Az antenna Adó- és vevőantenna Az antenna elektromágneses hullámok kisugárzására és vételére szolgáló eszköz. A rádiórendszerekben betöltött szerepe alapján az antenna a tápvonal és a szabad tér közötti transzformátor, mely a tápvonalon hozzávezetett energiát kisugárzott elektromágneses hullámokká (adóantenna) az antennára beeső elektromágneses hullámot pedig vezetett hullámmá alakítja (vevőantenna). Fontos, hogy az antennák a tápvonalakhoz és a szabad térhez egyaránt jól illeszkedjenek. Az adási és vételi funkció külön antennával, egy antennával felváltva, vagy egy antennával egyidőben is realizálható. A rádiócsatorna A rádiócsatorna alapvetően az a közeg, amely az adó- és vevőantenna között terjedő rádióhullámok fontosabb tulajdonságait (amplitudó, fázis, polarizáció, spektrum) meghatározza. Rendszertechnikai szempontból a rádiócsatorna az adóantenna bemenete és a vevőantenna kimente közötti négypólus (1. ábra). Adóantenna
Vevôantenna
1. ábra A rádiócsatorna E négypólus csillapítása a szakaszcsillapítás, melynek definíciója a következő: P [dB] (1) asz = 10 lg be Pki ahol Pbe az adóantennába betáplált teljesítmény Pki a vevőantennából kivehető maximális hatásos teljesítmény Mivel a rádiócsatornában a rádióhullámok mesterséges vezetés nélkül terjednek, ezért a szakaszcsillapítást elsősorban az adó- és vevőantenna között elhelyezkedő közeg tulajdonságai határozzák meg. A pontos összefüggések megállapítása a hullámterjedés témakör feladata. Mivel az adó- és vevőantenna a rádiócsatorna része, ezért a szakaszcsillapítás ezektől is függ. Hírközlő összeköttetés Hírközlő rendszerekben az antenna szerepét az egyutas szabadtéri rádióösszeköttetés jel-zaj viszonyának kiszámításával illusztráljuk. Az összeköttetés vázlatát a 2. ábra mutatja. PA
GA
Ah
Adó TA
PV Vevô FV
R
2. ábra Hírközlő összeköttetés A szakaszcsillapítás levezetéséhez először írjuk fel a teljesítménysűrűséget a vevőantenna helyén. Ha az adóantenna a tér minden irányába egyenlő intenzitással sugároz (izotróp antenna), akkor akadálymentes szabad térben (szabadtéri terjedés) a teljesítménysűrűség az adóantennától R távolságra a következő PA So = (2) 4π R 2 ahol PA az adóantennába betáplált teljesítmény. Az antennák azonban a kívánt irányba nagyobb itenzitással sugároznak. Ezt a tulajdonságukat az antenna nyereségével fejezzük ki. S G A = max (3) So ahol GA az antenna nyeresége S max a fő sugárzási irányban előállított teljesítménysűrűség So az izotróp antenna által előállított teljesítménysűrűség.
A (3) képlet felhasználásával a teljesítménysűrűség a fő sugárzási irányban a következő: P G (4) S max = A A2 4π R A vevőantenna a beeső hullám teljesítménysűrűségét teljesítménnyé alakítja. Ezt a funkciót a vevőantenna hatásos felületével írjuk le. P (5) Ah = V S ahol Ah a vevőantenna hatásos felülete PV a vevőantennából kivehető maximális hatásos teljesítmény S a vevőantennára beeső hullám teljesítménysűrűsége. A vevőantennából kivehető maximális hatásos teljesítmény tehát a (3.4) és (3.5) képlet felhasználásával P G A PV = A A 2 h (6) 4π R Egy antenna nyeresége és hatásos felülete között az alábbi összefüggés áll fenn. Ah = GV
λ2 4π
(7)
ahol a vevőantenna nyeresége az üzemi hullámhossz.
GV
λ
Ezzel PV =
PA G A λ 2
(8)
(4π R )2
A szakaszcsillapítás tehát az (1) és (8) képlet alapján a következő 2
⎛ 4π R ⎞ ao = 10 lg⎜ ⎟ − (G A + GV ) ⎝ λ ⎠
(9)
ahol G A és GV
az adó- és vevőantenna nyeresége (dB-ben) A (8) képlet levezetése során feltételeztük, hogy a hullám a két antenna között a szabad térben terjed, ezért ao a szabadtéri csillapítás. 2. Az antenna iránykarakterisztikái 2.1. A szabadtéri és üzemi iránykarakterisztika A gyakorlatban rendszerint az antenna távoltere érdekes, ezért az iránykarakterisztikával az antenna távolterének irányfüggését adjuk meg. Az iránykarakterisztika meghatározásánál feltételezzük, hogy az antenna akadálymentes szabad térbe sugároz. Az így kapott iránykarakterisztikát az antenna szabadtéri iránykarakterisztikájának nevezzük. Az akadálymentes szabad teret úgy is tekinthetjük, mint az antenna rádiócsatorna felé néző kapujának illesztett lezárását. Ezt rendszerint csak laboratóriumi körülmények között, reflexiómentesítő (elnyelő) anyaggal burkolt mérőszobában, vagy speciális antenna mérőterepen lehet biztosítani. Adott rendszerben a telepített antenna iránykarakterisztikáját üzemi iránykarakterisztikának nevezzük, mely a környezet hatása miatt jelentősen eltérhet a szabadtéritől. 2.2. Az antenna teljesítmény- és amplitudó iránykarakterisztikája Az antenna távoltéri térerőssége ϑ és ϕ irányú lineárisan polarizált komponensekkel felírva egy adott r helyen a következő E (r ) = Eϑeϑ + Eϕ eϕ
(10)
ahol Eϑ és Eϕ
komplex skalárkomponensek
eϑ és eϕ
ortogonális egységvektorok.
A továbbiakban bennünket elsősorban a teljesítménysűrűség érdekel, ezért írjuk fel a (10) képletet egy valós skaláramplitudó és egy egységnyi abszolutértékű vektor szorzataként. Ez utóbbi a teljesítménysűrűséget nem befolyásolja, de tartalmazza a hullám polarizációját.
E (r ) =
2
Eϑ + Eϕ
2
⎡ ⎢ Eϑ eϑ + ⎢ 2 ⎢ Eϑ 2 + Eϕ ⎣
Eϕ 2
Eϑ + Eϕ
2
⎤ ⎥ e ϕ ⎥ = Eo (r ) ⋅ p(r ) ⎥ ⎦
(11)
ahol a térerősség skalár amplitudója a polarizációs vektor
Eo p = pϑ ⋅ eϑ + pϕ ⋅ eϕ
pϑ =
Eϕ Eϑ és pϕ = Eo Eo
a polarizációs vektor komplex komponensei
p =1
a polarizációs vektor abszolút értéke 1
Az antenna sugárzása a távoltérben az origóból kifelé haladó gömbhullámmal írható le. Ennek amplitudója és fázisa a távolsággal az ismert e − jβ r r törvényszerűség szerint változik, melyet a (11) képlet jobboldalán kiemelve a megmaradó feszültségdimenziójú mennyiség már csak a szögkoordináták függvénye lesz. e − jβ r U o (ϑ, ϕ) ⋅ p(ϑ, ϕ) r Most írjuk fel a teljesítménysűrűséget a (12) képlet segítségével: E (r , ϑ, ϕ) =
S (r , ϑ, ϕ) =
U o2 (ϑ, ϕ)
(12)
(13)
240π r 2
U 2 (ϑ, ϕ) mértékegysége W/szteradián. 240 Emeljük ki a (13) képlet jobboldalán a maximális teljesítménysűrűséget, vagyis vezessük be a normalizált teljesítménykarakterisztikát
A (13) képletben S (r , ϑ, ϕ) mértékegysége W / m 2 ,
S (r , ϑ, ϕ) = S max (r ) ⋅ P (ϑ, ϕ) ahol
S max (r ) =
U o2 (ϑ, ϕ) 240π r
(14)
max 2
(15)
S (r , ϑ, ϕ) a normalizált teljesítmény iránykarakterisztika S max (r ) A (16) definícióból következik, hogy P (ϑ, ϕ) =
(16)
F (ϑ, ϕ) = P(ϑ, ϕ)
(17)
valós függvény, melyet normalizált feszültségiránykarakterisztikának, vagy másnéven amplitudó iránykarakterisztikának nevezünk. 2.3. Irányhatás és nyereség 2.3.1. Irányhatás Az antenna irányítottságát egyetlen mérőszámmal az irányhatással is jellemezhetjük. Ez a főirányban kisugárzott teljesítménysűrűség és az azonos teljesítményt kisugárzó izotróp antenna teljesítménysűrűségének hányadosa. S D = max (18) So ahol P (19) So = S 2 4π r PS a kisugárzott teljesítmény. A kisugárzott teljesítményt felírhatjuk az amplitudó iránykarakterisztikával az alábbi módon PS =
∫∫ S (r, ϑ, ϕ)dA = S ∫∫ F max
A
2
(ϑ, ϕ)dA
(20)
A
Behelyettesítve a (19) képletbe és áttérve a térszög szerinti integrálásra 4π D= 2 F (ϑ, ϕ)dΩ
∫∫ 4π
ahol dΩ =
dA r2
(21)
A (21) képlet azt jelenti, hogy az antenna irányhatása csak az iránykarakterisztikától függ. Ha tehát az antennát áramköri hasonlattal négypólusnak tekintjük, akkor az irányhatás a sugárzó kapu kapocspári jellemzője, és valójában adó- és vevőantennára egyaránt értelmezhető. Értelemszerűen értéke nem függ az antenna veszteségétől. A (21) képlet nevezőjének mértékegysége szteradián. Ez úgy is felfogható, mint egy ideális antennanyaláb által elfoglalt térszögtartomány (3.8. ábra)
ΩA
3. ábra Antennanyaláb által elfoglalt térszögtartomány
E térszögtartomány ΩA =
∫∫ F
2
(ϑ, ϕ)dΩ
(22)
4π
ahol ΩA az ekvivalens antennanyaláb térszöge. A gyakorlatban Ω A közel egyenlő a főnyaláb 3 dB-es kontúrja által elfoglalt térszögtartománnyal. Ez lehetővé teszi, hogy az irányhatást jó közelítéssel kiszámoljuk az irányélességi szögből. Ugyanis ideális tűnyaláb esetén Θ2 π Ω A = 3dB (23) 4 ahol Θ 3dB a 3 dB-es irányélességi szög radiánban. Átszámítva fokra és behelyettesítva a (21) képletbe az irányhatás közelítőleg 5250 D≅ 2 (22) Θ 3dB Körsugárzó antennánál 115 D≅ 2 (23) Θ 3dB 2.3.2. Nyereség Az antennanyereség a főirányban kisugárzott teljesítménysűrűség és az azonos bemenő teljesítményű izotróp antenna teljesítménysűrűségének hányadosa. S (24) G = max So ahol P S o = be 2 (25) 4π r Az áramköri hasonlatnál maradva a nyereség tehát "transzferjellemző", vagyis függ az antenna veszteségétől. A fenti definícióból következik, hogy az antenna ohmos veszteségeit kifejező hatásfok a következő: G (26) η= D Adóantennáknál mindig törekszünk a maximális hatásfokra, így ezeknél a nyereség és az irányhatás rendszerint közel egyenlő. Vevőantennák esetében gyakran az irányhatás fontosabb, ugyanis az interferencia érzékenységet ez határozza meg.
A továbbiakban az egyenes dipólantennával, mint sugárzó elemmel foglalkozunk, melynél az egyenletes keresztmetszetű vezeték hosszmérete jóval nagyobb a keresztmetszeti méreténél, ezért jó fizikai modellt kapunk, ha huzalantennának tekintjük. A huzalantennák közös jellemzője, hogy a keresztmetszeti méret rendszerint a hullámhossznál is jóval kisebb, ezért a sugárzási tér kiszámítása általában olyan egydimenziós feladat, ahol az áram hosszmenti eloszlása egyszerű fizikai meggondolások alapján jól közelíthető. Az árameloszlás szempontjából két esetnek van nagyobb jelentősége. Ha a vezeték a végén nyitott, és hossza kisebb a hullámhossznál, akkor az árameloszlás jó közelítéssel állóhullámú, mely az antenna mentén szinuszos helyfüggésű. Ilyenek a lineáris antennák (dipól, monopól). Ha a vezeték a végén ellenállással van lezárva, vagy hossza a hullámhossznál sokkal nagyobb, akkor az árameloszlás haladóhullámú. Ide tartozik a rombuszantenna, V-antenna és egyes helix antennák. 3. Egyenes dipól 3.1. Huzalantennák távolterének kiszámítása A huzalantennák távolterének kiszámításához használjuk fel a Hertz féle dipólus távolterének kifejezését. Legyen antennánk egyenes vezeték, a z tengelyben elhelyezve. Ekkor a távoltéri elektromos térerősségnek csak ϑ , a távoltéri mágneses térerősségnek pedig csak ϕ összetevője van. Az előzőekben megállapítottuk, hogy a távoltéri elektromos és mágneses térerősség összetevők között kapcsolat van, ezért elég az elektromos térerősséget felírni a 4. ábra alapján.
4. ábra Egyenes dipól Az egyenes huzalantennát osszuk fel Hertz féle dipólusokra és írjuk fel egy, a z' helyen lévő elem elektromos térerősségét. I(z' )dz' - jβ r - r ' dE ϑ = j60π e sinϑ (27) λ r - r'
Az egyenes antenna távoltéri elektromos térerősségét az elemi térerősség L, teljes antennahosszra elvégzett integráljából kapjuk. Eϑ = j
-jβ r - r '
60π e sinϑ I(z' ) dz' λ r - r'
∫
(28)
L
A (28) kifejezésben az r - r ' közelítését írjuk fel a 4. ábra alapján. Ha a Q megfigyelési pont az antennától elegendően távol van, akkor a (28) integrandusz kitevőjében r - r ' ≅ r - r ' cos ϑ = r - r' cos ϑ
a nevezőjében pedig r - r' ≅ r = r
(29) (30)
Az elektromos térerősség (28) kifejezése a (29) és (30) felhasználásával Eϑ = j
60π e - jβ r sinϑ I(z' ) e jβ r' cosϑdz' λ r
∫
(31)
L
A továbbiakban a huzalantennák távoltéri térerősségét a (31) képletből kiindulva vezetjük le. 3.2. Lineáris antennák térerőssége és iránykarakterisztikája 3.2.1. A távoltéri térerősség levezetése Lineáris antennáknak az egyenes állóhullámú antennákat nevezzük, melyek dipólokra és monopólokra oszthatók. A közöttük fennálló tükrözési összefüggést kihasználva, az ekvivalens monopól jellemzői a dipóléból meghatározhatók, ezért elegendő a dipóllal foglalkozni.
A dipólantenna árameloszlása felírható, ha az antennát a 5. ábra szerint végén nyitott tápvonalnak tekintjük.
Homogén tápvonal Inhomogén tápvonalak 5. ábra Végén nyitott tápvonal modell Ha a betáplálási pontok távolsága elegendően kicsi, akkor a dipól árameloszlása z' > 0 ⎧I sin[β (l - z')] I(z' ) = I m sin β (l - z' ) = ⎨ m z' < 0 ⎩I msin [β (l + z')]
[
]
(32)
A szimmetrikus dipólantennát helyezzük el a 4. ábra koordinátarendszerében úgy, hogy a betálálási pont az origóba essen. Az antenna térerőssége a (31) képlet és (32) árameloszlás felhasználásával l ⎡0 ⎤ 60π e - jβ r Eϑ = j Im sinϑ ⎢ sin[β(l + z' )]e jβ z'cosϑdz'+ sin[β(l - z' )]e jβ z'cosϑdz'⎥ (33) λ r ⎢− l ⎥ 0 ⎣ ⎦ Változótranszformációval az első integrál is átírható (0, ) közötti integrálásra, így
∫
∫
l
120π e -jβ r Eϑ = j Im sinϑ sin [β(l - z' )]cos(β z' cosϑ)dz' λ r
∫
(34)
0
A (34) kifejezésben az integrálást elvégezve a dipólus elektromos térerőssége
e -jβ r cos(β l cosϑ) - cos(β l ) (35) r sinϑ Ha az antenna hossza l/λ = 0.25 -nél kisebb, akkor I m már nincs az antennán, ezért ilyenkor célszerűbb I m helyett az I(0) bemeneti árammal számolni. Mivel E ϑ = j60I m
I(0) = I m sinβ l ezért E ϑ = j60
I(0) e -jβ r cos(β l cosϑ) - cos(β l ) sin (β l ) r sinϑ
(36)
(37)
3.2.2. Az iránykarakterisztika Az antenna amplitudó iránykarakterisztikájának meghatározásához ismernünk kell E ϑ maximumát. Ehhez először a fő sugárzási irányt ( ϑmax ) kell meghatároznunk. Bebizonyítható a (37) képlet alapján, hogy ha l/λ ≤ 0.625 , akkor ϑmax = 90o , azaz a fő sugárzási irány az antennára merőleges síkban - a meridián síkban van. Eszerint a (37) képletből e -jβ r E max = j60I m (1 - cos β l ) (38) r így az amplitudó iránykarakterisztika: cos(β l cosϑ ) - cos β l F(ϑ ) = ha l/λ ≤ 0.625 (39) (1 - cos β l )sinϑ Két gyakran előforduló iránykarakterisztikát külön is felírunk. Félhullámú dipólus ( l/λ = 0.5 ) esetén ⎛π ⎞ cos⎜ cosϑ ⎟ 2 ⎝ ⎠ F(ϑ ) = (40) sinϑ egészhullámú dipólus ( l/λ = 1.0 ) esetén cos(π cosϑ ) + 1 (41) F(ϑ ) = 2 sinϑ
Az iránykarakterisztikát néhány jellemző hosszra a 6. ábra mutatja.
6. ábra Dipólus iránykarakterisztikái Mint a 6.a ábra mutatja, a hullámhosszhoz képest rövid antenna iránykarakterisztikája megegyezik a Hertz féle dipóluséval. Az antennahossz növelésével az iránykarakterisztika, az antennára merőleges irányban megnyúlik (6.b és 6.c ábra). Mint a 6.d ábrán látható, az l/λ = 0.625 antennahosszt elérve a főnyalábok mellett megjelennek a melléknyalábok is, amelyek az antennahossz növelésével együtt nőnek (6.e és 6.f ábra). Ezekben az esetekben gyakorlati célokra az antenna már nem nagyon használható.
3.2.3. Irányhatás A lineáris antenna irányhatásának képletét az alapdefinícióból kiindulva vezetjük le S S D = max = max PS So 4π r 2 A (37 és 42) képletek felhasználásával 2(1 - cosβ l ) 2 D= π [cos(β l cosϑ ) - cosβ l ]2 dϑ sin ϑ
∫ 0
Az irányhatást l /λ függvényében a 7. ábra tünteti fel.
(42)
(43)
7. ábra Irányhatás l /λ függvényében Mint a 7. ábrából látható, az irányhatás a meridiánsíkban l /λ = 1 -nél zérus, ami összhangban van az árameloszlás alapján kialakított képpel. Az ábrából az is látható, hogy az irányhatás maximuma l /λ = 0.625 nél van.
Ezt a tényt hasznosítjuk az olyan rádiószolgálatoknál, amelyek vertikális antennát alkalmaznak és az ellenállomások a meridiánsík közelében vannak. Így például a földi mozgó URH rádiótelefonok és a CB rádiósok kedvelt antennatípusa az 5/8λ = 0.625λ hosszúságú botantenna. 3.3. Az egyenes dipólantenna egzakt árameloszlása Az egyenes dipólantenna egzakt árameloszlását az antenna árameloszlására felírt integrálegyenlet (Hallen vagy Pocklington) megoldásaként kapjuk. A 8. ábrákon bemutatjuk az antenna áramát néhány jellemző antennahosszra. Az ábrákat az ⎛ 2l ⎞ (44) Ω = 2ln⎜ ⎟ ⎝a⎠ karcsúsági tényezővel paramétereztük, ahol l a dipólantenna fél hossza, a a vezeték sugara.
8. ábra Egyenes dipól árameloszlása Az antenna bemeneti áramából a bemeneti impedanciája is kiszámítható. (9. ábra)
9. ábra Egyenes dipól bemeneti impedanciája A 9. ábrán megfigyelhető, hogy minden görbe átmegy a Z=73.2+j42.5 Ω ponton, ahol az antenna hossza βl =1.57, vagyis l /λ =0.25. Ez alatt az impedancia nem nagyon függ a karcsúságtól, míg e fölött a függés igen jelentős. A görbék metszéspontja a valós tengellyel kis impedanciájú (rezonancia) illetve nagy impedanciájú (antirezonancia) állapotot jelent. A rezonancia- és antirezonancia ellenállást a karcsúság függvényében a 10. ábra mutatja.
10. ábra Rezonancia- és antirezonancia ellenállás a karcsúság függvényében A ábrán R1-gyel jelölt pontban az antenna hossza l r = 0.25λ(1 − δ r ) (45) Az R2-vel jelölt pontban pedig l ar = 0.5λ(1 − δ ar ) (46) ahol l r és l ar az antenna rezonáns-, illetve antirezonáns hossza δ r és δ ar a rezonáns-, illetve antirezonáns rövidülés Mint látható, az R1 rezonancia ellenállás kevésbé, az R2 antirezonancia ellenállás viszont számottevően függ az antenna karcsúságától. A rezonancia ellenállást Ω függvényében a könnyebb kiértékelhetőség érdekében a 11. ábrán külön is feltüntettük:
11. ábra Rezonancia ellenállás A rezonáns és antirezonáns rövidülés a karcsúság függvénye, melyet a 12. ábra is mutat.
12. ábra Rezonáns és antirezonáns rövidülés Mint látható, a rezonáns rövidülés mintegy 3-10%, az antirezonáns pedig 6-30%. 4. Kölcsönös impedancia Ebben az alfejezetben a reciprocitási tétel felhasználásával megmutatjuk a kölcsönös impedanciák kiszámításának módját, majd a szinuszos árameloszlású dipólantenna közelterének levezetése után kifejezzük a kölcsönös impedanciát két azonos hosszúságú dipólantennára. A reciprocitási tétel értelmében reciprok áramkörben két kapocspár között a transzfer impedanciák egyenlőek. Legyen az egyik kapocspár a lineáris antenna bemenete, a másik az antenna keresztmetszete a z’ helyen. (4.1. ábra) Adás esetén a bemenetre U0 feszültséget adva a z’ helyen I(z’) áram folyik.
4.1. ábra Az antenna transzfer jellemzői adó- és vevőantennaként alkalmazva Ha ugyanezt az antennát vételre használjuk és az antennával párhuzamosan beeső térerősség E(z’), akkor ez a z’ helyen, az antenna dz’ elemi szakaszán E(z’)dz’ feszültséget indukál, mely felfogható úgy, mint a z’ helyen beiktatott zérus belső ellenállású generátor. Ha az antenna bemenetét most rövidre zárjuk, akkor a bemeneten az E(z’)dz’ indukált feszültség hatására dIR áram folyik. A reciprocitási tétel értelmében U0 E ( z ' )dz ' = (4.1) I ( z' ) dI R Ebből E( z' ) dI R = I ( z ' )dz ' (4.2) U0 A teljes rövidzárási áramot úgy kapjuk meg, hogy az elemi indukált feszültségek hatását az antenna mentén integráljuk. 1 IR = U0
+l
∫ E ( z' ) I ( z' )dz'
−l
Másrészt a vevőantenna aktív kétpólus, melyre igaz, hogy
(4.3)
IR =
Uü ZA
(4.4)
ahol ZA az antenna bemeneti impedanciája. Az adóantenna lineáris passzív kétpólus, ezért U0=ZA·I(0) A (4.3)-(4.5) képlet alapján 1 Uü = I ( 0)
(4.5)
+l
∫ E ( z' ) I ( z' )dz'
(4.6)
−l
4.1 Lineáris antennák közeltere Az antennák közelterének ismeretére főleg életvédelmi szempontok miatt, vagy kölcsönhatás-számításokhoz van szükség. Itt nagyobb jelentősége az antennával párhuzamos térerősségnek van, ezért a 4.2 ábra szerint olyan koordinátarendszert veszünk fel, hogy ez a komponens könnyen kiadódjék. Q
z
R1
+l R
r z' y R2
-l
4.2. ábra Egyenes dipólantenna koordinátarendszere közeltér számításához Az 4.2 ábra alapján az alábbi jelöléseket vezetjük be: R=
(z − z ')2 + y 2
(4.7)
R1 =
(z − l )2 + y 2
(4.8)
R2 =
(z + l )2 + y 2
(4.9)
r = z2 + y2
(4.10)
Mivel a geometria hengerszimmetrikus, ezért a Q megfigyelési pontot az általánosság csökkentése nélkül felvehetjük az y-z síkban. Az antennaáramot szinuszosnak feltételezve a vektorpotenciál a Q pontban: l 0 μ 0 I m ⎡ sin[β ⋅ (l − z ')] ⋅ e − jβ R sin [β ⋅ (l + z ')] ⋅ e − jβ R ⎤ ⎢ Az = dz '+ dz '⎥ (4.11) 4π ⎢ R R ⎥ −l ⎣0 ⎦ Helyettesítsük sin[β (l − z ')] -t a következő képlettel:
∫
∫
e jβ (l − z ') − e − jβ (l − z ') 2j és ennek megfelelően sin[β (l + z ')] -t is kifejezve, a vektorpotenciál a közeltérben: sin[β (l − z ')] =
l l − jβ ( R − z ' ) μ 0 I m ⎡ jβ l e − jβ ( R + z ' ) − jβ l e ⎢e Az = dz '−e dz ' + R R 8π j ⎢ 0 0 ⎣ 0 − jβ ( R − z ' ) 0 − jβ ( R + z ' ) ⎤ − jβ l e jβ l e dz ' − e dz '⎥ +e R R ⎥ −l −l ⎦ Hengerkoordinátarendszerben a mágneses tér a Q pontban
∫
∫
μ0 H ϕ = (∇ × A )ϕ = −
∫
(4.12)
∫
∂ Az ∂ρ
(4.13)
Mivel a Q pont az y-z síkban van, ezért ∂ Az (4.14) μ 0 H ϕ = −μ 0 H x = − ∂y Elvégezve a (4.12) szerinti integrálást és a (4.14) szerinti differenciálást, a végeredmény I H ϕ = j m e − jβ R1 + e − jβ R2 − 2 cos(β l )e − jβ r (4.15) 4π y Az elektromos térerősséget a mágneses térerősségből határozhatjuk meg az első Maxwell egyenletből 1 E= ∇×H (4.16) jωε 0 Az x=0 síkban 1 1 ∂ ∇ × H ϕe ϕ z = Ez = yH ϕ (4.17) jωε 0 jωε 0 y ∂ y
[
]
(
)
(
)
(
)
( )
1 1 ∂ ∇ × H ϕe ϕ y = Hϕ jωε 0 jωε 0 ∂ z Behelyettesítve a (4.17) képletbe, némi átrendezés után ⎛ e − jβ R1 e − jβ R2 e − jβ r ⎞⎟ E z = − j 30 I m ⎜⎜ + − 2 cos(β l ) R2 r ⎟⎠ ⎝ R1 Ey =
(4.18)
(4.19)
− jβ R1 ⎛ e − jβ R 2 e − jβ r ⎞⎟ ⎜ ( z − l) e + ( z + l) − 2 cos(β l )z (4.20) ⎜ R1 R2 r ⎟⎠ ⎝ Vizsgáljuk meg a teret az x-y síkban. Ekkor z=0, R1=R2=R0 , r=y és Ey=0 ⎛ e − jβ R 0 e − jβ y ⎞⎟ − cos(β l ) ⋅ Ez = − j60 I m ⎜ (4.21) ⎜ R y ⎟⎠ 0 ⎝ I (4.22) H ϕ = j m e − jβ R0 − cos(β l )e − jβ y 2π y A (4.21) és (4.22) képlet alkalmas például arra, hogy nagyteljesítményű, közép- és hosszúhullámú adóantennák közelében a föld felszínén mérhető térerősséget meghatározzuk. 4.2. Lineáris antennák kölcsönös impedanciája
Ey = − j
30 I m y
(
)
z
2l1
2l2
I1
I2
U1
U2
y
x
d
4.3. ábra Két dipól mint kétkapu U1 = I1Z11 + I 2 Z12
(4.23)
U 2 = I1Z 21 + I 2 Z 22
(4.24)
ahol Z11 az 1. dipól bemeneti impedanciája úgy, hogy a 2. dipól bemeneti árama zérus, de a dipól jelen van, és
Z12 =
U1 , ha I1=0 U2
Továbbá igaz, hogy Z12=Z21 Ha az antennák hossza nem sokkal nagyobb, mint λ/2. akkor az üresjárásban mûködő másik antenna kölcsönhatása elhanyagolható, és Z11 helyett az egyedül álló antenna bemeneti impedanciája vehető. Az 1. antenna bemeneti impedanciája a kölcsönhatás figyelembevételével Z1be =
U1 I = Z11 + 2 Z12 I1 I1
(4.25)
A kölcsönös impedanciát a (4.6) képlet segítségével határozhatjuk meg. Eszerint
U ź1 =
l1
2 I1be
∫E
(4.26)
z 2 ( z ' ) I1 ( z ' ) dz '
0
ahol Uü1 az 1. antenna üresjárási feszültége I1be az 1. antenna bemeneti árama, ha az antennát adásra használjuk Ez2(z’) a 2. antenna által az 1. antenna helyén előállított térerősség I1(z’) az 1. antenna adási árameloszlása A kölcsönös impedancia tehát Z12 =
−2 I1be ⋅ I 2be
l1
∫E
(4.27)
z 2 ( z ' ) I1 ( z ' ) dz '
0
A negatív előjel a mérőiránnyal ellentétes áram miatt alkalmazandó. Ha az antennák nincsenek nagyon közel (d>0.1λ), akkor a szinuszos árameloszlás jó közelítés. Ezzel l1
Z12
[
]
−2 = E ( z ' ) I m1 sin β(l 1 − z ' ) dz ' (I m1 ⋅ sin(β l 1 ) ) ⋅ (I m 2 ⋅ sin(β l 2 )) z 2
∫
(4.28)
0
Beírva Ez2 helyébe a (4.21) közeltéri térerősséget j 60 I m 2 Z12 = ⋅ (I m1 ⋅ sin(β l 1 )) ⋅ (I m2 ⋅ sin(β l 2 )) l1
⎛ e. jβ R1 e. jβ R2 e . jβ ⋅ ⎜ + − 2 cos(β l 2 ) ⎜ R R2 r 1 0⎝ Egyszerűsítés után j 60 Z12 = ⋅ sin(β l 1 ) ⋅ sin(β l 2 )
∫
r
⎞ ⎟ I m1 sin β(l 1 − z ' ) dz ' ⎟ ⎠
[
]
(4.29)
(4.30) ⎛ e. jβ R1 e. jβ R2 e. jβ r ⎞⎟ ⎜ sin β(l 1 − z ' ) dz ' + − 2 cos(β l 2 ) ⎜ R R2 r ⎟⎠ 1 0⎝ A (4.30) képlet valós és képzetes része felírható integrálszinusz és integrálkoszinusz függvényekkel, vagy közvetlenül numerikusan kiintegrálható. A kapott eredmény ábrázolására többféle lehetőség kínálkozik. Leggyakoribb az R12 és X12 ábrázolása. (x.x ábra) l1
∫
[
]
80
Real Z12 Imag Z12
60
Z12 [ohm]
40
20
0
-20
-40 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 d/lambda
1.2
1.4
1.6
1.8
2
4.4. ábra Kölcsönös impedancia két ℓ=λ/4 hosszúságú egyenes dipól között Reflektorfalas elrendezések Síkreflektor Sarokreflektor
