1. A matematika-didaktika célja, tárgya, feladata és módszerei

Szalontai Tibor:

A matematika-didaktika néhány időszerű kérdése Jegyzet – vázlat – kidolgozás alatt

1. A matematika-didaktika célja, tárgya, feladata és módszerei A matematika-didaktika célja a matematika tanulásának és tanításának fejlesztése. A matematika-didaktika tárgya a matematika tanulásával és tanításával kapcsolatos minden jelenség, körülmény és dokumentum. A matematika-didaktika feladata a matematika tanulásához és tanításához kapcsolódó kutatás; a tanulás, tanítás anyagainak és segédanyagainak vizsgálata, kidolgozása illetve fejlesztése; illetve az ezekkel kapcsolatos tudományos ismeretrendszer irodalmi (kritikai) tanulmányozása, megalkotása és gazdagítása. Értelmezésünk szerint a matematika tantárgypedagógia tárgya az iskolai matematikatanítás-tanulás problematikája, így ez része a matematika-didaktikának. Példák mai kérdésekre: • Igaz-e, hogy a matematikában a fiúk jobbak mint a lányok? A matematikusok között több a férfi, mint a nő. A matematikatanárok között több a nő, mint a férfi. (Nemek és a matematika; Nők a matematikában, stb.) • Fejleszthető-e a matematikai kreativitás? • Mi tartozik az általános műveltséghez matematikából? • Mi a számítógép illetve a zsebszámológép szerepe a matematika tanulásában, tanításában? • Milyen szintű és mélységű matematikai kurzusok kívánatosak a természettudományos, a műszaki, a gazdasági, pénzügyi, stb. Egyetemi képzésben? A matematika tanárképzésben? • A tanulói populáció milyen aránya tanul matematikát középiskolai tanulmányai végéig? Milyen arány lenne kívánatos? • Miért van matematikatanárokban és informatikusokban hiány sok fejlett országban? • Hogyan taníthatjuk a törttel való szorzást? A többféle módszer között van-e minőségi hierarchia? • Új anyagot feldolgozó órán milyen munkaformák alkalmazhatók? Van-e közöttük hatékonysági hierarchia? • Mikortól lehet illetve érdemes bevezetni a tizedestörteket? • Mikortól, milyen szinten és milyen arányban érdemes valószínűségi kérdéseket bevezetni az iskolában? • Milyen matematikai képességeket mérjünk a tanultság szintjének megállapítására? • Miért gyengébbek az átlagnál a magyar ifjak matematikai értő olvasásban, (statisztikai) adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésében? • Milyen mutatók alapján értékeljük az egyes országok matematikatanítási színvonalát? • Mit tanul a kisgyermek otthon és az óvodában matematikából? Mit, mikor, hogyan érdemes elkezdeni az óvodában? • Milyen a matematika tanárszakos hallgatók tanítási gyakorlatának a hatékony modellje? • Mi a kapcsolata a matematika-didaktika elméleti kutatási eredményei, modelljei és az iskolai gyakorlat között? • Milyen a jó matematika szaktanterem?

•

Milyen új demonstrációs és manipulatív szemléltető eszközök állnak a matematikatanárok rendelkezésére?

1.1. A matematika-didaktika helye és kapcsolata más tudományágakkal A matematika-didaktika bizonyos rátekintésben alkalmazott pedagógia, más rátekintésben azonban –az eleven gyakorlat szerint- mára már önálló tudományág jeleit mutatja. a)

A matematikával való természetes kapcsolat egyirányú, amennyiben a matematika valamely ágának, részének a tanulását vagy tanítását vizsgáljuk, ugyanakkor e vizsgálatok eredménye általában nem (vagy nem nagy mértékben) járul hozzá a matematikatudomány fejlesztéséhez. A kapcsolat nyilvánvaló például az iskolai matematika tananyag tartalmával, a matematika egyes módszereinek tanulásával, tanításával kapcsolatban. A matematika különböző ágainak fejlődése szintén hatással van a tananyagra, bár a közoktatásban ez a hatás korlátozottan és gyakran nagy késéssel érvényesül.

b)

A matematika-didaktika felhasználja a pedagógia és ezen belül a didaktika eredményeit. Például a didaktikai alapelvek (mint a fokozatosság, életkornak megfelelés, tudományosság alapelvei, stb), modellek, az óratípusok (új ismeretek szerzése; alkalmazás, ellenőrzés; rendszerezés; értékelés, számonkérés, stb.), az óra tagolása, a munka- és szervezési formák (frontális munka, differenciált munka, nívócsoportok, heterogén csoportok, egyéni munka – közös megbeszéléssel, stb.) alkalmazása. De itt a hatás kölcsönös, a matematika-didaktika is gazdagítja az általános pedagógiát. Például a Forrainé-féle módszer, az “Egyéni matematikatanulás osztályközösségben” eredményei. Az egyéni munka – közös megbeszélés módszer mozzanatainak finomabb kimunkálása (A feladat kiadása; nyomonkövetés; leállítás; beszámolás, vita, indoklás; megegyezés; visszajelzés; javítás; (ön)értékelés). A tárgyi tevékenység, a szemléletesség és szemléltetés általánosítható módszerei. Ugyanakkor vannak olyan jelenségei, kérdései, amelyek nem kezelhetők az általános pedagógia és didaktika szintjén. Továbbá vannak olyan sajátos módszerei, eredményei is, amelyek más tantárgyaknak nem sokat mondanak, így nem általánosíthatók.

c)

A matematika-didaktika és ezen belül a matematika tantárgypedagógia alkalmazza a pszichológia eredményeit, egyes módszereit és viszont, gazdagítja is azokat. A matematikadidaktika élő kapcsolatát jelzi a pszichológiával, ezen belül különösen is a tanulás- és tanításlélektannal (pedagógiai pszichológia) és a fejlődéslélektannal, hogy új tudományterületként megjelent a matematika tanítás-tanulás pszichológiája. A kognitív képességek (észlelés, figyelem, emlékezet, gondolkodás, problémamegoldás, kreativitás) vagy a motiváció, attitűdök, önértékelés, önbizalom, stb. általános kérdései mellett a matematika-didaktikában jelentős a belsővé válás (interiorizáció), a sűrítés vagy a saját gondolkodást tükrözés (metakogníció) kérdésköre. Csoport-lélektani és szociál-pszichológiai kérdések is felmerülnek, továbbá a tanitás- és vezetéslélektani kérdések is.

d) A tanulási-tanítási folyamat tervszerűsége, illetve programozott vagy távoktatási rendszerek szempontjából értelmezhető az irányítás- és vezérléstechnikával vagy kibernetikával, illetve a rendszerelmélettel való kapcsolat. Említendő még a logikával, filozófiával (ismeretelmélet, megismerhetőség) való kapcsolat is.

e)

A természettudományokkal való természetes kapcsolat egyrészt a matematika alkalmazása mértékében, másrészt az iskolai életközeli vagy szöveges problémák szempontjából jelentkezik. De ez a társadalomtudományoknál is egyre jobban érvényesül. Tantárgypedagógiánkban fontos a más tantárgyakkal való kapcsolat és időbeli egyeztetés kérdése (tantárgyi koncentráció) is.

f) Növekszik a jelentősége a különböző interdiszciplináris (vagy határterületi) kutatásoknak. Az eddigiek mellé példaként hozhatjuk a matematika-didaktika és az információ- és kommunikáció-technika (ICT) kapcsolatát; a szociológiával például a nemek és a matematika, a kultúrák és a matematika vagy éppen a felnőttképzés problematikáját. 1.2. A matematika-didaktika főbb sajátosságai Abban lényegében mindenki egyetért, hogy a matematika több szempontból sajátos diszciplína a tudományok között. Kevesebbet hallunk viszont arról, hogy a matematika tanulása, tanítása is sajátos más tudományok tanulásával, tanításával összehasonlítva, és így a matematika-didaktika is sajátos a (feltételezett) tudomány-didaktikák között, továbbá az iskolai matematika tantárgypedagógiája is sajátos a különböző tantárgypedagógiák között. A matematika tanulása, tanítása különleges először is a matematika mint tudomány sajátosságai miatt: Az absztraktság ténye és sokszoros volta miatt. Amiatt, hogy a “kész” matematika tisztán elméleti rendszer, mégpedig "szigorú" logikai rendszer, elszakadva külső forrásától. Amiatt, hogy egyes ágai teljesen elszakadhatnak egymástól is, sőt olykor más ágaktól mint forrástól is. Amiatt, hogy egyes ágai célzottan egy valóságos külső jelenség modelljeként jelentkeznek. De amiatt is, hogy a matematika széleskörű alkalmazást nyerhet és nyer, illetve az alkalmazások során újabb forrásai fakadhatnak. Jellemző, hogy a matematikát olykor természettudományként, olykor -bizonyos szempontból- sajátos nyelvtudományként is minősítik. A mai matematikának csak nagyon kicsi részéről szerez tudomást akár egy tagozatos gimnazista diák is (de még egy matematika tanárjelölt is) és az ismeretterjesztés szándékának sem csak terjedelmi gátak szabnak határt, hanem előismereti vagy megértésbeli gátak is. Bár a tanítás tárgya első perctől matematika, mégis, eleinte és visszatérően sokszor nem matematikát tanul a diák, hanem a matematikához jutást, a matematizálást, illetve az alkalmazást. Általános iskolában az empírikus, induktív, olykor intuitív megismerési szakaszok dominálnak, melyek idegenek a “kész” matematika megfelelő rész-rendszerétől. Másodszor különlegesség a tanulandó fogalomrendszer és ismeretrendszer szerkezete, amelyet nagyfokú egymásraépültség és szoros összefüggések jellemeznek (bár egymástól elszigetelt ismeretrendszerekre is találunk példát). A belső és a külső koncentráció lehetőségei is szélesek. De a matematika tantárgy talán leglényegesebb specialitása a sokféle típusú tanulás és tevékenység, a sokféle típusú gondolkodás, azon belül a sajátos matematikai problémamegoldó gondolkodás és stratégiák lehetősége illetve szükséglete. Ha sorra vesszük azokat a pszichológiai tanuláselméleteket vagy azokat a hagyományos és újabb általános didaktikai alapelveket, amelyek nem matematikusoktól, matematika-didaktikusoktól vagy matematikatanároktól származnak, akkor kiderül, hogy mindegyikre találunk jellegzetes példákat a hatékony matematikatanulásban, tanításban. A matematika tanulása, tanítása szinte témánként, fogalmanként (életkoronként is) más-más

modellnek felel meg, illetve felelhet meg. Mi több, a hatékony matematika tanulás-tanítás sok olyan példát mutat, amelyik "kibújik" az általános didaktika kereteiből, az eddigi tanuláselméletek és didaktikai modellek közül, éppen a tárgy sokszínűsége és sajátos szerkezete, valamint az életkori fejlettség döntő szempontja miatt. Elegendő volna hivatkoznunk a Pólya György, Dienes Zoltán, Freudenthal, Krygowska, vagy itthon Kárteszi Ferenc, Varga Tamás, Forrai Tiborné, Peller József, Hajdu Sándor által kimutatott sajátosságokra (hogy csak néhány jelentős személyiséget említsünk). De ezt igazolja a számos matematikatanítási világszervezet és konferencia léte és virulása, egyetemek mellett (alatt) működő matematika-didaktikai központok, intézetek száma, a folyó matematikamódszertani kutatások egy része is. Fennmaradó kételyek esetére megkérdezhetjük például: Milyen hagyományos didaktikai modell vagy alapelvek érvényesülnek (érvényesíthetők) a teljes indukciós bizonyítás vagy az indirekt bizonyítás tanulásában, tanításában? Mit tud mondani az általános didaktika a matematikai végtelen fogalmának és az azzal kapcsolatban lévő matematikai fogalmaknak (tehát a matematikai fogalmak nagy részének) a tanulásáról, tanításáról? Ilymódon nyilvánvaló, hogy a matematika-didaktika nem tekinthető egyszerűen alkalmazott pedagógiának. Arról a kérdésről, hogy a matematika-didaktika mennyiben tudomány, mennyire önálló és mennyire egzakt, még folynak viták. De ezt a diszciplinát művelik, van tárgya, vannak módszerei és eredményei. Krygowska, A.Z. (1982) a matematika-didaktika helyzetét elemezve már megállapítja: "A matematikadidaktika az a tudomány, melynek problematikája magában foglal minden olyan feladatot, amely a matematika tanulásával és tanításával kapcsolatos. Ma már mint önálló tudomány fejlődik, bár az e területeken végzett kutatásoknak jelentős mértékben van interdiszciplináris jellege. ... (Az ilyen) határproblémák megoldása megköveteli a különböző kutatási módszerek integrálását az elméleti elemzésektől kezdve a különböző empírikus módszerekig. ... A matematikadidaktika mint tudomány fejlődésének kezdeti szakaszában van, lassan, fokozatosan dolgozza ki saját módszertanát és nyelvét." [7] Véleményünk szerint a matematika-didaktika egzaktság tekintetében nincs rosszabb helyzetben az általános pedagógiánál. Elismerjük a pedagógiai módszertanban a viszonylagos egzaktság követelményét, de a matematika-didaktikában árnyaltabb kritériumot részesítünk előnyben a Kiss Árpád (1975) által képviselt kizárólagos előírásnál: "A tanítás módszertana a hagyományokból és a filozófiai elmélkedésekből minden lehető tanulságot levont; ma már csak pontos (mérésekkel ellenőrzött) kísérletek alapján léphet előre." [7] A matematika-didaktikában a pedagógiai kisérleteknek kizárólagos kutatási módszerként való erőltetésével kapcsolatban a következő óvatosságra intő megjegyzéseket tesszük: a) A matematika tantárgyat jellemző sokféleség, a szükséges vagy lehetséges módszerbeli változatosság, a régi és újabb modellek bősége szinte fizikailag (és gazdaságilag) is lehetetlenné tenné minden változat méréses vizsgálatát vagy ellenőrzését. b) A "régi jól bevált" alapelvek vagy eljárások, amelyeket gyakorlatilag minden matematikatanár használ, utólag nehezen erősíthetők vagy cáfolhatók meg kisérlettel, mert nem szervezhetünk olyan kontrollcsoportot a kísérlet kedvéért sem, ahol direkt kizárnánk az illető bevált alapelv vagy eljárás érvényesülését. Nem boríthatjuk fel egy órára sem, egy tanuló esetén sem pl. a

fokozatosság elvét. Ilyen szempontból a gyermek nem játszhatja a "kísérleti nyúl” szerepét. c) A szakirodalomban olykor egymással ellentétes “eredményt” hozó kísérleti kutatási jelentéseket is találunk. Ennek oka lehet például a minták eltérő jellemzője, a túl szűken vagy túl általánosan fogalmazott kérdés vagy hipotézis, és ennek nyomán a megalapozatlan kiterjesztés vagy általánosítás. 1.3. A matematika-didaktikai kutatás módszerei 1.3.1

Empirikus módszerek

a) Iskolai alapkutatás Megfigyelés vagy órafelvétel, amely vonatkozhat • a tanuló tanulási tevékenységének, gondolkodására tanórán illetve órán vagy iskolán kívül; • a tanórára, az osztály munkájára, a tanulási folyamatra (frontális, csoportos illetve egyéni munka esetén is), a tanulók megnyilvánulásaira (beszámoló, vita, indoklás, egyéb); • a tanár tevékenységére, munkájára (felkészülés illetve felkészültség, a tanulás megszervezése, óravezetés, személyiség, kérdés- és utasítás-kultúra); • a módszerekre, módszerkombinációkra, munkaformákra; • a tanulók megnyilvánuló képességeire (egyéni írásbeli illetve osztály előtti szóbeli képességek, készségek); stb. Beszélgetés, interjú • tanulóval, tanulók csoportjával, tanárral, munkaközösséggel; • lehet szabad illetve irányított (célzott); Esettanulmány • főleg a tanuló gondolkodására, problémamegoldó tevékenységére irányul • felzárkóztató foglalkozás közben, szakköri munka közben is folyhat Kérdőív • attitűd-vizsgálat; • tanulási szokások; • önértékelés; stb. Mérés, teszt • tanulói teljesítmény mérése (egyéni, osztály, iskola, helység, régió, országos, nemzetközi összehasonlító); • képesség illetve teljesítménymérés konkrét matematikai témában, feladattípusban, témakörben; • pillanatnyi illetve hosszabtávú (longitudinális); • új tanítási módszerre, oktatási (rész)programra vonatkozó kísérletben: előteszt, diagnosztikus teszt, szummatív mérés; stb. b) Kísérlet Matematika tanuláspszichológiai kísérlet • Egyedi tanulóval vagy tanulócsoporttal;

• • •

Tanulási nehézség feltárására; Kognitív vagy affektív területen; Kreativitás-vizsgálat; stb.

Matematikaoktatási kísérlet • Konkrét matematikai témára, feladattípusra, adott évfolyamon vagy iskolatípusban; • Új tanítási módszerre, adott évfolyamon vagy iskolatípusban, konkrét vagy koncepcionális; • Oktatási részprogramra; • Teljes oktatási rendszerre (például tankönyvkísérlet, tantervi kísérlet) Fontos szempontok: A célok pontos megfogalmazását követi a hipotézisek felállítása. A kísérlet anyagának, módszerének, értékelési, következtetési módjának pontos leírása. A kontrollcsoport megszervezése illetve a régi módszerrel, gyakorlattal való összehasonlítás módjának megtervezése. Az eldönthetőség (a hipotézisnek való megfelelés vagy meg nem felelés) biztosítása. Teljes oktatási rendszer kísérlete általában a következő fázisokban zajlik: • Előkísérlet (szűkkörű kipróbálás). Módosítás, átdolgozás szükség esetén. • Előteszt (A kísérleti és kontroll csoportban. Standardizálás a két csoport között) • Kiterjesztés • Ismétlődő formatív tesztek. Módosítások a továbbiakra, ahol szükséges. • Adatfeldolgozás. Részeredmények összevetése a célokkal, hipotézisekkel. • Záró (szummatív) teszt. A hipotézisnek való megfelelés eldöntése. • Független lektori elemzés, véleményezés. • Elemzés, következtetések. Szummatív értékelés. 1.3.2 Elméleti módszerek • Matematika-didaktikai szakirodalmi kutatás, kritikai elemzés. • Elméleti következtetések, általánosítások. • Szempont és célrendszerek (taxonómiák) vizsgálata, kidolgozása. • Matematika-didaktikai koncepciók kritikai vizsgálata. • Matematika-didaktikai koncepció kidolgozása, integráció. Tanulási, tanítási modellek. • Oktatási programok, segédletek elemző vizsgálata, újak kidolgozása • Új kérdések feltárása, felvetése. További kutatási irányok kijelölése.

2. Matematikatanítási irányzatok és a mai iskolai gyakorlat Néhány nevezetesebb irányzatot, modellt említünk a teljesség igénye nélkül, (alapként egy Bernd Zimmermanntól származó felosztást követve [4]). Ezek között átfedések is lehetnek, illetve a tanárok gyakorlatában általában egyik sem figyelhető meg tisztán. Az adott ország hagyományai, kultúrája szerint egyik-másik irányzat dominálhat. Adott országon belül pedig életkor illetve iskolatípus szerint is láthatunk különbségeket. Említünk még egyes időszakokban „divatos” irányzatokat is. A matematikatanár számára hasznos lehet ezen irányzatok jellemzőinek megismerése, hogy saját tanítási gyakorlatában tudatosabb legyen és hogy képes legyen harmónikusan integrálni és alkalmazni a megőrizhető, megőrzendő előnyös jegyeket. Minél gazdagabb módszertani műveltségre tesz szert egy tanár, annál tudatosabban képes tervezni és elemezni az oktatási folyamatot, továbbá annál valószínűbb egyoldalú túlzások elkerülése. 2.1. Genetikus irányzat Példák, minták segítségével történő tanulásnak is nevezik. A tanítás módszere a frontális „tanulói beszélgetés”. Egy probléma felvetése után közös vizsgálódás indul. Tanulói észrevételeket, javaslatokat vitatnak meg, példákkal erősítve illetve ellenpéldákkal cáfolva a sejtéseket. Ha a célzott tétel bizonyításának gondolatmenete lényegében kikristályosodik, akkor összefoglalás és kiemelés után rögzítik a tételt és a talált bizonyítást. A tanár szervezi a beszélgetést, résztvevőként irányítja azt, majd pontosításokkal segít az összegzésben. Az irányzat főbb jellemzői: 1) az ismeretszerzési folyamaton van a hangsúly és a matematika dinamikus oldala, a matematika mint tevékenység dominál. 2) A logikai következtetés, az indoklás, sőt az intuíció is nagy szerepet kap. 3) Az ötletek, sejtések szabadon és spontán felvethetők. 4) Gyakran követi a fogalom vagy tétel matematikatörténeti kialakulását, fejlődését. Hangsúlyos érvényesülése esetén történeti-genetikus módszerről is beszélnek. 5) A kreativitást és az indoklási, érvelési képességet előtérbe helyezi. 6) A tanítási módszer a „felfedeztető tanítás” vagy a tanulási módszer a „felfedező tanulás”. [v.ö. 4] Kárteszi Ferenc professzor, a kiváló matematikus és tanáregyéniség kommentárjában hivatkozik a gyakorló gimnáziumukban 1940-ben már akkor közel 70 éve kialakított és alkalmazott „kérdve kifejtő” módszerre. „A tanuló magától nem fedez fel mindent, ámde saját hozzájárulása önbizalmát erősítő élmény. ... Dícséret illeti azt a tanulót, aki magától veti fel a problémákat. A »felfedeztetés« veszélyes jelző, önámításra vezethet. Rávezető (és nem erőszakoló) módszer, mint elnevezés helyesebb lenne.” [4] Példa: Akár már 7. osztályban is remélhető a következő probléma közös megoldása:

1) Ha az ABC háromszögben AD az A ∠ (α) szögfelezője párhuzamos EC-vel, akkor mit állíthatunk a CEA háromszögről? 2) Keressünk összefüggést az ábrán jelölt szakaszok hossza között (középpontos hasonlóság alapján)! 3) Igazoljuk, hogy b : c = y : x ! 4) Milyen háromszögekre érvényes az összefüggés? Fogalmazzuk meg a tételt! B

E A b

c

x

D

y

C

Az első kérdés közös megbeszélésekor várhatóan gyorsan kiderül, hogy a CEA Δ egyenlő szárú, mégpedig AE = AC = b . Az indoklás az egyállású illetve a fordított állású (váltó-) szögekkel történik. A BEC ∠ és a BAD ∠ = α/2 egyállásúak, így egyenlők. Az ACE ∠ váltószöge a CAD ∠nek, ami szintén az α/2, így egyenlők. Tehát AEC ∠ = ACE ∠, így a CEA Δ-ben a velük szemközti oldalak is egyenlők egymással. Másodjára hozzák a tanulók, hogy a BDA Δ és a BCE Δ hasonló egymással, mégpedig B középpontú középpontos hasonlóságban állnak. Ebből BC : BD = BE : BA vagy másképpen (x+y) : x = (c+b) : c . A harmadik lépés nehezebb, várhatóan igényli a tanári segítséget, rávezetést. Végezzük el (vagy végezd el önállóan) a tagonkénti osztásokat mindkét oldalon! Kapjuk, hogy 1 + y/x = 1 + b/c , amiből y : x = b : c . Másképpen is ide juthatunk, ha szorozzuk a kiindulási aránypár mindkét oldalát x-szel és c-vel. Adódik, hogy cx + cy = cx + bx, így cy = bx, azaz y/x = b/c . A negyedik pontban az osztály valószínűleg egyetértésben megállapítja, hogy tetszőleges háromszögben érvényes a gondolatmenet. Tanári segítséggel megfogalmazzuk: A hároszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a közrefogó oldalak arányában metszi. Végül a tanár közli, hogy ezt az állítást röviden szögfelelző tételként ismerjük. Emlékeztetünk arra, hogy hagyományosan középiskola második osztályának anyagában szerepel a tétel és bizonyítása, de a párhuzamos szelők tételére alapozva. A középpontos hasonlóság is csak a párhuzamos szelők tétele után tárgyalható matematikailag korrekt módon. Általános iskolai indoklásban azonban megengedjük a geometriai transzformációk, így a középpontos hasonlóság szemléletből belátott tulajdonságainak felhasználását. (Azt fogadjuk el mintegy „axiómaként”, hogy középpontos hasonlóságban egyenes képe egyenes. Minden további tulajdonság ebből már levezethető.) Ma is hasznos és a jó tanárok által gyakorolt irányzatról és módszerről van szó, viszont még erősebbé tehető, ha először önálló munkában egyéni próbálkozást kér a tanár, körbejárva figyeli a tanulók munkáját, eldöntendő, hogy mikor állítsa le a munkát, majd tanulói beszámolókkal, vitával, indoklással, megállapodással jutnak el a válaszhoz. Példánkban ezt az első három lépésben ismételjük, a negyedikhez közös munka illik. 2.2. Elementarizációs irányzat (Pl. Wagenschein, Wittmann, Winter) A matematika tudományjellege dominál ebben az irányzatban is. Lényege, hogy a matematika tananyagot egyszerűbb, elemibb szinten közvetíti, hogy a tanulók számára érthetőbb, könnyebben elsajátítható legyen. „Jelentős szerepet játszanak ebben az irányzatban a tanulók korábbi ismereteinek a felhasználása és a különböző szemléltetések. Gyakran találkozunk ezen irányzat

képviselőivel a gimnáziumi tanárok között, akiknek fő célja a matematika tudományát közelebb hozni a tanulókhoz.” „A tanítás rendszere a matematikai tudomány rendszerének van alávetve. Tipikus oktatási módszer az ún. frontális oktatás. Általános pedagógiai, személyiségfejlesztési célok alárendelt szerepet játszanak ebben az irányzatban.”[4] Mai szemmel, az irányzat előnyeinek megtartása mellett, újból a frontális munkánál hatékonyabb egyéni (vagy páros, néha kiscsoportos) önálló munkán és az azt követő közös megbeszélésen, vitán alapuló munkaforma és módszer gyakoribb alkalmazását javasoljuk. Az elementarizációs irányzat lényege sem mond ennek ellent. Kárteszi professzor kommentárjában egy a tankönyvekben szokásosnál elemibb bizonyítást ad példaként a 2 négyzetgyökének nem racionális voltára (az amúgy is csak bizonyítás nélkül kimondott számelmélet alaptételét elkerülve). Ötletét helhasználva mi részben önálló munkáltatással így javasoljuk a tanítást: 1) Frontális indítás: Állításunkkal ellentétben tegyük fel, hogy √2 felírható két egész relatív prím hányadosaként! Közös munkában felkerül a táblára (és leírják a füzetükbe): Tfh. √2 =p/q és (p, q) = 1. Ebből p2 = 2q2 . Ha ebből a feltevésből (helyes következtetési lépések után) ellentmondásra jutunk, akkor az eredeti állítás igaz, tehát bizonyítjuk, hogy 2 négyzetgyöke nem racionális szám. 2) Vizsgáld meg önállóan, hogy milyen számjegyre végződhet a p2 = 2q2 két oldalán álló szám! Mire következtethetünk ebből? Az önálló vizsgálódás leállítása után a tanulói beszámolókból kiderül, hogy a baloldali négyzetszám végződése 0, 1, 4, 5, 6 vagy 9 lehet, miközben a jobb oldalon a négyzetszám kétszeresének végződése csak 0, 2 vagy 8 lehet. Eszerint mindkét oldal 0-ra végződik. 3) Keresd meg, mi lehet az utolsó számjegye így p-nek illetve q-nak! Találd meg ez alapján az ellentmondást! Az önálló munka után a megbeszélésben hozzák, hogy p osztható 5-tel, továbbá q 0-ra vagy 5-re végződhet, tehát szintén osztható 5-tel. Ez ellentmond annak, hogy p és q egymáshoz relatív prímek. A tanár, egy diák vagy az osztály frontálisan összefoglalja a bizonyítást. Ha nem találkoztak még hasonló típusú bizonyítással, a tanár közli az „indirekt bizonyítás” elnevezést. 2.3. Strukturális-formalista irányzat („Új matematika”. Pl. Bourbaki-féle csoport, Dieudonne, Papy, Revuz, H-G Steiner) Jellemzői 1) A matematikának mint tudománynak és különösen a matematikai struktúráknak az előtérbe állítása. Az alapstruktúrák (csoport, gyűrű, test, háló) szerint „a matematika különböző ágainak egy egységes, szisztematikus és gazdaságos bemutatása történik meg.”[4] 2) Hangsúlyos a matematikai szaknyelvnek és a szimbolikának a kialakítása. 3) A formális-logikai dedukció és szigorúság, a precizitás fontossága. 4) A szisztematika, a rendszer fontossága. 5) A tanári objektivitás, a tanulói teljesítményre és sikerre törekvés. Háttérbe szorulhatnak az intuíció, a tartalmi, tárgyi vonatkozású gondolkodási módok, az általános pedagógiai, érzelmi és szociális célok, a tanításmódszertan. [v.ö. 4] Kárteszi professzor kommentárja megszívlelendő: „Krygowska mondta, hogy ami a matematikában korszerűtlen, nem biztos, hogy a tanításban is haszontalan. A szaknyelv és a szimbolika túlhajtása nem megkönnyíti, hanem elnehezíti a tanulást. Ha a tanuló a szaknyelv és

szimbolika előnyeit még nem tapasztalta, csak tehernek érzi. A strukturális-formalista irányzat túlzásainak köszönhető a geometriatanulás háttérbe szorulása, amint azt Coxeter is írja. Az axiomatizálásól: csak az utólagos rendezésnek van létjogosultsága az ismétlésnél az érettségi összefoglalásnál. Közben az ún. lokális rendezésnek van szerepe. Nagy tanulsága ezen irányzat tapasztalatainak: nem szabad az iskolai valóságtól elszakadva tervezni az oktatást.” [4] Hangsúlyozzuk, hogy az ilyen meglehetősen negatív kritika kifejezetten az 1970-es évek túlzásaira, az erőltetésre vonatkozik. Helyén és idején a szaknyelv és a szimbolika elsajátítása fontos feladat. Emellett vannak olyan fontos vagy hasznos témák, amelyeknek tanításában pozitívan érvényesíthető a strukturális-formalista irányzat egy-egy módszere. A tanulmányban hozott példa az R10 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} halmazon bevezetett „újfajta n ⊕ m összeadás” művelet tulajdonságait vizsgálja. A természetes számoknál megszokott összeadás szerinti kétjegyű összeg esetén az utolsó jegy (a tízen felüli rész) az eredmény („összeg”). Tanári irányítás mellett a tanulók kiderítik a főbb tulajdonságokat, amelyeket a tanár meg is nevez. Erre a műveletre a halmazon teljesül a zártság, az egyértelműség, az asszociativitás; létezik a zéruselem (0); továbbá minden elemnek van inverze, mert az a ⊕ x = 0 (a, x ∈ R10) egyenlet egyértelműen megoldható. Pl. 5 inverze 5; 3 inverze 7; 0 inverze 0 (önmaga). E struktura és az egész számok halmazának a szokásos összeadásra vonatkozó strukturája közös tulajdonságaiból absztrahálva definiálhatjuk a csoport fogalmát. A első három műveleti tulajdonságnál más területről ellenpéldát is hoz a tanár. [v.ö.4] Megjegyezzük, hogy bizonyára több példát is megnéznek a definiálás előtt. Egyébként ez egy kommutatív csoport, amit utólag tisztázni kellene. Kilencedik évfolyamon a diákok többsége rendelkezik a szükséges absztrakciós képességgel, számukra a példa szerinti vizsgálódás, fogalomalkotás és tanulás reális lehetőség. Az természetesen megfontolás kérdése, hogy alkalmazzunk-e ilyen és hasonló témákat normál tantervű kozépiskolai osztályban, illetve hogy megnevezzük-e és ha igen, mikor, az algebrai strukturákat illetve a műveleti tulajdonságok idegen elnevezéseit. Az is eldöntendő, hogy ismerkedés szintjén tesszük-e ezt vagy erősebb (megtanulási vagy alkalmazási) követelményt tűzünk-e ki. Mindenesetre a műveleti tulajdonságok vizsgálata fontos tantervi anyag és az elsajátítást jól segíthetjük ügyes ellenpéldákkal, hogy a tanuló értelmét lássa a szokásos (számára evidens) tulajdonságok megtanulásának. Ötödikes kortól belátják a tanulók, hogy a természetes számok halmaza nem zárt a kivonásra nézve. Később félig szöveges félig szimbolikus lejegyzései következhetnek, pl. Minden a, b természetes számra (a – b) ∈ N akkor és csak akkor, ha a ≥ b. Végül tizenkettedikben szimbolikus összefoglalása sem erőltetett. ∀ a,b ∈ N: (a – b) ∈ N ⇔ a ≥ b [vagy (a – b) ∉ N ⇔ a < b] Nem asszociatív műveletre hetedik osztálytól jó példa a nemnegatív racionális számok halmazán két szám számtani közepe mint művelet (bár emeletes törteket kell kezelni). Elegendő egy konkrét számokkal mutatott ellenpélda, de később általános vizsgálat is szóba jöhet. Kiderül, hogy a és b számtani közepének c-vel vett számtani közepe illetve a-nak b és c számtani közepével vett számtani közepe akkor és csak akkor egyenlő egymással, ha a = c. Nem kommutatív például az a + 2b utasítású művelet a racionális számok halmazán. a + 2b = b + 2a pontosan akkor, ha a = b. Nyolcadikosok szakköri foglalkozásán tapasztaltuk, hogy jó képességű tanulók is elvesztik az érdeklődésüket, ha túl komplikáltnak találnak egy vizsgálatot. A sík ponthalmazán értelmeztünk

két műveletet. Az egyik az A és B pontokhoz rendeli az AB szakasz felezőpontját (megengedve a nullszakaszt is). Erről vázlatrajzokkal könnyen kiderítették, hogy kommutatív de nem asszociatív (hasonlóan a számtani középhez). A másik művelet az A és B pontokhoz rendeli az A-nak B-re mint középpontra vonatkozó tükrözöttjét. Gyorsan hozták rajzos ellenpéldával, hogy nem kommutatív és nem is asszociatív. Többen elunták viszont az egyenlőség feltételének keresését. A széttagolhatóság (disztributivitás) két irányú vizsgálatát is elkezdtük, de egy idő után már elfáradva kérték, hogy hagyjuk abba, majd otthon kiszerkesztéssel ellenőrzik néhány társuk sejtését, miszerint a „tükrözés művelet” a „felezőpont műveletre” nézve disztributív, míg fordítva, a „felező” a „tükrözőre” nézve nem disztributív. A geometriatanítás háttérbe szorulásáról Coxetertől tett megjegyzés a 70-90-es évek „nyugati” gyakorlatára érvényes. Láttunk viszont ez időben olyan hatodikos geometria könyvet egy akkori szomszédos szocialista országban, amelyik tisztán szimbolikus jelekkel írta le a tételeket és bizonyításukat, olykor megfelelő ábra nélkül. Súlyos túlzása leküzdhetetlen gátat jelentett a szerényebb sőt az átlagos tanulók számára is. Az életkori sajátosságokat, az absztrakciós képesség kialakulatlanságát figyelmen kívül hagyó könyv mellett csak remélhetjük, hogy a tanárok szemléletesen segítettek a tanulóknak. Nálunk általános iskolában a számrendszerek tanításában, pontosabban a támasztott követelményekben, továbbá a halmazokkal, relációkkal kapcsolatos szaknyelv és szimbolika terén tapasztaltunk túlzásokat, melyek mára megszüntek. 2.4. Problémamegoldó (heurisztikus) irányzat (Megalapítója Pólya György, de pl. Poincaré, Halmos, Hadamard) Jellemzői: 1) A problémamegoldás a matematikatanítás, tanulás lényege. (Pólya: A problémamegoldás iskolája; A gondolkodás iskolája; hogyan oldjunk meg feladatokat) 2) Fő cél a matematikai gondolkodás tanítása, tanulása. Hangsúlyos a pszichológiai vonatkozások figyelembevétele. 3) Lényeges a heurisztikus („felfedező”) vagy problémamegoldó stratégiák tudatosítására, tanítására törekvés (például a probléma megértése, megfelelő ábrák, az adatok közötti összefüggések feltárása, megoldási terv, általánosítás, specializálás, átfogalmazás, analógia, stb.) 4) A matematika dinamikus oldalát hangsúlyozza (problémamegoldási folyamat) 5) A megoldási ötletekhez inkább a „felfedező” stratégiákra való rendszeres orientálás útján jutnak el a tanulók, mintsem a frontális nyitott beszélgetés során. 6) Módszere a „felfedező tanulás”, melyben segítenek a saját tapasztalatok, a tudatosult problémamegoldó stratégiák. 7) Kisebb jelentőséggel bírnak a tanári előadás, bemutatás; a matematika szaknyelv és precizitás; a szigorúan deduktív formális logikai levezetések, az általános pedagógiai célok. [v.ö. 4] Rögtön meg kell jegyeznünk, hogy utóbbinak természetesen nem kell így lennie! Kárteszi professzor kommentárjában megemlíti, hogy Pólya György szerint a matematika tanítása inkább művészet, mint tudomány, de mindjárt hozzáteszi saját véleményeként, hogy ennek legfontosabb elemei a tanítás során megtanulhatók. „Talán a legfontosabb benne a tanuló egyéni aktivitásának kibontakoztatása és a matematikai tevékenység mozzanatainak tudatosítása. ... Kiemelném a tapasztalataim alapján, hogy a tanulói érdeklődés felkeltése és erősítése a legfontosabb.” [4] Lényegében ennek az irányzatnak Freudenthal holland matematika-didaktikus által továbbfejlesztett és más irányzatok pozitív vonatkozásait is integráló koncepcióját jelentősége és aktualitása miatt külön pontban említjük.

2.5. Freudenthal-féle irányzat Jellemzői: 1) A tanításban a matematikai végeredménynél is fontosabb a tanulási és gondolkodási folyamat. Tehát itt is a matematika dinamikus oldala a hangsúlyosabb, mint a statikus oldala. Fontos a tanulási, problémamegoldási folyamat „kritikus helyein” bekövetkező „ugrások” vizsgálata. 2) Szemléletes alapokra épít, különösen geometriában. A tanítás, tanulás alacsonyabb szintjén nem erőlteti a precíz indoklásokat. „Csak a tapasztalatok növekedésével térnek ki egyre jobban a «finomságokra»” a tapasztalatok lokális rendezése során. 3) A problémák megoldási ötlete nem mindig egy genetikus vagy heurisztikus szabályból jön, hanem lehetőleg tág „szabad alkotótérből”. Fontosak az életszerű problémák, ahol gyakran spontán, „ad hoc” módszerek hozzák az ötletet. 4) Tanulási módszere a tanár által szervezett, irányított „utólagos felfedezés”. Az a cél, hogy a tanulók a lehetőleg önállóan találják meg a gondolatmenetet. ... 6) Az iskolai matematikában ritkán érhető el „abszolút szigor”, a teljes matematikai ismeretrendszer. Nem hasznos az állandó „teljesítményelv”. 7) A kutató a matematika jellegű didaktikai állításokat logikai következtetéssel igazolhatja, de a tanítási folyamatra vonatkozó állítások igazolására klinikai módszerek (interjú, megfigyelés, esettanulmány) javasolhatók. [v.ö. 4] Freudenthal az átlagos diák tanulását fenyegető túlzások elkerülése érdekében figyelmeztet, hogy az iskola elsősorban nem matematikusokat nevel. „A matematikát mint készterméket alkalmazni olyan valami, ami egyre jobban a számológépek feladatává válik, és közben mindig új erők szabadulnak fel a matematika alkotó alkalmazására. Ezeket a képességeket célszerű lesz gyakorlással fejleszteni, és a nevelőnek kezdettől fogva tartózkodnia kell attól, hogy a tanulóban olyan kép alakuljon ki a matematikáról, mintha az csupán valamiféle magasabbrendű szellemek által gyakorolható tevékenység lenne.” [Freudenthal: Mi az axiomatika, és milyen értéke van a képzésben? Szemelvénygyűjtemény, szerk.: Czapáry Endre, Tankönyvkiadó, 1970] [4] Kárteszi kiemeli még Freudenthalnál, hogy a tanár (felnőtt) gondolkodásmódjának a tanulóra erőltetése helyett a tanuló saját gondolkodásának tudatosítására, javítására, fejlesztésére teszi a hangsúlyt. „Minden ráerőszakolt mozzanat a tanuló részéről mesterkéltnek tűnik és elcsüggeszti.” [4] Mai szemmel azért felhívjuk a figyelmet arra az ellenkező (és nálunk is tapasztalható) veszélyre, hogy sok középiskolás olyannyira nem jegyez meg alapvető fogalmakat, összefüggéseket, adatokat (arra hivatkozva, hogy a „függvénytáblázatból” kikereshető), hogy sem tudása, sem feladatmegoldó alkalmazási képessége nem megfelelő (különösen a kapott osztályzatához mérten). Vagy mindent ki kellene keressen (amire nincs idő) vagy sokszor azt sem tudja, mit és hol keressen. Ha megtalálja a megfelelő képletet, nem mindig tudja értelmezni vagy alkalmazni, mert szétesett vagy kialakulatlan az ismeretrendszere. Tehát tanulni, memorizálni és gyakorolni is szükséges a továbblépés szempontjából legfontosabbakat. Egészséges arányt kell találni egy nem túlterhelő, de teljesítőképes tudást azért biztosító ismeretrendszerre nézve. 2.6. Projekt-, illetve alkalmazásorientált irányzat Lényege, hogy valamely valóságos életbeli, környezetbeli probléma kapcsán annak matematikai tartalmát kell kibontani, arra megoldást keresni, majd az eredményt visszahelyezni a valóságos szituációba. Az átlagtanuló szükségletei és igényei a mérvadóak. A tanulmány példájában lineáris és másodfokú összefüggések ábrázolása, vizsgálata szerepel (munkalapok segítségével) az autózással kapcsolatban. Először általános beszélgetést kezdeményez a tanár az autópályán

alkalmazott 130 km/h sebességhatárról. Prospektusokat, cikkeket, közlekedési baleseti jegyzőkönyveket is elemeznek a biztonságról és közlekedési balesetek okairól, kivédési lehetőségeiről. Ezután a témához kapcsolódó munkalapokon egyenes vonalú egyenletes mozgást ábrázolnak, fékút/sebesség grafikont készítenek illetve elemeznek, a másodfokú egyenletek grafikus megoldására, később algebrai megoldási módszereire kerül sor. Minden újabb ismeretet azonnal alkalmaznak. Fö jellemzői: 1) A matematika mint tudomány helyett inkább a matematika mint a mindennapi élet problémáira alkalmazható eszköz jelenik meg (pl. nagyvárosi közlekedés, szállítási problémák, valószínűségi, statisztikai kérdések, stb.). 2) A matematika alkalmazására teszi a hangsúlyt. 3) A csoportmunkát (projektek, coursework) szorgalmazza, mely team-munka keretében a tanulók együtt kutatnak, megosztják a részfeladatokat majd megbeszélik a kapott eredményeket. A heterogén összetételű csoportban mindenki képessége szerint dolgozik, a lemaradókat a gyorsabbak, fejlettebbek segítik. 4) Ahol lehet, kihasználandó a más tárgyakkal való koncentráció illetve integráció. [v.ö. 4] Az irányzat gyökerei a XX. század elejére visszanyúlnak, de nem a matematika tanításában (pl. Dalton terv). A fenti jellemzés a mi viszonyainkra nézve sarkított. A matematikatanári gyakorlatban a „heterogén csoportmódszer” jelen van, de nem domináns. Ma is érvényes viszont Kárteszi professzor azon megállapítása, hogy a matematika külső alkalmazásában komoly hiányosságaink vannak. „Nem szabad elszakadnia a matematikának a valóságtól, így sokkal jobban érdekli a gyereket is; a valódi szituációkkal, problémákkal foglalkozó matematikaoktatás fokozza a tanulók érdeklődését. Vigyázni kell persze arra is,hogy ne mesterkélt példákat elemezzünk. Időigényes, de megéri a fáradságot! A fűszerezés szerepét tölti be a matematikatanításban.” Mai lemaradásunkat e téren igazolja az OECD - PISA matematika értő olvasási (mathematical literacy) felmérések ránk nézve szomorú eredménye is. 2000-ben 15 éves tanulóink 31 ország között a 21. helyen végeztek, elsősorban a siralmas értő olvasási szint miatt, de azért is, mert grafikont, táblázatot sem tudtak jól értelmezni. Másik megjegyzésünk, hogy alkalmazásorientált matematikatanítást nem csak csoportmunkában lehet szervezni! A csoportmunkára nagyon találó a „fűszerezés” kifejezés. Jóból is megárt a sok. Ha mindig vagy túlnyomóan csoportmunkát szervezünk, a hatékonyság leromlik és nem fejlődhet ki mindenkinél teljesítőképes egyéni matematika tudás! Még két irányzatot említünk meg röviden. 2.7. („Anthroposofikus”) „egyén-központú” irányzat Szintén alkalmazásorientált irányzat, de a projektorientált „kollektivisztikus emberképével” szemben ez az irányzat az „individuális emberképből” vezeti le az oktatási modelljét. Jellemzői: 1) Az egyes ember, tanuló szükségletei, érdeke, fejlesztése a meghatározó. 2) A valós élethez közeli alkalmazások kiemelt szerepet kapnak. 3) A tanulók képesség szerinti szelekciója helyett az egyéni fejlesztésre, segítésre teszi a hangsúlyt. 4) A geometria nagyobb szerepet kap, de annak inkább a gyakorlati oldala, mint az elméleti rendszere. [v.ö. 4] A 90-es évek elején Angliában látogattunk SMILE elnevezésű program szerinti matematika órákat, ahol a tanulók egyénileg vállalt programjuk alapján önállóan dolgoztak feladatlapokon, a tanárral egyénileg konzultáltak és az elvégzett munka szerint kaptak vagy választottak következő (magasabb szintű) feladatlapot a témában, illetve tértek át más témára. A tanulók szinte mindegyike más témával foglalkozott.

A módszer demokratikusnak tűnik, mindenki a saját vállalása illetve képessége szerint haladhat. Mégsem hatékony, azért, mert hiányzik az egyéni próbálkozást, munkát követő frontális megbeszélés, ahol beszámolva, egymást meghallgatva, érvelve és cáfolva alakulnak ki és fejlődnek a tanuló szóbeli képességei, ami által utólagos rendezés, fogalmi megszilárdulás épül ki az ismeretrendszerben, megvalósul a saját gondolkodás tükrözése (metakogníció) és a problémamegoldó stratégiák kiépülése. A téves fogalmak, hibák is az egész osztályra vonatkozóan korrigálhatók illetve jelentenek tanulságot a közös megbeszélések során. Tehát a túlzás, a szélsőséges vagy kizárólagos alkalmazás itt sem vezet célra. 2.8. Komputerorientált irányzat „Természetes, hogy a matematikatanításnak figyelembe kell vennie a gazdaság, technika, irányítás computerizációját, erre fel kell készítenie a tanulókat. A computer jó motiváló hatású a hasznossági, ill. a játék-aspektusok miatt. Alapvető az algoritmikus gondolkodás fejlesztése. Módszere: egy tanuló – egy computer.” [4] Ez az iránymutatás ma fokozottan aktuális, viszont nálunk több okból sem történt forradalmi előrelépés a matematika órákon. Annál inkább örvendetes a fejlődés a matematika tanulásában, tanításában felhasználható CD, DVD és világhálós anyagok, források, segédletek terén. A matematikatanárok egyre több jó didaktikai segítséget illetve órai demonstrációra alkalmas programot találhatnak felkészülésükhöz. Tanulóinak egyre több jó matematikai (sokszor játékos vagy érdekes alkalmazási) programot ajánlhat. Kiemelkedő jelentőségűek a különböző komputeralgebrai és geometriai programok (főleg az ingyenesek), ezek közül is kiemeljük az interaktív programokat. Matematika órai felhasználásuknak elsősorban időbeli és gépteremhasználati korlátai vannak. A komputert is a matematikaórák „fűszerezésre” érdemes használnunk jelenleg. Módszertanának kidolgozása is csak a kezdeti lépéseknél tart. Kifejlődött és megszilárdult viszont az informatikaoktatás, melynek azért sok területe kapcsolódik a matematikához, másfelől pedig alkalmat adhat informatika órán matematikai tárgyú alkalmazásokra is. A fejlett országokban ma már az információtechnika (IT) elnevezést felváltja az „információ és kommunikáció technika” (ICT) és elvárás az iskolai oktatásban való érvényesítése.

3. Pszichológiai tanuláselméletek (L.B. Itelszon nyomán [6]) felhasználása a matematika tanításában A tanuláselméletek gyökerei többnyire régi időkre visszanyúlnak és ezek a gyökerek, mint a tanítás, tanulás múltbeli tapasztalatai, közvetlenül is befolyásolják a tanítási gyakorlatot, sokszor elfogadott didaktikai alapelvek formájában. Bár az itt említett tanuláselméletek a tanulásnak csak egyes –mindazonáltal lényeges- oldalait jellemzik, azért megismerésük tudatosabbá teheti a tanítás tervezését és gyakorlatát. 3.1. Asszociációs tanuláselméletek 1) A tanulás lényege: kapcsolatokat tanulunk, a konkrét dolgok, tulajdonságok, cselekvések, pszichikai állapotok között meglévő kapcsolatokat. 2) Tartalma: asszociációk, vagyis pszichikai kapcsolatok képződnek a tanuló tapasztalásának elemei között. 3) Feltételei: a kapcsolódó elemek határossága, mint például fizikai (térbeli, időbeli szomszédosság), pszichológiai (hasonlóság vagy kontraszt), funkcionális (cél és eszköz, minőség és mennyiség, dolog és sajátság, ok és következmény), logikai (egyedi és általános, faj és nem, premissza és következmény) határosság. 4) Alapja: a megfigyelés és összehasonlítás, a megkülönböztetés és azonosítás, a megosztás és egyesítés, az összekapcsolás és széttagolás. (Hume, Bain, Hartley, Mill, Ebbinghaus, Carr, Robinson) [v.ö. 6] Már a matematikai alapfogalmak is többszörösen absztraktak, sőt a kialakulásukhoz vezető képzetek is absztraktak. Kialakításuknál gyakran (de nem mindig) a tárgyi, érzéki tapasztalásra, tevékenységre alapozunk, majd a konkrét tárgytól, jelenségtől fokozatosan elszakadva jut a tanuló az absztrakt képzethez, majd a matematikai fogalomhoz. Például a háromszög képszerű képzete, majd konkrét fogalma, végül definiált fogalma; a térbeli pont képzete; a sík képzete; a síkban egy alakzat pont körüli elforgatásának mozgásképzete; adott 10 alatti természetes szám képszerű, majd konkrét fogalma óvodáskorban, majd első osztályban; biztos, lehetséges, lehetetlen esemény képzete; stb. Az alapfogalmakra építve további többszörös absztrakciók vezetnek a matematikai ismeretekhez, fogalmi rendszerekhez. Az iskolai matematika fogalmaihoz többnyire (de nem kizárólagosan) induktív előkészítés, gondolkodás vezet. A tanulás nagy részben asszociáción alapuló tanulás, amiből olyan fontos, rég bevált didaktikai alapelvek következnek, mint: a szemléletesség, felfoghatóság, világosság; a tanuló képességeinek való megfelelés; a szilárdság, rendszeresség, fokozatosság; a részektől az egész felé, az ismerttől az ismeretlen felé, a közelitől a távoli felé, az egyszerűtől az összetett felé, a konkréttól az absztrakt felé, az egyeditől az általános felé haladás. A jelzett didaktikai alapelvek nagy részét a Sárospatakon is működött Comeniustól* (1592-1670), a mai értelemben vett pedagógia megalapítójától ismerjük, de kiváló tanítók, iskolamesterek bizonyára régebben is alkalmazták, gyakorolták azokat. *Szerinte a tanítási folyamat az érzékeléstől a gondolkodáson át a hit felé irányul. Új fogalmak kialakításánál biztosítanunk kell az asszociációs tanulás olyan feltételeit is, mint a benyomás elsősége, intenzitása, frissessége. A mai hazai matematikatanítási gyakorlatban a tanárok többsége (pedagógiai tanulmányaiból is) ismeri, a jó tanárok pedig tudatosan érvényesítik ezen alapelveket, amelyeket a használatos tankönyvek, segédletek is támogatják. Azt azonban hangsúlyoznunk kell, hogy a hatékony matematikatanításnak ezek fontos, de nem elégséges tényezői. Egyrészt nem következik közvetlenül az asszociációs tanulás törvényeiből és a fenti didaktikai alapelvekből, hogy a

különböző didaktikai feladatokhoz milyen munkaformák a megfelelőek, ugyanakkor sok matematikatanár gyakorlatában új ismeretet feldolgozó órán a tanári előadás, magyarázat, bemutatás dominál, vagy jobb esetben a diákokat részben aktivizáló kérdve kifejtő módszer. Az alkalmazás, gyakorlás során pedig (főleg középiskolában) az a fajta „frontális” munka dominál, ahol egy diák a táblánál oldja meg a feladatot, míg az osztály többi tanulója a helyén dolgozik, jó esetben önállóan, de a gyakoribb rosszabb esetben a tábláról másolva a lépéseket. Ilymódon a tanulók aktivizálásának leghatékonyabb módja, a jól tervezett, szervezett önálló munka –amit mindig közös megbeszélés követ- háttérbe szorulhat vagy elsikkadhat. Másrészt a matematika sok fogalmát más típusú tanulás révén sajátithatjuk el, ami újabb (olykor a réginek ellentmondó) didaktikai alapelveket is igényel. 3.2. Feltételes reflexes tanuláselméletek 1) A tanulás lényege: A tanuló megtanulja a valóság dolgainak és jelenségeinek újabb, számára lényeges tulajdonságait, továbbá olyan hasznos cselekvési és viselkedési formákat, amelyek ezeket a tulajdonságokat alkalmazzák. 2) Tartalma: kapcsolatok képződnek a szervezet feltétlen (vele született) ingerei és feltételes (tanulható) reakciói vagy a környezet jelzései között. 3) Feltételei: a klasszikus (Pavlov-féle) feltételes reflexek esetén a megerősítés és az ismétlés, illetve az instrumentális (Skinner-féle) reflexek esetén a szervezet aktivitása, a jutalmazás és az azonnali megerősítés. 4) Eredménye az ingerek közötti különbségtételnek (szenzoros differenciálódás) illetve a viselkedésformák közötti különbségtételnek (motorikus differenciálódás) a kialakulása. (Pavlov, Thorndike, Skinner; Kornyilov, Hull, Maurer, Spence, Dewey) [v.ö. 6] A tanuló a matematikai objektumok tulajdonságait és törvényszerűségeit a saját tapasztalataira, kísérleteire, próbálkozásaira és hibáira épülő célszerű cselekvések útján ismeri meg. A jó matematikatanár ennek a folyamatnak a megtervezője és irányítója. A programozott oktatási kísérletekből és az önálló kísérletezésre, kutatásra, problémamegoldásra alapozott didaktikai kísérletekből újabb matematika-didaktikai alapelvek formálódtak, mint a pontosabb célmeghatározás; a tananyag elrendezése és a tevékenységi sor meghatározása; a kis lépések elve; az azonnali megerősítés elve; a legjobb motiváltság és aktivitás elve. Az önálló kísérletezés, problémamegoldás során a tanulók önállóan vagy kis csoportban kutatnak, keresik a megoldáshoz vezető utakat, miközben sejtéseket fogalmaznak meg (később megerősítik vagy elvetik), összefüggéseket „fedeznek fel”, újabb problémák merülnek fel bennük, kreatív tulajdonságaik megmutatkoznak. A közös megbeszélések során fejlődik szaknyelvi kifejezőkészségük, mások beszámolójának megértése, a metakogníció. A kapott pozitív megerősítések és sikerélmények a motiváció erősödésén túl a problémaérzékenységet is növelik és segítik problémamegoldó stratégiák kialakulását. A programozott matematikaoktatás a magyar általános és középiskolában nem terjedt el. A 60-70es évek kísérletei abbamaradtak. A felsőoktatásban ugyanakkor ma is alkalmazzák, különösen egyes külföldi országokban, távoktatás keretében. A videoanyagok (oktatófilmek, előadásmodulok) több évtizedes alkalmazása mellett –a számítógépek elterjedésével és fejlődésével együtt- egyre jobb számítógépes szimulációk és interaktív matematikai tárgyú anyagok is készülnek. Ezek egy része tanórán is alkalmazható (tanári demonstrációra vagy tanulói egyéni esetleg páros munkára), más részét tanórán kívül, pl. szakkörön vagy otthon érdemes használni, főleg az időigényes vagy játékra alapozott megoldásokat. A fenti alapelvek és tanulságok már kisebb mértékben tudatosultak a hazai matematikatanárok

körében, mint az asszociációs tanuláshoz köthető hagyományos alapelvek. Tapasztalatunk szerint óvodában és az alsó tagozat első két évében a legerősebb az önálló tapasztalatszerzésre alapozott matematika tanulás, eléggé erős és elterjedt még 3-4. osztályban és jelentős 5-8. osztályban is (bár csökkenő mértékben). Középiskoláinkban sajnos háttérbe szorul – tisztelet a kivételnek-, ami a diákok teljesítőképes tudása gyengülésének is egyik tényezője. Egyébként általában is, a matematika módszertani változatosság, kultúra tekintetében hasonló tendenciák érzékelhetők. Ezért szorgalmazzuk, hogy különösen a 10-18 évesek matematikatanításában gazdagítsuk a módszertani kultúrát. 3.3. A tanulás jelelméletei 1) A tanulás lényege: a tanuló „jel – jelölt” típusú viszonyokat tanul meg. 2) Tartalma: Nem konkrét dolgok vagy jelenségek tulajdonságait, nem cselekvéseket sajátít el, hanem általánosított viszonyokat, relációkat, struktúrákat. 3) Feltétele: Az absztraháló képesség megfelelő szintje, a deduktív logikai következtetés képessége és a fogalmi szkémákba rendezés képessége. (Alaklélektan: Koffka, Wertheimer, Lewin, jeltípusú tanulás: Tolman, Vigotszkij, pedagógiai adaptáció: Bogojavlevszkij, Mencsinszkaja, Bruner, ...) [v.ö. 6] A matematika tanulásában természetesen igen nagy az ilyen típusú tanulás jelentősége. Ahol lehet, a matemaikai definíciók tanulását előzze meg a konkrét tapasztalatszerzésből kiinduló induktív tanulás, de előbb-utóbb meg kell tanulni a definíciót is. Matematikai állítások, tételek bizonyítása deduktív következtetési konstrukció. Iskolában a bizonyítási igény kialakítása lassan, fokozatosan történhet. Sok indokoltatás, igaz-hamis állítások logikai értékének eldöntése különböző témákban, fokozódó lépésszámú deduktív levezetések, következtetések megértése, majd egyre összetettebb bizonyítások követése, megértése, megtanulása a fejlesztés útja. Közben megkíséreljük azt is, hogy a tanulók maguk alkossanak (eleinte egyszerűbb) bizonyítást, illetve –legmagasabb fokon- vessenek fel sejtéseket, fogalmazzanak meg állításokat és kíséreljék meg a bizonyítását vagy cáfolását. Az életkori (pszichikai) fejlődés szakaszait és az éppen meglévő ismeretrendszert figyelembe véve, 6-7. osztálytól kezdve, az indoklásokat, bizonyításokat eleinte vegyesen alapozhatjuk szemléletből igaznak elfogadott állításokra, definíciókra és már igazolt tételekre, tulajdonságokra. De már 6.ban is találkozunk teljes (bár még konkrétumhoz kötött) bizonyításokkal. Például az egész számok 2-vel, 5-tel, 10-zel; 4-gyel, 25-tel, 100-zal való oszthatósági szabályainál. A definíciók, tételek megkülönböztetése később, fokozatosan érhető el, (bár előzményei felső tagozatban elkezdődnek) főleg gimnáziumban és szakközépiskolában, míg az axiómák szerepének és az axiomatikus felépítés jelentőségének megértése, megismerése lényegében az egyetemi, főiskolai matematika stúdiumokban kezdődik. Bőségesen találunk azonban általános iskolai példát is olyan definíciókra, deduktív rendszerekre, amelyeket nem előz meg induktív tapasztalatszerzés. Például a pozitív egészek halmaza mint számelméleti struktúra nem jellemezhető az egyes számok különböző kapcsolatainak összességével, hanem az egész rendszert, struktúrát kell felfogni ahhoz, hogy a konkrét kapcsolatokat, tulajdonságokat megismerje a tanuló. A struktúra deduktíve meghatározza az ismeretrendszer kiépülését. A 3-mal, 9-cel való oszthatóság szabálya induktív úton nehezen volna megsejthető, lényegében a tételt ismerik meg előbb a 6.-os tanulók, majd ellenőrzik konkrét esetekre, illetve (nem követelményként) megalkotjuk az igazolást. Az „a osztója b-nek” reláció tulajdonságainak összegyűjtése is deduktív gondolkodás eredménye. Ilyen példa a számrendszerek struktúrája is. Hasonlóan a geometriai transzformációk tulajdonságainak feltárása a definíciók (kvázi mint pontfüggvény játékszabályok) ismeretében, vagy a négyszögek halmazának nevezetes részhalmaz-struktúrája is deduktíve térképezhető fel.

A tanulás jelelméletéből következő didaktikai modellben tehát egyes ismeretrendszerek kialakításakor az általános fogalomtól haladunk a speciális fogalmak felé, szemben a hagyományos (comeniusi) elvvel. A „játékszabályok” meghatározzák a kapható eredményeket és viszonyaikat. A matematikai ismeretrendszer alkalmazása szintén deduktív gondolkodási út. Ebben a rendszer külső kapcsolatai tárulnak fel. Matematikai elmélet alkalmazása esetén például az, hogy az elmélet megfelelően modellezi-e a valóság valamely gyakorlati szempontból fontos jelenségét, viszonyait. A tanuláselmélet másik nagy érdeme a pedagógia szempontjából, hogy „...a fogalmak tanulása bekapcsolja a tanulás forrásai közé az emberiség társadalmi tapasztalatait, amelyek a tudományban, a kultúrában és az ideológiában rögződtek.” [6] Ez a matematikatanításban arra hívja fel a figyelmünket, hogy teljesen természetes a bizonyítás nélküli közlés, ismertetés is. Például felső tagozatban 7-8. osztályban közöljük, bizonyított, hogy az egész számok és a véges tizedestörtek mellett éppen a végtelen szakaszos tizedestörtek írhatók fel két egész szám hányadosaként (azaz racionális számok). Az emelt szintű anyagban bemutatott eljárás konkrét végtelen szakaszos tizedestörtek két egész szám hányadosaként való felírására csak konkrétumhoz kötött dedukciót jelent, tehát szükség van az általános tétel igazolt voltának közlésére. Középiskolában a párhuzamos szelők tételét csak racionális arányra bizonyítjuk, majd közöljük, hogy bizonyított valós arányra is. Gimnázium normál matematikát tanuló osztályában az x→2x (x є R) exponenciális függvényt folytonos görbével ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben, folytonosságát elfogadják a diákok anélkül, hogy irracionális kitevő esetén is definiálhatnánk a hatványt. Felső tagozatban „becsületszóra” fogadják el a tanulók a kör kerületének, területének kiszámítási módját (kétoldali közelítő mérésekre alapozott gondolatkísérletek ezt megelőzhetik), középiskolában a gömb térfogatának vagy felszínének, a kúp térfogatának a kiszámítási módját. Ezek a példák is mutatják, hogy gyakran közlünk bizonyítás nélkül matematikai ismereteket, életkori, képességbeli, előismeretbeli vagy időbeli, terjedelmi korlátok miatt, amikor szükséges vagy hasznos ezen ismeretek megtanulása. Egész matematikai konstrukciókat, struktúrákat, a matematika fontos fejezeteit nem taníthatnánk, ha le kellene mondanunk a (szigorú) bizonyítás nélküli ismeretnyújtásról. Ilyenkor éppen a tárgyilagos ismertetés, közlésünk indoklása, célszerűségének megsejtetése a helyes tanári eljárás. Gyakran hasonlóan járunk el találó vagy téves tanulói sejtés értékelésekor vagy például megoldatlan illetve igazoltan megoldhatatlan matematikai problémák ismertetésekor is. 3.4. Belátáson, megértésen alapuló tanuláselméletek (mediációs elmélet, mezőelmélet, kognitív elmélet). Ez a tanuláselmélet is az általánosított fogalmi rendszerek és az értelmi tevékenységi eljárások tanulásáról szól, de behozza az intuíció tényezőjét is. 1) A tanulás lényege: Egy problémaszituációban a kapcsolódó ismeretrendszerre, a feltételekre való intenzív koncentrálás, valamint a divergens ötletkeresés egy pontján hirtelen (sokszor váratlanul) felvillanhat (megvilágosodhat) a megoldás útja vagy az odavezető ötlet. Önmegfigyelések és beszámolók alapján tudjuk, hogy a jelenség erős bizonyosságérzéssel párosul. Ugyan magyarázni nem tudjuk a heuréka-élmény vagy „ahá”-élmény jelenségét, de attól be kell látnunk a valóságát és építünk rá a tanítás-tanulási folyamatban. Ha valakinek ez elméletileg nem elfogadható, annak javasolhatjuk, hogy tekintse az intuitív megvilágosodás valóságát mintegy munkahipotézisnek. 2) A tanulás feltételei: Motiváltság (problémaéhség). A kapcsolódó ismeretekkel és a feltételekkel való elmélyült foglalkozás igényének és zavartalan lehetőségének a

biztosítása. (Beszpalko, Bühler, Bruner, Pólya) [v.ö. 6] A matematikatanár egyik fontos feladata és nagy lehetősége, hogy minél több tanulóját (a gyengébb képességűeket is) segítse hozzá az intuitív felismerés átélésének élményéhez, differenciáltan megfelelő problémaszituációk tervezésével, fokozatosan egyre nagyobb ugrást igénylő problémák kitűzésével. A matematikatanulásban, különösen a matematikai problémák megoldásában kitüntetett fontossága van a megoldási ötletek beugrásának. Önálló munkát feltételezve a probléma ismerősségének vagy újszerűségének a mértéke szabja meg, hogy „csupán” analógiás átvitellel, logikai műveletekkel vagy intuitív ötlettel sikerül-e a megoldása. Bár a tanár csak külső jelekből vagy a tanuló (utólagos) beszámolójából következtethet az intuitív belátás bekövetkeztére, a gondolkodásnak erre a minőségi ugrására, mégis a gyakorlott és kreatív tanár tudja, hogy tanulóit milyen előkészítések után és milyen feladatokkal segítheti az ötlet beugrásának élményéhez, de azt is, ha egy probléma megoldásának ötlete még nem remélhető. Matematikaórán egy probléma önálló megoldására vagy „legalább” a megoldási ötlet elérésére általában akkor sem számíthatunk mindegyik (vagy szinte mindegyik) tanulótól, ha viszonylag kisebb ötletre van szükség. Ennek az időkorlát a fő oka, de természetesen a képességbeli különbségek is jelentkeznek. Ilyenkor a sikeresek és a próbálkozók beszámolói, a jó megbeszélés, indoklások, tanári kiegészítések azokat is „kvázi megoldókká” teheti, akik ez alkalommal maguktól nem jutottak sikerre. Itt emlékeztetünk még a matematikai problémamegoldás folyamatának kettős szerkezetére. Egyfelől (esettanulmányok során) kimutattak gondolkodási fázisokat, mint a ténymegállapítás, a probléma módosítása, ötletet követő megoldási javaslat vagy tervkészítés, (ön)kritika, kételkedés a megoldhatóságban, mellékes mozzanatok felbukkanása, érzelmi mozzanatok, megoldás vagy a munka feladása. Másfelől kimutattak elemi és összetett gondolkodási műveleteket, mint az analízis, szintézis, elvonás (absztrahálás), konkretizálás, általánosítás, specializálás, összehasonlítás, rendezés, összefüggés felfogása, kiegészítés, analógia, illetve többszörösen összetett műveletek. 3.5. Operacionális tanuláselméletek 1) A tanulás lényege: A külső (tárgyi manipulatív) cselekvés a gondolkodási műveletek első szintjének tekinthető, amely fokozatosan belső (gondolati) cselekvésbe megy át. (Idegen eredetű neve: interiorizáció.) 2) A tanulás alapja: „... a gondolkodás műveleti struktúrái voltaképpen gyakorlati cselekvések az eszmei síkra áthelyezett tárgyakkal.” [6] A gyermek fejlődése során is a gondolkodási műveletek eleinte tényleges cselekvésként jelentkeznek, majd a külső cselekvés fokozatosan belsővé válik, miközben a belsővé váló cselekvés (már gondolkodás) átalakul, egyszerűsödik, lerövidül. Piaget az értelmi fejlődést szakaszokra osztja: az érzékszervi-mozgásos értelem periódusa; a konkrét gondolkodási műveletek szakasza; a formális gondolkodási műveletek szakasza. A fejlődő gondolkodás ugyanakkor a viselkedés tájékozódását is magával hozza. „Célja a kitűzött cselekvések végrehajtása először eszmei síkon, hogy megtudhassuk, mit eredményeznek, s ezen az alapon kiválaszthassuk a célszerű gyakorlati viselkedést.” [6] (Galperin, Piaget, Inhelder, Talizina, Skemp, Kelemen L., Hajdu S., Varga T.) [v.ö. 6] A matematikatatanításban az interiorizáció elmélete az értelmi fejlődés általános jellemzése mellett azért kiemelkedő jelentőségű, mert a tárgyi manipulatív tapasztalatszerzéssel induló tanulás során a belsővé válás folyamata ismétlődően lejátszódhat új témák bevezetésekor. Az általános iskola mindkét tagozatában gyakori a külső tárgyi tevékenységre (vagy a mozgásos élményszerzésre)

építő tanítás. Ismerten a saját testünkkel végzett mozgás érzékelése a legerősebb „szemléltetés” (például égtájak vagy a teljes, fél, negyed fordulatok jobbra-balra, stb. motorikus tanulásakor), majd lefelé haladva a valóságos (mozgó) modell, azután a mozgó film vagy trükkfilm, a változtatható applikáció, végül az állókép (fotó), az ábra, majd a szöveg az erőtlenebb szemléltetés. Ez nem korhoz kötött, ezért jobban érvényesülhetne a középiskolai matematika (különösen a geometria) megfelelő ismereteinek tanításában is. A tanuló gondolkodása ugyan nem szabható meg kívülről közvetlenül, de közvetve befolyásolható, éppen a tárgyi cselekvés vagy a belső tevékenység megszervezése, irányítása folytán. Így az oktatási folyamat modellje: A tanulók pszichikai tevékenységének irányítása tárgyi, nyelvi tevékenységük megszervezése útján. A koncepció lényeges újdonsága, hogy nem csak az oktatási folyamat (téma, szakasz) végén megnyilvánuló tanulói teljesítményeket és viselkedéseket tűzi ki nevelési-oktatási célként, hanem ennél fontosabbnak tartja a tanulói tevékenységnek nevelési-oktatási célként való megjelölését. [v.ö. 3]

4. Oktatástervezési (taxonómiai) kérdések a mai matematikatanításban A matematikatanítás, tanulás tervezése országos alap- és kerettantervi szinten szakértői, tantervírói tevékenység, de helyi tantervi szinten és a tanmenetek, téma és óratervek szintjén matematikatanári tevékenység. Eddigi ismereteik bővítése, a tervezés tudatosságának növelése céljából is érdemes további elemzési és célrendszereket megismerni. Három, formailag és részleteiben eltérő szemléletű, de eredményeiben sok helyen találkozó taxonómiai rendszer aktuális tanulságait ismertetjük, vázlatosan. 4.1. Gagné, R.M. - Briggs, L.J. (1987): Az oktatástervezés alapelvei, OOK. Veszprém Ez az amerikai általános pedagógiai tankönyv olyan elemzési és céltaxonómiai rendszert nyújt, amelyik hatékonyan használható a matematikatanításban. Behaviorista alapú elméleti hátterében a feltételes reflexes tanuláselmélet mellett megtalálható az asszociációs, a jeltípusú, de az operacionális elmélet is. Ráirányítja figyelmünket a pontosabb, kritérium-referenciájú célmeghatározás fontosságára és lehetőségére. A tanulási képességek öt fajtája (A példákat mi módosítottuk matematikai példákra): Képesség fajta Példa Funkció Intellektuális készség Négy alapművelet készségszintű A további tanulás és végzése racionális számokkal; gondolkodás „Kisautós modell” szabálykomponense. használata egész számok összeadására, kivonására; Trapéz tulajdonságainak megadása, levezetése indoklással; Gömb térfogatának, felszínének kiszámítása

Teljesítmény-kategória Megmutatja, hogy egy intellektuális műveletet hogyan végez el a tanuló konkrét alkalmazás során.

Kognitív stratégia

Egy sor (hasonlóságot mutató) konkrét probléma megoldása hatékony eszközökkel. Kreatív problémamegoldás (viszonylag) új helyzetben.

Modell használata vagy alkotása Irányítja a tanuló pozitív és negatív számok viselkedését, összeadására, kivonására, utána tevékenységét tanulása szabályok megalkotása; során és 24-gyel való oszthatósági szabály gondolkodásában. megalkotása; Trapéz területszámítási formulájának megalkotása; Szögfelező-tétel megsejtése; Verbális információ „1000 m = 1 km”; 1) Meghatározza a „Pontosan azok az egész számok tanulás irányait oszthatók 24-gyel, amelyek 2) Segíti a tanultak oszthatók 8-cal és 3-mal”; átvitelét más területre „Lehet, hogy be tudom bizonyítani ...”; „Jobban szeretem a függvényábrázolást, mint az írásbeli osztást” Motorikus készség Kör rajzolása körzővel; Motorikus teljesítményt Két vonalzóval (legalább az egyik közvetít. derékszögű), billentéssel merőlegesek rajzolása; Kocka szokásos axonometrikus képének rajzolása.

Kijelent vagy más módon közvetít információt.

Motorikus tevékenység végrehajtása különböző feladathelyzetekben.

Attitűd

Függvényábrázolás, mint kedvelt tevékenység; Logikai fejtörők kedvelése.

Módosítja az egyén cselekvés-választását.

Tárgyakra, személyekre vagy eseményekre vonatkozó cselekedet-választás.

Az intellektuális készségek, képességek típusai: Reakcióláncolatok (a megtanult stimulus – reakció, S-R kapcsolatok láncolatai). Ezen belül motorikus láncolatok, pl. függőleges, vízszintes vonalak húzása; egyenes sorokban írás; stb., amelyeket egy egységként sajátítunk el, de pl. gúla axonometrikus ábrájának rajzolása; kéziszerszám használata esetén több egyszerű egység összetevéséről majd egybecsiszolásáról van szó. Másik típusa a verbális láncolatok, amelyekből a rövidebbek mint verbális asszociációk az információs memória építőköveit adják (pl. asztal – szék, fiú – lány, páros – páratlan), míg a hosszabbak gyakran válnak beszélt vagy írott mondatrészekké (pl. „a feltételeket teljesíti; elkerülhetetlen következmény”). Különösen fontos változata a dolgok helyek, emberek, stb. azonosítását lehetővé tevő név. Sok elemi S-R láncolatra az iskolai tanulás során már mint meglévőkre támaszkodhatunk, de kialakulatlanságuk, hiányosságuk esetén pótolni kell (pl. tanulási, szocializációs, motorikus nehézségek). Megkülönböztetések (diszkriminációk) A gyermek korai éveiből (óvoda, első osztály) igen sok példa adódik. Később az oktatásban általában feltételezzük, hogy korábban már elsajátították e képességet. A teljesítmény a tanuló egyszerű reakciója, melyben megmutatja, hogy különbséget tud tenni egymástól egy vagy több fizikai jellemzőben, különböző dolgok, szituációk között. Belső feltétel a meglévő S-R kapcsolatok önálló felidézése. Külső feltétel A helyes reakciók és megkülönböztetések megerősítése, jutalmazása. Konkrét fogalmak Azonosítani lehet velük tárgyat, tárgyi tulajdonságot, jellemzőt (pl. szín, alak, objektum megnevezése, rámutatás, kipipálás, stb.). Fontos változata a helyzet, irány (felett, alatt, mellett, bal, jobb, körül, rajta, előtte, mögötte, stb.) Az absztrakt fogalmak tanulásának előfeltételei. A tanulás belső feltétele a megfelelő megkülönböztetésekre való visszaemlékezés. Külső feltételként különböző objektumok vagy jellemzők együttesét biztosítjuk a közös illetve eltérő jellemzők kiválasztására, azonosításokat kérve megnevezéssel, rámutatással. Az ellenpélda szerepe is fontos. Definiált fogalmak Akkor mondhatjuk, hogy a tanuló megtanult egy definíciót, ha bemutatja a fogalmat olyan példák azonosításával, amelyek a definíció részeit alkotják és bemutatja a kapcsolatukat. A definíció elmondása magában nem elegendő, mert lehet, hogy megértés nélkül memorizálta. A tanulás belső feltétele hogy visszaemlékezzen a definíciót alkotó valamennyi fogalomra, a köztük levő viszonyokat reprezentáló fogalmakkal együtt. Külső feltétel az előadás, magyarázat, szóbeli meghatározás, de a matematika tanításban ezt lehetőleg előkészítjük (tárgyi tevékenységről vagy kísérletezéssel induló) tapasztalatszerzési vagy “felfedező” szakasszal. Szabályok Akkor mondhatjuk, hogy a tanuló megtanult egy szabályt, ha teljesítményét rendszeresség jellemzi több konkrét helyzetben. Bemutatja a szabályt azáltal, hogy példákat hoz a komponens fogalmak egymáshoz való viszonyára (képes reláció-osztályok megragadására dolgok és események osztályai között). Az ember legtöbb viselkedésformája ebbe a kategóriába tartozik (pl.

mondatszerkesztés; írásbeli szorzás). Nem biztos, hogy a birtokolt szabályt meg is tudja a tanuló fogalmazni (Pl. a nyelvtani szabályok tanulása előtt is képes mondatszerkesztésre). Matematikában azonban általában képessé kívánjuk tenni a tanulót az alkalmazott szabály megfogalmazására, illetve arra a tanulónak gyakran hivatkoznia kell. (Pl. törtek szorzási szabálya; 3-mal való oszthatósági szabály; kúp felszínképlete, stb.) A definiált fogalom különleges szabálynak tekinthető, melynek szerepe a dolgok és események osztályba sorolása. Szabály tanulásának belső feltétele a visszaemlékezés az összetevő fogalmakra, a kapcsolataikat megjelenítő fogalmakkal egyetemben. Külső feltétel a szabály szóbeli közlése, elmagyarázása, levezetése, de matematikában helyesebb a rávezetés, az irányított „felfedezés”, a tanulóval való megfogalmaztatás. Magasabbrendű szabályok – Problémamegoldás Egyszerűbb szabályok bonyolult kombinációi, melyeket gyakran egy gyakorlati probléma vagy probléma-osztály megoldása érdekében alkotunk meg. Az intenzív gondolkodás igénybevételével valami olyat tanul, ami általánosítható más –hasonló formai tulajdonságú- problémákra is. Ezzel új szabályt vagy szabály-sorozatot tanul meg. Ez a tanulás akkor tekinthető problémamegoldásnak, amikor nincs (közvetlen) tanári irányítás. Az lehet, sőt valószínű, hogy előzőleg (más helyzetben) elsajátított problémamegoldó stratégiákat alkalmaz. Az bizonyos, hogy számos szabályra emlékszik vissza és azokból új, magasabbrendű szabályt hoz létre. Belső feltétele, hogy a megfelelő, már megtanult szabályokra és információkra emlékezzen. Külső feltétele egy tényleges vagy jelképes problémaszituáció felmerülése. Kognitív stratégiák Az intellektuális készségek különleges fajtája, melynek a problémamegoldásban fontos a szerepe. Belsőleg szervezett készség, amely irányítja a tanuló saját tevékenységét. A tanuló használja saját figyelmének, tanulási, emlékezési és gondolkodási folyamatainak irányítására. Kreativitás, gyorsaság, kritikus gondolkodás jellemzi. A „gondolkodni tanítás” szép, nemes cél, de nem minden tanulónál valósítható meg az óhajtott mértékben. Itt már nagy különbségek adódnak genetikai tényezőkben, intellektuális befogadóképességben is. Belső feltétel számos szükséges problémamegoldó stratégia megléte, amelyekből az új problémahelyzetben válogathat. Külső kedvező körülményt főleg csak a probléma ujdonságágával biztosíthatunk. A kognitív stratégiák további kategorizálása alcsoportokra még nem kidolgozott. Attitűdök Az attitűd az emberi szervezet olyan komplex állapota, amely hatást gyakorol az az egyén emberekkel, dolgokkal, eseményekkel kapcsolatos viselkedésére. Számunkra az az érdekes, hogy milyen cselekvésre ösztönzi a tanulót. Pl. hogyan viszonyul a matematika tárgyhoz, a szöveges feladatokhoz, a nehéz problémákhoz, a trigonometrikus egyenlőtlenségekhez, matematikatörténeti könyvtári kutatáshoz, stb. Mérése hosszabb megfigyeléssel történhet vagy tanulói önbeszámoló alapján, gyakran pedig kérdőíven adott szituációkban választott cselekvésből (akár a választás valószínűségének is a megadásával pl. tízfokú skálán). A tanulást a direkt módszerek (Légy ilyen vagy olyan) általában nem segítik hatékonyan, de spontán alkalmakat jó kihasználni, továbbá az indirekt módszerek, köztük a megerősítés, jutalmazás hatékonyabb. Erős indirekt módszer az emberi modellezés. Motorikus készségek A motorikus tanult képességek olyan telsesítményekben nyilvánulnak meg, melynek eredménye a testmozgás gyorsaságában, pontosságában, erejében, gördülékenységében tükröződnek. Általában

részkészségekre bonthatók. A részkészségek elsajátítása után meg kell tanulni azok integrálását ami intellektuális képesség is. Ismételt gyakorlással, fokozatos javítással tanulható. Belső feltétel a szüksége motorikus reakcióláncolatok felidézése a szubrutinok kialakításához. Külső feltétel a gyakorlás biztosítása, állandó visszacsatolással a sikeresség mértékéről. A teljesítménycélok meghatározása A tagozat vagy a tanév végére kitűzött képzési célok még viszonylag általánosak. Pl. Érti a kommutativitás elvét a szorzásban, használja azt az egyszerűbb számolás érdekében írásbeli szorzásnál. A rövidebb távú, konkrétabb célok megfogalmazása viszont nagyobb pontosságot érdemel. Azt érdemes pontosan leírni, hogy milyen tanulói cselekvés esetén mondjuk, hogy a kívánt cél megvalósult. Műveletileg meghatározott „teljesítménycél” (operatív kritérium) a kívánatos tehát, melyben leírjuk a cselekvést, a tárgyat, a szituációt, az eszközöket és más megkötéseket, továbbá a megtanulandó képesség típusát. A tanult képességet is találó igével fejezzük ki, ami a cselekvést jelölő igénél is fontosabb. Cselekvést kifejező igék (általában határozói alakban) pl. leírva, rajzolással, szóban kifejtve, kiválasztva, hozzárendelve, megnevezve, csoportosítva, osztályozva, összegyűjtve, alkalmazva, igazolva, stb. A tanulható képességek Intellektuális készségek Megkülönböztetés

jelölésére javasolt igék, példával teljesítménycélra

Konkrét fogalom

Azonosít

Definiált fogalom

Osztályoz, besorol, csoportosít

Szabály

Bemutat

Magasabbrendű szabály (Problémamegoldás)

Megfogalmaz, létrehoz (egy megoldást)

Megkülönböztet

Megkülönbözteti a sokszögeket oldalszámuk szerint, külön rakva a háromszög, négyszög, ötszög (stb.) modelleket, önálló munkában. (5.o.) Bekarikázással azonosítja a köröket síkidomok ábrái közül, önállóan a munkalapon. (2.o.) Megnevezéssel azonosítja a másodfokú függvényeket különböző függvény – formulák halmazában, önállóan a munkalapon. (10.o.) Definíció alapján kiválogatja (besorolja) a prímszámokat 100nál kisebb természetes számok egy halmazából, fejben kipróbálva, hogy pontosan két osztójuk van, önállóan listázva a füzetben. (6.o.) Definíciók alapján csoportosítja a négyszögfajtákat szimmetriatengelyeik száma és középpontos szimmetria szerint, Venn-diagramon bemutatva részhalmazkapcsolatukat. (8.o.) Bemutatja két (20-nál kisebb abszolút értékű) egész szám összeadását 10 összeadáson, hibátlanul, 5 perc alatt a füzetben elvégezve, rákérdezés esetén szóban vagyonmodellel indokolva. (5.o. vége) Bemutatja képességét kúp térfogatának kiszámítására adott r és m esetén, képlet felírásával, behelyettesítéssel, helyes számítással és mértékegységgel, önállóan. (9.o.?) Megfogalmazza problémahelyzetben kúp térfogatának a kiszámítási módját adott r és a esetén, vázlatrajzon megmutatva Pitagorász tételének alkalmazását m kiszámítására, integrálva ezt a tanult térfogatképlettel. (Pitagorász tételét tanulták, de itt még nem alkalmazták) (10.o.)

Kognitív stratégia

Információ

Létrehoz, megalkot (egy általános vagy eredeti megoldást egy problémára vagy problématípusra) Elmond, leír

Motorikus készség

Véghezvisz, végrehajt

Attitűd

Választ, (előnyben részesít)

Megalkotja, „újra felfedezi” a természetes számok osztói számának kiszámítási módját (: prímhatvány-tényezős alakból a kitevők eggyel növelt értékeinek szorzata), önállóan (vagy kevés irányítással) bizonyítva azt. Szóban elmondja a szögfelezőtételt rajzzal kísérve. (10.o.) Leírja a szögfelezőtételt szövegesen, ábrát készít jelöléssel, leírja az állítást szimbólumokkal és leírja a bizonyítást. (10.o.) Elmondja a prímszám definícióját (6.o.) Végrehajtja adott egyenesre adott külső ponton át merőleges „szerkesztését” egy egyélű és egy derékszögű vonalzóval, billentéssel. (7.o.) Végrehajtja adott középpontú, adott sugarú körvonal szerkesztését körzővel, sima lapon. (5.o.) Írásbeli osztás és keveréses szöveges feladat közül (ha csak egyiket kell beadni,) az utóbbit választja. Szöveges százalékszámítási probléma esetén a képlet alapján való számítás és a következtetéssel való megoldás közül az utóbbit részesíti előnyben. Kérdőíven a matematika témák közül a kombinatorikát 8-as értékkel jelöli az 1-10-es tetszési skálán.

4.2.Hajdu Sándor matematika-didaktikai taxonómiája Általában a pedagógiai jelenségeket, köztük a matematika-didaktikai jelenségeket is a következő fázis és tartomány-térben lehet elhelyezni (Bloom taxonómiájának továbbfejlesztése). Tartományok Értelmi (kognitív) tartomány Érzelmi-akarati (affektív) Fázisok tartomány Tartalmi elemzés

Pszichomotorikus tartomány

A tanulási folyamat elemzése* A pszichikus képződmények * és tulajdonságok elemzése A feladathelyzetek illetve a tanulói teljesítmények elemzése

A matematikatanítás, tanulás terén a *-gal jelzett területre vonatkozóan három dimenzió bevezetésével teszi mélyebbé, részletesebbé a taxonómiai elemzést: I.

Ismeretek bevésése Ismeretek reprodukálása Rutinjellegű alkalmazások II. Megértésen alapuló tanulás, definíciók, tételek tanulása, rekonstruálása. Fordítás, kódolás A tanulási munka összetettsége III. Megértésen alapuló manipuláció, közvetlen alkalmazás. Egyszerű tételek bizonyítása. szerinti dimenzió IV. Elemzés,rendszerezés; állítások és bizonyítások értékelése és kritikája. Önálló elemzést és kiválasztást igénylő alkalmazás. Megoldások diszkussziója, általánosítása. Matematikai „felfedezések”.

A tevékenység absztrakciós szintje szerinti dimenzió

A tanulási munka begyakorlottsága szerinti dimenzió

0. I. II. III. IV. 0.

Nem sorolható be. Dedukció előtti tevékenység. Lokális dedukció. Teljes, de konkrét interpretációhoz kötött dedukció. A konkrét interpretációtól elszakadt dedukció. Külső segítséggel sem exteriorizálható pszichikus képződmények és tulajdonságok. I. Külső segítség igénybevétele. II. Belső algoritmussal, de csak nehézkesen mozgósítható tudás. III. Maximálisan begyakorlott munka.

„Taxonómikus modellünkben minden tanulói teljesítményhez tevékenységhez; minden tananyagrészhez, oktatási szituációhoz, feladathelyzethez; a kialakuló pszichikus képződményekhez, illetve tulajdonságokhoz egy-egy rendezett számhármast rendelhetünk hozzá. (A számok rendre az egyes dimenziókban elért szinteket jelzik.)” [3] Például: Ha az ötödikes tanuló a „vagyon-modell” megismerése után először modellezi a (-3) vagyoni helyzetet önálló munkában, pl. 4 Ft készpénz és 7 Ft adósság vagy 11 Ft adósság és 8 Ft készpénz, akkor tevékenysége a [4; 2; 1] vagy a [4; 2; 2] számhármassal jellemezhető. Ha ezt tanári segítséggel vagy közös megbeszélés során tudja jelekkel leírni: –3 = (+4) + (-7) = (-11) + (+8), akkor [4; 2; 1] a jelző számhármas. Ha viszont begyakorlás után vagyon-modell segítségével hibátlanul elvégez összeadásokat és indokolja is, akkor tevékenysége [3; 2; 3] szintű. Továbbá, ha az egészek összeadási szabályát alkalmazza hibátlanul, akkor [3; 3; 3] szinten dolgozik. Ha a tanuló a szorzó- és bennfoglaló táblát hibátlanul tudja (rögtön bemondja a kért eredményt), akkor [1; 0; 3] a tevékenység szintje. Ha elmondja vagy leírja a kúp felszín-képletét, amit nem bizonyítottak, továbbá a benne szereplő betűk jelentését, akkor szintje [2; 0; 3]. Ha tanulták és érti a levezetését, akkor [2; 3; 3]. Ha éppen egy nehéz szöveges problémán töri a fejét, de még nem írt vagy mondott semmit, akkor [4; 1; 0] szinten dolgozik, míg ha leírt egy megoldási tervet (pl.egyenletet), akkor [4; 2; 1] vagy [4; 2; 2] szinten. Ha viszont begyakorlott keverési feladatot old meg önállóan, akkor [3; 3; 3] vagy akár már [1; 3; 3] szintű is lehet a munkája. 4.3. Peller József a matematikai ismeretszerzés fázisteréről A matematikai ismeretszerzés forrásai: a) diszkrét mennyiségek b) formák →geometriai objektumok c) folytonos mennyiségek →valós szám d) mozgás (változás, folyamat) →függvények e) tér, idő →matematikai térfogalmak f) tömegjelenségek →valószínűség, statisztika g) tevékenységek →relációk, műveletek algoritmusok, matematikai módszerek. A matematikai tevékenység szintjei: 1) A vizsgálat közvetlenül a matematikai ismeretszerzés forrásaira (mennyiség, forma, mozgás, tér, idő, tömegjelenség) irányul (konkrét szint), melynek során matematikai objektumok (pl. számok, geometriai alakzatok, függvények) épülnek ki. 2) A matematikai objektumok halmazainak vizsgálata (induktív szint), ahol ezek tulajdonságai, szerkezetük felismerése történik meg, továbbá megkezdődik az elvont fogalmak, tulajdonságok és viszonyok vizsgálata (lokális deduktív szint). Az ekkor kialakuló tulajdonságcsoportokból épülnek ki a következő szinten a matematika alapvető axiómái, struktúrái. 3) Axiomatikus szint, amelyen a matematika belső logikája egyre fontosabb szerepet játszik. Ezek közül az iskolai oktatásban főleg az első két szint dominál. Az axiomatikus szint nem érhető

el általában a közoktatásban. E két felosztást együtt tekintve jutunk el a matematika-didaktika fázisteréhez: 3. Axiomatikus szint 2. Induktív és lokális deduktív szin:t objektumhalmazok 1. Konkrét szint: a források vizsgálata A matematikai ismereszerzés forrásai →

Diszkrét mennyiségek

Formák

Folytonos mennyiségek

Mozgás (változás, folyamat)

Tér, idő

Tevékenységek

Az axiomatikus szint Peller József szerint alszintekre bontható. [v.ö. 1] Irodalom 1. Peller József (1970): A számfogalom fejlesztésének szintjei az oktatási gyakorlatban. Tankönyvkiadó, Budapest 2. Kárteszi Ferenc (1976): A matematikai gondolkodás fejlesztéséről a pszichológia szempontjából tekintve. ELTE Szakmódszertani Közlemények IX., Budapest 3. Hajdu Sándor (1982): Az értelmi cselekvések elemzésének egy modellje a matematika-oktatásban. A Matematika Tanítása, 1982/ 3 4. Ambrus András (1987): Matematikatanítási irányzatok Kárteszi professzor kommentárjaival I-II. A Matematika Tanítása, 1987/ 1-2 5. Sümegi László (1988): Tanítási módok, eljárások, ötletek a matematikában. KLTE jegyzet, Tankönyvkiadó, Bp. 6. Szalontai Tibor (1988): Pszichológiai tanuláselméletek és a matematika tanításának kapcsolatáról. Acta Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis 11/C, p.115-126, Bessenyei Kiadó 7. Ambrus András (szerkesztő)(1989): Matematikadidaktikai tanulmányok. Szemelvénygyűjtemény a matematika tanításához, ELTE jegyzet, Tankönyvkiadó, Budapest 8. Általános iskolások tudásszintje. (1996) Fizikai Szemle, 1996/11 9. Szalontai Tibor (1998): A Nemzeti Alaptanterv matematika fejezetéről, vázlatosan. Pedagógiai Műhely, 1998/ 4, Nyíregyháza 10. Jelentés a magyar közoktatásról (1997, 1999, 2001, 2003, 2005) www.oki.hu , www.om.hu 11. TIMSS www.msu.edu/cdata.htm 12. Kassel Project / Year 3 progress report www.cimt.org.uk 13. Burghes, D.N. (2000): Mathematics Enhancement Programme / The First Three Years www.cimt.org.uk 14. International Journal for Mathematics Teaching and Learning (IJMTL) www.cimt.org.uk 15. Web Mathematics Interactive 1.0.1 wmi.sf.net wmi.math.u-szeged.hu/wmi/livecd 16. www.komal.elte.hu www.sulinet.hu/komal 17. www.gcschool.org/abacus.html 18. www.oecd.pisa.org 19. Burghes, D.N. (szerk) (2004): Teacher Training – An International Overwiew Series of International Monographs on Mathematics Teaching Worldwide, Monograph 2 Műszaki Könyvkiadó (a WoltersKluwer company), University of Exeter, CIMT, Budapest 2004 20. Burghes, D.N. (szerk) (2004): Kassel Project – Final report Series of International Monographs on Mathematics Teaching Worldwide, Monograph 3 Műszaki Könyvkiadó (a WoltersKluwer company), University of Exeter, CIMT, Budapest 2004 21. Burghes, D. N. (szerk) (2004): International Project on Mathematical Attainment – Report Series of International Monographs on Mathematics Teaching Worldwide, Monograph 4

Műszaki Könyvkiadó (a WoltersKluwer company), University of Exeter, CIMT, Budapest 2004 22. www.ncetm.org.uk