10. Exponenciális rendszerek 1. Egy boltba exponenciális időközökkel átlagosan 4 percenként érkeznek a vevők. A két eladó, András és Béla, átlagosan 10 illetve 6 vevőt tud óránként kiszolgálni. Amennyiben egy vevő érkezésekor a rendszer üres, őt az esetek felében András, másik felében Béla szolgálja ki. a. Felrobban-e a rendszer? Az időnek mekkora hányadában dolgozik András és Béla? b. A bolt tulajdonosa összesen 3000 forint órabért fizet a két alkalmazottnak, melyet a kiszolgált vevők számának arányában osztanak el. Mennyit kap András és mennyit Béla? c. Tegyük fel, hogy a két eladó nem egy üzlethelységben, hanem a város két különböző pontján fogadja a vevőket. Felrobban-e a rendszer, ha a kuncsaftok 1/2 − 1/2 valószínűséggel választják a két üzlethelységet? Megoldás a. A vevők érkezési intenzitása λ = 15, a kiszolgálási intenzitások µA = 10 és µB = 6, legyen továbbá µ = µA + µB = 16. Jelölje 1A valamint 1B azt az állapotot, mikor egy vevő van a boltban, és őt András illetve Béla szolgálja ki. Az intenzitási diagramm: .1 λ A eKK s K s K s µB KK ysss µA 92 0U KKKλ/2 λ sss a KKK s s s % 1B n µA µB λ/2
λ
!
λ
3a
!
λ
µ
µ
. . .
4b µ
A rendszer nem robban fel, ugyanis nagy (n ≥ 3) rendszerméret esetén ez egy egyszerveres exponenciális sorbanállási modell, melyben a µ kiszolgálási intenzitás nagyobb, mint a λ érkezési intenzitás. Az intenzitási egyenletek: 0: 1A : 1B : 2: 3: 4: .. .
µA π1A + µB π1B µB π2 + (λ/2)π0 µA π2 + (λ/2)π0 µπ3 + λπ1A + λπ1B µπ4 + λπ2 µπ5 + λπ3
= (λ/2)π0 + (λ/2)π0 = λπ1A + µA π1A = λπ1B + µB π1B = λπ2 + µA π2 + µB π2 = λπ3 + µπ3 = λπ4 + µπ4 .. .
Legyen π1 = π1A + π1B ekkor az első három egyenletet összeadva µπ2 = λπ1 ,
amiből 1
π1 =
µ π2 . λ
A második és a harmadik egyenletből π1A -t illetve π1B -t kifejezve π1A =
µB π2 + (λ/2)π0 , λ + µA
π1B =
µA π2 + (λ/2)π0 . λ + µB
Ezeket az első egyenletbe helyettesítve és a π0 változót kifejezve π0 =
2µA µB (2λ + µA + µB ) π2 = T π2 = 0.533π2 . 2λ(λ + µA )(λ + µB ) − λµA (λ + µB ) − λµB (λ + µA )
A negyedik egyenlet rendezése és behelyettesítés után hµ λ λ i λ π3 = π2 + π2 − π1 = π2 . µ µ µ µ A 3 állapottól kezdve a rendszer egy egyszerveres sorbanállási modell, vagyis a szokásos módszerrel λ 2 λ 3 λ n−2 π4 = π 2 , π5 = π 2 , . . . , πn = π2 , n ≥ 2 . µ µ µ Tehát λ λ 2 µ + · · · π2 1 = π0 + π1 + π2 + π3 + π4 + · · · = T + + 1 + + λ µ µ µ 1 = T+ + π2 = 17.6π2 , amiből π2 = 0.057 . λ 1 − λ/µ Visszahelyettesítés után π0 = 0.03 , π1A = 0.023 , π1B = 0.038 , πn = 0.9375n−2 0.057 , n ≥ 2 . András az időnek πA = 1−(π0 +π1B ) = 0.932, Béla πB = 1−(π0 +π1A ) = 0.947 részében dolgozik. b. András egy órából πA időt dolgozik, vagyis átlagosan πA µA = 9.32 vevőt szolgál ki. Ez az érték Bélánál πB µB = 5.68. Természetesen 9.32 + 5.68 = 15 az óránként betérő vevők átlagos száma. A pénzt 9.32 : 5.68 arányban osztják el, tehát Andrásnak 1864, Bélának pedig 1136 forint jár. c. Mivel a vevők λ = 15 intenzitású Poisson folyamatot alkotnak, és az egyes vevők lényegében pénzfeldobással választanak a két üzlethelység között, az eredeti Poisson folyamat p = 1/2 valószínűség szerinti Bernoulli felbontását kapjuk, vagyis az egyes üzletekbe érkező vevők független Poisson folyamatokat alkotnak mindkét esetben λ0 = pλ = 7.5 intenzitással. Mivel a vevők a két üzletbe függetlenül érkeznek, és András és Béla kiszolgálási ideje sincs hatással egymásra, két teljesen független egyszerveres sorbanállási folyamatot kapunk. András µA = 10 kiszolgálási intenzitása nagyobb, mint a λ0 = 7.5 érkezési intenzitás, tehát ő bírni fogja a vevők rohamát. Ezzel szemben Béla rendszere felrobban, hiszen az ő kiszolgálási intentiztása csak µB = 6. 2
2. Egy ügyfélszolgálati irodában 2 ablak van, melyek 12 perc várható értékű exponenciális eloszlás szerint szolgálják ki az ügyfeleket. Az ügyfelek exponenciális időközökkel érkeznek, óránként átlagosan 6. Sajnos az ablakok olyan módon vannak kialakítva, hogy az A ablaktól csak akkor tud az ügyfél távozni, ha senki sem áll a B ablaknál, vagy esetleg éppen távozik valaki a B ablaktól. A B ablak forgalma nincs akadályozva. Az iroda mérete végtelen, és ha csak egy ügyfél van a rendszerben, őt az A ablakhoz hívják. Ábrázoljuk az intenzitási diagrammot. Óránként hány ügyfelet tud kiszolgálni a két ablak együttesen? Felrobban-e a rendszer? Megoldás Az ügyfelek λ = 6 intenzitással érkeznek, az egyes ablakok µ = 5 intenzitással intézik az ügyeket. A diagramm: λ
λ
0 ]o
µ/2
1 ]o µ/2
µ/2
λ
λ
2 ]o µ/2
µ/2
3 ^o µ/2
µ/2
λ
4o
µ/2
···
µ/2
3. Egy utazási irodában egy alkalmazott dolgozik. Ha érkezik egy érdeklődő, akkor 1 perc várható értékű exponenciális ideig tart, amíg az érdeklődő elmondja, hogy mit szeretne, és 4 várható értékű exponenciális ideig tart, amíg az alkalmazott elkészíti számára az ajánlatot. Az ajánlatkészítés után az érdeklődő távozik. (Az igény előadásához szükséges idő és az ajánlatkészítéshez szükséges idő egymástól függetlenek.) A potenciális érdeklődők 10 intenzitású Poisson folyamat szerint érkeznek. a. Ábrázoljuk a rendszer intenzitási diagrammját. b. Tegyük fel, hogy egy érdeklődő csak akkor tér be, ha nincs másik vevő az irodában. Óránként átlagosan hányan jönnek be? Megoldás a. Legyen λ = 10 az érdeklődők érkezési intenzitása, µA = 1 a vevők kérésének intenzitása, végük µB = 15 az ajánlat elkészítésének intenzitása. Jelölje nA és nB azt az állapotot, hogy a rendszerben n ≥ 1 ügyfél tartózkodik, és a kiszolgálás az első illetve a második fázisban tart. λ / 2A ]; λ / 3A ]; λ / 4A ]; λ / · · · 9 1A ]; s s ;; ; ;; ;; s ;; ;; µB ;;µB ;;µB µB sss ; µA ; 0 eKKK ;; µA ;;; µA ;;; µA ;;; KK ;; ; ; ; µB K λ / λ / λ / λ / ··· 1B 2B 3B 4B λ
4. Egy utcai cipőpucoló órákban számolva n = 2 és λ = 20 paraméteres Erlang eloszlású idő alatt teszi rendbe a kuncsaftok cipőjét. A cipőpucoló először 3
letisztítja, majd kifényesíti a cipőket. Mindkét munkafázis 3 perc várható értékű exponenciális ideig tart, így jön ki a teljes kiszolgálásra a fenti Erlang eloszlás. Tegyük fel, hogy óránként 15 potenciális kuncsaft érkezik, de egy vendég csak akkor fog megállni, ha a rendszer üres, vagy ha előtte csak egy ember van a rendszerben, akinek már fényesítik a cipőjét. Az időnek mekkora hányadában dolgozik a cipőtisztító? Óránként hány embert tud kiszolgálni? 5. Egy fodrászatban egy mester dolgozik, és óránként 3 vendég érkezik. Egy hajmosás átlagosan 5 percig, egy hajvágás 15 percig tart. (Férfi fodrászatról van szó.) A mester mindenkinek levágja a haját, de előtte mosást csak a vendégek negyede két. a. Ábrázoljuk meg a rendszer intenzitási diagrammját. Óránként átlagosan hány vendéget szólgál ki a mester? Felrobban-e a rendszer? b. Tegyük fel, hogy egy új vendég csak akkor tér be a fodrászatba, ha előtte nincsen várakozó, tehát legfeljebb egy vendég van a rendszerben. Óránként hány kuncsaftot szolgál ki a mester? Megoldás a. Legyen λ = 3 a vendégek érkezési intenzitása, µA = 12 és µ = 4 mosás illetve a hajvágás intenzitása. Jelölje továbbá nA és nB azt az állapotot, hogy a rendszerben n kuncsaft található, és a mester az első illetve a második munkafázist végzi. Az intenzitási diagramm: λ / 2A ]; λ / 3A ]; λ / 4A ]; λ / · · · 9 1A ]; s ;; µ ;; µ ;; µ ;; µ ss ;; 4B ;; 4B ;; 4B ;; 4B sss µ µ µ µ ;; ;; ;; A A A ;; A 0U KKK 3λ4 ;; ;; ;; ;; KKK ; % 1B e λ / 2B e λ / 3B e λ / 4B e λ / · · · µB λ 4
3µB 4
3µB 4
3µB 4
3µB 4
Egy vendég kiszolgálási idejének várható értéke 15 + 1/4 · 5 = 16.25 perc, ami kevesebb, mint a kuncsaftok 20 perces érkezési időköze. Tehát a rendszer stabil. 6. Tekintsünk egy női fodrászt, aki hajfestéssel foglalkozik. Egy festés átlagosan 15 percig tart, de a vendégnek attól függetlenül, hogy már hányat próbált ki, 25 százalék valószínűséggel nem tetszik a kapott szín, és új festést kér. Óránként 3 vendég érkezik. Ábrázoljuk az intenzitási diagrammot. Óránként átlagosan hány hölgyet szolgálnak ki? Felrobban-e a rendszer? Megoldás Legyen λ = 3 és µ = 4. µ/4
0a
λ 3µ/4
/1 a
µ/4 λ 3µ/4
µ/4
/2 a
λ 3µ/4
4
/3 a
µ/4 λ 3µ/4
/4 b
λ 3µ/4
/ ···
7. Egy tigris idejét alvással, vadászattal és evéssel tölti. Minden tevékenység időtartama exponenciális eloszlást követ, átlagosan 5 órát alszik, 2 órán át vadászik és 1 órán keresztül eszik. Az időnek mekkora arányában alszik, ha a. mindig betartja az alvás–vadászat–evés sorrendet? b. egy-egy táplálkozás után rendre 0.5 valószínűszínűséggel marad élelme, így a következő alkalommal nem kell elmennie vadászni? c. egy frissen elfogott zsákmányból 0.5 valószínűszínűséggel marad élelme, de ezt akkor a következő alkalommal mind megeszi? Megoldás Legyen µA = 1/5 az alvás, µV = 1/2 a vadászat, végül µE = 1 az evés intenzitása. Jelölje továbbá A, V és E azt az állapotot, hogy a vizsgált pillanatban a tigris alszik vadászik illetve eszik. a. Az intenzitási diagramm és az intenzitási egyenletek: A @o
@@ @@ µA @@
µE
V
µE π E = µA π A µA π A = µV π V µV π V = µE π E
?E ~~ ~ ~~µ ~~ V
Az első két egyenletből h µA µ A i 8 + 1 = πA + πV + πE = 1 + πA = πA , µV µE 5 vagyis a kérdéses időarány πA = 0.625. Az eredmény az időtartamok hosszának várható értékéből is kijött volna, hiszen 5/(5 + 2 + 1) = 0.625. 8. A ferihegyi repülőtérről 10 fős kisbusszokkal is be lehet jutni a városba. Az utasok átlagosan 3 percenként érkeznek, és egy járat akkor indul, mikor tele van a busz. Feltéve, hogy mindig van szabad busz, adjuk meg az indulásra váró utasok átlagos számát, illetve az átlagos várakozási időt.
5
