10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószínűség)

Tulajdonos: ………………………………………

MÁSODIK EPOCHAFÜZET

TARTALOM

I.

Sorozatok ........................................................................................... 4 I.1.

Sorozatok megadása, definíciója ................................................... 4

I.2.

A számtani sorozat ..................................................................... 10

I.2.1. A számtani sorozat első n elemének összege ....................................... 12 I.2.2. A számtani sorozat középtulajdonsága ................................................... 13 I.2.3. Gyakorló feladatok számtani sorozatra ................................................... 14 I.3.

A mértani sorozat ....................................................................... 16

I.3.1. Gyakorló feladatok mértani sorozatra ...................................................... 20 I.3.2. Vegyes feladatok sorozatokra ..................................................................... 20 II.

Statisztika .........................................................................................22 II.1.

Középértékek.............................................................................. 22

II.2.

A szóródás mutatói ..................................................................... 24

III.

Valószínűség-számítás ......................................................................27

IV.

Feladatgyűjtemény .............................................................................31

2

SOROZATOK, STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉG

Amit az epocha végére tudni kell: Fogalmak: sorozat, számtani sorozat, differencia, mértani sorozat, hányados, monoton és szigorúan monoton sorozatok, korlátosság, statisztika, gyakoriság, relatív gyakoriság, diagramok, módusz, medián, átlag, terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás, esemény, elemi esemény, összetett esemény, klasszikus valószínűségi mező, biztos esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény Összefüggések: sorozatokhoz kapcsolódó jelölések, számtani sorozat n-edik eleme és első n elemének összege, számtani közép, mértani sorozat n-edik eleme és első n elemének összege, mértani közép, statisztikai mutatók, középértékek számítása, a valószínűség kombinatorikus számítása Eljárások: sorozat elemeinek meghatározása képlettel és rekurzívan megadott sorozat esetén, elemek és összegek számítása számtani és mértani sorozat esetén, szöveges

feladatok,

kamatos

kamattal

kapcsolatos

feladatok

megoldása,

adathalmazból táblázat és grafikon készítése, statisztikai mutatók, középértékek értelmezése, szöveges feladatokban történő alkalmazása, összetett események valószínűségének kiszámítása kombinatorikus modell alapján

Az epocha értékelése: • 70% az epochazáró • A másik 30%-ot az epocha során feldolgozásra kerülő anyagrészekből írt résztesztek fogják adni. (15%-15%). • További 10 pontot ér az órai aktivitás illetve a házi feladatok elkészítése. A százalékos eredmények átváltása jegyre: 0%-39% 40%-54% 55%-69% 70%-84% 85%-100%

nullás (0) elégséges (2) közepes (3) jó (4) jeles (5)

3


I. Sorozatok I.1. Sorozatok megadása, definíciója Ezt az éneket a kottában zenei hangok „sorozatával” ábrázolták:

A dallam szempontjából meghatározó, hogy melyik hang áll az első, a második, a harmadik, ... a tízedik, és az utolsó helyen. A matematikusok a könnyebb leírás kedvéért néhány egyszerű jelölést vezettek be. A sorozatokhoz kapcsolódó jelölések: a1-gyel jelölik az „a” sorozat első elemét a2-vel jelölik az „a” sorozat második elemét Általánosítva: an-nel jelölik az „a” sorozat „n”-edik elemét. Általánosan elterjedt jelölések egy sorozat tagjaira: a1; a2; a3; … an-1; an; an+1 …;

vagy b1; b2; b3; … bn-1; bn; bn+1 …

1. Nevezd meg a fenti hangsorozat következő elemeit! a2 = ; a5 = ; a11 = ; a30 = ; 2. Megadtunk néhány számsorozatot, és mellettük néhány számot. Döntsd el, hogy a számok közül melyik szerepel az adott sorozatban és melyik nem! Amelyik előfordul, annál add meg azt is, hogy hányadik elem! a ) 2, 4, 6, 8, 10, … 2058; 4 ⋅ 10 23 ; 2,6 ⋅ 1015 ; 8 ⋅ 10 −9 ; b ) 1, 4, 7, 10, 13, …

364; 928; 347 629;

c ) 1, -1, 1, -1, 1, -1, …

0; 2; -2;

d ) * 2, 4, 8, 16, 32, …

1056; 296 344; 105 346 464;

e ) * 1, 4, 9, 16, 25, 36, …

625; 9 ⋅ 1012 ; 6 ⋅ 1013 ; 49 ⋅ 10 −4 ;

3. Add meg a fenti sorozatok megfelelő elemeit! a ) a10 = ; a15 = ; a18 =

4

;

a23 =

;

b ) a10 =

;

a15 =

;

a18 =

;

a23 =

;

c ) a10 =

;

a15 =

;

a18 =

;

a23 =

;

d ) a10 =

;

a15 =

;

a18 =

;

a23 =

;

e ) a10 =

;

a15 =

;

a18 =

;

a23 =

;


4. Folytasd az alábbi sorozatokat. Mi lehet a képzési szabály? Mi lehet ez alapján a sorozatok 20. tagja? Írd ezt le a tanult jelölés használatával! ( a 20 = ?) (Többféle megoldás is lehet.) a ) 10, 11, 13, 17, 25,… b ) 2, 4, 16, 37, 58,… c ) 1, 2, 4, 8, 7, 5, … 5. Az alábbi függvények értelmezési tartománya az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmaz. Készíts értéktáblázatot, és ábrázold a függvényeket! a ) a: x a 5 c ) c: x a 2 x + 1

b ) b: x a x + 3 d ) d: x a x − 3 − 1

e ) e: x a x 2 − 8 x + 12

f ) f: x a 2 x

6. Most képlettel adjuk meg a sorozat képzési szabályát. Írd fel a sorozat első 10 elemét! a ) a n = 2n + 3

b ) bn = n 2 −1

A sorozat fogalmának definíciója: Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Az n számhoz hozzárendelt elemet a sorozat n-edik tagjának mondjuk. A definícióból következik, hogy sorozaton általában végtelen sok tagot tartalmazó sorozatot értünk. Természetesen a véges sorozat fogalmára is adható hasonló jellegű definíció: A véges sorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya az első valahány pozitív egész szám. Megállapodunk abban, hogy – ha az ellenkezőjét nem mondjuk, – a sorozaton végtelen számsorozatot értünk.

5


Olvasd el, és gondold végig Pósa Lajosnak a sorozat definíciójával kapcsolatos gondolatait! „Az 1, 6, 11, 16, 21, 26, … sorozat idáig valami olyasfélét jelentett a számunkra, hogy az 1, a 6, a 11 stb. számokat elhelyeztük szépen egymás mellé egy végtelen hosszú, képzeletbeli vonal mentén. Pontosabban nem tudtuk volna elmagyarázni, hogy miről is van szó itt tulajdonképpen. A matematikában jó néhány fogalmat használunk, amelyet csak szemléltetni tudunk, de pontosan elmagyarázni, azaz egyszerűbb fogalmakra visszavezetni nem. A matematikusok egy része arra törekszik, hogy az ilyen fogalmak számát legalább csökkentse, mégpedig úgy, hogy ezek egyikétmásikát – akár kissé erőltetetten is, de – visszavezesse a többi el nem magyarázott fogalomra. Egy ilyen visszavezetéssel találkozunk most. Eszerint a fent említett 1, 6, 11, 16, … sorozatban ezentúl függvényt kellene látnunk, mégpedig azt a hozzárendelést, amely 1-hez 1-et, 2-höz 6-ot, 3-hoz 11-et stb. rendel:

Ez a függvény persze képlettel is megadható:

x a 5x − 4 , x ∈ N

vagy

f (x ) = 5x − 4 (x pozitív egész szám)

Ez a visszavezetés nem felel meg egészen az eredeti képünknek, hiszen a sorozatot nem hozzárendelésként képzeljük el, mégis látnunk kell, hogy az új fogalom tökéletesen helyettesíti a régit. Végül is mindegy, hogy azt mondjuk: „elemek egymás után, minden n-re van egy nedik elem”, vagy azt, hogy egy hozzárendelésről van szó, amely minden n pozitív egészhez ad egy valamilyen n-hez hozzárendelt elemet. (Persze az ilyen visszavezetés igen viszonylagos értékű, hiszen a hozzárendelés szó jelentését már nem magyaráztuk meg. Nem történne semmi tragédia, ha a sorozatot sem magyarázgatnánk, hanem használnánk a természetes elképezésünket.)” 7. Egy sorozatnak megadtuk az első elemét és az n+1-edik elemének a képzési szabályát az n-edik elem ismeretében. Add meg a sorozatok kérdéses elemeit! Vigyázz, az an kifejezésben csak az n szerepelhet paraméterként! a ) a1 = 4

és

a5 =

;

an =

;

b ) a1 = 5

és

an+1 = an+2

a6 =

;

an =

;

c ) a1 = 6

és

an+1 = an+n

a8 =

;

an =

;

an+1 = n⋅an

a9 =

;

an =

;

d ) a1 = 1 és

6

an+1 = 2an


A fenti feladatban a sorozatok rekurzív megadásával találkoztál. A rekurzív megadás azt jelenti, hogy adott a sorozat első eleme, és az a művelet, amellyel az n-edik elemből az (n+1)-edik elemet ki lehet számolni. Az így megadott sorozat 10. elemét a 9. elem segítségével lehet kiszámolni, amit viszont csak a 8. elem segítségével lehet megkapni… Vagyis az első elemből, a megadott szabály alkalmazásával, lépésenként lehet eljutni a sorozat bármely eleméhez. A rekurzívan megadott sorozatok némelyikét meg lehet adni olyan zárt képlet segítségével is, ahol az an-ben csak az n szerepel paraméterként. 8. Adj meg három tetszőleges sorozatot zárt képlettel és rekurzívan is! 9. Hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti egy pár, ha a nyulak két hónap alatt válnak ivaréretté, és ezután minden pár minden hónapban egy új párnak ad életet? (Segítség: Írd fel az egymást követő hónapokban a nyúlpárok számát!) Az előző feladatban az egymást követő hónapokban a nyúlpárok száma rekurzívan megadott sorozatot adhat: a1 = 1;

a2 = 1;

an+2 = an + an+1

Ez az úgynevezett Fibonacci-sorozat. Ennek első két tagja 1, majd a harmadiktól kezdve úgy kapjuk az elemeit, hogy az előző kettőt összeadjuk. Fibonacci (Leonardo Pisano, 1170-1240) olasz matematikus volt. 10. A következő feladatokban felsorolással, zárt képlettel, illetve függvény hozzárendelési utasítás segítségével adtuk meg a sorozatokat. Minden esetben a három közül az egyikkel. Pótold a hiányzó megadási módokat! a ) 1; 3; 5; 7; …

an =

f(x) =

b ) an = 3 n

xa

felsorolás:

c ) x a 5x + 1

felsorolás:

an =

és x ∈ N

11. Keresd meg azokat a függvényeket, amelyek az alábbi sorozatokat határozzák meg! 1 1 1 3 7 15 b ) *** 1; ; ; ; …. a ) 1; ; ; ; …. c ) -1; 2; -3; 4; -5; 6; … 2 3 4 2 4 8 1 1 1 1 3 4 5 d) − ; ; − ; ; …. e ) 2; ; ; ; …. f ) *** -2; 1; 6; 13; … 2 4 8 16 2 3 4 12. Válogasd ki az előző feladat sorozatai közül azokat, amelyek a ) szigorúan monoton növekvők

7


b ) szigorúan monoton csökkenők c ) minden eleme a [0; 1] intervallumba esik d ) minden eleme az [1; 2] intervallumba esik Figyelj! Definíciók következnek. I.

Az a1; a2; a3; … sorozatot a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ …≤ an ≤ an+1…

monoton

növekvőnek

mondjuk,

ha

II. Az a1; a2; a3; … sorozatot szigorúan monoton növekvőnek mondjuk, ha a1 < a2 < a3 < … < an < an+1… III. Egy sorozat felülről korlátos, ha megadható egy A szám, amelynél nagyobb eleme nincs a sorozatnak. Egy sorozat alulról korlátos, ha megadható egy B szám, amelynél kisebb eleme nincs a sorozatnak. Egy sorozat korlátos, ha alulról is, felülről is korlátos. 13. Írd fel a függvényként megadott sorozatok első öt elemét! (Vigyázz, a helyettesítési érték nem lehet akármilyen szám!) a ) f (x ) = 3 − 2 x

b ) f (x ) = 3 x 2 + 1

c ) f (x ) = x 3 + 2 x 2 + x + 1

d ) f (x ) = x + 1

e ) f (x ) = 2 x − 2

f ) f (x ) =

1 x

14. Ábrázold az előző feladat elemeit egy-egy derékszögű koordináta-rendszerben! Melyik lesz szigorúan monoton növekvő, és melyik lesz szigorúan monoton csökkenő sorozat? 15. * Jellemezd a következő sorozatokat korlátosság szempontjából! 1 2n

a ) an = 2n-1

b ) an =

e ) an = 1n

f ) an = (− 1)

c ) an = 3 ⋅ (− 2 ) n

n −1

g ) an = 4 + (− 3)

2n

 1 d ) an = 3 +  −   2 h ) an = 4 − (− 3)

n

2 n −1

16. *** Keresd meg az előző sorozatok közül a ) az alulról korlátos sorozatok legnagyobb alsó korlátját! b ) a felülről korlátos sorozatok legkisebb felső korlátját! 17. *** Keress olyan sorozatot, amely szigorúan monoton növekvő, és a ) alulról korlátos b) felülről korlátos 18. *** A 3; 7; 10 számokból hány a ) 3 tagú sorozat b ) 5 tagú sorozat c ) 10 tagú sorozat készíthető, ha egy szám többször is felhasználható, és nem kell mindegyik számnak szerepelnie?

8


19. *** Jellemezd a következő sorozatokat monotonitás szempontjából! 1 x a ) an = b ) f (x ) = és x ∈ N + 2n x +1 x2 −1 n 2 − 3n + 2 és x ∈ N + d ) an = c) xa x 2 − n2 f ) f (x ) = − x 2 + 1 és x ∈ N + e ) a n = (− 2 )n + (2 )n 20. Készíts a füzetedbe összefoglalót a sorozatokról gondolattérkép formájában! (A definíció, megadási módok és a tulajdonságok, valamint példák szerepeljenek rajta.)

9


I.2. A számtani sorozat 21. A Kerek család kicseréli régi bútorait. Új ruhásszekrényt szeretnének, de attól félnek, hogy a szobát a szekrény látványa látszólag még kisebbé teszi. A lakberendező azt ajánlja, hogy olyan szekrényt csináltassanak, amelynek tolóajtaja van, és ezt az ajtót kívül egybevágó négyzet alakú tükrökkel fedjék be úgy, hogy a kis tükörlapokat lécek határolják.

A mintából jól látható, hogy az első sorban az első négyzethez 4 db léc, és minden következőhöz 3 db léc szükséges, és minden további sorban az elsőhöz három, a következőkhöz 2 db léc kell. A szükséges lécek számát kell meghatározni. Rajzoljátok le, és számítsátok ki, hogy hány léc kell a) az első sorba, ha egy négyzetből, ha két négyzetből, ha három, illetve ha n négyzetből áll! b) a második sorba, ha egy négyzetből, ha két négyzetből, ha három, illetve ha n négyzetből áll! c) a harmadik sorba, ha egy négyzetből, ha két négyzetből, ha három, illetve ha n négyzetből áll! Írjátok le a kapott adatokat a jelölések használatával! Első sor:

a1 =

a2 =

a3 =

an =

Második sor

a1 =

a2 =

a3 =

an =

Harmadik sor

a1 =

a2 =

a3 =

an =

d) Soronként hány darab tükörlap lesz, ha a lécek 20 cm hosszúak, és a szekrény szélessége 2,2 méter? e) Hány sor fér el, ha a szekrény magassága 2,6 méter? f) Soronként hány lécre van szükség az első sorban? A továbbiakban? g) Összesen hány lécre van szükség?

10


Számtani sorozatnak nevezzük az olyan sorozatot, amelyben a második tagtól kezdve minden tagot úgy kapunk meg, hogy a sorozat előző tagjához egy – a sorozatra jellemző – számot hozzáadunk.

A második tagtól kezdve bármelyik tagból az előző tagot kivonva a különbség állandó. Egy számtani sorozatot leggyakrabban az első elemével (a1) és a szomszédos elemek különbségével adunk meg. Ezt a különbséget d-vel jelöljük, és differenciának mondjuk – ez a szó latinul különbséget jelent. 22. Egy számtani sorozat első eleme 5, differenciája 3. a) Határozd meg a negyedik elemét! b) Határozd meg a 10. elemét! Milyen módszerrel számoltál? c) Írd fel a sorozat első 8 elemét! d) Keress olyan elempárokat, melyek különbsége azonos! (Ne csak 3 legyen!) Mit tapasztalsz? e) Keress minél több olyan elempárt, melyeknek az összege 31! Mit tapasztalsz? f) Hogyan lehetne kiszámolni a 8 szám összegét a legegyszerűbben? g) Keress olyan elempárokat, melyek összege megegyezik az ötödik elem kétszeresével! Mit tapasztalsz? 23. Andris azt állítja, hogy a számtani sorozat bármely tagja a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő tagok számtani közepe. Igaz-e az állítás, nem szükséges-e valamilyen kiegészítés? 24. Egy számtani sorozat ötödik tagja 17, hetedik tagja 10. Mennyi az első tag, a differencia, az első nyolc tag összege? 25. * Egy derékszögű háromszög oldalai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög területe 150 cm2. Mekkorák a háromszög oldalai? 26. *** Tekintsük a háromjegyű páros számok összegét és a háromjegyű páratlan számok összegét! Melyik nagyobb és mennyivel? 27. *** Egy számtani sorozatban az első tag n, a differencia 4 és az első n tag összege 96. Mekkora az n? 28. Találd ki, és írd le a számtani sorozat n-edik elemének képletét! (Az első elem, a differencia és az n értéke szerepelhet a képletben.) 29. Számítsd ki a sorozat valamely elemét a megadott alapadatokból! a) a1=3, d=-1,5 esetén mennyi a7? b) a1=-2, d=0,5 esetén mennyi a5? 30. Számítsd ki a sorozat első elemét! a) a4=15, d=2 esetén mennyi a1?

b) a10=-3, d=1/2 esetén mennyi a1?

11


31. Számítsd ki a sorozat differenciáját! a) a4=15, a1=12 esetén mennyi a d?

b) a7=9, a13=7 esetén mennyi a d?

32. Hány egész számot írok le, ha a) az első 10, az utolsó 20?

b) és ha az első 24, az utolsó 35?

I.2.1. A számtani sorozat első n elemének összege Gaussról, a matematika egyik legnagyobb alakjáról mesélik a következő legendát. A falusi iskolában, ahova Gauss járt, a tanító egyszer – hogy kis nyugtot nyerjen a diákjaitól – azt a feladatot adta fel a diákoknak, hogy adják össze 1-től 100-ig a számokat. 1 + 2 + 3 + … + 100 A kis Gauss egy percen belül jelentkezett, hogy a végeredmény 5050. A tantó nagyon elcsodálkozott, mert valóban ez a helyes végeredmény, de ennyire gyors még Gauss se lehet. Megkérdezte hogyan jutott az eredményre, mire Gauss a következőt mondta el. Észrevette, hogy – ha az első és az utolsó számot adja össze, az 1 + 100 = 101. – Ha a másodikat, és az utolsó előttit, akkor az 2 + 99 = 101, vagyis ugyanannyi. – Ha a harmadikat, meg hátulról a harmadikat, akkor az 3 + 98 = 101. – … Világos, hogy ha így halad „előröl egyenként” illetve „hátulról egyenként”, akkor minden ilyen páros összeg 101 lesz. Már csak azt kell kitalálni, hány ilyen 101-gyel egyenlő összeg-pár van 1 és 100 között. Könnyű látni, hogy pont 50. Fele annyi, ahány számot összeadunk. Látható is, hogy az összeg-párok az 50 + 51 = 101 összegnél érnek össze. 1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100 Így a feladat kérdésére a válasz: 50·101 = 5050. A fenti módszert ezután „párosítós”-nak fogjuk nevezni. 33. Számítsd ki az összeget párosítós módszerrel! a) 5+15+25+35+45+55= b) 2+3+4+….11= c) a1=8, d=3, a12=? S12= ? (az első 12 elem összegét jelöljük így) A párosítós módszer csak akkor alkalmazható, ha az n páros, különben a középső elem pár nélkül marad. Ennek a problémának az áthidalására alkalmazhatjuk a „duplázós” módszert. Itt képzeletben az összeadandókat kétszer leírjuk egymás alá, de fordított sorrendben. A fenti példa esetén: 1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100 100 + 99 + 98 + … + 51 + 50 + … + 3 + 2 + 1

12


Az egymás alá kerülő számok összege itt is azonos lesz. Tehát a dupla összegünk 101 · 100 = 101 000. Az eredeti összeg ennek a fele, vagyis az előbb már kiszámolt 5050 lesz. 34. Számítsd ki az összeget duplázós módszerrel! c) a1=2007, a27=3333 , S27=? a) 5+15+25+35+45+55+65=? b) a1=3, d=2, S13=

d) a1=77, d=1, S44=?

35. Gaussnak azt a feladatot adta a tanára, hogy össze kell adnia a számokat 1-től 1000-ig. Mennyit kap eredményül? 36. Egy számtani sorozatban a7 és a9 összege 16. Mennyi lehet a8 értéke és miért? Próbálkozz, indokolj! 37. *** Add meg általánosan egy számtani sorozat első n elemének összegét (Sn), az első elem (a1), az n-edik elem (an) és n segítségével! 38. *** Most írd be az előzőleg kapott képletbe a sorozat n-edik elemére vonatkozó összefüggést! Hozd a legegyszerűbb alakra a formulát! 39. *** Egy számtani sorozat differenciája 2, első 20 elemének összege meg 480. Mennyi lehet az első elem? Használhatsz bármilyen módszert, de én a képletbehelyettesítést ajánlom! 40. Számítsd ki a sorozatok adatait! a) a 1 = 6 , d= – 3, a 8 = ? 3 b) a 1 = , d = 0,5 , a 10 = ? , mennyi az első 10 elem összege? 4 c) a 2 = −7 , d = 4 , a 1 = ? , mennyi az első 12 elem összege? I.2.2. A számtani sorozat középtulajdonsága 41. Írd föl magadnak egy tetszőleges számtani sorozat első hét elemét! a ) Mennyi az első és a hetedik elem átlaga (számtani közepe)? b ) Mennyi a harmadik és az ötödik elem átlaga? c ) Mennyi a második és a hatodik elem átlaga? Mit veszel észre? Tudnál valamilyen indoklást mondani erre? Próbáld megfogalmazni szavakkal, vagy a sorozatos jelölések használatával! 42. Egy számtani sorozat első eleme 2, differenciája 5. Sorold fel az első hét elemét! a ) Mennyi az első és harmadik elem átlaga? b ) Mennyi az első és ötödik elem átlaga? c ) Mennyi az első és hetedik elem átlaga? Figyeld meg a kapott értékeket, és fogalmazd meg a tapasztalatod! 43. Egy számtani sorozat harmadik tagja 10. Mennyi az első 5 tag összege? Írj példát ilyen sorozatra!

13


A számtani sorozatok összefüggései Alapadatok: – a számtani sorozat első eleme: a1 – n-edik eleme: an – az egymást követő elemek közötti különbség (differencia): d A sorozat n-edik elemét kiszámolhatjuk az első elem és a differencia segítségével. Mivel az elsőből az n-edikbe (n-1) lépéssel jutunk el, ezért ennyi alkalommal adtuk hozzá a differenciát. Ebből következik:

a n = a1 + (n − 1) ⋅ d

A fent leírt „duplázós” módszer miatt az első n elem összege:

Sn =

(a1 + a n ) ⋅ n 2

Beírva az n-edik elemre vonatkozó összefüggést, adódik az összegképlet másik formája:

Sn =

[2a1 + (n − 1) ⋅ d]⋅ n 2

Egy számtani sorozatban a második elemtől kezdve bármely elem kiszámolható a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő két elem számtani közepeként.

an =

a n −1 + a n +1 a n −2 + a n + 2 ... = 2 2

I.2.3. Gyakorló feladatok számtani sorozatra 1. Egészítsd ki a sorozatokról készített gondolattérképet, a számtani sorozattal, és összefüggéseivel! 2. Melyik számtani sorozat? (Minden esetben n ∈ Z + ) a) an = 3n − 8 b) bn = 3 + 2(n − 1) c) cn = −2,3 + 5,2(2n + 1,7 ) n 2n + 1 2n + 3 f) f n = (− 1) d) d n = e) en = 6 n +1 A számtani sorozatoknál add meg az első elemet és a differenciát! 3.

Melyik az a hat szám, amit a 7 és a 35 közé kéne iktatni, hogy ez az összesen nyolc szám egy számtani sorozat nyolc szomszédos eleme legyen?

4.

Egy számtani sorozat első két tagjának összege 8-cal kisebb, mint a következő két tag összege. Az első négy tagot összeadva 38-at kapunk. Számítsd ki a differenciát és az első elemet! (Segítség: Hányszor kell a differenciát hozzáadni az első két tag összegéhez, hogy megkapjuk a harmadik és negyedik tag összegét?)

5.

Egy számtani sorozat első három tagjának összege 30-cal kisebb, mint a következő három tag összege. Az első hat tag összege 60. Melyik ez a sorozat?

14


6.

Egy számtani sorozatban a1 + a7=16 és a3 + a4=11. Mekkora ennek a sorozatnak a differenciája meg az első eleme?

7.

Számítsd ki a kétjegyű páros számok összegét!

8.

Egy számtani sorozat első tagja 100, a hatodik tagja pedig egyenlő a differenciával. Határozd meg a második tagot!

9. Egy vállalat kezdetben 300 terméket gyárt, majd minden héten 5 darabbal többet az előző hetinél. a ) Ezt az ütemet tartva, mennyi idő múlva kétszereződik meg a termelés? b ) Összesen mennyi terméket gyártanak egy év alatt? (Számolj 52 héttel!) 10. A szomszéd templomban mindig annyiszor kongatnak, ahány óra van épp. Hány kongatást hallhatok egy nap alatt? 11. ***Az egyiptomi Rhind-papiruszon (Kr. e. 2000 körül) olvasható a következő feladat: Öt ember között 100 cipót úgy kell elosztanunk, hogy a második ugyanannyival kapjon többet az elsőnél, mint a harmadik a másodiknál, a negyedik a harmadiknál és az ötödik a negyediknél; továbbá a két kisebbik rész összege a három nagyobb rész összegének a hetede legyen. (Ez a legrégebbi írásos emlék, amelyik sorozat megoldására vezető feladatot tartalmaz.) Hogyan végezzük el az elosztást? 12. *** Két egymástól 119 km távolságra levő városból egy-egy kerékpáros indul egymással szembe. Az első kerékpáros az első órában 20 km utat tesz meg, és minden további órában 2 km-rel kevesebbet, mint az előzőben. A második kerékpáros, aki két órával később indul, mint az első az első órában 10 km utat tesz meg, és minden további órában 3 km-rel többet, mint az előzőben. Mikor találkozik a két kerékpáros? Milyen messze van a találkozás helye a két várostól? 13. Egy számtani sorozat hét egymást követő tagjának az összege 700. Meg lehet-e ebből állapítani, hogy a 100 szerepel-e a sorozat tagjai között? (Indokolj!) 14. Egy számtani sorozat negyedik tagja 15. Mennyi az első hét tag összege? Írj két konkrét példát is ilyen sorozatra, melyből az egyik csökkenő a másik pedig növekvő! 15. Mekkora a 2005-nél kisebb, hárommal osztva 2 maradékot adó pozitív egész számok összege? 16. Egy könyvszekrényben hét polc van. A legalsó polcon 51 könyv van, és minden további polcon 3-mal kevesebb, mint az alatta levőn. Hány könyv van ebben a könyvszekrényben? 17. Egy vetélkedőn 15 000 Ft jutalmat osztottak ki. Az első helyezett 3000 Ft-ot kapott, a továbbiak sorra 200 Ft-tal kevesebbet, mint az előttük lévő. Hány versenyzőt jutalmaztak?

15


18. Egy színházi nézőtéren, amely felülről nézve egy körgyűrűcikk, 24 sor van. Az első sorban 18 hely van, utána minden sorban 3-mal több. Minden sor 20 cm-rel magasabban van az előzőnél. a ) Hány férőhelyes a színház? b ) Mennyivel van magasabban az utolsó sor, mint az első? 19. *** Berci és Andris egy kis zsebpénzre tehetnek szert, ha vállalják a kiürült befőttes üvegek ki- és lemosását (címkétől való megszabadítását). A délutáni elfoglaltságuktól függően az első nap 40 üveget hoznak rendbe, a további napokon 10-zel többet, mint az előzőn. Hányadik napon kerül sorra az 500. üveg? 20. Egyforma golyókat helyezünk el az asztalon háromszög alakban: az első sorban 1, alatta, hozzáillesztve 2, majd a következő sorban 3 stb. a ) Hányadik sorba kerül a 30. golyó? b ) Hány golyóra van szükség ahhoz, hogy a határoló háromszög oldala 10 golyóból álljon?

I.3. A mértani sorozat Emlékeztető: A következő feladatokban százalékot kell számolnod. Törekedj a legegyszerűbb számítási módra: → Ha valaminek a 27%-át kell kiszámolni, akkor egy lépésben szorozzuk 0,27-dal. → Ha valaminek a 27%-kal megnövelt értékét kell kiszámolni, akkor ez összesen 127%-ot jelent, tehát szorozunk 1,27-dal. → Ha valaminek a 27%-kal csökkentett értékét kell kiszámolni, az 73%-ot jelent, vagyis szorozni kell 0,73-dal. 1. Melyik a nagyobb? a ) 25 000-nek a 20%-kal megnövelt értéke vagy 24 000-nek a 30%-kal megnövelt értéke? b ) 120 000-nek a 15%-kal csökkentett értéke vagy 80 000-nek 30%-kal megnövelt értéke? c ) A hűtőgépek értéke az évszakoktól függően változik. Nyáron bizonyos százalékkal emelkedik, télen csökken az ára. Az Eszkimó hűtőgép 78 000 Ft volt ősszel. Télen ezt 15%-kal csökkentették, majd tavasz végén a téli árat 22%-kal megemelték. Számítsd ki, hogy mennyibe került télen, illetve nyáron a hűtőgép! Hány százalékkal változott az ár összességében? 2. Bizsuék betesznek a bankba 100 000 Ft-ot évi 10%-os kamatra. a ) Egy év elteltével mennyi pénzük lenne, ha év közben nem vennének ki belőle? a1 = b ) Ezt az összeget még egy további évre a bankban hagyják ugyanolyan kamatra. Mennyi lesz a pénzük a második év végén? a 2 = c ) És a harmadik év elteltével? a 3 = d ) És négy év után? a 4 = 16


3. A „Holnap Zrt.” 5 000 000 Ft-ért autót vásárolt. A cég könyvelője minden év végén kiszámolja a gépkocsi értékét, mert az a használat miatt évente 20%-kal csökken. a ) Egy év elteltével mennyi lesz az értéke? b1 = b ) Mennyi lesz az értéke két év elteltével? b 2 = c ) És a harmadik év végén? b 3 = d ) És négy év után? b 4 = 4. Írd a táblázatba, hogy az előző két feladatban az egyes lépéseknél milyen műveletet végeztél el, és milyen eredményhez jutottál! 2. feladat: a vagyon 3. feladat: az autó értéke 1. lépés 2. lépés 3. lépés 4. lépés Mi volt a két feladatban a hasonlóság? Mértani sorozatnak nevezzük az olyan számsorozatot, amelyben a második tagtól kezdve minden tagot úgy kapunk meg, hogy a sorozat előző tagját egy – a sorozatra jellemző – számmal szorozzuk.

Így a szomszédos tagok hányadosa ugyanaz a szám. Jelölés: a 1 a sorozat első eleme, q (kvóciens vagy quotiens) a sorozatra jellemző állandó.(A quotiens szó latinul hányadost jelent. ) Például: A bankos példánál a 1 = 110000 , q = 1,1 Az autós feladatnál a 1 = 4000000 , q = 0,8 5. Lillának van egy titka. Mivel nem szeretné, hogy mindenki megtudja, ezért hosszas gondolkodás után csak két jó barátnőjének, Dodónak és Jankának árulja el. A lányok tudnak titkot tartani, ezért másnap csak két-két embernek árulják el, és soha többé senkinek. Ez utóbbi négy ember azonban következő nap ismét 2-2 új társának árulja el a titkot. a) Számítsd ki, hogy a 5. napon hány ember ismerkedik meg a titokkal, ha feltételezzük, hogy mindig olyanoknak adják tovább, akik még nem hallottak róla! (Első napnak azt tekintjük, amikor Dodó és Janka tudomást szerzett a titokról.) b) Lehet-e, hogy ezen a napon már az évfolyamon mindenki értesült a titokról, feltéve, hogy az információt mindig „házon belül” adták tovább?

17


6. Válogasd szét az alábbi sorozatokat aszerint, hogy számtani, mértani vagy egyik sem! A számtani sorozatoknál add meg a differenciát és a mértani sorozatoknál a hányadost! a) -2, 5, 12, 19 … b) 3, 12, 48, 192 … c) -1, 1, -1, 1 … 3 3 3 3 1 1 1 1 e) , , , … f) , , , … d) -2, 4, -8, 16 … 2 4 8 16 2 3 4 5 g) 3; 4,5; 6; 7,5… h) 1, 3, 7, 11 … 7. Adott egy számsorozat első két eleme: 2 és 6. Folytasd a sorozatot a megadott szabály szerint további három elemmel úgy, hogy a) legyen számtani sorozat! b) legyen mértani sorozat! c) egyik se legyen! d) Ábrázold mindhárom sorozatot külön koordinátarendszerben! 8. Adott a mértani sorozat első eleme és hányadosa. Számold ki a megadott elemet! 1 a) a1 = 4 , q = 3 , a5 = ? b) a1 = −3 , q = , a 6 = ? 2 9. Egy mértani sorozat első eleme 5 és a hányadosa 2. Írd fel a következő elemeket az első elem, a hányados és műveletek segítségével! a1 = a2 = a3 = a8 = an = Próbálj általánosítani, vagyis keresd meg a mértani sorozat n-edik elemére vonatkozó képletet! Ebben csak az első elem (a1) és a hányados (q) szerepeljen!

an= 10. *** Marcinak nagyon megtetszett egy vicc („Hogyan kell nyulat fogni? Utánozni kell a répa hangját!”), ezért szeretné népszerűsíteni. SMS-ben továbbküldi a viccet két ismerősének, és az üzenetben arra is felkéri őket, hogy ők is küldjék tovább két embernek az üzenetet. A második lépésben így már 4 üzenet megy tovább. Ha mindenki, aki megkapja az üzenetet, és továbbküldi két ismerősének, akkor 3. lépésben 8 üzenet indul útnak. Írd a téglalapokba a további lépésekben elküldött üzenetek számát!

Szorozd össze a vonallal összekötött elemeket, és írd a szorzatot a vonal fölé? Mit veszel észre? Most itt is szorozz, és gondolkodj!

Próbálj általánosítani! Fogalmazd meg a szabályszerűséget! Mi lehet az oka a felfedezett szabálynak? Bizonyítsd be! 18


A mértani sorozatok összefüggései Alapadatok: – a mértani sorozat első eleme: a1 – n-edik eleme: an – az egymást követő elemek hányadosa (quotiens): q A sorozat n-edik elemét kiszámolhatjuk az első elem és a hányados segítségével. Mivel az elsőből az n-edikbe (n-1) lépéssel jutunk el, ezért ennyi alkalommal szoroztuk meg q-val. Ebből következik:

a n = a1 ⋅ q n −1 A mértani sorozatban az első n elem összege:

Sn = a1 ⋅

q n −1 q −1

Egy mértani sorozatban a második elemtől kezdve bármely elem négyzete kiszámolható a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő két elem szorzataként.

(a n )2 = a n −1 ⋅ a n +1 = a n −2 ⋅ a n + 2 = ... Ezt az összefüggést pozitív tagú sorozatoknál átírhatjuk úgy, hogy az n-edik elem a két szimmetrikusan elhelyezkedő elem mértani közepe:

a n = a n −1 ⋅ a n +1 = a n − 2 ⋅ a n + 2 = ... 11. *** Olvasd el, és kövesd a logikáját a következő bizonyításnak, ami a mértani sorozat összegképletére vonatkozik! Egy mértani sorozat első eleme a1, hányadosa q. Bizonyítsuk be, hogy qn −1 (q ≠ 1) ! S n = a1 ⋅ q −1 Jelöljük a mértani sorozat első n tagjának összegét Sn-nel! S n = a1 + a2 + a3 + ... + an A fenti egyenlőségben a sorozat elemeit fejezzük ki az an = a1 ⋅ q n −1 képlettel: S n = a1 + a1 ⋅ q + a1 ⋅ q 2 + ... + a1 ⋅ q n−1

Szorozzuk be mindkét oldalt q -val:

S n ⋅ q = a1 ⋅ q + a1 ⋅ q + a1 ⋅ q + ... + a1 ⋅ q

n

2

S n ⋅ q − S n = a1 ⋅ q n − a1

3

A második egyenlőségből kivonva az elsőt:

(A köztes tagok kiestek!)

Emeljünk ki a bal oldalból Sn-et, a jobb oldalból pedig a1-et! S n ⋅ (q − 1) = a1 ⋅ (q n − 1) Mivel a feltétel szerint q ≠ 1 ezért oszthatunk (q - 1) - gyel: q n −1 S n = a1 ⋅ Ezzel a mértani sorozat összegképletét bizonyítottuk. q −1

19


I.3.1. Gyakorló feladatok mértani sorozatra 12. Egy mértani sorozat első eleme 3, a kvóciens 2. Számold ki a sorozat 5. elemét, és az első 5 elem összegét! 13. Egy mértani sorozat első eleme 6, harmadik eleme 24, mennyi a hányadosa? (Hány megoldás van?) 14. Egy mértani sorozat ötödik tagja 2, kilencedik tagja 32. Mekkora a hányadosa? 15. Egy mértani sorozat ötödik eleme 48, kvóciense 2. Mennyi az első eleme? Mennyi az első 11 elem összege? 16. Mivel egyenlők az an mértani sorozatban az alábbi kifejezések? a) a7 ⋅ a9 b) a3 ⋅ a5 c) a2 ⋅ a4 (Vigyázz, az előjelekre is gondolj!) 17. Egy mértani sorozat ötödik tagja 10. Mennyi az első kilenc tag szorzata? 18. Egy mértani sorozat harmadik tagja 12, hetedik tagja 192. Határozd meg a sorozat kezdőtagját és hányadosát! (Vigyázz, több megoldás van!) *** Add meg képlettel is a sorozatot! 19. Tóthék eladják használt autójukat, és a kapott pénzt - 1 200 000 Ft-ot - beteszik a bankba két évre lekötve, évi 9%-os kamatra. Mennyi pénzt vehetnek ki két év múlva? És négy év múlva? 20. Mekkora lehetet az éves kamat, ha 1 000 000 Ft-ot tettek be, és két év múlva 1 102 500 Ft-ot vettek ki? 21. A legenda szerint mintegy 2000 évvel azelőtt Perzsia uralkodóját rendkívül elbűvölte a sakkjáték szépsége. Maga elé idézte a játék feltalálóját, hogy személyesen jutalmazza meg találmányáért. A szerény bölcs azt kérte, hogy helyezzenek a tábla első négyzetére egy szem búzát, a másodikra két szemet, a harmadikra négyet, a negyedikre nyolcat és így tovább, s ezen búzaszemek összege legyen a jutalma. Hány búzaszemet jelent ez? (Valóban szerény volt?) Mennyi a súlya ekkora mennyiségű búzának kg-ban, ha 1000 szem búza átlagos tömege 40 gramm. I.3.2. Vegyes feladatok sorozatokra 22. Egy kezdő mérnök az első munkahelyén a következő fizetési ajánlatokat kapja: a) A kezdő fizetése havi 120 000 Ft, és ha elégedettek a munkájával, akkor ezt az összeget negyedévente 6 000 Ft-tal megemelik. b) A kezdő fizetése havi 120 000 Ft, és ha elégedettek a munkájával, akkor ezt az összeget negyedévente 5%-kal megemelik. A munkaszerződést 1 éves időtartamra kötik. Melyik ajánlatot válassza? 23. Pisti CD-állványa trapéz alakú. A legalsó sorban 20 db CD fér el. Minden további sorba 2-vel kevesebbet lehet rakni, mint amennyi az alatta levőben van. A CDtartó hatsoros. Hány CD van a legfelső sorban? Hány CD van összesen?

20


24. A tejtermékek árát az elmúlt két évben kétszer is emelték. Először 17%-kal, 17% másodszor 8%-kal. kal. Átlagosan hány százalékkal emelték évente az árat? 25. A Napsugár psugár bevásárlóközpont mélygarázsa 5 szintes. A második szinten 210 parkolóhely van, és felfelé haladva minden további szinten 30-cal 30 cal több. Hány autó fér el a legalsó és a legfelső szinten? Összesen hány autó kaphat helyet? 26.

*** Számold ki 23%-os os kamatláb mellett a) a három év múlva esedékes 100 000 Ft, diszkontált értékét!

b) öt év múlva esedékes 350 000 Ft

27. Melyik a századik pozitív páros szám? 28. Mennyi az első száz darab pozitív páros szám összege? 29. Donna Rosa három pizzériáját pi zériáját a fiai vezetik, Alberto, Gianni és Pietro. A forgalomról a következő adatokat tudja Donna Rosa: Albert 18 720 eurót forgalmazott, ami a tavalyi forgalmának 104%-a. 104% a. Gianni éve nem sikerült jól, 2%2% kall visszaesett a fogalma, így 16 660 euró volt, míg Pietro 21 525 eurós forgalma f 5%-os os növekedést jelent a tavalyhoz képest. Most azon gondolkodik Donna Rosa, hogy nőtt vagy csökkent a forgalma, és hány százalékkal? Számold ki! 30. Egytől kezdve egymás után leírjuk azokat a számokat, amelyek 3-mal 3 osztva egy maradékot adnak. c) Melyik szám áll a századik helyen a sorban? d) Hányadik helyen áll a 137? e) Hányadik helyen áll a 163? f) Mennyi lesz a 100 és 200 közötti ilyen számok összege? 31. Mekkora a területe a rajzon látható legnagyobb négyzetnek, ha a legkisebb négyzet területe 1 e2? 32. Mekkora összeget helyezzen el a 2 éves futamidejű, évi 12%-os os fix kamatos kamatozású takaréklevélbe az, aki a második év végén 500 000 Ft-ot Ft akar kapni? 33. Mennyit kell fizetni a kertésznek a kert felásásáért, ha az első óra munkadíja 4 000 Ft, és minden továbbié 200 Ft-tal Ft tal kevesebb. A munka 10 órán át tart. 34. Egy 10 soros mozi nézőterének első sorában 10 szék van. Minden további sorban kettővel több hely van. Hányan ülhetnek le a 10. sorba, és mekkora a mozi befogadóképessége? 35. Hány év alatt tt duplázódik meg 8%-os 8% kamatláb mellett 2 500 000 Ft? 36. Egy üzletet 5 nap múlva felszámolnak. A tulajdonos felméri az árukészlet értékét, mely 800 000 Ft. Annak érdekében, hogy megszabaduljon az összes árutól, naponta 20%-kal kal csökkenti az összes termék árát az előző napi árhoz képest. Mivel egyáltalán nem volt vevője az öt nap alatt, az új tulajdonos felajánlja, hogy az árukészletet a csökkentett áron megvásárolja. Mennyit kell fizetnie?

21


II. Statisztika Emlékeztető: A matematikai statisztika adatok gyűjtésével, rendszerezésével és elemzésével foglalkozik. A népszámlálás például egy ilyen statisztikai adatgyűjtés. A felmérés során kapott egy-egy adat előfordulásának számát gyakoriságnak nevezzük. (Például az AKG-ba járó 10.-es lányok száma, vagyis gyakorisága: 40) Ha a gyakoriságot elosztjuk az összes adat számával, akkor megkapjuk a relatív gyakoriságot. (Például a lányok relatív gyakorisága az évfolyamon: 40/85=0,47) Az adatok szemléletes megjelenítésére diagramot szoktak készíteni. A rajzos szemléltetés (grafikus ábrázolás) arra jó, hogy ránézésre eldönthessük az egyes adatfajtákhoz tartozó gyakoriságok arányát. Leolvashatjuk például, hogy miből van a legtöbb vagy a legkevesebb. Az leggyakrabban használt diagramfajták: oszlopdiagram, kördiagram, töröttvonaldiagram, sávdiagram. Az összegyűjtött adatokat szokták úgynevezett statisztikai mutatókkal jellemezni. Ezen belül vannak a középértékek és a szóródás mutatói. Középértékek: az átlag, a módusz és a medián. Definíció: Az adathalmaz legtöbbször előforduló elemét módusznak nevezzük. (Ha több olyan elem van, aminek gyakorisága megegyezik, és a legnagyobb, akkor az adathalmaz többmóduszú, ha minden adat azonos számban fordul elő, akkor nincs módusza.) Definíció: Az adathalmaz mediánja a nagyság szerint rendezett elemek közül a középső. (Ha páros elemszámú a minta, akkor a két középső átlagát kell venni.) Definíció: Az adatok átlagát – számtani közepét – úgy kapjuk meg, hogy összegüket elosztjuk a darabszámukkal.

II.1.

Középértékek

21. Artúr kistestvére 3900 grammal született tavaly. Egyéves koráig majdnem minden hónapban ugyanazon a napon feljegyezték a tömegét, az adatokat a következő táblázat tartalmazza: 12 1 2 3 4 5 Tömeg(g) 4510 5100 5620 6000 6710 7250 Hónap

6

7 8 8040 8320

9

10 11 8990 9240

a) Ábrázold az adatokat grafikonon! b) A grafikon alapján becsüljük meg a hiányzó júniusi és szeptemberi értékeket! c) Mikor volt éppen 6 kg a csecsemő? d) Becsüljük meg, mikor lépte át az 5 kg-ot, a 7 kg-ot? e) Jósoljuk meg, mikorra lesz 10 kg?

22


f) Mikorra duplázta meg a születési tömegét? g) Ha évente ugyanennyit gyarapodna, mekkora lenne a tömege 13 éves korára? 22. Lili iskola után előfizetéses menüt eszik ebédre, ami 450 Ft naponta. Eszti minden nap másutt eszik, ezen a héten hétfőn rántott sajtot evett rizzsel 520 Ft-ért, kedden rakott krumplit 410 Ft-ért, szerdán sült csirkét zöldborsóval 630 Ft-ért, csütörtökön pirított májat tökfőzelékkel 430 Ft-ért, pénteken tejbegrízt a tejivóban 260 Ft-ért. Ki költött többet a héten az ebédjére? Átlagosan mennyit költött Lili egy ebédre? 23. Gazsi év végén összeszámolta, hogy hány könyvet olvasott abban az évben, és megállapította, hogy havonta átlagosan 3 könyvet olvasott el. a ) Hány könyvet olvasott összesen abban az évben? b ) Volt-e olyan hónap, amikor egy könyvet sem olvasott? c ) Mennyivel kellett volna több könyvet olvasnia abban az évben, hogy a havi átlaga felmenjen 4-re? d ) Mennyi lehetett a legtöbb könyv, amit egy hónapban olvasott, ha minden hónapban elolvasott legalább egy könyvet? (Tegyük fel, hogy hónap végére mindig elolvasta azokat a könyveket, amelyekbe abban a hónapban belekezdett.) 24. Egy öttagú család átlagéletkora most 20 év. a ) Hány évesek az ikrek, ha az apa 38, az anya 36 éves, a legkisebb gyerek pedig 4 éves? b ) Mennyi lesz a család átlagéletkora 5 év múlva? c ) Mennyi volt a család átlagéletkora 5 évvel ezelőtt? 25. Az iskolai kosárlabda bajnokságban Ádám csapata 7 meccset játszik. Az első hat meccsen Ádám 2; 10; 16; 12; 18; 14 pontot ért el. Hány pontot kell dobnia az utolsó meccsen, hogy elérje a tavalyi 14 pontos meccsenkénti átlagát? 26. Tomi hiányzott a matematika dolgozat írásakor, így nélküle az osztályátlag 68 pont volt. Tomi 92 pontos dolgozatával az osztályátlag felmegy 69-re. Hányan vannak az osztályban Tomival együtt? 27. Alex rendezte a könyvespolcát, ezért megmérte a könyvei vastagságát. Az egyik polcon levő könyvekre a következő eredményeket kapta milliméterben: 24; 21; 14; 19; 17; 18; 16; 14; 22; 23; 16; 62; 59. Az utolsó két szám az angol szótárainak vastagsága. Számold ki a könyvek vastagságának átlagát! Írd fel a könyvek vastagságát nagyság szerint növekvő sorba, és keresd meg a középsőt! 28. Az egy lakosra jutó zöldterület nagysága m2-ben magyarországi megyeszékhelyeken: Budapest: 11; Békéscsaba: 33; Debrecen: 18; Eger: 35; Győr: 63; Kaposvár: 24; Kecskemét: 15; Miskolc: 41; Nyíregyháza: 51; Pécs: 78; Salgótarján: 22; Szeged: 25; 23


Székesfehérvár: 44; Szekszárd: 21; Szolnok: 118; Szombathely: 19; Tatabánya: 43; Veszprém: 14; Zalaegerszeg: 73. Mennyi az adatok mediánja? 29. Blanki virághagymákat ültetett a kertjébe. Hóvirágot 55-öt, krókuszt 18-at, jácintot 11-et, tulipánt 18-at, nárciszt 17-et, gyöngyikét 13-at. Ráhel ugyanilyen hagymákat ültetett. Kiderült, hogy a két lány által ültetett virághagymák számának módusza, mediánja és számtani közepe is ugyanannyi. Különbözhetnek-e Ráhel virághagymáinak számai Blanki virághagymáinak számától? Keressünk példákat! 30. Nyolc szám átlaga 10, mediánja 12, módusza pedig 6 és 12. A legkisebb szám 2, a legnagyobb 15. Mi lehet a nyolc szám?

II.2.

A szóródás mutatói

31. A megadott osztályzatok alapján számítsuk ki az alábbi három tanuló jegyeinek átlagát, móduszát és mediánját: 1. tanuló

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2. tanuló

2

2

2

3

3

3

3

3

4

4

4

3. tanuló

1

1

2

2

3

3

3

4

4

5

5

Mindegyik esetben mindhárom középérték 3, pedig az adatsokaságok eltértek egymástól. A sokaságok jellemzésére nem elegendő középértékeket használni, ezért bevezetjük a szóródást mérő számokat. A legegyszerűbb mérőszám, amivel a minta szórtságát jellemezhetjük a terjedelem. Definíció: A számsokaság legnagyobb és legkisebb számának különbségét terjedelemnek nevezzük. A terjedelmet egyszerűen meg tudjuk határozni, ezért gyakran használjuk. Hátránya, hogy egyetlen szélsőséges adat már nagyon befolyásolja ezt a mérőszámot. (Az ilyen szélsőséges adatokat például egyes pontozásos sportágakban úgy küszöbölik ki, hogy nem számítják a legkisebb és a legnagyobb pontszámot.) Az 5. példa esetén az adatsorokhoz a következő terjedelmek tartoznak: az 1. tanulóhoz 0, a 2. tanulóhoz 2, a 3. tanulóhoz 4.

24


A statisztikában használatos szóródás mérőszám lehet az átlagos abszolút eltérés. Definíció: Az x1;x2;...;xn számsokaság egy tetszőleges x számtól vett átlagos abszolút eltérésének nevezzük a következőt: Sn (x ) =

x 1 − x + x 2 − x + ... + x n − x n

(Legtöbbször az átlagtól való abszolút eltérést szokták számolni ilyen módon. Ez azt jelenti, hogy megadjuk az egyes adatok átlagtól való eltérését (pozitív előjellel), és ezeknek az eltéréseknek kiszámítjuk az átlagát.) 32. A mintapéldában szereplő három tanuló osztályzatainak határozzuk meg az átlagtól és a mediántól vett átlagos abszolút eltérését! Láttuk, hogy a középértékek megegyeztek a három sokaság esetén, de az átlagos abszolút eltérések (0; 0,55; 1,09) már mutatják az adatsorok közötti különbözőséget. Az átlagos abszolút eltéréshez hasonlóan számolhatjuk az átlagos négyzetes eltérést. Ennek lényege, hogy nem az eltéréséket, hanem azoknak a négyzetét átlagoljuk. Definíció: Az x1;x2;...;xn számsokaság egy tetszőleges x számtól vett átlagos négyzetes eltérésének nevezzük a következőt: D

2 n

2 2 2 ( x 1 − x ) + (x 2 − x ) + ... + (x n − x ) (x ) =

n

Ha x pontosan a sokaság átlaga, akkor ezt a számot a sokaság szórásnégyzetének nevezzük, a belőle vont négyzetgyököt pedig szórásnak. Megmutatható, hogy D2n(x) akkor minimális, ha x a sokaság átlaga. Ezeket a mérőszámokat már néhány szám esetén is hosszadalmas kiszámítani. A zsebszámológépek általában rendelkeznek a statisztikai funkciókkal, ezek a lehetőségek gyorsítják a munkánkat. 33. Határozzuk meg a mintapéldában szereplő három tanuló osztályzatainak a szórását! (Az 1. tanulónál 0, a 2. tanulónál 0,74, a 3. tanulónál pedig 1,35.) 34. Az előző héten három tanuló jegyeit figyeltük meg. Andrásé: 3, 5, 4; Bálinté: 3, 5, 3, 4, 4; Csabáé: 2, 1, 3, 5, 4. Számítsuk ki a szórást mind a három adatsor esetén.

25


35. Az alábbi táblázat magyarországi városokban mért csapadék mennyiségét mennyis mutatja havi bontásban.

a ) Add meg az egyes városokban mért csapadékértékek terjedelmét! b ) Számítsd ki a havi csapadékmennyiségek átlagát, és az átlagtól való abszolút eltérését Kecskeméten, és értelmezd az eredményt! c ) Számítsd ki a csapadékmennyiség átlagát és szórását Pécsett! 36. Egy profi golfjátékosnak két ütőkészlete van, és nem tudja eldönteni, hogy melyikkel ér el jobb eredményeket. A Mizuno készletet használva az utolsó hat játék eredménye: 68, 71, 72, 68, 67, 74. A Lynx-szel Lynx szel játszva az eredményei: eredményei 70, 65, 74, 72, 75, 64. A számtani közép és a szórás segítségével döntsd el, hogy melyik készlet hozza az egyenletesebb teljesítményeket! 37. Egy autóakkumulátorokat gyártó vezető mérnöknek két gyártási eljárás közül kell választania. Egy-egy egy 8 elemű mintát vesz a különböző eljárással gyártott akkumulátorokból, és megvizsgálja élettartamukat. Az élettartamokat (hónapban megadva) a táblázat tartalmazza. Mi az egyes minták számtani közepe és szórása? Melyik eljárást ajánlanád a mérnöknek? A válaszod indokold!

38. Egy autógyártó cég az új műanyag-alumínium műanyag alumínium alapú modelljének fogyasztását vizsgálta. Különböző autópályákon végzett mérések során azt mérték, hogy egy gallon benzinnel hány mérföldet tett meg az autó. (Nézz utána, hogy egy gallon hány liter, és egy mérföld mérföld hány kilométer!) A mérési eredményeket a következő táblázat tartalmazza. Hány mérföldet tett meg átlagosan az autó egy gallon benzinnel? Mekkora a szórás? 42

37

40

38

39

42

37

36

37

39

38

35

38

37

21

38

40

40

20

27

22

22

26

40


III. Valószínűség-számítás A valószínűség szó egy esemény bekövetkezési hajlandóságát jelenti. Az emberiség története során a hazárdjátékok nyerési esélyének, a fogdások kimenetelének találgatása sok embert foglalkoztatott. Ma ez külön tudomány és üzlet. Gondolj csak a számtalan fogadási lehetőségre, amit a lottó, Tipp-mix, lóverseny és más szerencsejátékok jelentenek! A kockajátékot már az ókori római birodalomban is ismerték. Claudius, Augustus, Nero és Caligula is szenvedélyes kockajátékos volt. Később, az 1600-as években Chevaliar de Méré lovag a következő kérdéssel fordult Pascalhoz, a híres matematikushoz: ha egy kockával négyszer dobunk, annak nagyobb-e az esélye, hogy egyszer sem dobunk hatost, vagy annak, hogy legalább egyszer 6-ost dobunk? Pascal pontosan kiszámította a kérdezett valószínűséget, és matematikus barátjával, Fermat-val még számos valószínűség-számítási törvényt állított fel. A valószínűség számítás megszületését Pascalnak a párizsi Akadémia számára 1654ben írt levelétől számítjuk. A korábbi matekepochákon számos valószínűségi kísérletet végeztünk. Most emlékezzünk az egyik legegyszerűbbre: egy érmét sokszor feldobunk, és feljegyezzük, hogy hány fejet és hány írást kaptunk. Tapasztaltuk, hogy ha elég sok kísérletet végzünk, akkor a fejek és az írások relatív gyakorisága is 0,5 körül mozog. Azt a számot nevezzük a matematikában egy esemény valószínűségének, amely körül a bekövetkezésének a relatív gyakorisága ingadozik. A valószínűséget P-vel jelöljük, és zárójelbe írjuk mellé az eseményt, aminek a valószínűségéről szó van. Fenti példánkban P(írást dobunk) = 0,5. Talán emlékeztek a „gyufás skatulya” kísérletre is. Az asztal szélére helyezve – alulról – pöcköltük a gyufásdobozt, és azt jegyeztük fel, hogy melyik lapjára esik. Ennél a kísérletnél azt tapasztaltuk, hogy a különböző oldalakra való landolás valószínűsége nem egyenlő. Most képzeletben írjunk számokat a gyufásdoboz oldalaira 1-től 6-ig úgy, hogy a két legkisebb lapra kerüljön az 1 és a 2, a közepes méretűre a 3 és a 4, a legnagyobb lapokra pedig az 5-6 számok! Néhány fogalom következik: Egy kíséret lehetséges kimeneteleit eseményeknek nevezzük. Az előbb említett gyufásdobozos kísérlet lehetséges kimenetelei: az 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6-tal jelölt lapjára esik. Egy esemény például, hogy a doboz a legkisebb lapjára esik. Ezt az eseményt tudjuk még két további eseményre bontani (1-es vagy 2-es lapjára esik). Az elemi események olyan kimenetelek, amelyek tovább már nem bonthatók.

27


A pöckölés során az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös, 6-os dobást elemi eseményeknek hívjuk. Pénzérme feldobásánál elemi események: a fej vagy az írás bekövetkezése. Az, hogy dobások egy sorozatában egymás után ötször fejet dobunk, összetett esemény. Most vizsgáljunk olyan valószínűségi kísérleteket, ahol az elemi események bekövetkezésének a valószínűsége azonos! Ilyen például a kockadobás. Itt hat elemi esemény kövezhet be, egyenként egyhatod valószínűséggel. Ezek az események: 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös és 6-os dobás. Ez a hat esemény együtt teljes eseményteret alkot. Ez az jelenti, hogy a kísérlet elvégzésekor ezek közül pontosan egy következik be. Ugyanennél a kísérletnél teljes eseményteret alkot a következő három (nem elemi) esemény is: A: a dobott szám 5-tel osztható, B: a dobott szám páros, C: a dobott szám 1 vagy 3. Ez a három esemény is rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy közülük pontosan egy következik be a kísérlet során. Itt azonban az egyes események valószínűsége eltér egymástól. Az olyan teljes eseményteret, melyben az egyes események valószínűsége egyenlő klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük. Ebben az esetben egy esemény valószínűségét a következő képlettel számoljuk:

P=

a kedvező esetelek száma összes lehetséges eset száma

1. Egyszerre dobunk fel három érmét. Mi annak a valószínűsége, hogy mindegyiknek ugyanaz az oldala kerül felülre? 2. Két teljesen egyforma, külsőre megkülönböztethetetlen kockát feldobunk, a dobott számok összegét tekintjük. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7? 3. Két dobókockával dobunk, a dobott számok összegét tekintjük. Melyik esemény valószínűbb? A esemény: a dobott számok összege legalább 10; B esemény: a dobott számok összege legfeljebb 4. 4. Melyiket vállalnád inkább? – Kihúzok egy ászt a 32 lapos magyarkártya csomagból – Dobok egymás után 2 hatost a dobókockával – Dobok egymás után 3 írást egy pénzérmével – Kitalálom egy illető telefonszámának utolsó számjegyét

28


5. Egy piros és egy fekete dobókockával dobva tudjuk, hogy a dobott számok összege 5. Bontsd ezt föl elemi eseményekre! 6. Egy piros és egy fekete dobókockával dobva tudjuk, hogy a dobott számok összege 4. Bontsd föl az összetett eseményt azonos valószínűségű elemi eseményekre! Mekkora lesz így az egyes események valószínűsége? 7. Egy dobókockával dobunk. A kísérlet lehetséges kimeneteleit a következőeseményekre bontottuk fel: A1: Négyest vagy hatost dobunk. A2: Prímszámot dobunk. A3: a ) Add meg a harmadik eseményt úgy, hogy a három esemény együtt teljes eseményteret alkosson! b ) Melyik eseménynek mekkora lesz a valószínűsége? 8. Mi a valószínűsége annak, hogy magyar kártyából egy lapot húzva az a ) a tök alsó; b ) valamelyik ász; c ) valamelyik római számmal jelzett kártya lesz? 9. A kísérlet az, hogy a magyar kártyából egy lapot húzunk. Adj meg olyan eseményt, amelynek a valószínűsége a)

1 ; 4

b)

1 ; 8

c)

1 ; 2

d)

3 4

10. Két szabályos dobókockát egymástól függetlenül feldobva mi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok mindegyike prímszám lesz? 11. Három dobókockával dobva a dobott számokat összeadjuk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább 17 lesz az összeg? 12. Van három számkártyánk a 0; 2; 8 számjegyekkel. Keverjük össze, majd helyezzük le mind a hármat egymás mellé. a ) Mi a valószínűsége annak, hogy az így keletkezett szám páros lesz? b ) Mi a valószínűsége annak, hogy páratlan számot rakunk ki? c ) Mi a valószínűsége annak, hogy kétjegyű számot raktunk ki? d ) Mi a valószínűsége annak, hogy a keletkezett szám háromjegyű lesz? A biztos esemény valószínűsége 1. A lehetetlen esemény valószínűsége 0. Ha két esemény bekövetkezése kizárja egymást, de a két esemény közül az egyik mindig bekövetkezik, akkor ez a két esemény egymás komplementere. Komplementer események valószínűségének összege 1.

29


13. Válaszd ki az alábbi események közül azokat, amelyek lehetetlen események, és azokat, amelyek biztos események! A: Idén júliusban valamelyik nap Magyarországon esni fog az eső. B: Egy pénzérmével 10-szer egymás után fejet dobunk. C: Egy szabályos dobókockával 7-tel osztható számot dobunk. D: Ha 30-szor feldobunk egy érmét, legalább 1 fej is lesz a dobások között. E: Ha két egész számot összeszorzunk, az eredmény egész szám lesz. F: Ha két egész számot elosztunk egymással, az eredmény racionális lesz. 14. Egy kockával dobunk, határozzuk meg az alábbi események komplementer eseményét! C: A dobott szám páros. D: A dobott szám legalább 5. E: A dobott szám kisebb, mint 3. F: A dobott szám prímszám. 15. Két kockával dobunk egy alkalommal. Add meg a lehetséges kimenetelekhez a komplementer eseményt! a ) Mindkét kockával egyest dobunk. b ) Legalább az egyik kockával egyest dobunk. c ) A dobott számok összege 10. d ) A dobott számok összege legalább 10. e ) A dobott számok összege legfeljebb 11. 16. Van 5 számkártyánk: 1; 2; 5; 6; 8. Letesszük ezeket egymás mellé. A keletkező számra vonatkoznak a kérdések. Fogalmazd meg az események komplementer eseményét! Számítsd ki mindkét esemény valószínűségét! a ) A: 5-tel osztható számot kapunk. b ) B: 3-mal osztható számot kapunk. c ) C: A keletkezett ötjegyű számban a számjegyek nem növekvő sorrendben követik egymást. 17. Zárás előtt egy cukrászdában már csak háromféle rétes maradt: meggyes, túrós, almás. Bemegy egy vevő, aki négy szelet rétest szeretne vásárolni. Az eladóra bízza, hogy milyen rétest ad neki. a ) Milyen kimenetelek lehetségesek? b ) Mely események lehetségesek az alábbiak közül, melyik biztos és melyik lehetetlen? A: Mindegyik fajtából kapott. B: Valamelyik fajtából legalább két szeletet kapott. C: Mindegyik rétes, amit kapott, különbözőféle. D: Két szelet meggyes rétest kapott. 30


IV. Feladatgyűjtemény Sorozatok f1.

Most képlettel adjuk meg a sorozat képzési szabályát. Írd fel a sorozat első 10 elemét! 4 b ) bn = 1− n a ) a n = −n + 4 5

f2.

Igaz-e, hogy az n (n + 1) a ) an = sorozat hetedik tagja a 7 = 29 ? 2 n 2 + 2n b ) bn = sorozat minden tagja egész szám? n n − 10 c ) cn = sorozat minden tagja törtszám? n +1 3−n d ) dn = sorozat minden tagja pozitív szám? n+2 2n 2 − 18 e ) en = sorozatnak tagja az 1 908 781? n +3

f3.

Egy sorozat képzési szabálya: a n = (n − 2)2 . a ) Add meg a sorozat első öt elemét, valamint a századik elemét is! b ) Készítsd el a sorozathoz tartozó grafikont is! c ) Hányadik eleme a sorozatnak a 400? d ) Tagja-e a sorozatnak az 1948?

Számtani sorozatok f4.

Két kalóz osztozkodik a zsákmányon. Úgy egyeztek meg, hogy felváltva választanak. Az első 3 tárgyat vehet el, ész ezt követően mindig 2-vel többet lehet kivenni, mint előzőleg. A tízedik elvétel után a zsákmány éppen elfogyott. a ) Hány darabból állt a zsákmány? b ) Melyik kalóznak lett több kincse?

f5.

Add meg a sorozatok első öt elemét, és a századikat is! Ábrázold az első néhány elemet grafikonon! Melyik képlet ad számtani sorozatot? 1 a ) a n = 2 + 3n c ) cn = 2 b ) bn = n 2 −1 n 2 n +n n d ) d n = (− 1) f ) f n = 10 − n e ) en = n

f6.

Képezd a pozitív egész számok 5-tel való osztási maradékát! a ) Hány különböző eleme van ennek a sorozatnak? b ) Készítsd el a sorozathoz tartozó grafikont! c ) Határozd meg a következő értékeket: a7; a1526; an+5-an

31


f7.

Ábrázold grafikonon az a n = n − 3 sorozat első hat elemét! Hányadik eleme ennek a sorozatnak a 122? Jellemezd korlátosság szempontjából a sorozatot!

f8.

Egy vendéglő tulajdonosának négyzet, illetve téglalap alakú asztalai vannak. Nagyobb rendezvényekhez az asztalokat és a székeket az ábrákon látható módon szokta elrendezni:

… a) b) c) d)

f9.

…

…

Az egyes elrendezéseknél hány vendéget tud leültetni 8 asztal mellé? Az egyes elrendezéseknél hány vendéget tud leültetni 20 asztal mellé? Keress képletet arra, hogy n asztal mellé hány vendéget tud leültetni? A c)-ben megalkotott képletet ellenőrizd n = 8-ra és n = 20-ra!

Egy nagyapának 3 gyereke van, és minden gyerekénél 3 – 3 unokája. Az unokák között a legfiatalabb 1 éves, és 2 – 2 év korkülönbség van az unokák között. a ) Hány szál gyertya kerül a legidősebbik unoka születésnapi tortájára? b ) Hány szál gyertyát fújtak el egy év alatt összesen az unokák a születésnapi tortákon? c ) Hányat fognak jövőre elfújni?

f10. Írd fel a számtan sorozat első öt tagját, és készítsd el a hozzájuk tartozó grafikonokat! 1 1 b ) a 1 = és d = a ) az első elem 2, és a különbség –1,5 3 2 d ) a 1 = 0,7 és a 2 = 1,4 c ) az első elem 3, és a második elem 4,5 e ) a 3 = 4,8 és a 4 = 5 f ) a 3 = 9,2 és a 4 = 8,4 f11. Egy számtani sorozat harmadik eleme

1 1 , hatodik eleme . Mennyi a sorozat 3 6

differenciája, és az első eleme? f12. Egy számtani sorozat második elme 22, negyedik eleme 12. a ) Mi a sorozat tízedik eleme? b ) Mennyi az első és az ötödik elem számtani közepe? c ) Hány pozitív eleme van a sorozatnak? d ) Mennyi az első tíz elem összege? f13. Az ábra szerint építkezünk, szabályos háromszögekből a ) Hány kis háromszög lenne az ábra tízedik sorában? b ) Hány kis háromszög lenne az első tíz sorban összesen? c ) Add meg a képletet általánosan az n-edik sor háromszögeinek a számára, és az első n sor összes háromszögének számára!

32

1. 2. 3. …


f14. Mekkorák a háromszög szögei, ha azok számtani sorozatot alkotnak, és a ) a legkisebb szög 45°-os? b ) a legnagyobb szög 82°-os? c ) a legnagyobb és a legkisebb szög különbsége 120°? d ) a legnagyobb és a legkisebb szög összege 120°? e ) a legnagyobb és a legkisebb szög összege 100°? f15. Egy számtani sorozatban az első elem 8, az első három elem számtani közepe 12. a ) Mennyi a sorozat differenciája? b ) Mennyi az első nyolc elem összege? c ) Hány sorozatbeli elem van 100 és 200 között? f16. Egy négyszög szögei 12 differenciájú számtani sorozatot alkotnak. Mekkorák az egyes szögek? f17. Egy ötszög belső szögei számtani sorozatot alkotnak. A legkisebb szög 42°-os. Mekkorák az ötszög belső és külső szögei?

Mértani sorozatok f18. Egy tavirózsa minden nap kétszeresére nő, így 50 nap alatt növi be az egész tavat. Hányadik napon fedi be a tó felét? Hány nap alatt fedi be a tavat 4 ilyen tavirózsa? f19. Írd fel a mértani sorozat első öt elemét, és add meg az összegüket is! a ) Első elem 3, a hányados 4. 2 b ) Első elem 2, a hányados . 3 f20. Egy mértani sorozat első eleme 5, harmadik eleme 125. Mi a sorozat második eleme? f21. Határozd meg a mértani sorozat első elemét, ha a ) a második eleme 3, a harmadik eleme 1,5. b ) az ötödik és a hetedik eleme is 7. c ) a negyedik és a hatodik eleme is 7 d ) a nyolcadik eleme 256, a hányadosa 2. f22. Egy 10 m mély kút kiásásához melyik kútásó ajánlatát fogadnád el? A: A kiszállási díj 10 000 Ft, utána minden méterért 3000 Ft-ot kell fizetni. B: Az első méter 500 Ft, utána minden méterért 1000 Ft-tal kell többet fizetni az előzőnél. C: Az első méter 2 Ft, utána minden méter ára 3-szorosa az előzőnek. f23. Egy leejtett teniszlabda minden földet éréskor visszapattan az ejtési magasság 0,9 részéig. Mekkora magasságban fogja ez az ügyetlen teniszező az 1 m-ről

33


leejtett labdát, ha az 4-szer pattant a földön? Összesen mekkora utat tett meg a labda? f24. Egy 100 kg-os ember 2 hónapos szigorú diétába kezd. Hetente tömegének 2%-át sikerül leadnia. Hány kg lesz a fogyókúra elteltével? f25. A háztartási gépek éves amortizációja 25%. Mennyit ér 3 év múlva a ) a 345 eurós mosógép? b ) az 1250 eurós plazmatévé? c ) a 112 eurós mikro? f26. Évi 20%-os kamatú hitel felvétele esetén hány év alatt növekszik tartozásunk a duplájára? f27. Egy mértani sorozat első eleme 2, hányadosa 3. Írd fel a sorozat első öt elemét, és add meg az összegüket is! f28. Egy mértani sorozat első eleme -2, hányadosa 1/3. Írd fel a sorozat első öt elemét, és add meg az összegüket is! f29. Egy mértani sorozat első eleme -2, hányadosa 3. Hányadik eleme a sorozatnak a -54; -162 és a -1458? f30. Egy laboratóriumban 600 mg radioaktív anyag van, melynek mennyisége óránként megfeleződik. Mennyi lesz a radioaktív anyag mennyisége 6 óra múlva? f31. Mennyit ér 5 év múlva az 1,4 M Ft-os mezőgazdasági kisgép, ha az éves amortizációja 15%? f32. Egy erdő faállománya 8000 m3. Mekkorára nő az erdő faállománya 5 év alatt, ha az évi gyarapodás átlagosan 3%? f33. Megvegyük-e azt a lovat, amelynél csak a patkószögekért kell fizetni? Az első patkószög 1 Ft, a következő 2 Ft, majd 4 Ft… Egy patkóban 6 szög van. f34. Kinek lesz több pénze a harmadik év végén? Pisti 30 000 Ft-ot tesz be a bankba. Az éves kamatláb 10%. Józsi minden év elején 10 000 Ft-ot tesz be a bankba, de ő olyan bankot talált, ahol az egyenletes megtakarítást 12%-os kamattal jutalmazza a bank. f35. Egy mértani sorozatban a3 = 3 , a9 = 24 . Mennyi az S12 ? f36. * Egy mértani sorozat második tagja 3, hatodik tagja 12. Mennyi az S10 ? f37. *** Egy mértani sorozat hét tagja közül az első három tag összege 21, az utolsó három összege 336. Add meg a sorozat 7 tagját! f38. *** Egy mértani sorozat első három tagjának összege 39, szorzata 729. Melyik ez a három tag?

34


f39. * Egy egyenlőszárú háromszög szára 4 cm hosszú. A háromszög szára, alapja és az alaphoz tartozó magassága, ebben a sorrendben, egy mértani sorozat egymást követő három tagja. Mekkora a háromszög alapja? f40. * Három könyvért összesen 7280 Ft-ot fizettünk. A legdrágább könyv 1520 Ft-tal volt olcsóbb, mint a másik kettő együttvéve. Mennyibe kerültek a könyvek, ha áruk egy mértani sorozat 3 egymást követő tagja?

Statisztika f41. Szeptember harmadik hetében a következő hőmérsékleteket mutatta a hőmérő reggel 630-kor, hétfőtől péntekig: 13,1°C; 14,4°C; 16,8°C; 20,7°C; 20,7°C. Számítsd ki a hőmérsékletek átlagát! f42. Egy méréssorozat alkalmával leendő fizikusok a következő eltéréseket találták a megadott értékektől: 2; 1; 2; 0; –3. Mennyi a hibák átlaga és terjedelme? f43. Lehetséges-e egy 30 fős osztályban 3,15-os osztályátlag? Indokold válaszod! f44. Egy jégkorong csapat 6 főből áll, átlagéletkoruk 20 év. Mennyivel változik a pályán maradók átlagéletkora, ha a meccsen kiállítanak egy a) 20 éves játékost?

b) egy 25 éves játékost?

c) egy 15 éves játékost?

f45. Egy taxis ma 2; 1; 3; 1; 1; 2; 1; 3; 4; 4; 3; 3; 1 utast szállított egy-egy fuvarral. Add meg az egyszerre utazók átlagát, móduszát és mediánját! f46. Kati töriből eddig a következő jegyeket kapta: 3; 4; 3; 5. Még egy dolgozatot fog írni. Legalább hányast kell szereznie, ha év végén 4-est szeretne, és a tanár csak 6 tized felett adja meg a jobb jegyet? f47. Budapesten a napsütéses órák száma 1997-ben 2075 óra, 1998-ban 2038 óra, 1999-ben 1981 óra és 2000-ben 2209 óra volt. a ) Határozd meg a fenti adatokból az átlagot és a szórást! b ) Hasonlítsd össze a kapott adatokat az 1946-1950-ig mért napsütéses órák számának 2196-os átlagával!

Valószínűség-számítás f48. Egy elvetemült matematikus a ruletten egyszerre fogadott az összes prímszámra. Mekkora a valószínűsége, hogy nyert? (A rulettkeréken 0-tól 36-ig szerepelnek a számok.) f49. Egy dobókockával háromszor dobunk egymás után, a kapott számokat feljegyezzük. Mekkora valószínűséggel lesz az így keletkező háromjegyű szám a) páros jegyű

b) nagyobb, mint 450

c)

csupa

különböző

f50. Három érmét feldobva mekkora a valószínűsége, hogy lesz legalább egy fej?

35


f51. A 32 lapos magyar kártyából húzunk 5 lapot, és feljegyezzük őket sorban egymás után. Mekkora a valószínűséggel kapunk végül 3 pirosat és 2 tököt, ha a lapokat a) nem tesszük vissza ?

b) minden húzás után visszatesszük?

f52. A kockapókerben 5 kockával dobunk egyszerre. Ha az öt dobott szám megegyezik, akkor nagy pókerről, ha csak négy szám egyezik meg, kis pókerről beszélünk. a ) Mekkora a valószínűsége a nagypókernek ebben a játékban? b ) Mennyi a valószínűsége a kispókernek?

36

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

Recommend Documents