Diktat Aljabar Linear II
g C atau
f
d ( f g) dx
(f
d ( f g) dx df
g)
g ) 0 . Diperoleh bahwa:
(f dg
(f
dx df dx
dg dx
f
df dx
g) g
dg dx
f
g
0 0 0
Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar: Ambil f
C,
diketahui bahwa
R . Ditunjukkan bahwa d( . f ) dx
.df dx
( .f )
Jadi terbukti bahwa C
f
F
df dx
.f
( .f )
C atau df dx
d( . f ) dx
f
( .f ) 0.
.0 0 .
0 adalah sub ruang vektor F .
f
Contoh 1.2.5. Apakah himpunan D
a
bx
cx 2
P2
a b
1 sub ruang vektor dari P2 ?
Jawab: Ambil (a bx cx 2 ) D , sehingga (a
bx
cx 2 )
.a
.bx
a b
1 dan
R , sehingga:
.cx 2 , apakah asil perkalian skalar ini merupakan
elemen di D ? Ambil 0 R , maka
(a
Akan tetapi, 0 0 x 0 x 2 D sebab
0 0
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati E_mail:
[email protected]
bx
cx 2 ) 0.a
0.bx
0.cx 2
0
0 x 0 x2
0.
1 . Jadi D bukan sub ruang vektor.
23
Diktat Aljabar Linear II
Dalam suatu ruang vektor, pasti dipenuhi sifat tertutup terhadap penjumlahan vektor maupun perkalian skalar. Dari sifat tersebut, himpunan suatu vektor dapat dilihat ada suatu vektor yang dapat dinyatakan sebagai perkalian skalar dari vektor yang lain. Di lain pihak, mungkin saja dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari dua vektor atau lebih. Bahkan mungkin kombinasi dari keduanya. Sebagai contoh, cermati himpunan berikut: A
(1,2), (2,4), (0,1), (1,0)
R2
Dari himpunan vektor di atas , diperoleh hubungan sebagai berikut: (1,2)
1 (2,4) atau (1,2) 1(1,0) 2(0,1) atau (1,2) (2,4) (1,0) 2(0,1) 2
dan masih banyak lagi cara menyajikan vektor tersebut sebagai penjumlahan sekaligus perkalian skalar secara simultan. Dari
kondisi tersebut, didefinisikan suatu konsep kombinasi linear yang
diberikan sebagai berikut: Definisi 1.2.4. Jika a1 , a2 , a3 , ..., an adalah vektor – vektor di dalam ruang vektor V , maka kombinasi linear dari a1 , a2 , a3 , ..., an adalah suatu vektor dalam bentuk : a = 1 a1
dengan
1 , 2 , 3 ,..., n
2 a2
3 a3
...
n an
R
Contoh 1.2.6: Diberikan himpunan vektor – vektor di R 3 : B
(1, 1,2), ( 3,2,1), (2,2,2) , maka
(0,7,3) adalah kombinasi linear dari himpunan tersebut, sebab: (0,7,3) = ( 1)(1, 1,2) 1.( 3,2,1) 2.(2,2,2)
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati E_mail:
[email protected]
24
Diktat Aljabar Linear II
Contoh 1.2.7 : Apakah vektor
2
2 x2 , 4
1 2x
2 x 2 merupakan kombinasi linear dari
3x
x2 , 2 x
x
x2 ,
2
vektor – vektor
2 x2 .
Untuk menyelesaikan masalah ini, sama halnya kita mencari skalar
, , ,
R , sehingga dipenuhi : 2
2 x2 =
3x
( 1 2 x 2 x 2 )+
( 4 x x 2 )+ ( 2 x x 2 )+
( 2 2 x2 )
Berdasarkan pada definisi perjumlahan dan perkalian skalar pada P2 , diperoleh: 4
2
2
2 2
2
3 2
2
Sehingga dipunyai suatu sistem persamaan linear dengan 3 persamaan dan 4 variabel. Untuk menyelesaikannya dapat digunakan operasi baris elementer, yang pernah dipelajari pada Aljabar Linear Elementer: 1 2 2
0 4 0
4 1 1
9 7 9
0 2 1
2 0 2
0 8 11 0 0 3 4 0 9
2 3 2
1 4 2 1 3 3
0 1 0
9 8 7 4 9 4
0 2 1
2 0 0
2 3 0
1 4 4 7 3 3
0 0 1
2 0 0
2 3 0
0 1 11 8
0 0 3 4
1 0 9 4
Jadi didapatkan penyelesaian selengkapnya sebagai berikut: Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati E_mail:
[email protected]
25
Diktat Aljabar Linear II
9 8
11 9 8 8 3 7 4 4 9 9 4 4
11 8 7 4
9 4
3 4 9 4
atau
sehingga, untuk nilai beta tertentu, senantiasa dapat ditemukan nilai demikian vektor 1 2x
2 x2 , 4
2
3x
x2 , 2 x
x
2 x 2 merupakan kombinasi linear dari x2 ,
2
, , . Dengan
vektor – vektor
2 x2 .
Contoh 1.2.8 1 3 2 2
Apakah vektor
M 2 2 merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor
1 1 1 1 1 1 1 0 , , , ? 1 1 1 0 0 0 0 0
Sejalan dengan bukti pada contoh soal sebelumnya diperoleh: 1 3 = 2 2
1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0
2 2
3 1
, atau , atau , atau
4 5
1
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati E_mail:
[email protected]
26
Diktat Aljabar Linear II Definisi 1.2.5. Andaikan a1 , a2 , a3 , ..., an adalah vektor – vektor di dalam ruang vektor V , maka vektor-vektor a1 , a2 , a3 , ..., an dikatakan merentang ( span ) ruang vektor V , yang dinotasikan dengan
jika semua vektor di V merupakan
rt V
kombinasi linear dari vektor – vektor a1 , a2 , a3 , ..., an .
Contoh 1.2.9. Apakah vektor-vektor (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) merentang runag vektor R 3 ? Untuk menjawab pertanyaan di atas, maka perlu dibuktikan, apakah semua vektor di R 3 merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor tersebut. Dengan demikian,
ambil sebarang vektor di R 3 , sebut x, y, z . Sekarang tinggal diuji, vektor x, y, z ini merupakan kombinasi linear dari (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) atau bukan: x, y, z =
(1,1,1)
(1,1,0)
(1,0,0)
diperoleh: z
y
x
atau
y
atau
z
x y
Jadi setiap vektor di R 3 merupakan kombinasi linear dari (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) atau vektor-vektor (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) merentang runag vektor R 3 . Proposisi berikut memberikan sifat-sifat yang berlaku terkait dengan definisi vektor – vektor yang merentang suatu ruang vektor: Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati E_mail:
[email protected]
27
Diktat Aljabar Linear II Proposisi 1.2.6. Andaikan a1 , a2 , a3 , ..., an adalah vektor – vektor di dalam ruang vektor V , maka rt ( a1 , a2 , a3 , ..., an ) adalah sub ruang vektor dari V . Bukti :
Dibuktikan rt ( a1 , a2 , a3 , ..., an ) tertutup terhadap penjumlahan vektor: Ambil sebarang vektor a, b a = 1 a1
2 a2
a + b = ( 1 a1
=(
2 a2 1 ) a1
1
Jadi a + b
3 a3
rt ( a1 , a2 , a3 , ..., an ), sehingga
...
n an
3 a3
...
( 2
dan
b = 1 a1
n an
2 ) a2
( 3
)+(
2 a2
3 a3
...
n an
2 a2
3 a3
...
n an
... ( n
n ) an
1 a1
4 ) a3
)
rt ( a1 , a2 , a3 , ..., an ).
Dibuktikan rt ( a1 , a2 , a3 , ..., an ) tertutup terhadap perkalian skalar Ambil sebarang a = 1 a1
2 a2
a = ( 1 a1
=
3 a3 2 a2
1 a1
Karena
R dan a
2 a2
i
rt ( a1 , a2 , a3 , ..., an ), sehingga
... 3 a3
n an
...
3 a3
, n an )
...
n an
R , i 1,2,3,..., n sehingga
Bab I - Sub Ruang Vektor_Karyati E_mail:
[email protected]
a
rt ( a1 , a2 , a3 , ..., an )
28
