01-Pengenalan Vektor Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal 2011-2012
Anny2011
1
Agenda • Bagian 1: Vektor dan Kombinasi Linier • Bagian 2: Panjang Vektor dan Perkalian Titik (Dot Products)
• Bagian 3: Matriks
Anny2011
2
Bagian 1
VEKTOR DAN KOMBINASI LINIER Anny2011
3
Pendahuluan • Inti dari aljabar linier ada pada dua operasi vektor • Penjumlahan vektor: v + w • Perkalian skalar dengan vektor: cv dan dw • Gabungan dua operasi diatas disebut kombinasi linier: cv + dw Anny2011
4
Kombinasi Linier
• Berapa nilai kombinasi linier cv + dw jika c = d = 1? • Bagaimana jika c = 2, d = 1? Anny2011
5
Vektor (1) • Vektor kolom: • Penulisan vektor: miring tebal, komponen vektor: miring tipis
• Penjumlahan vektor:
Anny2011
6
Vektor (1) • Perkalian vektor dengan skalar:
• Berapa –v + v ?
Anny2011
7
Representasi Vektor (2D) • Dua angka • Panah dari (0,0) • Titik di sebuah bidang
Anny2011
8
Vektor 3-Dimensi • Memiliki 3 komponen • Contoh: • Ganti bidang datar xy dengan ruang 3 dimensi: Tapi ini bukan vektor baris v = [1 1 -1]
Anny2011
9
Kombinasi Linier Vektor 3D (1) • Contoh:
• Short Quizzes
– What is the picture of all combinations cu ? – What is the picture of all combinations cu + dv ? – What is the picture of all combinations cu + dv + ew ?
• Jika u, v, dan w bukan zero vector:
– The combinations cu fill a line. – The combinations cu + dv fill a plane. – The combinations cu + dv + ew fill 3D space. Anny2011
10
Kombinasi Linier Vektor 3D (2) • Contoh Soal:
– Kombinasi linier v = (1, 1, 0) dan w = (0, 1, 1) membentuk sebuah bidang datar. – Jelaskan bidang datar yang terbentuk tsb. – Berikan sebuah contoh vektor yang bukan merupakan kombinasi v dan w.
Anny2011
11
Kombinasi Linier Vektor 3D (3) • Jawaban:
– Kombinasi cv + dw membentuk bidang datar di ruang R3.
– Contoh vektor yang berada pada bidang tersebut adalah (0, 0, 0), (2, 3, 1), (5, 7, 2), dan (π, 2π, π). – Komponen kedua = komponen pertama + komponen ketiga – Contoh vektor yang tidak berada pada bidang cv + dw adalah (1, 2, 3)
Anny2011
12
Kombinasi Linier Vektor (1) • Contoh Soal: – Tentukan dua persamaan untuk dua variabel yang tidak diketahui c dan d sehingga kombinasi linier cv + dw sama dengan vektor b:
Anny2011
13
Kombinasi Linier Vektor (2) • Jawaban: – Persamaan vektor:
– Persamaan untuk menentukan nilai c dan d: • 2c – d = 1 • -c + 2d = 0
– Solusi: c = 2/3, d = 1/3. Anny2011
14
Bagian 2
PANJANG VEKTOR DAN PERKALIAN TITIK (DOT PRODUCTS) Anny2011
15
Perkalian Titik • Juga disebut dot product atau inner product • Perkalian titik vektor v = (v1, v2) dan w = (w1, w2) adalah nilai v · w : • Contoh: Nilai perkalian titik vektor v = (4, 2) dan w = (-1, 2) adalah 0.
• Dua vektor saling tegak lurus jika nilai perkalian titiknya = 0. Anny2011
16
Panjang Vektor • Panjang vektor v adalah akar kuadrat dari v · v
• Contoh: jika v = (1, 2, 3) maka v · v = 1 + 4 + 9 = 14, sehingga panjang vektor v :
Anny2011
17
Vektor Unit • Vektor unit u adalah vektor yang panjangnya = 1, sehingga u · u = 1. • Contoh:
• Semua vektor nonzero v jika dibagi dengan panjangnya ||v|| akan menghasilkan vektor unit.
Anny2011
18
Sudut Antara Dua Vektor • v · w = 0 v tegak lurus dengan w • v · w > 0 sudut antara v dan w < 90 • v · w < 0 sudut antara v dan w > 90 • Rumus COS
Anny2011
19
Sudut Antara Dua Vektor • Contoh Soal:
Diketahui dua vektor v = (3, 4) dan w = (4, 3). 1. Tunjukkan kebenaran Schwarz Inequality dan Triangle Inequality 2. Hitung berapa nilai cos Θ (Θ = sudut antara vektor v dan w) 3. Tentukan vektor unit u yang searah dengan v 4. Tentukan vektor unit U yang tegak lurus dengan u Anny2011
20
Sudut Antara Dua Vektor • Jawab:
Diketahui dua vektor v = (3, 4) dan w = (4, 3). v•w = 12 + 12 = 24. Panjang v dan w: ||v|| = 5, ||w|| = 5. v+w = (7,7), panjangnya: ||v+w|| = 7√2. 1. Schwarz Inequality: |v•w| ≤ ||v|| ||w|| 24 ≤ 25 Schwarz Inequality Triangle Inequality: ||v+w|| ≤ ||v||+||w|| 7√2 ≤ 10 Triangle Inequality 2. cos Θ = 24/25. 3. u = v/||v|| = (3/5, 4/5). 4. Vektor yang tegak lurus dengan v: V = (-4, 3). Vektor unit yang tegak lurus dengan u: U = V/||V|| = (-4/5, 3/5) Anny2011
21
Perintah di MATLAB • Input v dan w dalam satu baris, lalu gunakan tanda ‘ untuk mengubahnya dalam satu kolom. Contoh: v = [2 3 4]’; w = [1 1 1]’; u = 2 * v + 3 * w
• Perkalian titik (dot product) umumnya menggunakan perkalian baris dengan kolom
Anny2011
22
Perintah di MATLAB • Panjang vektor v norm(v) • Rumus cos
• PR: Buatlah sebuah file .m yang berisi fungsi cosine(v, w) untuk menghitung cos θ dan sudut θ. Anny2011
23
Bagian 3
MATRIKS
Anny2011
24
Kombinasi Vektor Menggunakan Matriks (1) • Diketahui tiga vektor u, v, w sbb:
• Kombinasi linier dalam ruang 3D: cu + dv + ew :
Anny2011
25
Kombinasi Vektor Menggunakan Matriks (2) • Kombinasi linier diatas dapat ditulis ulang menjadi:
• Ax = kombinasi linier b dari kolom-kolom pada matriks A. Anny2011 26
Persamaan Linier • Jika sebelumnya dicari hasil kombinasi linier x1u + x2v + x3w, dinotasikan dengan b • Maka pada persamaan linier yang dicari adalah nilai x1, x2, x3, sedemikian hingga nilai kombinasi liniernya = b
Anny2011
27
Persamaan Linier • Contoh:
• Persamaan diatas dapat diselesaikan urut dari atas ke bawah dikarenakan matriks A bersifat lower triangular Anny2011
28
Persamaan Linier • Bila nilai b = (0, 0, 0), berapa nilai x ? • Jawab: x = (0, 0, 0) • Bila nilai b = (1, 3, 5), berapa nilai x ? • Jawab: x = (1, 4, 9) • Matriks A disebut invertible, karena dari b dapat diperoleh nilai x Anny2011
29
Matriks Invers • Persamaan diatas dapat dipecahkan dengan:
• Untuk setiap b terdapat satu solusi untuk Ax = b. • Terdapat sebuah matriks S sedemikian hingga x = Sb. • Dalam aljabar linier, notasi untuk matriks invers adalah A-1. Anny2011
30
Persamaan Linier • Contoh 2: • Kombinasi linier vektor u, v, dan w* membentuk matriks C :
• Matriks C diatas bukan termasuk triangular. • Solusi persamaan Cx = b tidak ada atau tak terhingga, misal untuk b = (0, 0, 0):
Anny2011
31
Persamaan Linier • Misal untuk b = (1, 3, 5):
• Tidak ada solusi untuk pers. linier Cx = b
Anny2011
32
Independen dan Dependen • Contoh 1: vektor u, v, dan w • Contoh 2: vektor u, v, dan w* • Independen vektor w tidak berada di bidang uv • Dependen vektor w* berada di bidang uv • Vektor w* adalah kombinasi linier u dan v Anny2011
33
Independen dan Dependen • Pada matriks, vektor menjadi kolom. • Untuk vektor dimensi n sebanyak n, akan membentuk matriks n x n. • Kolom-kolom matriks yang independen: – Ax = 0 memiliki satu solusi. – A disebut matriks invertible.
• Kolom-kolom matriks yang dependen: – Ax = 0 memiliki banyak solusi. – A disebut matriks singular. Anny2011
34
Contoh Soal • Diketahui matriks A: . Tentukan solusi vektor x dari Ax = b untuk sembarang nilai b. 1 1 1
Anny2011
0 0 1 0 1 1
35
Contoh Soal • Solusi dari atas ke bawah: – x 1 = b1 – x 2 = b1 + b 2 – x3 = b 2 + b3
• Ini berarti:
Anny2011
36
Latihan Pertemuan 1 • Chapter 1.1 – Problem 5, 6
• Chapter 1.2 – Problem 1, 2, 5, 7, 8
• Chapter 1.3 – Problem 1, 3, 6
Anny2011
37
