𝑣

=

2𝜋∙𝑟 𝑇

. Uit 𝐹mpz = 𝐹g volgt dat

𝑣 2 ∙ 𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑀. Hiermee is de massa 𝑀 van de maan te berekenen. Uitwerking De straal van de maan is 1,738∙106 m dus is de baanstraal: 𝑟 = 1,738 ∙ 106 + 0,112 ∙ 106 = 1,850 ∙ 106 m 

𝑣=

2𝜋∙1,850∙106

𝑀= 89

= 1,608 ∙ 103 m/s  120,5∙60 2 (1,608∙103 ) ∙1,850∙106 𝑣 2∙𝑟 =

𝐺

= 7,167 ∙ 1022 kg.

6,674∙10−11

Oriëntatie: De straal van de baan van de Spot-4 is te berekenen met de derde wet van Kepler: 𝑟3

𝑇2

𝐺∙𝑀

= 4𝜋2 . Deze wet staat in Binas (cirkelbaan van Kepler), maar is ook zelf af te leiden

door de gravitatiewet en de middelpuntzoekende kracht aan elkaar gelijk te stellen en voor 2𝜋∙𝑟 de snelheid de formule voor de baansnelheid 𝑣 = 𝑇 in te vullen. Zie opgave 48a. Uitwerking:

𝑇 = 1 ∙ 3600 + 39 ∙ 60 + 44 = 5984 s. 3

𝑟= √

𝐺∙𝑀∙𝑇2 4𝜋 2

3

=√

6,674∙10−11 ∙5,972∙1024 ∙59842 4𝜋 2

= 7,124 ∙ 106 m.

De hoogte van de satellietbaan boven het aardoppervlak is ℎ = 𝑟 − 𝑅aarde = 7,124 ∙ 106 − 6,371 ∙ 106 = 0,753 ∙ 106 m = 753 km. 90 a

b

Doordat het wiel ronddraait, oefent de vloer een kracht uit op de astronaut in de richting van het middelpunt. De derde wet van Newton zegt dat de astronaut op zijn beurt ook een kracht uitoefent op de vloer, naar buiten toe: dit is de 'kunstmatige zwaartekracht' die in de opgave wordt genoemd. De kunstmatige zwaartekracht is even groot maar tegengesteld aan de middelpuntzoekende kracht:


1 3

∙ 𝐹z =

𝑚∙𝑣 2 𝑟



1 3

∙𝑚∙𝑔 =

CONCEPT

𝑚∙𝑣 2 𝑟

Pagina 15 van 18



𝑔 3

=

𝑣2

𝑟 2𝜋∙𝑟

𝑣=

𝑇

𝑣

𝑇

=√ =

𝑔∙𝑟

3 2𝜋∙𝑟 𝑣

=√

=

9,81∙40

= 11,4 m/s.

3

2𝜋∙40 11,4

= 22 s.

91 a

Voor de baansnelheden geldt: 𝑣1

=

2𝜋∙𝑟1 𝑇

en 𝑣2

2𝜋∙𝑟2

=

𝑇

. De gravitatiekracht die

beide sterren op elkaar uitoefenen is te berekenen met 𝐹g b

De middelpuntzoekende krachten van beide sterren worden geleverd door de gravitatiekracht, dus 𝐹g = 𝐹mpz,1 = 𝐹mpz,2  de baansnelheid van beide sterren wordt dit:

𝑚1 ∙ 𝑟1 = 𝑚2 ∙ 𝑟2 . c d

Uit bovenstaande vergelijking volgt:

𝑟1 𝑟2

+1=

𝑚2

𝑟1+𝑟2

+1

𝑚1 (𝑟1 +𝑟2 )

𝑟2 = 𝑚1 ∙ (𝑚

𝑟2

𝑟1

𝑚1

∙(

𝑟1

=

𝑚2 ∙𝑣22

2𝜋∙𝑟1 𝑇

𝑟2 2

) =

. Met de formule voor

𝑚2 𝑟2

∙(

2𝜋∙𝑟2 2 𝑇

) 

𝑚

= 𝑚2 , dus als 𝑚2 groter is dan 𝑚1 , dan zal 𝑟1

𝑟2

1

𝑚1∙𝑚2 2 1 +𝑟2 )

𝑚 ∙𝑚2 2 1 2)

𝐺 ∙ (𝑟 1+𝑟

=

𝑚2 𝑟2

Invullen van: 𝑟2 𝑚 ∙𝑚2 2 1 2) 𝐺∙(𝑚1+𝑚2)

𝐺 ∙ (𝑟 1+𝑟

4𝜋 2 2𝜋∙𝑟

𝑣=

en 𝑟2

𝑇

=

(𝑟1 +𝑟2 )3 𝑇2

=

𝑟

2𝜋

=

=

=

𝑇

Uit 𝑚1 ∙ 𝑟1 =

𝑚2∙𝑣22 𝑟2

=

𝑇2 𝑣∙𝑇

. Met 𝑣2

=

𝑚 ∙𝑚

(𝑟 +𝑟2 )

= 𝑚1 ∙ (𝑚1

𝑚2∙4𝜋 2

 𝑚1 ∙ (𝑟1 + 𝑟2 ) = 𝑟2 ∙ (𝑚1 + 𝑚2 ) 

)  𝐺 ∙ (𝑟 1 2)2 = +𝑟 1 +𝑚2 )

1

2𝜋∙𝑟2

geeft dit:

𝑇 𝑚2 ∙4𝜋 2∙𝑟2

2

𝑇2

.

geeft:

(𝑟 +𝑟 )

𝐺

∙ 𝑚1 ∙ (𝑚1 +𝑚2 )  (𝑟 1

2 1 +𝑟2 )

2

4𝜋 2∙(𝑟1 +𝑟2 )  1 +𝑚2 )

= 𝑇2 (𝑚

.

dus 𝑟1

=

2𝜋 3,6∙103 ∙2,5∙109

2𝜋 𝐺∙(𝑚1+𝑚2 )

𝑚1 + 𝑚2 =

𝑚1

2𝜋∙𝑟2 2

𝑇2 (𝑟1 +𝑟2 )3

=

𝑣∙𝑇

∙(

𝑚2 +𝑚1

=

1 +𝑚2 )

𝐹g = 𝐹mpz,2  𝐺 ∙ (𝑟

f

𝑟1

𝑚1 ∙𝑣1 2

groter zijn dan 𝑟2 . Oriëntatie: Door bij bovenstaande vergelijking links en rechts er 1 bij op te tellen ontstaat een nieuwe uitdrukking voor 𝑟2 , die ingevuld kan worden in 𝐹g = 𝐹mpz,2 . Uitwerking:

e

𝑚 ∙𝑚2 2. 1 +𝑟2 )

= 𝐺 ∙ (𝑟 1

𝑣∙𝑇 2𝜋

=

4,8∙103 ∙2,5∙109 2𝜋 12

= 1,43 ∙ 10

= 1,91 ∙ 1012 = 1,9 ∙ 1012 m

= 1,4 ∙ 1012 m.



4𝜋 2 4𝜋 2∙(𝑟1+𝑟2)3 𝐺∙𝑇2

=

4𝜋 2∙(1,91∙1012 +1,43∙1012 )

3

= 3,53 ∙ 1030 kg.

6,674∙10−11 ∙(2,5∙109 )2 𝑟 1,91∙1012 𝑚2 ∙ 𝑟2 volgt dat 𝑚2 = 𝑚1 ∙ 1 = 𝑚2 ∙ 𝑟 1,43∙1012 2

= 1,34 ∙ 𝑚1 

𝑚1 + 𝑚2 = 𝑚1 + 1,34 ∙ 𝑚1 = 2,34 ∙ 𝑚1 dus 2,34 ∙ 𝑚1 = 3,53 ∙ 1030  𝑚1 = 1,5 ∙ 1030 kg en 𝑚2 = 1,34 ∙ 1,5 ∙ 1030 = 2,0 ∙ 1030 kg. 92 a

Voor de massa geldt: 𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑉 waarbij ρ de dichtheid is. Het volume van de planeet is evenredig met 𝑟 3 dus is 𝑉planeet = 1,83 ∙ 𝑉aarde = 5,8 ∙ 𝑉aarde . Als de dichtheid van de planeet gelijk is aan die van de aarde, dan is de massa dus 5,8 ∙ 𝑀aarde.


CONCEPT

Pagina 16 van 18

b

Aflezen uit figuur 46: 5 jaar duurt 242 – 143 = 99 uur, dus een jaar duurt 99⁄5 = 19,8 uur. Dat is 19,8⁄24 = 0,83 dagen. Dit komt overeen met waarde in de tabel.

c

De baanstraal is te berekenen met de derde wet van Kepler:

𝑟3

𝑇2

= 4

𝐺∙𝑀 4𝜋 2

(zie ook

opgave 89 en 48). De omlooptijd is 𝑇 = 0,83 dagen = 7,17 ∙ 10 s. 3

𝑟=√

𝐺∙𝑀∙𝑇2

2𝜋∙𝑟

4𝜋 2

6,674∙10−11 ∙1,9∙1030 ∙(7,17∙104 )2

2𝜋∙2,5∙109

4𝜋 2

= 2,5 ∙ 109 m.

= 2,2 ∙ 105 m/s.

d

𝑣=

e

De snelheid waarmee de ‘donkere vlek’ langs de ster beweegt is bij benadering gelijk aan de baansnelheid van de planeet. Dan geldt 𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡 , waarbij 𝑠 gelijk is aan de diameter 𝑑 van de ster en 𝑡 afgelezen kan worden uit figuur 47. 𝑡 = 183,5 − 182,4 = 1,1 h = 1,1 ∙ 3600 = 3,96 ∙ 103 s  1 𝑠 = 2,2 ∙ 105 ∙ 3,96 ∙ 103 = 8,7 ∙ 108 = 8,7 ∙ 105 km  𝑅ster = 2 𝑑 = 4,4 ∙ 108 m.

f

De lichtsterkte neemt af van 100% naar 99,35% op het moment dat de planeet zich voor de ster bevindt. De (frontale) oppervlakte van de planeet is dus 100% − 99,935% = 0,065% van de (frontale) oppervlakte van de ster. De oppervlakte is evenredig met het kwadraat van de straal, dus is 𝑅planeet 2 = 0,00065 ∙ 𝑅ster 2  𝑅planeet = 0,025 ∙ 𝑅ster = 0,025 ∙ 4,4 ∙ 108 = 1,1 ∙ 107 m.

𝑇

=

3

=√

7,17∙104

𝑅aarde = 6,371 ∙ 106 m dus 𝑅planeet =

1,1∙107

6,371∙106

∙ 𝑅aarde = 1,8 ∙ 𝑅aarde .

g

De kans is maar klein dat we de planeet precies voor de ster langs zien bewegen. De zichtlijn vanaf de aarde moet dan precies in het vlak van draaiing van de planeet liggen.

a

𝐹g = 𝐺 ∙

93

b

𝑟2

dus zou het verband tussen de gravitatiekracht 𝐹g en de afstand 𝑟

omgekeerd kwadratisch moeten zijn. De grafiek laat echter geen oorsprong zien, we zien nu relatief gezien maar een heel klein stukje van de grafiek en dan lijkt de gebogen lijn recht te zijn. De arbeid is gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek tussen 6,371 ∙ 106 m en 1 6,371 ∙ 106 + 342 ∙ 103 = 6,713 ∙ 106 km: 𝑊 = ∙ 𝐹g,gem ∙ ∆𝑟 = 1 2

c

𝑀∙𝑚

2

∙ (2,745 + 2,475) ∙ 106 ∙ (6,713 − 6,371) ∙ 106 = 8,93 ∙ 1011 J.

De gravitatie-energie van het ISS als deze op het aardoppervlak zou staan is: 𝐸g = −𝐺 ∙

𝑀∙𝑚 𝑅

= −6,674 ∙ 10−11 ∙

5,972∙1024∙2,80∙105 6,371∙106

= −1,752 ∙ 1013 J. Als het ISS in zijn

baan rond de aarde wordt gebracht komt daar de bij vraag b berekende arbeid bij, dus is de gravitatie-energie van het ISS in zijn baan rond de aarde: 𝐸g = −1,752 ∙ 1013 + d

0,0893 ∙ 1013 = −1,66 ∙ 1013 J. 𝑟 = 𝑅aarde + ℎ = 6,371 ∙ 106 + 342 ∙ 103 = 6,713 ∙ 106 m. 𝑀∙𝑚 5,972 ∙ 1024 ∙ 2,80 ∙ 105 𝐸g = −𝐺 ∙ = −6,674 ∙ 10−11 ∙ = −1,66 ∙ 1013 J 𝑅 6,713 ∙ 106

94 a

De straal van het neutron is 1,25∙10-15 m, dus het volume is 4 4 𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟 3 = 𝜋 ∙ (1,25 ∙ 10−15 )3 = 8,181 ∙ 10−45 m3. 3

3

De massa van een neutron is 1,675∙10

𝜌=

𝑚 𝑉

1,675∙10−27

17

= 8,181∙10−45 = 2,05 ∙ 10


-27

kg (Binas), dus de dichtheid is

kg/m3.

CONCEPT

Pagina 17 van 18

b

De massa van de pulsar is 1,4 x zo groot als de massa van de zon, dus 𝑚 = 1,4 ∙ 1,9884 ∙ 1030 = 2,784 ∙ 1030 kg. De dichtheid is 2,05 ∙ 1017 kg/m3 dus het volume is 𝑉 3

𝑟=√ c

3∙𝑉 4𝜋

𝑔pulsar = 𝐺 ∙ 8,48∙1011 9,81

d

3

=√

=

𝑚 𝜌

=

2,784∙1030 2,05∙1017

3∙1,366∙1013 4𝜋

𝑀 𝑅2

4

= 1,366 ∙ 1013 m3 . Uit 𝑉 = 3 𝜋 ∙ 𝑟 3 volgt

= 1,48 ∙ 104 m = 15 km. 2,784∙1030

= 6,674 ∙ 10−11 ∙ (1,48∙104 )2 = 8,48 ∙ 1011 m⁄s2 =

∙ 𝑔 = 8,6 ∙ 1010 ∙ 𝑔.

𝑣o,pulsar = √ 𝑣o,aarde = √

2∙𝐺∙𝑀

=√

𝑅

2∙𝐺∙𝑀

=√

𝑅 1,58∙108

2∙6,674∙10−11∙2,784∙1030 1,48∙104

2∙6,674∙10−11∙5,972∙1024 6,371∙106

= 1,58 ∙ 108 m/s en = 1,12 ∙ 104 m/s dus

𝑣o,pulsar = 1,12∙104 ∙ 𝑣o,aarde = 1,4 ∙ 104 ∙ 𝑣o,aarde . e

f

Als neutronen bolletjes zijn en deze dicht op elkaar gepakt zitten, zal er altijd nog wat ruimte tussen de neutronen zitten, dus zal de dichtheid van het pulsarmateriaal kleiner zijn dan de dichtheid van het neutron. Een kleinere dichtheid bij dezelfde massa betekent een groter volume, dus de straal van de pulsar zal in werkelijkheid groter dan 15 km zijn.


CONCEPT

Pagina 18 van 18

10 Zonnestelsel en heelal

Recommend Documents