De kern van het reken-wiskundeonderwijs - impressies van de 23ste Panama-conferentie S. Lit & W. Oonk (red.) Hogeschool Domstad, Utrecht Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht
Van woensdag 19 tot en met vrijdag 21 januari 2005 vond traditiegetrouw in Noordwijkerhout de 23ste Panama-conferentie plaats. Het thema van de conferentie luidt: ‘De kern van het reken-wiskundeonderwijs’. Kun je wel spreken van dé kern? Is wat onder de kern van het reken-wiskundeonderwijs wordt verstaan niet sterk persoons- en contextgebonden? Is de associatie met kerndoelen terecht? Gaat het om de inhoud of meer om de kern van het onderwijsproces? Kortom: het thema lijkt enerzijds wat vaag, een dekmantel waar nagenoeg alles wat het vak rekenen-wiskunde betreft onder kan vallen. Anderzijds noopt het thema tot nadenken over de fundamentele zaken van het vak. In hoeverre deze en andere vragen beantwoord worden, kunt u lezen in dit conferentieverslag. Het verslag is geen letterlijke of volledige weergave van het aanbod en de activiteiten tijdens de conferentie, maar een mengeling van feiten en reflecties. We sluiten het verslag af met een conclusie waarin we terugblikken op deze 23ste Panama-conferentie, in het perspectief van voorgaande en nieuwe ontwikkelingen in het reken-wiskundeonderwijs. Aan dit verslag werd meegewerkt door de volgende verslaggevers: – – – – – – – – – – – –
J. van den Bergh H. Bögemann S. Lit A. Markusse J. Nijs-van Noort W. Oonk M. Peltenburg H. Stapert D. van der Straaten J. van Stralen R. van Tricht H. Wolthuis
AVANS Hogeschool Breda EDI Midden Nederland HS Domstad HS IPABO Amsterdam/Alkmaar Thieme Meulenhoff Freudenthal Instituut Freudenthal Instituut Chr. Hogeschool Noord Nederland Freudenthal Instituut HS IPABO Amsterdam/Alkmaar Freudenthal Instituut Saxion Hogeschool IJsselland
heeft (fig.1). Uit de zaal klinkt een schatting van 65 procent; het blijkt slechts 36 procent te zijn.
Op één fotoblad kunnen twee kleine foto’s of één grote geplakt worden. Demi heeft 12 grote foto’s en 18 kleine foto’s. Hoeveel fotobladen heeft ze nodig? ----------- fotobladen
figuur 1
1 Resultaten halverwege de basisschool Wat moeten kinderen kunnen? De opening van de conferentie is zeker kernachtig! Het zal deze conferentie in ieder geval gaan over kinderen die aan het rekenen zijn, samen of alleen, en in hoeverre ze iets van elkaar kunnen leren, over landelijke toetsresultaten, over wat kinderen in hun latere leven moeten kunnen en over kinderen die achterblijven in rekenenwiskunde. Aan de deelnemers wordt gevraagd te schatten hoeveel procent van de leerlingen van groep 5, die deelgenomen hebben aan het PPON-onderzoek (2005), onderstaande opgave over de fotobladen goed beantwoord
8
Dan krijgen we leerling Josefine te zien. Zij komt op ‘12 en de helft van 18, dus 9 + 12 = 21 bladen.’ Vervolgens een mevrouw van middelbare leeftijd, die heel onzeker en met moeite op 21 komt. Dan een jonge man, die direct reageert met: ‘Jezusmina, als ik ergens een hekel aan heb, is het aan sommen.’ Het duurt lang, hij komt er niet uit en geeft als excuus dat hij zijn lenzen niet in heeft en nog niet goed wakker is. Een collega-opleider stoot mij aan en fluistert dat het goede antwoord volgens haar niet 21 maar 11 moet zijn, omdat fotobladen meestal aan vooren een achterzijde beplakt worden. Nog een opgave (fig.2). Deze opgave is door slechts 30 procent van de leerlingen in groep 5 goed beantwoord. We zien Rik en Daan aan het werk. Daan ziet vrijwel meteen dat het handig is om 60 + 40 te doen en komt op: ‘7 euro ... oh nee, 700 eurocent.’ Rik heeft er moeite mee.
‘Ze vragen ... oh, dat staat hier ... 100 eurocent, dus 1 euro. Maar ik weet niet of je 7 × 60 + 40 moet doen.’
Stefanie is op vakantie. Zij stuurt aan 7 vriendinnen een kaart. Hoeveel kosten de kaarten en de postzegels samen? Hoeveel fotobladen heeft ze nodig? ----------- eurocent
figuur 2
Daan helpt door te zeggen: ‘7 × 60 + 7 × 40 of eigenlijk beter 60 + 40 = 100 en dat keer 7.’ Rik is niet overtuigd: ‘Ze zeggen hier niet of je 7 × 60 en 7 × 40 moet doen.’ Iets vergelijkbaars gebeurt bij Bart en Guido. Bart rekent met behulp van papier uit 40, 80, 120, 160 ... 280, dan 420 en 420 + 80 = 500, + 200 = 700. Guido doet 60 + 40 = 100, en dat keer 7 = 700. Als Bart Guido’s oplossing hoort, begrijpt hij die niet. Ook deze opgave wordt voorgelegd aan een volwassen man. Hij zegt eerst 6,80 euro en rekent dan na: ‘2,80 + 4,20 = 8 euro, oh eh ... 9 euro.’ De resultaten zijn beter dan vijf jaar geleden De conferentiedeelnemers krijgen de primeur van de stand van zaken van het Nederlandse reken-wiskundeonderwijs halverwege groep 5. F. van der Schoot en J.M. Kraemer van het Cito presenteren de uitkomsten van de vierde ‘Periodieke Peiling van het Onderwijs Niveau’ (PPON). De leerlingen medio groep 5 hebben in 2003 op alle onderdelen beter gescoord dan in 1992. Dat is zeker mooi als we bedenken dat er in 1997 een lichte achteruitgang geconstateerd werd. Die achteruitgang is weer helemaal ingelopen. Natuurlijk zijn we direct benieuwd hoe het komt dat onze leerlingen nu beter scoren. Een antwoord op die vraag zou ons mogelijk verder kunnen helpen bij de ontwikkeling van de didactiek en het opleiden van leerkrachten. Het antwoord blijkt moeilijk te geven. In de officiële publicatie die wordt uitgereikt staat: Het moet duidelijk zijn dat we voor eventuele verschillen tussen de jaren geen verklaring voorhanden hebben. (pag.158)
Wel lijken de nieuwste reken-wiskundemethoden effectiever te zijn dan de oudere methoden. Wellicht speelt mee dat scholen door de jaren steeds meer tijd aan
jaargang 24
2
zomer 2005
rekenen-wiskunde besteden; inmiddels gemiddeld een half uur meer dan bij de eerste peiling in 1987. Mooi is dat de achterstandsleerlingen vooruitgegaan zijn. Daar staat als schrijnend resultaat tegenover dat de achterstand van meisjes ten opzicht van jongens uit 1997 is blijven bestaan: meisjes scoren op alle onderwerpen (behalve op basisautomatismen: vermenigvuldigen en delen) significant lager dan jongens. Het is triest dat we ondanks het MOOJ-onderzoek (Van den Heuvel-Panhuizen & Vermeer, 1999) op dit terrein geen enkele vooruitgang hebben geboekt. J. M. Kraemer gaat nader in op de verschillen tussen leerlingen bij het aftrekken. Hij plaatst dit in het perspectief van de ideeën en idealen van eind jaren tachtig, begin jaren negentig. Wat hadden we voor ogen? Meer hoofdrekenen, minder cijferen; interactief onderwijs met eigen oplossingsmethoden, waarbij kinderen leren van elkaar en waarbij de leerkracht de oplossing van de ene leerling gebruikt met het oog op een niveauverhoging bij een andere leerling. Wat is hiervan terechtgekomen? Er wordt duidelijk meer tijd en aandacht besteed aan het hoofdrekenen. Vrijwel geen enkele leerkracht stelt het cijferend rekenen aan de orde in groep 4. De kinderen hebben een duidelijke voorkeur voor het rijgen. Kraemer voegt hieraan meteen toe dat de goede leerlingen wat hem betreft te veel blijven rijgen. Er vindt geen niveauverhoging plaats in de zin dat ze gebruik gaan maken van getalrelaties; ze rekenen te veel en redeneren te weinig. Spannend is de vraag naar het andere ideaal: de interactie. Het blijkt dat de zwakste leerlingen ruim onder het niveau van de gemiddelde leerling midden groep 4 scoren, terwijl de beste leerlingen ongeveer op het niveau van de gemiddelde leerling eind groep 6 scoren. We kunnen ons voorstellen dat zwakke en gemiddelde rekenaars onderling kunnen uitwisselen, net zoals de gemiddelde en de goede rekenaars. Maar zijn de niveauverschillen tussen de zwakste en de beste leerlingen niet te groot om een zinvolle interactie te kunnen hebben in de hele groep? Kraemer houdt de leerkracht een nieuwe didactische uitdaging voor: ‘meer organiseren en minder aanbieden’. Meer organiseren in de zin van Freudenthals gedachte: verder nadenken en discussiëren over ideeën, modellen en procedures die uit de handen en het hoofd van de groepsleden zijn gekomen, het op een hoger begripsniveau tillen van wat de leerlingen zelf hebben ingebracht; minder aanbieden wat in de methode staat. De leerstof voor de volgende dag moet niet per se de volgende bladzijde uit de methode zijn, maar bepaald worden door het niveau van de leerlingen. Een mooie gedachte, lijkt ons, die echter veel vraagt van het vakmanschap van de leerkracht. B. Milo, inspecteur van het onderwijs en F. Meester, directeur Pabo Almere, mogen reageren op de Cito-uitkomsten. Beiden betreuren de teleurstellende resultaten van meisjes in vergelijking met die van jongens. Een ver-
9
schil dat in de ons omringende landen niet of nauwelijks bestaat. Op dit terrein moet nog veel verbeterd kunnen worden. B. Milo geeft aan dat uit onderzoek van de inspectie blijkt dat de helft van de leerkrachten onvoldoende rekening houdt met verschillen tussen leerlingen tijdens de instructie. Bij de verwerking wordt redelijk gedifferentieerd. F. Meester reageert daarop met: ‘Als er achteruitgang is ligt het aan de leerkracht, en als er vooruitgang is ligt het aan de methode?!’ Er was de afgelopen jaren een groot tekort aan leraren en er zijn veel zijinstromers en jonge leerkrachten ingestroomd. Ondanks hun geringe ervaring zijn de prestaties van de kinderen toch vooruitgegaan! Hoe kunnen wij niveauverhoging bevorderen? Degenen die geïnteresseerd geraakt waren in het verhaal van J.M. Kraemer, konden zich in een keuzewerkroep onder zijn leiding nader verdiepen in de oplossingsstrategieën van leerlingen bij het aftrekken. Kraemer onderscheidt drie niveaus: het tellend rijgen, het structurerend rijgen: handig gebruikmaken van getalrelaties en de uitbreiding van het aftrekken onder 100 naar aftrekken onder 1000. Hij daagt de deelnemers uit om onderwijsleeractiviteiten te bedenken die kinderen van het ene naar het volgende niveau kunnen helpen. Hij legt ze de volgende opgave voor (fig.3)?
maken van tiensprongen duurt veel te lang. Een getallenlijn lijkt hier ineens weinig steun te geven, tenzij je dat verschil van ruim 100 al in de peiling hebt ... De gangbare didactiek lijkt op dit punt onvoldoende uitgewerkt. Wie zich echt inleeft in de kinderen, krijgt het gevoel dat er ‘drempels’ tussen deze drie niveaus liggen.
Het vlietguig maakt een duik van 360 meter naar 250 meter in de lucht. Hoeveel meter is het gedaald?
figuur 4
We merken dat kinderen zelfvertrouwen moeten hebben om een niveau hoger te komen. We denken aan associatiespelletjes, waarbij zij nadrukkelijk vanuit hun groeiende intuïtie voor getallen mogen reageren en niet afgerekend worden op foutjes. Het lijkt ons goed als kinderen elkaar proberen te vertellen wat ze ontdekken in het getalgebied tot 1000. Daarmee zitten we dan op het door Kraemer bedoelde spoor: leraren moeten meer lessen maken met de wiskundige ontdekkingen van de kinderen zelf, ‘meer organiseren en minder aanbieden’.
2 De kern van reken-wiskundeonJe zaagt de plank door. Het ene stuk is 48 centimeter lang. Hoe lang is dan het andere stuk?
figuur 3
Hoe krijg je een leerling die met tiensprongen rijgt zover dat hij zijn kennis van 50 + 50 = 100, 48 + 40 = 88, 48 + 50 = 98 of 48 + 60 = 108 inzet? De hypothese van Kraemer is dat het hier niet zozeer gaat om het simpelweg verkorten van tiensprongen, maar dat een kind getalrelaties moet gaan gebruiken. Ofwel: als kinderen alleen maar tiensprongen blijven maken, dan verwerven ze geen cognitief netwerk met relaties tussen getallen. Het valt nog niet mee om niveauverhogende opgaven te ontwerpen. We denken aan geldcontexten, waarbij kinderen briefjes van 5, 10, 20 en 50 euro mogen kiezen. Hoe help je een leerling die het verschil tussen 36 en 25 kan bepalen op weg om die kennis te gebruiken in onderstaande vliegtuigopgave (fig.4)? De analogie in de getallen is nauwelijks uit te buiten: het is weinig natuurlijk om het getal 360 op te vatten als 36 tientallen. Het
10
derwijs voor zwakke rekenaars Wat doen we met achterblijvers? In het centrale conferentiepracticum wordt de deelnemers gevraagd wat zij als de kern van het reken-wiskundeonderwijs zien. We noteren: – Wiskundeactiviteiten uitvoeren in een voor kinderen betekenisvolle context. – Het ontdekken van getalrelaties en/of getalsystemen. – Structuren aanbrengen en herkennen in de werkelijkheid. – Wiskunde als een communicatiemiddel en een middel om waarnemingen te bewerken. – Plezier geven. – Dat kinderen in staat zijn hun idee over het kwantitatieve systeem zelf uit te breiden. – Als we op zoek gaan naar de kern van het reken-wiskundeonderwijs, dan kun je het onderwijs zien als ‘het onderwijzen’. Wat is dan de kern van onderwijzen? Dan vragen de practicumleiders naar een persoonlijke ervaring van de conferentiegangers, die de kern van het
onderwijs geraakt zou hebben. Een kind komt binnen met een zak vol kastanjes en zegt: ‘Ik heb wel duizend kastanjes’. Je zou zo makkelijk tot een tel- of sorteeractiviteit kunnen komen. Nog iemand komt met een spontane reactie van een kind. Dit kind vraagt na een bezoek aan de bakker, waar broodjes per zes verpakt zijn, wat zes maal twaalf is. Kinderen lijken van nature behoefte te hebben om structuren te herkennen en te gebruiken. Een ander komt met een verhaal uit de Pabo-praktijk: bij een opgave rond het plaatsen van breuken op de getallenlijn, bleek het een succes om de denkactiviteit bij de studenten te laten liggen. Om nader tot de kern te komen wordt de casus van Ebru geïntroduceerd. Ebru is een zwak presterende leerling in groep 5. Ze heeft veel moeite met het rekenen tot 100. We krijgen een flinke hoeveelheid observaties te lezen die een remedial teacher over het rekenen van Ebru in groep 4 noteerde. Ondanks de grote hoeveelheid informatie blijkt het lastig om een goed beeld van haar rekenniveau te krijgen. De geschetste problematiek is wel heel herkenbaar en we vermoeden dan ook dat er in veel groepen 5 wel zo’n Ebruutje zit. Hoe kan zij geholpen worden? Iemand wil haar met geld laten werken. Deze oplossing wordt door een ander sterk in twijfel getrokken, omdat in zijn optiek het inzicht voor deze manier van werken al ontbreekt en dus zal geld niet helpen om dat inzicht te ontwikkelen. Iemand anders stelt een oefening met getalstructuren voor. Er dient ook aandacht te zijn voor het zelfvertrouwen. Met welke modellen heeft Ebru eigenlijk leren werken en kan ze daar wel mee omgaan? Dan krijgen we een video van Ebru te zien waarin zij aan het werk is met een remedial teacher. Na een half jaar remedial teaching heeft Ebru nog steeds weinig inzicht in de getalstructuur tot 100. Ze heeft wel wat meer strategieën weten te ontwikkelen. We zien Ebru 5 + 8 oplossen door de 8 te splitsen in 5 + 3, zodat ze via 5 + 5 + 3 op 13 uitkomt. Intussen zien we de deelname van Ebru aan het rekenprogramma in groep 5 somber in. Zij heeft nog tijd nodig om thuis te raken in de getallen tot 100, terwijl de rest van de groep bezig is met het verkennen van de getallen tot 1000. De practicumdeelnemers worden uitgenodigd om, met Ebru in gedachten, te reageren op de volgende stelling: ‘Om tot de kern van het reken-wiskundeonderwijs te komen zijn interactieve klassengesprekken nodig’. We constateren met elkaar dat goed interactief rekenwiskundeonderwijs voor een kind als Ebru wellicht niet voldoende is. Zo’n groot niveauverschil mogen we niet ontkennen. Iemand stelt: ‘Zwakke kinderen kunnen op het praktische niveau vaak wel uit de voeten, terwijl ze niet de formele wiskunde beoefenen’. Een ander reageert met: ‘We zijn te veel gewend te denken in vaste didactische lijnen, terwijl het vooral moet gaan om kinderen zelf belangrijke (getal)structuren te laten ontdekken’. Verder wordt besproken dat de motivatie van kinderen erg belangrijk is voor het leren. Ze moeten weten waarom ze
jaargang 24
2
zomer 2005
iets leren, zodat ze daardoor meer betrokken zijn bij het onderwijs. Laten we kinderen voldoende merken dat het proces om tot een antwoord te komen belangrijker is dan de goede uitkomst? Zijn leerkrachten wel echt geïnteresseerd in de manier waarop hun leerlingen problemen aanpakken? Dan gaan de conferentiegangers aan de slag met het aanpassen van een rekentaak uit de methode ‘De wereld in getallen’ (nieuwe versie), zodat ook Ebru goed mee kan doen met de les. Er is een opgave waarbij kinderen moeten aangeven bij welk rond getal op de getallenlijn getallen als 317 en 452 het dichtstbij liggen. We komen met het voorstel van kleine spelletjes met de getallenlijn om de aandacht van kinderen op de structuur te richten. We geven contexten om de structuur van de getallen te concretiseren. We bedenken vragen om kinderen aan het redeneren te krijgen, zoals: ‘Als je van 360 naar 370 loopt, welke getallen kom je dan tegen?’ en: ‘Welke kom je tegen als je teruggaat?’ We proberen de gesloten opgave meer open te maken en kinderen te verleiden tot eigen producties. Maar eerlijk gezegd valt het niet mee. We zijn er met veel deskundigen lang mee bezig en zijn er niet van overtuigd dat we Ebru zinvol mee kunnen laten doen met deze grote getallen. Terugkijkend op de opgave zoals die in de methode staat, zien we opeens scherp in dat het weinig oplevert om kinderen dit soort rijtjes te laten invullen als ze het niet echt begrijpen. De handleiding geeft de leerkracht veel te weinig steun om dat begrip bij kinderen te bevorderen. We voelen dat we de kern van het reken-wiskundeonderwijs in beeld krijgen. Als wij wiskunde zien als een menselijke activiteit, dan moeten we kinderen veel meer uitdagen om de wereld om hen heen te mathematiseren. Kinderen zouden zich moeten verbazen over wiskundige structuren en er actief redenerend mee aan de slag moeten gaan. Dat is een moeilijke opgave voor leerkrachten, want de methoden lokken dat eigenlijk niet uit. Bewust kiezen wat je weglaat Het aanpassen van lessen uit de reken-wiskunde aan zwakke rekenaars komt aan de orde in de werkgroep van J. Bokhove en C. Borghouts. Deze inleiders nemen eerst bewust een stelling in met betrekking tot de verschillende mogelijkheden om rekening te houden met zwakke rekenaars. Dat kan namelijk op drie mogelijke manieren: rekenen in niveaugroepen, individualisering of aanpassing van de wijze waarop met de methode gewerkt wordt met behoud van het groepsverband. Zij kiezen voor het laatste. Alle leerlingen kunnen meedoen aan interactieve momenten en daar een inbreng hebben op hun eigen niveau. De deelnemers aan de werkgroep worden concreet aan de slag gezet met een aantal lessen uit de methode ‘Rekenrijk’. Wat kun je weglaten voor de zwakke en zeer zwakke leerlingen? De discussie spitst
11
zich toe op het onderwerp breuken en procenten. Men concludeert dat iedere leerling in aanraking behoort te komen met alle maatschappelijk relevante onderwerpen. Criteria voor de beslissing om stof wel of niet aan te bieden aan zwakke rekenaars zijn: maatschappelijk nut, noodzakelijke voorkennis binnen de ingeperkte leerlijn, wat is nodig voor andere leerlingen, haalbaarheid en ten slotte het plezier dat het op kan leveren voor leerlingen. Dit betekent bijvoorbeeld dat we breuken en procenten dus ook aan zwakke rekenaars aanbieden! Hoe kinderen greep krijgen op getallen Rekenproblemen van kinderen zijn, volgens schoolbegeleider J. van Rooij, zeer vergelijkbaar. Hij heeft duidelijk veel ervaring met het begeleiden van leerlingen met rekenproblemen. Het Cito heeft die problemen goed beschreven in de hulpboeken bij het Leerlingvolgsysteem. Wat is voor hem de kern? Kinderen moeten greep krijgen op getallen. Leren rekenen is het uitbreiden van rekenfeiten en het reconstrueren van gezamenlijk aanwezige kennis. Er zijn te veel rekenlessen waarin het aantal rekenfeiten niet wordt uitgebreid en in de rekenlessen zijn kinderen vaak te passief. Van Rooij vertelt wat in zijn behandelpraktijk effectief is gebleken. Hij laat getallenkaartjes zien, en vertelt dat kinderen door die getallenkaartjes soms ineens begrijpen hoe ons tientallig systeem in elkaar zit: ‘14 – 6 = 8, dus dan is 54 – 6 = 48!’1 Deze getallenkaartjes kunnen kinderen ook van omkeringen af helpen. Soms benoemt Van Rooij de twaalf dan tijdelijk als ‘tien - twee’. Het gebruik van de vijfstructuur valt veel meer uit te buiten. De som 6 + 7 kan door kinderen goed opgelost worden door bij de 6 aan 5 + 1 te denken en bij de 7 aan 5 + 2: dan heb je de twee vijven samen is 10 en nog 3 is 13. Op deze manier komen kinderen van het tellen af. Voor het leren optellen onder 100 verwijst hij naar de tribunesommen uit ‘Rekenrijk’: 65 + 28 is, als er twee mensen van de linker naar de rechtertribune lopen, evenveel als 63 + 30. Die tribune is een goede context. Kinderen hebben baat bij een klein aantal kernachtige contexten, maar vooral niet te veel. Dat leidt weer af van de getallen. Kinderen moeten getallen leren doorzien, en daarmee redeneren. Van Rooij presenteert geen nieuwe ideeën. De getallenkaartjes lijken op de kaartjes van Montessori, maar dan zonder kleurcodes. Het gebruiken van de vijfstructuur zagen we ook bij de remedial teacher van Ebru. De hulpboeken van het Cito zijn op veel scholen aanwezig. Toch reageerden de deelnemende basisschoolleerkrachten enthousiast. Omdat het gewoon lekker praktisch was? Of hebben leerkrachten moeite om zelf door de bomen van de methodelessen de kern van de wiskunde te zien? Het vaststellen van dyscalculie A. Desoete2 en J. Menne bespreken in twee afzonderlijke
12
werkgroepen het thema ‘dyscalculie’, een hot-item dat de laatste tien jaar steeds meer aandacht krijgt. Deskundigen komen met verschillende definities en onderzoek meldt, als logisch gevolg daarvan, verschillende percentages van mensen die last zouden hebben van dyscalculie. Heeft dat nu te maken met het wetenschappelijk onderzoek, de theorieën, statistische aannamen of met verschillende invalshoeken? Richt men zich op het verschijnsel of de verklaring? Kijkt men naar het (gegeven) rekenonderwijs, de didactische aanpak, de leerlijnen van het rekenen, de resultaten op rekentoetsen in relatie met de cognitie van de leerling? Hoe belangrijk is de structuur in de methode? Desoete presenteert de ‘vragenlijst voor de school bij vermoeden van dyscalculie’. Dit lijkt een praktisch formulier voor het leerlingendossier. Ook de zogenoemde STICORDI-maatregelen (stimulerende, compenserende, relativerende, dispenserende maatregelen) lijken zinvol. Maar een handelingsplan en goed onderwijs zijn het belangrijkst. Men is volop op zoek naar middelen om dyscalculie te kunnen vaststellen. Desoete heeft het over signs in de kleuterperiode, zoals problemen met ordenen, snel serieel benoemen van bijvoorbeeld de dagen, vormen, de telrij tot 10. Kinderen met dyscalculie blijken als kleuter vaak al moeite gehad te hebben met die zaken. Voor groep 3 tot 5 is in Vlaanderen een nieuwe test beschikbaar: de ‘Tedi-Math’ (Grégoire, Noel & Van Nieuwenhoven, 2004). Deze test laat kinderen tellen, verder- en terugtellen, getallen noteren en benoemen, hoeveelheden leggen en vergelijken. Ook eenvoudige bewerkingen en verhaaltjessommen worden aangeboden. Menne, die niet ingaat op kenmerken, opvattingen en de oorzaken van dyscalculie, presenteert de ‘Dyscalculia Screener’ (Butterworth, 2003), een digitale toets voor leerlingen van zes tot veertien jaar met verschillende subtests, maar slechts de scores op test 2 ‘komen de stippen en het getal overeen?’ en test 3 ‘welk getal is meer?’ tellen mee voor de diagnose dyscalculie. Menne merkt op dat bij test 2 helaas geen sprake is van een geordend getallenbeeld, een gemiste kans volgens haar omdat het wel of niet kunnen zien van geordende getalbeelden voor de didactiek belangrijk is. Als je kunt structureren is dat een indicatie voor het handig en snel kunnen opereren met getallen. Bij test 3 komen zowel hoeveelheden (stapeltjes fiches) als cijfers aan bod die al dat niet (grafisch) qua grootte verschillen. De ‘Dyscalculia Screener’ is een eenvoudige, aantrekkelijke test maar met beperkte signaleringsmogelijkheden en daarom alleen voor de uiterst zwakke leerlingen geschikt. Een uiteindelijk resultaat met diagnose en zelfs een dyscalculieverklaring maken het totaal een beetje te gelikt en de adviezen zijn erg algemeen. Interessanter is de Zareki-toets, een Duitstalige toets voor leerlingen van zes tot tien jaar. Ook hier gaat het om tellen, terugtellen en het oplezen en vergelijken van getallen. Maar er is meer aandacht voor het lokali-
seren en de kennis van getallen. Afwachten dus, tot hij vertaald is en er Nederlandse normen voor zijn ontwikkeld. Extra aandacht heeft Menne voor het opereren op de lege getallenlijn en tot veler plezier toont ze het materiaal ‘Met Sprongen Vooruit’. Terecht. Het is een leuk product geworden, met DVD.3 De aanwezigen deden gemotiveerd met het spel ‘Gok een Hok’ (een lokaliseringsoefening) mee en ervoeren welke vergissingen je kunt verwachten, welke strategieën je kunt hanteren en hoe die te ontwikkelen. Haar pleidooi voor het ontwikkelen van een mentale getallenlijn past daar helemaal in. Begeleiders over dyscalculie Binnen begeleidingsdiensten roept het thema dyscalculie heftige discussies op. Er leven verschillende opvattingen omtrent de diagnose van en de manier van omgaan met dyscalculie. Het ging om de volgende statements: – Analoog aan dyslexie kunnen we niet meer om een dyscalculieverklaring heen. – Er moet op niet al te lange termijn een protocol ‘dyscalculie’ komen. – Het accent ligt bij het vaststellen van dyscalculie bij vroegtijdige onderkenning van rekenproblemen in het voorbereidend rekenen. Dit is absoluut noodzakelijk voor preventie van rekenproblemen en vormt de basis van een protocol. – Interventie (remediëren, behandelen) moet zo veel mogelijk kunnen plaatsvinden binnen de school. Binnen een aantal werkgroepen, worden statements bediscussieerd en worden visies van personen, die aan een beraad van experts over dyscalculie hadden deelgenomen, uitgewisseld en bediscussieerd. De werkvorm, ontleend aan coöperatief leren, geeft een duidelijke structuur. Uit de verslagen vanuit het expertberaad blijkt dat de invalshoek en achtergrond van de expert van grote invloed is op de visie betreffende dyscalculie: is er al of niet sprake van een syndroom, wat is de relatie met andere leerproblemen, op welke manier wordt dyscalculie vastgesteld, wat zijn oorzaken van dyscalculie, enzovoort? Ten aanzien van het onderzoek betreffende dyscalculie wordt een onderscheid gemaakt in handelingsgericht onderzoek en onderzoek dat gericht is op de diagnose ‘dyscalculie’, waarbij de diagnose vooral gericht is op het toekennen van de verklaring dat het kind dyscalculie heeft. Een belangrijke conclusie binnen een van de groepen is toch wel dat onderzoek in eerste instantie handelingsgericht zou moeten zijn. Kinderen moeten leren met hun rekenprobleem om te gaan en leerkrachten moeten hen daarin begeleiden en ondersteunen. De dyscalculieverklaring kan hier weinig meer aan bijdragen dan dat kinderen en ouders een naam weten te geven aan het probleem dat zij ervaren en daarmee de problemen een plaats kunnen geven. In emotioneel
jaargang 24
2
zomer 2005
opzicht kan dit een belangrijk gegeven zijn. Kortom: de visies van de deskundigen blijken soms nogal uiteen te lopen. Dit vraagt om een vervolg in de volgende begeleidersbijeenkomst.
3 Het betrekken van leerlingen bij hun eigen ontwikkeling Zowel binnen als buiten de kring van degenen die zich in Nederland bezighouden met rekenen-wiskunde, is er de laatste jaren een tendens te bespeuren om in het onderwijs meer accenten te leggen op de rol die leerlingen zelf kunnen spelen in hun ontwikkeling. Nu lijkt dat in eerste instantie geen nieuws. Traditionele vernieuwingsscholen als Montessori, Dalton en Freinet beroepen zich immers al jaren op een dergelijke benadering. Toch is het een verandering in die zin, dat er in Nederland van diverse kanten initiatieven ontplooid worden om de inbreng van leerlingen in hun eigen leerproces rigoureus te vergroten. Die aanpak wordt benoemd met termen als authentiek leren, competentiegericht leren, natuurlijk leren, coöperatief leren en meer, samen te vatten onder de noemer van ‘het nieuwe leren’ (Keijzer & Ter Heege, 2005). Het ‘nieuwe leren’ Onder leiding van M. van Reeuwijk wordt in een forum besproken hoe het reken-wiskundeonderwijs op dit moment verzorgd wordt op enkele scholen die de sturing van het leerproces zoveel mogelijk overlaten aan de leerling. T. Goris beschrijft het concept van zijn school (Unic; onderbouw HAVO/VWO) zonder klassen en zonder boeken, waarin leerlingen werken aan thema’s of taken op hun eigen niveau en in hun eigen tempo en waarbij ze zelf een werkvorm mogen kiezen. De leerlingen krijgen door de jaren heen een steeds grotere verantwoordelijkheid en zelfstandigheid. Aanvankelijk was ook wiskunde in de thema’s geïntegreerd. Voor veel vakken werkte dit concept prima, maar juist voor wiskunde bleek dit geen optimale situatie. Uit ontevredenheid over de diepgang ten aanzien van het wiskundig denken, werd al snel een wekelijkse wiskunde-middag ingevoerd. In Almere en omgeving werken meerdere scholen vanuit het concept ‘natuurlijk leren’; zo is basisschool ‘De Klaverweide’ uit Almere sinds februari 2004 getransformeerd van een ‘gewone’ school naar een plek waar kinderen verantwoordelijkheid leren nemen voor hun eigen ontwikkeling. Er wordt gewerkt vanuit voor de leerlingen betekenisvolle gehelen, geordend in prestaties, werkgroepen, onderzoeksvragen en klussen. A. Vink (APS) vertelt dat in het V(MB)O ‘natuurlijk leren’ wordt ingevoerd; net als op de school van T. Goris ontstaat ook hier
13
de behoefte aan speciale lessen rekenen-wiskunde. J. Kaptein en J. van Maanen beschrijven hoe op OBS ‘De Schatgraaf’ een heel eigen onderwijsvorm gestalte krijgt op basis van onder andere inzichten uit Human Dynamics, meervoudige intelligentie en coöperatief leren. Kenmerkend voor de aanpak op ‘De Schatgraaf’ is het feit dat er op dit moment wel een methode wordt gebruikt, maar dat men probeert die steeds meer los te laten. Bij alle inleiders wordt duidelijk, dat het ‘nieuwe leren’ groot belang hecht aan de zelfverantwoordelijkheid van de leerling, aan samenwerken of coöperatief leren en aan onderwijs vanuit betekenisvolle gehelen. Maar alle forumleden laten uitkomen dat de nieuwe aanpak wel een risico inhoudt voor de kwaliteit - met name de diepgangvan het reken-wiskundeonderwijs. J. Nelissen reageert als mede-forumlid aan de hand van een aantal stellingen. Hij wijst erop dat niet alle leren zelfstandig of constructivistisch kan worden ingericht; immers, er is ook sprake van herhalen, oefenen, toepassen van geleerde procedures en dergelijke. Verder noemt hij de niet te onderschatten rol van de leraar, als degene die niveauverhoging kan bewerkstelligen en de noodzakelijke (simultane) interactie kan leiden. In de discussie die na het betoog van J. Nelissen ontstaat, komen vooral de valkuilen van het nieuwe leren in beeld: Zou het nieuwe leren niet te veel leiden tot een laissezfaire-houding bij docenten? Staat niet te veel het ‘maken’ in plaats van het denken centraal voor de leerlingen? Zijn ze wel in staat voor zichzelf doelen te stellen en hoe garandeer je dat de leerling de vereiste eindtermen behaalt? Gezien de reacties uit de zaal lijkt bij een aantal conferentiegangers het bange vermoeden te bestaan dat veel verworvenheden van het reken-wiskundeonderwijs door het nieuwe leren teniet zullen worden gedaan. Thema’s en specifieke werkvormen N. Fijma en I. Janssen breken in de werkgroep met de titel ‘Ontwikkelingsgericht reken-wiskundeonderwijs: Tal en Tal als kern’ een lans voor het werken met thema’s. Met de uitdrukking ‘Tal en Tal als kern’, willen ze aangeven dat een leerkracht als ontwerper van een thematisch aanbod zich moet richten op Tal 1: Van thema naar activiteiten naar leerstof, en op Tal 2: Tussendoelen annex leerlijnen. Ontwikkelingsgericht onderwijs betekent werken met betekenisvolle activiteiten, gericht op een brede ontwikkeling van kinderen. Aan de hand van voor kinderen interessante thema’s worden nieuwe kennis en vaardigheden geleerd. De leerkracht neemt in deze activiteiten deel als partner, zorgt voor verdieping en voegt nieuwe activiteiten aan het thema toe. Maar dat niet alleen: de leraar is ook de bepalende factor voor een continue ontwikkeling op het gebied van verschillende vakken waaronder rekenen-wiskunde. Dit betekent dat deze kennis moet hebben van de verschillende leerstofge-
14
bieden en hun didactische opbouw en dat hij deze kennis kan vertalen naar een samenhangend aanbod. Hoe ontwikkelingsgericht reken-wiskundeonderwijs in de praktijk kan uitpakken illustreerde I. Jansen. Als leerkracht van groep 8 op basisschool ‘De Kring’ in Alkmaar opende ze samen met haar leerlingen een drogisterij-parfumerie in haar klas. Het hele jaar heeft ze met de kinderen rondom dit thema gewerkt. Daarbij liet ze de rekenwiskundemethode waar mogelijk los en ging steeds na hoe de stof kon aansluiten bij het werken in en rondom de drogisterij. Het thema bleek volop gelegenheid te bieden voor allerlei reken-wiskundige activiteiten, maar bovenal sprak uit haar hele verhaal het effect van deze werkwijze: het plezier, de betrokkenheid en de saamhorigheid van de kinderen, ook in de relatie met de leerkracht. Op een andere manier proberen voorstanders van coöperatief leren de inbreng van de leerling in het onderwijs te honoreren. Deze vorm van leren is goed inzetbaar bij het werken met de huidige realistische reken-wiskundemethoden, juist vanwege de interactie, een van de belangrijke kenmerken van realistisch rekenen. De inleiders Borghouts en Butter4 van de werkgroep ‘Gestructureerd en coöperatief leren tijdens de reken-wiskundelessen’, laten deelnemers zelf ervaring opdoen met de verschillende werkvormen. Er worden meningen uitgewisseld en uiteindelijk duo’s gevormd die de voor- en nadelen van coöperatief leren bespreken. Er wordt daarbij veel belang gehecht aan stiltesignalen van de leraar; coöperatief leren karakteriseert zich nu eenmaal door een terughoudende rol van de leraar en deze moet soms wel eens het samenwerkingsproces onderbreken om plenair iets te bespreken. Het stiltesignaal wordt dan met name toegepast om ruimte te creëren voor simultane interactie. Via de verschillende werkvormen leren de leerlingen hun eigen leerproces te verwoorden en ontwikkelen al doende meer zelfvertrouwen; de ervaring leert dat ze gaandeweg actiever met de stof omgaan, waardoor het leerrendement kan verbeteren. Natuurlijk zijn er ook risico’s, zoals meeliftgedrag en is er het mogelijke nadeel dat de samenwerkingsvormen meer tijd kosten dan de reguliere werkvormen. De kwaliteit van coöperatief leren wordt mede bepaald door de mate waarin aan een aantal kenmerken wordt voldaan: Gelijke deelname, Individuele aansprakelijkheid, Positieve, wederzijdse afhankelijkheid en Simultane interactie. Borghouts en Butter zijn van mening, dat coöperatief leren ingezet kan worden bij de reguliere reken-wiskundemethoden, zonder dat er iets aan de wiskundige lesopzet hoeft te veranderen. In de werkgroep werd de toegevoegde waarde van coöperatief leren verduidelijkt aan de hand van voorbeelden en activiteiten van gesloten situaties, zoals het oefenen van basisvaardigheden en algoritmen. Het belangrijkste pluspunt van coöperatief leren is misschien wel dat het mogelijkheden biedt om via werkvormen met horizontale interactie de participatie en betrokkenheid van de leerlingen aanmerkelijk te vergroten, ook in lessen waarbij
gewoonlijk oplossingen worden besproken via verticale interactie onder leiding van de leraar. Nascholing op lange termijn In de werkgroep van A. Noteboom en D. Janson met de conferentiethema-titel ‘De kern van het reken-wiskundeonderwijs’ wordt geprobeerd een analyse te maken van de huidige situatie in het basisonderwijs en een richting aan te geven waarin de scholing en begeleiding van leraren zich zou moeten begeven. Het gedrag van de leraar zou zodanig moeten veranderen, dat deze met name een grotere betrokkenheid van leerlingen bij hun eigen leerproces kan helpen realiseren. Bij het ideaalbeeld van een leraar met zijn of haar groep, denken we misschien aan een enthousiaste klas vol gretige, betrokken kinderen, die allemaal staan te dringen om hun actieve bijdrage aan het leerproces te geven. Vaak ziet het onderwijs er echter heel anders uit: weinig actieve leerlingen, weinig betrokkenheid; er wordt klassikaal gewerkt met de methode. De leerkracht is nauwelijks bekend met doelen en/of leerlijnen. Ieder kind - ongeacht niveau of tempo - doet hetzelfde. Er is veelal sprake van individueel zelfstandig werken en dat is wat anders dan: zelfstandig leren! Elke onderwijsgevende weet dat de leerstof moet aansluiten bij het niveau van de leerlingen als je het kind iets wilt leren. Maar dat wordt lastig, want de methode richt zich op de middenmoot van de klas; het overige deel van de leerlingen heeft dus algauw een probleem. Voor de betere leerlingen is er in de les nauwelijks iets te halen, de zwakkere leerlingen luisteren eerst naar de gewone instructie die hen veelal boven de pet gaat, en krijgen daarna nog een ‘verlengde instructie’ om de leerstof van de eerste instructie alsnog te kunnen begrijpen. Het project ‘Weer samen naar school’ heeft deze problemen niet kunnen verhelpen: het verschil tussen de sterkste en de zwakste leerling is alleen nog maar groter geworden. Dit geschetste onderwijsgedrag wordt instandgehouden door een heel systeem van overtuigingen en maatschappelijk verankerde opvattingen. Immers: de reken-wiskundemethoden schrijven precies voor wat de leerlingen moeten doen. Kinderen en ouders verwachten veel volle oefenschriften, waarbij al het werk is nagekeken. De inspectie beoordeelt in de klassensituatie in hoeverre er sprake is van ‘taakgericht gedrag’; daaronder valt echter ook sommen maken en dat maakt algauw een meer ‘taakgerichte indruk’ dan het denken over oplossingsstrategieën. Een valkuil voor de leraar is bovendien dat het gemakkelijker is om leerlingen zelfstandig te laten werken, dan een interactieve instructie te leiden. Voor de leerling zelf is vaak wel duidelijk wat er gedaan moet worden, maar zelden waarom het moet gebeuren. Leerkrachten weten best dat ze hun leerlingen niet altijd even goed bedienen. Ze zoeken naar extra leermiddelen, oefenmateriaal, beoordelingsinstrumenten of gaan bij-
jaargang 24
2
zomer 2005
voorbeeld werken met niveaugroepen. De oplossingen worden dus vooral gezocht in vorm- en organisatieaspecten en ook de meeste nascholing is gericht op vormen en middelen. Volgens Janson is een blikwisseling nodig, waarin methoden, leermiddelen en nascholing zich niet meer richten op kortetermijnoplossingen op het niveau van vorm of leerkrachtgedrag, maar op het veranderen van de overtuigingen van de leerkracht: voor echte onderwijsverandering is het noodzakelijk dat de overtuigingen van de leerkracht veranderen. Stel dat een leerkracht tot de nieuwe overtuiging is gekomen dat ‘een kind wel wil werken, als het maar weet waarvoor dat werk dient’. Het is aannemelijk dat de leerkracht zich vervolgens af zal vragen: ‘Welk gedrag van mij is hierbij nodig?’ en ‘Welke vormen en organisatie kan ik daartoe het best gebruiken?’ Daar moet de nascholing en begeleiding op inspelen. Een school gebruikt ‘Rekenrijk’. De kinderen maken bij het begin van een blok - anders dan de methode aangeeft eerst de toets van dat blok. Vervolgens formuleren ze wat ze nog moeten leren. Op basis hiervan sluiten ze een contract met de leerkracht. Dat kan leiden tot een meer positieve leer- en werkhouding van leerlingen. Gerichte nascholing en begeleiding kan ertoe leiden dat een leraar gaat inzien dat nog een keer instructie geven niet helpt en dat relatief kleine veranderingen in de aanpak ervoor kunnen zorgen dat leerlingen het ‘eigenaarschap’ over hun eigen leerproces verwerven. De rol van computers Zo’n nascholing is ook nodig voor een onderwijsmedium waar je het misschien niet zou verwachten: het ‘RekenWeb’ (F. van Galen en V. Jonker). Wil deze specifieke leeromgeving echter optimaal benut worden, dan is het noodzakelijk dat de leraar op de hoogte is van wat die leeromgeving te bieden heeft met betrekking tot exploratie van concepten en als middel ter ondersteuning van het oefenen. Ook is het nodig leerlingen te observeren om te achterhalen wat ze achter de computer doen. Over de inbreng van de leerlingen zelf hoeven we ons geen zorgen te maken; het feit dat het ‘RekenWeb’5 inmiddels een van de meest populaire websites is voor kinderen in Nederland, spreekt wat dat betreft boekdelen. In een andere werkgroep tonen P. Boon en J. van den Brink hoe enerverend het blokken bouwen met de computer is voor kinderen. Vooral de virtuele mogelijkheden maken leerlingen actief, zowel fysiek als mentaal. Dat heeft onder andere te maken met de mogelijkheden die de computer biedt om op basis van aanzichten en plattegronden bouwsels te genereren die in werkelijkheid niet kunnen (be)staan. Door nabouwen met echte blokken, door hardop denken, door redeneren en overleggen met z’n tweeën - bijvoorbeeld uitleggen aan elkaar - worden kinderen zich bewust van de (on)mogelijkheden en leren ze strategieën ontdekken.
15
Wie doet het denkwerk? Onder die titel geeft M. Dolk een plenaire lezing en blijkt daarmee een waardig vervanger van de helaas door ziekte verhinderde professor H. Bauersfeld. Vorig jaar werden we verrast door een uitspraak van Dolk dat de reken-wiskundemethoden in Nederland te goed zijn. De uitspraak, die hij in deze lezing weer doet is opmerkelijk, vooral gezien de goede resultaten van het reken-wiskundeonderwijs in Nederland (zie PPON) en het feit dat de moderne reken-wiskundemethoden belangrijk bijdragen aan dat succes. Hoe kan het dat reken-wiskundemethoden te goed zijn? Dolk vindt dat ze zo gestroomlijnd en geperfectioneerd zijn dat er nauwelijks didactisch denkwerk overblijft. Niet de leraar doet het didactisch denkwerk, maar de methodemaker of de ontwikkelingsonderzoeker. Het zou beter zijn als leerkrachten de wiskunde uit de leerlingen laten komen. Je creëert een spannende context en je laat leerlingen ontdekken en uitzoeken hoe het probleem opgelost kan worden. Voor het wiskundig denkwerk geldt hetzelfde: het rekenrek, de lege getallenlijn en het strokenmodel wordt de leerlingen opgedrongen. Volgens Dolk zijn het voornamelijk de methodemakers die het wiskundig denkwerk doen. De leerkrachten doen dat nauwelijks en de leerlingen - die het zouden moeten doen - zelden. De opdrachten zijn zo ontworpen en uitgelijnd, dat er voor de leerlingen nauwelijks iets te denken overblijft; het is te gladjes en de stapjes zijn te klein. Die aanpak komt misschien voort uit de diepe behoefte om ‘hét te vertellen’, een houding die je ook in andere onderwijsculturen aantreft, zoals in de Duitse; in het Japanse onderwijs is de leraar veel meer een mediator tussen de leerlingen en de wiskunde. Dolk refereert aan Freudenthal die wiskunde als menselijke activiteit ziet, as a human activity of mathematizing. De kern van het reken-wiskundeonderwijs is niet mathematics, maar mathematizing. Het moet gaan om het ontdekken en bediscussiëren van big ideas (grote inzichten), zoals de relatie tussen optellen en aftrekken, het tientallig stelsel of de maatverfijning bij de kommagetallen. Het betoog wordt verduidelijkt aan de hand van beelden uit het New Yorkse onderwijs. We zien een volle klas met leerlingen die bezig zijn met een verhoudingsprobleem, waarvoor ze in eerste instantie in kleine groepjes een oplossing proberen te vinden. Deze worden op een poster geschreven en ter discussie gesteld in de grote groep. Hoe kun je nu zien dat de leerlingen echt zelf wiskunde doen? Wat opvalt is dat de leerlingen het probleem herkennen en het zich duidelijk eigen maken (het ownership). Ze leggen verantwoording af van wat ze doen: eerst in de kleine groep waar het denken ter discussie staat, later plenair bij het presenteren en bediscussiëren van de resultaten. Daarbij is het van belang dat de leerlingen elkaar kunnen begrijpen, hetgeen van de uitlegger en van de toehoorder het nodige denkwerk vraagt. Dit leidt tot een waarlijk, inhoudelijk gesprek waarbij de wiskunde cen-
16
traal staat. De beelden zijn overigens niet representatief voor het Amerikaanse primaire onderwijs, aldus Dolk. Hoe dan ook, refererend aan het thema van de conferentie: ‘De kern van het reken-wiskundeonderwijs’, zal niemand betwisten dat ‘het denken bij de kinderen leggen’ een kernzaak is en ‘leren het denken bij de kinderen te leggen’ een kernopdracht voor eenieder die zich met het reken-wiskundeonderwijs geven bezighoudt.
4 De professionele ontwikkeling van leraren Inleiding In feite is de Panama-conferentie het jaarlijkse evenement voor het rekennetwerk in Nederland waar experts elkaar op de hoogte brengen van gaande en komende ontwikkelingen binnen het vakgebied. De professionele ontwikkeling van leraren is een onderwerp dat deel uitmaakt van iedere conferentiethematiek; er wordt in vrijwel elke werkgroep of lezing wel over gesproken of gediscussieerd. Deze conferentie was er expliciet aandacht voor dit onderwerp in de NVORWO-lezing van T.C.M. Bergen, hoogleraar onderwijskunde van de ‘Radboud Universiteit’ te Nijmegen. Verder waren er tijdens de conferentie twee werkgroepen waarin de rol van taal voor het rekenwiskundeonderwijs aan de orde werd gesteld, typisch een onderwerp waar alle leraren, en zij niet alleen, zich van op de hoogte zouden moeten stellen ten gunste van hun eigen ontwikkeling en die van hun leerlingen. In de paragraaf ‘Aanstaande leraren op weg helpen’ bespreken we nog twee bijeenkomsten die te maken hebben met de professionele ontwikkeling van Pabo-studenten. Het leren door leraren Leraren houden zich meer of minder expliciet bezig met leerprocessen bij hun leerlingen. In de voordracht van T. Bergen ligt de vraag op tafel of, in welke mate en op welke wijze leraren zich bezighouden met hun eigen leerprocessen. Maar ook op welke wijze instituties, die zich bezighouden met de professionele ontwikkeling van leraren, blijk geven van inzicht in de wijze waarop leerprocessen bij leraren verlopen en hoe deze ondersteund kunnen worden. Op basis van onderzoek wordt geconstateerd dat ‘opleiding en nascholing er moeizaam in slagen om de professionele ontwikkeling van leraren tijdens de beroepsuitoefening krachtig te bevorderen’. Het gaat daarbij vooral om de professionele ontwikkeling die gewenst is ten behoeve van ‘grootschalige vernieuwingen die door de overheid zijn geïnitieerd’ en ook om vernieuwingen die de dynamische relaties tussen leren en onderwijzen herdefiniëren, onder invloed van constructivistische leertheorieën en daarmee om nieuwe opvat-
tingen, kennis en vaardigheden van leraren vragen. Daarbij vraagt men zich in onvoldoende mate af in welke mate en op welke manier nagestreefde veranderingen werkelijk bijdragen aan de kwaliteit van het leren door kinderen en studenten. Vernieuwingen worden in deze top-down benadering nogal eens van achter de werktafel en vanuit ideaal-typische visies geïnitieerd, waarbij de vernieuwing meer bijdraagt aan de eer en glorie van de beleidsmakers en de ontwikkelaars dan aan de kwaliteit en effectiviteit van het leren op de werkvloer. Bergen onderscheidt drie benaderingen met betrekking tot de wijze waarop aan professionele ontwikkeling van leraren wordt gewerkt: - De benadering waarbij praktijkkennis en ervaring van de leraren met betrekking tot de praktische aspecten van het lesgeven de basis zijn voor de professionele ontwikkeling. De docent is eigenaar van zijn/haar veranderingsproces. Aansluitend bij de eigen praktijk wordt iets toegevoegd. - De benadering waarbij de professionele ontwikkeling van leraren aangestuurd wordt door de inhoud van (na)scholingsprogramma’s die door experts zijn ontwikkeld. Deze benadering gaat uit van het deficiëntiemodel: leraren hebben een tekort aan kennis en informatie om bepaalde onderwijsmodellen en strategieën vorm te kunnen geven. Dit tekort moet aangevuld worden. Over het algemeen gebeurt dit vanuit de daartoe ontwikkelde theorie. Binnen deze benadering hebben leraren experts nodig om hun manier van onderwijs geven te kunnen veranderen. Er is sprake van een deprofessionaliseringstendens omdat leraren vooral uitvoerders worden van wat anderen bedacht hebben. - De derde benadering integreert de beide voorgaande op een zodanige manier, dat zij gelijkwaardig worden en elkaar bevruchten en ondersteunen. Bij dit interactieve model worden leraren actief betrokken bij de eigen ontwikkeling en bij de vormgeving van veranderingsprocessen. Zij werken daarin samen met experts die de praktijkkennis van leraren serieus nemen en daarbij aansluiten. Uitgangspunt is dat gedragsverandering met name ontstaat op basis van (zelf)reflectie en feedback, niet op basis van louter informatie. In deze benadering kunnen mentoring, coaching en actieonderzoek belangrijke instrumenten zijn. Coaching en actieonderzoek ziet Bergen als belangrijke functies van scholen die werk willen maken van professionele ontwikkeling van hun leraren. Bij actieonderzoek zijn leraren onderzoeker van hun eigen onderwijspraktijk door regelmatige (zelf)reflectie, intervisie en coaching. Helaas is hiervoor meestal te weinig tijd. Bij deze benadering is aandacht voor de integratie van organisatorische - en inhoudelijke veranderingen, de zogenaamde first en second order changes. Bergen gaat hierna nog uitvoerig in op de rol, functie en
jaargang 24
2
zomer 2005
plaats van de mentor in de schoolorganisatie, zowel in relatie tot de beginnende en meer ervaren leerkracht als met betrekking tot de leraar in opleiding. Hij constateert dat de mentor een belangrijke rol kan spelen in de professionele ontwikkeling van (aankomende) leerkrachten en in de ontwikkeling van de school als een professionele organisatie. Belangrijk daarbij is dat aan een aantal voorwaarden wordt voldaan, zoals: professionalisering van de mentor, ontwikkelen van een duidelijke visie op de taak en de rol van de mentor in het geheel van de ontwikkeling van de school en de samenwerking met de opleidingsinstelling. Er kan dan echt werk gemaakt worden van de werkplek-leeromgeving als een rijke leeromgeving voor de leerkracht in opleiding en van de begeleiding van leerkrachten in het toepassen van actieonderzoek. Het is een idee dat op een aantal Pabo’s al wordt uitgewerkt; er worden basisscholen geadopteerd waarmee een sterke inhoudelijke en organisatorische relatie wordt aangegaan. Taal in het reken-wiskundeonderwijs Leerkrachten spreken van een taalachterstand als de dagelijkse taalvaardigheid van kinderen niet voldoet aan de schoolse eisen. M. Hayer gebruikt in haar lezing hierbij het beeld van een kloof, met aan de ene zijde de thuistaal en aan de andere zijde de schooltaal. De centrale vraag die ze daarbij stelt luidt: hoe bouwen we een brug over deze kloof? Het bouwen van deze brug wordt belemmerd doordat leerkrachten nog te vaak de ontwikkeling van taalvaardigheid beschouwen als een apart vak. Onderdelen als spelling, lezen, woordenschat, stellen en ontleden worden vooral onderwezen tijdens de taallessen. De mogelijkheid om hier tijdens andere vakken ook aan te werken wordt nog te weinig benut, hoewel er vanuit vakdidactisch perspectief genoeg aanknopingspunten zijn om taalontwikkeling en vakinhoud te integreren. Hayer laat zien dat taaldidactiek en de didactiek van het realistisch reken-wiskundeonderwijs veel gemeenschappelijke kenmerken hebben. Het leren van rekenen-wiskunde en taal kunnen goed samengaan als aan drie voorwaarden wordt voldaan. Ten eerste moet er sprake zijn van een rijk taalaanbod waardoor de taal begrijpelijk wordt. In een reken-wiskundeles kan dit gebeuren door te werken met betekenisvolle contexten. Ten tweede is interactie belangrijk omdat de kinderen dan veel gelegenheid krijgen tot mondelinge taalproductie. Tijdens interactieve momenten kan een leerkracht taalsteun bieden zodat teksten goed begrepen worden. In het realistisch reken-wiskundeonderwijs speelt de taal een rol tijdens interactiemomenten; het gaat dan met name om het verwoorden van de oplossingsstrategie en het kunnen opzetten van redeneringen. De derde en laatste voorwaarde is het geven van directe feedback op het taalgebruik, zowel op de inhoud als op de
17
vorm. Ook als leerlingen bijvoorbeeld fouten maken in hun taalgebruik, is het belangrijk dat de leraar meteen reageert. Hayer stelt dat leerkrachten zich meer bewust moeten worden van de rol van taal in andere vakken. Ze spreekt over de noodzaak een brug te bouwen over de taalkloof; dat bouwwerk kan er komen als leraren zich meer bewust worden van de rol van taal bij het leren van rekenen-wiskunde. D. van Eerde en C. van den Boer gaan tijdens hun lezing over taalgericht reken-wiskundeonderwijs in op de rol van taal bij rekenen-wiskunde. Zij ervaren dat leerkrachten snel denken dat moeilijkheden van leerlingen bij het vak rekenen-wiskunde van wiskundige aard zijn; de rol die taal speelt wordt vaak niet gezien of onderschat. Het gebeurt nogal eens dat de interactie niet op gang komt door taalproblemen; omdat leerkrachten zich daarvan onvoldoende bewust zijn blijven die problemen vaak te lang bestaan. Met Wisbaak6 kunnen leerkrachten en kinderen op een heel concrete manier werken aan taalontwikkeling tijdens de rekenles. Het is een educatief pakket met interactieve, taalgerichte lessen, korte computerprogramma’s, begrippentoetsen, een elektronisch woordenboek en een lerarenhandleiding. Het programma kan leerlingen bijvoorbeeld ondersteunen bij het leren lezen en begrijpen van de tekst bij contextopgaven. Moeilijke woorden of wiskundige begrippen kunnen op de computer met zogenaamde applets worden toegelicht. In het programma staan kant en klare opgaven, maar de leraar kan ook zelf opgaven invoeren waardoor hij gestimuleerd wordt ook zelf na te denken over de taal in de rekenles. De ontwikkelaars van ‘Wisbaak’ richten zich met het pakket niet alleen op de leerlingen, maar ook op de professionalisering van leerkrachten. Aanstaande leraren op weg helpen In het opleidingsonderwijs wordt al jaren een strijd geleverd om studenten een voldoende niveau van gecijferdheid te laten verwerven. Veel Pabo-studenten lijken moeite te hebben om wiskunde te zien in het leven van alledag, waardoor ze kansen missen om daar iets mee te doen in het onderwijs. Veel studenten zijn daarin ook niet of nauwelijks geïnteresseerd. In de werkgroep ‘Gecijferdheid, eigen vaardigheid en geïnspireerd leren’ van F. Garssen, C. Casu-de Vries en M. Dolk, maken we kennis met een aanpak om de attitude van Pabo-studenten positief te beïnvloeden. De deelnemers worden allereerst getrakteerd op een videofragment van Brigitte Kaandorp die ingaat op het feit dat er iedere seconde ergens op de wereld drie baby’s worden geboren. Volgens de practicumleiders toont ze hier een grote mate van gecijferdheid: ze verbaast zich bijzonder over dat gegeven en slaat aan het redeneren; beide aspecten zijn kenmerken van een wiskundige attitude. Interessant is het element van verbazing dat de practi-
18
cumleiders als belangrijk kenmerk van ‘gecijferdheid’ naar voren brengen. In de werkgroep wordt duidelijk hoezeer juist dat aspect het dilemma aangeeft dat er bestaat voor de opleiding. De werkgroepdeelnemers vinden in de (kranten)artikelen die de studenten zelf hebben uitgezocht, allerlei boeiende rekenideeën waarop ze hun rekenvaardigheid kunnen botvieren; zoals het artikel waarin staat dat je als automobilist twee seconden afstand moet houden op de (autosnel)weg, omdat je dat € 400.kan kosten. De studenten blijken voor dergelijke problemen echter nauwelijks warm te lopen en al helemaal niet als het een probleem van een andere student betreft. Als opleider zou je willen dat studenten zich wiskundig gaan verbazen en dat ze daardoor aan de slag willen gaan en rekenvaardigheden opdoen die leiden tot gecijferdheid. Maar de verbazing van een opleider is niet dezelfde als die van een student. Hoe breng je dat dan toch samen? De practicumleiders geven aan dat het belangrijk is dat studenten eigen (reken)vragen stellen, maar het lastige daarvan is wel dat die vragen vermoedelijk bedacht worden ‘omdat het moet’ en geen afspiegeling zijn van wat de student bezighoudt: een opleidings-didactisch dilemma dus. Hoe laat je de vonk overslaan ofwel: hoe verander je de houding van (aanstaande) leraren? Ook donderdagochtend, tijdens de categoriale bijeenkomst van opleiders, wordt de tendens zichtbaar die er de laatste jaren te bespeuren is om studenten meer verantwoordelijkheid te geven voor de eigen professionele ontwikkeling. Dat uit zich bijvoorbeeld in een toenemende aandacht voor reflectieve vaardigheden en het werken aan een persoonlijk ontwikkelingsplan met geformuleerde competenties als algemeen kader; reflectie staat daarbij in dienst van die zelfsturing. Deze en andere kernbegrippen hebben hun neerslag gekregen in onder andere ‘Koersen op Meesterschap’.7 Na de maiden-speech van J. Verwaal en een inleiding van J. van den Bergh over de mogelijkheden die het tijdschrift ‘Volgens Bartjens...’ zou kunnen bieden voor het opleidingsprogramma van de Pabo, worden de opleiders in kleine groepen aan het werk gezet. Centraal in dat practicum staat de vraag wat je als opleider kunt doen om het lezen van het nieuwe tijdschrift ‘Volgens Bartjens...’ voor de studenten de moeite waard te maken. En: hoe het werken ermee meerwaarde kan krijgen voor studenten. Het practicum levert een keur aan ideeën op, zowel voor de korte termijn - ten behoeve van ad hoc-gebruik in een bijeenkomst met studenten - als voor de lange termijn voor inpassing in het Pabo-curriculum. Favoriet blijkt ‘de stelling’ uit ‘Volgens Bartjens...’, als keuzeonderwerp voor verdere uitwerking. Zo komt een practicumgroep op het idee voor een ‘Lagerhuisdiscussie’ aan de hand van een stelling, met de opdracht voor studenten zich te verdelen in ‘aanvallers’ en ‘verdedigers’ van de stelling. IJkpunt vormt de kwali-
teit van de bedachte argumenten: na een week volgt een discussie met een jury die de winnaar aanwijst. Een andere groep bedenkt een langetermijnontwikkeling voor het gebruik van het idee ‘Stelling’. Wij hebben geprobeerd om het idee van ‘De stelling’ uit ‘Volgens Bartjens...’ te plaatsen in diverse stadia van het ontwikkelingsproces van studenten. 1 In eerste instantie kan een stelling gebruikt worden ten behoeve van de start van een leerproces over bijvoorbeeld het leren onderwijzen van de kommagetallen. De opleider brengt een stelling in en de discussie die volgt leidt tot een oriëntatie op dat gebied of lokt uit om op onderzoek te gaan in de praktijkschool, te gaan lezen over het onderwerp en meer. Het kan studenten ook een ingang verschaffen voor het persoonlijk ontwikkelingsplan. 2 Op een hoger niveau kunnen studenten gaande het leerproces zelf een stelling voorbereiden en ter discussie stellen. Dit vraagt meer expertise van de opleider dan in fase 1; de opleider moet kunnen loslaten, de studenten vertrouwen geven en tegelijkertijd op het goede moment kunnen inspringen om ze tot niveauverhoging te brengen. 3 In de eindfase van de ontwikkeling van studenten kan ‘de stelling’ dienen als middel om een leerproces af te sluiten of te beoordelen, of een visie te ontwikkelen en te onderbouwen, bijvoorbeeld aan de hand van de eigen leervraag in samenhang met het persoonlijk ontwikkelingsplan. De aanwezige opleiders krijgen de verzamelde practicumuitwerkingen per e-mail toegestuurd. De bijeenkomst wordt door J. Verwaal afgesloten met een oproep aan de deelnemers zich aan te melden voor het landelijk netwerk van opleiders. Die oproep is niet onbelangrijk. Juist in deze tijd van turbulente veranderingen in de opleidingen is het van cruciaal belang om ideeën uit te wisselen en elkaar te ondersteunen in het streven naar behoud van kwaliteit.
deel van € 1200,- moet worden berekend. Een vraag van de leerkracht naar een verklaring voor dezelfde uitkomst leidt tot verschillende reacties: een verklaring met gebruik van ‘kennis’ over wegstrepen van nullen, uitleg via de strook, maar ook vergelijking met een proefwerk waarbij negen van de tien sommen goed zijn gemaakt. Dit voorbeeld laat zien dat je door handig van de ene naar de andere verwante opgave te switchen, veel problemen kunt aanpakken en relaties kunt leggen. De Tal-groep vindt het belangrijk dat leerlingen deze samenhang, maar ook de verschillen in structuur en soorten relaties gaan doorzien. Breuken verwijzen naar een deel van iets en bij kommagetallen hoort meestal een maat. Wanneer gebruik je bij voorkeur wat? Dit houdt in dat er meer aandacht moet komen voor inzicht en begrip dan voor inoefenen van procedures, dus meer discussie en open vragen en minder instructie. Dat zal best moeilijk zijn voor leerkrachten. Zij klagen juist over het overvolle lesprogramma en hebben de ervaring dat de helft van de leerlingen op deze gebieden afhaakt. Bekend is dat leerkrachten voor deze zwakkere rekenaars vaak hun toevlucht nemen tot ‘trucjes’. Toch pleiten Buijs en Van Galen tegen het werken in niveaugroepen en voor klassengesprekken met de hele groep. Het werken op eigen niveau zal beperkt moeten blijven tot het zelfstandig werken. Men is op zoek naar de uitwerking van dit begripsgerichte onderwijs in leerlijnen. Natuurlijk wil men aansluiten bij informele kennis van leerlingen, waarbij kinderen steeds moeilijkere problemen voorgelegd krijgen. Kiezen we dan voor guided reinvention, geleid herontdekken, met een sterke sturing van de leerkracht? Of geleid heruitvinden, waarbij een sterk beroep wordt gedaan op eigen activiteiten van de leerling? Het voorbeeld voor de leerlijn kommagetallen, waarbij zowel het klikwiel als de meetstrook worden ingezet voor de relatie en positie van de kommagetallen, zoals indertijd de Egyptenaren al deden, levert veel discussie op. Wie richt zich op het onderwijs en wie op de leerlingen?
5 Onderzoek en ontwikkelingen
Babylonische rekenkunst
Van procedure- naar begripsgericht onderwijs K. Buijs en F. van Galen kaarten in een parallellezing aan dat het reken-wiskundeonderwijs zich beweegt van proceduregericht naar steeds meer begripsgericht onderwijs. Duidelijk is dat er bij het domein getallen en getalrelaties meer aandacht is gekomen voor inzicht en begrip. Bij breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten ligt het accent toch nog vaak op het leren van procedures. De Tal-bovenbouwgroep zwengelt de discussie aan: welke inzichten zijn belangrijk bij breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten? Buijs vertelt over een nabespreking van een opdracht uit 90 9 -----groep 7, waarbij onder andere --10 deel van € 1200,- en 100
jaargang 24
2
zomer 2005
Met M. Kindt blijven wij even in het verre verleden van de rekenkunst hangen. In Mesopotamië (nu Irak); oftewel ‘het land van de Eufraat en de Tigris’ maakte men tussen achttien- en zestienhonderd voor Christus al berekeningen op kleitabletten. De deelnemers aan de werkgroep mogen een kleitablet bestuderen. Men herkent structuren en ziet dat de Babyloniërs in staat waren met gebruik van slechts twee tekens een kleitablet te vullen. Door de volgorde en het aantal tekens en ten slotte de context wordt de betekenis duidelijk. Het kleitablet toont dat er gewerkt werd met een sexagesimaal getallenstelsel. Conferentiegangers anno 2005 blijken nu nog steeds in staat daaruit de tafel van 5 te herleiden! Bij het getalsysteem van de Babyloniërs is noch sprake van nullen, noch van komma’s. Daarmee zijn getallen
19
poly-interpretabel. Uit de context moet de exacte waarde van het getal blijken. Deze korte analyse leert ons veel over de efficiëntie van ons eigen getalsysteem. We hebben minder ruimte en tekens nodig voor getallen en we zijn in staat los van de context getallen te noteren zonder dat twijfel kan bestaan over de waarde ervan. Problemen ontstaan voor de Babyloniërs bij het bepalen van de zijden van een vierkant met ‘2’ als oppervlakte. Zij probeerden dat op te lossen door trial and error. De oplossing bereik je daarmee echter nooit! Het stoeien met deze oude problematiek was heel inspirerend voor de deelnemers.8 (s)Taartdelingen Ook F. Keune, hoogleraar wiskunde aan de ‘Radboud Universiteit’ te Nijmegen, wijst ons op de prachtige constructie van ons tientallige getalsysteem. Hij laat zien dat het algoritme van de staartdeling handig gebruikmaakt van deze tientalligheid. Bij 2715 : 4 komt dat als volgt naar voren: 2000 = 0 × 4000 + 2000 2700 = 6 × 400 + 300 310 = 7 × 40 + 30 35 =8×4+ 3 uitkomst 678 rest 3
Keune houdt een vergelijkbaar betoog over het werken met breuken. Kortom: dit soort algoritmen hangen samen met ons getalsysteem. Het uitvoeren van algoritmen kunnen we door de computer laten doen, maar mensen moeten wel zelf begrijpen wat ze aan de computer overlaten, anders gaat het fout. Het voorbeeld van de Skudraket die zijn doel mist vanwege misrekening is pijnlijk… Kennis van getallen is van wezenlijk belang voor bijvoorbeeld het planetarium, voor cryptografie met zijn computer codering en voor de ontwikkeling van wapens (bijvoorbeeld berekening van de vlucht bij raketten). Daarom moeten toch in ieder geval enkele kinderen per basisschoolklas leren begrijpen waar het bij rekenen om gaat. Die kleine groep wiskundig begaafden dient namelijk later onze maatschappij te sturen en overeind te houden, aldus Keune. TAL breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten De Tal-groep reikt tijdens de conferentie een eerste publicatie (Keijzer, e.a., 2005) uit over breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen. K. Gravemeijer en R. Keijzer pleiten voor meer aandacht voor het bevorderen van het inzicht van leerlingen in deze onderwerpen. Kerninzichten zijn de samenhang tussen begrippen als ‘ 1-4 deel’, ‘25 procent’ en ‘1 op de 4’. Verder het doorzien van verschillende wiskundige beschrijvingen als ‘ 1-4 liter’, ‘0,25 liter’, ‘een kwart liter’ en ‘25 cl’, waarbij het wel steeds om hetzelfde gaat. Men stelt voor om te gaan
20
werken volgens het principe van guided reinvention, zoals S. Stevin dat deed bij het heruitvinden van kommagetallen. Over deze keuzen moet nu eerst goed worden gediscussieerd, vinden Gravemeijer en Keijzer. Het gebied van breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten blijkt steeds weer complexer dan men denkt. Hier spelen fenomenologische aspecten een rol, zoals de verschillende namen voor de breuken. Daarom stelt de Tal-groep voor om leerlingen eerst een stevig relatienet te laten opbouwen, door ze meer te laten redeneren in plaats van te snel laten aflezen. Het inzicht moet verdiept worden, ook voor zwakke rekenaars. Dan maar minder oefening in het uitvoeren van bewerkingen. Een voorbeeld van wat men als belangrijk inzicht ziet: 1 kilo kost € 1,20. Wat kost 0,762 kilogram ongeveer? Hoe zie je dat het kommagetal 0,762 kleiner is dan 1? 3 Uitwerking 0,762 kg is 762 gram of ongeveer -4 kilogram. Iets meer dus iets meer dan € 0,90.
Op de conferentie wordt stevig gediscussieerd. Waarom geen differentiatie in niveaugroepen? Het gaat al gauw te snel voor de zwakkere leerlingen. Tal wil de stof voor deze leerlingen wel beperken tot de eenvoudige breuken. Maar de betere leerlingen moeten door het nadenken over problemen juist tot beter inzicht komen. En zou het misschien handiger zijn om bij guided reinvention met procenten en kommagetallen te beginnen en dan later pas over te gaan op de breuken? Heeft de gemiddelde leerkracht zelf wel genoeg inzicht in deze stof? Inmiddels heeft men bij de SLO bestudeerd wat er van leerlingen in het VMBO verwacht wordt op het gebied van inzicht in en rekenen met kommagetallen. P. van der Zwaart en J. Klep laten voorbeelden zien van opgaven waarbij kommagetallen een rol spelen bij de vakken wiskunde, natuurkunde en wereldoriëntatie. Er lijkt in het VMBO niet of nauwelijks tijd ingeruimd te worden aan het opfrissen en uitbreiden van het inzicht van leerlingen ten aanzien van kommagetallen. Men gaat ervanuit dat de leerlingen ermee kunnen werken. Het rekenwerk zelf wordt algauw met de rekenmachine uitgevoerd. Hoe kunnen wij vanuit het basisonderwijs bijdragen aan een doorgaande lijn? Duidelijk is dat het aanbrengen van voldoende inzicht in kommagetallen essentieel is en dat het leren cijferen met kommagetallen minder geoefend hoeft te worden. Leren vermenigvuldigen met grotere getallen In de onderzoekersgroep presenteert K. Buijs de eerste resultaten van zijn onderzoek9 naar de ontwikkeling van notatieondersteunende hoofdrekenstrategieën bij het vermenigvuldigen in groep 7. Een van de centrale onderzoeksvragen luidt, hoe een realistische leergang rond het verwerven van flexibele, notatieondersteunende hoofdre-
kenstrategieën eruit kan zien. Een andere vraag is in hoeverre het mogelijk is om ook zwakkere rekenaars tot het verwerven van dergelijke hoofdrekenstrategieën te laten komen. Het uitgangspunt voor het onderzoek wordt gevormd door de leergang hoofdrekenen in de reken-wiskundemethode ‘Wis en Reken’. Het gaat hierbij met name om de vertrouwdheid van leerlingen met ‘het kladblaadje’ en een eigen ‘constructieruimte’. Op basis van deze leergang hoofdrekenen wordt een aangepaste leergang ontwikkeld voor het vermenigvuldigen met grotere getallen. Deze laatstgenoemde leergang is specifiek gericht op het ontwikkelen van notatieondersteunende hoofdrekenstrategieën. Uit een vooronderzoek blijkt dat een relatief grote groep leerlingen niet vertrouwd is met informele, notatieondersteunende hoofdrekenstrategieën. Dat is vooral problematisch voor leerlingen die niet tot beheersing van het cijferalgoritme komen. Zij zoeken hun toevlucht tot ‘helemaal-uit-het-hoofd-strategieën’ waarbij zich hoge foutscores voordoen. De oorzaak van het probleem wordt gezocht in de tamelijk abrupte overgang van het hoofdrekenen zonder hulpnotaties naar het cijferend rekenen. Het advies van Buijs is dan ook om de zwakkere rekenaar een optimale kans te geven om tot passende notatieondersteunende hoofdrekenstrategieën te komen. Dit kan plaatsvinden aan de hand van een leergang waarin de volgende fasering wordt doorlopen: (1) herhaald optellen, verdubbelen, en dergelijke; (2) factor 10 redeneren; (3) variastrategieën, zoals compenseren. Een ervaring die is opgedaan tijdens het ontwikkelen van de leergang is, dat wanneer leerlingen een posterpresentatie houden, gericht op verduidelijking van de distributieve eigenschap (groepjes van tien) en op de wenselijkheid van mooie, ordelijke notatievormen, er soms erg fraaie resultaten worden gepresenteerd. Het volgen van leerlingen tijdens het ontwikkelingsonderzoek maakt duidelijk dat zowel de zwakkere als de betere rekenaars tot beheersing van de beoogde notatieondersteunende hoofdrekenstrategieën komen. Voor de zwakkere rekenaar betekent dit dat een langere periode wordt gewerkt volgens het ‘groepjes-van-tien-patroon’; de betere rekenaar neigt sterker tot voortgaande verkorting en (soms) tot standaardisering. Het investeren in de ontwikkeling van expressieve en ordelijke notatievormen blijkt de moeite waard te zijn.
6 Terug- en vooruitblik Afsluiting van de conferentie M. van Reeuwijk, die eenmalig eindverantwoordelijk is voor de organisatie van deze Panama-conferentie, memo-
jaargang 24
2
zomer 2005
reert dat zijn voorganger R. Keijzer de leiding van het Panama-project heeft overgedragen aan J. Verwaal. Hij sluit af met een reeks fotografische impressies van de conferentie, met onder andere de foto van een ‘denkende’ congresganger (fig.5).
figuur 5
R. Keijzer beschrijft daarna in een afscheidswoord zijn gedachten over de zeven jaar dat hij ‘het eerste en het laatste woord’ op de Panama-conferenties mocht hebben. Hij laat uitspraken van verschillende inleiders uit de periode 1998-2004 de revue passeren onder het motto: taken as shared. Gaandeweg komt hij tot verschillende interpretaties van dat ‘elkaar goed verstaan’. De afgelopen conferenties is hij het meest aan het denken gezet door mensen van buiten de kring van rekenaars. Hij noemt W. de Vos (1998), B. Corporaal (1999) en P. Vedder (2001) als degenen die zich in verschillende bewoordingen kritisch hebben uitgelaten over de mogelijkheden voor de leraar om realistisch reken-wiskundeonderwijs te realiseren. B. Milo en W. Ruijsenaars (2003) waren kritisch over het gebrek aan mogelijkheden voor de zwakke leerling; in het realistisch reken-wiskundeonderwijs is de inbreng van de leerling het uitgangspunt van het leerproces en juist de zwakke leerlingen missen bepaalde vaardigheden om zelf sturing te geven aan dat leerproces. Keijzer refereert verder onder andere aan J. Letschert (2004), die de school noemde als de meest saaie plek op aarde; het aanbieden van ‘vaste’ leerstof volgens vaste riten en gewoonten met de methode als instrument, draagt daaraan bij. Naast die kritische noten over het realistisch reken-wiskundeonderwijs, wil Keijzer ook interessante oplossingen van ‘niet ingewijden’ goed verstaan, zoals de ideeën van neerlandicus P. Mooren (2003), die aantoont dat het onderwijs ook voor sbo-leerlingen spannend en nuttig is als je ze prentenboeken laat maken. Maar ook andere ‘externe’ inleiders droegen ideeën aan. R. Damhuis en P. Litjens (2001) overtuigden hun gehoor van het belang van overleggen in de les, en C. Blijerveld (2000)
21
wees op de verwaarloosde overlap van activiteiten op het gebied van reken-wiskunde- en natuuronderwijs. Er is nog veel te doen zowel binnen onze eigen kring als met de buitenwacht, om te zorgen dat we elkaar echt verstaan. Dat laatste wil volgens Keijzer zeggen: ‘Het gesprek aangaan met in het achterhoofd wat we denken dat in het achterhoofd van de ander zit’. Dat lijkt een verstandige basis voor samenwerking en stijgt zelfs uit boven het taken as shared, namelijk het elkaar werkelijk deelgenoot maken van nieuwe ideeën en ontwikkelingen.
figuur 6
Een bos bloemen en een daverend applaus symboliseren de dank voor de inzet van R. Keijzer als coördinator van het Panama-project in de afgelopen jaren (fig.6). W. Uittenbogaard sluit de conferentie af met zijn welbekende, wervelende ‘prijsvraagshow’.
7 Conclusie In de aanhef van dit verslag hebben we onszelf een aantal vragen gesteld die voortvloeien uit het thema van deze 23ste Panama-conferentie: ‘De kern van het reken-wiskundeonderwijs’. Dat thema klinkt belangrijk, maar is tegelijkertijd ook nogal onbestemd. Achteraf bezien valt op dat in deze conferentie de nadruk gelegd is op een aantal fundamentele inzichten met betrekking tot wiskunde leren door kinderen. De aandacht daarvoor strekt zich uit van de nog weinig inhoudelijke discussie over het ‘nieuwe leren’ tot vakspecifieke bijdragen over het leren aftrekken en het omgaan met breuken, kommagetallen en verhoudingen. Maar is die speciale aandacht voor de eigen rol van leerlingen zo nieuw? Discussiëren we al niet jarenlang over de inbreng van de leerlingen in hun eigen leerproces: over het zelf construeren van kennis en over het maken van
22
eigen producties? Dat is ongetwijfeld het geval, maar tijdens deze conferentie kregen die principes een nieuwe invulling en werden ze verder uitgebreid. Een voorbeeld van zo’n nieuwe invulling is het leren aftrekken tot 1000. Nieuwe ervaringen daarmee maken bijvoorbeeld duidelijk dat kinderen weliswaar een voorkeur hebben voor rijgen, maar dat - juist ook de goede leerlingen daarmee niet tot niveauverhoging komen; ze maken geen gebruik van getalrelaties, ze rekenen te veel en redeneren te weinig. Een voorbeeld van een uitbreiding van het principe van de eigen inbreng van leerlingen dat tijdens deze conferentie naar voren kwam, is het idee van ‘het denken bij de leerlingen leggen’ in samenhang met het meer loslaten van de methode door de leraar. De wens voor een minder dominantie rol van de methode is ook op de vorige Panama-conferentie geuit. Dit keer werd die wens echter pregnanter en op diverse plaatsen uitgesproken. Dat roept wel de vraag op in hoeverre de conferentie oplossingen aandraagt voor de leraren en voor degenen die de leraren opleiden en begeleiden; zij zijn per slot van rekening verantwoordelijk voor de uitvoering van onderwijs. Er blijken velerlei - vanaf de werkvloer ontstane - vragen te zijn over wat dergelijke aanpakken van de leraar vragen. Welke kennis, ervaring en attitude is nodig om dit te kunnen, welke begeleiding of scholing is noodzakelijk en hoe kun je leraren helpen om bijvoorbeeld de methode te durven loslaten zonder dat daarbij de continuïteit van het onderwijs in geding komt? Kan het ook zo zijn dat de methoden - en vooral ook de handleidingen bij de methoden - andersoortige inhouden moeten bieden? De practicumbijeenkomsten leggen wat dat aangaat duidelijk bloot waar het nog aan schort: in vrijwel alle groepen is de klacht dat de methode te weinig steun biedt om bijvoorbeeld zwakke leerlingen als Ebru - prominent aanwezig in het conferentiepracticum - op weg te helpen en te houden. Aan de andere kant lukt het de aanwezige experts ook nauwelijks om adequate oplossingen voor de gegeven problematiek aan te dragen. Gelukkig zijn er positieve signalen die erop duiden dat er gewerkt wordt aan zowel de noden van de zwakke leerlingen als die van hun leraar; zo zal het project ‘Speciaal rekenen’ ook zijn uitstraling hebben naar de zwakke leerlingen van de reguliere basisschool en de aandacht voor dyscalculie en de rol van taal in de wiskunde zal ongetwijfeld een betere leer- en onderwijsomgeving realiseren voor zwakke leerlingen en hun leraren. Toch lijkt nog veel meer en diepergaande aandacht voor het werk van de leraar gewenst. Eigenlijk kan een parallel getrokken worden tussen de gewenste inspanningen voor de leerling en die van de leraar. Ook de actieve wiskundige inbreng van de leraar moet groter worden. Leraren zouden ‘hét zelf op moeten kunnen pakken’, zegt Bergen. Degenen die zich bezighouden met de professionalisering van leraren doen er wellicht goed aan de drie benaderingen voor de professionele ontwikkeling die professor Bergen aankaart nog eens onder de loep te nemen.
8 Opdracht voor de komende jaren Er zijn nog veel vragen rond de wijze van leren en de mate van sturing van het wiskunde leren door de leerling. In het conferentieverslag van vorig jaar werd in de conclusie gewag gemaakt van de discussie over leerlijnen en ‘grote inzichten’.10 De vraag dient zich aan in hoeverre er in dat verband sprake is van aanvulling, overlapping of zelfs van tegengestelde opvattingen? Tijdens deze conferentie kwam dit onderwerp zowel impliciet als expliciet aan de orde. Dat werd onder andere zichtbaar in de discussie over de interpretatie van het guided reinventionprincipe. Hoewel de letterlijke vertaling wijst naar heruitvinden is het kennelijk in de praktijk nog lang niet duidelijk of het er bijvoorbeeld om gaat dat leerlingen de kommagetallen opnieuw ontdekken of opnieuw uitvinden. Moeten de leerlingen kommagetallen uitvinden via het big idea van de maatverfijning of laten we ze de kommagetallen opnieuw ontdekken aan de hand van de kommagetallen, zoals die zich als gegevenheden in de omgeving van de kinderen voordoen? De conferentie laat zien dat de concepten ‘leerlijnen’ en ‘grote inzichten’ geen tegenstelling hoeven in te houden. Leerlijnen geven de leraar inzicht in de organisatie van een leerstofgebied. ‘Grote inzichten’ zijn sterker gerelateerd aan het leerproces van de individuele leerling; op basis daarvan en op grond van observatie kan de leraar anticiperen op hetgeen de leerling nodig heeft ten behoeve van de voortgang van het leerproces. De leerlijnen en grote inzichten zou je kunnen zien als behorend tot verschillende lagen van het leerlandschap van de leerling. Al met al lijkt de kern van het reken-wiskundeonderwijs zich tijdens deze 23ste Panama-conferentie samen te ballen rond de vraag: ‘Hoe zetten we de leerling zelf aan het denken?’ De kern van dat denken gaat dan globaal beschouwd over structuren begrijpen en kunnen gebruiken, relaties kunnen leggen en daarover redeneren en de mate waarin dat zelfstandig door de leerling kan of moet worden gedaan. Tijdens deze conferentie was het zoeklicht vooral gericht op de leerling van de basisschool. Maar het ‘denken bij de leerling leggen’ moet ook gelden voor de lerende leraar. Het ‘denken bij de leraar leggen’ zal de komende jaren nog veel inspanning vragen.
Noten 1 Zie voor een afbeelding van de getallenkaartjes: Rooij, J. van (2004). Rekenen is mijn leukste vak. Willem Bartjens, 23(5), 20-21. 2 Al eerder publiceerde Desoete in onder andere Willem Bartjens, 23(1), 11-13: In elke klas zit er minstens één, en in Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 23(3), 25-33: Dyscalculie: een ‘onheus’ begrip of ‘onheus’ benaderd. 3 ‘Met sprongen vooruit’ bestaat uit een kopieermap, een materialenkist en een DVD. De map en de DVD-video zijn verkrijgbaar bij Ajodakt te Baarn en Heutink in Rijssen; de materialenkist is alleen te bestellen bij Heutink. 4 De inleiders zijn mede-auteurs van een publicatie onder de titel: Interactief rekenen. Eenvoudig interactie realiseren in het werken met uw rekenmethode. Auteurs: C. Borghouts, A. Butter, J.K. Dekker, E. Hoogenberg, D. Kopmels & M. van Oostenbrugge. Uitgave van RPCZ Educatieve Uitgeverijen. 5 Zie: http://www.fi.uu.nl/rekenweb 6 Eerde, D. van & C. van den Boer: Wisbaak: een educatief pakket voor taalgericht reken-wiskundeonderwijs. Op de site www.fi.uu.nl/wisbaak is dit programma te bekijken. 7 Een advies van de expertgroep ‘Kwaliteit Lerarenopleiding Primair Onderwijs’. HBO-raad, 2004. 8 Zie: A. van der Roest & M. Kindt (2005). Babylonische Wiskunde. Een verkenning aan de hand van kleitabletten. Zebrareeks, nr. 20, Utrecht: Epsilon Uitgaven. 9 In samenwerking met M. Beishuizen en K. Gravemeijer. 10 Zie: Goeij, E. de & W. Oonk (red.) (2003). De 22ste Panama-conferentie - impressies en trends. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 23(3), 13.
Literatuur Butterworth, B. (2003). Dyscalculia screener. London: NferNelson. Grégoire, J., C. van Nieuwenhoven & M. Noël (2004). TEDI MATH. Brussel: Tema. Heuvel-Panhuizen, M. van den & H. Vermeer (1999). Verschillen tussen jongens en meisjes bij het vak rekenen-wiskunde op de basisschool. Eindrapport MOOJ-onderzoek. Utrecht: CD-β press / Freudenthal Instituut. Keijzer, R., e.a., (2005). De kern van breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen. Discussiestuk. Utrecht: Freudenthal Instituut. Keijzer, R & H. ter Heege (2005). Is er iets nieuws onder de zon? Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling praktijk, 24(1), 22-26. Kraemer, J.M., J. Janssen, F. van der Schoot & B. Hemker (2005). Balans (31) van het reken-wiskundeonderwijs halverwege de basisschool 4. Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau. Uitkomsten van de vierde peiling in 2003. Arnhem: Cito Instituut voor Toetsontwikkeling.
This 23rd Panama conference took place in the middle of January. The conference theme was 'the heart of mathematics education'. This theme is broad and could give rise to all sorts of discussions on mathematics education, while also providing a motivation for discussing the most fundamental issues in today's mathematics education. This conference report shows how different contributions led to reflecting on these fundamental issues.
jaargang 24
2
zomer 2005
23
