1 Historický úvod 3. 5 Jaderné reakce 21

Fyzika jádra, elementárn´ıch ˇcástic a fundamentáln´ıch interakc´ı

Obsah 1

Historick´ yu ´ vod

3

2 Struktura a vlastnosti jader 2.1 Oznaˇcov´ an´ı a klasifikace jader . . . . . . . . . . . . 2.2 Stabilita jader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Vazebn´ a energie jader . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Z´ akladn´ı stavebn´ı kameny jader: proton a neutron 2.4.1 Proton (j´ adro atomu H) . . . . . . . . . . . 2.4.2 Neutron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Mˇeˇren´ı hmotnost´ı jader - hmotnostn´ı spektroskopie 2.6 Separace a obohacov´ an´ı izotop˚ u. . . . . . . . . . . 2.7 Spin jader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Jadern´ a magnetick´ a rezonance (NMR) . . . . . . . 2.9 Mˇeˇren´ı magnetického momentu jader . . . . . . . . 2.10 Rozmˇery jader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

4 4 5 5 5 5 6 8 8 10 10 11 12

3 Jadern´ e modely 3.1 Kapkov´ y model . . . . 3.2 Slupkov´ y model . . . . 3.3 Vibrace a rotace jader 3.3.1 Vibrace jader . 3.3.2 Rotace jader .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

13 13 14 15 15 15

4 Radioaktivita 4.1 α-rozpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 β-rozpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Problém elektronového neutrina 4.3 γ-rozpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Vnitˇrn´ı (elektronov´ a) konverze . . . . . 4.5 Aplikace radioaktivity . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

16 16 17 17 18 18 19

5 Jadern´ e reakce ´ cinn´ 5.1 Uˇ y pr˚ uˇrez σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Statistick´ y charakter interakce dopadaj´ıc´ıch ˇcástic s terˇc´ıkov´ ymi jádry 5.2 Klasifikace jadern´ ych reakc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Mechanismy jadern´ ych reakc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Aplikace jadern´ ych reakc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Jaderné analytické metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Objevy transuran˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Vznik prvk˚ u ve vesm´ıru (nukleosyntéza) . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

21 21 22 22 24 24 24 25 25

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1

5.5

Zdroje energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Jaderné reaktory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Termojadern´ a f´ uze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 28 28

6 Fyzika element´ arn´ıch ˇ c´ astic a fundament´ aln´ıch interakc´ı 6.1 Pˇrehled element´ arn´ıch ˇcástic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Teoretické pˇredstavy o interakc´ıch elementárn´ıch ˇcástic . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Kvantov´ a chromodynamika (QCD) – teorie silné interakce . . . . . . . . 6.2.2 Kvantov´ a elektrodynamika (QED) – teorie elektromagnetické interakce 6.2.3 Standardn´ı model – jednotná teorie elektromagnetické a slabé interakce 6.2.4 Naruˇsen´ı z´ akladn´ıch symetri´ı ve slab´ ych interakc´ıch . . . . . . . . . . . 6.2.5 Teorie velkého sjednocen´ı (GUT – Grand unification theories) . . . . . . 6.2.6 Supersymetrické teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.7 Asymetrie baryon˚ u ve vesm´ıru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.8 Srovn´ an´ı s´ıly interakc´ı kvark˚ u v protonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.9 Gravitaˇcn´ı interakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.10 Kosmologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

29 29 29 30 30 30 31 31 32 32 32 32 34

7 Urychlovaˇ ce a detektory 7.1 Line´ arn´ı urychlovaˇce . . . 7.2 Kruhové urychlovaˇce . . . 7.3 Collidery . . . . . . . . . . 7.4 Detektory v jaderné fyzice

. . . .

. . . .

. . . .

35 35 35 35 36

. . . a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fyzice elementárn´ıch ˇcástic

2

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1

Historick´ yu ´ vod

• 1896 Francouzsk´ y fyzik Henri Becquerel si odloˇzil na krabici s fotografick´ ymi pap´ıry kus smolince (uranin UO2 ). Po vyvol´ an´ı zjistil, ˇze pap´ıry zˇcernaly. Objevil tak doposud neznámé záˇren´ı vycházej´ıc´ı z atomového j´ adra U. • 1898 Manˇzelé Curieovi nazvali toto záˇren´ı radioaktivn´ım. V témˇze roce separovali nˇekolik setin gramu nového prvku, jenˇz vyzaˇroval ˇcástice α, a nazvali jej polonium. • 1900 Ernst Rutherford zjistil, ˇze existuj´ı 3 sloˇzky radioaktivn´ıho záˇren´ı α, β, γ (podrobnˇe se jim budeme vˇenovat v kapitole Radioaktivita). • 1903 J.J. Thomson navrhl prvn´ı model atomu: V celém objemu atomu je spojitˇe rozloˇzen´ y kladn´ y n´ aboj, ve kterém plavaj´ı elektrony. Elektrostatické s´ıly mezi kladn´ ym nábojem a elektrony jsou vykompenzov´ any. Pro tento model je ujal název pudinkov´ y. • 1905 Albert Einstein publikoval ˇclánek O elektrodynamice pohybuj´ıc´ıch se tˇeles - prvn´ı ˇclánek o speci´ aln´ı teorii relativity. Pˇredpovˇedi speciáln´ı teorie relativity byly potvrzeny pˇri mˇeˇren´ı dob ˇzivota element´ arn´ıch ˇc´ astic, pˇri studiu jejich interakc´ı i jadern´ ych reakc´ı. • 1911 E. Rutherford pozoroval, ˇze se α ˇcástice na zlaté f´ olii rozptyluj´ı i na u ´hly vˇetˇs´ı neˇz 90o . V Thomsonovˇe modelu atomu je rozptyl na velké u ´hly velmi málo pravdˇepodobn´ y. Rutherford navrhl nov´ y model atomu: Kladnˇe nabité jádro je asi 10−5 krát menˇs´ı neˇz klasick´ y polomˇer atomu. Náboj jádra a poˇcet elektron˚ u, které kolem nˇej ob´ıhaj´ı, je roven Z. • 1916 A. Einstein publikuje pr´ aci Základy obecné teorie relativity - teorii gravitace, která dominuje v makroskopickém mˇeˇr´ıtku ve vesm´ıru. • 1922 A. Fridman navrhl model rozp´ınaj´ıc´ıho se vesm´ıru. Poprvé pouˇzil obecnou teorii relativity na cel´ y vesm´ır jako fyzik´ aln´ı objekt. Poloˇzil tak základy souˇcasné kosmologii. • 1925 Werner Heisenberg publikoval ˇclánek o kvantové mechanice. Nepouˇz´ıvá pojem vlnová funkce, ale pracuje s maticemi (oper´ atory), jejich vlastn´ımi vektory a vlastn´ımi ˇc´ısly. Proto se Heisenbergova kvantov´ a mechanika naz´ yv´ a maticová. Kvantová mechanika je podstatná pro správn´ y popis mikrosvˇeta. • 1925 Erwin Schrodinger publikoval alternativn´ı kvantovou mechaniku s diferenciáln´ımi rovnicemi a vlnov´ ymi funkcemi. Uk´ azal také, ˇze jeho teorie je identická s Heisenbergovou. • 1928 Paul A.M. Dirac formuluje relativistickou kvantovou mechaniku pro elektron. Z této teorie pˇrirozenˇe dost´ av´ ame spin elektronu. • 1930 Lawrence navrhl princip cyklotronu, prvn´ıho kruhového urychlovaˇce nabit´ ych ˇcástic. • 1932 C. D. Anderson objevil v kosmickém záˇren´ı prvn´ı antiˇcástici - pozitron. • 1932 Chadwick objevil neutron, jeden ze dvou základn´ıch kamen˚ u atomov´ ych jader. • 1932 Urey objevil tˇeˇzk´ y vod´ık. • 1934 Enrico Fermi zjistil, ˇze pˇri bombardován´ı uranu neutrony vznikaj´ı nové radioaktivn´ı prvky. Pro vyvol´ an´ı reakce byly zvl´ aˇst’ vhodné pomalé neutrony. • 1935 H. Yukawa pˇredpovˇedˇel existenci nov´ ych ˇcástic s krátkou dobou ˇzivota, mezon˚ u, které zprostˇredkov´ avaj´ı interakci proton˚ u a neutron˚ u v atomovém jádˇre. • 1936 J.I. Frenkel navrhl kapkov´ y model jádra, pozdˇeji propracovan´ y Nielsem Bohrem. • 1938 O. Hahn, L. Meitnerov´ a, F. Strassmann objevili ˇstˇepen´ı uranu neutrony. • 1940 K.A. Petrˇzak a G. N. Flerov objevil spontánn´ı ˇstˇepen´ı uranu. • 1942 (2. prosince) Pod veden´ım E. Fermiho se na univerzitˇe v Chicagu uskuteˇcnila prvn´ı ˇr´ızená jadern´ a ˇretˇezov´ a reakce v jaderném reaktoru. • 1945 16. ˇcervence probˇehl pokusn´ y v´ ybuch prvn´ı jaderné bomby v Alamogordo v Novém Mexiku, následovaly uranov´ a bomba nad Hiroˇsimou (6. srpna) a plutoniová bomba nad Nagasaki (9.8.). • 1948 M. Goeppertov´ a-Mayerová a H. Jensen navrhli slupkov´ y model atomového jádra. Ukázali na d˚ uleˇzitou roli spin-orbit´ aln´ı interakce v jádˇre • 1949 R. P. Feymann, J. Schwinger a Tomonaga vytvoˇrili kvantovou teorii elektromagnetického pole.

3

• 1951 Byl I.J. Tammem navrˇzen prvn´ı TOKAMAK - zaˇr´ızen´ı na uchováván´ı horké plazmy, ve které by mˇelo docházet k ˇr´ızené termonukleárn´ı reakci, sluˇcován´ı deuteria a tritia spojené s uvolnˇen´ım znaˇcného mnoˇzstv´ı energie. • 1952 A. Bohr a B. Mottelson popsali ve svém modelu rotace a vibrace atomov´ ych jader. • 1961 M. Gell-Mannovi se podaˇrila klasifikace elementárn´ıch ˇcástic, jejichˇz poˇcet se velice rozrostl (1932: 3, 1947: 14, 1955: 30, 1969 asi 200). Vedla k objevu jeˇstˇe elementárnˇejˇs´ıch ˇcástic - kvark˚ u. • 1964 Arno A. Penzias a Robert W. Wilson objevili reliktové záˇren´ı, které pˇredpov´ıdá souˇcasná teorie vzniku vesm´ıru, teorie velkého tˇresku. • 1967 S. Weinberg, A. Salam a S. Glashow vytvoˇrili prvn´ı teorii sjednocuj´ıc´ı dvˇe základn´ı interakce element´ arn´ıch ˇc´ astic, elektromagnetickou a slabou (tzv. standardn´ı model). • 1982 C. Rubbia objevil na urychlovaˇci (collideru) v CERNu ˇcástice zprostˇredkuj´ıc´ı elektroslabou interakci, W a Z bosony. ˇ • 1986 Doˇslo k v´ ybuchu v jaderné elektrárnˇe v Cernobylu. • 1991 V anglickém Abingdonu se podaˇrilo z´ıskat 2 MW z termojaderné f´ uze trvaj´ıc´ı asi 2 s. • 1995 Na collideru ve Fermilabu u Chicaga byl objeven posledn´ı (ˇsest´ y) chybˇej´ıc´ı kvark t. T´ım bylo zaplnˇeno posledn´ı chybˇej´ıc´ı m´ısto v souˇcasném klasifikaˇcn´ım schématu elementárn´ıch ˇcástic. • 1995 V CERNu bylo pˇripraveno nˇekolik atom˚ u antivod´ıku.

2

Struktura a vlastnosti jader

P˚ uvodn´ı pˇredstava (20. léta 20. stol.) o sloˇzen´ı atomov´ ych jader vycházela z tehdy znám´ ych element´ arn´ıch ˇc´ astic: protonu P a elektronu e− . Podle n´ı se jádra skládaj´ı pouze z proton˚ u a elektron˚ u, napˇr. 4 He by se mˇelo skládat ze 4 proton˚ u a 2 elektron˚ u, ˇc´ımˇz je vysvˇetlen náboj jádra i jeho hmotnost pˇribliˇznˇe rovn´ a hmotnosti 4 proton˚ u (hmotnost elektron˚ u m˚ uˇzeme zanedbat). Tato pˇredstava byla podporov´ ana i pozorován´ım β-rozpadu nˇekter´ ych jader, pˇri kterém jsou emitovány elektrony. Uvedeme si dva argumenty proti této pˇredstavˇe: 1. Pokud by byl deuteron (tˇeˇzk´ y vod´ık – 2 H nebo D – s pˇribliˇznˇe dvojnásobnou hmotnost´ı neˇz 1 H) sloˇzen ze 2 proton˚ u a 1 elektronu (proton i elektron maj´ı spin 12 ), ˇcástice sloˇzená z jejich lichého poˇctu mus´ı m´ıt poloˇc´ıseln´ y spin, experiment ale dává hodnotu spinu deuteronu 1. 2. Magnetick´ y moment protonu µp je asi 15% magnetického momentu elektronu µe− . Pokud by uveden´ y model platil, byl by magnetick´ y moment jader srovnateln´ y s magnetick´ ym momentem elektronu. Experiment ale ukazuje, ˇze magnetické momenty jader jsou srovnatelné s magnetick´ ym momentem protonu. Tyto rozpory vedly Heisenberga (1932) k formulaci hypotézy, podle které jsou jádra sloˇzena z kladnˇe nabit´ ych proton˚ u a pˇribliˇznˇe stejnˇe tˇeˇzk´ ych neutráln´ıch ˇcástic – neutron˚ u n. Tato hypotéza byla plnˇe experiment´ alnˇe potvrzena.

2.1

Oznaˇ cov´ an´ı a klasifikace jader

Jádra oznaˇcujeme symbolem A elejevovy tabulky, A hmotZ XN , kde X je symbol pro prvek z Mendˇ nostn´ı ˇc´ıslo (poˇcet nukleon˚ u), Z atomové (protonové) ˇc´ıslo (poˇcet proton˚ u), N neutronové ˇc´ıslo (poˇcet neutron˚ u), A = Z + N . Podle Z, A, N rozliˇsujeme izotopy (stejné Z), izobary (stejné A) a izotony (stejné N ). Zrcadlov´ a j´ adra maj´ı stejné A a vz´ ajemnˇe prohozené hodnoty N a Z. Izoméry jsou j´ adra, kter´ a mohou existovat ve vzbuzeném stavu delˇs´ı dobu ( ms a déle). Dále j´ adra rozdˇelujeme na stabiln´ı a nestabiln´ı, sudo-sudá (Z i N sudé), lichá (bud’ Z nebo N liché) a licho-lich´ a (Z i N liché), sférická a deformovaná.

4

2.2

Stabilita jader Na obr. 1 máme zachycena stabiln´ı jádra (nuklidy). Oblast stabiln´ıch jader se naz´ yvá u ´dol´ı stability. Posun u ´dol´ı oproti N = Z do oblasti N > Z je d˚ usledkem elektrostatického odpuzován´ı proton˚ u. Neexistuj´ı stabiln´ı nuklidy se Z =43, 61, N =19, 35, 39, 45, 61, 89, 115, 126 nebo s A = Z +N =5 nebo 8. Vˇsechny nuklidy se Z > 83, N > 126 a A > 209 jsou nestabiln´ı. Rozpadaj´ı se α-rozpadem: A ZX

4 →A−4 Z−2 Y + α(≡2 He) ,

β − -rozpadem: A ZX

a β + -rozpadem:

Obr. 1: Neutron-protonov´ y diagram pro stabiln´ı nuklidy.

2.3

− →A ¯e , Z+1 Y + e + ν

A ZX

+ →A Z−1 Y + e + νe .

Vazebn´ a energie jader Pro hmotnost jader M (Z, N ) plat´ı: M (Z, N ) = Zmp + N mn − B(Z, N )/c2 ,

kde B(Z, N ) je vazebná energie jádra, mp hmotnost protonu a mn hmotnost neutronu. Z experimentu vypl´ yvá, ˇze B(Z, N ) je pˇr´ımo u ´mˇerná celkovému poˇctu nukleon˚ u A, B(Z, N )/A ≈ 8 MeV. Z toho plyne, ˇze jaderné s´ıly, které p˚ usob´ı mezi nukleony maj´ı krátk´ y dosah. Pokud by mˇely dlouh´ y dosah, byla by jejich vzájemná interakce u ´mˇerná poˇctu interaguj´ıc´ıch nukleon˚ u: Obr. 2: Vazebn´ a energie na nukleon, B/A jako A(A − 1) A funkce poˇctu A nukleon˚ u. = . 2 2 Na obr. 2 vid´ıme graf z´ avislosti vazebné energie na nukleon B(Z, N )/A na poˇctu nukleon˚ u A. Tato závislost nen´ı konstantn´ı. D˚ usledkem je moˇznost z´ıskávat energii ˇstˇepen´ım tˇeˇzk´ ych jader (jaderné elektr´ arny) nebo f´ uz´ı lehk´ ych jader (ve stadiu v´ yzkumu).

2.4 2.4.1

Z´ akladn´ı stavebn´ı kameny jader: proton a neutron Proton (j´ adro atomu H)

• hmotnost protonu mp = (938.27231 ± 0.00028) MeV/c2 • náboj protonu qp = (1.60217733 ± 0.00000049)10−19 C • spin protonu sp = 12 h ¯ 5

• parita protonu π = +1 (definuje se) • magnetick´ y moment protonu µp = (2.79284739 ± 0.00000006)µN , kde jadern´ y magneton µN = (3.15245166±0.00000028) MeV T−1 je jadern´ y magneton. K mˇeˇren´ı magnetického momentu protonu lze pouˇz´ıt napˇr. Rabiho metodu molekulov´ ych svazk˚ u, kdy jsou vykompenzovány orbitáln´ı a spinové magnetické momenty elektron˚ u (pro mˇeˇren´ı se tedy pouˇz´ıvá H2 ). • Proton je stabiln´ı. Existuj´ı teorie, které pˇredpov´ıdaj´ı jeho rozpad (zm´ın´ıme se o nich pozdˇeji). Souˇcasn´ a experiment´ aln´ı mez pro stˇredn´ı dobu ˇzivota protonu je 1025 let a pro urˇcité typy rozpad˚ u 32 dokonce 10 let. • objev protonu: 1. Pˇri vyluˇcov´ an´ı H+ na elektrodˇe se zmˇeˇrilo mnoˇzstv´ı H+ a celkov´ y proˇsl´ y náboj. Zjistilo se, ˇze + n´ aboj H je stejnˇe velk´ y jako náboj elektronu, ale opaˇcn´ y. 2. V katodové trubici s elektrick´ ym a magnetick´ ym polem bylo moˇzno urˇcit pod´ıl qp /mp . 3. Pˇri jadern´ ych reakc´ıch se z jader uvolˇ novaly ˇcástice se stejnou hodnotou qp /mp (moˇzno zjistit v magnetickém poli - viz princip hmotnostn´ıho spektrometru), napˇr.: α +14 N → p +17 O 2.4.2

Neutron

• hmotnost neutronu mn = (939.56563 ± 0.00028) MeV • náboj neutronu qn = (−0.4 ± 1.1)10−21 e, tj. neutron je neutráln´ı • spin neutronu sn = 12 ¯h • parita neutronu πn = +1 (definuje se) • magnetick´ y moment neutronu µn = (−1.9130427 ± 0.0000005)µN • stˇredn´ı doba ˇzivota neutronu τn = (889.1 ± 2.1) s (poloˇcas rozpadu asi 12 min), rozpadá se na: n → p + e− + ν¯e coˇz lze, protoˇze mn > mp + me− . • objev neutronu (Chadwick, 1932): Chadwick musel uk´ azat, ˇze hypotetická ˇcástice neutron je odliˇsná od doposud jediné známé neutr´ aln´ı ˇc´ astice – fotonu. Pozoroval vznik neutráln´ıch ˇcástic v následuj´ıc´ı interakci: ∗ 13 α +94 Be →13 6 C →6 C + γ

(pokud to vznikaly fotony) nebo α +94 Be →12 6 C+n (pokud to vznikaly dosud nezn´ amé neutráln´ı ˇcástice – neutrony). Neutráln´ı ˇcástice se pak rozptylovaly na n´ aplni mlˇzné komory (protonech nebo jádrech dus´ıku). Pˇr´ıklad 1: 6

Foton se zpˇetnˇe odrazil na protonu, kter´ y je v klidu. Rychlost odraˇzeného protonu vp0 = 3.2 · 107 ms . Urˇcete energii Eγ fotonu pˇred sráˇzkou. Pˇredpokládejte pruˇznou sráˇzku. −1

ˇ sen´ı: Reˇ Vyjdeme ze z´ akon˚ u zachov´ an´ı energie a hybnosti: 1 Eγ = Eγ0 + Ekp = Eγ0 + mp vp02 , 2 pγ = −p0γ + p0p , coˇz lze pˇrepsat: Eγ = −Eγ0 + p0p c = −Eγ0 + mp vp0 c . Eγ0 je energie fotonu po sr´ aˇzce, p0p hybnost protonu po sráˇzce. Po u ´pravˇe dostáváme: Eγ =

1 mp vp0 2

1 0 vp + c = 53 MeV . 2

Dost´ av´ ame tedy, ˇze energie fotonu pˇred sráˇzkou je 53 MeV. Pˇr´ıklad 2: Pˇredpokl´ adejte vznik fotonu v následuj´ıc´ı interakci ∗ 13 α +94 Be →13 6 C →6 C + γ ,

kde α-ˇc´ astice a 94 Be se sr´ aˇzej´ı v klidu. Spoˇctˇete energii Eγ . ˇ sen´ı: Reˇ Ze z´ akona zachov´ an´ı energie plyne: Eγ = mα + m9 Be − m13 C c2 = 11 MeV . 4

6

Energie fotonu Eγ n´ am vyˇsla mnohem menˇs´ı neˇz jakou by mˇel m´ıt na základˇe Pˇr. 1. Hypotéza o vzniku fotonu v interakci je tedy vyvrácena. Mus´ıme pˇrij´ıt s novou hypotézou: V interakci vzniká doposud nezn´ am´ a neutr´ aln´ı ˇc´ astice, neutron, pˇribliˇznˇe stejnˇe tˇeˇzká jako proton. Tento závˇer souhlas´ı s experiment´ aln´ımi pozorov´ an´ımi rozptylu neutron˚ u na protonem a jádrech dus´ıku 14 7 N. Pˇr´ıklad 3: Urˇcen´ı hmotnosti neutronu. Pˇredpokládejme pruˇznou sráˇzku neutronu s protonem nebo jádrem dus´ıku 14 e jsou v klidu. Sráˇzka prob´ıhá v pˇr´ımce. Na základˇe znám´ ych hmotnost´ı jádra 7 N, kter´ 0 dus´ıku mN a protonu mp , zn´ am´ ych rychlost´ı jader dus´ıku vN a protonu vp0 po sráˇzce s neutronem, urˇcete hmotnost neutronu mn . ˇ sen´ı: Reˇ Z´ akon zachov´ an´ı kinetické energie: 02 mn vn2 = mn vn02 + mX vX

→

02 mn vn2 − vn02 = mX vX ,

zákon zachov´ an´ı hybnosti: 0 mn vn = mn vn0 + mX vX

→

0 mn (vn − vn0 ) = mX vX

(X = p nebo N , vn je poˇc´ ateˇcn´ı rychlost neutronu). Rovnice podˇel´ıme a dostaneme: 0 vX = vn + vn0 .

7

Nakonec: 2mn vn = (mn + mp )vp0 , 0 2mn vn = (mn + mN )vN = (mn + mp )vp0 .

M˚ uˇzeme tedy vyj´ adˇrit mn : mn =

2.5

0 mN vN − mp vp0 0 vp0 − vN

Mˇ eˇ ren´ı hmotnost´ı jader - hmotnostn´ı spektroskopie

Na obr. 3 m´ ame schematicky zn´ azornˇen Bainbridge˚ uv spektrograf. Do spektrografu vstupuj´ı jádra, tedy kladnˇe nabité ionty, na které p˚ usob´ı s´ıla v elektrickém a magnetickém poli (viz Fyzika II).

Skládá se z rychlostn´ıho filtru (navzájem kolmá homogenn´ı pole elektrické s intenzitou E a magnetické s indukc´ı B1 , které vyb´ıraj´ı ze svazku ionty s urˇcitou rychlost´ı v = E/B1 , která je kolmá na E i B. Ionty pak vstupuj´ı do homogenn´ıho magnetického pole o indukci B2 s touto rychlost´ı. V nˇem se pohybuj´ı po kruhov´ ych dráhách o r˚ uzném polomˇeru R, ze kterého m˚ uˇzeme urˇcit jejich hmotnost m podle vztahu: ZeRB1 B2 ZeRB2 = , m= v E Ze je n´ aboj iont˚ u, polomˇer R urˇc´ıme z m´ısta dopadu na fotografickou desku. Hmotnostn´ı spekrograf lze rovnˇeˇz vyuˇz´ıt k urˇcován´ı izotopového sloˇzen´ı prvk˚ u. Vzhledem k r˚ uzn´ ym hmotnostem jsou dr´ ahy jednotliv´ ych izotop˚ u a t´ım i m´ısta jejich dopadu na fotografickou desku prostorovˇe oddˇeleny. Procentn´ı zastoupen´ı izotopu stanov´ıme na základˇe intenzity zˇcernán´ı fotografické desky m´ıstˇe dopadu. Modern´ı spektrografy nevyuˇz´ıvaj´ı fotografické emulze, ale polohovˇe citlivé detektory, které pˇr´ımo poˇc´ıtaj´ı dopadaj´ıc´ı izotopy. Pro zv´ yˇsen´ı citlivosti je tˇreba pouˇz´ıvat mnohem sloˇzitˇejˇs´ı spektrografy s komplikovanˇejˇs´ımi poli E a B. Obr. 3: Bainbridge˚ uv spektrograf.

2.6

Separace a obohacov´ an´ı izotop˚ u

V pˇr´ırodˇe existuje asi 270 stabiln´ıch izotop˚ u, z toho 20 monoizotopick´ ych prvk˚ u. 60 % jader je 170 176 180 14 40 K, Tm, sudo-sud´ ych, 38 % lich´ ych a 1.5 % licho-lich´ ych (21 H, 83 Li, 10 B, N, 71 Lu, 73 Ta). 5 7 19 69 9 Vˇsechny monoizotopické prvky jsou licho-sudé (s v´ yjimkou 4 Be). Izotopické pomˇery kol´ısaj´ı mezi 79 0.0001:99.9998 pro 32 He:42 He a 49.5:50.5 pro 81 Br: Br. Tyto pomˇery z˚ ustávaj´ı v pˇr´ırodˇe konstantn´ı 35 35 se dvˇema v´ yjimkami: 1. Zastoupen´ı nestabiln´ıch izotop˚ u se mˇen´ı d´ıky jejich rozpadu. 2. Ve vodˇe jsou zastoupeny i izotopy D (21 H) a 18 z zastoupen´ı v jednotliv´ ych fáz´ıch (voda, 8 O, jejichˇ p´ ara, sn´ıh, led) se mˇen´ı d´ıky fázov´ ym pˇrechod˚ um (napˇr. 11 H se rychleji odpaˇruje, protoˇze je lehˇc´ı). Uvaˇzme plynnou smˇes H2 a D2 pˇri urˇcité teplotˇe. H2 i D2 maj´ı tedy stejnou stˇredn´ı kinetickou energii: 1 2 = 1 m v2 , mH vH D D 2 2 8

a tedy vzhledem k r˚ uzn´ ym hmotnostem i r˚ uzné stˇredn´ı kvadratické rychlosti. Izotopy, atomy ˇci molekuly stejné chemické slouˇceniny s odliˇsn´ ym izotopick´ ym sloˇzen´ım se liˇs´ı svou hmotnost´ı. To m´ a za n´ asledek r˚ uzné chován´ı pˇri dif´ uzi, r˚ uznou tepelnou vodivost, viskozitu, adsorpci, tlak nasycen´ ych par a hustotu, rovnováˇzné a rychlostn´ı konstanty chemick´ ych reakc´ı, odliˇsné chov´ an´ı v gravitaˇcn´ım, elektrickém a magnetickém poli, index lomu, izotopick´ y posuv v elektronov´ ych spektrech atom˚ u ˇci odliˇsná vibraˇcn´ı molekulová spektra. V následuj´ıc´ı tabulce máme uvedeny pro srovn´ an´ı nˇekteré fyzikáln´ı veliˇciny pro normáln´ı (H2 O) a tˇeˇzkou (D2 O) vodu:

Tabulka 1: Srovnán´ı H2 O a D2 O. Parametr H2 O hustota [kg m−3 ] pˇri 20o C 998.2 bod mrazu [o C] 0.000 bod varu [o C] 100 maxim´ aln´ı hustota pˇri teplotˇe [o C] 3.98 index lomu 1.333

D2 O 1105 3.82 101.42 11.6 1.328

Tˇechto odliˇsn´ ych vlastnost´ı m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇri separaci izotop˚ u. Uvedeme pˇrehled základn´ıch metod separace: 1. elektromagnetick´ a – v hmotnostn´ım spektrometru, v´ yhodou je vysoká izotopová ˇcistota, nev´ yhodou malá v´ ytˇeˇznost (10−11 kg h−1 ÷ 10−6 kg h−1 ) a velké ztráty. 2. dif´ uzn´ı – do levé poloviny nádoby rozdˇelené pórovitou (dif´ uzn´ı) pˇrepáˇzkou vstˇrikujeme izotopovou smˇes k separaci. Lehˇc´ı molekuly maj´ı vyˇsˇs´ı stˇredn´ı kvadratickou rychlost, ˇcastˇeji nar´ aˇzej´ı na pˇrep´ aˇzku, a tedy i ˇcastˇeji procházej´ı. V pravé polovinˇe nádoby tak dostáváme obohacenou smˇes o lehˇc´ı izotop a v levé polovinˇe nádoby naopak o tˇeˇzˇs´ı izotop. Obohacen´ı z´ avis´ı na pomˇeru hmotnost´ı izotop˚ u a je velmi malé. K v´ yraznému obohacen´ı je nutn´ y dlouh´ y ˇretˇezec obohacovac´ıch n´ adob (ˇclánk˚ u). Tato metoda se pouˇz´ıvá pˇri pr˚ umyslové separaci 235 92 U, kter´ y slouˇz´ı jako palivo v jadern´ ych elektrárnách. V pˇr´ırodn´ım uranu je 99.3% 238 92 U a jen 0.7% 235 z´ıv´ a plynn´ y UF6 , k obohacen´ı o 0.2 % je tˇreba 2160 dif´ uzn´ıch ˇclánk˚ u. 92 U. K separaci se pouˇ Pro palivo do jadern´ ych elektráren je tˇreba obohacen´ı obvykle na 10%. 3. termodif´ uze – horn´ı stˇena nádoby je udrˇzována na vyˇsˇs´ı teplotˇe neˇz doln´ı, lehˇc´ı molekuly stoupaj´ı vzh˚ uru do m´ıst s vyˇsˇs´ı teplotou, tˇeˇzˇs´ı molekuly klesaj´ı dol˚ u do m´ıst s niˇzˇs´ı teplotou. 4. frakˇcn´ı destilace – vyuˇz´ıv´ a r˚ uzného tlaku nasycen´ ych par, plyn se obohacuje o lehˇc´ı sloˇzku, kapalina o tˇeˇzˇs´ı. 5. elektrolýza – pohyblivost iont˚ u je pˇr´ımo u ´mˇerná jejich hmotnosti, na katodˇe se vyluˇcuj´ı snáze lehˇc´ı iont˚ y, v elektrolytu z˚ ustávaj´ı tˇeˇzˇs´ı ionty. 6. odpaˇrov´ an´ı – sn´ aze se odpaˇruje lehˇc´ı sloˇzka. 7. reakˇcn´ı rychlost – z´ avis´ı na hmotnosti. 8. mechanické odstˇred’ov´ an´ı – vyuˇz´ıvá rozd´ıl hmotnost´ı. Odstˇredivá s´ıla p˚ usob´ıc´ı na tˇeˇzˇs´ı sloˇzku je vyˇsˇs´ı, v odstˇredivce tedy tˇeˇzˇs´ı sloˇzka pˇrevaˇzuje ve vˇetˇs´ıch vzdálenostech od osy otáˇcen´ı. V praxi b´ yv´ a tato metoda kombinována s termodif´ uz´ı. 9. laser – jde o novou perspektivn´ı metodu, o které se pˇredpokládá, ˇze se bude v pˇr´ıˇst´ım stolet´ı vyuˇz´ıvat k obohacov´ an´ı uranu. Vyuˇz´ıvá r˚ uzné vibraˇcn´ı frekvence 235 UF6 a 238 UF6 . Plynn´ y UF6 je ochlazen, takˇze zkapaln´ı, poté osvˇetlen laserov´ ym paprskem s energi´ı pˇresnˇe nastavenou tak, aby disociovala pouze 235 UF6 na 235 UF5 , coˇz je práˇsek, kter´ y je moˇzno odfiltrovat. 9

2.7

Spin jader

Znám´ y sod´ıkov´ y dublet (svˇetlo pouliˇcn´ıch záˇrivek) je pˇr´ıkladem jemné struktury spektráln´ıch ˇcar atom˚ u. D´ıky spin-orbit´ aln´ı interakci1 se hladina 3P3/2 v sod´ıku rozˇstˇep´ı podle celkového momentu hybnosti elektonu j = l ± 1/2 (l = 1) na 3P1/2 a 3P3/2 . Pˇri pˇrechodu elektronu ze stavu 3P1/2 do stavu 3S1/2 se emituje foton o vlnové délce 589.5930 nm (ˇcára D1 ) a pˇri pˇrechodu ze stavu 3P3/2 do stavu 3S1/2 foton o vlnové délce 588.9963 nm (ˇcára D2 ). V roce 1928 pozorovali Terenin a Dobrecov rozˇstˇepen´ı sod´ıkov´ ych ˇcar D1 a D2 . D1 byla rozˇstˇepena o 0.0023 nm a D2 o 0.0021 nm. Toto rozˇstˇepen´ı je zp˚ usobeno spinem jádra a naz´ yvá se hyperjemn´ a struktura spektr´ aln´ıch ˇcar atom˚ u. V pˇr´ıpadˇe sod´ıku dominuje rozˇstˇepen´ı hladiny 3S1/2 (rozˇstˇepen´ı3P1/2 a 3P3/2 je 10 kr´ at menˇs´ı a lze je zanedbat). V´ ysledn´ y moment hybnosti J (spin) atomu dostaneme sloˇzen´ım momentu hybnosti elektronu v pˇr´ısluˇsném stavu (3S1/2 ) a spinu I jádra: J = I ± 1/2. Rozˇstˇepen´ı zp˚ usobuje spin-spinová iterakce mezi momentem hybnosti (spinem) elektronu a spinem j´ adra. Jazykem klasické fyziky bychom ˇrekli, ˇze je zp˚ usobeno interakc´ı momentu hybnosti s magnetick´ ym polem j´ adra (pole proudové smyˇcky). Spin j´ adra 23 Na (sod´ık je monoizotopick´ y prvek) urˇc´ıme z pomˇeru intenzit pˇrechod˚ u z jednoho stavu do stav˚ u se spiny J = I + 1/2 a J = I − 1/2. Stav se spinem J = I + 1/2 je degenerován podle projekce spinu do osy z, stejnou energii má 2J + 1 = 2I + 2 a v pˇr. J = I − 1/2 2J + 1 = 2I stav˚ u. Pomˇer intenzit i je pak d´ an i=

1 2I + 2 =1+ . 2I I

Experiment d´ av´ a i = 1.7, tedy I = 3/2 (v jednotkách ¯h).

2.8

Jadern´ a magnetick´ a rezonance (NMR)

(NMR = Nuclear Magnetic Resonance) S jej´ı pomoc´ı urˇcujeme hustotu urˇcit´ ych jader (pˇredevˇs´ım proton˚ u) v látce. Zde se pouze struˇcnˇe sezn´ am´ıme se z´ akladn´ım principem NMR. Uvaˇzme proton v homogenn´ım magnetickém poli B0 . Proton má spin 1/2 ¯h, a tedy i magnetick´ y moment e 1 1 e µ=g s=g · ¯h = gµN , 2m 2mp 2 2 kde g je gyromagnetick´ y pomˇer (pro proton g = 5.5856948). Projekce magnetického momentu µz do smˇeru pole m˚ uˇze nab´ yvat dvou hodnot: 1 µz = ± gµN . 2 Potenci´ aln´ı energie Ep magnetického momentu µ ~ v magnetickém poli B~0 je Ep = −~ µ · B~0 = −µz B0 . Dojde tedy k rozˇstˇepen´ı energetick´ ych hladin protonu podle hodnot projekce spinu do smˇeru pole B0 : 1 1 E+1/2 = − gµN B0 , E−1/2 = + gµN B0 , 2 2 1 Spin-orbit´ aln´ı interakce je interakc´ı mezi orbit´ aln´ım momentem hybnosti ~l a spinov´ ym momentem hybnosti ~s elektronu. Spin-orbit´ aln´ı interakci dostaneme pˇrirozen´ ym zp˚ usobem, zapoˇ cteme-li relativistick´ e efekty (napˇr. pro atom vod´ıku ˇreˇs´ıme tzv. Diracovu rovnici). Spin-orbit´ aln´ı interakce je u ´mˇ ern´ a ~l · ~s = [(~l + ~s)2 − l2 − s2 ]/2 = [j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)]/2, kde ~j = ~l + ~s je celkov´ y moment hybnosti elektronu. Jelikoˇ z spinov´ y moment hybnosti (spin) elektronu je roven 1/2, podle kvantov´ ych pravidel skl´ ad´ an´ı momentu hybnosti (|l − 1/2| ≤ j ≤ l + 1/2) nab´ yv´ aj dvou hodnot l − 1/2 a l + 1/2. Pro spektroskopick´ e oznaˇ cov´ an´ı elektronov´ ych hladin v atomech pouˇ z´ıv´ ame n´ asleduj´ıc´ı konvenci: N lj , kde N je hlavn´ı kvantov´ eˇ c´ıslo.

10

∆E = E−1/2 − E+1/2 = gµN B0 , kde ∆E je energie pˇrechodu mezi hladinami. Necht’ na doln´ı hladinˇe se nach´ az´ı N+1/2 proton˚ u, pak je podle kinetické teorie na horn´ı hladinˇe pˇri teplotˇe T N−1/2 = N+1/2 exp (−∆E/kT ) proton˚ u. Jsou tedy nestejnˇe obsazeny. Pˇrechody mezi hladinami m˚ uˇzeme indukovat vysokofrekvenˇcn´ım magnetick´ ym polem B1 kolm´ ym k poli B0 . Podm´ınka rezonance (nejv´ıce pˇrechod˚ u) je: ¯hωL = gµN B0 , frekvence ωL se naz´ yv´ a Larmorovská. V´ yˇse uvedené plat´ı jen pro volné protony. Ve skuteˇcnosti jsou protony v atomech vod´ıku a pole B0 je st´ınˇeno elektronov´ ym obalem. V podm´ınce pro rezonanci je tˇreba B0 nahradit efektivn´ım polem Bef = B0 (1 − σ), kde σ je st´ınˇen´ı (vliv atomárn´ıch elektron˚ u, chemické vazby, okol´ı). V pˇr. atomu H je σ = 10−5 . Pomoc´ı NMR m˚ uˇzeme tedy také studovat r˚ uzné chemické vazby, tj. r˚ uznou chemickou strukturu, kter´ a se projev´ı v posunu rezonance.

2.9

Mˇ eˇ ren´ı magnetick´ eho momentu jader

K mˇeˇren´ı se vyuˇz´ıv´ a Rabiho metoda molekulárn´ıch svazk˚ u. Jde o molekuly v základn´ım (s-)stavu s vykompenzovan´ ymi magnetick´ ymi momenty elektronov´ ych obal˚ u. Tehdy se mohou projevit mag~ je netické momenty jader. Potenci´ aln´ı energie Ep magnetického momentu µ ~ v magnetickém poli B dána vztahem: ~ . Ep = −~ µ·B Je-li magnetické pole nehomogenn´ı, p˚ usob´ı na magnetick´ y moment s´ıla ve smˇeru gradientu magnetické indukce: ~ p = ∇(~ ~ µ · B) ~ = µz ∂B F~ = −∇E ∂z (pˇredpokl´ ad´ ame magnetické pole ve smˇeru osy z).

Obr. 4: Schéma Rabiho metody mˇeˇren´ı magnetického momentu jader.

11

Na obr. 4 máme experimentáln´ı uspoˇrádán´ı k mˇeˇren´ı magnetického momentu jader Rabiho metodou. V oblasti I má B smˇer nahoru a ∂B/∂z smˇer dol˚ u, v oblasti II B i ∂B/∂z maj´ı smˇer nahoru. Pole i gradienty v oblastech I a II maj´ı stejnou velikost.

Pokud tedy v oblasti III nedojde ke zmˇenˇe magnetického momentu, do detektoru D dopadaj´ı vˇsechny molekuly. V oblasti III je silné homogenn´ı magnetické pole B0 , které roztrhne vazbu mezi magnetick´ ymi momenty jader a elektronov´ ych obal˚ u, a slabé kolmé vysokofrekvenˇcn´ı magnetické pole B1 , které indukuje pˇrechody do stav˚ u s odliˇsn´ ym magnetick´ ym momentem, coˇz má za následek zmˇenu trajektorie v oblasti II, a tyto molekuly se do detektoru D nedostanou. V detektoru tedy zaznamenáme pokles intenzity svazku molekul pro Larmorovskou rezonanˇcn´ı frekvenci ωL (viz obr. 5). Na obr. 5 máme rezonanci pro svazek KOH, z n´ıˇz je moˇzno urˇcit magnetick´ y moment protonu.

Obr. 5: Rezonanˇcn´ı kˇrivka pro svazek KOH.

2.10

Rozmˇ ery jader

Pˇr´ıklad 4: Rutherford bombardoval α-ˇc´ asticemi s maximáln´ı energi´ı Ek = 7.7 MeV tenkou zlatou fólii a pozoroval rozpt´ ylené α-ˇc´ astice. Na jakou nejmenˇs´ı vzdálenost rmin k jádru Au se α-ˇcástice pˇribl´ıˇzily? ˇ sen´ı: Reˇ α-ˇc´ astice s n´ abojem Qα = 2e a jádro Au s nábojem QAu = 79e na sebe p˚ usob´ı odpudivou elektrostatickou silou. Ze z´ akona zachován´ı energie dostaneme: Ek = E p = k

Qα QAu . rmin

Tedy rmin =

kQα QAu = 3 · 10−14 m . Ek

Jelikoˇz Rutherford nepozoroval odchylky od elektrostatického rozptylu na bodovém jádˇre zlata, mus´ı b´ yt polomˇer j´ adra zlata menˇs´ı neˇz rmin . Pozdˇeji byly α-ˇc´ astice urychleny na energie vyˇsˇs´ı neˇz 7.7 MeV a pronikly do vzdálenosti od stˇredu j´ adra Au menˇs´ı, neˇz je jeho polomˇer. Zde nad elektrostatickou interakc´ı dominuje silná jadern´ a interakce mezi nukleony α-ˇcástice a jádra Au. Pˇri rozptylu α-ˇcástic pozorujeme odchylky od elektrostatického (Rutherfordova) rozptylu. Tak bylo moˇzno urˇcit rozmˇer jádra. Dalˇs´ı metody urˇcov´ an´ı rozmˇer˚ u jader: • rozptyl neutron˚ u na j´ adrech, • rozptyl elektron˚ u na j´ adrech (Ek = 1 GeV, de Broglieho vlnová délka λ = h/p = 1.2 fm), • spektra mionov´ ych atom˚ u (elektron je nahrazen mionem, ˇcástic´ı se stejn´ ymi vlastnostmi jako e− ale vˇetˇs´ı hmotnost´ı: mµ− = 207me− . Pro olovo (Z = 82) je polomˇer 1. Bohrovy dráhy r = ¯h2 /mkZe2 6.5 · 10−13 m pro elektron a 3 fm pro mion, coˇz je uvnitˇr objemu jádra, kde je elektrostatická potenci´ aln´ı energie soustavy mion – jádro Pb jiná neˇz vnˇe. Pozn´ amka: e− i µ− neinteraguj´ı silnˇe ale pouze elektrostaticky (elektro-slabˇe, pˇr´ıp. gravitaˇcnˇe – zanedbatelné).

12

V´ ysledky mˇ eˇ ren´ı polomˇ eru R jader: R = r0 A1/3 , kde A je poˇcet nukleon˚ u, r0 ≈ 1.1 fm z rozptylu elektron˚ u, 1.3 fm z rozptylu α-ˇcástic a neutron˚ u. Obvykle se pouˇz´ıv´ a stˇredn´ı hodnota r0 = 1.2 fm. Za pˇredpokladu kulového tvaru jader, m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat hustotu ρ jader: ρ=

m ≈ V

Au 4 1/3 )3 3 π(r0 A

=

3u . 4πr03

Vid´ıme, ˇze jadern´ a hustota ρ je pro vˇsechna známá jádra konstantn´ı a nezávis´ı na poˇctu nukleon˚ u. M˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze jadern´ a hmota se chová jako nestlaˇcitelná kapalina.

3 3.1

Jadern´ e modely Kapkov´ y model

Kapkov´ y model je zaloˇzen na analogii mezi kapkou a jádrem: Energie potˇrebná k odpaˇren´ı kapky je u ´mˇern´ a poˇctu molekul v kapce. Rovnˇeˇz vazebná energie jádra B(Z, N ) je u ´mˇerná poˇctu nukleon˚ u A. Hustota kapaliny nez´ avis´ı na objemu, kapaliny jsou nestlaˇcitelné. Rovnˇeˇz jádra maj´ı konstantn´ı hustotu. V tabulce jsou srovn´ any nˇekteré charakteristické veliˇciny pro kapku a jádro:

Tabulka 2: Srovnán´ı jádra a kapky. veliˇcina jádro vazebn´ a energie na ˇcástici 8 ÷ 9 MeV vlnov´ a délka ˇcástic λ = h/p 10−15 m −15 rozmˇer objektu 10 ÷ 10−14 m

kapka 0.1 eV 10−11 m 10−6 m

Jelikoˇz rozmˇer kapky je mnohem vˇetˇs´ı neˇz de Broglieho vlnová délka molekul kapky, lze kapku popisovat klasicky. V pˇr´ıpadˇe jader jsou ale vlnové délky nukleon˚ u srovnatelné s rozmˇery jader. K jejich popisu je tedy nutn´ a kvantová mechanika. Kapkov´ y model n´ am d´ av´ a pro vazebnou energii jader následuj´ıc´ı vztah (Bethe–Weiszäckerova formule): (N − Z)2 B(Z, N ) = av A + as A2/3 + ac Z 2 A−1/3 + ai − δ(A) , A kde prvn´ı tˇri ˇcleny jsou klasické (objemová, povrchová a elektrostatická energie) a posledn´ı dva ˇcleny kvantové (symetrizaˇcn´ı a p´ arov´ a energie), av = −15.68 MeV, as = 18.56 MeV, ac = 0.717 MeV, ai = 28.1 MeV a   34A−3/4 MeV sudo-sudé jádro δ(A) = 0 MeV . liché jádro  −34A−3/4 MeV licho-liché jádro Symetrizaˇcn´ı energie je d˚ usledkem Pauliho vyluˇcovac´ıho principu. Z hlediska elektrostatické interakce by byla nejv´ yhodnˇejˇs´ı j´ adra sloˇzená ˇcistˇe z neutron˚ u. Neutrony (a také protony) maj´ı ale spin 1/2 ¯h jako elektrony. Jsou tedy fermiony (ˇcástice s poloˇc´ıseln´ ym spinem) a plat´ı pro nˇe Pauliho vyluˇcovac´ı princip: v jednom kvantovém stavu m˚ uˇze b´ yt nejv´ yˇse jeden neutron (a jeden proton). Proto je v´ yhodnˇejˇs´ı obsazovat hladiny v jaderné potenciálové jámˇe (hluboké asi 40 MeV) neutrony i protony. Experiment´ alnˇe se zjistilo, ˇze sudo-sudá jádra jsou v´ıce vázána neˇz sousedn´ı lichá jádra a ta v´ıce neˇz sousedn´ı licho-lich´ a j´ adra. Vysvˇetluje se to párovou interakc´ı mezi protony a neutrony, která 13

váˇze 2 protony ˇci 2 neutrony do stavu s v´ ysledn´ ym spinem 0. Tyto objekty maj´ı tedy celoˇc´ıseln´ y spin, jsou tedy bosony a neplat´ı pro nˇe Pauliho vyluˇcovac´ı princip. Mohou vˇsechny obsazovat stejn´ y kvantov´ y stav. V jaderné hmotˇe se pohybuj´ı bez odporu. Jaderná hmota sudo-sud´ ych jader v základn´ım stavu se tedy chov´ a jako supratekutá kapalina (s nulovou viskozitou).

3.2

Slupkov´ y model

Obr. 7: Srován´ı potenciáln´ı energie sférického harmonického oscilátoru (ˇcerchovanˇe) a SaxonWoodsova hamiltonánu. Slupkov´ y model je zaloˇzen na pˇredstavˇe stˇredn´ıho pole (od ostatn´ıch nukleon˚ u), ve kterém se jednotlivé nukleony pohybuj´ı. Kaˇzd´ y nukleon se pohybuje ve stˇredn´ım poli, které vytváˇrej´ı ostatn´ı nukleony. Za hamiltonián stˇredn´ıho pole se obvykle vol´ı sférick´ y harmonick´ y oscilátor (pro kulatá jádra) Obr. 6: Spektrum sférického harmonického oscil´ atoru. (¯ hω0 ≈ 41A−1/3

ˆ osc = 1 Pˆ 2 + 1 mω 2 r2 − V0 H 0 2m 2 MeV) nebo Nilsson˚ uv hamiltonián (pro kvadrupólovˇe deformovaná jádra) 1 2 ˆ N ils = 1 Pˆ 2 + 1 mω⊥ H (x2 + y 2 ) + mωz2 z 2 − V0 , 2m 2 2

pˇr´ıpadˇe Saxon-Woods˚ uv hamiltonián V0 ˆ SW = 1 Pˆ 2 − H , 2m 1 + exp [α(r − R0 )] kter´ y kop´ıruje pr˚ ubˇeh jaderné hustoty. Na obr. 7 máme srovnán pr˚ ubˇeh potenciáln´ı energie sférického harmonického oscil´ atoru a Saxon-Woodsova hamiltoniánu v závislosti na vzdálenosti r od stˇredu jádra. Spektrum sférického harmonického oscilátoru je ekvidistantn´ı (viz Fyzika II, obr. 6), na 1. hladinˇe mohou b´ yt 2 nukleony daného typu (protony ˇci neutrony), na 2. hladinˇe 6, atd. Tˇemto ˇc´ısl˚ um (2, 2 + 6 = 8, 20, 40, 70, 112, ...) by mˇela odpov´ıdat jádra, která jsou silnˇeji vázána a maj´ı vyˇsˇs´ı separaˇcn´ı energie proton˚ u a neutron˚ u. Experimenty nám ale dávaj´ı tato tzv. magická ˇc´ısla jiná: 14

2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Tato ˇc´ısla se podaˇrilo vysvˇetlit pˇridán´ım spin-orbitáln´ı interakce Vls do hamiltoni´ anu harmonického oscil´ atoru: Vls ≈ −20~l · ~sA−2/3 MeV . Spektrum sférického harmonického oscilátoru je pak: 3 1 E= N+ hω0 − V0 − 20A−2/3 [j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)] , ¯ 2 2 N je hlavn´ı kvantové ˇc´ıslo, j velikost celkového momentu hybnosti, l velikost orbitáln´ıho momentu hybnosti a s velikost spinového momentu hybnosti nukleonu.

3.3

Vibrace a rotace jader

Vibrace a rotace jader jsou pˇr´ıkladem kolektivn´ıch pohyb˚ u v´ıce nukleon˚ u v jádˇre. 3.3.1

Vibrace jader

Vibrace sférick´ ych jader, se kter´ ymi se bˇeˇznˇe setkáváme, m˚ uˇzeme rozdˇelit na kvadrupólové a oktupólové. Povrch jádra v ˇcase vibruje kolem sférického tvaru, jak je ukázáno na obr. 8. Vibraˇcn´ı spektrum lze dobˇre popsat spektrem harmonického oscilátoru: 1 Obr. 8: Kvadrup´ olové (λ = 2) a oktupólové (λ = 3). E = Nλ + λ + ¯hωλ . 2 Vibraˇcn´ı kvanta (jejich poˇcet ud´ avá Nλ ) se naz´ yvaj´ı fonony, kvadrupólové fonony maj´ı spin 2 ¯h a paritu +1, oktup´ olové fonony maj´ı spin 3 h ¯ a paritu −1. Deformovan´ a j´ adra (v oblasti 150 < A < 190, A > 226) maj´ı tvar protáhlého rotaˇcn´ıho elipsoidu. Kromˇe oktup´ olov´ ych vibrac´ı se u deformovan´ ych jader setkáváme se dvˇema typy kvadrupólov´ ych vibrac´ı: β-vibracemi (vibruj´ıc´ı j´ adro má tvar rotaˇcn´ıho elipsoidu – elipsoid z˚ ustává symetrick´ y kolem jedné osy) a γ-vibracemi (vibruj´ıc´ı jádro má tvar trojosého elipsoidu). 3.3.2

Rotace jader

Rotovat nemohou sférick´ a j´ adra, deformovaná jádra mohou rotovat pouze kolem osy kolmé na osu symetrie. Je to d˚ usledek kvantové mechaniky, podle n´ıˇz tˇelesa nemohou rotovat kolem osy symetrie. Takové rotace totiˇz nevedou ke zmˇenˇe vlnové funkce, která má stejnou osu symetrie, a tedy ani ke zmˇenˇe stavu. Rotaˇcn´ı hamiltoni´ an deformovan´ ych sudo-sud´ ych jader dostaneme z klasické formule pro kinetickou energii rotaˇcn´ıho pohybu: 2 ˆ2 ˆ rot = b = ¯h Iˆ2 , H 2J 2J kde I¯ h je spin stavu a J moment setrvaˇcnosti vzhledem k ose otáˇcen´ı (kolmá na osu symetrie). Spektrum rotaˇcn´ıho hamiltoni´ anu je pak: Erot =

¯2 h I(I + 1) . 2J 15

(1)

Základn´ı stav sudo-sud´ ych jader má d´ıky párové interakci vˇzdy spin 0 a kladnou paritu. Nad t´ımto základn´ım stavem pozorujeme u deformovan´ ych jader rotaˇcn´ı pás s energiemi podle (1), ale pouze se sud´ ymi hodnotami spin˚ u (I =2, 4, 6 ...). To je d˚ usledkem symetrie tvaru jádra vzhledem k rovinˇe kolmé na osu symetrie.

4

Radioaktivita

Nestabiln´ı j´ adra se rozpadaj´ı, obvykle nˇekter´ ym z v´ yˇse uveden´ ych rozpad˚ u – α, β ˇci γ. Rozpad je statistick´ a z´ aleˇzitost. Rozpadov´ y zákon, kter´ y plat´ı pro stˇredn´ı hodnoty veliˇcin, byl formulován na základˇe experiment´ aln´ıch v´ ysledk˚ u Rutherfordem a Soddym v diferenciáln´ım tvaru: −

dN = λN dt

(−dN/dt je u ´bytek poˇctu jader, N poˇcet jader v urˇcitém ˇcase a λ rozpadová konstanta typická pro poˇcáteˇcn´ı stav daného j´ adra a typ rozpadu; je nezávislá na teplotˇe, tlaku ˇci jin´ ych charakteristikách okoln´ıho prostˇred´ı) a v integr´ aln´ım tvaru: N = N0 exp (−λt) , kde N0 je poˇcet jader v ˇcase t = 0 s. M˚ uˇzeme definovat poloˇ cas rozpadu t1/2 jako dobu, za kterou se rozpadne polovina jader: N (t1/2 ) =

N0 = N0 exp (−λt1/2 ) , 2

a stˇ redn´ı dobu ˇ zivota τ vztahem: Z ∞ Z τ= tdP (t) = λ t=0

t1/2 =

∞

t exp (−λt)dt =

0

ln 2 λ

1 , λ

kde dP (t) = [N (t) − N (t + dt)]/N0 je pravdˇepodobnost rozpadu v intervalu (t, t + dt). Rozpadov´ y z´ akon v integr´ aln´ım tvaru nám udává poˇcet mateˇrsk´ ych jader, mnoˇzstv´ı dceˇrin´ ych jader NR spoˇcteme (tj. poˇcet rozpad˚ u mateˇrsk´ ych jader): NR = N0 − N = N0 (1 − exp (−λt)) . Analogick´ ym postupem jako v kap. 5.1 dostáváme, ˇze fluktuace (rozptyl) poˇctu rozpad˚ u je dán p h∆NR i ≈ NR . Aktivita A je definov´ ana jako poˇcet rozpad˚ u za jednotku ˇcasu a z rozpadového zákona v diferenciáln´ım tvaru pro ni dost´ av´ ame: A = λN . Jednotkou aktivity je 1 becquerel, 1 Bq = 1 rozpad za 1 s. Starˇs´ı jednotkou je 1 curie, 1 Ci = 37 GBq.

4.1

α-rozpad A ZX

4 →A−4 Z−2 Y + α(≡2 He)

Je za nˇej zodpovˇedn´ a siln´ a (jaderná) interakce, setkáme se s n´ım u aktinid˚ u, v okol´ı 208 Pb a u vzácn´ ych zemin. Vyletuj´ıc´ı α-ˇc´ astice jsou monoenergetické (energie dány zákonem zachován´ı hybnosti a energie). Poloˇcasy rozpadu se pohybuj´ı mezi 10−20 s a 1018 let. 16

4.2

β-rozpad

Je za nˇej zodpovˇedn´ a slab´ a interakce. Rozliˇsujeme β − -rozpad: A ZX

− →A ¯e , Z+1 Y + e + ν

β + -rozpad: A ZX

+ →A Z−1 Y + e + νe

se spojit´ ym spektrem elektron˚ u (pozitron˚ u) – aˇz do urˇcité maximáln´ı energie dané zákonem zachován´ı energie, a elektronov´ y z´ achyt: A ZX

+ e− →A Z−1 Y + νe

s monoenergetick´ ym spektrem vyletuj´ıc´ıch ˇcástic. Elektronov´ y záchyt pˇrevaˇzuje nad β + -rozpadem u tˇeˇzˇs´ıch jader, kdy jsou vnitˇrn´ı atomové elektrony dostateˇcnˇe bl´ızko jádru a mohou j´ım b´ yt zachyceny. β- rozpady jsou spojeny se vznikem elektronov´ ych neutrin νe ˇci antineutrin ν¯e . 4.2.1

Probl´ em elektronov´ eho neutrina

Uvedli jsme, ˇze neutron se rozpadá: n → p + e− + ν¯e . Neutrina jako neutr´ aln´ı ˇc´ astice nem˚ uˇzeme pˇr´ımo detekovat, detekovat je m˚ uˇzeme pouze pomoc´ı jejich interakc´ı, kter´ ych se u ´ˇcastn´ı nabité ˇcástice, které ionizuj´ı náplˇ n detektor˚ u. Ve 20. letech se zjistilo, ˇze se pˇri β-rozpadech (neutrina nebyla známa) nezachovává energie ani hybnost ani spin (neutron má spin 1/2 ¯h, stejnˇe jako proton a elektron). Tento problém vyˇreˇsil roku 1930 Pauli postulován´ım nové neutr´ aln´ı ˇc´ astice s nulovou klidovou hmotnost´ı (tj. pohybuj´ıc´ı se rychlost´ı svˇetla) a spinem 1/2 ¯h, kterou nazval neutrinem. Podle souˇcasn´ ych mˇeˇren´ı je • hmotnost elektronového neutrina mνe < 7 eV/c2 , • náboj elektronového neutrina qνe = 0, • spin elektronového neutrina sνe = 12 ¯h, • magnetick´ y moment elektronového neutrina µνe < 1.08 · 10−9 µB . Neutrino je stabiln´ı a velice slabˇe interaguje. Stˇredn´ı volná dráha neutrina v ˇzeleze je asi 100 svˇeteln´ ych let. Proto trvalo velice dlouho, neˇz byla existence neutrin (resp. antineutrin) roku 1953 Reinesem a Cowanem prok´ az´ ana. Jako zdroj antineutrin pouˇzili reaktor, kter´ y bylo moˇzno zapnout a vypnout. Pˇri zapnutém reaktoru pozorovali interakci antineutrin ve vodˇe s Cd: νe + p →

n+ ↓ n+

e+ ↓ e+ + e− → 2γ (0.51 MeV → detekce Cd → Cd∗ + (3 ÷ 4)γ → detekce Roku 1957 pan´ı Wu zjistila, ˇze se pˇri β-rozpadu 60

Obr. 9: Rozpad

60

Co →60 Ni + e− + ν¯e

nezachovává parita. V experimentu s β-rozpadem jader 60 Co se spiny orientovan´ ymi siln´ ym magnetick´ ym polem vyletovalo v´ıce elektron˚ u ve smˇeru opaˇcném, neˇz byla orientace magnetického pole a spin˚ u jader 60 Co. Pˇr´ıroda tedy rozliˇsuje smˇery nahoru a dol˚ u, resp. doprava a doleva. Na obr. 9 vid´ıme schéma rozpad˚ ua orientaci spin˚ u.

Co. 17

V klasické mechanice zav´ ad´ıme helicitu h jako projekci u ´hlové rychlosti ω ~ stˇrely do smˇeru pohybu (rychlosti ~v ): ~v · ω ~ = ±1 . h= |~v | · |~ ω| Pohybuje-li se rotuj´ıc´ı stˇrela jako pravotoˇciv´ y ˇsroub, má helicitu kladnou, pohybuje-li se jako ˇsroub levotoˇciv´ y, m´ a helicitu z´ apornou. V zrcadle se ale z pravotoˇcivého rotaˇcn´ıho pohybu stane levotoˇciv´ y. Totéˇz se stane, pˇrejdeme-li z pravotoˇcivého do levotoˇcivého souˇradnicového systému, tj. provedeme operaci parity. V kvantové mechanice m˚ uˇzeme analogicky zavést helicitu jako projekci spinu ~s do smˇeru pohybu: 2~s · p~ h= = ±1 . |~ p| Helicita neutrina byla urˇcena z následuj´ıc´ıho rozpadu: 152

1 1 152 Eum (0, klid) + e− Sm∗ (+1, ↓) + νe (− , ↑) , K (+ , klid) → 2 2 152

Sm∗ (+1, ↓) →152 Sm(0, klid) + γ(+1, ↓) .

V závork´ ach jsou uvedeny projekce spinu na osu z a ˇsipkami je oznaˇcen smˇer pohybu - ↑ ve smˇeru osy z, ↓ proti smˇeru osy z). J´ adra 152 Eum a 152 Sm maj´ı nulov´ y spin. 152 Eum se rozpadá z klidu elektronov´ ym z´ achytem (atomov´ y K-elektron vnáˇs´ı zanedbatelnou hybnost), vznikne 152 Sm∗ v excitovaném stavu se spinem 1, které se ihned rozpadá emis´ı fotonu. Za urˇcit´ ych podm´ınek plat´ı pro hybnosti: pγ ≈ pSm = pνe . Aby platil zákon zachován´ı hybnosti, mus´ı νe a γ vyletˇet opaˇcn´ ym smˇerem. Z experimentu plyne, ˇze smˇerem dol˚ u vyletuj´ı levotoˇcivˇe polarizovaná γ-kvanta, tj. se spinem proti smˇeru pohybu (vzh˚ uru). To znamená, ˇze neutrino mus´ı vyletˇet smˇerem vzh˚ uru se spinem smˇerem dol˚ u, tj. proti smˇeru pohybu. Tedy neutrino má helicitu −1. D´ıváme-li se na neutrino v zrcadle, vid´ıme, ˇze m´ a helicitu +1. Ale takové neutrino v pˇr´ırodˇe neexistuje. Tedy to, co se dˇeje v zrcadle, se nemus´ı d´ıt v pˇr´ırodˇe. Ve slab´ ych rozpadech a interakc´ıch se nezachovává parita. Antineutrino m´ a helicitu +1. Antineutrina jsou antiˇcástice k neutrin˚ um. Liˇs´ı se od sebe pouze helicitou. Odliˇsn´ a helicita neutrina a antineutrina je spojena s jejich nulovou klidovou hmotnost´ı, tedy s t´ım, ˇze se ve vˇsech inerci´ aln´ıch soustavách pohybuj´ı stejnˇe jako fotony rychlost´ı svˇetla, a tedy neexistuje pro nˇe klidov´ y systém. Pokud by totiˇz neutrina mˇela nenulovou klidovou hmotnost (pohybovala by se rychlost´ı menˇs´ı neˇz rychlost svˇetla), v systému, kter´ y by se pohyboval ve smˇeru jejich pohybu rychlost´ı vˇetˇs´ı, neˇz je jejich rychlost, by mˇela helicitu opaˇcnou.

4.3

γ-rozpad A ∗ ZX

(∗) →A +γ Z Y

Pro γ-rozpady (deexcitace j´ adra emis´ı fotonu) je charakteristické monoenergetické spektrum, je za nˇe zodpovˇedn´ a elektromagnetick´ a interakce.

4.4

Vnitˇ rn´ı (elektronov´ a) konverze A ∗ ZX

(∗) A + e− + e− K →Z Y

Deexcitace j´ adra se prob´ıh´ a emis´ı elektronu z atomového obalu. Pravdˇepodobnˇejˇs´ı je u tˇeˇzˇs´ıch jader, kdy se vnitˇrn´ı atom´ arn´ı elektrony s dostateˇcnˇe velkou pravdˇepodobnost´ı nacházej´ı v objemu jádra. C harakteristické je pro ni monoenergetické spektrum vyletuj´ıc´ıch elektron˚ u (t´ım lze odliˇsit od β-rozpadu).

18

4.5

Aplikace radioaktivity

Datov´ an´ı hornin (urˇ cen´ı st´ aˇ r´ı Zemˇ e): V horninˇe uvaˇzované jako uzavˇrená soustava s ˇcasem klesá obsah mateˇrského izotopu a roste obsah dceˇriného izotopu. • K-Ar metoda: 40 − 40 poloˇcas rozpadu 1.28 mld. let 19 K + e →18 Ar + νe Je zaloˇzena na tom, ˇze v miner´ alech bohat´ ych na K, n en´ı pˇr´ıtomen aˇz na v´ yjimky (horniny mladˇs´ı 40 neˇz 10 mil. let) Ar. M˚ uˇzeme tedy pˇredpokládat, ˇze N0 (40 a pouze rozpadem od 18 Ar) = 0 a 18 Ar vznik´ okamˇziku ztuhnut´ı horniny: 40 N (40 19 K) = N0 (19 K) exp (−λt) , 40 N (40 18 Ar) = N0 (19 K) (1 − exp (−λt)) .

A z rovnice

exp (−λt) N (40 19 K) = N (40 Ar) 1 − exp (−λt) 18

m˚ uˇzeme urˇcit st´ aˇr´ı horniny. • Rb-Sr metoda vyuˇz´ıv´ a rozpadu: 87 37 Rb

− →87 ¯e 38 Sr + e ν

poloˇcas rozpadu 48 mld. let

Plat´ı: 87 87 N (87 38 Sr) − N0 (38 Sr) = N0 (37 Rb) (1 − exp (−λt)) ,

87 N0 (87 37 Rb) = N (37 Rb) exp (λt)

Tedy: 87 87 N (87 38 Sr) − N0 (38 Sr) = N (37 Rb) (exp (λt) − 1)

a

N (87 N0 (87 N (87 38 Sr) 38 Sr) 37 Rb) = + (exp (λt) − 1) . 86 86 N (38 Sr) N0 (38 Sr) N (86 38 Sr)

86 38 Sr

86 nen´ı radioaktivn´ı. St´ aˇr´ı urˇc´ıme srovnán´ım dvou vzork˚ u horniny s odliˇsn´ ym N0 (87 38 Sr) a N0 (38 Sr).

• U-Th-Pb metoda: Vyuˇz´ıv´ a rozpadové ˇrady 238 U →206 Pb, konˇc´ı izotopy olova. K urˇcen´ı st´ aˇr´ı se uˇz´ıvaj´ı pomˇery N (238 U) , N (206 Pb)

N (235 U) , N (207 Pb)

235

N (232 Th) , N (208 Pb)

U →207 Pb a

238

Th →208 Pb, které

N (206 Pb) , N (207 Pb)

N (204 Pb) (204 Pb nevznik´ a ˇz´ adn´ ym rozpadem) slouˇz´ı ke kontrole obohacován´ı vzorku olovem v pr˚ ubˇehu historie. Nejstarˇs´ım vzorkem je ˇzelezn´ y meteorit Canyon Diablo star´ y 4.5 miliardy let. Radiouhl´ıkov´ a metoda: Pouˇz´ıv´ a izotopu 14 C, kter´ y vzniká na Zemi d´ıky kosmickému záˇren´ı v interakci: 14 n +14 7 N →6 C + p

a rozpad´ a se β-rozpadem s poloˇcasem 5570 let: 14 6 C

− →14 ¯e . 7 N+e +ν

19

Metoda je zaloˇzena na tom, ˇze 14 CO2 je pˇrij´ımán rostlinami bˇehem jejich ˇzivota a prostˇrednictv´ım rostlinné potravy se dost´ av´ a i do ˇzivoˇcich˚ u. Po odumˇren´ı organism˚ u se 14 C jiˇz nedoplˇ nuje a prob´ıhá jeho rozpad. St´ aˇr´ı lze urˇcit z N (14 C) = exp (−λt) N0 (14 C) (za pˇredpokladu, ˇze N0 (14 C) je stejné jako ve stejném mnoˇzstv´ı souˇcasného vzorku). Lze ale provést i korekce na lidskou ˇcinnost (spalován´ı fosiln´ıch paliv v 19. stol. s menˇs´ım obsahem 14 C, v´ ybuchy vod´ıkov´ ych bomb v atmosféˇre v 50. letech 20. stol, které zv´ yˇsily mnoˇzstv´ı 14 C v atmosféˇre o 100 %) a korekce na variace kosmického záˇren´ı (11 let´ y sluneˇcn´ı cyklus). Touto metodou lze datovat vzorky do stáˇr´ı 40 tis. let. Znaˇ cen´ı atom˚ u a molekul radioaktivn´ımi izotopy: Vyuˇz´ıv´ a se ke studiu jejich pohybu a chemick´ ych reakc´ı. Pozitronov´ a emisn´ı tomografie (PET): 1. V jaderné reakci vyvolané protony urychlen´ ymi cyklotronem se vyrob´ı pozitronov´ y záˇriˇc

18

F:

18 p +18 8 O →9 F + n .

2. Pomoc´ı 18 F se oznaˇc´ı vhodné molekuly (napˇr. glukóza), které se nitroˇzilnˇe nebo inhalac´ı aplikuj´ı. 3. Rozpad

18

F (poloˇcas 110 min): 18 9 C

+ →18 8 O + e + νe .

4. N´ asleduje anihilace pozitronu v klidu jen nˇekolik mm od m´ısta rozpadu

18

F:

e+ + e− → γ + γ . 5. Anihilaˇcn´ı fotony se detekuj´ı prstencem detektor˚ u, poˇc´ıtaˇcem se urˇc´ı m´ısto anihilace a z v´ıce anihilac´ı i prostorové rozloˇzen´ı molekul oznaˇcen´ ych 18 F. Výhody PET: 1. velké prostorové rozliˇsen´ı, 2. vysok´ a selektivita (staˇc´ı pikomolárn´ı koncentrace, které lze bez nebezpeˇc´ı vstˇr´ıknout zdrav´ ym lidem), 3. lze studovat i ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh metabolismu (ˇcinnost mozku). Z´ akladn´ı PET izotopy a nosiˇce jsou uvedeny v následuj´ıc´ı tabulce:

izotop 11 C 11 N 15 O 18 F

Tabulka 3: Základn´ı PET izotopy a nosiˇce. poloˇcas rozpadu nosiˇce 20 min mastné kyseliny, aminokyseliny 10 min ˇcpavek 2 min voda 110 min cukry, aminokyseliny

20

5 5.1

Jadern´ e reakce ´ cinn´ Uˇ y pr˚ uˇ rez σ

Tato veliˇcina se pouˇz´ıv´ a v jaderné fyzice a ve fyzice elementárn´ıch ˇcástic jako charakteristika s´ıly ˇ ım je u interakce mezi ˇc´ asticemi. C´ ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez σ vˇetˇs´ı, t´ım je vˇetˇs´ı pravdˇepodobnost interakce. Necht’ na terˇc´ık s jednou vrstvou jader, ve které je Nj jader, dopadá kolmo N ˇcástic za 1 s. Svazek dopadaj´ıc´ıch ˇc´ astic m´ a pr˚ uˇrez S, kter´ y je roven ploˇse terˇc´ıku. Z N dopadaj´ıc´ıch ˇcástic za 1 s jich za 1 s NR interaguje s j´ adry terˇc´ıku. Pak pravdˇepodobnost interakce P m˚ uˇzeme vyjádˇrit vztahem: NR Nj σ P = = . (2) N S Nj σ m´ a v´ yznam efektivn´ı plochy, kterou nastavuje Nj jader terˇc´ıku dopadaj´ıc´ım ˇcástic´ım, σ má v´ yznam efektivn´ı plochy, kterou nastavuje jedno jádro terˇc´ıku dopadaj´ıc´ım ˇcástic´ım. Tato efektivn´ı plocha (´ uˇcinn´ y pr˚ uˇrez) nemus´ı odpov´ıdat geometrické ploˇse jádra a závis´ı na typu interakce mezi ˇc´ astic´ı svazku a terˇc´ıkov´ ym jádrem. Pro u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez se v jaderné fyzice pouˇz´ıvaj´ı speciáln´ı jednotky, barny: 1 barn = 10−28 m2 . Vztah (2) plat´ı i pro terˇc´ık s v´ıce vrstvami, mus´ı ale NR N . Pak Nj má v´ yznam celkového poˇctu jader v terˇc´ıku. Takovému terˇc´ıku ˇr´ıkáme tenk´ y. Obecnˇe je tˇreba terˇc´ık tlouˇst’ky d rozdˇelit na velké mnoˇzstv´ı tenk´ ych terˇc´ık˚ u tlouˇst’ky dx, pro které plat´ı: −

Nj σ dN = dx = n0 σdx , N Sd

kde n0 je poˇcet terˇc´ıkov´ ych jader v jednotce objemu (v 1 m3 ), −dN = N (x) − N (x + dx) u ´bytek poˇctu dopadaj´ıc´ıch ˇc´ astic ve vrstvˇe tlouˇst’ky dx d´ıky interakci. Po integraci dostáváme: N = N0 exp (−n0 σd) , kde N0 je poˇcet ˇc´ astic svazku dopadaj´ıc´ıch za 1 s na terˇc´ık a N je poˇcet ˇcástic proˇsl´ ych za 1 s terˇc´ıkem o tlouˇst’ce d. Pro poˇcet interaguj´ıc´ıch ˇc´ astic NR plat´ı: NR = N0 − N = N0 (1 − exp (−n0 σd)) ,

(3)

Pro n0 σd 1 pˇrech´ az´ı tento vztah na vztah pro tenk´ y terˇc´ık: NR = n0 σd . N0 n0 σd 1 je tedy podm´ınka, která urˇcuje, kdy m˚ uˇzeme terˇc´ık povaˇzovat za tenk´ y. Pomoc´ı (3) m˚ uˇzeme odvodit vztahy pro v´ ypoˇcet stˇ redn´ı voln´ e dr´ ahy hxi: Z ∞ Z ∞ 1 hxi = xdP (x) = n0 σ x exp (−n0 σx)dx = , n0 σ x=0 0 kde dP (x) = [N (x) − N (x + dx)]/N0 je pravdˇepodobnost interakce ˇcástice v intervalu (x, x + dx), a polotlouˇ st’ky x1/2 : N (x1/2 ) =

N0 = N0 exp (−n0 σx1/2 ) , 2

x1/2 =

ln 2 = ln 2hxi . n0 σ

Polotlouˇst’ka x1/2 je tedy tlouˇst’ka, kterou projde polovina dopadaj´ıc´ıch ˇcástic, resp. polovina se v n´ı zachyt´ı. R˚ uzné materi´ aly maj´ı pro r˚ uzné dopadaj´ıc´ı ˇcástice (záˇren´ı) r˚ uzné polotlouˇst’ky (viz laboratoˇre z fyziky). To se vyuˇz´ıv´ a k ochranˇe pˇred záˇren´ım. 21

5.1.1

Statistick´ y charakter interakce dopadaj´ıc´ıch ˇ c´ astic s terˇ c´ıkov´ ymi j´ adry

Pravdˇepodobnost P1 , ˇze jedna dopadaj´ıc´ı ˇcástice interaguje s jádrem tenkého terˇc´ıku je: P1 =

Nj σ . S

Pravdˇepodobnost, ˇze k interakci nedojde, je: 1 − P1 = 1 −

Nj σ . S

Z toho m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat pravdˇepodobnost P (NR , N ) jevu, kdy na tenk´ y terˇc´ık dopadne N ˇcástic a z nich NR interaguje: P (NR , N ) =

N NR

Nj σ S

NR 1−

Nj σ S

N −NR

(zanedbali jsme NR v˚ uˇci N , coˇz lze pro tenk´ y terˇc´ık). Dostali jsme tzv. binomické rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı P (NR , N ). Z nˇej m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat stˇredn´ı hodnotu poˇctu interaguj´ıc´ıch ˇcástic N X

hNR i =

NR P (NR , N ) = N

NR =0

Nj σ S

i stˇredn´ı hodnotu fluktuac´ı (rozptyl)  h∆NR i = 

N X

NR2 P (NR , N ) −

NR =0

N X NR =0

!2 1/2 1/2 p Nj σ  ≈ hNR i . NR P (NR , N ) = hNR i 1 − S

Vid´ıme tedy, ˇze vztah (2) pro tenk´ y terˇc´ık (rovnˇeˇz vztah (3) pro tlust´ y terˇc´ık) plat´ı pro stˇredn´ı hodnotu poˇctu interaguj´ıc´ıch ˇc´ astic.

5.2

Klasifikace jadern´ ych reakc´ı

Jaderné reakce prob´ıhaj´ı d´ıky p˚ usoben´ı silné interakce. Aby k nim mohlo doj´ıt, mus´ı se interaguj´ıc´ı jádra pˇribl´ıˇzit na vzd´ alenost menˇs´ı neˇz 10−14 m (mˇeˇreno od stˇred˚ u jader). Rozliˇsujeme n´ asleduj´ıc´ı typy jadern´ ych reakc´ı: • elastick´ y (pruˇzn´ y rozptyl): a + X → a + X, • neelastick´ y rozptyl (j´ adro X je po reakci v excitovaném stavu): a + X → a + X ∗ , • záchyt: a + X → Y + γ, • vlastn´ı jaderné reakce: a + X → b + Y (+ · · ·). Pˇri jadern´ ych reakc´ıch plat´ı z´ akony zachován´ı: poˇctu nukleon˚ u, náboje, hybnosti, energie, momentu hybnosti a parity. Jaderné reakce dˇel´ıme na exoenergetick´ e (uvolˇ nuje se pˇri nich energie) a endoenergetick´ e (k tomu, aby probˇehly, je tˇreba dodat energii). Kritériem je energie reakce Q. Jej´ı v´ ypoˇcet je zˇrejm´ y z následuj´ıc´ıch pˇr´ıklad˚ u. Pˇr´ıklad 5: Spoˇctˇete energii reakce Q: α +94 Be → n +12 6 C . ˇ sen´ı: Reˇ 22

Energie reakce je definov´ ana: Q = (mα + m9 Be )c2 − (mn + m12 C )c2 = 5.75 MeV > 0 . Tedy reakce je exoenergetick´ a. Pˇr´ıklad 6: Spoˇctˇete energii reakce Q: 17 α +14 7 N → p +8 O .

ˇ sen´ı: Reˇ Energie reakce je definov´ ana: Q = (mα + m14 N )c2 − (mp + m17 O )c2 = −1.13 MeV < 0 . Tedy reakce je endoenergetick´ a. Pˇr´ıklad 7: Spoˇctˇete prahovou (kinetickou) energii reakce p + p → p + p + p + p¯ (tato reakce byla vyuˇzita roku 1955 pˇri objevu antiprotonu – p¯ – antiˇcástice k protonu, p¯ má stejnou hmotnost´ı, spin a opaˇcn´ y n´ aboj) v tˇeˇziˇst’ovém a laboratorn´ım (jeden proton pˇred reakc´ı v klidu) systému. ˇ sen´ı: Reˇ Energie reakce Q je Q = 2mp c2 − 4mp c2 = −2mp c2 < 0 , jde tedy o endoenergetickou reakci. Vyuˇzijeme zákony zachován´ı energie a hybnosti v relativistickém tvaru. V tˇeˇziˇst’ovém systému je celková hybnost pˇred a po reakci nulová. Prahové energii reakce ET odpov´ıd´ a vznik 3 proton˚ u a antiprotonu v tˇeˇziˇst’ovém systému v klidu, tedy: mp c2 + ET + mp c2 + ET = 4mp c2 ,

ET = mp c2 .

V laboratorn´ım systému se vzniklé ˇcástice pohybuj´ı stejnou rychlost´ı (d´ıky stejn´ ym hmotnostem 0 0 maj´ı i stejnou hybnost p i stejnou celkovou energii E ), tedy 0

0

mp c2 + EL + mp c2 = 4E ,

p = 4p ,

kde p je hybnost nalét´ avaj´ıc´ıho protonu a EL prahová energie v laboratorn´ım systému. Pomoc´ı E

0

2

0

= m2p c4 + p 2 ,

E 2 = mp c2 + EL

2

= m2p c4 + p2

dostaneme: 2

2

(mp c + EL ) −

m2p c4

(2mp c2 + EL )2 = 16 − m2p c4 16

,

EL = 6mp c2 .

Z v´ ysledku Pˇr. 7 je jasnˇe vidˇet v´ yhoda modern´ıch urychlovaˇc˚ u vstˇr´ıcn´ ych svazk˚ u (collider˚ u), kde doch´ az´ı ke sr´ aˇzce svazk˚ u ˇc´ astic se stejnˇe velk´ ymi, ale opaˇcn´ ymi hybnostmi, tj. v tˇeˇziˇst’ovém systému, oproti klasickému uspoˇr´ ad´ an´ı, kdy urychlované ˇcástice dopadaly na ˇcástice v nepohyblivém terˇc´ıku. 23

5.3

Mechanismy jadern´ ych reakc´ı

Rozliˇsujeme dva (extrémn´ı) pˇr´ıpady: 1. pˇr´ımé reakce: Reakce se u ´ˇcastn´ı jen jeden ˇci pouze nˇekolik nukleon˚ u interaguj´ıc´ıch jader. Je pro nˇe charakteristick´ a mal´ a zmˇena struktury terˇc´ıkového jádra, terˇc´ıkové jádro je málo excitováno, vyletuj´ıc´ı ˇc´ astice maj´ı velké energie, k reakci docház´ı d´ıky perifern´ı sráˇzce nalétávaj´ıc´ı ˇcástice s terˇc´ıkov´ ym j´ adrem a trv´ a krátce – 10−22 s (doba pr˚ uletu nalétávaj´ıc´ı ˇcástice). 2. reakce pˇres sloˇzené j´ adro: Reakce se u ´ˇcastn´ı vˇsechny nukleony, energie nalétávaj´ıc´ı ˇcástice se d´ıky velkému mnoˇzstv´ı sráˇzek mezi nukleony rozdˇel´ı, vznikne sloˇzené jádro v excitovaném stavu, které se pak rozpad´ a. Je pro nˇe charakteristická velká zmˇena struktury jádra, j´ adro je vysoce excitov´ ano, vyletuj´ıc´ı ˇcástice maj´ı malé energie, k reakci docház´ı d´ıky centráln´ı sráˇzce nalét´ avaj´ıc´ı ˇc´ astice s terˇc´ıkov´ ym jádrem a trvá dlouho – 10−16 s.

5.4 5.4.1

Aplikace jadern´ ych reakc´ı Jadern´ e analytick´ e metody

Jde o promptn´ı metody urˇcen´ı prvkového sloˇzen´ı zkoumaného vzorku. Jejich v´ yhodou je krátká doba mˇeˇren´ı a vyhodnocen´ı (minuty). Jsou zaloˇzeny na principu N0 NR = Nj σtη , S kde NR je celkov´ y poˇcet detekovan´ ych vyletuj´ıc´ıch ˇcástic daného typu (indikátor pˇr´ıtomnosti urˇcitého prvku), Nj poˇcet atom˚ u prvku ve zkoumané oblasti vzorku, N0 /S poˇcet ˇcástic dopadaj´ıc´ıch na jednotkovou plochu terˇc´ıku za jednotku ˇcasu, σ u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez dané interakce, t doba mˇeˇren´ı, η u ´ˇcinnost detektoru. Ze znalosti ostatn´ıch veliˇcin je pak moˇzno urˇcit neznámé Nj . Metody lze vyuˇz´ıt ke studiu hloubkového rozdˇelen´ı urˇcitého prvku: 1. z kinematiky (d´ıky energetick´ ym ztrátám energie nalétávaj´ıc´ıch ˇcástic s hloubkou pr˚ uniku klesá a kles´ a tedy i energie vyletuj´ıc´ıch ˇcástic (vyjma PIXE), 2. u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez z´ avis´ı na energii nalétávaj´ıc´ıch ˇcástic. Hloubka prostorového rozliˇsen´ı se pohybuje v pˇr´ıpadˇe lehk´ ych nabit´ ych nalétávaj´ıc´ıch ˇcástic s energiemi 0.1 ÷ 10 MeV v rozmez´ı 0.1 ÷ 10 µm. Nyn´ı uvedeme pˇrehled metod: 1. PIXE (particle induced X-ray emission): Proton interaguje s atomem prvku za vzniku charakteristického RTG z´ aˇren´ı (pˇrechody e− na K, L-slupky). Lze vyuˇz´ıt pro Z > 5, minimáln´ı detekovatelné pˇr´ımˇesi: 10−15 g, nejmenˇs´ı dokazatelná koncentrace (NDK): 10−1 µg/g pro vˇsechny prvky. 2. NRM (nuclear reaction method): Vyuˇz´ıvá r˚ uzné jaderné reakce, vhodná pro malé Z, NDK: (10−1 ÷ 102 ) µg/g. 3. RBS (Rutherford back-scattering): Vyuˇz´ıvá elektrostatick´ y rozptyl nabit´ ych ˇcástic na jádrech, vhodn´ a pro velk´ a Z, NDK: (1 ÷ 102 ) µg/g. 4. CPAA (charge particle activation analysis): vhodná pro velká a stˇredn´ı Z, NDK: (10−3 ÷10−1 ) µg/g.

24

5. NAA (neutron activation analysis – neutronová aktivaˇcn´ı anal´ yza): Uk´ aˇzeme si ji na pˇr´ıkladu následuj´ıc´ı interakce: n +197 Au →198 Au + γ ,

198

Au →198 Hg∗ + e− + ν¯e− ,198 Hg∗ →198 Hg + γ(0.41 MeV) .

Ozaˇrov´ an´ım neutrony (s u ´ˇcinn´ ym pr˚ uˇrezem σA po dobu t vyrob´ıme z NA 197 Au NB 198 Au, které β (s rozpadovou konstantou λB ) a γ-rozpadem (prakticky ihned) pˇrecház´ı na 198 Hg v z´ akladn´ım stavu. Po skonˇcen´ı ozaˇrován´ı detekujeme fotony γ-záˇren´ı, které má energii 0.41 0 0 MeV po dobu t . Z jejich poˇctu, kter´ y je roven poˇctu rozpad˚ u 198 Au za dobu t , urˇc´ıme NA . Pro NB plat´ı: dNB Nn = σA NA − λB N B . dt S ˇ sen´ım je: Reˇ NB =

σA NA Nn [1 − exp (−λB t)] . λB S 0

Po skonˇcen´ı ozaˇrov´ an´ı pak γ-aktivita AC v ˇcase t : 0

AC = λB NB exp (−λB t ) = σA NA 5.4.2

0 Nn [1 − exp (−λB t)] exp (−λB t ) . S

Objevy transuran˚ u

Motivac´ı je kvazistabiln´ı prvek 298 114 a pˇr´ıpadn´ y ostrov kvazistabiln´ıch prvk˚ u kolem, jehoˇz existence byla pˇredpovˇezena v roce 1966. Jelikoˇz tyto prvky nebyly nalezeny ani na Zemi, ani v meteoritech, ani ve vzd´ alen´ ych aktivn´ıch oblastech vesm´ıru, mus´ı b´ yt nestabiln´ı s poloˇcasem rozpadu ≤ 105 let. Ale i takov´ y poloˇcas by umoˇzn ˇoval pˇr´ıpravu makroskopick´ ych mnoˇzstv´ı a moˇznost pˇr´ıpravy nov´ ych chemick´ ych slouˇcenin a nov´ ych materiál˚ u. ym ozaˇrován´ım uranu neutrony v reaktorech (nˇekolik let), pˇri jadern´ ych Pˇr´ıprava Z ≤ 100: dlouhodob´ v´ ybuˇs´ıch, kdy jsou vysoké neutronové toky (princip: pˇridáváme neutrony k danému jádru tak dlouho, aˇz je pro nˇej v´ yhodnˇejˇs´ı se β-rozpadem rozpadnout na jádro s vyˇsˇs´ım Z. 242 260 an´ım vhodného terˇc´ıku tˇeˇzk´ ymi ionty, napˇr. 22 104 + Pˇr´ıprava Z > 100: bombardov´ 10 Ne + 94 Pu → 4n, identifikace je moˇzn´ a prostˇrednictv´ım rozpadov´ ych produkt˚ u, jejich energi´ı a poloˇcas˚ u rozpadu. Je moˇzn´ a i rychl´ a radiochemick´ a separace, k urˇcen´ı mocenstv´ı staˇc´ı napˇr. pouze 7 atom˚ u Lr.

ame reakci, kter´ a vedla k objevu zat´ım posledn´ıho prvku Mendˇelejevovy tabulky Na obr. 10 m´ spolu s jeho rozpadov´ ym schématem. K v´ yrobˇe jednoho prvku 112 bylo tˇreba 1018 interakc´ı (o pravdˇepodobném objevu dalˇs´ıho prvku – 114 – podrobnˇeji na pˇrednáˇsce). 5.4.3

Vznik prvk˚ u ve vesm´ıru (nukleosynt´ eza)

Prob´ıh´ a ve dvou etap´ ach: 1. Pˇri vzniku vesm´ıru mezi 14 s a 3.8 min po velkém tˇresku postupnˇe vzniklo vˇetˇs´ım mnoˇzstv´ı 4 He (tehdy 1/3 z poˇctu jader 1 H). 2. Tˇeˇzˇs´ı prvky vznikaj´ı ve hvˇezdách (spolu s dalˇs´ım 4 He). Jaderné reakce (f´ uze lehk´ ych jader) jsou zdrojem energie hvˇezd (viz závislosti B(Z, N )/A na A). K f´ uzi dvou proton˚ u je tˇreba pˇrekonat jejich elektrostatické odpuzován´ı. Pˇr´ıklad 8: 25

Obr. 10: Objev prvku 112.

26

Urˇcete pomˇer stˇredn´ı kinetické energie proton˚ u ET ve hvˇezdˇe o teplotˇe T = 107 K a kinetické energie Ep , jakou mus´ı m´ıt proton, aby se ke druhému protonu pˇribl´ıˇzil na vzdálenost jeho polomˇeru r = 10−15 m. ˇ sen´ı: Reˇ Stˇredn´ı kinetick´ a energie proton˚ u ET =

3 kT = 10−16 J . 2

Ep urˇc´ıme ze z´ akona zachov´ an´ı energie: Ep = k

e2 = 2 · 10−13 J . r

Pomˇer je ET /Ep = 4 · 10−4 . Klasicky by tedy k f´ uzi nedoˇslo. Pˇresto k n´ı pˇri této teplotˇe docház´ı. Je to umoˇznˇeno: 1. kvantov´ ym tunelov´ ym efektem (pˇri teplotˇe 107 K se proton s pravdˇepodobnost´ı 10−10 dostane do vzd´ alenosti 1 fm od druhého protonu, 2. maxwellov´ ym rozdˇelen´ım rychlost´ı proton˚ u (existuj´ı protony, které maj´ı dostateˇcnˇe velkou kinetickou energii). Struˇcn´ y pˇrehled cykl˚ u a proces˚ u nukleosyntézy ve hvˇezdách: 1. proton-protonov´ y cyklus (polovina proton˚ u se pˇremˇen´ı na neutrony za 1010 let): 1. krokem je slab´ a interakce p + p →2 H + e+ + νe , dalˇs´ımi kroky jsou silné jaderné interakce. Prob´ıhá pˇri teplotách ≥ 107 K, vzniká pˇri nˇem He, Be, Li, energetick´ y zisk 26.7 MeV. 2. CNO cyklus (uhl´ıkov´ y): Prob´ıhá pˇri teplotách ≥ 1.5 · 107 K, energetick´ y zisk 26.7 MeV. 3. 3α-cyklus: Prob´ıh´ a pˇri teplotách 108 K. 4. spalov´ an´ı He, C, O: Prob´ıhá pˇri vyˇsˇs´ıch teplotách (vznik prvk˚ u do S). 5. α-proces (z´ achyt alpha ˇc´ astic jádry): Prob´ıhá pˇri teplotách kolem 109 K (vznik prvk˚ u do Ca). 6. s-proces: (slow) z´ achyt neutron˚ u jádry následovan´ y β-rozpadem (vznik tˇeˇzˇs´ıch prvk˚ u aˇz po Po). 7. e-proces: (ekvilibrium) vznik izotop˚ u kolem Fe. T´ım jsou jaderné energetické zdroje hvˇezdy vyˇcerp´ any (viz z´ avislost B(Z, N )/A na A). Hvˇezda se gravitaˇcnˇe smrˇst’uje a pˇri tom zahˇr´ıvá aˇz na 1010 K, 56 Fe se pˇri této teplotˇe dezintegruje na jednotlivé nukleony. T´ım se ochlad´ı. J´ adro se zhrout´ı v neutronové hvˇezdu a vnˇejˇs´ı vrstvy se rychle rozp´ınaj´ı (v´ ybuch supernovy). 8. r-proces: (rapid) pˇri v´ ybuchu supernovy, kdy je velk´ y neutronov´ y tok, v´ıcenásobn´ y neutronov´ y z´ achyt zakonˇcen´ y ˇradou β-rozpad˚ u (vznik tˇeˇzˇs´ıch jader aˇz po 235 U, 238 U).

27

5.5 5.5.1

Zdroje energie Jadern´ e reaktory

Vyuˇz´ıvaj´ı ˇstˇepen´ı uranu neutronem, pˇri kterém se jádro uranu rozpadne s nejvˇetˇs´ı pravdˇepodobnost´ı na dvˇe pˇribliˇznˇe stejnˇe velk´ a j´ adra a uvoln´ı se nˇekolik neutron˚ u, které mohou dále ˇstˇepit jádra uranu (ˇretˇezová reakce). 235 U se nejpravdˇepodobnˇeji ˇstˇep´ı pomal´ ymi neutrony (Ek ≈ 0.02 eV) – vyuˇz´ıvá se v klasick´ ych reaktrorech, 238 U rychl´ ymi neutrony s minimáln´ı kinetickou energi´ı 1.1 MeV (d´ıky párové interakci) – vyuˇz´ıv´ a se v rychl´ ych reaktorech). V 1 kg 235 U je energie 8 · 1013 J (3 · 106 kg uhl´ı). Na 1 akt ˇstˇepen´ı se uvoln´ı v pr˚ umˇeru 2.51 neutron˚ u se stˇredn´ı kinetickou energi´ı 2 MeV. Nejvhodnˇejˇs´ı energie pro ˇstˇepen´ı je 0.02 eV. Na tuto energii je tˇreba neutrony zpomalit. K tomu slouˇz´ı moder´ ator (H2 O, D2 O, C – grafit), ve kterém se sráˇzkami neutrony zpomaluj´ı. Pˇri tomto procesu docház´ı ke ztrátám (záchytu neutron˚ u na 238 U 235 U) ˇci 235 U, na – v pˇr´ırodn´ım uranu je ho 99.3 %, v reaktorech ménˇe d´ıky obohacen´ı izotopem pˇr´ımˇes´ıch ˇci k u ńiku neutron˚ u. Aby nenastal lavinovit´ y pr˚ ubˇeh ˇstˇepen´ı, je nutná regulace. Regulovat nelze poˇcet primárn´ıch neutron˚ u vznikaj´ıc´ıch pˇr´ımo pˇri ˇstˇepen´ı, protoˇze ty vznikaj´ı v rozmez´ı 10−6 ÷ 0.1 s. V tak krátkém ˇcase nelze regulaci prov´ adˇet. Regulovat ale m˚ uˇzeme poˇcet sekundárn´ıch neutron˚ u, které vznikaj´ı pˇri rozpadu produkt˚ u ˇstˇepen´ı v rozmez´ı 0.07 ÷ 80.2 s a které tvoˇr´ı 0.75% celkového poˇctu neutron˚ u na 1 akt ˇstˇepen´ı. Regulace se prov´ ad´ı pomoc´ı kadmiov´ ych tyˇc´ı (Cd má velk´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro záchyt neutron˚ u). Aby se reakce udrˇzela a zároveˇ n reaktor z˚ ustal pod kontrolou, mus´ı se poˇcet neutron˚ uz jednoho aktu ˇstˇepen´ı vyuˇziteln´ y k dalˇs´ımu ˇstˇepen´ı (po odeˇcten´ı ztrát) pohybovat v rozmez´ı 1÷1.0075. 5.5.2

Termojadern´ a f´ uze

1. vod´ıkov´ a bomba s µs probˇehla reakce :

235

U rozbuˇskou, která vytvoˇr´ı dostateˇcnou teplotu a tlak, aby bˇehem 1 d + t → α + n + 17.6 MeV .

Uvolnˇen´ a energie odpov´ıd´ a 5 · 105 kg TNT ˇci 2500 prvn´ım atomov´ ym bombám. 2. ˇ r´ızen´ a termojadern´ a reakce d + t → α + n + 17.6 MeV , kde nestabiln´ı t se vyr´ ab´ı v pláˇsti reaktoru reakc´ı: n +6 Li → α + t . Výhody: (a) V oce´ anech je 5 · 1016 kg d (0.3 g/1 l), v 1 km3 moˇrské vody je energie srovnatelná s energi´ı ve veˇsker´ a ropˇe na Zemi. d pˇri spotˇrebˇe na u ´rovni roku 1970 vystaˇc´ı na 109 let. (b) Mnoˇzstv´ı radioaktivn´ıho materiálu (β-radioaktivn´ı t, neutrony aktivované konstrukˇcn´ı materi´ aly) je srovnatelné s jadern´ ymi elektrárnami, ale poloˇcasy rozpadu se pohybuj´ı v rozmez´ı 1 ÷ 100 let (u jadern´ ych elektráren 100 ÷ 10000 let). (c) Nebezpeˇc´ı v´ ybuchu je nulové, jakákoli nestabilita plasmatu zp˚ usob´ı ukonˇcen´ı f´ uze. Experiment´ alnˇe k f´ uzi doˇslo v TOKAMAKu, kde je vysokoteplotn´ı plasma magnetick´ ym polem stlaˇcov´ ana a t´ım zahˇr´ıv´ ana na dostateˇcnˇe vysoké teploty. Aby f´ uze s jistotou nastala, je tˇreba plasmu udrˇzet po 1 s pˇri teplotˇe (107 ÷ 108 ) K pˇri hustotˇe 1020 jader/m3 .

28

6

Fyzika element´ arn´ıch ˇ c´ astic a fundament´ aln´ıch interakc´ı

6.1

Pˇ rehled element´ arn´ıch ˇ c´ astic

V následuj´ıc´ı tabulce m´ ame uveden pˇrehled elementárn´ıch ˇcástic podle souˇcasného stavu poznán´ı. Bosony jsou ˇc´ astice s celoˇc´ıseln´ ym spinem, které zprostˇredkuj´ı interakce, ˇr´ıká se jim rovnˇeˇz poln´ı ˇcástice. Fermiony jsou ˇc´ astice s poloˇc´ıseln´ ym spinem, které prostˇrednictv´ım (v´ ymˇenou) boson˚ u interaguj´ı. Ke kaˇzdé ˇc´ astici existuje antiˇcástice se stejnou hmotnost´ı a opaˇcn´ ym nábojem. Neutráln´ı neutrina a antineutrina se liˇs´ı pouze helicitou.

ˇc´ astice bosony gluon foton W ± -boson Z-boson higgs higgs graviton fermiony kvarky up down charm strange top (truth) bottom (beauty) leptony elektronové neutrino elektron mionové neutrino mion tauonové neutrino tauon

Tabulka 4: Pˇrehled elementárn´ıch ˇcástic. oznaˇcen´ı hmotnost náboj (e) spin (¯h)

stabilita

interakce

g γ W± Z0 H0 H±

0 0 82 GeV 91.1 GeV > 48 GeV > 41.7 GeV 0

0 0 ±1 0 0 ±1 0

1 1 1 1 0 0 2

vázan´ y stabiln´ı nestabiln´ı nestabiln´ı

siln´ a elmag. slab´ a slabá elektroslabá elektroslabá gravitaˇcn´ı

u d c s t b

∼ 7 MeV ∼ 15 MeV ∼ 1.3 GeV ∼ 200 MeV ∼ 180 GeV ∼ 4.3 GeV

+2/3 −1/3 +2/3 −1/3 +2/3 −1/3

1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

vázan´ y vázan´ y vázan´ y vázan´ y vázan´ y vázan´ y

vˇsechny vˇsechny vˇsechny vˇsechny vˇsechny vˇsechny

νe e− νµ µ− ντ τ−

0 0.511 MeV 0 106 MeV 0 1777 MeV

0 −1 0 −1 0 −1

1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

stabiln´ı stabiln´ı stabiln´ı stabiln´ı stabiln´ı stabiln´ı

slab´ a kromˇe silné slab´ a kromˇe silné slab´ a kromˇe silné

Rozliˇsujeme tzv. 3 rodiny (generace) fermion˚ u: 1. u, d, νe , e− 2. c, s, νµ , µ− 3. t, b, ντ , τ − Prob´ıh´ a-li urˇcit´ a interakce v jedné rodinˇe, prob´ıhá rovnˇeˇz v dalˇs´ıch rodinách. Hmota ve vesm´ıru je sloˇzena pouze z tˇechto ˇcástic: u, d a e− (proton se skládá ze tˇr´ı kvark˚ u uud, neutron z udd).

6.2

Teoretick´ e pˇ redstavy o interakc´ıch element´ arn´ıch ˇ c´ astic

Základn´ımi ˇc´ asticemi jsou fermiony. Interakce mezi nimi zprostˇredkovávaj´ı poln´ı ˇcástice – bosony. Podle speci´ aln´ı teorie relativity se se zmˇenou hybnosti ˇcástice (napˇr. nabité) zmˇen´ı pole, které 29

vyvol´ av´ a (elektromagnetické). Zmˇena pole se ˇs´ıˇr´ı rychlost´ı v ≤ c (pohyb ostatn´ıch ˇcástic se nezmˇen´ı okamˇzitˇe). Sign´ al (pole) pˇren´ aˇs´ı energii. Podle kvantové teorie je energie kvantována, energie pole se pˇred´ av´ a ve formˇe kvant, poln´ıch ˇc´ astic. Spojen´ı speciáln´ı teorie relativity s kvantovou teori´ı vytváˇr´ı kvantovou teorii pole, kter´ a popisuje interakce ˇcástic. 6.2.1

Kvantov´ a chromodynamika (QCD) – teorie siln´ e interakce

Popisuje nejsilnˇejˇs´ı zn´ amou interakci, která mj. zp˚ usobuje soudrˇznost jader. Je to interakce mezi kvarky zprostˇredkovan´ a gluony. Na základˇe analogie s elektrostatick´ ym polem, kde spolu interaguj´ı kladné nebo z´ aporné n´ aboje, se zavád´ı barevn´ y náboj kvark˚ u. Kaˇzd´ y kvark (i gluon) má barvu (barevn´ y n´ aboj): red (r), green (g) nebo blue (b). Ke kaˇzdé barvˇe existuje antibarva, stejnˇe jako ke kladnému n´ aboji existuje n´ aboj záporn´ y. Barva a antibarva se pˇritahuj´ı. Dva kvarky se stejnou barvou se odpuzuj´ı, dva kvarky s r˚ uznou barvou se v antisymetrickém barevném stavu pˇritahuj´ı a symetrickém odpuzuj´ı. Volné kvarky a gluony v pˇr´ırodˇe neexistuj´ı, jsou vázány v hadronech, které jsou nebarevné (maj´ı b´ılou barvou). Existuj´ı dva typy v´ azan´ ych stav˚ u kvark˚ u: 1. mesony s celoˇc´ıseln´ ym spinem, tj. bosony, (vázané stavy barevného kvarku s antibarevn´ ym antikvarkem) a 2. baryony s poloˇc´ıseln´ ym spinem, tj. fermiony, (antisymetrické vázané stavy tˇr´ı kvark˚ u red, green a blue; sloˇzen´ım tˇechto tˇr´ı barev vznikne barva b´ılá). Mezi baryony patˇr´ı proton a neutron. Uvˇeznˇen´ı kvark˚ u v hadronech se ˇr´ıká confinement. Napˇr. potenciáln´ı energie vázaného systému kvark-antikvark roste pˇr´ımo u ´mˇernˇe se vzdálenost´ı kvarku a antikvarku. S´ıla mezi nimi je tedy konstantn´ı a nez´ avis´ı na jejich vzdálenosti. Je to zp˚ usobeno t´ım, ˇze gluonové pole nese barevn´ y náboj. Ostatn´ı ˇc´ astice nemaj´ı barevn´ y náboj, tzn. neinteraguj´ı silnˇe. 6.2.2

Kvantov´ a elektrodynamika (QED) – teorie elektromagnetick´ e interakce

Nabité ˇc´ astice interaguj´ı prostˇrednictv´ım foton˚ u. Elektromagnetická interakce váˇze elektrony k jádr˚ um, jednotlivé atomy do molekul i molekuly do vˇetˇs´ıch struktur. Vysvˇetluje Lamb˚ uv posuv (rozˇstˇepen´ı stav˚ u 2S1/2 a 2P1/2 s frekvenc´ı pˇrechodu 1057.9 MHz), za kter´ y je kromˇe dalˇs´ıch mechanism˚ u zodpovˇedn´ a i interakce elektronu s fluktuacemi elektromagnetického pole. 6.2.3

Standardn´ı model – jednotn´ a teorie elektromagnetick´ e a slab´ e interakce

(elektroslab´ a interakce) Interaguj´ıc´ı ˇc´ astice (kvarky a leptony) si vymˇen ˇuj´ı fotony, W ± a Z 0 bosony. Model pˇredpov´ıdá také dosud neobjevené Higgsovy bosony, které prostˇrednictv´ım interakc´ı generuj´ı hmotnosti ostatn´ıch ˇc´ astic (W ± a Z 0 boson˚ u, lepton˚ u a kvark˚ u). ± W a Z 0 bosony vznikaj´ı v interakc´ıch: e+ + e− → Z 0 ,

u+u ¯ → Z0 ,

u + d¯ → W + ,

d + d¯ → Z 0 ,

d+u ¯ → W− .

Vzhledem k tomu, ˇze volné kvarky v pˇr´ırodˇe neexistuj´ı, mohou se 2.– 5. interakce realizovat pˇri sráˇzk´ ach proton˚ u a antiproton˚ u. Rozpady W ± a Z 0 boson˚ u: W + → e+ + νe ,

µ+ + νµ , 30

τ + + ντ ,

u + d¯ ,

c + s¯ ,

W − → e− + ν¯e , 0

+

µ− + ν¯µ , −

Z →e +e

,

τ − + ν¯τ ,

νe + ν¯e , · · · u + u ¯,

d+u ¯,

s + c¯ ,

d + d¯ , · · ·

Stˇredn´ı doba ˇzivota W ± a Z 0 boson˚ u je 2.5 · 10−25 s. Za tuto dobu uraz´ı svˇetlo dráhu 10−16 m. Je zˇrejmé, ˇze dr´ ahy tˇechto ˇc´ astic nelze pozorovat. Jejich vznik m˚ uˇzeme prokázat pouze z jejich rozpadov´ ych produkt˚ u. Rozpad neutronu je ve standardn´ım modelu vysvˇetlen následovnˇe: K pˇremˇenˇe n na p je tˇreba pˇremˇena jednoho d kvarku na u kvark. Staˇc´ı tedy, aby d kvark vyzáˇril (virtuálnˇe) W − boson, kter´ y se rozpad´ a na e− a ν¯e . 6.2.4

Naruˇ sen´ı z´ akladn´ıch symetri´ı ve slab´ ych interakc´ıch

1. parita (P symetrie): Neutrina maj´ı pouze helicitu −1, antineutrina pouze +1. 2. n´ abojov´ a (C) symetrie: Proces, kter´ y prob´ıhá, m˚ uˇze probˇehnout i po zámˇenˇe vˇsech ˇcástic antiˇc´ asticemi. Ve slab´ ych interakc´ıch neplat´ı, protoˇze nem˚ uˇzeme zamˇenit neutrino antineutrinem beze zmˇeny jeho helicity. 3. CP symetrie (kombinace parity a n´ abojov´ e symetrie): V pˇr´ıpadˇe neutrin je zachována. Neutrina zamˇen´ıme antineutriny a zároveˇ n provedeme operaci prostorové inverze (zmˇena znaménka helicity). Zd´ alo se, ˇze tato symetrie se ve slab´ ych interakc´ıch zachov´ avá. Ale v roce 1964 Cronin a Fitch uk´ azali, ˇze to tak nen´ı. Pro pravdˇepodobnosti rozpad˚ u KL0 , vázan´ y antisymetrick´ y stav kvark˚ u ¯ s¯: d, s, d, 1 ¯ KL0 = √ |d¯ si − dsi 2 se zjistilo: P (KL0 → π − + e+ + νe ) − P (KL0 → π + + e− + ν¯e ) = 0.00333 ± 0.00014 . P (KL0 → π − + e+ + νe ) + P (KL0 → π + + e− + ν¯e ) Naruˇsen´ı CP symetrie lze zahrnout do standardn´ıho modelu (aby to bylo moˇzné, mus´ı b´ yt poˇcet generac´ı kvark˚ u a lepton˚ u minimálnˇe 3, coˇz je právˇe splnˇeno). 4. CPT symetrie: Je splnˇena pˇri vˇsech interakc´ıch. Jelikoˇz je CP symetrie ve slab´ ych interakc´ıch poruˇsena, mus´ı b´ yt poruˇsena i T symetrie (slabá interakce stejnˇe neprob´ıhá pˇri zmˇenˇe toku ˇcasu na opaˇcn´ y). 6.2.5

Teorie velk´ eho sjednocen´ı (GUT – Grand unification theories)

Sjednocuje silnou a elektroslabou interakci. Vysvˇetluje náboje kvark˚ u a opaˇcn´ y náboj elektronu neˇz protonu. Pˇredpov´ıd´ a: 1. S´ıly silné a elektroslabé interakce jsou stejné pˇri energi´ıch 1014 ÷ 1015 GeV, 2. nové poln´ı ˇc´ astice bosony X a Y (mX,Y ≈ 1014 GeV, qX = − 43 e, qY = − 13 e), X a Y zp˚ usobuj´ı pˇrechody mezi leptony a kvarky, 3. rozpad protonu: p → e+ + π 0 se stˇredn´ı dobou ˇzivota τ = 1031 let 1010 let (stáˇr´ı vesm´ıru). V experimentu s 103 m3 H2 O (1033 proton˚ u), v jehoˇz pr˚ ubˇehu nebyl ˇzádn´ y rozpad protonu pozorov´ an, plyne τ = 1032 let. T´ım je tato varianta teorie vyvrácena.

31

6.2.6

Supersymetrick´ e teorie

Dávaj´ı stˇredn´ı dobu ˇzivota protonu 1032 ÷ 1033 let. V tˇechto teori´ıch interaguj´ı fermiony s bosony prostˇrednictv´ım nov´ ych ˇc´ astic (supersymetrie znamená stejn´ y popis fermion˚ u a boson˚ u). Kaˇzdá ˇcástice m´ a tzv. supersymetrického partnera: foton γ fotino γ˜ se spinem 1/2¯h, leptony l koleptony ˜l se spinem 0¯ h, kvarky q kokvarky q˜ se spinem 0¯ h, gluon g gluino g˜ se spinem 1/2¯h, W boson wino ˜ se spinem 1/2¯ W h a Z boson zino Z˜ se spinem 1/2¯ h. Supersymetrie je v pˇr´ırodˇe naruˇsena, protoˇze neexistuje napˇr vázan´ y systém koprotonu a koelektronu se spinem 0¯ h (tj. boson, pro kter´ y neplat´ı Pauliho vyluˇcovac´ı princip, coˇz by mˇelo za následek zcela odliˇsnou chemii). 6.2.7

Asymetrie baryon˚ u ve vesm´ıru

Ve vesm´ıru je v´ıce ˇc´ astic (hmoty) neˇz antiˇcástic (antihmoty). To vypl´ yvá z nepozorován´ı záˇren´ı z antihmoty a anihilaˇcn´ıch foton˚ u). Pomˇer baryon˚ u a foton˚ u ve vesm´ıru je 10−10 . Toto ˇc´ıslo nelze vysvˇetlit bez pˇredpokladu nezachován´ı baryonového ˇc´ısla (baryony se nemus´ı rozpadat jen na baryony), tj. bez pˇredpokladu rozpadu protonu. V poˇcáteˇcn´ım okamˇziku vesm´ıru nemáme ˇzádné baryony a antibaryony. Pak n´ am vznikaj´ı páry baryon˚ u a antibaryon˚ u (ve stejném poˇctu). D´ıky interakci naruˇsuj´ıc´ı baryonové ˇc´ıslo, naruˇsen´ı CP symetrie a rychlému rozp´ınán´ı vesm´ıru, které má za n´ asledek jeho silné ochlazov´ an´ı, se poˇcáteˇcn´ı symetrie poˇctu baryon˚ u (hmoty) a antibaryon˚ u (antihmoty) naruˇs´ı ve prospˇech baryon˚ u (hmoty). Lze to ilustrovat pˇr´ıkladem: Pˇri vysok´ ych energi´ıch je pravdˇepodobn´ a interakce e+ + d¯ ↔ u + u, pˇri rychlém ochlazován´ı vesm´ıru (pokles energie ˇcástic) pravdˇepodobnost zpˇetného procesu rychle klesá. 6.2.8

Srovn´ an´ı s´ıly interakc´ı kvark˚ u v protonu

interakce siln´ a elektromagnetick´ a gravitaˇcn´ı 6.2.9

Tabulka 5: Srovnán´ı interakc´ı. vztah pro s´ılu ˇc´ıselná hodnota F = E/r F = 1GeV/1fm ≈ 105 N F = ke2 /r2 F ≈ 102 N 2 2 −38 F = κm /r F ≈ 10 N (m ≈ 10−29 kg)

Gravitaˇ cn´ı interakce

Jak vid´ıme z pˇredchoz´ı tabulky, hraje gravitaˇcn´ı interakce v mikrosvˇetˇe zanedbatelnou roli. Kvantová teorie gravitace nen´ı dosud hotova. V makrosvˇetˇe m˚ uˇzeme gravitaˇcn´ı interakci popisovat Einsteinovou obecnou teori´ı relativity. Ta je zaloˇzena na dvou principech: 1. obecn´ y princip relativity: Fyzikáln´ı zákony jsou stejné ve vˇsech souˇradnicov´ ych soustavách. 2. princip ekvivalence: Setrvaˇcná hmotnost je stejnˇe velká jako hmotnost gravitaˇcn´ı. D˚ usledky: 1. gravitaˇcn´ı dilatace ˇcasu (gravitaˇcn´ı pole zpomaluje bˇeh hodin, to samé se dˇeje i v neinerciáln´ıch soustav´ ach – viz paradox dvojˇcat), 2. gravitaˇcn´ı pole zakˇrivuje prostoroˇcas (dráha svˇeteln´ ych paprsk˚ u kolem Slunce se zakˇrivuje, 00 00 experiment d´ av´ a 1.70 , teorie 1.75 ), 3. ve sluneˇcn´ı soustavˇe pˇredpovˇezeno pomalé stáˇcen´ı hlavn´ı osy eliptické dráhy Merkura (teorie 00 a experiment souhlasnˇe d´ avaj´ı 43 za 100 let).

32

4. gravitaˇcn´ı rud´ y posuv: svˇetlo pˇricházej´ıc´ı ze silného gravitaˇcn´ıho pole zvyˇsuje svou vlnovou délku a sniˇzuje frekvenci; byl experimentálnˇe potvrzen (pozorován´ı svˇetla pˇricházej´ıc´ıho od b´ılého trpasl´ıka Siria B i pozemsk´ ymi mˇeˇren´ımi - viz Pˇr. 9). Pˇr´ıklad 9: Foton se pohybuje v homogenn´ım gravitaˇcn´ım poli Zemˇe smˇerem vzh˚ uru proti smˇeru t´ıhového zrychlen´ı g. Spoˇctˇete relativn´ı zmˇenu jeho frekvence po uraˇzen´ı dráhy s = 20 m. ˇ sen´ı: Reˇ Plat´ı z´ akon zachov´ an´ı energie: hν = mgds + h(ν + dν) ,

m=

hν , c2 0

kde ν je poˇc´ ateˇcn´ı frekvence fotonu a m je hmotnost fotonu. ν koneˇcná frekvence fotonu Po dosazen´ı za m: ν g gs dν − = 2 ds , = ln , ν c c2 ν0 0

kde ν koneˇcn´ a frekvence fotonu. Pak relativn´ı zmˇena frekvence fotonu gs ∆ν ∆ν gs = = exp − 2 − 1 ≈ − 2 = −2 · 10−15 . ν ν c c 5. homogenn´ı gravitaˇcn´ı pole (na pˇredmˇety v uzavˇrené laboratoˇri p˚ usob´ı t´ıhová s´ıla mg ~g ) ekvivalentn´ı (experiment´ alnˇe nerozliˇsitelné od) soustavy (uzavˇrené laboratoˇre) pohybuj´ıc´ı se se zrychlen´ım ~a = −~g (zde p˚ usob´ı zdánlivá s´ıla −ms~a; z principu ekvivalence plyne rovnost setrvaˇcné a gravitaˇcn´ı hmotnosti, ms = mg ), 6. vliv gravitaˇcn´ıho pole na chod hodin m˚ uˇzeme ilustrovat jednoduch´ ym myˇslenkov´ ym experimentem: Identické hodiny h1 a h2 se nacházej´ı ve stejné v´ yˇsce H nad povrchem Zemˇe. Jsou seˇr´ızeny tak, ˇze tikaj´ı stejnˇe. Poté hodiny h2 pˇresuneme na povrch Zemˇe. Pokud hodiny h1 vyˇslou svˇeteln´ y sign´ al o stejné frekvenci ν1 s jakou tikaj´ı, má tento signál v m´ıstˇe o niˇzˇs´ı 0 potenci´ aln´ı energii (bl´ıˇze ke stˇredu Zemˇe) vyˇsˇs´ı frekvenci ν1 . Hodiny h2 tedy tikaj´ı pomaleji. 7. ˇcerné d´ıry (objekty, z jejichˇz gravitaˇcn´ıho pole nem˚ uˇze nic uniknout (ani fotony pohybuj´ıc´ı se rychlost´ı svˇetla): Lze odvodit pˇribliˇznˇe i v rámci klasické fyziky. Plat´ı zákon zachován´ı mechanické energie. Pro objekt s právˇe u ńikovou rychlost´ı: Ek + Ep = 0. Neunikne-li ani svˇetlo, mM Ep + Ek < 0 , −κ + mc2 < 0 , (4) R pak je polomˇer oblasti, ze které nen´ı u ńiku R < obecné teorie relativity d´ av´ a: Rkrit = 2 κM c2 .

κM c2 ,

M je hmotnost ˇcerné d´ıry. Pˇresné ˇreˇsen´ı

8. gravitaˇcn´ı vlny: jejich existence plyne z vlnového ˇreˇsen´ı Einsteinov´ ych rovnic obecné teorie relativity. Jejich existence nebyla dosud jednoznaˇcnˇe prokázána.

33

6.2.10

Kosmologie

V roce 1922 aplikoval Fridman obecnou teorii relativity na vesm´ır jako celek. Zjistil, ˇze stacionárn´ı ˇreˇsen´ı Einsteinov´ ych rovnic neexistuje. Abychom dostali stacionárn´ı ˇreˇsen´ı, museli bychom do Einsteinov´ ych rovnic pˇridat nav´ıc tzv. kosmologickou konstantu. Nestacionárn´ı ˇreˇsen´ı dávaj´ı stále se z poˇcáteˇcn´ı singularity rozp´ınaj´ıc´ı vesm´ır (je-li jeho hustota ρ ≤ ρc , kde ρc = 4.7 · 10−27 kg m−3 je kritick´ a hustota) nebo nejprve se z poˇcáteˇcn´ı singularity rozp´ınaj´ıc´ı a pak opˇet do koneˇcné singularity smrˇst’uj´ıc´ı se vesm´ır (pro ρ > ρc ). Zat´ım nen´ı jasné, jaká je hustota vesm´ıru. Odhadujeme jen, ˇze je bl´ızk´ a kritické. Oba dva scén´ aˇre v´ yvoje vesm´ıru jsou tedy moˇzné. Experiment´ aln´ı d˚ ukazy pro rozp´ın´ an´ı vesm´ıru z poˇ c´ ateˇ cn´ı singularity (model velk´ eho tˇ resku): 1. Dopplerovsk´ y rud´ y posuv (odliˇsn´ y od gravitaˇcn´ıho rudého posuvu): svˇetlo vys´ılané objektem, kter´ y se od n´ as vzdaluje, má pro nás niˇzˇs´ı frekvenci (vyˇsˇs´ı vlnovou délku), neˇz je vlastn´ı frekvence zdroje (v systému, kde je zdroj v klidu). Plat´ı v = H0 r, kde r je vzdálenost objektu od Zemˇe, v jeho rychlost, H0 je Hubbleova konstanta, H0 ≈ 45 ÷ 100 km s−1 Mpc−1 , 1 parsek 00 = 1 pc (z této vzd´ alenosti vid´ıme polomˇer dráhy Zemˇe kolem Slunce pod u ´hlem 1 , 1 pc = 3.26 sv. let). St´ aˇr´ı vesm´ıru m˚ uˇzeme odhadnout z Hubbleovy konstanty za pˇredpokladu konstantn´ıho rozp´ın´ an´ı vesm´ıru (neplat´ı pˇresnˇe): T ≈ 14 ÷ 20 mld. let. 2. Reliktn´ı z´ aˇren´ı (objevili roku 1964 Penzias a Wilson): elektromagnetické izotropn´ı záˇren´ı absolutnˇe ˇcerného tˇelesa odpov´ıdaj´ıc´ı teplotˇe 2.75 K. Cesta do minulosti vesm´ıru: Kdyˇz bychom postupovali proti toku ˇcasu, vesm´ır by se smrˇst’oval, pozorovali bychom Dopplerovsk´ y modr´ y posuv, tedy svˇetlo o niˇzˇs´ıch vlnov´ ych délkách a vyˇsˇs´ıch frekvenc´ıch neˇz je vlastn´ı frekvence zdroje. Teplota reliktn´ıho z´ aˇren´ı (fotonového plynu) by se smrˇst’ován´ım vesm´ıru rostla, aˇz by byla dostateˇcn´ a k disociaci atom˚ u. Vytvoˇrila by se polévka tvoˇrená jádry, elektrony a fotony v termoˇ ım bl´ıˇze k poˇcátku vesm´ıru, t´ım by mˇel vesm´ır vyˇsˇs´ı teplotu, ˇcástice v dynamické rovnov´ aze. C´ nˇem vyˇsˇs´ı energie (experiment´ alnˇe lze na Zemi ovˇeˇrovat do TeV, pro vyˇsˇs´ı energie pouze teoretické modely).

ˇ sen´ı Einsteinov´ Obr. 11: Reˇ ych rovnic pro vesm´ır v z´ avislosti na hustotˇe vesm´ıru ρ; ρc je kritick´ a hustota vesm´ıru.

Obr. 12: V´ yvoj vesm´ıru podle modelu velkého tˇresku.

34

7

Urychlovaˇ ce a detektory

Z radioaktivn´ıch rozpad˚ u m˚ uˇzeme z´ıskat ˇcástice s energiemi do 15 MeV, z kosmického záˇren´ı s energiemi aˇz do 1013 MeV ale ve velice malém mnoˇzstv´ı (10−39 eV−1 cm−2 s−1 sr−1 ).

7.1

Line´ arn´ı urychlovaˇ ce

Nabité ˇc´ astice jsou urychlov´ any po pˇr´ımé dráze. Rozliˇsujeme lineárn´ı elektrostatické urychlovaˇce (urychlov´ an´ı elektrostatick´ ym polem, napˇr. van de Graaff˚ uv urychlovaˇc – urychluje na energie ∼ MeV, proudy ∼ 10 µA) a line´ arn´ı rezonanˇcn´ı urychlovaˇce (urychluj´ı vysokofrekvenˇcn´ım elektromagnetick´ ym polem).

7.2

Kruhov´ e urychlovaˇ ce

1. cyklotron (urychlov´ an´ı v mezeˇre mezi duanty elektrick´ ym polem o frekvenci f , ˇcástice se pˇritom pohybuj´ı v homogenn´ım magnetickém poli o indukci B) v = 2πf r ,

m

v2 = QvB , r

mv = QBr = 2πmf r ,

(5)

QB 1 Q2 B 2 R2 , Ekmax = mv 2 = , (6) 2πm 2 2m kde Ekmax je maxim´ aln´ı kinetická energie, kterou m˚ uˇze z´ıskat ˇcástice s nábojem Q na cyklotronu o polomˇeru R. f=

2. synchrocyklotron (v relativistické oblasti – v ∼ c – s rostouc´ı v roste i hmotnost urychlované ˇc´ astice, m = γm0 , pˇri konstantn´ım B mus´ı tedy frekvence f klesat) 3. synchrotron (urychlov´ an´ı na dráze o konstantn´ım polomˇeru R, bˇehem urychlován´ı B roste; v´ yhody: homogenn´ı magnetické pole nemus´ıme realizovat ve velké oblasti prostoru, ale jen podél kruhové dr´ ahy, vol´ıme-li R co nejvˇetˇs´ı, jsou energetické ztráty zp˚ usobené zrychlen´ ym pohybem urychlovaného n´ aboje menˇs´ı – ztráty ∼ an = v 2 /R)

7.3

Collidery

Jde o modern´ı urychlovaˇce vstˇr´ıcn´ ych svazk˚ u nabit´ ych ˇcástic (sráˇzky v tˇeˇziˇst’ovém systému), napˇr.: e+ e− v CERNu (max. en. 55 GeV, obvod 27 km), e− p v Hamburku (6.3 km), p¯ p ve Fermilabu v USA (1 TeV, 6.3 km), pl´ anuj´ı se pp v CERNu (7.7 TeV) a PbPb v CERNu (631 TeV).

35

7.4

Detektory v jadern´ e fyzice a fyzice element´ arn´ıch ˇ c´ astic

Pˇr´ımo detekovat m˚ uˇzeme pouze ionizuj´ıc´ı (nabité) ˇcástice, neutráln´ı ˇcástice je tˇreba nejprve konvertovat na nabité (fotony fotoefektem, Comptonov´ ym efektem nebo tvorbou pár˚ u, napˇr. e+ , e− ; neutrony jadern´ ymi reakcemi). Typy detektor˚ u: 1. plynové (ionizaˇcn´ı komory, proporcionáln´ı poˇc´ıtaˇce, Geiger-M¨ ullerovy poˇc´ıtaˇce, mlˇzné a bublinové komory), 2. scintilaˇcn´ı poˇc´ıtaˇce, 3. polovodiˇcové poˇc´ıtaˇce (pˇresné mˇeˇren´ı energie), 4. jaderné emulze, 5. driftové komory, 6. kalorimetry, ˇ 7. Cerenkovovy poˇc´ıtaˇce (mˇeˇren´ı rychlosti), 8. k mˇeˇren´ı hybnosti se uˇz´ıv´ a zakˇriven´ı dráhy nabité ˇcástice v magnetickém poli.

36

1 Historický úvod 3. 5 Jaderné reakce 21

Recommend Documents