1. Mechanika. K1A laborzh gyakorló anyag

K1A laborzh gyakorló anyag

2007.12.03.

1. Mechanika Igaz-e, hogy - az egyenletes körmozgást végz tömegpontra ható er k ered je mindig a kör középpontja felé mutat?

IGAZ: ha egyenletes a körmozgás, akkor a tangenciális gyorsulás zérus, a centripetális gyorsulás meg a kör középpontja felé mutat

- egy pontos rugós er mér rugójának a hossza bizonyos határokon belül arányos a rá ható er vel?

NEM IGAZ, nem a hossza, hanem a megnyúlása arányos

- egy rugós er mér vel nem csak sztatikai er -, hanem sztatikai tömegmérést is lehet végezni?

IGAZ, ha a megnyúlást összevetjük egy ismert tömeggel mért megnyúlással

- egy körmozgás vetülete egy olyan síkra, amely mer leges a kör síkjára mindig harmonikus rezg mozgásnak tekinthet ?

NEM IGAZ, csak akkor, ha a körmozgás egyenletes

- egy harmonikus rezg mozgás periódusideje független a rezgés amplitúdójától?

IGAZ: a periódusid t a rugóállandó és a tömeg határozza meg, az amplitúdó pedig a kezd feltételekt l függ

- a rugóállandót kétszeresére növelve, a rugó végén lév tömegpont tömegét pedig felére csökkentve harmonikus rezg mozgás esetén a periódusid is a felére csökken?

IGAZ, mivel T = 2π m / k

- ingamozgásnál a lengésid er sen függ a kitérést l?

NEM IGAZ, kis kitéréseknél a lengésid csak a tömegt l, a tehetetlenségi nyomatéktól és a forgástengely helyét l függ

- ingamozgásnál a lengésid egyenesen arányos az inga hosszával?

NEM IGAZ, az inga hosszának gyökével arányos ( T = 2π / g )

- körmozgást végz tömegpontra ható er k ered je mindig a kör középpontja felé mutat?

NEM IGAZ, csak egyenletes körmozgás esetén, ahol at=0

- harmonikus rezg mozgásnál a rezgésid az amplitúdó négyzetgyökével egyenesen arányos?

NEM IGAZ, a rezgésid és az amplitúdó függetlenek egymástól (a rezgésid a tömegt l és a rugóállandótól függ, az amplitúdó pedig a kezdeti helyt l és sebességt l)

- ha van két egyforma hosszú és egyforma k1 rugóállandójú rugónk és az egyiket a másik végéhez toldjuk, akkor az így kapott rugó k rugóállandója az egyes rugókénak kétszerese lesz (k = 2 k1)?

NEM IGAZ, a fele lesz (adott er mindkét rugón létrehoz ∆l = F/k1 megnyúlást, vagyis k = F/(2 ∆l) = ½ F/∆l = ½ k1)

- kúpinga periódusideje csak a kötélnek a függ legessel bezárt szögét l függ, a kötél hosszától nem?

NEM IGAZ: m acp = m L sinϕ (2π/T)2 = mg tgϕ T = 2 ⋅ L ⋅ cos ϕ / g

1

K1A laborzh gyakorló anyag M1) Kúpinga hossza 1 m, a függ legessel bezárt szöge 60°. Mekkora a körpályán kering test tömege, ha a fonáler 10 N ? (g = 9,81 m/s2)

mg / Ffonál = cos 60°

2007.12.03.

m = 0,51 kg

M2) Egy modellrepül t L = 10 m hosszúságú fonálon körpályán reptetnek úgy, hogy a fonál másik vége egy pózna végéhez van er sítve. A gépet tekintsük egy tömegpontnak, amely minden körülmények között egy vízszintes síkban kering, de ennek a síknak a helyzete függeni fog a gép sebességét l. a) Mennyi a repül gép sebessége, ha a fonálnak a függ legessel bezárt szöge α = 45° ? (A gép szárnyain keletkez felhajtóer t l egyel re tekintsünk el.)

Fcp = mg tg 45° = macp , acp = v2/r , r = L sin 45°

b) A gép szárnyain a v = vKRIT = 20 m/s sebességnél a repül gép súlyának megfelel (függ leges irányú) felhajtóer keletkezik. Adjuk meg a keringési id t ebben az esetben!

mivel a függ leges er k kiegyenlítik egymást, a kötél vízszintes, r = L és ω = 2π/T = v/r T = 2πL/v = π s 3,14 s

c) *A gép szárnyain v = 2vKRIT = 40 m/s sebességnél a gép súlyát 4-szeresen felülmúló (függ leges irányú) felhajtóer keletkezik. Hány fokkal (β=?) emelkedik a gépet tartó fonal a vízszintes fölé ebben az esetben?

Fcp tgβ = 3mg, Fcp = mv2/R, R = L cosβ sin2β+v2/(3gL) sinβ–1=0 sinβ = 0,178, β = 10,3°

v=

g ⋅ L ⋅ sin 45

8,4 m/s

M3) Kísérleteinkhez egyforma k er állandójú súlytalan rugók és m tömeg csavarok állnak a rendelkezésünkre. Ha egy rugó végére 1 db csavart helyezünk, akkor a mért rezgésid T. a) Hányszorosa ennek a T id nek egy olyan rendszer periódusideje, amelyben N darab csavart teszünk a rugó végére?

mivel T = 2π m / k , N db esetén N -szeresére n

b) 2 rugót párhuzamosan kötünk egyetlen csavarra (a csavart két rugóval függesztjük fel). Mekkora lesz így a rezgés periódusideje? Indokoljuk a választ!

a két párhuzamosan kötött rugót egy kétszer akkora rugóállandójú rugónak tekinthetjük, így a periódusid 2 -ed részére csökken

c) N darab rugót összekötünk úgy, hogy az egyik rugó végét a másik rugó elejébe akasztjuk, azaz egy “rugó lánc” jön így létre. E lánc végére egyetlen csavart teszünk. Mennyivel hosszabb vagy rövidebb ennek a rendszernek a periódusideje, mint az egy rugót és egy csavart tartalmazó rendszeré?

az N db egymás után kötött rugót egy olyan rugónak tekinthetjük, melynek rugóállandója N-ed része egy rugóénak, így a periódusid N -szeresére n

M4) Egy 81,5 cm hosszú matematikai inga lengésidejét 1,800 másodpercnek mértük 1 ms hibával 95 %-os konfidenciaszint mellett. a) Mekkora nehézségi gyorsulás számítható ebb l?

T = 2π 2

/g

9,93 m/s2

K1A laborzh gyakorló anyag b) Mekkora hibát okoz a nehézségi gyorsulásban az, hogy a lengésid t csak 1 ms pontossággal ismerjük? Vajon megmagyarázza ez a mérés hibáját? (Tudjuk ugyanis, hogy amennyiben a mérés Magyarországon történt, akkor az eredménynek 9,81 m/s2 körüli értéknek kellene lennie.) Ha nagyobb az eltérés, mint ami az id mérés hibájából várható, akkor vajon mi okozta azt?

2007.12.03.

az id mérés pontatlanságából ered hiba

∆g =

(

)

∂ 4π 2 L / T 2 = 8π 2 L / T 3 ⋅ ∆T = 0,011 m / s 2 ∂T

ez egy nagyságrenddel kisebb a mért és a valódi érték eltérésénél (9,93-9,81= 0,12 m/s2); a nagy hibát a hosszmérés pontatlansága okozhatta

M5) Egy rugós er mér re csavarokat helyezve azt tapasztaljuk, hogy az els két csavar hatására még nem következik be megnyúlás, és csak 4 csavaros terhelés után tekinthet lineárisnak a terhel tömeg – megnyúlás diagram. Innent l az er mér rugóállandója 5 N/m. 4 csavaros terhelésnél a rugó végének pozíciója 4,4 cm. Most ráfüggesztünk a mérlegünkre egy Túró Rudit és azt tapasztaljuk, hogy a rugó végének pozíciója 10,3 cm-re változott. a) Mennyi a Túró Rudi tömege?

mTúróRudi g = k ∆ mTúróRudi = k ∆ / g = = 5 (10,3-4,4) 10-2/ 9,81 = 0,03 kg = 3 dkg

b) A 4 csavar és a rugó végén lev tartószerkezet tömege együttesen 60 g. Mennyi a rezgésideje ennek a rendszernek, és mennyire n meg ez a Túró Rudi hatására?

m x = -kx ω = k / m = 2π / T T=2π m / k m 4 csavar + tartó = 0,06 kg T1 = 0,688 s m …+TúróRudi = 0,09 kg T2 = 0,843 s

M6) Mechanika mérésen matematikai inga lengésidejéb l számolják ki a hallgatók a nehézségi gyorsulás értékét. Az inga hossza L = 36 cm, a mért lengésid k 1,24 s 1,24 s 1,25 s 1,22 s 1,24 s 1,25 s a) Adjuk meg a lengésid t és hibáját 90 %-os konfidenciaszinten! b) Adjuk meg az így számított nehézségi gyorsulás értékét és hibáját 90 %-os konfidenciaszinten, ha a hosszmérés hibája 4 mm! M7) Egy 0 = 22 cm hosszú, k = 4,2 N/m rugóállandójú rugóra m tömeg testet akasztunk, meghúzzuk lefelé ∆ = 12 cm-t, elengedjük, és megmérjük 10 rezgés idejét: t10 = 8 s. a) Mekkora a rugó végére akasztott test tömege? b9 Mennyi lenne 10 rezgés ideje, ha kétszer akkora tömeget akasztanánk a rugó végére? (A rugót kezdetben ugyanannyival húzzuk ki.) M8) Neil Armstrong a Hold felszínén egy = 26,0 cm hosszú matematikai inga lengésidejét 2,50 s-nak mérte. a) Mekkora nehézségi gyorsulás számítható ebb l? b) Mekkora hibával határozható meg így a holdi nehézségi gyorsulás értéke, ha a lengésid mérésének pontossága 0,01 s, az inga fonalának hosszát pedig 0,5 cm pontossággal ismerjük?

3


2007.12.03.

2. Optika Igaz-e, hogy - domború tükörnél mindig virtuális kép keletkezik?

IGAZ (rajz)

- homorú tükörnél mindig virtuális kép keletkezik?

NEM IGAZ (rajz)

- domború lencsénél mindig virtuális kép keletkezik?

NEM IGAZ (rajz)

- homorú lencsénél mindig virtuális kép keletkezik?

IGAZ (rajz)

- a bees ill. a visszavert fénysugárnak a beesési mer legessel bezárt szögére érvényes a SnelliusDescartes törvény?

NEM IGAZ, a Snellius-Descartes törvény fénytörésre érvényes

- ha a fény egy nagyobb törésmutatójú közegb l lép át egy kisebb törésmutatójú közegbe, a beesési szöget növelve elérhetjük, hogy a fény ne jusson át a kisebb törésmutatójú közegbe?

IGAZ, sin β = n sin α (α a beesési szög, β a törési szög) ha sin α > sin 90°/n = 1/n, akkor a fény már nem lép ki

- homorú tükör optikai tengelyével párhuzamos sugarak önmagukban ver dnek vissza?

NEM IGAZ, az optikai tengellyel párhuzamos sugarak a fókuszponton mennek át

- a fény terjedési sebessége üvegben nagyobb, mint vákuumban?

NEM IGAZ, üvegben v = c / n, n a törésmutató (n>1)

- a 0,5 µm hullámhosszú elektromágneses sugárzás a látható fény tartományába esik?

IGAZ, a látható fény intervalluma 390-780 nm, és 0,5 µm = 500 nm (zöldnek látjuk)

- interferencia esetén az ered amplitúdó akkor maximális, ha a fáziskülönbség 0 vagy 2π egész számú többszöröse?

IGAZ, azonos fázisban érkez hullámok amplitúdója összeadódik

- a fény mindig egyenes vonalban terjed?

NEM IGAZ, csak akkor, ha a törésmutató nem változik

- az els rend elhajlási képek távolsága arányos a hullámhosszal?

IGAZ, D = m λ L / xm

- ha a fény egy nagyobb törésmutatójú közegb l lép át egy kisebb törésmutatójú közegbe, a törési szög nagyobb a beesési szögnél?

IGAZ, sin β = n sin α (α a beesési szög, β a törési szög, n>1)

- ha az elektromágneses hullám más közegbe lép be, a hullámhossza változatlan marad?

NEM IGAZ, a frekvenciája marad változatlan, a hullámhossza a terjedési sebességnek megfelel en változik

- interferencia esetén az ered amplitúdó akkor minimális, ha a fáziskülönbség 0 vagy 2π egész számú többszöröse?

NEM IGAZ, így azonos fázisban vannak és maximális az amplitúdó (akkor minimális, ha ∆ϕ = (2k+1) π/2)

- a törésmutató függ a fény frekvenciájától?

IGAZ, így látjuk pl. a prizmánál is az egyes frekvenciájú komponenseket elválva egymástól

4

d = 2 x1 = 2λL/D


2007.12.03.

O1) Mennyivel tolódik el a lézersugár, amíg átjut egy gyémántdarabkán, ha annak két, egymástól 3 mm-re lév párhuzamos lapja között hatol át? A belép lézersugár a lappal 60º-os szöget zár be. A gyémánt leveg re vonatkoztatott törésmutatója 2,413.

a beesési szög 90°–60°=30° a törési törvény beeséskor β = 11,96° sin 30° / sin β = 2,413 le kell rajzolni, és akkor látszik, hogy a fénysugár útja az üvegben s = D / cos β 3,07 mm és a lézersugár eltolódása d = sin(30°–β) s 0,95 mm

O2) Mekkora a δ szög, ha 36º-nál kisebb α beesési szög esetén már nem lép ki fénysugár a B élen? A törésmutató n = 1,33

β az α-hoz tartozó törési szög: sin α / sin β = n β 26,23° γ a teljes visszaver dés határszöge a B élen: γ 48,75° sin 90° / sin γ = 1,33 δ a két szög összege, δ 75°

O3) Üvegbe leveg b l érkez 710 nm hullámhosszú fénysugár beesési szöge 60º, a törési szög 30º. Mekkora a fény - sebessége - hullámhossza - frekvenciája az üvegben?

a törésmutató n = sin 60° / sin 30° = 1,732 a fény sebessége vízben v = c / n = 1,732 108 m/s a hullámhossz leveg ben λlev = 710 nm = c / ν a frekvenciája ν = 4,2 1014 s-1 (mind leveg ben, mind vízben) a hullámhossz vízben λvíz = v / ν = 410 nm

O4) Reflexiós rácsot mer legesen bees koherens fénynyalábbal világítunk meg, a hullámhossz 633 nm (He-Ne lézer). Az els rend elhajlási képek távolsága 50 cm, a rács és az erny távolsága 75 cm. Számítsuk ki a rácsállandót!

tg α = (50/2)/75 nλ = D sinα (n=1)

O5) A gyémánt leveg re vonatkoztatott törésmutatója piros fényre 2,42, kék fényre 2,45. Mekkora törési szöggel lép ki a gyémántból a piros ill. a kék fény, ha a beesési szög 24,2º ?

α = 18,435°

D = 2 µm

piros fényre sin β1 = n1 sin 24,2º = 2,42 sin 24,2º = 0,992 82,75º kék fényre sin β2 = n2 sin 24,2º = 2,45 sin 24,2º = 1,004 a kék fény nem lép ki a gyémántból

O6) Ötször megmértük azt az α beesési szöget, amely esetén már nem lép ki fénysugár a B élen. A következ értékeket kaptuk:

33,8º 34,3º

33,8º

33,9º

a) Adjuk meg az α beesési szög értékét 95 %-os konfidenciaszinthez tartozó hibaintervallummal együtt!

34,2º

α = 34,0° , ∆α

b) Számoljuk ki az átlagos α értékb l a δ szöget, ha a törésmutató n = 1,58!

0,29

0,22 0,105 , t = 2,776, 4⋅5 α = 34,0° ± 0,3°

sα =

β az α-hoz tartozó törési szög: sin α / sin β = n β 20,73° γ a teljes visszaver dés határszöge a B élen: sin 90° / sin γ = 1,58 γ 39,27° δ a két szög összege, δ 60° 5


2007.12.03.

3. H mérsékletmérés Igaz-e, hogy - egy h mér gyorsabban melegszik, ha forró (100 ºC-os) vízbe tesszük, mint ha annak (szintén 100 ºC-os) g zébe?

IGAZ, mert jobb a h átadási együttható, ezért kisebb az id állandó

- ha egy h mér t 20 ºC-os szobah mérsékletr l 100 ºC-os vízbe rakunk, akkor hamarabb éri el a 40 ºC-ot, mint akkor, ha ugyanazt a h mér t 80 ºC-os vízbe raknánk?

IGAZ, mert a h mérsékletváltozás sebessége arányos a (kezdeti) h mérsékletkülönbséggel

- ha egy h mér t 20 ºC-os szobah mérsékletr l 100 ºC-os vízbe rakunk, akkor hamarabb éri el a 60 ºC-ot, mint ahogy elérné az 50 ºC-ot, ha 80 ºC-os vízbe raknánk?

NEM IGAZ, mindkét esetben a felére csökken a kezdeti h mérsékletkülönbség és ehhez ugyanannyi id kell

- termoelem feszültsége soha nem lehet negatív?

NEM IGAZ, lehet negatív, ha a „hidegpont” melegebb, mint a „melegpont”

- leh lési görbe felvételekor ellenállásh mér vel negatív ellenállásokat mérünk?

NEM IGAZ, s t: hülyeség! negatív ellenállás nem létezik!

- az id állandó az az id , amikor az adott h mér leolvasási pontosságával elérjük a mérend h mérsékletet?

NEM IGAZ, az id állandónak megfelel id alatt a h mérsékletkülönbség a h mér és a közeg között az e-edrészére csökken

- ha egy termoelem hidegpontja 0 ºC-os jeges vízben van és a 23 ºC-os (szobah mérséklet ) melegpontját betesszük a hidegpont mellé a vízbe, a termofeszültség zérushoz fog tartani?

IGAZ: a meleg- és hidegpont közötti h mérsékletkülönbség zérushoz tart, és zérus h mérsékletkülönbséghez zérus termofeszültség tartozik

- az id állandó az az id , ami alatt a h mér h mérséklete az e-ed részére csökken?

NEM IGAZ, nem a h mérséklete csökken e-ed részére, hanem a h mér és a közeg közötti h mérsékletkülönbség

- a felezési id kétszer akkora, mint a negyedelési id ?

NEM, a felezési id alatt a h mérsékletkülönbség a felére, a negyedelési id alatt a negyedére csökken, ami szükségszer en hosszabb id (kétszerese a felezési id nek)

- egy ellenállásh mér ellenállása felmelegedési görbe felvételekor n , leh lési görbe felvételekor csökken?

IGAZ, az ellenállás a h mérséklettel egyenesen arányosan n ill. csökken

- ha egy ellenállásh mér ºC -ban mért h mérséklete kétszeresére n , akkor az ellenállása is kétszeresére n ?

NEM IGAZ, R 0 (1 + αT1 ) R (2T1 ) αT1 = = 1+ <2 R (T1 ) R 0 (1 + α ⋅ 2T1 ) 1 + αT1 (itt R0 az ellenállás 0 °C-on)

6


2007.12.03.

A Newton-féle h átadási törvény: ahol Tk a közeg h mérséklete Tk – T(t) = (Tk – T0) e–t/τ T0 a h mér kiindulási h mérséklete T(t) a h mér h mérséklete a t id ben H1) Mennyi id alatt éri el a 22,2 ºC-os higanyos lázmér a beteg 39,2 ºC-os h mérsékletét 0,1 ºC pontossággal, ha id állandója τ = 90 s?

T0 = 22,2°C, Tk = 39,2°C, Tk – T(t) = 0,1 °C, azaz 0,1 = (39,2–22,2) e–t/90 t = 462 s = 7,7 perc

H2) Jeges (0 ºC-os) vízb l forrásban lév (100 ºC-os) vízbe tesszük a h mér nket. Fél perc múlva 50 ºC-ot mutat. Mennyit mutat újabb fél perc múlva?

a kezdeti 100 ºC különbség fél perc alatt 50 ºC-ra csökken, felez dik, vagyis a felezési id fél perc; újabb fél perc alatt a 100 °C és az 50 °C közötti különbség felez dik meg, vagyis 75 °C-ot

H3) Ellenállásh mér ellenállása 20 ºC-on 108,0 Ω, 25 ºC-on 110,0 Ω. Mennyi az ellenállása 45 ºC-on?

R(T) = R(T0) (1 + α (T-T0)) 110,0 = 108,0 (1 + α (25-20)) α = 0,0037 1/°C R(45) = 108,0 (1 + 0,0037(45-20)) = 118,0 Ω

H4) Termoelem hidegpontja jeges (0 ºC-os) vízben van, meleg pontja a 23 ºC-os szobában. A mért termofeszültség ekkor 0,92 mV. Áttesszük a melegpontot egy 160 ºC-os termosztátba. Lehetséges-e, hogy 3 perc múlva 9,20 mV-ot mérünk?

a termofeszültség arányos a meleg- és a hidegpont h mérsékletének különbségével: ε = a (TM – TH) 0,92 = a (23 – 0) a = 0,04 mV/°C 160 °C-on ε = 0,04(160 – 0) = 6,4 mV, tehát a termofeszültség legfeljebb ennyi lehet!

H5) Egy lábasban 20 ºC-os tejet 220 ºC-os f z lapra téve akarunk felforralni. A tejet folyamatosan keverjük, hogy ki ne fusson. A tej 1 perc múlva 43,5 ºC-os. Mennyi id alatt forr fel?

T0 = 20 °C, Tk = 220 °C, t = 1 perc-nél T(t) = 43,5 °C , azaz 220–43,5 = (220–20) e1/τ τ = 8 perc az id állandó T(t*) = 100 °C t* = 4,1 perc alatt

H6) A termoelem hidegpontját jeges vízbe, melegpontját termosztátba rakva megmértük ötször egymás után a termofeszültséget, és a következ értékeket kaptuk: 3,22 mV 3,18 mV 3,16 mV 3,23 mV 3,21 mV Adjuk meg a termofeszültség értékét és hibáját 99 %-os konfidenciaszinten! H7) Egy ellenállásh mér ellenállását 0,1 Ω pontossággal tudjuk megmérni. Ismeretlen h mérséklet termosztátban 128,8 Ω-ot mérünk. Mennyi a termosztát h mérséklete, és mekkora hibával tudjuk azt meghatározni, ha az ellenállásh mér ellenállása 0 ºC-on R0 = 100,0 Ω és a h mérsékleti koefficiens α = 0,0036 1/ºC ? (R0 hibája elhanyagolható)

ε = 3,20 mV 2 ⋅ 0,02 2 + 2 ⋅ 0,03 2 + 0,012 = 0,0116 5⋅4 t = 4,604 ∆ε = 0,054 mV sε =

R(T) = R(T0) (1 + α (T-T0)) T = (R(T)/R0 – 1) / α + T0 = 80 °C

∆T = ( ∂T / ∂R ) ∆R = 1/(αR0) ∆R

7

0,28 °C


2007.12.03.

H8) a) Egy hat f s mér csoport higanyos h mér vel mér leh lési görbéket. Forrásban lév (100 ºC-os) vízb l jeges (0 ºC-os) vízbe teszik a h mér ket és fél perc múlva leolvassák. Lenke h mér je fél perc múlva 50,0 ºC-ot mutat. Mennyit fog mutatni újabb fél perc múlva?

Fél perc alatt a kiindulási h mérsékletkülönbség a h mér és a jeges víz között a felére csökkent, újabb fél perc alatt az aktuális h mérséklet-különbség fog megfelez dni, tehát 25 ºC-os lesz a h mér . Vagy: a Newton-törvényt felírva: (50-0) = (100-0) e-30/τ τ = 43,3 s T = 25 ºC (T-0) = (50-0) e-30/43,3

b) A mérés végén a csoport tagjai összehasonlítják a fél percnél mért h mérsékletértékeket. A többi érték ez volt: 50,3 ºC 49,6 ºC 49,2 ºC 50,1 ºC 50,2 ºC Számoljuk ki a csoport h mérséklet-adatainak átlagát és a 95 %-os konfidenciaszintre vonatkozó hibaintervallumot!

Lenke mérését is beleszámolva T = 49,9 ºC, 0,88 sT = ≈ 0,17 , t = 2,571, 5⋅6 ∆T = 0,44 ºC T = (49,90±0,44) ºC vagy T = (49,9±0,4) ºC

H9) a) Hány fokos „láza” van Katának, ha egy 2 perc id állandójú lázmér vel méri a h mérsékletét, ami a mérés kezdetekor 23,4 ºCos volt, és 3 perc után 36,2 ºC-ot mutat?

T0 = 23,4 °C, t = 3 perc, T(t) = 36,2 °C, τ = 2 perc TK = 39,9 °C

b) Hány fokot mutat újabb 3 perc múlva?

t = 6 perc

T(6) = 39,05 °C

H10) Egy higanyos lázmér skálája 0,1°C pontossággal olvasható le. XY azt figyelte meg, hogy ha a lázmér kiindulási h mérséklete a 24,0 °C-os szobah mérséklet, és egészséges, azaz 36,2 °C h mérséklet , akkor 9,6 perc után a h mér már a 0,1 °C leolvasási pontossággal megközelíti az h mérsékletét.

∆T = ∆T0 e–t/τ : 0,1 = (36,2 – 24) e–9,6/τ

a) Mennyi a h mér id állandója?

0,1 = (40 – 24) e–t/2

b) Mennyi id alatt érné el XY h mérsékletét ugyanez a h mér ugyancsak 24,0 °C-os szobah mérsékletr l indulva, ha XY-nak 40,0 °C-os láza lenne?

τ

t = 10,15 perc

H11) Forrásban lév (100 ºC-os) vízb l jeges (0 ºC-os) vízbe tesszük a h mér nket. 25 s múlva 80 ºC-ot mutat. a) Mennyi a h mér id állandója?

T0 = 100 °C, Tk = 0 °C, t = 25 s, T(t) = 80 °C τ 112 s

b) Mikor mutat a h mér 40 ºC-ot?

T(t2) = 40 °C

8

2 perc

t2 = 102,6 s


2007.12.03.

4. Egyenáram

Igaz-e, hogy - a laposelem feszültsége független attól, hogy milyen áramkörbe van bekötve?

NEM IGAZ, a bels ellenállásán es feszültség miatt a kapocsfeszültsége függ attól, hogy mekkora áram folyik át rajta

- az ampermér t sorosan kell bekötni?

IGAZ, akkor folyik át rajta a mérend áram

- két ellenállás soros ered je mindig nagyobb, mint közülük a nagyobb ellenállás értéke?

IGAZ, Rs = R1 + R2 mindkett nél

- két ellenállás párhuzamos ered je mindig kisebb, mint közülük a kisebb ellenállás értéke?

IGAZ, 1/Re = 1/R1 + 1/R2 mindkett nél

- egy potenciométer két oldala ellenállásának összege a csúszka helyzetét l független állandó érték?

IGAZ, a két fix kivezetés között ott van az egész (kettéosztható) ellenállás (az összellenállása)

- egy telep sarkain mérhet feszültség nem lehet nagyobb a telep elektromotoros erejénél?

IGAZ, ha egyetlen egy telep van csak az áramkörben

- egy reális (azaz nem zérus bels ellenállású) feszültségforrásra rákötve egy változtatható ellenállást, az ellenálláson a teljesítmény csökkeni fog az ellenállás növelésével, mert kisebb áram folyik át rajta?

NEM IGAZ, mert az áram tényleg csökken, de az ellenállás n , és a P = I2R szorzatnak maximuma van akkor, amikor a változtatható ellenállás értéke éppen megegyezik a telep bels ellenállásával

- négy darab 10 ohmos ellenállást össze lehet úgy kapcsolni, hogy az ered 10 ohmos legyen?

IGAZ, pl. 2-2 sorosan kötött ellenállást párhuzamosan kötve

- két ellenállás párhuzamos ered je a kisebb és a nagyobb ellenállás érték közé esik?

NEM IGAZ, a párhuzamos ered mindig kisebb a kisebb ellenállásnál is (1/Re = 1/R1+1/R2)

- soros áramkörszabályozásnál a kör ellenállásának növelésével növeljük a körben folyó áramot?

NEM IGAZ, a kör ellenállásának növelésével az áram értéke csökken (I = E / ΣRi )

- három párhuzamosan kapcsolt ellenállás ered je kisebb a legnagyobbnál, de nagyobb a legkisebbnél?

NEM IGAZ, a párhuzamos ered mindig kisebb a legkisebbnél is

- voltmér t párhuzamosan kell bekötni arra két pontra, ami között mérni akarjuk a feszültséget?

IGAZ, így kapja mérni kívánunk

- egy telep kapocsfeszültsége (azaz a sarkain mérhet feszültség) csökken, ha a kör ellenállását úgy változtatjuk, hogy a telepen átfolyó áram n jön?

IGAZ, mert a bels ellenállásán es feszültség egyre nagyobb, és az vonódik le az elektromotoros erejéb l

9

Rs nagyobb Re kisebb

is azt a feszültséget, amit


2007.12.03.

E1) A telep elektromotoros ereje E = 10 V, bels ellenállása 2 Ω; R = 88 Ω; M egy univerzális V-A-Ω mér digitális m szer. a) Mit mutat voltmér ként bekötve? (Ilyenkor a bels ellenállása végtelennek tekinthet .)

Ha M ideális voltmér , akkor nem folyik áram a körben, és a m szer a telep elektromotoros erejét mutatja, azaz 10 V-ot

b) És mekkora áramer sséget mutat, ha ampermér ként kötjük be és 200 mA-es méréshatárú árammér állásba kapcsoljuk, ha ekkor a bels ellenállása 10 Ω?

Ekkor a körben folyó áram I = 10 / (2+88+10) = 0,1 A = 100 mA

Ennek egy változata: A telep elektromotoros ereje E = 6 V, bels ellenállása 5 Ω; R = 100 Ω; M egy univerzális V-A-Ω mér digitális m szer. a) Mekkora áramer sséget mutat a m szer, ha ampermér ként kötjük be, és 100 mA-es méréshatárú árammér állásba kapcsoljuk, ha ekkor a bels ellenállása 15 Ω? b) Mit mutat a m szer voltmér ként bekötve? (Ilyenkor a bels ellenállása végtelennek tekinthet ). E2)

Voltmér ként: ideális voltmér n nem folyik áram, vagyis most áram csak a potenciométeren folyik: 10 V / 1000 Ω = 0,01 A. A m szer a potenciométer felén es feszültséget mutatja: U = 500 0,01 = 5 V.

A telep elektromotoros ereje E = 10 V, bels ellenállása elhanyagolható. A potenciométer összellenállása 1000 Ω. A csúszó a potenciométer felénél áll. Mit mutat az univerzális m szer voltmér ként, illetve ampermér ként kapcsolva, ha mindkét esetben ideális m szernek tekinthet ?

Ampermér ként: ideális ampermér ellenállása zérus, vagyis most rövidre zárja a vele párhuzamosan kötött potenciométer-részt, azon nem folyik áram. Így a körben folyó áram: 10 V / 500 Ω = 0,02 A.

E3) *

Az R ellenállás párhuzamosan van kötve a potenciométer R1 ellenállású darabjával, és ez sorosan a potenciométer maradék (RH–R1 ellenállású) részével; ezzel az ered ellenállással osztva E-t megkapjuk a telepen folyó áramot, abból pedig a voltmér n es feszültség a párhuzamos ered vel való szorzással kapható meg:

RH = 2000 Ω, R = 1200 Ω, E = 4,2 V, a telep bels ellenállása elhanyagolható, a voltmér ideális. A voltmér 1,2 V feszültséget mutat. Hol áll a potenciométer csúszója?

1,2 =

RR 1 R + R1

RR 1 + R H − R1 R + R1

⋅ 4,2

R1 = 800 Ω, a csúszó n= 10

800 ⋅ 1000 = 2000

400-on áll

K1A laborzh gyakorló anyag E4) A telepek és az ampermér bels ellenállása elhanyagolható, a voltmér bels ellenállása pedig végtelennek tekinthet . E1 = E2 = 1,5 V, E3 = 4,5 V. R1 = R2 = 1000 Ω. Mekkora feszültségilletve áramértéket mutatnak a m szerek?

2007.12.03.

A voltmér az E1 telep elektromotoros erejét mutatja, vagyis 1,5 V-ot (mert a közvetlenül rá van kötve a telep sarkaira). Az ampermér n átfolyó áram I = (E2+E3) / R2 = 6 mA.

5. Váltóáram

Igaz-e, hogy soros rezg körben - a kondenzátoron mért feszültség lehet nagyobb is a generátorfeszültségnél?

IGAZ (pl. a rezonanciafrekvencián is nagyobb), mert a kondenzátoron és a(z ideális) tekercsen a feszültség ellentétes fázisban van, ezért az ered amplitúdó a kett különbsége (de reális tekercsnél az ohmos rész miatt ez kicsit módosul)

- a kondenzátor feszültsége késik a generátorfeszültséghez képest?

IGAZ, ugyanaz az áram folyik át rajtuk, és a kondenzátoron a feszültség π/2-vel késik az áramhoz képest, a generátoron meg a tekercs miatt ennél kevesebbel (ha egyáltalán késik)

- a kondenzátor árama késik a generátoráramhoz képest?

NEM IGAZ, soros körben az áram minden áramköri elemen azonos

- a rezonanciafrekvencián az ered impedancia független attól, hogy milyen kapacitású kondenzátor és milyen induktivitású tekercs van a körben?

IGAZ, ezek impedanciája pont zérus ered t ad, és az ered megegyezik az ohmos ellenállással

- ha a kondenzátort kisebb kapacitásúra cseréljük, a rezonanciafrekvencia n ?

IGAZ, mivel ω 0 = 1 / LC

- a rezonanciafrekvencián a kör ered impedanciájának minimuma van?

IGAZ, mivel általában Z LRC = R 2 + ωL − 1

ωC

2

és a

rezonanciafrekvencián ω0L = 1/ω0C, tehát ZLRC = R - konstans generátorfeszültség mellett a rezonanciafrekvencián az áramnak minimuma van?

NEM IGAZ, az impedanciának minimuma van, tehát az áramnak maximuma van

- a tekercs impedanciája a generátor frekvenciájának növelésével csökken?

NEM IGAZ, ZL = ωL, egyenesen arányosan n

11


2007.12.03.

- generátorfeszültség frekvenciájának változtatásával elérhetjük, hogy a tekercs feszültsége nagyobb legyen a generátorfeszültségnél?

IGAZ, a frekvencia növelésével a tekercs feszültsége n ; nagyobb frekvenciákon nagyobb lesz, mint a generátorfeszültség

-a generátorfeszültség amplitúdójának változtatásával elérhetjük, hogy a tekercs feszültsége nagyobb legyen a generátorfeszültségnél?

NEM IGAZ, a körre adott feszültség növelésével az egyes feszültségek aránya nem változik

- a tekercsen ill. a kondenzátoron es feszültség aránya független a frekvenciától?

NEM IGAZ, a feszültségek aránya megegyezik az impedanciák arányával, ami frekvenciafügg

- állandó generátorfeszültség mellett a frekvenciát változtatva a kör által felvett teljesítmény a rezonanciafrekvencián maximális?

IGAZ, a rezg kör által felvett teljesítmény P = Ieff2R (R az ohmos ellenállás), és Ieff maximális ν0-nál

- ha a tekercset kisebb induktivitásúra cseréljük, a rezonanciafrekvencia n ?


- a kondenzátor impedanciája a generátor frekvenciájának növelésével csökken?

IGAZ, ZC = 1/ωC, az impedancia nagysága a körfrekvenciával fordítottan arányos

- ha a tekercset kisebb induktivitásúra cseréljük, a rezonanciafrekvencia n ?


- a kondenzátor impedanciája a generátor frekvenciájának növelésével csökken?

IGAZ, ZC = 1 / (ωC)

V1) Egy kondenzátorból és egy veszteséges tekercsb l álló soros rezg körben a rezonanciafrekvencián a kondenzátoron 3,6 V-ot, a teljes rezg körön 4,8 V-ot mérünk. Mekkora feszültséget mérnénk a tekercsen?

~ ~ ~ U LR = U gen − U C = 4,8 − (−3,6i) = 4,8 + 3,6i [V], 4,8 2 + 3,6 2 = 6 V

ULR =

V2) Mennyi a kondenzátor kapacitása, ha ν = 199 Hz frekvencián a kondenzátoron es feszültség effektív értéke 1,6 V és a rajta átfolyó áram effektív értéke 0,5 mA?

Zc = UC / I = 1,6/0,0005 = 3200 Ω = 1 / (2πνC) C = 2,5 10-7 F = 250 nF

V3) Mekkora a kondenzátor kapacitása, ha azt egy L = 0,2 H önindukciós együtthatójú, R = 420 Ω ellenállású veszteséges tekerccsel sorba kötve a kör rezonanciafrekvenciája 7958 Hz lesz?

ν0 =

12

1 1 2π LC

C = 2 nF

K1A laborzh gyakorló anyag V4) ν = 796 Hz frekvencián megmértük többször a kondenzátoron es feszültség és a rajta átfolyó áram effektív értékét, és a következ értékeket kaptuk 95 %-os konfidenciaszinthez tartozó hibaintervallummal:

UC = (3,2 ± 0,1) V, IC = (4,0 ± 0,1) mA. Számoljuk ki a kondenzátor kapacitását és hibáját 95 %-os konfidenciaszintre!

2007.12.03.

UC I 1 = C= C IC ωC ωUC a kondenzátor kapacitása 4 ⋅ 10 −3 C= = 2,5 ⋅ 10 −7 F = 250 nF 2π ⋅ 796 ⋅ 3,2 a kapacitás hibája: ∂C 1 = = 6,25 ⋅ 10 −5 ∆IC = 10-4 ∂ IC ω UC IC ∂C = = 7,8125 ⋅ 10 −8 ∆UC = 0,1 2 ∂ UC ωUC ZC =

∆C = =

∂C ⋅ ∆I C ∂ IC

(6,25 ⋅10

−5

2

⋅ 10 −4

+

∂C ⋅ ∆U C ∂ UC

) + (7,8125 ⋅10 2

−8

2

= ⋅ 10 −1

)

2

= 10 −8 F

C = (2,5±0,1) 10-7 F = (250±10) nF

V5) Sorosan kapcsolunk egy C = 200 nF kapacitású kondenzátort és egy L = 0,5 H önindukciós együtthatójú, R = 420 Ω ellenállású veszteséges tekercset, és egy Ugen = 7,0 V effektív feszültség váltóáramú generátorra kötjük. Mekkora áram fog folyni a körben 600 Hz frekvencián?

I = U gen

Mennyi a kör rezonanciafrekvenciája?

ν0 =

V6) a) Mekkora a kondenzátor kapacitása, ha azt egy L = 2,5 H önindukciós együtthatójú, R = 250 Ω ellenállású veszteséges tekerccsel sorba kötve a kör rezonanciafrekvenciája 318 Hz lesz?

1 / R + 2πνL − 2πνC 2

2

=…

1 1 =… 2π LC

ω0 = 2πν0 = 1 / LC C = 1 / (L (2πν0)2) = 100 nF

b) Hányszorosa a rezonanciafrekvencián a generátorfeszültség a kondenzátoron es feszültségnek?

U gen ,0 U C,0

=

Z gen ,0 Z C,0

=

R = Rω0 C = 0,05 1 /(ω0 C)

V7) Sorosan kapcsolunk egy kondenzátort és egy L = 0,4 H önindukciós együtthatójú, R = 210 Ω ellenállású veszteséges tekercset, és egy változtatható frekvenciájú, Ugen = 7,0 V effektív feszültség váltóáramú generátorra kötjük. Hatszor meghatároztuk a kör rezonanciafrekvenciáját: 3977 Hz 3980 Hz 3981 Hz 3981 Hz 3978 Hz 3977 Hz a) Adjuk meg a rezonanciafrekvencia értékét a 95 %-os konfidenciaszinthez tartozó hibaintervallummal együtt! b) Mekkora a kondenzátor kapacitása?

13

5%-a

1. Mechanika. K1A laborzh gyakorló anyag

Recommend Documents