08

Modely produkčních systémů Plánování výroby seminární práce

Autor: Jakub Mertl Xname: xmerj08 Datum: ZS 07/08

Obsah Obsah.......................................................................................................................................... 2 Úvod ........................................................................................................................................... 3 1. Výrobní linky ..................................................................................................................... 4 1.1. Výrobní místo 1.......................................................................................................... 4 1.2. Výrobní místo 2.......................................................................................................... 5 1.3. Výrobní místo 3.......................................................................................................... 7 2. Balení dílů do výrobních balíčků ....................................................................................... 8 Závěr......................................................................................................................................... 10 Literatura .................................................................................................................................. 11

-2-

Úvod Cílem této seminární práce je optimalizace výrobního procesu, který se zabývá výrobou šroubků a matic. Jelikož se jedná pouze o teoretický příklad nebudeme díly blíže specifikovat. Navíc budou díly prodávány ve třech různých baleních. Naším cílem je vybrat optimální skladbu výrobků těchto tří produktů. Cílem optimalizace bude maximalizace výnosů. V práci budou použity modely s pracovními stanicemi a dále optimalizační metoda „baťohu“ s parametrem v omezeních. K dispozici budeme mít tři výrobní místa na výrobu dílů. Budou pracovat 8h denně. První dvě místa jsou specifická, to znamená, že mohou vyrábět pouze šroubky nebo matičky. Třetí je univerzální a je na něm možné vyrábět oba díly, ovšem jiným tempem než na místech jedna a dvě. Je nutné také vzít v úvahu dobu přeměny typu výroby – cca 30 minut. Vyrobené díly jsou dále kombinovány a mají se prodávat ve třech různých baleních. V první kapitole se budeme zabývat optimalizací výrobních míst, abychom věděli, kolik budeme mít součástek jako vstup do další části produkce. Optimální výrobní schéma třetího místa bude vyjádřeno s ohledem na možnou změnu vyráběného dílu. V druhé kapitole se budeme zabývat optimalizací rozvržení výrobků opět s ohledem na možnost volby výroby na třetím výrobním místě. Stanovíme tak výsledný výrobní plán, abychom dosáhli maximálního výnosu.

-3-

1. Výrobní linky K dispozici jsou tři místa výroby. Parametry prvních dvou jsou dány a není je možné změnit. Naším cílem je na těchto dvou pouze optimálně uspořádat procesy na jednotlivé pracoviště. Třetí je variabilní a naším cílem je stanovit jeho správné nastavení. Výroba dílů se skládá z několika procesů dané precedenční relací, jejichž schéma nejlépe popíšeme grafem. Doby trvání zpracování jsou popsány tabulkou. U všech výrobních míst nám půjde o co nejrychlejší výrobu. Grafy precedenčních relací 1

2

4

3

5 7

1

6

2

10

4

3

9

6

7

5

8 obrázek 2 – schéma procesu výroby matice

obrázek 1 – schéma procesu výroby šroubku

Tabulky dob trvání Proces Doba zpracování [s] 1 5 2 4 3 6 4 3 5 6 6 8 7 4 8 6 9 4 10 4

Proces Doba zpracování [s] 1 5 2 4 3 6 4 4 5 8 6 7 7 3

tabulka 1 – doby trvání procesů výroby šroubku a matice

1.1. Výrobní místo 1 Na tomto výrobní místě lze vyrábět pouze šrouby. K dispozici jsou 4 pracoviště. Naším cílem je na ně rozmístit procesy, tak aby byly dodržena precedenční relace a navíc jsme minimalizovali takt, neboť to nám přinese největší počet vyrobených kusů šroubů. Celkem je potřeba vynaložit na výrobu jednoho šroubu 50 sekund. Jelikož máme 4 pracoviště, takt může být nejméně 50 s = 12,5 s . 4 Všechny procesy jsou v celých sekundách, proto i takt bude celé číslo, a tak může být minimálně 13 sekund. Při hledání optimálního rozmístění však můžeme zkonstruovat dvě místa se zatížením 12 sekund a dvě s 13 sekundami. Vyjděme z těchto předpokladů a c min 1 =

-4-

pokusme se sestavit plán na jednotlivých pracovištích. Snahou je dosáhnout, co nejlépe součtu 12 či 13 sekund. Pokud v jednom či dvou krocích nebude jasné, jak dosáhnout těchto čísel, volíme největší možnou hodnotu doby procesu. Pracoviště 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4

Volné procesy 1,3,7,8 1,3,7 1,7 2,7 2,9 2 4 5 6 10

Zařazený proces 8 3 5 7 9 2 4 5 6 10

doba procesu 6 6 5 4 4 4 3 6 8 4

Volný čas pracoviště před 13 7 13 8 4 13 9 6 13 5

Volný čas pracoviště po 7 1 8 4 0 9 6 0 5 1

tabulka 2 - schéma výroby na výrobním místě 1

Z tabulky je zřejmé, jak bylo postupováno. Podařilo se nám sestavit optimální plán. Musíme dodat, že tomu tak bylo poměrně náhodou. Kdyby hodnoty dob procesu byly jiné, pravděpodobně bychom se nevešli do tak krátkého taktu. U výrobního místa 2 budeme postupovat dle osvědčené metody ze skript [1]. Na prvním výrobním místě budou vyráběny šrouby s taktem 13 sekund, což znamená, že za 8 hodinovou směnu bude vyrobeno N1 =

3600 ⋅ 8 =& 2215 ks . 13

1.2. Výrobní místo 2 Obdobně budeme postupovat pro pracovní místo druhé. Zde nebudeme mít k dispozici čtyři pracoviště, ale pouze jenom tři. V tomto případě je celková doba na výrobu matic 37 sekund, což nám dává velikost taktu 37 s =& 12,3s . 3 Z čehož plyne, že nejlepší teoretická situace je s dvěma stanovišti s 12 sekundami a jedním za 13 sekund. c min 2 =

Metoda stanovení taktu ze skript [1] je založena na následující logice, která je vyjádřena následujícím vzorcem.

jc − (mc − t ) ≤ t ( Dr ) ≤ jc, j − 1,2,..., m − 1 . Pokud máme m pracovních stanic, sestavíme m-1 nerovnic a v každé z nich najdeme příslušnou množinu operací, které musíme j-tému pracovišti přiřadit. Celý průběh a smysl výpočtu nám lépe objasní konkrétní aplikace vzorce na náš příklad. Nejprve sestavíme tabulku (tabulka 3), která nám pomůže stanovit množiny Dr.

-5-

etapa 0

1

číslo stavu r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,2,3,5 10 11

seznam operací stavu Dr 1 2 3 5 1,2 1,3 1,5 2,3 2,5 3,5

čas stavu 0 5 4 6 8 9 11 13 10 12 14

další operace 1,2,3,5

12 13 14

1,2,3 1,2,5 2,3,5

15 17 20

4

15 16 17 18 19

1,2,3,5 1,2,3,4 1,2,3,4,5 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6,7

23 19 27 34 37

4

proces -

2

4

3 4

6 7

6 7 -

tabulka 3 - vyjádření pracnosti a rozložení výroby

Pro kontrolu můžeme ověřit, že pracnost výrobku z tabulky 3 – 37 sekund se shoduje s námi stanovenou dobou trvání výroby jedné matice. Nyní budeme postupovat dle výše uvedeného vzorce. Počet pracovních stanic m = 3, předpokládáme takt c = 13. 13 − 2 ≤ t ( Dr ) ≤ 13 26 − 2 ≤ t ( Dr ) ≤ 26 Takové řešení nedokážeme najít. Zvýšíme takt o jednotku na c = 14. 14 − 5 ≤ t ( Dr ) ≤ 14 28 − 5 ≤ t ( Dr ) ≤ 28

.

Nyní již najdeme přípustné množiny. Pro druhou rovnici máme řešení jen pro r = 17. Pro první 6 až 11, z čehož plyne, že máme 5 možných řešení. V prvním kroku můžeme zařadit libovolné dva procesy, které nám precedenční relace dovolí. V druhém kroku pak doplníme stav procesů na r = 17, tj. 1, 2 ,3 ,4 ,5. V posledním kroku zařadíme 6 a 7 proces. Vidíme, že tato metoda je velmi spolehlivá, ale i pro zdánlivě jednoduchý případ poměrně pracná. Výsledek bychom podle úsudku dostali pravděpodobně rychleji. U úlohy s většími rozměry by naopak tato metoda byla rychlejší. Dosáhli jsme nejlepší hodnoty taktu, z čehož plyne, že i efektivnost je na svém maximu. Pro výrobní místo 2 je výsledný takt 14 sekund a počet vyrobených matic je

-6-

N2 =

3600 ⋅ 8 =& 2057 ks . 14

1.3. Výrobní místo 3 Již jsme naznačili, že výrobní místo 3 je specifické v tom, že může vyrábět oba dva druhy součástek. Na tomto místě máme k dispozici 4 pracoviště, což znamená, že jsme schopni šroubek vyrábět stejně tak rychle jako na výrobním místě 1. 50 s =& 13s 4 Matice můžeme vyrábět rychleji, a proto si musíme znovu přepočítat výsledný takt.

c1min 3 =

37 s =& 9,25s . 4 Jelikož jsme si již jednou sestavili tabulku pro aplikaci výpočetní metody, použijeme ji znovu s m = 4 a c = 10 s. 2 c min 3 =

10 − 3 ≤ t ( Dr ) ≤ 10 20 − 3 ≤ t ( Dr ) ≤ 20 . 30 − 3 ≤ t ( Dr ) ≤ 30 Začneme-li od konce, nejlépe zaplníme poslední výrobní místo, když umístíme proces 6 a 7. Ze zadání je jasné, že v jednom procesu bude samotná operace číslo 5, neboť se k ní již žádná jiná operace nevejde. Zbyly nám operace 1,2,3 a 4, které kromě dvojice 1,4 můžeme libovolně přiřadit se zachováním pořadí, že činnost 4 bude následovat po předchozích třech. Takže takt pro výrobu matic je na třetím výrobním místě 10 sekund. Takže se na tomto místě za celou směnu může vyrobit 3600 ⋅ 8 = 2880ks 10 Pokud zvolíme parametr t, který bude vyjadřovat počet hodin výroby N1 na výrobním místě 3, dostaneme počet vyrobených jednotek i se stanovišti 1 a 2 následovně (neuvažujeme dobu přeměny 30 minut):

N 2( 2) =

 t N 1* = N 1 1 +   8 8 − t ( 2) N 2* = N 2 + N2 8

-7-

2. Balení dílů do výrobních balíčků V minulé kapitole jsme vyjádřili maximální možnosti výrobních míst. Tyto výrobní kapacity nyní musíme zužitkovat a sestavit plán výroby. Díly, které jsme si vyrobili, nyní máme balit do balíčků s různým množstvím šroubků a matic. Vyrobené díly nebudeme prodávat samostatně a pokud nějaké zbudou, nebudeme za to jakkoliv penalizováni, neboť se bude jednat o zanedbatelná množství oproti celkové výrobě. balíček

Výrobek 1

Výrobek 2

Výrobek 3

Omezení

Šroubky

210

240

100

N1*

Matice

260

180

240

N2*

Cena

1 000

800

700

tabulka 4 - popis balení náhradních dílů

Tabulka ve své podstatě přímo kopíruje model úlohy lineárního programování. Pokud bychom chtěli být přesní, přepíšeme model následujícím způsobem: max 100 x1 + 80 x 2 + 60 x3  t s.t.: 21x1 + 18 x 2 + 15 x3 ≤ 2215 * 1 +   8 8−t * 2880 18 x1 + 12 x 2 + 8 x3 ≤ 2057 + 8 x1 , x 2 , x3 ≥ 0, celé . Vyřešíme úlohu v programu LINGO s následujícím kódem: max = 100*x1+80*x2+60*x3; 21*x1+18*x2+15*x3 <= 2215*(1+t/8); 18*x1+12*x2+ 8*x3 <= 2057 + 2880*(8-t)/8; @GIN(X1); @GIN(X2); @GIN(X3); t<=8;

Z výsledkové zprávy vyvodíme následující závěry. Hodnota účelové funkce je 17 660 Kč. Bude se vyrábět balení číslo 2 v počtu 220 kusů. Navíc by mohlo být vyrobeno jedno balení 3. Pravděpodobně bychom však jedno balení neuvažovali jako podstatné do výroby. Na výrobním místě 3 se bude vyrábět 6 hodin 21 minut a 28 sekund. V praxi by bylo nutné započítat pauzu na změnu výroby. Pokud by trvala například půl hodiny, výnos firmy by poklesl na 17 240 Kč. Balení 2 by se vyrobilo 214 kusů a v důsledku zbylých kusů i balení třetí v počtu 2 kusů. Na třetím výrobním místě by se pak vyráběly šrouby 6 hodin a 2 minuty. Poté by následovala půlhodinová pauza a pokračovalo by se výrobou matic až do konce pracovní směny. Shrňme si, kolik by bylo potřeba matic a šroubů na obě řešení. Uvažujeme teoretickou optimální variantu se všemi baleními.

-8-

Řešení bez prodlevy Řešení s prodlevou 220 * 18 + 1 * 15 = 3 975ks 214 * 18 + 2 * 15 = 3 882ks 214 * 12 + 2 * 8 = 2 584ks 220 * 12 + 1 * 8 = 2 648ks 17 660 Kč 17 240 Kč

Šroubů Matic výnos

tabulka 5 – výsledný počet vyrobených šroubků a matic

Nyní se na zadání podíváme trochu jinak a to z pohledu toho, že nás bude zajímat, jak se bude měnit podíl výrobků v závislosti na výrobě na místě 3. Situace se dá velmi lehce identifikovat ze simplexu, kde volíme pravou stranu s parametrem. Pokud takto vyřešíme simplex s hodnotou t ∈ 0;8 , dostaneme tyto výsledky. (neuvažujeme půlhodinovou přestávku) t 0;5,087

v bázi – bude se vyrábět pouze výrobek 1

5,087;6,354

výrobek 1, výrobek 2

6,354;7,398

výrobek 2, výrobek 3

7,398;8

pouze výrobek 3

tabulka 6 - vyráběná balení v závislosti na procesech na výrobním místě 3

Tyto výsledky bychom použili pokud bychom chtěli diversifikovat skladbu výroby. Ovšem je nutné poznamenat, že báze obsahující výrobek neznamená, že tento výrobek musí být vyráběn ve velkém množství. Například kraje intervalů času t zahrnují vždy jeden z výrobků v minimálním množství.

-9-

Závěr Cílem této práce bylo najít optimální rozvržení výroby při zadaných parametrech. Důležitým faktorem bylo třetí výrobní místo, pomocí kterého jsme mohli celý výrobní proces dobře modifikovat. Myslím, že se nám podařilo optimalizovat všechny procesy probíhající v rámci výroby šroubků a matic. Celý systém je vymyšlený a proto pravděpodobně v praxi probíhá výroba šroubků a matic ve skutečnosti jinak. Převážně množství a tvar precedenční relace. Místo výroby těchto dílů, bychom mohli vyrábět cokoliv jiného. Při zpracování této seminární práce jsme nenarazili na nic výjimečného ani překvapivého, a tak zpracování této práce bylo příjemným zpříjemněním téměř předvánočního času a rozšířilo mé znalosti v oblasti řízení produkčních systémů.

- 10 -

Literatura Fiala, P.: Modely produkčních systémů, Vysoká škola ekonomická, nakladatelství Oeconomica, 2005 Praha

- 11 -