1) Leptokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi

Statistik Deskriptif

Keruncingan atau Kurtosis Pengertian Kurtosis Pengukuran kurtosis (peruncingan) sebuah distribusi teoritis adakalanya dinamakam pengukuran ekses (excess) dari sebuah distribusi. Sebenarnya kurtosis bisa dianggap sebagai suatu distorsi dari kurva normal. Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat ketinggian puncak atau keruncingan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut: 1) Leptokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi 2) Platikurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar 3) Mesokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar Bila distribusi merupakan distribusi simetris, maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal. Pada kurva simetris, jika skala tegak lurus kurva normal ditarik secara memanjang dan skala horisontalnya dipersempit maka kurvanya akan menjadi tingggi dan ramping. Sebaliknya, jika skala tegak lurusnya diperpendek dan skala horisontal diperlebar, maka kurvanya akan menjadi pendek dan melebar.

Leptokurtis

M esokurtis

18

Platykurtis

Momen, Skewness Dan Kurtosis Gambar 3.3 Bentuk kurva distribusi mesokurtik, distribusi leptokurtik dan platikurtik. Untuk mengetahui keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan α4 (alpha 4). Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh: 1) Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik. 2) Nilai lebih besar dari 3, maka distribusinya adalah distribusi leptokurtik. 3) Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik.

Pengkuran Kurtosis Tingkat

keruncingan

suatu

kurva

distribusi

dihitung

dengan

mempergunakan α4, yaitu moment coefficient of kurtosis yang rumusnya sebagai berikut: (data tunggal)

𝜶𝟒 =

𝑴𝟒

𝑺𝟒

=

𝟏 𝒏

𝒏 ̅ 𝟒 𝒊 𝟏(𝑿𝒊 −𝑿) 𝑺𝟒

=

𝟏 𝐧

̅)𝟒 (𝐗−𝐗

𝐬𝟒

3.16

Contoh 3.4 Soal:

Berikut diketahui kuota Anggaran

beasiswa (dalam milyar rupiah) bagi 5

kabupaten wilayah utara Kalimantan timur meliputi; Tana Tidung, Bulungan, Nunukan , Malinau, Berau dan Tarakan masing-masing adalah sebagai berikut 2, 3, 6, 8, 11 , tentukan tingkat keruncingan kurva (kurtosis) dari data tersebut ! Penyelesaian soal n

x  x2  .....  xn X  1  n

x

i

1

n



30 6 5 19

Statistik Deskriptif − ̅)

(

=√

=√

−

=3,66

Tabel 3.6 Penolong perhitungan ̅ X

̅̅̅)2

(

̅)

(

2

-4

16

256

3

-3

9

81

6

0

0

0

8

2

4

16

11

5

25

625

Jumlah

0

54

978

1 n

-̅ s4

4

=

1 978 5

3,66

4

=

195,6 179,4

=

Karena nilainya 1,09 (lebih kecil dari 3) maka distribusinya adalah distribusi adalah distribusi platikurtik. Adapun jika data tersebut merupakan data yang berbentuk kelompok maka, rumus yang digunakan adalah sebagai berikut:

𝛼 =

𝑀 𝑆

=

𝑛

𝑘 𝑖

𝑓𝑖 (𝑀𝑖 −𝑋̅ )

3.17

𝑆

Berdasar pada rumus 3.17 dapat disederhanakan perumusannya dengan menggunakan metode pengkodean sehingga terbentuk rumus sebagai berikut:

3.18

𝜶𝟒 =

𝒊𝟒 𝟏 𝑺𝟒 𝒏

𝒌

𝒇𝒊 𝒄𝟒𝒊 𝒊=𝟏

𝟏 𝟒( 𝒏

𝒌

𝒊=𝟏

𝟏 𝒇𝒊 𝒄𝟑𝒊 ) ( 𝒏

𝒌

𝒇 𝒊 𝒄𝒊 ) 𝒊=𝟏

20

𝟏 𝟔( 𝒏

𝒌

𝒊=𝟏

𝟏 𝒇𝒊 𝒄𝟐𝒊 ) ( 𝒏

𝒌

𝒇𝒊 𝒄𝒊 )𝟐 𝒊=𝟏

𝟏 𝟑( 𝒏

𝒌

𝒇𝒊 𝒄𝒊 )𝟒 𝒊=𝟏

Momen, Skewness Dan Kurtosis

Contoh 3.5 Soal: Berdasarkan data dari contoh pada

modal 40

populasi perusahaan

sebelumnya(contoh 3.3), hitunglah tingkat keruncingan kurva dengan menggunakan Rumus 3.18 (Lihat juga contoh sebelumnya di atas)

Penyelesaian soal: Kelas

Xi

f

fXi

c

fc

fc2

fc3

Fc4

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

118 – 126

122

3

366

-3

-9

27

-91

243

127 – 135

131

5

655

-2

-10

20

-40

80

136 – 144

140

9

1.260

-1

-9

9

-9

9

145 – 153

149

12

1.788

0

0

0

0

0

154 – 162

158

5

790

1

5

5

5

5

163 – 171

167

4

668

2

8

16

32

64

172 – 180

176

2

352

3

6

18

54

162

40

5.879

-9

95

-39

563

Jumlah

𝒊𝟒 𝟏 𝜶𝟒 = 𝟒 𝑺 𝒏

=

𝒌

𝒇𝒊 𝒄𝟒𝒊 𝒊=𝟏

𝟏 𝟒( 𝒏

, (

𝒌

𝒇𝒊 𝒄𝟑𝒊 ) 𝒊=𝟏

)

𝒌

𝟏 ( 𝒏

𝒇 𝒊 𝒄𝒊 ) 𝒊=𝟏

−

(

−

𝟏 𝟔( 𝒏

)( )

21

𝒌

𝒇𝒊 𝒄𝟐𝒊 ) 𝒊=𝟏

𝟏 ( 𝒏

−

𝒌

𝒇 𝒊 𝒄𝒊 )

𝟏 𝟑( 𝒏

𝟐

𝒊=𝟏

( )( )

−

𝒌

𝒇 𝒊 𝒄𝒊 ) 𝟒 𝒊=𝟏

( ) -

Statistik Deskriptif

=

6.561 , 35.433,68

(

)

(

)

(

)(

)

−

( ) -

α 4 = 0,185 {14,075 – 4(0,129) + 6(0,120) – 3(0,0020)} = 0,185 (14,075 – 0,876 + 0,72 – 0,0078) =2,57 Kalau α4 > 3 dihasilkan kurva leptokurtis (meruncing) α4 = 3 dihasilkan kurva mesokurtis (normal) α4 < 3 dihasilkan kurva platykurtis (mendatar) Rumus

yang

lain

menggunakan

Koefisien

Kurtosis

Persentil

dilambangkan dengan K (kappa). Untuk distribusi normal, nilai K = 0,263. Koefisien kurtosis persentil, dirumuskan:

𝑲=

𝟏 (𝑸 −𝑸𝟏 ) 𝟐 𝟑

3.19

𝑷𝟗𝟎 −𝑷𝟏𝟎

Contoh 3.6 Soal: Berikut ini disajikan tabel frekuensi dari tinggi 100 mahasiswa universitas XYZ ( Data rekayasa) a) Tentukan koefisien kurtosis persentil (K) !, b).Apakah distribusinya termasuk distribusi normal ! Tabel 3.7 Tinggi Mahasiswa Universitas XYZ Tinggi (inchi)

Frekuensi (f)

60 – 62

5

63 – 65

18

66 – 68

42

69 – 71

27

22

Momen, Skewness Dan Kurtosis 72 – 74

8

Penyelesaian soal: Kelas Q1 = kelas ke-3 .

=

(

)=

Kelas Q3 = kelas ke-4 .

=

(

)=

Kelas P10 = kelas ke-2 .

==

(

)=

Kelas P90 = kelas ke-4 .

=

(

)=

Koefisien kurtosis persentil (K) adalah: =

(

)

=

(

)

=

Karena nilai K = 0,25 (K < 0,263) maka distribusinya bukan distribusi normal.

23

Statistik Deskriptif

24