Bonustoets hv wiskunde A hoofdstuk 3 De huisarts. (3+5+5) Huisartsen nemen een centrale positie in binnen de gezondheidszorg. De huisarts is namelijk het eerste aanspreekpunt voor mensen met vragen over gezondheid en ziekte. Een jaar of veertig geleden was een vrouwelijke huisarts nog een uitzondering. Maar tegenwoordig zijn er heel wat vrouwelijke huisartsen en dat aantal neemt nog steeds toe, zie de figuur. We nemen aan dat de stijging lineair verloopt.
Op 1 januari 1990 waren er 1078 vrouwelijke huisartsen en op 1 januari 2008 bleek dit aantal gestegen tot 2980. Het aantal vrouwelijke huisartsen HV na t jaar, met t = 0 op 1 januari 1990, is te schrijven als HV = a • t + 1078 De waarde van a is ongeveer 106. 1) Bereken met behulp van bovenstaande gegevens de waarde van a in één decimaal nauwkeurig. Ook het totaal aantal huisartsen HT neemt vanaf 1 januari 1990 toe. Hiervoor geldt de formule HT = 107 • t + 6703, met t in jaren en t = 0 op 1 januari 1990. Als de stijging van het totaal aantal huisartsen en van het aantal vrouwelijke huisartsen zich op dezelfde manier voortzet als in de formules voor HT en HV is beschreven, komt er een moment dat er evenveel vrouwelijke als mannelijke huisartsen zullen zijn. 2) Onderzoek in welk jaar dat zal zijn.
Het is in bepaalde gevallen handig om het gegeven verband tussen het totaal aantal huisartsen HT en de tijd t te schrijven in de vorm: t = a • HT + b. 3) Leid uit het gegeven verband tussen HT en t een formule van bovenstaande vorm af. Rond a en b af op drie decimalen.
Erfpacht (2+8) Huiseigenaren bezitten meestal het huis én de grond waarop het staat. Soms echter is de eigenaar van de grond een ander dan de eigenaar van het huis. De huiseigenaar huurt dan de grond van de grondeigenaar. Dit wordt erfpacht genoemd: het erf wordt gepacht, gehuurd dus. De huurprijs van een stuk grond wordt meestal voor een groot aantal jaren vastgesteld. Aan het einde van zo’n periode moet een nieuwe huurprijs worden bepaald. De nieuwe huurprijs wordt gebaseerd op de taxatiewaarde van het stuk grond. De taxatiewaarde is de waarde waarop het stuk grond getaxeerd ofwel geschat wordt. Hoe hoger de taxatiewaarde, hoe hoger de huur. Een grondeigenaar, die vele stukken grond in erfpacht verhuurt, heeft vier van zijn stukken grond laten taxeren. De oppervlaktes van deze stukken bedroegen 627 , 1270 , 1752 en 3785 . Aan de hand van de taxatiewaarde van een stuk grond kan de waarde per worden uitgerekend. In figuur hieronder staan die bedragen voor de vier getaxeerde stukken grond. De taxatiewaarde van een stuk grond is altijd een bedrag in gehele duizendtallen.
4) Hoe groot is de taxatiewaarde van het stuk grond van 1270 antwoord toe.
? Licht je
De grondeigenaar berekent met behulp van figuur hierboven de waarde per van elk van zijn overige stukken grond als volgt: • Een stuk grond met een oppervlakte kleiner of gelijk aan 627 heeft een waarde van € 279,– per . • De waarde per van een stuk grond met een oppervlakte tussen 627 en 1270 wordt berekend door middel van lineaire interpolatie in figuur hierboven. De waarde per wordt naar beneden afgerond op een geheel aantal euro’s. Deze berekeningswijze wordt ook gebruikt bij stukken grond met een oppervlakte tussen 1270 en 1752 en tussen 1752 en 3785 . • Een stuk grond met een oppervlakte groter of gelijk aan 3785 heeft een waarde van € 105,– per . Aan de hand van de zo berekende waarde per wordt de taxatiewaarde van het stuk grond bepaald en afgerond op gehele duizendtallen. Twee buren huren allebei een stuk grond van deze grondeigenaar. De oppervlaktes van deze stukken grond zijn vrijwel gelijk: 1180 en 1181 Ze verwachten dat de taxatiewaarde van het grootste stuk grond hetzelfde is als die van het kleinste stuk, of iets hoger. Maar als ze de berekende taxatiewaarden van beide stukken grond vergelijken, ontdekken ze iets merkwaardigs. 5) Leg met behulp van berekeningen uit wat er merkwaardig is aan deze twee taxatiewaarden. Ontslagvergoeding. (3+4+4+3) Bij grote bedrijven wordt er regelmatig gereorganiseerd. Hierbij vallen soms gedwongen ontslagen. Een ontslagen werknemer krijgt dan vaak eenmalig een ontslagvergoeding. Er zijn verschillende rekenmethodes om deze vergoeding te bepalen. In deze opgave bekijken we er twee. De eerste rekenmethode gebruikt de formule: V1 = 0,5 • m • g Hierin is V1 de ontslagvergoeding in euro’s, m het bruto maandsalaris in euro’s en g het aantal gewogen dienstjaren. De dienstjaren vóórdat iemand 40 jaar is, tellen elk voor 1, de volgende tien dienstjaren tellen elk voor 1,5 en elk dienstjaar vanaf het moment dat iemand 50 jaar is geworden, telt voor 2. Bob Jansen is onlangs 52 jaar geworden. Hij werkt vanaf zijn dertigste verjaardag bij zijn huidige werkgever. Deze werkgever gaat reorganiseren met als gevolg dat Bob ontslagen wordt. Bob had een bruto maandsalaris van 4300 euro. 6) Toon aan dat Bob volgens de formule een ontslagvergoeding krijgt van meer dan 60 000 euro. De tweede rekenmethode gebruikt de formule V2 = 6 • m + 2,4 • m • d
Hierin is V2 de ontslagvergoeding in euro’s, m het bruto maandsalaris in euro’s en d het aantal dienstjaren, geteld vanaf de 36e verjaardag. Er geldt dat d = 0 totdat de werknemer 37 jaar wordt. Op de dag dat de werknemer 37 jaar wordt, wordt d = 1. Op de 38e verjaardag wordt d = 2, enzovoort. Het aantal dienstjaren wordt altijd in gehele jaren berekend. Bij de tweede formule geldt een maximale ontslagvergoeding van 54 keer het bruto maandsalaris. Henk Klaassen werkt vanaf zijn 36e verjaardag bij zijn huidige werkgever. Hij is bang bij een reorganisatie te worden ontslagen. Neem aan dat zijn maandsalaris door de jaren heen steeds gelijk blijft. 7) Bereken na hoeveel dienstjaren hij voor het eerst zijn maximale ontslagvergoeding zou krijgen volgens de tweede formule. Vakbonden hebben liever dat de formule voor V2 gebruikt wordt dan de formule voor V1 . Toch is de formule voor V2 niet altijd gunstiger. Er zijn situaties waarbij de eerste formule gunstiger is voor een ontslagen werknemer. 8) Geef een rekenvoorbeeld van zo’n situatie en geef daarbij aan op welke leeftijd de werknemer in dienst is getreden en op welke leeftijd hij ontslagen wordt. Met de tweede formule kan de ontslagvergoeding V2 worden berekend als het bruto maandsalaris m en het aantal dienstjaren d, geteld vanaf de 36e verjaardag, bekend zijn. De formule kan worden herschreven tot een formule die uitgaat van het bruto jaarsalaris in plaats van het bruto maandsalaris. Een jaarsalaris is meer dan 12 maandsalarissen, omdat een werknemer ook vakantiegeld en een eindejaarsuitkering uitbetaald krijgt. Hierdoor geldt dat het bruto jaarsalaris j gelijk is aan 13,5 keer het bruto maandsalaris m. De tweede formule is daarmee te schrijven in de vorm: V2 = ...• j + ...• j • d 9) Bereken in twee decimalen nauwkeurig de getallen die op de puntjes moeten staan. Licht je werkwijze toe.
UITWERKINGEN 1. In x = 18 jaar is de toename y = 2980 - 1078 = 1902 Dan is a = y/x = 1902/18 = 105,7 2. Als er evenveel mannen als vrouwen zijn, zijn deze beiden de helft van het totaal. Dus moet gelden HV = 0,5HT 106t + 1078 = 0,5(107t + 6703) 106t + 1078 = 53,5t + 3351,5 52,5t = 2273,5 t = 2273,5/52,5 = 43,3 Dat is dus in het jaar 1990 + 43,3 = 2033 3. HT = 107 • t + 6703 HT – 6703 = 107 • t HT /107– 6703 /107 = t HT • 1/107– 6703 /107 = t HT • 0,009 – 62,645 = t 4. 1270 × € 236 = € 299 720 de taxatiewaarde is € 300 000 5. bij de oppervlakte 1180 hoort de waarde € 242 per behulp van lineaire interpolatie
• bij de oppervlakte 1181 hoort de waarde € 241 per van lineaire interpolatie én naar beneden afgerond
, berekend met
, berekend met behulp
• de taxatiewaarde van het eerste stuk grond is € 286 000 en de taxatiewaarde van het tweede stuk grond is € 285 000 • de taxatiewaarde van het grootste stuk grond is lager 6. de 10 jaren 30 tm 39 tellen voor 1 de 10 jaren 40 tm 49 tellen voor 1,5 de 2 jaren 50 en 51 tellen voor 2.
Samen geeft dat g = 10 • 1 + 10 • 1,5 + 2 • 2 = 29 m = 4300, dus V1 = 0,5 • 4300 • 29 = 62350 en dat is inderdaad meer dan 60000
7. dan moet gelden V2 = 54 • m 6m + 2,4md = 54m alles door m delen: 6 + 2,4d = 54 2,4d = 48 d = 48/2,4 = 20
8. 0,5mg > 6m + 2,4md dus moet gelden: 0,5g > 6 + 2,4d en kennelijk doet m er niet toe. hier staan een aantal d waarden met de voorwaarde voor g : d
0
ontslagleefti L<3 jd 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
voorwaarde >14, >17, >20, >23, >2 >28, >31, >34, >37, >4 >42, >45, >48, >12 g: 8 6 4 2 6 8 6 4 2 0 8 6 4 startleeftijd
L1 22 20 18 16 14 12 11 10 9 25 5
8
6
5
daar rechts wordt het wat onwaarschijnlijk (zo jong begin je niet te werken) verder zou het misschien kunnen dat V1 de maximumwaarde 54m overschrijdt? dan geldt: 0,5mg > 54m ofwel g > 108. Dat is wat onwaarschijnlijk om te halen (Als je bijv. op je 80e stopt zou je al op je 7e moeten zijn begonnen!)
9. j = 13,5m dus m = j/13,5 = (1/13,5)•j = 0,074 • j de formule wordt dan V2 = 6 • 0,074 • j + 2,4 • 0,074 • j • d = 0,44j + 0,18jd
