1. Kerstmancasting Auteur: Dr. Falk Ebert Kerstman lijkt een benijdenswaardig beroep: elf maanden vakantie per jaar, rondvliegen in een slee, en haast alleen maar tevreden klanten. Maar in werkelijkheid valt het werk niet mee! De echte kerstman heeft de ondankbare taak, om uit een groot aantal sollicitanten een geschikte hulpkerstman te selecteren. Precies 10 sollicitanten zijn door de voorselectie heengekomen, en worden uitgenodigd voor een gesprek. De eerste kandidaat staat om 10 uur gepland, de tweede om 11 uur, enzovoorts. Het laatste gesprek staat dus om 19 uur gepland. Ze willen de baan graag, maar leiden een druk bestaan in andere banen. Ze komen dus allemaal precies op tijd, maar geen minuut te vroeg. Elk gesprek begint daarom op zijn vroegst op het geplande tijdstip. Maar de ervaring uit vorige jaren leert dat geen enkel gesprek precies een uur duurt. Nee, ze duren ofwel 30 minuten, ofwel 90 minuten, afhankelijk van de kandidaat, en allebei met een kans van 1 op 2. De kerstman heeft daar geen invloed op. Als een gesprek uitloopt of precies op het geplande tijdstip voor het volgende gesprek ophoudt, dan begint dat volgende gesprek direc aansluitend. Als een gesprek v´oo´r het geplande tijdstip van het volgende gesprek afloopt, dan heeft de kerstman even pauze. Wat is de kans dat de kerstman uiterlijk om 20 uur klaar is met zijn laatste gesprek?
1
Mogelijke antwoorden:
1. Hij is zeker precies uiterlijk om 20 uur klaar. 2. Die kans is ongeveer 43 . 3. Die kans is ongeveer
1 2
4. Die kans is ongeveer 14 . 5. Die kans is ongeveer 61 . 6. Die kans is ongeveer 81 . 7. Die kans is ongeveer
1 . 12
8. Die kans is ongeveer
1 . 42
9. De kans is ongeveer
1 . 216
10. Die kans is ongeveer
1 . 1000
2
22. De Adventscup Auteurs:Christian Raack, Axel Werner und Kati Wolter
Opgave De kerstman en al zijn werknemers (elven, rendieren en ook een gastteam van de paashaas) spelen in de adventstijd in de adventscup voetbal. Er zijn 10 teams die in de voorrondes in 2 poules spelen. In elke poule zitten 5 teams. Elke team speelt een uit- en een thuis-wedstrijd tegen elk ander team van zijn poule. Dit alles gebeurt volgens de regels van de AVV (Advents Voetbal Vereniging), wiens voorzitter natuurlijk de recentelijk met 103de stemmen herkozen Niko Laas is. De regels van de AVV zijn gelijk aan die van de eerste sneeuwbalcup: • Voor een gewonnen wedstrijd krijgt de winnaar 3 punten. Bij gelijkspel krijgen beide teams 1 punt. Dit zijn de enige punten die de teams kunnen krijgen. • De eindstand in een voorrondepoule wordt bepaald door de puntentotalen. (Hoe meer punten, hoe hoger de classering) • Als in de poule twee teams evenveel punten hebben dan beslist het adventsco¨effici¨ent welk team hoger eindigt. Er kunnen dus nooit twee teams op dezelfde plaats eindigen.
1
• De twee beste teams uit elke poule gaan naar de halve nale. De 10 teams vragen zich al weken af hoeveel punten ze eigenlijk nodig hebben. De besten willen heel graag de halve nale berijken, daar lonkt immers als prijs de gouden sneeuwbal. De wat meer bescheiden teams willen vooral voorkomen dat ze als laatste eindigen in de poule. De sportreporters willen nu graag zo waar mogelijke statistieken samenstellen. Dit levert natuurlijk eindelioze debatten op, omdat iedereen een andere mening heeft over wat de uitkomst zou kunnen worden. Welke van de volgende uitgebreid bediscusieerde uitspraken is waar? Mogelijke antwoorden: 1. Elk team verdient in de voorronde minstens 2 punten. 2. Aan het einde van de voorrondes kan het totaal aantal punten dat alle teams van een poule samen behaald hebben niet precies 41 zijn, omdat dit een priemgetal is. 3. Met 24 doelpunten zit een team zeker in de halve finale. 4. Het aantal punten dat de teams die in de halve finale zitten hebben behaald in de voorronde bij elkaar opgeteld is minstens 37. 5. Een team moet minstens een keer winnen in de voorronde om in de halve finale te komen. 6. Aan het einde van de voorronde hebben alle teams die in een groep samen zitten samen minstens 42 punten. 7. Als een team in de voorronde ten minste 13 punten behaald zal het zeker niet laatste worden in zijn groep. 8. Aan het einde van de voorrondes hebben alle teams in een groep samen op zijn meest 58 punten. 9. Met 18 punten in de voorronde zit een team zeker in de halve finale. 10. Het in de voorronde behaalde aantal punten van alle halve finale deelnemers samen is op zijn hoogst 70 punten.
2
20. Digitale kerstliedjes Auteur: Gitta Kutyniok und Wang-Q Lim
Opgave Vorig jaar wilde de Kerstman kinderen met een extra kleinigheid verrassen: een paar mooie liedjes, waaronder zelfs een aantal door hem gezongen. Om met zijn tijd mee te gaan kocht hij een computer en verstuurde de liedjes per e-mail. Een paar maanden later kwam hij erachter, dat hij die kinderen daarmee helemaal geen plezier gedaan had—door die ene e-mail hadden ze allemaal hun mail-quota overschreden. Wat bleek? De Kerstman had er, onervaren als hij met het internet was, niet aan gedacht om de liedjes te comprimeren! Toen hij dit voorval bedroefd aan zijn kabouter-vrienden vertelde, kwam een van hen met een briefje dat die bij een van zijn uitstapjes naar het Mensenrijk had gevonden. Op dat briefje stond volgende data-compressiemethode: Stappen voor het comprimeren van kerstliedjes: 1) Meet het lied op een eindig aantal (regelmatig over het lied verdeelde) tijdstippen. Dat geeft een rijtje x1 , . . . , xn van re¨ele getallen. Kies dat aantal n gelijk aan een macht van 2, dus n = 2m . 2) Neem de som van paren opeenvolgende getallen en vermenigvuldig die (1) met √12 ;dat geeft getallen ak = √12 (x2k−1 + x2k ), k = 1, . . . , 2m−1 .
1
3) Neem ook de verschillen van die paren en vermenigvuldig die ook met (1) m−1 √1 ; dat geeft de getallen b √1 . k = 2 (x2k−1 − x2k ), k = 1, . . . , 2 2 (1)
(1)
4) Stappen 2) en 3) geven 2m−1 getallen a1 , . . . , a2m−1 , en 2m−1 getal(1) (1) (1) (1) len b1 , . . . , b2m−1 . Pas nu op dat eerste rijtje a1 , . . . , a2m−1 ,dezelfde berekening toe als in 2) en 3), d.w.z. bereken de (2)
2m−2 getallen bk =
(1) √1 (a 2 2k−1
− a2k ), k = 1, . . . , 2m−2 .
(2)
(2)
(1)
5) Neem nu het rijtje a1 , . . . , a2m−2 en pas daarop dezelfde bewrekenin g (m) toe als in 2) en 3). Herhaal dit proces tot jer nog maar ¨e¨en getal a1 (m) hebt en ¨e¨en getal b1 overhoudt. 6) Bekijk nu het rijtje (m)
(m)
(m−1)
(a1 , b1 , b1
(m−1)
, b2
(1)
(1)
(1)
, . . . , b1 , b2 , . . . , b2m−1 ).
dat weer uit 1 + 1 + 2 + 4 + . . . + 2m−1 = 2m = n getallen bestaat. 7) Omdat er in kerstliedjes geen plotselinge, grote sprongen zitten, zullen veel van deze getallen heel klein zijn. Vervang nu alle getallen die in 3 zijn door nullen. Dit levert een goede comabsolute waarde hooguit 10 3 pressie: alleen de getallen die in absolute waarde groter dan 10 zijn hoeven te worden opgeslagen. De kabouter had op de achterkant van het blaadje nog een voorbeeld voor de Kerstman gekrabbeld Een voorbeeld: Neem x1 = 1, x2 = 1, x3 = 65 , x4 = 56 zodat n = 4 = 22 en √ √ (1) (1) m = 2. Stap 2) leidt dan tot a1 = 2 and a2 = 65 · 2, en stap 3) geeft (1) (1) (2) (2) b1 = 0 en b2 = 0. In stappen 4) en 5) worden a1 = 11 en b1 = − 15 5 berekend. Stap 6) geeft dan (2)
(2)
(1)
(1)
(a1 , b1 , b1 , b2 ) = (
11 1 , − , 0, 0), 5 5
en de compressie in stap 7) geeft (
11 , 0, 0, 0). 5 2
Man hoeft dus alleen het getal
11 5
te onthouden!
De Kerstman begrijpt het rekenproced´e, maar vraagt de kabouter, hoe uit het laatste rijtje het kerstlied gereconstrueerd kan worden, en of het door de compressie niet heel anders zal klinken dan het origineel. De kabouter weet niet zeker hoe de reconstructie gaat, maar verzekert de Kerstman, dat mensen deze methode veelvuldig gebruiken. Dus het gereconstrueerde lied zal wel nauwelijks van het origineel te onderscheiden zijn. Oh, ja, zegt hij, en mensen meten de door compressie ontstane fout tussen het originele lied x1 , . . . , xn en het gereconstrueerde lied y1 , . . . , yn door middel van de grootheid E=
1 (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + . . . + (xn − yn )2 n
De Kerstman gaat dit keer niet over ´e’en nacht ijs, en wil deze compressiemethode eerst testen, alvorens hij zijn liedjes komende kerst nog een keer gecomprimeerd verstuurt. Daartoe meet hij een beginstuk van een van de door hemzelf gezongen liedjes. Dat levert re¨ele getallen x1 , . . . , x8 , waarop hij de stappen 1) tot en met 6) toepast (maar nog niet stap 7). Dat geeft het rijtje auf die er den neu erlernten Kompressionsalgorithmus, aber nur bis einschließlich Schritt 6) anwendet. Er erh¨alt hiermit den Vektor 1 3 5 √ , 0, − , , 0, 0, 0, 0 . 2 10 2 Hij wil nu in de eerste plaats nagaan, of hij hieruit het origineel exact kan reconstrueren, en in de tweede plaats, welke fout hij maakt als hij ook nog comprimeert volgens stap 7). Help je de Kerstman? Reconstrueer ten eerste 3 het rijtje x1 , . . . , x8 exact uit bovenstaand rijtje, stel vervolgens het getal 10 hierboven op nul en pas dezelfde reconstructiemethode toe op het resultaat; dat geeft dat geeft het rijtje y1 , . . . , y8 . Wat is de fout E?
Mogelijke antwoorden:
1. E =
9 . 800
3
2. E =
1 . 80
3. E =
1 . 100
4. E =
1 . 60
5. E =
7 . 900
6. E =
1 . 13
7. E =
5 . 27
8. E =
7 . 35
9. E =
5 . 237
10. E =
2 . 161
4
18. Geschenkentransport Auteurs: Paul Martijn Visser, Jeroen Spandaw (NL) Opgave Kabouters Punt en Muts moeten een groot kerstpakket von Punthem naar Mutsevoort brengen. Helaas beschikken ze slechts over ´e´en arreslee met rendier. Elk van beiden kan het pakket op de slee transporteren, maar natuurlijk niet allebei tegelijkertijd. In het begin zijn Punt, Muts, het pakket de slee en het rendier in Punthem. Punt en Muts rijden en rennen met verschillende snelheden. (We nemen voor beiden constante snelheden aan, die echter voor Punt en Muts verschillend kunnen zijn. Elk van beiden rijdt echter sneller slee, dan de ander rent.) Om zo snel mogelijk met het pakket in Mutsevoort te komen, bedenken ze het volgende plan: Punt rijdt een stuk met de slee, laat deze dan met het pakket staan en rent verder. Muts rent tot aan de plek waar de slee staat, en rijdt ermee verder. Hij haalt Punt in, en laat verderop de slee weer staan. Op deze manier wisselen ze elkaar af, waarbij de sleerijder natuurlijk de renner telkens inhaalt. Hun taak is pas volbracht als beide kabouters in Mutsevoort aangekomen zijn. Hoe vaak moeten Punt en Muts elkaar afwisselen, en waar.
1
Mogelijke antwoorden: 1. Niet afwisselen: Muts rijdt en Punt rent het hele stuk. 2. Niet afwisselen: Punt rijdt en Muts rent het hele stuk. 3. Precies ´e´en keer wisselen, waarbij het onbelangrijk is waar dat precies gebeurt. 4. Precies ´e´en keer wisselen, en wel op de juiste plek. 5. Ze moeten vaker dan ´e´en keer wisselen. Waar dat gebeurt is niet belangrijk, zolang ze elkaar maar telkens inhalen. 6. Ze moeten vaker dan ´e´en keer wisselen. Alle wissels moeten op de juiste plek gebeuren. 7. Ze moeten vaker dan ´e´en keer wisselen. Van precies ´e´en wissel is de plek belangrijk. 8. Ze moeten vaker dan ´e´en keer wisselen. Van precies twee wissels is de plek belangrijk. 9. Het is onbelangrijk of er ´e´en keer of vaker gewisseld wordt, en ook niet belangrijk waar. 10. Het is onbelangrijk of er ´e´en keer of vaker gewisseld wordt, zolang er tenminste ´e´en wisselplek juist gekozen wordt.
2
21. De problematiek van schenken Auteurs:Dirk Becherer und Martin B¨ uttner
Opgave Zoals elk jaar vlak voor Kerst halen de kabouters Anton en Bertram allerlei streken uit. Nu hebben ze weer in de kadofabriek van de Kerstman ingebroken en hebben een pakje met twee apart in enveloppen ingepakte kadobonnen ontvreemd, die in te wisselen zijn voor chocoladerepen. Van buitenaf zien de enveloppen er precies eender uit, maar ze weten dat in zo’n pakje de ene bon altijd twee keer zoveel repen waard is als de andere bon. Ze proberen uit te maken, wie welke envelop krijgt, maar ze komen er niet uit. Plotseling neemt Anton een van de twee enveloppen en scheurt die open. ”Wat moet dat?”, ¨ roept Bertram boos, Hoezo mag jij de eerste envelop openmaken? Anton zegt: ”32 repen! Maar 32 repen! Ik weet het goed gemaakt: als je dat per se wilt, mag jij deze kadobon hebben. Ik neem liever de andere envelop.Ja, dat zal wel,ßegt Betram koppig, ”waarom wil je nou weer ruilen”? ”Nou, denk maar even na,ßegt Anton: ”met kans 1 op 2 zit in de andere envelop een kadobon voor 16 repen, en met kans 1 op 2 een kadobon voor 64 repen. Dus gemiddeld verwacht ik 1 12 ∗ 16 + 12 ∗ 64 = 40 repen te krijgen, en dat is meer dan 32”. ”Wat een onzin,¨antwoordt Bertram, ”je maakt daar een grote denkfout. Als je ruilt, dan kun je niet gemiddeld m´e´er repen verwachten.” Vraag 1: Wie heeft er op dit moment gelijk? Anton of Bertram?
1
In de tussentijd heeft Conrad het hele gesprek aangehoord, en nu komt hij tussenbeide: ¨Ik weet toevallig hoe de waarden van de kadobonnen vastgelegd worden: de Kerstman gooit net zo lang met een dobbelsteen tot hij een zes gooit. Als hij tot die eerste zes precies x keer g¨e¨en zes gegooid heeft, dan stopt hij in de ene envelop een kadobon voor 2 x repen, en in de andere envelop een kadobon voor 2 x + 1 repen. Beide enveloppen stopt hij in een pakje, en voor het volgende pakje begint hij weer opnieuw te dobbelen.”Daarop roepen Anton en Bertram in koor: ”Dat verandert werkelijk niets aan ons probleem! Daar zou ik maar niet zo zeker van zijn”, zegt Conrad. Vraag 2: In welk interval ligt, op basis van Conrads extra informatie, de verwachtingswaarde van het aantal repen waar de andere, nog niet open gemaakte, kadobon goed voor is? Mogelijke antwoorden voor vragen 1 en 2: 1. Anton/ 22-26 repen 2. Bertram/ 22-26 repen 3. Anton/ 26-30 repen 4. Bertram/ 26-30 repen 5. Anton/ 30-34 repen 6. Bertram/ 30-34 repen 7. Anton/ 34-38 repen 8. Bertram/ 34-38 repen 9. Anton/ 38-42 repen 10. Bertram/ 38-42 repen
2
1
Glasvezelpost (opgave
15)
Auteur: Kersten Schmidt Project: D26
1.1
Opgave
“Alles is weer eens ingesneeuwd” denkt de kerstman. Tot nu toe is het elk jaar weer gelukt om de wensen van de kinderen op tijd binnen te krijgen. Dat is echt een wonder gezien alle foutieve of incompleet geadresseerde brieven. Dit jaar is er een proefproject gestart. Het idee kwam van een 43-jarige postbeambte Barbara Pijlsnel. Mevrouw Pijlsnel had dit voorjaar, bij het bestuderen van een computertijdschrift, het artikel over data versturen met een glasvezelkabel bijna overgeslagen. Dat is echter niet gebeurd! Na intensieve bestudering van het artikel komt zij op het idee om een directe kabelverbinding met de kerstman te installeren. Op deze manier zullen de wensen van de kinderen de kerstman digitaal en met lichtsnelheid bereiken. Nu is het project al aardig op gang en mevrouw Pijlsnel test de verbinding. Daartoe zendt zij een puls met een rechthoekig profiel van f = 500 GHz, d.w.z. elke picoseconde een signaal en elke picoseconde geen signaal. De puls beweegt zich met de lichtsnelheid door de glasvezel, d.w.z. met c = 230.000 km/s. De lengte van de puls is dan dus 460 µm. Als het signaal de glasvezelkabel in gaat wordt een deel van de puls gereflecteerd (ge¨ıllustreerd door de rode puls bij de eerste loodlijn in figuur 1). Ook bij het verlaten van de glasvezelkabel aan de andere kant (ge¨ıllustreerd door de tweede loodlijn in figuur 1) wordt een percentueel gelijk deel, van
1
Figuur 1: Illustratie van de verspreiding van de rechthoekige puls. De blauwe blokken bewegen naar rechts en de rode blokken bewegen naar links. Bij de eerste loodlijn gaat het signaal de glasvezel in en bij de tweede loodlijn gaat het signaal de glasvezel uit. Op die twee locaties wordt, in het hier gegeven voorbeeld, 30% van het signaal reflecteert. In de figuur aan de rechterkant hebben we op de gestippelde loodlijn een versterking van het signaal (in dit geval een versterking met 20%) door een laser.
het intussen al gereduceerde signaal, in de richting van het postkantoor gereflecteerd. Dit proces herhaalt zich voor elke puls: een deel gaat terug in de glasvezelkabel en een deel komt in het postkantoor uit. De tijdsvertragingen in dit proces zijn heel klein en mevrouw Pijlsnel registreert in het postkantoor een reflectie van de rechthoekige puls met een derde van de oorspronkelijke amplitude. Zij concludeert hieruit dat het signaal dat bij de kerstman aankomt slechts twee derde van de oorspronkelijke amplitude heeft. Het testprogramma stelt nu voor om de, in de glasvezelkabel ge¨ıntegreerde, laser te activeren. Die versterkt het licht onafhankelijk van de richting waarin het licht beweegt. Mevrouw Pijlsnel meet voor verschillende versterkingsfactoren de amplitude van het reflecteerde signaal.
2
(a) Puls van links komt aan bij het koppelstuk en wordt ten dele reflecteert terwijl de rest verder wordt getransporteerd.
(b) Puls van rechts wordt ten dele gereflecteerd en de rest wordt verder getransporteerd.
(c) Puls van links wordt versterkt.
(d) Puls van rechts wordt versterkt.
Figuur 2: Illustratie van het punt waar het licht de glasvezelkabel in gaat en van de versterking met behulp van de laser. De blauwe blokken illustreren pulsen die naar rechts bewegen en de rode blokken illustreren pulsen die naar links bewegen. Het voorbeeld toont het geval waarbij de helft van het signaal gereflecteerd wordt en he geval dat de versterking het signaal verdubbelt.
Versterkingsfactor
Gedeelte gereflecteerd
Gedeelte aangekomen
1 1,1 1,2 1,3 ?
1/3 0,363 0,396 0,432 ?
2/3 ? ? ? 3
3
Barbara Pijlsnel vraagt zich af hoe ze nu kan uitvinden hoe sterk het licht is dat bij de kerstman aankomt. Veel belangrijker is echter de vraag hoe groot de versterkingsfactor van de laser moet zijn zodanig dat het signaal dat bij de kerstman aankomt drie keer zo sterk is als het signaal dat verzonden is.
Mogelijke antwoorden: 1. Versterkingsfactor 4,50. 2. Versterkingsfactor 4,00. 3. Versterkingsfactor 3,30. 4. Versterkingsfactor 3,20. 5. Versterkingsfactor 3,00. 6. Versterkingsfactor 2,55. 7. Versterkingsfactor 2,15. 8. Versterkingsfactor 2,00. 9. Versterkingsfactor 1,84. 10. Versterkingsfactor 1,60.
4
1
Hotel voor individualisten
(opgave 23)
Auteur: Falk Ebert
1.1
Opgave
Jeugdherbergkabouter Joni heeft de pest in. “Een hotel—in Spitzbergen! Wat hebben we daar nou aan. En nog wel, hoe zei de Kerstman dat ook alweer, voor individualisten!”. “Luister,” had de Kerstman gezegd, “ik heb een oud kantoorgebouw gekocht—wat zeg ik, bijna kado gekregen, hohoho!—en de kleine, saaie, vierkante kantoortjes gaan we—dat wil zeggen, ga jij—door muren weg te breken samenvoegen tot mooie kamers voor individualisten”. “Nou, goed dan,” denkt Joni, “individualistische kamers zal hij krijgen. Geen twee ervan zullen dezelfde plattegrond hebben, zelfs niet op spiegelingen, draaiingen, en translaties na. En die individualisten zien zelf maar, hoe ze op hun kamer komen—misschien door een gat in het plafond?—want aan gangen doe ik niet. Ik zal zoveel mogelijk van die kamers maken.” Hoeveel kamers kan Joni maximaal realiseren?
1
buitenwand (beter niet afbreken) binnenwand (mag worden afgebroken) oorspronkelijk kantoor (25 even grote vierkanten)
Figuur 1: Plattegrond van het kantoorgebouw met 25 kantoortjes.
Mogelijke antwoorden: 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 5. 7 6. 8 7. 9 8. 25 9. 42 10. Willekeurig veel.
Opmerkingen: • Geen twee kamers mogen dus congruent zijn. • Er mogen alleen scheidingswanden worden afgebroken, geen nieuwe wanden gebouwd. En als een wand tussen twee vierkante kantoortjes wordt afgebroken, dan niet gedeeltelijk, maar meteen helemaal. 2
• Vanuit elk punt in een kamer moet je naar elk ander punt kunnen lopen zonder daarbij door wanden heen te gaan. • Losse wanden midden in een kamer zijn verboden, en wanden die een kamer insteken ook. Er zijn geen ante-chambres. De wanden die blijven staan dienen twee kamers van elkaar te scheiden.
3
12. Juiste mix Auteurs: Caroline L¨obhard, Simon R¨osel, Donat Wegner; Vertaling: Aart Blokhuis Opgave Zo, eindelijk heeft de goede en inmiddels al wat grijzende kerstman het jaarlijkse reuzenprogramma weer doorstaan, en talloze kleine en grotere kinderen gelukkige gemaakt. Nu is het tijd om achterover te leunen met een warme beker chocola en een grooot stuk kerststol, en zich te ontspannen met de herinneringen and al die vrolijke kindertjes. Maar hohohoho..., hij heeft totaal niet aan de arme elfjes gedacht, die zich voor hem hebben uitgesloofd, en voor wie hij als dank iets lekkers wilde bak- ken. Maar wat hebben elfen eigenlijk het liefst? Zoals bekend hebben alle elfen nagenoeg dezelfde smaak, iets wat het hem een stukje gemakkelijker maakt. De sluw grijnzende paashaas komt hem te hulp. Hij legt uit, dat de kerstman voor zijn recept eieren, suiker, amandelen, heel veel worteltjes (hoezo worteltjes?), meel en hazelnoten nodig heeft. Hij, de paashaas, heeft namelijk met behulp van een uiterst wetenschappelijke enquete aangaande de verschillende paaseibereidingswijzen en hun antwoorden (”Keilekker!”,”Gaat wel...¨of ”Wil je me dood hebben of zo???) een smaakfunctie bepaald, waarmee men uit kan vinden wat de elfen het lekkerst vinden. De precieze formule moet zijn beroepsgeheim blijven, maar als men het aan- deel in de massa in procenten van de eieren met a, van suiker met b, van amandelen met c, worteltjes met d, meel met e en van hazelnoten met f aanduidt, dan moet het perfecte recept rond de kerst in ieder geval 8% meel en 20% hazelnoten bevatten (dus
1
e = 8 en f = 20). Voor de kerst krijgen daarmee de volgende vereenvoudigde smaakfunctie:
g(a; b; c; d) = max(−37374 − 10 a − 20 b − 20 c2 − 30 d2 + 360 a + 1000 b + 1320 c − 240d, 1 1 4 −17677 − 27 b − c4 + 32 b3 + 12 c3 − 10 a2 − 13 b2 − 17 c2 − 13 d2 2 80 +560 a + 224 b + 178 c + 752 d − 2 (a b + a c + a d + b c + b d + c d)). 2
2
Grotere waarden van g betekenen meer pret bij de elfen bij het smikkelen, volgens de paashaas. Daarbij moet de kerstman nadat hij de juiste mix bereid heeft nog een beetje geraspte citroenschil (natuurlijk onbespoten), een beetje kaneel, een pakje vanillesuiker, en een snufje zout toevoegen. Oh wat een verschrikking, die gemene paashaas! Waarom moet alles altijd zo moeilijk zijn? Of wil de paashaas hem gewoon voor de gek houden? Waarop moet de kerstman letten, om het (volgens de paashaas) lekkerste recept te maken. Help de kerstman, en bepaal het totale percentage eieren en suiker in het deeg. Mogelijke antwoorden: 1. 34%. Het zijn notenhoekjes. 2. 35%. Het worden worteltaartjes. 3. 36%. Het zijn moorkoppen. 4. 37%. Het zijn pepernoten. 5. 38%. Het kerstkransjes. 6. 39%. Het is taaitaai. 7. 40%. Het zijn speculaasjes. 8. 41%. Het zijn kokosmakronen. 9. 42%. Het zijn amandelkoeken. 10. 43%. Het zijn tompoezen. Tip: Bij het 4e-graads polynoom helpt het om termen geschikt bij elkaar te nemen. Begin daarbij met de variabelen die echt in de vierdemacht voorkomen. Bijvoorbeeld:
2
b4 − 48 b3 + 860 b2 − 6910 b + 20736 = b4 − 4 ∗ 12 b3 + (6 ∗ 122 − 4)b2 ..(4 123 − 2)b + 124 = (b − 12)4 − 4 b2 + 2 b.
3
6. Kadootjesslee Auteur: Martin Eigel
In het verleden raakten tijdens het transport per slee vaak kleine kadootjes kwijt, doordat ze in de scherpe bochten die de rendieren inderhaast maken uit de volgeladen slee geslingerd werden. Daarom besluit de kerstman een speciale transportslee voor kleine pakjes te laten maken, en stuurt zijn helpers naar de bouwmarkt voor materiaal. Ze komen terug met drie even grote rechthoekige panelen met lengte ` en breedte s, naast zeildoek en bevestigingsmateriaal. Het bouwplan is heel eenvoudig: de bodem, de linkerzijde en de rechterzijde worden van de drie panelen gemaakt, de voor- en achterkant worden afgesloten met verticale stukken zeildoek, en de bovenkant met een horizontaal stuk zeildoek; zie ook bovenstaande figuur. Bij de snel groeiende wereldbevolking is het natuurlijk zaak, het transportvolume van de slee zo 1
groot mogelijk te maken. Wat is het maximale volume dat zo gerealiseerd kan worden? 1. 25. 2. 9. 3. 10 4. 16 5. 11 6. 23 7. 20 8. 15 9. 12 10. 18
2
1
Kado’s inpakken
(opgave 16)
Auteur: Marco Sarich
1.1
Aufgabe
“Oh nee!” roept een kabouter-helper van de Kerstman. Het kadopapier is bijna op. Slechts ´e´en vierkant blad hebben de ijverige inpakkabouters nog:
1
Daarmee moeten nog 15 kado’s ingepakt worden, waarvoor echter papier met verschillende afmetingen en vormen benodigd is: 6x
6x
3x
De kabouters krijgen ruzie over hoe het kadopapier het beste verdeeld kan worden. Al snel opperen sommige dat het papier niet genoeg is voor alle kado’s. Maar andere denken daar weer anders over. Over ´e´en ding is men het eens: er moeten zoveel mogelijk kado’s ingepakt worden. Maar hoeveel kado’s zijn er hoogstens nog in te pakken, bij handig gebruik van het beschikbare papier? Mogelijke antwoorden: 1. 15 2. 14 3. 13 4. 12 5. 11 6. 10 7. 9 8. 8 2
9. 7 10. 6
3
14. Kerstballen verpakken. Auteur: Ralf Punkenburg Opgave De Kerstman is boos. Hij wil zijn kerstboom optuigen, maar een groot aantal van de grote, rode kerstballen zijn gebroken. Geen wonder, want de kabouters hebben ze vorig jaar bij het opruimen onverpakt in een grote doos gedaan. Daar moet verandering in komen! De kerstman roept de kabouters bij elkaar. Dit jaar worden de kerstballen na de kerst zorgvuldig ´e´en voor ´e´en apart ingepakt!”geeft hij te kennen. Maar na de kerst is er zo weinig verpakkingsmateriaal, hoe moet dat dan?”vraagt een kabouter. Een oude, grijze kabouter staat op en mompelt iets overstaanbaars. Dat is de oude Griek, hem begrijpt nooit iemand”, roept een van de kabouters. Daarop neemt de oude ¨ zijn wandelstok en tekent volgende figuur in het zand. Aha”, roept de Kerstman, die ballen moeten in een kegelvormig doosje met rond deksel verpakt worden. Dat ziet er nog leuk uit ook; zo gaan we het doen! Let erop, dat jullie zo weinig mogelijk papier per bal gebruiken! Wat is de minimale oppervlakte (kegel plus deksel), waar een bal met een straal van 10 cm in past?
1
Mogelijke antwoorden: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
500 π cm2 500 π 2 cm2 600 π cm2 600 π 2 cm2 700 π cm2 700 π 2 cm2 800 π cm2 800 π 2 cm2 900 π cm2 900 π 2 cm2
2
3.Kerstkransjeskansspelen Auteur: Martin Skutella Rendier Rudolf stond nu ook weer niet principieel afwijzend tegenover alle moderniseringen die Kerstman Willi wilde doorvoeren. Hoewel hij bij de gedachte aan diens belachelijke, ooit in een alcoholroes bedachte en de volgende ochtend weer verworpen idee om over te stappen op een motorslee nog altijd enige rancune voelde. Alleen dat Willi die volgende ochtend beloofde om voortaan zijn avondlijke kerstkransjes met Rudolf te delen, had Rudolf ervan weerhouden om definitief de benen te nemen. Sindsdien brachten beide hun lange winteravonden door met een spel met schaar, steen en papier. Na elke ronde mocht degene die gewonnen had een kerst- kransje nemen. Bij gelijkspel deelden beide een kransje. En dat Rudolf dankzij met opzet niet geheel eenduidige gebaren met zijn ietwat onhandige rechter-voorhoef probeerde te winnen, was de laatste tijd nauwelijks meer voorgekomen. Tenslotte was er, als beide handig speelden, geen voordeel voor een van de twee, en kregen ze dus allebei op den duur evenveel kerstkransjes te snoepen. Zelfs in Rudolfs dikke rendierschedel was het besef doorgedrongen dat hij het beste in elke nieuwe ronde willekeurig ´e´en van de gebaren schaar, steen en papier kon kiezen, elk met dezelfde kans (1/3) en wel geheel onafhankelijk van de voorgaande rondes. Maar toen op een avond de Kerstman Willi opeens de spelregels met het gebaar waterput wilde uitbreiden, leidde dat tot een gevoelige verstoring van de huiselijke vrede. Dat steen en schaar in de waterput kunnen vallen, en daarom van de waterput verliezen, en dat papier het van de waterput wint omdat het blijft drijven, dat ging er bij Rudolf aanvanke1
lijk niet in, maar hij nam het tenslotte mopperend aan. Het was voor hem als tweehoevige echter domweg onmogelijk, de ringvormige waterput uit te beelden. Willi vond het echter een geweldig extra gebaar, en wilde het koste wat kost in het spel houden. Maar hij had wel begrip voor Rudolfs kerstkransjeshandicap als gevolg van het extra gebaar dat die nooit zou maken. Tenslotte kwamen beide overeen, Rudolfs handicap op te heffen, door hem na elke zoveel ronden een vast aantal kerstkransjes kado te doen. Maar dat leidde meteen weer tot ruzie over wat het correcte aantal rondes en het correcte aantal kerstkransjes was, opdat geen van beide spelers in het voordeel waren. Kun jij ze helpen? Na hoeveel ronden zou Rudolf steeds hoeveel kerstkransjes moeten nemen, opdat tijdens lange winteravonden de kerstkransjes eerlijk over beide spelers verdeeld worden? (Natuurlijk gaan we er daarbij vanuit, dat beide spelers een optimale strategie volgen, analoog aan de eerdergenoemde strategie voor het spel zonder waterput.) Mogelijke antwoorden:
1. elke 24 ronden een kerstkransje 2. elke 16 ronden een kerstkransje 3. elke 12 ronden een kerstkransje 4. elke 9 ronden een kerstkransje 5. elke 8 ronden een kerstkransje 6. elke 6 ronden een kerstkransje 7. elke 16 ronden drie kerstkransjes 8. elke 24 ronden vijf kerstkransjes 9. elke 4 ronden een kerstkransje 10. elke 3 ronden een kerstkransje
2
7. Kerstster Auteurs: Bartz, Luckmann, Z¨anker Vlak voor kerst zijn niet alleen kinderen opgewonden; het team van de Kerstman is dat net zo. De hulp-kabouters moeten ook elk jaar aan zoveel kleine en grote dingen denken. Aan de vooravond van de eerste advent zitten enkele van hen rond het haardvuur, knabbelen noten, en bewonderen de sterrenhemel. De Kerstster licht veel feller op dan de andere sterren. De Kerstman is zijn kleine helpers dankbaar en wil ze belonen met een puzzel. De kabouter die het correcte antwoord het snelst heeft staat een lekkere verrassing te wachten—en ze zijn allemaal goed getraind! Doe je mee met de wedstrijd? De kerstman vraagt: Hoe groot is het opper- vlakte van de hieronder afgebeelde Kerstster, als de straal van de omgeschre- ven cirkel gelijk is aan R? (De Kerstster is volmaakt symmetrisch.)
1
Antwoordmogelijkheden:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
5 8
+
π 3
· R2 FE
√
2 · R2 FE √ 6 2 · R2 FE 5 1 + π5 · R2 FE √ R2 · (2 + 3) FE √ R2 · (1 + 2) FE √ R2 · (3 − 2) FE √ 2 1 2 · R FE + 4 √ R2 · (1 + 5) FE √ 4 · R2 · 2 − 1 FE
2
Laserzwaarden. Auteur: Maciek Korzec Opgave De Kerstman heeft dit jaar weer heel wat verlanglijstjes ontvangen met laserzwaarden erop. Als gevolg van de nieuwe Star-Wars trilogie van begin jaren 90 is de voorraad die hij eind jaren 70 had aangelegd, drastisch geslonken. Dit jaar moet hij zelfs nieuwe zwaarden gaan produceren! De Kerstman is al enige tijd in nanotechnologie ge¨ınteresseerd, en besluit nu deze hobby in te gaan zetten bij de laserzwaardproductie. Hij laat nanoscopisch kleine halfgeleiderkristallen groeien, waarmee hij verschillende kleuren licht kan opwekken (de kristallen werken als actief lasermedium). Op deze manier kan hij moderne lasers produceren, die hij in de zwaarden wil inbouwen, als vervanging van de goedkoop aandoende, kleurige plastic buizen. Voor het maken van licht uitzendende kristallen gebruikt hij een oppervlaktediffusieproces. Atomen worden bij hoge temperatuur op een vaste laag (een substraat) gedeponeerd. De atomen vormen spontaan groepjes, die de vorm van minuscule pyramides aannemen. Dan wordt de stroom atomen stopgezet en begint een proces, waarbij tussen nabijgelegen pyramides atomen uitgewisseld worden. Vanwege de kleine schaal, waarop dat proces plaatsvindt, kan de Kerstman zijn lichtmicroscoop niet gebruiken, en kan hij slechts met veel moeite een beeld van het oppervlak maken. Daartoe met hij het proces stopzetten, waarna hij het niet meer kan voortzetten. Een wiskundig model is daarom geboden, waarmee hij het proces kan simuleren. Uit zo’n statisch beeld merkt hij op dat de pyramides in tweetallen naast elkaar staan, waarbij de afstand tussen verschillende tweetallen zo groot is, dat daartussen verwaarloosbaar weinig 1
atomen worden uitgewisseld. Men kan zich dus gedurende een kort tijdsbestek, beginnende op een tijdstip dat we met t = 0 zullen aanduiden, op ´e´en tweetal concentreren om erachter komen hoe de pyramides veranderen.
De Kerstman beschouwt de twee pyramides als continue objecten (en ook regelmatig, d.w.z. het grondvlak is een vierkant en de top zit recht boven het midden van het grondvlak), en leidt volgende, zeer vereenvoudigde formules af:
2
3/2 A1 (t) = (Dt(A¯1 − A¯2 ))3/2 + A¯1
2/3
, 3/2 2/3 A2 (t) = (Dt(A¯1 − A¯2 ))3/2 + A¯2 ,
Deze formules beschrijven over een kort tijdsinterval het verloop van de oppervlaktes A1 (t) en A2 (t) van de twee pyramides (waarmee het oppervlak van de vier driehooeken van de pyramide bedoeld wordt). In deze formule is A1 de oppervlakte van de grootste van de twee pyramides, zijn A¯1 = A1 (0), A¯2 = A2 (0) de oppervlaktes aan het begin van het proces, en is 1 D = 0.01 min een door de Kerstman bepaalde diffusie-snelheids-co¨effici¨ent. Met een electronenmicroscoop kan hij bovendien de diagonalen d1 , d2 van de vierkante grondvlakken van beide pyramides op t = 0 meten (zie figuur). Uit natuurkundige overwegingen weet hij dat de hoogte h van zo’n pyramide met diagonaal d steeds gelijk is h = √d8 . De diagonalen van beide pyramides zijn aanvankelijk respectievelijk d1 (0) = 40nm en d2 (0) = 35nm. Vanaf t = 0 krimpt de kleinere pyramide en groeit de grotere. Het totale volume van het materiaal blijft constant. Nu heeft de Kerstman behalve voor natuurkunde ook een zwak voor wiskunde. Daarom hoopt hij dat de laserzwaarden bijzonder mooi en fel zullen schijnen als de verhouding tussen de volumes van de pyramides gelijk is aan de om zijn schoonheid beroemde gulden snede √ 1+ 5 g = 2 . Hij wil dus op basis van bovenstaande model het een tijdstip t∗ vinden waarop geldt: V1 (t∗ ) = g V2 (t∗ ). Hierin is V1 het volume van de grote pyramide en V2 het volume van de kleine pyramide. Hoe groot is t∗ ongeveer? Mogelijke antwoorden: 1. 60-61 minuten 2. 1-2 seconden 3. 2-3 seconden 4. 9-10 minuten 5. 43-44 minuten 6. 100-101 minuten 7. 1-2 minuten 8. 4-5 minuten 9. 1-2 dagen 10. 45-46 minuten 3
19. Optimale driedeling van een vierkant Auteur: Jens A. Griepentrog subsectionOpgave In afwachting van een levering fijnsparren, zilversparren en dennen heeft een kerstboomverkoper een vierkant stuk land gehuurd, waar een hek omheen staat. Om de drie soorten kerstbomen gescheiden van elkaar tentoon te stellen wil hij dat vierkant met draadhekken in drie gelijke delen verdelen. Hij vraagt zich af, hoeveel strekkende meter extra hek hij daartoe minstens nodig heeft. Hij puzzelt een tijd, maar komt er niet uit. Dan komt de Kerstman een praatje maken, en de verkoper vertelt hem zijn probleem. De Kerstman denkt even na en vindt de oplossing. Maar gek als de Kerstman is op raadsels, vertelt hij die niet direct, maar geeft de verkoper twee hints: (1) Het kortst mogelijke extra hek dat je vierkant in drie gelijke delen verdeelt bestaat uit drie deelstukken, die in het midden met onderlinge hoeken van 120 graden bij elkaar komen, en die ieder de rand van het vierkant loodrecht snijden. (2) Elk van die deelstukken is ofwel een cirkelboog, ofwel een recht lijnstuk. De verkoper is blij met de hints en probeert zich een voorstelling van het extra hek te maken. Maar nog steeds lijken er zoveel mogelijke hekken om uit te kiezen! Zijn eerste poging ziet er zo uit:
1
Niet slecht, zegt de Kerstman, maar ik zal je nog een extra hint geven: (3) Het gehele hek (bestaande uit de vier bestaande zijkanten van het vierkant en de drie extra deelstukken) is spiegelsymmetrisch. Hoe groot is de korst mogelijke lengte ‘ van het extra hek, als het aan bovenstaande eigenschappen moet voldoen en het vierkante stuk land in drie gelijke delen moet verdelen? We nemen aan dat het vierkant lengte 1 heeft. Mogelijke antwoorden: 1. ` = 1 + 2. ` =
1 3
p √ 4π − 3 3
π 2
√ 3 √ 4. ` = π + 3. ` =
5. ` =
1 12
3 2
6. ` = 2 7. ` =
π 3
+
1 2
8. ` =
π 6
+ 23 +
1 4
9. ` =
π 4
+ 13 +
1 3
10. ` =
5 3
√ √
3 3
2
11. Pijproker Auteur: Gerhard Woeginger (TU Eindhoven) Negen kerstkabouters hebben vanmiddag in de werkplaats gewerkt. De kabouters hebben allen de werkplaats betreden (op verschillende tijdstippen), hebben geboord, gevijld, gezaagd, gehamerd, geraspt, geschroefd, getimmerd en gelijmd en hebben elk na de gedane arbeid de weer werkplaats verlaten (ook op verschillende tijdstippen). E´en van de negen kabouters is echter tussendoor de tuin ingegaan (minstens eenmaal), om zijn pijpje te roken. ’s Avonds vertellen de kabouters de kerstman, welke andere kabouters ze overdag gezien hebben in de werkplaats: • Atto heeft Bilbo, Chico, Dondo, Femto, Gumbo en Izzo gezien; • Bilbo heeft Atto, Dondo, Espo en Izzo gezien; • Chico heeft Atto, Dondo, Espo, Gumbo, Harpo en Izzo gezien; • Dondo heeft Atto, Bilbo, Chico en Izzo gezien; • Espo heeft Bilbo, Chico en Izzo gezien; • Femto heeft Atto, Gumbo en Izzo gezien; • Gumbo heeft Atto, Chico, Femto, Harpo en Izzo gezien; • Harpo heeft Chico, Gumbo en Izzo gezien; • Izzo heeft alle acht andere kabouters gezien.
1
Deze opsomming van gegevens is ook volledig: als twee kabouters elkaar niet gezien hebben, waren ze niet tegelijk in de werkplaats. Welke van de negen kabouters is de pijproker? Antwoorden: 1. Atto 2. Bilbo 3. Chico 4. Dondo 5. Espo 6. Femto 7. Gumbo 8. Harpo 9. Izzo 10. Uit de gegevens kan men niet afleiden, welke kabouter de pijproker is
2
9.Routeplanning Auteurs: Bartz, Luckmann, Z¨anker
1
Kerstmis leidt tot grote logistieke uitdagingen. Kado’s worden eerst per slee naar een centraal pakhuis getransporteerd, waar ze naar bestemmingsland uitgesplitst worden. Maar door de klimaatverandering zijn de oude routes door de sneeuw niet meer overal even goed bruikbaar. Vlak voor het pakhuis is bijvoorbeeld, door strenge vorst na dooi, een grote, verrassend cirkelvormige ijsplaat ontstaan (zie guur, middelpunt (4; 2), straal 2). Die is zo glad, dat de slee, zodra hij op de ijsplaat terechtkomt, niet meer bestuurbaar is. Hij glijdt dan in een rechte lijn, in de richting die hij had bij het bereiken van de ijsplaat, daaroverheen, tot hij er weer vanaf glijdt. Het crisisteam wil van de nood een deugd maken en een nieuw spoor van P1 tot de ijsplaat aanleggen, en wel zodanig dat de slee de ijsplaat bij P2 weer verlaat. Bovendien moet op beide punten de route van de slee mooi aansluiten op de oude route: de richtingsco¨effi¨ent bij P1 moet -2 zijn, en die bij P2 moet -1 zijn. Het team besluit om voor het spoor van P1 tot de ijsplaat de grafiek te kiezen van een veelterm van zo laag mogelijke graad. Ga na dat geen enkele lineaire of kwadratische veelterm voldoet, maar vind een veelterm van graad 3 die wel voldoet. Het crisisteam raakt in jubelstemming als iemand oppert dat de nieuwe route van P1 tot P2 zelfs korter lijkt dan de oude! In welke verhouding staan de lengtes, als de oude route 7 kilometer lang was? Hint: Zodra de veelterm f (x) van graad 3 gevonden is, kan de lengte van zijn grafiek tussen P1 = (1, 5) en het punt (x3 , f (x3 )) waar de ijsplaat bereikt wordt, benaderd worden door het interval [1, x3 ] in (bijvoorbeeld) vier even grote stukken I1 := [1, 1 + δ], I2 := [1 + δ, 1 + 2 δ]I3 := [1 + 2δ, 1 + 3δ], I4 := [1+3δ, 1+4δ] te hakken (met δ = (x3 −1)/4), en dan de lengtes van de rechte lijnstukken tussen de punten (1, 5), (1 + δ, f (1 + δ))(1 + 2δ, f (1 + 2δ)), (1 + 3δ, f (1 + 3δ)) bij elkaar op te tellen. Mogelijke antwoorden: Die verhouding is ongeveer: 1. 21 , de nieuwe route is ongeveer half zo lang. 2 32 , de nieuwe route is ongeveer een derde deel korter 3. 1, beide routes zijn ongeveer even lang. 9 4. 10 , de nieuwe route is ongeveer 10 procent korter. 10 5. 9 , de nieuwe route is ongeveer 11 procent langer. 6. 15 , de nieuwe route is ongeveer 25 procent langer. 12 8 7. 10 , de nieuwe route is ongeveer 20 procent korter. 2
7 8 10 , de nieuwe route is ongeveer 30 procent langer. 9. 11 , de nieuwe route is ongeveer 22 procent langer. 9 6 10 10 , de nieuwe route is ongeveer 40 procent korter.
3
10. Sleerace Auteur: Martin Weiser, Corinna Klapproth Eindelijk is het zover: Zwarte Piet, die na een paar weken hard werk voor Sinterklaas bij de Kerstman aan de slag is gegaan, heeft de allerlaatste kado’s ingepakt. Dat moet gevierd worden! Met wat overgebleven pepernoten en essen bisschopswijn gaat hij gezellig met de Kerstman voor de berg kado’s zitten. En terwijl ze daar zo zitten, gaan hun gedachten uit naar de volgende dag. De kado’s moeten zo snel mogelijk op slee¨en naar verschillende dorpen gebracht worden—de kinderen verheugen zich er zo op. Zwarte Piet heeft ondertussen al een paar glazen wijn op en is er zeker van: hij kan de slee¨en veel sneller trekken dan de Kerstman! Dat laat de Kerstman natuurlijk niet op zich zitten. Daarom spreken ze voor de volgende ochtend een sleewedstrijd af, waarbij een volgepakte slee van Sneeuwhuizen naar Kabouterstad gebracht moet worden. Dat zijn twee bergdorpen op gelijke hoogte aan weerszijden van een heel diep dal, en de twee dorpen zijn verbonden met een 100m lange, horizontale brug. De winnaar krijgt voor elke volle seconde voorsprong een kerstkransje van de verliezer. Als Zwarte Piet volgende ochtend wakker wordt, zoemt zijn hoofd en voelen zijn benen aan als lood—teveel bisschopswijn gedronken! Zo heeft hij geen kans tegen de veel fittere Kerstman. Vertwijfeld gaat hij weer in bed liggen, maar dan daagt hem een idee: hij hoeft de slee natuurlijk niet per se over de vlakke brug te trekken. In plaats daarvan kan hij ook een ijsbaan (laten) bouwen door het dal, en van Sneeuwhuizen naar Kabouterstad glijden! Dat kost zeker veel minder moeite, en misschien is hij nog wel sneller in Kabouterstad dan de Kerstman! Hij gaat meteen aan de slag en bedenkt welke vorm de ijsbaan moet hebben. Om te beginnen vrij 1
steil naar beneden, denkt hij, om een beetje vaart te krijgen—ik ga mezelf natuurlijk niet afzetten—liever lui dan moe!—en een duw van de kabouters zou tegen de regels zijn. Dan geleidelijk aan vlakker, om vervolgens weer te stijgen. Laat ik de baan maar symmetrisch maken. Hmm, en zonder knikken, want in een knik krijgt mijn arme hoofd het natuurlijk flink te verduren. Hij besluit de baan paraboolvormig (dus beschreven door een tweedegraads functie) te maken. Een paar kabouters helpen hem bij het bouwen van de baan, en die is net op tijd klaar. Vraag: Wie wint hoeveel kerstkransjes, als de Kerstman met 2m/s over de brug draaft en als Zwarte Piet de beste paraboolvormige baan laat bouwen die er is? De slee¨en glijden zonder wrijving en de zwaartekracht is g = 9.81m/s2 . Mogelijke antwoorden: 1. De Kerstman wint 25 kransjes, omdat Zwarte Piet gemiddeld maar half zo snel is. 2. Zwarte Piet wint tussen de 21 en 35 kransjes. 3. De Kerstman wint tussen de 21 en 35 kransjes. 4. Geen van beiden wint een kransje, want ze zijn precies even snel. 5. Zwarte Piet wint tussen de 40 en 50 kransjes. 6. De Kerstman wint tussen de 40 en 50 kransjes. 7. Zwarte Piet wint 25 kransjes, omdat zijn baan twee keer zo snel is. 8. Zwarte Piet wint, maar hooguit 20 kerstkransjes. 9. De Kerstman wint, maar hooguit 20 kerstkransjes. 10. De Kerstman wint oneindig veel kerstkransjes, omdat Zwarte Piet nooit in Kabouterstad aankomt.
2
1
Sneewpop
Auteurs: Bartz, Luckmann, Z¨anker
1.1
Opgave
In de wereld van de Kerstman en zijn vlijtige kabouter-vrienden is dagelijks verse sneeuw vanzelfsprekend. Na gedane arbeid gaan sommigen rodelen, anderen ski¨en, en weer anderen zitten rond de open haard, knabbelen noten, lezen, of doen iets anders intellectueels. Een paar van de kabouters maken elk jaar prachtige sneeuwsculpturen. Hun eerste bouwwerk dit jaar was een sneeuwpop, en die leidde naderhand ook tot een uitdaging voor de kabouters rond het haardvuur. De sneeuwpopkabouters hadden namelijk vooraf vastgesteld dat de volumes van de drie volmaakte sneeuwbollen (hoofd, bovenlijf, onderlijf) waaruit de sneeuwpop werd gebouwd zich verhielden als 1:2:3. Met een meetlint hadden ze bovendien de “buikomvang” van de grootste bol opgemeten; die was 24 decimeter. Maar om de bollen stevig op elkaar te zetten, moesten ze allemaal wat afgeplat worden, zodat ze elkaar in een cirkelvormig gebied raken (zie figuur). Bij het afplatten 1. ging van de diameter van de grote bol boven en onder ieder 5 procent verloren; 2. ging van de diameter van de middelste bol aan de bovenkant 5 procent verloren, en aan de onderkant nog wat om hem precies op de vlakke bovenkant van de onderste bol te laten aansluiten; en 1
3. ging van de bovenste bol aan de onderkant nog wat verloren zodat die precies aansloot op de vlakke bovenkant van de middelste bol. Nu moeten de haardvuurkabouters erachter komen, hoe hoog de sneeuwman geworden is. Wat denk jij?
2
Mogelijke antwoorden: De hoogte van de sneeuman (tot op 1cm nauwkeurig) is: 1. 153 cm 2. 158 cm 3. 164 cm 4. 170 cm 5. 173 cm 6. 175 cm 7. 183 cm 8. 187 cm 9. 192 cm 10. 203 cm
3
17 Spraakzame kabouters Auteur: Marika Karbstein Opgave Het moet een verrassing blijven. De laatste jaren kwam het er door bergen werk niet van, maar dit jaar wil de Paashaas zijn goede vriend de Kerstman op Kerstavond bezoeken. Hij verheugt zich zo op diens verraste gezicht! Maar op de een of andere manier zijn drie kabouter-vrienden van de Kerstman erachter gekomen dat de Paashaas wil langskomen. En onder kabouters reist een roddel snel: bij elke ontmoeting wordt die doorverteld, zelfs als de Kerstman erbij is. Volgende activiteiten vinden gewoonlijk regelmatig plaats: • Franz en Hella drinken graag samen warme chocolademelk. • Ole, Hella en Emil gaan samen zwemmen. • Emil en Theo ontmoeten elkaar in de sauna. • Theo en Erika discussi¨eren graag onder het genot van een glas wijn. • Ina, Harry en Nelly spelen samen skaat. • Rita en Harry treffen elkaar bij het tafeltennissen. • Erika, Nelly, Alfons en Caro spelen samen poker. • Theo, Hanna en de Kerstman gaan samen rodelen. • Ina, Caro en de Kerstman spelen samen basketbal. 1
• Alfons en de Kerstman ski¨en samen. Welke activiteiten zouden tot Kerstavond moeten uitvallen, opdat het bezoek van de Paashaas voor de Kerstman een verrassing blijft? Mogelijke antwoorden: 1. Chocolademelk drinken en zwemmen. 2. Wijn drinken en tafeltennis. 3. Poker en rodelen. 4. Skaat en sauna. 5. Skat en poker. 6. Basketbal en ski¨en. 7. Tafeltennis en rodelen. 8. Sauna en basketbal. 9. Ski¨en en zwemmen. 10. Wijn drinken en chocolademelk drinken.
2
2. Twaalfhoek Auteur: Gerard Woeginger (TU Eindhoven) Kabouter Kasimir tekent een regelmatige twaalfhoek op een kerstkaart. Vervolgens trekt hij alle diagonalen, en omdat er in totaal 54 diagonalen zijn, duurt dat een tijdje. Dan telt hij de snijpunten van de diagonalen door er met zijn vinger langs te lopen. Als in een snijpunt meer dan twee diagonalen samenkomen, dan rekent hij dat punt dus maar eenmaal mee. Zo telt hij bijvoorbeeld ook het middelpunt van de twaalfhoek, waar 6 diagonalen elkaar snijden, maar eenmaal. Op welk aantal komt hij uit? Mogelijke antwoorden:
1. 289 snijpunten 2. 301 snijpunten 3. 307 snijpunten 4. 309 snijpunten 5. 313 snijpunten 6. 314 snijpunten 7. 319 snijpunten 1
8. 325 snijpunten 9. 331 snijpunten 10. 337 snijpunten
2
4. Verlanglijsten Auteur: Moritz Schmitt (Matheon, Berlijn) Wanneer verlanglijstjes bij de Kerstman aankomen, worden ze om ze snel te verwerken gecodeerd. De codewoorden bevatten uitsluitend de letters ’a’, ’b’ en ’c’. Na de codering bestaat een verlanglijstje uit een eindige rij tekens en ziet het er bijvoorbeeld zo uit: abbacccdbcaabcca Het codewoord hangt natuurlijk van het specifieke verlanglijstje af. Daarna wordt het verlanglijstje door een machine verwerkt die ongeldige en onmogelijke verlanglijstjes eruit filtert. De werkwijze van deze machine is weergegeven in het volgende schema:
1
De machine begint in toestand (1) en loopt letter voor letter het codewoord door. Al naar gelang de letter wordt de overeenkomende pijl gevolgd. Bij een kort (gecodeerd) verlanglijstje van de vorm ’aacb’ zou de machine de volgende rij toestanden doorlopen: (1) ! (2) ! (2) ! (1) ! (1) Als het codewoord doorlopen is en de machine zich aan het eind in toestand (A) bevindt, dan wordt het verlanglijstje geaccepteerd, anders niet. Aan welke eisen moet het codewoord voldoen, zodat de machine het accepteert? Mogelijke antwoorden 1. Het codewoord moet minstens driemaal ’a’ bevatten 2. Het codewoord moet minstens driemaal ’b’ bevatten 3. Het codewoord moet minstens driemaal ’c’ bevatten 4. Het codewoord moet beginnen met ’abc’ en mag daarna mag ’abc’ niet meer voor een tweede keer voorkomen. Verde is alle toegestaan 5. Het codewoord mag hooguit 20 tekens lang zijn. 6. Het codewoord moet minstens ´e´enmaal de tekenrij ’abc’ bevatten. 7. Het codewoord moet minstens vier tekens lang zijn 2
8. Het codewoord mag niet de tekenrij ’ac’ bevatten. 9. Het codewoord moet precies ´e´enmaal de tekenrij ’bc’ bevatten. 10. Het codewoord moet minstens ´e’enmaal de tekenrij ’cba’ bevatten.
3
5. De verzaagde zonnecel-wafer Auteurs: Annegret Glitzky, Matthias Liero (Matheon, Berlijn) Kabouter Photonix heeft van de Kerstman de opgave gekregen, uit een grote cirkelvormige (tweedimensionale) zonnecel-wafer meerdere kleine stukken te snijden voor testdoeleinden. Daartoe gebruikt hij een sterke laser, waarmee de wafer langs een rechte lijn doorgesneden kan worden (zie guur). Om tijd te besparen, wil Photonix zo weinig mogelijk van zulke snedes maken. Om technische redenen moet elke snede de buitenrand van de wafer precies tweemaal snijden. Wat is het minimale aantal snedes waarmee hij precies 50 stukken kan produceren? De grootte van de deelstukken doet er niet toe, maar materiaal weggooien is ook zonde. Mogelijke antwoorden 1. 25. 2. 9. 3. 10 4. 16 5. 11 6. 23 7. 20 1
8. 15 9. 12 10. 18
2
Abbildung 1: Lasersnede door de zonnecel-wafer
3
