1 Waveguides. 7 Waveguides

1

7

Waveguides

Waveguides

Common transmission lines known from everyday life (coaxial cables, etc.) cannot be used at microwave frequencies due to unacceptable losses in the dielectrics. That is why waveguides are frequently used at higher frequencies. The term waveguide usually denotes a metallic cylinder of transversal dimensions which are comparable to the wavelength. Inner walls of the waveguide are fabricated such a way to minimize losses in the metal (in computations, walls can be assumed to be perfectly electrically conductive). The transversal profile of the waveguide is of the rectangular shape or the circular shape, usually. In special cases, the profile can be shaped to the letters Π or H (Fig. 7.1). Such waveguides are of a wider bandwidth on one hand but can transmit a lower power on the other hand.

Fig. 7.1 Common cross sections of metallic waveguides: rectangular, circular, waveguide , waveguide H. Waveguides are used at gigahertz frequencies. At lower frequencies, transversal dimensions of waveguides would be unacceptably large. Waveguides are usually exploited in radars and systems of satellite communication. Waveguides serve here for the transmission of the energy from the generator to the antenna, and vice versa. Let us assume a longitudinally homogeneous metallic waveguide of a rectangular cross section (Fig. 7.2, left). Modeling electromagnetic fields, which are produced by a source inside the waveguide, is the aim of our computations.

Fig. 7.2 Waveguide of rectangular cross section (left), propagation of wave by reflections from walls of waveguide(right). Propagation of electromagnetic wave in the waveguide can be described by the propagation vector k in a general direction (fig. 7.2, right). This general propagation vector can be decomposed to the propagation vector in the transversal direction  and in the longitudinal direction . Magnitudes of vectors meet the relation k 2  2   2

(7.1)

In the transversal direction, a standing wave is excited, and therefore, the propagation constant 2 is positive. In the longitudinal direction, the propagation constant  has to be negative to produce a complex square root (both amplitude and phase change in z).

Vlnovody

7

2

Vlnovody

Druhy vedení, které známe z každodenního života (koaxiální vedení, dvojlinka), jsou jen omezeně použitelné v mikrovlnných kmitočtových pásmech, protože s růstem kmitočtu přenášeného signálu významně rostou ztráty v dielektriku těchto vedení. Proto se na vyšších kmitočtech používají pro přenos signálu velmi často vlnovody. Termínem vlnovod většinou označujeme kovovou trubici, jejíž příčné rozměry jsou srovnatelné s délkou vlny. Vnitřní stěny vlnovodu bývají upraveny tak, aby byly minimalizovány ztráty v kovu (obvykle lze stěny vlnovodu pokládat za dokonalý elektrický vodič). Příčný profil vlnovodu má obvykle obdélníkový nebo kruhový tvar. Ve speciálních případech může mít průřez vlnovodu tvar písmene Π nebo H (obr. 7.1); tyto vlnovody jsou širokopásmovější než běžný obdélníkový vlnovod, avšak na druhou stranu přenášejí menší výkon.

Obr. 7.1 Běžné příčné průřezy kovových vlnovodů: obdélníkový, kruhový, vlnovod , vlnovod H. S vlnovody se setkáváme na kmitočtech řádu gigahertzů, protože na nižších kmitočtech by měly příliš velké příčné rozměry. Vlnovody nacházíme zejména u radiolokátorů a u systémů pro družicovou komunikaci. Slouží zde jednak pro přenos energie z vysokofrekvenčního generátoru k anténě, jednak pro přenos signálu z antény k vysokofrekvenčnímu stupni přijímače. Předpokládejme, že máme k dispozici podélně homogenní kovový vlnovod obdélníkového průřezu (obr. 7.2, vlevo). Zajímá nás, jaké se v něm vybudí pole, vsuneme-li do něj sondu, protékanou vysokofrekvenční proudem.

Obr. 7.2 Vlnovod obdélníkového průřezu (vlevo), šíření vlny odrazy od stěn vlnovodu (vpravo). Šíření vlny ve vlnovodu můžeme popsat vektorem šíření k v obecném směru (obr. 7.2, vpravo). Tento obecný vektor šíření můžeme rozložit na vektor šíření v příčném směru  a ve směru podélném . Pro jejich velikosti platí: k 2  2   2

(7.1)

Jelikož v příčných směrech vzniká stojaté vlnění, konstanta šíření  musí být kladná. V podélném směru musí být konstanta šíření  záporná, aby její odmocnina byla komplexní (ve směru z se mění jak amplituda tak fáze vlny).

3

Waveguides

The real part  of the propagation constant in longitudinal direction is the attenuation constant and the imaginary part  is the phase constant

    j

(7.2)

Magnitude of the propagation constant in the general direction is given by the wave number k   

(7.3)

where  is angular frequency,  denotes permeability and  permittivity inside the waveguide. Solution of an equation for wave propagation in the longitudinal direction results in the relation:

T2  C1 exp  z   C2 exp   z 

(7.4)

where C1 and C2 are integration constants. The first term describes the backward wave propagating in the contra-direction of the axis z, and the second term is related to the forward wave propagating in the direction of the axis z. Since the wavenumber k is real (a lossless medium is assumed inside the waveguide) and since the separation constant  is real too (as will be shown later), the propagation constant can be of the following values:  γ = β for k < Γ in the longitudinal direction, evanescent wave propagates;  γ = α for k > Γ in the longitudinal direction, non-attenuated wave propagates;  γ = jk for Γ = 0 propagation properties are not influenced by the transversal profile. Since the wavenumber linearly depends on the frequency, an interesting conclusion can be done: whereas waves of lower frequency than

 krit 



(7.5)



do not propagate in the waveguide, waves of higher frequency than ωcrit propagate without any attenuation. Frequency (7.5) is called the critical frequency. Let us examine the phenomena appearing at frequencies higher than the critical one f > fkrit. Substituting γ = jα to (7.1), we get

  k2   2

(7.6)

Expressing the separation constant Γ from (7.5) and using the wavenumber k from (7.3) we get the relation for the phase constant in the longitudinal direction f    k 1   crit   f 

2

(7.7)

Substituting the phase constant (7.7) to the relation for the phase velocity vf  

(7.8)

we get the dependency of the phase velocity in the waveguide on the frequency

vf 

v 1   f crit f 

2

(7.9)

Vlnovody

4

Reálná část  konstanty šíření v podélném směru popisuje měrný útlum vlny a imaginární část  měrnou fázi

    j

(7.2)

Velikost vektoru šíření v obecném směru odpovídá vlnovému číslu k   

(7.3)

kde  je úhlová frekvence,  je permeabilita a  permitivita prostředí uvnitř vlnovodu. Řešením rovnice pro šíření elektromagnetického vlnění v podélném směru vlnovodu dospějeme ke vztahu

T2  C1 exp  z   C2 exp   z 

(7.4)

kde C1 a C2 jsou integrační konstanty. První sčítanec popisuje zpětnou vlnu (šíří se proti směru osy z), druhý sčítanec vlnu přímou (šíří se ve směru z). Jelikož vlnové číslo k je reálné (ve vlnovodu uvažujeme bezeztrátové prostředí) a jelikož separační konstanta Γ je reálná také (jak ukážeme za chvíli), může součinitel přenosu nabývat následujících hodnot:     když k <  ; v podélném směru se bude šířit evanescentní vlna.     když k >  ; v podélném směru se šíří netlumená vlna.    jk když  = 0; nezáleží na průřezu vlnovodné struktury. Protože vlnové číslo je přímo úměrné kmitočtu vlny, můžeme z prvních dvou výše uvedených bodů vyvodit zajímavý závěr: Zatímco vlny, jejichž kmitočet je nižší nežli

 krit 



(7.5)



se vlnovodem vůbec nešíří, vlny o kmitočtu vyšším nežli ωkrit se stejným vlnovodem budou šířit bez útlumu. Onen význačný kmitočet (7.5) je nazýván kmitočtem kritickým. Věnujme se nyní jevům, které se objeví na nadkritických kmitočtech f > fkrit. Ze vztahu (7.1) dostaneme po dosazení za γ = jα výraz

  k2   2

(7.6)

Vyjádříme-li separační konstantu Γ ze vztahu (7.5) a vezmeme-li vlnové číslo k ze vztahu (7.3) po jednoduché úpravě dospějeme ke vztahu pro fázovou konstantu v podélném směru

f    k 1   krit   f 

2

(7.7)

Dosadíme-li fázovou konstantu (7.7) do vztahu pro fázovou rychlost

vf  

(7.8)

dostáváme závislost fázové rychlosti ve vlnovodu na kmitočtu

vf 

v 1   f krit f 

2

(7.9)

5

Waveguides

Here, v denotes phase velocity of the wave in free space (vacuum in our case) v

1

(7.10)



Using known phase velocity, relation between phase velocity and wavelength

g 

vf

(7.11)

f

in the longitudinal direction in the waveguide can be obtained

g 



(7.12)

1   f crit f 

2

Here, λ denotes wavelength in free space. If we are interested in the velocity of energy propagation, the group velocity has to be computed. Since the product of the group velocity and the phase one has to equal to the square of the velocity of light, we can compute the group velocity using the following relation:

v g  v 1   f crit f 

2

(7.13)

where v is phase velocity in free space. The above computations were performed for the propagation of harmonic waves. If the wave consists of more harmonics then every frequency component propagates with a different velocity, and therefore, the output signal differs from the input one (the signal is distorted). The described phenomenon is called dispersion. Up to now, we dealt with the analysis in the longitudinal direction. Results of this analysis do not depend on the shape of the transversal profile, and therefore, these results are valid for any homogeneous waveguide. In transversal directions, the situation is totally different: 

In the transversal direction, no wave propagates. Waves reflected from waveguide walls interfere, and standing waves are formed here.



Since reflections from walls (and consecutively the standing waves) depend on the profile of the waveguide, the analysis has to be performed for the respective shape of the profile. In our description, we are going to concentrate on the rectangular shape.

The analysis is performed for two types of waves, which can propagate in the waveguide, for transversally magnetic waves (TM, components of the magnetic field intensity are non-zero in transversal directions only), and for the transversally electric ones (TE, components of the electric field intensity are non-zero in transversal directions only). For critical frequencies of both types of waves, the following relation can be obtained:

crit 

 m   n        a   b  1

2

2

(7.14)

Vlnovody

6

Symbol v značí fázovou rychlost naší vlny z vlnovodu ve volném prostoru, který by měl stejné parametry jako obsah vlnovodu (v našem případě vakuum) v

1

(7.10)



Ze známé fázové rychlosti odvodíme dosazením do vztahu mezi délkou vlny a fázovou rychlostí

g 

vf

(7.11)

f

vztah pro délku vlny ve vlnovodu v podélném směru

g 



(7.12)

1   f krit f 

2

kde λ značí délku naší vlny ve volném prostoru, jehož parametry odpovídají parametrům prostředí uvnitř vlnovodu. Pokud se zajímáme o rychlost šíření energie vlnovodem (a nikoli o rychlost šíření fáze), musíme vypočíst skupinovou rychlost. Jelikož součin skupinové rychlosti a rychlosti fázové musí být roven kvadrátu rychlosti světla, pro skupinovou rychlost dostáváme vztah

vg  v 1   f krit f 

2

(7.13)

kde v je opět fázová rychlost ve volném prostoru. Dosud jsme předpokládali, že se vlnovodem šíří harmonická vlna. Co se však bude dít při přenosu vlny, složené z několika kmitočtů? Z výše uvedeného je zřejmé, že každá frekvenční složka se bude šířit jinou rychlostí, takže výstupní signál bude odlišný od signálu vstupního, bude zkreslený. Říkáme, že dochází k disperzi vln. Prozatím jsme se zabývali analýzou rozložení pole v podélném směru. Výsledky této analýzy nezávisejí na příčném průřezu, a tudíž platí pro jakýkoli homogenní vlnovod. Pro příčné směry vlnovodu je situace zcela opačná: 

V příčném směru se nešíří vlnění (nemá kam se šířit). V těchto směrech se vzájemně sčítají vlny odražené od stěn vlnovodu, takže zde vzniká stojaté vlnění.



Jelikož odrazy od stěn (a tedy i charakter stojatého vlnění) závisejí na profilu vlnovodu, je zapotřebí analýzu pole v příčných směrech provádět vždy pro specifický tvar profilu. V našem výkladu se omezíme na profil obdélníkový.

Analýzu vykonáme pro dva typy vln, které se mohou vlnovodem šířit. Jedná se o vlny příčně magnetické (TM), u nichž má vektor magnetické intenzity nenulové složky pouze v příčném směru, a o vlny příčně elektrické (TE), u nichž má vektor intenzity elektrického pole nenulové složky jen ve směru příčném. Pro oba typy vln dospějeme k následujícímu vztahu pro kritický úhlový kmitočet:

kcrit 

 m   n        a   b  1

2

2

(7.14)

7

Waveguides

Here, permittivity and permeability are related to the medium inside the waveguide, a denotes the width of the waveguide and b is its height. Integral coefficients m and n are called mode numbers. Increasing mode numbers, critical frequency is increased (therefore, higher modes appear at higher frequencies). Assume that a supplying generator is tuned from lower frequencies to higher ones. Reaching the critical frequency of the lowest mode, a single wave starts to propagate in the waveguide. If the critical frequency of the second mode is reached then two waves of two different modes propagate in the waveguide. Those waves can interfere, which can cause several problems, Therefore, waveguides operate in the single-mode band usually. The low bound of this band is given by the critical frequency of the lowest mode, the high bound equals to the critical frequency of the second mode. The mode of the lowest critical frequency is called the dominant mode.

Fig. 7.3 Transversally electric wave.

Fig. 7.4 Transversally magnetic wave.

Cutting the waveguide by a longitudinal plane that is perpendicular to the wider side of the cross section, a harmonic response of the transversal component of electric field intensity Ey can be observed (Fig. 7.5). The maximum intensity in Fig. 7.5 is located in the coordinates z = λg/4 and z = 3λg/4 (the phase is opposite here). In z = 0 and z = λg/2, electric field intensity is zero. The points of the maximum Ey correspond to the points of zero longitudinal component of magnetic field intensity Hz and the maximum transversal component of magnetic field intensity Hx. In the transversal cut in z = λg/4, Ey reaches its maximal in the center of the waveguide and zero on walls (the boundary condition is met). The transversal component of the magnetic field intensity Hx is constant in z = λg/4. If the cutting plane is perpendicular to the narrower side of the waveguide cross section, lines of magnetic forces form ellipses. These lines of magnetic forces are similar to lines around a wire flown by a high-frequency conductive current. In case of a waveguide, the magnetic field is excited by a similar source – by a displacement current flowing from the bottom wall of the waveguide to the top wall (z = 0), and vice versa (z = λg /2). Let us consider the first case. When the displacement current reaches the top wall, the current looped is closed by the conductive current following the inner surface of the waveguide down, and flowing in the longitudinal direction to the neighboring outfall of the displacement current. In both cases, current lines J are closed. In the cross section, the electromagnetic field has to be distributed such a way to meet boundary conditions on perfectly conductive surfaces of waveguide walls (tangential components of electric field intensity have to be zero, and derivatives in tangential components of magnetic field intensity in the normal direction have to be zero too).

Vlnovody

8

V této rovnici se permitivita a permeabilita vztahují k prostředí uvnitř vlnovodu, a je šířka obdélníkového vlnovodu a b je jeho výška. Celočíselné koeficienty m a n nazýváme vidovými čísly. Se zvyšováním vidových čísel roste kritický kmitočet (vyšší vidy vznikají na vyšších frekvencích). Přelaďujme postupně generátor napájející vlnovod od nižších k vyšším kmitočtům a sledujme, co se bude dít. Po překročení kritického kmitočtu nejnižšího vidu se bude vlnovodem šířit jediná vlna. Jakmile však překročíme kritický kmitočet následujícího vidu, budeme mít ve vlnovodu dvě vlny dvou různých vidů. Tyto vlny spolu interferují, což může způsobit mnohé komplikace. Proto jsou vlnovody provozovány téměř výhradně v pásmu jednovidovosti. Dolní kmitočet tohoto pásma je dán kritickým kmitočtem nejnižšího vidu, horní kmitočet je roven kritické frekvenci vidu následujícího. Vid s nejnižším kritickým kmitočtem je nazýván dominantním videm.

Obr. 7.3 Příčně elektrická vlna.

Obr. 7.4 Příčně magnetická vlna.

Kdybychom vlnovod podélně rozřízli rovinou kolmou na širší stranu, uviděli bychom harmonický průběh příčné složky elektrické intenzity Ey (obr. 7.5). Maximální intenzita se na obr. 7.5 nachází v místech z = λg/4 a z =3λg/4 (zde má však opačnou fázi). Nulová je intenzita v místech z = 0 a z = λg/2. V místech maximální elektrické intenzity Ey je nulová podélná složka Hz a maximální příčná složka Hx magnetické intenzity. V příčném řezu v místě z = λg/4 je elektrická intenzita Ey největší uprostřed a nulová na okrajích (splněna okrajová podmínka). Příčná složka magnetické intenzity Hx je v z = λg/4 v příčném řezu konstantní. Provedeme-li podélný řez rovinou kolmou na užší stranu vlnovodu, budou se nám siločáry magnetické intenzity jevit jako elipsy. Jejich tvar připomíná siločáry magnetické intenzity přímého vodiče, protékaného vysokofrekvenčním vodivým proudem. V případě vlnovodu je zdroj těchto siločar podobný – je jím posuvný proud, tekoucí dielektrikem vlnovodu ze spodní strany pláště vlnovodu na horní (z = 0) a naopak (z = λg /2). Omezme se na první případ. Když posuvný proud dorazí na horní stranu pláště, odtéká ve formě vodivého proudu po vnitřní straně pláště jednak zpět dolů, jednak ve vodorovném směru k sousedním ústím posuvného proudu. V obou případech jsou siločáry proudové hustoty J uzavřené. Závěrem upozorněme na skutečnost, že elektromagnetické pole v příčném směru musí být rozloženo takovým způsobem, aby byly splněny okrajové podmínky na dokonale elektricky vodivých stěnách vlnovodu (tečné složky vektoru elektrické intenzity musejí být nulové a derivace tečných složek vektoru magnetické intenzity podle normály ke stěně musejí být rovněž rovny nule).

9

Waveguides

Fig. 7.5 Distribution of the mode TE10 in rectangular waveguide. Components of electric fields and magnetic fields of transversally magnetic modes (TM) are described by the following relations: E x =  j

m  m   n  C cos x  sin y  exp  j z  a  a   b 

(7.15a)

E y =  j

n  m   n  C sin x  cos y  exp  j z  b  a   b 

(7.15b)

 m   n  E z =  2 C sin x  sin y  exp  j z   a   b  H x = j

n  m   n  C sin x  cos y  exp  j z  b  a   b 

H y =  j

m  m   n  C cos x  sin y  exp  j z  a  a   b 

Hz  0

(7.15c) (7.15d) (7.15e) (7.15f)

For components of electric fields and magnetic fields of transversally electric modes (TE) following relations can be obtained: H x = j

m  m   n  C sin x  cos y  exp  j z  a  a   b 

(7.16a)

H y = j

n  m   n  C cos x  sin y  exp  j z  b  a   b 

(7.16b)

 m   n  H z =  2 C cos x  cos y  exp  j z   a   b  E x = j

n  m   n  C cos x  sin y  exp  j z  b  a   b 

(7.16c) (7.16d)

Vlnovody

10

Obr. 7.5 Rozložení vidu TE10 v obdélníkovém vlnovodu. Složky intenzit elektrických a magnetických polí příčně magnetických vidů (TM) jsou popsány vztahy: E x =  j

m  m   n  C cos x  sin y  exp  j z  a  a   b 

(7.15a)

E y =  j

n  m   n  C sin x  cos y  exp  j z  b  a   b 

(7.15b)

 m   n  E z =  2 C sin x  sin y  exp  j z   a   b  H x = j

n  m   n  C sin x  cos y  exp  j z  b  a   b 

H y =  j

m  m   n  C cos x  sin y  exp  j z  a  a   b 

Hz  0

(7.15c) (7.15d) (7.15e) (7.15f)

Pro složky intenzit elektrických a magnetických polí vidů příčně elektrických (TE) platí: H x = j

m  m C sin a  a

  n x  cos   b

 y  exp  j z  

(7.16a)

H y = j

n  m C cos b  a

  n x  sin   b

 y  exp  j z  

(7.16b)

 m H z =  2 C cos  a E x = j

  n x  cos   b

n  m C cos b  a

 y  exp  j z  

  n x  sin   b

 y  exp  j z  

(7.16c) (7.16d)

11

Waveguides

E y =  j

m  m   n  C sin x  cos y  exp  j z  a  a   b 

Ez  0

(7.16e) (7.16f)

Obr. 7.6 Rozložení siločar elektrického pole (vlevo) a magnetického pole (vpravo) vidů TE10 (nahoře), TE20 (uprostřed) a TE01 (dole). Fig. 7.6 Distribution of lines of electric force (left) and magnetic force (right) of modes TE10 (top), TE20 (center) and TE01 (bottom).

Vlnovody

12

E y =  j

m  m   n  C sin x  cos y  exp  j z  a  a   b 

Ez  0

(7.16e) (7.16f)

Obr. 7.7 Rozložení siločar elektrického pole (vlevo) a magnetického pole (vpravo) vidů TM11 (nahoře), TM21 (uprostřed) a TM31 (dole). Fig. 7.7 Distribution of lines of electric force (left) and magnetic force (right) of modes TM11 (top), TM21 (center) and TM31 (bottom).

13

Waveguides

Distribution of transversal intensities of three lowest TE modes is shown in Fig. 7.6. For a standard R100 waveguide, which transversal dimensions are a = 22.86 mm and b = 10.16 mm, the relation (7.14) gives critical frequencies f1 = 6.56 GHz for TE10, f2 = 13.1 GHz for TE20 and f3 = 14.8 GHz for TE01. Three lowest TM modes are depicted in Fig. 7.7. For the standard R100 waveguide, the relation (7.14) gives critical frequencies f4 = 16.2 GHz for TM11, f5 = 19.8 GHz for TM21 and f3 = 24.6 GHz for TM31. Obviously, signals of frequencies below 6.56 GHz are not transmitted by R100, and the single-mode bandwidth corresponds to the frequency interval from 6.56 GHz to 13.1 GHz.

Fig. 7.8 Three lowest transversally electric modes TE10, TE20, TE01 (top, distribution of the longitudinal component of magnetic field intensity Hz) and three lowest transversally magnetic modes TM11, TM21, TM31 (bottom, distribution of the longitudinal component of electric field intensity Ez). Transversally electric modes can be shown to be uniquely determined by the longitudinal component of magnetic field intensity Hz (Fig. 7.8, top), and transversally magnetic modes are given by the longitudinal component of electric field intensity Ez (Fig. 7.8, bottom). Dependencies depicted in Fig. 7.8 show that values of modal numbers correspond to the number of half-waves in corresponding coordinate directions. Dependencies of intensities Hz and Ez show that boundary conditions on perfectly electrically conductive walls of the waveguide are met. Whereas electric field intensity is zero on the conductive surface, magnetic field intensity exhibits zero derivative in the normal direction (on the surface, the value of Hz does not change in the normal direction).

Vlnovody

14

Rozložení příčných intenzit polí tří nejnižších vidů TE je znázorněno na obr. 7.6. Pro standardizovaný vlnovod R100, který má příčné rozměry a = 22,86 mm a b = 10,16 mm, ze vztahu (7.14) vycházejí kritické kmitočty f1 = 6,56 GHz pro TE10, f2 = 13,1 GHz pro TE20 a f3 = 14,8 GHz pro TE01. Tři nejnižší vidy TM jsou nakresleny na obr. 7.7. Pro standardizovaný vlnovod R100 ze vztahu (7.14) dostaneme kritické kmitočty f4 = 16,2 GHz pro TM11, f5 = 19,8 GHz pro TM21 a f3 = 24,6 GHz pro TM31. Je tedy zřejmé, že R100 signály o kmitočtu nižším než 6,56 GHz nepřenáší a že pásmo jednovidovosti leží v intervalu od 6,56 GHz do 13,1 GHz.

Obr. 7.8 Tři nejnižší vidy příčně elektrické TE10, TE20, TE01 (nahoře, rozložení podélné složky intenzity magnetického pole Hz) a tři nejnižší vidy příčně magnetické TM11, TM21, TM31 (dole, rozložení podélné složky intenzity elektrického pole Ez). Lze ukázat, že příčně elektrické vidy jsou jednoznačně určeny podélnou složkou intenzity magnetického pole Hz (obr. 7.8 nahoře) a příčně magnetické vidy podélnou složkou intenzity elektrického pole Ez (obr. 7.8 dole). Z průběhů intenzit na obr. 7.8 je zřejmé, že hodnota vidových čísel odpovídá počtu půlvln v odpovídajících souřadných směrech. Průběhy intenzit Hz a Ez rovněž názorně ilustrují splnění okrajových podmínek na dokonale elektricky vodivém plášti vlnovodu. Zatímco intenzita elektrického pole je na vodivém povrchu nulová, intenzita magnetického pole na něm vykazuje nulovou derivaci ve směru normály (ve směru normály se hodnota Hz na povrchu nemění).

15

Waveguides

7.1 Examples 1.

2.

The R 48 waveguide is of the transversal dimensions a = 47.55 mm, b = 22.16 mm. Critical frequencies of the lowest TE modes are requested to be evaluated. TEm,n

1, 0

2, 0

3, 0

0, 1

0, 2

1, 1

1, 2

2, 1

2, 2

crit mm

95.1

47.6

31.7

44.3

22.2

40.2

21.6

32.4

20.1

Fcrit GHz

3.15

6.30

9.46

6.77

13.5

7.47

13.9

9.25

14.9

A single-mode bandwidth should be computed for the R48 waveguide.  f  3.15 6.3 GHz 

3.

At the frequency 4 GHz (above the critical one), the wavelength, phase velocity and group velocity should be computed for the R48 waveguide.  g = 122 mm, vf = 4.88 108 m/s, vg = 1.845 108 m/s 

4.

A segment of the R 48 waveguide is of the length l =130 mm. At what frequency is the waveguide segment covered by a) One half-wave; b) Two half-waves. In case (a), the wavelength in the waveguide g equals to the double of the length of the waveguide segment l. Rearranging (7.9), we can compute f1 = 3.36 GHz. In case (b), the wavelength g has to be compared with the length of the waveguide, and the result is f2 = 3.91 GHz. Obviously f2  f1.

7.2 References

Vlnovody

16

7.1 Příklady 1.

2.

Vlnovod R 48 má příčné rozměry a = 47,55 mm, b = 22,16 mm. Vypočtěte kritické kmitočty nejnižších vidů TE. TEm,n

1, 0

2, 0

3, 0

0, 1

0, 2

1, 1

1, 2

2, 1

2, 2

krit mm

95,1

47,6

31,7

44,3

22,2

40,2

21,6

32,4

20,1

fkrit GHz

3,15

6,30

9,46

6,77

13,5

7,47

13,9

9,25

14,9

Určete pásmo jednovidovosti vlnovodu R 48.  f  3.15 6.3 GHz 

3.

Pro nadkritický kmitočet f = 4 GHz vypočtěte délku vlny, fázovou a skupinovou rychlost vlny ve vlnovodu R 48.  g = 122 mm, vf = 4,88 108 m/s, vg = 1,845 108 m/s 

4.

Úsek vlnovodu R 48 má délku l =130 mm. Na jakém kmitočtu vyjde na délku úseku a) Jedna půlvlna; b) Dvě půlvlny. V případě a) je délka vlny ve vlnovodu g rovna dvojnásobku délky úseku l. Úpravou vztahu (7.9) a dosazením dostaneme f = 3,36 GHz. Podobně v situaci b) je třeba srovnat hodnotu g s délkou úseku vlnovodu a výsledkem je kmitočet f = 3,91 GHz. Všimněme si, že druhý výsledek není dvojnásobkem kmitočtu v situaci a).

7.2 Literatura