1. ElĘszó A dolgozat témájául szolgáló kutatásokat egyrészt még a budapesti Szilárdtestfizikai Kutatóintézet munkatársaként kezdtem, majd egy kutatással, fejlesztéssel foglalkozó magáncég (R&D Ultrafast Lasers Kft.) dolgozójaként, jelenleg pedig a Kecskeméti FĘiskola GAMF Karának fĘiskolai adjunktusaként végeztem. Az érintett három, viszonylag egymástól távol esĘ kutatási tématerületet az optikai laboratóriumi vizsgálati módszerek és a fénynyalábok, a fényimpulzusok leírásának közös elméleti módszerei kötik össze.
Értekezésem három fĘ részre bontható. A 2. fejezetben ultrarövid fényimpulzusok reflexióját vizsgálom. A 3. fejezetben Kerr-lencsével módusszinkronizált Ti:zafír lézerek rezonátorainak tervezésével foglalkozom. A 4. fejezetben pedig fókuszált fénynyalábok polarizációs jelenségeit vizsgálom a fénynyalábok valós, háromdimenziós modellje segítségével. Az egyes fejezetekben külön-külön tárgyalom a témakör elĘzményeit és az elért új eredményeket. A fejezetek végén összefoglalom eredményeimet. A dolgozat végén összefoglalva, a jobb áttekinthetĘség érdekében pontokba szedve is szerepelnek a fontosabb kutatási eredményeim.
Kecskemét, 2005. február 23.
KĘházi-Kis Ambrus
1
2. Ultrarövid fényimpulzusok fázismodulált tükrözése Napjainkban a lézerfizika egyik fontos irányzatának célja ultrarövid fényimpulzusok elĘállítása. Femtoszekundumos fényimpulzusok elĘállítása és terjedése során már az egy-két centiméter vastagságú anyagon történĘ áthaladás diszperziója is a fényimpulzusok jelentĘs fázismodulációjához és az ezzel együtt járó megnyúlásához, torzulásához vezet. Az általában pozitív anyagi diszperzió kompenzálására negatív diszperziójú optikai elemet kell alkalmazni: párhuzamos helyzetĦ rácspárt [1], prizmapárt [2], illetve fázismodulált dielektrikumtükröt [3]. Míg az elsĘ kettĘ elĘnye a beépített állapotukban is meglevĘ hangolhatóságukban, addig a harmadik elĘnye a segítségével összeállítható optikai rendszerek kompaktságában, stabilitásában és a diszperziós jellemzĘik tervezhetĘségének rugalmasságában van. Az 1993-ban felfedezett fázismodulált dielektrikumtükrök (csörpölt dielektrikumtükrök) mĦködésének elvi alapja az, hogy a fényimpulzus különbözĘ hullámhosszúságú komponensei a tükör különbözĘ mélységébĘl verĘdnek vissza, ezért hullámhossztól függĘ fáziskésleltetést szenvednek [3]. SzipĘcs Róbert kollégámnak, a fázismodulált dielektrikumtükrök szabadalma egyik tulajdonosának [4] a vezetésével a fázismodulált tükrök mĦködésének alapelvei és az idĘbeli holográfia [5] között fennálló analógiát vizsgáltuk.
2.1. ElĘzmények 2.1.1. Femtoszekundumos lézerekben alkalmazott dielektrikumtükrök Párhuzamos vékony rétegekbĘl álló dielektrikumtükröket szokás lézerekben alkalmazni a kis abszorpciós veszteségük és a segítségükkel elérhetĘ nagy, közel százszázalékos reflexióképességük miatt [6]. A dielektrikumtükrök mĦködése a fény interferenciajelenségén alapul: a tükörben egymást váltó kis és nagy törésmutatójú rétegek határáról visszaverĘdĘ, azon átjutó fényhullámok interferenciája adja a tükrön visszavert vagy az azon átjutott fényt. Tulajdonságaik leírása, tervezésük a Maxwell-egyenletekbĘl levezetett képletek, a Fresnelegyütthatók segítségével lehetséges [7] (lásd az F.5. függeléket). Nagy visszaverĘ-képességĦ tükör hagyományosan a használt kis és nagy törésmutatójú dielektrikumok λ 4 optikai vastagságú rétegeinek sorozatából áll [8]. Az ilyen dielektrikumtükrökkel csak néhány nanométer sávszélességben lehet nagy reflexióképességet elĘállítani. Nagy sávszélességĦ lézertükrök elĘállítására a fázismodulált lézertükrök kifejlesztése elĘtt is több módszer létezett (a rétegvastagságok számtani vagy mértani sorozat vagy teljesen véletlenszerĦ változtatásával) [8], amelyeknek azonban közös hátrányuk volt, hogy a tükörben
2
a tervezett reflexiós sávban bizonyos hullámhosszakon a rezonánsan gyors fáziskésleltetésváltozással rezonánsan nagy abszorpciós veszteség jelentkezett. Felmerült annak lehetĘsége, hogy a dielektrikumtükrök reflexiós fázisának menetét a rezonánsan gyors változásoktól mentesre tervezve a reflexiós sávból az abszorpciós csúcsok okozta hibákat ki lehessen küszöbölni [8]. A reflexió fázisának ( ϕ ) a fény körfrekvenciája ( ω = 2 π c λ ) szerinti deriváltja megadja a reflektált fény csoportkésleltetését:
τ (ω ) =
∂ ϕ (ω ) . ∂ω
(2.1.1)
A csoportkésleltetés-diszperziót (GDD=Group Delay Dispersion) a reflexió fázisának második deriváltja adja:
D(ω ) =
∂ 2ϕ (ω ) . ∂ ω2
(2.1.2)
A széles hullámhossztartományban a nagy reflexióképességĦ és a kis fázisdiszperzióval bíró tükrök tervezési problémája analóg [8], mivel a reflexiós spektrumtartományban a fázisdiszperzió kicsi értéken tartása biztosítja, hogy a reflexióban rezonancia ne legyen. A legegyszerĦbb lehetĘség ennek biztosítására egy adott hullámhossztartományon az állandó csoportkésleltetés-diszperzió (D) elĘírása, ami a fény terjedése során tapasztalt anyagi diszperzió miatt a fényimpulzusokban megjelenĘ fázismodulációt éppen kompenzálhatja. Ez utóbbi lehetĘség egyben gyakorlati szempontból fontos kívánalomként is megjelenik a femtoszekundumos fényimpulzusokat reflektáló dielektrikum tervezése során. Az egyszerĦ λ 4 optikai vastagságú rétegekbĘl álló tükör kifejezetten az optikai vastagság négyszeresével megegyezĘ hullámhosszon rendelkezik nagy visszaverĘ képességgel (Braggfeltétel). A rezonáns hullámhossztól távolodva a csoportkésleltetés növekszik, a fény lényegében egyre nagyobb mélységbĘl verĘdik vissza miközben azért a reflektált fény mennyisége is jelentĘsen leesik. A λ 4 -es rétegekbĘl készült dielektrikumtükrök diszperziója csekély a 100%-hoz közeli reflexió spektrális tartományában. MeglehetĘsen széles sávú (<20 nm sávszélességĦ) tartományban jelentĘs csoportsebességdiszperzióval rendelkeznek a vékony dielektrikumrétegekkel megvalósított Gires-Tournoisinterferométerek (GTI) [9]. A hullámhossz nagyságrendjébe esĘ optikai vastagságú Fabry-Perot etalon rezonanciája viszonylag gyenge, széles rezonanciagörbével jellemezhetĘ. A GTI tükröket a rezonancia-hullámhosszuk alatt jelentĘs negatív GDD, míg fölötte jelentĘs pozitív GDD jellemzi. A femtoszekundumos lézerekben fĘként kis abszorpciós vesztesége
3
miatt elĘszeretettel használják [10] ott, ahol az ilyen tükrökkel elĘállítható minimálisan 40-50 fs impulzusszélesség kielégíti az igényeket. A
20
fs-os
impulzushossznál
rövidebb
fényimpulzusok
elĘállításához
a
lézerrezonátorokban a prizmás diszperziókompenzálás helyett fázismodulált (csörpölt) dielektrikumtükröket kell alkalmazni [3], amelyek nem csak a szükséges negatív diszperziót, hanem a megfelelĘen széles reflexiós spektrumtartományt is biztosítják [11]. A fázismodulált dielektrikumtükrök reflexióstartományában közel állandó csoportsebesség-diszperziója (D), illetve közel lineárisan változó csoportsebesség-késleltetése (τ ) annak köszönhetĘ, hogy a tükörben a rétegek optikai vastagsága a tükör felsĘ rétegétĘl mért optikai távolsággal közel lineárisan változik. A kváziperiodikus rétegrendszer lassan változó rétegvastagságához a reflexiónak
a
behatolási
mélységgel
változó
rezonanciafrekvenciája
tartozik.
A
frekvenciafüggĘ behatolási mélység viszont frekvenciafüggĘ csoportkésleltetést eredményez [11].
2.1.2. IdĘbeli holográfia A femtoszekundumos idĘbeli holográfia a tradicionális térbeli Fourier-transzformációs holográfia analógjának fogható fel [12]. A tradicionális térbeli holográfiában a térbeli mintázattal rendelkezĘ jel-fénynyalábban tárolt információt egy egyszerĦ referencia-fénynyalábbal képzett interferenciacsíkok formájában rögzítjük. A rögzített hologramnak a referencia-fénynyalábbal történĘ ismételt megvilágításával az eredeti, az információt hordozó jel-fénynyalábnak az alkalmazott geometriai elrendezéstĘl függĘen a valós vagy annak konjugált képét állíthatjuk elĘ. Az idĘbeli holográfia esetén a referenciaimpulzus egy széles, reguláris spektrumú rövid fényimpulzus, a jel pedig egy egyedi idĘbeli szerkezettel rendelkezĘ, a spektrumában információt hordozó fényimpulzus. A hologram rögzítése során a jel spektrális komponenseinek amplitúdója és fázisa rögzítĘdik interferenciacsíkok formájában, amelyek a jel spektrális komponenseinek és a referenciaimpulzus megfelelĘ spektrális komponenseinek az interferenciájából állnak elĘ. A rögzített hologramnak a referenciaimpulzussal történĘ ismételt megvilágítása következtében vagy az eredeti jel-, vagy annak idĘtükrözött képét hozhatjuk létre, ebben az esetben is a geometriai elrendezéstĘl függĘen. A rögzített hologramot egy, az eredeti referencianyalábtól különbözĘ egyedi idĘbeli alakkal rendelkezĘ teszt-fényimpulzussal megvilágítva az eredeti jel és a tesztelĘ fényimpulzusok korrelációját vagy konvolúcióját állíthatjuk elĘ a tradicionális térbeli holográfiában megismertekhez hasonlóan.
4
Az idĘbeli holográfiának egyik lehetséges alkalmazása a fényimpulzusok terjedése során elszenvedett, azt torzító diszperzió kompenzálása [12]. Az idĘbeli holográfiával olyan illesztett spektrális szĦrĘ készíthetĘ, ami képes eliminálni a bejövĘ fényimpulzus fázisjellemzĘit, azaz a bejövĘ fázismodulált fényimpulzust képes sávhatárolt fényimpulzussá összenyomni. A hologram segítségével történĘ diszperziókompenzálás nagy elĘnye, hogy nem kell ismernünk a beérkezĘ fényimpulzus fázisviszonyait, a hologram rögzítése automatikusan elĘállítja a megfelelĘ illesztett szĦrĘt.
2.1.1. ábra. Rövid fényimpulzusok spektrális felbontása [5] Mazurenko fényimpulzusok holográfiájának, spektrális felbontásának általános elméleti modelljét adta 1990-ben [5]. A beérkezĘ fénynyaláb tetszĘleges térbeli és idĘbeli tulajdonságainak
feltételezése
mellett
vizsgálta
a
hullámcsomagok
holográfiájának
problémáját. Megmutatta, hogy a spektrális felbontást megvalósító optikai rács és a tĘle éppen fókusztávolságra elhelyezett lencse mögött annak fókusztávolsága közelében a beérkezĘ rövid fényimpulzus hullámfrontjai a lencse fókuszpontja közelében legyezĘszerĦ szerkezetet mutatnak (2.1.1. ábra).
2.2. Új eredmények Mazurenko általános formalizmusa [5] segítségével meghatározom az egymással szemben haladó lineárisan fázismodulált két idĘben a Gauss-fényimpulzus interferenciaképét. Ez a fontos speciális eset közelítĘ modellje, analitikus végképleteivel kísérletek megtervezéséhez nyújt segítséget. A modell kiértékelésébĘl kapott képleteket hatékonyan alkalmazhatjuk folytonosan változó törésmutatójú fázismodulált tükrök tervezéséhez. A femtoszekundumos fényimpulzusok esetén az egyszerĦ idĘbeli hologram (2.2.1. alfejezet) nem ad megfelelĘen nagy reflexiós hatásfokot [5]. Hatékonyabb visszaverĘdés érdekében vagy az interferencia kialakításában részt vevĘ fénynek kell kisebb sávszélességĦnek lennie (spektrális felbontás), vagy az interferenciaképben a „csíkoknak” kell sokkal erĘsebbeknek lenniük (dielektrikum5
tükrök). E két hatékonyabb megoldás lehetĘségét vizsgálom meg a 2.2.2-2.2.4. alfejezetekben.
2.2.1. IdĘbeli holográfia lineárisan fázismodulált Gauss-impulzusokkal Ebben a fejezetben két egymással szemben haladó fényimpulzus interferenciaképét határozom meg. A számolás Mazurenko cikkében [5] megadott általános impulzusalakra érvényes elméleti modelljén alapul, itt azonban az egymással szemben haladó sík hullámfrontokkal bíró Gauss-fényimpulzusok interferenciaképének csupán egydimenziós térbeli szerkezetét vizsgálom. A fejezetben leírt számolás célja a lineárisan fázismodulált Gauss-fényimpulzusok interferenciaképének meghatározása, amelynek alapján az interferenciakép rögzítésével nyerhetĘ hologramok jellemzĘi vizsgálhatók. Tekintsünk két lineárisan fázismodulált Gauss-fényimpulzust ( k = 1, 2 ):
E k (t ) = U k
2 Tk
ª t2 º § t 2 ·¸ ¨ . t a + exp «− cos ω k 2 » 2 ¨ 0 π Tk ¸¹ ¬ 2 Tk ¼ ©
(2.2.1)
Tk ln (2 ) a fényimpulzus intenzitásának fél értékének fél szélessége: Tk = T0 1 + 4 a k = T0 1 + 2
Dk T0
2
4
.
(2.2.2)
T0 a fényimpulzus spektrális szélességébĘl adódó lehetséges minimális Tk érték, a fényimpulzus hossza akkor felel meg T0 -nak, ha a fény fázismodulációját megszüntetjük. Dk a szakirodalomban széleskörĦen használt csoportsebesség-diszperzió:
Dk = 2 a k T0 =
2 a k Tk
2
1 + 4 ak
2
2
.
(2.2.3)
A fényimpulzus úgy normált, hogy U k négyzete egy konstans ( c ε 0 2 ) szorzótól eltekintve a fényimpulzus energiájával legyen egyenlĘ: ∞
³ E (t )
2
k
dt = U k . 2
(2.2.4)
−∞
Az egymással szembe haladó fényimpulzusok esetén az impulzusok hely- és idĘfüggése: § z· § z· E1 (t , z ) = E1 ¨ t − ¸ és E 2 (t , z ) = E 2 ¨ t + ¸ . © c¹ © c¹
6
(2.2.5)
A fényimpulzusok interferenciájának idĘbeli integrálja, mint a longitudinális pozíció ( z ) függvénye: 2
∞
ª § z· § z ·º P(z ) = ³ « E1 ¨ t − ¸ + E 2 ¨ t + ¸» dt . © c ¹¼ © c¹ − ∞¬
(2.2.6)
A térerĘsség négyzetét kifejtve az interferenciatag különválasztható: 2 ∞ ∞ ª § z ·2 § z· º § z· § z· P ( z ) = ³ « E1 ¨ t − ¸ + E 2 ¨ t + ¸ » dt + ³ 2 E1 ¨ t − ¸ E 2 ¨ t + ¸ dt . © c ¹ ¼» © c¹ © c¹ « © c¹ − ∞¬ −∞
(2.2.7)
Az elsĘ két tagban a változó cseréjével nyilvánvalóvá válik, hogy azok integrálja a szemben haladó impulzusok energiájának összegével arányos tagot eredményez:
³ [E (t )
∞
P(z ) =
2
1
−∞
]
∞
§ 2z· 2 + E 2 (t ) dt + ³ 2 E1 (t ) E 2 ¨ t + ¸ dt . c ¹ © −∞
(2.2.8)
Az interferenciatag fogja a hologram szerkezetét meghatározni, ezért a továbbiakban ezzel foglalkozunk. Az integrálban a változó transzformálása után felismerhetjük, hogy az interferenciatag a szemben haladó fényimpulzusok konvulóciójának kétszerese:
K (z ) =
∞
§
³ E (t ) E ¨© t + 1
2
−∞
2z · ¸ dt = {E1 (t )* E2 (− t )} c ¹
−2 z c
.
(2.2.9)
A képletben a * szimbólum a konvolúció mĦveletét jelöli. Két függvény konvolúciója elĘállítható a Fourier-transzformált függvények szorzatának visszatranszformáltjaként [13]: f * g = F −1 {F { f }⋅ F {g }}.
(2.2.10)
Itt F { f } szimbólum jelenti az f függvény Fourier-transzformáltját. A fényimpulzusok térerĘsségfüggvényének Fk (ω ) Fourier-transzformáltját az úgynevezett Siegman-lemma (lásd az F.1. függeléket) felhasználásával számolhatjuk ( k = 1, 2 ):
1 2π
Fk (ω ) = Fk (ω ) =U k
Uk
T0 (1 − 2 i a k ) 2 π 1 + 4 ak
2
T0 (1 + 2 i a k ) 2 π 1 + 4 ak
2
∞
³ E (t )exp(− i ω t )dt ,
(2.2.11)
k
−∞
§ (ω − ω 0 )2 T0 2 2 2· + i a T0 (ω − ω 0 ) ¸¸ + exp¨¨ − 2 © ¹ § (ω + ω 0 )2 T0 2 2 2· − i a T0 (ω + ω 0 ) ¸¸ exp¨¨ − 2 © ¹
. (2.2.12)
A spektrumok szorzatának számolásakor felhasználom, hogy a spektrumok negatív és pozitív frekvenciájú részei lényegében nem lapolnak át, azaz ω 0 T0 2 >> 1 , ami azonban 2
7
2
még néhány fényperiódusnyi hosszúságú fényjelekre is teljesül. A visszatranszformálás során ismét alkalmazva a Siegman-lemmát a (2.2.9) képlet alapján a következĘt kapjuk: K (z ) =
U1 U 2 1 2 1 + (a − a )2 1 2
(
)
14
§ − z2 exp¨¨ 2 2 2 © c T0 1 + (a1 − a 2 )
(
)
· ¸⋅ ¸ ¹
§ · (a − a2 ) z 2 ⋅ cos¨¨ 2 k 0 z + 2 2 1 − ϕ ¸¸ 2 c T0 1 + (a1 − a 2 ) © ¹
(
, (2.2.13)
)
ahol a ϕ fázis értéke:
ϕ=
§ (1 − i 2 a1 )(1 − i 2 a 2 ) · 1 ¸¸ . arg¨¨ 2 1 − i (a1 − a 2 ) © ¹
(2.2.14)
A (2.2.13) és a (2.2.14) egyenletek a két egymással szemben haladó fényimpulzus interferenciatagjának helyfüggését adják. A (2.2.13) kifejezés jól mutatja, hogy az általában eltérĘ fázismodulációval rendelkezĘ fényimpulzusok térben fázismodulált csíkrendszert hoznak létre (a csíkrendszer térbeli fázisa a hosszanti z koordináta lineáris függvénye mellett annak négyzetétĘl is függ). Ha a1 = 0 és a 2 = a ≠ 0 , akkor K (z ) =
§ 1 U1 U 2 − z2 exp¨¨ 2 2 1 4 2 2 1+ a2 © c T0 1 + a
(
(
)
ϕ=
)
· § · a z2 ¸ cos¨ 2 k 0 z − ¸ , (2.2.15) − ϕ 2 2 2 ¸ ¨ ¸ c T 1 a + 0 ¹ © ¹
(
)
§1− i 2 a · 1 ¸¸ . arg¨¨ 2 © 1− i a ¹
(2.2.16)
Az interferencia következtében valamely nemlineáris optikai folyamat miatt kialakuló törésmutató-eloszlás
visszaverĘképességét
alapvetĘen
befolyásolja
az
elĘállításakor
kialakított interferenciacsík-rendszer kontrasztja és a csíkrendszer hossza. Az interferenciaszerkezet fél értékének teljes szélessége (2.2.15) alapján:
(
L = c T0 2 ln (2 ) 1 + a 2
)
(2.2.17)
Az interferenciaszerkezet maximális kontrasztjának meghatározásához tekintsük a (2.2.6) kifejezés által definiált interferenciaszerkezetet az általunk vizsgált speciális esetben: ∞
2 2 2 ³ (E1 + E1 ) dt = U 1 + U 2 +
−∞
§ · − z2 ¨ ¸ exp 1 4 2 2 2 ¨ c T 1+ a ¸ ⋅ 1+ a2 0 © ¹ . 2 § · a z ⋅ cos¨¨ 2 k 0 z − 2 2 − ϕ ¸¸ 2 c T a 1 + 0 © ¹
(
2U 1 U 2
)
(
)
(
8
)
(2.2.18)
Az oszcilláló és a konstans járulékok maximális aránya egyszerĦen leolvasható: 2U 1 U 2
1
(
U 1 +U 2 1 + a 2 2
2
(2.2.19)
)
14
Ez az érték maximális, ha a két szemben haladó fényimpulzus energiája egyenlĘ ( U 1 = U 2 ), ekkor 1
(1 + a )
2 14
.
(2.2.20)
Ha mindkét impulzus sávhatárolt, azaz fázismodulációtól mentes ( a = 0 ), akkor az interferencia kontrasztja eléri a 100%-ot, viszont, ha a fázismodulált impulzus hossza a sávhatárolt esetnek 10-szerese ( a ≈ 5 ), akkor az oszcilláló járulék amplitúdója a konstans tag járulékának csupán 44%-a. Az interferenciacsík-rendszer hullámszám-vektorát megkaphatjuk a (2.2.15) képlet által adott interferenciacsíkok fázisainak z szerinti elsĘ deriváltjaként: k K (z ) =
§ d K (z ) az = 2 ¨¨ k 0 − 2 2 dz c T0 1 + a 2 ©
(
)
· ¸. ¸ ¹
(2.2.21)
Eszerint az interferenciacsík-rendszer hullámszáma (térfrekvenciája) a távolság lineáris függvénye. Érdemes ezt összevetni a beesĘ fényimpulzus térerĘssége egy adott pillanatbeli térbeli eloszlásának (a (2.2.1) képletbĘl t = z c ) hullámszámával:
k L (z ) = k 0 −
2a z . 2 c T0 1 + a 2
(
2
)
(2.2.22)
Hatékony fényvisszaverĘdés egy periodikus szerkezeten a Bragg-feltétel szerint ott következik be, ahol a fény λ L hullámhossza a periodikus szerkezet λ K periódusának kétszerese, a hullámszámokkal kifejezve: k K = 2 k L . Ha feltételezzük, hogy az összes fénykomponens abból a tartományból verĘdik vissza, ahol rá a Bragg-feltétel teljesül, akkor megállapíthatjuk, hogy az interferenciacsík-rendszer a beérkezĘ fázismodulált fényimpulzust fázismoduláció-mentes, sávhatárolt fényimpulzusként veri vissza. Ugyanis egy frekvenciának az interferenciaképben megfigyelhetĘ térbeli eltolódása fele akkora, mint a beérkezĘ fényimpulzusban, ez pedig a visszaverĘdéskor oda és vissza megtett kétszeres út miatt azt eredményezi, hogy az interferenciacsík-rendszerrĘl az összes frekvencia nulla relatív késleltetéssel verĘdik vissza. Nagy sávszélességĦ fényimpulzusok hatékony reflexiója az itt vázolt interferenciaszerkezet rögzítésével nem valósítható meg. A 20 fs sávhatárolt impulzushosszúságú fényjelek interferenciacsíkjainak jellemzĘ szélessége a (2.2.16) képlet alapján csupán 6 ȝm,
9
az interferenciakép nagyságrendileg csupán kb. 15 nagy kontrasztú csíkot tartalmaz. Még 100%-os kontrasztú interferenciaképpel is a törésmutatóban csupán maximálisan százalékos nagyságrendĦ változás idézhetĘ elĘ [14] még a speciálisan erre a célra elĘkészített statikus hologram elĘállítására alkalmas Reoxan polimer esetén is, a dinamikus hologramok elĘállítására alkalmas anyagok esetén pedig még rosszabb a helyzet. Ultrarövid fényimpulzusok reflexiójához vagy lényegesen hosszabb interferenciacsíkrendszert, vagy lényegesen nagyobb kontrasztú törésmutató-változást kell alkalmazni. Az elĘbbi megoldásra példa a fényimpulzusok spektrális felbontásával megvalósítható spektrális holográfia [5]. Az utóbbi a dielektrikumtükrök segítségével valósítható meg [8].
2.2.2. Fénynyalábok spektrális felbontásának leírása paraxiális közelítésben Ultrarövid fényimpulzusok idĘbeli holográfiájának megfelelĘen nagy szórási hatásfoka csupán a spektrálisan felbontott ultrarövid fényimpulzusok segítségével érhetĘ el. Az ultrarövid fényimpulzus spektrális felbontása a 2.2.1. ábrának megfelelĘ elrendezésben lehetséges. A rács (G) a ráesĘ párhuzamosított fénynyaláb spektrális összetevĘit különbözĘ irányokban veri vissza, illetve engedi át. A fénynyalábot a rácstól éppen fókusztávolságnyira elhelyezett lencse (L) a túlsó fókuszsíkjában a fény hullámhosszától függĘ pozícióba (x), de egy adott irányban (z) fókuszál.
2.2.1. ábra. Fényimpulzusok spektrális felbontása Tételezzük fel, hogy a beesĘ fénynyaláb alapmódusú Gauss-nyaláb, amelynek idĘbeli alakját is Gauss-görbe határozza meg:
(
§ i k x12 + y1 2 E1 (x1 , y1 , z1 , ω ) = F1 (ω ) exp¨¨ − 2 q1 ©
10
)·¸ , ¸ ¹
(2.2.23)
2 ª (ω − ω )2 a (ω − ω 0 ) º 0 + i exp «− ». 2 σ ω 0 2 »¼ π (1 − 2 i a ) «¬ 2σ ω 0
2T
F1 (ω ) = E 0
(2.2.24)
A jel spektruma most is az elĘzĘ alfejezetben tárgyalttal azonos idĘbeli alakot eredményez, csak most a lineáris terjedés leírása érdekében az egyszerĦbb komplex írásmódot alkalmazom ( σ ω 0 = 1 T0 , T0 az elĘzĘ alfejezetben is alkalmazott sávhatárolt impulzushossz-paraméter):
E1 (t ) = E1 (t ) = E0
1 2π
∞
³ F (ω )exp(i ω t )dt
(2.2.25)
ª t2 º § t2 · ¨ ¸ exp «− cos ω t + a k 2» ¨ 0 T 2 ¸¹ T π ¬ 2T ¼ ©
(2.2.26)
1
−∞
2
A beesĘ fénynyaláb spektrumáról feltételezzük, hogy a ν 0 = ω0 2 π frekvencia körül rendelkezik csupán figyelemreméltó spektrális összetevĘkkel. A továbbiakban ∆ω -val jelölöm a spektrális összetevĘknek szögsebességének és a középszögsebesség különbségét: ∆ω = ω − ω 0 . A ν frekvenciájú spektrális összetevĘ hullámszáma k = 2 π λ = 2 π ν c ( c a fény sebessége vákuumban). A (2.2.23) képletben q1 jelöli a beesĘ fénynyaláb komplex qparaméterét [15]: q1 = z1 + i z 0 . Az optikai rács a fénynyalábot paraxiális közelítésben a következĘ általános szabály szerint transzformálja [16]:
E 2 (x2 , y 2 , z 2 , ω ) = b2 exp(i k ∆ω β x2 ) E1 (α x2 , y 2 , z 2 , ω ) .
(2.2.27)
Itt b2 a lineáris közelítésben a hullámszámtól és a frekvenciától független, az amplitúdó változásáért felelĘs szorzótényezĘ. Az optikai rácsra, a rács vonalaira merĘleges síkban γ
beesési szög alatt λ
hullámhosszúságú beesĘ fény elhajlási szöge θ [16] ( γ és θ a beesési merĘleges azonos oldaláról mért szögek): sin (γ ) + sin (θ ) =
m λ m c 2π = . d dω
(2.2.28)
A (2.2.27) összefüggésben az α és β faktorok a vizsgált lineáris közelítésben a θ elhajlási szögnek a γ beesési szögtĘl és az ω szögsebességtĘl való függéséért felelĘs [16]: dθ = α dγ + β dω ,
α=
∂θ ∂γ
ω =ω0 θ =θ 0
=−
cos(γ 0 ) , cos(θ 0 )
11
(2.2.29) (2.2.30)
β=
∂θ ∂ω
ω =ω0 θ =θ 0
=−
2π m c . 2 d ω 0 cos(θ 0 )
(2.2.31)
(2.2.23) és (2.2.27) alapján esetünkben:
(
§ i k α 2 x2 2 + y 2 2 E 2 (x 2 , y 2 , z 2 = z1 , ω ) = F1 (ω )exp(i k ∆ω β x2 )exp¨¨ − 2 q1 ©
)·¸ . ¸ ¹
(2.2.32)
A rácstól z távolságra a fénynyaláb elektromos terét a közelítĘ Fresnel-Kirchoff-integrál adja [15]:
E3 ( x3 , y 3 , z 3 = z 2 + z , ω ) =
i
∞ ∞
λz ³
³ E2 (x 2 , y 2 , z 2 , ω )e
−
(
ik ( x3 − x2 )2 + ( y3 − y2 )2 2z
)
dx 2 dy 2 .
(2.2.33)
− ∞− ∞
A rácstól a lencse éppen f fókusztávolságnyira van. A lencse elĘtt kialakuló fény elektromos terét (2.2.32) és (2.2.33) egyenletekbĘl a Siegman-lemma (lásd az F.1. függeléket) felhasználásával számolhatjuk:
§ k β 2 ∆ω 2 q1 · ¸¸ ⋅ E3 (x3 , y3 , z 3 = z 2 + f , ω ) = b3 F1 (ω )exp¨¨ i 2α 2 © ¹ 2 § k (α x3 − β ∆ω q1 α )2 · § k y3 · ¸ ¨ ¸ i ⋅ exp¨¨ − i exp − ¸ ¨ 2 (q + f ) ¸ 2 q1 + α 2 f 1 © ¹ © ¹
(
.
(2.2.34)
)
A lencse paraxiális közelítésben a ráesĘ fénynyalábban a transzverzális koordinátákban parabolikus fázistolást okoz [15]:
(
§ k x4 2 + y4 2 E 4 (x 4 , y 4 , z 4 = z 3 , ω ) = E 2 ( x3 , y3 , z 3 , ω ) exp¨¨ i 2f ©
)·¸ . ¸ ¹
(2.2.35)
A lencse mögött z távolságban kialakuló fény elektromos terét ismét a közelítĘ Fresnel-Kirchoff-integrál segítségével számolhatjuk [15]:
E5 ( x5 , y 5 , z 5 = z 4 + z , ω ) =
i
∞ ∞
³ E4 (x 4 , y 4 , z 4 , ω )e
λ z −³∞−∞
−
(
ik ( x5 − x4 )2 + ( y5 − y4 )2 2z
)
dx 4 dy 4 .
(2.2.36)
A (2.2.34)-(2.2.36) egyenletekbĘl ismét használva a Siegman-lemmát a következĘt kapjuk: E5 (x5 , y5 , z 5 = z 4 + f + z , ω ) = b5 F1 (ω )⋅ 2 § k (x5 + f β ∆ω )2 · § ·. ¸ exp¨ − i k y5 ¸ ⋅ exp¨ − i ¨ ¸ ¨ ¸ 2 (q 4 x + z ) ¹ © © 2 (q 4 y + z ) ¹
(2.2.37)
Itt q 4 x és q 4 y értékét a következĘ egyenletek határozzák meg:
1 1 1 1 1 α2 = − . = − és q 4 x q1 + α 2 f f q4 y q1 + f f
12
(2.2.38)
Ezeket beírva a (2.2.37) összefüggésbe:
E5 (x5 , y5 , z 5 = z 4 + f + z , ω ) = b5 F1 (ω )⋅ § i k q1 (x5 + f β ∆ω )2 · § i k q1 y5 2 ¸ ¨ ⋅ exp¨¨ exp 2 2 ¸ ¨2 f 2 − zq 1 © 2 α f − z q1 ¹ ©
(
)
(
)
·. ¸ ¸ ¹
(2.2.39)
A fókuszsíkban ( z = 0 ): § i k q1 y5 2 · § i k q1 ( x5 + f β ∆ω )2 · ¨ ¸ ¸ E5 (x5 , y5 , z 5 = z 4 + f , ω ) = b5 F1 (ω )exp¨¨ exp 2 2 ¨ 2 f 2 ¸ . (2.2.40) ¸ 2 α f © ¹ © ¹ Egy adott x érték esetén a fókuszsík közelében, ha a fény erĘssége különbözĘ is a különbözĘ y értékek mellett, de Fx (ω ) spektrális összetétele állandó ( k = 1, 2 ): § (ω − ω )2 · x ¸, Fx (ω ) = F1 (ω )exp¨ − ¨ 2σ 2 ¸ ω x © ¹
(2.2.41)
ahol adott x melletti ω x spektrum középszögsebessége:
ω x (x ) = ω 0 −
x fβ
,
(2.2.42)
továbbá (2.2.37) és (2.2.41) alapján a sávszélessége (ha feltesszük, hogy σ ω x << σ ω 0 )
σω x =
wx 2fβ
.
(2.2.43)
Itt wx a fókuszsíkon a monokromatikus fénynyaláb x irányú szélessége:
Im(q5 x ) =
π wx 2 . λx
(2.2.44)
Ha az eredetileg a rácsra beesĘ fénynyaláb viszonylag széles nyalábként párhuzamosított, azaz q1 = i π w0 x
2
λx,
(2.2.45)
akkor a (2.2.37) és a (2.2.42) egyenletekbĘl:
wx = ahol
w0
w0 x = w0
a
λ0
λx α f λ x α f λ0 = , π w0 x λ0 π w0
hullámhosszúságú
beesĘ
fénynyalábkomponens
(2.2.46) vastagságát
adja:
λ x λ0 .
(A femtoszekundumos lézerekbĘl kijövĘ fényimpulzusok transzverzális eloszlása hullámhosszfüggĘ. Ez a legegyszerĦbb modellbĘl is sejthetĘ, hiszen a rezonátor
13
geometriájából a nyaláb q-paraméterére kaphatunk megkötést, abból (lásd a (2.2.45) egyenletet) a nyalábátmérĘt kifejezve a hullámhossztól függĘ értéket kapunk.) Ha a beérkezĘ fénynyalábunk viszonylag széles nyalábként párhuzamosított, akkor a (2.2.41) és (2.2.44) egyenletek alapján x egy adott értéke esetén a fény spektrális szélessége:
σω x =
λx λ0
λ0 α . 2 π β w0
(2.2.47)
A (2.2.30) és a (2.2.31) egyenletek figyelembevételével abban a gyakran alkalmazott [16] speciális kísérleti elrendezésben, az úgynevezett Littrow-elrendezésben (amikor θ ≅ γ ) a spektrális felbontás eredményeképpen kapott fényimpulzus sávhatárolt hosszát a következĘ egyenlet határozza meg ( Tx = 1 σ ω x ):
Tx =
λ0 w0 tan γ . λx 2c
(2.2.48)
A (2.2.48) összefüggés összhangban van, és egyben pontosítja is azt a szakirodalomban fellelhetĘ állítást [5], hogy a rács átlagos koherens spektrális felbontóképessége ( σ ω ) a felbontás során az interferenciában részt vevĘ fénykomponensek maximális úthosszkülönbségétĘl ( L ≈ w0 tan γ ) függ: σ ω ≈ L c . Széles nyalábként párhuzamosított beesĘ nyaláb esetén egy adott x-értéknél a q1 tisztán képzetes, ezért a spektrum négyzetes fázisa változatlan marad, ezért (2.2.24) következtében: ax = a
σω x2 σ ω 02
§T = a ¨¨ 0 © Tx
2
· ¸¸ . ¹
(2.2.49)
Azaz a spektrális felbontás következtében a bejövĘ impulzusnál lényegesen hosszabb impulzust kaphatunk (lásd a (2.2.48) képletet) a spektrális felbontás síkjában (lásd a 2.2.1. ábrát), ha w0 tan γ c >> T0 . Ez a fényimpulzus lényegesen kisebb mértékben fázismodulált (lásd a (2.2.49) összefüggést), mint a beesĘ fényimpulzus. Példaként tekintsünk egy 1200 vonal/mm vonalsĦrĦségĦ rácsot ( d = 0,833 ȝm ), amelyet az elhajlás elsĘ rendjében ( m = 1 ) közel Littrow-elrendezésben ( θ ≅ γ = 28.7° ), a 2.2.1. ábrának megfelelĘen
alkalmazunk
( β = 4,65 ⋅1016 s ).
Egy
w0 = 1,5 mm
nyalábvastagságú,
λ0 = 800 nm közepes hullámhosszúsággal jellemzett fénynyalábból a 2.2.1. elrendezésben a (2.2.46) összefüggésnek megfelelĘen Tx = 1,94 ps impulzushosszúságú (lásd a (2.2.24) képletet), vagy az ennek megfelelĘ σ ω x = 0,52 THz spektrális sávszélességĦre felbontott jelek képezhetĘk. Ha az elrendezésben alkalmazott lencse fókusztávolsága: f = 80 mm , 14
akkor
egy
~20
nm
sávszélességĦ
( ∆ω = 59,1 ⋅1012 s -1 ,
τ = 28 fs
sávhatárolt
impulzusszélességĦ) jelet a lencse a fókuszsíkjában ∆x = f β ∆ω = 2,2 mm szélességben bontja szét (lásd a (2.2.43) képletet). A spektrális felbontás következtében a bejövĘ impulzus a hosszánál lényegesen nagyobb idĘtartamúra nyúlik meg, emiatt ott a bemeneten idĘben elkülönült rövid fényimpulzusok spektrálisan felbontva már átfedhetik egymást, ezért interferenciajelenséget mutathatnak.
2.2.3. Spektrális holográfia térbeli és idĘbeli Gauss-impulzusokkal Ultrarövid fényimpulzusok egyszerĦ interferenciája (lásd a 2.2.1. alfejezetet) segítségével elĘállított törésmutatórácsok visszaverĘ képessége csekély az elérhetĘ kicsiny relatív törésmutató-modulációnak és a törésmutatórácsoknak a fényimpulzusok rövidségébĘl adódó kis térbeli kiterjedésének következtében. A kialakítható törésmutatórácsok reflexiós hatásfoka jelentĘsen javítható a fényimpulzusok spektrális felbontása segítségével [5], mert a spektrálisan felbontott fény egy adott x érték esetén a beérkezĘ fényimpulzus sávszélességénél lényegesen kisebb sávszélessége az egyszerĦ interferencia esetéhez képest lényegesen hosszabb törésmutatórácsot eredményez. A femtoszekundumos fényimpulzusok spektrális hologramját a 2.2.2. ábrán megfigyelhetĘ elrendezésben készíthetjük el. Mind a két bemeneten egy-egy femtoszekundumos fényimpulzust küldve a rendszerbe az egy optikai rácsból (G) és egy lencsébĘl (L) álló részrendszer spektrálisan felbontja a fényimpulzusokat. A rendszer helyes beállítása esetén az interferenciacsík-rendszer rögzítésére alkalmas anyagban (H) a két fényimpulzus egymásnak éppen megfelelĘ spektrális komponensei találkoznak.
2.2.2. ábra. Spektrális hologram készítése két egymással szemben haladó spektrálisan felbontott fényimpulzussal
15
Egy ∆n törésmutató-modulációval rendelkezĘ L hosszúságú törésmutatórács maximális reflexiós hatásfoka [17]:
§ π ∆n L · ¸¸ , © λ0 ¹
η = tanh 2 ¨¨
(2.2.50)
ahol ∆n a relatív törésmutató moduláció nagysága, L a törésmutatórács hossza, λ0 pedig a visszavert fény hullámhossza. Ennek alapján megbecsülhetjük, hogy a spektrális felbontás alkalmazásával mennyivel nagyobb reflexiót nyerhetünk. Az elĘzĘ alfejezet végén a spektrális felbontásra adott példát elemezzük tovább. A sávhatárolt beérkezĘ fényimpulzusok szembehaladásakor felvett egyszerĦ csíkrendszer szélessége (lásd a (2.2.17) képletet) L ≈ 8,4 ȝm , amely a (2.2.50) képlet alapján csupán η ≅ 0,027% -os reflexióképességet eredményez, ha a rögzített törésmutatórács modulációja ∆n ≅ 5 ⋅10 −4 értékĦ. Ha azonban a spektrálisan felbontott fényimpulzusokat ( Tx = 1,94 ps ) interferáltatjuk, akkor egy adott x koordináta mellett az interferenciacsíkok hossza (lásd a (2.2.17) képletet) L ≈ 0,97 mm , amely viszont már (2.2.50) képletbĘl számolva η ≅ 92% -os kiváló reflexióképességet eredményez. A két fényimpulzus ugyanazon hullámhosszhoz tartozó spektrális komponenseinek találkoztatása az interferenciaképet rögzítĘ anyagban (H) egyáltalán nem tĦnik kísérletileg triviális feladatnak. Fotorefraktív kristályban [18] bekövetkezĘ, maga a beérkezĘ fényimpulzus által pumpált fáziskonjugálás, idĘtükrözés esetén viszont a beérkezĘ jel spektrális komponenseivel szemben éppen a megfelelĘ hullámhosszúságú fény halad.
2.2.3. ábra. A beesĘ és az idĘtükrözött (PC) visszavert fény spektruma [19] Rövid fényimpulzusok hatékony fáziskonjugálása (idĘtükrözött reflexiója) spektrálisan felbontott fényimpulzusok idĘbeli hologramja segítségével megvalósítható [19,20]. A megvalósítás kísérleti elrendezése a 2.2.2. ábra egyik felének elhagyásából áll, a beérkezĘ
16
fénnyel szembe futó másik fényimpulzust a fotorefraktív anyaggal zajló nemlineáris kölcsönhatás szolgáltatja. A beérkezĘ és a visszavert fényimpulzus spektrumát a 2.2.3. ábra mutatja. A BaTiO3-ban a beesĘ közel 20 nm sávszélességĦ, 10-20 mW átlagteljesítményĦ fényimpulzus-sorozat 5-10 percnyi expozíciója után közel 25%-os fáziskonjugált reflexiót sikerült elérni.
2.2.4. Fázismodulált dielektrikumtükrök szintézise A 2.2.1. alfejezetben lineáris fázismodulációval bíró fényimpulzusok interferenciája következtében
elĘálló,
interferenciacsík-rendszer
az
idĘhologramok
szerkezete
elvileg
szerkezetét
meghatározó
felhasználható
törésmutatójú törésmutató-profilt követĘ diszkrét rétegekbĘl
a
fázismodulált
folytonosan
változó
álló dielektrikumtükör
tervezésére [21]. A folytonos törésmutató-változást azonban a gyakorlatban nem lehet egyszerĦen megvalósítani, továbbá a nagyon sok, vékony réteg határfelülete összességében jelentĘs, az alkalmazások szempontjából végzetesen nagy szórási veszteséget okoz [8]. Dielektrikumtükrök tervezĘi széles körben alkalmaznak egy Fourier-transzformációs, a kívánt spektrális tulajdonságokat felhasználó technikát a folytonos törésmutató változásán alapuló optikai szĦrĘk tervezéséhez. Ezek a munkák Sossi és Kard munkáin alapulnak [22,23,24]:
1 d ln[n( x )] exp(i k x ) dx = Q(k ) exp[i Φ (k )], 2 −³∞ d x ∞
(2.2.51)
ahol n( x ) a törésmutató, k = 2 π λ a reflektált fény hullámszáma levegĘben, továbbá x egy alapponttól egy fizikai z koordinátájú pontig számolt optikai úthossz kétszerese: z
x = 2 ³ n(u ) du .
(2.2.52)
0
Sossi és Kard munkáiban Q(k ) a kívánt reflexió és transzmisszió valamilyen, keresett függvénye. A (2.2.51) képlet Fourier-tanszformációját elvégezhetjük parciális integrálás segítségével:
ª n( x ) º i ln « »= ¬ n0 ¼ π
Q(k ) exp[i (Φ(k ) − k x )] dx , k −∞ ∞
³
(2.2.53)
ha n(− ∞ ) = n(∞ ) = n 0 , továbbá ha Q(k ) páros, míg Φ (k ) páratlan függvényei k-nak.
17
SzipĘcs Róberttel a 21. referenciában megmutattuk, hogy a kívánt tükörtulajdonságokhoz közelit érhetünk el, ha Q(k ) és Φ(k ) helyére a következĘ értékeket helyettesítjük:
Q(k ) = r (k ) és
Φ(k ) = arg[r (k )] ,
(2.2.54)
ahol r (k ) a megvalósítani kívánt reflexió komplex amplitúdója. A 2.2.1. alfejezetben levezetett interferenciakép (lásd a (2.2.15) egyenletet) interferenciacsík-rendszere a bejövĘ fázismodulált impulzus sávhatárolt impulzussá transzformáló reflexióját valósítja meg, azaz a reflexió fázisa éppen tükrözi a bejövĘ fény fázisjellemzĘit. A (2.2.21) és a (2.2.22) képletek pedig azt mutatják, hogy az interferenciacsík-rendszer reflexiójának fázisjellemzĘi (lásd a (2.2.22) képletet) szoros megfeleltetésben vannak az interferenciacsík-rendszer térbeli periodicitásának fázisjellemzĘivel (lásd a (2.2.21) képletet) [25]. A folytonos a 2.2.1. alfejezetben is megadott törésmutatóprofilt transzformálni kell azonban a gyakorlatban megvalósítható dielektrikumtükrök elĘállításához, amelyekben csupán néhány (legtöbbször csak két) különbözĘ törésmutatójú dielektrikumréteg kap szerepet [22,26].
2.3. Összefoglalás A dielektrikumtükrök reflexiója fázisviszonyainak tisztázása forradalmi változásokat idézett elĘ a femtoszekundumos impulzuslézerek fejlesztése területén. A fázismodulált dielektrikumtükrök kifejlesztése SzipĘcs Róbert és Krausz Ferenc nevéhez fĦzĘdik [4], azok viselkedésének feltárásához az általam megalkotott, a 2.2.1. alfejezetben leírt elméleti matematikai modell is jelentĘs mértékben hozzájárult [25]. A
spektrálisan
felbontott
fényimpulzusok
Gauss
térbeli
és
idĘbeli
eloszlású
fényimpulzusok feltételezésével nyert elméleti modellt alkottam a BaTiO3 fotorefraktív kristályban megvalósított fáziskonjugálás kísérleti magvalósításának megtervezéséhez [19,27]. A fázismodulált dielektrikumtükrök tanulmányozása terén e dolgozatban szerepeltetetteken túl további eredményeink jelentek meg a 2. fejezet témájához kapcsolódóan [21, 28, 29, 30, 31].
18
3. Kerr-lencsével módusszinkronizált Ti:zafír lézerek tervezése és megépítése Felfedezése óta [32] a Ti:zafír lézerkristály mára a femtoszekundumos fényimpulzusokat szolgáltató lézerek, illetve a széles sávban hangolható lézerek leggyakrabban alkalmazott lézeraktív anyagává vált köszönhetĘen kiváló spektroszkópiai, termikus és mechanikai tulajdonságainak. A 100 fs-nál rövidebb impulzusokat szolgáltató lézerek leghatékonyabb móduscsatoló eljárása az optikai Kerr-hatáson alapuló Kerr-lencsés módusszinkronizálás (KLM) [33]. A lézerek külsĘ paraméterei jelentĘsen függenek a lézerrezonátorok geometriai jellemzĘitĘl: a rezonátor tükreinek görbületi sugarától, a lézerkristály méretétĘl, az egyes optikai elemek pozíciójától [15]. Célul tĦztem ki Ti:zafír lézerrezonátorok optimalizálását a kimenĘ teljesítmény, illetve a móduscsatolás Kerr-lencse hatásának maximalizálása céljából.
3.1. ElĘzmények Lézerrezonátorok tervezésekor a felhasználások céljára legcélszerĦbb a lézermódusokat alapmódusú Gauss-nyalábok formájában keresni [33] (lásd az F.2.1. függeléket). Lézerek tervezésére ezért széleskörĦen alkalmazzák a Gauss-fénynyalábok viselkedését leíró ABCD mátrixtechnikát [15] (lásd az F.2. és az F.3. függeléket). A Ti:zafír jellemzĘi miatt [34] szokás az optikai tengely (z tengely) menti optikai pumpálás és a rezonátoron belüli nemkívánatos visszaverĘdési veszteség érdekében összehajtogatott, általában z vagy x alakú lézerrezonátor elrendezést alkalmazni [33], amelyben a fény útjába általában ferdén behelyezett optikai elemek (fókuszáló tükrök, lézerkristály) is helyet kapnak. Az optikai tengelybĘl kibillentve a fény útjába helyezett gömbtükrök effektív fókusztávolsága és a Brewster-szög alatti be- és kilépési szöggel pozicionált lézerkristály effektív terjedési hossza eltér a kibillentés meridionális síkjában (x-z) és az arra merĘleges szaggitális (y-z) síkban, ami a rendszeren keresztülhaladó fénynyalábok asztigmiájának a forrása. Az optikai tengely irányából egy síkban (a rezonátor síkjában) kibillentve a lézerrezonátorba helyezett lézerkristály és gömbtükrök
asztigmiájából
következĘ
stabilitási
tartomány
eltolódásait
egymással
kompenzálni lehet [35]. Az így nyert asztigmatikusan kompenzált rezonátorokban mind a rezonátor síkjában, mind arra merĘlegesen véges nyalábvastagságú lézermódus alakítható ki. Még asztigmatikusan kompenzált rezonátorokban is azonban a fénynyalábok általában asztigmiásak, amit a lézer teljesítményének és a Kerr-lencse hatásának számolásakor figyelembe kell venni [36].
19
Femtoszekundumos
szilárdtestlézerekben
az
önfázis-modulációnak
(self-phase
modulation - SPM) és a negatív csoportsebesség diszperziónak (group-delay dispersion GDD) a szolitonszerĦ egymásra hatása határozza meg az ultrarövid fényimpulzusok kialakulását [37]. Az SPM és a GDD térben és idĘben is elkülönülĘ hatása periodikus perturbáló hatást fejt ki a rezonátorban keringĘ fényimpulzusra, aminek következtében az energiát veszthet az esetlegesen a rezonátorban jelen levĘ folytonos lézermĦködés javára [38]. Ez a nemkívánatos energiaveszteség a fényimpulzus instabilitását okozva fokozódik az önfázis-moduláció erĘsödésével. A lézermĦködés stabilitását a Kerr-lencsés módusszinkronizáció (Kerr-lens mode-locking - KLM) által elĘidézett passzív amplitúdómoduláció biztosítja. ErĘsebb amplitúdómoduláció biztosításával rövidebb lézerimpulzusok alakíthatóak ki [37].
3.1.1. Rezonátorok általános mátrixoptikája Rezonátorokban
kialakuló
Gauss-módusok
jellemzĘinek
meghatározása
az
önkonzisztenstér-módszer [39] keretében azon alapszik, hogy a rezonátorban oda-vissza terjedĘ fénynyaláb jellemzĘinek a rezonátorban egy körülfutás után az eredetiével meg kell egyeznie. Apertúramentes (vagy végtelen nagy apertúrájú) vagy esetleg Gauss-apertúrát is tartalmazó rezonátorokban a fénynyaláb kezdeti q paraméterét a rezonátorban történĘ körülfutás eredményeként az útbaesĘ optikai elemek mátrixainak összeszorzása révén kapott körülfutási mátrixszal transzformálódva kaphatjuk. A visszaérkezĘ fénynyaláb q ′ = q paraméterére:
q=
A⋅q + B . C ⋅q + D
(3.1.1)
A nyaláb komplex q paraméterére megoldva a kapott másodfokú egyenletet az alábbi kifejezést kapjuk: 1 − 14 ( A + D ) A− D ±i . q= C 2C 2
(3.1.2)
Az elvileg lehetséges két megoldás közül csak az ad jó megoldást, aminek a képzetes része pozitív (vesd össze az (F.2.4) kifejezéssel). A (3.1.1) egyenletet megoldhatjuk 1 q -ra is:
1 − 14 ( A + D ) 1 D− A = ±i . 2B q B 2
20
(3.1.3)
Itt is az elvileg lehetséges két megoldás közül csupán az ad véges lézermódusvastagságot, amelyiknek negatív a képzetes része (vesd össze az (F.2.2) képlettel). A (3.1.2) és a (3.1.3) összefüggések felírásakor felhasználtuk, hogy a körülfutási mátrix csupa egységnyi determinánsú mátrix szorzataként áll elĘ, ezért ennek is egységnyi a determinánsa A⋅ D − B ⋅C =1.
(3.1.4)
Gauss-apertúra mentes esetben a (3.1.2) és a (3.1.3) összefüggések az (F.2.2), az (F.2.4) és az (F.2.5) képleteivel összevetve valós ABCD körülfutási mátrix esetén kapjuk, hogy A− D , 2⋅C
(3.1.5)
2 1 − 14 ( A + D ) λ = ⋅ , nπ C
(3.1.6)
2⋅ B , D−A
(3.1.7)
B λ ⋅ . nπ 1 − 14 ( A + D )2
(3.1.8)
z=
w0
2
R=
w2 =
Valós ABCD körülfutási mátrix esetén valós nyalábderék-vastagságot pedig csak akkor kaphatunk, ha 2
§ A+ D· ¸ < 1. ¨ © 2 ¹
(3.1.9)
Egyben ez adja a rezonátor stabilitásának a feltételét, azaz annak a feltételét, hogy az apertúramentes rezonátorban véges nyalábvastagságú rezonátormódus tud kialakulni. Asztigmiás elemeket tartalmazó ortogonális rendszerekben a megfelelĘ egymásra merĘleges
transzverzális
irányokban
a
stabilitás
feltételét
egymástól
függetlenül
vizsgálhatjuk. A rezonátorban stabil lézermódusú lézermĦködés csak akkor valósulhat meg, ha a rezonátor a transzverzális irányok mindegyikére stabil. A (3.1.5)-(3.1.8) képletek megadják nekünk a körülfutás kezdĘhelyében a rezonátor stabil nyalábjának jellemzĘit. A rezonátor más pozícióiban a terjedést megadó mátrixokkal transzformálva kapjuk az ottani komplex nyalábparamétert és abból a nyaláb jellemzĘit.
3.1.2. X alakú asztigmatikusan kompenzált rezonátorok Az ultrarövid impulzusokat elĘállító lézerek technikájában a leggyakrabban az úgynevezett x alakú rezonátorokat alkalmazzák, amelyekben két fókuszáló elem is található. Ezen rezonátorok általában az optikai tengelybĘl kibillentett optikai elemeket is alkalmaznak.
21
A rezonátor összehajtogatási síkjában és arra merĘlegesen egy-egy olyan egymástól különbözĘ rezonátorral egyenértékĦ, amelyekben két köztes lencse található. Ezen utóbbi rezonátortípus leírása viszont visszavezethetĘ egy, két gömbtükörrel lezárt egyszerĦ rezonátorra [40]. Ebben a fejezetben az egyszerĦ kéttükrös, két köztes fókuszáló lencsét tartalmazó lineáris és az elĘbbi egyszerĦbb esetek összefüggéseinek felhasználásával a x alakú asztigmatikus rezonátorok stabilitási tartományait határozom meg.
Két gömbtükrös egyszerĦ rezonátor EgyszerĦ, a két végén egy-egy gömbtükörrel ( R1 , R2 ) rendelkezĘ rezonátorokban odavissza terjedĘ fénynyaláb jellemzĘinek a rezonátorban egy körülfutás után az eredetiével meg kell egyeznie. Ha a két végtükör egymástól d távolságra helyezkedik el és a körölfutást az R1 tükörtĘl kezdtük, akkor egy körülfutás ABCD mátrixa: § A B· § 1 ¨¨ ¸¸ = ¨¨ © C D ¹ © − 2 R1
0· §1 d · § 1 ¸⋅¨ ¸⋅¨ 1 ¸¹ ¨© 0 1 ¸¹ ¨© − 2 R2
0· §1 d · ¸⋅¨ ¸. 1 ¸¹ ¨© 0 1 ¸¹
(3.1.10)
A stabilitás (3.1.9) feltételére ebben az esetben hosszas, de egyszerĦ számolás eredményéül kapjuk: d ⋅ (R1 − d ) ⋅ (R 2 − d ) ⋅ (R1 + R2 − d ) > 0 .
(3.1.11)
A végtükröknél a nyaláb görbületi-sugara megegyezik a végtükör görbületisugarának felével. A kialakuló nyalábjellemzĘket széleskörĦen vizsgálták. Lásd például az 15. hivatkozás 744. oldalától.
Két köztes lencsét tartalmazó lineáris rezonátor Az 3.1.1. ábra egy olyan rezonátor sematikus ábráját mutatja, amelyben két köztes fókuszáló elem is található. Az optikai elemek paramétereit úgy szokás megválasztani, hogy a rezonátor fénynyalábjának kis méretĦ, nagy intenzitású foltja a két fókuszáló lencse közel közös fókuszpontjába essen. A rezonátort visszavezethetjük egy effektív kéttükrös rezonátorra [35,40], mint ahogyan az az ábránkon is látható. Az effektív rezonátor tükreinek távolsága:
d ′ = d + d1′ + d 2′ , d 1′ =
− f1 d1 , d1 − f1
(3.1.12) d 2′ =
Az effektív rezonátor tükreinek görbületi sugarai:
22
− f2 d2 . d2 − f2
(3.1.13)
2
R1′ =
2
R1 f 1 , (d1 − f1 )(d1 − f1 − R1 )
R2′ =
R2 f 2 . (d 2 − f 2 )(d 2 − f 2 − R2 )
(3.1.14)
Ezen lézerek esetén is szokás a végtükröket síknak választani ( R1 , R2 ≈ ∞ ), ekkor: 2
R1′ =
2
− f1 , (d1 − f1 )
R2′ =
− f2 . (d 2 − f 2 )
(3.1.15)
3.1.1. ábra. Két közbensĘ lencsét tartalmazó rezonátor (felül) helyettesíthetĘ egy effektív kéttükrös rezonátorral (alul) Általában d 1 és d 2 értékét a köztes fókuszáló elemek fókusztávolságánál lényegesen nagyobbra szokás választani, így az effektív rezonátor mindkét tükrének negatív a görbületi sugara. A (3.1.11) feltétele alapján stabil lézermĦködés csak d ′ negatív értékei mellett valósulhat meg. Tegyük fel, hogy a rezonátorunk jellemzĘi olyanok, hogy R1′ < R2′ ! Ekkor a két stabilitási tartomány [63]: R1′ + R 2′ < d ′ < R1′
és R2′ < d ′ < 0 .
(3.1.16)
Ezek a feltételek az eredeti rezonátorunk d-paraméterével kifejezve: f1 + f 2 < d < f1 +
f2 d2 d2 − f2
és
f1 d 1 f d f d + f2 < d < 1 1 + 2 2 . d1 − f1 d1 − f1 d 2 − f 2
(3.1.17)
X alakú asztigmatikusan kompenzált rezonátorok A rövid fényimpulzusok elĘállítására épített asztigmatikusan kompenzált x alakú lézerrezonátorok alapvetĘ, jellemzĘ sémája a 3.1.2. ábrán látható. Az összehajtogatás síkjában (meridionális sík) és az arra merĘlegesen síkban (szaggitális sík) a kristály és a ferde tükrök jellemzĘi különböznek, ezért ezen elemek ABCD mátrixai is különbözni fognak. Következésképpen a rezonátor különbözĘ d távolságtartományban lesz általában stabil a meridionális és a tangenciális síkban. Véges nyalábméretekkel jellemezhetĘ
23
stabil lézermĦködés pedig csak ott lesz megfigyelhetĘ, ahol a lézer mind a két síkban stabil, azaz véges nyalábméretĦ lesz. A tükrök dĘlésszögének és a kristály d 0 vastagságának a helyes megválasztásával található olyan d tükörtávolság, amelyre a lézer stabil lesz. Ezt az illesztési eljárást nevezik asztigmatikus kompenzálásnak [35].
R1
R2 d2
d1
2 ϕ1
d0
R3
2 ϕ2
K
R4
d 3.1.2. ábra. X alakú asztigmatikusan kompenzált rezonátor A 3.1.2. ábrán felvázolt rezonátornak a meridionális és szaggitális síkban két köztes lencsét tartalmazó rezonátor jellege van, csak a két (a meridionális és a szaggitális) síkban eltérnek az effektív rezonátor jellemzĘi. A két síkban a köztes fókuszáló lencse effektív fókusztávolságai (az (F.2.18) és az (F.2.19) képletek alapján):
A
f1 s =
R3 2 cos(ϕ1 )
f1 m =
R3 cos(ϕ1 ) 2
(3.1.18)
f2s =
R4 2 cos(ϕ 2 )
f2m =
R4 cos(ϕ 2 ) . 2
(3.1.19)
Brewster-szögben
behelyezett
lézerkristály
hossza
a
fénynyaláb
terjedése
szempontjából különbözĘ effektív értékkel bír a rezonátor meridionális és szaggitális síkjában (az (F.2.20) és az (F.2.21) képletei). A két fókuszáló tükör közötti d távolság helyébe a meridionális és a szaggitális síkban eltérĘ d s és d m effektív távolságok kerülnek: ds = d + ∆s
dm = d + ∆m .
(3.1.20)
Ahol ∆ s és ∆ m a két síkban a két tükör közti távolságnak a Gauss-fénynyaláb terjedése szempontjából d-hez képest mért effektív növekményét jelenti:
(
)
§ n2 + 1 2 ·¸ 1 − n2 , = ∆s = d0s − s = d0 ¨ − d 0 ¨ n2 n2 n2 + 1 n 2 + 1 ¸¹ ©
24
(3.1.21)
(
)
§ n2 + 1 n2 + 1 − 2 n4 2 ·¸ ∆ m = d0m − s = d0 ¨ − d = . 0 ¨ n4 n4 n2 + 1 n 2 + 1 ¸¹ ©
(3.1.22)
Az itt szereplĘ s távolság számolása érdekében tekintsük a 3.1.3. ábrát: s=
d0 d0 (cos(α ) cos(β ) + sin (α ) sin (β )) = cos(α − β ) = cos(β ) cos(β ) . d0 2 d0 2 d0 = = 2 sin (α ) cos(α ) = 2 d 0 cos(α ) = 2 cos(β ) 1 + n2 1 + tan (α )
α
tan (α ) = n
s n
(3.1.23)
d0 β
.
α + β = 900
3.1.3. ábra. A fény útjába Brewster-szög alatt behelyezett lézerkristály A két síkban a köztes lencsék effektív fókusztávolságai ( f 1 s , f 2 s , illetve f 1 m , f 2 m ) és a d 1 és d 2 távolságok megadják a helyettesítĘ egyszerĦ kéttükrös rezonátor végtükreinek
görbületi sugarait ( R1′s , R2′ s , illetve R1′m , R2′ m értékét) és a végtükrök d s′ , illetve d m′ effektív távolságát ( R1 , R2 = ∞ egyszerĦsített esetet vizsgálva csupán): R1′ s =
R 2′ s =
d 1′ s = d 2′ s =
− f1 s
2
R1′m =
d1 − f1 s − f2s
2
R2′ m =
d2 − f2s
− f1 s d1
d 1′m =
d1 − f1 s − f2s d2
d 2′ m =
d2 − f2s
d s′ = d s + d 1′s + d 2′ s
− f1 m
2
d1 − f1 m − f2m
(3.1.24)
2
d2 − f2m
− f 1 m d1 d1 − f1m − f2m d2 d2 − f2m
d m′ = d m + d 1′m + d 2′ m .
(3.1.25)
(3.1.26)
(3.1.27) (3.1.28)
A meridionális és a szaggitális síkokban kapunk két-két stabilitási tartományt a két hajtogató szférikus tükör d távolságára (3.1.28) összefüggéseibĘl d s -t és d m -t kifejezve. Ezek metszete fogja adni a lézer stabilitási tartományait. A két-két szaggitális, illetve meridionális síkbeli stabilitási tartomány metszeteként legfeljebb három stabilitási tartománya lehet a lézernek.
25
A rezonátorok asztigmatikus kompenzáltsága nem jelenti azt, hogy a lézer belsĘ nyalábja asztigmiától mentes lenne, a kompenzálás sokkal inkább a stabilitási tartományoknak az egybeejtését jelenti. Megmutatható, hogy a stabilitási tartományok hossza és a tartományok távolsága sem egyezik meg a szaggitális és a meridionális síkokban. Így nem is definiálható teljes átfedetése a stabilitási tartományoknak. A lézer mĦködése szempontjából csak az az alapvetĘ fontosságú, hogy egy adott beállítás mellett mind a két síkban a nyalábvastagság végesre jöjjön ki, azaz létezzen véges fénynyaláb a rezonátorban.
3.1.3. Ti:zafír lézerkristály jellemzĘi ElĘször 1982-ben tudósított Moulton Ti:zafír lézer mĦködésérĘl [32]. Az adalékolt Ti3+ ion és a hordozó zafír (Al2O3) kristály szerencsés kombinációja kiváló lézeraktív anyagot hozott létre. Tulajdonságait széleskörĦen vizsgálták, paramétereit a lézeres alkalmazások céljára optimalizálták. Ennek eredményeképpen napjainkban a leggyakrabban használt hangolható szilárdtestlézer lézeraktív anyagává vált [33]. A Ti:zafír lézerkristályt fluoreszcenciaspektrumának szélessége, nagy erĘsítési hatáskeresztmetszete
és
kiváló
mechanikai
és
termikus
tulajdonságai
teszik
kiválóan
alkalmazhatóvá, felhasználási körét is elsĘsorban ezek a jellemzĘk határozzák meg. FĘként a rendelkezésre
álló
széles
spektrumot
kihasználó
hangolható,
illetve
ultrarövid
fényimpulzusokat szolgáltató lézerekben alkalmazzák. Az elsĘ ábrán megfigyelhetjük a Ti:zafír kristály elnyelési-(3.1.4.a) és fluoreszcencia(3.1.4.b) spektrumát tetszĘleges egységekben. A lézerkristály egytengelyĦ kettĘstörĘ kristály ( ne = 1,760, no = 1,768
λ = 780 nm hullámhosszon). Mind az abszorpciós képessége
lényegesen nagyobb, mind a fluoreszcenciaspektruma lényegesen erĘsebb az optikai tengely irányában (ʌ irányban), mint az arra merĘleges irányban (ı irányban). Az abszorpciós hatáskeresztmetszet 490 nm-es hullámhosszon ʌ irányban mért maximális értéke 6,5 ⋅10 −20 cm 2 [41]. Az indukált emissziós hatáskeresztmetszet 790 nm hullámhosszon ʌ irányban
mért
maximális
hatáskeresztmetszete
4,1 ⋅10 −19 cm 2 ,
míg
ugyanezen
a
hullámhosszon ı irányban mért szintén maximális hatáskeresztmetszet 2,0 ⋅10 −19 cm 2 [33]. A Ti:zafír lézerkristály széles elnyelési és erĘsítési spektrumáért a kristály Ti3+ ionjainak legfelsĘ, 3d elektronhéján található egyetlen elektron energiaállapotainak a környezĘ rács állapotához, rezgéseihez megnyilvánuló erĘs csatolódása a felelĘs [34]. Ennek alapállapota ötszörösen degenerált d-elektronszint, amit a hordozó kristállyal létrejövĘ kölcsönhatás felhasít két fĘ energiaszintre, egy háromszorosan degenerált
26
2
T alapállapotra és egy
kétszeresen degenerált 2E gerjesztett állapotra [41]. Az adalékolt Ti3+ ionok gerjesztése az adalékolt ionok és a hordozó kristály erĘs kölcsönhatása miatt a Ti3+ ionok és a környezĘ O2ionok egyensúlyi távolsága megváltozik, ami a kristályban rezgéseket kelt [34]. Az elektromos és a rezgési energiák együttesen határozzák meg az elektronállapotok közötti átmenet energiáját, ezért nevezik az ilyen típusú lézereket angol szavak összevonásából eredĘ megnevezéssel „vibronic” (vibrational + electronic) lézereknek.
a)
b)
3.1.4. ábra. A Ti:zafír kristályban az abszorpció (a) és a fluoreszcencia (b) erĘssége tetszĘleges egységekben a hullámhossz függvényében. (A b) ábrán a fluoreszcenciaspektrumokból meghatározott erĘsítés (gain) hullámhosszfüggése is látható.) [41]
Az elektronátmenetek jellemzĘit az energia és a rezgési állapotokat egyaránt feltüntetĘ konfigurációs diagram segítségével érthetjük meg legegyszerĦbben [34], mint ahogyan azt az 3.1.5.a) ábrán meg is figyelhetjük. A „0”-val jelzett alapállapotból a „3”-mal jelzett gerjesztett állapotba kerül a rendszer egy elektromos átmenet révén, közben a Franck-Condon-elvnek megfelelĘen az ionok távolsága nem változik meg (az elektromos átmenetek a rezgések periódusidejéhez mérten nagyon rövid idĘ alatt mennek végbe). Az elektromos átmenet következtében megváltozott az ionok közötti egyensúlyi távolság, így a „3”-mal jelzett állapot gerjesztés szempontjából is gerjesztett állapota az 2E energiaszintnek. Az ion a rezgési extra energiáját a fononokkal segített átmenetek révén gyorsan átadja a környezĘ kristályrácsnak, így a rendszer a „2”-vel jelzett állapotba jut, ahonnan spontán vagy indukált elektromos átmenettel az „1”-gyel jelzett állapotba, ami a Franck-Condon-elv miatt szintén nem rezgési
27
alapállapota a 2T energiaszintnek. Innen a „0”-val jelzett állapotba szintén gyors fononok által segített átmenetekkel jut. A vázolt mĦködés az egyszerĦsített négy energia-szintes sémával is jellemezhetĘ (3.1.5.b) ábra). A Ti:zafír kristálynak nagyon fontos tulajdonsága, hogy benne gyakorlatilag nem valósul meg gerjesztett állapotból fényelnyelés (ESA = Excited State Absorption), ami a lézermĦködés során veszteséget jelentene [34].
a)
b)
3.1.5. ábra. A Ti:zafír mĦködésének megértéséhez szükséges elektronátmenetek ábrázolása a) konfigurációs diagramon, b) energiaszint-diagramon.
A Ti:zafír kristálynak van azonban a 800 nm hullámhosszon egy abszorpciós maximuma, amit a kristályban elĘforduló Ti3+ és Ti4+ ionok kölcsönhatása okoz [42]. A kristályok növesztését követĘ megfelelĘ hĘkezelés során jelentĘsen csökkenthetĘ a Ti4+ ionok száma, ezzel a nem kívánt abszorpció is. A megmaradó 800 nm hullámhosszon ( α r ) és a 490 nm hullámhosszon mérhetĘ fĘ abszorpciós együttható arányát szokás FOM-nek nevezni (Figure of Merit), ami a Ti:zafír lézerkristályok nagyon fontos minĘségi jellemzĘje [42]. A napjainkban kapható minĘségi Ti:zafír kristályok esetén jellemzĘen FOM > 250 . A lézerkristály energiatároló képességének meghatározó paramétere a lézerátmenet gerjesztett állapotának spontán emissziós τ élettartama. A Ti:zafír lézerkristály τ paramétere erĘsen függ a kristály hĘmérsékletétĘl (3.1.6. ábra), mivel azt a kristályrács hĘmérsékletétĘl függĘ számban jelenlevĘ fononokkal való kölcsönhatás határozza meg [34]. Az alacsony hĘmérsékleten ( T < 200 K ) mérhetĘ 3,85 ȝs-os fluoreszcencia élettartam tisztán optikai átmenetnek felel meg (100%-os kvantumhatásfok), míg a szobahĘmérsékleten mérhetĘ fluoreszcencia-élettartamnak 3,2 ȝs-ra csökkenése az optikai átmenetek mellett mintegy 20%os arányban megjelenĘ nemsugárzásos, a kristályrácsot melegítĘ energiaátmeneteknek a következménye (80%-os kvantumhatásfok).
28
3.1.6. ábra. A ȝs-ban adott gerjesztett állapot élettartam hĘmérsékletfüggése [43]
A Kerr-lencsés módusszinkronizációval mĦködĘ femtoszekundumos lézerek vizsgálata, tervezése szempontjából nagyon fontos a lézerkristály optikai Kerr-hatásának erĘssége. Az önfázis-modulációt és az önfókuszálást is meghatározó Kerr-hatás erĘsségét a jelenség Pc kritikus teljesítményével szokás jellemezni [33]. Ti:zafír kristály esetén Pc = 2.6 MW . (bĘvebben lásd a 3.1.6. alfejezetet) A Ti:zafír kristály kedvezĘ spektroszkópiai tulajdonságai mellett a hordozó kristálynak további elĘnyös tulajdonságai is vannak. Kivételes kémiai stabilitása mellett nagyon kedvezĘ nagy mechanikai szilárdsága (9-es Mohr keménységi fok). KedvezĘek továbbá a zafír kristály kiváló termikus tulajdonságai. SzobahĘmérsékleten is nagy, csaknem fémes hĘvezetĘ képességgel rendelkezik ( λth = 46 W m −1 K −1 ), a hĘmérséklet csökkentésével viszont még tovább növekszik [44]. A lézerkristály törésmutatója a hĘmérséklet függvényében a következĘ együttható szerint változik: d n d T = 3.11 ⋅ 10 −20 m 2 W . A zafír kristályok jól kidolgozott növesztési technikájának köszönhetĘen Ti:zafír kristályokat nagyon jó optikai minĘségben, viszonylag nagy méretekben (3,5 cm átmérĘ és 15 cm hosszú) is elĘ lehet állítani. A jó optikai jellemzĘk mellett említhetjük meg a Ti:zafír magas intenzitástĦrĘ képességét (demage threshold) is.
3.1.4. Az optikai tengely mentén pumpált Ti:zafír lézer teljesítménye Lézerek optikai pumpálása az abszorpciós spektrum maximuma közelében mĦködĘ lézerekkel hatékonyan megvalósítható. A termikus fényforrásokkal, kisülési csövekkel szemben a pumpálás nagy hullámhossz szerinti szelektivitása csökkenti a lézeraktív anyag hĘterhelését. A gerjesztĘ fénynyaláb és a lézermódusok legjobb átfedése érdekében használják az optikai tengely egyenese mentén végzett optikai pumpálást [33]. A Ti:zafír lézerkristályok korlátozott Ti-szennyezettsége (a nagy Ti-koncentráció a kristályban nem
29
kívánt abszorpciót okoz a lézer hullámhosszán, lásd az elĘzĘ alfejezetet) miatt a longitudinális pumpálás csak a pumpáló nyaláb és a lézermódus pontos irány szerinti egyeztetésével valósítható meg [45]. Alacsony pumpálási küszöbbel mĦködĘ lézerek úgy valósíthatók meg, ha a pumpáló és a rezonátor lézernyalábjának is kicsi az átmérĘje a lézerkristályban [46]. A pumpáló nyaláb és ennek következtében az optikai erĘsítés transzverzális eloszlása az erĘsítés fényterelĘ hatását okozza [47]. A lézerkristály koncentrált hĘterhelése a lézerkristály lokális hĘmérsékletének jelentĘs emelkedéséhez, jelentĘs mechanikai feszültségek kialakulásához és nem utolsó sorban a lézerkristály termikus lencse kialakulásához vezet [48]. Ebben az alfejezetben ezeket, a lézer teljesítményét jelentĘsen befolyásoló jelenségeket vizsgálom meg különös tekintettel a Ti:zafír lézerekben megjelenĘ formájukra. Lézerekben az erĘsítĘközegben a z irányban haladó fény erĘsítésére általánosan elfogadott az alábbi összefüggés ([15] és [49]):
d IL = g I L −η I L . d z
(3.1.29)
A gyakran használt kis veszteségĦ, kis telített erĘsítésĦ közelítésben a lézerfény I L intenzitásának g erĘsítési tényezĘje a lézerfény ν frekvenciájától és az I L intenzitásától függ, η pedig a lézerfény elnyelését leíró veszteségi tényezĘ. Az erĘsítés telítĘdését az alábbi összefüggéssel szokás figyelembe venni [15]: g (ν , I L ) =
g o (ν ) , 1 + 2 s (ν ) I L
(3.1.30)
ahol s(ν ) fényerĘsítés telítĘdését határozza meg. Az egyszerĦség kedvéért a leggyakrabban használt, az állóhullámú rezonátor esetére hagyatkozom. Ilyenkor a telítĘdés képletében megjelenĘ 2-es szorzó a rezonátorban oda- és visszahaladó fény együttes telítĘ hatásáért felel. A g (ν , I L ) és az s(ν ) függvények alakját meghatározza a lézer vonalkiszélesedési típusa. A Ti:zafír szempontjából számunkra érdekes homogén kiszélesedés esetén:
g 0 (ν ) =
go . 2 1 + (2 (ν − ν 0 ) ∆ν )
30
(3.1.31)
A fényerĘsítés telítĘdését az s(ν ) = 1 I L sat (ν ) paraméter határozza meg: I L sat (ν ) =
I L sat 0
1 + (2 (ν − ν 0 ) ∆ν )
2
,
(3.1.32)
ahol ν 0 a lézerátmenet rezonanciafrekvenciája, míg ∆ν a lézerátment spektrumának fél értékének fél szélessége.
Az erĘsítés transzverzális függését elhanyagoló leírás [15, 49] A kis veszteségĦ és ezért kis telített erĘsítésĦ rezonátorok esetén a δ 1 és δ 2 reflexiós tényezĘjĦ tükrökkel határolt és δ további veszteséggel rendelkezĘ rezonátorban kialakuló I c intenzitást az alábbi egyenlet határozza meg [15, 49]: I c = (rg − 1)
I L sat
2
.
(3.1.33)
Ahol rg a telítetlen körülfutási erĘsítés és az eredĘ veszteséggel egyenlĘ telített erĘsítés arányával egyenlĘ (d a lézerkristály hossza):
rg =
2 d 0 g 0 (ν ) . δ + δ1 + δ 2
(3.1.34)
Hengerszimmetrikus nyalábokat feltételezĘ közelítés [45,46,50] A tengely mentén pumpált lézerek esetében a fény erĘsítésének számolása során jelentĘs hibát ejtünk, ha nem vesszük figyelembe a pumpálás és a lézermódus transzverzális térbeli alakját [49, 50]. Hengerszimmetrikus tereket feltételezve a transzverzális nyalábalak figyelembevétele céljából az optikai tengelytĘl mért r távolságtól való függését is figyelembe kell vennünk az (3.1.29) egyenletben szereplĘ I L lézerintenzitásnak és a g erĘsítési tényezĘnek:
I L = I L (r , z ) ,
g = g (r , z ,ν , I L (r , z )) .
(3.1.35)
Ekkor (3.1.30) összefüggés helyett: g (r , z,ν , I L ) =
g o (r , z ,ν ) , 1 + 2 s (ν ) I L (r , z )
g 0 (r , z ,ν ) = σ L (ν ) ∆N 21 (r , z ) .
(3.1.36) (3.1.37)
Itt σ L (ν ) a lézerkristály frekvenciafüggĘ fényerĘsítési hatáskeresztmetszete.
31
A pumpáló fénynyaláb és a lézermódus intenzitáseloszlására Gauss-eloszlást feltételezve [46, 50]:
∆N 21 (r , z ) =
§ − 2r2 −αP exp¨ ¨ w 2 © p
2 PP τ α P
π hν P w p 2
I L (r , z ) =
2 PL (z )
π wL
2
§ − 2r2 exp¨¨ 2 © wL
· z¸, ¸ ¹
(3.1.38)
· ¸. ¸ ¹
(3.1.39)
A pumpáló és a gerjesztett lézernyalábokat alapmódusú Gauss-nyaláboknak feltételezve w P és wL nyalábvastagságok a terjedés irányában (z) változónak tekintjük:
§ ( z − z )2 λ 2 2 2 wL = wL 0 ¨1 + 2 L 2 L2 ¨ π wL 0 n L ©
· ¸, ¸ ¹
§ ( z − z )2 λ 2 2 2 wP = wP 0 ¨1 + 2 P 2 P2 ¨ π wP 0 n P ©
· ¸. ¸ ¹
(3.1.40)
Ezek felhasználásával a teljesítmény változása az erĘsítĘközegben: ∞ g (r , z ,ν ) I L (r , z ) r dr d PL = 2π ³ 0 . 1 + 2 s(ν ) I L (r , z ) dz 0
(3.1.41)
Ennek a (d PL d z ) teljesítménynövekmények az összege, a körülfutási teljesítménynyereség (kétszer halad át a lézerkristályon) éppen a tükrök és a belsĘ veszteség által felemésztett teljesítményt adja. Utóbbi a kis erĘsítés közelítésben ( PL ≈ állandó ) a veszteségi tényezĘk összegének és PL -nek a szorzatát adja. Ha a lézerkristályban elhanyagoljuk a fénynyalábok vastagságainak helyfüggését [46,50], akkor
[(
)]
4 PL PP σ L τ (1 − exp(− α P d )) ∞ exp − a 2 + 1 x dx PL ⋅ (δ 1 + δ 2 + δ ) = ³0 1 + S exp − a 2 x , π hν P wL 2
(
(
)
(3.1.42)
)
ahol a = w P wL és x = 2 r 2 w p , továbbá S = 4 s PL ( z ) π wL . 2
2
A lézer PP (th ) pumpálási küszöb teljesítményének meghatározásakor az erĘsítés telítése elhanyagolható ( S ≈ 0 ) [46, 50]:
PP (th ) =
(
)
π hν P (δ 1 + δ 2 + δ ) wL 2 + wP 2 . 4 σ L τ (1 − exp(− α P d ))
(3.1.43)
A képletbĘl kiolvasható, hogy a pumpálási küszöbteljesítmény értéke annál kisebb, minél kisebb a pumpáló és a lézermódusnak is a nyalábvastagsága a lézerkristályban. A fénynyalábok nyalábvastagságainak a figyelembevételével [45] a (3.1.41) egyenletnek megfelelĘen kell számolni a lézermódusnak az erĘsítĘközegbeli erĘsítését:
32
º d PL ª 4 σ L τ α p PP =« exp(− α P z )Q ( z ) − α L » PL , 2 2 2 d z ¬ hν P wP wL π ¼
(
∞
)
(3.1.44)
exp − A r 2 r dr π 1 y dy = ³ , Q (z ) = 2 π ³ 2 A 0 1+ B y D A 0 1 + B exp − D r
(
ahol A = 2 w p + wc 2
2
) (w
2
c
(
)
(
)
w p , B = 4 s Pc π wc 2
2
) és D = 2 w
2
c
(3.1.45) .
Kis veszteség (kis erĘsítés feltételezése esetén) a pumpálási küszöbteljesítmény értékére a következĘ összefüggést kapjuk az elĘzĘekben bevezetett jelölések megtartásával:
(δ 1 + δ 2 + δ ) hν P π 2 . d exp(− α P z ) 8σ L τ α P ³ Q ( z ) dz 2 2
PP (th ) =
0
(3.1.46)
w L wP
EllenĘrizhetĘ, hogy a nyalábvastagságok változásának elhanyagolásával (3.1.46) visszaadja a (3.1.42)-es képletet.
Asztigmatikus nyalábokat feltételezĘ modell [45] Ha a pumpáló nyalábot is asztigmatikusnak tételezzük fel, akkor a telítetlen fényerĘsítési együttható (a (3.1.9) és (3.1.10) egyenletek helyett):
g 0 ( x, y , z ) =
§ 2 x2 2 σ L PP τ α P 2 y2 − −αP exp¨ − ¨ wp x 2 wp y 2 π hν P w p x w p y ©
· z¸ . ¸ ¹
(3.1.47)
Ekkor (3.1.44) és (3.1.45) egyenletek helyett a következĘt kapjuk:
º 4 σ L τ α P PP d PL ª =« exp(− α P z ) Q( z ) − α L » PL , 2 d z ¬« hν P wL x w L y wP x wP y π ¼»
(
exp − Ax x 2 − A y y 2
∞
Q (z ) = 2 π
³ 1 + B exp(− D 0
x
ahol a következĘ jelöléseket használtuk:
(
Ax = 2 w P x + wL x 2
2
) (w
2 Lx
2
)
wP x ,
)
x − Dy y 2 2
(
)
dx dy ,
Ay = 2 w P y + wL y 2
2
) (w
B = 4 s Pc (π wcx wcy ) ,
D x = 2 wcx ,
2
33
(3.1.49)
2 Ly
2
)
wP y , (3.1.50)
(3.1.51)
D y = 2 wcy .
2
(3.1.48)
(3.1.52)
Ebben az esetben is a (3.1.46) egyenletben megadotthoz hasonlóan megadhatjuk a pumpálási küszöbteljesítmény értékét: PP =
(δ 1 + δ 2 + δ ) hν P π 2 . d exp(− α P z ) Q (z ) dz 8σ L τ α P ³ 0
(3.1.53)
wL x wL y wP x wP y
Általános térbeli eloszlású nyalábokat feltételezĘ modell [48] Krausz és munkatársai [48] longitudinálisan pumpált Nd:üveg lézer méretezésével foglalkoztak, ezért homogén és inhomogén vonalkiszélesedést egyaránt figyelembe vevĘ Voigt profilú lézerátmenetekkel számoltak. A jelen dolgozat tárgyát képezĘ Ti:zafír lézerek jó közelítéssel homogén vonalkiszélesedésĦnek vehetĘk, így a Voigt-integrálokat tartalmazó képleteket homogén vonalszélességĦ esetre egyszerĦsítve tekintem át csupán. Krausz és munkatársai [48] modellükben mind a pumpáló nyalábot, mind a gerjesztett lézernyalábot tetszĘleges eloszlásúként kezelték, azaz nem csupán alap Gauss-módusú nyalábokat tételeztek fel:
∆N 2 1 ( x , y , z ) = η p N 0
PP r ( x, y , z ) , I P sat
I L (x, y, z ) = PL s (x, y, z ) .
(3.1.54) (3.1.55)
Itt s( x, y, z ) és r ( x, y, z ) a transzverzális síkra normált függvények, N 0 az erĘsítĘ közegben az aktív ionok (esetünkben Ti3+) számát adja, η p a pumpálási folyamat kvantumhatásfokával egyenlĘ (szobahĘmérsékleten közel 80%-os). A pumpálás és az erĘsítés telítĘdési intenzitását a következĘképpen definiálhatjuk: I L sat =
hν L
és I P sat =
σLτ
hν P
σPτ
.
(3.1.56)
τ a lézerátmenet gerjesztett állapotának spontán emissziós élettartama, σ P (ν ) a pumpálás hatáskeresztmetszete, amivel a telítetlen pumpáló fény elnyelési tényezĘje:
α P = N0 σ P . A lézerkristályon áthaladva a fénynyaláb teljesítménye G L szeresére erĘsödik: GL = η p N 0 σ L
PP I P sat
s ( x , y , z ) r ( x, y , z ) dv , L I L sat ) s ( x , y , z )
³ 1 + (2 P
V
ahol η a a pumpáló nyaláb abszorbeált relatív hányadát adja.
34
(3.1.57)
A pumpálási küszöbteljesítmény értékére a következĘ összefüggést kaphatjuk [48]:
PP (th ) =
I P sat (δ 1 + δ 2 + δ ) 1 1 , 2 N0 σ L η p F0
(3.1.58)
F0 = ³ s( x, y, z ) r ( x, y, z ) dv .
(3.1.59)
V
Nagy veszteségĦ rezonátorok [15,49] A longitudinálisan pumpált lézerek teljesítményének számolásával foglalkozó szakirodalomban nem szokás figyelembe venni a lézerkristályban oda- és visszahaladó nyalábok intenzitásainak különbözĘségét. Pedig a kicsatolás mértéke elérheti a 15-20%-t is, ami szükségessé teheti a kisveszteségĦ közelítés elvetését. Ha nem hanyagoljuk el a rezonátorban az egyik, illetve a másik irányban haladó fény teljesítményének a veszteségek következtében megjelenĘ intenzitáskülönbségét, azaz nem alkalmazzuk a kis veszteségĦ közelítést, akkor (3.1.1) és (3.1.2) helyett a következĘket kell írnunk: d I L+ = g ν , I L+ , I L− I L+ − η I L+ d z
(
)
(
)
g ν , I L+ , I L− =
d I L− = g ν , I L+ , I L− I L− − η I L− d z
(
)
g o (ν ) . 1 + s(ν ) I L+ + I L−
(
)
(3.1.60)
(3.1.61)
Ezek az egyenletek transzverzálisan állandó erĘsítési tényezĘ feltételezése mellett megoldhatóak, mivel a (3.1.60)-beli egyenletek következtében ilyenkor: I L+ ( z ) ⋅ I L− ( z ) = C = állandó .
(3.1.62)
Ennek segítségével, például a 2-es tükör elĘtt a rezonátorbeli intenzitás, ha a rezonátoron belüli egyéb veszteségeket elhanyagoljuk: I L+ ( z 2 ) =
ª § 1 «2 d g 0 (ν ) − ln¨¨ (1 + r2 r1 )(1 − r1 r2 ) ¬ © r1 r2 1
·º I L sat ¸¸» . ¹¼ 2
(3.1.63)
Itt r1 = 1 − δ 1 és r2 = 1 − δ 2 a két végtükör amplitúdóreflexiós tényezĘje.
Az erĘsítés longitudinálisan egyenetlen telítĘdése (longitudinal hole-burning) [49] Az erĘsítést a tér egy pontjában az ott kialakuló intenzitás telíti, ami nem egyszerĦen az oda- és visszahaladó fénynyalábok intenzitásának összege, hanem a két fénynyaláb térerĘsségének összegébĘl adódó intenzitás. Az eredĘ intenzitás eloszlása két egymással szemben haladó fénynyalábnak viszont az állóhullám intenzitáseloszlásának megfelelĘen a fény hullámhosszának felével periodikus eloszlású lesz. Ha a szemben haladó fénynyalábok 35
intenzitása
megegyezik,
akkor
a
csomópontokban
nincs
fényintenzitás,
míg
a
duzzadóhelyeken a fény intenzitása a két szemben haladó nyalábok intenzitásának a négyszerese. Ez az egyenetlen fényintenzitás-eloszlás az erĘsítés telítĘdésének egyenetlen eloszlását, az erĘsítésben térbeli „lyukak égetését” jelenti. A duzzadóhelyeken a szemben haladó fénynyalábok intenzitásának összegénél erĘsebb intenzitás (32)-ben megadottnál lényegesen erĘsebben telíti az erĘsítést. Az erĘsebb telítĘdés az állóhullámú lézerekben 2030%-os teljesítménycsökkenést eredményez [49]. De nem túlságosan keskeny erĘsítési spektrumú állóhullámú lézerek esetében még homogén vonalkiszélesedésĦ lézerek esetében is több longitudinális móduson mĦködik a lézer, amivel az erĘsítés telítĘdésének térben egyenetlen hatását és ebbĘl következĘen az eredĘteljesítmény csökkenését megszünteti [15].
3.1.5. A fényerĘsítés nyalábformáló hatása (gain-guiding) A longitudinálisan fókuszált lézernyalábbal pumpált lézerekben az erĘsítés transzverzális irányban megmutatkozó helyfüggése a lézermódus alakját módosítja [47]. Az erĘsítés fényterelĘ hatása jelentĘsen módosítja a lézerek stabilitási tartományát és a bennük kialakuló fénynyalábok paramétereit. Hengerszimmetrikus alapmódusú Gauss-nyalábot (lásd a 2.1.1. alfejezetet) feltételezve a pumpáló és a gerjesztett lézernyalábok térbeli alakjára a kisjelĦ erĘsítés helyfüggését a következĘ összefüggés adja [51]:
§ 2r2 g (r ) = g 0 exp¨ − 2 ¨ w p ©
· ¸. ¸ ¹
(3.1.64)
Itt w p a pumpáló fénynyaláb nyalábvastagsága (lásd a 2.1.1. alfejezetet). Az optikai tengelyhez ( r = 0 ) közel az erĘsítés kifejezését az alábbi módon közelíthetjük:
§ 2r2 g (r ) ≈ g 0 ¨1 − 2 ¨ w p ©
· ¸. ¸ ¹
(3.1.65)
A közel parabolikus erĘsítés hatását a fénynyaláb alakjára az úgynevezett komplex mátrixoptika (lásd a 2.1.1. alfejezetet) segítségével vehetjük figyelembe [51]. Az erĘsítés telítĘdését is figyelembe véve (3.1.64) helyett a következĘt írhatjuk [52]:
g (r ) = g 0 Itt
i L (r ) +
és
iL (r ) −
(
exp 2 r 2 w p
2
)
1 + i L (r ) + i L (r ) +
−
.
(3.1.66)
a lézerrezonátorban oda- és visszaterjedĘ fénynyaláboknak az
erĘsítéstelítĘdési intenzitására ( I L sat ) normált intenzitásának 36
idĘbeli átlagát jelenti. A
fényterelĘ hatás egyszerĦ paraxiális közelítése azonban nem ad megfelelĘ eredményt, ha az erĘsítés telítĘdését is figyelembe vesszük [53].
3.1.6. Kerr-lencsés módusszinkronizálás A lézerrezonátor körülfutási idejénél rövidebb fényimpulzusok keltését a lézerrezonátor axiális módusainak összelebegtetésével, a móduscsatolással lehet elérni. A szakirodalomban ismertek aktív és passzív modulációs eljárások is, mind a két fajtából van amplitúdó- és fázismodulációs eljárás is [15]. A moduláció sebessége és erĘssége meghatározza egy adott lézerben alkalmazva azt, hogy milyen rövid lézerimpulzusokat lehet segítségével elĘállítani [54]. Femtoszekundumos lézerimpulzusok elĘállítására napjainkban egyik legelterjedtebb a Kerr-lencsés módusszinkronizáló eljárás alkalmazása [33].
Optikai Kerr-hatás Az optikai Kerr-jelenség lényege, hogy az intenzív lézerfény a közeg törésmutatójának a lézerfény intenzitásával arányos megváltozását idézi elĘ [15]: n( I ) = n0 + n 2 I .
(3.1.67)
A lézerfény transzverzális eloszlása meghatározza a keltett törésmutató-változás transzverzális eloszlását. A transzverzálisan megváltozott törésmutató-eloszlás lencseszerĦ hatásával megváltoztatja a lézernyaláb hullámfrontjának görbületét, ezzel a lézernyaláb önfókuszálását idézi elĘ. Alapmódusú Gauss-nyaláb
§ − 2r2 I (r ) = I 0 exp¨¨ 2 © w
· 2P § − 2r2 ¸¸ = ¨¨ exp 2 2 ¹ πw © w
· ¸¸ ¹
(3.1.68)
beesése esetén a Kerr-hatás paraxiális közelítésben a tengelytĘl mért r távolságtól négyzetesen változó törésmutató profilt eredményez [55]:
n(r ) = n0 + n2 I 0 − 2 n 2 I 0
r2 . w2
(3.1.69)
A transzverzális irányokban helyfüggĘ törésmutató a fénynyalábot pozitív n 2 esetén fókuszálja, míg negatív n 2 esetén defókuszálja. Ezt a jelenséget szokás az önfókuszálás jelenségének, vagy Kerr-lencse hatásnak nevezni. Hengerszimmetrikus fénynyalábok esetén a nemlineáris közegben terjedĘ nyaláb w
vastagságának helyfüggése analitikusan is
számolható [55]. Ha a fénynyaláb P teljesítménye nagyobb, mint egy Pc kritikus
37
teljesítményérték, akkor a fénynyaláb transzverzális mérete megfelelĘen hosszú terjedés után drasztikusan lecsökkenhet, a fénynyaláb transzverzálisan összeomolhat: Pc = a
λ2 8 π n0 n 2
.
(3.1.70)
Itt λ a fény vákuumban mért hullámhossza, a pedig egy korrekciós tényezĘ. Utóbbira azért van szükség, mert a paraxiális közelítésbĘl számolt Kerr-lencse hatás nagyobb, mint a kísérletek [56,57] mérési eredményeibĘl és az ennek megfelelĘ értéket szolgáltató variációs elven alapuló számolásból [58] kapható érték. Gauss-nyalábok esetén a kísérleti eredményekkel
legjobb egyezés
a≈4
esetén
kapható.
A korrekciós együttható
alkalmazásával a paraxiális közelítés eredménye a közelítést nem használó, pontos numerikus eredményekkel igen jó egyezést mutat mindaddig, míg P < 0,25 Pc . A (3.1.4) kifejezésbĘl a Ti:zafír kristály esetén 2,6 MW kritikus teljesítmény adódik. A Kerr-lencse hatás leírható az ABCD mátrixmódszer kiterjesztésével is, ami a fent leírt közelítésben analitikus megoldások megadására is lehetĘséget ad. A Kerr-anyagban terjedĘ hengerszimmetrikus fénynyaláb nyalábvastagságának és hullámfront görbületének változását leíró egyenletek hasonlóságát kihasználhatjuk: a fénynyalábot leíró komplex q paraméter transzformáltja a lineáris közegben szokásos helyfüggést mutatja [59,60]:
§1· §1· 1 = Re¨¨ ¸¸ − j σ Im¨¨ ¸¸ , NL q ©q¹ ©q¹
σ =1−
P . Pc
(3.1.71) (3.1.72)
A Kerr-hatást mutató közeg határára érĘ nyaláb q paraméterét a fenti képletek szerint transzformálva olyan módosított q NL paramétert kapunk, amelyre a nemlineáris közegben terjedĘ fénynyalábra teljesül:
q NL ( z ) = q NL (0 ) + z n0 .
(3.1.73)
A nemlineáris közeg határára érve a (3.1.5) transzformáció inverzével megkaphatjuk a Kerr-anyagon keresztülhaladt fénynyaláb szokásos q paraméterét:
§ 1 1 = Re¨¨ NL q ©q
· § 1 1 ¸¸ − j Im¨¨ NL σ ©q ¹
· ¸¸ . ¹
(3.1.74)
Ez az eljárás lehetĘvé tette az optikai Kerr-hatás figyelembevételével a lézerrezonátorokban kialakuló fénynyalábok jellemzĘinek analitikus számolását [61,62,63]. Mindezt azonban csak hengerszimmetrikus fénynyalábok feltételezésével és a Kerr-hatáson
38
kívül
más
jelenségek
(erĘsítés
fényterelĘ
hatása,
termikus
lencse
kialakulása)
elhanyagolásával tehetjük meg. Az esetenként jelentĘs szerepet játszó, a fénynyalábot módosító jelenségek hatását is figyelembe vehetjük, ha a Kerr-hatást a nemlineáris anyag vékony szeletekre bontása mellett, a vékony szeletekhez tartozó elemi Kerr-hatást leíró lencsékkel vesszük figyelembe [57,64]:
P 1 = f Pc
§ λ ¨¨ © n0 π
· 1 ¸¸ 4 dz . ¹ w
(3.1.75)
A fenti képlet a nemlineáris közeg dz vastagságú szeletének fókuszáló hatását megadó f fókusztávolságát adja ott, ahol a fénynyaláb vastagsága w. A femtoszekundumos Ti:zafír lézerek túlnyomó többsége asztigmatikusan kompenzált rezonátorokkal épül, amiben az asztigmatikus kompenzáltság ellenére a lézerkristályban a fénynyalábok nem hengerszimmetrikusak, asztigmiásak. Ha a Kerr-hatást kiváltó fénynyaláb a két transzverzális, az x és az y irányban eltérĘ w x és w y nyalábvastagsággal rendelkezik, akkor a nemlineáris közeg egy dz vastagságú szeletének a Kerr-lencse hatás miatt megjelenĘ hatását az x és y irányokban az f x és f y effektív fókusztávolsággal jellemezhetjük [65]:
P§ λ 1 = ¨¨ f x Pc © n0 π
· 1 ¸¸ dz 3 ¹ wx w y
P§ λ 1 = ¨¨ f y Pc © n0 π
· 1 ¸¸ dz . 3 ¹ wx w y
(3.1.76)
A Kerr-lencse hatás fĘbb jellegzetességeit, a Kerr-lencsés módusszinkronizálás során betöltött szerepét legjobban a nemlineáris közegek paramétereinek mérésére szolgáló egysugaras mérési eljárás, az úgynevezett z-scan kísérletekben játszott szerepe alapján érthetjük meg legegyszerĦbben (3.1.7. ábra). A z-scan kísérletekben egy fénysugarat fókuszálnak a vizsgált anyagi mintába. A minta helyzetének (z) változtatása során az önfókuszálás hatása a kimenĘ fénynyaláb jellemzĘ nyílásszögét csökkenti, ha z > 0 , illetve növeli, ha z < 0 . A fénynyaláb távolterében elhelyezett apertúra ennek megfelelĘen a ráesĘ fénynyalábnak eltérĘ részarányát engedi a detektorra. A 3.1.7.b) ábrán egy a 3.1.7.a) ábrának megfelelĘ mérési elrendezés során mérhetĘ jellemzĘ detektorjel z-függést mutat. A 3.1.7.b) grafikonon látható csúcsok élessége a fókuszált fénynyaláb Rayleigh-hosszának és a vizsgált anyag d hosszának az arányától függ.
39
a)
b)
3.1.7. ábra. Nemlineáris optikai anyagjellemzĘk mérésére szolgáló egysugaras, úgynevezett z-scan kísérletek elvi elrendezése (a) és jellegzetes jelalakja (b)
3.1.8. ábra. Asztigmatikus fénynyalábok Kerr-lencse hatásának számolása során a szaggitális és a meridionális síkbeli nyalábvastagságokkal a hengerszimmetrikus esetre érvényes képlet meglehetĘsen pontatlan eredményt ad még a z-scan kísérletek modellezése során is [65]
A szakirodalomban a Kerr-lencsés módusszinkronizáció tanulmányozása során széles körben alkalmazták a Kerr-lencse hatás számolásakor a hengerszimmetrikus esetre érvényes képleteket az általános eset leírására szánt modelljeikben [40,52,62,63,64,66,67,68, 69,70,71]. Asztigmiás nyalábok Kerr-lencse hatásánál az asztigmia helyes figyelembe vétele azért nagyon fontos, mert a hengerszimmetrikus esetre helyes képletek helyenként a valós viselkedéstĘl nem csak számértékében, de jellegében is eltérĘ, hibás viselkedést adnak [65,72]. A 3.1.8. ábráról leolvashatók a Brewster-szögben megdöntve a fény útjába helyezett Kerr-anyagnak a z-scan kísérletekben és az ehhez hasonló szituációnak tekinthetĘ lézerrezonátorbeli Kerr-lencse hatásban mutatott jellegzetességei. Jól megfigyelhetĘ, hogy a meridionális (x-z) síkban a Kerr-lencse hatás jelentĘs mértékben erĘsebb, mint a szaggitális síkban. 40
Kerr-lencsés módusszinkronizálás Femtoszekundumos fényimpulzusokat adó Ti:zafír lézerek megvalósítását a Kerr-lencsés módusszinkronizáció felfedezése [73,74] tette lehetĘvé. A lézerkristályon és az esetlegesen egy résen kívül a szokásos optikai elemeken túl mást nem tartalmazó lézerekben megvalósuló módusszinkronizáló hatást számítógépes szimulációk segítségével azonosították [66,75]. A Kerr-lencsés módusszinkronizációt hengerszimmetrikus rezonátorok modelljének segítségével térképezték fel [40,62,63,64,66-71], csupán néhány munka vette helyesen figyelembe a gyakorlatban mindig megjelenĘ asztigmia hatását [65,76,77]. A lézerkristályba fókuszált rezonátormódus Kerr-lencse hatása következtében a rezonátor módusainak nyalábvastagsága a rezonátoron belüli pozíció függvényében eltérĘ mértékben megváltozik. A passzív amplitúdómodulációt (SAM) elĘidézĘ gyors telítĘdĘ abszorbens jellegĦ viselkedést egy rezonátorba helyezett rés (hard-apertúra) segítségével érhetjük el, amelyet a rezonátorba oda helyezzük, ahol az impulzusos viselkedésnek megfelelĘen növekvĘ intenzitás a rezonátormódus csökkenĘ nyalábvastagságát idézi elĘ [63]. Ha a pillanatnyilag intenzívebb lézerfény a Kerr-lencse nyalábformáló hatása a lézermódus és a pumpáló fénynyaláb jobb átfedését biztosítja a lézerkristályban (lágy(soft)-apertúra), mint a kis intenzitású lézerfény esetében, akkor a moduláló hatás kialakításához nincsen szükség apertúra elhelyezésére a rezonátoron belül. Ilyenkor a pumpáló nyaláb által definiált erĘsítés térbeli függése képez a lézerfénynek úgynevezett soft-apertúrát [75]. Hard-apertúrás KLM esetén a rezonátoron belüli rés L vesztesége a teljesítmény közel lineáris függvénye: L = L0 − κ PL .
(3.1.77)
Egy a félszélességĦ lineáris résen átjutó w nyalábszélességĦ (lásd a 2.1.1. fejezet (3.1.9) képlete) fénynyalábot feltételezve κ értékét a következĘképpen becsülhetjük [70]:
κ = −2
§ a2 exp¨¨ − 2 2 π wL © 2
· a ¸ ¸ w P µ, ¹ L c
(3.1.78)
ahol µ a kisjelĦ relatív nyalábméret-változás, amit szoktak a lézerrezonátor Kerr-lencse érzékenységének is nevezni ( p = PL Pc ):
§ 1 dw ·
L ¸¸ . µ = ¨¨ w d p ¹ p =0 © L
(3.1.79)
Hard-apertúrás KLM lézerrezonátorok optimalizálását µ értékének a rezonátor valamely pontjában történĘ maximalizálásával lehet elérni [67,68]. A rezonátorok Kerr-lencse
41
érzékenysége legjelentĘsebben a rezonátor hajtogató, fókuszáló tükreinek távolságától (d) és a lézerkristálynak a két fókuszáló tükör közötti pozíciójától, az egyik fókuszáló tükörtĘl mért távolságától ( d 3 ) függ [63]. A modellszámolások [67,68] kimutatták, hogy a rezonátorok Kerr-lencse érzékenysége legerĘsebb a lézer stabilitási tartományainak a szélén. Az analitikus modell [38,63,78] azt mutatja, hogy a rezonátorok Kerr-lencse hatásának erĘssége jelentĘsen függ a rezonátorok (lásd a 3.1.2. alfejezetet) γ aszimmetria-praméterétĘl:
f1 d 2 − f 2 . 2 f 2 d1 − f 1 2
γ =
(3.1.80)
A rezonátor alsó stabilitási tartományának felsĘ szélén (a konfokális rezonátoréhoz közeli beállítás) a Kerr-lencse hatás kis aszimmetria esetén csupán a stabilitási tartomány legszélén ad megfelelĘ elĘjelĦ jelentĘs nagyságú értéket, viszont nagy aszimmetria esetén a stabilitási tartomány szélétĘl viszonylag távolabb is megfelelĘ elĘjelĦ, de még a stabilitási tartomány legszélén is kisebb Kerr-lencse hatás figyelhetĘ meg (3.1.9. ábra). Viszont a stabilitási tartomány legszélén legerĘsebb a rezonátorok beállítási hibákra mutatott érzékenysége is [79]. Így a jó nyalábminĘséggel együtt járó nagy teljesítmény és a nagy Kerr-lencse érzékenység együttes optimumának keresésével lehet a hard-apertúrás KLM lézereket tervezni [33].
3.1.9. ábra. Az alsó stabilitási tartományon belül a Kerr-lencse okozta amplitúdó moduláció erĘsségének változása a rezonátor két különbözĘ aszimmetria paramétere γ esetén [38] ( δ 1 a stabilitási tartomány szélessége)
A rezonátorok Kerr-lencse hatásának erĘssége azonban lényegesen összetettebb viselkedést mutat [67,68], mint ahogyan azt a 3.1.10. ábrán látható a rezonátor fókuszáló tükreinek távolsága ( d ) és a lézerkristálynak az egyik fókuszáló tükörtĘl mért távolsága ( d 3 ) függvényében ábrázolt µ értékek ((3.1.14) összefüggés) eloszlásából láthatjuk.
42
a) b) 3.1.10. ábra. Rezonátorok Kerr-lencse érzékenységét számszerĦen ábrázoló kontúr ábra (a) és a szemléletesebb szürkeárnyalatos ábra (b)
A 3.1.10. ábrán is feltüntetett Kerr-lencse erĘsség ábrázolásakor a pumpáló fénynyaláb hatására bekövetkezĘ fényterelĘ hatást (gain-guiding) nem szokás figyelembe venni [67,68,69,70,76], pedig annak jelentĘs hatása van a rezonátorok Kerr-lencse érzékenységére [80]. Lágy-apertúrás móduscsatolt lézerek Kerr-lencse hatásának vizsgálata esetén a fénynyaláb önfókuszáló hatása miatt a pumpáló és a gerjesztett lézernyaláb átfedésének bekövetkezĘ megváltozását kell meghatározni a lézerkristályban. A 3.1.4. alfejezetben leírtak szerinti valamilyen
közelítésben
számolhatjuk
a
lézerkristályban
a
fény
erĘsödését
[40,66,52,77,80,81,82]. Lágy-apertúrás Kerr-lencsés módusszinkronizált lézermĦködés akkor alakulhat ki, ha a lézerkristály erĘsítése ( g ) megfelelĘ mértékben megnövekszik (differenciális erĘsítés) az impulzusos mĦködés következtében elĘálló nagyobb pillanatnyi intenzitás önfókuszáló hatására: g = g 0 + κ PL .
(3.1.81)
A (3.1.11) összefüggés helyett most a fenti egyenletben szereplĘ κ együtthatót kell maximalizálni hatékony Kerr-lencse hatás elérése érdekében [40].
3.1.7. A lézerkristály melegedésének hatása A longitudinálisan pumpált lézerekben a fókuszált pumpáló nyaláb elnyelĘdésébĘl származó hĘterhelés nem csupán a lézerkristály egészének felmelegedését okozza, hanem a térben inhomogén pumpálás következtében jelentĘs fénynyaláb-deformáló hatás (termikuslencse hatás) is fellép [33]. A fókuszálás miatt nagyon koncentrált hĘfejlĘdés miatt erĘsen komplex és inhomogén hĘmérsékleti és feszültségeloszlást eredményez.
43
Hengerszimmetrikus fénynyalábok feltételezése mellett a lézerkristályban kialakuló hĘmérséklet-eloszlásra a hĘvezetési egyenletekbĘl az alábbi összefüggés kapható [48]: ∞ Q (z ) (− 2)n §¨ r T (r , z ) = T0 ( z ) + 0 r 2 ⋅ ¦ ¨ 4 λth n = 0 (n + 1)! (n + 1) © w p
Q0 ( z ) =
2 PP (z ) α P (1 − η q )
π wP 2
n
· ¸ , ¸ ¹
(3.1.82)
.
(3.1.83)
Itt Q0 ( z ) jelöli az egységnyi térfogatelemben keltett hĘt a rezonátor tengelye mentén,
η q = ν L ν P pedig a gerjesztett és a pumpáló lézerfotonok energiájának hányadosa, λth a lézerkristály hĘvezetési együtthatója. A (3.1.82) és (3.1.83) egyenletek levezetésekor feltételezték, hogy a hĘáram alapvetĘen radiális irányú ( ∂ T ∂ r >> ∂ T ∂ z ). A lézerkristály melegedése miatt a gerjesztett állapot felsĘ élettartama csökken, ezzel a pumpálás hatásfoka csökken (lásd a 3.1.3. alfejezetet). A pumpálás miatt bekövetkezĘ hĘmérsékletemelkedés a rezonátor optikai tengelyének közelében parabolikus hĘmérsékletprofilt eredményez [33,64]: T (r ) − T0 = −
χ PP L r 2 . π wP 2 λth 2
(3.1.84)
Ennek hatására a törésmutató is parabolikus profilt mutat paraxiális közelítésben: § r2 n(r ) = n0 ¨¨1 − 2 © 2h
§ · d n χ PP L r 2 ·¸ ¸¸ = n0 ¨1 − ¨ dT π w 2 λ 2 ¸. ¹ P th ¹ ©
(3.1.85)
Itt d n d T = 3,11 ⋅10 −20 m 2 W a Ti:zafír kristály törésmutatójának hĘmérsékletfüggését meghatározó faktor. χ ≈ 0,6 az elnyelt hĘteljesítménynek és a pumpálási teljesítménynek a hányadosa [64]. A parabolikus törésmutatóprofil viszont lencsehatást kelt (termikuslencse). A lézerkristály egy kicsiny ∆z vastagságú szeletének ABCD mátrixa a következĘ [64]:
1 § §A B· ¨¨ ¸¸ = ¨¨ 2 © B D ¹ term.lencse © − ∆ z n0 h
∆ z n0 · ¸ 1 ¸¹
(3.1.86)
3.2. Új eredmények Longitudinálisan
pumpált
femtoszekundumos
Ti:zafír
lézerek
rezonátorainak
fejlesztését tĦztem ki célul. Számítógépes modell segítségével a lézerrezonátorokat optimalizáltam maximális kimenĘ teljesítményre és maximális Kerr-lencse érzékenységre. A megtervezett lézereket munkatársaimmal megépítettük, jellemzĘiket megmértük. 44
Kimutattam, hogy a longitudinálisan pumpált Ti:zafír lézerek erĘsítése telítĘdésének számolásakor a gerjesztett lézernyaláb telítĘ hatása mellett a pumpáló fénynyaláb telítĘ hatását is figyelembe kell venni (3.2.1. alfejezet). A
lézerrezonátorok
jellemzĘit
meghatározó
jelenségeknek
egy
számítógépes
optimalizáción belül is gyorsan kiértékelhetĘ, egyszerĦ leírására törekedtem (3.2.2.-3.2.6. alfejezetek). A számítógépes modellezés során a lézerkristályban lezajló folyamatok közül az erĘsítés telítĘdését, a gerjesztett és a pumpáló fénynyalábnak a fényerĘsítés terelĘ hatása (gainguiding) miatt bekövetkezĘ módosulását, a lézerkristály hĘterhelése miatt kialakuló termikus lencse hatását és a lézerkristály melegedésébĘl következĘ gerjesztett állapot élettartamcsökkenésébĘl származó fényerĘsítés-csökkenést is figyelembe vettem (3.2.7. alfejezet). A számítógépes modellezésnek, optimalizálásnak is köszönhetĘen kiváló jellemzĘkkel bíró lézerrezonátorokat sikerült megépítenünk (3.2.8. alfejezet).
3.2.1. A pumpáló és a gerjesztett fénynyaláb egymásra hatása Az energiaszintek közötti átmeneteket meghatározó egyenleteket a 3.1.5.b) ábra alapján a következĘképpen írhatjuk az optikai közelítés felhasználásával [15]:
d N3 = W0 3 N 0 − W3 0 N 3 − N 3 (γ 3 0 + γ 3 2 ) , dt
(3.2.1)
d N2 = N 3 γ 3 2 + W1 2 N 1 − W21 N 2 − N 2 γ 21 , dt
(3.2.2)
d N1 = N 2 γ 21 + W21 N 2 − W1 2 N 1 − N 1 γ 1 0 , dt
(3.2.3)
d N0 = N 1γ 1 0 + N 3γ 3 0 + W3 0 N 3 − W0 3 N 0 , dt
(3.2.4)
ahol N 0 , N1 , N 2 és N 3 a 3.1.5.b) ábrán jelölt energiaszintek megfelelĘ betöltöttségei, Wi j ( i, j = 0,1,2,3 ) az egyes energiaszintek közötti átmeneti valószínĦségek, γ i j ( i, j = 0,1,2,3 ) az i. állapotból a j. állapotba történĘ relaxáció átmeneti valószínĦsége. A Ti:zafír tulajdonságairól írt fejezetben láttuk, hogy a 0-ás és az 1-es állapot háromszorosan ( g1 = 3 ), míg a 2-es és a 3-as állapotok kétszeresen ( g 2 = 2 ) degenerált állapotok [15]:
g1 W0 3 = g 2 W3 0 és g1 W1 2 = g 2 W21 .
45
(3.2.5)
A négy egyenlet közül csak három független, mivel az egyes energiaszinteken elhelyezkedĘ Ti3+ ionok számának összege idĘben állandó: N = N 0 + N1 + N 2 + N 3 .
(3.2.6)
A képletekben szereplĘ N mennyiségek az egységnyi térfogatban elhelyezkedĘ ionok számát adják. A pumpáló fény I P intenzitása és a gerjesztett lézer fénye I L intenzitásának az erĘsödését az alábbi egyenletek írják le, ha a spontán emisszió hatását elhanyagoljuk [15]:
§g · d IP = −σ P I p ¨¨ 2 N 0 − N 3 ¸¸ , d z © g1 ¹
(3.2.7)
§g · d IL = −σ L I L ¨¨ 2 N 1 − N 2 ¸¸ , d z © g1 ¹
(3.2.8)
W3 0 =
IP I σ P és W21 = L σ L . hν P hν L
(3.2.9)
A fenti képletekbĘl egyszerĦen kifejezhetjük a „2”-es és az „1”-es energiaszintek betöltöttségével
kapcsolatos relatív populációinverzió
∆N 21 N = ( N 2 − ( g 2 g1 )N 1 ) N
értékét: ∆N 2 1 N
§ γ · ¨1 − g 2 2 1 ¸ ¨ g 1 γ 1 0 ¸¹ © = §§ § 1 g · g 1 ·¸ g 2 §¨ γ 21 γ 21 ·¸ γ 21 γ 21 W3 0 ¨ ¨¨1 + 2 ¸¸ W21 ¨ + 2 + 1+ + + + ¨ ¸ ¨ ¸ ¨© g1 ¹ © γ 3 2 g1 γ 10 ¹ g1 © γ 10 γ 3 2 ¹ γ 1 0 γ 3 2 © g2 W3 0 g1
. · § γ 30 ¸ + ¨1 + ¸ ¨ γ 32 ¹ ©
· ¸ (W21 + γ 21 ) ¸ ¹
(3.2.10) A
„3”-as
és
az
„0”-ás
energiaszintek
betöltöttségének
különbsége,
∆N 0 3 N = ( N 0 − ( g1 g 2 ) N 3 ) N a következĘképpen számolható: ∆N 0 3 N
§ γ 30 · ¸ + W 2 1 ) ¨1 − ¨ γ ¸ 32 ¹ © = §§ § 1 g · g 1 ·¸ g 2 §¨ γ 2 1 γ 2 1 ·¸ γ 2 1 γ 21 1+ + + + + W3 0 ¨ ¨¨1 + 2 ¸¸ W2 1 ¨ + 2 ¸ ¨ ¸ ¨ ¨© g1 ¹ © γ 3 2 g 1 γ 1 0 ¹ g1 © γ 10 γ 3 2 ¹ γ 1 0 γ 3 2 ©
(γ
21
. · § γ 30 ¸ + ¨1 + ¸ ¨ γ 32 ¹ ©
· ¸ (W2 1 + γ 2 1 ) ¸ ¹
(3.2.11) A fononok által segített 3 → 2 és 1 → 0 átmenetek nagyon gyorsak, az átmenet sebessége tipikusan 10 9 / s nagyságrendjébe esik [34], ezért γ 10 és γ 3 2 nagyságrendje jelentĘsen meghaladja a képletben szereplĘ többi mennyiségek nagyságrendjét. Ezért jó közelítéssel írhatjuk:
46
∆N 21 N ∆N 0 3 N
=
WP τ WP , = W P + W L + γ 2 1 τ WP + τ W L + 1
(3.2.12)
=
γ 21 + W L 1 + τ WL , = W P + W L + γ 21 τ W P + τ W L + 1
(3.2.13)
ahol τ = 1 γ 21 jelenti a "2"-es állapot élettartamát. Használom továbbá a W P = W0 3 és a W L = W21 jelöléseket. Ha bevezetjük a pumpáló, illetve a gerjesztett fény intenzitásának a telítési intenzitásához mért relatív értékét: i P = I P I P sat és i L = I L I L sat , akkor a (3.2.12)-es és a (3.2.13)-as képletek a következĘ rövid formában írhatók: ∆N 21 N ∆N 0 3 N
=
iP , 1 + iP + iL
(3.2.14)
=
1 + iL . 1 + iP + iL
(3.2.15)
A pumpálási ( I P sat ) és az erĘsítési ( I P sat ) telítĘdési intenzitást a következĘ képletekkel definiáljuk: I P sat = ahol σ P
és σ L
hν P
σPτ
=
hc
σ P τ λP
és I L sat =
hν L
σLτ
=
hc
σ L τ λL
,
(3.2.16)
az optikai pumpálásnak és a gerjesztett fény erĘsítésének a
hatáskeresztmetszetét jelenti. A populáció inverzió, így az erĘsítés mértéke is a (3.2.14)-es képlet alapján telítĘdik (lásd a (3.2.8)-as képletet): I P I P sat d IL . = σ L N IL dz 1 + I P I P sat + I L I L sat
(3.2.17)
A pumpáló nyaláb intenzitásváltozására a következĘt kapjuk:
1 + I L I L sat d IP = −σ P N I P . dz 1 + I P I P sat + I L I L sat A
Ti:zafír
fényerĘsítési
hatáskeresztmetszete
maximális
(3.2.18) a
790
nm-es
hullámhosszúságon, itt értéke σ L = 4,1 ⋅10 −19 cm 2 (3.1.3. fejezet). A lézerátmenet felsĘ energiaszintjének szobahĘmérsékleten 3,2 ȝs-os élettartamával számolva az erĘsítés telítési intenzitása (3.2.16) egyenlet alapján számolva I L sat ≅ 2 ⋅10 5 W cm −2 . Egy į1=5%-os kicsatoló tükörrel 200 mW-os átlagteljesítményt szolgáltató lézerben, ha a Ti:zafír kristályban a
47
nyalábderék wL mérete 15 ȝm, akkor a nyalábderék helyén megjelenĘ lézerintenzitás értéke
(
)
I L ≈ PL ki δ 1 π wL = 2,8 ⋅10 5 W cm −2 , ami az erĘsítés jelentĘs telítĘdését jelenti. 2
A szakirodalomnak a lézerek mĦködésével foglalkozó egyik legfontosabb forrása Siegman munkája [15]. Ebben több helyen is (pl. a 255. oldalon) nyomatékosan kiemeli a szerzĘ, hogy a pumpálás erĘssége nincs hatással a fényerĘsítés telítĘdési intenzitására. Lehet mindez annak a következménye, hogy a pumpálás és az erĘsítés telítĘdését mindenütt egymástól elkülönülve számolja. A négy energiaszint figyelembevételével a pumpálás és az erĘsítés egyidejĦ vizsgálatából azt kaptuk, hogy az erĘs pumpálás növeli az erĘsítés telítĘdési intenzitását: ∆N 21 N
=
iP i (1 + i P ) = P . i P + i L + 1 1 + i L (1 + i P )
(3.2.19)
A longitudinálisan pumpált Ti:zafír lézerekben a pumpáló nyaláb nyalábderekának wP mérete gyakran elérheti a 15 ȝm-es értéket, a pumpáló teljesítmény pedig az 10 W-os értéket, a pumpáló nyaláb fókuszában kialakuló teljesítmény értéke ezekbĘl az adatokból becsülve
(
)
I P max ≈ PP π wP = 1,4 ⋅10 6 W cm −2 . Az abszorpciós hatáskeresztmetszet 490 nm-es 2
hullámhosszon maximális σ P = 6,5 ⋅10 −20 cm 2 értékébĘl (2.1.4. fejezet) és a lézerátmenet felsĘ energiaszintjének szobahĘmérsékleten 3,2 ȝs-os élettartamából I P sat ≅ 2 ⋅ 10 6 W cm −2 telítési pumpáló intenzitás adódik. Megmutattam, hogy az optikai pumpálás telítĘdĘ hatását a Ti:zafír lézer erĘsítési folyamatában feltétlenül figyelembe kell vennünk.
3.2.2. A longitudinálisan pumpált lézerek fényerĘsítése A lézerkristály fényerĘsítĘ hatásának számolásakor a pumpáló és a gerjesztett lézerfényt alapmódusú Gauss-nyalábnak tételezem fel, mivel a longitudinálisan pumpált lézerek általában asztigmatikusan kompenzáltak, ezért a nyalábokat asztigmiás nyaláboknak kell feltételeznünk:
i P ( x, y ) =
§ 2 x2 2 PP 2 y2 1 − exp¨ − ¨ wP x 2 wP y 2 I P sat π wP x wP y ©
48
2 2 · § ¸ = p exp¨ − 2 x − 2 y P ¸ ¨ wP x 2 wP y 2 ¹ ©
· ¸ , (3.2.20) ¸ ¹
i L ( x, y ) =
§ 2 x2 2 PL 2 y2 1 − exp¨ − 2 2 ¨ wL x I L sat π wL x wL y wL y ©
2 2 · § ¸ = p exp¨ − 2 x − 2 y L 2 2 ¸ ¨ wL x wL y ¹ ©
· ¸ , (3.2.21) ¸ ¹
ahol PL és PP jelenti a lézerben gerjesztett nyaláb, illetve a pumpáló nyaláb teljesítményét. Bevezettem még az egyszerĦbb képletek érdekében a p P és p L jelöléseket is. A lézerfény erĘsítése:
d PL d I L ( x, y ) =³ dA = g L PL , d z d z A gL =
(3.2.22)
i L ( x , y ) i P ( x, y ) 1 d PL N hν L dx dy . = ³ PL d z PL τ A 1 + i P ( x, y ) + i L ( x, y )
(3.2.23)
A (3.2.23) összefüggésben szereplĘ integrál általános esetben analitikusan nem kiértékelhetĘ. A paraméterek számának csökkentése érdekében bevezetem az a x = wL x wP x ,
a y = wL y wP y jelölést, ezzel a (3.2.23) integráljának egyszerĦsített alakja:
g L = N σ L ⋅ FL , FL =
( (
)
(3.2.24)
(
) )
2 2 2 2 ∞ §∞ p P exp − 2 a x + 1 t x − 2 a y + 1 t y ⋅ ³ dt x ¨ ³ dt y π − ∞ ¨© −∞ 1 + p P exp − 2 a x 2 t x 2 − 2 a y 2 t y 2 + p L exp − 2 t x 2 − 2 t y 2
2
(
)
(
)
· ¸ . (3.2.25) ¸ ¹
A változók t x = x wP x és t y = y wP y cseréjével egy dimenziótlan FL szorzótényezĘt kaptam, ami a legáltalánosabb esetben négy változótól függ: FL = FL ( p P , p L , a x , a y ) . A négyváltozós függvénynek közelítĘ képletét határoztam meg, aminek legfĘbb jelentĘsége abban áll, hogy a rezonátor erĘsítésének meghatározásakor nem kell az integrált számolni, elegendĘ egy képletbe behelyettesíteni. Az alábbi közelítĘ formulát nem precíz levezetés útján nyertem, ezért csak közlöm az alakját:
FL ≈
2 pP
π
(a
1
2 x
(1 + p L ) + 1 + p P )⋅ (a y 2 (1 + p L ) + 1 + p P )
⋅
(3.2.26)
A (3.2.26)-ban adott közelítés (3.2.25) integrálját a gyakorlat szempontjából érdekes intervallumban jól közelíti, a telítĘdés jellegét mindig helyesen adja vissza.
49
3.2.1. ábra. A pumpáló és a gerjesztett lézernyaláb vastagságának szerepe. Az egyes grafikonokon az alábbiak szerepelnek: pumpáló nyaláb alakja (a, e), a gerjesztett lézernyaláb alakja (b, f), a populációinverzió eloszlása (c, g, itt szaggatott vonallal szerepel a lézernyaláb eloszlása is) és az erĘsítés során keltett fény eloszlása (d, h, itt is szaggatott vonallal a bejövĘ lézernyaláb eloszlása látható) (Az ábrák értelmezéséhez a szövegben találhatók információk.)
50
Az 3.2.1. ábra az erĘsítés telítĘdését szemlélteti az egyszerĦség kedvéért hengerszimmetrikus
nyalábok
feltételezése
mellett.
A
3.2.1.a)-d)
ábrák
esetében
( wP = 16 ȝm , wL = 60 ȝm , PP = 8,0 W , PL = 2,0 W , ekkor p P = 0,995 és p L = 0,177 ) a gerjesztett lézerfény nem telíti jelentĘsen az erĘsítést, azaz a populációinverzió transzverzális eloszlásába nem "égetĘdik lyuk". Ekkor az erĘsítés során keltett új fénynyaláb keskenyebb, mint a beérkezĘ lézerfénynyaláb (3.2.1.d) ábra), az erĘsítés a fénynyalábot keskenyíteni igyekszik. A 3,2,1.a)-d) ábrák esetében speciális még, hogy jelentĘsen kisebb a pumpáló nyaláb átmérĘje, mint a beérkezĘ lézernyaláb átmérĘje, ezért, mint ahogyan azt a 3.2.1.d) ábrán láthatjuk, a keltett új fény a lézermódus Gauss-nyaláb alakját elrontja. Az erĘsítés fénynyalábterelĘ (gain-guiding) hatását általában nem lehet egyszerĦen egy komplex lencsehatással figyelembe venni. Abban az esetben azonban, ha a lézer az erĘsítĘ közeg egy vékony szeletének az itt vizsgált viselkedését mutatja (ez nagyon gyakori), de a lézer mégis jó közelítéssel alapmódusú Gauss-nyaláb kimenettel rendelkezik, akkor feltételezhetĘ, hogy az erĘsítĘ közeg vizsgált szelete által keltett fénynyaláb a lézerben haladva a keletkezéstĘl távolabb, a távoltérben kiszélesedik, és csupán a kevésbé szélesedĘ lézermódussal együtt haladó része járul hozzá a rezonátoron belüli fényerĘsítéshez, illetve a fénynyaláb alakjának módosításához. Ez azt jelenti, hogy ha a pumpáló nyaláb például az x irányban keskenyebb, mint a lézermódus, akkor az effektív erĘsítés értékét a (3.2.34) egyenletben adott integrálból számított értéknek wP x wL x -szereseként kell számolni. Ha mindkét irányban ez a helyzet, akkor az effektív erĘsítés számolásához a (3.2.34) integrálból kapott értéknek a
(w
Px
wP y ) (wL x wL y ) -szeresét kell venni.
A 3.2.1.e)-h) ábrák esetében ( wP = 60 ȝm , wL = 20 ȝm , PP = 8,0 W , PL = 2,0 W , ekkor p P = 0,0707 és p L = 1,59 ) a keskenyebb gerjesztett lézernyaláb erĘsítést telítĘ, a populációinverzió transzverzális eloszlását torzító hatása jelentĘs (hole-burning). Ilyenkor az erĘsítés során keltett fénynyaláb kicsivel szélesebb, mint a beérkezĘ lézerfénynyaláb, azaz az erĘsítés folyamata az erĘsített fénynyalábot szélesíteni igyekszik. A lézernyaláb Gausseloszlású intenzitásprofilja egyáltalán nem torzul olyan jelentĘsen, mint a 3.2.1.a)-d) grafikonokhoz kapcsolódó esetben. Megvizsgáltam a longitudinálisan pumpált lézerek fényerĘsítésének telítĘdését. A gyakorlat szempontjából érdekes esetekben a fényerĘsítés telítĘdésének leírása a fénynyalábok transzverzális eloszlásának Gauss-eloszlás modellje mellett is kielégítĘ. A lézerrezonátor számítógépes optimalizálásához szánt közelítĘ képletet adtam meg az erĘsítés meghatározására. 51
3.2.3. FényerĘsítés terelĘ hatása: az erĘsítĘ közeg lencseszerĦ viselkedése (gain-guiding) A populációinverzió helyfüggése (3.2.1.c) és 3.2.1.g) grafikonok) miatt az erĘsített nyalábnak az intenzitása mellett térbeli eloszlása is megváltozik [51]. Kicsiny dz távolság megtétele után:
I L ( x, y, z + dz ) = I L (x, y, z ) [1 + α L ( x, y ) dz ] .
(3.2.27)
A fénynyaláb térerĘssége az intenzitás gyökével arányos, ezért:
E L ( x, y, z + dz ) = E L (x, y, z ) [1 + 12 α L ( x, y ) dz ] .
(3.2.28)
Felhasználva az α L ( x, y ) = σ L ∆N 21 ( x, y ) azonosságot, és a ∆N 21 ( x, y ) -t paraxiális közelítésben (ha x << wP x , wL x és y << wP y , wL y ) és kis rétegvastagság ( α L 0 dz << 1 ) feltételezése mellett kiértékelve a következĘt kapjuk: § α L 0 dz x 2 · § α dz y 2 · E L ( x, y, z + dz ) ¸ ⋅ exp¨ − L 0 ¸, ≅ exp¨ − (3.2.29) 2 2 ¨ ¸ ¨ ¸ E L ( x, y , z ) 2 a 2 b L L © © ¹ ¹ ahol
α L0 = 1 2
aL 1
bL
2
pP , 1 + pP + pL
(3.2.30)
[
2
[
2
]
(3.2.31)
]
(3.2.32)
1 1 + p L 1 − (wP x wL x ) , = 2 1 + pP + pL wP x 1 1 + p L 1 − (wP y wL y ) = . 2 1 + pP + pL wP y
Az (F.2.21)-(F.2.23) egyenleteinek megfelelĘen az erĘsítĘ közeg fókuszáló hatással bír, a dz vastagságú inhomogén erĘsítésĦ réteg ABCD mátrixának C eleme az x és az y koordináták esetén:
Cx =
Cy =
[
2
[
2
− i λ L α L 0 dz 1 + p L 1 − (wP x wL x )
nL 2 π w p x
2
1 + pP + pL
− i λ L α L 0 dz 1 + p L 1 − (wP y wL y )
nL 2 π w p y
2
1 + pP + pL
],
(3.2.33)
].
(3.2.34)
A (3.2.33) és a (3.2.34) egyenletek által adott fénynyaláb-módosító hatás csupán abban az esetben nem ad helyes viselkedést, ha a pumpáló fénynyaláb átmérĘje akár az x, akár az y irányban kisebb, mint az abban az irányban mért gerjesztett lézerfény nyalábjának átmérĘje. Ekkor, mint ahogyan azt az erĘsítés telítĘdésérĘl szóló 3.2.2. fejezetben leírtam a rezonátorban kialakuló jó közelítéssel alapmódusú Gauss-nyaláb nyalábformálásában csak a 52
távoltérben a lézermódussal együtt haladó erĘsített fénykomponens vesz részt. Emiatt ha a pumpáló nyaláb vastagsága, pl. az x irányban kisebb, mint a lézernyaláb vastagsága, akkor az erĘsítés effektív értékét, jelesül most α L 0 értékét az egynél kisebb wP x wL x szorzóval meg kell szorozni. A longitudinálisan pumpált lézerek fényerĘsítésének fényterelĘ hatását paraxiális közelítésben vizsgáltam, meghatároztam a fényerĘsítés lencseszerĦ hatásának ABCD mátrixát.
3.2.4. A pumpáló nyaláb gyengülése A pumpáló fénynyaláb elnyelĘdése:
d PP d I P ( x, y ) =³ dA = α P PP , d z d z A
αP = −
(3.2.35)
1 d PP N hν P i P ( x, y ) [1 + i L ( x, y )] dA . = PP d z PP τ ³A 1 + i P ( x, y ) + i L ( x, y )
(3.2.36)
A (3.2.36) által adott általános integrálképlet analitikusan nem kiértékelhetĘ még a Gauss-nyalábok feltételezése esetén sem. A paraxiális közelítése (nem precíz itt sem) még jellegében jól viselkedĘ eredményre sem vezet, mint az erĘsített fénynyaláb esetében (lásd a 3.2.2. alfejezetet). Így nem marad más, mint az általános képlet számolása, közelítése. A paraméterek számának csökkentése érdekében itt az a x = wP x wL x
és az
a y = wP y wL y jelöléseket használom, ezzel (3.2.36) integráljának az egyszerĦsített alakja:
α P = N σ P FP ,
FP =
2
π
(3.2.37)
( ( ))[1 + p exp(− 2 a t ³ dt ³ dt 1 + p exp(− 2 (t + t )) + p exp(− 2 a
∞
x
−∞
exp − 2 t x + t y 2
∞
y
−∞
2
2
L
2
P
x
x
2 x
2
y
L
x
2
− 2 ay ty 2
2
)]
tx − 2ay ty 2
2
2
).
(3.2.38)
Ha pedig az a = 1 esetet, azaz az azonos nyalábvastagságú, hengerszimmetrikus pumpáló- és lézermódus esetét vesszük, akkor a (3.2.38) integrálja szintén analitikusan számolható:
FP =
ln (1 + p L + p P )
( pL + pP )
2
pP +
pL . pP
(3.2.39)
Az általános (3.2.36) integrált annak ezzel a speciális esetben igaz értékével közelítem a rezonátorok numerikus kiértékelése során.
53
3.2.5. A pumpáló nyaláb transzverzális eloszlásának változása A pumpáló fénynyaláb elnyelĘdése az abszorpció telítĘdése következtében a nyaláb transzverzális irányára nézve nem állandó. A transzverzálisan változó elnyelĘdés a fókuszáló nyaláb alakjának a lineáris közegben történĘ terjedéshez képest torzulást szenved, amit a lézermódust módosító lencseszerĦ viselkedéshez hasonlóan írhatunk le. A fénynyaláb gyengülését meghatározó egyenlet:
I P ( x, y, z + dz ) = I P (x, y, z ) [1 − α P ( x, y ) dz ] .
(3.2.40)
A fénynyaláb térerĘssége most is az intenzitás gyökével arányos, ezért:
E P ( x, y, z + dz ) = E P (x, y, z ) [1 − 12 α P ( x, y ) dz ] .
(3.2.41)
A pumpáló fénynyaláb gyengülése az α P (x, y ) = σ P ∆N 3 0 (x, y ) összefüggésen keresztül
∆N 3 0 ( x, y ) -nal kapcsolatos, amit paraxiálisan kiértékelve (lásd 3.2.5. alfejezetet) a következĘt kapjuk:
§ α dz x 2 · E L ( x, y , z + dz ) § α P 0 dz · ¸⋅ ¸ exp¨ 2 P 0 ≅ ¨¨1 − ¨ a P (2 − α P 0 dz ) ¸ 2 ¸¹ E L ( x, y , z ) © © ¹ § α P 0 dz y 2 · ¸ ⋅ exp¨ 2 ¨ b (2 − α dz ) ¸ P0 © P ¹
,
(3.2.42)
ahol
αP0 = 1 2
=
2
=
aP 1
bP
{
[
2
{
[
2
(1 + p L )(1 + p P + p L )
2
p P 1 + p L 1 − (wP y wL y )
1
wP y
(3.2.43)
p P 1 + p L 1 − (wP x wL x )
1
wP x
1 + pL , 1 + pP + pL
2
(1 + p L )(1 + p P + p L )
]},
(3.2.44)
]} .
(3.2.45)
Az erĘsítĘ közeg a pumpáló nyalábra alapvetĘen defókuszáló hatással bír, a dz vastagságú anyagdarabka inhomogén erĘsítése ABCD mátrixának C eleme az x és az y koordináták esetén (lásd az F.2.2. függeléket):
Cx =
Cy =
{
[
2
{
[
2
i λ P α P 0 dz
p P 1 + p L 1 − (wP x wL x )
i λ P α P 0 dz
p P 1 + p L 1 − (wP y wL y )
n P π (2 − α P 0 dz ) n P π (2 − α P 0 dz )
(1 + p L )(1 + p P + p L )
(1 + p L )(1 + p P + p L )
54
]},
(3.2.46)
]} .
(3.2.47)
A 3.2.1. ábra szerint elvileg itt is (mint a gerjesztett lézernyaláb erĘsítésének nyalábalakformáló hatása esetén) probléma léphet fel a paraxiális közelítéssel, ha most a pumpáló fénynyaláb erĘsebben fókuszált. A pumpálás telítésiintenzitása ( I P sat ) azonban jelentĘsen nagyobb az erĘsítés telítési intenzitásánál ( I L sat ), ezért a gyakorlatban elĘforduló esetekben amikor a pumpáló fénynyaláb jelentĘsen szélesebb, mint a gerjesztett lézermódus fénynyalábja, akkor p P olyan kicsi lesz (lásd a 3.2.2 alfejezetet), hogy a (3.2.46) és a (3.2.47) egyenletek által meghatározott nyalábformáló hatás már elhanyagolható mértékĦ lesz. Longitudinálisan
pumpált
lézerek
pumpáló
fénynyalábjára
az
erĘsítĘ
közeg
defókuszálja, ezt a hatást a pumpáló és a gerjesztett fénynyalábok transzverzális eloszlását Gauss-eloszlással közelítve egy, a gyakorlatban fontos esetekben kielégítĘ pontossággal bíró komplex ABCD mátrixszal adtam meg.
3.2.6. A lézerkristály melegedésének hatása Folytonosan lézerrel longitudinálisan pumpált lézerek aktív közegében termikus lencse kialakulását vizsgálom ebben a fejezetben a pumpáló fénynyalábot alapmódusú, asztigmatikus Gauss-nyalábként feltételezve. Feltételezem továbbá, hogy a hĘterjedési folyamat lényegében csak kétdimenziós probléma, azaz ∂ T ∂ x , ∂ T ∂ y >> ∂ T ∂ z . IdĘben állandósult esetben a hĘvezetési egyenlet [33]: 0 = λth ∆T + Q .
(3.2.48)
Termikus lencse kialakulása Itt λth a lézerkristály hĘvezetési együtthatója, Q pedig az egységnyi térfogatban abszorbeált teljesítmény. ∆T a transzverzális (x,y) koordináták szerinti Laplace-operátor. A pumpáló fénynyalábra alapmódusú, asztigmatikus Gauss-fénynyalábot feltételezve (lásd az F.2.1. függeléket):
§ 2 x2 § ∂2 T ∂2 T · 2 y2 ¨− ¸ + = − − A exp 2 ¨ wP x 2 w P y 2 ∂y 2 ¸¹ © ∂x ©
λth ¨¨
· ¸, ¸ ¹
(3.2.49)
itt a pumpáló nyalábot Gauss-nyalábnak feltételezve (lásd a 3.1.4. alfejezetet):
A = 2 PP α P (1 − η p η q ) π wP x wP y ,
(3.2.50)
ahol η p a pumpálás szokásos kvantumhatásfoka (szobahĘmérsékleten értéke 80% körüli),
η q = ν L ν P a gerjesztett és a pumpáló lézerfény fotonenergiáinak aránya.
55
Az utóbbi egyenlet paraxiális közelítéseként az alábbit kapjuk: 2 2 § § ∂2 T ∂2 T · ¨1 − 2 x − 2 y ¸ + = A 2 ¨ wP x 2 wP y 2 ∂y 2 ¸¹ © ∂x ©
· ¸. ¸ ¹
λth ¨¨
(3.2.51)
A változókat szétválasztva ( a + b = 1 ):
λth
2 § ∂2 T ¨a − 2 x A + 2 ¨ ∂x 2 wP x ©
2 2 · § ¸ + λ ∂ T + A¨b − 2 y th 2 ¸ ¨ ∂y 2 wP y ¹ ©
· ¸ = 0. ¸ ¹
(3.2.52)
Az x és az y irányokban azonos alakú megoldásokat kapunk. Például az x irányú megoldás:
§ x2 x4 − ¨ 2 6 wP x 2 ©
λth T = − A ¨ a
· ¸+c x+c . 2 ¸ 1 ¹
(3.2.53)
A legalacsonyabb paraxiális közelítésben a lézernyaláb teljesítményeloszlása nem játszik szerepet:
T ( x, y ) = T0 −
Aa 2 Ab 2 x − y . 2 λth 2 λth
(3.2.54)
A képletben a és b értéke bizonytalan. Fémes határfelület esetén, amikor az x tengely irányában d x , az y tengely irányában pedig d y távolságban van a téglalap alakú tartomány fala, akkor a határfeltételbĘl egyszerĦen számolható:
a=K
dy
2
dx + dy 2
2
dx
b=K
,
2
dx + dy 2
2
.
(3.2.55)
Közelítésképpen felteszem, hogy wP x -ig és wP y -ig ugyanannyit csökken az optikai tengelytĘl a lézerkristály hĘmérséklete (kvázi fémes határfeltétel), akkor:
T ( x, y ) = T0 −
PP α P (1 − η p η q )
(
k π w P x w P y wP x + w P y 2
2
) (w
2
Py
)
x 2 + wP y y 2 . 2
(3.2.56)
A hĘmérséklet-változás miatt a kristály törésmutatója megváltozik [48]:
n( x, y ) = n(T0 ) − n x x 2 − n y y 2 , nx =
PP α P (1 − η p η q ) wP y d n , 2 2 k π wP x wP x + wP y d T
(
)
ny =
(3.2.57)
PP α P (1 − η p η q ) wP x d n . 2 2 k π wP y w P x + wP y d T
(
)
(3.2.58)
A transzverzális irányban megváltozott törésmutató-profil lencseszerĦ viselkedést eredményez:
E ( z + dz ) = E ( z ) ⋅ e
i
56
2π
λ
(n + n x ) dz 2
0
x
.
(3.2.59)
Az (F.2.21)-(F.2.23) egyenletekkel összevetve megkaphatjuk a termikus lencse ABCD mátrixainak C elemét az x és az y irányban:
Cx = −
2 ny 2 nx dz , illetve C y = − dz . n0 n0
(3.2.60)
A lézerkristály anyagának melegedése A lézerkristály anyaga hĘmérsékletének emelkedésével a lézerátmenet gerjesztett állapotának élettartama csökken (lásd a 3.1.4. alfejezetet), a pumpálás-erĘsítés együttes hatásfoka csökken. Az erĘsítés helyén, a rezonátor optikai tengelyének közelében kialakuló hĘmérséklet közelítĘ meghatározása céljából feltesszük, hogy a hĘterhelés a lézerkristályt csupán a rezonátor optikai tengelye mentén érte, és feltesszük, hogy a hĘterjedés peremfeltétele hengerszimmetrikus. A nyalábtól távolabb már nincsen forrás, és közel hengerszimmetrikus elrendezés mellett hengerszimmetrikus a hĘmérséklet-eloszlás is:
1 ∂ § ∂T · ¨r ¸ =0. r ∂ r ¨© ∂ r ¸¹
(3.2.61)
T (r ) = T0 − c1 ln (r0 r ) .
(3.2.62)
λth Ennek megoldása:
A pumpáló lézernyaláb vastagságánál nagyobb r sugár esetén az r sugarú hengerpaláston a hengeren belül elnyelt hĘ távozik:
λ 2 π r dz
∂T = (1 − η p η q )α P PP dz . ∂r
(3.2.63)
A (3.2.61) általános megoldásból:
r ∂T = −c1 0 . ∂r r
(3.2.64)
A (3.2.62)-(3.2.64) egyenletek összevetésébĘl adódik, hogy T (r ) = T0 −
(1 − η
η q )α P PP ln (r0 r ) . 2π λ
p
(3.2.65)
A lézerkristály hĘmérséklete növekedésének hatására bekövetkezĘ fluoreszcencia-
élettartam csökkenésének számolásához az effektív hĘmérsékletet az r = (wP x + wP y ) 2 távolság behelyettesítésébĘl becsülöm.
A lézerkristály melegedésének hatásait vizsgáltam. Meghatároztam a lézerkristály hĘmérséklet-emelkedése miatt kialakuló termikus lencse erĘsségét. EgyszerĦen kiértékelhetĘ összefüggést adtam meg a lézerkristálynak a fénynyalábok helyén bekövetkezĘ átlagos 57
hĘmérséklet-emelkedésének
meghatározásához,
ami
hĘmérsékletemelkedés
a
miatt
bekövetkezĘ gerjesztettállapot élettartam megváltozásának meghatározásához szükséges.
3.2.7.
Kerr-lencsével
módusszinkronizált
lézerek
számítógépes
modellezése A szakirodalomból megismert (3.1. fejezet) és az azt továbbfejlesztett (3.2.1-6. alfejezetek) részmodellek segítségével számítógépes programot írtam Pascal (majd C++) nyelven a lézerrezonátorok modellezése céljából. A programot a Kerr-lencsével módusszinkronizált Ti:zafír lézerek Kerr-lencse érzékenységének és a kimenĘ teljesítménynek a maximalizálására használtam. Az optimalizálás során figyelembe vett paraméterek a 3.2.2. ábráról leolvashatók (a d és az s értékek távolságokat, a t értékek tengely-menti vastagságokat, a g értékek a felületek görbületeit, míg az R értékek azok visszaverĘ képességét jellemzik).
3.2.2. ábra. Az asztigmatikusan kompenzált állóhullámú Ti:zafír lézer rezonátorok elvi felépítése.(Az esetlegesen a rezonátorba helyezett negatív diszperziót eredményezĘ prizmapár szerepeltetése nélkül)
Egy-egy adott lézerelrendezés jellemzĘinek feltérképezése céljából a 3.1.2. alfejezetben leírtak szerint meghatároztam az üres rezonátor stabilitási tartományát. A 3.1.1. alfejezetben megadott általános képletek módot adnak az általános (a termikus lencse hatását, az erĘsítés fényterelĘ hatását és a Kerr-hatást is figyelembe vett) rezonátor alapmódusú Gauss-nyalábja nyalábvastagságának a meghatározására a rezonátor bármely pontjában.
58
A lézerkristályban lezajló folyamatok nyomonkövetése céljából a lézerkristályt 30-50 darab vékony szeletre vágtam. A vékony anyagszeletekben a gyakorlatban fontos esetekben a fénynyalábok jellemzĘinek változása nem számottevĘ, így a (3.1.76) képlete alapján egy feltételezett impulzushosszhoz tartozó pillanatnyi teljesítményértékkel effektív Kerr-lencse hatást rendeltem az egyes rétegekhez. A 3.2.2-6. alfejezetekben írtaknak megfelelĘen számoltam a fénynyalábok erĘsödésének és deformációjának mértékét. A viszonylag nagy kicsatolásnak való megfelelés érdekében a lézerkristályban figyelembe vettem az oda- és visszaterjedĘ fénynyalábok teljesítményének különbözéségét (lásd a (3.1.60) és a (3.1.61) képleteket). A vázolt számítógépes modellben sok változó határozza meg a lézerrezonátor viselkedését (3.2.2. ábra). A lézer jellemzĘinek optimalizálása érdekében nemlineáris keresĘ eljárást alkalmaztam, amelyhez egy valós számot adó célfüggvényt kell definiálni. A sok változó függvényében erĘsen nemlineáris célfüggvények optimumát a magában lokális szimplex eljárásnak is nevezett Nelder-Mead optimalizálási eljárás [83] véletlen kezdĘhelyzetbĘl indított, így már globális optimalizálási változatával kerestem. A szimplex keresĘ eljárás lényege, hogy az n dimenziós paramétertérben a kezdĘpont körül egy n + 1 dimenziós szabályos alakzatot, egy n + 1 dimenziós szimplexet alakítunk ki. A szimplex csúcsaiban értékelem ki a célfüggvényt. Az optimalizálás alaplépése abból áll, hogy a legrosszabb célfüggvényértéket adó csúcsot a többi csúcs által képzett hipersíkra tükrözzük, vagy más eljárással jobb célfüggvényértéket adó ponttal helyettesítjük [83]. Az eljárás fĘként nagy dimenzió esetén lényegesen hatékonyabb, mint a célfüggvény iránymenti differenciáit (n darab) számoló módszer, az egyszerĦ gradiens módszer. A rezonátorok hard-apertúrás Kerr-lencse érzékenységének optimalizálása céljából alkalmaztam a (3.1.79) képlettel definiált Kerr-lencse érzékenységet, mint célfüggvényt. Ezen optimalizálás során megadtam, hogy a lézer melyik stabilitási tartományának melyik szélén vizsgálom a rezonátor Kerr-lencse érzékenységét. Az optimálisnak talált rezonátorhoz ezek után kerestem a kimenĘ teljesítmény szempontjából optimális pumpálási elrendezést. Lágy-apertúrás Kerr-lencsével móduscsatolt lézerek tervezéséhez a folytonos üzem kis pillanatnyi teljesítményhez tartozó (Kerr-lencse hatást ilyenkor nem kell számolni) kimenĘ teljesítménynek ( PCW ) és az impulzusos üzem nagy pillanatnyi teljesítményhez tartozó (Kerrlencse hatást valamilyen idĘbeli impulzushossz feltételezésével számoltam) átlagos kimenĘ teljesítményének ( PML ) különbségét használtam optimalizációs célfüggvénynek, illetve a nagy kimenĘ teljesítményt jobban elĘnyben részesítĘ alábbi célfüggvényt alkalmaztam:
59
Fcél = − PCW ⋅ (PML − PCW ) . 2
(3.2.66)
Az automatizált keresés eredményeként kapott rezonátorelrendezést részletesebben is megvizsgáltam, majd amikor az nem adott a gyakorlati megvalósítás szempontjából hátrányos túlságosan nagy nyalábméreteket vagy túlságosan kis szögeket ( ϕ 3 , ϕ 4 ), akkor nekiállhattunk a lézer kísérleti megvalósításának. Számítógépes modell optimumkeresés segítségével a lézerrezonátor geometriai paramétereinek variálásával maximális kimenĘ teljesítményre és maximális Kerr-lencse hatásra lézerrezonátort terveztem.
3.2.8. Megtervezett és megépített lézerek A részletezett vizsgálatokat egy magáncég (R&D Ultrafast Lasers Kft.) munkatársaként végeztem, így értelemszerĦen a megvalósítható lézerrezonátorok tervezésére koncentrálva végeztem munkámat. A kutatás idĘszaka alatt az általános tendenciák vizsgálatára nem volt idĘ és lehetĘség. Munkánkat a megvalósított lézerberendezések minĘsítették. Ebben az alfejezetben két, a gyakorlatban fontos tervezési példát mutatok be.
Kis pumpáló teljesítményre optimalizált hard-apertúrás KLM lézer A Ti:zafír lézerek a 450-550 nm hullámhossztartományba esĘ fénnyel gerjeszthetĘk hatékonyan (lásd a 2.3.3. alfejezetet). Ezeken a hullámhosszakon intenzív fényforrásként az Ar-ion lézerek és a rezonátoron belül másodharmonikust keltett Nd:YAG lézerek jöhetnek számításba. Mind a két lézerfajta igen drága, és áruk teljesítményükkel rohamosan növekszik. Ezért nagyon fontos szempont a lézertervezés során, hogy egy adott lézermĦködést minél kisebb pumpálóteljesítmény mellett lehessen elérni. Minimális pumpáló teljesítmény mellett hard-apertúrás Kerr-lencsével móduscsatolt lézert terveztem, a rendelkezésre álló d 0 = 2,17 mm vastagságú (2,5 mm optikai tengely menti hosszúságú) a 490 nm-es hullámhosszúságon α P = 6 cm −1 elnyelĘ-képességgel rendelkezĘ
Ti:zafír lézerkristályhoz. A 3.2.2. ábrának megfelelĘ rezonátor Kerr-lencse
érzékenységének maximalizálásával a következĘ rezonátorparamétereket kaptam, ha a hajtogató gömbtükrök görbületi sugarát 50 mm-esnek ( g 3 = g 4 = 0,02 mm −1 ) vettem:
ϕ 3 = 8,5 0 , ϕ 4 = 6,0 0 , d1 = 960 mm , d 2 = 970 mm .
(3.2.67)
A rezonátornak három egymáshoz igen közel esĘ stabilitási tartománya van (lásd 3.1.2. alfejezet). A két hajtogató gömbtükör közti távolsággal ( d ) megadva a stabilitási tartományok szélét (számolásból kapott adatok mm-ben megadva):
60
51,28 – 51,80 ,
51,81 – 51,94 ,
51,94 – 52,48.
(3.2.68)
A stabilitási tartományok olyan közel vannak egymáshoz, hogy a köztes tartományhatárokat a két gömbtükör távolságának változtatásakor csupán a lézernyaláb foltjának hirtelen megváltozásán lehet tapasztalni. A legerĘsebb Kerr-lencse érzékenységet a legnagyobb tükörtávolsághoz tartozó stabilitási tartomány alsó szélén lehetett megfigyelni (3.2.3. ábra), amikor a rezonátorba a d1 hosszúságú karba a végtükör elé helyezünk egy függĘleges irányultságú rést. A lézert a Marburgi Egyetem femtoszekundumos laboratóriumában építettem meg, és teszteltük azt SzipĘcs Róbert, Martin Hofmann és Arno Euteneurer kolegáimmal.
3.2.3. ábra. A kis pumpálási teljesítményre tervezett lézer Kerr-lencse érzékenysége. A lézert a nyíllal jelölt tartományban mĦködtettük
A lézert egy közel w0 = 1 mm vastagságú Spectra-Physics Ar-ion lézerrel pumpáltuk. A pumpáló lézerfényt egy 35 mm fókusztávolságú lencsével ( g 5 = − 1 16,1 mm −1 , n5 = 1,46 ) fókuszáltuk a lézerkristályba. A hard-apertúrás KLM mĦködést Pp = 0,7 W pumpálási teljesítmény mellett már sikerült beállítanunk. A rezonátorban a közel nulla csoportsebességdiszperziót (GDD) a rezonátorba helyezett fázismodulált dielektrikumtükrökkel és a d 2 hosszúságú karba helyezett negatív diszperziót elĘállító prizmapárral [2] állítottunk be.
61
3.2.4. ábra. A mért kimenĘ lézerteljesítmény függése a pumpáló teljesítménytĘl miközben a lézer hard-apertúrás Kerr-lencsés módusszinkronizált üzemmódban üzemel
A lézert gondosan beállítva már 0,7 W-os pumpáló teljesítmény mellett hard-apertúrával móduscsatolt mĦködést sikerült beállítani. A kimenĘ teljesítménynek a pumpáló teljesítménytĘl való függését a 3.2.4. ábrán figyelhetjük meg. A lézerben fázismodulált lézertükrök kaptak helyet, a kicsatoló tükör a ráesĘ fény 16%-át engedte át. Ez utóbbi azért nagyon figyelemreméltó, mert bár Ti:zafír lézert sikerült már 400-600 mW-os teljesítményĦ argon-ion lézerrel pumpálva lágy-apertúrás Kerr-lencsével módusszinkronizálni [84], ott azonban kisebb transzmissziójú kicsatoló tükröt használtak. A rezonátorból 0,8 W-os pumpálási teljesítmény mellett kijövĘ fény spektrumát a 3.2.5. ábra mutatja. A spektrum 75 nm-es szélessége (fél értékénél mért teljes szélesség) 28 fs-os transzformációhatárolt impulzushossznak felel meg. Spectrometer signal (dB)
-40
-50
-60
-70
-80 700
750
800
850
900
Wavelength (nm)
3.2.5. ábra. A lézer kimenetének spektruma 0,8 W pumpáló teljesítmény mellett
Magasabb, 3 W körüli pumpálási teljesítmények mellett a stabilitási tartományok szélei eltolódnak, a lézernek a végtükröknél megfigyelhetĘ nyalábvastagsága megváltozik alapvetĘen a termikuslencse-hatás következtében. A termikuslencse-hatás, amely a lézerkristály hĘmérséklete helyfüggésének a következménye, a jó hĘelvezetéssel nem
62
küszöbölhetĘ ki, amivel csupán a lézerkristály átlagos hĘmérsékletét csökkenthetjük. A numerikus modellezésbĘl megállapítottuk, hogy a pumpáló teljesítmény növelésének hatására nem csupán a stabilitási tartományok szélei és a nyalábméretek, de a rezonátor Kerr-lencse érzékenysége is változik. 3 W pumpálási teljesítmény felett a lézer móduscsatolt üzemmódban a 3.2.3. ábrán jelölt pozícióban már nem mĦködött, számolásaink szerint azért, mert ott a rezonátor Kerr-lencse érzékenysége elĘjelet váltott.
Nagy kimenĘ teljesítményre optimalizált lágy-apertúrás KLM lézer [85] Számos alkalmazásban fontos, hogy már a lézerrezonátorból kilépĘ femtoszekundumos fénynyaláb minél nagyobb teljesítménnyel bírjon. A továbbiakban beszámolok egy nagy kimenĘ teljesítményĦ lágy-apertúrás Kerr-lencsével móduscsatolt rezonátor tervezésérĘl és megépítésérĘl. Nagy pumpálási teljesítmény mellett a longitudinálisan pumpált Ti:zafír lézerek teljesítményének számolása során az erĘsítés fényterelĘ hatását és a termikus hatásokat is feltétlenül figyelembe kell vennünk. Lágy-apertúrás KLM esetén különösen, de hardapertúrás KLM esetén is nagyon fontos a pumpáló és a gerjesztett fénynyaláb megfelelĘ átfedése a lézerkristályban. Ennek megfelelĘen nagy pumpálási teljesítmény mellett üzemeltetett
lézerek
tervezésekor
modellünkben
alkalmaznunk
kell
a
3.2.2-3.2.6.
alfejezetekben leírtakat. A
2 mm
optikai tengely menti hosszúságú ( d 0 = 1,736 mm ) a 490 nm-es
hullámhosszúságon α P = 6 cm −1 elnyelĘképességgel rendelkezĘ Ti:zafír lézerkristály köré 50 mm-es görbületi sugarú ( g 3 = g 4 = 0,02 mm −1 ) fókuszáló tükrök felhasználásával megépíthetĘ a 3.2.2 ábrán ábrázolt elvi felépítésĦ lézert terveztem. A pumpáló SpectraPhysics Ar-ion lézer nyalábvastagságát w0 = 1 mm -es értékĦnek vettem, a pumpáló lézernyalábot fókuszáló lencsét 40 mm-es fókusztávolságúnak ( g 5 = − 1 18,4 mm −1 , n5 = 1,46 ) választottam. A (3.2.66) képlet által meghatározott célfüggvénnyel, PP = 4 W
pumpálási teljesítmény mellett elvégzett automatikus optimalizáció eredményeként a következĘ geometriai paramétereket kaptam:
ϕ 3 = 8,2 0 , ϕ 4 = 6,5 0 , d 1 = 600 mm , d 2 = 550 mm .
(3.2.69)
A rezonátornak két stabilitási tartománya van (lásd 3.1.2 alfejezet). A két hajtogató gömbtükör közti távolsággal ( d ) megadva a stabilitási tartományok szélét (számolásból kapott adatok mm-ben kifejezve): 51,0 – 52,01 ,
52,21 – 53,18
63
(3.2.70)
A differenciális erĘsítéssel arányos rezonátorbeli móduscsatolt (ML) és folytonos (CW) üzemmódok átlagteljesítményeinek különbségét a 3.2.6. ábra mutatja ( PP = 4 W ). A lézert a nagyobb fókuszálótükör-távolsághoz tartozó stabilitási tartomány alsó szélén üzemeltettük.
3.2.6. ábra. A nagy kimenĘ teljesítményre optimalizált lézer differenciális erĘsítése, mint a stabilitási paraméter ( d ) és a lézerkristály pozíciójának ( d 3 ) függvénye
3.2.7. ábra. A mért folytonos (CW) és móduscsatolt (ML) kimenĘ teljesítmény, mint a pumpáló lézer teljesítményének a függvénye
A pumpáló teljesítményt 3 W-tól 10 W-ig változtatva a lézert csupán kevéssé kell újraállítani, hogy az lágy-apertúrával móduscsatolt üzemmódban mĦködjön. A 3.2.7. ábrán a folytonos (CW) és a móduscsatolt (ML) kimenĘ-teljesítményt, mint a pumpáló teljesítmény függvényét ábrázoltuk. A femtoszekundumos Ti:zafír lézer a pumpáló Ar-ion lézer 10 W-os teljesítménye mellett közel 1 W-os kimenĘteljesítményt ad. A számítógépes programmal megtervezett lézerrezonátorokat megépítettük. A tervezés eredményeképpen kiváló jellemzĘkkel rendelkezĘ lézereket sikerült létrehoznunk.
64
3.3. Összefoglalás A
femtoszekundumos
Ti:zafír
lézerek
napjainkban
az
egyik
legelterjedtebb
femtoszekundumos lézerfényforrások. Nagy vetélytársuk a Cr:LiSGaF és Cr:LiSAF lézerek, amelyek direkt diódapumpálásuk folytán jelenleg jelentĘs energiafelhasználási és a lézer méretébĘl adódó helykihasználási elĘnnyel rendelkeznek. A Ti:zafír kiváló jellemzĘi miatt azonban ez a verseny még egyáltalán nem lefutott. A pumpálás hatékonyságának növelésével az
igen
drága,
nagy
teljesítményĦ
pumpáló
Ar-ion,
illetve
rezonátoron
belül
frekvenciakétszerezett Nd:YAG lézereket kisebb teljesítményĦ, így olcsóbb pumpáló lézerekkel lehet kiváltani. A munkám során megvalósított tervezĘeljárás hatékony lehetĘséget nyújt a Ti:zafír lézerek ezen irányba történĘ fejlesztésére. A 3. fejezetben leírt eredményeim részben publikálásra kerültek [85], részben viszont a lézerek tervezése terén uralkodó verseny miatt a kutatócsoportunk eleddig publikálatlan eredménye maradt. A lézertervezés folyamata, illetve a megépített lézerek felhasználása eredményeképpen azonban további, a 3. fejezetben leírtakon túlmutató, munkatársaimmal közösen megalkotott, a 3. fejezet témájához kapcsolódó publikációk [86,87,88,89,90,91,92,93] születtek.
65
4. Fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei Optikai adatrögzítésben, mikromegmunkálásban és a mikroszkópiában is fontos szerepet játszhat a fókuszált fénynyaláb polarizációs tulajdonsága. A polarizált fénynyalábok leírásának közismert formája az úgynevezett kétdimenziós (2D) közelítésén alapszik. Eszerint a polarizált fénynyalábot egyetlen, terjedési irányára merĘleges, a polarizációs irányába esĘ elektromos térerĘsségkomponenssel írják le. A modellben a fénynyalábnak megvan az a jó tulajdonsága, hogy polarizációja nem változik meg sem izotróp lencsékkel történĘ fókuszálás, sem izotróp felületeken bekövetkezĘ törés vagy visszaverĘdés esetén, ha a beesĘ fénynyaláb a beesési síkban vagy arra merĘlegesen polarizált. A 2D közelítés, bár még a paraxiális közelítésben sem megoldása az elektromágneses teret leíró Maxwell-egyenleteknek, de számos alkalmazás esetén kielégítĘ leírását adja a fénynyalábok viselkedésének [15]. Ezen a közelítésen alapszik a lézerrezonátorok tervezésében kulcsszerepet játszó Gauss-fénynyalábok szokásos leírása is. A fénynyalábok pontos leírását annak valódi háromdimenziós jellegét figyelembe vevĘ, úgynevezett vektoriális, háromdimenziós (3D) leírás adja [94]. A 3D leírás a 2D leíráshoz képest általában csak kicsiny korrekciókat ad, de erĘsen fókuszált fénynyalábok esetében az eltérés jelentĘs is lehet. A fókuszált polarizált fénynyalábok elektromos terének mindig van a terjedés irányába esĘ, azaz longitudinális elektromos komponense is. A polarizált fénynyalábok tovább fókuszált nyalábjában mindig megjelenik az eredeti polarizációs irányra merĘleges polarizációjú fény is. Izotróp közegek határfelületeirĘl visszaverĘdĘ vagy azon átjutó fénynyaláb polarizációs állapota akkor is módosul, ha a beesĘ fény a beesési síkban vagy arra merĘlegesen polarizált is, ha a reflexiós, illetve a transzmissziós tényezĘ értéke függ a beesĘ fény polarizációjától. A 2D közelítésbĘl nem várt, a 3D leírásból következĘ polarizációs jelenségeket szokás keresztpolarizációs jelenségeknek nevezni. A szakirodalomban a fénynyalábok 3D leírása bár ismert, de a keresztpolarizációs jelenségek vizsgálata még nem lezárt. Munkám során olyan új, a szakirodalomban nem ismert keresztpolarizációs jelenség elméletét vizsgálom, amit a Kecskeméti FĘiskola GAMF Karának Matematika és Fizika Tanszékén kialakított optikai laboratóriumban kísérletileg is sikerült demonstrálni.
4.1. ElĘzmények Lineárisan polarizált sík fényhullám fókuszált elektromos terének valós, 3D eloszlását elĘször Richards és Wolf [94] 1959-ben vezette le. A fókuszált fénynyaláb elektromos terének 66
van az eredeti polarizációs irányára merĘleges transzverzális irányba esĘ elektromos tere és longitudinális tere is. Mind a keresztpolarizációs, mind a longitudinális elektromos tér a gyakorlatban elĘforduló fénynyalábok esetén az eredeti polarizációs elektromos térhez képest viszonylag gyenge. A 2D megoldás elektromos és mágneses térerĘsségének transzverzális komponensei csupán a hullámegyenletnek (Helmhotz-egyenletnek) a megoldása, de a 2D modellbeli fénynyaláb elektromágneses tere nem megoldása a Maxwell-egyenletek rendszerének [95]. A szakirodalomnak számos, a fénynyalábok vektoriális leírásával foglalkozó cikke a 2D, lineárisan polarizált, paraxiális fénynyalábok megoldásához legközelebb esĘ 3D megoldást keresi. Hogy ezeknek az alapegyenleteknek ne mondjanak ellent peremfeltételeikkel az elektromágneses skalár Whittakker-potenciáljainak [96], vagy a Hertz-vektor [95] peremfeltételeinek megadásával definiáltak Gauss-nyaláb jellegĦ fénynyalábokat. Lehetséges azonban a Maxwell-egyenleteket kielégítĘ 3D megoldást felírni a fénynyaláb transzverzális komponenseinek a definiálásával is [97]. Az 97. hivatkozás eljárását követve az F.4.1. függelékben a 3D modellben levezetem a lineárisan poláros Gauss-fénynyaláb elektromágneses terének eloszlását a paraxiális közelítés második rendjében:
§ 1 ¨ & e ( x, y , z ) = E0 (r , z ) ¨ 0 ¨− x ©
· ¸ ¸, q ¸¹
§ − x y q2 & E0 (r , z ) k ¨ 2 2 h ( x, y , z ) = 2q2 ¨1 + x − y µ0 ω ¨ −y q ©
(
E0 (r , z ) = E x 0
(4.1.1)
· ¸ ¸, ¸ ¹
)( )
§ − i k r 2 · −i k z q0 ¸¸ ⋅ e . ⋅ exp¨¨ q © 2q ¹
(4.1.2)
(4.1.3)
Látható, hogy még, ha az elektromos tér lineárisan polarizált is, a mágneses térnek nem nulla sem az x és sem az y komponense. Szintén megfigyelhetĘ, hogy ebben a közelítésben mind az elektromos, mind a mágneses tér z komponense elsĘ rendĦ Hermite-Gauss módusú. Definiálható a mágneses térben lineárisan polarizált fénynyaláb is, de annak elektromos tere nem lesz polarizált. A lineárisan poláros elektromos térrel bíró fénynyalábot az teszi nagyon fontossá, hogy léteznek olyan (a rendezett molekulái révén anizotróp elnyelĘképességĦ vékonyfilm és a Glan-Thompson) polarizátorok, amelyek a fenti értelemben polarizált fénynyalábokat
67
állítanak elĘ, és bármely optikai rendszerbĘl kilépĘ fénynyaláb is felbontható ebben az értelemben polarizált fénynyaláb komponenseire. A 2D modellben mind az s-polarizált, mind a p-polarizált fénynyalábok izotróp közegek határfelületén bekövetkezĘ törése, visszaverĘdése esetén és izotróp (nem kettĘstörĘ) lencsén történĘ fókuszálás után is megĘrzik lineárisan polarizált állapotukat. A valós, 3D fénynyalábok hasonló átalakítása során mind a fókuszálás, mind pedig a törés és visszaverĘdés esetén is a 2D modellbĘl nem várt polarizációs jelenségek, keresztpolarizációs jelenségek lépnek fel. Elméleti módszerekkel megmutatták [98], p-polarizált alapmódusú Gauss-fénynyaláb, mint beesĘ fénynyaláb esetén a visszavert fénynyalábnak van s-polarizált komponense is, amelynek elsĘrendĦ Hermite-Gauss transzverzális eloszlása van.
4.2. Új eredmények Fókuszált fénynyalábok visszaverĘdési és törési problémájának általános megoldását adom a fénynyalábok háromdimenziós, vektoriális leírásán alapuló szögspektrális módszerrel. A fénynyalábok szokásos skaláris leírásából nem várt, a vektoriális leírásból következĘ keresztpolarizációs
jelenségek
elĘfordulásának
feltételét
általánosan
megfogalmazom.
A
legjelentĘsebb két esetet, a fókuszálás következtében és a síkpárhuzamos rétegen történĘ törés, visszaverĘdés következtében megjelenĘ, az eredetire merĘleges polaritású fény megjelenését paraxiális közelítésben, analitikusan is tárgyalom. Meghatározom a keltett fénynyalábok transzverzális eloszlását és teljesítményét. Izotróp, veszteségmentes dielektrikumra Brewster-szögben beesĘ p-polarizált fénynyaláb reflektált nyalábját vizsgálom mind elméletileg, mind kísérletileg. A reflektált fénynyalábnak a véges szögtartománya miatt van p-polarizált és van s-polarizált összetevĘje is a fénynyaláb vektoriális jellege miatt. Mind a két polarizációs komponens elsĘrendĦ Hermite-Gaussmódusszerkezettel bír. Az elméleti leírásunkat kísérleteink igazolták. A
Brewster-szög
alatt
beesĘ
fénynyaláb
visszavert
nyalábja
tulajdonságainak
tanulmányozása alapján dielektrikumtükör segítségével nagyon egyszerĦ kísérleti módszer lehetĘsége merül fel az adatrögzítésben és a mikromegmunkálásban a jövĘben jelentĘs szerepet kapható radiálisan poláros fénynyaláb elĘállítására.
4.2.1. Fénynyalábok visszaverĘdésének, törésének leírása TetszĘleges
fénynyaláb
visszaverĘdési
problémáját
megoldhatjuk
a
fénynyaláb
szögspektrális felbontása segítségével [99]. A beesĘ fénynyaláb szögspektruma a síkhullám összetevĘinek
elektromágneses
vektoramplitúdóit
68
jelenti
(vektor-amplitúdón
egy
síkhullámnak a vektoriális jellemzĘje által leírható erĘsségét megadó tulajdonságát értem). A síkhullámkomponensek visszavert vagy megtört síkhullámai alkotják a visszavert vagy megtört fénynyaláb szögspektrumát. Egyetlen síkhullámkomponens visszaverĘdésének vagy törésének leírásához venni kell annak a lokális beesési síkhoz viszonyított s-polarizált és ppolarizált felbontását, mert a fénytörés, visszaverĘdés Fresnel-együtthatói [7] általában különböznek a beesĘ fényhullám s-, illetve p-polarizációja esetén. Praktikusan ez azt jelenti, hogy a síkhullám-komponens elektromágneses vektoramplitúdóját transzformálni kell annak lokális
beesési
síkjához
kötött
koordináta-rendszerébe.
A
síkhullámok
törésének,
visszaverĘdésének számolása után a kapott síkhullám-összetevĘket vissza kell transzformálni egy közös koordinátarendszerbe, hogy ott elvégezhessük azok felösszegzését. Az eljárás leírása érdekében definiálnunk kell néhány derékszögĦ koordináta-rendszert (4.2.1. ábra). A K 0 -nak jelölt (x0 , y0 , z 0 ) koordináta-rendszer a visszaverĘ határfelülethez kötött, (x0 , y0 ) sík a határfelület síkja ( z 0 = 0 ), ami elválasztja a felsĘ fél tértĘl a visszaverĘ közeget. Az (x0 , z 0 ) sík definiálja a fénynyaláb beesési síkját. A K1 -nek jelölt ( x1 , y1 , z1 ) koordináta rendszer a beesĘ fénynyalábhoz kötött, a z1 irány definiálja a beesĘ fénynyaláb tengelyét. A K 3 -nak jelölt (x3 , y3 , z 3 ) koordináta-rendszer a visszavert nyalábhoz kötött, z 3 irány definiálja a visszavert fénynyaláb tengelyét. A K 4 -nek jelölt (x4 , y 4 , z 4 ) koordinátarendszer a megtört nyalábhoz kötött, z 4 irány definiálja a megtört fénynyaláb tengelyét. Az y0 , y1 , y3 és y 4 tengelyek párhuzamosak. A K 2 -nek jelölt (x2 , y 2 , z 2 ) koordináta-rendszer a
visszaverĘ felülethez és a beesĘ fénynyaláb egy síkhullám összetevĘjéhez kötött. K 2 különbözĘ a különbözĘ síkhullám-összetevĘk esetén. Az ( x2 , z 2 ) sík definiálja a síkhullámösszetevĘ lokális beesési síkját. A z 0 és z 2 tengelyek párhuzamosak. Tegyük fel, hogy ismerjük a beesĘ nyaláb szögspektrumát a K1 koordináta-rendszerben. A beesĘ fénynyaláb egy síkhullám-összetevĘjének elektromos vektoramplitúdóját két elemi transzformáció segítségével transzformálhatjuk az Ę K 2 koordináta-rendszerébe. ElĘször egy, az y0 tengely körüli α szögĦ forgatással a K 0 koordináta-rendszerbe, majd onnan egy, a z 0 tengely körüli ϕ szögĦ forgatással. A ϕ szög értékét a következĘképpen határozhatjuk meg: cos(ϕ ) =
ki 0 x ki 0 x + ki 0 y 2
69
2
.
(4.2.1)
4.2.1. ábra. A fénynyaláb visszaverĘdése, törése számolásához szükséges koordinátarendszerek. A beesĘ fénynyaláb közép beesési szöge α , törési szöge β
Itt k i 0 x és k i 0 y a síkhullám-összetevĘ hullámszámvektorának x és y komponensei a K 0 koordináta-rendszerben. A visszavert ( a = r , As = Rs , Ap = R p ) vagy a megtört ( a = t , As = Ts , Ap = T p ) síkhullámösszetevĘ elektromos térerĘsségének x és y komponenseit a Fresnel-együtthatók [7,100] segítségével számolhatjuk: E a 2 x = A p Ei 2 x ,
(4.2.2)
Ea 2 y = As Ei 2 y .
(4.2.3)
A visszavert vagy megtört síkhullám-összetevĘ vektoramplitúdójának Ea 2 z komponensét az F.4.1.függelékben alkalmazott eljáráshoz hasonlóan számolhatjuk. Végül az összetevĘk felösszegzése érdekében közös koordináta-rendszerbe kell a síkhullámokat transzformálni. Például, ha a felület mentén kialakuló térre vagyunk kíváncsiak, akkor a felösszegzĘ közös koordináta rendszer a K 0 lehet, ha pedig visszavert, vagy megtört fénynyalábot számolunk, akkor a K 3 vagy a K 4 koordináta-rendszerben érdemes összegezni a síkhullámok tereit. Mind a K 3 , mind a K 4 koordináta-rendszerbe két elemi koordináta-transzformációval juthatunk. ElĘször egy, a z 0 tengely körüli − ϕ szögĦ forgatással K 0 koordináta-rendszerbe jutunk. VisszaverĘdés számolása esetén a második lépésben egy, az y0 tengely körüli π + α szögĦ (4.2.1. ábra) forgatást kell elvégeznünk. Fénytörés számolása esetén pedig egy y0 tengely körüli − β
szögĦ forgatást kell
elvégeznünk. A visszavert vagy a megtört fénynyaláb elektromos terének eloszlását a síkhullám-összetevĘk felösszegzése révén kaphatjuk. 70
Az ebben a fejezetben megadott leírás nem csak a fénynyalábok visszavert vagy átjutott terének számolására alkalmas, hanem a tetszĘleges izotróp rétegrendszer tetszĘleges, akár elnyelĘ közegében a beesĘ fénynyaláb hatására kialakuló elektromágneses eloszlás meghatározására is.
4.2.2. A fénynyaláb vektoriális jellegének köszönhetĘ polarizációs jelenségek Az elĘzĘ fejezetben fénynyaláboknak síkfelületeken vagy sík-párhuzamos rétegeken bekövetkezĘ visszaverĘdésének, törésének valós, vektoriális leírását adtuk. EbbĘl a leírásból következik néhány olyan jelenség, amelyik nem várt a széleskörĦen, a fénynyalábok leírására alkalmazott 2D közelítésbĘl [15]. A fénynyaláb polarizációs állapotával kapcsolatos ezen jelenségeket a szakirodalom keresztpolarizációs jelenségekként említi [98]. Röviden a lényeget úgy foglalhatjuk össze, hogy a valós fénynyalábok viselkedése megsért egy, a 2D leírásból származó törvényszerĦséget. Ha egy sík, izotróp közegeket elválasztó határfelületre egy s- vagy p-polarizált fénynyaláb esik, akkor sem a visszavert, sem az átjutó fénynyaláb nem marad lineárisan poláros az eredeti polarizációs síkjában. A keresztpolarizációs jelenségek okát vizsgálva elegendĘ a K 0 koordináta-rendszerben a & & beesĘ ( E i 0 ) és a visszavert vagy megtört ( E a 0 ) síkhullám-összetevĘk elektromos terének x és y komponensei közötti, az elĘzĘ fejezetben körvonalazott módszerrel számolható csatolást
megvizsgálni: § Ea 0 x · 1 ¨ ¸ ¨E ¸ = n 2 + n 2 © a0 y ¹ x0 y0
§ As ki 0 y 2 + Ap ki 0 x 2 ki 0 x ki 0 y (Ap − As ) · § Ei 0 x · ¸⋅¨ ¨ ¸. ¨ k k (A − A ) A k 2 + A k 2 ¸ ¨ Ei 0 y ¸ s s i0x p i0y ¹ © ¹ © i0x i0 y p
(4.2.4)
Az elektromos tér z 0 komponensét nem érdemes itt feltüntetni, mert az az elektromos tér x0 komponensével hasonlóan a transzformált elektromos tér p-polarizációjához járul hozzá,
szerepeltetése nem nyújt további információt. A (4.2.4) egyenlet szerint az s- és a p-polarizált síkhullám-komponensek között akkor van csatolás, ha a Fresnel-együtthatók ( Ap , As ) értékei függenek a síkhullám-komponens polarizációs állapotától. Például, bár ha a beesĘ fénynyaláb p-polarizált is, azaz az összes síkhullám-összetevĘ térerĘssége vektoramplitúdójának zérus is az y0 komponense, akkor is a visszavert vagy a megtört nyaláb síkhullám-összetevĘi térerĘssége vektoramplitúdójának lesz nem nulla y0 komponense, feltéve, hogy a reflexiós, ill. a transzmissziós tényezĘ az s- és a ppolarizált esetben különbözĘ. A visszavert, ill. megtört fénynyaláb szögspektruma y0
71
komponensének azonosan zérustól különbözĘsége viszont a visszavert, ill. megtört fénynyalábban megjelenĘ s-polarizált összetevĘ megjelenését jelenti. Két veszteségmentes, izotróp közeg határfelületén bekövetkezĘ fénytörés, visszaverĘdés van annyira egyszerĦ, hogy ebben az esetben a keresztpolarizációs jelenségeket részletesen áttekinthessük. A fénynyaláb transzmissziója esetén a (4.2.4) egyenlet alapján a keresztpolarizáció megjelenésének a feltétele (lásd a (4.2.2) és a (4.2.3) egyenleteket): T p − Ts ≠ 0 .
(4.2.5)
A T p és a Ts transzmissziós együtthatók két veszteségmentes közeg határfelületén mindig pozitívak, ezért jelentĘs keresztpolarizációs jelenség csupán akkor várható, ha az s- és ppolarizált fényhullámok intenzitásának transzmissziós együtthatói is eltérnek, ez pedig a beesĘ nyalábnak a Brewster-szög alatti beesése mellett valósul meg. Reflexió esetén a (4.2.4) egyenletbĘl a keresztpolarizációs jelenség megjelenésének feltétele:
R p − Rs ≠ 0 .
(4.2.6)
Az R p és az Rs reflexiós együtthatók (lásd a (4.2.2) és a (4.2.3) egyenleteket) két veszteségmentes közeg határán a Brewster-szögnél kisebb beesési szög esetén azonos elĘjelĦek, míg a Brewster-szögnél nagyobb beesési szög esetén ellentétes elĘjelĦek. Keresztpolarizációs jelenség léphet fel akkor is, amikor az intenzitásreflexió a két polarizációra azonos. Megállapítható, hogy két veszteségmentes közeg határán bekövetkezĘ reflexió esetén a keresztpolarizáció jellemzĘen az α p polarizációs szög közelében, de még erĘsebben a nagyobb beesési szögek esetén valósul meg. Lapos beesési szögek esetén a reflexiós tényezĘ abszolútértéke az egység közelében van, de a két polarizációra elĘjele ellentétes. A teljes visszaverĘdés határszögénél ( sin (α h ) = n 2 n1 ) nagyobb beesési szög esetén mind a két polarizációra teljes a visszaverĘdés két veszteségmentes közeg határfelületérĘl. Az R p és Rs reflexiós tényezĘk eltérĘ komplex fázissal rendelkeznek [7], ezért ebben az esetben is megfigyelhetĘ keresztpolarizáció. Az elĘzĘ fejezetben leírt számolási eljárást lépésrĘl lépésre követve analitikusan meghatározhatjuk a visszavert vagy a megtört fénynyaláb szögspektrumát a beesĘ fénynyaláb szögspektrumának a függvényében. A számolási eljárás számos lineáris transzformációt foglal magába, ami eléggé hosszadalmassá teszi a számolást. (A levezetéshez a Maple
72
számítógépes program analitikusan számoló szolgáltatását használtam.) VisszaverĘdés ( a = r ) és olyan síkpárhuzamos rétegekkel határolt dielektrikumrétegeken keresztül történĘ áthaladás esetén ( a = t ), amelyek mindkét oldalán ugyanazon közeg található, egy általános összefüggést kaphatunk a keresztpolarizációs fénynyaláb szögspektrumára a legalacsonyabb (1. rendĦ) paraxiális közelítésben ( k i1 x , k i1 y << k i , k i1 z ): Ea m u (k x , k y ) = −
k y ∆As − p k i tanα
Ei1v (k x , k y ) .
(4.2.7)
Itt az a , v , u , m indexek, és a ∆As − p szimbólum a következĘ jelentéssel bír a négy lehetséges esetben: •
VisszaverĘdés esetén, a = r és m = 3 és
o ha a beesĘ fény p-polarizált, akkor v = x , u = y és ∆As − p = Rs − R p . o ha a beesĘ fény s-polarizált, akkor v = y , u = x és ∆As − p = R p − Rs . •
Transzmisszió esetén, a = t és m = 4 ,
o ha a beesĘ fény p-polarizált, akkor v = x , u = y és ∆As − p = Ts − T p . o ha a beesĘ fény s-polarizált, akkor v = y , u = x és ∆As − p = Ts − T p . LeellenĘrizhetĘ (4.2.7) egyenletbĘl kiindulva, hogy ha beesĘ fénynyalábnak egy alapmódusú Gauss-nyalábot tekintünk, akkor mind a négy esetben elsĘrendĦ Hermite-Gauss transzverzális módusú keresztpolarizációs fénynyalábot kapunk.
4.2.3. Dielektrikum felületére Brewster-szög alatt beesĘ p-polarizált alapmódusú Gauss-fénynyaláb visszaverĘdésének számolása paraxiális közelítésben Az egyik legegyszerĦbb keresztpolarizációs jelenséget akkor figyelhetjük meg, ha ppolarizált fénynyalábot ejtünk egy veszteségmentes dielektrikum felületére és a visszavert fénynyalábot polarizátoron keresztül vizsgáljuk. A 4.2.2. alfejezetben megállapítottuk, hogy s-polarizált, azaz keresztpolarizációs fény is visszaverĘdik, ha p-polarizált fókuszált fénynyaláb a határfelületre éppen Brewster-szög ( α p ) alatt esik. A visszavert fénynyalábnak van s- és p-polarizált összetevĘje is. A p-polarizált visszaverĘdĘ fény azért jelenik meg, mert a p-polarizált fény reflexiója csupán a Brewsterszög alatt beesĘ fényhullám esetén tĦnik el, a fókuszált fénynyalábnak viszont vannak olyan fényhullám-összetevĘi is, amelyek beesési szöge eltér a Brewster-szög értékétĘl. Az s-
73
polarizált, keresztpolarizációs fény a fénynyaláb 3D jellegének következtében (lásd a 4.2.2. alfejezetet) jelenik meg. A beesĘ fénynyalábot a K1 koordináta rendszerben (lásd 4.2.1. alfejezet) a (4.1.1)-(4.1.3) egyenletek által definiált p-polarizált alapmódusú Gauss-fénynyalábjaként adjuk meg. A p-polarizált Fresnel-együtthatót a Brewster-szög ( α = α p , tan α p = n ) közelében lineárisan közelíthetjük, mint a ∆k i 2 x = k i1 x cos α függvényeként: R p ≅ M ⋅ ∆k i 2 x ≅ M ⋅ k i1 x cos α k 0 .
(4.2.8)
Itt M a következĘképpen számolható (lásd az F.6 függeléket):
M = k0
d Rp d ki 2 x
= kx =kx 0
(
)
1+ n2 ⋅ n4 −1 . 2 n3
(4.2.9)
Ahol a levegĘbĘl beesĘ fénynyaláb középhullámszám-vektorának a visszaverĘ felülettel párhuzamos komponense: k x 0 = cos α p . Ha a beesĘ fénynyalábot a 4.1.1-3 képletekkel definiáljuk, akkor a reflektált fény szögspektrumának x irányú összetevĘje a K 3 koordináta-rendszerben: Er 3 x (k x , k y ) =
E x 0 q0 M cos α p i ki
2
(
§ i q1 k x 2 + k y 2 k x exp¨ ¨ 2 ki ©
)·¸ . ¸ ¹
(4.2.10)
A szögspektrumból a térbeli eloszlást Fourier-transzformációval (lásd az F.4.8 képletet) kaphatjuk meg az F.1.2. függelékben adott integráltétel alkalmazásával:
x er 3 x ( x 3 , y 3 , z 3 ) = A 3 e q3 A = Ex0 ⋅
(
− i k0 x32 + y32 2 q3
) ,
(4.2.11)
q0 M cos α e −i k0 z3 . q1
(4.2.12)
Itt q3 = q1 + z 3 , ahol z3 -t a fénynyaláb tengelyének és a reflektáló felület metszéspontjából mérjük. A reflektált fénynyaláb keresztpolarizációs, y komponensének szögspektruma:
(
§ i q1 k x 2 + k y 2 E x 0 q 0 Rs Er 3 y (k x , k y ) = − 2 k y exp¨ ¨ 2 ki i k i tan α p ©
)·¸ . ¸ ¹
(4.2.13)
Itt Rs az s-polarizált hullám reflekciós együtthatója a Brewster-szög közelében.
74
A szögspektrumból a térbeli eloszlást most is Fourier-transzformációval (lásd F.4.8 képletet) kaphatjuk meg az F.1.2. függelékben adott integráltétel alkalmazásával: y er 3 y ( x3 , y 3 , z 3 ) = B 3 e q3 B = − E x0
(
− i k0 x32 + y32 2 q3
) ,
(4.2.14)
q0 Rs e −i k 0 z . q1 tan α p
(4.2.15)
A feltételezett paraxiális beesĘ fénynyalábban a síkhullám-összetevĘk beesésiszög-értékei a polarizációs szög α p körüli keskeny tartományba esnek. A megfelelĘ Rs és R p reflexiós együtthatók ebben a keskeny beesésiszög-tartományban csupán keveset változnak Rs középértékéhez viszonyítva, ezért használhattuk az Rs − R p ≈ Rs egyszerĦsítĘ közelítést. Az elĘzĘ egyenlet jobb oldalán és a következĘkben Rs az s-polarizációs reflexiós tényezĘ középértékét jelenti a beesĘ fénynyalábra vonatkoztatva. Azt kaptuk, hogy a reflektált nyaláb mindkét polarizációjának transzverzális eloszlása elsĘrendĦ Hermite-Gauss-módusnak felel meg (lásd a (4.2.11) és a (4.2.14) egyenleteket), mint ahogyan az a 4.2.2. ábrán meg is figyelhetĘ.
y
y
x
x
a)
b)
4.2.2. ábra. A reflektált fény p-polarizált (a) és s-polarizált (b) komponensének transzverzális térbeli intenzitáseloszlása
Ha a visszavert fénynyalábot, egy a p-polarizációnak megfelelĘ irányból az spolarizációnak megfelelĘ irányba elforgatott polarizátoron keresztül figyeljük meg, akkor a 4.2.2. ábra kétmaximumú eloszlásainak elfordulását láthatjuk. EgyszerĦ geometriai megfontolásokból következik, hogy a polarizátort az x tengelytĘl φ szöggel elforgatva az alábbi elektromos térerĘsség-eloszlást figyelhetjük meg a polarizátor mögött:
75
er 3 ϕ
A x3 cos φ − B y3 sin φ = ⋅e q3
(
− i k 0 x3 2 + y3 2 2 q3
)
.
(4.2.16)
Abban az irányban kapjuk a kétmaximumú eloszlás nulla sávját, amelyik irányban az x-y síkon nulla adódik a (4.2.16) által adott térerĘsségre. A kétmaximumú eloszlás a ppolarizációs helyzethez képest általában a φ szögtĘl eltérĘ δ szöggel fordul el: tan δ =
x3 B = ⋅ tg φ . y3 A
(4.2.17)
Ha a visszavert fénynyaláb s- és p-polarizált fénynyaláb összetevĘjének eltérĘ a teljesítménye, akkor φ és δ szögértékek általában különbözĘek. Érdemes itt megjegyezni, hogy összetettebb sík-párhuzamos rétegrendszerrĘl való reflexió esetén az is elĘfordulhat, hogy a fenti leírásban szereplĘ A és B ellentétes elĘjelĦek, amikor is (4.2.17) képlet következtében a foltalak elfordulása a polarizátor elfordításával ellentétes irányban következik be. A fénynyalábok teljesítményét azok transzverzális elektromos terének eloszlásából számolhatjuk: P=
1 2 c ε 0 ³³ dx dy e( x, y ) . 2
(4.2.18)
Ennek felhasználásával a visszavert p-polarizált ( Pp ) és a beesĘ ( Pi ) fénynyalábok teljesítményének arányára a következĘt kapjuk (lásd az F.1. függeléket): 2
λ · 1§ ¸ . = ¨¨ M cosα π w0 ¸¹ Pi 2 ©
Pp
(4.2.19)
Hasonlóan a visszavert s-poalrizált ( Ps ) és a beesĘ ( Pi ) fénynyalábok teljesítményének arányára a következĘt kapjuk (lásd az F.1. függeléket): 2
Ps 1 § Rs λ · ¸ . = ¨¨ Pi 2 © tan α π w0 ¸¹
(4.2.20)
A (4.2.19) és a (4.2.20) képletekbĘl látható, hogy a visszavert s- és p-polarizált fénynyalábok teljesítménye általában különbözĘ lehet.
4.2.4. Kísérleti demonstráció Az elĘzĘ fejezetben leírt jelenség demonstrálására kísérletet végeztem. Az elĘzĘ alfejezet (4.2.19) és (4.2.20) képleteinek megfelelĘen erĘsen fókuszált fénynyalábokat használtam, hogy a visszavert fénynyalábok teljesítménye a kényelmes detektálhatósághoz megfelelĘen
76
nagy legyen. A fókuszálásnak csak a széles szögspektrum kialakításában van szerepe, a jelenség nem függ a fénynyaláb fókuszának és a visszaverĘ felület relatív elhelyezkedésétĘl.
4.2.3. ábra. Kísérleti elrendezés A visszavert fénynyalábnak az elĘzĘ alfejezetben leírt tulajdonságait a 4.2.3. ábrán látható kísérleti elrendezésben vizsgáltam. Egy 0,6 mW teljesítményĦ He-Ne lézer ( λ = 633 nm ) elĘzetesen közelítĘleg 4 mm szélesre kiszélesített fénysugara esett az 50 mm fókusztávolságú f1 fókuszáló lencsére. A P1 polarizátort (Leybold Didactic Gmbh) vízszintes polarizációjúra állítottuk be, hogy a fókuszált fénynyaláb p-polarizáltan essen az 1,48 törésmutatójú üveg sík felületére. A P2 polarizátort (Leybold Didactic Gmbh) a reflektált fénynyaláb polarizációs állapotának vizsgálatára használtuk. Végül az 50 mm fókusztávolságú lencsével képeztük le a reflektált fénynyalábot egy a 4.2.3. ábrán már nem jelölt CCD kamera (DVT Co.) fényérzékeny felületére. A 4.2.3. ábrán látható P2 polarizátor különbözĘ beállításai mellett felvett visszavert fénynyaláb transzverzális intenzitáseloszlását a 4.2.4. ábra mutatja. P-polarizált (vízszintes) és s-polarizált (függĘleges) állásánál a CCD kamerával 300 ms, illetve 1 s expozíciós idĘvel vettem fel intenzitáseloszlást. A P2 polarizátor 45°-os beállítása mellett 500 ms expozíciós idĘvel felvett, a 4.2.4.b) ábrán mutatott eloszláson jól megfigyelhetĘ, hogy a P2 polarizátor 45° elforgatása ellenére az intenzitás-eloszlás annál lényegesen kisebb szöggel fordult el. A p-, illetve s-polarizált reflektált nyalábok teljesítményének arányára az elĘzĘ alfejezet (4.2.19) és (4.2.20) képletébĘl:
§ M ⋅ sin (α ) · ¸¸ = 5,42 . = ¨¨ Ps © Rs ¹ 2
Pp
77
(4.2.21)
a)
b)
c)
4.2.4. ábra. A p-polarizált (a) és az s-polarizált (c) reflektált fénynyaláb transzverzális intenzitás-eloszlása. A reflektált fénynyaláb transzverzális intenzitás-eloszlása P2 polarizátor 45°-os beállítása esetén (b) EbbĘl viszont az elĘzĘ alfejezet (4.2.17) egyenletével összevetve az következik, hogy a kétmaximumú eloszlás elfordulási szöge lényegesen különbözik a polarizátor elfordítási szögétĘl. A P2 polarizátor 10°-onkénti elforgatásával ábrasorozatot vettem fel, amelynek grafikus kiértékelésével meghatároztam a φ szögĦ P2 polarizátor elforgatás hatására bekövetkezĘ foltalak δ elfordulási szöget (4.2.5. ábra). Az elĘzĘ fejezet (4.2.17) képlettel adott elméleti viselkedésnek megfelelĘt kaptam.
4.2.5. ábra A φ szögĦ polarizátor elfordításának hatására a reflektált nyaláb folt alakja β szöggel fordul el. A vastag vonal az elméleti számolás eredményét, a körök a kísérleti adatokat jelzik
4.2.5. Diszkusszió Az elsĘ lencse (f1=50 mm) a beesĘ fénynyalábot ( w0 ≅ 4 mm ) egy w = 3,98 λ = 2,52 ȝm vastagságú fényfoltra fókuszálja. A Brewster-szögben ( α p = 56° ) beesĘ fókuszált
78
fénynyalábnak 1,48 törésmutatójú közeg felületérĘl visszaverĘdĘ nyalábjának vizsgálatakor
∆As − p ≅ Rs = −0,374 . A (4.2.19) és a (4.2.20) egyenletekbĘl megkapható a reflektált nyaláb s- és p-polarizált összetevĘinek teljesítménye a beesĘ nyaláb teljesítményéhez viszonyítva: Pp P0
= 1,1 10 −3
Ps = 2,0 10 − 4 . P0
(4.2.22)
A polarizátorok szerepe a kísérletben kulcsfontosságú. Polarizátoraink Leybold gyártmányú vékony film, a film molekuláinak rendezettsége folytán anizotróp elnyelĘképességĦ lemezbĘl készültek. Keresztezett polarizátorállásban a beesĘ fényteljesítmény 8 ⋅10 −5 -szerese jutott át. Ez a kioltási arány megfelelĘ nagy a (4.2.22) egyenletben adott nagyságrendĦ polarizációs jelenségek vizsgálatához. Fókuszálás során is keletkezik keresztpolarizációs fénynyaláb [94], de a lencse mögött kialakuló keresztpolarizációs fénynyaláb teljesítménye csupán mintegy 50-ed része a mi esetünkben tapasztalt keresztpolarizációs jelteljesítménynek (lásd az F.4.2. függeléket). Ez az oka annak, hogy a kísérleti elrendezésben az f1 és a P1, illetve az f2 és a P2 optikai elemek sorrendje egymás között felcserélhetĘ, mint ahogyan azt tapasztaltuk is, anélkül, hogy a megfigyelt intenzitáseloszlás érdemben megváltozott volna. Mint látható, egy dielektrikumfelületrĘl visszaverĘdĘ nyaláb esetén az s- és a p-polarizált nyaláb A és B faktora eltérĘ, viszont a dielektrikumtükör reflexiós tulajdonságai jól tervezhetĘk, így felmerül annak a lehetĘsége, hogy megfelelĘen megtervezett síkpárhuzamos rétegrendszerre valamely effektív Brewster-szög alatt beesĘ fénynyaláb visszavert fénynyalábjának s- és p-polarizált összetevĘi azonos teljesítményĦek legyenek. Az ennek feltételét adó, a (4.2.19) és a (4.2.20) egyenletekbĘl kapható
§ M ⋅ sin (α ) · ¸¸ = ¨¨ Ps © Rs ¹
Pp
2
(4.2.23)
egyenletben a fókuszálás erĘssége nem játszik szerepet, az csupán a keltett nyalábok teljesítményét határozza meg. Az s-polarizált reflexiós tényezĘt és a p-polarizációs reflexiós tényezĘ M változási meredekségét kell megfelelĘen beállítani. Ilyen tükör konstruálásával nagyon egyszerĦ mód nyílik radiálisan poláros fénynyaláb elĘállítására, ami az adattárolásban, mikroszkópiában és a mikromegmunkálásban jelentĘs szerepet játszhat majd a jövĘben [101,102]. A most javasolt eljárás kísérletileg nagyon egyszerĦ, viszont a beesĘ transzverzálisan alapmódusú polarizált nyaláb teljesítményének csupán az ezreléke lenne ily
79
módon átalakítható radiálisan polarizált nyalábbá. A szakirodalomban [103] léteznek módszerek radiálisan polarizált fénynyalábok elĘállítására, azok bár hatékonyabbak, de mind összetett optikai rendszert, bonyolult kísérleti beállítást igényelnek.
4.3. Összefoglalás Fókuszált 3D fénynyalábok polarizációs tulajdonságait vizsgáltam meg az egyszerĦ képleteket szolgáltató, a viselkedés jellegét jól meghatározó paraxiális közelítésben. A fénynyalábok
leírására
széleskörĦen
alkalmazott
2D
leírásból
nem
következĘ
keresztpolarizációs jelenségek megjelenésének feltételeit és megjelenési formáit határoztam meg. Az általános feltételek alapján egy egyszerĦ kísérleti elrendezésben sikerült a szakirodalomban eddig nem publikált új keresztpolarizációs jelenséget demonstrálnom, annak viselkedését a paraxiális közelítés segítségével helyesen leírnom. Az izotróp üveg felületrĘl visszaverĘdĘ fénynyaláb elméleti és kísérleti tanulmányozása alapján egy új módszer lehetĘsége merült fel radiálisan poláros fénynyalábok egyszerĦ elĘállítására azok tulajdonságainak kísérleti tanulmányozásának céljára. A 4. fejezetben leírt eredmények idegen nyelvĦ referált szakmai folyóiratban (Optics Communications) történĘ publikálása folyamatban van. A hazai tudományos mĦhelyekben, közleményekben eredményeimrĘl azonban már beszámoltam [104,105,106]. A radiálisan poláros fénynyalábok elĘállítását lehetĘvé tevĘ speciális dielektrikumtükröt megterveztem, megvalósítására Ferencz Kárpáttól, az SZFKI Lézeralkalmazási Osztályán mĦködĘ Optikai Vékonyrétegek Laboratóriumának vezetĘjétĘl ígéretet kaptam. Keresztpolarizációs jelenségek elĘfordulásának általános feltétele (lásd a 4.2.2. alfejezetet) alapján várható ilyen jelenség a felületi plazmonok rezonanciaszögének közelében beesĘ fénynyalábok visszavert fénynyalábjában is. Ezen keresztpolarizációs jelenség jellemzĘit a 4.2.1. alfejezetben leírt módszer segítségével numerikusan meghatároztam, a jelenség elĘzetes kísérleti vizsgálatát Csete Máriával, a Szegedi Tudományegyetem Kvantumelektronikai Tanszékének munkatársával már elvégeztük, az elméleti számolásokban meghatározott tulajdonságokkal megegyezĘt kaptunk. A jelenség pontosabb tanulmányozása még azonban hátravan.
80
5. Összefoglalás A dolgozatban leírt új tudományos eredményeimet a következĘ pontokban foglalom össze:
1.
A
femtoszekundumos
széleskörĦen
technikában
alkalmazott
fázismodulált
dielektrikumtükrök Fourier-szintézise [21] és az ultrarövid fényimpulzusok idĘhologramjának mĦködési elve közötti kapcsolatot vizsgáltam. A fázismodulált lézertükrök viselkedése megértésének és Fourier-transzformáción alapuló tervezésének alapjául szolgáló analógiának analitikus modellel történĘ megalapozását adtam. [25].
2. Térbeli és idĘbeli Gauss-eloszlással leírható fényimpulzusok spektrálisan bontott interferenciajelenségét vizsgáltam. A modellbĘl kapható egyszerĦ képleteket spektrális hologramok kísérleti megvalósításának tervezésére alkalmaztam [19].
3. Longitudinálisan pumpált Ti:zafír lézerkristály erĘsítésének telítĘdését vizsgáltam. Megmutattam, hogy a szakirodalomban megszokottól eltérĘen az erĘsítés telítĘdésének számolásakor a pumpáló nyaláb telítĘdést okozó hatását is figyelembe kell venni: g = NσL
p , 1+ s + p
ahol g a telített erĘsítési tényezĘ, N a Ti ionok koncentrációja, σ L a fényerĘsítés hatáskeresztmetszete, továbbá s és p a gerjesztett és a pumpáló fény intenzitásának a megfelelĘ telítĘdési fényintenzitásokhoz viszonyított relatív intenzitáserĘssége [85].
4. Kerr-lencsével módusszinkronizált femtoszekundumos Ti:zafír lézerek rezonátorainak elméleti modelljét adtam meg, amiben a Kerr-lencse hatás mellett figyelembe vettem az erĘsítés telítĘdĘ hatását, a fényerĘsítés fényterelĘ hatását, a termikus lencse képzĘdését, a lézerkristály melegedése következtében bekövetkezĘ erĘsítéscsökkenést is. A modell segítségével számítógépes programot írtam, amellyel Kerr-lencsével módusszinkronizált lézerrezonátorokat terveztem. Alacsony pumpálási küszöbĦ [91], nagy kimenĘteljesítményĦ lézereket terveztem, majd építettem meg [85]. A megtervezett, megépített lézerek segítségével új típusú femtoszekundumos fényforrást állítottunk elĘ, amely szinkronizált, de eltérĘ spektrumú fényimpulzusokat állít elĘ [86,87,88].
5. Kimutattam, hogy a keresztpolarizációs jelenségek a fókuszált fénynyalábok törése és visszaverĘdése során akkor jelennek meg, ha a reflexiós vagy a transzmissziós tényezĘ értéke függ a beesĘ fény polarizációs állapotától. Megmutattam, hogy az alapmódusú Gauss81
nyalábokkal keltett keresztpolarizációs nyalábok elsĘrendĦ Hermite-Gauss-fénynyalábok [107].
6. Izotróp dielektrikum felületére Brewster-szög alatt beesĘ a beesési síkban polarizált alapmódusú Gauss-fénynyaláb reflektált fénynyalábjában megfigyelhetĘ keresztpolarizációs jelenség kvalitatív és kvantitatív leírását adtam. A visszavert fénynyaláb az elméleti modell által jósolt viselkedésének kísérleti demonstrációját adtam. Radiálisan poláros fénysugarak új, kísérletileg nagyon egyszerĦ elĘállítási módjára tettem javaslatot. [107]
A dolgozatomban felhasznált publikációimra [25,28] az Oktatási Minisztérium honlapjáról elérhetĘ Science Direct szolgáltatás segítségével 41 hivatkozást találtam.
82
6. Summary The results of my PhD-work can be summarized in the following:
1. I investigated the relation between the Fourier-synthesis [21] of the phase-modulated dielektrikum mirrors and the operating principle of temporal holography. I have developed a theoretical model [25] that supports the understanding of the phase-modulated behaviour, and form the basis for the Fourier-transform method of synthesis of dispersive dielectric mirrors.
2. I investigated spectrally resolved interference phenomena of temporally and spatially Gaussian light pulses. The simple formulae obtained from the Gaussian model were used to determine optimal experimental parameters for spectrally resolved holography experiments [19].
3. I investigated the saturation of the gain of a longitudinally pumped Ti:sapphire laser crystal. I showed that in order to calculate the saturation of the gain we have to take into account not only the saturation caused by the generated beam but also the saturation caused by the pump beam: g = N σL
p , 1+ s + p
where g is the saturated gain coefficient, N is the concentration of the Ti-ions, σ L is the Tiions’ gain-crosssection, s and p are the relative intensity parameters of the generated and the pump beam [85].
4. I constructed the theoretical model of Kerr-lens mode-locked femtosecond Ti:sapphire laser resonators, in which besides the Kerr-lens effect I took into account the saturation of the gain, the gain-guiding effect, the thermal lens effect, and the gain depletion caused by the increased temperature in the laser crystal. I wrote a computer program based on my theoretical model. I used this program to design Kerr-lens mode-locked lasers’ resonators. I designed and built low pump power threshold [91] and high output power [85] femtosecond Ti:sapphire lasers. Based on these lasers we constructed a new type femtosecond light sources [86,87,88] that produce femtosecond light pulses which are synchronized, but they have different spectra.
83
5. I have shown that cross-polarization effects occur whenever the reflection or the transmission coefficients depend on the polarizational state of the incident light. I have shown that if the incident light beam is a fundamental Gaussian beam then the cross-polarized light component is always a first-order Hermite-Gaussian light beam in the paraxial approximation. [107]
6. I have given a description of cross-polarization effect that occurs when a fundamental Gaussian light beam polarized in the plane of incidence falls on an isotropic dielektricum plane surface at Brewster’s angle. I experimentally demostrated that the reflected beam showed the theoretically predicted behaviour. I proposed a new, experimentally very simple method for the generation of radially polarized light beams [107].
84
F. Függelék
F.1. A dolgozat során alkalmazott fontosabb integráltételek ∞
F.1.1.
³ exp(− a t
2
)
− 2 b t dt integrál értéke
−∞
A szakirodalomban szokás ezt az integrált Siegman-integrálnak nevezni ([15] referencia 337. oldalán): ∞
(
)
2 ³ exp − a t − 2 b t dt =
−∞
π
§ b2 · exp¨¨ ¸¸ . a © a ¹
(F.1.1)
Az integrál akkor rendelkezik véges értékkel, ha a valós része pozitív: Re(a ) > 0 . ∞
F.1.2.
³ t ⋅ exp(− a t
−∞
2
)
− 2 b t dt integrál számolása
I1 =
∞
³ t ⋅ exp(− a t
−∞
2
)
− 2 b t dt .
(F.1.2)
Az integrál akkor rendelkezik véges értékkel, ha a valós része pozitív ( Re(a ) > 0 ):
§ ª b º2 · § b2 · ∞ § b b · I 1 = exp¨¨ ¸¸ ³ ¨ t + − ¸ ⋅ exp¨ − a «t + » ¸ dt . ¨ ¬ a¼ ¸ © a ¹ −∞© a a ¹ © ¹
(F.1.3)
Az integrált szétbontom egy páros és egy páratlan függvényt integráló részre.
§ ª b º2 · § b2 · ∞ § b · I 1 = exp¨¨ ¸¸ ³ ¨ t + ¸ ⋅ exp¨ a «t + » ¸ dt − ¨ ¬ a¼ ¸ © a ¹ −∞© a ¹ © ¹
(F.1.4)
§ ª bº2 · § b2 · ∞ b − exp¨¨ ¸¸ ³ ⋅ exp¨ − a «t + » ¸ dt ¨ ¬ a¼ ¸ © a ¹ −∞ a © ¹
Mindkét integrálban eltolhatjuk az integrálási határokat anélkül, hogy az integrálok értéke változna:
§ b2 · ∞ § b2 · ∞ b I1 = exp¨¨ ¸¸ ³ t ⋅ exp − a t 2 dt − ⋅ exp¨¨ ¸¸ ³ exp − a t 2 dt . a © a ¹ −∞ © a ¹ −∞
(
)
(
)
(F.1.5)
Az elsĘ integrál szimmetrikus határok között egy páros és egy páratlan függvény szorzatának az integrálja, aminek az értéke zérus. A második tag értéke egyszerĦen kapható az (F.1.1) integrál segítségével:
85
∞
(
)
I1 = ³ t ⋅ exp − a t 2 − 2 b t dt = −∞
∞
F.1.3.
³t
(
§ b2 · −b π ⋅ exp¨¨ ¸¸ . a a © a ¹
(F.1.6)
)
⋅ exp − a t 2 − 2 b t dt integrál számolása
2
−∞
∞
(
)
I 2 = ³ t 2 ⋅ exp − a t 2 − 2 b t dt −∞
(F.1.7)
Az integrál véges értéket ad, ha Re(a ) > 0 , ennek megfelelĘen csak ezt az esetet vizsgáljuk. Az integrált egy egyszerĦ átalakítással két viszonylag egyszerĦbben kiértékelhetĘ részre bonthatjuk fel: I2 = I2 =
∞
∞
(
)
1 ((a t + b )t − b t )⋅ exp − a t 2 − 2 b t dt , a −³∞
(
)
1 (a t + b )t ⋅ exp − a t 2 − 2 b t dt a −³∞
∞
(F.1.8)
(
)
b t ⋅ exp − a t 2 − 2 b t dt . a −³∞
−
(F.1.9)
Az elsĘ integrált parciális integrálással értékelhetjük ki: I 2a =
∞
(
u′ = 1
ªu = t I 2a = « 2 ¬v′ = (a t + b )⋅ exp − a t − 2 b t
(
=
[
−1 t ⋅ exp − a t 2 2a
(
)
1 (a t + b )t ⋅ exp − a t 2 − 2 b t dt , a −³∞
(F.1.10)
º » v = − exp − a t − 2 b t 2¼
) − 2 b t )]
+∞ −∞
(
∞
)
2
(
)
.
(F.1.11)
1 + exp − a t 2 − 2 b t dt 2 a −³∞
Ebben az elsĘ tag zérus, mert a-nak feltételezésünk szerint pozitív a valós része. Így:
I 2a =
§ b2 · 1 π exp¨¨ ¸¸ . 2a a © a ¹
(F.1.12)
A második integrált pedig az F.1.2. alfejezet integrálja segítségével számolhatjuk: ∞
b § b· − ³ t ⋅ exp(− a t 2 − 2 b t ) dt = ¨ ¸ a −∞ ©a¹
2
§ b2 · ⋅ exp¨¨ ¸¸ . a © a ¹
π
(F.1.13)
A két részeredmény összevonásával kapjuk: ∞
(
)
I 2 = ³ t 2 ⋅ exp − a t 2 − 2 b t dt −∞
=
86
π § b2 + a 2 · ¨ a ¨©
a2
§ b2 · ¸¸ ⋅ exp¨¨ ¸¸ . (F.1.14) ¹ © a ¹
F.2. Gauss-fénynyalábok mátrixoptikája A Gauss-fénynyalábok nagyon fontos eszközei a fénynyalábok, lézerrezonátorok vizsgálatának. A függeléknek ebben a fejezetében definícióját és az egyszerĦ optikai elemeken keresztül haladása következtében bekövetkezĘ változásait veszem számba az optikai elemek ABCD mátrixai segítségével.
F.2.1. Alapmódusú Gauss-fénynyalábok Paraxiális közelítésben, azaz a terjedés irányában (z) a tengelyhez közeli helyekre korlátozódó monokromatikus fénysugarak elektromos tere egy adott komponensének hely- és idĘfüggését az alábbi kifejezés határozza meg [15]:
E ( x, y , z , t ) = E0
§ w0 k r2 · ¸, exp¨¨ i ω t − i ⋅ (k z − η ( z )) − i ⋅ w( z ) 2 q ( z ) ¸¹ ©
(F.2.1)
ahol ω a fény körfrekvenciája, λ a fény vákuumban mért hullámhossza, k 0 = 2 π λ a fény vákuumbeli hullámszáma, az n törésmutatójú közegbeli hullámszáma k = n k 0 és q ( z ) a fénynyaláb komplex görbületi sugara: 1 1 λ = −i . q ( z ) R(z ) π w( z )2
(F.2.2)
Itt R( z ) a fénynyaláb görbületi sugarát, w( z ) pedig a vastagságát adja: E ( x, y , z , t ) = E 0
§ § w0 k r2 · r2 · ¸. ¸¸ − exp¨¨ i ω t − i ⋅ ¨¨ k z − η (z ) + w( z ) 2 R( z ) ¹ w( z )2 ¸¹ © ©
(F.2.3)
A komplex görbületi sugár ( q ( z ) ) helyfüggését homogén, izotróp közegben megvalósuló z irány menti terjedés esetén a következĘ egyszerĦ összefüggés adja: q(z ) = q0 + z = i z 0 + z ,
(F.2.4)
ahol z 0 = π w0 λ a fénynyaláb Rayleigh-hossza. A komplex görbületi sugár változása 2
meghatározza a fénynyaláb w( z ) vastagságának, R( z ) görbületi sugarának és az úgynevezett Gouy-fáziseltolódásak (η ( z ) ) z-függését: w( z ) = w0 1 +
z2 z0
§ z0 2 R( z ) = z ¨1 + 2 ¨ z ©
87
,
(F.2.5)
· ¸, ¸ ¹
(F.2.6)
2
§ z © z0
η ( z ) = tan −1 ¨¨
· ¸¸ . ¹
(F.2.7)
Az (F.2.1) és az (F.2.3) kifejezések egy olyan fénysugarat írnak le, amelynek I intenzitása minden z esetén kétdimenziós Gauss-eloszlású: § 2r2 I (z , r ) = I 0 ( z ) ⋅ exp¨¨ − 2 © w( z )
· ¸. ¸ ¹
(F.2.8)
A fenti egyenletekben a w paraméter a fénysugár intenzitásának e-2=0,135-szeres értékének félszélességét adja. Az intenzitás fél értékének teljes szélességét (FWHM=Full Width at Half Maximum) az alábbiak szerint számolhatjuk:
FWHM = 2 ln (2 ) ⋅ w
(F.2.9)
F.2.2. Fénynyalábok terjedésének leírása ABCD mátrixokkal ABCD mátrixszal adhatjuk meg a komplex q paraméter (komplex görbületi sugár) változását a különbözĘ optikai elemeken történĘ áthaladás következtében: q2 =
A ⋅ q1 + B . C ⋅ q1 + D
(F.2.10)
Itt q1 az optikai elemhez érkezĘ fénynyaláb, míg q 2 az azt elhagyó fénynyaláb komplex görbületi sugara. EgyszerĦ optikai elemek ABCD mátrixait a [15] referenciában találhatjuk meg. Homogén, n törésmutatójú közegben L hosszúságú fényút esetén: § A B· §1 L n· ¨¨ ¸¸ ¸¸ . = ¨¨ © C D ¹ terjedés © 0 1 ¹
(F.2.11)
Ha a fénynyaláb egy optikai elem szimmetriatengelyétĘl eltérĘ irányból, azaz ferdén érkezik az optikai elem R görbületi sugarú felületére, és a felület két oldalán eltérĘ a törésmutató értéke ( n1 és n 2 ), akkor a fénynyaláb beesési szöge ( θ1 ) és törési szöge ( θ 2 ) is különbözĘ lesz. Az ilyen felületen történĘ áthaladás ABCD mátrixa a meridionális síkban: § cos(θ 2 ) ¨ §A B· cos(θ1 ) ¨¨ ¸¸ =¨ © C D ¹ görbe, m ¨ ∆ne ¨ R ©
· ¸ ¸, cos(θ1 ) ¸ cos(θ 2 ) ¸¹ 0
(F.2.12)
ahol ∆ne =
n 2 cos(θ 2 ) − n1 cos(θ1 ) . cos(θ1 ) cos(θ 2 )
88
(F.2.13)
A szaggitális síkban pedig 0· § 1 § A B· ¸¸ , ¨¨ ¸¸ = ¨¨ © C D ¹ görbe, s © ∆ne R 1 ¹
(F.2.14)
∆ne = n2 cos(θ 2 ) − n1 cos(θ 1 ) .
(F.2.15)
ahol
Vékony, f fókusztávolságú lencsén történĘ áthaladás esetén: § A B· § 1 ¨¨ ¸¸ = ¨¨ © C D ¹ lencse © − 1 f
0· ¸. 1 ¸¹
(F.2.16)
Ha a vékony, f fókusztávolságú lencse a fénynyaláb szimmetriatengelyéhez képest θ szögben döntött, akkor a fényterjedés ABCD mátrixa a meridionális síkban 1 0· § § A B· ¸, 1 ¸¸ ¨¨ = ¨− 1 ¨ ¸ © C D ¹ lencse m © f ⋅ cos(θ ) ¹
(F.2.17)
1 0· § § A B· ¸¸ ¨¨ = ¨ − cos(θ ) 1 ¸ . ¸ © C D ¹ lencse s ¨© f ¹
(F.2.18)
a szaggitális síkban pedig
Egy R görbületi sugarú gömbtükör fókuszáló tulajdonsága megegyezik egy f = R 2 fókusztávolságú lencse jellemzĘjével. Egy d vastagságú, a fénynyaláb útjába Brewster-szögben helyezett lemez esetén a meridionális síkban 2 · § § A B· ¨1 d ⋅ n +1 ¸ ¨¨ ¸¸ =¨ n4 ¸ , ¸ © C D ¹ Br m ¨ 0 1 ¹ ©
(F.2.19)
2 · § §A B· ¨1 d ⋅ n + 1 ¸ ¨¨ ¸¸ =¨ n2 ¸ . ¸ © C D ¹ Br s ¨ 0 1 ¹ ©
(F.2.20)
a szaggitális síkban pedig
Az úgynevezett komplex mátrixoptika [15] segítségével leírhatjuk Gauss-apertúra hatását is a következĘknek megfelelĘen. Egy a x paraméterĦ x irányítottságú és a y paraméterĦ y irányítottságú apertúra hatását az alábbiak szerint írhatjuk fel:
[
]
E ′ = E exp − x 2 a x − y 2 a y . 2
2
Ennek az alábbi komplex elemĦ ABCD mátrixok felelnek meg
89
(F.2.21)
§ 1 §A B· ¨ ¨¨ ¸¸ = ¨− i λ B D © ¹ Gauss− ap. x ¨© π a x 2
0· ¸ 1¸ , ¸ ¹
(F.2.22)
§ 1 §A B· ¨ ¨¨ ¸¸ = ¨− i λ © B D ¹ Gauss− ap. y ¨ π a y 2 ©
0· ¸ 1¸ . ¸ ¹
(F.2.23)
A lineáris-tört transzformáció tulajdonságaiból adódik, hogy több optikai elemen keresztül történĘ terjedés során is a mátrixok szorzataként kapható eredĘ mátrixszal transzformálva kapjuk meg az átjutott fénynyaláb jellemzĘ q-paraméterét: q n +1 =
§ A B · § An −1 ¨¨ ¸¸ = ¨¨ © C D ¹ © C n −1
Bn −1 · § An − 2 ¸⋅¨ Dn −1 ¸¹ ¨© C n − 2
A ⋅ q1 + B , C ⋅ q1 + D
Bn − 2 · §A ¸¸ ⋅ .... ⋅ ¨¨ 2 Dn − 2 ¹ © C2
(F.2.24) B2 · § A1 ¸⋅¨ D2 ¸¹ ¨© C1
B1 · ¸. D1 ¸¹
(F.2.25)
Ortogonális (az optikai elemek megdöntése csak két egymásra merĘleges transzverzális irány szerint történik) asztigmatikus rendszer esetén a rendszeren áthaladó fénynyaláb terjedését a két kitüntetett irányban egymástól függetlenül írhatjuk le [15] az egyes irányokra jellemzĘ ABCD mátrixok segítségével.
F.3. Lézerrezonátorok modellezése A 3.1.2. alfejezetben leírt a rezonátorba oda és vissza terjedés körülfutási mátrixát használó lézerrezonátor tervezés mellett a szakirodalomban használják még az esetenként egyszerĦbb képleteket eredményezĘ egyutas, a rezonátorban az egyik végtükörtĘl csak a másik végtükörig történĘ terjedést leíró mátrixokat használó rezonátor leírást is [79]. A longitudinálisan pumpált lézerek nagyon fontos csoportja az úgynevezett gyĦrĦ-lézerek családja, amikben a fény nem két végtükör között oda-vissza, hanem egy önmagába záródó pálya mentén körbe halad. Az ilyen rezonátorok leírását a F.2.2. alfejezetben adom meg.
F.3.1. Lineáris rezonátor kiértékelése egy-utas ABCD mátrix-technika segítségével Lineáris rezonátorok, ha a bennük található elemek mind lineárisak és két végtükör egyegy síktükör, akkor leírhatók csupán egyirányú terjedést megadó ABCD mátrix segítségével is [79]. Az egyutas technika egyszerĦbb egyenleteket eredményez, ami megkönnyíti a rezonátorok módusainak analitikus számolását.
90
A módszer alapvetése, hogy egy bármennyire is összetett optikai elem egyirányú áthaladás esetén kapott Ao Bo C o Do mátrixából a visszafelé történĘ áthaladás Av Bv C v Dv mátrixa az alábbiak szerint kapható meg: § Av ¨¨ © Cv
B v · § Do ¸=¨ Dv ¸¹ ¨© C o
Bo · ¸. Ao ¸¹
(F.3.1)
Ugyanis minden egyszerĦ optikai elem mátrixának A és D eleme eggyel egyenlĘ. Tekintsünk három egyszerĦ optikai elemet, amelyek mátrixai M 1 , M 2 és M 3 : §1 M 1 = ¨¨ © C1
B1 · § 1 ¸¸ , M 2 = ¨¨ 1¹ © C2
B2 · § 1 ¸¸ , M 3 = ¨¨ 1 ¹ © C3
B3 · ¸. 1 ¸¹
(F.3.2)
Ha a fénynyaláb elĘbb az 1-es majd a 2-es elemen ment keresztül, akkor: § 1 M 1− 2 = M 2 ⋅ M 1 = ¨¨ © C2
B2 · § 1 ¸⋅¨ 1 ¸¹ ¨© C1
B1 · §1 + B1C1 B1 + B2 · § A B · ¸=¨ ¸=¨ ¸. 1 ¸¹ ¨© C1 + C 2 1 + B2 C 2 ¸¹ ¨© C D ¸¹
(F.3.3)
Látható, hogy ez az M 1− 2 mátrix az (F.3.1) egyenletben adott tulajdonságú: § D B· ¸¸ . M 2 −1 = M 1 ⋅ M 2 = ¨¨ © C A¹
(F.3.4)
Innen a teljes indukciónak megfelelĘ eljárással folytathatjuk. Feltesszük, hogy egy összetettebb optikai elem egyutas M 1− 2 oda- és M 2−1 visszafelé terjedés mátrixára teljesül az (F.3.1) képlettel adott tulajdonság, akkor egy további ((F.3.2)-ben adott) M 3 mátrixú elemmel együtt az egyik irányba történĘ terjedés mátrixa: § 1 M o = M 3 ⋅ M 1− 2 = ¨¨ © C3
B3 · § A B · § A + B3 C B + B3 D · ¸⋅¨ ¸. ¸=¨ 1 ¸¹ ¨© C D ¸¹ ¨© C + C 3 A D + C 3 B ¸¹
(F.3.5)
B3 · § D + C 3 B B + B3 D · ¸=¨ ¸. 1 ¸¹ ¨© C + C 3 A A + B3 C ¸¹
(F.3.6)
A visszafelé terjedés mátrixa: § D B· § 1 ¸¸ ⋅ ¨¨ M v = M 2 −1 ⋅ M 3 = ¨¨ © C A ¹ © C3
Látható, hogy az újabb optikai elem hozzácsatolása a rendszerünkhöz továbbra is megtartja az oda-vissza terjedés mátrixok közötti az (F.3.1) egyenlet által adott összefüggést. Ha a rezonátor R1 végtükrétĘl R2 végtükréig számított terjedési mátrix:
§ A0 ¨¨ © C0
B0 · ¸, D0 ¸¹
(F.3.7)
akkor a rezonátor R1 végtükrétĘl számított körülfutási mátrixa: § A B · § D0 ¨¨ ¸¸ = ¨¨ © C D ¹ © C0
B0 · § A0 ¸⋅¨ A0 ¸¹ ¨© C 0
B0 · § A0 D0 + B0 C 0 ¸=¨ D0 ¸¹ ¨© 2 A0 C 0
91
2 B 0 D0 · ¸. A0 D0 + C 0 C 0 ¸¹
(F.3.8)
A rezonátoron belül kialakuló fénynyaláb jellemzĘinek számolásakor fontos szerepet játszik az alábbi kifejezés: 2
§ A+ D· 1− ¨ ¸ = −4 A0 B0 C 0 D0 . © 2 ¹
(F.3.9)
Ezzel az (F.3.8) képletben adott körülfutási mátrixból a rezonátor stabilitásának feltétele (a (3.1.9) képlet alapján): A0 B0 C0 D0 < 0 .
(F.3.10)
A rezonátor R1 végtükrénél megfigyelhetĘ w1 nyalábvastagság (a (3.1.11) képlet alapján):
w1 =
A B λ − 0 0 . π C0 D0
(F.3.11)
w2 =
D B λ − 0 0 . π C0 A0
(F.3.12)
2
A másik végtükörnél pedig: 2
Az elĘbb felvázolt formalizmus kínálkozik bonyolultabb rezonátorok jellemzĘinek számolására is.
w0
§ A1 ¨¨ © C1
B1 · ¸ D1 ¸¹
§ A2 ¨¨ ©C2
B2 · ¸ D 2 ¸¹
d R1
R2
F.3.1. ábra. Lineáris rezonátor modellje Az F.3.1. ábra általános, köztes fókuszállást magába foglaló rezonátor elvi elrendezését adja. A rezonátor R1 végtükrétĘl R2 végtükréig számított terjedési mátrixa: § A0 ¨¨ © C0 § A0 ¨¨ © C0
B0 · § A2 ¸=¨ D0 ¸¹ ¨© C 2
B2 · § 1 d · § D1 ¸⋅¨ ¸⋅¨ D 2 ¸¹ ¨© 0 1 ¸¹ ¨© C1
B0 · § D1 A2 + C1 B2 + C1 A2 d ¸=¨ D0 ¸¹ ¨© D1 C 2 + C1 D2 + C1 C 2 d
B1 · ¸, A1 ¸¹
(F.3.13)
B1 A2 + A1 B2 + A1 A2 d · ¸. B1 C 2 + A1 D2 + C 2 A1 d ¸¹
(F.3.14)
Bevezetve az alábbi jelöléseket [79] ( J = A, B, C , D ):
92
J
aJ
dJ
A
C1 A2
− D1 C1 − B 2 A2
B
A1 A2
− B1 A1 − B 2 A2
C
C1 C 2
− D1 C1 − D2 C 2
D
A1 C 2
− B1 A1 − D 2 C 2
F.3.1. táblázat. Hasznos jelölések A rezonátor egyutas ABCD mátrixa (14): § A0 ¨¨ © C0
B0 · § a A (d − d A ) a B (d − d B ) · ¸=¨ ¸. D0 ¸¹ ¨© a C (d − d C ) a D (d − d D )¸¹
(F.3.15)
A rezonátor stabilitási feltétele (F.3.10):
( A1 C1 A2 C 2 )2 ⋅ (d − d A ) ⋅ (d − d B ) ⋅ (d − d C ) ⋅ (d − d D ) < 0 .
(F.3.16)
Azaz az F.3.1. táblázatban bevezetett d J jelölések a rezonátor stabilitási tartományának határpontjainak értékeit adják. A rezonátor végtükreinél kialakuló nyalábméreteket az (F.3.11) és (F.3.12) képletek egyszerĦen adják. Az F.3.1. ábrán a fókuszált térrészben a fénynyaláb jellemzĘit azonban bonyolultabb számolni. A (F.3.8) egyenlet körülfutási mátrixa az R1 -es tükörnél az alábbi komplex nyalábparamétert adja a (3.1.15) képletnek megfelelĘen (a sík végtükörnek megfelelĘen ott a fénynyalábnak éppen a nyaka található: Re(q1 ) = 0 ): q1 = i −
D0 B 0 A =i 1 C 0 A0 C1
−
(d − d D )(d − d B ) . (d − d C )(d − d A )
(F.3.17)
A fókuszált térségben annak az R1 -es tükörhöz közelebbi szélénél (F.3.1. ábra) a nyaláb komplex q d -paramétere:
qd =
D1 q1 + B1 = C1 q1 + A1
D1 i
A1 C1
A C1 i 1 C1
(d − d D )(d − d B ) +B (d − d C )(d − d A ) 1 . (d − d D )(d − d B ) − +A (d − d C )(d − d A ) 1 −
93
(F.3.18)
Ezt felbonthatjuk valós és képzetes részének összegére:
B1 (d − d C )(d − d A ) − D1 (d − d D )(d − d B ) A C1 qd = 1 + ((d − d C )(d − d A ) − (d − d D )(d − d B )) i
− (d − d A )(d − d B )(d − d C )(d − d D ) A1 C1 ((d − d C )(d − d A ) − (d − d D )(d − d B ))
.
(F.3.19)
Az F.3.1. táblázat jelöléseinek felhasználásával: 1 [2 d − (d C + d B )] , A1 C1
(d − d C )(d − d A ) − (d − d D )(d − d B ) = qd =
B1 C1 (d − d C )(d − d A ) − A1 D1 (d − d D )(d − d B ) + ( 2 d − (d C + d B ) ) i
− (d − d A )(d − d B )(d − d C )(d − d D )
(F.3.20)
.
(F.3.21)
2 d − (d C + d B )
Az F.3.1. táblázatban bevezetett jelölések felhasználásával, a q d = z + i π w0 λ definíciós 2
képlet felhasználásával hosszas számolás eredményeképpen kapjuk, hogy: w0 = 2
λ − (d − d A ) ⋅ (d − d B ) ⋅ (d − d C ) ⋅ (d − d D ) ⋅ . 2 d − (d A + d D ) π
(F.3.22)
Jól látható, hogy a köztesen fókuszált térrészben a rezonátor fénynyalábjának minimális vastagsága nullához tart a stabilitási tartomány széleinél. A nyalábnyak távolsága a köztes fókuszált tartomány bal oldali szélétĘl: §B D · D B D B − d 2 − d ¨¨ 2 + 2 ¸¸ + 1 1 − 2 2 A C C A C 2 ¹ 1 1 2 A2 © 2 . z= ( 2 d − (d C + d B ) )
(F.3.23)
F.3.2. EgyszerĦ gyĦrĦ alakú rezonátor GyĦrĦ alakú rezonátorban a fény nem a két végtükör között halad oda-vissza, hanem egy zárt fényút mentén körbejár. A legegyszerĦbb, két fókuszáló tükrös elrendezés elvi összeállítási rajzát az F.3.2. ábra mutatja. A rezonátorban a síktükrök csak a fény terjedési irányát változtatják meg, de nem befolyásolják a fénynyalábok terjedése során bekövetkezĘ változását. A rezonátorban az asztigmia forrása most is a Brewster-szögben megdöntött lézerkristály és a két kibillentett fókuszálótükör. Az asztigmatikus elemek miatt most is két effektív rezonátorral jellemezhetĘ a lézer. Mind a szaggitális, mind a meridionális síkban az F.3.3. ábra szerinti helyettesítĘ rezonátort kell venni. Az ábrán vesszĘvel jelölt mennyiségek az F.3.2. ábrán jelölt
94
mennyiségek értékeibĘl a szaggitális és meridionális síkra különbözĘképpen számolandók, mint ahogyan azt az elĘzĘ alfejezetekben is láthattuk.
R4
R3
d2 2 ϕ1
d0
2 ϕ2
R1 K
R2
d1 F.3.2. ábra. EgyszerĦ gyĦrĦ alakú rezonátor Az effektív rezonátorban az oda- és visszaút eltérĘ hossza abból ered, hogy a fény körbefutva egyszer a kristályt is tartalmazó utat, egyszer pedig az R3 és R4 tükrök által összehajtogatott utat teszi meg (F.3.2. ábra).
F.3.3. ábra. A két tükör között az effektív oda- és a visszaút eltérĘ hosszúságú Az F.3.3. ábrán a vesszĘs mennyiségek valójában a rezonátor meridionális és szaggitális síkjában különbözĘ értékekkel bírnak. Külön jelölésüket az egyszerĦség kedvéért mellĘztem. Az F.3.3. ábrán feltüntetett rezonátornak körülfutási ABCD mátrixa: 0· §1 d2 · § 1 § A B· § 1 ¸¸ ⋅ ¨¨ ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ ⋅ ¨¨ © C D ¹ © − 2 R1′ 1 ¹ © 0 1 ¹ © − 2 R2′ 2 d2 § 1− ¨ § A B· ¨ R2′ ¸¸ = ¨¨ ¨ 4 d2 2 2 C D ¹ − © − + ¨ © R2′ R1′ R1′ R2′
0 · § 1 d1′ · ¸⋅¨ ¸, 1 ¸¹ ¨© 0 1 ¸¹
2 d 1′ d 2 · ¸ R2′ ¸. 2 d 1′ 2 d 2 4 d 1′ d 2 2 d1′ ¸ − + − 1− ¸ R2′ R1′ R1′ R2′ R1′ ¹
(F.3.24)
d 1′ + d 2 −
95
(F.3.25)
A lézer stabilitási feltételeként most is a (3.1.9) képletében megismert feltétel adódik: § A+ D· 1− ¨ ¸ © 2 ¹
2
> 0,
(F.3.26)
2
1 § A+ D· (d 2 ⋅ (R1′ + R2′ ) + d1′ ⋅ (R1′ + R2′ − 2 d 2 )) ⋅ 1− ¨ ¸ = R1′ R2′ © 2 ¹ ⋅ (d 2 ⋅ (R1′ + R2′ ) + d1′ ⋅ (R1′ + R2′ − 2 d 2 ) − 2 R1′ R2′ ) .
(F.3.27)
A d 1′ távolságra az alábbi stabilitási feltétel adódik: d 2 ⋅ (R1′ + R 2′ ) − 2 R1′ R 2′ d ⋅ (R1′ + R 2′ ) . < d 1′ < 2 ′ ′ 2 d 2 − R1 − R 2 2 d 2 − R1′ − R 2′
(F.3.28)
Azaz az F.3.2. ábrán látható gyĦrĦ alakú rezonátornak csupán egyetlen stabilitási tartománya van a szaggitális és a meridionális síkban. Ezek metszeteként áll elĘ a lézer egyetlen stabilitási tartománya. Az F.3.3. ábrán a vesszĘs mennyiségek valójában a rezonátor meridionális és szaggitális síkjában különbözĘ értékekkel bírnak:
(1 − n ) 2
d 1′ s = d 1 + ∆ s = d 1 + d 0
d 1′ m = d 1 + ∆ m = d 1 + d 0 R1′ s =
R1 , cos(ϕ1 )
R1′ m = R1 cos(ϕ1 ) ,
(1 + n
2
− 2 n4
n4 n2 + 1
R2′ s =
,
(F.3.29)
),
(F.3.30)
n2 + 1
n2
R2 , cos(ϕ 2 )
R2′ m = R2 cos(ϕ 2 ) .
(F.3.31) (F.3.32)
A (3.1.11) képletének felhasználásával (F.3.25) alapján: w1 = 2
λ π
2 d1′ d 2 − R2′ d1′ − R2′ d 2
.
(d 2 (R1′ + R2′ ) + d1′ (R1′ + R2′ − 2 d 2 ))(d 2 (R1′ + R2′ ) + d1′ (R1′ + R2′ − 2 d 2 ) − 2 R1′ R2′ ) R2′
R1′ (F.3.33)
Hasonlóan a másik végtükörnél kialakuló nyalábméret számolásához az (F.3.25) mátrixot a 2-es tükörtĘl körbefutva kell felírni. Ekkor lényegében R1′ és R2′ szerepe felcserélĘdik: w2 = 2
λ π
2 d1′ d 2 − R1′ d1′ − R1′ d 2
(d 2 (R1′ + R2′ ) + d1′ (R1′ + R2′ − 2 d 2 ))(d 2 (R1′ + R2′ ) + d1′ (R1′ + R2′ − 2 d 2 ) − 2 R1′ R2′ ) R1′
R2′ (F.3.34)
96
.
F.4. Háromdimenziós alapmódusú Gauss-fénynyalábok Ebben
a
függelékben
levezetem
a
polarizált
alapmódusú
Gauss-fénynyaláb
elektromágneses terének eloszlását meghatározó képleteket. A fókuszálás során a Gaussfénynyaláb átpolarizálódik: a beesĘ lineárisan poláros fénynyalábban keresztpolarizációs fénykomponens is megjelenik.
F.4.1. Háromdimenziós lineárisan polarizált Gauss-fénynyaláb & & A fénynyalábok elektromos ( e ) és mágneses ( h ) tere egy ε r relatív dielektromos állandójú homogén, izotróp forrásmentes térben kielégíti a következĘ Maxwell-egyenleteket: & & ∂h rot e = − µ 0 , (F.4.1) ∂t & & ∂e rot h = ε r ε 0 , (F.4.2) ∂t & (F.4.3) div e = 0 , & div h = 0 . (F.4.4) Ezek síkhullámmegoldásait a következĘképpen írhatjuk: && & & & e (r , t ) = E e i (ω t −k r ) , && & & & h (r , t ) = H e i (ω t − k r ) ,
(F.4.5) (F.4.6)
k 2 = k x + k y + k z = k0 ε r , (F.4.7) & ahol egy síkhullám-összetevĘ k hullámszámvektorának a komponensei k x , k y és k z ; a 2
2
2
2
monokromatikus fényhullám vákuumban mért hullámhosszából ( λ ) mért hullámszáma k 0 = 2 π λ = ω c . A fény körfrekvenciája ω , a fény vákuumban mérhetĘ sebessége c. TetszĘleges fénytér elektromágneses tere felírható síkhullám-megoldások összegeként. Speciálisan egy a z koordinátatengely irányába haladó monokromatikus fénynyaláb elektromágneses terét a következĘképpen írhatjuk fel:
& & ei ω t e (r , t ) = 2π
&& & −i (k r ) ( ) E k , k ⋅ e dk x dk y , x y ³³
(F.4.8)
& & eiω t h (r , t ) = 2π
&& & −i (k r ) ( ) H k , k ⋅ e dk x dk y . x y ³³
(F.4.9)
Az integrálást csak két hullámszám-vektorkomponens szerint kell elvégezni, mert egy adott közegben a harmadik ezek által az (F.4.7) egyenleten keresztül meghatározott.
97
& & Az (F.4.5) és az (F.4.6) egyenletekben E (k x , k y ) és H (k x , k y ) a fénynyaláb elektromos és
mágneses terének szögspektrumát jelentik, azaz a fénynyaláb sík-fényhullám összetevĘinek elektromos és mágneses vektoramplitúdóit adják. (Vektoramplitúdón egy síkhullámnak a vektoriális jellemzĘje által leírható erĘsségét megadó tulajdonságát értem.) A fénynyaláb síkhullám-összetevĘinek vektoriális amplitúdóit nem lehet azonban tetszĘlegesen megválasztani, közöttük a Maxwell-egyenletek kényszereket írnak elĘ. A síkhullám-összetevĘk elektromos és a mágneses vektoramplitúdói között (F.4.1) és (F.4.2) miatt teljesülni kell: & 1 & & H= ⋅k × E ,
(F.4.10)
& 1 & & E=− ⋅k × H .
(F.4.11)
ω µ0
ωε0
A térerĘsségek komponensei között az alábbi összefüggések teljesülnek (F.4.3) és (F.4.4) következtében:
k x Ex + k y E y + k z Ez = 0 ,
(F.4.12)
kx H x + k y H y + kz H z = 0 .
(F.4.13)
ElegendĘ csupán az elektromágneses térerĘsség vektoramplitúdóját megadni, mert a mágneses térerĘsség vektoramplitúdója abból (F.4.10) alapján számolható. Az (F.4.12) egyenlet következtében a síkhullám három elektromos tér komponense közül csak kettĘ választható meg tetszĘlegesen. (Megmutatható, hogy (F.4.10) és (F.4.12) teljesülése mellett (F.4.11) és (F.4.13) egyenletek automatikusan teljesülnek.) A szögspektrális felbontást például egy sík határ-felület menti elektromostérerĘsségeloszlásából az inverz * * ( e ( x, y ) = e ( x, y, z = 0, t = 0 ) ):
Fourier-transzformáció
* 1 E (k x , k y ) = 2π
∞ ∞
*
³ ³ e ( x, y ) ⋅ e
(
i k x x+k y y
segítségével
)
dx dy .
kapható
meg
(F.4.14)
−∞−∞
& Az (F.4.12) egyenlet teljesüléséhez azonban az e ( x, y ) vektorfüggvénynek is csak két komponense választható meg tetszĘlegesen. Például e x ( x, y ) és e y ( x, y ) komponensek egyikét azonosan nullának választva lineárisan poláros fényt definiálhatunk. Ez a választás (F.4.14) és (F.4.8) miatt azt eredményezi, hogy az elektromos tér y komponense nem csak a definiáló síkon, hanem a tér minden pontjában zérus amplitúdójú lesz. A mágneses térnek
98
viszont (F.4.9) és (F.4.12) következtében sem az x sem az y komponense nem lesz azonosan zérus. Lineárisan, x irányban polarizált z irányba terjedĘ fénynyaláb definiálásához egy x-y transzverzális síkon elĘírhatjuk, hogy:
e y ( x, y, z = 0, t ) = 0 .
(F.4.15)
ElĘírhatjuk még az elektromos tér x komponensének a viselkedését is a z = 0 transzverzális síkon. Alapmódusú Gauss transzverzális eloszlású nyaláb definiálásához: § x2 + y2 · ¸. e x ( x, y, z = 0, t = 0 ) = E x 0 ⋅ exp¨¨ − 2 ¸ w 0 ¹ ©
(F.4.16)
Az (F.4.14) egyenlet segítségével megadhatjuk, hogy ennek a térerĘsség-eloszlásnak a kialakításához a
kx , ky
hullámszámvektor-komponensekkel rendelkezĘ síkhullámnak
mekkora E x (k x , k y ) amplitúdóval kell rendelkeznie. Siegman-lemmájának felhasználásával (F.1.1. alfejezet) a következĘt kapjuk:
(
§ i q0 k x 2 + k y 2 E x 0 q0 E x (k x , k y ) = ⋅ exp¨ ¨ ik 2k ©
)·¸ .
(F.4.17)
¸ ¹
Az (F.4.14) és az (F.4.15) egyenletek miatt minden síkhullám-összetevĘnek zérus a térerĘsségének y komponense:
E y (k x , k y ) = 0 .
(F.4.18)
Az (F.4.12) egyenletbĘl a következĘt kaphatjuk:
(
)
Ez k x , k y = −
(
)
kx Ex k x , k y . kz
(F.4.19)
Azaz a kifejtĘ síkhullámoknak kell z irányú elektromos térrel is rendelkezniük [7], aminek következtében a fénynyalábnak is lesz z irányú elektromos tere, ahogyan az a síkhullámok összegzésébĘl, azaz az (F.4.8) egyenletbĘl adódik:
1 e z ( x, y , z ) = 2π
∞ ∞
kx
³ ³− k
−∞ −∞
[
]
E x (k x , k y )⋅ exp − i (k x x + k y y + k z z ) dk x dk y .
(F.4.20)
z
A hullámszám-vektora a szokásos módon kapható: kz = k 2 − kx2 − ky2 .
(F.4.21)
Paraxiális közelítésben úgy vehetĘ, hogy a nyaláb terjedési irányával csupán kis szöget bezáró síkhullámok játszanak csak fontos szerepet a nyaláb kialakításában, így a kifejtés szempontjából érdekes síkhullámok komponenseire, abszolútértékére:
99
kx , ky 2
kz = k 1−
kx + k y
2
k2
<< k , k z ,
§ 1 kx2 + k y2 ≅ k ⋅ ¨1 − ¨ 2 k2 ©
(F.4.22) 2 2 · ¸ = k − kx − k y . ¸ 2k 2k ¹
(F.4.23)
Az (F.4.21) integrál számolásakor, hogy a z irányú elektromos tér helyfüggésének legegyszerĦbb közelítĘ alakját megkapjuk, az exponenciálisban az (F.4.23) közelítést kell alkalmaznunk, viszont az elĘszorzót nulladrendben is közelíthetjük ( k x k z ≅ k x k ). Az F.1.1 és F.1.2 alfejezetek integráljai segítségével a következĘt kaphatjuk:
e z ( x, y , z , t ) = − E x 0
(
§ − i k x2 + y2 q0 x ⋅ exp¨¨ q q 2q ©
) ·¸ ⋅ e (
i ω t −k z )
¸ ¹
,
(F.4.24)
ahol q = q0 + z . Összevetés céljából érdemes ideírni az x irányú elektromos tér helyfüggését is:
e x ( x, y , z , t ) = E x 0
(
§ i k x2 + y2 q0 ⋅ exp¨¨ − q 2q ©
) ·¸ ⋅ e ( ¸ ¹
i ω t −k z )
(F.4.25)
Amíg a fénynyaláb elektromos terének x komponensének transzverzális eloszlása Gausseloszlást követ, addig az elektromos tér longitudinális (z irányú) komponense elsĘrendĦ Hermite-Gauss-eloszlású. A fénynyaláb mágneses terét az (F.4.9) és (F.4.10) egyenletek segítségével számolhatjuk. Az F.1. fejezet integráljainak segítségével a következĘt kapjuk:
hx ( x, y , z , t ) = − h y ( x, y , z , t ) =
§ i k (x 2 + y 2 ) · i (ω t −k z ) q xy ε0 ¸¸ ⋅ e n E x 0 0 2 ⋅ exp¨¨ − , q q µ0 2q © ¹
q ε0 n Ex0 0 q µ0
hz ( x, y , z , t ) = −
(
§ x2 − y2 · § i k x2 + y2 ¨¨1 + ¨¨ − ¸ ⋅ exp 2 q 2 ¸¹ 2q © ©
) ·¸ ⋅ e ( ¸ ¹
i ω t −k z )
§ i k (x 2 + y 2 ) · i (ω t − k z ) q y ε0 ¸¸ ⋅ e n E x 0 0 ⋅ exp¨¨ − . q q µ0 2q © ¹
(F.4.26)
, (F.4.27)
(F.4.28)
Eredményül azt kaptuk, hogy az elektromos térerĘsség transzverzális komponensének lineárisan polarizáltsága mellett a Gauss-fénynyaláb mágneses tere egyáltalán nem polarizált.
Példaként tekintsük meg a w0 = 10 ⋅ λ minimális nyalábvastagságra fókuszált, x tengely mentén polarizált fénynyaláb elektromos tere x (transzverzális) és z (longitudinális) komponensének helyfüggését a nyalábderék síkjában (F.4.1. ábra)!
100
Az x tengely irányában (y = 0) a longitudinális (z irányú) elektromos tér abszolútértékének helyfüggése aránylag könnyen megkapható az (F.4.17) egyenletbĘl: §
x ·
2
§
x ·
2
−¨¨ −¨¨ x x ¸¸ ¸¸ w λ e z ( x, z ) = E x ( z ) ⋅ 0 ⋅ ⋅ e © w( z ) ¹ = E x (z ) ⋅ ⋅ ⋅ e © w( z ) ¹ . z 0 w(z ) π w0 w( z )
(F.4.29)
Ebben a képletben E x (z ) az adott z pozícióban az x irányú elektromos térerĘsség maximuma. Látszik, hogy a longitudinális tér annál gyengébb minél nagyobb a nyalábderéknál a nyaláb vastagsága ( w0 ). EgyszerĦ szélsĘérték-kereséssel megkaphatjuk, hogy a longitudinális tér legerĘsebb, ha x=±
w( z ) 2
.
a)
(F.4.30)
b)
F.4.1. ábra. ErĘsen fókuszált ( w0 = 10 ⋅ λ ) fénynyaláb elektromos tere x irányú (a) és z irányú (b) komponensének eloszlása a terjedés irányára merĘleges síkban Ekkor e z ,max ( z ) = E x ( z ) ⋅
λ π w0
λ 1 ≅ E x (z ) ⋅ ⋅ 0,14 . w0 2e
(F.4.31)
Egy w0 = 10 ⋅ λ nyalábderékkal rendelkezĘ, levegĘben terjedĘ fénynyalábban a terjedési irányra merĘleges síkokban az ottani maximális transzverzális elektromos térerĘsségnek kb. 1,4 %-a lesz az elektromos térerĘsség longitudinális összetevĘjének maximuma.
101
F.4.2. Lineárisan polarizált fénynyaláb fókuszált nyalábja Ebben az alfejezetben lineárisan polarizált Gauss-fénynyalábok fókuszálását vizsgálom paraxiális közelítésben. Az itt leírtak csupán egyszerĦsített formája, paraxiális közelítése Richards és Wolf munkájának [94]. Az egyszerĦsített tárgyalás értelmét az adja, hogy a gyakorlati esetek nagy részében a paraxiális közelítés is lényegében helyes eredményt szolgáltat, és a kísérleti eredmények értelmezéséhez szükséges nagyságrendi becsléseket megkönnyíti. Megmutatom, hogy az izotróp anyagból készült egyszerĦ vékonylencse hatására is a háromdimenziós fénynyalábok átpolarizálódnak; ha a beesĘ fénynyaláb lineárisan polarizált volt, akkor a fókuszált fénynyalábban megjelenik az eredeti fénynyaláb polarizációs irányára merĘleges polarizációjú fény is. Tekintsünk egy, az elĘzĘ fejezetben meghatározott monokromatikus háromdimenziós lineárisan polarizált fénynyalábot közvetlenül a lencse elĘtt egy x1 − y1 transzverzális síkon (a triviális idĘfüggést az egyenleteimbĘl elhagytam):
ahol r1 = x1 + y1 2
2
§ 1 · ¸ ¨ & e1 ( x1 , y1 ) = e x1 (r1 ) ⋅ ¨ 0 ¸ , ¨− x q ¸ © 1 1¹
(F.4.32)
§ i k r12 · ¸, e x1 (r1 ) = E x1 exp¨¨ − ¸ © 2 q1 ¹
(F.4.33)
és E x1 a beesĘ fénynyaláb elektromos térerĘssége x komponensének
maximális értéke. A lencse hatását a paraxiális közelítés második rendjében egy, a lencse az optikai tengelyétĘl mért r1 sugártól függĘ fázistolással ( ∆ϕ ) és egy, az elektromos teret megdöntĘ mátrixszal ( M δ ,α ) írhatjuk le: & & e2 ( x1 , y1 ) = A(r1 ) e i ∆ϕ (r1 ) ⋅ Mˆ δ ,α ⋅ e1 ( x1 , y1 ) .
(F.4.34)
A vékonylencse radiálisan parabolikus fázistolása: § kr2 · § kr2 · kr2 ∆ϕ (r1 ) = ¨¨ − 1 ¸¸ − ¨¨ − 1 ¸¸ = 1 , © 2 q 2 ¹ © 2 q1 ¹ 2 f
(F.4.35)
mert a vékonylencse hatását paraxiális közelítésben így írhatjuk (lásd az F.2.2. alfejezetet): 1 1 1 = − . q 2 q1 f
102
(F.4.36)
A lencsén keresztül áthaladó fénynek a radiálisan változó késleltetése, fázistolása mellett a fénynyalábot alkotó fénysugarak megdöntése is bekövetkezik. A hatást az úgynevezett Debye-közelítésben [94,101] egyszerĦ tárgyalni, amikor feltételezzük, hogy a lencse apertúrája a fény hullámhosszánál lényegesen nagyobb, és a lencse mögött kialakuló fényteret is csak a lencse mögött a hullámhossznál lényegesen nagyobb távolságokban vizsgáljuk. Ekkor a vékonylencsére beesĘ fényt lokálisan síkhullámként kezelt fénysugarak összességének tekinthetjük. A fénysugarak törését, transzmisszióját alapvetĘen úgy írhatjuk le, hogy a lencse lokálisan egy kisszögĦ prizmaként viselkedik, amelynek a δ eltérítési szögét az határozza meg, hogy a lencse a párhuzamosan beérkezĘ fénysugarakat mind a fókuszpontjában gyĦjti össze: tan δ = r1 f .
(F.4.37)
A megdöntött fénysugárnak is a terjedési irányára merĘleges az elektromos és a mágneses tere is. Ha a beérkezĘ fénysugár elektromos tere az x tengely irányába esett és a lencsére a fénysugár a lencse optikai tengelyével (z tengely) párhuzamosan attól az x tengely irányában mért x1 távolságban, akkor az (F.4.37) képlet által megadott eltérítés is az x-z síkban történt. Az eltérített fénysugár elektromos terét az alábbi mátrixszal történĘ szorzással kaphatjuk meg a beesĘ fénysugár elektromos térerĘsségének vektorából:
§ cos δ ¨ Mδ = ¨ 0 ¨ sin δ ©
0 − sin δ · ¸ 1 0 ¸. 0 cos δ ¸¹
(F.4.38)
Ha a beesĘ fénysugár egy általános ( x1 , y1 ) pontban érkezik a lencse felületére, akkor az elektromos térerĘsségek transzformálásához át kell térni a fénysugár lokális beesési síkjához illeszkedĘ koordináta-rendszerbe, ott alkalmazni a megdöntés az (F.4.38) képlet által adott mátrixát, majd vissza kell térni az eredeti koordináta-rendszerbe. Ekkor az elektromos térerĘsség vektor elfordulásának M δ α mátrixa ( sin α = y1 r1 , cosα = x1 r1 ): −1
Mδ α = Mα ⋅ Mδ ⋅ Mα ,
(F.4.39)
ahol
§ cos α ¨ M α = ¨ sin α ¨ 0 ©
− sin α cosα 0
0· ¸ 0¸ . 1 ¸¹
(F.4.40)
Figyelembe véve, hogy δ kis szög (csak az x1 f , y1 f elsĘrendĦen kis mennyiségeknek csupán legfeljebb a másodrendĦ járulékait meghagyva):
103
Mδ α
2 § ¨ 1 − x1 ¨ 2f2 ¨ x y = ¨ − 1 21 ¨ 2f ¨ 2 ¨ x1 §¨ r1 ·¸ 1 − ¨ f ¨ f 2 ¸¹ © ©
2 x1 § r1 · ·¸ ¨1 − 2 ¸ f ¨© f ¸¹ ¸ 2 2 ¸ y1 y1 § r1 · ¸ ¨ 1− − ¨1 − 2 ¸¸ . 2f2 f © f ¹¸ ¸ 2 2 y1 § r1 · r1 ¸ ¨1 − 2 ¸ 1− 2 ¸ ¸ ¨ f © f ¹ 2f ¹
−
x1 y1 2f2
−
(F.4.41)
A fény terjedési irányának megváltozása miatt egy, a fény intenzitását módosító A(r1 ) szorzót kell használni, amelynek az értéke a 94. referencia szerint:
A(r1 ) = cos δ .
(F.4.42)
Kis eltérítési szög esetén δ ≅ r1 f , ekkor a csak a legfeljebb másodrendĦ tagokat megtartva: A(r1 ) ≅ 1 − r1 4 f 2 . 2
(F.4.43)
A lencse után közvetlenül a fénynyaláb elektromos tere: 2 § ·· x § ¨ 1 − 1 2 ¨1 − 2 f ¸ ¸ ¨ q1 ¸¹ ¸ ¨ 2f © 2 § i k r1 · ¨ x1 y1 § 2 f · ¸ & ¸⋅¨ − ¸¸ ¨ e2 ( x1 , y1 ) = e x1 (r1 ) ⋅ exp¨¨ ¸ ¨ 2 f 2 ¨1 − q ¸ ¸ . 2 f 1 ¹ © © ¹ ¨ x § q · ¸ ¨ − 1 ¨¨1 − 1 ¸¸ ¸ ¨ q1 © f ¹ ¸¹ ©
(F.4.44)
A lencse mögött z távolságra kialakuló fénytér elektromos terét úgy határozhatjuk meg, hogy az (F.4.44) által adott elektromos térerĘsségnek meghatározzuk a szögspektrumát:
& 1 E2 (k x , k y ) = 2π
∞ ∞
&
³ ³ e (x, y )⋅ exp(i (k 2
−∞− ∞
x
x + k y y )) dx dy .
(F.4.45)
A szögspektrum segítségével megkaphatjuk a lencse mögött z távolságra egy másik transzverzális síkon kialakuló elektromos-térerĘsség eloszlást: & 1 e3 ( x, y, z ) = 2π
& E ³ 2 (k x , k y )⋅ exp(− i (k x x + k y y + k z z )) dk x dk y .
∞ ∞
³
(F.4.46)
− ∞−∞
Most is alkalmazva a paraxiális közelítést és az F.1. alfejezet integráljait egy meglehetĘsen összetett kifejezést kapunk. A gyakorlatilag fontosabb esetekben azonban tehetünk bizonyos egyszerĦsítĘ feltevéseket. Párhuzamosított, nem túlságosan keskeny beesĘ fénynyaláb esetén teljesül, hogy q1 >> f , aminek következtében teljesülnek a továbbiak is: q1 >> q 2 , és
(q
1
− f ) f << 1 . Ezen közelítések figyelembevételével a fénynyaláb elektromos terének
térbeli eloszlását a következĘképpen adhatjuk meg: 104
§ 3 x2 + y2 · ¨1 − ¸ 2 4 q3 ¸ ¨ ¸ § i k r2 · ¨ q & xy ¸¸ ⋅ ¨ − e3 ( x, y, z ) = E x1 2 ⋅ exp¨¨ − ¸, 2 q3 2 q3 © 2 q3 ¹ ¨ ¸ x ¨ ¸ − ¨ ¸ q3 © ¹
(F.4.47)
ahol q3 = q 2 + z és r = x 2 + y 2 . A fenti képletben csupán az egyes komponensek viselkedését meghatározó legjelentĘsebb faktorokat adtam meg. Az (F.4.47) képlet a fókuszált nyalábban megjelenĘ keresztpolarizációs jelenséget mutat: a beesĘ fénynyalábban (lásd az (F.4.32) képletet) az elektromos térerĘsség y komponense zérus volt, a fókuszált fénynyalábban viszont megjelenik ez a térerĘsség-komponens is. Az (F.4.47) egyenlet alapján az ugyanazon transzverzális síkon vett gyenge keresztpolarizációs és a kismértékben meggyengült eredeti polarizációs térerĘsségek amplitúdóinak arányára a következĘt kapjuk: K=
e3 y ( x, y )
e3 x ( x = 0, y = 0 )
≅
§ −ik r2 · xy ¨¨ ¸¸ . exp 2 2 q3 © 2 q3 ¹
(F.4.48)
Az F.2.1. függelékben adott összefüggések és az x = r cos ϕ , y = r sin ϕ kifejezések felhasználásával: K=
§ r2 · λ 2 sin ϕ cos ϕ r 2 ¨− 2 ¸ , exp 2 2 ¨ w ¸ 2 π 2 w3 0 w3 3 ¹ ©
(F.4.49)
ahol w3 a fénynyaláb vastagsága a vizsgált transzverzális síkon, w3 0 pedig a fókuszált fénynyaláb fókuszfoltjának vastagsága: w3 0 =
fλ . π w0
(F.4.50)
Az (F.4.49) kifejezésnek maximuma az x és az y tengelyek szögfelezĘjének irányában ( ϕ = 45$ ) a tengelyektĘl r = w3 távolságra van (F.4.2. ábra):
K max =
1
λ2
4 π e w3 0 2
2
=
λ2 w3 0
105
2
9.3 ⋅10 −3 .
(F.4.51)
y x
F.4.2. ábra. A lineárisan polarizált fénynyaláb fókuszált nyalábjában a keresztpolarizált térerĘsség transzverzális eloszlása
Példaként tekintsük azt az esetet, amikor egy 0,6 µm hullámhosszúságú x irányban polarizált fénynyalábot egy 25 mm fókusztávolságú lencsével fókuszálunk. Ha a nyalábvastagság ( 2 ⋅ w2 ) a fókuszálás elĘtt 1,6 mm volt, akkor a nyalábderék vastagsága 2 ⋅ w2 ( f ) = 12 µm
lesz a fókuszálás után. A fókuszálás következtében megjelenik az
elektromos tér y irányú komponense is, amelynek a terjedési irányra merĘleges síkon a maximuma csupán 2,6 ⋅10 −4 -szerese az azon a síkon az x irányú elektromos tér maximumának. A most leírt eset igen erĘs fókuszálásnak felel meg: nagyobb fókusztávolság esetén a kialakuló, az eredetire merĘleges polarizáció még gyengébb, rendszerint elhanyagolható.
F.5. Izotróp rétegrendszer Fresnel-együtthatóinak számolása Tekintsünk sík párhuzamos felületekkel határolt N darab izotróp közeget, illetve a belĘlük felépülĘ dielektrikum rétegrendszert (F.5.1. ábra). A rétegek dielektromos állandói
ε 1 , ε 2 ,...ε N . A rétegek vastagságai pedig d 2 ,...d N −1 . A beesĘ fény-síkhullám ( E1 ) hatására a rétegrendszerben kialakuló elektromos térerĘsség-eloszlást az F.5.1. ábra szemlélteti. Feltesszük, hogy a beesĘ fényhullám hullámszámvektora valós. Ekkor választhatunk olyan
( x, y , z )
derékszögĦ koordináta-rendszert, amelynek z tengelye merĘleges a rétegek
határfelületeire, és az x − z sík a beesĘ fényhullám beesési síkját adja.
106
F.5.1. ábra. Sík-párhuzamos rétegrendszereken bekövetkezĘ visszaverĘdés és törés problémája esetén megfontolásainkban elĘforduló elektromos térerĘsségek és hullámszámvektorok Az egyes közegekben kialakuló elektromágneses hullámok hullámszámvektorainak a felületekkel párhuzamos komponenseinek minden közegben azonosaknak kell lenniük:
k x := k1 x = ... = k N x = k1′x = ... = k N′ −1 x ,
(F.5.1)
0 = k1 y = k1′y = ... = k N −1 y = k ′N −1 y = k N y .
(F.5.2)
Az utolsó közeget kivéve mindegyikben két fényhullám van jelen: az egyik +z, a másik -z irányba terjed: k j z = ε j − kx , 2
k ′j z = − ε j − k x , 2
j = 1,2,.., N − 1 .
(F.5.3)
Az N-edik közegben csupán a pozitív z irányába terjedĘ hullámot tételezünk fel, mert csak az 1. közeg felĘl tételezünk fel beesĘ fényhullámot. Az egyes közegekben kialakuló fény erĘssége meghatározásának problémáját a beesĘ fény-síkhullám p- és s-polarizációja esetén egymástól elkülönülten is megoldhatjuk. Ha a beesĘ fény nem lineárisan polarizált a beesési síkban vagy arra merĘlegesen, akkor a beesĘ fény elektromos terét fel kell bontani s-polarizált és p-polarizált összetevĘkre, azokra számoljuk ki a visszavert vagy megtört fényhullám s- illetve p-polarizált komponensét, majd adjuk ismét össze a transzformált térerĘsség-komponenseket. Az ebben a fejezetben használt E j és E ′j térerĘsség-amplitúdók a térerĘsség z komponensét jelölik a beesĘ fény p-polarizált esetében, viszont a térerĘsség y komponensét jelölik a beesĘ fény s-polarizált esetében. A j=2,...N esetben a térerĘsség-amplitúdókat a j107
edik és a (j-1)-edik közeg határán definiáljuk, viszont az E1 és E1′ térerĘsség-amplitúdókat az 1. és a 2. közeg határfelületén definiáljuk. A sokréteges rétegrendszer esetén felmerült problémát is egyszerĦen kezelhetjük olyan jelölések használata mellett, amelyeket az egyetlen határfelület esetén megoldott probléma megoldásából eredeztethetünk. Az elektromágneses terek illesztésének egyenleteibĘl a következĘ reflexiós ( r ) és transzmissziós ( t ) együtthatókat kaphatjuk s-polarizált beesĘ fény esetén az egyetlen határfelület esetén a visszaverĘdési, törési probléma megoldása:
E1′y = r1s2 E1 y , r1s2 =
k1 z − k 2 z k1 z + k 2 z
E2 y = t1s2 E1 y , t1s2 =
,
2 k1 z k1 z + k 2 z
(F.5.4) .
(F.5.5)
Hasonlóan p-polarizált esetben:
E1′z = r1p2 E1 z , r12p =
k1 z ε 2 − k 2 z ε 1 k1 z ε 2 + k 2 z ε 1
E2 z = t1p2 E1 z , t1p2 =
,
2ε 1k1 z k1 z ε 2 + k 2 z ε 1
(F.5.6) .
(F.5.7)
A sokréteges rétegrendszer esetében a megoldásban s- és p-polarizált esetben formális megfelelés tapasztalható. Az rövidség kedvéért a következĘkben az s- és p-polarizált esetre érvényes, párhuzamosan vezetett egyenletek helyett csupán egyetlen képletet írok fel, ami mind a két esetre érvényes. A következĘ egyenletekben ri j , t i j és Ei szimbólumok jelentése p-polarizált terek esetében ri pj , tipj és Ei z , s-polarizált esetben pedig ri sj , tis j és Ei y . Definiálhatunk T j
j +1
átviteli mátrixokat a következĘképpen ( j = 2,3,...N − 1 ): §Ej · ¨ ¸ = Tj ¨ E′ ¸ © j¹
j +1
§ E j +1 · ¨ ¸ ¨ E′ ¸ . © j +1 ¹
(F.5.8)
Az elektromágneses terek illesztésébĘl a következĘt kaphatjuk: § e −i k j z d j T j j +1 = ¨¨ © 0
0 ·¸ 1 § 1 ¨ ¨ ¸t e ¹ j j +1 © r j j +1 i k j zd j
108
r j j +1 · ¸. 1 ¸¹
(F.5.9)
Ezzel egyszerĦen felírható a különbözĘ közegekben kialakuló elektromos terek közötti összefüggés:
§ E N −1 · §E · ¨¨ ¸¸ = TN −1 N ¨¨ N ¸¸ , © 0 ¹ © E ′N −1 ¹
(F.5.10)
§ E N −2 · §E · ¨¨ ¸¸ = TN −2 N −1TN −1 N ¨¨ N ¸¸ , ′ © 0 ¹ © E N −2 ¹
(F.5.11)
• •
§E · § E2 · ¨¨ ¸¸ = T2 3 ...TN −2 N −1TN −1 N ¨¨ N ¸¸ , © 0 ¹ © E2′ ¹ § E1 · 1 § 1 ¨ ¨¨ ¸¸ = ¨ © E1′ ¹ t1 2 © r1 2
r1 2 · § EN · ¸ T ...T ¨ ¸. 1 ¸¹ 2 3 N −1 N ¨© 0 ¸¹
(F.5.12)
(F.5.13)
A fenti egyenletek megadják az egyes közegekben kialakuló fényhullámok elektromos amplitúdóit, mint E N függvényét. Az utolsó egyenlet speciálisan megadja az E1 és az E N közötti kapcsolatot, amibĘl E N -t kifejezve megkaphatjuk az összes elektromos térerĘsségamplitúdót E1 , a beesĘ fény térerĘsségének függvényeként. A közegekben kialakuló fényhullámok elektromos terének y és z komponenseit kaphatjuk meg az (F.5.10)-(F.5.13) egyenletekbĘl, az elektromos térerĘsségek x komponensét az alábbi egyenletbĘl nyerhetjük a +z irányába terjedĘ fényhullám esetén: k jx Ejx + kjz Ejz = 0,
(F.5.14)
a -z irányába terjedĘ fényhullám esetén viszont: k ′j x E ′j x + k ′j z E ′j z = 0 .
(F.5.15)
Az egyes közegekben kialakuló elektromos térerĘsségvektor komponenseinek és a beesĘ fény térerĘssége megfelelĘ komponenseinek arányaként megkaphatjuk a rétegrendszer úgynevezett Fresnel-együtthatóit.
F.6. A p-polarizált reflexiós tényezĘ viselkedése a Brewster-szög közelében Az (F.5.6), (F.5.7) és az (F.5.14), (F.5.15) egyenletek következtében egyetlen határfelületen bekövetkezĘ visszaverĘdésnek a p-polarizált beesĘ síkhullám R p = Er x Ei x reflexiós tényezĘjét a következĘképpen számolhatjuk:
109
Rp =
k 2 z ε 1 − k1 z ε 2
.
k1 z ε 2 + k 2 z ε 1
(F.6.1)
Veszteségmentes közegek esetén a közegek dielektromos állandói ( ε 1 és ε 2 ) a valós törésmutatók ( n1 és n2 ) négyzeteként számolhatók: ε 1 = n1 , ε 2 = n2 . A hullámszámvektor z 2
2
komponensét kifejezhetjük, mint a hullámszámvektor x komponensének a függvényét (lásd az (F.5.3) képletet):
(n k )
k jz = ahol
j = 1,2 és k 0 = 2 π λ
2
0
j
− kx , 2
(F.6.2)
a fény vákuumban mért hullámhosszából ( λ ) számolt
hullámszáma. Az (F.6.1) egyenletbe beírva a következĘt kapjuk:
R p (k x ) =
n1
2
n1
2
(n2 k 0 )2 − k x 2 − n2 2 (n1 k0 )2 − k x 2 (n2 k0 )2 − k x 2 + n2 2 (n1 k 0 )2 − k x 2
.
(F.6.3)
Az R p amplitúdó-reflexióstényezĘnek az α p Brewster-szög ( tan α p = n2 n1 ) közelében megfigyelhetĘ változási gyorsaságát ( M ) az alábbiak szerint számolhatjuk: M = k0
d Rp d kx
=
(n
4 2
− n1
4
)
n1 + n2 2
3
2 n2 n2
k x =k x 0
3
2
,
(F.6.4)
ahol
k x 0 = n1 k 0 sin α p = k 0
n1 n2 n1 + n2 2
2
.
(F.6.5)
Ha a p-polarizált fény vákuumból vagy levegĘbĘl ( n1 = 1 ) érkezik egy n2 = n törésmutatójú közeg sík felületére, akkor
M=
(n
4
)
−1 1+ n2 . 2 n3
110
(F.6.6)
1. ELėSZÓ ............................................................................................................................................................ 1 2. ULTRARÖVID FÉNYIMPULZUSOK FÁZISMODULÁLT TÜKRÖZÉSE ............................................. 2 2.1. ELėZMÉNYEK ............................................................................................................................................... 2 2.1.1. Femtoszekundumos lézerekben alkalmazott dielektrikumtükrök.......................................................... 2 2.1.2. IdĘbeli holográfia ................................................................................................................................ 4 2.2. ÚJ EREDMÉNYEK .......................................................................................................................................... 5 2.2.1. IdĘbeli holográfia lineárisan fázismodulált Gauss-impulzusokkal ...................................................... 6 2.2.2. Fénynyalábok spektrális felbontásának leírása paraxiális közelítésben............................................ 10 2.2.3. Spektrális holográfia térbeli és idĘbeli Gauss-impulzusokkal ........................................................... 15 2.2.4. Fázismodulált dielektrikumtükrök szintézise...................................................................................... 17 2.3. ÖSSZEFOGLALÁS ........................................................................................................................................ 18 3. KERR-LENCSÉVEL MÓDUSSZINKRONIZÁLT TI:ZAFÍR LÉZEREK TERVEZÉSE ÉS MEGÉPÍTÉSE..................................................................................................................................................... 19 3.1. ELėZMÉNYEK ............................................................................................................................................. 19 3.1.1. Rezonátorok általános mátrixoptikája ............................................................................................... 20 3.1.2. X alakú asztigmatikusan kompenzált rezonátorok ............................................................................. 21 3.1.3. Ti:zafír lézerkristály jellemzĘi ........................................................................................................... 26 3.1.4. Az optikai tengely mentén pumpált Ti:zafír lézer teljesítménye ......................................................... 29 3.1.5. A fényerĘsítés nyalábformáló hatása (gain-guiding) ......................................................................... 36 3.1.6. Kerr-lencsés módusszinkronizálás ..................................................................................................... 37 3.1.7. A lézerkristály melegedésének hatása ................................................................................................ 43 3.2. ÚJ EREDMÉNYEK ........................................................................................................................................ 44 3.2.1. A pumpáló és a gerjesztett fénynyaláb egymásra hatása ................................................................... 45 3.2.2. A longitudinálisan pumpált lézerek fényerĘsítése .............................................................................. 48 3.2.3. FényerĘsítés terelĘ hatása: az erĘsítĘ közeg lencseszerĦ viselkedése (gain-guiding) ....................... 52 3.2.4. A pumpáló nyaláb gyengülése............................................................................................................ 53 3.2.5. A pumpáló nyaláb transzverzális eloszlásának változása .................................................................. 54 3.2.6. A lézerkristály melegedésének hatása ................................................................................................ 55 3.2.7. Kerr-lencsével módusszinkronizált lézerek számítógépes modellezése.............................................. 58 3.2.8. Megtervezett és megépített lézerek..................................................................................................... 60 3.3. ÖSSZEFOGLALÁS ........................................................................................................................................ 65 4. FÉNYNYALÁBOK KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉGEI............................................................. 66 4.1. ELėZMÉNYEK ............................................................................................................................................. 66 4.2. ÚJ EREDMÉNYEK ........................................................................................................................................ 68 4.2.1. Fénynyalábok visszaverĘdésének, törésének leírása.......................................................................... 68 4.2.2. A fénynyaláb vektoriális jellegének köszönhetĘ polarizációs jelenségek ........................................... 71 4.2.3. Dielektrikum felületére Brewster-szög alatt beesĘ p-polarizált alapmódusú Gauss-fénynyaláb visszaverĘdésének számolása paraxiális közelítésben ................................................................................. 73 4.2.4. Kísérleti demonstráció ....................................................................................................................... 76 4.2.5. Diszkusszió......................................................................................................................................... 78 4.3. ÖSSZEFOGLALÁS ........................................................................................................................................ 80 5. ÖSSZEFOGLALÁS ........................................................................................................................................ 81 6. SUMMARY...................................................................................................................................................... 83 F. FÜGGELÉK.................................................................................................................................................... 85 F.1. A DOLGOZAT SORÁN ALKALMAZOTT FONTOSABB INTEGRÁLTÉTELEK........................................................ 85 ∞
F.1.1.
³ exp(− a t
2
)
− 2 b t dt integrál értéke ........................................................................................... 85
−∞ ∞
F.1.2.
³ t ⋅ exp(− a t
−∞
2
)
− 2 b t dt integrál számolása.............................................................................. 85
111
∞
F.1.3.
³t
−∞
2
⋅ exp(− a t 2 − 2 b t ) dt integrál számolása............................................................................ 86
F.2. GAUSS-FÉNYNYALÁBOK MÁTRIXOPTIKÁJA ................................................................................................ 87 F.2.1. Alapmódusú Gauss-fénynyalábok...................................................................................................... 87 F.2.2. Fénynyalábok terjedésének leírása ABCD mátrixokkal .................................................................... 88 F.3. LÉZERREZONÁTOROK MODELLEZÉSE ......................................................................................................... 90 F.3.1. Lineáris rezonátor kiértékelése egy-utas ABCD mátrix-technika segítségével ................................. 90 F.3.2. EgyszerĦ gyĦrĦ alakú rezonátor........................................................................................................ 94 F.4. HÁROMDIMENZIÓS ALAPMÓDUSÚ GAUSS-FÉNYNYALÁBOK ....................................................................... 97 F.4.1. Háromdimenziós lineárisan polarizált Gauss-fénynyaláb................................................................. 97 F.4.2. Lineárisan polarizált fénynyaláb fókuszált nyalábja....................................................................... 102 F.5. IZOTRÓP RÉTEGRENDSZER FRESNEL-EGYÜTTHATÓINAK SZÁMOLÁSA ...................................................... 106 F.6. A P-POLARIZÁLT REFLEXIÓS TÉNYEZė VISELKEDÉSE A BREWSTER-SZÖG KÖZELÉBEN ............................. 109
112
