' U N T U K K U R S U S BI DAN BII ILMU PASTI. 'D IS A D U R D a r i v l a k k e m e e t k u n d e V O O R VOORTGEZETTE STUDIE O LEH

P. JWIJDENES

P L A N I ME T RI / '

U N T U K K U R S U S BI DAN BII ILM U PASTI. 'D IS A D U R D a r i „ v l a k k e m e e t k u n d e V O O R VOORTGEZETTE STUDIE” OLEH

Prof. Dr. L. K U I P E R S DAN

WIRASTO

N O O R

D H O F

F

K O L F F 19 5 9

N. V.

D J A K A R T A

P. WIJDENES

P LAN I M E T RI UNTUK KURSUS B I DAN B II ILM U PASTI. DISADU R D A R I „VLAKKE MEETKUNDE VOOR VOORTGEZETTE STUDIE” OLEH

Prof. Dr. L. K

U

I PERS

DAN

W I R A S TO

Cl-

6 0 0 1 / r 4

TJETAKAN KE - 3

''N O O R D H O F F

-

K O L

F F

1959

N: Vi ' -D J A K A R T A

PENDAHU LUAN. U ntuk m endidik tjalon guru ilm u pasti di Sekolah Menengah, hingga kini pada u m u m nja dipergunakan bu k u 2 : P. Molenbroek, Leerboek der Vlakke Meetkunde dan P. Wijdenes, Vlakke Meetkunde voor Voortgezette Studie. Buku karangan P. Molenbroek itu pada aâsnja diuntukkan bagi mereka jang hendak menempuh u djian akte M.O. K I. dinegeri Belanda. Karena itu m aka isinja sangat mendalam. U ntuk mereka jang hendak menempuh udjian L.O. wiskunde, buku karangan P. Wijdenes itu sudah lebih daripada m entjukupi. Oleh karena rentjana peladjaran Kursus B I ilmu pasti lebih m en dekati rentjana untuk L.O. wiskunde, m aka buku P. Wijdenes itulah jang kami pilih untuk disadur dan diterdjem ahkan kepada bahasa Indonesia. Dengan menerbitkan saduran ini sudah kami langkahkanlah djedjak jang pertama kearah melengkapi kursus B I ilm u pasti dengan buku2 peladjaran dalam bahasa Indonesia. Sementara ini buku A ldjabar Rendah, jakni saduran P. Wijdenes : Lagere Algebra I dan II jang kam i gabungkan dan sederhanakan sesuai dengan rentjana BI, telah dim ulai pentjetakannja. Kem udian dari pada itu buku2 jang lain, berturut-turut akan menjusul.

Pengarang.

T JE T A K A N K E 2 Pada tjctakan ke-2 ini kiranja sudah sepatutnjalah kami mengu tjapk an terima kasih banjak2 kepada Tuan Salijo dari seksi anggaran di Kementerian P.P. dan K. jang telah inenundjukkan kami akan kesalahan2 jang terdapat pada tjetakan pertama, dan kepada Broeder Goswin, Pemimpin Kursus B.I. „Bernardus” di Solo, jang sudi mem perbaiki kesalahan2 tersebut dan kesalahan2 lain lagi. Dengan demikian m aka besarlah harapan, bahwa tjetakan ke-2 ini djauh lebih memuaskan lagi. Meskipun begitu tiap2 tegur sapa para pemakai jang dapat memperbaiki m utu b u k u jn i, akan kami perhatikan sungguh-sungguh. D jakarta, 1959.

Penerbit.

T A N D A D A N NOTASI. J_ berarti : tcgaklurus pada. // „ : sedjadjar dengan. „ : sudut. A „ : segitiga. co „ ; sebangun. ^ „ : sama dan sebangun atau kongruen. A B m elambangkan sebuah garislurus. A B melambangkan sebuah seginentgaris. A B melambangkan pandjang sebuah seginentgaris A B. [A B melambangkan sebuah garissetengah jang A B

berpangkal

pada A.

melambangkan sebuah segmentgaris jang berarah.

(A B P) m elambangkan perbandingan - bagi P A : P B. (A, B; C, D) melambangkan perbandingan - rangkap (A B C) : (A B D); djadi C A

D A

C B

DB

T(A, B; C, D) m elambangkan perbandingan-rangkap sinar-empat T (A, B, C, D). n(P, C) m elambangkan kuasa P terhadap lingkaran C.

A B D J A D JU N A N I a

A

0

B r

Y S £ 'n & 1 X X M -

A E Z H

of

0

/

I K A M

alpha béta gamm a delta epsilon zêta éta thêta iota kappa lam bda mu

a

V

N

b

Ç 0 71

H

g d

Q CT of

e z e th i k

n p c

s

T

T

U

Y

9

O

X

X

co

a

l m

0

T ™

nu xi omikron Pi rho sigma tau upsilon phi chi psi oméga

n X

0 P r s u

ph ch ps 00

A X IO M A 2 D A N D A L IL 2 Ax. I.

Melalui dua titik dapat dibuat tepat s a tu 1) garis. l a . D jik a dua sudut sama, tentu sudut-bersisian mereka djuga sama. l b . D jik a a > p, tentu sudut jang bersisian dengan a lebih ketjil dari sudut jang bersisian dengan p. 2. Semua sudut siku-siku sama besarnja. 3. D ua sudut jang bertolak belakang sama besarnja. 4. Melalui suatu titik T pada garis g dapat dibuat tepat satu garis tegaklurus pada g.

Ax. II.

Melalui sebuah titik T diluar garis g dapat dibuat tepat garis h II g. 5. D jik a g I/ k dan h // k, tentu g // h.

satu u

6. D jik a sebuah garis memotong salah satu dari dua ea ■ ¡onrr coHioH ta r f p n f n i s nrr I o I m 4-^---X____ 6 d *IS jang sedjadjar, tentu jang lain terpotong djuga olehnja Ax. III. Pada suatu perpindahan, sebuah titik mendjad'i sebuah t v u lagi, sebuah garis mendjadi sebuah garis lagi, dst. Ax. IV. g dan gg ( = tergeser) tentu sedjadjar atau berim pit.

berlawanan arahnja, tentu kedua sudut tadi hPrrfin

l ) „tetap satu” berarti „tid a k kurang dan tid a k j , ■ * >» i sedikit dan paling banjak satu” . lebih dari satu , a tau , , paling

13. Sudutluar suatu segitiga sama dengan djum lah kedua sudut dalam jang tidak bersisian. 14. D jum lah ketiga sudut suatu segitiga saina dengan 180°. 15. D jika dalam A ABC terdapat b — c, m aka p —- y. 16. D jika dalam A A B C terdapat p = y, m aka b == c. 17. D jika a — av p = plf dan y = y1( maka A ABC ^ A Aj B, Cj. 18. D jika a = olt p = pj dan a = alt maka A ABC ^ A Aj Bt Ci . 19. D jika a — alt b = bt dan y = yp m aka A ABC ^ A A, Bj C,. 20. D jika a — av b — bx dan c — cL, maka A ABC ^ A Aj Bj Cj. 21. D jika tentang dua segitiga ABC dan A j Bj Cj diketahui : a — av b — bxdan a = alf tentu terdapat salah satu dari kedua kemungkinan dibawah i n i : 1° . kedua segitiga sama dan sebangun, sehingga p = p, 2 °. kedua segitiga tidak sama dan sebangun ; p + pt = 180°; djadi salah satu lantjip dan jang lain tum pul. 22. D jik a dua sisi sebuah segitiga tidak sama pandjangnja, m aka sudut didepan sisi jang besar djuga lebih besar daripada sudut didepan sisi jang ketjil. 23. D jika dua sudut sebuah segitiga tidak sama besarnja, maka sisi didepan sudut jang besar djuga lebih besar dari pada sisi didepan sudut jang ketjil. 24. D jum lah dua sisi sebuah segitiga lebih besar daripada sisi jang ketiga ; selisih dua sisi lebih ketjil daripada sisi j c i u g Ketiga. 25. D jum lah dua sisi sebuah segitiga Jcb'h besar dari djum lah kedua segmentgaris, jang menghubungKa..- c^harang titik dalam segitiga itu dengan kedua udjung sisi jang ketiga. 26. D jika dua sisi.sebuah segitiga sama dengan dua sisi sebuah segitiga jang lain, tetapi sudutapitnja dalam segitiga jang pertama lebih besar dari sudutapit dalam segitiga jang kedua, tentu sisi jang ketiga dalam segitiga jang pertama djuga lebih besar daripada sisi jang ketiga dalam segitiga jang kedua. 27. D jik a dua sisi sebuah segitiga sama dengan dua sisi sebuah segitiga jang lain, tetapi sisi ketiga dalam segitiga jang pertama lebih besar dari sisi ketiga dalam segitiga jang kedua, tentu sudut didepan sisi ketiga dalam segitiga 7

jang pertama lebih besar dari sudut didepan sisi ketiga dalam segitiga jang- kedua. 28a. Garis berat zc dari titiksudut C sudut siku-siku suatu segi tiga siku-siku, sama dengan setengah sisi-miring c. b . D jika dalam sebuah segitiga, garisberat dari sebuah ti tiksudut sama dengan setengah sisi dihadapannja, maka sudut segitiga jang terletak pada titiksudut tadi siku-siku. 29a. D jika sebuah segitiga siku-siku m em punjai sudut sebesar 30°, tentu sisi-siku jang berhadapan dengan sudut itu sama dengan setengah sisi miring, b . D jik a pada sebuah segitiga siku-siku salah satu sisi-siku

sama dengan setengah sisi miring, tentu sudut didepan sisi-siku ini 30° besarnja. 30. Dalam segitiga samakaki berimpitlah garisbagi, garis berat beserta garistinggi dari puntjak dan sumbu alas 31. D jika dari titiksudut A sesuatu segitiga dibuat garis-garis rfa (garisbagi), za (garisberat) dan /a (garistinggi), dan dita diantara garis-garis itu berimpit, tentu b = c. 32. D jika P titik sebarang, dan A dan B dua titik pada suatu garis g, sedangkan PA > PB, tentu djuga projeksi PA pada g lebih besar dari projeksi. PB pada g. 33a. Tiap-tiap titik pada sumbu seginentgaris AB sama djauh dari A dan dari B.

te r lP t^

b . Tiap-tiap titik jang terletak sama djauh dari dua titik A

dan B, terletak pada sumbu AB. 34. 35.

Sumbu-sumbu ketiga sisi a ABC melalui satu titik Ketiga garistinggi setiap segitiga melalui satu titik ’

36a. D jik a g dan *«<■»* ¿„„'s jang p 0;ons „ . t , n o t a «

b.

'ten,..

s P ' !tfK P ^ a «¡?rl!baei suatu sudut antara » d a n A terletak sama djauh dari g dan h. Setiap titik ja n g terletak sama djauh dari dua garis . dan h jang potong mem otong, tentu terletak padf garisbag"

salah satu sudut antara g dan h

^nsnagi

3?‘ . Ketiga garisbagi-dalam pada setiap segitiga m elalui satu Dua

im gumbagi-rnm, sudut jang ketiga

me/aiui satu titik. •

j

b

&

38. D jum lah sudut-sudut sebuah segiempat sama dengan,360°. 39a. Dalam setiap djadjarangendjang setiap dua sudut jang berhadapan sama besarnja. 40a. Dalam setiap djadjarangendjang setiap dua sisi jang ber hadapan sama besarnja.

41a. Dalam setiap djadjarangendjang kedua diagonalnja saling membagi dua sama. 42a. Setiap djadjarangendjang berpusat. 39b, 40b, 41 b dan 42b adalah berturut-turut kebalikan dari dalil-dalil 39g, 40a, 41 a dan 42a. 43. D jika dua sisi jang berhadapan sama besarnja dan sedjadjar, m aka 'segiempat itu adalah djadjaran gendjang. 44. Segmentgaris jang menghubungkan titikpertengahan dua sisi sebuah segitiga, tentu sedjadjar dengan sisi jang ketiga dan sama dengan setengah sisi jang ketiga. 45. a. Dalam sebuah belaliketupat kedua diagonal tegaklurus sesamanja dan membagi dua sama sudut-sudut belahketupat itu. b . D jika dalam sebuah djadjaran gendjang kedua dia gonal tegaklurus sesamanja atau salah satu diagonal membagi dua sama salah satu sudut, ientu djadjaran gendjang tadi adalah sebuah belaliketupat. 46. a. Dalam setiap persegipandjang kedua diagonalnja sama pandjangnja. b. Kebalikan dalil 46a. 47. a. Dalam setiap trapesium samakaki sudut-sudut jang terletak pada udjung setiap sisi sedjadjar, sama, b . Trapesium jang sudutalasnja sama, tentu samakaki. 48. a. Trapesium samakaki m em punjai sumbu symmetrie. b. D jika salah satu bimedian sebuah segiempat mendjadi sumbu symmetrie, tentu segiempat itu adalah sebuah trapesium samakaki. 49. a. Dalam trapesium samakaki kedua diagonal sama pandjangnja. b. Kebalikan dalil 4 9 a. 50. Dari satu titiksudut sebuah segi-/z dapat dibuat n — 3 diagonal, dari semua titiksudut \n(n— 3) diagonal. 51. a. Diagonal2 jang dibuat dari suatu titiksudut sebuah segi-/?, m embentuk n — 2 buah segitiga. D jum lah semua sudut sebuah segi-zz sama dengan (n — 2) x b.

180°. D jum lah semua sudutluar setiap segi-« sama dengan

360°. Pada sebuah segi-/2 setiap sisi lebih ketjil dari djum lah semua sisi Iainnja. 53. D ua segibanjak sama dan sebangun, djika mereka dapat disusun dari segitiga-segitiga, jang sepasang-sepasang 52.

9

sama 54.

55.

56. 57.

dan

sebangun,

dan

tersusun

dengan

tjara jang

sama. D jik a n — 1 sisi beserta sudut-sudut antara mereka, atau n — 2 sisi jan g berturut-turut beserta semua sudut pada sebuah segi-n sama dengan unsur-unsur jang bersesuaian pada segi-n jang lain tentu kedua segi-n itu sama dan sebangun. Lingkaran jang sama tentu djuga sama dan sebangun. Busur-busur jang sama dan terletak pada satu lingkaran atau pada lingkaran-lingkaran jang sama, tentu sama dan sebangun, dan talibusur-talibusur mereka sama pandjangnja. Garis pemuat apothema sebuah talibusur membagi dua sama talibusur itu dan djuga kedua busurnja. a. D jik a djarak dari pusat sebuah lingkaran kesuatu garis lebih besar dari djari-djari garis itu, tentu ling karan dan garis tadi tidak bersekutu setitikpun. b . D jik a djarak dari pusat sebuah lingkaran kesuatu garis sama dengan djari-djari lingkaran itu, tentu lingkaran dan garis tadi bersekutu tepat satu titik. c.

D jik a djarak dari pusat sebuah lingkaran kesuatu garis lebih ketjil daripada djari-djari lingkaran tadi, tentu lingkaran dan garis tadi bersekutu dua titik.

58. a. Garissinggung pada sebuah lingkaran tentu tegaklurus pada djari-djari titiksinggungnja. b.

Garis jang melalui sebuah titik pada suatu lin gk aran

dan tegaklurus pada djari-djari ketitik itu, tentu menjinggung lingkaran tadi pada titik tadi. 59. Garissinggung dititik A pada suatu lingkaran, ialah letaklim it suatu garispotong jang berputar pada A, djika titik-potong jang kedua bergerak mendekati A. 60. Djarak terketjil dari sebuah titik T jang terletak sedjauh d dari pusat lingkaran (P,r) kelingkaran itu ialah | d - r [ • djarak terbesar ialah d + r.

A da satu titik pada lingkaran itu ja n g d ja ra k n ja ke T

paling ketjil, ada djuga satu titik ja n g d ja ra k n ja p aling besar ; ada tepat dua titik pada lingkaran itu jang mempunjai djarak sebarang (djarak ini harus terletak antara djarak jang -terketjil dan jang terbesar). 61. a. D jik a djarak antara pusat dua lingkaran lebih besar dari djum lah kedua djari-djari, tentu lingkaran jan g satu terletak seluruhnja diluar lingkaran jan g lain.

D jika djarak antara pusat dua lingkaran sama dengan djum lah kedua djari-djari, tentu kedua lingkaran bersekutu satu titik dan selain dari itu, lingkaran jang satu terletak seluruhnja diluar lingkaran jang lain. c. D jika djarak antara pusat dua lingkaran lebih ketjil dari djum lah kedua djari-djari, tetapi lebih besar dari selisih kedua djari-djari, tentu kedua lingkaran itu bersekutu dua titik. d . Kalau djarak antara pusat dua lingkaran jang tidak sama, sama dengan selisih kedua djari-djari, tentu kedua lingkaran itu bersekutu satu titik dan selain dari itu lingkaran jang besar terletak seluruhnja diluar lingkaran jang ketjil, dan lingkaran jang ketjil terletak seluruhnja didalam lingkaran jang besar. e. D jika djarak antara pusat dua lingkaran lebih ketjil daripada selisih kedua djari-djari, tentu lingkaran jang besar terletak seluruhnja diluar lingkaran jang ketjil dan lingkaran jang ketjil terletak seluruhnja didalam lingkaran jang besar. Sentral dua lingkaran jang potong-memotong tentu mendjadi sumbu talibusur persekutuan. a. D jika dua lingkaran hanja bersekutu satu titik A sadja, (singgung-menjinggung di A), tentu sentral mereka melalui titik ini ; di A mereka m em punjai garissinggung persekutuan jang tegaklurus pada sentral. b . D jika sentral dua lingkaran melalui sebuah titik per sekutuan, tentu kedua lingkaran-singgung itu menjinggung dititik ini. c. D jik a dua lingkaran bersekutu satu titik dan garis singgung dititik itu, tentu kedua lingkaran tadi sing gung-menjinggung dititik itu. Melalui sebuah titik diluar sebuah lingkaran dapat dibuat dua garissinggung pada lingkaran itu. T itik tadi terletak sama djauh dari kedua titiksinggung. Garis jang menghu bungkan titik tadi dengan pusat lingkaran tadi, membagi dua sama sudut antara kedua garissinggung. a. Dalam segiempat talibusur setiap pasang sudut jang berhadapan berdjum lah 180°. b . D jika dalam sebuah segiempat dua sudut jang berha dapan berdjumlah 180°, tentu segiempat itu sebuah segiempat talibusur. b.

62. 63.

64.

65.

11

6 6 . a. Setiap segiempat garissinggung adàlah convex; djum lah kedua pasang sisi jang berhadapan adalah sama, b . D jik a pada sebuah segiempat jang convex djum lah kedua pasang sisi jang berhadapan sama, tentu dalam segiempat itu dapat dibuat sebuah lingkaran. 67. Sudut antara dua lingkaran jang potong memotong atau singgung menjinggung tentu sama dengan sudut antara kedua djari-djari jang bertemu pada suatu titikpotong atau pada titiksinggung.

BAB

I.

Lukisan.

§ 1. Melukis ialah membuat atau menjelesaikan suatu gambar, jang harus memenuhi sjarat-sjarat, jang diterangkan dengan pengertianpengertian ilmu ukur. Biasanja lukisan hanja boleh dikerdjakan dengan menggunakan mistar, segitiga-gambar dan djangka ; alat-alat lain tidak diperkenan kan. D jika suatu gambar, karena sulitnja, tidak dapat dengan langsung dilukis dari apa jang telah diketahui, m aka terlebih dulu diselidiki sifat-sifatnja jang memungkinkan lukisan itu. Penjelidikan ini disebut analysa atau persiapan. Untuk keperluan ini dibuat gambar-sementara (jang tidak perlu tepat sama dengan gambar jang d im a k su d ); dalam gambar-sementara ini bagian-bagian jang diketahui diberi tanda, u ntuk mempermudah m entjarinja sifat-sifat jang berguna. Sesudah sifat-sifat ini terdapat, maka dikatakan djalannja untuk menjusun gambar jang ditanjakan dari hal-hal jang telah diketahui ; kemudian harus dibuktikan, bahwa gambar jang terdapat memenuhi segala sjarat jang telah ditetapkan. Achirnja perlu diselidiki, apakah hal-hal jang diketahui masih harus memenuhi beberapa sjarat, supaja lukisan itu 'mungkin dilakukan. Perlu diselidiki djuga, berapa banjaknja gambar jang d a p a f dilukis. Dalam penjelidikan terachir ini harus dipandang segala kem ungkinan mengenai hal-hal jang diketahui. D jadi lukisan lengkap terdiri dari empat bagian jang selandjutnja disebut persiapan, lukisan, bukti dan diskussi (pembitjaraan). Dalam pembitjaraan biasanja telah dianggap tjuk up, djika disebut kan banjaknja gambar jang didapat pada umumnja, ja ’ni djika antara hal-hal jang diketahui tidak terdapat hubungan-hubungan jang mem pengaruhi banjaknja gambar jang dapat dilukis. Ada beberapa lukisan jang sangat m udah, sehingga tidak perlulah m em buat lukisan lengkap jang terdiri dari keempat bagian, seperti ja n g telah diuraikan diatas. Misalnja lukisan-lukisan jang tersebut dibawah i n i ; lukisan-lukisan hanja kita sebut sadja : I. Melukis sebuah segitiga, jang ketiga sisinja diketahui. II. Melukis sebuah sudut, jang sama dengan suatu sudut «, dan jang salah satu kakinja telah diketahui. III. Melukis sebuah segitiga, djika diketahui : dua sisi dan sudut didepan salah satu sisi itu. 13

Melukis sebuah garis h, jang harus sedjadjar dengan sebuah garis g dan melalui sebuah titik T diluar garis g. Membelah (membagi dua sama) tegaklurus sebuah segmentgaris. Melukis sebuah lingkaran melalui tiga titik jang diketahui. M embuat garis tegaklurus pada garis g, melalui titik T pada g. M em buat garis tegaklurus pada garis g .melalui titik T diluar g; Membagi dua sama sebuah sudut. M em buat kedua garissinggung pada lingkaran (P, r) dari sebuah titik T diluar lingkaran tadi. M embuat garissinggung2 persekutuan pada dua lingkaran. M embuat lingkaran jang m enjinggung tiga garis jang diketahui.

IV. V. V I. V II. V III. IX . X. X I. X II.

§ 2. Salah satu tjara, jang banjak dipakai u ntuk m enem ukan suatu lukisan, ialah menggunakan gambar pertolongan. D itjari terlebih dulu satu atau beberapa bagian dari bangun jang harus dilukis, jang — karena mudah — dapat dilukis begitu sadja. Dari bangun pertolongan ini, m aka bangun jang harus dilukis dapat disusun. U m um nja diperlukan satu atau beberapa garis pertolongan • kesukarannja ialah mengetahui garispertolongan jang m ana akan m em beri hasil. Kerap kali dipergunakan pergeseran sedjadjar, sehingga segmentgaris-segmentgaris atau sudut-sudut jang diketahui terkum pul kedalam satu segitiga atau segiempat. Suatu tjontoh ; Untuk melukis sebuah trapezium (lihatlah gambar 1 ) kerap kali penjelesaian diketemukan dengan meng geser salah satu sisitegak atau salah satu diagonal (lihatlah C E # D A dan

B DF#CA).

Djika dari trapezium tsb.

diketahui kedua sisi-sedjadjar dan kedua diagonalnja, m aka dapat dilukis A B D F , dst. D jik a jang diketahui itu keempat, sisinja, m aka dari A B CE ketiga sisinja terdapat Tjara ini djuga seringkali dapat diper gunakan untuk menjusun sebuah segiempat biasa. D jika, untuk melukis segiempat A B C D (lihatlah gb. 2) antara lain diketahui AB, DC' beserta sudut antara mereka, m aka dibuat D E # A B , sehingga A C D E dapat dilukis. D jika diketahui kedua diagonal beserta A Gb. 1: Garis2 pertolongan pada sebuah trapesium.

sudut antara mereka, maka ditarik CF # B D (lihatlah gb. 3). dan a BCD dapat dilukis. 14

Gb. 2:

Garis* pertolongan

pada sebuah segi-empat.

Boleh djuga kita menggeser seluruh A BCD (lihatlah gb. 4 ; D H # .C A # BG), sehingga terdjadi A G A H ; djadjarangendjang B D H G dapat dilukis. c F

B

Gb. 3: Garis 2 pertolongan pada segiempat.

Gb. 4: Garis2 pertolongan pada segiempat.

Kadang-kadang berguna djuga djadjarangendjang jang bertitiksudutkan titikpertengahan keempat sisi, atau titik pertengahan 'dua sisi jang berhadapan dan kedua diagonal. Kadang-kadang penjelesaian tertjapai dengan melipat suatu titik atau suatu bangun sepandjang suatu garis. Suatu tjara jang sangat penting, ja ’ni dengan menggunakan tem pat kedudukan, akan dibitjarakan dalam bab kedua. §3. Sebagai tjontoh kita berikan penjelesaian lengkap dari beberapa soal lukisan. T JO N T O H 1.

Melukis sebuah segitiga djika diketahui alasnja, sudut puntjaknja dan djum lah kedua sisitegak. D

Gb. 5:

Persiapan.

Gb. 6:

Pelaksanaan.

15

P e r s i a p a n (lihatlah gb. 5). Dari A ABC diketahui : Alas A B — c, y

dan a + b. 'U n tu k m ew udjudkan djum lah ini sebagai satu segmentgaris, m aka AC diperpandjang dengan CD = a ; karena CD = CB, m aka /_ D = £ y (dalil 15 dan dalil 13). Sekarang dari A A B D telah diketahui : A B , A D dan /_ D, sehingga A A B D tsb. dapat dilukis m enurut lukisan III,. sehabis itu dapat dilukis ¿_ Bx = D, sehingga terdapatlah BC. L u k i s a n (lihatlah gb. 6). Gambarlah AD = a + b, dan lukislah pada D sudut sebesar £y ; buatlah lingkaran (A, AB); dengan dem ikian terdapatlah titik B pada D F. Lukislah pada B sudut D BC = /_ D (atau buatlah sumbu BD) ; A ABC ialah segitiga jang harus dilukis. B u k t i . A ABC m em uat ketiga hal jang diketahui ; sebab AB telah

sehingga dalam A ABCy = 2 D = dilingkarkan, Bx = /_ D = sudut jang diketahui. Seterusnja A DBC m enurut dalil 16 atau 33 ad a lah samakaki ; karena itu AC -f CB = AC + CD = A D == djum lah jang diketahui. P e m b iija r a a n : D jik a dibuat A F J_ BD, m aka terdapat kem ung kinan-kemungkinan sbb : 1) c < AF, ta ’ terdapat segitiga sebuahpun ; 2) c — AF, terdapat satu segitiga. 3) A F < c < AD, dua segitiga ; 4) c = AD = b + a, ta' sebuahpun. Sekarang masih akan diselidiki, apakah kedua segitiga jang terdapat pada kem ung kinan 3) tadi sama dan sebangun atau tidak. U ntuk keperluan ini dalam gb. 7 telah ter lukis kedua penjelesaian, ja ’ni A ABC dan

‘

Gb. 7: Kedua segitiga adalah kongruen.

Z\ A B'C'. Kedua segitiga ini, m enurut lu kisan m em punjai sama alasnja (A B = A B ') dan sud utpun tjakn ja ! Z . A B 'B = L d j adi A B 'C ' = B 2 — /_ B / — Bs — D = a. D jadi A A BC ^ a B 'A C ' (p e rh a tia n : bukannja A A B 'C ') karena mereka m em punjai sam a satu sisi dan dua sudut. T JO N T O H 2.

M elukis sebuah budjursangkar dalam sebuah trapezium siku-siku ( / _ A = 90°, A B < DC) sehingga pada setiap sisi trapezium itu terletak sebuah titiksudut budjursangkar jang ditanjakan. 16

Seandainja X Y Z U adalah budjursangkar jang.ditanjakan, tentu Xx + X 2 = 90°, ¿_ X 2 + Ux = 90°; djadi ¿_ X x = /_V j. Dem ikian djuga Ux = /_ Zz ; begitu pula /_ X 2 — /_ U2 = /_ Z , ; A A X U ^ A D U Z (dalil 17). D jika dibuat PQ melalui Y dan tegaklurus pada sisi-sisi jang sedjadjar, maka masih terdapat A P Y X dan A Q Z Y , jang sama dan sebangun dengan kedua segitiga tersebut diatas. Maka A P =^- AD ; djadi P telah te rd a p at; selandjutnja djuga didapat Y dan Q, dst. persiapan

.

(lihatlah gb. 9). Letakkanlah pada AB segmentgaris A P = AD, dan pada DC segmentgaris DQ = AD; tariklah PQ; PQ memotong BC di Y ; letakkanlah A X , D U dan QZ, masing-masing sama dengan P Y ; achirnja tariklah segmentgaris-segmentgaris X Y , YZ, ZU dan U X . L

ukisan

(lihatlah gb. 9). Kedua segitiga siku-siku A X U dan D U Z m em punjai sama sisitegak-sisitegak mereka ; djadi mereka sama dan sebangun ; djadi X U = UZ dan Z. X 2 = / . U2. Maka : Ux + U2 = 90° sehingga ¿_ X U Z = 90°. Bukti serupa ini dapat diberikan djuga u ntuk ketiga titiksudut jang lain. Karena dalam segiempat X Y Z U keempat sisinja sama dan keempat sudutnja siku-siku, m aka segiempat itu adalah sebuah budjursangkar. B

u kti,

: Pada kedua sisi sedjadjar dapat dipilih titik P dan titik Q, sehingga AP = DQ = AD ; djika PQ memotong sisimiring BC, m aka terdapat titik Y. Lihatlah gb. 10. P

em bitja ra an

c Q Gb. 10a: H a l pertama.

Gb. IOb: H a l kedua.

Gb. 10c: H a l ketiga.

D alam keadaan a dan b tidak m ungkin melukis budjursangkar dalam trapezium jang diketahui. Dalam keadaan c lukisan djuga tidak mung17 Planimetri 2.

kin, djika P Y = A X > A B ; djika P Y < AB, m aka lukisan m endjadi m ungkin. D iadi dapat diperoleh sebuah budjursangkar jang mem enuhi sjarat, djika A B < AD < DC, lagi pula P Y < AB. D jik a ketiga sjarat ini dipenuhi, m aka ada satu penjelesaian, oleh karena BC dan PQ hanja bersekutu satu titik sadja. T JO N T O H 3.

Melukis sebuah budjursangkar X Y Z U sehingga sisi-sisi X Y , Z U dan U X berturut-turut melalui empat titik A, B, C dan D.

ZY,

P e r s i a p a n . D jika kita berhasil menentukan satu titik lagi pada salah satu sisi budjursangkar jang ditanjakan, maka pekerdjaan selandjutnja m endjadi sangat m udah. D jik a dibuat AC, ke m udian ditarik dari D garis jang tegaklurus pada C AC, jang memotong garissisi Y Z di E, tentu D E = AC, sehingga terdapatlah titik E. Gb. 11: Persiapan. L u k i s a n (lihatlah gb. 12). Tariklah AC ; tariklah kemudian dari D

B

B u kti.

sebuah garis tegaklurus pada AC, dan letakkanlah padanja D E = AC. Tariklah BE, dan buatlah dari A dan C garis-garis jang tegaklurus pada BE, dan memotong B E berturut-turut di Y dan Z. Achirnja tariklah melalui D sebuah garis jang sedjadjar dengan BE, dan jang memotong garis-garis tegaklurus tsb. diatas berturutturut dititik X dan U. Maka X Y Z U ada lah budjursangkar, jang memenuhi sjarat.

Dari djalannja lukisan ternjata bahwa segiempat X Y Z U

adalah sebuah persegipandjang, jang sisi-sisinja melalui keempat titik jang diketahui. Djadi hanja masih-perlu dibuktikan, bahwa dua sisi jang iWMW, Y/ltitt YZ, gama pandjangnja. Tariklah X F // D E dan Y G // AC. Tentu segiempat-segiempat X F E D dan YG C A adalah djadjarangendjang, maka, oleh karena AC = D E , tentu djuga Y G = X F . D jadi dari kedua segitiga siku-siku Y Z U dan X Y F sisimiringnja dan djuga sudut-sudutnja jang seletak, sama besarnja, sebab sisi-sisi jang seletak terletak tegaklurus sesamanja ; m aka kedua segitiga ini sama dan sebangun. A kibatnja : X Y = Y Z , dan inilah jang masih harus dibuktikan tadi. 18

P e m b i t j a r a a n . Dalam meletakkan segmentgaris D E = AC, kita dapat memilih antara dua kemungkinan ; sebab dari titik D segment D E dapat diletakkan kesalah satu dari dua arah. Sesudah itu kebebasan u ntuk memilih sematjam itu, hingga lukisan selesai, tidak kita djumpai lagi. D jadi ada dua penjelesaian. Akan tetapi ada pula beberapa keadaan istimewa. Misalnja E m ungkin berimpit dengan B. Ini terdjadi djika A C J_ BD dan AC = BD ; dalam keadaan ini terdapat penjelesaian jang ta' ter batas banjaknja. M ungkin djuga Y berimpit dengan Z, sehingga ta ' terdapat budjursangkar sebuahpun ; ini terdjadi djika AC J_ BD, tetapi AC ^ BD (djuga dalam keadaan diatas djika D E 'diletakkan disebelah jang lain terhadap D).

D jik a dalam soal diatas, urutan titik-titik jang harus dilalui sisisisi budjursangkar tidak ditetapkan, m aka dengan tiga djalan keempat titik tadi dapat dibagi m endjadi dua pasang, ja 'n i A B dan CD ; AC dan B D ; A D dan B C ; sepasang titik akan dilalui oleh dua garissisi ja n g berhadapan. Tiap-tiap perpasangan menghasilkan dua penjelesaian djadi (pada u m um nja) terdapat enam penjelesaian. Penjelesaian-penjelesaian ini terdapat s b b .: Buatlah garis melalui C tegaklurus pada A B, dan letakkanlah A B pada garis itu disebelah-menjebelah C. Buatlah garis melalui B tegaklurus pada AC, dan letakkanlah AC pada garis itu disebelah-menjebelah B.

19

Buatlah garis melalui B tegaklurus pada AD dan letakkanlah A D pada garis itu disebelah-menjebelah. B. D alam gb. 13 terlukislah ke-enam buah budjursangkar jang meme nuhi sjarat.

§ 4. Bab ini kita achiri dengan beberapa tindjauan um um . Pertamatam a kita selidiki lebih landjut, apakah sifat-sifat dari hal-hal jang diketahui (ketentuan). Ketentuan-ketentuan ini dapat dibagi m endjadi dua m atjam , ja ’ni : 1°. Ketentuan jang mengenai bentuk dan besarnja suatu bangun ; artinja djika suatu bangun G memenuhi ketentuan-ketentuan itu, m aka tiap-tiap bangun lainnja jang sama-dan-sebangun dengan G, memenuhi djuga ketentuan-ketentuan tadi.. M is a ln ja : besarnja segmentgaris-segmentgaris atau sudut-sudut jang terdapat dalam bangun jang harus d ilu k is ; perbandingan antara besarnja dua segmentgaris atau dua sudut ; ketentuan, bahwa tiga titik harus terletak pada satu garis atau pada satu ling karan; atau, bahwa . tiga garis harus melalui satu titik; bahwa dua garis harus sedjadjarbahwa suatu segmentgaris harus lebih besar dari sebuah segment garis jang lain, dst. 2°. Ketentuan, jang djuga mengenai letaknja bangun jang harus dilukis A rtinja, djika suatu bangun G memenuhinja, maka dengan m em in dah G tadi dapat diperoleh bangun jang lain, jang tidak lagi meme nuhinja. M isalnja : suatu titik dari bangun jang akan dilukis harus terletak pada suatu garis #t,au padfi Slliltll lillgk aran ; suatu garis

8t3U SllSiU litlgkcirtltl pada bangun jang akan dilukis harus melalui sebuah titik ; s a l a h s a t u titik-sudut suatu segitiga jang harus dilukis diketahui letaknja, dst. Maksudnja perkataan : „dari suatu bangun diketahui sebuah segmentgaris atau sebuah sudut” , ialah, bahwa besarnja segmentgaris atau sudut itu diketahui. D jika suatu segmentgaris atau suatu sudut jang sudah tergambar pada suatu tempat, harus mendjadi sebagian dari bangun jang harus dilukis, m aka dikatakan, bahwa segmentgaris atau sudut tadi telah diketahui besar dan letaknja. Ketentuan jang pertama termasuk m atjam 1°, jang kedua termasuk m atjam 2°. Sekarang kita bitjarakan banjaknja ketentuan, jang menetapkan sebuah bangun ; artinja : jang membatasi ban jaknja bangun jang meme nuhi hingga suatu djum lah jang terbatas, m isalnja satu, dua, empat dsb. D jik a ketentuan-ketentuannja hanja m em ungkinkan satu bangun sadja, m aka dikatakan bahwa ketentuan-ketentuan tadi m enetapkan 20

bangun tadi dengan setundjuk. D jika ketentuan-ketentuannja sedemikian sehingga, djika suatu bangun G memenuhi, diuga tiap-tiap bangun jang sama-dan-sebangun dengan G memenuhi (djadi hanja mengenai bentuk dan besarnja sadja), m aka semua bangun jang sama-dan-sebangun dianggap hanja merupakan satu penjelesaian sadja. Kalau terdapat satu atau beberapa ketentuan jang mengenai letaknja bangun jang harus dilukis, m aka bangun-bangun jang berlainan tetapi sama-dan-sebangun, djika memenuhi ketentuan-ketentuan harus dianggap penjelesaian-penjelesaian jang berlainan pula. Misalnja : djika harus dilukis sebuah segitiga, jang sisi-sisinja a, b dan c bertutut-turut sama dengan tiga segmentgaris p, q dan r, jang memenuhi p + q > r, P + f > q dan q + r > p, m aka segitiga itu telah tertentu oleh ketentuan-ketentuan itu. Tetapi djika ketentuan-ketentuan tadi ditam bah dengan ketentuan, bahwa titiksudut A harus terletak pada suatu garis, m aka terdapat penjelesaian jang tidak terbatas banjaknja : sebab segitiga-segitiga jang berlainan tetapi sama-dan-sebangun jang memenuhi, tidak lagi dianggap h anja merupakan satu penjelesaian sadja. D jadi meskipun banjaknja ketentuan telah ditam bah dengan satu, tetapi bangun jang harus dilukis 'malahan tidak lagi tertentu. Sebabnja ialah : mengingat m atjam nja ketentuan-ketentuan pada lukisan jang semula (jang belum ditam bah ketentuannja), m aka pada lukisan jang semula hanja besar dan bentuknja segitiga sadjalah kita pandang; sebaliknja ketentuan jang kita tam bah k an tadi mengenai Ietaknja segitiga, tetapi tidak tjukup. untuk m enentukan letak segitiga itu. Telah diketahui bahwa sebuah segitiga dapat dilukis dari keten tuan-ketentuan sbb. : tiga sisi ; dua sisi beserta sudut-apit mereka ; dua sisi dan sudut didepan salah satu sisi it u ; satu sisi, satu sudut pada sisi itu dan sudut didepan sisi itu. D jik a lukisan itu m ungkin dilakukan, tentu terdapat satu bangun ; ketjuali pada lukisan jang k e tig a : disini terdapat satu atau dua penje lesaian. K um pulan tiga unsur, jang tidak kita sebutkan diatas, ialah hanja ketiga sudut. D jik a ketiga sudut diketahui, m aka lukisan hanja dapat dilakukan djika djum lah ketiga sudut itu sama dengan 180°; tetapi dalam keadaan ini penjelesaian tidak terbatas banjaknja. D jika suatu lukisan hanja m ungkin dilakukan, djika antara ketentuan-keten tu a n n ja terdapat suatu hubungan kesamaan (disini a + ¡3 + y = 180°), m aka ketentuan-ketentuan tadi disebut berhubungan (ketentuan jang berhubungan), djika mereka memenuhi hubungan tadi ; mereka d ise b u t bertentangan (ketentuan-ketentuan jang bertentangan) djika tidak memenuhi hubungan itu. D jadi pada ketentuan jang bertentangan tidak terdapat bangun sebuahpun, jang memenuhi sjarat. 21

D jika, u ntuk m em ungkinkan lukisan, ketentuan-ketentuannja ha rus mem enuhi satu atau beberapa hubungan ketidak-samaan (misalnja a + b > c, a + c > b, b c > a untuk segitiga dengan sisi a, b dan c), m aka ketentuan-ketentuan tadi tidak disebut berhubungan djika hubungan ketidaksamaan tadi d ip e n u h i; tetapi mereka disebut ber tentangan djika hubungan ketidaksamaan itu tidak dipenuhi. Keten tuan-ketentuan jang tidak berhubungan dan tidak bertentangan, disebut „ tidak berhubungan" . Ja n g diuraikan diatas tentang melukis sebuah segitiga dari beberapa unsurnja, sekarang boleh dikatakan sbb.: sebuah segitiga tertentukan (dapat ditetapkan) bentuk dan besarnja oleh tiga unsurnja jang tidak berhubungan. M enentukan unsur-unsur jang menetapkan suatu bangun, dapat diganti dengan menuliskan sebuah bilangan, jang m enjebutkan besatnja unsur itu dengan suatu satuan (misalnja «.m, deradjat). D jik a pada lukisan sebuah segitiga dari dua sisi dan sudut didepan salah satu sisi itu, ditetapkan pula djenisnja (tum pul atau lantjip) sudut didepan sisi ja n g lain, m aka penetapan djenis ini sama sadja artinja dengan suatu hubungan ketidaksamaan, jang m engakibatkan berkurangnja penjelesaian dari dua mendjadi satu ; djadi segitiga jang tadinja sudah tertentu, kem udian m endjadi tertentu dengan setundjuk. D jadi suatu hubungan ketidaksamaan ternjata tidak mempengaruhi tertentu atau tid ak n ja suatu segitiga, a rtin ja : karena suatu hubungan ketidaksam aan, banjaknja penjelesaian tidak dapat berubah dari tid ak terbatas m endjadi terbatas, atau sebaliknja. D jika suatu hubungan kesamaan dilepaskan dan diganti dengan hubungan ketidaksam aan, tentu penjelesaian mendjadi ta ' terbatas banjaknja. D jik a sebuah segitiga harus dilukis dari ketentuan-ketentuan ian » bukan unsur, m aka berhubung dengan jang telah diuraikan di^tas* dengan m udah timbullah persangkaan, bahwa pada iim um nja diperlukan tiga buah ketentuan jang tidak berhubungan, untuk menetapkan bentuk dan besarnja sebuah segitiga. Ja n g dihitung disini, hanja ketentuan-ketentuan ja n g dapat diw udjudkan dengan hubungan kesamaan ; jang sesuai dengan hubungan ketidaksam aan tidak tu ru t dihitung. D jik a suatu ketentuan dapat diw udjudkan dengan dua hubungan kesamaan (m isalnja ketentuan, bahwa suatu segitiga harus samasisi), m aka ketentuan ini disebut ketentuan rangkap dua, dan dianggap dua ketentuan tunggal. D em ikian djuga ketentuan jang rangkap tiga dianggap tiga ketentuan tunggal. Uraian mengenai b an jak nja ketentuan ja n g m enetapkan sebuah segitiga ini, djanganlah hendaknja dipandang sebagai suatu dalil dengan arti ja n g tepat, jang dapat d ib u k tik a n dengan saksama. Lebih b aik uraian itu dipandang sebagai suatu p e tu n d ju k jang berguna d jik a k ita harus melukis sebuah segitiga. Sebelum lukisan dim ulai, m aka dengan 22

petundjuk ini, kami dapat mengetahui untuk sementara, apakah djumlahnja ketentuan-ketentuan tidak terlalu banjak ; apakah (djika lukisan m ungkin dilakukan) djum lahnja penjelesaian tidak mendjadi ta ' ter batas banjaknja. Mudah dapat dimengerti, bahwa sebuah segi-n dapat dilukis dari (n — 1 ) sisi dan ke-(/z— 2 ) sudut jang diapit oleh sisi-sisi itu ; djuga dari (n — 1 ) sudut dan (n — 2) sisi jang berturut-turut; djadi pada kedua lukisan masing-masing diperlukan (2n— 3) unsur. Ini adalah alasan untuk m enjatakan, bahwa untuk menetapkan bentuk dan besarnja sebuah segi-n, urnumnja diperlukan (2n — 3) ketentuan jang tidak berhubungan. Ini djuga dapat didjelaskan dengan djalan membuat semua diagonal dari salah satu titik-sudut sebuah segi-n, sehingga terdjadi (n— 2) segitiga. Segitiga jang pertama dapat ditetapkan bentuk dan besarnja oleh tiga ketentuan. Karena itu salah satu sisi dari segitiga jang kedua dapat diketahui, sehingga masih diperlukan dua ketentuan lagi untuk menetapkan bentuk dan besarnja segitiga jang kedua ini. Diuga semua segitiga jang lain, masing-masing memerlukan dua ketentuan, djadi banjaknja ketentuan jang diperlukan adalah 3 -j- (n — 3) x 2 — 2n — 3. U ntuk menetapkan bentuk, besar dan letaknja sebuah segitiga, misalnja dapat dipakai ketentuan-ketentuan s b b .: tiga ketentuan untuk menetapkan bentuk dan besarnja ; selandjutnja letaknja titiksudut A (ini berarti dua ketentuan, misalnja djarak berarah dari dua garis jang diketahui ke A ; bandingkanlah dengan sumbu-x dan sumbu-y pada salib sumbu s ku-siku ; dan garis jang harus memuat titiksudut B, (satu ketentuan, ja 'n i djarak dari B kegaris itu harus ,0). Untuk mene tapkan bentuk, besar dan letaknja sebuah segitiga diperlukan enam buah ketentuan jang tidak berhubungan. Tjontoh jang m udah ialah : ketiga titik-sudutnja diketahui, djadi ditentukan djarak berarah dari (misalnja sumbu x dan sumbu y) ketitiksudut-titiksudut ini. Djelas pula, bahwa sebuah segi n dapat ditetapkan bentuk, besar dan letaknja oleh 2n keten tuan jang tidak berhubungan, misalnja djarak berarah dari dua garis jang potong memotong kesemua titiksudutnja. Ternjata, bahwa um um nja diperlukan tiga ketentuan jang tidak berhubungan, u ntuk menetapkan letaknja sebuah bangun, jang besar dan bentuknja sudah ditetapkan dengan ketentuan-ketentuan jang tjuk up banjaknja. A chirnja kita kemukakan hubungan jang terdapat antara jang telah diuraikan diatas dengan teori tentang bangun-bangun jang sama dan-sebangun. Karena sebuah segi-n dapat ditetapkan bentuk dan besarnja dengan (2 n — 3) ketentuan, dan sesudah ditam bah dengan bebe rapa hubungan ketidaksamaan mendjadi tertentu dengan setundjuk, m aka dua segi-n jang m em punjai sama ke-(2 rc— 3) ketentuan dan semua hubungan ketidaksamaan, tentu sama dan sebangun. 23

D jik a sebaliknja dua bangun sama-dan-sebangun, kalau beberapa sudut dan segmentgaris dalam bangun jang satu sama dengan segmentgaris dan sudut dalam bangun jang lain, m aka m ungkin ini m enim bulkan soal lukisan, ja 'n i melukis bangun dari sudut-sudut dan segmentgarissegmentgaris tadi. SOAL-SOAL.

§ 5. Soal jang harus dibuat dengan pembitjaraan jang lengkap, diberi tanda ( 1 ) dibelakangnja. 1.

Lukislah sebuah segitiga samasisi, jang diketahui kelilingnja.

2.

Lukislah segitiga samakaki, djika diketahui : a ' sebuah sudutalas dan garisbagi sudutalas itu. b. sudutpuntjaknja dan djum lah alas dan sebuah kaki c. garistinggi dari pu ntjak dan garisberat dari titiksudut jang lain

3.

Lukislah sebuah segitiga siku-siku ABC (y = 90°), djika diketahui ■ a. garistinggi dan garisberat dari C ; b. sisimiring dan djum lah kedua sisisiku. c. garisberat dari B dan dari C.

4.

Lukislah a. sisi a, b. sisi a, c. ketiga

5.

Lukislah A ABC, djika d ik e ta h u i: a. a, garistinggi ta dan garistinggi te ; ( 1 ) ; b. a, garisbagi da dan garistinggi ta ; c. a, garisbagi db dan garistinggi tb.

6.

Lukislah A a. a,p dan b. a,y dan c. a,a dan

7.

Lukislah A ABC a. a,p dan a + b b. a,p dan b — c c. a,p dan a + b

24

sebuah segitiga ABC, djika diketahui ; sisi b dan garisberat mc. garisberat mb dan garisberat mc. garisberat. ( 1 ).

ABC, djika diketahui r b + c b — c (b > c) b — c (b > c) dengan ketentuan-ketentuan s b b .: ; (b > c); + c.

8.

Lukislah sebuah persegipandjang, djika diketahui : a. sebuah diagonal dan kelilingnja; b. selisih antara sebuah diagonal dan sebuah sisi, dan sudut lantjip antara kedua diagonal.

9.

Lukislah sebuah belahketupat, djika d ik e ta h u i: a. sebuah sudutlantjip dan djum lah kedua diagonal ; b. diagonal jang terpandjang dan djarak antara dua sisi jang sedjadjar.

10 . Lukislah sebuah djadjarangendjang, djika diketahui : o. sisi-sisinja dan djarak antara dua sisi jang sed jad jar: b. sebuah sisi, sudutlantjip antara kedua diagonal dan selisih antara kedua diagonal. 1 1 . Lukislah sebuah trapezium, djika diketahui: a. keempat sisi ( 1 ) ; b. kedua sisi jang sedjadjar dan kedua sudut pada salah satu sisi itu ; c. sebuah sudut sebuah diagonal selisih antara kedua sisi sedja djar dan djum lah kedua sisi jang lain. 12 .

Lukislah sebuah trapezium samakaki, djika d ik e ta h u i: a. alas kaki dan tingginja ; b. sebuah kaki, sebuah diagonal dan djum lah kedua sisi jang sedjadjar.

13.

Lukislah sebuah garis, sehingga dua lingkaran jang diketahui, C t dan C2, memotong dari garis itu talibusur-talibusur jang pandjangnja k-L dan k2.

14.

Lukislah segitiga siku-siku, djika d ik e tah u i: djari-djari lingkarandalam nja dan garistinggi pada sisimiring ( 1 ).

15,. Diketahui dua garis sedjadjar g dan h, dan sebuah titik T jang tidak terletak antara g dan h. Lukislah sebuah garis melalui T, jang momotong g di G dan h di H, sehingga :

a. G H sama dengan segmentgaris a ; b. TG + TH sama dengan segmentgaris b. D jik a T terletak antara g dan h, tariklah GTH, sehingga : c. | TG — TH | sama dengan segmentgaris c. 25

16.

Lukislah dalam A ABC sebuah segmentgaris D E •// A B (D pada AC, E pada BC), sehingga

a.D E = AD + B E b.D E = A D — B E (a < b) 17. Sebuah lingkaran C, sebuah garis g dan sebuah segmentgaris AB diketahui besar dan letaknja. Tetapkanlah pada C sebuah titik P dan pada g sebuah titik Q, sehingga PQ # AB. 18. Lukislah segiempat ABCD, djika d ik e ta h u i: a. keempat sisinja dan sudut antara dua sisi jang berhadapan ; b. AB, AD, CD, /_ B dan C; c. dua sisi jang berhadapan dan tiga s u d u t; d. dua sisi jang berhadapan,kedua diagonal dan salah satu sudut antara kedua diagonal. 19. Dalam segiempat ABCD, M adalah titikpertengahan AB dan N titikpertengahan CD. Lukislah segiempat ini, djika diketahui MN dan selandjutnja djuga : a. keempat sisi ; b. AB, AD, BC dan /_ A ; c. AB, BC, CD dan sudutlantjip antara D A dan BC. 20. Diketahui sebuah garis g dan dua titik A dan B. Tetapkanlah pada garis g sebuah titik T, sehingga: a. TA dan TB" membuat sudut jang sama dengan garis g. b. TA* + TB mendjadi sependek-pendeknja. c. |TA — TB | mendjadi sepandjang-pandjangnia. 21. Didalam sebuah sudut lantjip (g,h) terdapat sebuah titik A. Tjarilah pada g sebuah titik G dan pada h sebuah titik H, sehingga keliling A A G H mendjadi seketjil-ketjilnja. 22.

Diketahui titik A dan titik B, jang terletak disatu pihak terhadap garis g. Dari A dan B dibuat garis-garis jang tegaklurus pada g dan memotong g, berturut-turut di A ' dan B'. Pilihlah pada segmentgaris A ' B' sebuah titik T, sehingga /_ ATA ' — 2 / BTB'.

23.

Diketahui dua lingkaran C1 dan C2 jang terletak disebelah menjebelah sebuah garis g. Pilihlah titik P pada Cx dan titik Q pada C2, sehingga g mendjadi sumbu segmentgaris PQ.

26

24.

Lukislah segiempat ABCD, djika keempat sisinja diketahui, sedang kan diagonal AC membagi dua sama sudut A.

25. a. Diketahui dua lingkaran C, dan C2, jang potong m em otong; salah satu titikpotong mereka disebut S ; a ialah sebuah segmentgaris.Lukislah talibusurrangkap pada kedua lingkaran itu, jang melalui S dan pandjangnja sama dengan a. b. Lukislah talibusurrangkap jang paling pandjang melalui S. c. Lukis djuga talibusurrangkap melalui S, jang terbagi dua sama oleh S. 26.

Dari suatu segitiga siku-siku ABC (/_ C = 90°) diketahui garisberat /na dan garisberat tnb. Lukislah segitiga itu dan selidikilah, sjarat-sjarat m ana harus dipenuhi supaja lukisan itu mungkiri dikerdjakan.

27.

Selidikilah tertentu atau tidaknja A ABC oleh ketentuan-keten tuan sbb. ; 1). a, b, dan t a ; 2). c, p dan /a ; 3). besar dan letaknja c ; besarnja

b dan ta. 28. a.

Lukislah A segitiga A ^ A ^ djika letaknja titikpertengahan . Mt, M 2 dan M3 ketiga sisinja diketahui. b. Lukislah sebuah segilima A ^ A z A ^ A ^ , djika letaknja titik pertengahan M„ M,, M3, M4 dan M5 kelima sisinja diketahui. c. D apatkah sebuah segiempat dilukis, djika letak titikpertengah an keempat sisinja diketahui ? d. Lukislah sebuah segiempat, djika titikpertengahan tiga sisi dan titikpotong kedua diagonal diketahui letaknja. e. Lukislah sebuah segiempat, djika diketahui letaknja titikper tengahan tiga sisi dan pandjangnja dua sisi jang berdekatan. /. Lukislah sebuah segiempat, djika diketahui letaknja titikper tengahan tiga sisi dan pandjangnja dua sisi jang berhadapan. g. Lukislah sebuah trapezium, djika diketahui titikpertengahan tiga sisi dan pandjangnja salah satu sisi.

27

BAB T EMPA T

II.

K E D U D U K A N .

§ 6.

U ntuk mendjelaskan pengertian „tem pat kedudukan” , kita m ulai dengan beberapa tjontoh, jang kemudian akan kita bitjarakan sekali lagi.

Gb. 14:

Titik 2 pertengahan tali busur.

Melalui sebuah titik T dalam sebuah lingkaran dengan pusat P, ditarik beberapa talibusur dan kemudian ditetapkan titikpertengahan talibusur-talibusur ini. Titik-titik pertengahan ini, dan djuga titikpertengahan semua talibusur lainnja jang melalui T, merupakan sebuah lingkaran. Dikatakan sekarang, bahwa lingkaran ini adalah tempat kedudukan dari titik-titik pertengahan ta d i,'g b . 14. K ita ambil dua garis Z dan m jang potong memotong, dan sebuah segment-

garis a ; kemudian kita tentukan titik-titik T, jang djum lah djaraknja ke / dan ke m sama dengan a. Ternjata bahwa kum pulan semua titik jang mempunjai sifat ini, terdiri dari 4 buah segmentgaris, jang mendjadi sisi-sisi sebuah persegi pandiang, termasuk pula ke-empat titik-sudutnja ; gb. 15. Persegi pandjang ini disebut lagi tempat ke dudukan titik-titik T. Sampailah kami sekarang pada pertegasan i n i : Jang dimaksud dengan tempat kedudukan ialah kumpulan semua titik, jang mempunjai sifat jang sama. Dalam tjontoh jang kesatu misalnja, tiap-tiap titik dari tem pat kedudukan adalah titikperte ngahan suatu talibusur jang melalui T. Dalam tjontoh jang kedua, djum lah djarak tiap-tiap titik dari tempat kedudukan ke / dan ke m sama Gb. ]5:dx + d2 = a. dengan segmentgaris a. Suatu tempat kedudukan m ungkin terdiri dari satu atau beberapa t i t i k ; satu atau beberapa garis atau (dan) garislengkung atau (dan) bagian-bagiannja, atau terdiri dari sebagian dari bidangdatar. D jika misalnja diketahui sebuah lingkaran (P,r ),m aka tem pat kedudukan titik-titik T jang memenuhi T P < r, adalah bagian dari bidangdatar jang terletak didalam lingkaran (P,r). 28

D j adi perkataan „bangun” dan perkataan „tem pat kedudukan” m enundjukkan hal jang sama, jakni : kum pulan satu atau beberapa titik . H anja perkataan „tem pat kedudukan” kita pakai, djika kita hendak m enjatakan bahwa bangun itu dapat ditegaskan dengan suatu sifattanda, jang dapat dipergunakan untuk menetapkan, apakah se barang titik (jang m ana sadja) pada bidang adalah sebagian dari ba ngun itu atau tidak. Dalam tjontoh jang pertama sifattanda ini berupa lukisan jang menghasilkan salah satu titik dari bangun. Semua titik ja n g terdapat dengan lukisan ini, bersama-sama merupakan tem pat kedudukan. Pertegasan sematjam ini m enim bulkan pada pikiran kita gambaran suatu talibusur, jang berputar pada titik T jang tetap, titikpertengahan talibusur ini dikatakan membentuk (menghasilkan) atau mendjalani {melalui) bangun termaksud. U ntuk mendjelaskan ini lagi te>mpat kedudukan kadang-kadang djuga disebut djalan jang dilalui oleh titikpertengahan talibusur jang berputar pada T. Sekarang kita bitjarakan pertanjaan, bangun jang manakah mendjadi tem pat kedudukan, djika sebuah titik harus memenuhi suatu atau beberapa sjarat. Pertanjaan ini dalam ilmu ukur datar hanja dapat didjaw ab, djika sjarat-sjarat itu tidak sulit. Jang fclibitjarakan dalam ilm u ukur datar biasa, ialah hanja tempat kedudukan jang berupa titik-titik tersendiri; garis-garis lurus atau bagian-bagiannja; ling karan ; busur lingkaran ; atau bagian bidang jang dibatasi oleh lingkaran atau bagian lingkaran. Sjarat-sjarat jang sangat sederhana, jang harus dipenuhi oleh suatu titik, seringkali telah menghasilkan tem pat kedu dukan jang sangat sulit bentuknja. Pem batja hendaklah menggambar tempat kedudukan titik-titik, jang djum lah djaraknja ketitik-titik A dan B sama dengan segmentgaris a ; tempat kedudukan ini ternjata sebuah garislengkung, jang disebut ellips. Tempat kedudukan titik-titik,- jang hasilperbanjakan djaraknja ke A dan ke B sama dengan J /4 A B 2, ialah lemniscat Bernoulli. Tarik djuga dua garis l dan m jang tegaklurus sesamanja ; di dalam tiap-tiap kwadrant dibuat segmentgaris-segmentgaris d, jang udjungu djun gn ja terletak di / dan m ; titik-kaki garis-garis jang dibuat dari titikpotong / dan m, tegaklurus pada segmentgaris-segmentgaris d m erupakan sebuah roset jang berdaun empat buah. Tentu sadja sebuah tem pat kedudukan harus disebutkan dengan djelas ; tidak tjuk u p djika m isalnja hanja dikatakan: „tem pat kedudukan titikpertengahan sekum pulan talibusur sedjadjar sesuatu lingkaran adalah sebuah garistengah” ; perlu djuga disebutkan arahnja garistengah itu. Begitu djuga pada tjontoh gb. 14, tidak tjuk u p djika hanja dikatakan bahwa tempat kedudukannja adalah sebuah lingkaran ; perlu djuga disebutkan titikpusat beserta djari-djarinja, atau tiga titik jang dilaluinja. 29

Sekarang kita uraikan tentang apa jang harus kita buktikan, djika kita menjatakan, bahwa bangun G adalah tempat kedudukan titik-titik jang m em punjai sifattanda k. 1. S ja r a t: sifattanda k\ dari penjelesaian ternjata bahwa tiap-tiap titik T\ jang mempunjai sifattanda k, adalah sebagian dari sebuah bangun G. 2. Am billah sebarang titik T2 pada G ; buktikanlah, bahwa T2 m em punjai sifattanda k. 3. Buktikanlah, bahwa sebuah titik T3 jang tidak niempunjai sifat tanda k, tentu terletak diluar G. Ambillah sebuah titik T4 diluar G dan buktikanlah, bahwa T4 tidak mempunjai sifattanda k. Suatu tjo n to h ; lihatlah gambar 16 disini zL, z2, z3 dan z4 adalah garissisi sebuah budjursangkar dengan sisi a. Sifattanda, bahwa djumlah djarak suatu titik A kegaris-garis z sama dengan 3 a, menghasilkan : A adalah titik dari sebuah segidelapan (buktinja diserahkan kepada pe m b atja); segide lapan ini adalah bangun G ; lihatlah d juga titik B. Sekarang keempat pernjataan mendjadi : 1. Untuk sebuah titik sifattandanja ialah: s = 3 a ; ak ib atn ja: titik itu terletak di G ; lihatlah A. 2 . B adalah sebuah titik dari segidelapan G ; harus dibuktikan : djumlah djarak B kegaris-garis z sama dengan 3 a. 3. Untuk C berlaku : s # 3 a ; a k ib a t: C bukan titik dari G 4. D tidak terletak pada segidelapan ; akibat s ^ 3 a. Pernjataan-pernjataan ini tidak perlu dibuktikan keempat-empatnja ; kita mulai dengan 1 , lalu kami buktikan 2 . Kemudian lihatlah 3, kalim at te rachir; salah satu sadja b e n a r: C adalah sebuah titik dari G atau bukan titik dari G ; jang tersebut dahulu tidak mungkin ; lihat sadja 2 ; m enurut 2 tentu s = 3 a, dan ini bertentangan dengan kalim at pertama dari 3. 4 pun tidak kita perlukan, sebab djuga dapat dibuktikan setjara tid ak langsung. Djadi untuk bukti jang diperlukan, tjukuplah kita pakai dua pernjataan sadja, misalnja : 1 dan 2 ; 1 dan 3 ; 2 dan 4 atau 3 dan 4. 30

Kebanjakan kami pergunakan 1 dan 2 ; djika dikehendaki 3 dan 4 boleh djuga diselesaikan sebagai soal : u n tu k hal ini sebuah tjontoh lagi. 1) PA = PB ; akibat : P terletak pada sum bu s dari A B ; 2) Q terletak di s ; ak ibat Q A = oR |p QB. D apat diberikan sebagai s o a l: u n tu k R ________j l _______ berlaku R A =£ R B ; harus d ib uk tik an : R A° 5 °B tidak terletak pada s ; 3) S tid ak terletak ,q °s pada s ; harus dibuktikan SA # SB. 1 dan 2 telah tju k u p u ntu k m em buk tik an, Gb. 17: E m pat pernjataan. bahwa G adalah bangun jang memenuhi sifattanda k. § 8. Sekarang terlebih dulu kita berikan beberapa tjo nto h u ntu k meng gam barkan bagaim ana tjaran ja menjelesaikan sebuah soal tentang tem pat kedudukan. Berapa tem pat kedudukan jang banjak terpakai, kita berikan berupa dalil. Misalnja : dalil 33 a dan b dapat dikatakan sbb. : tempat kedudukan titik-titik jang terletak sama djauh dari dua titik A dan B adalah sumbu segmentgaris A B . D ikem ukakan disini, bahwa tem pat kedudukan ini tid ak saroasekali sama dengan tem pat kedudukan p u n tjak segitiga samakaki jang beralaskan A B ; sebab titikpertengahan A B , jakni titik M, adalah sebagian dari tem pat kedudukan jang pertama, tetapi bukan sebagian dari tem pat kedudukan jang kedua, sebab A M B bukan segitiga. D jadi sebagai tem pat kedudukan jang kedua terdapat sumbu l dari A B , ketjuali titik M. D jik a pada Z diam bil titik-titik C dan D disebelah meniebelah M, sehingga MC = M D = \ A B, m aka sebagai tem pat kedudukan p u n tja k segitiga samakaki lantjip dengan alas A B , terdapat dua sinar (garisputus), jak n i bangun jang terdapat dari garis Z, djika dibuang segmentgaris CD beserta udjung-udjungnja. Segmentgaris CD tanpa titik M, adalah tem pat kedudukan p u n tja k segitiga samakaki tu m p ul jang beralaskan A B ; sedangkan tem pat kedudukan p u n tja k segitiga samakaki siku-siku dengan alas A B terdiri dari kedua titik C dan D. S elandjutnja dalil 36 a dan b boleh dik atakan s b b .: tempat kedudukan titik-iitik jang terletak sama djauhnja dari dua garis l dan m jang potong-memotong, terdiri dari garisbagi sudut-sudut jang terbentuk oleh l dan m. Dari itu te rd a p a t: tempat kedudukan titik-titik dalam sebuah sudut, jang. terletak sama djauhnja dari kedua kaki , adalah sinar jang membagi dua sama sudut itu. 31

Suatu tjontoh lagi : tempat kedudukan titikpertengahan segmentgaris-segmentgaris jang udjungudjungnja terletak pada dua garis jang sedjadjar, ialah garis paralleltengah kedua garis ini. Bahwa garis Z dan garis m mempunjai satu garis paralleltengah ternjata djika dari sebarang titik pada l dibuat garis tegaklurus pada m, sumbu dari garis-tegaklurus ini memenuhi definisi garis parallel tengah. Sebaliknja menurut definisi, sebuah garis paralleltengah dari Z dan m tentu membagi dua sama tegaklurus garis jang tegaklurus tadi. Sekarang kita buktikan : a. Dari tiap-tiap segmentgaris A B, jang menghubungkan l dengan m, titikpertengahannja P terletak di garis paralleltengah Z dan m. D jika A B J_ /, maka ini telah djelas. D jika A B tidak J_ Z, maka melalui P dibuat garis tegaklurus pada l dan m, jang memo tong Z‘dan m di D dan E. Maka A P A D k / \ P B E , sehingga P D = P E, djadi terdapat keadaan diatas lagi. b. Tiap-tiap titik Q dari garis paralleltengah adalah titikpertengahan sebuah segmentgaris jang menghubungkan Z dan m. Menurut definisi garis paralleltengah, maka segment pada garis, jang mela lui Q dan tegaklurus pada Z dan m dan jang udjung-udjungnja terletak pada / dan m, terbagi dua sama oleh Q. Sesudah tjontoh-tjontoh ini, dengan m udah pembatja dapat mempeladjari sendiri tempat kedudukan tempat kedudukan dibawah ini.

a. b.

i',

d.

Tempat kedudukan titik-titik: jang terletak sedjauh d dari sebuah titik T ialah lingkaran (T, d ) ; jang terletak sedjauh d dari sebuah garis Z terdiri dari dua garis m dan m ' jang terletak disebelah-menjebelah Z, sedjadjar dengan Z dan sedjauh d dari Z; jang terletak sedjauh d dari lingkaran L dengan pusat P dan djari-djari r terdiri d a r i: kedua lingkaran (P, r ± d), djika d < r, lingkaran (P, r -f d) dan titik P, djika d = r, lingkaran (P, r + d), djika d > r ; jang terletak sama djauh dari dua garis Z dan m jang sedjadjar, adalah garis paralleltengah Z dan m.

Tempat kedudukan pusat lingkaran-lingkaran dengan djari-djari r, ja n g : e. melalui sebuah titik T, ialah lingkaran (T, r ) ; /. m enjinggung sebuah garis Z, terdiri dari dua garis m dan m ’, jang kedua-duanja sedjadjar dengan Z dan terletak sedjauh r dari Z. 32

g.

menjinggung sebuah lingkaran (P, R) (r # R), terdiri dari dua lingkaran jang sepusat, jakni (P, R + r) dan (P, 1 R — r I).

Tempat kedudukan pusat lingkaran-lingkaran, jang h. menjinggung sebuah garis l pada sebuah titik T, adalah garis jan g . dibuat melalui T tegakjurus pada / ; titik T sendiri tidak termasuk, sehingga tempat kedudukannja terdiri dari dua sinar (garisputus); i. menjinggung lingkaran L dengan pusat P pada titik T adalah garis PT tanpa titik T ; /.

menjinggung dua garis sedjadjar / dan m. adalah garis parallel tengah l dan m ;

k.

menjinggung dua garis / dan m jang potong-memotong, terdiri dari garisbagi-garisbagi sudut-sudut antara / dan m, tanpa titikpotong mereka.

Terkadang kadang sebuah titik P dianggap sebagai lingkaran dengan pusat P dan djari-djari O. Lingkaran demikian ini djuga disebut [ingkaran titik atau lingkaran nol. Lingkaran nol dianggap menjinggung tiap-tiap garis atau tiap-tiap lingkaran jang m elaluinja. D jika ling karan-lingkaran nol ini turut kami perhatikan, m aka pada tem pat kedudukan h, i dan k tidak perlu diadakan perketjualian, artinja : garis-garis jang tersebut disitu seluruhnja mendjadi sebagian dari tempat kedudukan.

§ 9. Dalam tjontoh-tjontoh fatsal jang lalu setiap kali dikatakan bangun jang m analah mendjadi tempat kedudukan ; tetapi soal-soal sematjam itu seringkali diberi bentuk sbb. ; „tentukanlah tem pat kedudukan dari......... ” ; djadi tem pat kedudukannja harus ditjari terlebih dahulu. Seterusnja soal-soal tentang tempat kedudukan akan kita berikan bentuk sematjam itu; memang lebih baik djika para pem batja mentjari tem pat kedudukan itu sendiri, daripada hanja m em buktikan sadja hal-hal jang telah diketemukan oleh orang lain. TJ O N T O H

4.

Tentukanlah tempat kedudukan titikpertengahan talibusur-talibusur suatu lingkaran, jang terletak pada garis-garis jang melalui sebuah titik T. P e n j e l i d i k a n . Dianggap dulu bahwa T terletak didalam lingkaran dan tidak berim pit dengan pusatnja. U ntuk m endapat gambaran sedikit

33 Pianimetri — 3.

tentang tem pat kedudukan jang ditjari, k ita t j ari terlebih dulu beberapa titik istimewa dari tem pat kedudukan itu ; jakni pusat P dari lingkaran itu, dan titik T sendiri. Selandjutnja titikpertengahan M dari sebarang talibusur CD jang melalui T tidak terletak pada garis PT, sedangkan tem pat kedudukannja harus symmetris terhadap AB. Maka tim bullah persangkaan, bahwa setiap titik dari tempat kedudukan harus terletak pada lingkaran jang bergaristengahkan PT .

Gb. 18: Tempat kedudukan titik2 pertengahan talibusur- jang m elalui T.

Ini dapat dibuktikan sbb. ; D i k e t a h u i : lingkaran

(P, P A) ; T terletak didalam lingkaran itu ; AB ialah garistengah jang melalui T ; C D sebuah talibusur jang melalui T ; M adalah pertengahan. C D dan Q pertengahan P T. A kan

dibuktikan

: M terletak pada lingkaran (Q, Q P).

B u k t i : Menurut dalil 20, m aka a P M C ^ A P M D ,

=

90°, sehingga Q M =

djadi /_ P M T

PQ (dalil 28 a).

Sekarang kita buktikan bagian kedua, jakni, bahwa setiap titik pada lingkaran jang bergaristengahkan P T adalah sebagian dari tempat kedudukan. D i k e t a h u i : (lihatlah gambar 18). M ialah sebuah titik pada lingkaran

(Q, P Q). d i b u k t i k a n : M adalah titikpertengahan sebuah talibusur ling karan (P, P A) jang melalui T.

A kan

B u k t i : Ini adalah akibat dari dalil 28 b, 61 e dan dalil 56, djika M tidak terletak pada AB, sedangkan dalam penjelidikan telah ternjata bahwa titik-titik P dan T djuga m endjadi sebagian dari tem pat kedu dukan itu.

Perlu diterangkan, bahwa, djika T berimpit dengan P, m aka te m p at kedudukannja mendjadi lingkaran nol P. D jika T terletak pada lingkaran (P, P A), m aka dengan djalan seperti diatas terdapat lagi sebagai tem pat kedudukan lingkaran jang bergaristengahkan P T ; tetapi titik T harus diketjualikan, sebab dalam keadaan ini T bukan lagi titikpertengahan sebuah talibusur. 34

Sekarang kita anggap bahwa T terletak diluar lingkaran (P, P A). Pada penjelidikan tem pat kedudukan ternjata, bahwa P m endjadi lagi sebagian dari tem pat kedudukan, tetapi T tidak. Ternjata pula bahwa seluruh bagian pertama dari bukti diatas tetap berlaku, sehingga djelas bahw a tem pat kedudukan dalam keadaan ini terletak pada lingkaran ja n g bergaristengahkan PT. Bagian kedua dari bukti diatas, tentu sadja hanja berlaku u ntu k titik-titik lingkaran (Q, P Q) jang terletak didalam lingkaran (P, P A). Oleh karena itu tempat kedudukannja terdiri dari busur F P G dari ling karan (Q, Q P), jang terletak didalam lingkaran (P , P A). D jika suatu tempat kedudukan hanja terdiri dari sebagian dari suatu garislurus atau garislengkung sadja, m aka udjungudjung bagian itu disebut titikbatas tem pat kedudukan ; titikbatas ini tidak selalu men djadi sebagian dari tem pat kedudukan. D alam gambar 19 m isalnja, titik F dan G

B

m endjadi titikbatas dari tem pat kedudukan, f e r t ^ a h m & u ^ ) 1 ^ %* tetapi tidak termasuk tem pat kedudukan itu. pandjangatm ja melalui T T J O N T O H

5a.

Diketahui dua garis l dan m jang potong-memotong, dan sepotong garis a. Tentukanlah tempat kedudukan titik-titik, jang djumlah djaraknja ke l dan ke m sama dengan a. (lihatlah gb. 20 a). D jik a kedua garis jang berdjarak a ke / disebut lx dan /2 (ini berarti bahwa // l // L dan / terletak antara

P en jelid ik a n

Gb. 20a:

D ju m lah djarak P — l dan djarak P — m adalah a.

35

/, dan /s), dan kedua garis jang berdjarak a dari m disebu^ w, dan m 2, m a k a terdapatlah beberapa titik dari tem pat kedudukan, jakni titikp otong A dan C dari / dengan mt dan /n2, dan titikpotong B dan D dari m dengan /a da /2. Titik-titik jang lain dari tem pat kedudukan harus m em punjai djarak antara O dan a ke / dan m. D jadi titik- titik ini terletak antara l dan lx atau antara l dan /2, tetapi djuga antara tn dan /??! atau m2, djadi terletak didalam salah satu dari keempat belahketupat jang bertitiksudutkan S. K ita selidiki sekarang titik-titik didalam belahketupat S A E B. D ju m la h djarak mereka ke / dan lL sama dengan a, sebab mereka terletak diantara / dan lx ; sedangkan kedua garis ini sedjadjar dengan djarak o. D jadi titik sem atjam itu (misalnja P) akan m endjadi titik dari tem pat kedudukan, djika djum lah djarak P ke / dan m sama dengan d ju m la h djarak ke / dan Zx, djadi djika P m em punjai djarak jang sama ke /x dan mx, artinja djika P terletak pada diagonal A B dari belahketupat. Dengan melakukan penjelidikan ini dalam ketiga belahketupat ja n g lain didapat, bahwa tem pat kedudukan jang ditjari adalah em pat persegipandjang A B C D. B u k t i : Penjelidikan diatas telah disusun sedemikian, sehingga ternjata

semua titik pada empatpersegipandjang A B C D memenuhi pertanjaan, sedangkan semua titik lainnja tidak memenuhi. Pem batja dipersilahkan m em buktikan sendiri sekali lagi, bahwa setiap titik dari empatpersegipandjang memenuhi, dan djuga sebaliknja ; m isalnja dengan m em buktikan bahwa, djika u ntu k titik S did a lam /_ A S B djum lah djaraknja ke l dan ke m sama dengan a, tentu segitiga A Q S (Q pada /, sehingga SQ // /n) samakaki (garistinggi dari A sama dengan garistinggi dari S) ; sehingga ¿ P A S = / . P A B , djadi S terletak pada A B. T J O N T O H

5b.

Tentukanlah tempat kedudukan titik-titik jang selisih djaraknja ke l dan ke m sama dengan a. (Disini jang dim aksud dengan selisih ialah harga m utlak dari selisih). P e n j e l i d i k a n . Titik-titik A, B , C dan D djuga m endjadi sebagian dari

tem pat kedudukan ini. Dari titik-titik jang lain: mereka jang d jarak nja ke / lebih besar a daripada djaraknja ke m, harus ditjari dalam sudutsudut E B M , M B F , G D N dan N D H, sedangkan, titik-titik jang d ja ra k n ja ke m lebih besar a daripada djaraknja ke l, tentu terdapat didalam sudut-sudut F C L, L C G, H A K dan K A E. U n tu k sebuah 36

titik didalam

E B M, djarak ke l lebih besar a daripada djarak ke /x.

D jadi supaja djarak ke l djuga lebih besar a daripada djarak ke m, m aka djarak ke lx harus sama dengan djarak ke m ; oleh karena itu titik tadi harus terletak pada sinar jang membagi dua sama /_ E B M, djadi pada perpandjangan C B. D jik a daerah dalam dari ketudjuh sudut jang lain diselidiki setjara ini, m aka terdapat, bahwa tem pat kedudukan jang ditjari terdiri atas titik-titik A, B, C dan D dan kedelapan buah perpandjangan sisi empat persegipandjang A B C D ; dengan lain per kataan : terdiri atas keempat garissisi empatpersegipandjang tanpa sisi-sisinja. B u k t i : ini

§

sudah terkandung dalam penjelidikan diatas.

10.

D jika tem pat kedudukan jang ditjari, didjelaskan dengan lukisan, jang menghasilkan sebuah titik dari tem pat kedudukan itu, dengan lain perkataan djika tem pat kedudukan dianggap sebagai dialan jang dilalui oleh sebuah titik dari suatu bangun jang berubah-ubah, m aka kita m entjoba m endapatkan hubungan-hubungan jang niudah antara titik-titik (garis-garis, dst.) jang berubah-ubah dengan jang tetap. Kerap kali nam pak dari hubungan-hubungan tadi, bahwa titik-titik jang dihasilkan dengan lukisan-lukisan tadi, semuanja terletak pada sebuah garis atau sebuah lingkaran jang tetap. Sesudah ini masih perlu diselidiki apakah semua titik dari garis atau lingkaran itu mendjadi titik dari tem pat kedudukan ; djika tidak, perlu diselidiki titik-titik jang m anakah termasuk pada tem pat kedudukan. Misalnja : dalam tjontoh 4 titik M jang berubah-ubah m em punjai djarak jang tetap (jakni P Q) ketitikpertengahan Q dari PT. D jadi 37

semua titik M terletak pada lingkaran (Q, Q P). Setelah diselidiki lebih la n d ju t ternjata, bahwa : 1 . seluruh lingkaran (Q, Q P) m endjadi tem pat kedudukan, djika T terletak dalam lingkaran jang diketahui ; 2. Seluruh lingkaran itu ketjuali titik T mendjadi tempat kedudukan djika T terletak pada lingkaran jang diketahui ; 3. busur P P G dari lingkaran ini jang terletak didalam lingkaran jang diketahui, m endjadi tem pat kedudukan, djika T terletak diluar lingkaran jang diketahui. Kesukaran jang masih kita alami ialah mengetahui titik-titik atau garis-garis tetap jang m em punjai hubungan m udah dengan setiap titik dari tem pat kedudukan. Biasanja dimulai dengan (bandingkanlah dengan tjontoh 4) mentjari tit'k-titik istimewa dari tem pat kedudukan'; sehabis itu kerap kali telah nam pak, bangun jang m ana akan m endjadi tem pat kedudukan, seluruhnja atau hanja u ntuk sebagian sadja. Ini terutam a berlaku untuk ilmu ukur kita, sebab disini hanja dib itjara k a n tentang garislurus dan lingkaran, atau bagian-bagian mereka. D jik a tiga titik dari tem pat kedudukan terletak pada satu garis, m aka besar kem ungkinannja, bahwa garis itu, atau sebagian dari garis itu, m endjadi sebagian dari tempat kedudukan jang ditjari. D jik a tiga titik dari tempat kedudukan tidak terletak pada satu garis, m aka ada kem ung kinan, bahwa lingkaran jang melalui ketiga titik tadi, atau sebagian daripadanja, mendjadi sebagian dari tem pat kedudukan jang ditjari. Jang sangat perlu kita perhatikan., ialah titikbatas-titikbatasnja tem pat k e d u d u k a n ; meskipun mereka tidak selalu m endjadi sebagian dari tempat kedudukan tetapi seringkali mereka dapat m endjadi pe tundjuk dalam penjelidikan. Selandjutnja perlu djuga diselidiki, apakah barangkali tem pat kedudukan jang ditjari symmetris terhadap suatu garis l ; dengan lain perkataan: djika suatu titik T mendjadi salah satu titik dari tempatkedudukan apakah djuga bajangantjerm innja PS di / djuga m endjadi sebagian dari tem pat kedudukan. D jik a tem pat kedudukan itu terdiri dari sebuah garis m jang berlainan dengan /, m aka m harus berdiri tegaklurus pada l, djika tem pat kedudukan itu terdiri dari dua garis m, dan m2, tentu / mendjadi garisbagi (ml5 m2) atau, djika tn^ dan m z sedjadjar, / mendjadi garis paralleltengah antara dan m 2 ; d jik a tem pat kedudukannja sebuah lingkaran, tentu pusatnja terletak pada / (bandingkanlah dengan tjontoh 4). A chirnja diperingatkan, bahwa tem pat kedudukan jang ditjari, tid a k tentu berupa sebuah bangun jang terdiri dari garis-garis ja n g lurus atau lengkung, atau bagian-bagiannja, tetapi djuga m un gk in terdiri dari satu atau beberapa bagian bidang. M isalnja: tem pat kedu 38

dukan titik-titik jang djaraknja ketitik A lebih besar daripada djaraknja ketitik B, terdiri dari setengah bidang jang terletak'dengan B disatu pihak terhadap sumbu A B, dan bergarisbataskan sum bu A B. Uraian diatas ini akan kita djelaskan dengan beberapa tjontoh. Pada tjontoh ke-enam dan ketudjuh hanja kita selidiki bangun apakah kira-kira akan m endjadi tem pat kedudukan. Penjelidikan selandjutnja diserahkan kepada pembatja. T JO N T O H

6.

Diketahui sebuah sudut siku-siku X O V dan sepotong garis c. Pada kaki O X diam bil titik A dan pada O Y titik B, sehingga A B — c. Tentukanlah djalan jang dilalui titikperiengahan M dari A B, djika A bergerak sepandjang O X . P e n j e l i d i k a n : D jik a pada O X dan O Y

diletakkan segmentgaris O D = O E = c, m aka titikpertengahan K dan L dari O D Gb. 21: Seperempat lingkaran dan O E adalah titikbatas dari tem pat K M L ialah djalan M . kedudukan titik M ; tetapi mereka bukan sebagian dari tempat kedudukan itu. D jik a seterusnja digam bar A B = Ax B, = A , B j = c, dengan titikpertengahan mereka M, M, dan M2, m aka nam paklah, bahwa tilik-titik ini tidak terletak pada satu garis dengan K dan L,sehingga besar kem ungkinan bahwa djalan M adalah busur K M L dari lingkaran (O, \ c). _ A2 K

A, A

T J O N T O H

7

Diketahui sebuah empatpersegipandjang A B C D ; pada sisi A B diambil titik P dan pada sisi D C titik Q, sehingga P Q jf A D . Tentukan lah djalan jang dilalui titikpotong S dari kedua diagonal empatpersegi pandjang A P Q D , djika P bergerak sepandjang sisi A B. P e n j e l i d i k a n : Titikpertengahan M dari

A D dan titikpotong N dari kedua dia gonal empatpersegipandjang A B C D ada lah titikbatas dari tem pat kedudukan S, tetapi bukan sebagian dari tempat kedudukan itu. Karena M, S dan N terletak pada satu garis, m aka besar 39

kem ungkinan bahwa segmentgaris M N adalah tem pat kedudukan S. Sekarang kita berikan penjelesaian lengkap dari beberapa tem pat kedudukan jang agak sulit. T JO N T O H

8.

■Pada kaki A C sudut B A C terletak sebuah titik tetap T. Pada A C diam bil sebuah titik Q antara A dan T. Kemudian pada kaki A B diam bil titik P , sehingga A P — T Q. Tentukanlah tempat kedudukan titikpertengahan P Q, djika Q bergerak sepandiang A T. P e n j e l i d i k a n : (lihatlah gb. 23 a). D jika Q berada di A, tentu P berada di T ' (AT' = A T ) ; djika Q terletak di T, tentu P terletak di A. D jadi titikpertengahan X 2 dan X;, dari A T ' dan AT adalah titikbatas t. k. titikpertengahan X dari P Q. Karena dalam gambar nam pak, bahwa X terletak pada segmentgaris X x X 2, m aka akan kita buktikan bahwa segmentgaris ini adalah tempat kedudukan jang ditjari.

A Gb. 23b: X pada X 1X 2 dan X P = X Q , maka A P = QT.

a.

M udah dapat

dimengerti,

bahwa

kita

pindah

salah

satu dari

kedua segmentgaris jang sama, sehingga bersekutu satu u djung dengan jang lain ; djadi A P digeser menurut vector A Q ; A P m endjadi Q Pv ; dalam A T Q P„ berlaku /_ T = 90° — % a ; ini berlaku dengan tidak tergantung pada pandjangnja T Q ; m aka Pv bergerak sepandjang segmentgaris TT' (AT' = AT). A P Pv Q ialah sebuah djadjarangendjang (dalil 43). D jadi A X = i a P v (dalil 41). D iadi titik-titik X terletak pada garis paralleltengah X 1 X , // T ' T. 40

b.

Diketahui pada gb. 23 b : X ialah sebuah titik pada garis paralleltengah X 5 X 2 ; P X = X Q ; harus dibuktikan, bahwa Q T = A P.

Perpandjanglah A X hingga memotong T T ' d i R ; A X = X R ; P X = X Q ; djadi A P R Q adalah sebuah djadjarangendjang ; A P = Q R dan Q R = Q T ; sebab A T ' = A T dan Q R // A T ', sehingga dalam A Q R T berlaku /_ T = / _ R. Dengan demikian telah dibuktikan dengan lengkap, bahwa X x X , adalah tem pat kedudukan jang ditjari. T JO N T O H

9.

Diketahui segmentgaris A B dan garis l jang dibuat melalui titik C di A B dan tegaklurus pada A B. Sebuah titik P pada l dihubungkan dengan A dan B; kemudian di A dibuat garis tegaklurus pada A P dan di B garis tegaklurus pada B P . Tentukanlah tempat kedudukan titikpotong Q dari kedua garis tegaklurus ini. djik a P bergerak sepandjang garis L. P e n j e l i d i k a n (lihatlah gb. 24). Dari apa jang diketahui nam pak, bahwa tem pat kedudukan jang ditjari adalah harus symmetris terhadap A B. D jika digambar beberapa titik dari tem pat kedudukan itu, m isalnja Q dan Q j dan bajangantjerm in mereka Q 0 dan Q10 pada A B, m aka tim bullah persangkaan, bahwa tem pat kedudukan itu adalah garis m jang tegaklurus pada AB. Disini Qs terdapat dari P ls jang terletak pada /, sehingga /_ A Px B = 90°; djadi A Pj B Qt adalah sebuah einpatpersegi pandjang, sehingga titikpertengahan M dari Pj Qj djuga inendjadi titik pertengahan dari A B. D jadi M djuga terletak ditengah-tengah antara l dan m.

•A

Gb. 24: Penjelidikan tempat kedudukan.

B

Gb. 25: P pada l, maka Q pada m.

41

a.

b.

§

K ita mulai lagi dengan m em buktikan bahwa setiap titik Q dari tem pat kedudukan terletak pada m (lihatlah gb. 25); m ini d ib u a t sedemikian sehingga sumbu segmentgaris A B m endjadi garis paralleltengah l dan m. D jik a O titikpertengahan P Q, m aka O A = O B = i PQ sehingga O terletak pada sumbu A B. D jika melalui O dibuat segmentgaris E F // A B, m aka A P O E ^ A Q O F (dalil 17), djadi O F Q = 90° dan karena F terletak pada rn, m aka Q tentu terletak djuga di m. Disini P dianggap sebuah titik dari 1, jang berlainan daripada C, sebab djika P berimpit dengan C. m aka tidak terdapat titik Q jang bersesuaian dengan P. Sebaliknja sekarang kita harus menjelidiki, apakah setiap titik Q dari m diuga mendjadi sebagian dari tem pat kedudukan. Penjelidikan ini djalannja sangat menjerupai penjelidikan diatas, sebab tjara terdjadinja P dari Q, sama sadja dengan tjara terdapatnja Q dari P. H anja djika Q berimpit dengan titikpotong D antara m dan AB, m aka pada titik Q ini tidak terdapat sebuah titik P. Dari a dan b ternjata, bahwa tempat kedudukan jang ditanjakan terdiri dari garis m tanpa titik D. 11.

Dalam mengerdjakan lukisan, tempat kedudukan sangat berguna untuk menentukan sebuah titik jang harus memenuhi dua sjarat. Sebab djika diketahui tempat kedudukan titik-titik jang memenuhi sjarat jang pertama dan djuga tempat kedudukan titik-titik jang m emenuhi sjarat jang kedua, tentu titik-titik persekutuan kedua tem pat kedudukan tadi memenuhi kedua sjarat. D jika kedua tempat kedudukan itu ter njata tidak bersekutu setitikpun*' m aka lukisan itu tidak m ungkin. Disini kita berikan dua tjontoh lukisan jang menggunakan tempat ke dudukan-, misalnja diketahui titik-titik A, B dan C dan segmentgaris a; sebuah titik X jang mempunjai djarak sama ke A dan ke B, harus ter letak pada sumbu m dari AB; djika X harus terletak sedjauh a dari C, tentu X djuga terletak pada lingkaran (G, a); titikpotong-titikpotong m dan lingkaran ini ialah titik-titik jang ditanjakan. B anjaknja titik jang terdapat tergantung kepada letaknja garis m terhadap lingkaran itu. T J O N T O H 10.

Melukis sebuah lingkaran dengan djari-djari a, jang memotong lingkaran (P lf rx) tegaklurus dan membagi dua sama lingkaran ( P 2, ra) (artinja: melalui udjung-udjung sebuah garistengah lingkaran ini.) 42

P e n j e l e s a i a n (gb. 26). X , ialah sebuah lingkaran jang memotong Lj di Si dengan sudut siku-siku. U ntuk setiap lingkaran lain (N, a) ja n g memotong tegaklurus di S, m aka A Pi S N ^ A Pa S2 Nlt sehingga N terletak pada lingkaran (PI; Px Nx). Sebaliknja lingkaran (N, a), djika N terletak pada lingkaran K1; akan memotong tegaklurus lingkaran (Pi> ri) dikedua titik S, jang menjebabkan A Pi S N A Pi Sx Nv D jad i lingkaran Kj adalah tem pat kedudukan pusat lingkaran-lingkaran jan g berdjari-djari a dan memotong tegaklurus lingkaran (Plt r^.

Pada gb. 27 Ox ialah pusat sebuah lingkaran Y x dengan djari-djari a jang membagi dua sama lingkaran L2 (P2. r2); didapat lingkaran K 2 (P2. P2 Oj) sebagai tempat kedudukan pusat lingkaran-lingkaran dengan djari-djari a. jang membagi dua sama lingkaran L2. D jadi u ntuk kedua titikpotong dan M2 dari kedua lingkaran K x dan K 2. dan hanja u ntu k kedua titik ini sadja. berlaku bahwa lingkaran-lingkaran jang berpusatkan titik itu dan berdjari-djari a memenuhi pertanjaan.

§12.

SOAL-SOAL.

1. Diketahui dua titik A dan B; melalui A dibuat sebuah garis / dan melalui B sebuah garis m l l. T entukanlah tem pat kedudukan titik potong S dari l dan m, djika / berputar pada A. 2.

D alam sebuah trapesium samakaki A B C D (AB // DC) dibuat sebuah segmentgaris P Q (P pada A D , Q pada BC) sedjadjar dengan AB. Tentukanlah tem pat kedudukan titikpotong S dari kedua diagonal trapesium A B Q P, djika P bergerak sepandjang sisi A D. 43

3.

D iketahui sebuah garis g, sebuah lingkaran (P, R) dan sebuah segmentgaris r(R •> r). Tentukanlah tem pat kedudukan pusat sem ua lingkaran jang berdjari-djari r dan memotong g dan (P, R).

4. T entukanlah tem pat kedudukan titik-titik T dalam segitiga A BC , sehingga djarak T ke BC kurang daripada djarak T ke CA, sedang kan djarak T ke CA lebih ketjil daripada djarak T ke AB. 5.

D ua garis l dan m potong memotong di S, a ialah sebuah segmentgaris. Tentukanlah tem pat kedudukan titik-titik, jan g d ja ra k n ja ke S kurang daripada a, dan terletak lebih dekat ke l dari pada ke m.

6. Tentukanlah tem pat kedudukan pusat lingkaran-lingkaran jan g memotong talibusur jang sama pandjangnja dari garissisi A B dan AC dari A ABC dan menjinggung garissisi BC. 7. a. Diketahui sebuah budjursangkar A B C D dengan sisi a, pada perpandjang an D A terletak t itik E, sehingga A E = a. M elalui E d ibu at garis g // AB. T entukanlah tem pat kedudukan pusat lingkaran jang m enjing gung g dan paling sedikit salah satu sisi budjursangkar. b. Seperti soal diatas, tetapi sekarang E diam bil pada perpandjangan CA, sehingga A E = a dan g // B D. 8. Pada kaki AB dan kaki AC suatu sudut A diam bil titik D dan E jang berubah-ubah, sehingga A D + A E = a. Tentukanlah tem pat kedudukan titikpotong P dari garis tegaklurus dari D ke A B dan dari E ke AC. 9. a. Dua lingkaran (M, R) dan (N, r) singgung-menjinggung dari luar di A. Sebuah garis m jang melalui A memotong lingkaran jang pertama sekali lagi di B; garis n jang dibuat di A tegaklurus pada m, memotong lingkaran jang kedua sekali lagi di C. T en tukanlah tempat kedudukan titikpertengahan K dari BC, d jik a m berputar pada A.

b. Seperti soal diatas, djika (M, R) dan (N, r) singgung-menjinggung dari dalam di A. 10. a. D ik e tah ui sebuah b udjursangkar jang- bersisi a.

T e n tu k a n la h

tem pa t k edudukan titik - titik ja n g d ju m la h d ja ra k n ja keem pat garissisi sama dengan 4 a.

44

kepada

b. Seperti diatas, djika djum lah djaraknja Iiarus sama dengan 2 a. c. D juga, djika d ju m lah djaraknja sama dengan a. 1 1 . a. Diketahui dua garis l dan m dan sebuah lingkaran L. T entu kanlah sebuah titik jang terletak sama djauh dari / dan m, sedangkan dilihat dari titik itu lingkaran L nam pak sebesar 30°.

b.

Lukislah djuga sebuah titik jang terletak sedjauh adari ling karan L, sedangkan djum lah djarak dari titik itu ke / dan ke m sama dengan b.

12.

D iketahui budjursangkar A B C D ; E ialah titikpertengahan A B dan F titikpertengahan CD. Lukislah sebuah lingkaran jang menjinggung E F dan paling sedikit salah satu sisi budjursangkar, lagi me m otong talibusur-talibusur jan g sama dari AC dan D E .

13.

D iketahui sebuah budjursangkar A BC D dengan sisi a ; pada perpandjangan CA terletak titik E, sehingga A E = o. Melalui E dibuat garis g j/ A B. Lukislah lingkaran jang m enjinggung g dan salah satu garissisi budjursangkar dan dari E nam pak sebesar 60°.

14.

Sebuah budjursangkar A B C D bersisi a; selandjutnja pada perpandjangan sisi BC diletakkan sebuah titik M sehingga C M — A C. D ib u at lingkaran v dengan pusat M dan djari-djari M D. Lukislah semua titik jang djum lah djaraknja kesemua garissisi sama dengan 5 a dan jang terletak sedjauh a dari lingkaran y.

15.

D iketahui dua garis / dan m, dua segmentgaris a dan r dan sebuah sudut 9 . Lukislah sebuah lingkaran dengan djari-djari r, jang me m otong talibusur ja n g pandjangnja 2 a dari /, dan memotong m dengan sudut 9

.

16.

D iketahui sebuah titik M dan segmentgaris a, beserta sebuah garis / jang terletak sedjauh 5 a dari M. Lukislah semua lingkaran jang m enjinggung / dan kedua lingkaran concentris (M, 4 a) dan (M, 6 a).

17.

D iluar lingkaran L terletak sebuah titik T. Lukislah sebuah garis melalui T, sehingga talibusur jang terpotong dari garis itu oleh lingkaran L, dibagi dua sama oleh lingkaran K jang djuga di ketahui. 45

18. D iketahui sebuah lingkaran (P, r) dan sebuah segmentgaris a < 2r beserta tiga garis l. m dan n. Dari suatu djadjarangendjang A B C D diketahui bahwa A terletak pada /, C pada m, dan B dan D pada lingkaran (P, r); selandjutnja AC//n dan BD = a. Lukislah d ja djarangendjang itu. U ntuk buktinja boleh dipergunakan akibat dari dalil 82. C 19.

46

Lukislah garisbagi suatu sudut, jang titik sud u tnja terletak diluar kertas gambar.

UL A N G A N

PERTAMA.

§ 13. 1.

Dalam ABC a — 15° dan y = 90°; CD ialah garistinggi pada AB. B u k tik a n lah bahwa A B = 4 CD.

2.

D iketahui dua sebuah titik T. itu oleh kedua mentgaris jang

3.

Diketahui dua garis l dan rn jang potong memotong, dan dua titik P dan Q jang terletak dalam salah satu sudut lantjip antara Z dan m. T entukanlah pada l sebuah titik X dan pada rn sebuah titik Y sehingga P X + X Y -j- Y Q m endjadi seketjilketjilnja.

4.

a. Melalui titik sudut A djadjarangendjang A B C D dibuat garis g. Harus dib uktikan bahwa djarak dari C ke g sama dengan d ju m lah atau selisih djarak dari B dan D ke g, ja ’ni d ju m lah djika g (tanpa titik A) terletak seluruhnja diluar djadjarangendjang tadi, dan selisih, djika tidak dem ikian halnja. b. Lukislah melalui titiksudut A segitiga ABC sebuah garis, sehing ga djum lah atau selisih garis-garis, jang dibuat dari B dan dari C tegaklurus pada garis tadi, m endjadi sama dengan sebuah segmentgaris jang diketahui.

5.

H ubungkanlah kedua kaki sesuatu sudut dengan sebuah segmentgaris jang pandjangnja sama dengan a dan sedjadjar dengan sebuah garis g.

pasang garis jang sedjadjar lx // L dan ml // nu, dan Lukislah sebuah garis melalui T, sehingga dari garis pasang garis jang sedjadjar tadi terpotong dua segsama pandjangnja.

6 . D iketahui sebuah sudut dan sebuah titik T didalam sudut itu. Me lalui T harus dibuat sebuah garis, sehingga segmentgaris jang ter potong dari garis itu oleh kedua kaki sudut tadi, terbagi dua sama oleh titik T. 7.

Lukislah lingkaran-lingkaran jang berpusatkan titiksudut-titiksudut suatu segitiga, dan jang sepasang sepasang singgung-menjinggung.

8.

Lukislah melalui dua titik A dan B dua garis sedjadjar, jang me m otong sebuah segmentgaris a dari sebuah garis g.

47

... a cam asi si ABC terletak sebuah titik T. D idalam sebuah segi i* d ilukis sebuah segitiga jang sisiB uktikanlah, b a h w a selalu dapat

9.

sisinja sama dengan TA, T

a

, 4. ABCD (AB // DC) djika diketahui: alas Lukislah seb“ a i rap CAB dan bjniedian A B dan CD ( = segmentA B , diagona , ftitikpertengahan A B dengan titikpergaris jang menghubungkan & &

10.

tengahan CD). 11

.

Tilkislah sebuah segitiga samakaki djika diketahui letak, puntjaknja dan paiidjang aâsnja, sedangkan udjung-udjung a.asnja harus terletak pada dua garis jang sedjadjar.

,2.

a. Diketahui sebuah sudut siku-siku X O Y dan segmentgaris Pada O X diletakkan sebuah titik A dan pada O Y sebuah titik B sehingga OA + OB = a. D jik a C titik sud u t keempat dari empat persegipandjang AOBC, tentukanlah tem pat kedudukan titik C.

b. Buktikanlah, bahwa garis jang dibuat d an C tegaklurus pada AB melalui sebuah titik jang tetap. 13. Pada kaki AB suatu sudut BAC terletak sebuah titik P. T entukan lah pada kaki itu djuga sebuah titik Q, jang terletak sama djauh dari P dan dari garis AC. 14.

Diketahui sebuah lingkaran (P, i') dan dua titik A dan B. B uatlah melalui A dan B dua garis sedjadjar, sehingga dari kedua garis ini oleh lingkaran (P. r) terpotong dua talibusur jang sama pandjangnja.

15.

B uktikanlah, bahwa pernjataan dibawah ini salah : djika dalam sebuah segitiga salah satu sudut sama dengan dua kali salah sebuah sudut ja n g lain, tentu sisi didepan sudut jang pertama sama dengan dua kali sisi didepan sudut jang kedua.

16.

48

a. Diketahui sebuah lingkaran L dan dua garis l dan m jang potong memotong. Tentukanlah pada L sebuah titik T, sehingga djum lah d j arak dari T ke l dan ke m m endjadi seketjil-ketjilnja. b. Tentukanlah pada L sebuah titik Q djuga, sehingga djum lah djarak dari Q ke l dan ke m mendjadi sebesar-besarnja.

17.

Dalam segitiga Iantjip ABC a > (3. Pada sisi AB diletakkan titik T, sehingga CAT > /_ CTA. Kem udian pada TC diletakkan segmentgaris TQ = AC, lalu ditetapkan titikpertengahan R dari CQ. Buktikanlah, bahwa R B + RT > CA -f- CB.

18.

Buktikanlah, bahwa djum lah ketiga garisberat suatu segitiga lebih ketjil daripada kelilingnja dan lebih besar daripada 3/4 kelilingnja.

19. Tentukanlah tempat kedudukan titikpertengahan segmentgarissegmentgaris PQ, jang salah satu udjungnja, ja ’ni P, terletak pada sisi AB, dan udjung jang lain, ja ’ni Q, terletak pada sisi CD suatu segiempat A BCD jang diketahui. 20.

Dalam budjursangkar ABCD garisbagi /_ BAC memotong sisi BC di E. B uktikanlah, bahwa AB + BE = AC.

21.

Dalam A ABC a > b > c dan 1 adalah pusat lingkaran Buktikanlah, bahwa IA < IB < IC.

22.

Diketahui dua lingkaran jang terletak diluar sesamanja dan jang berpusatkan M dan N. Buktikanlah, bahwa titikpotong kedua garissinggung persekutuan-dalam mereka dengan kedua garissinggung persekutuan-luar mereka terletak pada satu lingkaran, jang bergaris-tengahan MN.

23.

Dalam suatu segitiga santakaki BAC dengan pu ntjak A terletak sebuah titik T sehingga /_ TAB > /_ TAC; buktikanlah bahwa ¿_ T BA > /_ TCA.

24.

Diketahui sebuah garis g beserta dua titik A dan B jang terletak di satu pihak terhadap g. Sebuah segmentgaris CD jang tetap pandjangnja, bergerak sepandjang g. Letakkanlah CD sedemikian, sehingga AC + CD + D B m endjadi seketjil-ketjil-

dalam.

nja. 25.

Dari segitiga. ABC diketahui a dan b, sedangkan a = 2p. Lukislah segitiga ini.

26.

Diketahui titik-titik A, P dan Q; harus dilukis sebuah budjursang kar A B C D jang garissisinja BC melalui P dan garissisinja CD me lalui Q. 49

Planimetri 4.

27.

Lukislah lingkaran dengan djari-djari r, jang m enjinggung garissisi A B dari A ABC dan m em otong segmentgaris-segmentgaris iarig sama pandjangnja dari kedua garissisi jang lain.

28.

Dalarri segiempat A B C D berlaku A D = BC; bu k tik an lah , bahvva bim edian A B dan CD sedjadjar dengan garisbagi salah satu sudut jang terbentuk oleh garissisi A D dan BC.

29.

Diketahui dua lingkaran Lx dan L2, suatu sudut a dan segment garis r. Lukislah lingkaran dengan djari-djari r, jang m em otong L, dengan sudut a dan membagi dua sama L 2

30.

Diketahui dua titik P dan R dan sebuah lingkaran L. Lukislah djadjarangendjang P Q R S , sehingga Q dan S terletak di L.

31. P dan Q ialah titikkaki garis-garis jang dibuat dari A tegaklurus pada garisbagi p dan v sesuatu A ABC. B uktikanlah, bahw a PQ // CB. 32. Z ialah titikberat A ABC; buktikanlah, bahwa dapat dibuat sebuah segitiga jang sisi-sisinja sama dengan ZA, ZB dan ZC. 33. Diketahui segmentgaris AB ; tentukanlah tem pat kedudukan titiktitik C dengan sifat, bahwa /_ C dalam A ABC tum pul dan C A > C B . 34. Dalam A ABC terletak sebuah titik T. Lukislah sebuah lingkaran jang melalui T, dan nam pak sama besar, djika dilihat dari A, B dan C. C — D; b u k tik an 35. Dalam segiempat ABCD /_ A = /_ B dan lah, bahwa segiempat itu adalah sebuah trapesium samakaki atau sebuah empat persegipandjang. 36. Titik P terletak pada BC dalam A ABC; berturut-turut dib uat PQ II BA {Q pada AC), Q R // CB (R pada AB), RS ¡j AC (S pada BC), ST ¡j BA (T pada AC), TU // CB (U pada AB). B uktikanlah, bahwa UP // AC. 37.

Diketahui

sebuah segmentgaris AB

dengan letak dan besarnja.

Tentukanlah tempat kedudukan pusat lingkaran-lingkaran jan g menjinggung segmentgaris ini, sedangkan kedua garissinggung dari A dan B jang lain harus sedjadjar. 1 50

38.

Diketahui dua lingkaran Lj dan L,, dan pada Lj sebuah titik T. Lukislah sebuah lingkaran jang m enjinggung Lj di T dan djuga m enjinggung L2.

39.

Pada sisi AC A ABC terletak titik T; tentukanlah pada sisi A B sebuah titik X , sehingga /_ A X T = /_ CXT .

40.

D iketahui lingkaran Lj, lingkaran L2 dan garis g. Lukislah garis x ¡j g, sehingga dari x oleh Lj dan L2 terpotong dua talibusur jang saina pandjangnja.

41.

D alam segienam titikpertengahan titikpertengahan M5, M 2M4M g dan

42.

D alam A A BC y = 90°; dari titikpertengahan D sisi BC D E J_ A B. D iik a garisbagi y disebut CF, buktikanlah / _ E C F > i p.

43.

D alam A ABC a dan ¡3 lantjip; dibuat A P J _ AC dan BQ J_ BC, sehingga A P = AC dan BQ = BC; A dan Q terletak disebelah menjebelah BC; B dan P disebelah menjebelah AC. B uktikanlah, bahwa AQ, B P dan garistinggi dari C dalam A ABC melalui satu titik . B uktikanlah djuga dalil ini djika a tum pul.

44.

a. Pada sisi-sisi AC dan BC dari A ABC dibuat kesebelah luar dua budjursangkar A C D E dan BCFG; P ialah pusat budjursangkar ja n g pertama, dan Q pusat budjursangkar jang kedua. D jik a titikpertengahan A B disebut M, buktikanlah bahwa M P = MQ dan M P J _ MQ.

A1 A 2A3A4A5A 6, titik-titik Mx, M ,, ..., M 6 ialah dari sisi-sisi A1 A„, A2A 3, ....... , A , ^ dan M 7 ialah A 2A5' B uktikanlah, bahwa segitiga-segitiga M jM 3 M3M 6M 7 bersekutu titikberatnja. dibuat bahwa

b. Pada sisi-sisi sebuah -segiempat dib uat kesebelah luar empat buah budjursangkar; pusat-pusat mereka disebut P, Q, R dan S. B uktikanlah bahwa P R = QS dan P R J_ QS. 45.

D alam budjursangkar A B C D terletak titik P, sehingga /_ PCD = /_ PD C = 15°. B uktikanlah, bahwa A PA B samasisi.

51

BAB P E R B A N D I N G A N

III. S E G M E N T G A R I S .

LUAS.

§ 14Dengan hasilbagi' atau perbandingan

dua segmentgaris a dan b

dim aksudkan perbandingan k dari pandjang mereka. K am i

tulis:

G

k, a = kb dan b = ^ T K D jik a k bilangan terukur, m aka a dan b disebut terukur relatif. D jik a k = ~ { m dan n bilangan asli), m aka segmentgaris —= ~ disebut

ukuran persekutuan a dan b. D jik a m dan n dalam k = - ^L prim us relatif (artinja: tidak m em punjai pembagi persekutuan selain dari 1 ), m aka cl ^ — (F=~ ) disebut ukuran persekutuan terbesar a dan b. D jika perbandingan dua buah segmentgaris sama dengan sebuah bilangan tidak terukur1), dengan lain perkataan: djika kedua segment garis tadi tidak m em punjai ukuran persekutuan, m aka mereka disebut ta’ terukur relatif. Misalnja sisi dan diagonal sebuah budjursangkar. Ini akan kita buktikan. Seandainja kedua segmentgaris ini m em punjai ukuran persekutuan a, tentu AB = na dan AC = ma; disini m dan n bilangan asli. D jik a E terletak pada AC, sehingga A E = AB = na dan E F _j_ AC, m aka B F = FE = EC = (m— n)a, djadi FC = (2n — m)a. D jadi, setelah mulai dari segitiga siku-siku samakaki ABC, didapat segitiga siku-siku samakaki FEC, jang sisi-sisinja lebih ketjil, tetapi djuga m em Gb. 28: A B dan A C tak punjai ukuran persekutuan a. D jik a diterukur relatif. lan djutkan apa jang telah dikerdjakan *) Mereka jang belum paham akan theori tentang bilangan tid a k te ru ku r, hendaklah menganggap bilangan ta ’ terukur sebagai bilangan, jang d jik a ditulis sebagai petjahan decimai, mem punjai angka dibelakang koma jang tid a k terbatas banjaknja, tetapi tida k repetent, Bilangan jang terukur, tetapi tid a k w utuh, dapat ditulis sebagai petjahan decimai jang putus, atau jang repetent.

52

diatas, m aka didapat segitiga siku-siku samakaki HGC, ja n g sisisisinja lebih ketjil lagi, dan djuga berukuran persekutuan a. Ini dapat diland ju tk an dengan tidak terbatas, sehingga bilangan-bilangan ja n g niew udjudkan pandjangnja AC, FC, HC dst. dengan a sebagai satuan, m erupakan suatu deret turun jang tidak terbatas dari bilangan-bilangan asli. Hal ini tentu sadja tidak m ungkin, sebab b an jak n ja bilangan asli jang m erupakan deret jang turun, tentu tid ak dapat melebihi suku deret ja n g pertama. D jadi anggapan diatas, bahwa A B dan AC m em punjai ukuran persekutuan, ternjata tidak dapat dipertahankan.

§ 15. Dengan segmentbidang segitiga dim aksud bangun jang terdiri dari titik-titik didalain dan pada suatu segitiga, djadi terdiri atas sebuah segitiga beserta daerah dalam nja. D jika ta ’ m ungkin tim bu l salah faham , m aka u n tu k m enjingkat dipakai perkataan segitiga sadja. Dengan seg mentbidang segibanjak dim aksud bangun jang terdiri dari titik-titik didalam dan pada beberapa segitiga jang berhubungan.D jika ta ’m enjebabkan salah faham ,dipakai perkataan segibanjak sadja.T itik dari segmentbidang ja n g dapat didjadikan pusat sebuah lingkaran jang didalainnja hanja terdapat titik-titik dari segmentbidang itu sadja, disebut titikdalam. T itik-titik ja n g lain dari segmentbidang itu disebut titik pada batas. Segm entbidang S dikatakan terdiri dari dua atau lebih segment bidang Si, Sa, Sn djika setiap titik dari S m endjadi sebagian dari paling sedikit salah satu dari seginentbidang-segmentbidang tersebut terachir, tetapi m endjadi titik d alam pada paling ban jak satu dari segmentbidang-segmentbidang itu, dan djika sebaliknja setiap titik dari Sx, S2 . . . ., S„, m endjadi titik dari S djuga. K epada segmentbidang diberikan bilangan positif jarig disebut bi langan ukuran, dengan mengingat sjarat-sjarat: 1°. segmentbidang jang sama dan sebangun m endapat bilangan ukur an jang sama, 2 °. bilangan ukuran jang diberikan kepada dju in lah dua atau lebih segmentbidang, sama dengan djum lah bilangan ukuran u n tu k segmentbidang-segmentbidang itu. D ua segment bidang Sx dan S2 disebut samaluasnia, atau dengan singkat sama (perhatikanlah perbedaan „sam a” dengan „congruent” atau ,,sama dan sebangun” ), d jik a bilangan ukuran mereka sama. D jik a bilangan ukuran Sx lebih besar daripada bilangan ukuran S2, m aka dika tak an, bahwa Sx lebih luas dari S2, atau luas lebih besar daripada luas S2, atau dengan singkat Sx lebih besar dari S2. Dikata‘kan djuga bahwa luas S 2 kurang daripada luas Sv atau S2 kurang dari pada Sa. 53

D jik a bilangan ukuran semua segmentbidang dikalikan dengan k (k > 0), m aka djelaslah bahwa kedua sjarat diatas tetap dipenuhi. Karena itu dapat diberikan bilangan ukuran 1 kepada sebarang seg m entbidang, jang kemudian disebut satuan luas. Jang kita pilih sebagai satuan luas ialah sebuah budjursangkar, jang sisinja sama dengan satuan pandjang. Bilangan ukuran suatu segmentbidang, disertai dengan nam a satuan jang dipakai, disebut luasnja segmentbidang itu. Kedua ukuran suatu empatpersegipandjang biasanja disebut p an djang dan lebar; dalam buku ini disingkat mendjadi p dan /. Dengan „empatpersegipandjang pada p dan atau lebih singkat „e m p a t persegipandjang (p, /)” dimaksudkan luasnja empatpersegipandjang jang sisi-sisinja sama dengan p dan l. Biasanja tidak dikatakan „lu asnja segmentbidang segitiga A B C ", melainkan dengan singkat „luasnja A A B C "; dan djika kita tulis „ A ABC — A A B D ” , m aka maksud kita ialah bahwa kedua segmentbidangnja sama luasnja. § 16.

DALIL

68.

Luasnja dua empatpersegipandjang jang sama lebarnja ( pandjangnja) berbanding sebagai pandjangnja (lebarnja). B u k t i : D jik a perbandingan pandjang px dan p 2 sama dengan bilangan terukur t/n (dalam gb. 29 t = 4 dan n = 7), maka dan p 2 m em punjai ukuran persekutuan g, jang dapat diukurkan t kali pada p1 dan n kali pada p2. D jik a melalui titiktitik pembagi pada dan p 2 dibuat garisgaris jang sediadjar dengan lebarnja, m aka kedua empatpersegipandjang ter bagi m endjadi t dan n empatpersegi pan djang jang sama dan sebangun.

Karena itu perbandingan luasnja Gb. 29: ax = a2, Lx .• L, = , dan L2 sama dengan tjn, djadi sama de ngan perbandingan px dan p 2.

: h-

D jik a perbandingan px dan p 2 sama dengan suatu bilangan k ja n g tidak terukur, tentu dapat diapitkan antara dua bilangan positif ter ukur p dan q (p < k < q), jang selisihnja dapat dib uat seketjilketjilnja. Sekarang pada A 2D 2 dan B2C2 terletak titik L dan titik K , se hingga A 2L = B2K = p. B ^ i dan pada perpandjangan A 2D 2 dan B 2D 2 terletak titik N dan titik M, sehingga A2N = B2M = q. B1 C1. M aka 54

N

d2 L

t2 t,

A,

B,

B,

luasnja empatpersegipandjang A 2B2C2D 2 terletak antara luasnja empatpersegi pandjang A2B2K L dan A2B2MN, djadi antara p kali dan q kali luasnja em pat persegipandjang A1 B1C1 D]. D jadi per bandingan luasnja empatpersegipandjang A 2B2C2D2 dan A]. B jC jD j’terletak antara p dan q, djadi karena p dan q dapat dipilih dengan sekehendak dekatnja pada k sama dengan k djadi sama de ngan perbandingan pandjang p /d a n P 2.

Gb. 3 0 : Luas empat persegi pandjang / IuBj Cj D, : luas empat persegi pandjang A 2B 2C2D 2 = B j C j : B 2C2. A k i b a t k e 1. Luas dua empatpersegipandjang berbanding sebagai hasil-perbanjakan pandjangnja dan lebarnja (alas dan tinggi). Sebab djika L luasnja empatpersegipandjang jang alasnja b dan tingginja t, dan Lx luasnja empatpersegipandjang dengan alas B dan tinggi T (lihatlah gb. 31), maka dengan menggunakan dalil 68 kita dapat m embandingkan luas L dan Lx dengan luas L2 dari sebuah empat persegipandjang jang alasnja B dan tingginja t. K am i dapat: = L; t = l: / __ L ^2 _ & t ^ an tercjapat_ Lj Z-2 B T lah jang harus dibuktikan. ¡Akibat B B dalil 68 ini djuga dapat kita utjapGb. 31: L j :L2 = b t: BT. kan sbb. : Luasnja sebuah empatpersegipandjang adalah sebanding madjemuk dengan pandjang dan lebarnja (alas dan tingginja). v D jik a dalam akibat dalil ini, sebagai empatpersegipandjang Lx dipakai sebuah budjur sangkar jang sisinja sama dengan satuan pandjang, djadi budjursangkar dengan bilangan ukuran 1 , m aka terdapatlah:

Bilangan ukuran j suatu empatpersegipandjang sama dengan hasilperbanjakan bilangan ukuran pandjang dan lebar (alas dan tinggi). ^ Dengan menggunakan theorie tentang berhitung dengan besaran jang bersatuan, m aka akibat kedua dalil 68 dapat diberi bentuk lain. Besaran bersatuan c kita sebut hasilperbanjakan dua besaran ber satuan a dan b dan kita tulis a b = c, .djika dengan satuan pokok jang m anapun (dan satuan tam bahan jang terdapat dari satuan pokok tadi, m isalnja cm dan cm2), hasilperbanjakan bilangan ukuran a dan b sama dengan bilangan ukuran c. Sekarang akibat ke 2 dalil 68 dapat diutjapkan sbb.: A k ibat

ke

2.

55

D A L I L 69.

Luas sebuah

empatpersegipandjang sama dengan hasilperbanjakan

pandjang dan lebar (alas dan tinggi). D A L IL

70.

§ 17.

Luas

iia ija r m g m iia n g sama

dengan

tinggin! a-

hasilperbanjakan alas dan

B u k t i . Pada

djadjarangendjang

ABCD alas AB = a; tinggi t ialah garis jang dibuat dari B tegaklurus pada CD; A F = B E = tSegiempat A B E F adalah sebuah empatpersegipandjang dengan li kuran a dan t. A AD F ^ A

Gb 32- L = a x t. BCE; luas djadjarangendjang ABCD + luas A A D F = luas empatpersegipandjang A B E F -¡- luas A BCE; djadi luas djadjarangendjang ABCD sama dengan a x t. D A L I L 71.

Luas sebuah segitiga sama dengan setengah hasilperbenjakan alas dan tingginja. u k t i . Ini akibat dari dalil 70. Dalil 70 di pergunakan pada djadjarangendjang ABEC, jang oleh diagonal BC terbagi atas dua segitiga

B

jang sama dan sebangun. A k i b a t k e 1. Luas sebuah segitiga siku-siku sama ^

dengan setengah hasilperbanjakan kedua sisitegak. A kibat

ke

2. Tempat kedudukan puntjak segitiga-segitiga jang diketahui

alas dan luasnja terdiri dari dua garis jang sedjadjar de ngan alasnja dan terletak sama djauh dari alasnja. Luas segitigasegitiga jang sama alasnja ( ting ginja ) berbanding sebagai ting ginja (alasnja). A kibat

Gb. 34: Tempat kedudukan puntjak.

56

ke

3.

A k i b a t k e 4. L u a s segiemput jang diagonalnja tegaklurus sesamanja, sama dengan setengah hasilperbanjakati kedua diagonal.

Lihatlah gb.

35;

BD J_ AC;

luasnja

adalah

i ptq +

i P 2q =

i pq. M enurut dalil 45 a, akibat ke 4 ini djuga berlaku u ntu k belahketupat dan lajang-lajang. D A L IL

72.

Luas sebuah trapesium sama dengan setengah hasilperbanjakan tingginja dan djum lah kedua sisi jang sedjadjar. B u k t i : Dalil 71 dipergunakan pada A ABC dan A ACD (lihatlah gb. 36), jang terdjadi djika ditarik diagonal AC dalam trapesium ABCD.

§18.

'

D alil dibawah ini sangat penting u ntuk m em bandingkan luasnja dua segitiga jang m em punjai satu sudut jang sama, atau m em punjai dua sudut jang berdjum lah 180°. D A L I L 73.

D jik a suatu sudut sebuah segitiga sama dengan suatu sudut sebuah segitiga jang lain, atau mendjadi pelurus sudut itu, maka luas kedua segi tiga tadi berbanding sebagai hasilperbanjakan sisi-sisi jang mengapit ke dua sudut tadi. D i k e t a h u i : A ABC dan A P Q R ; ¿ A D i b u k t i k a n : Is A

= / _ P atau /_ A + /_ P = 180°.

ABC : Is A P Q R =

bc:qr. 57

B u k t i : Kita ambil dahulu keadaan jang pertama, ja ’ni /_ A =

/_ P, pada sinar AB dan sinar AC; kita letakkan segmentgaris AD = r dan AE = q, sehingga A A D E ^ a PQR. Menurut akibat ke 3 dalil 71, maka ls A ABC : ls A ABE = b: q dan ls A A BE : ls A A D E = c: r.

Djika ruas-ruas jang bersesuGb. 37: Luas A A B C : luas A A D E aian dari kedua perbandingan seharga ini diperbanjakkan, m a ka terdapatlah perbandingan seharga jang harus dibuktikan. D ua besaran jang berbanding sebagai bc dan qr, dapat diwudjudkan dengan fbc dan fqr; / disebut faktor perbandingan seharga. D jadi per bandingan seharga, jang harus dibuktikan, boleh diganti d e n g a n : ls A ABC = fbcdan ls A P Q R = tVD jika Z A + Z P = 180°’maka Pada sinar AC diletakkan A E = q, dan pada perpandjangan BA dile takkan A D = r, sehingga terdapat lagi A A D E ^ A PQR- Kelandjutan bukti ini sama sadja dengan bukti untuk ke adaan diatas. Bukti u ntuk kebalikan dalil diserahkan kepada pembatja.

73

r

a-

c

Gb. 38: Luas A A B C : Luas A A D E . D A L I L 74.

Luas budjursangkar pada sisimiring sebuah segitiga siku-siku sama dengan djumlah luas budjursangkar pada kedua sisi siku-siku (dalil' Pythagoras). D i k e t a h u i : Z C = 90°; A B D E , BCFG, C H IA ialah budjursangkar jang dibuat padaîsi-sisi A ABC disebelah luar; luas mereka ialah c2,

a2 dan b2. D i b u k t i k a n : c2 =

a2 + b2-

B u k t i k e 1. Garis jang dibuat melalui E sedjadjar dengan BC, m em otong

garissisi AC di K; sekarang Z K = 90° dan Z = Z Karena sela n d ju tn ja A E = AB, tentu A K E A ^ A CAB, djadi A K = . a dan K E = 58

b.

D jika garis jang melalui D dan sedjadjar AC m em otong garissisi BC di M dan K E di L, m aka dapat dibuktikan seperti diatas, bahwa A BM D dan A D L E kedua-duanja sama dan sebangun dengan A ACB; djadi BM = D L = b dan M D = LE = a. D jadi C K L M adalah sebuah budjursangkar dengan sisi a -f- b.

Gb. 39. D a lil Pythagoras.

D jik a selandjutnja IA, GB, IH dan G F diperpandjang, m aka ter dapat segiempat INGO; dengan m udah dapat dibuktikan bahwa segitiga-segitiga O H F , CFH dan NAB sama dan sebangun dengan A CBA; djadi segiempat IN G O adalah sebuah budjursangkar pula, dengan sisi a + b. D jadi Is. C K LM = c2 + 4 x Is. A ABC; Is. IN G O = fl2 + b- + 4 x Is A ABC ; m aka c2 = a2 + b2. B u k t i k e 2. Sesudah -dibuktikan bahwa segitiga-segitiga disekitar c2 sama dan sebangun dengan segitiga ABC, djadi masing-masing luasnja \ ab dan bahwa C K LM adalah sebuah budjursangkar dengan sisi a + b, m aka dari Is. C K LM = c2 + 4 x Is. ABC didapat (fl + b)2 = c2 + 2 ab, sehingga c2 = a2 + b2.

Dalil Pythagoras ini dan beberapa dalil jang bersangkutan dengan dalil itu akan dibitjarakan lagi dalam bab VIIL^-/t' Kebalikan dalil 74 ialah:

& t

D A L IL

75.

D jika dalam sebuah segitiga kwadrat suatu sisi sama dengan dju m lah kwadrat kedua sisi jang lain, maka sudut didepan sisi jang pertama tentu siku-siku. D

iketahui

: dalam A ABC c2 = a 2 -f- b1

D i b u k t i k a n : /_ C = 90°. B u k t i : Buat di A segmentgaris AD tegaklurus pada AC dan sama de

ngan a; hubungkan D dengan C. Menurut dalil 74, m aka CD- = a- -\ - b= c2, sehingga CD = c. Sekarang A ABC ^ A C D A (dalil 20), sehingga Z

BCA = DAC = 90°. Dengan menggunakan dalil 75 dapat dibentuk sebuah sudut siku-siku pada suatu lapang an. U ntuk keperluan itu diam bil sebuah tali jang misalnja 24 m pandjangnja, dan dibentuk sebuah segitiga dengan sisi 6 m, 8 m dan 10 m. Sudut didepan sisi 10 m tentu siku-siku, sebab 102 = 62 + 82. T JO N T O H

Gb. 40: Kebalikan d a lil Pythagaros.

11.

Djika pada sebuah segiempat djumlah dua sisi jang berhadapan sama dengan djumlah kedua sisi jang lain, tentu didalam segiempat itu dapat dilu kis sebuah lingkaran (dalil 66 b).

B u k t i : Dilukis sebuah segiempat, sehingga a + c = b + d. Buatlah dalam gb. 41 AP — AQ; AP = a + c dan AQ == d + b. Lukislah ling-

60

karan (B, b) dan lingkaran (D, c); titikpotong mereka ialah C. Garisbagi sudut A dan garisbagi sudut B potong memotong di I; buatlah lingkaran (I, /'); di K, BC m em buat sudut siku-siku dengan IK ; dem ikian djuga A D di G dengan IG. Tariklah sekarang IH J_ CD; IH = m. Sekarang kita buktikan, bahwa m = r. m2 + x2 = /•2 + t2 ; kedua-duanja IC2 ............. ( 1 ) m 2 + y2 = r2 + s2 ; kedua-duanja ID 2 ------------------- ( _ ) x2 — y2 — t2 — s2 atau (x + y) (x — y) = (t+ s ) (/— s)...(2 ) Telah diketahui p + q + x + y = p + s + q + /; djadi (x + y = t + s (x — y = t — s Perdjum lahan dan pengurangan menghasilkan x = t dan y = s. Dari ( 1 ) terdapat m = djadi CD djuga garis-singgung (dalil 57 b). T J O N T O H 12.

B ukti dalil Pythagoras dengan menggunakan dalil 73. Pada gb. 42 nam pak A ABC dengan y = 90°; ini ditjerminkan dalam b; djuga dalam c. Su dut-sudut jang m endapat tanda busur sama besarnja; dem ikian djuga jang m endapat tan da titik. B Dalil 73 menghasilkan : Is. A BCCS = fa2, Is. A ACCS — fb2; Is. A A B B S = /c2; segitiga pertam a dan segitiga kedua m em punjai sudut jang supplementair ( = berdjum lah 180°); jang kedua dan ketiga m em punjai sudut jang sama. Tetapi djum lah kedua segitiga jang pertama sama dengan segitiga ja n g ketiga (masing-masing 2 x A ABC); djadi a2 + b2 = c2.

§19.

.

Dengan menggunakan dalil Pythagoras dapat diperoleh u n tu k luas sebuah segitiga, jang dinjatakan dengan ketiga sisi.

rumus

D A L I L 76.

Luasnja sebuah segitiga dengan sisi a, b dan c sama dengan V s(s— a) (s— b) (s— c); disini 2s = a + b + c. 61

D

ik e t a h u i

: A

A BC dengan sisi a, b dan c.

D ib u k tik a n : L

— V s(s— a) (s— b) (s— c)

: D jik a x sudut jang terbesar dalam A ABC, m aka dari A dib uat garistinggi ta. Garistinggi ini terletak dalam segitiga, dan titikkakinja terletak antara B dan C. Dengan dalil Pythagoras didapat:

B

ukti

V b2 — fa2 +

^ c2 — *a2 = a> djadi

V b'- — fa2 = a —

V c2 — /a2.

Setelah dikw adratkan, didapat

b2 — fa2 = a2 + c2 — fa2 — 2 a V c2 — fa2, ■ .

2 a

a/ c2 - ^ 7 ^ 2 =

djadi

a 2 — 62 + C2.

Setelah dikw adratkan lagi didapat: 4 a2c2 — 4 a2 fa2 = (a2 — Z>2 + c2)2, atau, karena 2 a /a = 4 L : 16 L2 = 4 a2c2 — (a2 — fe2 + c2)2. R uas kedua dapat diuraikan sbb.: {(a+ c)2— bz} {( b2— ( a _ c ) 2) } = (a+ft+c) (c— 6+c) (b— a+ c) (b + a — c). Karena a+ b + c = 2 s, m aka — a + b + c = 2(s— a) dst.,sehingga I® L2 = 16 S(s— a) (s— b) (s— c) dan terdapatlah jang harus d ib u k tikan. D jik a ruas kanan dari ( 1 ) dihitung, terdapatlah: 16 L2 = 2

E a2b2 — S a\

D juga bentuk ini berguna, m isalnja djika sisi-sisi A A BC sama dengan V 7, V 11 dan V 13. Oleh karena 2L = a fa, m aka dari dalil 76 dapat diperoleh : D A L IL

Dalam A

A B C berlaku fa =

2

—

77. -

_____________________________________ ___

V s (s— a) (s— b) (s— c).

§ 20. Sekarang akan ditjari rumus-rumus untuk djari-djari lingkaranluar, lingkarandalam dan lingkaransinggung sebuah segitiga. 62

D A L IL

78.

Djari-djari lingkaran luar sebuah segitiga sama dengan hasilperbanjakan ketiga sisi, dibagi dengan empat kali luasnja. D ik e ta h u i:

A

A BC dengan lingkaran luar (P, R).

abc --4 L B u k t i : D jik a a lan tjip , dan D titikpertengahan BC, m aka Z DM C = a. Selandjutnja dalam A M CD berlaku MC = R, CD = \a dan Z D = 90°. M enurut dalil 73, m aka djika M D = p berlaku Is. A ABC: Is. A M CD = bc : p R , djadi L : \ ap = bc : p R, n

D ib u k tik a n : R =

■ sehingga R = B ukti u n tu k pem batja.

4L a tu m p u l diserahkan kepada

T J O N T O H 13. t

»

D jik a a, b dan c sisi-sisi sebuah segitiga, dan x, y dan z djarak-djarak berarah dari sebuah titik P ke ketiga garissisi, maka luas segitiga tadi sama dengan i (ax + by + cz); daerah dalam dianggap positif. B u k t i : D jik a P terletak didalam A ABC (lihatlah gb. 44 a) m aka x, y

dan z positif. p

A z

Gb. 44: ax + by + cz = 2L.

by + cz^— a / x / = 2L.

y

by — a f x f — c / z / = 2L.

D jik a luas A A BC disebut L, m aka: L = \{ax + by + cz). D jik a P terletak diluar A ABC, tetapi didalam salah satu sudutnja, m isalnja didalam /_ A (lihatlah gb. 44 b), m aka x inendjadi negatif, se dangkan y dan z tetap positif. Sekarang: 63

L = \(by + cz — a/xl) = £ (ox + by + cz). D jika P terletak didalam sudut jang bertolak belakang dengan salah satu sudut A ABC, m isalnja Z. B (lihatlah gb. 44 c), m aka y positif, sedangkan x dan z negatif. Se karang L = \ (by— a / x / — c/z/) = i (ax + by + -cz). B ukti u n tu k ke adaan jang belum dibitjarakan, ja ’ni djika P terletak pada salah satu garissisi, diserahkan kepada pembatja. D A L I L 79.

Djari-djari lingkarandalam sebuah segitiga sama dengan — • s B u k t i : D jika untuk titik P dalam gb. 44 a dipakai pusat I lingkaran dalam A ABC, maka x, y dan z masing-masing sama dengan djari-djari r lingkaran itu. D jika luas A ABC disebut L, m aka ^ (ar + br + cr) — L, L djadi r = — •

D A L I L 80.

Lingkaransinggung pada sisi BC suatu segitiga A B C berdjari-djari ra = L

—--- •

#

s— a B

:

U n tu k

titik

P

k a ra n s in g g u n g

p ada

sisi

u k t i

dengan

—

r a, r a d a n

d a la m BC;

gb.

44

b,

sekarang

sekarang

d ia m b il

x,

z

y

d an

p u sat

Ia

b e rtu ru t- tu ru t

lin g sa m a

r a. T e r d a p a t

i(bra + cra — ara) = L, djadi ra = _ i l _ . s— a

§

21.

Sekarang kita bitjarakan sebuah lukisan jang m em ungkinkan m em buat sebuah segitiga jang sama luasnja dengan sebuah segibanjak jang diketahui. L U K IS A N

X IV .

Melukis sebuah segitiga jang sama luasnja dengan sebuah segiempat jang diketahui. P e r s i a p a n : Soal ini tentu sadja tidak tertentu; sebab sebuah segitiga tidak tertentu oleh ketentuan tersebut diatas itu sadja, ja ’ni bahwa luasnja sama dengan luas segiempat A BCD.

64

D

Karena itu kita tetapkan sebagai ke tentuan tam bahan, bahw a segitiga jang d itan jak an harus bersekutu sisi CD dan sudut D dengan segiempat A B C D . D e ngan dem ikian soal ini boleh diganti dengan soal: m enetapkan sebuah titik E pada perpandjangan D A , sehingga ls

Gb. 45: Luas segiempat A B C D = luas segitiga E C D .

A C D E = ls segiempat A B C D , djadi ls ECA = /s A BCA. S upaja dem ikian, harus B E // CA (dalil 71), akibat 2).

M e n g e r d j a k a n n j a . B uatlah B E // CA, tentu A

C D E mem enuhi per-

tanjaan. B u k t i . Karena EB // AC, m aka ls A EAC =

ls A BAC, djadi djuga ls

A C D E = ls segi-4 A BC D. P e r h a t i a n . Dengan djalan dem ikian dapat dikerdjakan lukisan: me lukis sebuah segi-/? jan g sama luasnja dengan sebuah segi(/? + 1 ) ja n g diketahui. Dengan m engerdjakan lukisan ini beberapa kali, dapat djuga dilukis sebua.h segi-;/?, jang sama luasnja dengan sebuah segi-/? jang diketahui. (3 < m < /?).

T J O N T O H 14.

a. M elalui titik S pada diagonal A C sebuah djadjarangendjang A B C D dibuat dua garis sedjadjar dengan sisi-sisinja. Buktikanlah bahwa kedua djadjarangendjang, jang tidak terpotong oleh A C, sama luasnja. P e n j e l e s a i a n : AC membagi djadjaran gendjang jang diketahui m endjadi dua segitiga ja n g sama dan sebangun; djuga kedua segikedua tiga I sama dan se bangun; dem ikian djuga kedua segitiga II. D jadi segiempat jang digaris-garis sama luasnja.

Gb. 46.

b. D jik a sebaliknja melalui sebuah titik S didalam djadjarangendjang dibuat dua garis jang sedjadjar dengan sisi-sisi, sedangkan ls dj. g. (SB ) = ls. dj. g. (SD ), maka S terletak pada diagonal AC. 65 Planimetri — 5.

Dengan dj. g. (SB) dimaksud djadjarangendjang, jang salah satu diagonalnja berudjungkan S dan B. Menurut jang diketahui, m aka (DS) = (SB); AS dan SC ialah diagonal dalam AESG dan SHCF, sehingga mereka membagi dua sama luas kedua segiempat itu. D jadi ls segi-4 ADCS = £ ls dj. gA BCD — ls A ADC. Ini berarti, bahwa ls A ACS == O; djadi S terletak

P e n je le s a ia n :

pada AC.

c. T itik pertengahan diagonal-diagonal sebuah sisi-empat lengkap (lihat lah halaman 146) terletak pada satu garis. B u k t i : Lihatlah segmentgaris-segmentgaris jang sedjadjar dengan A D

dan melalui B, C dan F; dan jang sedjadjar dengan DC dan melalui B, A dan E. B terletak pada diagonal djadjarangendjang A D F K , djadi (DB) = (BK ). B djuga terletak pada diagonal CE djadjarangendjang DCGE, djadi (BD) = (BG). Kurangkanlah (BL) dari kedua-duanja; terdapat: (PG) = (LQ); djadi karena b, maka L terletak pada diagonal BH; djadi B, L dan H terletak pada satu garis. H ubungkanlah ketiga titik ini dengan D; tentu djuga titikpertengahan D B, D L dan D H ter letak pada satu garis (lihat dalil 44). Titik-titik pertengahan ini djuga titik pertengahan dari diagonal-diagonal D B ,A £ dan E F; djadi titikpertengahan diagonal-diagonal ini djuga terletak pada satu garis. Qb 4?

d. Menggunakan a untuk melukis sebuah empatpersegipandjang, /tf^g salah satu sisinja c diketahui dan jang harus sama luasnja dengan eW' patpersegipandjang jang bersisi a dan b. Empatpersegipandjang ABCD = empatpersegipandjang DPQRBukti diserahkan kepada pembatja. Kalau c > b, lukisan dapat dikerdjakan dengan menggunakan dalil 70 buat lingkaran (B, c); (B, c) memotong perpandjangan DC di P. Tariklah g /j BP; buatlah dari B dan P garis-garis BQ dan P R tegaklurus pada gB P R Q ialah empatpersegipandjang jang ditanjakan; empatpersegi pandjang jang diketahui dan jang terlukis kedua-duanja sama dengan djadjarangendjang ABPS. Achirnja kita berikan tjontoh tentang menentukan tempat kedudukan jang bersangkutan dengan luas. 66

T J O N T O H 15.

D u a segmentgaris A B — a dan C D = b ditentukan letak dan besarnja. Tentukanlah tempat kedudukan titik-titik P , sehingga djum lah luas segitiga P A B dan segitiga P C D sama dengan c2.

M 3 letaknja pada satu garis lurus.

lih atlah A P E S dan A PFS. I + II = ca = A PE S + A PFS = D a la m luas ja n g terachir ini luas A S F E dan sud utap it mereka diketahui. D jadi pula; sisi E F diketahui, djadi garistinggi gunakan akibat kedua dalil 71.

Gb. 49: L uas empatpersegipandjang P Q R D = luas empat persegipandjang A B C D .

P e r s ia p a n . Seandainja titik P m em enuhi sjarat, sehingga d ju m lah segitiga I dan segi tiga II sama dengan c-. A B digeser sepandjang / dan CD sepandjang m, sehingga B dan D berim pit dengan titik p o to n g S dari / dan m; m aksud pergeseran ini ialah supaja segi tig a I dan segitiga II terletak . berdekatan ;

A SEF + A PEF. diketahui, sebab 2 sisi a dan b, luas A P E F dap at diketahui x dapat dilukis. Tinggal meng

Gb. 50: L uas empatpersegipandjang B P R Q — luas empatpersegi pandjang A B C D .

M e n g e r d j a k a n n j a : Luasnja segiempat P E S F ialah $ h x

EF + i x X E F == c2; djadi (h + x) x E F = 2c2. Lihatlah sekarang gb. 52; disitu a 67

dan b telah

diletakkan

dari S;

tariklah E F ; buatlah E FG = 2c dan E K = c; sekarang kami buat empatpersegipandjang EFM N = empatpersegipandjang E G H K = 2c2. FM mendjadi h + x; ML = h; djadi FL ialah garistinggi x dalam A P E F dalam gb. 51. Buat garis X Y sedjadjar dengan E F dan melalui L. Bagian garis X Y jang terletak didalam S ialah tempat kedudukan jang ditjari. Djelas, bahwa didalam sudut bertolak belakang terdapat

Gb. 51: Persiapan.

segment jang garis X 'Y ', sehingga S X ' = S X dan S Y ' = SY. D juga segmentgaris X 'Y dan X Y ' meme nuhi. B uktinja diserahkan kepada pembatja. D jadi tem pat keduduk an jang lengkap terdiri dari djadjarangendjang X Y X 'Y '.

SOAL-SOAL.

§

22. 1.

H itunglah luasnja: a. sebuah segitiga samasisi dengan sisi a; b. sebuah segitiga samakaki siku-siku dengan sisimiring c; c. sebuah segitiga samakaki dengan alas b dan kaki a.

2.

D alam segiempat A B C D /_ A = /_ D = 90°, A B = (p -f- ¡7^ BC = 2 (p2 + g2) dan CD = (p — q)2. N jatak anlah luas segiempat itu de ngan p dan q (p > q).

3.

Sebuah segitiga sam akaki alasnja a dan kakin ja b. H itunglah garistinggi-garistinggi dan djari-djari lingkaran luar segitiga ini.

68

4.

D iketahui lingkaran (M, R) dan lingkaran (N, r), sedangkan M N = d (d > R + r). Hitunglah pandjangnja bagian garissinggung per sekutuan luar dan dalam, jang terletak antara titiksinggung-titiksinggung.

5.

Dari sebuah segiempat garissinggung A B C D luasnja L, A B = a dan CD = c. Njatakanlah djari-djari r Iingkarandalam segiempat itu dengan ketentuan-ketentuan itu. D jik a sebuah titik T dihubungkan dengan keempat titiksudut se buah djadjarangendjang A BCD m aka luas A TAC sama dengan se lisih atau djum lah luas A TAB dan A TAD, ja ’ni: selisih djika T terletak didalam sudut BAD atau sudut jang bertolak belakang de ngan /_ B A D , dan djum lah djika P terletak diluar kedua sudut tadi. B uktikanlah.

a. D jik a sebuah titik T, jang terletak diantara dua garissisisi jang berhadapan dalam sebuah djadjarangendjang, dihubungkan de ngan udjung-udjung sisi-sisi jang terletak pada kedua garissisi tadi, m aka djum lah luasnja kedua segitiga jang terdjadi dan jang masing-masing bersisikan salah satu sisi tadi, sama dengan setengah luas djadjarangendjang. Buktikanlah. b. Bagaim anakah bunji dalil ini, djika T tidak terletak antara dua garissisi?

p

M F

G

Gb 53: emp. pers. pdj. A R = par. A P = budj. sk. K C .

Gb. 54: Vz emp. pers. pdj. A R = A A E Q == A A E C 22 A A B K = A A C K = i/2 budj. sk. A H .

8 . a. Gam barlah sebuah budjursangkar C D E F; perpandjanglah CD d e ng an’segmentgaris DB; perpandjanglah B E sampai memotong CF dititik A. D ikatakan bahwa budjursangkar ini terlukis dalam segitiga ABC; sisisikunja ialah a dan b. H itungjah x = CD dengan menggunakan luas. 69

b. D alam trapezium ABCD kaki AD dan kaki BC diperpandjang hingga bertemu di E; AB = a; DC = b; a > b; garistinggi dari E dalam A ECD ialah t2; garistinggi dari E dalam A E A B ialah /x; buktikanlah: a : b = t2 '■k dengan menggunakan luas. 9.

10i.

a. B u k t i k a n l a h d a l i l P y t h a g o r a s dengan b. D j u g a d e n g a n m e n g g u n a k a n g b. 5 4 .

m e n g g u n a k an

g b,

53.

D alam gb. 55 budjursangkar A C H K dapat dibagi mendjadi empat buah segiempat oleh dua buah segmentgaris jang me lalui t it ik p o t o n g d ia g o n a l, jang satu tegaklurus pada AB, jang lain sedjadjar AB. Sekarang b u d j u r s a n g kar jang ketjil beserta keem pat buah segiempat tadi da pat tepat dimasukkan kedalam budjursangkar A B D E . Buktikanlah dalil ini, dan dapatkanlah dalil Pythago ras dari dalil ini. 11.

D

pandjang dengan BF = c ; BC dengan CD = a dan CA dengan A E = b. Buktikanlah bahwa

Is A D E F = 7 X Is A ABC. 12. Melalui titiksudut-titiksudut A ABC dibuat tiga garis sedjadjar jang memotong garissisi-garissisi jang berhadapan dititik-titik D, E dan F. B uktikanlah bahwa luas A D E F sama dengan dua kali luas A ABC.

x

13. a. Pada sisi-sisi BC dan sisi CA sebuah segitiga ABC dibuat d j adj arangendj ang B CD E dan CAFG. D jika E D dan FG bertemu di H, dan pada AB dibuat djadjarangendjang A B IK jang sisinja A K sama dan sedjadjar dengan HC, buktikanlah, bahwa : Is. dj. g. A B IK = Is. dj. g. B CD E + ls. dj. g. CAFG ( D alil

Pappus) b. B uktikanlah,

bahwa dalil

dari dalil Pappus. 70

Pythagoras adalah

keadaan chusus

14.

a. B uk tik an la h , bahwa garisbagi suatu sudut sebuah segitiga m em bagi sisi ja n g didepannja atas dua bagian, ja n g berbanding se bagai kedua sisi jan g berdekatan. b. Sebutkan dan buktikanlah dalil jan g bersesuaian u n tu k garisbagi luar.

15.

D alam A ABC, D ialah pertengahan BC, buktikanlah» bahw a djarak sebarang titik P pada A D kegarissisi A B dan AC, sebanding ter balik dengan c dan b.

16.

a. D iketahui sebuah segmentgaris A B dan dua titik C dan D disebelah-menjebelah garis A B, sehingga ls A A B C = ls A A B D . B uk tik an lah , bahwa CD terbagi dua sama oleh A B . b. Sebutkan dan buktikanlah kebalikan dalil diatas.

17.

a. D iketahui dua segitiga ABC dan A B D ; C dan D terletak disatu pihak terhadap AB. Titik-titik pertengahan K, L, M dan N dari CA, CB, D A dan D B m endjadi titik sudut sebuah djadjarangendjang, jan g Iuasnja sama dengan setengah selisih luas kedua segitiga ja n g diketahui. B uktikanlah. b. B agaim anakah dalil ini, djika C dan D terletak disebelah menjebelah A B ?

18.

P ada alas BC sebuah segitiga samakaki BAC terletak sebuah titik T, sedangkan pada garissisi A B terletak segmentgaris K L , dan pada garissisi AC terletak segmentgaris M N = K L . B uk tik anlah, bahw a d ju m la h luas A T K L dan A T M N .tid a k berubah, d jik a T bergerak sepandjang segmentgaris BC.

19.

a. D iketahui sebuah budjursangkar dengan sisi a; te ntu k anlah tem p at kedudukan titik-titik, jan g d ju m lah d ja ra k n ja ke keempat garissisi budjursangkar tadi sama dengan p a (p > 2 ). b. N ja ta k a n lah luas segibanjak jan g terdapat dengan p dan a; se lid ikilah betul atau salahnja rumus ini dengan m engam bil p — 2 . c. T entukanlah p, sehingga luas segibanjak tadi sam a dengan 7 kali luas budjursangkar tadi.

20.

A A B C Iuasnja L; R dan r 'ialah djari-djari lingkaranluar dan lingkaran dalam ; ra, rb dan rc ialah djari-djari lingkaransinggung. B uk tik a nlah rumus-rumus dibawah ini:

i L —

/----1 ^ /7V t / c; — 'a

, 1 , 1 + — + — 'b

'c

=

1 - ; ra + r5 + rc = r + 4 tf. r

71

D alam A ABC a + b = 3c. Hitunglah perbandingan antara r, rc

21.

dan fc. 22

Pada suatu segiempat garissinggung, titiksinggung dengan lingkarandalam (djari-djari r) membagi sisi-sisinja atas bagian-bagian jang pandjangnja a, b, c dan d. D jika a, b, c dan d diketahui, h itu n g lah r dan luasnja segiempat itu.

23

Lukislah sebuah empatpersegipandjang, jang salah satu sisinja sama dengan sebuah segmentgaris p, dan jang luasnja sama dengan luas: sebuah segitiga ABC; b. sebuah segilima ABCDE.

24

Pada alas BC sebuah A ABC diletakkan dua titik P dan Q, sehingga ■ / B A p _ / PA Q = QAC. Buktikanlah, bahwa luas A B A P , A P A Q dan A QAC tid ak m ungkin ketiga-tiganja sama. Lukislah A ABC, djika diketahui: BC = a, setengah keliling s dan

25.

garistinggi fa. 26. D alam trapezium A B C D (AB « D Q kedua diagonal potong m otong di S. D jik a diketahui, bahwa A bAts - a dan Is A SCD = £ njatakanlah luas trapezmm dengan a dan t. 27

Lukislah sebuah belahketupat jang bersekutu diagonal AC dengan segiempat A B C D dan jang sama luasnja dengan seg,empat m ,.

• i Han m iang potong memotong, 28. D iketahui dua gar segmentgaris c. Suatu titik T, djaraknja positif p dan „ dan s e b ^ « g m t ^ j ke / disebut x dan djaraknja Ke m u dudukan T, djika diketahui bahwa px + qy 29

D ua segmentgaris AB dan CD diketahui besar dan letaknja; selan' d ju tn ja &diketahui pula bilangan m dan n dan segmentgaris C. Ten tu k a n la h te m p at kedudukan titlk- tit.k T, sehmgga m x Is. A T A B + n x Is. A TCD = c2.

30.

D iketahui sebuah segitiga ABC, sebuah titik P didalam segitiga Itu ' dan sebuah titik Q pada sisi BC. Letakkanlah pada A ABC sebuah titik R, sehingga garispatah Q P R m cnbag, A ABC m endjad, dua bagian jang sama luasnja.

72

BAB

IV.

P E R B A N D IN G A N S E H A R G A A N T A RA S E G M E N T G A R IS 2. § 23.

DALIL

81 a.

D ari dua buah garis l dan l' terpotong oleh dua garis sedjadjar a dan b dua segmentgaris p dan p', oleh c dan d, jang kedua-duanja sedja djar dengan a dan b, terpotong segmentgaris q dan q'\ tentu antara p ' dan q' terdapat relasi besar jang sama dengan relasi besar antara p dan q ( maksudnja : djika p > q, djuga p ’ > q'; djika p = q, djuga p ' = q' ; djika P < q, djuga p ’ < g'). l // l ’, maka p ' = p dan q' = q; dan terdapatlah jang harus dibuktikan. Selandjutnja dianggap, bahwa Z dan l ’ tidak sedja djar. B u k t i : D jik a

dGb. 56: R elasi besar antara p ' dan q’ sama dengan relasi besar antara p dan q.

D jika, seperti dalam gb. 56a, p — q, tariklah A 'E // l dan G 'F // /; A 'E = A B = CD = C'F; sekarang A A 'E B ' ^ A C 'F D '; djadi djuga p ' = q\ D jik a p < q, seperti dalam gb. 56 b, tentu pada l terletak se buah titik G sehingga CG — AB = p; garis g // d melalui G m em otong /' di G ', sehingga C 'G ' = p'; sekarang p ' < ?'. Dengan djalan dem ikian dari p > q terdapat p ' > q ' . Djelas bahwa Z dan Z' boleh potong memotong antara a dan d. Se la n d ju tn ja djelas pula, bahwa dalil 81 a tetap berlaku, djika diantara garis-garis a, b, c dan d ada jang berimpit, dan djuga djika salah satu dari garis-garis ini melalui titikpotong Z dan l', sehingga A dan A ' atau B dan B ' dst. berim pit. D engan dem ikian, sebagai keadaan chusus dalil 81«, terdapat m i sal nja: sebuah garis jang sedjadjar dengan alas sebuah segitiga (trapezium), 73

dan membagi dua sama salah satu sisitegaknja, tentu membagi d u a sama d juga sisitegak jang lain ; segmentgaris ja n g m en ghubung kan kedua titikpertengahan, disebut garis paralleltengah. D A L I L

816.

Beberapa pasang garis-garis jang sedjadjar, memotong dari dua garis jang terpotong oleh mereka, segmentgaris-segmentgaris jang merupakan perbandingan seharga (dalil Thales). m em punjai ukuran persekutuan g, ja n g dapat -1 diukurkan t kali pada A B dan n kali pada CD (disini i = 3, n = 5). Garis-garis ja n g se djadjar dengan A A ' •m em bentuk pada A 'B ' t buah seg mentgaris g', dan pada C 'D ' n buah segmentgaris g' (dalil 8 la), gb. 56a; D jad i A B : CD = A 'B ': C 'D '; disini tiapGb. 57: D a lil Thales. tiap perbandingan sama de ngan 3/5.

B ukti : A B dan ,

d

CD

D jik a A B : CD sama dengan sebuah bilangan tid ak terukur k, m aka k dapat d ia p it antara dua bilangan positif terukur p dan q (p < k < q), jang selisihnja dapat dibuat seketjil-ketjilnja. Pada l dapat dibuat dua segmentgaris sebesar p X CD dan q x CD. Garis-garis jang dibuat m elalui udjung-udjung segmentgaris-segmentgaris ini sedjadjar dengan a, m em otong dari l', dua segmentgaris, jang m enurut jang telah terbukti sama dengan p X C 'D ' dan q X C D . Menurut dalil 81 a maka, berhubung dengan p X CD < k X CD ( = A B) < q x CD, djuga p x C 'D ' < A 'B ' < q x C 'D ', sehingga perbandingan A 'B ' dan C 'D ' terletak antara p dan q. Karena p dan q dapat dipilih sedekat-dekatnja pada k, m aka perbandingan ini sama dengan k. P e r h a t i a n : Sebagai keadaan chusus dalil 816 terdapat: tiap-tiap garis

jang sedjadjar dengan alas sebuah segitiga atau trapezium, membagi kedua sisitegak atas bagian-bagian jang sebanding. Pada gb. 58a ini berarti, bahwa p : q — p ' : q ' ; ada baiknja, djik a em pat bilangan jan g m erupakan perbandingan seharga, disebut p, q, kp dan kq; disini k disebut faktor perbandingan seharga. 74

®

®

©

Gb. 58: Segmentgaris2 jang sebanding.

D alam bukti dalil 816, maka dalam gb. 57 segmentgaris-segmentgaris ini telah kita ambil jang satu diluar jang lain; m aksudnja supaja bukti m endjadi djelas. Dalam gambar itu, B dan C boleh berimpit; djuga A B boleh m enutup sebagian dari CD; tetapi keadaan demikian tidak m engubah buktinja. Karena itu keadaan chusus dalil 816 dapat diperluas s b b .: DALIL

81 c.

Sebuah garis jang sedjadjar dengan alas sebuah segitiga atau sebuah trapezium, membagi kedua sisitegak atas bagian-bagian, jang sebanding satu sama lain atau dengan seluruh sisitegaknja.

T idak kita tulis: pada gb. 59a terdapat A D : A E = D B : EC (de ngan delapan buah huruf besar!), melainkan: bagian-bagiannja disebut p , q, kp dan kq, dan ini dituliskan pada gambarnja; lihat djuga gb. 59b dan c. DALIL

81 d.

D jik a dalam sebuah segitiga (dalam sebuah trapezium) sebuah garis g membagi sisitegak-sisitegaknja atas bagian-bagian jang sebanding, maka g sedjadjar dengan alasnja. 75

D i k e t a h u i : D E membagi A B atas p dan q, AC atas kp dan kq. D ib u k t ik a n : D E

// B C .

B u k ti: Tariklah melalui D garis D F j/ BC; m enurut dalil 81, maka A F dan FC boleh disebut gp dan gq. D jadi terdapat kp + kq = gp + gq, Gb' 6% £ D = P, D B = q; A E = kp, atau k(p + q) == g(p+ q), djadi k = £■<- = kq m aka D E /f B C . g; ini berarti, bahwa D E berim pit dengan D F jan g dibuat sedjadjar dengan BC, D A L I L 82.

Sebuah garis jang dibuat sedjadjar dengan salah satu garissisi sebuah segitiga, menentukan dengan kedua garissisi jang lain sebuah seeitiea jang sisi-sisinja merupakan perbandingan seharga beranting denean ’ sisisisi A A B C (dalil rangkap Thales). Disini dan seterusnja kita selalu menggunakan faktor perband' an seharga ja n g telah kita sebutkan pada halaman 74. ' n^ D i k e t a h u i : E D // A B ; E terletak pada garissisi CA, D pada CB D i b u k t i k a n : sisi-sisi A D C E adalah ka, kb dan kc.

E

mc

Gb. 61: D a lil rangkap Thales. B u k t i : Lihatlah gb. 61 a. M enurut dalil Thales, m aka CD = ka dan CE = kb. Segmentgaris D E . = x dipindah kegarissisi A B dengan m em buat D F // CA, sehingga pada sisi A B terdapat perbandingan jang sama de ngan pada CB; j a ’ni FA = D E = kc. Pada gb. 61 b faktor perbandingan seharga disebut /n; pada gb. 61 c disebut /.

76

A kibat dalil ini ialah : djika dua garis sedjadjar dipotong oleh tiga garis jang melalui satu titik, maka perbandingan segmentgaris-segmentgaris pada garis jang satu sama dengan perbandingan segmentgaris-segmentgaris jang bersesuaian pada garis jang lain.

Gb. 62: Segmentgaris- jang sebanding

Pada garis jang perlu kita Salah

gambar-gatnbar diatas, keempat segmentgaris dan salah satu concurrent telah diberi tanda. Perbandingan seharga tidak tulis. V satu pemakaian jang penting dari dalil 82 ialah: ft A L 1 L 83.

Pandjang segmentgaris jang membagi sisitegak sebuah trapezium, jang garis atasnja a dan garisalasnja b, dengan perbandingan p dan q, ter hitung dari atas, sama dengan

p+ q D ik e ta h u i:

AD // BC // E F . AD — a, BC = b; E pada sisi AB. A E — kp; EB = kq

D ib u k t ik a n : E F —

Pk-~^..? a p 4- q

Gb. 63: R um us Trapesium.

B u k t i : B E dan BA berbanding sebagai q dan q + p ; m enurut dalil 82,

_

q

X a.

D F dan DC berbanding sebagai p dan p + q; djadi y =

P + q d ju m lah nja i a l a h . — P + ? 77

P e r h a t i a n . Rum us ini berlaku djuga djika E terletak pada salah satu

perpandjangan sisitegak AB, asal sadja p atau q diambil neeatif- pada gb. 64 arah dari A ke B adalah arah positif; pada gb 64a A F - V n oositif, EB = kq positif; pada gb. 64& A E = kp positif, £ B jamr arahnja berlawanan, negatif; pada gb. 64c kp negatif, kq positif.

kp

kp E'

kp

kq

kq B

"° B

kq © © Gb. 64: Positif dan negatif.

Pem batja hendaklah menjelidiki dengan sebuah trapezium beriak ' tid akn ja dalil 83 u ntuk kedua keadaan jang terachir. Tjara ia laskan pada gb. 65 selalu dapat dipergunakan. A E = kp dan b " ! - T " p > q. D jadi tulislah A B = k(p q) dan pakailah rumus dalil 82 segmentgaris sedjadjar jang ditengah; rumus itu harus diapalkan D 'adt pada gb. 65 didapat: b =

( £ _ 1 E ± E , atau z =

tam paklah

bahwa q dalam rumus dalil 83. telah terganti oleh — q. § 24. Sekarang sampailah kita pada sebuah sifat jang penting tentang garisbagi dalam dan garisbagi luar sebuah segitiga. g DALIL

84a.

'

Garisbagi sebuah sudut suatu segitiga membagi sisi jang didepannia atas bagian-bagian jang sebanding dengan sisitegak-sisitegak jane ber dekatan. 78

D ik e ta h u i: Z

Ax =

D i b u k t i k a n : CD = B u k ti:

A2

kb dan D B = kc

M udah didapatkan, bahwa disini harus dipakai dalil Thales;

kam i tarik CE // D A; Z

E =

Z . A 2 dan Z ^

=

Z A j (dalil 7);

djadi A E = b (dalil 16). D jadi dalil diatas menghasilkan: B D — kc dan CD = kb. Boleh djuga dipakai garis jang dibuat melalui C sedjadjar dengan sisi c, seperti dalam gb. 67. Z F = Z- A 2 (dalil 7); djadi CF = b (dalil 16). D engan dalil rangkap Thales (dalil 82) didapat CD = kb dan D B = kc. B uk ti ja n g m enggunakan luas term uat dalam § 22 nr. 14; dapat d i pergunakan dalil 73 dan akibat ketiga dalil 71; tetapi djuga sama pand ja n g n ja kedua garis dari D tegaklurus pada AC dan A B dan ak ibat ketiga tadi. D jik a diketahui sebuah segmentgaris A B, m aka dikatakan, bahw a sebuah titik P pada pemuat AB membagi segmentgaris tadi dari dalam atas bagian-bagian PA dan PB, djika P terletak antara A dan B; dan bahwa P membagi A B dari luar atas bagian-bagian PA dan P B , djika P terletak pada salah satu perpandjangan segment AB. D A L I L

846.

Garisbagiluar sebuah sudut sebuah segitiga membagi dari luar sisi jang berhadapan atas bagian-bagian jang sebanding dengan sisi-sisi jang berdekatan, asal sadja kedua sisi ini tidak sama. 79

Pada gb. 68 A E ialah garisbagi sudut jang bersisihan dengan / E B dan EC ialah „bagianba g ia n ” dari BC; dalil ini men ja ta k a n bahw a E B = Ic dan EC = Ib. B u k tin ja diserahkan kepada pem batja; djalannja dem ikian : c T jara ke 1 : tariklah B F // EA; ke 2: tariklah BG // CA; G pada A E ;

A*

ke 3: tje rm in kan lah A E B A dalam AE; dengan dem ikian E A m endjadi garisbagi suatu sudut, sehingga dapat dipergunakan dalil 84a. M e n g h itu n g

b a g ia n - b a g ia n

BC.

Pada gb. 66 kb + kc = a, djadi k = ~ ~ c ,d jadi kedua bagian sama

ab ac dengan 7— — dan -—— b + c b + c Pada gb. 68 ( c) Ib — Ic = a, djadi / =

——

darj

_

ab ac ----- dan E B = 7 "• b— c b— c D ju ga kebalikan dalil 84c dan 846 adalah betul, ja ’ni :

pat: EC =

D A L I L

85 a.

D jik a sebuah titik D membagi sisi BC suatu a D B : D C = c : b, m aka A D adalah garisbagi /_ a . D A L I L

A B C , sehingga ^

856.

D jik a sebuah titik E terletak pada salah satu perpandjangan sisi BC suatu A A B C sehingga E C : E B = b : c (6 c), tentu A E adalah ga risbagi sudut jang bersisihan dengan A. Sekarang kam i m uat bukti jang m enggunakan luas; bukti jane m enggunakan gb 66 dan 68 djuga m ungkin. ' g B u k t i : M enurut ketentuan bagian-bagian B C adalah kc dan kb. Luasn'

A A C D dan A A B C disebut Ot dan 0 2; p dan <7 ialah garis jang dibuat dari D tegaklurus pada AC dan AB. 80

Oj : 0 2 = pb : qc (dalil 71); Oi : 0 2 — kb : kc (dalil 71, akibat ke-3). Djadi pb : qc = kb : kc, atau p = q. A A E D ^ A A F D (dalil 21); djadi \

A 2.

A

E

C

kb

o

kc

Gb. 69: CD = kb dan D B = kc, maka A t = / _ A 3.

Gb. 70: EC = kb dan E B = kc, maka / _ A t = / _ A 3.

U ntuk dalil 85b buktinja sama; lihatlah gb. 70. Ls A AEC : ls E A B = pb : qc Ls A ACE : ls A A B E = kb : kc Dari sini didapat lagi p = q dan dengan congruensi dua segitiga di dapat, bahwa A E adalah garisbagi suatu sudutluar. P e r h a tia n : Keadaan b = c sebetulnja dalam dalil 846 dan 856 tidak perlu diketjualikan, djika diadakan titik d jau h pada garis-garis, dan dianggap bahwa pada dua garis jang sedjadjar kedua titik d ja u h ber im pit. Garisbagi luar jang melalui A sedjadjar dengan BC dan bersekutu titik d ja u h n ja E dengan BC; E dianggap membagi sisi BC dari luar atas bagian-bagian jang perbandingannja sama dengan 1 ,» djadi atas bagian bagian ja n g berbanding sebagai b dan c. Berhubung dengan perdjandjian tadi, bahwa titik d ja u h dua garis jang sedjadjar harus dianggap berimpit, m aka dikatakan djuga, bahwa dua garis jang sedjadjar potong memotong ditem pat jang ta ’ terbatas djauhnja.

§ 25. Sebagai pemakaian dalil-dalil 84 dan 85 akan kita selidiki tempat kedudukan titik-titik X : jang perbandingan djaraknja ke dua titik tetap A dan B sama dengan k. Bilangan k tentu sadja positif. D jik a k — 1, m aka tem pat kedudukan A B adalah sumbu AB. D jik a k ^ 1 (lihatlah gb. 71; disini dibuat k > 1), tentu pada A B terletak dua titik C dan D dari tempat kedudukan; lain titik pada A B tidak ada; B C t= a dan CA = ka\ D B = b dan D A — kb. 81 Planimetri —6

A m billah sekarang sebuah segment garis d dan sebuah lagi kd, lingkarkanlah jang pertama dari B, jang kedua dari A. D jik a kd + d > ka + a > kd — d, tentu terdapat 2 titik X dan X s, disebelah-menjebelah garis A B, jang mendjadi bagian dari tempat Gb. 71: X A : X B = k. kedudukan; tem pat kedudukan ini symmetris terhadap AB; oleh karena itu titik jang satu telah dib er index s, ja ’ni singkatan dari symmetris. Djadi tim bullah persangkaan» bahw a tem pat kedudukan jang ditjari adalah sebuah lingkaran ja n £ bergaristengahkan CD. Sesudah penjelidikan ini kita njatakan dalil dibawah ini : D A L 1 L 86.

Tempat kedudukan titik-titik jang perbandingan djaraknja ke dua titik tetap A dan B sama dengan k(k # 1), adalah lingkaran jang bergariste ngahkan C D ; C dan D ialah kedua titik jang membagi segmentgaris A B dari dalam dan dari luar dengan perbandingan k (lingkaran Apollonias)B u k t i : Harus dibuktikan, bahwa tiap-tiap titik dari tem pat k e d u d u k a n

terletak

pada

lingkaran

itu

dan

sebaliknja djuga tiap-tiap titik pada lingkaran itu m e n d j a d i titik dari tem pat kedudukan. Telah dikemukakan, bahw a diantara titik-titik garis A B , hanja C dan D terletak pada tempat kedudukan; djadi selandjutnja tinggal perlu dise lidiki titik-titik jang tidak ter letak pada AB. D jik a X salah satu titik dari tempat kedudukan, m aka

d ik e ta h u i: BC = a, CA = ka, X B = d, X A = kd, sehingga m enurut dalil 85a X C adalah garisbagi ¿_ A X B . Dem ikian djuga dari D B = b, D A = kb, X B = d dan X A = kd (dalil 856), bahwa X D adalah garisbagi luar A X B . D jadi C X D siku-siku m enurut dalil 28a, m aka, d jik a titikpertengahan CD disebut M, X M = \ CD, sehingga X terletak pada lingkaran (M, \ CD). Sekarang bukti u ntuk kebalikannja. Pada gb. 73 C dan D membagi segmentgaris A B dari dalam dan dari luar dengan perbandingan k; ini di 82

( n ja ta k a n dengan BC = kp, CA = p, B D = kq, A D = q.Sekarang d i buat m elalui C garis E C F / / D P; garispertolongan ini m u d a h d id ap at sebab garis ja n g sedjadjar m udah dipakai u n tu k m em ind ahkan perban dingan seharga. FC: P D = BC: B D = p : q; djadi boleh ditulis FC = Ip ; PD = lq. L ih atlah sekarang CE / / P D ; CA = p dan A D = q; P D = lq ; djadi CE = lp. D alam A P E F PC J_ EF, sebab P D / / EF; sekarang CE = CF, djadi PC adalah B garisbagi /_ P. D jadi m enu rut dalil 84 terdapat PB : PA = kp : p — k.

Gb. 73: Lingkaran A pollonius.

D alil ini djuga dapat dib uktikan dengan m enggunakan dalil 93 halam an 117, sbb. : P ialah sebuah titik pada lingkaran ja n g bergaristengahkan CD; se lan d ju tn ja

Gb. 74: Lingkaran A pollonius.

BC = p dan CA = kp; D B = q dan D A = kq. Sekarang harus di b u k tik an , bahw a A P: B P = k.

/ _ C P D = 90° (dalil 28 b); garis-garis ja n g d ib u at dari A dan B tegaklurus pada D P tentu sedjadjar dengan CP, sehingga dalil Thales boleh dipergunakan. D alam A D A A ' berlaku B B ' / / A A '; D B dan D A berbanding sebagai 1: k; djadi djuga B B ' dan A A '; djadi B B ' = b dan A A ' = kb. PC / / A A ' / / B B ', sehingga B 'P dan A 'P berbanding sebagai 1: k; djadi B 'P = c dan A 'P = kc. A A P A ' oo a B P B ', dua sisi se banding dan su d u tap itn ja sama; djadi A P dan B P berbanding sebagai sisi-sisi A A ' dan B B ' ja n g bersesuaian letaknja; djadi A P : B P = k. Lingkaran (M, i CD) pada gb. 72 disebut lingkaran A pollonius pada segmentgaris A B dan u n tu k perbandingan k. D ja d i pada sebuah segitiga ABC, tem pat kedudukan titik - titik ja n g djarak nja ke A dan ke B berbanding sebagai b dan a (b =£ a) adalah se buah lingkaran, ja n g pusatnja terletak pada garissisi A B ; ia m elalui C dan titikpotong- titikpotong garissisi A B dengan kedua garisbagi C. Pada tiap-tiap segitiga A BC , ja n g tid a k sam akaki, terdapat 3 b u a h se gitiga sem atjam ini; mereka disebut lingkaran 2 A pollonius A A B C . 83

§ 26. Pembatja telah melihat, bahwa penjelesaian mendjadi sangat m udah dan singkat, djika tidak dipergunakan perbandingan seharga, m elainkan faktor perbandingan seharga; sepasang segmentgaris, jang berbanding sebagai a dan b, diwudjudkan dengan ka dan kb ; sepasang jan g lain dengan la dan Ib dst. Disini dimuat lagi beberapa tjontoh tentang tjara mempergunakannja, berupa beberapa penjelesaian jang pand jan g nja hanja sepertiga penjelesaian jang memakai perbandingan seharga, ja n g tiap-tiap sukunja ditulis dengan dua huruf besar. TJONTOH

16.

A B C D ialah sebuah segiempat; AC membagi dua sama Z A ; kedua diagonal potong-memotong di S; melalui sebuah titik E pada A C antara B D dan A dibuat sebuah garis sedjadjar dengan D B . Pada garis in i terletaklah lim a buah t it ik : K pada perpandjangan CD, F pada A D , E pada AC, G, pada A B dan H pada perpandjangan C B. Buktikanlah perbandingan seharga E H : E K — AG . A F.

c

B u k t « : Sebutkan AG = P dan A F — q ; EG — kp dan EF = kq (dalil 84 a). SB = Ip dan SD = lq (akibat dalil 82); demikian djuga E h = mp dan E K = m q ; djadi mereka berbanding sebagai p dan q.

TJONTOH G a risb a g i- g a risb a g i sudut A

17.

dan sudut C suatu segiempat A B C D potong memotong pada B D ', buktikanlah bahwa garisbagi-garisbagi sudut B dan sudut D potong memotong di AC. 84

M ulailah dengan sebuah segiempat A B C D , ja n g garisbaginja sudut A dan sudut C potong-memotong di B D : A A B D ; garisbagi A E ; buatlah m isalnja BC = 1£ x A B dan D C = H X A D ; tariklah C E. Sudah barang tentu BC = ka dan D C = kd. B u k t i : A B = a dan A D = d ; karena A E garisbagi dalam A A B D dan CE garisbagi dalam A C B D , m aka BC dan DC berbanding sebagai a dan d ; djadi BC = ka dan D C = kd. Garis bagi / _ B m em bagi AC atas bagianbagian jang berbanding sebagai a dan ka, djadi sebagai 1 dan k ; garisbagi /_ D dem ikian djuga. D jadi mereka bertemu di AC.

TJ O N T O H

18.

A B C D ialah sebuah trapezium ; A B = a sedjadjar dengan D C = b; a > b. E H ¡j A B ; E terletak pada A D , H pada BC ; dim ana harus kita buat E H , agar E H terbagi oleh kedua diagonal atas 3 bagian jang sama pandjangnja ?

P e n j e l e s a i a n : A B = a, A D = 1, D E — k dan E P = ka, sebab E P // A B . K a k i CB terbagi atas perbandingan jan g sama dengan kaki D A ; djadi djuga Q H = ka. S elandjutnja A E = 1 — k dan E Q 'ja n g sedjadjar dengan DC = b, adalah (1— k) b ; dari 2ka = (1 — k) b terdapat (1— *): k = 2a : b. D jik a E Q P H terletak disebelah atas S, m aka terdapat a : 2b. D a p a t dikem ukakan, bahw a A D tid ak sama dengan 1 ; sebutkanlah A D = d ; djadi terdapat kd dan (1 — k) d ; ini tid ak m engubah d jalan n ja penjelesaian.

85

T J 0 N T0 H

19.

D jik a 3 garis memotong pada dua garis jang sedjadjar, empat buah segmentgaris A B , B C, A 'B ' dan B ’C ’ ( A 'B ' ^ A B ), jang dalam urutan in i merupakan perbandingan seharga, tentu ketiga garis tadi m elalui satu titik. Buktikanlah. D i k e t a h u i : AB : BC = D ib u k tik a n :

A 'B ' : B C ; AB ^

A ' B ' ; A 'B 'C ' // ABC-

A A ', B B ' dan CC' concurrent.

B u k t i : Dari perbandingan sehar

ga ja n g diketahui terdapat: A B = p, BC = q, A 'B ' = kp, B 'C ' = kq; dalam gam bar ini k < 1. L ihat lah A A B E dengan A 'B ' // AB, disitu B E = r dan B 'E = kr ; dalam A B CF berlaku B F = s dan B 'F = ks ; B E dan B F ber sekutu segmentgaris B B ' ; djadt r — kr — s — ks atau (1 — k)r = (1 — k)s ; diketahui bahwa A B ^ A 'B ', djadi 1 — k ^ O ; karena itu m aka r — s atau B E = BF. T J O N TO H

20.

D ari suatu titik G pada sisi BC A A B C dibuat G H // B A dan G K // C A Buktikanlah, bahwa G H X AC + G K x A B adalah tetap.

B u k t i : C G = k a ; GH=A:c (dalil 82); G B = ( 1 — k)a. djadi G K =

(1— k)b, m enurut dalil tadi djuga; jang harus dibuktikan ialah: kc x b + (1 —■k) b x c adalah tetap; bangun tersebut sama dengan b c ; djadi benar. 86

T J 0 N T 0 H

21.

D a lam A A B C b > c; da dan ea (garisbagi dalam dan luar sudut /A), memotong garissisi BC dalam titik-titik D dan E . N jatakanlah pandjangnja D E dengan a, b dan c. P e n j e l e s a i a n : BD

nr — — ; EC — E B = lb — Ic — l (b — c) = a; djadi E B = - --- -; b + c 0— c

BD = DE

=

= kc dan DC = kb (dalil 84); k(c + b) = a, djadi

'

(D ja n g a n

m e n g g u n a k a n

p e r b a n d in g a n

se h arg a).

T J 0 N T 0 H 22. / D a ri suatu djadjarangendjang jang berubah-ubah, keempat garissisinja memotong sebuah garis pada empat titik jang tetap. B uktikanlah, bahwa djuga d i agonal-d i agon ain j amelalui titik-titik jang tetap. P e n je le s a ia n :

S;

sesudah

itu

D ig a m b a r

d u lu

g a ris s is i- g a ris s is i

g a r is ja n g

d e n g an

k e e m p a t

titik

P , Q, R

d a n

s e d j a d j a r A B d a n CD; A D d a n BC. Harus dib uk tik an, bahw a X ada lah titik jan g tetap dari AC; semua titik ja n g tetap, harus terletak pada garis P Q R S . P A D // BCS; A X = x, X C = y; m enurut dalil 81 b, m aka X P dan X S boleh disebut kx dan ky (tulislah ini dalam gam barnja), dan karena A B // DC. m aka X Q = lx dan X R = /y; djuga m enurut d a lil 816; PQ = (k — l)x dan R S = (k — l)y; kedua segmentgaris ini te tap letak dan besarnja, dan berban ding sebagai x dan y; d jadi Q X : X R = A X : X C = PQ : RS.

T J O N T O H 23. ( Sebuah garis memotong gerissisi-garissisi A B , BC, C D dan D A sebuah djadjarangendjang berturut-turut di K , L, M dan N . B uktikanlah, bahwa luas A C K N sama dengan luas A A L M . B u k t i : O ialah luas A CLM; sisi-sisi segitiga ini disebut a, b dan c; m e n u ru t dalil Thales, m aka keempat segmentgaris jan g lain jan g terdapat

87

dalam gambar, sama dengan kb, kc, la dan /c; sisi-sisi A B C D sama de ngan (1 + k)b dan (1 + l)a.

Ls A C K N = (1 + k + /) 0 (dalil 71, akibat 3). Ls A A L M = Ls dj. g. A B C D dikurangi dengan djum lah luas 3segitiga, djadi sama dengan 2 (1 + k) (1 + 1)0 — 0 — k(l -f 1)0 — /(i _|_ /^ o (semua m enurut dalil 73) = (1 + k + 1)0; djadi kedua luas sama. D A L I L

87.

Tempat kedudukan titik-titik jang djaraknja terhadap kedua garis l dan m jang potong memotong berbanding sebagai dua segmyitgarisa dan terdiri dari dua garis jang melalui titikpotong l dan m.

b

T itik jang tentu memenuhi sjarat, ialah titik Px jan g terletak pada l' sedjauh a dari l, dan pada m ' sedjauh b dari m; lihatlah AC dan B

u k t i

:

l' ± AC; B D dan m ' X B D D ja ra k dari tiap-tiap titik Q pada sinar SPj, ke l dan m berbanding sebagai a dan b; inilah jang harus dibuktikan terlebih dulu. Lihatlah c dan d dalam gambar; m enurut dalil 82 terdapat: S P i : SQ = a : c; S P j : SQ = b : d; dengan mempersamakan kedua r.uas kanan terdapat a : c = b : d, atau c: d = a : b, jang harus dibuktikan. Sekarang m asih harus dibuktikan kebalikannja; lihatlah gb. 84. Sekarang ditentukan bahwa garis-garis jang dibuat dari P tegaklurus ke / dan m sama dengan a dan b; dan jang dari R sama dengan ka dan kb. Harus d ib uk tik an bahwa R P melalui S.'Seandainja R P m em otong / dan m di X dan Y . P X = c, djadi R X — kc (dalil 82); P Y = d, djadi R Y = kd. D e n g a n m engurangkan didapat d — c = k(d — c) atau (1 — k) (d — c) = O. Sekarang k ^ 1, djadi d = c; ja ’ni X .d a n Y berimpit di S. D jik a pada gb. 83 i dibuat dipihak jang lain terhadap l atau (dan) m ’ dipihak jang lain dari m, m aka terdapat pula sinar-sinar SP2, S P3 dan 88

SP4. Tempat kedudukannja terdiri dari dua garis. Titik S bukan bagian dari tem p at kedudukan, sebab untuk S kedua djarak mendjadi nol.

m

Gb. 83: D ja ra k Q — l dan djarak Q — m berbanding sebagai a dan b.

§ 27. D ua sinar nx dan n2 disebut berrelasi isogonal terhadap suatu sudut (¿1 » k)> d jik a mereka terletak symmetris terhadap garisbagi d sudut itu dan berpangkal dititiksudutnja. Ternjata, bahwa djuga /x dan /2 berrelasi isogonal terhadap /_ (nlt n2).

D ua garis nx dan n2 (gb. 85b) disebut berrelasi isogonal thd. sebuah sudut, d jik a mereka melalui titiksudut dan terletak symmetris thd. garisbagi sudut itu; garis-garis ini djuga berrelasi isogonal thd. sudut-sudut jang bertolak belakang dan jang bersisian. 89

D u a garis nt dan n2 disebut berrelasi isogonal thd. dua garis lx dan L, d jik a mereka berrelasi isogonal thd. salah satu dari keempat sudut jang terbentuk oleh

dan /2. D A L IL

88a.

D jik a n 1 dan n2 berrelasi isogonal thd. ly dan /2, A terletak pada rit dan B pada n2, maka hasilperbanjakan garis-garis jang dibuat dari A dan B tegaklurus pada l± sama dengan hasilperbanjakan garis2 tegaklurus pada L. D ik e t a h u i:

Z

Si

=

¿ _ S2; dari A dan B dibuat garis-garis tegaklurus

pada lt dan /2. D

ib u k t i k a n

d e n g a n

:

h a s ilp e rb a n ja k a n

h a s ilp e r b a n ja k a n

kedua

g a r is

g a r is 2 te g a k lu r u s

te g a k lu ru s

p ada

p a d a

s a m a

/2 .

B u k t i : n ialah sebuah garis jang melalui S; untuk setiap titik pada n t perbandingan garis-garis tegaklurus pada dan /2 tetap (dalil 87), misalnja sama dengan k : /. D jik a SA disebut a, m aka kedua garis tegaklurus melalui A boleh disebut ka dan la. D jika SB disebut b, m aka kedua garis tegaklurus dari B boleh disebut kb dan lb\ sebab /_ S2 = S*. H asilperbanjakan kedua garis tegaklurus pada /x ialah ka x Ib; jan g pada l2 ialah la x kb; djadi kedua hasilperbanjakan sama.

D A L IL

88b.

D jik a hasilperbanjakan djarak dari A dan B ke /x sama dengan ha silperbanjakan djarak dari A dan B ke /2, tentu S A dan S B berrelasi iso gonal thd. ly dan /2. Jang disebut S ialah titikpotong l± dan l2; A dan B tidak berimpit dengan S.

Pada gb. 87 diketahui: a1b1 = a2b2. D jik a dibuat garis n jang berrelasi isogonal dengan SA thd. h dan l2, dan pada n diletakkan sebuah B

u k t i

90

:

titik P, tentu dengan dalil 880 terdapat: 0^ . = a2p2; d jik a kedua ruas dibagi dengan ruas-ruas jang bersesuaian dari kesamaan jang telah diketahui, m aka terdapatlah b^ : = b2 : p2. M enurut dalil 87 m aka P dan B terletak pada satu garis jang melalui S; ja ’ni B terletak pada n, sehingga SA dan SB berrelasi isogonal thd /x dan /2. Dari dalil 88a, b masih dapat dipe'roleh sebuah dalil jang penting,’ sebelumnja kita pertegaskan beberapa pengertian. Transversal sebuah bangun F ialah sebuah garis, ja n g m em otong F, ja ’ni jang bersekutu satu atau beberapa titik dengan F. D jik a F sebuah segibanjak dan transversal itu melalui salah satu titik sud ut, m aka trans versal. itu disebut transversal sudut. DALIL

89.

D jik a melalui titiksudut-titiksudut A, B dan C suatu segitiga d i buat 3 buah transversal sudut jang concurrent, tentu garis-garis jang berre lasi isogonal dengan mereka thd. sudut-sudut a, ¡3 dan y, djuga concurrent atau sedjadjar. D i k e t a h u i : transversal sudut av bl dan dari A ABC melalui P. Garis at dan garis a2 berrelasi isogonal thd a, demikian djuga b± dan b2 thd. p dan c1 dan c2 thd. y. Garis-garis a2, b2 dan c2 tidak ketiga-tiganja se djadjar; pun ta ’ ada dua buah jang berimpit. D i b u k t i k a n : a2, b2 dan c2 melalui satu titik Q.

concurrent djuga.

B u k ti: D jik a titikpotong b2 dan c2 disebut Q, m aka m enurut dalil 8 8 a hasilperbanjakan djarak garissisi BC ke P dan ke Q sama dengan hasilperbanjakan sematjam itu untuk garissisi AB, dan djuga u ntu k garissisi AC, ja ’ni ltnx = /3n3 dan l{nx = lîz. 91

D ja d i k ed ua hasilpe rb anjakan jang terachir ini djuga sam a ja n g satu dengan ja n g lain , sehingga m e n urut dalil 886 garis Q A berrelasi isogonal dengan ax th d a, a rtin ja a2 m elalui Q; djadi garis o2, b2 dan c, adalah concurrent. D a la m keadaan ini titik P dan titik Q disebut berrelasi iso gonal thd. A A B C . T ern jata bahw a Q berim pit dengan P, d jik a P pusat lin g k a ra n d a la m atau lingkaransinggung pada A ABC. Garis ja n g berrelasi isogonal dengan sebuah garisberat (m edian) dari titik s u d u t A A A B C th d a disebut symmedian dari A. B e rh u b u n g dengan a k ib a t dalil 4 4 , terdapatlah sekarang sebagai akibat dalil 89 :

Akibati Ketiga symmedian sebuah segitiga melalui satu titik. T itik ini d i sebut titik Lemoine (atau titik symmedian) A ABC. D isa m p in g pengertian relasi isogonal” masih ada lagi pengertian ja n g lebih luas, ja ’ni : dua garis „antiparallel” thd. dua garis ja n g lain . D u a garis / dan m disebut antiparallel thd. dua garis a dan b d jik a l dan m sedjadjar atau b e rim p it dengan dua garis Z' dan m ' jang berrelasi isogonal th d . a dan b. H u b u n g a n a n ta ra l dan m ini djuga dapat d in jatak an sbb.: m sed jad jar atau b e rim p it dengan bajangan tjerm in l didalam garisbagi d dari salah satu s u d u t antara a dan b. D apat dikatakan djuga bahw a l dan a m e m b u a t su d u t ja n g sam a dengan m dan b, tetapi arah nja kedua sud ut ini berlaw anan. D jik a / d an m antiparallel thd. a dan b, tentu djuga a dan b a n ti parallel th d . I dan m. D jik a A salah satu sudut antara a dan b, m a k a d ik a ta k a n d ju g a bahw a l dan m antiparallel thd. /_ A. § 28. D engan dalil 82 kam i dapat m elakukan lukisan-lukisan d ib aw ah ini; h a n ja lu k isan n ja sadjalah kam i m uat.

L U K I S A N

XV.

Membagi sebuah segmentgaris atas, beberapa bagian jang sebanding dengan segmentgaris-segmentgaris jang diketahui ; lihatlah gb. 90. 92

LUKISAN

X V I.

M elukis pembanding keempat pada 3 segmentgaris ; lihatlah gb. 91. Perhatian. 1°. D jik a dalam gb. 90 p = q = r, m aka terdapat lukisan u n tu k mem bagi sebuah segmentgaris atas 3 bagian jang sama besarnja. 2°. Lukisan u ntu k x jang berlainan daripada jang terlihat dalam gb. 91 telah term uat dalam tjontoh 14d. Sekarang akan kita bitjarakan beberapa lukisan jang berhubungan dengan m em bandingkan dan membagi luas. • . L U K IS A N

X V II.

Mem bagi sebuah segitiga atas dua bagian jang luasnja berbanding sebagai dua segmentgaris m dan n, dengan membuat sebuah segmentgaris m elalui titik-sudut A. \

T ju ku p lah djika sisi a dibagi atas dua bagian B D dan DC, jan g berbanding sebagai m : n atau n : m. LU K IS A N

X V III.

i

Mem bagi sebuah segitiga atas dua bagian jang luasnja berbanding sebagai du a segmentgaris m dan n, dengan membuat sebuah segmentgaris m elalui suatu titik pada BC. D jik a A A B C segitiga ja n g , diketahui, dengan titik P pada sisi BC, dan PQ segmentgaris jang d ita n ja k a n , (misalnja Q pada A B), sehingga Is A BPQ : Is. segi-4 A CPQ = m : n. D jik a BP = p dan BQ = x, m aka Is A P B Q : Is A BCA - p x : ac = m : (m + n), mc D jadi x : a = ------ : p. m + n P e rs ia p a n :

Gb. 92: L u as A B P Q : luas sg. emp. A C P Q — m : n.

D ja d i djika pada sisi A B ditetapkan titik D, sehingga B D : D A = TTLC

m : n, m aka B D = ----- , djadi x : a = BD : p, sehingga CQ // PD . m + n Penjelesaian kita dapat djuga dengan djalan pikiran sbb. D jik a titik D telah dipilih sehingga BD : D A = m : n, tentu Is A B DC dan Is A D A C berbanding sebagai luas bagian-bagian A A BC jan g harus diper oleh dengan m enarik garis PQ. D jadi luas A B D C harus sama dengan luas A B Q P. D jadi Is A PDC = Is A D Q P, CQ // PD .

93

M e n g e r d j a k a n n j a . Bagilah sisi BA atas dua bagian B D dan D A , jang

berbanding sebagai m dan n (lihatlah lukisan X V ). T ariklah P D dan k em udian CQ// P D . PQ ialah segmentgaris jan g ditanjak an . P e r h a t i a n : Penjelidikan ter

c

lebih dulu tentang letaknja Q, ja 'n i pada sisi B A atau pada sisi AC, tid a k perlu dilakukan. Sebab d jik a lukisan dikerdjakan seperti diuraikan diatas, dan te rn jata garis jan g melalui C sedjadjar dengan P D memo tong perpandjangan B A di Q ', m a k a djelaslah bahw a Q harus terletak pada sisi AC. M aka Is A B P Q 'h a r u s = / s segiempat B P Q A , djad i Is A A P Q = Is A A PQ . Maka Q dapat diketem ukan sebagai titik p o to n g AC dengan garis melalui Q ' sedjadjar dengan A P. L ih a tla h gb. 93; m :n — 5 : 3; Is A B C D = f /s A BCA ; A PD C kita ganti dengan A P D Q '; d jadi djuga Is A B P Q ' = f Is A BCA; dari segitiga ini A P A Q ' k ita ganti'de ng an A P A Q ; PQ ialah segmentgaris, jan g mem bagi A A B C atas segi-4 A B P Q = | A A BC dan A PQC = 3/ 8 A ABC. §

29.

S O A L - S O A L .

1.

Suatu trapezium sisi-sisinja jang sedjadjar ialah a dan b (a > b), sisitegaknja c dan d. H itunglah sisitegak segitiga jan g terdjadi d jik a kedua sisitegak trapezium diperpandjang, dan jang beralasan sisi b.

2.

D alam A A B C garisbagi A D dan garisbagi B E potong-memotong di I. N jata k a n la h perbandingan A l : ID dengan sisi-sisi a, b dan c dari A A B C .

3.

a. Garisbagi dy dari /_ C memotong A B di F dan eR, garisbagi sudut luar ¡3 di Ic. P N ja ta k a n la h ICF : IcC dengan a, b dan c. IC I C b. H itu n g la h djuga — : djika I titikpotong garis2 bagi sudut A ABC.

4.

D a la m A A B C D adalah titikpertengahan B C ; eQ dan dy m em o tong A D di P dan di Q. ^ N ja ta k a n la h — : dengan sisi-sisi a, b San c. PA QA

94

5.

D iketahui sebuah- segiempat ABCD; garis jang dibuat melalui A sedjadjar dengan BC memotong BD di P; garis jang melalui B dan sedjadjar dengan A D memotong AC di Q. Buktikanlah, bahwa PQ

II DC. 6. a. Pada segmentgaris A jA 2 dibuat garis A jB j = lx dan A2B2 == /2, kedua-duanja tegaklurus pada AtA2 dan terletak disatu pihak thd. A iA ,. Pada segmentgaris BaB2 terletak titik P, sehingga B jP : P B 2 = m : n; hitunglah pandjangnja garis PQ jang dibuat dari P tegaklurus pada A 1A 2. b. H itunglah PQ djuga, djika A2B2 diletakkan dipihak lain thd. A ,A 2. 7.

D iketahui sebuah segitiga ABC dengan titikberatnja Z, beserta se buah garis / diluarnja. Titik-titik A, B, C dan Z diprojeksikan kearah jang sama pada /. D jika projeksinja disebut A ' B ', C' dan Z ', buktikanlah bahwa Z Z ' = J S A A'.

8. D alam A ABC alas A B = c dan garistinggi CD = tc. Dari budjursangkar P Q R S jang terlukis didalam A ABC, titiksudut-titiksudut P dan Q terletak pada AB, R pada BC dan S pada AC. Njatakanlah sisi budjursangkar itu dengan c dan tc. 9.

D alam segitiga siku-siku ABC terlukis dua budjursangkar; dari budjursangkar jang satu, 2 sisinja terletak pada kedua sisi-siku CA dan CB; dari budjursangkar jang lain salah satu sisinja terletak pada sisimiring A B. Budjursangkar jang m anakah lebih besar? Selidikilah.

10.

D alam A A B C terletak titik P; melalui P dibuat tiga segmentgaris, masing-masing sedjadjar dengan salah satu sisi, sedangkan udjungu d ju n g n ja terletak dikedua sisi jang lain. D jika pandjangnja sisi disebut a, b dan c dan segmentgaris-segmentgaris jang sedjadjar x y 2 dengan mereka disebut x, ydanz, buktikanlah, bahwa: — + — + ~ = 2 -

11.

D alam A A B C diletakkan titik D pada BC dan titik E pada AC, sehingga B D : DC = m : n dan A E : EC = p : q. D jik a A D dan B E potong-memotong di S, njatakanlah perbandingan AS : SD dan BS : SE dengan m, n, p dan q.

12.

D jik a a b dan c segmentgaris-segmentgaris jang diketahui, lukislah segmentgaris-segmentgaris x, y dan u, dengan sjarat: 95

a : x = c : b;

a : b '= y : c;

Selidikilah (kontrollah)

u : x = y : a.

benar atau salahnja lukisan itu .

13.

D ik e tahu i dua garis / dan m, jang potong-memotong di S dan sebuah t itik P ja n g tid ak terletak di / atau di m. H e nd aklali d ib u a t sebuah garis m elalui P, jan g m em otong / di L dan m di M, sehingga: a. SL : SM = a : b, b. P L : PM = c : d. a, b, c dan d adalah segmentgaris.

14.

B agilah sebuah djadjarangendjang A B C D atas 3 bagian ja n g sama luasnja dengan m em buat dua segmentgaris dari A.

15.

a. Bagilah sebuah trapezium A B C D (A D // BC, A D > BC) atas dua bagian jan g sama luasnja dengan m em buat sebuah segmentgaris dari B. b 8 b. D ju g a dengan m em buat segmentgaris dari A.

16.

17.

18,

Sebuah segitiga A B C ditentukan letak dan besarnja. Lukislah se bu ah titik P , sehingga luas segitiga-segitiga PB C, PC A dan PA B be rb an d in g sebagai 3 segmentgaris k, / dan m T iga segmentgaris AB, CD dan f p L uk islah sebuah titik P, s e h i n L 1 P C F sam a luasnja. gg3

A ,

• , , , '* tahU' letak d a " besar" J a' P A B , P C D dan

LuW slah sebuah segitiga ABC, djika diketahui b, c dan se g m e n tR r J : J * g r nghUbUngka" A d™ gan titik D , ja n g m em bagi m dan n Ua a^ lan’ berbanding sebagai d u a segmentgaris b . Lukislah sebuah segitiga ABC djika diketahui b , c dan garisbagi

m o t o n ^ d f ^ d™ t “ " g d\ l dHan T n h ^

r

pada A D , Q pada BC).

PS = SQ ;

—f ^ DC^’ kedua diagonal potong-meS:S!te§ak di T; M dan N adalah titikperalui S dibuat segmentgaris PQ // A B (P

Buktikanlah-

b. TS m elalui'm dan N.

20. a. Sebuah garis /, ja n g sedjadjar dengan sisi-sisi A B dan D C jang sedjadjar pada sebuah trapezium , m em otong A D , AC, B D dan BC berturut-turut di P, Q, R dan g 96

B uk tik anlah, bahwa PQ = r s . b. Lukislah garis / // AB, sehingga PQ = Q R =

RS.

2 1 . B agilah sebuah segiempat A B D C mendjadi dua bagian jang sama Iuasnja dengan m em buat sebuah segmentgaris dari A. 22.

Lukislah sebuah segitiga, djika diketahui sebuah sisi dan salah satu sudut pada sisi itu, sedangkan Iuasnja harus sama dengan luas sebuah djadjarangendjang A BCD jang diketahui pula.

23.

D alam sebuah segiempat A BCD dibuat segmentgaris-segmentgaris PQ I/ A B , sehingga P dan Q terletak pada garispatah BCDA. Tentu kanlah te m p at kedudukan' titik-titik jang membagi PQ dengan perbandingan jang diketahui. *

24.

D iketahui dua sinar l dan m jang bersekutu pangkalnja S. Sebuah garis ja n g berubah-ubah memotong l di P dan m di Q ; M ialah titikpertengahan PQ. Tjarilah tempat kedudukan M, djika : a. SP = k. SQ (k bilangan positif) b. SP + SQ = a (a sebuah segmentgaris) c. SP + k. SQ = a.

25.

Sebuah titik P bergerak sepandjang sisimiring AB segitiga siku-siku A BC. Projeksi P pada BC dan AC disebut Q dan R. Pada segmentgaris Q R dipilih titik S, sehingga QS : SR = m : n ; m dan n adalah segmentgaris. Tjarilah tempat kedudukan titik S.

26.

T jarilah tem pat kedudukan titik-titik jang djarak berarahnja dari ganssisi A B a ABC sama dengan djumlah djarak berarahnja dari AC dan BC. Ja n g dimaksud dengan daerah positif suatu garissisi ialah daerah jang m em uat titiksudut didepan garissisi itu.

27.

D iketahui sebuah trapezium ABCD (AB // D C ) ; bagilah trapezium ini dengan m em buat sebuah segmentgaris PQ (P pada AB dan Q pada DC) atas dua bagian jang perbandingannja diketahui, djika o. PQ sedjadjar dengan sebuah garis /. b. PQ sama dengan segmentgaris p.

28

D alam segiempat convex ABCD dibuat segmentgaris PQ // AB, sehingga P dan Q terletak pada garispatah BCDA. D jika PQ ber ubah-ubah, tjarilah tem pat kedudukan titikpotong S kedua dia gonal trapezium dengan AB dan PQ sebagai sisi-sisi sedjadjar. 97

Planimetri — 7

"29. Tjarilah titik, jang berrelasi isogonal thd. sebuah segitiga ABC dengan titik tinggi segitiga itu. 30. a. Dalam A .A B C AE ialah symmedian dari A (E pada BC). Bukti kanlah, bahwa B E : EC = c2 : b2, b. Djika P sebuah titik symmedian AE dalam A ABC, tentu djarak P ke A B dan ke AC berbanding sebagai c dan b. Buktikanlah. 31. Memilih sebuah titik pada sebuah garis (lingkaran) sehingga djarak dari titik itu ke dua titik A dan B berbanding sebagai dua segmentgaris m dan n.

32. Mentjari sebuah titik X dalam sebuah segitiga ABC, jang djaraknja ke- A, B dan C berbanding sebagai tiga segmentgaris p, q dan r. 33.

Diketahui dua garis / dan m jang sedjadjar dan dua titik A dan B. Lukislah sebuah segmentgaris X Y tegaklurus pada l, sehingga A X : B Y = p : q (X pada /, Y pada m ; p dan q ialah dua segmentgaris).

34.

Dari A ABC garisbagi AD diketahui letak dan besarnja, beserta pusat I lingkarandalam jang terletak pada AD, dan djarak BI. Lukislah

35.

segitiga itu.

Lukislah sebuah A ABC, djika diketahui alasnja AB, djari-djari lingkarandalam dan perbandingan djarak dari pusat lingkaran itu ke- A dan ke B.

36.

Pada garis / terletak titik-titik A, B dan C dengan urutan ini. Tjarilah tem pat kedudukan titik-titik P, sehingga segmentgaris AB dan BC terlihat dari P pada sudut jang sama besarnja.

37. a. D alam A A B C b ^ c; (Pa, R a) ialah lingkaran Apollonius segitiga itu, jang melalui A. N jatakanlah R a dengan sisi-sisi A ABC.

b. D jik a a >

b >

1

1

1

c, m aka — — —— f- 77-; buktikanlah. *vb Ka Kc

c. B uktikanlah, bahwa ketiga lingkaran Apollonius suatu segitiga ja n g tid ak samakaki, bersekutu 2 titik. 38. D iketahui 6 buah segmentgaris a, b, c, d, e dan /, beserta sudut
39.

Pada alas A B A ABC terletak sebuah titik D. Garisbagi a memotong CD di P garisbagi p memotong CD di Q; P lebih dekat kepada C daripada Q. Lukislah sebuah segitiga ABC, sehingga CP = PQ =* QD ; CD dan tc djuga diketahui.

40.

D . E dan F adalah titikkaki dari garistinggi, garisbagi dan garisberat dari titiksudut C A ABC. Lukislah segitiga itu, djika A D = D E — EF.

99

B A B H A L

V.

M E M P E R B A N J A K

B AN GU N .

§ 30 . D jik a O sebuah titik dan m sebuah bilangan ja n g positif atau negatif, m ak a dengan perbanjakan (O, m) kami m aksu dk an sebuah operasi ja n g m em perpasangkar pada sebuah titik A sebuah titik Au, sehingga O A h = m. OA. O disebut pusat ( centrum) pe rb anjak an, m faktor perbanjakan. D ik atak an djuga, bahwa A dipindah atau ditrans formasikan ke Ah (perpasangan demikian djuga disebut transformasi), atau A m e n d je lm a m endjadi Ah. Ah disebut titikhasil A ; A disebut titi'k asli. M enentukan titik Ah, jang diperpasangkan d e n g a n 'A pada per b a n ja k a n (O m), d ju ga disebut memperbanjak A terhadap pusat O dengan fak to r m. D ari definisi ternjata bahwa O m endjelm a m endjadi O sendiri. Sebuah titik A ja n g berlainan dengan O, djika m positif (gb. 94 a) m en dje lm a m endjadi titik Ah a Cf9 * ~ ’“ °*-°Ah p ada sinar O A , sehingga OAh = m. OA. D jik a m negatif (gb. 94 b), m aka Ah ter(V) a^,0^ * —*~°a letak d ip e rp an d jan g an A O , sehingga O A h Qb g4; Memperb sebuah m k = |m |. A O . P e rb anjakan (O, -1) sama sadja dengan pe rputaran (O, 180°) dan djuga disebutpentjerminan dalam titik O. Seperti pe m in d ah an,

perbanjakan adalah

pCipdStingan satu-satu,

artmja*. t\ap-t\ap t it ik dari bid ang m endjelma m endjadi tepat satu titik dalam b id an g itu , dan sebaliknja tiap-tiap titikhasil adalah pendjelm a a n dari te p at satu titik asli. S u a tu b an g un Gh disebut bangunhasil dari G pada perbanjakan (O, m), d jik a titik - titik G pada perbanjakan ini m endjelm a m endjadi titik - titik Gh (lih atlah gb. 95 a dan 95 b). Dengan ini kam i m aksudkan, bahw a titik h as il tiap-tiap titik dari G terletak pada Gh, dan sebaliknja setiap titik pada Gh adalah titikhasil sebuah titik pada G; dengan lain perkataan : G h ialah tem pat kedudukan titikhasil-titikhasil dari titiktitik n ja G. G disebut bangun asli dari Gh; dikatakan bahw a G karena dip e rb a n ja k mendjelma mendjadi Gh, Menentukan Gh, djika G ,O dan m dike ta h u i, disebut memperbanjak G terhadap O dengan m. K am i tu lis djuga Gh = m G (O), djadi djuga G = Gh (O). D jik a pada d u a ban g un m u n g k in d ila k u k a n suatu perbanjakan, sehingga bangun ja n g satu m en dje lm a m en djad i ja n g lain, m aka kedua bangun tadi disebut homothetis (index h ialah huruf pertam a dari kata hom othetis). T itik

100

jang dap at dipakai sebagai pusat perbanjakan itu, disebut pusat (cen trum) homotheti, atau pusat kesebangunan. D jika faktor perbanjakannja

positif, m aka pusat kesebangunan tadi disebut pusat kesebangunan luar (gb. 95a); djika negatif pusat kesebangunan dalam (gb. 95b).

§ 31. Sekarang akan kita selidiki, apakah bangunhasil dari bangunbangun ja n g m udah, ja k n i: garis segmentgaris sudut dan lingkaran, djika diperbanjak. DALIL

90 ff.

D jik a sebuah oaris l diperbanjak dengan (O, m), maka bangunhasilnja ialah garis l sendiri, djika O terletak pada /; bangunhasilnja adalah sebuah garis jang sedjadjar dengan l, djika O terletak diluar l (m * 1). Bukti ■D jik a O terletak pada /, maka menurut definisi perbanjakan, tiap-tiap titik pada / menghasilkan, titik pada / lagi, dan sebaliknja se tiap titik pada / djuga mendjadi titikliasil suatu titik pada pula. Sekarang kita anggap, bahwa O tidak terletak pada l (gb. 96). D jika OA = a dan O P = p, m aka m enurut ketentuan OAn == ma dan OPh — mp. Sekarang menurut dalil 81 d, ja ’ni kebalikan dalil Thales, Au Ph II A P ; djuga Ph Bh II PB; djadi AhPhBh = l sedjadjar dengan l. D jika faktornja nega tif, m aka l dan lb terletak disebelah-menjebelah

O

Ah

Ph

Bh

h

Gb. 96: Memperbanjak sebuah garislurus.

O; b u k tin ja sama sadja. DALIL

90 b.

Sebuah segmentgaris, djika diperbanjak dengan (O, m) menghasilkan sebuah segmentgaris jang pandjangnja \ m | kali segmentgaris jang asli, 101

dan terletak pada satu garis atau pada dua garis sedjadjar dengan segmentgaris jang asli. Sebuah sinar menghasilkan sebuah sinar jang sama arahnja d jik a m positif dan berlawanan arahnja djika m negatif. Sebuah segment garis berarah menghasilkan sebuah segmentgaris berarah sama dengan m. A B . B ukti: K ita bu k tik an lebih dahulu bagian jang terachir. D jik a 0 ,A dan B terletak pada satu garis, m aka djuga Ah dan Bh terletak dalam garis ini; m aka AhBh — AhO + OBh = m. AO + m. OB. = m. A B . D jik a O tid a k terletak pada satu garis dengan A dan B, m aka AhBh // A B (dalil 90 a). D jik a m positif (gb. 96), m aka B dan Bh terletak pada satu p ihak thd. O A , sehingga A B dan AhBh sama arahnja. S elandjutnja m enurut dalil 82 AhBh = ] m |. A B djadi AhBh = m. AB. Dengan djalan ini bukti d ap at diberikan djuga u n tu k m negatif. Bagian pertam a dalil 90 b ter ka nd un g dalam jan g telah dibuktikan. D juga bagian kedua bisa didapat d arip ad an ja dengan m udah. Sebab titik-titik sinar A B (gb. 96) adalah titik - titik P dari garis A B dengan sifat, bahwa PA : B A positif. D ja d i bangunhasil sinar ini terdiri dari titik-titik Ph dari garis A h B h, jang bersifat, bahw a PhAh : BhAh positif, djadi sinar AhBh. D an sinar ini sama arah nja dengan segmentgaris berarah A h Bh, djadi dengan A B dan dengan sinar A B , djika m positif. A rahnja berlawanan d jik a m negatif.

A kibat ke-I.

Urutan titik-titik jang segaris sama dengan urutan titik-

titik hasil mereka. Akibat ke-2. Sebuah sudut, djika diperbanjak, menghasilkan sebuah sudut jang sama besarnja. Akibat ke-3. Perbandingan segmentgaris atau segmentgaris berarah jang terdapat dalam suatu bangun, sama dengan perbandingan-perbanding an jang bersesuaian dalam bangun hasil. D alam jan g dikatakan diatas ini terkandung, bahwa sebuah segi-n, djik a diperbanjak dengan (O, m), menghasilkan sebuah segi-n lagi, jang sudut-sudutnja sama dengan sudut-sudut jang bersesuaian dalam bangun jang asli, sedangkan sisi-sisinja sama dengan \m\ -kali sisi-sisi ja n g bersesuaian dalam bangun asli. Selandjutnja, bahwa m isalnja garistinggi, garis-berat, garisbagi dsb. dalam sebuah segitiga m enghasilkan garistinggi, garisberat, garisbagi dsb. lagi dalam bangun hasil. 102

D A L IL

90 c.

Lingkaran (P , r), djik a diperbanjak dengan (O, m) menghasilkan sebuah lingkaran jang berpusatkan titikhasil P h dari P sedangkan djarid jarin ja sama dengan | m | r.

B u k t i : D jik a Ah titikhasil dari sebuah titik A pada lingkaran (P, r) m aka m en urut dalil 90 b Ph Ah = | m |. PA = | tn | r; djadi Ah terletak pada lingkaran (Ph, | m | r). D jik a sebaliknja Bh sebuah titik dari ling karan terachir ini, m aka tentang titik B jang menghasilkan Bh diketahui P B = J L . P h B h = r ; djadi B terletak pada lingkaran (P, r).

Akibat. D u a lingkaran jang tidak sama, mempunjai sebuah titik kesebangunan luar dan titik kesebangunan dalam ; dua lingkaran jang sama (tetapi tidak berimpit) lianja mempunjai sebuah titik kesebangunan dalam.

D iketahui lingkaran (P ^ rx) dan (P2, r2); Px # P2 dan # r 2. (Penib a tja hendaklah m em buat ganibarnja sendiri). Pada salah satu perpand jan g an P ^ ; , terletak sebuah titik O, sehingga OP2 : OP1 = r2 : rx; 103

djika lingkaran (Pj, r2) diperbanjak dengan 0 sebagai pusat perbanjakan dan dengan faktor r2 : rlf m aka lingkaran ini m enghasilkan bangunhasil jang berim pit dengan lingkaran jang kedua. Hal ini terdjadi pula, djika sebagai pusat perbanjakan diam bil titik O , jang membagi Px P 2 dari dalam dengan perbandingan r, : r2. D jik a rx sama dengan r2, m aka tidak terdapatlah titik O jang membagi Pj P2 dari luar dengan perbandingan jang sama dengan per bandingan kedua djari-djari. U n tu k lingkaran jang sepusat dan tidak sama, O dan O ' keduaduanja terletak di Px = P2. Lingkaran jang berim pit m em punjai titik kesebangunan dalam jang terletak di P. T itik kesebangunan luar tidak ada. A tau setiap titik dalam bidang dapat dianggap titik kesebangunan luar. Sebuah garissinggung pada sebuah lingkaran djika diperbanjak, menghasilkan garissinggung pada bangunhasil (dalil 90 b, ak ibat 2 ber hubung dengan dalil 58). A kibatnja ialah bahwa sudut antara dua lingkaran ja n g potongmemotong sama besarnja dengan sudut antara kedua lingkaran jang m endjadi bangunhasil mereka djika mereka diperbanjak. Ini berarti pula, bahwa dua lingkaran jang singgung-menjinggung m enghasilkan lagi dua lingkaran jang singgung-menjinggung, sedang m a tja m per singgungan itu (ja'ni luar atau dalam) sama pula. Berhubung dengan ini, perbanjakan djuga disebut transformasi sudutsama ( isogonal, equisama besar angulair). D jika sudut berarah menghasilkan sudut jang dan arahnja, m aka transformasi demikian disebut transformasi samasudut samaarah (lihatlah gb. 98). A da djuga transformasi jan g memperpasangkan pada sebuah sudut, sebuah sudut lain jang sama besarnja tetapi berlawanan arahnja (lihatlah bab X IV ).

§ 32. Kerapkali perbanjakan bangun dapat dipergunakan u n tu k m entjari tem pat kedudukan. Soalnja biasanja berupa: m entjari tem pat kedudukan sebuah titik T, jang membagi sebuah segmentgaris A B jang berubah-ubah, dari dalam afau dari luar, dengan perbandingan jang diketahui, salah satu udjung AB, misalnja A, harus tetap, sedangkan B m endjalani sebuah garis K (disini dengan garis dim aksud garis lurus, lengkung atau patah; djadi K djuga boleh berupa segmentgaris, sinar, segi banjak atau busur lingkaran). D jika m isalnja AT : TB =

2, djadi AT : A B = 2 : 3,

Gb. 99: Kh iaM' djalan jang ditempuh oleh T.

104

m aka tempat kedudukan T ialah garis Kh jang m endjadi bangunhasil K djika K diperbanjak dengan (A, $ ); faktor negatif tentu m ungkin d juga. TJ 0 N T 0 H

24.

D ari A A B C titiksudut A dan B tetap, sedangkan C bergerak sepan tijang sebuah garis l. Tjarilah djalan jang dilalui oleh titikberat Z segitiga itu. P e n j e l e s a i a n : Oleh karena A

dan B tetap, m aka djuga titikpertengahan M dari A B tetap. Selandjutnja MZ = ■ §• MC; djadi djalan jang di lalui Z ialah garis lu, jang mendjadi bangunhasil /, djika / diperbanjak dengan (M, £) Tetapi Z tidak m ung kin m endjadi titikpotong lb dengan Gb. ¡00 : lh ialah djalan jang A B ; sebab djika Z terletak pada ditempuh oleh z. titik itu, m aka ABC bukan lagi sebuah segi tiga. Sekarang perbanjakan akan kita pergunakan u ntuk melakukan lukisan. D jik a sebuah bangun G harus dilukis dalam sebuah bangun H , m aka terlebih dulu dapat dibuat sebuah bangun Gh jang homothetis dengan jang ditanjakan, dan jang satu atau beberapa buah titik sudutnja telah terletak pada H . Dengan perbanjakan dari pusat jang tepat mem ilihnja, m aka Gh dapat didjadikan bangun jang semua titiksudutnja terletak pada H ,v biWgunhasi] ini tak lain ialah bangun G jang harus di lukis. Tentu sadja pusatnja harus dipilih, sehingga titiksudut-titiksudut Gh jang- terletak pada H , sesudah diperbanjak, masih tetap terletak pada H . TJ O N TO H

25.

Diketahui sebuah A A B C dengan sudutiantjip B dan C, dan dua segmentgaris p dan q. Lukislah dalam segitiga itu sebuah empatpersegipandjang, jang sisisisinja berbanding sebagai p dan q, sedangkan dua titiksudutnja terletak pada alas segitiga jang diketahui dan kedua titiksudut jang lain terletak pada sisitegak segitiga jang diketahui. P e r s i a p a n , (lihatlah gb. 101 a). D jika X Y Z U suatu empatpersegi pandjang jang memenuhi sjarat, m aka djika diperbanjak dengan C se

105

bagai pusat dan p : X Y sebagai faktor, akan didapat sebagai bangunhasil XhYhZhUh, jang X h Y h = p dan Y hZ h = q, sedangkan Uh terletak pada sinar AC dan Y h dan Z b pada sinar CB. Dengan ketentuan-ketentu an ini empatpersegipandjang X h Y hZ hUh dapat dilukis dengan m udah ; sehabis ini X dapat diketemukan, dan empatpersegipandjang X Y Z U dapat diselesaikan.

Gb. IQ l:

Persiapan. Pelaksanaan.

(lihatlah gb. 101 b). A m billah sebarang titik D pada BC, dan buatlah garis D E = q tegaklurus pada B C. B uatlah melalui E garis jang sedjadjar dengan B C; garis ini m em otong CA di Uh. Letakkanlah pada garis ini segmentgaris UhXh = p jan g sama arahnja dengan CB. Potonglah CXh dengan A B ; titikpotongnja ialah titik X . Tariklah X U // B C ; buatlah dari U dan X garis-garis jang tegaklurus pada BC. M en g erd ja k a n n ja

B u k t i : Ini diserahkan kepada pembatja.

harus X Y : Y Z = p : q (gb. 101 a), m aka letak X pada A B tertentu. Dari lukisan te rn jata, bahwa lukisan itu dapat dilakukan u n tu k tiap-tiap p dan q. D ja d i ada tepat satu penjelesaian dengan X Y : Y Z = p : q dan djuga tepat satu penjelesaian dengan X Y : Y Z = q : p (lihatlah gb. 101 b.) D jad i u n tu k p q terdapat dua penjelesaian. D i s k u s s i . Dari persiapan ternjata, bahwa djika

Suatu pemakaian

lagi terdapat pada lukisan dibawah ini : LU K I S A N

Membuat

garis

melalui

sebuah

X IX .

titik

T,

jang

memotong

sebuah

garislengkung K di A dan sebuah garislengkung L di B, sehingga T A'. TB = 106

m.

P e r s i a p a n . TA = m. TB, sehingga A dapat diperoleh dari B dengan perbanjakan (T, m). K ita tahu, bahw a B harus terletak di L. D jik a " k ita perbanjak seluruk garislengkung L thd. T se bagai pusat perbanjakan dengan faktor m, m aka titikhasil Bh dari B, jak n i A, tentu terletak pada bangunhasil Lh dari L. Karena " L^ A djuga terletak di K , m aka A adalah sebuah titikpotong antara _. , ° Gb. 102: A titik potong K dan Lh. r K dan Lh. M e n g e r d j a k a n n j a . Perbanjaklah L thd. T sebagai pusat dengan faktor

rn, sehingga terdapat Lh- Hubungkanlah sebuah titikpotong A antara K dan Lh dengan T ; titikpotong TA dengan L ialah titik B D i s k u s s i : B anjaknja penjelesaian sama dengan banjaknja titikpotong antara K dan Lh ; djika K dan L kedua-duanja garislurus, m aka urrtumn ja terdapat satu penjelesaian ; djika K sebuah lingkaran dan L sebuah segitiga, m aka paling banjak terdapat 6 penjelesaian.

T J O N T O H 26. D a ri A A B C alas A B diketahui besar dan letaknja ; selandjutnja putitjak C harus terletak pada suatu garis l dan titikberat Z harus terletak pada suatu lingkaran y. Lukislah segitiga itu.

Gb. 103: Z titik potong Ifi dan y.

P e r s i a p a n : D jik a M titikpertengahan AB, m aka MZ = £ MC, se hingga Z dapat diperoleh dari C, dengan perbanjakan (M, J ) ; djadi kita tinggal m elakukan lukisan X I X . M engerdjakannja sekarang m udah.

107

T J 0 N T 0 H

27.

Diketahui sebuah lingkaran (P , r)-dan sebuah titik T dalam lingkar an ini, lukislah melalui T sebuah talibusur X Y , sehingga X T : T Y = 3:5. P e r s i a p a n : T em jata bahwa Y

dapat diper oleh dengan m em perbanjak X thd. T sebagai pusat dengan faktor — f ; djadi dapat lagi kita pergunakan lukisan X I X . (lihatlah gb. 105). Perbanjaklah titik P thd. T dengan — f , dan buatlah lingkaran (Ph, § r ) ; lingkaran ini memotong lingkaran (P, r) pada titik-titik Yj dan Y 2 Tariklah YjT dan Y 2T hingga memo tong lingkaran (P, r) sekalilagi di X x dan X 2. M e n g e rd ja k a n n ja

H

B u k t i : Karena Y x terletak pada lingkaran ( P h , f r), dan lingkaran ini, djika diperbanjak dengan (T, — 1 ) menghasilkan lingkaran ( P , r),

m aka Y x menghasilkan titikpotong antara Y XT dan lingkaran ( P , r), jan g berlainan dengan Y lf jakni X t ; djadi X J : TY'1 = 3 : 5. Dengan tjara itu dibuktikan bahwa djuga X 2Y 2 m em enuhi. D i s k u s s i . Karena lingkaran ( P , r) dan ( P h , f/") paling ban jak bersekutu dua titik , m aka paling banjak terdapat dua talibusur jan g m em enuhi sjarat; letak mereka symmetris thd. P P h . D alam gb. 106 T E ialah segmentgaris jang terpendek, dan TF jang terpandjang, dari T sampai suatu titik pada lingkaran Sekarang harga jang sebesar-besarnja bagi

108

perbandingan — — sama

dengan —— = -jL, dan jang seketjil-ketjil-

nja — ; untuk kedua harga ini hanja ada satu penjelesaian, untuk

q semua harga perbandingan itu antara —

dan — ( ^

q

1 ) terdapat dua

P

penjelesaian. § 33. Tentu sadja tidak semua lukisan jang mempergunakan perbanjakan, sem atjam dengan jang sudah dibitjarakan diatas. Karena itu kami m uat tiga tjontoh lagi, jang agak berlainan m atjam nja. TJ O N TO H

28.

Melukis sebuah lingkaran jang melalui sebuah titik T dan menjinggung sebuah garis l, sedangkan titikpusatnja harus terletak pada sebuah garis m. P e r s i a p a n : Dengan m udah dapat dilukis sebuah lingkaran jang meme

nuhi kedua sjarat jang terachir ; untuk keperluan ini, tjukuplah pada m diam bil sebarang titik P sebagai pusat dan djarak r dari P ke / sebagai djari-djari. D jik a l dan m potong-memotong di S m aka sebuah lingkaran jang memenuhi sjarat, dapat didjelmakan mendjadi lingkaran (P, r) dengan m em perbanjaknja thd. S sebagai pusat perbanjakan. D jadi tju k u p la h djika lingkaran (P, r) diperbanjak thd. S dengan suatu faktor, sehingga bangunhasilnja melalui T. Sebagai faktor ini harus dipakai ST : SQ ; Q ialah titikpotong SP dengan (P, r).

Gb. ¡07: Lingkaran2 melalui T, jang menjinggung l dan berpusat pada m. M e l a k u k a n n j a : A m billah pada m sebuah titik P ; buat P R =

r l dan buat lingkaran (P, r). Tariklah ST, jang memotong lingkaran dititik Qj dan Q2. Perbanjaklah lingkaran (P, r) thd. S sebagai pusat dengan faktor ST : SQ . Ini dilakukan dengan m em buat TPX // Qx P dan m em 109

b u a t lingkaran (Pj, P XT ) ; dengan djalan jang sama, dari Q2 terdapat lingkaran (P2, P2T ) ; TP2 // Q, P. B u k t i : Kedua lingkaran jang terdapat, melalui T dan m enjinggung /,

sedangkan pusat mereka terletak di m ; djadi mereka memenuhi sjarat. D i s k u s s i : Karena ST memotong lingkaran (P, r) sebanjak-banjaknja

pada 2 titik , m aka paling banjak terdapat dua penjelesaian. T J O N T O H

29.

Pada sisi-sisi A X Y Z terletak titik-titik P, Q dan R, sehingga X P : P Y = 1 : 2, YQ : Q Z — 5 : 3 dan Z R : R X = 1 : 1 . Lukislah segitiga itu, djika P, Q dan R diketahui. P e r s i a p a n . Titik X terdjadi dari Y dengan perbanjakan ( P , —

£) dan dari Z dengan perbanjakan (R , — l). Karena perbanjakan jang pertam a, Q mendjadi Q1 dan karena jang kedua m endjadi Q2. Oleh karena, pada kedua perbanjakan. tad\ garis Y Z menghasilkan garis jang m elalui X dan sed\ad\,a\: Y 'L, m aka Qi dan Q2 harus terletak pada garis ini. Djadi garis ini terdapat; sehabis ini Y Z dibuat melalui Q sedjadjar dengan Q x Q 2. Dengan djalan jang sama terdapat djuga garis X Y , sehingga titik Y terdapat, dan kem udian terdapat djuga X dan Z. Mengerdjakannja bukti dan diskussi diserahkan kepada pem batja.

m Gb. 108: Persiapan.

TJ O N T O H

Gb. 109: P ersiapan.

30.

Diketahui 2 garis l dan m, jang potong memotong di S beserta sebuah, lingkaran a. Lukislah sebuah lingkaran p, jang menjinggung l, m dan a. Lihatlah gb 109. P e r s i a p a n . D jik a R titiksinggung antara lingkaran a dan lingkaran p, ja n g mem enuhi sjarat, perbanjakan dengan pusat R , jang mendjelma-

kan (3 m endjadi a, m endjelm akan Z dan m m endjadi dua garissinggung lb dan mu pada lingkaran jang sedjadjar dengan Z dan m. T itik S m en djadi titik p o to ng Sh antara Zh dan /nh. D jadi djika pada a d ib u a t garis Ih I I Z dan nih II m, jang potong memotong di Sh, m aka garis Sh S akan m enentukan titik R pada lingkaran a. Garis jang m enghubungkan R dengan pusat M dari a memotong garisbagi sudut (Z, m), ja n g m em uat R , pada pusat N dan lingkaran [3 jang harus dilukis. M e n g e r d ja k a n n ja .

Ini sudah djelas dari persiapan diatas. Lihatlah

gb. 1 1 0 .

B u k t i : Masih harus dibuktikan, bahwa lingkaran p jang terdapat, ja k n i lingkaran dengan pusat N dan djari-djari N R , m enjinggung Z

dan m. D jik a R S : RSh = k, m aka Zh dan mh, djika diperbanjak dengan (R , k), m enghasilkan Z dan m, sehingga masih harus dib uk tik an bahwa, karena perbanjakan itu, <x menghasilkan p ; djadi, bahwa R N : R M = k. Ini terbukti dem ikian : karena perbanjakan tadi, garisbagi sudut (Zh, mh), ja n g m em uat R, menghasilkan garisbagi sudut (l, m) jan g m em uat R , sehingga M menghasilkan N, sebab mereka terletak pada satu garis ja n g m elalui R.

111

D i s k u s s i (lihatlah gb. 110). D jika a tidak menjinggung l atau m, m aka

pada a dapat dibuat dua garissinggung sedjadjar dengan l dan dua garissinggung sedjadjar dengan m. Keempat garissinggung ini mendjadi garissisi belahketupat luar lingkaran a. Sekarang untuk R dapat dipakai setiap titikpotong antara garis-garis SSh, SB, SS'h dan SD dengan a. Paling banjak terdapat 8 tit ik ; dalam gb. 110 hanja ter dapat 4 buah titik R. Djadi banjaknja lingkaran p jang memenuhi sjarat. adalah 8, djika S terletak dalam belahketupat, dan 4 (pada um um nja), djika S terletak diluarnja, sebab dalam keadaan terachir ini 2 titiksudut belahketupat terletak antara kedua garissinggung dari S pada lingkaran a.

SOAL-SOAL.

§ 34.

1. Diketahui sebuah segitiga A B C dengan titiktinggi T dan titikberat Z, dan 2 segmentgaris/ dan R. a. Perbanjaklah A A B C dengan T sebagai pusat, sehingga kelilingnja mendjadi sama dengan /. b. Perbanjaklah A A B C dengan Z sebagai pusat, sehingga djaridjari lingkaran luarnja mendjadi sama dengan R. •

2.

a.

Dua lingkaran dan L 2 singgung-menjinggung dari dalam di T. Dari T dibuat garis jang memotong di Ax dan L 2 di A 2, dan sebuah garis lagi jang memotong Lx di Bj dan L2 di B 2. B u k ti kanlah, bahwa A jB j // A 2B2. b. Bagaimanakah dalil ini, djika L x dan L z singgung-menjinggung dari luar ? c. Buktikanlah, bahwa dalam kedua m atjam keadaan, garissing gung di Ax pada Lx sedjadjar dengan garissinggung di A2 pada L 2.

3. a.

D iluar lingkaran (P, r) terletak sebuah titik A ; sebuah sinar / dari A memotong lingkaran itu di T dan di Q. Pada l diletakkan segmentgaris AS = AT + AQ. Tjarilah tempat kedudukan S, djika / berputar pada A.

b. Tjarilah djuga tem pat kedudukan titikberat Z A

PTQ.

4. Dari A A B C diketahui letak dan besar alasnja AB. Tentang titikberatnja Z diketahui, ZA : ZB = p ■q • p ¿ ari q segment garis. Tjarilah tempat kedudukan puntjak C.

112

5.

Diketahui lingkaran (P, r) dengangaristengah A B jang tetap. Sebuah titik T pada lingkaran itu dihubungkan dengan A dan pada perpandjangan AT diletakkan segmentgaris TQ = AT. Djika T bergerak sepandjang lingkaran tadi, tjarilah tempat kedu dukan titikpotong S dari TB dan Q P.

6. Dari trapezium A B C D, (A B // D C), AB = a diketahui besar dan letaknja. CD = c hanja diketahui besarnja (a > c) ; seterusnja BC : AD = b\d\b dan d ialah segmentgaris. D jika S titikpotong AC dan BD, T titik potong AD dan BC, dan N titikpertengahan CD, tentukanlah tempat kedudukan T, N dan S. 7. Diketahui sebuah A A B C ; pada perpandjangan A B diletakkan sebuah titik R, dan sesudah itu pada perpandjangan B C sebuah titik S, sehingga R A : R B = S B : S C . D jika R bergerak sepan djang perpandjangan A B , tentukanlah djalan jang dilalui oleh titikberat Z A BRS. 8.

Diketahui letak dan besarnja dua segmentgaris AB dan CD,dan besarnja dua segmentgaris m dan n. Sebuah titik P bergerak sepan djang segmentgaris A B dan sebuah titik Q sepandjang segmentgaris C D ; tentukanlah tempatkedudukan titik S, jang terletak pada P Q , sehingga PS : S Q = m : n.

9. Diketahui sebuah lingkaran (P, r), sebuah titik T diluar lingkaran itu dan dua segmentgaris a dan b (a < b ). Lukislah sebuah garis melalui T, jang memotong lingkaran tadi di A dan B, sehingga TA: T B = a : b. Dimana harus diletakkan titik T, agar terdapat dua penjelesaian ? 10. Diketahui dua lingkaran dan L 2 jang potong memotong dan dua segmentgaris p dan g. Salah satu titikpotong Lx dan L 2 disebut S. Lukislah melalui S sebuah garislurus. jang memotong Ly di P dan L 2 di Q sehingga

a.

S P : S Q =

p :q

b.

SP:SQ = — p :q

11. Diketahui letaknja titik-titik .A dan Z dan lingkaran-lingkaran ß dan y. Lukislah sebuah segitiga A B C , sehingga B terletak pada ß dan C pada y, sedangkan Z harus mendjadi titikberat segitiga itu. 12.

Lukislah didalam sebuah segiempat A B C D sebuah djadjarangendjang, jang titikpotong diagonalnja. titik S, diketahui. 113

Planimetri - 8.

13.

D iketahui sebuah lingkaran (P, r) dan dua titik G dan H (G pada PH ). Lukislah lingkaran jang dengan lingkaran (P, r) bertitik kesebangunan titik G dan titik H.

14.

Diketahui dua garis l dan m dan sebuah titik T. Lukislah lingkaran jang melalui T dan menjinggung l dan m.

15.

Diketahui dua titik P dan Q dan sebuah garis /. Lukislah lingkaran jang melalui P dan Q dan menjinggung /.

16. D iketahui sebuah segitiga A B C ; tentukanlah pada B C sebuah titik X , pada AC sebuah titik Y , sehingga B X = X Y = Y A . 17. Gam barlah sebuah lingkaran L; am billah didalam nja sebuah titik S dan buatlah melalui S garis l dan garis m. Lukislah kedelapan buah lingkaran jang menjinggung L, l dan m. Lihatlah diskussi tjontoh 30. *

114

BAB

VI.

H A L SE B A N G U N . § 35. Bangun Gx disebut sebangun dengan bangun G, djika dengan perbanjakan G menghasilkan sebuah bangun Gn, jang congruert (sama dan sebangun) dengar Gx; lihatlah gb. 111; djadi G dan Gx disebut sebangun, d jik a Gh 3 ^ Gx ; G is bajangan tjermin Gx dan 'sebaliknja ; m enurut difinisi congruensi m aka G dan Gis congruent; djadi djuga G is sebangun dengan G. Dua bangun jang sebangun. djuga boleh kami sebut G dan G g. Tanda untuk sebangun ialah co, hurufbesar S jang rebah, huruf pertam a perkataan „similis” . D jadi tanda ^ u ntuk congruent berarti „sam a dan sebangun” . Definisi untuk sebangun dapat dinjatakan setjara singkat sbb. : Gx w G, djika Gx ^ m. G.

Perbanjakan jang diikuti oleh perpindahan disebut transformasi kesebangunan (jang dimaksud dengan perpindahan ialah pergeseran per putaran dan lipatan atau symmetrie); faktor perbanjakan adalah faktor kesebangunan. Dari dalil 90 dengan akibat-akibatnja dan dalil-dalil tentang perpindahan d id a p a t: D ALIL

91a.

D jik a dua bangun G dan Gg sebangun, maka pada tiap-tiap garis, sinar, segmentgaris dan lingkaran pada Gg terdapat ■ djuga sebuah garis, sinar dst. pada G g. Titik-titik jang segaris (collineair) dalam G berse suaian dengan titik-titik pada Gg jang djuga segaris dengan urutan jang sama. 115

t

D A L IL

91 b.

D jik a dua bangun sebangun, maka semua pasangan segmentgaris jang bersesuaian m em punjai perbandingan jang sama. D jad i antara segmentgaris-segmentgaris dalam bangun jang satu terdapat perbandingan jang s a m a ‘ dengan perbandingan segmentgaris-segmentgaris jang bersesuaian dalam bangun jang lain. D A L IL

91c.

D alam bangun-bangun jang sebangun, sudut-sudut jang bersesuaian sama besarnja. D jik a dua segitiga sebangun, sisi-sisi jang satu a, b dan c, dan bebe rapa segmentgaris didalam nja za, tb dan dy, m aka segmentgaris-segment garis jang bersesuaian dalam segitiga jang lain ialah ka, kb, kc, kza, ktb dan kdy, faktor k ini disebut faktor perbandingan seharga; tentu sadja faktor ini boleh diw udjudkan dengan sebarang huruf jang lain dari pada k. K ita lebih suka menggunakan apa jang telah dikatakan diatas ; perbandingan seharga kita pergunakan sedikit m ungkin. § 36. Sekarang kita bitjarakan beberapa dalil tentang dua bangun jang sebangun. Dalil-dalil ini dapat diperoleh dari dalil-dalil congruensi setjara demikian :

D jik a congruensi dua bangun dapat ditetapkan dari kesemaan segment garis-segmentgaris dan sudut-sudut jang bersesuaian, maka dapat ditetapkan bahwa kedua bangun itu sebangun, djika kesamaan segmentgaris-segment garis jang bersesuaian diganti dengan perbandingan seharga antara mereka. D jik a hanja terdapat kesamaan satu pasang segmentgaris jang bersesuaian sadja, maka ketentuan ini dihapuskan (dengan tidak diganti oleh sesuatu) untuk menetapkan kesebangunan. Benarnja tjara diatas dapat dibuktikan sbb. D jik a dalam bangun jang satu (G) setiap segmentgaris termasksud sama dengan k kali segmentgaris jang bersesuaian dalam bangun jan g lain (Gj), m aka Glf djika diperbanjak dengan k, akan m enghasilkan bangun Gh ; dalam bangun Gh, segmentgaris-segmentgaris jang ber sesuaian dengan jang termaksud dalam bangun G sama p a n d j a n g n j a dengan segmertgaris-segmentgaris termaksud itu. S elandjutnja antara G dan Gh terdapat pula kesamaan-kesamaan antara sudut-sudut ter116

maksud diatas, djadi G ^ Gh, dan berhubung dengan definisi kesebangunan, terdapat pula G w Oj. Sebaliknja nampak pula, bahwa ketentuan-ketentuan jang mene tapkan kesebangunan dapat ditambah hirgga menetapkan congruensi; ja ’ni dengan menambahkan kesamaan satu pasang segmentgaris jang bersesuaian atau dengan mengganti perbandingan seharga antara segmentgaris-segmentgaris jang bersesuaian dengan kesamaan antara mereka. Dengan menggunakan tjara diatas, peristiwa-peristiwa keseba ngunan dua segitiga dapat diperoleh dari peristiwa-peristiwa cong ruensi. Meskipun bukti untuk peristiwa-peristiwa kesebangunan telah terkandung dalam tjara diatas, akan tetapi dari keempat dalil dibawah ini, kedua dalil jang pertama akan kita buktikan setjara lang sung dengan menggunakan gambar. Dari dalil 17 atau 18 didapat: DALIL

92

D ua segitiga S dan Sx sebangun, djika sudut-sudutnja sama. D ik e t a h u i: a =

a 1(

P =

Pi-

D ib u k tik a n :

A ABC c^> A A1BJC1; ja ’ni ada sebu ah segitiga jang homothetis dengan A ABC, dan congruent dengan A A1B1C1. B u k t i : Perbanjaklah S de ngan faktor c1 \c = k (pada A gb. 112 k = i); bangunhasilnja ialah Sh. Menurut Gb. 112: H a l pertam a. dalil 90 dan jang diketahui, m aka AhBh = k c = cv ah = a = ax dan ph = P = px. Sekarang A Sh dan A Sx m em punjai sama satu sisi dengan kedua sudut pada sisi itu; m enurut dalil 17 A A Sx. Karena Sh S, m aka djuga Sx oo S.

DALIL

93.

D ua segitiga S dan S 1 sebangun, djika dua sisi S sebanding dengan dua sisi Sj dan sudutapit sisi-sisi itu sama. 117

D ik e ta h u i:

D ib u k tik a n :

A ABC ( = S) dengan a, b dan y A A ^ i C i ( = Si) dengan ka, kb dan y. A ABC co

a

A1B1Ci .

B u k t i : Perbanjaklah Sa thd. sebuah titik 0 sebagai pusat dengan faktor

1 : k (dalam gb 113 k — 3/5); terdapat Sh dengan sisi a dan b dan sudutapit y Menurut dalil 19 Sh ^ S; karena Sh <*> Si, m aka djuga S co Sx. Dari dalil 20 dan 21, terdapat dengan djalan jang sama: v

DALIL

94.

D ua segitiga sebangun, djika sisi-sisi segitiga jang satu merupakan per bandingan seharga dengan sisi-sisi segitiga jang lairi. DALIL

95.

D jik a pada dua segitiga dua pasang sisi jang bersesuaian sebanding dan sudut-sudut didepan sepasang sisi jang pertama sama, tentu terdapat satu dari kedua kemungkinan dibawah ini: 1°. kedua segitiga sebangun, djadi sudut-sudut didepan sepasang sisi jang lain sama; 2°.

kedua segitiga tidak sebangun; sudut-sudut didepan sepasang sisi jang lain berdjumlah 180°; jang satu lantjip dan jang lain tumpul.

D jika telah diketahui, bahwa sudut-sudut didepan sepasang sisi ja n g kedua sedjenis; atau bahwa sisi-sisi jang pertama adalah sisi ja n g terbesar dalam segitiganja masing-masing, m aka dapat ditetapkan bahw a kedua segitiga itu sebangun. Dari dalil 54 didapat: 118

D A L IL

96

D u a segi-n sebangun djika n— 1 sisi segi-n jang pertama sebanding dengan sisi-sisi jang ber sesuaian dalam segi-n jang kedua dan ke n-2 buah sudut jang terapit oleh sisi-sisi tadi dalam segi-n jang pertama, sama dengan sudut-sudut jang bersesuaian dalam segi-n jang kedua. djika sudut-sudut segi-n jang pertama sama dengan sudut-sudut segi-n jang kedua dan (n— 2) buah sisi jang berturut-turut dalam segi-n jang pertama sebanding dengan sisi-sisi jang bersesuaian dalam segi-n jang kedua.

a)

b)

F a t s a l in i k it a n ja

a c h iri d e n g a n

s e g m e n t- b id a n g

ja n g

sebuah

d a lil ja n g

p e n tin g

te n ta n g

lu a s-

sebangun.

D

A

L

97.

I L

Luasnja dua segmentbidang jang sebangun berbanding sebagai kwadrat dua segmentgaris jang bersesuaian. D a lil

in i

k ita

b u k tik a n

te rle b ih

d u lu

u n tu k

d u a

s e g itig a ja n g

se

b a n g u n .

A

D

ik e t a h u i

D

ib u k t i k a n

B u k ti:

/_

A

¿_

A

=

^ C

^

916

kb

=

73,

d a lil

co A

^

d a lil

A ,

k b kc:bc

B

j

Is A

:

M e n u ru t

A x =

m e n u ru t =

:

A B C .

: Is A d an

d an

—

A B C

=

c x2

:

c2

91c kc;

Is Sx : l§ S

m a k a

/c2 = ( 6 i :

b f= b *

: 6 2.

Is S 1 : Is S = k 2 d i d a p a t Is Sx = k2. Is S; d i s i n i k a d a l a h f a k t o r k e -

D a ri

se b an g u n a n . B u k ti D jik a

seb u ah

d e n g a n s is in ja d e n g a n a ta u

S 2,

ja n g

s e g itig a S

k,

fa k to r d a n

m a k a

a d a la h

sbb.

A

F

B

Ai

c,=kc

lu a s

b a n g u n h a s il

A iBic i

sisi-

Sx

Fi

B t

Gb. 114: Luas A B C : luas

d ip e rb a n ja k besar

c

=

c2 •' ci 2-

g a r i s t i n g g i n j a , m e n d j a d i A :- kali b e s a r n j a s e m u l a .

%a. t a ;

Is

la in

sam a

dengan

L uas S

sam a

\ k a . k ta — k 2. \ a t a ;

= k 2. Is S.

G dapat + Is S2 +

D jik a

su a tu

s e g m e n tb id a n g

.............. ..

m a k a

Is G = Is

d ib a g i

atas

s e g itig a - s e g itig a

Sv

.............

119

a k a n

d ip e rb a n jak

dengan

s e g itig a - s e g itig a la g i, j a n g

k.

m a k a

'u a s n ja

ini

s e g itjg a - s e g itig a

k* ls S, k 2 ls

S 2

/<2

ls

m e n g h a s il

S 3......................... ;

ternjata bahwa dalil 97 benar. D alil ini dapat diberi bentuk rumus sbb.: D jika Gh S t x G

m aka

ls G h = k 2. Is G.

§ 37. Sekarang kita m u a t

beberapa tjontoh tentang mempergunakan

kesebangunan. D A L I L Garistinggi-garistinggi sebuah

98.

segitiga sebanding terbalik dengan sisi-

sisi ja n g tegaklurus p a d a mereka.

c D i k e t a h u i : fa _L a; / b l

b ■a

D i b u k t i k a n : fa : /u =

B u k ti:

D jik a

Z

c

la n tjip

115) a t a u t u m p u l , ADC ( d a l i l 92); i n i m gb.

b

m a k a

(s e p e rti

p ada

A BEC co a

e n g h a s ilk a n

apa

ja n g

G6.

II5 :

, fl ..

=

b

a.

91). D jika /_ C siku-siku, maka benarnja jang harus dibuktikan terlihat demikian harus

d ib u k tik a n

(d a lil

sadja. P e r h a t i a n . Dalil 98 djuga dapat diperoleh dari dalil 71.

D jik a dari sebuah titik P dibuat garis-garis jang tegaklurus pada garissisi-garissisi sebuah segitiga ABC, m aka segitiga jang bertitiksudutkan titikkaki garis-garis tegaklurus tadi, disebut segitiga titikkaki P thd. A A B C . Misalnja: segitiga titikkaki pusat lingkaran luar thd. A ABC ialah segitiga jang bertitiksudutkan titikpertengahan ketiga sisi.

j Ja n g terpenting ialah segitiga titikkaki dari titiktinggi H th d . A ABC, djadi jang bertitiksudutkan titikkaki ketiga garistinggi dan jang biasanja disebut segitiga titikkaki A A B C (lihatlah gb. 116a dan b). Pada sebuah segitiga siku-siku, titikkaki dua garistinggi berimpit; djadi se buah segitiga siku-siku tidak punja segitiga titikkaki dan karena itu sela n d ju tn ja tidak dibitjarakan. 120

D A L IL

99.

Sebuah segitiga sebangun dengan segitiga jang titiksudutnja: sebuah titiksudut segitiga jang pertama dan titikkaki garistinggi dari kedua titiksudut jang lain. Dalam kesebangunan ini, udjung-udjung satu garistinggi mendjadi sepasang titik jang bersesuaian. B u k t i: D jik a sudut y A ABC misalnja Iantjip (lihatlah gb. 116g) atau tu m p u l (lihatlah gb. 1166), m aka titikkaki D dan E garistinggi dari A dan B, tentu kedua-duanja terletak pada kaki-kaki y atau kedua-duanja pada perpandjangan kaki-kaki y. Sekarang A ACD ( A C '= b) co A B C E (BC = a) (dalil 92). djadi CD dan CE boleh disebut kb dan ka. Me nurut dalil 93 A ABC co A DEC; sudut y berimpit (gb. 116a) atau ber tolak belakang (gb. 1166).

Gb. 116: Segitiga titikkaki H pada segitiga Iantjip A B C . Segitiga titikkaki H pada segitiga tum pul A B C .

Setjara demikian dapat dibuktikan djuga, bahwa djika F titikkaki garistinggi dari C, m aka A ABC <*> A A E F co A D B F; A E = Ic, A F = /6, B F = ma dan B D = mc. Dari kesamaan-kesamaan ini terdapat pula, bahwa AF. BD. CE. = FB . DC. E A , ja ’ni masing-masing k l m a b c . K arena / _ C D E = / _ CAB, maka D E dan AB antiparallel thd y. D jadi: Akibat ke-l. Titikkaki dua garistinggi suatu segitiga t e r l e t a k pada sebuah garis jang antiparallel thd. kedua garissisi jang tegaklurus pada kedua garistinggi ini, dengan sisi jang ketiga. Dengan mempergunakan ini, dapat diperoleh dengan m udah (lihat lah gb. 116o dan 6) Akibat ke-2. Pada sebuah segitiga Iantjip, garistinggi-garistinggi men d ja d i garisbagidalam segitiga titikkaki ; sisi-sisinja mendjadi garisbagiluar segitiga titikkaki-, titiktingginja mendjadi pusat lingkaran dalam segitiga titikkaki-, titiksudut-titiksudutnja mendjadi pusat lingkaran singgung segi tiga titikkaki.

121

U n tu k segitiga tu m pul, akibat ini berlaku djuga, asal sadja: titiktingg i diganti dengan titiksudut sudut tum pul; dan garissisi-garissisi jang m elalui titik sud u t ini diganti dengan kedua garistinggi jan g tegaklurus pada mereka. Akibat ke-3. D jik a B E dan C F dua garistinggi dalam A A B C , maka sisi E F dari segitiga titikkaki tegaklurus pada djari-djari A M lingkaran luar. Telah didapat, bahwa /_ F E A = P ; djadi /_ E = 9 0 ° — ¡3; djuga / _ M — ¡3 dan \ — 90° — P- Dari kedua sudut jang sama itu, ja ’ni Z Ex dan /_ Av kaki EB J_ kaki EA; djadi djuga E F _L AM.

DALIL

100.

D jik a pada dua bangun jang sebangun terdapat, bahwa dua segmentgaris jang bersesuaian sedjadjar, maka kedua bangun tadi homothetis, djika unsur-unsur dalam bangun jang pertama semua mempunjai arah jang sama atau semua mempunjai arah jang berlawanan dengan unsur-unsur jang bersesuaian dalam bangun jang lain. Dik e t a h u i : a

ABC oo

a

A ^ A ; AB ¡j A jB *

D i b u k t i k a n : Kedua bangun m em punjai pusat homotheti.

Lihatlah gb. 118a. Ketentuan pertama m enjatakan, bahw a A B : A jB j — BC : B ^ dan p = p^ selandjutnja A B // A ^ , djadi djuga BC /I B1C1 (sebab p = p j. Karena adanja perbandingan seharga diatas, m aka AB, A ^ , BC dan B ^ berturut-turut boleh disebut a, ka, b dan kb. B u k t i:

122

D jik a BP = p, m aka B ^ = kp (dalil 82); seandainja CCX memotong garis BB, di Q, m aka menurut dalil 82 lagi, djika BQ = q, tentu BXQ = kq. Segmentgaris-segmentgaris BP dan BQ bersekutu BBj; BB! = p — kp = (1 — k)p; djuga BB X = q — kq — ( 1 — k)q; djadi ( 1 — k)p (1 — k)q; karena k 1, m aka p = q; P dan Q berimpit dan terletak pada BBj. D alam gb. 1186 sisi-sisi jang sedjadjar berlawanan arahnja, djadi k negatif; B B X = (1 + |k |) p, djuga (1 -f | k |) q; djadi p = q\ ini berarti A A 1 dan CCt memotong BB, pada satu titik. Akibat ke 1. D jik a dari dua segitiga, setiap pasang sisi jang bersesu aian sedjadjar, tentu kedua segitiga itu homothetis. Pertama-tama, sisi-sisi jang bersesuaian arahnja semua sama atau sem ua berlawanan. D jik a tidak, tentu akan terdapat dua pasang sudut bersesuaian jang berdjum lah 180°; ini ta ’ m ungkin, sebab djum lah ke enam sudut kedua segitiga adalah 360°. Djadi sudut-sudut jang ber sesuaian sama, sehingga boleh dipergunakan dalil 100. Akibat ke-2. D jik a dua garis jang potong memotong dan tidak tegaklurus sesamanja. dalam suatu bangun, sedjadjar (atau berimpit) dengan garis-garis jang bersesuaian dalam bangun lain jang sebangun dengan bangun pertama, maka kedua bangun in i homothetis. Garis-garis jang termaksud ini tidak perlu mendjadi sebagian dari bangun-bangun itu; boleh djuga mereica garis penghubung titik-titik ja n g bersesuaian. Dari jang diketahui ternjata, bahwa sudut-sudut jang bersesuaian sama, sehingga boleh dipergunakan dalil 100. § 38. Ja n g telah diuraikan diatas, dapat dipergunakan sekarang djuga; d jik a A h, Bh, Ch titikpertengahan sisi-sisi A ABC, maka m enurut dalil 44 A hBh = i c, BhCii = i a dan CuAn = i b. Menurut akibat ke-1 dalil 100, m aka A ABC dan A AhB^Ch homothetis dengan — i sebagai fak tor. D jadi segmentgaris-segmentgaris AAh. BBh dan CCh melalui satu titik Z, sehingga A^Z = \ AZ, artinja AZ = 2 ZA&. Ternjata bahwa Z adalah titik kesebangunan dalam dari kedua segitiga jang sebangun. D jadi garis penghubung semua pasang titik jang bersesuaian dalam ke dua segitiga ini melalui Z djuga. D jik a dibuat A D J_ BC dan A^Dh J_ BhCh, m aka mereka adalah d u a garis tinggi jang bersesuaian; djika titiktinggi kedua segitiga disebut T dan Th, tentu TTh melalui Z, sehingga TZ = 2 ZT&. A kan tetapi A hD h ialah sum bu BC, dan BuTu sumbu AC; djadi Th berim pit dengan pusat P dari lingkaran luar A ABC. Selandjutnja N adalah pusat ling karan luar A AhBhCh (djadi N ialah pusat lingkaran titik sembilan ); P 123

dan N adalah dua titik jang bersesuaian, sehingga djuga PN melalui Z dan PZ = 2 ZN. D jadi P dan N terletak dengan T dan Z pada satu A

Gb. 119: Garis Euler.

garis dan PN = NT; lihatlah pada gb. 119 atas kanan segmentgaris T N Z P. Ja n g diuraikan diatas dapat diringkas mendjadi: D A LIL

101

Titiktinggi T, pusat N lingkarantitiksembilan, titikberat Z dan pusat P lingkaranluar sebuah segitiga terletak dengan urutan ini pada satu garis, sehingga T Z = 2 Z P dan T N = N P . Garis ini disebut garis Euler segitiga tadi. Pada gb. 119 nam pak djuga, bahwa A T = 2 P Ah, sedangkan homothesi diatas masih m engaki batkan, bahwa djari-djari lingkarantitiksembilan sama dengan setengah djari-djari lingkaran luar. D jik a selandjutnja G titikpertengahan AT, m aka Ah G # PA, se dangkan N titikpertengahan Ah G. Dari dalil 101 masih kami m uat sebuah pemakaian lagi. Ialblc ialah pusat-pusat lingkaransinggung A ABC; sekarang A, B dan C adalah titikkaki dari garistinggi-garistinggi A Ialblc, sehingga A A B C men djadi segitiga titikkaki A Iah>Ic- Pusat I lingkarandalam A A B C ialah titiktinggi A IahJc dan lingkaranluar A ABC ialah lingkaran titik sembilan A Ialblc. D jadi lingkaran ini melalui titikpertengahan K, L dan Q dari sisi-sisi A Ialblc, dan djuga melalui titikpertengahan N, O dan U dari IIa, Ilb dan I I C. 124

Karena / K A N = 90°, m aka titikpertengahan P dari K N adalah pusat lingkaran luar A A K N, jang berim pit dengan lingkaran luar A ABC. Selandjutnja K N J_ BC (lihatlah gb. 119 ; disini AhG // P A ; lihat djuga dalil 99, akibat ke-3). D jik a ra, rb dan rc djari-djari ketiga lingkaransinggung, r djari-djari lingkarandalam , dan R djari-djari lingkaranluar A ABC, m aka 2 K F = r b + rc dan 2 FN = ra — r. Karena 2 (K F + FN) = 4 R, m aka te rd a p a t: 4 R + r = ra + rb + rc. Relasi ini (djuga dapat d ib u k tik a n dengan m u dah dengan mengguna kan rumus-rumus u ntu k

'a

R , r, ra, rb dan r c (lihatlah Gb. 120: Beberapa hubungan. § 22 nr 20). D jik a (seperti dalam gb. 120) A ABC lantjip m aka te rd a p a t: — i r & '> P F = R — FN = R — H ra — r) = R + dem ikian djuga garis-garis dari P tegaklurus pada CA dan A B, ber turut-turut sama dengan : R + i r — i r b dan R + $r — i r c. D ju m la h ketiga garis tegaklurus sama dengan : 3 R + | r — i ( r a + rb + rc) = = 3 R + f r — ¿(4R + r) = R + r , dengan lain perkataan : djum lah djarak pusat lingkaranluar segitiga lantjip ke ketiga sisi sama dengan djum lah djari-djari lingkaranluar dan lingkarandalam.

§ 39.

*

D jik a suatu bangun G harus dilukis dari beberapa ketentuan, m aka kadang-kadang m ungkin dan baik, melukis terlebih dulu bangun Gg jang sebangun dengan G, ja ’ni dengan menggantikan dua segmentgaris jang d iten tuk an dengan dua segmentgaris jang sebanding, atau d jik a hanja diten tuk an satu segmentgaris sadja dengan menghilangkan ketentuan i n i ; dengan dem ikian banjaknja ketentuan berkurang dengan satu. B angun G jang ditanjakan, kemudian didapat dari Gg dengan d jalan 125

m em perbanjak Gg dengan suatu faktor, sehingga segmentgaris jang ber sesuaian dengan segmentgaris jang dihilangkan, atau kedua segmentgaris jang telah diganti dengan perbandingan mereka, mendapat pandjangnja ja n g ditentukan. Ini akan kami djelaskan dengan beberapa tjontoh. T J 0 NT 0 H

31.

D ari A A B C diketahui a, Zb dan b : c = p : q ; p dan q segmentgaris. Lukislah segitiga itu. P e r s i a p a n . Dengan ketentuan jang kesa

tu dan ketiga dapat dilukis A A 'B 'C ', jang sebangun dengan segitiga jang harus dilu kis (dalil 93); segitiga ini kita perbanjak, sehingga garisberat dari B mendapat pan djangnja jang ditentukan. , . , , , . Gb. ¡21: Tentang A A B C dikeLukislah sebuah. tahui a., z b dan b : c. sudut a ' = a ; letakkanlah pada kakikakinja segmentgaris A 'C ' = p dan A 'B = q. Lukislah titikpertengahan D ' dari A 'C ' dan letakkanlah pada sinar B D ' segmentgaris BD = Zb. B uatlah melalui D sebuah garis AC sedjadjar dengan A 'C '; tentu A ABC memenuhi sjarat. ,, M e n g e r d ja k a n n ja .

.

B u k t i . Dari lukisan ternjata bahwa A

ABC memenuhi sjarat.

D i s k u s s i . Selalu terdapat satu segitiga.

TJONTOH

32.

Lukislah sebuah budjursangkar, djika diketahui djumlah setengah diagonal dan sebuah sisi. K ita gambar sebuah budjursangkar A B C D dan tetapkan djum lah CF dari setengah diagonal dan sebuah sisi, gam bar ini kita perbanjak, sehingga C 'F ' mendjadi sama dengan segmentgaris jang diketahui. P e r s ia p a n .

M e n g e r d ja k a n n ja . Dengan sebarang segmentgaris A B sebagai sisi k ita lukis budjursangkar ABCD. Buatlah kedua diagonalnja, jang potong memotong di E : letakkanlah pada perpandjangan CD segment garis D F = D E . Lukislah sebuah garis sedjadjar dengan CF dan letakkanlah padanja segmentgaris C 'F ' jang diketahui ; tentukanlah titikpo to ng O dari C'C dan F'F . Selesaikanlah budjursangkar A 'B 'C 'D ',

126

ja n g m endjadi bangunhasil ABCD. djika A B C D diperbanjak dengan pusat O dan faktor OC' : OC = O F ' : OF. B u k t i : segiempat A 'B 'C 'D ' adalah sebuah budjursangkar, sebab A B C D sebuah budjursangkar. S eland ju trja \A 'C ' -f C 'D ' — ^ -( i AC + CD) CF =

C 'F '.

D i s k u s s i : Selalu terdapat satu budjursangkar

jang memenuhi sjarat.

satu sisi dan setengah diagonal.

Disini dim u at lagi beberapa tjontoh, u ntuk m em perlihatkan betapa besar faedahnja faktor perbandingan seharga. \

TJ O N T O H

33.

Diketahui segitiga A B C ; dipihak jang sama thd. A B , dibuat segitiga B D A dan segitiga E A B jang sebangun dengan A A B C ; dalam ketiga segitiga, urutan sudut-sudutnja sama. A B — c, BC = a dan C A = b. H itunglah AD, B D , B F dan A E . Buktikanlah selandjutnja, bahwa A

A C D co

a

B E D ; isilah A A D E w A --- dan A A E C co A- • • •

P e n j e l e s a i a n . K ita

tidak menulis perbandingan seharga, m elainkan k ita pergunakan faktor perbandingan seharga. Sisi-sisi A D A B boleh disebut ka, kb dan k c ; sisi-sisi A A B E disebut la, Ib dan Ic. Dari c = , BD = kb = la te rd a p a t: k = — dan l = — , djadi A D b a b bc c2 — dan A E = — hasil-hasil ini dituliskan dalam gambar. a a '

— , BE = b

127

A ACD dan A B E D m em punjai sama \

A = Z B = y — a ; sisi-sisi

oc jang mengapit Z A dalam segitiga jang pertama ialah b d an — ; sisi-sisi

bc c2 jang m engapit / _ B dalam segitiga jang kedua ialah— dan — ; sisisisi ini merupakan

perbandingan

c2 ac bc seharga ; sebab b. — = — • —

djadi kedua segitiga sebangun menurut dalil 93. Dalam A A D E : /_ A = y — p dan sisi-sisi jang mengapit sudut ac c^ itu p a n d ja n g n ja — dan — . Dalam A BCE : /_ B = y — p dan sisib a bc sisi jang mengapit sudut itu besarnja a dan— ; djadi kedua segitiga a sebangun, m enurut dalil 93 djuga. Dalam A AEC : /_ A = p — a, sama dengan B dalam A BDC ; c2 sisi-sisi jang m engapit A ialah b dan — .dan jang mengapit Z B c2 a ialah a dan — , djuga sisi-sisi ini merupakan perbandingan seharga ; m enurut dalil 93 kedua segitiga sebangun.

TJ 0 N T 0 H

34.

A B C adalah sebuah segiempat; sisi-sisinja ialah a, b, c dan d ; E pada A B membagi A B atas dua bagian jang berbanding sebagai d dan b ; demikian djuga kedudukan F pada DC\ buktikanlah, bahwa E F membuat sudut jang sama dengan A D dan BC. D i k e t a h u i : B C = b, A D = d. A E : EB = D F : FC = d : b. D i b u k t i k a n : E F m em baut sudut jang

sama dengan A D dan BC. B u k t i . A E = kd, EB — kb ; gambarlah djadjarangendjang A E H D dan EBCG ; D H = kd dan CG = kb. Sekarang (lihatlah jang diketahui) D F = Id dan FC = I b ; A D H F «> A CGF ; /_ D disini sama dengan /_ C (dalil 7 ); djadi kedua segitiga sebangun

128

(dalil 93); karena itu /_ Fx = F2 (djadi G, F dan H 'te rle ta k pada satu garis) dan H F = md, FG = mb. Lihatlah sekarang A E G H ; bagian-bagian HG berbanding sebagai H E dan G E ; djadi E F m em bagi dua sam a /_ E (dalil 85), m aka E F m em buat sudut jang sama dengan A D dan BC. TJ 0 N T 0 H

35.

Alas sebuah trapezium disebut A B ; garisatasnja disebut C D ; E ialah titikpotong perp atidjangan kedua kaki, F titikpotong kedua diagonal. E F memotong C D di G dan A B di H . Buktikanlah bahwa FG x E H = E G x FH. ■ p, FH = q. A EDC = k' A E A B ; djadi EG = kp dan DC = ka. A FCD = k A FAB ; sebab CD = ka dan A B = a ; FG = kq. Sekarang jang harus dibuktikan ialah kq p = kp q, djadi selesailah b u k ti ini. B u k ti. EH =

Tentu sadja dapat dipergunakan djuga perbandingan seharga antara segmentgaris-segmentgaris jang ditulis dengan dua huruf be sar; tjara ini m em akan banjak pekerdjaan dan tidak semudah dan sedjelas tjara diatas. ■

¡ I . "

T JO N T O H

36.

Diketahui sebuah segitiga A B C ; X ialah sebuah titik pada A C ; buatlah X Y j j A B d a n X Z // C B ; dimana harus diletakkan sebuah titik X , supaja luas djadjarangendjang X Y B Z mendjadi sebesar-besarnja? 129 PIanimetri-9

D i k e t a h u i : X Z // CB; X Y // AB.

a

D i t a n j a k a n : letak X , sehingga Is X Y B Z m endjadi sebesar-besarnja.

ka ; A Z = kc ; ZB = c — kc — (1 — k)c. /_ Z tetap besarnja ; djadi hasilperbanjakan sisi-sisi jang menga pit /_-Z harus sebesar-besarnja; djadi harus ditjari harga m áxim um /c(l — k), ac, atau harga m áx i m um k( 1 — k). Hasilperbanjakan ini mentjapai m axim um nja djika k — \; sebab djum lah faktor /c(l — k) adalah tetap ; djadi harga m áxim um tertjapai djika k = 1 — k, atau k = P e n je l e s a ia n . XZ =

§ 40.

SOAL-SOAL.

x

1. B uktikanlah, bahwa dua segitiga sebangun, djika m em punjai sama sebuah sudut dan perbandingan .bagian-bagian sisi didepannja jang terdjadi karena terpotong oleh garisbagi sudut itu. 2. Buktikanlah, bahwa dua segitiga samakaki sebangun : a. djika alas-alasnja sebanding dengan garistinggi-garistinggi p a d a alas. b. djika alas-alasnja sebanding dengan garistinggi-garistinggi pada sepasang kaki. 3.

Buktikanlah, bahwa dua belahketu-pat sebangun, djika diagonaldiagonal belahketupat jang satu sebanding dengan diagonal-diagonal belahketupat jang lain.

4.

B uktikanlah, bahwa dua segi-n jang beraturan tentu sebangun.

5.

D ua segiempat convex sebangun, djika sisi-sisi segiempat ja n g satu sebanding dengan sisi-sisi segiempat jang lain, dan ketjuali itu kedua segiempat m em punjai sama satu sudut. B uktikanlah.

6.

Selidikilafh sebangun atau tidaknja dua trapezium , djika : a. sisi-sisi trapezium jang satu sebanding dengan sisi-sisi trapezium jan g lain.

130

b.

kedua sudutalas sama dan alasnja sebanding dengan sepasang sisi-tegak jang bersesuaian. c. kedua sudutalas sama dan sisitegak-sisitegak trapezium jan g satu sebanding dengan sisitegak-sisitegak trapezium ja n g lain. 7.

B uktikanlah, bahwa dua segi-n jang convex sebangun, djika sisi-sisi segi-/? jang satu sebanding dengan sisi-sisi segi-/? jang lain dan n — 3 sudut segi-/? jang satu sama dengan /? — 3 sudut jang bersesuaian dalam segi-/? jang lain.

8.

Buktikanlah: a. semua lingkaran sebangun; b. busur jang sama besarnja tentu sebangun.

9.

A B ialah alas segitiga samakaki ACB. Pada sinar A B diletakkan segmentgaris AD = AC dan pada BA segmentgaris B E = BC; buk tikanlah, bahwa CE adalah pembanding tengah antara EB dan ED.

10.

Dari titiksudut A sebuah djadjarangendjang A BCD dibuat sebuah garis jang memotong garis-garis BC, BD dan CD berturut-turut d ititik E, F dan G Buktikanlah, bahwa A F mendjadi pem banding tengah antara F E dan FG.

11.

Dalam A ABC d<x memotong sisi BC di D; lingkaran (D, D B ) me m otong AC di E dan F. Salah satu dari kedua segitiga D EC dan D FC tentu sebangun dengan A ABC; buktikanlah ini, dan dengan demikian dalil 84 a.

12.

Buktikanlah, bahwa pada gb. 120 A IB D co A B ICE, dan susun lah, dengan mempergunakan itu dan dalil 79, sebuah bukti jang m udah untuk 76.

13.

B uktikanlah dalil 72 dengan memandang trapezium sebagai selisih dua segitiga.

14.

D alam trapezium A BCD (AB // DC) dibuat garis PQ // A B (P pada A D , Q pada BC) sehingga trapezium tadi terbagi atas dua bagian ja n g sama Iuasnja. D jika A B = a dan DC = b, njatakanlah pandjangnja PQ dengan a dan b.

15.

Pada sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku dibuat tiga buah segibanjak ja n g sebangun (sisi-sisi segitiga tadi mendjadi 3 sisi jang bersesuaian 131

dalam ketiga segibanjak) ; buktikanlah bahwa luas segibanjak pada sisimiring sama dengan djum lah luas kedua segibanjak jang lain. Dari A ABC BC = a dan luasnja L. Dalam segitiga itu dilukis budjursangkar Pi Qx R x S2; ja 'n i P! dan Qx pada BC, pada AC dan • Sj pada AB. Dem ikian djuga dilukis budjursangkar P2Q2R 2S2 dalam A A R 1S1 (P2 dan Q2 pada R ^ . R a pada AC dan S2 pada AB), dalam A A R 2S2 budjursangkar P3Q3R 3S3 dst. N jatakanlah djum lah luas semua bu djursangkar ini dengan a dan L.

16.

‘ t'

17.

Lukislah sebuah segitiga, djika diketahui: x a. dua sisi dan djum lah atau selisih kedua garistinggi pada sisi-sisi itu. b. dua garistinggi dan djum lah atau selisih kedua sisi jang tegaklurus pada garistinggi-garistinggi tadi.

18.

Lukislah sebuah djadjarangendjang, djika diketahui kedua djarak antara sisi-sisi jang sedjadjar dan kelilingnja.

19.

Lukislah sebuah segitiga djika diketahui dua sudut, dan djarak antara pusat lingkaran dalam dan pusat lingkaran luar.

20.

Diketahui sebuah sektor lingkaran, jang djari-djarinja PA dan PB. Lukislah dalam sektor itu budjursangkar QRST, dengan T terletak pada PA, Q pada PB dan R dan S pada busur AB.

21.

a.

b.

Lukislah dalam segitiga siku-siku ABC (y = 90°) dua budjur sangkar C D E F dan P Q R S , sehingga titik-titik E, Q dan R ter letak pada AB; D dan P pada BC; dan F dan S pada CA. B uktikanlah, bahwa pusat M dan pusat N kedua budjursangkar tadi berrelasi isogonal thd. A ABC.

22.

D iketahui dua garis / dan m jang titikpotongnja S, terletak diluar kertas gambar, dan sebuah titik T, jang tidak terletak pada / atau pada m. Lukislah garis TS dengan beberapa djalan (dengan atau ta n p a perbanjakan).

23.

Pada segiempat A B C D A 'B ' ialah projeksi sisi AB pada garissisi CD, dan C 'D ' projeksi sisi CD pada garissisi AB. B uktikanlah bahwa segiempat A B C D sebangun dengan segiempat A 'B 'C 'D '.

132

24.

D iketahui sebuah segitiga ABC dan sebuah titik T. P ada sinar TA, TB dan TC diletakkan titik-titik Av Bx dan Cx sehingga T A t = k. TA, T Bj = k. TB dan TCX = k. TC (k > 0). D jik a titik - titik per tengahan BC, CA dan A B disebut D ,E dan F, b u k tik an lah bahw a garis-garis A XD, B1E dan CjF melalui satu titik.

25.

D jik a D, E dan F titiksinggung lingkaran dalam A A BC dengan sisi-sisi BC, CA dan AB, dan Ia, Ib dan Ic pusat-pusat lingkaran singgung, m aka garis-garis laD, IbE dan ICF melalui satu titik . B uktikanlah.

26.

a.

Sisi CA dan sisi CB sebuah segitiga ABC diperpandjang dengan segmentgaris A D dan B E, jang masing-masing sama dengan A B; kemudian ditetapkan titikpotong S dari A E dan B D . SeIa n d ju tn ja I adalah pusat lingkaran dalam A ABC, F titik po to ng Al dan BC, dan G titikpotong B I dan CA. B uktikanlah bahw a A

b.

IF G w A SD E. B uktikanlah, bahwa garis-garis D F, EG dan SI m elalui satu

c.

titik T. D jik a D C E K sebuah djadjarangendjang, tentu djuga

CK

me

lalui titik T. Buktikanlah. 27.

B uktikanlah, bahwa titikpertengahan garistinggi pada sisi-miring sebuah segitiga siku-siku, m endjadi titik Lemoine segitiga tadi.

133

BAB D A L IL

V II.

M EN ELA O S

DAN

CEVA

§ 41. Meskipun perkataan „segmentgaris A B ” dan „segmentgaris B A ” sama sadja artinja, tetapi dalam ilmu ukur terkadang-kadang berfaedah pula mengadakan perbedaan arti antara kedua perkataan tadi. Selandjutnja akan kita pakai perkataan ,,segmentgaris berarah

A B , atau tanda AB, djika kita bermaksud mengadakan urutan u n tu k kedua udjungnja. Segmentgaris berarah AB djuga disebut vector A B; vector ini tertentu dengan pandjangnja AB dan arah dari A ke B; AB diutjapkan: vector AB. Biasanja titik pertama (A) disebut pangkal-, titik kedua d i s e b u t u jung. er u diperhatikan bahwa panah bukannja berarti: dari kiri kekanan, melainkan: dari A ke B. PaCla SU3tU garis terletak titik-titik A, B, C dan D dengan amhnin a 1 ^ dlkatakan’ bahwa A B > AC, AD, BC, BD dan CD sama arahnia d?1™ <^'Uga ^ tetapi jang terachir ini berlawanan dulu tad' nf l keenam segmentgaris berarah jang tersebut terlebih te rle f^ arang pada se§ rnentgaris-segmentgaris berarah, jan g tiaD-tian 3 a s u a *u £ f r' s t , dapat diberikan tanda plus atau m in, a rtin ja k a ta k a n têp nen*£ar‘s berarah disebut positif atau negatif, m aka didisebut aa r- W-a Pada gar'S 1 telah (ditetapkan) arah positif; t dari X ke1^ 311^ ^ erara^' ^ a*am garnbar 127. arah positif ialah arah

nia J m f disebut bilangan pengenal A B ialah bilangan jang harga mutlakJ ma denganjDilangan ukuran segmentgaris AB, dan tan danja sama g—^ tandaÂB, lihatlah^gb. 127 dengan bilangan-bilangan pengenal ini: A B = 5, BA = X-

5, BC = 3, BD =

i 0; CA = -

B

8; D A = -

15.

D A -f

Gb. 127: Segmentgaris berarah.

D jik a pada suatu garis terdapat tiga titik A, B dan C, m aka ber lakulah relasi Chasles (Michles Chasles 17 9 3 __ 1880): AB + BC = AC, dengan tidak tergantung kepada urutan titik-titik ini. D jik a B terletak 134

a n ta ra Ä dan C (gb. 128 a), m aka relasi tersebut sudah djelas, sebab A B , BC dan AC sama tandanja dan A B + BC =

AC. D jik a A terletak an

tara B dan C (gb. 1286), m aka terdapat BC =

BA + AC; djika B A di

p ind ah keruas kiri dan diganti dengan A B , m aka terdapat A B + B C = AC. D jik a C terletak antara A dan B (gb. 128c), m aka AB = AC + CB, sehingga terdapat lagi AB + BC = AC.

©

® ©

A

B

C

B

C

A A

B

C Gb.

¡2 8 : A B

+

BC

— AC.

D ja d i relasi ini berlaku u ntu k setiap urutan ketiga titik. D jik a relasi Chasles dipergunakan dua kali, m aka terdapat: A B + BC + CA = AA, djadi

AB BC -f- C A = 0 Relasi M öbius ini (A .F. Möbius 1780 — 1868) dapat diperluas sampai lebih dari tiga segmentgaris berarah, misalnja: A

B

C

D

G b . ¡ 2 9 : R e la s i M ö b iu s

AB (_j- 5)

+ BC + CD + DA = O, atau O T anda + jang tebal di+ ( + 3) + _H - 7) + { — 15) u tja pk a n „ d ita m b a h de ng an” , jang didalam k u . rung „ m in ” atau „p lu s” .

DB + BA + AC + CD = 0 ( — 10) + ( — 5) + ( + 8) + ( + 7) = 0 A

—

O A

B

►

B

A

O ■

<■

O'

B

h— 1---- 1

O 0

B — *■

1— i---- 1—

Gb. ¡3 0 : A B

— X

B

X

A'

D jik a pada suatu garis Z (gb. 130) diam bil sebuah titik O, m aka se sudah satuan p a n d ja n g dan arah positif dipilih, setiap titik P pada l 135

dapat d itu n d ju k dengan sebuah bilangan pengenal OP. Bilangan penge nal ini disebut abscis titik P ; titik O disebut pangkal. A B = AO + OB = OB — OA = xB — xA ; xB dan xA ialah abscis B dan abscis A. Djadi djarak berarah dari A ke B sama dengan selisih abscis B dan abscis A. Pada garis ke-2, ke-3, ke-4 dan ke-5 dalam gb. 130 berturut-turut terdapat untuk AB : 8 — 2 = 6 ; — 5 — ( — 2) = — 3 ; 6 — (— 1) = 7 dan — 4 — 5 = — 9. D jik a AB sebuah segmentgaris dan P sebuah titik antara A dan B, m aka dikatakan bahwa P membagi segmentgaris dari dalam atas bagi an-bagian PA dan PB ; djika P terletak pada salah satu perpandjangan A B, m aka A B terbagi dari luar oleh P, atas PA dan PB. Pada kedua keadaan ini hasilbagi PA : PB disebut perbandingan pembagian A B , jang terdjadi karena titik P. Hasilbagi PA : PB dari segmentgaris-segmentgaris berarah PA dan PB disebut perbandingan bagian, artinja per bandingan dari bagian-bagiannja, ini ditulis setjara singkat (A BP); djadi jang disebut terlebih dulu ialah udjung-udjung segmentgaris jan g dibagi, kemudian titik pembagi P. Perbandingan bagian (ABP) negatif, djika P terletak antara A dan B; positif, djika P terletak pada salah satu perpandjangan AB. Sebaikn ja pem batja m em buat gerapik untuk harga-harga (ABP); am billah AB = 8 (satuan 5 mm); untuk beberapa titik P pada garis dihitun g harga (A BP) = PA : PB; gerapik ini m em punjai asymptoot vertikal melalui B; djuga sebuah asymptoot Horizontal, ja'n i y = 1. Ini berarti, bahwa perbandingan PA : PB m em punjai lim it 1, djika PA, djadi djuga PB, terus bertambah. D ikatakan bahwa PA : PB — 1 menentukan pada garis A B sebuah titik jang ta ' terbatas djauhnja; titik ini disebut titikdjauh garis AB; titiktitik lainnja disebut titikdekat. D A L I L 102.

Tiap-tiap perbandingan bagian ( A B P ) ^ titik pada pemuat segmentgaris A B . (A BP) = k =£ L

D

ik e t a h u i:

D

ib u k t ik a n :

B

u k t i:

136

l menentukan tepat satu

ada tepat satu titik P jang memenuhi kesamaan diatas.

(A B P ) == k berarti: PA : P B = k. Menurut relasi Chasles P A +

AB =

p b ; djadi k. PB + A B =

PB atau (k — 1) PB =

BA. Karena —

k =£ 1, m aka kedua ruas boleh dibagi dengan k — 1; djadi PB djadi letaknja P tertentu. Sebagai telah dikatakan diatas,

BA __ j .

u ntu k k — 1 terdapat titik d ja u h

garis A B. § 42. Sebuah garis g, jang m em otong sebuah bangun, disebut transversal. Transversal sebuah segitiga m em otong dua sisi dan salah satu perpan d ja n g a n sisi ketiga atau ia memotong ketiga perpandjangan; lihatlah

gb. 131 o, b dan c; titik-titik P, Q dan R terletak pada garissisi-ganssisi A B , BC dan CA.

Transversal jang melalui titiksudut, disebut transversalsudut.

iga b u a h transversal sudut jang melalui satu titik , ketiga-tiganja memo ong

sisi ja n g berhadapan, atau satu diantaranja memotong sisi dan jan g ke d u a la in n ja m em otong perpandjangan sisi; lihatlah gb. 132a, b dan c. 137

DALIL

103a.

D jika sebuah transversal A A B C memotong garissisi A B, BC dan C A berturut-turut di titik P, Q dan R, maka ( A B P ) X ( BCQ ) x ( C A R ) = 1. ( D a lil Menelaos; kira-kira 100 A. D .1 ) B u k t i , D jika a, b dan c djarak-djarak jang berarah dari transversal dari 1 ke A, B dan C, m aka dengan menggunakan segitiga-segitiga jang sebangun terdapat: (A BP) = PA : PB = a : b (BCQ) = QB : QC = b : c (CAR) = RC : R A — c : a

Tanda dari segmentgaris-segmentgaris dan djarak-djarak jang berarah telah diperhatikan, pada gb. 133 PA dan PB berlawanan arahnja, djuga a dan b; demikian djuga halnja dengan RC dan R A dan c dan a; QB dan QC, demikian djuga b dan c sama arahnja. Dengan memperbanjak semua ruas ke-1 dan semua ruas ke-3, ter dapatlah jang harus dibuktikan. Pembatja hendaklah menjelidiki bukti ini untuk gb. 131 b dan gb. 131 c. Lebih penting daripada dalil Mene laos sendiri ialah kebalikannja, ja 'n i: D A L IL

P

QQ

Gb. 134: Kebalikan dalil Menelaos.

x)

1036.

D jik a pada garissisi-garissisi A B , BC dan C A terletak titik-titik P,Q dan R, dan terdapat ( A B P ) x (BCQ) x (C A R ) = 1, tentu ketiga titik ini terletak pada satu garis.

H asil perbanjakan ketiga perbandingan bagian d a p at ditu lis dengan m udah sbb.: terlebih dahulu ditu lis dalam kurung ketiga garissisi dengan u ru ta n cyclis; d e m ik ian ; (A B .) (BC.) (CA.); kem udian dite m p a t titik - titik d itu lis h u ru f nam a t itik potong transversal dengan garissisi. D a p a t djuga perbandingan b a g ia n di.... -A .B .C . , , . tulis terus sebagai petjahan; dem ikian -g- x — X — 'al u da lam tiap-tjap petja h a n d ite m p a t tiap-tiap titik ditu lis titik p o to n g dengan G. K e tju a li itu dapat dip e rg u n a k a n a n a k p a n a h u n tu k m e njatak an, bahw a ja n g d im ak su d adalah segmentgaris berarah. D isini tid a k dipergunakan anak p a n a h ; d a la m seluruh bab ini h a n ja d ib itja ra k a n segmentgaris berarah sadja. D ari u ru ta n huruf-huruf telah n a m p a k bahw a dim aksudkan segmentgaris berarah. P e m b a tja hendaklah m e m biasakan diri p ada notasi (A B P ).

138

D jika Q ' titikpotong P R dengan garissisi BC, m aka m enurut dalil 103a terdapat : (A BP). (BC Q '). (C A R ) = L D jadi : berhubung dengan jang diketahui, (B C Q ') = (BCQ), sehingga, m enurut dalil 102, Q dan Q ' berim pit, artinja Q terletak pada P R . B

u k t i:

§43.

D alil tentang tiga transversalsudut jan g concurrent ini, djuga sa ngat penting. D A L I L

104a.

D alam A A B C dibuat tiga transversalsudut jang memotong AB\ BC dan C A berturut-turut di P, Q dan R; djika ketiga transversalsudut tadi concurrent (melalui satu titik), tentu ( A B P ) x (BCQ) x (C A R ) = — 1 (D a lil Ceva, 1648 — 1734).

G b . l 3 5 : D a l i l Ceva.

Pada A A B Q dengan transversal CP dan pada A ACQ dengan transversal B R dipergunakan dalil 103a; terdapat: (A B P ). (BQC). (QAO) - 1 (gb. 135a). (C A R ). (A QO ). (QCB) = 1 (gb. 1356). D jik a kedua ruas kiri dan kedua ruas kanan diperbanjak, m aka dalam ruas kiri terdapat: (AQO). (QAO) = 1; selandjutnja (BQC). (QCB) = — (B C Q ), sehingga sebuah tanda min dipindah, terdapat apa jang harus d ib u k tik a n . / B ukti

ke

-1.

B u k t i k e -2. Buatlah melalui A garis

g ¡1 BC; B R m em otong g di D, CP d p A q m em otong g di E. P, O dan R adalah V . > , A\ c pusat homothesi, masing-masing da1 ri sepasang segitiga, jang dapat ditu n d ju k dengan m udah oleh pemb J b a tja . D jik a hanja kita perhatikan pr * i harga-harga m u tla k sadja, m aka a2 Q a i terdapatlah perbandingan-perban- Gb. 136: c e v a _ dingan seharga ini:

E

/

139

cx : c2 . = q : a fli : a2 = p : <7 bx : b2 = a : p

.

D jik a diam bil hasilperbanjakan suku-suku jang bersesuaian, terdapatlah = a2b2c2. D jika O terletak didalam segitiga, semua perbandingan bagian m endjadi negatif, djika O terletak segitiga, m aka salah satu perbandingan negatif. Djadi terdapat

m aka m aka diluar (A B P )

x (BCQ) x (CA R) = — 1. D juga kebalikan dalil Ceva sangat penting, ja'ni: D A L IL

1046.

D jik a titik-titik P,Q,.R terletak pada garissisi-garissisi A B, BC dan C A sehingga terdapat ( A B P ) X (BCQ) X ( C A R ) = — 1, tentu ketiga transversalsudut AQ, B R dan C P melalui satu titik. B u k t i : Tidak m ungkin, bahwa salah satu perbandingan bagian sama dengan 0, sebab Hasilperbanjakan mereka ialah — 1. Djadi tidak m ung kin salah satu titik P, Q atau R berimpit dengan salah satu titiksudut A ABC; sehingga AQ, B R dan CP sungguh-sunguh transversalsudut. K ita anggap ,bahwa tidak semua transversalsudut sedjadjar; misalnja AQ dan B R bertemu di O. D jik a P ' titikpotong CO dengan AB, m aka m enurut dalil 104a: (A B P'). (BCQ). (CA R) = — 1, djadi, berhubung dengan jang diketahui terdapat (A B P ') = (ABP); djadi menurut dalil 102 titik P ' dan titik P berimpit; artinja CP melalui O.

§ 44. Kebalikan dalil Menelaos dipakai untuk m em buktikan, bahwa tiga titik jang terletak pada garissisi-garissisi sebuah segitiga, terletak pada satu garis. Kebalikan dalil Ceva dipakai untuk m em buktikan, bahwa tiga buah transversalsudut concurrent. Dalil-dalilnja sendiri dapat djuga dipakaj u ntuk menghitung perbandingan pembagian sebuah segmentgaris oleh sebuah titik. A

A

P

R G b . 1 3 7 T ig a s e g m e n tg a r is j a n g t id a k b e rs e k u tu s e b u a h u d ju n g .

140

Gb.

¡38:

T ig a s e g m e n tg a ris j a n g t id a k b e rs e k u tu s e b u a h u d ju n g .

Djika dalam gb. 137 (138) diketahui (ABP) dan (BCQ), m aka dengan menggunakan dalil Menelaos (Ceva) dapat dihitung perbandingan ba gian (CAR). P e r h a t i a n . Baik

dalam dalil 103« maupun dalam dalil 104a, ruas kiri adalah (ABP) x (BCQ) x (CAR), harga m utlaknja ialah 1; untuk -f 1 terdapat tiga titik P, Q dan R jang collineair; untuk — 1 terdapat tiga transversalsudut AQ, B R dan CP jang concurrent. Sebelumnja sudah diketahui hal jang mana sedang diselidiki, sehingga tidak perlu menentukan tanda ruas kiri dari tanda-tanda faktor-faktornja. Penjelidikan tanda ini tentu tidak perlu, djika harus dibuat s o a l: buktikanlah, bahwa tiga titik terletak pada satu g a ris ; atau : buktikanlah, bahwa tiga garis melalui satu titik. Lihatlah sekarang gb. 137; djika harus dibuktikan, bahwa P, Q dan R terletak pada satu garis, maka, dengan mengelilingi A ABC, ditjari tiga buah segmentgaris jang tidak bersekutu sebuah udjung ; disini AP, BQ dan CR (BQ dan CR bersekutuse buah titik, tetapi bukan u d ju n g ) ; ketiga segmentgaris jang lain ialah PB, CB dan RA,; hanja perlu dibuktikan, bahwa harga m utlaknja sama. Beberapa tjontoh. D ALIL

44,

akibat.

Ketiga garisberat sebuah segitiga melalui satu t it ik ; mereka membagi satu sama lain atas dua bagian jang berbanding sebagai 2 dan 1, djika dim ulai dari titiksudutnja. B uktinja m udah sadja : £c x

ia

x

\b

=

ic

x

%a

x

\b ;

menurut dalil 1046, ketiga garisberat melalui satu titik Z. Pandanglah AZ sebagai A BEC, dan tu lis la h : \a x b x EZ = \a x terdapat 2 ■EZ = BZ. DALIL

transversal £6 x

BZ ;

37a.

Ketiga garisbagi sudut suat'u segitiga melalui satu titik. M enurut dalil 84 doc membagi sisi atas dua bagian jang berbanding sebagai c dan b ; djadi bagian-bagian ini boleh disebut kc B u k ti.

141

dan kb ; lihatlah djuga la dan Ic, mb dan m a ; berapakah harga k, l dan m, ini tidak perlu kita indahkan. D jika kita mengelilingi segitiga, m ulai dari A, m aka terdapat mb X kc x la, dan untuk ketiga segmentgaris jang lain ma x kb X Ic. Kedua hasil-perbanjakan ini sama ; djadi ketiga garisbagi melalui satu titik. DALIL

A

35.

Ketiga garistinggi sebuah segitiga melalui satu titik. B u k t i . Dalam dalil 99 telah dikatakan, bahwa A F : b = A E : c ; djadi A F dan A E dapat disebut kb dan k c ; A selanSjutnja BF = la dan BD = Ic; DC = mb dan CE = m a; kb x Ic x ma — la x mb + kc; dua garistinggi melalui satu titik, djadi garistinggi jang ketiga melalui titik itu djuga. Pembatja dapat melihat, bahwa disini dibuktikan bahwa kedua harga m utlak sama ; ke mudian, karena dua garistinggi potong memotong, dapat ditarik kesimpulan Gb. 141: G a ristinggi m elalui satu titikbahwa dalil 1046 boleh dipergunakan. Djika orang lebih suka menggunakan tanda-tanda, m aka buktinja untuk segitiga lantjip mendjadi sbb. : perbandingan pada A B , ialah ^6 ic ' ma ---;— , pada B C ---- dan pada C A ------ ; djadi hasilperbanjakla mb kc annja — l ; djadi boleh dipergunakan dalil 1046. Pada segitiga ja n g tum pul terdapat satu perbandingan negatif.

DALIL

89.

D jik a melalui titiksudut-titiksudut A, B dan C sebuah segitiga d i buat tiga transversalsudut jang concurrent, maka djuga garis-garis jang berrelasi isogonal dengan mereka terhadap sudut-sudut A, B, dan C concurrent. B u k t i : H anja dibuat kedua garis jang berrelasi isogonal m elalui titik A setelah relasi antara segmentgaris-segmentgaris pada B C = a diketem ukan, dapat diperoleh pula relasi antara segmentgaris-segmentgaris pada sisi-sisi jang lain, ja ’ni dengan pergantian huruf.

142

Tentu sadja kami pergunakan dalil 73 dan akibat ketiga dalil 71. Is A A B D : Is A A C D t == ax : p2 == c X A D : b X A D X ; Is A A B D X: Is A ACD = p l : a2 = c x A D 2 : b X A D. A

Hasilperbanjakan suku-suku jang bersesuaian dalam ruas ke-2 dan ke-3 menghasilkan :

OiPi '■azP* = c2 : b-] dengan djalan jang sama terdapat djuga : b t f i : b2q.2 = a2 : c2 ci ri ■c2r2

b

. a

g;,. 142: Berrelasi isogonal.

Dengan m em perbanjak didapat a J j ^ p ^ r j = a2b2c2p 2q2r2 ; A D , B E dan C F melalui satu titik , m aka m enurut dalil 104a a-J)^ = a2b2c2 ; djadi PiQiri = P2?2r2 ! m enurut dalil 1046 djuga A D 1; BEj^ dan CFX melalui satu titik . D A L IL

105.

S t2

a. Ketiga titik kesebangunan luar S12, S 23 dan S 31 dari tiga bangun jang homothetis Gv G2 dan G3 terletak pada satu garis-. b. D jik a dua bangun G1 dan G2 jang homothetis masingmasing bertitikpusat, tentu mereka m em punjai titik ' kesebangunan luar dan dalam, jang terletak pada satu garis dengan kedua pusat tadi. c. Pada tiga bangun jang homothetis, titik keseba ngunan dalam dua pasang bangun terletak pada satu garis dengan titik keseba ngunan luar pasang jang Gb: ¡43: T itik 2 S terletak pada satu garisturus.

ketiga. 143

B u k t i , a. Lihatlah gb. 143; nam pak 3 segmentgaris

P ^ , P2Q2 da:i

P3Q3 jang homothetis. Px, P 2 dan P3, dem ikian djuga C^, Q2 dan Q3 adalah titik-titik jang bersesuaian dalam bangun-bangun Gv G2 dan G3; pandjangnja segmentgaris-segmentgaris tersebut ialah av a2 dan a3. do Uo dt (Pi P 2 S12) = ^ ; ( P ? P , S ) = ^ ; ( P3 Px S31) = ~ fla ' ' * 3 as ' “ * ai Karena titik-titik S adalah pusat kesebangunan luar, m aka tiap-tiap perbandingan diatas positif ; untuk mengetahui ini tidak perlu m elihat gam barnja. Hasilperbanjakan ketiga perbandingan bagian ini ialah 1 ; djadi ketiga titik S terletak pada satu garis (dalil 103b). b. D jika G m em punjai titikpusat M, m aka djika diperbanjak dengan (M, — 1), bangunhasilnja adalah G sendiri. Dua titik pada G jang bersesuaian, ialah titik-titik jang terletak diametral pada G. Sebagai bangun homothetis dan G2 kami pakai dua segmentgaris jan g sedjadjar ; pusat mereka ialah Mx dan M2 .Pada bangun jang homothetis, pusat homothesi dan dua titik jang bersesuaian terletak pada satu garis (lihatlah definisi), djadi U12, Mx dan M2 terletak pada satu garis; dem i kian djuga I12, Mx dan M2 collineair. D jadi keempat titik tadi terletak pada satu garis. Gambar 144 memperingatkan pem batja kepada suatu dalil jang terkenal.

Q „ k ---------------------------S ---------------------------y Q.

Q2 Gb. 144: U 1 , 2,

U(2

^12 dan M 2 collineair.

Gb. 145: U12, / 23 dan / 31 collineair.

c. Menurut b, m aka rombongan-rombongan titik ini collineair : Mx M2 U12, M2 I23 M3 dan M3 131 Mx. D jadi ketiga pusat homothesi terletak pada garissisi-garissisi A M1M2M3. K ita pergunakan dalil 103 b; Mx Qx, M2Q 2 dan M3Q3 berbanding sebagai av a2 dan a3. 144

Sekarang: (Mj^MgUia) = — , (M2M3I23) = — dan (M3M1I31) = — . a2 “ “ ■ ^1 Hasilperbanjakan ketiga perbandingan bagian ini ialah 1 ; djadi U12, I23 dan I31 terletak pada satu garis. D jika bangun-bangun jang homothetis ini lingkaran, m aka berlaku lah seluruh dalil 105 tanpa perubahan ; ini dapat diinsafi dengan segera, djika P2Q2 dan P3Q3 dianggap sebagai garistengah sedjadjar dalam tiga lingkaran, jang berpusatkan Mlf M2 dan M3 ; lingkaran ini lebih baik tidak turut digambar, sebab ini akan mempersulit gambar sadja. Garis jang melalui pusat dua bangun disebut sentral. Garis jang melalui tiga titik kesebangunan pada tiga bangun jang homothetis disebut sumbu kesebangunan. Tiga bangun jang homothetis dan masingmasing m em punjai pusat, misalnja tiga lingkaran L v L 2 dan L3, m enu rut dalil 105 a dan c m em punjai empat buah sumbu kesebangunan. Karena titiksinggung dua lingkaran jang bersinggungan dari luar (dalam ) adalah 'titik kesebangunan dalam (luar) kedua lingkaran ini, m aka dalam dalil 105 c telah terkandung:

Akibat ke-1. D jik a sebuah lingkaran menjinggung dua lingkaran la'inn ja kedua-duanja dari luar atau kedua-duanja dari dalam, maka garis jang

menghubungkan kedua titiksinggung, melalui titik kesebangunan luar kedua lingkaran tersebut terachir ini. (lihatlah gb. 146a, b). 145 P lan im e tri - 10

Akibat ke-2. D jik a sebuah lingkaran menjinggung dua lingkaran jang lain, jang satu dari dalam, dan jang satu lagi dari luar, tentu garis jang menghubungkan kedua titiksinggung, melalui titik kesebangunan dalam kedua lingkaran ini (lihatlah gb. 146c). § 45. Bab ini kita achiri dengan beberapa tjontoh tentang pem akaian dalil Menelaos dan Ceva. Pertama-tama kami bitjarakan sisi-empat lengkap ; lihatlah gb. 147. Sisi-sisinja ialah zv z2, z3 dan z4 (pem batja hendaklah m enggam bar em pat garis, dan m elandjutkan gam barnja sambil m engikuti uraiannja). T itikpotong zx dan z2 disebut H12 dst.; titik-titik H ini disebut titiksudut; banjaknja sama dengan banjaknja kombinasi dua-dua dari bilangan 1, 2, 3 dan 4 ; djadi 6. T itiksudut jang bilanganbilangan penundjuknja berlainan, disebut berhadapan; djadi H 12 dan HM; H j3 dan H m; H14dan H 23. Garis jang melalui dua titiksudut jang berhadap an disebut d ia g o n a l; ada 3 buah diagonal, ja ’ni dx, d2 dan d3 ; segitiga jang bergarissisikan dv d2 dan d3 disebut sisitigadiagonal ; titiksudut-titiksud utnja ialah D 12, D 23 dan D 31.

Sekarang kam i bitjarakan djuga segiempat lengkap (lihatlah gb. 148); dim ulai dengan 4 titik A1( A2, A3 dan A4 ; garis jang m enghubungkan A x dan A 2 ialah z12, d s t .; garis-garis ini disebut s is i; ban jaknja sama dengan b a n ja k n ja kombinasi dua-dua dari bilangan-bilangan 1, 2, 3 dan 4 ; djadi 6 buah. D ua sisi jang bilangan-bilangan pe nundjuknja berlainan, disebut sisi jan g berhadapan : z12 dan 234, z13 dan zM, z14 dan z23. T itikpotong dua sisi jang berhadapan disebut titikdiagonal; ada 3 buah; 146

lih a tla h 'D p lf Dpa dan Dp3. Segitiga j ang bertitiksudutkan titik- titik diagonal, disebut segihgadiagonal; garis-sisinja ialah Z12, /13 dan /23.

Gb. 148: Segiempat lengkap; 6 sisi, 3 titik diagonal.

Ja n g m endjadi pokok pada sisiempat lengkap ialah s is i; selandjutnja terdapat pula : diagonal, jang m em bentuk sisitigadiagonal; djadi jang dikem ukakan dismi ialah garis. Jang didjadikan pokok pada segiempat lengkap ialah titiksudut; seterusnja titik-titikdiagonal m endjadi iitiksudut segitigadiagonah D jadi disini jang terkemuka ialah titik. T J O N T O H 37.

Buktikanlah, bahwa titikpertengahan diagonal-diagonal sebuah sisi empat lengkap terletak pada satu garis. P e n j e l e s a j a n r Sisiempat ini terdiri dari ketiga garissisi A A BC beserta

transversal D E F . Sekarang P adalah titikpertengahan

AD, Q

titik —

A

pertengahan B F dan R titikpertengahan C E ; djadi P terletak pada garis pem uat paralleltengah BmCm, Q pada CmAm dan R pada AmBm147

Djelas, bahwa sekarang ditjoba mem buktikan, bahwa P, Q dan R ter letak pada garissisi-garissisi A A mBmCm, sehingga dalil 103b dipenuhi, djadi sehingga j A mR x BmP x CmQ | = | BmR x CmP X AmQ |. D an ini memang demikian, sebab segmentgaris-segmentgaris tersebut disitu berturut-turut sama dengan setengah segmentgaris-segmentgaris tersebut dalam | B E x CD x A F | dan |AE x BD x CF |; kedua hasilperbanjakan ini sama, sebab D E F adalah transversal A ABC. D jadi P, Q dan R terletak pada satu garis. §46.

SOAL-SOAL

1. Pada suatu garis terletak titik-titik A, B, C dan D. relasi-relasi ini: a. (ABC) x (BAC) = 1 b. (ABC) + (ACB) = 1 c. (A B D ) x (BCD) = (ACD). 2.

B uktikanlah

Pada suatu garis terletak titik-titik A, B dan C; (ABC) = d. a. dengan pertukaran huruf dapat diperoleh lim a perbandingan bagian sbb.: (BAC), (ACB), (CAB), (BCA) dan (CBA). Pem batja diperingatkan, bahwa pertukaran kedua huruf ja n g pertama suatu perbandingan bagian, mengubah perbandingan ini m endjadi kebalikannja ; sebab (PQS) =

SP : SQ dan (Q P S )

= SQ : S P ; b. Selidikilah, apakah dua diantara keenam perbandingan bagian ini m ungkin sama, dan hitunglah u n tu k keadaan itu harga keenam perbandingan bagi. 3.

Sebuah transversal memotong garissisi-garissisi AB, BC dan CA suatu a A BC berturut-turut di D, E dan F. Garis jan g meng hubungkan B dengan titikpotong S antara A E dan CD, m em otong AC di G. B uktikanlah, bahw a (CAF) == — (CAG).

4.

D alam A ABC do. m em otong sisi BC di D, sedangkan M adalah titikpertengahan CA. D jik a DM memotong garissisi A B di E, njatakanlah B E dengan sisi b dan sisi c (b c) A ABC.

5.

D alam A ABC diletakkan sebuah titik P pada perpandjangan BC, sehingga CP = p, pada CA titik Q sehingga CQ = q. D jik a titikpotong PQ dan A B disebut R, njatakanlah perbandingan luas bagian-bagian A ABC, jang terdjadi karena Q R , dengan a, b, p dan q.

148

6.

Diketahui sebuah segmentgaris A B dengan letak dan besarnja, dan besarnja segmentgaris-segmentgaris p, q, r dan 5. Lukislah titik P pada AB, sehingga A P : PB = pq : rs.

7.

a. B uktikanlah, bahwa ketiga garisbagiluar sebuah segitiga m em otong garissisi-garissisi jan g berhadapan pada tiga titik terletak pada satu garis. b. B uktikanlah, bahwa dalam sebuah segitiga garisbagi dua sudut dan garisbagiluar sudut jang ketiga m em otong garissisi-garissisi ja n g didepannja pada tiga titik jang terletak pada satu garis.

8.

a. Lingkaran dalam (I, r) m enjinggung sisi-sisi BC, CA dan A B sebuah A A BC berturut-turut di D, E dan F. B uktikanlah, bahwa garis-garis A D, B E dan CF melalui satu titik G (G ialah titik Gergonne A ABC). b. D jik a garissisi-garissisi BC, CA dan A B sebuah A ABC ter singgung oleh lingkaran singgung (Ia, ra) di D, E dan F,, tentu garis-garis A D , B E dan CF melalui satu titik K. B uktikanlah.

9. Sebuah transversal memotong garisissi-garisisi BC, CA dan A B A A BC berturut-turut dititik-titik a, b dan c ; sebuah transversal lagi, ja ’ni t2, memotong garissisi-garissisi tadi di a', b' dan e'. Tariklah garis-garis bc', ca' dan a b ' ; garis-garis ini memotong garissisigarissisi BC, CA dan A B berturut-turut di a, 0 dan y. B uktikanlah, bahwa ketiga titik ini terletak pada satu garis. 10. Pada sebuah garis diketahui sebuah segmentgaris dan sebuah titik T. D itetapkan bajangan tjermin P s, dari P thd. titikpertengahan M dari A B. T itik P dan titik Ps dikatakan berrelasi isotomis thd. segment garis A B . a. Titik-titik A B jang m ana berrelasi isotomis dengan titik itu sendiri? b. Sebuah transversal memotong garissisi-garissisi BC, CA dan A B A A BC berturut-turut di D, E dan F. Pada garissisi-garissisi tadi ditetapkan titik-titik D s, E s dan Fs jang berrelasi isotomis dengan D, E dan F thd. sisi-sisi pada garissisi-garissisi itu. B uktikanlah, bahwa titik-titik D s, E s dan Fs terletak pada satu

c.

garis. Pada garissisi-garissisi BC, CA dan A B A ABC diletakkan titik-titik P, Q dan R , sehingga AP, BQ dan C R melalui satu titik O. Pada garissisi-garissisi itu ditetapkan titik-titik Ps, Qs dan R s, jang berrelasi isotomis dengan P. Q dan R thd. sisi-sisi 149

pada garissisi-garissisi itu. B uktikanlah bahw a garis-garis A P S, B Q a dan C R S melalui satu titik Os (titik O dan titik Os disebut berrelasi isotomis thd. A

ABC).

11. Dalam A ABC, A D adalah garisbagi a dan D s ialah titik ja n g ber relasi isotomis dengan D thd. sisi BC. Selandjutnja pada sinar AB dan AC diletakkan titik-titik E dan F, sehingga A E = A F. D jik a E F dan A D S potong-memotong di S, njatakanlah SE : SF dengan

b dan c. 12. Dalam A ABC C = 90°. Pada AB, pada BC dan pada CA dibuat kesebelah luar budjursangkar-budjursangkar A B D E , B CFG dan A C H K . B uktikanlah, bahwa C R (jang dibuat tegaklurus pada A B). B K dan AG melalui satu titik. 13. Diketahui 3 lingkaran (Px, rx), (P2, r2) dan (P3, r3), dengan titik- titik kesebangunan luar U12, U23 dan U13, dan titik-titik kesebangunan dalam I12, I23 dan I13. Buktikanlah, bahwa garis-garis dibaw ah ini melalui satu titik: Pi ^23> P2 ^13 dan P3 I12 b• Px Ia* P2 U13 dan P3 U12 ‘ c. Rombongan-rombongan (terdiri dari 3 garis) jang m an a lagi melalui satu titik ? 14. Melalui sebuah titik T pada perpandjangan diagonal AC sebuah segiempat ABCD dibuat sebuah garis jang memotong garissisi A B dan BC di K dan di L ; dan sebuah garis lagi jang m em otong garis sisi CD dan DA di M dan di N. Sisi-sisi terbagi atas bagian2 ja n g * disebut (mulai dari A dan mengelilingi segi-4) av a2, bv b2, cx, ca, dt dan d2 ; buktikanlah, bahwa f lA c A = a
150

b a b

V III.

H A L M E N G H IT U N G S E G M E N T G A R IS . L U K IS A N §47. D jik a diketahui sebuah titik P dan sebuah garis g dan dari P d ib u a t garis P P ' tegaklurus pada g, atau sebuah garis m iring PP\ ja n g arah nja diketahui, ke g, m aka garis P P ' disebut projektor dan P ' projeksi dari P pada g. P

Gb. 150a: Projeksi *.

Gb. i5Qb: P rojeksi s.

M enetapkan titik P ' djuga disebut memprojeksikan P p ad a g. P ad a gb. 150a P ' disebut projeksi tegaklurus, siku-siku, atau ortho gonal dari P pada g ; pada gb. 150 b, P ' adalah projeksi m iring dari P pada g.

Gb. 151a: Projeksi *.

Gb. 151b: Projeksi *.

D jik a A B sebuah segmentgaris dan g sebuah garis, m ak a segmentgaris p ad a g ja n g dibatasi oleh projeksi A ' dan B ' dari titik - titik A dan B, disebut projeksi A B pada g. Segmentgaris jan g diprojeksikan, disebut

projektum. A A B C (gb. 152) siku-siku di C; CD J_ AB; BCD = <*,/_ A C D = p. D ja d i ketiga segitiga A BC , A CD dan C B D adalah sebangun (dalil 92). Sisi-sisi A A B C ialah A B = c, BC = a dan CA = b ; sisi-sisi ja n g berse suaian pada A A C D , ja 'n i AC, CD dan D A ialah kc, ka dan kb. Sisi-sisi ja n g bersesuaian dalam A C D B ialah CB, B D dan DC; k ita pakai fak to r /; djadi sisi-sisi tad i adalah : Ic, la dan I b ; lih a tla h AC = n — kc ; d jadi k — bjc ; lih atlah BC = a = /c.djadi l — a/c. G b. 152 151

k ita b u a t sekali lagi, sesudah k diganti dengan bjc dan l dengan ajc. L ih a tla h gb. 153 ; nam pak djelas benarnja dalil-dalil dibawah ini.

cN b // P lb /k c , / ka /

kb

L

/t\ la

B

Gb.152.

D A L IL

106a.

a2

a2 — — x c ; j a k n i : kwadrat sebuah sisi-siku adalah sama dengan hasilperbanjakan projeksinja pada sisimiring dan sisimiring; boleh djuga d i et c : a = a: — ;

njatakan demikian : dengan perkataan :

sebuah sisi siku-siku mendjadi pembandingtengah antara sisim iring dan projeksinja pada sisimiring jlihatlah djuga gb. 153 bagian kiri. D A L I L

b2 o2 r X ~ C

C

a2b2 c 2-

106b.

ab = ( — )2 = kwadrat CD. c

Kwadrat gaistinggi pada sisimiring sama dengan hasilperbanjakan bagian-bagian sisimiring jang terdjadi karena garistinggi itu. D A L I L

ab =

106c.

ab r c x — ; hasilperbanjakan kedua sisi siku-siku sama dengan hasil

perbanjakan sisimiring dan garistinggi. M enurut dalil 106a berlaku a2 = c x B D dan b2 = c x A D ; djadi a2 + b2 = c x (B D + DA) = c2 ; dengan ini terdapat lagi dalil Pythagoras (lihatlah dalil 74). B ukti m udah jang lain lagi,d id ap at dari dalil 97 ; m enurut dalil ini (lihatlah gb. 153): Is A A B C Is A CBD ls A ACD ¿i = = ¿8 K arena ls A A BC = ls A CBD + ls A A CD , m aka c2 = a2 + b2. 152

Dengan menggunakan dalil 74 dan dalil 106,‘ m aka dari keenam segmentgaris a, b, c, h = CD, p = BD dan p = A D , djika dua buah diantaranja diketahui, tentu keempat jang lain dapat dihitung. D jik a dalil Pythagoras dipergunakan pada segitiga siku-siku samakaki dengan sisi siku-siku a (lihat lah gb. 154 a), m aka sisimiringnja ay / 2 ; sebaliknja djika sisimiring nja d (lihatlah gb. 154 b), m aka sisisikunja masing-masing \dy/ 2. U ntuk segitiga siku-siku dengan sudut 30° dan 60°, lihatlah gb. 155c. © © b dan c. Gb. 154a: Segitiga samakaki siku-siku. Gb. 154b: Segitiga samakaki siku-siku.

Gb. 155. Segitiga siku-siku dengan sudut 30° dan 60°

,

o°

o

i

^ 3 (f

^ —30°

-¿aV3

i

fM '3/60" ^30^

J

bV3

©

ihV3

h

©

Gb. 155 Segitiga siku2 dengan sudut 30° dan 60°.

A chirnja kita bitjarakan tjaranja mentjari segitiga siku-siku, jang pandjangnja sisi-sisinja dapat diw udjudkan dengan bilangan asli. Rumus c2 = a2 + b2, diubah mendjadi a2 = c2 — b2 = (c — b) (c + b ) ; ini ditulis sebagai perban dingan seharga : (c + b ) : a = a : (c — b). Tiaptiap ruas disamakan dengan m : n', m dan n ialah bilangan asli, dan m > n, sebab c + b > a

> c — b. D ja d i: n(c + b) = ma dan m(c — b) — na, atau 2m n Gb. 156: Segitiga Pythagoras.

ma — nb — nc = O Inj adalah dua persamaan na + mb — mc — O homogen dengan tiga bilangan jang tid ak dike tahui, jakni a,b dan c ; d id a p a t: (lihatlah gb. 156).

n2

m2 + n'

Segitiga-segitiga sematjam ini, ja'n i jang sisi-sisinja terukur disebut segitiga Pythagoras. Lihatlah daftar dibawah i n i :

relatif,

153

m

| «

2 3 3 4 5 5 6

1 1 2 1 2 4 1

1 a 4 6 12 8 20 40 12

1 b i

3 8 5 15 21 9 35

!

c

m

n

a

b

c

5 10 13 17 29 41 37

6 7 7 7 7 8

5 1 2 4 6 1

60 14 28 56 84 16

11 48 45 33 13 63

61 50 53 65 85 65

§ 48. Sekarang k ita bitjarakan

segitiga miring.

D A L I L

1 0 7.

D alam sebuah segitiga miring kwadrat sebuah sisi didepan sudut lantjip (tum pul) sama dengan djum lah kwadrat kedua sisi jang lain, d i kurangi (ditambah) dengan dua kali hasilperbanjakan salah satu sisi itu dan projeksi sisi jang kedua pada pemuat sisi jang pertama (dalil projeksi). Dalil ini hanja k ita buktikan u n tu k sisi didepan sudut tu m p u l. D

i k e t a h u i

: p

D

i b u k t i k a n

> 9 0 °,

C D

J_

A B ,

: b2 — a2 + c2 +

B D 2

=

a'.

ca'.

B u k t i : Karena p > ,90°, m ak a D ter letak diperpandjangan A B . D jik a CD = t , c B a ' D m aka : b2 = (c + a ’)2 + t2 — c2 + 2 ca' Gb. 157: D a lil Projeksi. + a '2 -f t2 = c2 -f a2 + 2 ca' Dari dalil 107 te rd ap at: dalam sebuah segitiga la n tjip (tu m p u l) kw adrat sisi jang terbesar lebih ketjil (besar) daripada d ju m la h kw adrat kedua sisi jan g lain.

Sebaliknja dapat dengan m udah dibuktikan setjara tid a k langsung: Sebuah segitiga tum pul (lantjip), djika kwadrat sisi jang terbesar lebih besar (ketjil) daripada djumlah kwadrat kedua sisi jang lain. D alil ini, bersama-sama dengan dalil 75 dipergunakan u n tu k me netapkan tu m pul, siku-siku atau la n tjip n ja sebuah segitiga, dari besarn ja ketiga sisinja. S elandjutnja, dalil 107 djuga dipergunakan u n tu k m enghitung projeksi sebuah sisi pada pem uat sebuah sisi jang lain, d jik a ketiga sisinja diketahui. M isalnja, dalam gb. 157 terdapat u n tu k B D : 154

b2 = a2 + c2 + 2 ca', djadi a'

b2 2c

Projeksi, jan g tadi kita sebut projeksi sebuah sisi pad a pemuat sisi kedua, selandjutnja akan kita sebut projeksi sebuah sisi pada sisi kedua. Projeksi ini dianggap positif, djika seluruhnja atau u n tu k seba gian terletak pada sisi kedua itu ; dan negatif djika terletak seluruhnja diperp andjang an sisi itu. Dengan perdjandjian ini, m aka dalil 74 dan 107 d ap at did jad ikan satu s b b .:

kw adrat sebuah sisi sebuah segitiga sam a dengan djumlah kwadrat ke dua sisi jang lain, dikurangi dengan dua kali hasilperbanjakan salah satu dari kedua sisi ini dan projeksi sisi jang kedua pada jang pertama. D jik a projeksinja dinjatakan dengan cosinus, m aka dalil projeksi m endjadi dalil cosinus : a2 = b2 + c2 — 2 bc cos a ; dengan perkataan: kw adrat sebuah sisi sama dengan djum lah kwadrat kedua sisi jang lain, dikurangi dengan dua kali hasilperbanjakan kedua sisi itu dan cosinus su d u ta p it mereka. D alil cosinus berlaku djuga djika sudutapit ini tu m pul. D alil projeksi dapat djuga dipakai untuk m e m b u k tik a n dalil 77. D jik a c' projeksi c pada a, te ntu

c'

==

c2

+

a2

b2

2a

’

djadi

/a2 = > — c'2 = c2 — (

(c2 +

a 2— 2a

£>2)2x 2

O'

Penjelesaian selandjutnja diserahkan kepada pe m b atja; lihatlah halam an 61 dan 62.

§ 49. D jik a dalam sebuah segitiga, sebuah titiksudut dihubungkan de ngan sebuah titik pada sisi jang didepaunja, m aka pandjangnja segm entgaris penghubung tadi dapat dihitung dengan dalil dibawah mi. D ALIL

108.

D jik a D sebuah titik pada sisi BC sebuah A ABC, sehingga CD flj dan B D = az, m aka :

a. A D 2 = a2b2 + axc2 — ata2a (dalil Stewart, 1717 — 1785). B u k t i.

D jik a dibuat A E

BC, BE disebut p, dan p lantjip, m aka

m enurut dalil projeksi 155

dalam A ABD: A D 2= c2 + a22 — 2 a2p dan dalam A A B C : b2 = c2 + a- — 2 ap. D jika p dieliminasikan dari kedua ke samaan irii, maka te rd a p a t: a. A D 2— a2b2 = ac2— a2c2 + aa 22— a2a2, atau a. A D 2 x= a2b2 + a2c2— aLa2a. P e r h a tia n . D alil ini berlaku djuga, djika D terletak pada perpandjangan BC atau perpandjangan CB, asal atau a2 dianggap negatif,

Ini sama sadja djika urituk a, — —►

y

dan a2 dalam dalil diatas dipakai

BC,

DC dan D B . Tetapi dalam keadaan ini, biasanja dalil diatas diperguna kan pada segmentgaris AC dalam A BAD atau pada AB dalam A ACD , _

D A L I L

109.

D jik a za garisberat dari A dalam A A BC , maka : Za2 = i (b2 + c2) — \a2, atau b2 + c2 = 2 za2 + \a2. Bentuk terachir ini seringkali dipakai djika dibitjarakan djum lah kwadrat dua segmentgaris jang bersekutu salah satu udjungnja; DALIL

110 a.

Kwadrat garisbagi sebuah sudut A A B C sama dengan hasilperbanjakan kedua sisi jang mengapit sudut itu, dikurangi dengan hasilperbanjakan kedua bagian sisi didepan sudut itu, jang terdjadi karena garisbagi itu.

Gb. 160: Menghitung garisbagi. B u k t i . D jik a A D =

Stewart : 156

d ^ , CD =

a% dan D B =

a2, m aka m enurut dalil

a d a 2 = a2b2 + axc2 — axa2a Disini ax \a2 = b : c (dalil 84 a), djadi axc = ajb, sehingga aab2 + axbc + a2bc = abc. D jadi da 2 = bc — B ukti ja n g lain terdapat dalam § 60. D A L I L

=

110 b.

Kwadrat garisbagiluar suatu sudut A A B C , jang tidak terapit oleh dua sisi jang sama, sama dengan hasilperbanjakan kedua bagian sisidepan, jang terdjadi karena sisidepan ini terbagi dari luar oleh garisbagiluar tadi, dikurangi dengan hasilperbanjakan kedua sisi jang lain. B u k t i . U n tu k m enghitung garis bagi luar A D , m aka A ACD ditjerminkan pada sisi A D ; lihatlah A A D C S ; sekarang D A m endjadi garisbagi Z B D C S, djadi D A 2 = ata2 — bc. D apat djuga dipergunakan dalil Stew art pada AC dalam A A B D . B u k tin ja serupa sadja, djika b > c; djika b = c, m aka garisbagiluar sedjadjar dengan BC. Dari dalil 110 dapat diperoleh dengan m udah rumus-rumus u n tu k garisbagi-garisbagi A ABC, dinjatakan dengan sisi-sisinja. D alam gb. 160a m isalnja ax : a2 = b : c ;

ab

ac

dan ° 2 =

dj adi
a2bc a d * r* « -

F T ~ c ’ djadi

bc =

bc(b + c + a)

(

•

v + v lV

)

+ V - * ]

b + c — a)

(b + c)2

=

4 bcs (s — a =

(b + c)2

Dengan djalan jang sama terdapat dalam gb. 160 b (djadi

u n tu k

b < c): flj =

AD2 =

ab —

ac dan a2 = j — p sehingga

4 bc(s — b) (s — ci — ^ ----(c — b)2

Dem ikian te rd a p a t:

1

157

D A L IL

110 c.

D jik a garisbagidalam dan garisbagiluar sudut-sudut a A A B C disebut da dan ea, maka

2 da = b~+~c

sadja b ^

__________ ~~

________________

2 d3n *a = ( b — "c)

^ bcs(s~ b) (s~ c)> asal

c.

Sekarang masih perlu diselidiki betul atau tidakkah kebalikan dalil 110 a, dengan kata lain : D jik a titik D membagi sisi BC A A B C atas bagian-bagian C D = a1 dan D B = a2, dan terdapat A D 2 = bc — axa2, apakah A D in i garisbagi a ? M enurut dalil Stewart (lihatlah gb. 160a). a. A D 2 = a2b2 + axc2 — axa2a ; tetapi m enurut jang diketahui: a. A D 2 = abc — a & a . Dengan pengurangan didapat, a2b2 + axc2— abc — O, atau a2b2 + axc2 — axbc — a2bc = O, d ja d i: (b — c)(a2b — axc) = O. D jadi salah satu: 1°. atau b = c, artinja A ABC sa m a k a k i; dalam keadaan ini u ntuk tiap-tiap titik D pada BC berlaku : A D 2 = b2 — a^ ; 2°. atau a2b — a±c ; ini, m enurut dalil 85 a, berarti bahwa A D adalah garisbagi a. D ja d i kebalikan dalil 110 a benar, djika jang diketahui ditam bah dengan ke-tidak-samaan b =£ c. Dengan djalan jang sama dapat dibuktikan, bahwa djuga kebalik an dalil 110 b adalah benar ; dalam bukti itu akan te rd a p a t:

(b + c)

(a2b — CiO = O, dst.

Sebagai telah diketahui, dalam sebuah segitiga samakaki terdapat dua garisberat jang sama pandjangnja, djuga dua garistinggi dan dua garisbagi. Sebaliknja dapat dibuktikan dengan m udah, bahw a suatu segitiga tentu samakaki, djika dua garisberatnja atau dua garistinggin ja sama pandjangnja. B ukti ini agak sukar djika terdapat dua garisbagi ja n g sama; karena itu soal ini k ita bitjarakan disini.

Gb.

158

161: G a r i s 2b a g i s a m a , m a k a s a m a - k a k i.

G b.

162: dp = d y , m a k a b = c.

D jik a dalam A ABC garisbagi a dan p sama, m aka m enurut dalil 110 a : bc — axa2 = ca — b1b2, atau (bx + b2 )c — ax az = c(ax + c2) — bxb2 atau bxc + b,c — axa, = cax + ca2 — b1b2 D jik a disini (m enurut dalil 84 a) bzc diganti dengan abx dan ca3 dengan axb, m aka terdapatlah :

bxc + abx — axa2 = cax + axb2 — b1b2 bxc + a1bl + a2bx — axa2 = cax + axbx+ axb2 — bxbz

atau

atau bx(c + a2 + b2) = ax (c + a2 + b2) K ita

djadi b,x = ax; A A B D ^ A B A E, djadi a = m uat djuga bukti setjara ilm u ukur.

D ik e ta h u i :

p

dan a = b.

d^ = dy.

D i b u k t i k a n : b = c. B u k t i : Dalam gb. 162 dengan sengadja titik E kita letakkan lebih rendah daripada titik F . Akan kami buktikan bahwa A BCE ^ A C B F ; sudah djelas .bahwa dua pasang sisi sama; tinggal m em buktikan kesa

m aan sepasang sisi lagi atau sepasang sudut. A B C E k ita letakkan disamping A CBF, sehingga kedua segitiga ini m em bentuk sebuah segiem pat; buatlah FG = B C dan CG = CE ; lihat lah busur-busur lingkaran dalam g a m b a r; A BCE ^ A FGC (s, s, s) ; lihatlah sudut-sudut kedua segitiga i n i : £ p, y, a + i P = 9Apakah BCGF sebuah djadjarangendjang? BC = FG; /_ GCB =

§50. Dengan mempergunakan dalil-dalil 106 a, b, c tentang segitiga siku-siku, kita dapat melukis segmentgaris, jang ditentukan sebagai funksi segmentgaris-segmentgaris jang lain. Soal jang sematjam ini telah

159

pernah kita buat, jakni lukisan X V I : pembanding keempat x pada a, b dan c didapat dari a : b = c : x. D jik a b dan c sama, m aka terdapat lah lukisan x dari = ¿>2/a. L U K I S A N

XX.

M elukis sebuah segmentgaris jang mendjadi pembandingtengah dua segmentgaris jang diketahui. M e n g e r d j a k a n n j a . Lihatlah gb. 163.

Letakkanlah pada sebuah garis segmentgaris A B = a, ¡kemudian BC = b. Buatlah lingkaran jang bergaristengahkan AC, dan buatlah di B garis tegaklurus pada AC. D jik a salah satu titikpotong garistegaklurus ini dengan lingkaran tadi di sebut D , m aka BD = x ialah pembandingtengah jang ditjari. B u k tin ja diserahkan kepada p e m b a tja ; demikian djuga bukti u n tu k lukisan i jan g nam pak dalam gb. 164. Ci-------------- -

P e r h a t i a n . Sekarang dapat djuga dilukis segmentgaris x dari x2 = m az ; sebab x adalah pembandingtengah pada a dan ma.

L U K I S A N

X X I.

Lukislah segmentgaris x — V a2 + b2 dan y = V a2 — b2 (a > b). T jara m engerdjakannja diserahkan kepada, pem batja. P e r h a t i a n . D jik a diam bil a =

b, a = 2b atau a = 3b, m aka terdapat lah lukisan-lukisan jang m udah u ntu k segmentgaris b-\/2, b\/3, b V $ , &V10, dst. (lihat djuga „perhatian” pada lukisan X X ) . D jik a n sebuah bilangan asli dan a sebuah segmentgaris, m aka dapat dilukis x = a x2 =

160

V2n + 1, dengan mengingat, bahwa:

(2n +

1 )a2 =

{ (n + 1 )a }2 — (n a f.

M isalnja : x = a 11 didapat dari x2 = (6c)2 — (5a)2; um um nja lebih baik dipergunakan lukisan X X . Dengan menggunakan lukisan-lukisan X V I, X X dan X X I kita dapat melukis segmentgaris x dari bangun-bangun seperti : ba b________ _______ x — ~T> x , x = slab, x = o V 5, x = Va2 + b'1, x = V a- — b2 ^

C

dan hubungan-hubungan mereka, misalnja : ab -f- c2 4/----------x — ---, x == v abc2, x = V2a2 + 3b2, dst. D alam tjontoh-tjontoh ini semua ruas kanan homogen pangkat satu thd. a, b, c dan d. Ini berarti, bahwa, djika a, b, c dan d diganti dengan kelipatan k mereka, tentu ruas kanan djuga mendjadi kelipatan /c-nja. A k ibatn ja ialah, djika untuk suatu satuan pandjang, relasi jang dite tapkan diatas dipenuhi, tentu relasi itu tetap dipenuhi djika satuan pandjang tadi diganti dengan satuan jang lain. D jik a relasi untuk x di atas tid a k homogen pangkat satu, m aka relasi itu hanja boleh dianggap relasi antara bilangan-bilangan ukuran. Dalam keadaan ini, soal hanja tertentu djika satuan pandjangnja djuga diketahui. Sekarang masih akan kita berikan beberapa tjontoh tentang lukis an sem atjam itu ; dalam melakukan lukisan-lukisan ini sedikit mungkin m enggunakan segmentgaris atau lingkaran jang telah dilukis ; dengan demikian hasil jang diperoleh tentu lebih tepat. Lukisan jang termudah tidak kita m uat, supaja gambar-gambarnja tidak mendjadi terlalu penuh; djuga karena kebanjakan lukisan-lukisan itu lebih m udah dilaku kan dengan segitiga penggambar. T JONTOH

Lukislah x =

38.

Va2 + 62 — ab.

e n J E l e s a i a n ke-1. D jika a > b, m aka kita tulis x 2 = a (a — b) + b2; u m pam anja a(a — b) = p2, m aka p adalah pembandingtengah a dan a b. M aka x 2 = p2 + 62. D jadi mengerdjakannja sbb. : letakkanlah

161 P lanim etri - i !

pada suatu garis segmentgaris AB = a, kemudian BC = b pada BA. B uatlah lingkaran dengan A B sebagai garistengah. D jika salah satu titikpotong lingkaran ini dengan garis jang dibuat di C tegaklurus pada A B disebut D, m aka A D = p. Letakkanlah sekarang pada sinar CD segmentgaris CE = p, maka BE = x. D apat djuga dipergunakan dalil projeksi sbb.: x2 = a2 + b2 — 2a X \b ; ternjata bahwa x dapat dilukis sebagai sisi ketiga suatu segitiga, jang sisi-sisinja jang lain a dan b, sedangkan projeksi b pada a adalah \ b. Sudut jang terapit oleh a dan b harus lantjip, djadi besarnja 60°. Lukisan ini mudah dilakukan. P e n je le s a ia n

ke-2.

P e r h a t i a n . D jika x harus dilukis dari x = V a2 + b2 — mab, (m sebuah bilangan), maka, djika a > mb, diumpamakan a(a — mb) = p2, sehing

ga x =

s

V p 2 + b2. D jika a < mb, m aka diumpamakan a (mb — a) = q2,

dan terdapat x — V62 — q2; lukisan ini hanja mungkin, djika q < b. D jika hendak menggunakan penjelesaian jang kedua, m aka di- * tulis x2 = a2 + b2 — 2 a X \mb.x dilukis seperti dalam gb. 166, dengan perbedaan in i: projeksi b pada a harus sama dengan £ mb. Karena projeksi ini paling besar sama dengan b, maka tjara ini hanja mungkin dipergunakan djika m < 2. Dengan djalan jang sama dapat dilukis x = V a2 + b2 + mab ; pada penjelesaian tjara kedua sudutapit a dan b harus tum pul ; djuga harus dipenuhi m < 2. T J O N T O H 39.

Lukislah x = v a* + b* P e n j e l e s a i a n ke - I. x * = a4 +

¿>4 ¿>4 — a2 (a2 +

djika dium-

b2

pamakan — = c, dan kemudian

a2 + c2 = d2, maka terdapatlah a2d2,. djadi x — ad.

X4 =

D jalannja lukisan adalah sbb.: buatlah dua garis jang tegak- f lurus sesamanja ; titikpotong mereka disebut A ; pada garis jang satu diletakkan A B = a, dan pada jang satu lagi AC = b . 162

Titikpotong BA dengan garis di C tegaklurus pada BC disebut D; m aka A D = c (dalil 106 b). Letakkanlah pada A C segmentgaris A E = A B = a, tentu D E = d. Buatlah lingkaran ja n g bergaristengahkan D E (djadi lingkaran ini melalui A); djika salah satu titikpo to ng ling karan ini dengan garis di F tegaklurus pada D E disebut G, m aka EG = x. B uktinja diserahkan kepada pem batja. P e n j e l e s a i a n ke-2. Boleh djuga ditem puh dialan i n i :

X* = c4 + b* = (a2 + b2)2 — 2 a2b2 = ( a 2 + b2 — ab V 2 ) (,a2 + b2 + ab 'V 2) U m p a m a n ja : a2 + b2 — ab V ' 2 = p 2 dan a2 + b2 + ab y / 2 = q2, m aka x = V p^.M engerdjakannja sbb.: A m billah pada suatu garis sebarang titik A, dan letakkanlah kekiri dan kekanan pada garis itu AB = A B ' — a.Lukislah melalui A sinar A K jang m em buat sudut 45° denganAB, dan letakkanlah padanja AC = b ; tentu BC = p dan B 'C = q. Letakkanlah kemudian pada CB' segmentgaris CD = p dan lukislah garis di D tegaklurus pada B 'C ; djika garis ini m em otong ling karan jang bergaristengahkan B 'C di E, m aka CE = x. B u k tin ja di serahkan lagi kepada pembatja. T J O N f O H

Lukislah x =

40.

o5

V

K ita gambar dua garis O X sesamanja, kemudian kita le ta k k a n padanja segmentgaris O B = a dan OA = b. D jik a se k ara n g dibuat BC _|_ AB, maka a2 m en urut dalil 106b OC — P e n je le s a ia n .

B uatlah sekarang CD m aka OD D E J_

b2 ’

dan O Y jang tegaklurus

J_ BC,

kemudian

CD, m aka O E =

b3

163

dan achirnja EF J_ D E, niaka OF = x. Lukisan ini sangat mudah karena dapat dipergunakan segitiga penggambar. Djika dalam gb. 169 /_ OAB disebut 9 , maka tg 9 djadi x = a tg4 9 . Djika a sebuah segmentgaris dan 9 sebuah sudutlantjip, maka dengan djalan ini dapat dilukis z = a tgn 9 . Banjak soal tentang melukis sebuah bangun dapat diselesaikan, dengan menjatakan salah satu segmentgaris dalam bangun itu dengan segmentgaris-segmentgaris jang diketahui, lalu melukis segmentgaris itu. Dibawah ini terdapat beberapa tjontoh tentang „penjelesaian setjara aldjabar” ini. P e r h a tia n .

T J O N

T

O H

41.

Membagi sebuah segitiga dengan sebuah garis jang sedjadjar dengan suatu garis t, atas dua bagian jang luasnja berbanding sebagai dua seg mentgaris m dan n.

P e r s ia p a n . Lihatlah gb. 170. Garis l kami tetapkan tidak sedjadjar dengan salah satu sisi. Letakkanlah D pada BC, sehingga BD : DC = m : n ; djadi CD adalah sebuah segmentgaris jang diketahui, dan dapat disebut d ; A ABD : A ADC = m : n. Sekarang A ADC harus diganti dengan A CXY, dengan X Y // l. Misalkan CX = x, CY = y ; perbandingan x dan y diketahui, ja ’ni

sama dengan CE : b ; AE // /. Djadi j

= c |^ (dahl 73) sehingga

x2

= d

X

CE.

CK = n, KL = m; KD // LB, AE // l. Sekarang dilukis pembandingtengah CD dan CE. Buatlah setengah lingkaran dengan CE sebagai garistengah ; DF J_ CE; sekarang CF = x ; Ling karan (C, CF) menghasilkan titik X pada CB; tariklah X Y // /. M e n g e r d ja k a n n ja .

164

B uk ti.

D is k u s s i.

Ini sudah djelas dari persiapan dan tjara mengerdjakannja. Djika djuga ditetapkan bagian sebelah mana dari X Y harus

mempunjai luas

VI

n ' ls A ABC, maka terdapat tepat satu garis X Y

jang memenuhi sjarat. Djika tidak, penjelesaian.

dan m ^

n, m aka terdapat dua

T J 0 N T 0 H 42.

Diketahui lingkaran (P, r) dan segmentgaris a. Lukislah dalam ling A karan itu sebuah segitiga samakaki, jang djumlah kwadrat sisisisinja sama dengan a2. P e r s ia p a n . Dalam A ABC di buat garistinggi AE; A PE D ialah garis tengah lingkaran (P, r) ; dimisalkan AE = t dan BC = b. , J&2 = t (2r — t) I 2(t2 + %b2) + b2 = a2

Gb. 172: Persiapan.

Gb. 173: pelaksanaan.

Sesudah b dieliminasikan, maka terdapat persamaan kwadrat dengan t:

4t2 — l 2 r t + a2 — 0 atau t2 — 3rt + l a2 = 0 M e n g e r d j a k a n n j a . 2t — 3r ± V 9r2 — a2, A F — 3r; buatlah sebuah lingkaran dengan A F sebagai garistengah ; buatlah AS — a ; maka

FS = V '9r2 — a2, 3r + FS = AG; 3r — FS = AGt; bagi dua samalah dan A G t ; lihatlah H dan K ; buatlah di kedua titik ini garis-garis tegaklurus pada AD. Terdapat A ABC dan A A1B1C1. < 165

D i s k u s s i . D jika 3r < a, maka ta’ ada penjelesaian ; sebab 9r 2 — a2 n e g a tif; djika 3r = a, maka ada satu penjelesaian. Terdapat satu pe

njelesaian djuga, djika %(3r + V 9r2— a2) > 2r, sebab H terletak diIuar lingkaran atau pada lingkaran ; ke-tidak-samaan ini dapat diubah mendjadi 2 ri/2 ;> a . Terdapat dua penjelesaian, djika 2r V 2 < a < 3r; pada gb. 173 berlaku 59 < 60 < 62. § 51. Dengan menggunakan dalil Pythagoras dan dalil Stewart dapat diketemukan beberapa tempat kedudukan jang penting, jang kita butuhkan untuk bab-bab jang akan datang. DALIL

lila .

Tempat kedudukan titik-titik, jang selisih kwadrat djaraknja ke dua titik A dan B mempunjai suatu harga jang ditentukan, adalah sebuah garis tegak-lurus pada A B . Djika P salah satu titik dari tempat kedudukan, sehingga misalnja PA2— PB2 = c2 ; c ialah sebuah segmentgaris. Diumpamakan B u k ti.

P

_ A

M

•/ _l B Q

*

G b . I 7 4 : P A * — PBs = c2.

AB = d. Dibuat PQ J_ AB ; PA2 — PB2 = AQ2 — BQ2 = (AQ — BQ) (AQ + BQ) = (AQ + QB) (AQ + BA + AQ) = AB (2 AQ — AB) = >. ——* ¿2 d (2 AQ — d) = c2. Ini mengakibatkan AQ = — — — ; djadi Q adalah sebuah titik jang tetap. Djika arah AB dianggap arah jang positif pada

>

•--------

garis AB, maka AQ ternjata positif; djadi Q adalah sebuah titik jang tetap pada sinar A B .J). Ini berarti, bahwa titik-titik P semua terletak a) P em batja hendaknja m em buktikannja sendiri dengan pertolongan gb. 174 a dan b, tanpa m empergunakan segmentgaris berarah. B ukti jang diatas berlaku untu k kedua gambar, baik untuk PA > PB m aupun untu k PA < PB ; karena itu bukti diatas lebih baik.

166

r

pada garis jang dibuat di Q tegaklurus pada AB. Karena sebaliknja untuk tiap-tiap titik P' pada PQ berlaku : P' A2 — P 'B 2 = AQ2 — BQ2 = c2, maka garis ini ialah tempat kedudukan jang ditjari. D jika diketahui titik-titik A dan B dan segmentgaris c, maka tempat kedudukan / dapat dilukis dengan mudah sbb. Djika M titikpertengahan AB, m aka —► C2 — = \c : MQ. MQ = — ; dj adi \d : Ini menghasilkan lukisan jang berikut : Tetapkanlah titikpertengahan M dari AB ; buatlah di M garis tegaklurus pada AB dan letakkanlah padanja segmentgaris MC = ic. Di C dibuat garistegaklurus pada AC, jang memotong AB di Q ; / ialah garis jang dibuat di Q tegaklurus pada AB. Djika jang diketahui bukannja PA2 — PB2 = c2, melainkan PB2 — PA2 = c2 ; maka terdapat sebagai tempat kedudukan P garis /s ; jang didapat djika / ditjerminkan dalam sumbu AB ; kedua garis didapat, djika ditetapkan sjarat: | PA2 — PB 2 | = c2. DALIL

lllb .

D jika A dan B dua titik jang diketahui dan c sebuah segmentgaris maka tempat kedudukan titik-titik Q jang memenuhi sjarat QA2 + QB2 = c2 (c2 > X A A B 2)> adalah sebuah lingkaran jang berpusatkan titikper tengahan A B. B u k t i . Karena terdapat bangun Q A 2 + Q B 2, maka sebaliknja Q dihu

bungkan dengan titikpertengahan P dari AB. Sebab, menurut rumus garisberat terd apat: QP2 = £(Q A 2 + QB2) — i A B 2 = \c2— \d2] disini AB = d. Ini djuga berlaku djika Q terletak pada AB. Djadi untuk tiap-tiap titik dari tempat kedudukan berlaku: QP = V|c2 — \d2 = i V2c2 — d2; djadi tempat kedudukan ini ialah lingkaran dengan djaridjari \ 4 2c2 — d2 dan pusat P ; sebab djelas, bahwa sebaliknja untuk tiap-tiap titik Q lingkaran ini berlaku QA2 + Q B 2 = c2. D jika c < \d v ' 2, maka tidak terdapat sebuah titikpun jang memenuhi sjarat. D jika c = \d-\/2, maka tempat kedudukannja hanja terdiri dari titik P sadja, sehingga boleh dikatakan bahwa tempat kedu dukannja berupa lingkaran nol. D jika diketahui A, B dan segmentgaris 167

c, m aka tempat kedudukannja dapat dilukis sbb. Tetapkanlah titikpertengahan P dari AB, dan lukislah di P sebuah sinar jang membuat sudut 45° dengan AB; letakkanlah padanja segmentgaris PC = \c; buatlah CD _|_ AB dan buatlah lingkaran (D, PD), jang memo tong sinar PD di E. D jika salah satu titikpotong lingkaran ini de ngan lingkaran (E, \d) disebut Q, maka PQ = r, djadi (P, r) adalah tempat kedudukan jang ditjari. Buktinja diserahkan kepada pemGb 177: Melukis lingkaran (P,r). batja. D A L I L

ll lc .

Djika A dan B dua titik jang diketahui, m dan n dua bilangan, dan c sebuah segmentgaris, maka tempat kedudukan titik-titik P, jang memenuhi sjarat: m. P A 2 + n. P B 2 = c2 adalah sebuah lingkaran jang titikpusatnja terletak pada A B , djika m + n ^ O dan (m + n)cz > mn. A B 2; tempat kedudukannja adalah sebuah garis tegaklurus pada AB, djika m + n = O. B u k t i . Dalil ini mengandung kedua dalil diatas sebagai keadaan chusus

(ja'ni m ± n — 0 ); djadi bagian kedua dari dalil telah dibuktikan, sehingga seterusnja boleh kita anggap m + n ^ 0. U ntuk menggunakan dalil Stewart, segmentgaris AB( = d) kita bagi dengan titik O, sehingga B AO dan OB berbanding sebagai n dan m. Gb. i7 8 :m .P A * + n .P B 2==c2. Djika P salah satu titik dari tempat kedu dukan jang ditjari, maka : P Q 2 _ m. PA2 + n. PB2 mnd2 c2 mnd2

m + n

(m

+ n )2

m

+

n

(m

+

n)2

D jika bangun terachir ini positif, misalnja = r2, maka lingkaran (O, r) adalah tempat kedudukan jang ditjari. Sjaratnja ialah (m + n)c2 > mnd2. D jika (m + n) c2 = mnd2 , maka tempat kedudukannja berupa lingkaran nol O, achirnja, djika (m + n) c2 < mnd2, maka tempat kedu dukan itu ta' mempunjai satu titikpun. 168

Sekarang kami selidiki tjara melukis tempat kedudukan ini dalam keadaan pertama; m dan n kami anggap positif, sehingga 0 terletak pada segmentgaris AB. n m Maka AO = — ;— d dan OB = ----— d: diadi djika dimisalkan m + n m + n J J c2 ----- = p2 dan AO.OB = q~, maka r2 = p 2 — q2. Demikian sampailah m + n r ^ kita pada lukisan sbb. (lihatlah gb. 179). Tariklah dari A sebuah sinar dan letakkanlah padanja AD = k, AE = nk dan EF == mk. Tariklah sekarang EO // FB, maka O pusat lingkaran jang ditjari. Tariklah sekarang dari A sebuahsinar lagi dan letakkanlah padanja A C = c. Sesudahnja kita tarik DG // FC dan kita buat lingkaran jang bergaristengahan AC. Garis di G tegaklurus pada AC memotong lingkaran ini c di H ; karena AG = ----- , m a in + n ka A H = p. D jika achirnja Q salah satu titikpotong garis di O tegaklurus pada AB dengan ling karan jang bergaristengahkan Gb. 179: Melukis lingkaran (O ,r). AB) maka OQ = q. D jika kita tetapkan sekarang sebuah titikpotong K antara AB dengan lingkaran (Q, p), maka O K = r, dan lingkaran (O, r) adalah tempat kedudukan jang ditjari. B uktinja sudah djelas dari djalannja lukisan. Bab ini kita achiri dengan satu pemakaian dalil l i l a , jang disamping dalil Ceva, dapat kita pergunakan untuk mem buktikan, bahwa, 3 garis melalui satu titik. TJ O N TO H

43.

D , E dan F adalah titikkaki garisgaris jang dibuat dari P tegaklurus pada garis-sisi-garissisi BC, C A dan A B se buah A A B C ; bagian-bagian a, b dan c, djika dim ulai dari B dan berkeliling kearah kanan, ialah : av a2, bv b2, cv dan c2 ; tentu terdapat: ax2 + V + ci = «22 + b22 + c22. 169

a 2 + P D 2 = c22 + PF2 b 2 + P E 2 = a2z + P D 2 q 2 + P F 2 = 622 + P E 2 Pendjum lahan menghasilkan apa jang harus dibuktikan. Kebalikan dalil ini b e rb u n ji: djika pada garissisi-garissisi BC, C A dan A B suatu A A B C terletak titik-titik D, E dan F, sedangkan bagian-bagian sisi-sisi ini alt a2, blt b2, clf c2 memenuhi hubungan a±2 + bj2 + q 2 = a22 + b22 + c 2, maka garis-garis jang dibuat melalui D, E dan F tegaklurus pada garissisi masing-masing melalui satu titik. B u k t i . S ialah titikpotong garis tegaklurus di D pada BC dan di E pada CA ; B u k t i.

SB2 — SC2 = a 2 — a 2 SC2 — SA2 = b 2 — b 2 . S B2 - SA2 = a 2 + V - ( a 2 + b 2). Menurut jang diketahui, ruas kanan ini sama dengan c22 — cx2 ; SB2 — SA2 = c22 — cx2 mengakibatkan (dalil l i l a ) bahwa SF J_ AB. Dari jang diuraikan diatas ini djelaslah bahwa sumbu-sumbu ketiga sisi sebuah segitiga melalui satu titik (dalil 34); djuga, bahwa ketiga garistinggi suatu segitiga' melalui satu titik. § 52-

’

SOAL-SOAL.

L Buktikanlah, bahwa sebuah segitiga samakaki, garis-berat jang sama pandjangnja.

m em punjai

dua

2. Dari trapezium ABCD AB // DC; AB = 11, BC = 4, CD = 6 dan D A = 3. Hitunglah luasnja dan diagonal-diagonalnja. 3. Buktikanlah, bahwa djum lah kwadrat kedua diagonal sebuah djadjarangendjang sama dengan djum lah kwadrat keempat sisinja. 4. Buktikanlah, bahwa djumlah kwadrat ketiga garisberat sebuah segitiga sama dengan f djum lah kwadrat sisi-sisinja. 5.

Dalam suatu segitiga samakaki, garistinggi pada alas sama dengan setengah garisberat dari udjung alas. Njatakanlah kaki segitiga itu dengan alasnja ( = a).

6. a.

D jik a a, b dan c segmentgaris, tentu selalu mungkin melukis

b.

sebuah segitiga dengan sisi V b2 + c2, V c2 + a2 dan V a2 + b2. Buktikanlah. B uktikanlah, bahwa segitiga ini lantjip.

170

7. Dalam A ABC garistinggi AD mendjadi pembandingtengah antara bagian-bagian BC jang terdjadi karena D. Selidikilah relasi jang m ana terdapat antara sudut-sudut A ABC, djika ’ a. D terletak pada sisi BC. b. D terletak diperpandjangan BC. J 8. Diperpandjangan alas BC sebuah segitiga samakaki ABC terletak sebuah titik D; buktikanlah : A D 2 = A B2 + BD.CD. 9. P ialah sebuah titik dalam bidang pemuat ABC- buktikanlah, bahwa PA2 + PB2 + P C 2 = J (a2 + b* + c2) + 3 p z 2. i

10. Buktikanlah, bahwa djum lah kwadrat sisi-sisi sebuah segiempat sama dengan djumlah kwadrat diagonal-diagonalnja ditambah de ngan empat kali kwadrat bimedian kedua diagonal. 1 1 . Dalam lingkaran (P, r) dibuat dua djari-djari PA dan PB, jang mengapit sudut sebesar 60°. Hitunglah djari-djari lingkaran-ling karan, jang menjinggung lingkaran (P, r) dari dalam dan lingkaran jang bergaristengahkan PA dari luar, sedangkan pusatnja terletak pada garis PB. 12. Diketahui sebuah segitiga samasisi ABC dengan sisi a. Pada sisi-sisi AB, BC dan CA diletakkan titik-titik P, Q dan R, sehingga A P = x, BQ = 2x dan CR = 3x. Pilihlah x, sehingga : a. A PQ R sam akaki; b. A P Q R siku-siku ; c. luasnja A P Q R mendjadi seketjil-ketjilnja. 13. D jikalau A ', B', C' dan D ' projeksi-projeksi titiksudut-titiksudut sebuah budjursangkar ABCD dengan sisi z, pada sebuah garis /, maka A 'C '2 + B' D '2 = 2 z2. Buktikanlah. 14. D ialah sebuah titik pada sisi AB sebuah segitiga siku-siku ABC (Y = 90°). Antara CD = d, AD — p dan D B = q terdapat relasi

d2 = pq; selidikilah letaknja D pada AB. 15. a . D a l a m t r a p e z i u m s i k u - s i k u ABCD, M i a l a h t i t i k p e r t e n g a h a n sisimiring BC. Buktikanlah, bahwa: M A2 == M D 2 = J BC2 + AB.CD. b. Tx danTa adalah dua titik jang berrelasi isogonal thd. A ABC. Buktikanlah, bahwa segitiga titikkaki mereka thd. A ABC ber sekutu lingkaranluarnja. 171

c.

16.

Apakah jang didapat djika untuk Tx dan Ta dipakai titiktinggi dan pusat lingkaranluar A ABC.

A ABC, sisi-sisinja a, b dan c ; AD ialah garisbagi a dan I ialah pusat lingkarandalam. H itunglah : a) A l dan 1D; b) A IC ; c) IbIc d) Buktikanlah, bahwa A l x A Ia = bc dan hitunglah A Ia dengan rumus itu.

17. a.

Dari A ABC diketahui sisi-sisi a dan b dan garisbagi CD = d; hitunglah sisi c. b. H itung djuga projeksi CA' dan CB' dari sisi-sisi CA dan CB pada CD.

18. a.

Dalam A ABC titik B diperbanjak thd. A sebagai pusat dengan faktor k, sehingga terdjadi titik B^. Njatakanlah sekarang CBh dengan k dan sisi-sisi a, b dan c dari A ABC. b. Buktikanlah, dengan menggunakan ini rumus-rumus untuk garisberat dan kedua garisbagi dari C.

19. D jika dalam A ABC t&, db dan zc melalui satu titik, relasi jang m ana terdapat antara sisi-sisinja? 20. B uktikanlah setjara aldjabar, bahwa dalam sebuah segitiga sebuah garisberat kurang daripada djum lah kedua garisberat jang lain. 21.

Pada segitiga lantjip ABC, D, E dan F adalah titikkaki garistinggi dari A, B dan C; T adalah titiktinggi. Njatakanlah dengan sisi-sisi a. b dan c A A B C : a ■ perbandingan AT : TD ; b. sisi E F segitiga titikkaki T ; c. setengah keliling S„ segitiga titikkaki D E F ; d. Buktikanlah, bahwa R x Sv = L ; (P, R) ialah lingkaranluar dan L luas A ABC. e. Bagaimanakah hasil-hasil pada a dan b harus diubah, djika a tum pul.

22.

D iketahui dua lingkaran (M, R) dan (N, r), jang singgung-menjinggung dari luar, dan garissinggung persekutuan luar g (R > r). Hitunglah djari-djari kedua lingkaran jang menjinggung kedua lingkaran jang diketahui dan garis g.

172

23. a. Njatakanlah symmedian-symmedian sebuah segitiga ABC de ngan sisi-sisinja a, b dan c.

b.

Buktikanlah bahwa sebuah symmedian suatu segitiga tid ak mungkin lebih besar daripada garisberat dari titiksudut sym^ median itu.

, i oi

oa

i

25.

Lukislah a .x = V~5p2 + 6q2 + 7r2 dan b. y =

26.

Lukislah

u

a2b

+ c2^

3+

24.

Lukislah a. x = --- ---bc

a

bz

+

c3

dan b. y — ---- —----7 d2

V p 2 + 2q2 + ip q V 3

a. x = V ^ 2 + a2 V o32 + a4a5 b- y — 27. 3)

V a* V

y ’ o4c5

Hitunglah sisi-sisi A ABC; lalu diketahui :

a. b.

lukislah segitiga itu,

djika

a. = 60°, a + b = p, a + c = q a. = 120°, a + b = r, b + c = 5

a.

28. J)

Pada sisi CD sebuah budjursangkar ABCD terletak titik P 5 PA = a dan P B = b (a > b).Njatakanlah sisibudjur sangkar itu dengan a dan b, lalu lukislah budjursangkar itu. b. Lukislah djuga budjursangkar itu, dengan tidak m enghitung terlebih dulu sisinja.

29.

Dalam segitiga siku-siku ABC, CD adalah garisbagi sudutnja jang siku-siku. Dari sebuah titik P pada segmentgaris CD dibuat PE ¡j BC dan PF // AC. Tetapkanlah letaknja P pada CD, sehingga budjursangkar PECF dan segitiga PAB sama luasnja.

30. *)

Membagi sebuah segitiga ABC dengan sebuah segmentgaris jang sedjadjar dengan AB atas dua bagian, jang luasnja berbanding sebagai dua segmentgaris m dan n.

31. Diketahui segiempat ABCD ; tjarilah tempat kedudukan titiktitik P, jang mempunjai s ifa t: PA2 + PB 2 = PC2 + P D 2. )

Soal soal ini haius disertai discussi jang lengkap.

173

32.

Diluar sebuah lingkaran (P, r) terletak titik A. Tjarilah tempat kedu dukan pusat lingkaran-lingkaran jang melalui A dan memotong tegaklurus lingkaran (P, r).

33. a. Diketahui lingkaran (P, r) dan sebuah titik Q didalam lingkaran itu ; Q adalah titiksudut sebuah sudut siku-siku, jang kakikakinja memotong lingkaran tadi di A dan B.Tjarilah tempat kedudukan titikpertengahan M dari AB,djika sudutitu ber putar pada Q. b. Tjarilah djuga tempat kedudukan projeksi R dari titik Q pada AB. l 34. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b dan c dan segmentgaris d. Tjarilah tempat kedudukan titik-titik P jang memenuhi sjarat: a. PA2 + PB2 + PCZ = d2 b. PB 2 4 PC2 == 2 PA 2 c. a. PA2 + b. PB2 + c. PC2 = d2.

35.

Diketahui sebuah segiempat ABCD dan bilangan-bilangan k, l, m dan n. Tjarilah tempat kedudukan titik-titik T, jang m em enuhi: k. TA2 4 l. TB2 = m. TC2 4 n. T D 2. Apakah sjaratnja supaja tempat kedudukan ini berupa garis ?

36. Titiksudut-titiksudut A ABC ditjerminkan thd. sebuah garis g, sehingga terdjadi A A8BBCS. Kemudian dibuat ASA 'J _ BC, B8B 'J _ CA dan C3C1 J_ A B. Buktikanlah, bahwa A8A', B8B ' dan CSC' melalui satu titik. 37. Titiksudut-titiksudut A ABC diprojeksikan pada garis g di A ', B' dan C'. Kemudian dibuat A 'A ” J_ BC, B 'B " J_ CA dan C 'C " J_ AB. Buktikanlah, bahwa A 'A " , B 'B " dan C 'C " melalui satu titik.

38. a.

A D E F ialah segitiga titikkaki suatu titik P thd. A ABC (D pada BC, E pada CA dan F pada AB); buktikanlah, bahwa garis-garis jang dibuat dari A, B dan C tegaklurus pada EF, FD dan D E melalui satu titik Q. b. D jika P titiktinggi A ABC, apakah titik Q ? c. Mungkinkah P dan Q berimpit ?

174

ULANGAN

KEDUA.

§ 53.

B P ’ B Q = ^ * BuktikanIah dJ‘uga kebalikan dalil ini. 2. Lukislah sebuah segitiga, djika titikkaki-titikkaki ketiga garistinggi diketahui. Berapa segitiga terdapat ? 3. Pada sisi-sisi BC, CA dan AB sebuah A ABC diletakkan berturutturut titik-titik P, Q dan R, sehingga

=

^

(k bilangan positif). D jika titikpotong AP dan Q R disebut S bukti kanlah, bahwa RS = k2. SQ. 4. Segitiga ABC dan segitiga A B D sama Iuasnja, sedangkan C dan D terletak disatu pihak thd. AB. Sebuah garis g // AB memotong CA, CB, DA dan DB berturut-turut dititik-titik P, Q, R dan S. B ukti kanlah, bahwa PQ = RS. 5.

Lukislah segmentgaris-segmentgaris dibawah i n i :

6. Dua dua jang dan titik 7.

garis l dan m potong-memotong di O ; pada Z diletakkan titik tetap A dan B ; pada m diletakkan dua titik P dan Q tidak tetap dan terletak symmetris thd. O. Tariklah PA QB dan tjarilah tempat kedudukan titikpotong mereka, ja ’ni S.

Pada udjung-udjung sebuah segmentgaris AB dibuat dua sinar l dan m jang kedua-duanja tegaklurus pada AB dan terletak disatu pihak thd. AB. Sebuah garis jang tidak tetap, memotong l di P dan m di Q, sehingga luas trapezium A PQ B sama dengan luas sebuah budjursangkar jang diketahui. Buktikanlah, bahwa PQ berputar pada suatu titik tetap.

8. Lukislah sebuah segitiga, djika ketiga garistingginja diketahui. 175

9.

D ua lingkaran a dan p jang tidak sama besarnja, singgung-menjinggung dari luar di R. D jika talibusur R A dan talibusur R B (A di a, B di ¡3) tegaklurus sesamanja, buktikanlah, bahwa AB melalui titik kesebangunan luar U dari a dan p.

10. Diketahui : titik-titik A, B, C dan D. Dari sebuah persegipandjang jang tidak tetap, garissisi a melalui A, b melalui B, c melalui C dan d melalui D (a // c). Tjarilah tempat kedudukan pusat P persegi pandjang itu. Dalam keadaan chusus jang mana P adalah sebuah titik tetap ? 11. Dalam sebuah segitiga siku-siku ABC dibuat garis tinggi AD = / pada sisimiring BC = a. D jika luas segitiga itu disebut L; bukti kanlah, bahwa 1

1

2L

a2

l5 D + CD = l r ' = 4L2‘ 12.

Lukislah A ABC, djika d ik e tah u i: a, garistinggi /a dan setengah keliling s..

13. Diketahui dua garis sedjadjar l dan m, dua segmentgaris a dan b dan titik-titik P dan Q. Lukislah melalui P dan Q dua garis sedja djar, jang bersama-sama dengan l dan m membentuk sebuah djadjarangendjang, jang sisi-sisinja berbanding sebagai a dan b. 14. a. Pada sisi-sisi BC, CA dan A B sebuah A ABC diletakkan titiktitik A1( Bx dan Cj, sehingga B A i: AXC = CBjl : BXA = ACX: CXB — m : n. Njatakanlah luas Ox dari A AJB1C1 dengan* kedua bilangan positif m dan n dan luas O dari A ABC. b. D jik a titik-titik A2, B2 dan C2 diletakkan pada sisi-sisi A A j B ^ sehingga B1A 2 : A2CX = C jB g : B2AX = AXC2 : C ^ = m : n, dst., njatakanlah djum lah luas C»! + 0 2 + 0 3 + ............ dari segitiga-segitiga A ^ C * , A^B2C2, A 3B3C3 dst., dengan m, n dan O. 15. Dari segienam A ^ A g A ^ A e , titik-titik Mx, M2, M3, M4, Ms dan M6 adalah titikpertengahan sisi-sisi A2A 3, A3A4, A4AS, A5A6 dan AeAj. B uktikanlah dengan 2 djalan, bahwa A MjMgMg dan A M .M 4M6 berimpit titikberatnja, ja ’ni: a. dengan m em buktikan, bahwa masing-masing bersekutu titik beratnja dengan, misalnja, A M2 N M5 (N ialah titikpertengahan

AiAJ ; 176

b. dengan membuktikan, bahwa titikberat mereka terletak sama djauh dari sebarang garis. c. Dari segilima A ^ A ^ A g , t'uk-titik Mj, M2, M3, M4 dan M5 adalah titikpertengahan sisi A1A2, A2A3, A3A4, A4A5 dan ASAX; buktikanlah, bahwa A MXM3M5 dan A A ^ A * bersekutu titikberatnja (djuga 2 djalan). 16. a. Dalam A ABC garisbagi AD dan garisbagi BE potong-memotong di I. Njatakanlah perbandingan luaisnja A C DE dan A ABC dengan sisi-sisi a, b dan c A ABC. b. Djuga perbandingan luas A D E I dan A ABC. c. D jika garisbagi jang ketiga disebut CF, hitunglah luasnja A D EF . 17.

Dari A ABC, alas BC diketahui letak dan besarnja; D adalah titik pertengahan BC. D jika selandjutnja diketahui, bahwa AC. AD = AB. BD, tjarilah tempat kedudukan puntjak A.

18. Diketahui garis l dan garis m, jang potong-memotong di S, dan segmentgaris a. Pada l dan m diletakkan titik A dan titik B. sehingga SA + SB = a, dan selesaikanlah djadjarangendjang SACB. Tjarilah tempat kedudukan titik C, djika A bergerak. sebuah titik P, sehingga Is

19.

Lukislah pada sebuah segitiga ABC A PBC = Is A PCA = i s A PAB.

20.

Pada A ABC, diletakkan titik D diperpandjangan AB., dan titik E pada sinar CA, sehingga BD = CE. D jika titikpotong BC da.i D E disebut S, maka DS : SE = AC : AB ; buktikanlah.

21.

Lukislah trapezium ABCD (AB // DC), djika diketahui : bimedian MN dari A B dan DC, sudut MNC dan bagian-bagian AC jang terdjadi karena MN.

22.

a. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b dan c, sebuah segmentgaris d dan tiga bilangan p, q dan r. Tjarilah tempat kedudukan titik-titik P, sehingga p MPA2 + q. P B2 + r. PC2 = d2 b. Apakah tempat kedudukan itu djika p + q + r = 0 ? c. Lukislah tempat kedudukan ini untuk p = 2, q — 3 dan

r d.

=

— 1.

D juga untuk p = 1, q = 2 dan r = — 3.

Planimetrl — 12

177

23. Dalam segitiga samakaki ACB dengan alas AB = a dibuat garistinggi AD dan garistinggi BE. Djika DE membagi segitiga tadi atas dua bagian jang sama Iuasnja, njatakanlah luas A ACB dengan a. 24. Diketahui sudut tumpul X O Y dan segmentgaris a. Pada kaki 0 X dan kaki O Y diletakkan dua titik A dan B jang tidak tetap, sehingga OA + OB = a. Garis jang dibuat di A tegaklurus pada O X memo tong garis jang dibuat di B tegaklurus pada O Y di Q. a. Buktikanlah, bahwa QA + QB tetap. b. Tjarilah tempat kedudukan Q. ’ c. Tjarilah tempat kedudukan pusat P dari lingkaranluar A OAB. 25. Diketahui dua garis / dan m jang sedjadjar, dan titik P jang dengan m terletak disebelah menjebelah garis l. Lukislah melalui P dua garis, jang bersama-sama dengan l dan m, mendjadi garissisi sebuah trapezium samakaki, jang Iuasnja sama dengan luas sebuah segitiga samasisi dengan sisi a. 26. Diketahui dua lingkaran concentris, Lx dan L2 dengan pusat P dan djari-djari dan rz. Sebuah garis gx jang tidak tetap menjinggung Lij garis tidak tetap g2 menjinggung L2, dan membuat sudut sebesar a dengan ga. Tjarilah tempat kedudukan titikpotong S antara gj dan g2. 27. Diketahui sebuah segitiga ABC dan sebuah titik O ; OA, OB dan OC memotong garissisi BC, CA dan AB dititik A', B' dan C'. D jika OA : OA' = OB : OB' = y dan OC : OC' = z, maka x + y + z = *yz -f 2. Buktikanlah. 28. Diketahui lingkaran (M, R) dan lingkaran (N, r), jang satu terletak sama sekali diluar jang lain. Dari M dibuat garissinggung MA pada lingkaran (N, r), dan dari N garissinggung NB pada lingkaran (M, R), sehingga kedua titiksinggung A dan B terletak disatu pihak thd. MN. Garis MA memotong lingkaran (M, R) di F dan G ; NB memotong lingkaran (N, r) di H dan K ; F pada segmentgaris MA dan H pada segmentgaris NB. Buktikanlah, bahwa FH // GK. 29. a. Diketahui sebuah budjursangkar ABCD dengan sisi z dan sebuah garis g diluar budjursangkar itu. Keempat titiksudut budjur sangkar tadi diprojeksikan di A', B', C' dan D ' pada g. D jika A A ' = a, B B ' = b, CC' = c dan D D ' = d, buktikanlah, bahwa : Z2 = a2 + c2 — 2 bd = 62 + d2 — 2 ac. 178

*

b. c.

Rumus jang mana terdapat, djika g memotong budjursangkar tadi ? Buktikanlah, bahwa a2 + b" + c2 + d3 tidak berubah, djika budjursangkarnja berputar pada pusatnja (P).

30. Garis jang menghubungkan titiksudut A A ABC dengan titikpertengahan D dari garisbagi CF, memotong BC di E. N jatakanlah perbandingan luas segiempat B D E F dan A ABC dengan sisi B C = a dan CA = b. 31.

Pada sisi-sisi sebuah segitiga lantjip ABC dilukis kesebelah luar budjursangkar-budjursangkar B C C ^ ^ CAA2C2 dan A B B 3A3. Garistinggi dari A memotong BC di A ' dan B ^ di A ^ garistinggi dari B memotong CA di B ' dan C2A 2 di B2 dan garistinggi dari C memo tong AB di C' da A3B3 di C3. a. Buktikanlah, bahwa persegipandjang AA 2B2B' dan persegipandjang A A 3 C3 C' sama luasnja. b. Persegipandjang-persegipandjang jang m ana lagi sama luasnja? c. Buktikanlah dalil 107 dengan menggunakan luas.

32. Titik 0 terletak dalam A ABC; OA = p, OB = q dan OC = r dua-dua membuat sudut sebesar 120°. Buktikanlah, bahwa djum lah dua sisi A ABC kurang dari p + q + r. 33. a.

Lukislah sebuah segitiga samasisi, jang titiksudut-titiksudutnja terletak pada tiga garis l, m dan n jang sedjadjar. b. D jika djarak antara / dan m, antara m dan n dan antara l dan n berturut-turut sama dengan p, q dan p + q, njatakanlah sisi segitiga samasisi tadi dengan p dan q.

34. Melalui titiksudut-titiksudut A, B dan C sebuah segitiga berturutturut dibuat garis-garis /, m dan n, jang melalui satu titik P ; ke m udian melalui titikpertengahan A ',B ' dan C' sisi-sisi jang berhadap an dibuat /' II l, m' // m dan n' // n. Buktikanlah, bahwa 1°. l', m ’ dan n ’ melalui satu titik Q 2°. P, Q dan titikberat Z A ABC terletak pada satu garis 3°. PZ = 2 ZQ. 35.

Lukislah sebuah budjursangkar jang berpusatkan titiksudut C A ABC, sedangkan dua sisinja jang berdekatan melalui A dan B.

36.

Lukislah sebuah segiempat ABCD, djika diketahui : /_ ACB, /_ CAD, kedua diagonal dan sudut antara kedua diagonal.

179

37.

r,.ra, rb, dan rc ialah djari-djari lingkarandalam singgung A ABC; buktikanlah: a2 2 S ------r---- - (ra — r) rbrc r

dan

lingkaran-

38.

Lukislah A ABC, djika diketahui garistinggi /a, garistinggi. tb dan garisberat za.

39.

Darisegiempat co vex ABCD diagonal-diagonalnja tegaklurus sesamanja dan sama pandjangnja. a. Buktikanlah, bahwa dapat dibuat budjursangkar ta' terbatas banjaknja. jarrg garissisi-garksisinja dengan urutan tetap me lalui A, B, C dan D. b. Tjarilah tempat kedudukan pusat budjursangkar-budjursangkar tadi.

40. Lukislah A ABC, djika diketahui ketiga bagian garistinggi dari A, jang terdjadi karena perpotongan dengan lingkarandalam. 41. Dua lingkaran a dan ¡3 singgung-menjinggung dari luar di C; melalui C dibuat sebuah garis g, jang memotong a sekali lagi di A, sedang kan garis jang dibuat di C tegaklurus pada g, memotong (3 sekali lagi di B. Pada AB diletakkan titik T, sehingga AT : TB = m : n; m dan n segmentgaris. Tjarilah tempat kedudukan T, djika g ber putar pada C. 42. AD, BE dan CF ialah garisbagidalam A ABC. Sumbu AD memo tong garissisi BC di P, sumbu BE memotong garissisi CA di Q dan sumbu CF memotong garissisi AB di R. Buktikanlah, bahwa P, Q dan R collineair. 43. a.

Pada sebuah garis g terletak dua titik A dan B, AB = c. Lukis lah dua lingkaran a dan p jang singgung-menjinggung; ketjuali itu a dan p harus menjinggung g di A dan di B, sedangkan djari-djari a dan (3 berbanding sebagai dua segmentgaris p dan q. b. Njatakanlah djari-djari a dan ¡3 dengan c, p dan q.

44.

180

Pada segmentgaris AC terletak titik B; AB = 2a, BC = 2b. Pada satu pihak thd. AC dibuat belahan lingkaran a, dan y. jang bergaristengahkan segmentgaris BC AC dan AB. Hitunglah djari-djari lingkaran jang menjinggung a, p .dan y, dan lukislah kemudian lingkaran itu.

45.

Diketahui sebuah A ABC dengan garistinggi AD, B E dan CF; K, L dan M ialah titikpertengahan EF, FD dan D E . D ibuat K K '_ L BC, LL ' J_ CA dan MM' _|_ AB; buktikanlah, bahwa ketiga garis tegaklurus ini melalui satu titik.

181

BAB M E N G U K U R

SUDUT

IX . DENGAN

BUSUR

LINGKARAN. § 54. Jang disebut besarnja sebuah busur lingkaran ialah besarnja sudutpusat pada busur itu. Dikatakan, bahwa sebuah sudutpusat sama dengan busurnja ( = busur tempat ia berdiri). Jang disebut sudutkeliling ialah sudut antara dua talibusur jang bersekutu salah satu udjungnja. D ikatakan, bahwa sudutkeliling BAC berdiri pada busur BC; dikatakan djuga, bahwa segment BAC. jang terdiri atas talibusur BC dan busur BAC dari lingkaran jang melalui titik-titik A, B dan C memuat sudut keliling BAC. Sudut jang titiksudutnja terletak didalam sebuah ling karan, disebut sudutdalamkeliling lingkaran ini. D jika titiksudutnja terletak diluar sebuah lingkaran, sedangkan tiap-tiap kakinja bersekutu paling sedikit satu titik dengan lingkaran itu, maka sudut itu disebut sudutdiluarkeliling lingkaran itu. ■ D A L I L 112 a.

Sebuah sudutkeliling sama dengan setengah busurnja ( = busur tempat ia berdiri.)' B u k t i. Dalam gb. 181 a ditarik dua segment talibusur jang sedjadjar dan sebuah garistengah tegaklurus pada m ereka; garistengah ini ada lah sumbu symmetri bangun jang terdapat; djadi kedua busur antara kedua talibusur tadi tentu sama.

Pada gb. 181 /_ A = a ; tariklah A' PB ' // AB dan A'C' // AC ; maka z_ A ' = a (dalil 11); bs BB' = bs A A ' = bs CC', djadi bs B 'C ' = bs BC. Tetapi bs B 'C ' = Px = 2 a (dalil 13); djadi A = a = \ bs BC. 182

a telah kita buat lantjip; sebuah sudut a jang tum pul dibagi atas dua sudut jang lantjip.

Akibat ke-1. Sebuah sudut keliling lantjip, djika busurnja kurang dari setengah lingkaran, siku-siku, djika busurnja sama dengan setengah lingkaran dan tumpul, djika busurnja lebih dari setengah lingkaran. Akibat ke-2. Sudut jang kakinja jang satu mendjadi talibusur sebuah lingkaran, dan kakinja jang lain mendjadi garissinggung pada lingkaran tadi, sama dengan setengah busur jang terletak didalam sudut i t u ; lihatlah gb. 182. Akibat ke-3. Sudut jang bersisian dengan sebuah sudutkeliling suatu lingkaran, sama dengan setengah djumlah kedua busur jang terletak diluar sudutkeliling itu.

TA ialah garissinggung di T. /_ ATC = 90° = y2 bs TBC z BTC = y2 bs BC a =

y2 bs

TB

(

cp

a + p (dalil 13) y2bs TB + y2 bs TA

'

Akibat ke-4. Dua sudut jang berha:dapan dalam sebuah segiempat talibusur berdjumlah 180°; lihat gb. 184. Akibat ke-5. Sudut sebuah segiempat talibusur sama dengan sudutluar jang berhadapan-, lihatlah gb. 184. Sudut a pada A sama dengan se tengah bs BCD (dalil 112 a); sudut a pada C djuga sama dengan setengah bs B C D ; lihatlah akibat ke-3, gb. 183. 183

D A L IL

112 b.

Sebuah sudutdalamkeliling sama dengan setengah djumlah kedua busur didalam sudut itu dan sudut jang bertolak belakang; lihat gb. 185. DALIL

112 c.

Sebuah sudut lqar keliling sama dengan setengah selisih kedua busur didalam sudut itu ; lihatlah gb. 186.

G b . 185:

a = Y i (b s A C + bs B D )

B u k t i d a l il 112 b. a == p + y, djadi menurut dalil 112 a.

Gb. 186: « = Vz(bs CD — bs B E) B u k t i d a l i l 112 c. a = p — y, djadi menurut dalil 112 a : a = y2 (bs CD— bs BE) Dalil ini berlaku djuga, djjka salah satu atau kedua kakinja menjinggung; lingkaran.

a = y2 (bs AC + bs BD).

§ 55. Dengan menggunakan apa jang telah diuraikan diatas, dapat di tetapkan sebuah tempat kedudukan penting. Lihatlah gb. 187, DALIL

113.

D jika diketahui sebuah segitiga ABC, maka tempat kedudukan titik'titik T, jang terletak dengan C disatu pihak thd..garis A B sehingga / _ A T B = y, adalah busur A BC dari lingkaranluar a ABC. B u k t i . Dalam dalil telah dikatakan, bangun jang m ana m e n d ja d t tempat kedudukan. Djadi ada dua hal jang harus kita kerdjakan, jakni membuktikan :

184

t'

1) djika P sebuah titik-jang berlainan dengan C dan terletak pada bs ACB, maka /_ APB = y; ini benar menurut dalil 112 a. 2) djika /_ A Q B = y, dan Q dan C ter letak disatu pihak thd. garis AB, tentu Q terletak pada bs. ACB. Letak sebuah titik thd. sebuah lingkar an ada tiga matjam ; ja ’n i : didalamnja, padanja dan diluarnja. Akan kita buktikan, bahwa untuk Q matjam kesatu dan ketiga “ tidak mungkin, sehingga tinggallah matjam kedua sadja. /_ AQ1B; menurut dalil 112 b, sama dengan setengah djumlah dua busur, ja ’ni bs A DB dan sebuah busur lagi ; djadi /_ AQjB > y. /_ AQ3B sama dengan setengah selisih dua busur (dalil 112 c), jakni bs ADB dan sebuah busur lagi; djadi /_ AQaB < y. Djadi Q harus terletak pada bs ACB ; lihatlah Q2. Djelaslah, bahwa udjung-udjung A dan B busur ACB tidak mendjadi sebagian daripada tempat kedudukan, sebab djika P berimpit dengan A atau B, maka tidak ada lagi sudut ATB. D jika P tidak diharuskan terletak disatu pihak thd. garis AB de ngan titik Q m aka bajangan tjermin bs ACB dalam garis AB djuga memenuhi sjarat.

Akibat (dalil 65 b). D jika djumlah dua sudut jang berhadapan dalam sebuah segiempat sama dengan 180°, tentu segiempat itu sebuah segiempat talibusur. Dalam segiempat ABCD terdapat <x -}- y = (3 + & = 180°. Kesim pulan jang pertama ialah bahwa tiap-tiap sudut kurang dari 180°, djadi

Gb. 188: segiempat talibusur

bahwa segiempat tadi convex; djadi B dan D terletak disebelah menjebelah AC. 185

D jik a P sebuah titik pada lingkaranluar A ACD,jang terletak disatu pihak thd. AC dengan B, m aka /_ P -f- S = 180°= ¡3 -f- S ; djadi Z . P = P ; m enurut dalil 113 titik B harus terletak pada busur APC* djadi A BCD adalah sebuah segiempat talibusur. Sesudah terbukti bahwa ABCD sebuah segiempat talibusur, m aka m enurut dalil 112 a dapat ditetapkan bahwa Z A , = Z D 1( Z A2 = Z A , Z D 2 = z Cx, Z b 2 = Z c 2,

Z

b 3

=

Z

Du

Dalam dalil 113 dengan akibatnja dan dalil 112 a telah terkan dung sifattanda untuk 4 titik jang concyclis ( = terletak pada satu lin g karan):

empat titik-A, B, C dan D tentu dan hanja terletak pada satu ling karan, djika terdapat salah satu hal dibawah i n i : 1°. C dan D terletak disatu pihak thd. A B dan /_ A C B — A D B ; 2°. C dan D terletak disebelah A B dan Z A C B + Z A D B = 180°Sekarang akan kita lukis tempat kedudukan jang terdapat dalam dalil 113. LUKISAN

X X II.

Melukis sebuah segmentlingkaran, jang memuat sudut y jang dike tahui dan bertalibusurkan sebuah segmentgaris A B, jang ditentukan besar dan letaknja. Dapat kita lukis sebuah segitiga ABC dengan Z C = y D jika kemudian dilukis lingkaran luar A ABC, m aka busur ACB dan AB akan merupakan segmentlingkaran jang memenuhi sjarat. M e n g e r d ja k a n n ja .

Lukisan jang lebih m udah didapat de ngan menggunakan dalil 112 a, akibat ke-2. Lihatlah gb. 190. D ibuat garis A D melalui titik A, sehingga Z BA D = y ; kemudian dibuat garis di A tegaklurus pada AD, lalu ditetapkan titikpotong P antara garis ini dengan sumbu A B ; se sudah ini dibuat lingkaran (P, PA). Busur ACB lingkaran ini, jang terletak dipihak jang lain daripada D thd. AB, merupakan G6 190: Segmentlingkaran dengan sudut jang diketahui.

186

SCbUf

memenuhi sjarat.

segmentlingkaran jang

u k t i. Lingkaran jang terdapat menjinggung AD di A. Menurut dalil 112a dan akibatnja jang ke-2, maka sudut-sudut y sama dengan setengah busur AB, jang tidak memuat C.

B

Lukisan ini selalu dapat dilakukan. Dari dalil 113 ternjata, bahwa hanja segment jang sudah dilukis dan bajangan tjerminnja' di AB memenuhi sjarat. Penjelidikan, djika y diketahui besar dan letaknja, dan AB hanja dike tahui besarnja sadja, diserahkan kepada pembatja. D

is k u s s i.

Dengan jang diuraikan diatas dapat disusun bukti baru untuk beberapa dalil jang sudah dibuktikan. DALIL

78.

abc R =4L Segitiganja disebut ABC; a dianggap lantjip; titikkaki garistinggi k disebut D, dan titikdiametral B thd. lingkaran ABC disebut Bt. Maka A A BD oo a BtBC, sebab /_ D = 90° = / BCBt dan / A = \ bs Bt. Akibatnja 2 R : a = c : tb, djadi ac abc abc B u k ti.

R = = '2bth = AL Djuga dalil 99 dapat dibuktikan dengan m udah dengan menggunakan segiempat talibusur; lihatlah terutama akibat ke-5 dalil 112a. Achirnja kami muat bukti baru untuk sifat-sifat lingkaran titik sembilan dan garis Euler; lihatlah dalil 101. (P, R) ialah lingkaranluar dan T titiktinggi A ABC, jang dianggap lantjip. Ditetapkan titikpotong-titikpotong G, K dan L dari garistinggigaristinggi AD, BE dan CF dengan lingkaranluar, dan titik-titik dia metral At, Bt dan Ct. Sekarang Cx = /_ At (dalil 12) = \bs BG = C2, sehingga A CDT ^ A CDG; djadi TD = DG. Demikian djuga TE = E K dan TF = FL. Djadi terbukti, bahwa bajangan tjermin titik tinggi A ' A B C thd. ketiga garissisinja terletak pada lingkaranluarnja. Karena /_ A G A t = 90°, maka GAt // CB, djadi BAt = CG = C T ; lagi pula BAt // CT (masing-masing tegaklurus pada AB), sehingga CTBAt, adalah sebuah djadjarangendjang. Djadi titikpertengahan Am dari BC djuga mendjadi titikpertengahan dari TAt; demikian pula titikpertengahan Bm dari CA djuga mendjadi titikpertengahan TBt, 187

dan titikpertengahan Cm dari AB berimpit dengan titikpertengahan TCt. D jika sekarang lingkaran (P, R) diperbanjak thd. T dengan faktor £, m aka terdjadilah lingkaran (N, £ R); N ialah titikpertengahan TP.

Titik-titik (9 buah) A, B, C, G, K, L dan At, Bt, Ct menghasilkan A ', B ', C ; D, E, F; dan Am, Bm, Cm. Djadi ternjata lagi, bahwa titikpertengah an ketiga sisi, titikkaki ketiga garistinggi dan titikpertengahan bagian atas ketiga garistinggi terletak pada satu lingkaran jang disebut ling karan titik sembilan atau lingkaran Feurbach. Karena AAt melalui P’ m a^ a A 'A m melalui N ; PAm ialah garisparallel tengah dalam A ATAt, djadi PAm = AA' = \A T ; begitu djuga B 'B m dan C'Cm melalui N, dan PBm = \ BTP dan PCm = \ CT. Djika titikpotong A A m dan TP disebut Z, maka TZ : ZP = AT ; PAm = 2 :1 = AZ : ZAm ; djadi Z adalah titikberat a ABC. Djadi titik-titik T, N, Z dan P terletak pada satu garis, ja ’ni jang disebut garis Euler ; ketjuali itu, antara keempat titik tadi masih terdapat relasi : TN = NP = 3 NZ. Dikemukakan bahwa T adalah titikkesebangunan luar, dan Z titikkesebangunan dalam dari lingkaran luar dan lingkaran titik sembilan A ABC. 188

§ 56. Sekarang kita muat beberapa tjontoh pemakaian theori diatas. - TJONTOH

44.

Tetapkanlah tempat kedudukan titiktinggi segitiga-segitiga A B C , d jika BC ditentukan letak dan besarnja. a ditentukan besarnja, sedangkan A ter letak disalah satu pihak thd. BC. P e n je l e s a ia n . (lihatlah gb. 193). Djika A ABC salah satu segitiga jang dimaksud itu, dan lingkaran luarnja disebut (P, R), maka bs BAC adalah tempat kedudukan A (menurut dalil 113). Dalam A ABC dibuat garistinggi-garistinggi AD, BE dan CF; selandjutnja ditetapkan titikpertengahan A m dan Bm dari BC dan CA. Diatas sudah terdapat, bahwa AT = 2 PAm. Ini kita buktikan sekali lagi dengan mengemukakan, bahwa A ABT co A Am Bm P dan AB = 2 AmBm; maka AT = 2 PAm. Djadi tempat kedudukan T dapat diperoleh dengan djalan meng geser tempat kedudukan A (ja’ni bs BAC) menurut vector 2 PAm; dengan demikian terdjadi bs BVTCV, jang tentu sadja congruent dengan bs BAC. Lingkaran BVTCV bertitikpusatkan Pv, jang terletak pada perpandjangan PAm, sehingga p p v = 2 PAra; djadi Pv adalah bajangan tjermin P thd. BC. Djadi tempat kedudukan jang ditjari ialah bs BVTCV dari lingkar an (Pv, R ) ; lingkaran ini ialah bajangan tjermin lingkaranluar thd. BC, djadi djuga melalui B dan C; batas-batasnja Bv dan Cv bukan sebagian dari tempat ke dudukan. D jika a lantjip, maka B dan C terletak pada bs Bv TCV; djelas-, bahwa dalam keadaan itu B dan C mendjadi sebagian dari tem pat kedudukan, sebab mereka adalah titiktinggi dari kedua segi tiga siku-siku ABC, jang terdjadi djika A diperimpitkan dengan Bt atau dengan Ct- Tjara memperoleh tem pat kedudukan tadi (ja’ni dengan menggeser sebuah tempat kedu dukan jang sudah dikenal) mengakibatkan, bahwa sebaliknja djuga tiaptiap titik dari bs BVTCV mendjadi sebagian dari tempat kedudukan.

189

Tempat kedudukan T djuga dapat diperoleh dengan mengemuka kan, bahwa bajangan tjermin Ts dari titik T thd. BC terletak pada lingkaran (P, R). Karena ATS J_ BC, maka, djika A bergerak sepandjang bs BAC, tentu Ts melalui bs CtTsBt, djadi T melalui bajangan tjermin bs CtTsBt thd. BC, j a ’ni bs BVTCV. Achirnja dapat djuga dikemukakan, bahwa /_ BTC = 180° — a, djika A terletak pada lingkaran (P, R) diantara kedua garis sedjadjar BvCt dan CvBt, dan /_ BTC = a djika A terletak pada lingkaran (P, R), tetapi diluar kedua garis sedjadjar tadi. Djuga dengan demikian ternjata, bahwa tempat kedudukan T adalah bajangan tjermin bs CtTsBt thd. garis BC (lihatlah dalil 113). TJ O N TO H

45.

t

Tjarilah tempat kedudukan pusat-pusat lingkar andalam dan lingkaransinggung semua segitiga ABC, 'jang alasnja BC diketahui letak dan besarnja dan a diketahui besarnja, sedangkan titik-titik A terletak disatu pihak thd. BC. (lihatlah gb. 194). Djika (M ,R) lingkaranluar salah satu A ABC jang memenuhi sjarat, m aka bs BAC adalah tempat kedu dukan titik A (dalil 113). Ditetapkan sekarang pusatpusat I, Ia, Ib dan Ic dari ling karan-lingkaran dalam dan singgung. Maka /_ BIC = 180° — — ¿y = 9 0 " + *a; ini tetap, djadi menurut dalil 113 tempat kedudukan I adalah lingkaranluar A BIC. Nampak dengan m u dah, bahwa, djika A men dekati sedekat - sedekatnja titik B, tentu I demikian pula. Djadi B adalah titikbatas tempat kedudukan, tetapi bukan sebagian dari tempat kedudukan. Apa jang dikatakan tentang B, P e n je l e sa ia n .

190

berlaku djuga untuk C. Djadi tempat kedudukan I adalah bs BIC. K ita lukis titikpusat lingkaran BIC seperti lukisan X X I I. Dari B dibuat sinar BD (D dan A dipihak jang berlainan thd BC). sehingga CBD = 90° + £ a. Garis di B tegaklurus pada BD membuat sudut £<x dengan BC, djadi melalui titikpertengahan K bs BC lingkaran (M. R). jang dengan A terletak dipihak jang berlainan thd. BC. Karena K djuga terletak pada sumbu BC, tentu K adalah titikpusat jang ditjari. Bahwa K B = K I, terdapat djuga karena /_ K B I = /_ K IB (masingmasing £a+£|3). Djika-sebaliknja I* sebuah titik pada bs BIC dan K I* memotong lingkaran (M, R) di A*, maka dapat dibuktikan dengan mudah, bahwa I* adalah pusat lingkaran dalam A A*BC. Selandjutnja /_ B Ia C = 90°— = 180° — /_ BIC; sehingga Ia djuga terletak pada lingkaran BIC. Ini djelas djuga dari segitiga sikusiku IB Ia : disini K B = K I, sehingga K adalah titikpertengahan IIa. Djadi titik I dan titik Ia terletak diametral pada lingkaran BIC ; djika B ' dan C' titik-titik pada lingkaran itu jang terletak diametral dengan B dan C, tentu bs B 'IaC' adalah tempat kedudukan dari Ia, titikbatas B' dan titikbatas C' bukan sebagian dari tempat kedudukan itu. Karena /_ B IbC = /_ B IcC = |a, maka Ib dan Ic terletak djuga pada sebuah lingkaran, jang melalui B dan C. Untuk mendapatkan pusat lingkaran ini, melalui B dibuat sinar, jang membuat sudut £a dengan BC dan dengan A terletak dipihak jang berlainan thd BC, djadi garis BK. Garis di B tegaklurus pada B K ialah DB, jang memotong lingkaran (M, R), dititik L, jang terletak diametral dengan K ; L ini adalah titik pusat jang ditjari. Pada lingkaran CIbIcB ditetapkan titik-titik B " dan C ", jang terletak diametral dengan B dan C. Karena Ib terletak pada BI, m aka bs CIbB " adalah tempat kedudukan Ib; demikian pula bs B IcC " adalah tempat kedudukan Ic. Titikbatas-titikbatas B, C, B '' dan C " bukan sebagian dari tempat kedudukan. TJ O NTO H

46/

D ari sebuah titik M pada lingkaranluar A A B C dibuat garis-garis jang tegaklurus pada garissisi-garissisinfa. a.

Buktikanlah, bahwa ketiga titikkaki terletak pada satu garis (garis titikkaki atau garis Wallace titik M thd. A ABC).

b.

Buktikanlah djuga, bahwa sebaliknja tempat kedudukan titik-titik P, jang projeksi-projeksinja pada ketiga garissisi suatu A A B C collineair, adalah lingkaranluar A A BC . 191

c.

D jik a T titiktinggi A ABC , tentu garis titikkaki M thd. A melalui titikpertengahan M T ; buktikanlah. a. A ABC kita buat lantjip; dan titik M diletakkan pada busur, jang dibatasi oleh C / dan titik B jang terletak diametral dengan B, D tentu terletak diperpandjangan sisi BC, dan E dan F pada sisi CA dan sisi AB. E kita hubungkan dengan D dan F, lalu akan kita buktikan, bahwa garis D E dan garis EF berimpit. Karena D dan F ter letak disebelah menjebelah AC ; maka untuk keperluan itu tjukuplah djika kita buktikan, bahwa /_ Ex = /_ E2 Ini ternjata dari segiempat talibusur M DCE, MCBA dan M EFA (jang ke-1 dan ke-3 masing-masing mempunjai dua sudut siku-siku), sbb : Gb. ¡95: Garis Wallace.

P e n je l e s a ia n .

Z

Ei =

-Z .

M, =

90° -

Z

C,

= 90° — Z A = Z. M2 = Z. Ez> dan terdapatlah apa jang harus di buktikan. Bukti ini hanja berlaku untuk segitiga lantjip. Bukti untuk segitiga jang siku-siku atau tumpul diserahkan kepada pembatja.

b. D jika D, E dan F terletak pada satu garis, tentu M2 = /_ E2 = Z . Ej = ¿_ Mj, sehingga ¿_ MAB = MCD; ini berarti, bahwa AMCB adalah sebuah segiempat talibusur, djadi bahwa M - terletak pada lingkaranluar A ABC. c. Sebagai telah diketahui (lihatlah gb. 193), bajangan tjermin Tg dari T thd. AB terletak pada lingkaranluar. D jika titikpotong MTS dan AB disebut Q, m aka Fi - Z . Ai = Z Ta = / _ T V sehingga D F // TQ. D jika K dan R berturut-turut titikpotong D F dengan MT dan dengan MQ, m aka hanja perlu dibuktikan, bahwa R adalah titikpertengahan MQ ; djika demikian, tentu K djuga titikpertengahan MT. Ini adalah akibat dari : = / _ T a = /_ M3. Karena lingkaran titiksembilan dapat diperoleh dengan djalan memperbanjak lingkaranluar thd. T dengan faktor m aka masih dapat dikemukakan, bahwa K terletak pada lingkaran titiksembilan A ABC. 192

Diketahui dua sinar l dan m dengan pangkal persekutuan A, sebuah titik M dan sebuah segmentgaris c. Lukislah melalui M sebuah garis, jang memotong l di X dan m di Y, sehingga A A X Y sama luasnja dengan sebuah budjursangkar jang bersisi c. P e r s i a p a n . K ita anggap, bahwa M terletak didalam sudut jang ter bentuk oleh l dan perpandjangan mPada m kita letakkan segment garis AB — c, dan kita lukis budjursangkar ABCD, jang terletak disatu pihak dengan l thd. m. Djika titikpotong DC dengan / disebut F, maka djadjarangendjang A B E F sama luasnja dengan ABCD. Sekarang garis M X Y harus dilukis sedemikian, sehingga A X . A Y = 2AB. A F ; A X = x, A Y = y, AB - c dan AF = d ; djadi x y — 2 cd. Letak M diketa hui, sehingga sudut antara l dan AM diketahui p u la ; dalam A A M X terdapat segmentgaris AM jang sudah dikenal, /_ Kx jang sudah dikenal dan segmentgaris x jang belum dikenal. Sudut A2 kita pindah hingga berkakikan m, lalu kita sebut Z Aa, dengan perkataan lain, melalui A kita buat garis jang berrelasi isogonal dengan AM thd. sudut (/, m ) ; maka akanterdapat sebuah segitiga jang sebangun dengan A A M X , djika dilukis A R sedemikian, sehingga AM : x = y : A R ; djadi AM x A R = 2 cd. Dari persamaan ini didapat A R ; kemudian didapat Y s b b .: A A M X co A A Y R , djadi Z x i = Z . R i J ini berarti, bahwa A X Y R adalah sebuah segiempat talibusur, djadi Z X Y R -¡_ /_ X A R = 180°. Y terletak pada segmentlingkara jang bertalibusurkan M R dar memuat sudut-sudut jang besarnja sama dengan supplement Z FA R.

Lukislah djadjarangendjang A B E F dan letak kanlah pada Z segmentgaris A K = AM. Tariklah K B dan FL // KB (L pada m), m aka AM : d = c: AL, sehingga A R = 2 A L harus dile takkan pada sinar n ; sinar n berrelasi isogonal dengan AM thd. Z (¿> m). Dengan M R sebagai talibusur, dan dipihak jang lain dari pada A thd. M R dibuat busur segmentlingkaran jang memuat sudut-sudut sebesar 180° — Z F A R ; tentu Y titik-potong busur itu dengan m ; M Y memotong / di X . M

e n g e r d ja k a n n ja

Planimetri — 13,

.

1Q3

B u k t i . Karena A R Y X sebuah segiempat talibusur, maka /_ A R Y =

Z A X M , dan /_ Y A R = /_ M A X , sehingga A Y A R co A M A X, djadi A X .A Y = A M .A R = A K . 2 A L = 2 cd. Akibatnja ialah : Is A A X Y = 2 Is A A B F = Is A B E F = c2. D jika M terletak dalam sudut jang berkakikan l dan perpandjangan m (sebagai dalam gb. 197). m aka busur segmentlingkaran jang bertalibusurkan M R m em punjai tepat satu titikpotong dengan m, dan terdapat tepat satu penjelesaian ; demikian djuga halnja. djika M terletak disudut jang lain jang djuga bersisikan dengan /_ (l , m). D jik a M terletak dalam /_ (l,m ), tentu djuga R terletak didalam nja, ja'ni dipihak jang lain thd. X Y daripada A (sebab /_ A Y R = /_ D

is k u s s i.

AMX >

Gb.

197: Pelaksanaan.

A Y X y Sekarang

A X R Y adalah segiempat talibusur, djadi ¿_ R Y M = ¿_ R A X harus didapat sebagai titikpotong m dengan sebuah busur jang bertitikbataskan M dan R, sehingga ter dapat 0, 1 atau 2 penjelesaian. D jika M terletak pada l atau m, tentu terdapat satu penjelesaian ; djika M terletak pada atau didalam sudut jang bertolak belakang dengan /_ (/, m),m aka ta ' terdapat penjelesaian sebuahpun. §57.

S O A L - S O A L .

1. Dari sebuah titik T dibuat kedua garissinggung pada sebuah ling karan (P. R). Busur jang terketjil jang dibatasi oleh kedua titiksinggung sama dengan a. Hitunglah sudut antara kedua garis singgung itu. 2.

194

Dari sebuah segitiga samakaki ACB sudut puntjaknja y. Hitunglah busur-busur jang terpotong oleh kaki-kaki segitiga ini dari ling karan jang bergaristengahkan A B.

3.- D jika pacia tiap-tiap sisi sebuah segitiga dibuat kearah kedalam sebuah segmentlingkaran, sehingga djum lah ketiga sudut jang dim uat oleh segment-segment itu, sama dengan 360°, tentu ketiga lingkaran pemuat segment-segment itu melalui satu titik. Buktikanlah. 4. Diketahui sebuah segitiga samakaki ABC dan sebuah titik P jang terletak dengan B disatu pihak thd. alas AC, sehingga Z APC \ ¡3. Buktikanlah, bahwa B adalah pusat lingkaran-luar = A APC.' 5. a.

D jika dua lingkaran Lj dan L2, dengan djari-djari R dan r ( R > / ‘) singgung-menjinggung dari dalam di S, dan sebuah garis g memotong Lx di Ax dan Bt dan Ls di A2 dan B2; tentu Z AjSA, = Z B ,S B 2. Buktikanlah. b. Tjarilah sifat sematjam ini djika Lj dan L2 singgung-menjing gung dari luar. c. Bagaimanakah bunjinja a dan b, djika g menjinggung L, di D ?

6. Dalam segiempat talibusur ABCD, Tc dan Td adalah titiktinggi segitiga-segitiga A BD dan ABC. Buktikanlah, bahwa djuga ATcTdB sebuah segiempat talibusur. 7. Dalam A ABC A? adalah bajangan tjermin A thd. BC. Bs bajangan tjermin B thd. CA dan Cs bajangan tjermin C thd. Ab. Buktikan lah, bahwa lingkaranluar segitiga-segitiga ASBC, BSCA dan CSAB melalui titiktinggi T A ABC. 8.

Diketahui dua garis Z dan m jang potong-memotong, sebuah ling karan L dan sebuah titik S diluar lingkaran itu. Lukislah didalam lingkaran L sebuah segitiga D EF, dengan sjarat: D E // /, D F // m dan E F melalui S.

9.

Pada sebuah segmentgaris AB sebagai garistengah dilukis setengah lingkaran a (titikpusat P). Pada djari-djari AP dan PB terletak titik-titik C dan D, sehingga CP = PD. Dari C dan D dibuat dua garis sedjadjar; jang memotong a di E dan di F. Garissinggung di E pada a memotong garis di C tegaklurus pada AB di G ; dan garissinggung di F pada a memotong garis di D tegaklurus pada AB di H. Buktikanlah, bahwa CG = DH. 195

10. Dari a ABC diketahui alas AB dengan letak dan besarnja, dan sudut -f, sedangkan C tertet&k disatah satu pitiak (jang ditetapkan') th d . A B. TjarWah tem pat kedudukan a. titikberat Z A ABC. b. pusat lingkaran titiksembilan A ABC. c. Tetapkanlah tempat kedudukan titiktinggi T A ABC dari tem pat kedudukan Z. 11. Dari udjung-udjung alas AB segitiga samakaki ACB dibuat garissinggung-garissinggung pada lingkaran (C, r). Tjarilah tempat kedu dukan titikpotong-titikpotong garissi ggung-garissinggung itu, djika r berubah-ubah. 12. Melalui sebuah titik R pada garissisi BC sebuah A ABC dibuat sebuah lingkaran [3, jang menjinggung AB di B, dan sebuah ling karan y, jang menjinggung AC di C. Ketjuali di R, lingkaran ¡3 dan lingkaran y potong-memotong djuga di S ; tjarilah tempat kedu dukan S, djika R bergerak sepandjang garis BC. 13. Diketahui lingkaran (P, r) dengan garistengah AB tetap. Sebuah titik Vu\ &WovmgV;an dengan A dan B, kemudian pada MA diletakkan segmentgaris MQ = MB, dan pada perpandjangan AM segmentgaris M R = MB. Tjarilah tempat kedudukan Q dan tempat kedudukan R, djika M bergerak sepandjang lingkaran tadi. 14.

Dua lingkaran (3 dan y potong-memotong dititik A dan titik A ' ; BAC adalah sebuah talibusur jang tetap, dan Q A R sebuah talibusur jang tidak tetap dalam kedua lingkaran tadi (B dan Q pada p, C dan R pada y). Tjarilah tempat kedudukan titikpotong S dari BQ dan CR, djika Q R berputar pada A.

15. Diketahui dua garis / dan m jang . potong-memotong dan sebuah lingkaran (P, r). Didalam lingkaran itu dilukis segitiga-segitiga ABC dengan A B / / 1 dan AC // m. Tjarilah tem pat kedudukan pusat lingkaran dalam segitiga-segitiga itu. 16. A B ialah talibusur jang tetap dalam lingkaran (P, r). Dilukis sebuah lingkaran y, jang pusatnja, N, terletak pada lingkaran (P, r) dan menjinggung garis AB. Dari A dan B dibuat garissinggung-garissinggung (jang berlainan dengan AB) pada y, jang potong-memo tong di S. Tjarilah tem pat kedudukan S, djika N mengelilingi lingkaran (P, r). 196

17. Pada lingkaran (P, r) diketahui dua titik te ta p ,A dan B, Dari A dibuat talibusur AC dan dari B talibusur BD, sehingga AC = BD. Tjarilah tempat kedudukan titikpotong garis-garis AC dan BD, djika C mengelilingi lingkaran (P, r). 18.

Lukislah segiempat ABCD, djika diketahui : AD, AC, BD, a + p dan salah satu sudut antara kedua diagonal.

19.

Lukislah sebuah segiempat talibusur ABCD, djika diketahui : a. diagonal AC, diagonal BD, salah satu sudut antara kedua diago nal tadi, dan /_ ACB ; b. AB, /_ ACB, salah satu sudut antara kedua diagonal dan per bandingan kedua bagian AC jang terdjadi karena BD.

20.

D jik a Q terletak dilingkaran luar A ABC, tentu garis-garis jang berrelasi isogonal dengan QA, QB dan QC thd. /_ A, /_ B dan /_ C A ABC sedjadjar. Buktikanlah.

21.

Q dan S ialah dua titik jang berrelasi isogonal thd. A ABC. B ukti kanlah, bahwa sisi-sisi segitiga titikkaki Q thd. A ABC tegaklurus pada garis-garis penghubung S dengan titiksudut-titiksudut A ABC.

22.

D jika Q mengelilingi sebuah lingkaran, jang melalui titiksudut A dan titiksudut B sebuah A ABC, sehingga Z A PB tetap, tentu titik S, jang berrelasi isogonal dengan Q thd. A ABC, mengelilingi sebuah lingkaran jang lain, jang djuga melalui A dan B. B uktikanlah.

23.

a.

Q terletak pada lingkaranluar A ABC. B uktikanlah, bahwa bajangan tjermin Qa, Qb dan Qc dari Q thd. garissisi-garissisi BC, CA dan AB terletak pada satu garis. b. T ialah titiktinggi A ABC. D jika A A ' berrelasi isogonal dengan QA thd. /_ A, buktikanlah, bahwa Qa T J_ A A '. »

24.

a.

Buktikanlah, bahwa djuga garis Wallace tegaklurus pada A A ' dan melalui titikpertengahan QT (lihatlah nr. 23b). b. Pada lingkaranluar (P, R) A ’ABC diletakkan titik Q dan titik S ; buktikanlah, bahwa salah satu sudut garistitikkaki q dan s dari Q dan S thd. A ABC sama dengan £ /_ QPS. c. D jika Q dan S (lihatlah b) terletak diametral thd. lingkaran (P, R), tentu garistitikkaki mereka q dan s potong-memotong tegaklurus disuatu titik pada lingkaran titiksembilan A ABC. B uktikanlah. 197

» 25.

a.

Pada lingkaran luar (P, R) A ABC diletakkan titik Q, sehingga QA ¡I BC (¡3 # y). Buktikanlah, bahwa, garis titikkaki Q thd. A ABC sedjadjar dengan PA.

b.

D jik a garistinggi dari A memotong lingkaranluar (P, R) A ABC sekali lagi di S, tentu garistitikkaki S thd. A ABC sedjadjar dengan garissinggung di A pada lingkaran (P, R). Buktikanlah.

a.

26.

Pada segiempat talibusur ABCD, Ta, Tb, Tc dan Td adalah titiktinggi segitiga-segitiga BCD, CDA, DAB dan ABC. Buktikanlah, bahwa segiempat Ta Tb Tc Td sama dan sebangun dengan segiempat ABCD. b. B uktikanlah, bahwa garistitikkaki tiap-tiap titiksudut segiempat talibusur tadi thd. segitiga jang bertitiksudutkan ketiga titik sudut jang lain, melalui satu titik O. c. Buktikanlah, bahwa djuga lingkaran titiksembilan keempat segi tiga tersebut di a melalui titik O.

27.

Pada lingkaran luar A ABC diletakkan titik-titik Q, R dan S. Buktikanlah, bahwa segitiga jang bergarissisikan garistitikkaki titiktitik tadi, sebangun dengan A QRS.

28.

Pada lingkaran (P, R) terletak titik-titik tetap A, B, M dan N, sedangkan titik C, jang tidak tetap, mengelilingi lingkaran, itu. Tj aril ah tem pat kedudukan titikpotong S garistitikkaki m dan n dari M dan N thd. A ABC.

29.

Lukislah pada sebuah segitiga ABC jang telah diketahui sebuah titik K, sehingga projeksi-projeksi L, M dan N dari K pada garissisi-garissisi BC, CA dan AB collineair dan LM = MN.

30.

a. «Dengan sisi-sisi BC, CA dan AB A ABC sebagai talibusur dan arah kedalam dibuat segment-segment lingkaran jang berturutturut m em uat sudut sebesar 180° — y, 180° — a dan 180° — ¡3. B uktikanlah, bahwa ketiga lingkaran jang memuat segmentsegment tadi melalui satu titik M (titik ini disebut titik Brocard b. c.

pertama A ABC). B uktikanlah, bahwa lingkaran-lingkaran tadi menjinggung CA di C, AB di A dan BC di B. Buktikanlah, bahwa sudut-sudut MAB, MBC dan MCA sama besarnja sudut-sudut ini dinjatakan dengan tanda <0 dan disebut

sudut Brocard A ABC. 198

d.

Buktikanlah, bahwa didalam tiap-tiap segitiga ABC terdapat paling sedikit dan paling banjak satu titik M, sehingga /_ MAB = MBC = Z MCA.

31. Titik Brocard pertama A ACB disebut titik Brocard kedua A ABC. Buktikanlah, bahwa kedua titik Brocard A ABC berrelasi isogonal thd. A ABC. 32. a.

D jika dalam gambar soal nr. 30a perpandjangan BM memotong lingkaran jang bertalibusurkan CA dititik N, maka AN // BC. Buktikanlah ini dan pergunakanlah untuk mendapatkan lukisan jang mudah bagi titik M dan sudut
33. a. Pada sisi-sisi A ABC dibuat arah keluar segitiga-segitiga samasisi BCA', CAB' dan ABC'. Buktikanlah, bahwa A A ' = B B ' == CC'. b. Buktikanlah, bahwa lingkaranluar segitiga-segitiga samasisi tadi melalui satu titik S. (S disebut titik ■Torricelli A ABC). c. Buktikanlah, bahwa djuga garis-garis AA', B B ' dan CC' melalui S. 34.

Diketahui sebuah segiempat talibusur ABCD. Lingkaran dalam segitiga-segitiga ABC, BCD, CDA dan D AB berturut-turut disebut ( pi> ri)> (P2>rz), (Ps> r3) dan (P4, r4). Buktikanlah, bahwa pusat-pusat mereka mendjadi titiksudut sebuah empatpersegipandjang; selandju tnja buktikanlah, bahwa rx + r3 = r2 + r4.

35.

Dari segiempat talibusur ABCD diketahui djari-djari R lingkaranluarnja, a, b + d dan q> = BSC. S ialah titikpotong kedua diago nal. Lukislah segiempat itu.

§ 58. Seringkali perbanjakan disertai dengan perputaran (rotasi) dengan pusat jang sama ; transformasi jang terdiri dari perbanjakan dan per putaran dengan pusat jang sama, disebut torsi. Torsi dengan pusat O, faktor positif k dan sudut berarah
gb. 198; disini k ^ 9/16 dan q> 63°. Djelas, bahwa perputarannja djuga boleh didahulukan. Index h menundjukkan, bahwa A Ah Ph Ch homothetis dengan A ABC ; tam bahan d m enundjukkan, bahwa bangun jang

terdapat kemudian diputar, D jadi index rangkap m enundjukkan tjara terdjadinja bangun ketiga G ' dari G. Lihatlah sekarang gb. 199 ; O P dan busur G sebuah lingkaran jang berpusatkan P ; pada O P telah dilakukan torsi ; torsi ini menghasilkan Phd ; faktor perbanjakannja ialah \\; sudut berarahnja

Ax pindah ke dan A 2 ke B2 ; titik-titik B mendjalani bangun Ghd; bangun ini tentu sadja sebangun dengan G. D jika G diperbanjak, tentu terdjadilah bangun Gh (tidak tergambar) jang sebangun dengan G ; djika Gh diputar, terdjadilah Gha; tetapi perputaran ini tidak mengu bah besar dan arah-keliling suatu bangun. TJ O N TO H

48.

Diketahui dua lingkaran (3 dan y dan sebuah titik A. Lukislah A A B C , sehingga B terletak pada (3 dan C pada y; /_ B dan / _ C A A B C diketahui. 200

A

P e r s i a p a n (lihatlah gb. 200a). D jika dilukis A A 'B 'C ' dengan sudut-sudut jang diketahui (misalnja /_ B ' = 30°, C' = 45°, djadi ¿_ A ' = 105°), maka AC : AB = A 'C ' : A 'B ' = k. Titik C diperoleh dari titik B dengan torsi (A, k, + 105° atau — 105°). Karena torsi ini lingkaran p mendjelma mendjadi lingkaran fW; djadi C harus terletak pada Pm dan pada y.

K ita ambil B = 30°, ¿ C = 45°, djadi A = 105°; perbandingan AC : AB = k telah tertulis diatas lingkaran-ling karan. Perbanjaklah sekarang lingkaran p dengan k ; lihatlah pada

M e n g erd ja k a n n ja .

segitiga diatas A 'P ' = A P ; A'P'h dipindah dengan nama APh kegambar jang mem uat lingkaran-lingkaran. Dengan djalan jang sama 201

djari-djari lingkaran p diperbanjak dengan k; sesudah itu dapat dilukis lingkaran p&. Lingkaran P& ini diputar, dengan A sebagai pusat per putaran, kekiri dan kekanan sepandjang sudut = 105°; lihatlah pusatpusat PM dan P 'hd; lingkaran-lingkaran jang telah diputar ini memo tong y di Clr C2, C3 dan C4. D jika ACj diputar kembali sedjauh 105°, terdapatlah Clh pada lingkaran ph; dengan memperpandjang A C ^ ter dapatlah titik Bj pada p ; tarik sekarang C ^ , maka terdapat salah satu segitiga jang memenuhi sjarat; A AC2B2, A AC3B3 dan A AC4B4 terdapat dengan djalan jang sama. D is k u s s i. Paling banjak terdapat 4 lingkaran, sebab Phd dan y paling banjak bersekutu 2 titik, padahal ada dua lingkaran pbd, jang terdjadi dari p dengan transformasi (A, k, 105°) dan (A, k, — 105°). P e r h a t i a n . D jik a diketahui dua lingkaran (P , R) dan (Q, r), R > r, m aka terdapat torsi (O, k,
kedudukan O adalah sebuah lingkaran A pollonius; pada lingkaran ini kedua titik kesebangunan I dan U mendjadi dua titik diametral. Ling karan ini disebut lingkaran kesebangunan lingkaran (P, R) dan lingkaran (Q, r).

O

D jik a kedua lingkaran ini potong-memotong, tentu sadja lingkaran kesebangunan mereka melalui kedua titikpotong. 202

T J O N T O H

49

Diketahui dua lingkaran y dan 8, dengan pusat P dan Q, jang potongmemotong dititik-titik A dan B. Garis pemuat talibusur-rangkap C D (C pada y, D pada S) berputar pada A. Ditanjakan tempat kedudukan : a. pusat I lingkaran-dalam A BCD. b. titikpotong S antara C P dan DQ. (lihatlah gb. 202a). Karena sudut-sudut C dan D A BCD tidak berubah, djika CD berputar pada A, maka semua segitiga BCD sebangun jang satu dengan jang lain, dan djuga dengan A BPQ; sebab / _ C = \bs AB lingkaran y = /_ Px dan / _ D — \bs AB lingkaran S = /_ Qr Dari tiap2 dua segitiga BDC, tentu jang satu dapat mendjelma m endjadi jang lain djika ditorsikan dengan B sebagai pusat torsi. Pusat I lingkaran-dalam ialah titikpotong CE dan DF; E ialah titikpertengahan bs A B lingkaran y, F titikpertengahan bs AB lingkaran S. Sudut berarah B(C, I) = cp te ta p ; demikian djuga BI : BC = k (dalam gb. 202a

Ternjata bahwa lingkaran ini melalui E dan F; ja ’ni pertengahan kedua 203

busur AB; lukislah dalam gambar A C^BDj; untuk segitiga ini I = untuk A C2B2D I = F.

E;

D jika ini telah diketahui, maka mengerdjakannja mendjadi sangat mudah; dibuat lingkaran melalui B, E dan F. Tentu sadja harus di buktikan terlebih dulu, bahwa akan didapat sebuah lingkaran; sesudah ini tidak perlu dilakukan lukisan gb. 202a jang agak sulit itu. P e n j e l e s a i a n k e -2. Penjelesaian jang sukar diatas telah kita m uat ter lebih dulu, karena merupakan suatu tjontoh jang bagus mengenai torsi.

Penjelesaian jang berikut lebih mudah; BC dan BD tidak perlu kita tarik. CE ialah garisbagi jang satu, D F garisbagi jang lain; djika bs A E = bs EB disamakan 2a; dan bs A F = bs FB disamakan 2 ¡3, maka £ /_ C = «; J D = p dan /_ CIF = a + p. Ini berlaku untuk setiap talibusur rangkap CD, asal sadja C dan D terletak disebelah-menjebelah A. 204

Pandanglah sekarang talibusur A C'D'; garisbagi D ' A B C 'D ' melalui F; garisbagi /_ C' melalui E (sebab garisbagi luar C' melalui titikpertengahan Et bs A E tB); /_ ^ C 'D ' = A C'E = a ; djadi /_ FIjC' = a + p (dalil 13). Ternjata bahwa IE IXF adalah sebuah segiempat talibusur (dalil 113, akibat); B adalah sebuah titikbatas dari tempat kedudukan; djadi lingkaran jang melalui B, E dan F adalah tempat kedudukan jang ditanjakan.

b.

Lihatlah gb. 203. Karena A BCD, djika ditorsikan dengan B sebagai pusat torsi, dapat menghasilkan A BPQ, maka /_ B(CP) = /_ B(DQ); sehingga djuga /_ SPB = 2 /_ B(CP) (dalil 13) = 2 /_ B(DQ) = BQS; ini berarti bahwa S terletak pada lingkaranluar e A BPQ

§59.

SOAL-SOAL

1. Dari segitiga ABC diketahui sudut-sudutnja, dan titik A. Tjarilah tempat kedudukan C, djika B bergerak sepandjang sebuah garis g. 2.

Diketahui sebuah segitiga PQR, sebuah titik A, sebuah garis g dan sebuah lingkaran y. Lukislah A ABC, jang sebangun dengan A PQ R; sedangkan B terletak di g dan C terletak pada y.

3.

Lukislah dalam djadjarangendjang ABCD sebuah belahketupat, jang diagonal-diagonalnja berbanding sebagai dua segmentgaris p dan q. Pada tiap-tiap sisi djadjarangendjang tadi harus terletak sebuah titiksudut belahketupat itu.

4. Diketahui sebuah titik A, sebuah lingkaran 8 dan sebuah bilangan positif k. Pada S diletakkan titik D dan kemudian pada sinar AD sebuah titik P, sehingga AP = k. AD. Seterusnja dengan AP se bagai sisi, dibuat segitiga samasisi APQ, jang bertitikberatkan Z. Tjarilah tempat kedudukan Z, djika D mendjâlani lingkaran S. 5. Diketahui tiga garis sedjadjar a, b dan c dan A PQR- Lukislah A ABC, jang sebangun dengan A PQR> sehingga A terletak di a, B di b dan C di c. 6.

Diketahui tiga garis a, b dan c jang melalui satu titik O, dan A PQ R. Lukislah A ABC jang congruent dengan A PQR> sehingga A terletak di a, B di ^ dan C di c.205

B A B

RELASI

X.

A N T A R A SEG M ENTG ARIS-SEGM ENT GARIS BUNG D E N G A N L IN G K A R A N .

BERHU

§ 60. Dengan menggunakan hubungan antara sudut dan talibusur dan theorie tentang kesebangun'an dapat kita peroleh relasi-relasi penting antara segmentgaris-segmentgaris jang berhubungan dengan lingkaran. DALIL

114a.

D jik a d u a garis l dan m ja n g m elalui sebuah titik O, memotong sebuah lingkaran

tentu hasilperbanjakan d ja ra k d ari O ketitikpotong-titikpotong

p a d a garis l sam a dengan hasi!p trb an jakan djara k O ketitikpotong-titik potong p a d a garis m.

G b. 20 4: O A .O B

= O C .O D .

B u k ti. D jika O terletak didalam atau diluar lingkaran, titikpotongtitikpotong pada Z disebut A dan B, titikpotong-titikpotong pada m dise but C dan D, m aka A O AD co A OCB. D jika OA, O B , OC dan QD berturut-turut disebut p, q, r dan s, maka pq = rs. D jika O terletak pada lingkaran, maka kedua hasilperbanjakan itu sama dengan nol. B ukti diatas berlaku djuga. djika kedua garis, atau salah satu dari kedua garis, menjinggung lingkaran tadi. P e r h a t i a n 1. Dalil 114a dapat djuga dikatakan sbb. : hasilperba njakan djarak-djarak dari O ke-titikpotong-titikpotong A dan B dari suatu garis jang berputar pada O dengan sebuah lingkaran, mempunjai harga jang tetap. 206

P e r h a t i a n 2. Ada baiknja, djika hasilperbanjakan OA x OB diberi tanda positif atau ne g atif; maka selandjutnja hasilperbanjakan ini kita anggap positif, djika O terletak diluar lingkaran, dan negatif, djika O terletak

didalam lingkaran. Hasilperbanjakan tadi dapat ditulis OA. OB. Jang disebut kuasa n (O, C) dari suatu titik'O thd. lingkaran C ialah -- ► -- ►

hasilperbanjakan OA. OB ; A dan B ialah titikpotong lingkaran itu dengan sebuah garis jang melalui O. Kuasa ini positif, djika O terletak diluar lingkaran, nol djika O terletak pada lingkaran dan negatif, djika O terletak didalam lingkaran; dari dalil 114a ternjata, bahwa kuasa ini untuk semua garispotong jang melalui O sama harganja. D jika O terletak diluar lingkaran, maka kuasanja sama dengan pangkat dua dari pandjangnja garissinggung dari O pada lingkaran itu. Djika O terletak didalam lingkaran, maka kuasanja berlawanan dengan pangkat dua se tengah talibusur jang bertitiktengahkan O. DALIL

114b.

Kuasa sebuah titik O thd. sebuah lingkaran (P, r) sama dengan O P 2— r2. B u k t i , (bukti ini djuga merupakan bukti baru untuk dalil 114 a). D jika sebuah ga ris Z jang melalui O, memotong lingkaran termaksud di A dan B, dan projeksi P pada Z disebut C, maka : OA x OB =

(OC + CA) (OC + CB) =

(OC + CA) X (OC — CA) = OC2 — CA2 = O P 2 — PC2— CA2 = OP2— r 2. Gb. 205: O A .O B = DALIL

114c.

D jika garis-garis A B dan CD potong-memotong di O dan O A. O B = OC. OD, tentu A, B, C dan D concyclis ( = 'terletak pada satu lingkaran). D jik a O A 2 =

OC.OD =£ O, tentu lingkaran A C D menjinggungO A

di A.

B u k t i . Menurut dalil 114a, lingkaran ABC memotong garisOC,ketjuali dititik C, djuga dititi k D', sehingga OA. OB = OC. OD'.

Djadi OD = O D ', sehingga D dan D ' berimpit; djadi A, B, C dan D concyclis. 207

D alam keadaan jang kedua didapat dari dalil 114a, bahwa titikpotong-titikpotong A dan A ' antara OA dan lingkaran ACD berimpit; sebab OA. O A ' = OC. OD = OA2 Sebagai pemakaian dalil 114a kita buktikan sekali lagi setjara lain dalil 106a dan b, dan dalil llO a. DALIL

106a.

D jik a sebuah talibusur dan sebuah gar istengah sesuatu lingkaran ber sekutu satu udjung, tentu talibusur itu mendjadi pembanding tengah anta ra projeksinja pada garistengah t-adi dan garistengah tadi.

B u k t i . D jik a talibusur disebut AB, garistengahnja AD dan projeksi B pada A D B ', m aka, karena AB J_ BD, lingkaran dengan BD sebagai garistengah menjinggung AB. Karena lingkaran ini melalui B', m aka A B 2 = A B '. A D.

Kwadrat talibusur-talibusur suatu lingkaran jang bersekutu satu udjung dengan sebuah garistengah, sebanding dengan projeksi talibusurtalibusur itu pada garistengah itu. A k ib a t .

D A L IL

106b.

Garis jang dibuat dari sebuah titik pada sebuah lingkaran tegaklurus pada sebuah garistengah, tentu mendjadi pembanding tengah antara kedua bagian garistengah, jang terdjadi karena perpotongan dengan garis tegak lurus tadi. B u k t i . Ini akibat dari dalil 114a.

208

DALIL

1lOa.

doc2 — bc — fljflo. B u k ti. Lukislah lingkaran-luar A ABC ; garisbagi /_ A memotong busur BC, jang tidak memuat A, di D. ED disebut p; A A D B co a ACE; lihatlah sudut-sudut jang sama; maka: (d« + p ) : c — b : da , maka d a2 + p doc = bc p do,— ata2 (dalil 114a)

= bc — a-fli

da2

Gb. 208: d *a — bc — atat .

§61.

T J O NTO H

50.

T ialah titiktinggi dan (P, R) lingkaran-luar A ABC ; buktikanlah, bahwa T P 2 — 9 R 2 — (a2 + b2 + c2). Kita Hitung kuasa titikberat Z A ABC thd lingkaran (P, R); sebab disitu terdapat ZP = J TP dan R. Kuasa Z adalah Z P 2 — R 2, tetapi djuga Z A X Z E =

___

P e n je l e s a ia n .

— 1' (& 2* + D E) : g' za2 — |- za x D E ; suku keduanja sama dengan — f x

i

a x i a = — \ a2 \djadi terdapat: ZA x ZE = — | za2 — J a2 =

- #

{\b2 + \c2 ~ i a 2) ~ ^ a 2 =

— i

(a2 + b2 + c2), sehingga

ZP2 = R 2 _

b.

2m

Tpi = 9R*-{a*'+ 62+ c*).

i. (a2 + b2 + c2) dan TP2 = 9 R 2 — (c2 + b2 + c2). TJ O NTO H

a.

m

51

D jika (P, R) dan (/, r) berturut-turut lingkaran-luar dan lingkar an tialam A ABC, tentu P l 2 = R 2 — 2 R r. D jik a (P, R) dan (/a, ra) berturut-turut lingkaran-luar dan lingkar ansinggung A ABC , jang menjinggung sisi a, tentu P U 2 — R 2 + 2 Rr^.

B u k t i a. I terletak didalam A ABC, djadi didalam lingkaran-luarnja; djadi kuasa I thd. lingkaran-luar tentu negatif, ja'ni P I2 — ■R 2; menurut jang harus dibuktikan kuasa ini sama dengan — 2 R r ; kuasa I djuga

209 Planimetri - 14

sama dengan — IA x IF = — IA X FC. D ja d i ja n g harus dibuktikan boleh diubah m endjadi IA x FC = 2 R r atau mendjadi IA : r — 2 R : FC. Suku-suku perbandingan ja n g kiri terdapat dalam A A IG , sukusuku perbandingan jang kanan terdapat dalam A K FC (K F _]_ BC); kedua segitiga ini sebangun (dalil 92); djadi perban dingan seharga diatas betul. Ruas kiri P I2 = /?2 — 2 R r adalah positif; djadi ruas kanan djuga positif; ini berarti R > 2r. Tanda sama berlaku djik a A A BC samasisi. u n t u k b. Seperti pada a terdapat A A IaL co a KFC; maka: A Ia : 2 R = Ob. 210: pi* dan p i q\ ra : CF ; CF = I» F; Ia F x Ia A adalah kuasa Iathd. lingkaran M ; P Ia2 — R 2 djuga kuasa Ia thd.. lingkaran P, djadi P Ia2— R 2 = 2R r a. Dari jang telah terdapat, masih dapat diperoleh : P I2 + P Ia2 + Plb2 + PIc2 = 12 R 2. R uas kiri sama dengan 4 R 2 -1 2 R (ra + rb + rc — r), disini sukuem pat jan g diantara kurung sama dengan :

B ukti

^ x

/ 1 1 (s — C + S — b

1 __ i I _ r s — c

\

x

c

c

\

i (s — a) (s — b)+ s (s— c)'

ab abc , j, , , Lc x u = -j- = 4R . D jadi u ntuk djum lah keempat kwadrat terdapat 4R 2 + 2R . 4R =

12R 2. Dari R 2 — d2 = 2R r (disini d = PI) terdapat

R ¡hp = YRr dan keraudian -RT~d+ ñ=¡=T TJ O N T O H

a. b.

52.

P ialah pusat lingkaran luar A A B C ; T ialah titiktinggi. d jik a A A B C lantjip, tentu P T 2 = R 2 — 4 R p ; p adalah djari-djari lingkaran-dalam segitiga titikkaki T ; djik a a tum pul, tentu P T 2 = R 2 + 4 R pa; disini poc adalah pusat lingkaran-singgung-segitiga titikkaki, dalam sudut jang bertolak bela kang dengan a.

B u k t i a. D alam tjontoh 51 telah kami peroleh rumus-rumus u ntuk P I dan P Ia. Rumus-rumus ini kita pergunakan pada segitiga-titikkaki

210

D E F ; pusat Iingkaran-luarnja ialah N ; 1 bersesuaian dengan T dalam gb. 211 ; djadi NT2 = (¿Z?)2 — 2(£/?) p ; sekarang PT = 2 N T ; djadi terdapat : PT2 = R 2 — 4 R p. A

B u k t i b. Pada gb. didalam sudut jang Menurut tjontoh 51 TP = 2TN, .maka

212 T ialah pusat lingkaran-singgung pada EF, bertolak belakang dengan a. lagi te rd ap a t: NT2 = (£/?)2 + 2 (£ R ) p a ; karena PN 2 = R 2 + 4 R ^ . TJONTOH

53.

Lingkaran-dalam dan lingkaran-titik-sembilan singgung menjinggung dari dalam (dalil Feuerbach). B u k t i . A ABC lantjip ; M, I dan N berturut-turut pusat lingkaran-luar, lingkaran-dalam dan lingkaran-titik-sembilan. A H D J_ BC ; A IF adalah > garis-bagi sudut oc; M A 'F J_ B C ; A ' ialah titikpertengahan sisi BC. N Q K _ L B C ; IP = r J_ BC. K ita hitung N I ; djika N I ternjata sama dengan selisih djari-djari £ R dan r dari lingkaran-titiksembilan dan lingkaran-dalam, tentu mereka ini singgung-menjinggung, \ R > r ; lihatlah bagian terachir bukti tjontoh 51a.

N IP Q ialah sebuah trapezium siku-siku; djadi : N12 = {r ~ (*/? - P)}2 + <72 = { (i/? — r) — p}* + djadi N I2 = — r)2 — p{ R — 2r) + p 2 + q*. Tetapi menurut dalil ini haruslah N I = \R — t \djadi haruslah cp(R — 2 r) = /?2 + q\ ( p 2 + kz = p R ; sebab tiap-tiap ruas sama dengan s2 (dalil 106a)

+ —-------------------211

Perdjum lahan menghasilkan k2 — q2 = 2p r ; k, q dan r dapat dengan agak m udah dinjatakan dengan sisi-sisinja, tetapi p tidak. D jadi lebih baik kita tidak menggunakan perhitungan, melainkan tjara ilm u ukur. k + q dan k — q diperoleh, djika melalui 1 dibuat garis sedjadjar dengan BC; A ' MG dan D H D ' tegaklurus pada BC. A IFG oo a IA D '; ini mudah dilihat. 9 ialah sudut antara garistinggi A D dan garisbagi AF, djadi sama dengan £((3 — y). Sudut

___ (tc2 _ j

Q) ■ IF = P • s j _ A l X 1F = q) : A l = p : s)

2 Rr menurut tjontoh 51 a.

____ ___________

q2) : 2 Rr = p 2 : s2 = p 2 : p R = P : R

D jik a perbandingan ke-1 dan ke-4 dipersamakan, m aka terdapat k— q2 = 2pr. Dengan ini terbukti, bahwa N I2 = (|R — r)2, djadi N I = £ R — r, sehingga-kedua lingkaran singgung-menjinggung; titiksinggung T terletak pada garis NI. 212

Dalam gambar ketjil dikanan atas nam pak Ietaknja titik-titik pen ting dalam gambar jang besar. MI = V R 2 — 2 R r (tjontoh 51); M H = V R 2 — 4 R p (tjontoh 52); NI = |R — r (tjontoh 53). IH dihitung dengan rumus garisberat'. 4(¿7? — r)2 = 2{R%— 2Rr) + 2 IH 2 — R 2 + 4 R p; kita dapat: IH = V 2 r 2 — 2 R ?. Sekarang djuga IZ dapat dihitung, ja 'n i dengan rumus Stewart, didapat: 9 IZ2 = 4 R 2 — 12 R r + 6r 2 + 2 Rp. Menurut tjontoh 52 maka pada sebuah segitiga dengan sudut tum pul a berlaku M H 2 = R 2 + AR pa ; poc ialah djari-djari lingkaransinggung A D E F dalam sudut jang bertolak belakang dengan a. D i dapat : IH = V/2r2 + 2tfpa §62. Sebelum melandjutkan tjontoh-tjontoh tentang pemakaian, kita m uat terlebih dulu beberapa definisi.

Pada gb. 214 G adalah titik-kesebangunan-luar lingkaran Cx dan C2; G A B memotong kedua lingkaran; Cx di A dan B, C2 dititik-titik Ah dan B* jang homothetis-luar thd. A dan B. A dan Bh disebut titik-titik jang invers: demikian djuga B dan A±; relasi invers ini kita njatakan dengan index i; djadi Bh = A t; demikian djuga A h = Bi; A dan A t B dan Bi disebut titik invers-luar. K ita buat djuga garispotong melalui H, titik-kesebangunan-dalam; Cj dipotong di D dan E, C2 dalam titik-titik Dh dan Eh jang homothetisdalam dengan D dan E; selandjutnja D i dan Et adalah titik-titik jang inversdalam dengan D dan E. Dari dalil 114 dengan mudah didapat: 213

DALIL

115.

G adalah titik-kesebangunan-luar lingkaran L x dan lingkaran L 2; se buah garis jang melalui G memotong Lx di T, L 2 di Ti; untuk semua garis jang melalui G hasilperbanjakan GT x GTi sama.

B u k t i . S ialah titikpotong kedua dari GT dengan L x; S dan Tt homothetis. D jik a GT = a dan GS = b, m aka GTt = kb; k adalah faktor kesebangunan. GT x GTt = k. ab, ja 'n i k kali kuasa G thd. lingkaran Lx. U n tu k titik-kesebangunan-dalam tentu sadja terdapat — k.

§63. Sekarang theorie jang diuraikan diatas kita pergunakan pada be berapa lukisan. L U KISA N

X X III.

Lukislah segmentgaris-segmentgaris x dan xy = b2.

y dari x ± y =

a dap.

P e r s ia p a n d a n m e n g e r d j a k a n n j a . D jika x dan y memenuhi x + y =

a dan xy b2 (a > 2b), m aka pada segmentgaris AB = a terletak titik T, sehingga AT = x dan TB = y. D jika garis di T tegaklurus pada AB, memotong lingkaran jang bergaristengahkan AB di D dan E, tentu D E2 = 4DT. TE == 4xy = 4bz D jik a sebaliknja dibuat lingkaran dengan djari-djari %a, dan didalam nja dibuat talibusur D E jang pandjangnja 2b, tentu garistengah A B terbagi oleh titikpertengahan T dari D E atas dua bagian x dan y, jang memenuhi sjarat.

214

Pada keadaan jang kedua, ja'ni x — y = a, xy = b2, T terletak pada perpandjangan AB ( = a), sehingga AT = x dan BT = y. D

7

E

Gb. 216:: x + y = a, xy = ba.

Gb. 217: x — y = a,xy =. 6*.

D jik a titiksinggung pada salah satu garissinggung dari T kepada lingkaran jang bergaristengahkan AB disebut titik D, tentu T D 2 = x y = b *. D jik a sebaliknja dibuat sebuah lingkaran dengan djari-djari \a, dititik D pada lingkaran itu dibuat sebuah garissinggung, dan pada garis singgung itu diletakkan titik T, sehingga DT = b, tentu T membagi dari luar garistengah, jang perpandjangannja melalui T. atas dua bagian x dan y jang memenuhi sjarat. D i s k u s s i . Dalam keadaan pertama x dan y boleh ditukar. D jadi terda pat dua penjelesaian, djika 2b < a . D jika 2b = a, m aka D E adalah garis tengah; terdapat satu penjelesaian ja 'n i x = y = \a — b, U ntuk 2b > a ta ' terdapat penjelesaian. Hasil-hasil ini djuga dapat diperoleh djika

dipergunakan

tjara

aldjabar : x == \a ± £ V

a2 — 4b2, y =

$ V a2 — 4bz. Dalam keadaan kedua ada satu penjelesaian. P e r h a t i a n : Lukisan X X I I I djuga dapat dikatakan sbb.: lukislah akarakar persamaan x2 — ax ± 62 = 0. Ja n g dimaksud dengan: membagi sebuah segmentgaris atas pemban ding tengah dan pembanding terketjil, ialah membagi segmentgaris itu atas dua bagian, sehingga bagian jang besar mendjadi pembanding tengah antara bagian jang ketjil dan seluruh segmentgaris itu. Pembagian de m ikian ini djuga disebut „irisan m as". LUKISAN

X X IV .

Membagi sebuah segmentgaris atas pembanding tengah dan pembanding terketjil. P e r s i a p a n . Seluruh segmentgaris disebut a, bagian jang besar disebut x; djadi bagian jang ketjil a — x; menurut definisi berlakulah (a — x) : x =

215

x : a; djadi x2 + ax — a 2 atau x(x + a) = a2. D jadi dari segmentgarissegmentgaris x + a dan x diketahui selisihnja = a dan hasilperbanjakann j a = c2 ;soal ini telah dibitjarakan dalam lukisan X X I I I . M e n g e r d j a k a n n j a . Lingkaran (D, \a) bergaristengahkan a. D ititik A dib uat garissinggung A B = a; kem udian ditarik BD, jang memotong lingkaran tadi di E dan F. B E = BC; tentu C membagi BA atas pem banding tengah dan pem banding terketjil. Sebetulnja sudah tju k u p djika dilukis A ABD ; A — 90°; A B = a dan A D = \a\ buatlah busurlingkaran A E ; buatlah busurlingkaran EC. B u k t i . BC = B E; B E (B E + d) = a2, djadi x2 + o.x = a2 atau x2 = a(a — x) atau (a — x): x — x : a. D ari persamaan kwadrat x2 + ax = a2 terdapat u n tu k bagian jang besar x = £a(— 1 + -y/5) ; aâr jang ne gatif tid ak berarti. Bagian jang ketjil ialah y — a — x = \a (3 — s/5). D alam perbandingan seharga a : x = x : y, dimisalkan x = fa ; m aka y — f2a ; djadi seluruh segmentgaris, bagian jang besar dan bagian ja n g ketjil berturut-turut sama dengan a, fa dan f2a. Dari /2a + fa — a terdapat /2 + / = i : relasi ini harus diapalkan. Persamaan ini dapat di selesaikan s b b .:

216

§ 64.

SOAL-SOAL.

1. Diketahui sebuah lingkaran (P, r) dan sebuah titik T; sebuah garis jang melalui T memotong lingkaran ini di A dan B; TA = a dan TP = d. Njatakanlah AB dengan a, d dan r. 2. Dari titik A pada lingkaran (P, r) dibuat garistengah A B dan se buah talibusur AC : C' adalah projeksi dari C pada AB dan CC' = p. Njatakanlah AC dengan p dan r. 3.

Dalam lingkaran (P, r) dibuat talibusur A B pada djarak = d dari P. Pada perpandjangan AB diletakkan titik T, sehingga pandjang garissinggung dari T kepada lingkaran itu sama dengan t. N jata kanlah TA dan TB dengan d, r dan t.

4.

B uktikanlah dalil projeksi dengan djalan menjatakan dengan dua tjara kuasa titiksudut A A ABC thd. lingkaran (C, a).

5.

Diketahui sebuah lingkaran (P, r) dari sebuah garis g; T ialah udjung garistengah, jang tegaklurus pada g (T tidak pada g). Garis jang menghubungkan T dengan sebuah titik A pada g, memotong ling karan tadi sekali lagi di B. Buktikanlah, bahwa hasilperbanjakan TA. TB tidak berubah, djika A mendjalani garis g.

6.

Diketahui sebuah lingkaran (P, r) dan dua titik M dan N. Sebuah garis g jang berubah-ubah dan melalui M, memotong lingkaran tadi dititik A dan B. Buktikanlah, bahwa semua lingkaran ABN melalui sebuah titik tetap lagi.

7.

Didalam lingkaran (O, r) terletak dua titik A dan B symmetris thd. O dan pada lingkaran itu terletak titik P. Garis di P tegaklurus pada A P memotong lingkaran itu sekali lagi di Q. Buktikanlah: a. bahwa BQ _|_ PQ b bahwa hasilperbanjakan AP. BQ tetap, djika P mengelilingi lingkaran tadi.

8.

Pada sebuah lingkaran L terletak dua titik tetap A dan B. Melalui sebuah titik M dibuat MA dan MB, jang memotong L sekali lagi di A ' dan B ' dan sebuah garissinggung, jang menjinggung L di N. D jik a a dan b dua segmentgarisjang diketahui, tjarilah tempat kedudukan titik M: a. djika M A ': M B' = a : b ; b. djika M A : MN — a : b. 217

9.

Pada perpandjangan sebuah seginentgaris AB terletak sebuah titik tetap C. Melalui A dan B dibuat lingkaran y jang tidak tetap, dan dari C dibuat kedua garissinggung pada lingkaran itu (titiksinggungn ja M dan N). a. Buktikanlah, bahwa MN berputar pada sebuah titik tetap. b. Tjarilah tempat kedudukan titikpertengahan P dari MN.

10. Dalam lingkaran (O, R) terlukis sebuah segiempat ABCD; garissisi AB dan garissis' CD potong-memotong di E, AD dan BC di F. Buktikanlah, bahwa E F 2 sama dengan djumlah kuasa E dan F tlid. lingkaran (O, R) dan bahwa lingkaran ini terpotong tegaklurus oleh lingkaran jang bergaristengahkan EF. 11. M dan I adalah ber-turut2 titik 2pusat lingkaranluar dan lingkarandalam A ABC; tariklah garis M I; garis ini memotong lingkaranluar pada E dan F dan memotong lingkarandalam pada P dan Q; dalam urutan : E, P, Q dan F. Buktikanlah, bahwa EP x QF = r2. 12. (M, R), (I, r) dan (N, y2 R) adalah ber-turut2 lingkaranluar, ling karandalam dan lingkaran-titik-sembilan A ABC; H ialah titik tinggi. Buktikan : a. N H 2 + NA2 + N B 2 + NC2 = 3 R 2; b. djum lah kuasa2 A, B dan C terhadap lingkaran-titik-sembilan adalah J (a2 + b2 + c2). c. Berilah dengan mempergunakan a dan b bukti jang lain dari pada bukti pada tjontoh 50 untuk relasi. HM2 = 9 R 2 — (a2 + b2 + c2). 13.

Diketahui: dua buah lingkaran (M, R) dan (N, r): Lukiskanlah sebuah lingkaran jang menjinggung kedua lingkaran itu serta menjinggung pula garislurus MN; periksalah, berapa buah lingkaran memenuhinja.

14a. Diketahui: dua buah lingkaran a dan p jang singgung-menjinggung pada K. Pada p terletak titik 2 P dan Q; garislurus P K memotong pada L. Garissinggung Z di L pada a memotong PQ pada S. B ukti kan, bahwa titik 2 K, L, Q dan S adalah concyclis.

b. c.

218

Diketahui li gkaran, Diketahui lingkaran

dua titik M dan N dan sebuah lingkaran a. Lukislah jang melalui M dan N dan menjinggung <x. dua lingkaran a dan p dan sebuah titik T. Lukislah jang melalui T dan menjinggung a dan (3.

15.

Diketahui sebuah lingkaran (P, r) dengan garistengah AB. Tjarilah tempat kedudukan titik-titik M dengan sifat, bahwa luas A MAB sama dengan luas budjursangkar jang bersisikan garissinggung dari M pada lingkaran itu.

16. Diketahui lingkaran (P, r) dan garis g; pada g terletak titik-titik A, B dan C. Kuasa A, B dan C thd. lingkaran adalah berturut-turut a , p dan y . Buktikanlah, bahwa: a.

BC +

p. CA + y. AB* + BC. CA. A B = 0

17. Garisberat dari A memotong sisi BC A ABC di D dan lingkaran dalam (I, r) di E dan F (AE < AF). Lukislah A ABC, djika di ke tahui segmentgaris-segmentgaris A E = d, E F = e dan FD = /. 18.

Pada lingkaran (P, r) terletak dua titik tetap A dan B. Tjarilah tem pat kedudukan titik-titik T, sehingga TA. TB sama dengan kwadrat garissinggung dari T kepada lingkaran itu.

19. (P, R) dan (I, r) ialah Iingkaranluar dan lingkarandalam A ABC. a. Lukislah sebuah lingkaran y, jang menjinggung P I di I dan djuga menjinggung (P, R). b. Buktikanlah, bahwa djari-djari lingkaran y sama dengan r. 2 0 . a dan b ialah memenuhi:

a'

segmentgaris (a < b );

,x2 + y2 = a2 lx + y = b

(X3 + y3 = a3 lx + y = b

lukislah x dan

y, jang

(X4 + y* = o4 • \x + y = b

21. Segmentgaris AB terbagi oleh titik X atas pembanding tengah dan terketjil; A X > X B . B uktikanlah : a. djum lah budjursangkar pada AB dan X B sama dengan tiga kali budjursangkar pada A X . b. djika A B diperpandjang dengan B Y = B X , tentu budjursangkar pada A Y sama dengan lima kali budjursangkar pada A X . c. persegipandjang A X X X B (ja’ni jang bersisikan A X dan X B ) sama dengan selisih budjursangkar pada A X dan X B . d. djika Z djuga membagi AB atas pembanding tengah dan pem banding terketjil, tetapi AZ < ZB, tentu persegipandjang-persegipandjang AB x X Z , A X x X B dan AZ x ZB sama luasnja. 219

§ 65. Sekarang dibitjarakan beberapa dalil tentang segiempat talibusur. DALIL

115a.

Dalam sebuah segiempat-talibusur hasilperbanjakan kedua diagonal sama dengan djumlah hasilperbanjakan sisi-sisi jang berhadapan (dalil Ptolemaeus, abad kedua A. D.) B u k t i . Sisi-sisinja disebut a, b, c dan d;

sudut-sudutnja a, p, y dan 8. Karena a dan y, begitu djuga p dan S berdjumlah 180°, maka cosinus-cosinus mereka berlawanan. Menurut dalil projeksi, maka: = a2 -f b2 — 2 ab cos p ........ (1) p2 = c2 -j* d2 -j- 2 cd cos p q* = a2 + d2 — 2 ad cos a .......... (3 ) q2 = b2 + c2 + 2 bc cos a Ini menghasilkan /

a2 + b2— c2

a2 + d2— b2 dan cos a =2 (ab + cd) 2(ad + bc) D jika ini dimasukkan kedalam (1) dan (3), terdapatlah: a2 + b2— c2 — d2 (ac + bd) (ad + bc) p* = az + b2 — ab x ab + cd ab + cd a2 + d2— b2 — c2(ab + ca) (ac + bd) q2 = a2 + b2 — ad x ad + bc ad -f bc cos p =

■d2

.... p ad + bc djadi pq == ac + bd dan — = —----- r-. q ab + cd Dengan ini telah turut terbukti: DALIL

1156.

Kedua diagonal sebuah segiempat-talibusur berbanding sebagai djumlah hasilperbanjakan sisi-sisi, jang bersekutu satu udjung dengan diagonaldiagonal itu. 220

untuk dalil 115a. Jang harus dibuktikan ialah pq — ac + ' ac ba _ . . . ac , db , , p = --- 1--- Seandainja— = x d a n — = y, m aka x dan y harus

B ukti

kedua

bd. atau

ac berdjumlah p. K arena— = x, maka q : a — c : x ; q dan a terdapat dalam i <7 A DBA; q dan a membentuk /_ B1( c dan x /_ Cx; kedua sudut ini sama ; djika sekarang dibuat /_ EDC = /_ ADB, m aka A D C E oo a D B A . Ini menghasilkan perbandingan seharga diatas. Dalam gb. 221 nam pak bd y ; dengan mudah dapat dibuktikan, bahwa y = — .

c Gb. 221: pq = ac + bd.

Gb. 220: pq = ac + bd.

B u k t i k e d u a untuk dalil 115Ö. Kita pergunakan dalil 78, jang menjatakan : 4 R x luas A ABC = abc ; lihatlah gb. 219

adp = 4 R x Is A ABC cdp = 4 R x Is A ADC (ab + cd)p = 4 R x Is segiempat

adq — 4 R x Is A Ä.BD bcq — 4 R X Is A BCD +(ad + bc)q = 4 R x Is segiempat

Dengan m enjamakan kedua ruas kiri didapat + bc^ menurut q ab + cd pq = ac + bd

u 5 a berlaku:

(ac + bd) (ad + bc) Perbanjakan menghasilkan p2

ab + cd

; pembagian meng-

hasilkan rumus untuk qz. DALIL

115c.

Pada sebuah segiempat jang titiksudut-titiksudutnja tidak concyclis, hasilperbanjakan kedua diagonal lebih ketjil dari djumlah hasilperbanjakan sisi-sisi jang berhadapan. 221

B u k t i :. K ita ikuti bukti kedua dalil

115a. Pada gb. 222 A CDE co

A B D A ; /_ D 2 dibuat sama dengan dan / _ Cx = Z Bj; sisi-sisi A CDE boleh di sebut kd, ka dan kq. D juga sepasang segitiga jang satu lagi sebangun : A B CD co A A E D (dalil 93); dalam A BCD q dan kq mengapit sudut /_ D 2 + 9 , dalam A A E D d dan kd mengapit sudut ¿_ Dx + 9 . Ini berakibat A E : d = b : q; djadi : bd c ac A E = — , c — kq, djadi k — — dan CE ==— ; CE + EA =

c=kq Gb. 222: pq < ac + bd.

ac + bd

Hingga sekarang belum dikatakan kata sepatahpun tentang sudutsudutnja; ketentuan, bahwa keempat titiksudut terletak concyclis, be lum disebut-sebut sama sekali. Dari sebangunnja kedua pasang segitiga tadi, terdapat /_ Ex = a dan /_ E2 = y . D jika a + y = 180°. m aka C, E dan A terletak pada satu garis; ini terdapat pada sebuah segiempat talibusur dan dalam keadaan ini pq = ac + bd. D jika a + y 7^ 180°, bd ac tentu (dalil 24) CE + EA = > p; djadi pq < ac + bd. H

Sekarang djuga akan kita tjari rumus untuk luas segiempat-talibusur dan untuk djari-djari lingkaran luarnja. D ALIL

I I 60.

L u as segiempat-talibusur dengan sisi a, b, c dan d adalah : L = V (s— a) (s — b) (s — c) (s — 'd); disini 2s = a + b + c-\-d.

1166

p

_

^\ab +

cd)

(ac+

bd) (ad + bc)

4 L

a. Perpandjanglah dua sisi jang berhadapan hingga bertemu di E ; 222

A EBC <*> A EDA; sisi-sisi mereka jang bersesuaian berbanding se bagai b dan d. Djadi sisi-sisi disebut sebagai nam pak dalam gb. 223. K ita hitung terlebih dulu luas Lx dari A EBC; kemudian luas ini

d2

kita perbanjak dengan — , sehingga terdapat luas L2 dari A DEA; kemudian L2 kita kurangi dengan Lr

b2 (A' + 1 + ! ) ( * + / — 1) (* — / + O (— /c + / + 1)

c— a kb— ld— — a; perdjumlahan menghasilkan k— / = ^ Sekarang Q

kd — Ib = c; pengurangan menghasilkan k + l = ^

C

Dengan substitutie terdapat

o(s-o(ô(-^+o

/2

Li

V (s — a )(s — b) (s— c) (s— d), d2

L2

X Lj; ls ABCD =

/ d2

\ — 1J Lx ; djadi

ls ABCD = V ( s — a)(s — b) (s — c) (s — d).

b. Menurut dalil 78 4 R L sama dengan hasilperbanjakan sisi-sisi sebuah segitiga; tariklah diagonal AC = p, maka ¡4R x ls (4 R x ls

A A B C = abp A ADC = cdp

Perdjum lahan menghasilkan : 4 R x ls segiempat = p(ab -f- cd) Lihatlah sekarang halaman 220; disitu terdapat

(ad + bc) (ac + bd) ab + cd Djadi: 4 R

x L — ■V (ad + bc) (ac + bd) (ab + cd). 223

TJ 0 N T0 H

54.

§ 66. Lukislah sebuah segiempat-talibusur, jang keempat sisinja a, b, c dan d diketahui. P

ersiapan.

Lihatlah

gb.

22 4;

A B C D ialah sebuah segiempattalibusur; djadi Z B adalah supplement Z D; djadi /_ B kami pindah kedekatnja ¿_ D, sehing ga sepasang dari kaki-kaki me reka berimpit; sepasang kaki jang lain tentu sedjadjar; lihat Gb. 224: Persiapan; a, b, c dan d diketahui. lah D E dan BdCd. Ini tertjapai dengan memutar A ABC pada A sebagai pusat perputaran, hingga B, dengan nam a Bd, terletak pada sinar AD; C mendjadi Cd; Bd Cd// D E; ABd = a, ACd = p dan B ^ = b. Menurut dalil Thales berlaku a : d — b : D E, sehingga D E dapat diper oleh dari sisi-sisinja. Selandjutnja p : A E — a : d, tetapi AC = p dan A E adalah sisi-sisi A ACE, sedangkan dari segitiga ini diketahui CE = c -fnc bd D E = c - f — . Sesudah A CDE terlukis, maka A terdapat sebagai titikpotong dua lingkaran, ja ’ni lingkaran '(D, d) dan lingkaran ApolIonius pada segmentgaris CE dengan perbandingan p : A E — a : d. Lukislah CD = c; perpandjanglah CD dengan D X = bd : a; lihatlah dikanan bawah a : b = d : D X . Bagilah C X dari dalam dan luar atas dua bagian, jang berbanding sebagai a dan d; letakkanlah d pada X keatas; buatlah di C, sebelah-menjebelah C, a // X E ; EF menghasilkan M, EG menghasilkan N; lukislah lingkaran jang bergaristengahkan MN. Lingkaran ini memotong lingkaran (D, d); titikpotong mereka disebut A; titikpotong lingkaran (A, a) dan (C, b) disebut B. Am billah titikpotong dengan /_ B < 180°. M engerdjakannja.

B u k t i . Lingkaran (P, PM) adalah lingkaran Apollonius untuk segment-

. bd ac + bd garis C X — c + — — ------- dengan

perbandingan

a : d.

D jadi

u ntu k titik A pada lingkaran itu berlaku, (berhubung dengan D A = d) AC = ka dan A X = kd. 224

F Gb. 2 2 5 . L A +

C = 1 8 0 ° a, b, c, dan d diketahui.

Lihatlah gb. 226. Dalil Stewart, dipergunakan pada AD dalam A A CX, menghasilkan :

ac + bd bd bd ac + bd d2.------ = k2a2— + k2d2c — c. — .------ . a a a a

Perbanjaklah kedua ruas dengan a2 dan pindahlah suku jang terachir keruas pertama. Segera didapat:

(ka)2 = AC2 =

(ac + bd) (ad + bc) ab + cd

Rum us u n tu k diagonal p ini sudah dimuat pada halaman 221: djadi buk-, tin ja selesai, djika dapat diperlihatkan, bahwa /_ D dalam A ACD de ngan sisi c, d dan AC (jang baru sadja kami hitung) dan B dalam A ABC (dengan sisi a, b dan AC) berdjumlah 180°. Lihatlah bukti dalil 115a. ip 2 = c2 + d2 — 2 cd cos D 1p 2 = a2 + b2 — 2 ab cos B (ac + bd) (ad + bc) 2 cd cos D = c2 + d2— ab + cd c2 + d2 — a2 — b2 ; dengan djalan jang sama didapat cos D 2(ab + cd) a 2 + b2 — c2 — d2 ; harga cosinusnja berlawanan, djacos B 2 (ab + cd) di sudut-sudutnja berdjumlah 180°. 225 Planimetri— 15.

TJ 0 N T 0 H

55.

Lingkaran-titiksembilan sebuah segitiga menjinggung pada lingkarandalam dan lingkaran-lingkaran-singgung segitiga itu. B u k ti

k e d u a,

(u n tu k bukti

p e r t a m a , lih a tla h gb.

212). S e b e l u m

me

m u l a i b u k t i i ni , k i t a p a n d a n g t e r l e b i h d u l u g b . 2 2 7 d a n g b . 2 2 8 .

A

Dalam gb. 227 telah dibuat garissinggung kedua dari K (ja’ni titikpotong garisbagi a dengan sisi BC) kepada lingkaran-dalam. Sekarang /_ K x = \a -f y, karena sudutluar A ACK; /_ K i3 = a + 2y, djadi /_ K 3 = p — y. PT ialah garissinggung di P (titikpertengahan BC) pada lingkaranPx = \bs PQ = R x = y, djadi /_ P2 = titiksembilan; /_ P12 = p; P — y. Djadi kedua garissinggung sedjadjar. Lihatlah sekarang gb. 228; telah diketahui bahwa: GB = GI, A G B K go A GAB (sudut-sudutnja sama.) Karena itu, maka G B 2 = G K X GA = G i2 Ketiga segmentgaris GK, GA dan GI kami projeksikan pada BC; djadi : P K X PD = P li2. Sekarang kita mulai buktinja; lihat lah gb. 229. P Ij menjinggung lingka ran-dalam, K L djuga; PLS adalah 226

.

'

ab. 228. PK x PD =

p if .

sebuah garispotong. Sekarang P IX2 = PL. PS (perhatikanlah bahwa S terletak pada lingkaran-dalam). Telah dibuktikan, bahwa P ^ 2 = PK. PD; djadi PK. PD = PL. PS. Djadi titik-titik K, D, L dan S terletak concyclis, dan ¿ S x = _/ K 3 = /_ P 2 = Z. P 3 = i'b s PFD, dari lingkaran-titik-sembilan; sebab PT menjinggung lingkaran ini. Djadi S terletak pada lingkaran-titik-sembilan; djadi lingkaran ini bersekutu titik S dengan lingkaran-dalam. Se karang masih harus dibuktikan, bahwa kedua lingkaran ini singgungmenjinggung di S; SL ialah talibusur dalam lingkaran jang satu, S L P talibusur dalam lingkaran jang lain. Kedua garissinggung di P dan di L sedjadjar; djadi jang di S sedjadjar djuga, artinja: kedua lingkaran ber sekutu garissinggungnja di S. Bukti, bahwa lingkaran-titik-sembilan djuga menjinggung tiap-tiap lingkaran-singgung, serupa dengan bukti diatas. H

Dalam gb. 230 B IX = s — b =*C )2; P ialah titik pertengahan BC, djuga titikpertengahan ; djadi P I32 = PK. PD. Sekarang K L , jang menjing gung lingkaran-dalam, djuga menjinggung lingkaran-singgung; sebab L K L ' dan BKC adalah garissinggung persekutuan dalam pada lingkaran, /

'

227

d a la m dan lingkaran-singgung; K L 2 = K L '. Tetapi P L ' djuga memotong lingkaran-singgung di S; djadi P I22 = P L '. PS; tetapi P I22 = P Ij2= P K . P D ; K D L 'S adalah segiempattalibusur; /_ Si = /_ K , = /_ K 3 = Z P2 = /_ P 3 = % bs P F D lingkaran-titik-sembilan: djadi titik S pada ling-' karan Ia terletak djuga pada lingkaran jang berpusatkan N, ja ’ni ling karan-titik-sembilan.

menjinggung d i S.

Garissinggung di L ' dan garissinggung di P pada kedua lingkaran ini sedjadjar, djadi demikian djuga kedua garissinggung dititikpersekutuan S; artinja jang tersebut terachir ini berimpit. n

I § 6 7 .

S O A L - S O A L .

1.

B uktikanlah, bahwa dalam trapezium samakaki A BCD (A B // DC) AC2 — A D 2 = AB. DC.

2.

Perlihatkanlah, bahwa dalil Ptolemaeus.

3.

D iketahui segitiga samasisi ABC. Tjarilah tem pat kedudukan titiktitik M, sehingga MA = MB + MC.

228

dalil Pythagoras adalah kechususan dari

4.

Diketahui sebuah persegipandjang ABCD; AB = a, BC = b. D jik a T sebuah titik pada busur ketjil BC lingkaran luar persegipandjang itu, m aka terdapatlah : TA fl.TD + ft.TB. TC — a.TtT— fr.TB. Buktikanlah.

5.

Luas segiempat bicyclis sama dengan V abcd. Buktikanlah. 4 6. a. (P, R) ialah lingkaran luar segitiga lantjip ABC; k, l danm ialah djarak dari P bersisi-sisi A ABC. Buktikanlah relasi-relasi : bm + cl = Ra, ck + a m = Rb, al -j- bk = Rc. C siku-siku atau tu m p u l? b. Bagaimanakah relasi-relasi ini, djika 7.

Dalam djadjarangendjang ABCD terletak titik T sehingga /_ ATB + Z CTD = 180°. Buktikanlah : AT. CT + BT. DT = AB.BC

8. a.

Pada sebuah lingkaran terletak titik-titik A, B dan T; P ialah titikpertengahan busur ATB. Buktikanlah relasi: PA2 = PT2 + TA.TB b. Bagaimanakah relasi ini djika T diganti dengan titik diametralnja (titik Tt)? c. Dalam A ABC, garisbagi y memotong lingkaranluarnja, ketjuali dititik C, djuga dititik K. D jika CK = x dan A K = y, buktikanlah relasi : cx — (a + b)y dan x2 — y2 = ab d. Njatakanlah x dan y dengan sisi-sisi A ABC.

'

9.

Sebuah lingkaran jang melalui titiksudut A djadjarangendjang ABCD, memotong AB, AC dan AD sekali lagi berturut-turut dititik-titik P, Q dan R. Buktikanlah: AQ.AC = AP.AB + A R .A D

10.

Buktikanlah dalil Ptolemaeus dengan menggunakan dalil Stewart.

11.

D jika sisi-sisi a, b, c dan d sebuah segiempat-talibusur berdjarak berturut-turut a , p, y dan S dari pusat P lingkaran-luarnja, tentu a p + b a = c 8 + d y ; a 8 + d cc = fty + c p ; c y + c a = 6 8 + d ¡3. Buktikanlah.

12.

Dari suatu segitiga samakaki diketahui letaknja titik-titik T, I dan Z. Lukislah segitiga itu. 229

13.

Pada kaki-kaki / dan m sebuah sudut A diletakkan dua titik B dan C, sehingga b. AC + c. AB = a2; a, b dan c ialah segmentgaris. Djika kedua titik B dan C berubah-ubah, buktikanlah, bahwa lingkaranIuar segitiga segitiga ABC melalui suatu titik tetap.

14.

Buktikanlah rumus-rumus : a. TI2 = 4R 2 -j- 2r2 — | E fl2 b. Zl> = *l3r * - * / 3 Rr + i/lS 2 «2

ir 15. Dalam sebuah lingkaran terlukis sebuah segiempat-talibusur ABCD; talisisi-sisinja ialah a, b, c dan d; AC = p danBD = q.Kemudian busur-talibusurnja diberi urutan sbb.: a,c, bdan d; diagonal jang menghubungkan udjung-udjung a dan c disebut r. Kemudian sisisisi diberi urutan baru lagi sbb.: a, b, d dan c. Buktikanlah: Is ABCD = ~ z. 4R 16. Bagian-bagian suatu diagonal segiempat-talibusur, jang terdjadi karena perpotongan dengan diagonal jang lain, berbanding sebagai hasilperbanjakan sisi-sisi, jang bersekutu sebuah udjung dengan bagian-bagian ini. Buktikanlah.

230

B A B XI S E G I B A N J A K - B E R A T U R A N

§ 68. Suatu segibanjak, jang titik2 sudutnja terletak pada suatu lingkar an, din aniakan segibanjak-talibusur atau segibanjakdalam ; Iingkarannja disebut lingkaranluar segibanjak itu. S u a tu segibanjak, jang sisi2nja menjinggung suatu lingkaran, dina m akan suatu segibanjak-garissinggung atau segibanjakluar ; Iingkarannja disebut litigkarandalam segibanjak tadi. DALIL

117a dan b.

D jik a n buah titik 2 membagi suatu lingkaran dalam n busur2 jang sama, maka terbentuklah suatu segibanjak-beraturan oleh : a. talibusur-, jang menghubungkan titikbagi2 jang berurutan-, b. garissinggung2 dititik-titik bagi. B

’-»i'« 117a. Karena busur2 AB, B C , .......... . sama, m aka sudut2 pusat a, p ,. . . , semuanja sama, jaitu 360°: n. Pemutaran gambar itu dengan sudut a kekanan, menjebabkan P A B berimpit dengan PBC, PBC dengan PCD, dst-nja. Semua sisi2nja sama, djuga semua sudut2nja; djadi segibanjak tsb. beraturanlah. B ukti

d a l il

DALIL

v'

•4

K L garissinggung.

t

B u k t i D A L IL

117b. Kita putarkan segi-empat P A K B dengan sudut 360°: n kekanan. A d jatuh di B, karena PA dan P B dj ari2, B di C, dst-nja. /_AV ber im pit dengan Blf B3 dengan ¿_ C2, sebab sudut2 itu siku*. Djadi segi-empat PA K B berimpit dengan PBLC, dst-nja ; K = Z L, dst-nja sebab sisi2 segibanjak tadi adalah sama. Djadi segibanjakgarissinggung tsb. beraturanlah. 117c.

D ilu a r dan didalam tiap segibanjak beraturan dapat dilukis ling karan2; ini bertitikpusat sama. 231

D

ik e t a h u i

: AB -

BC = CD =

¡ ¿ B = ^ C = ^ D =

B u k t i k a n : A da suatu lingkaran, ja n g melalui A, B, C, D , .......... ; dan lingkaran lain, jan g menjinggung A B , BC, C D ,............... B u k t i : A da lingkaran jang melalui 3 buah titik 2 sudut jang berurutan : Gb. 232: Lingkaran-singgung d a lam A, B dan C, ja itu lingkaranluar A dan lingkaran-luar. ABC; P A = PB = PC = R; kita bu k tik a n sekarang, bahwa P D = R. A PAB ^ a PBC(s,s;s); segitiga2 ini samakaki, sehingga semua sudut a sama besar. /_ B = 2a; /1 C = a + ¿_ Cj ; karena segibanjaknja beraturan, m aka B = /_C ; d j adi Z C i = «» A PCD ^ A PBC (s, sd, s), djadi PD = PC = R. D alam segitiga2 jang sama dan sebangun PAB, P B C ,........ , garis2 tinggi dari P sama; djadi P djuga titikpusat lingkaran-dalam. B ukti tentang adanja lingkaran-dalam dan -luar dapat pula diberikan dengan m udah, dengan pertolongan pemutaran terhadap P, sehingga A pindah ke B, B ke C, C ke D (karena B = C dan BC = CD), D ke E, dst-nja. D ari pem utaran ini dapat ditarik kesimpulan, bahwa P titikpusat segi-

banjak tsb. Suatu segi-tiga samakaki, jang beralas sebuah sisi segi banjakberaturan dan berpuntjak di titikpusatnja, dinamakan segitiga-titikpusat segibanjak-beraturan itu. S udutpuntjak segitiga samakaki tadi, disebut suduttitikpusat segibanjak ; djadi ini besarnja 360° : n. Garistinggi dari p u n tja k segitiga-titikpusat disebut sebuah apotema segibanjak. Pandjang nja, djadi djari2 lingkaran-dalam, dinamakan apotema segibanjak. §69. Sisi suatu segi-/z beraturan, jang dilukiskan didalam maupun diluar lingkaran (P, R ,) sudah biasa dinjatakan berturut-turut dengan sn dan Sn Akan kita njatakan sn dengan R untuk sedjumlah harga2 n. Dengan • pertolongan hubungan jang mudah, antara sn ,Sn dan R, jang akan kita turunkan (lihat dalil 120), dapatlah pula Sn untuk harga2 n ini, dinjata kan dengan R. Karena pada suatu segi-enam-beratur'an A B C D E F sudut-titikpusatnja 60°, m aka segitiga-sudutpusatnja samasisi, sehingga s6 = R. AC, sisi segitiga beraturan ACE sama dengan lipat-dua dari garis tinggi A A P B , segitiga-titikpusat segi-enam, djadi : s3 = R a/ 3 232

K ita hitung s12 dengan pertolongan dalil projeksi. D jika G dan H, berturut-turut, titik 2 tengah2 busur CD dan talibusur CD, maka s22 =

2 R 2 — 2 R V R 2 — IR°- = ' (2 — y ' 3) R 2, sehingga : S» = \ R W 6 — V2). Dari suatu segi-empat-dalam beraturan (djadi suatu budjursangkar) sudut-titikpusatnja 90°, sehingga dengan langsung didapatlah :

s4 = R V H T Dari sini kita djabarkan dengan tjara seperti pada waktu kita menentukan s12 s8 = R V 2 — V 2.

Gb. 234: S. dan S3.

Segi-sepuluh beraturan bersudut-titikpusat 36°, djadi sudut2 alas sebuah segitiga-titikpusat, keduanja 72°. D jik a A A PB (lihatlah gb. 235) suatu segitiga-titikpusat sematjam itu dan A D garisbagi Z A, maka A DAB samakaki, seperti djuga A ADP. Djika dimisalkan A B = x, maka AD = PD = B x pula; m enurut dalil 84a, diperoleh lah sekarang : Gb. 235: S 10.

(R — x) : x = x : R, sehingga x merupakan bagian terbesar dari djari2 jang dibagi mendjadi irisan mas. D jadi kita peroleh : s10 = i/? ( - 1 + V 5) Sisi segi-lima beraturan dapat kita hitung dengan pertolongan s10. D jika A PB dan BPC (lihat gb. 236) segitiga2 titikpusat suatu segi-sepuluh beraturan, m aka s6 = AC. 233

Karena Z APC = 12° = ¿_ PAB, maka PD dan AE, jaitu berturut-turut projeksi PA pada PC dan pada AB, sama. K ita peroleh seka rang : s52 = 2R 2 — 2R. A E = 2 R 2 — Rsl0 = %R2 (5 — y/ 5), sehingga : s5 = $ R V lO — 2 y ' 5.

Rumus untuk s10 dan s5 menjebabkan lukisan segi-sepuluh dan segi-lima beraturan dengan lingkaran-luar jang diketahui (lihat gb. 237), sebagai berikut ini. PC dan PB ialah djari2 lingkaran jang tegaklurus satu terhadap jang lain, dan D titik pertengahan PB. Pasangkan sekarang pada perpandjangan BD suatu bagian D E = D C, m aka P E = DC — D P = | R V 5 — } R — s10 dan CE =; V R 2 + V = \ R V 10 — 2 -y/ 5 = ss, sehingga dengan ini s5 dan 510 terdapatlah. Ternjata ada nasabah jang istim ew a: s52 = s102 + sg2 Sekarang kita buktikan : D A L I L

118.

T iap2 dua diagonal suatu segilima beraturan, jang tiada bersekutu titikudjungnja, jang satu membagi jang lain mendjadi irisan m a s ; bagian jang terbesar tiap diagonal itu sama dengan sisi segilima-nja. Bagian2 B E = d5 kita namakan k dan g (gb. 238). Sudut2 dengan sebuah titik , semuanja 36°, dan sudut2 jang bertitik dua, 72°. A A PB co A B EA , karena m em punjai sudut2 jang s a m a ; dan s6 pada segitiga jang pertama sesuai dengan s5 dan d5 = BE pada segitiga jang kedua ; djadi k : s5 = s5 : dB. Sekarang, g = s5 ; lihatlah sudut2 dengan dua titik ; djadi, k : g = g : d5. 234

Sekarang, mudah pula untuk menjatakan d5 dengan R, djari2 lingkaran-luar, karena : B

d5 x j ( - i m aka :

+ V 5) = i R V 10 — 2 V 5 ;

d5 = $ R V 10 + 2V5Dengan tjara jang sama, ternjata, bah wa BP = AP, ialah bagian terbesar s5, djika s5 ini dibagi mendjadi irisan mas maka : BP = k = R V 5 — 2 y '5D jik a pada segiempat-talibusur ABCE pergunakan dalil Ptolemaeus, maka: d5s5 ds + s52; pada gb. 238 : cf52 = gds + atau d5 (d5 — g) = g2, sehingga k : g = g irisan mas.

di = g2 : d5 ; djuga disini dapat dilihat

§70. Sekarang akan

diturunkan beberapa rumus, jang dapat diper

gunakan untuk perhitungan Sn dan sn

DALIL

119

D jik a sn dan s ^ berturut-turut sisi2 segi-n dan segi-2n beraturan, di lukiskan didalam lingkaran (P, R), maka berlakulah : s2n = • a / 2 R 2 — R V 4R z — Sn2 =

V R (R + is n) — V R ( R — *Sn). (rumus lipat-dua) s, Sa

—

R

V'

— ^2n

2

(rumus bagi-dua) B u k t i. A B =

sn dan AC = CB s2n; D ialah titikpotong antara PC dan AB. M enurut dalil-projeksi: s2n2 = AC2 = 2 R Z — 2R\/

djadi s2n = V 2R * — R V 4 R * — sn2

D jik a dari nasabah ini ditjari sn, m aka'kita dapat rumus kedua. Ini dapat pula kita peroleh dengan mudah, dengan djalan ini. D jika Ct titikdiametral C, m aka /_ Ctl = Z .Bi; sehingga segitiga2 samakaki Ct PA 235

sebangun dengan BCA. Sehingga

sn : s?n

=

V

4R 2 — s2n2 : R,

djadi

snV 4 R 2 — 52n2, dst-nja. Kesamaan jang terachir ini kita peroleh djuga, djika dalil Ptolemaeus digunakan pada segiempat-talibusur CtACB. Dapat pula diperoleh dengan m udah sekali dari: luas PACB = 2 x luas PAC.

SnR =

DALIL

120.

D jik a sn dan 5 n berturut-turut sisi2 segibanjak-n-dalam dan -luar bera turan, maka berlakulah : 2SnR 2SnR dan sn Sn = V 4 R 2 + S a2 V 4 R 2 — Sn2 B u k t i : AB = sn ; C ialah titiktengah busur AB jang terketjil dari ling

karan (P, R); potong antara garissinggung A EPF A

Gb. 240 Sn dari Sn dan sebaliknja.

E dan F ialah titik 2 PA dan PB dengan pada lingkaran di C. A PB , djadi

SQ : sn = R : V R 2 — Jsn2. Dari inilah terdapat rumusnja, se dangkan rumus kedua didapat dari AB : E F = PA : P E atau sn :

Sn

=

R : V R2+ J

S n 2.

P e r in g a t a n , Dengan menggunakan dalil ini diperolehlah jang telah dihitung dahulu (hal.233 dan 234).

harga2 sn

S3 = 2 R y / 3; S4 = 2 R; Sb = 2 R V 5 — 2^/5.

S b = 2/3 K V 3 ; S8 = 2 R W 2 - 1); S « = 2/s R V~25 — 1 0 y ' 5 ; S ia - 2 R (2— ^ 3 ) . DALIL

121.

D jik a Sn dan S2n berturut-turut sisi2 segi-n dan segi-2n-luar beraturan., maka berlakulah : 25 R

8S2nR 2 n = 4^2 __ 5 ” 2 236

/ . _ (rumus-bagi-dua)

B ukti : D jika EF sebuah sisi segi-n beraturan, jang menjinggung lingkaran-dalam (P, R) di C, dan PH garisbagi Z P dalam A PCE, m aka CH = | S ,n, sedangkan CH : H E = PC : PE atau: S2n : (Sn —

S 2n) = R : V~ R2 + £ Sn2 djadi : S2n V 4R2 + 5n2 = 2 R (Sn — S2T i). D jika dari sini S2n diselesaikan, diperolehlah rumus ke-1. D jika hendak diselesaikan Sn haruslah dikwadratkan dahulu, m aka: 4tf2S ,n2 + S2n S 2n2 = 4 R 2Sn2 — 8 R 2SnS2n + 4/?2S2n2 djadi 5 n S2„2 = 4 R 2S n — 8/?2S 2n; dan dari sini penjelesaian Sn menghasilkan rumus ke-2. Dêngan pertolongan dalil2 jang lalu dan harga2 sn jang telah dihitung, dapatlah sekarang sn dan Sn dihitung untuk tiap n jang berbentuk 2k +.1, 3.2k — 1 dan 5.2k~ d i s i n i k ialah bilangan asli. Karena pada pendapatan2nja tiada ada akar2 selain ^ akar2 pangkat dua, maka untuk harga E^--------------- jL -^~? —-_/ n ini, dengan R jang ditentukan, dapatlah sn dan Sn dilukis dengan djangka /\ . \R dan mistar. D apat djuga dilukis sebuah / \.\ / segi-15 beraturan : AÂ.;........ A15. / / \ Sebab djika didalam suatu lingkaran ' ' (P, R) dilukis segitiga samasisi A ^ A u Gf) 24l; s dari s dan sebaliknja_ dan segilima beraturan A1A4A 7A10 A13 -n n dengan titik persekutuan Av maka A6 dan.A7 djuga, A10dan Au me rupakan titik 2 sudut segi-15 beraturan AXA2 ...... A15 jang berturutturut. U ntuk menghitung s15 (dan dari sini dapat diperoleh s30, s60 dan S15 dst, S30 dst), kita perhatikan, bahwa selisih sudutpusat segilima dan segitiga beraturan sama dengan dua kali sudutpusat segi-15 beraturan. Djadi jang terachir ini ialah BPC, selisih sudut2 pusat APC dan APB pada segi-enam dan segisepuluh beraturan. D jika At titik diametral A, djadi At

P Gb. 24 2:

djadi :

M e n g h it u n g

Si5.

Z_ A BA t = Z. ACAt = 90°’ maka dengan pertolongan dalil Ptolemaeus didapatlah:

Sg. BAt — Sjq. CAt -(- s1B. 2 R, s6 V 4 R 2 — s102 — Sj0 V 4 R 2 — s / , sehingga 2R s15 = I R (V lO + 2 V 5 + v'3 — V 15).

Fasal ini kita tutup dengan penentuan luas segi-n beraturan. 237

n—

-^f

\

D A L I L

122.

Luas suatu segi-n beraturan sama dengan £ n kali hasil perbanjakan d ja ri 2 lingkaran-luarnja dan diagonal segi-n jang terketjil; djuga sama dengan setengah hasil perbanjakan apotema dengan kelilingnja. B u k t i. D jik a m isalnja A B C D E F G ........ suatu segi-n beraturan dan AC = d diagonal jang terketjil, m aka diagonal ini dibagi dua oleh BP D jik a n diM. Sekarang, luas A A B P = -\Rd, djadi luas segi-n \nRd. genap, ini dapat ditulis 'sebagai \nR s£n, jaitu \ R kali keliling segi-\n beraturan, jang dilukis dalam lingkaran itu djuga. Segibanjak ini terdiri dari £n lajang2. Djika selandjutnja p apotema suatu segi-n beraturan, m aka mis. : luas A P E F = £psn, djadi luas segi-n = \npsn, jaitu \p kali Gb. 243: Luas segi-n beraturan. keliling segi-n. Pada prakteknja lebih banjak dipakai rumus jang pertama untuk m entjari luas.

§71. 1.

SOAL-SOAL.

B uktikanlah, bahwa dua segi-n beraturan sebangun.

2.

D idalam lingkaran (P ,R ) terlukislah segi-n beraturan A ^ A g ---An. B uktikanlah, bahwa garissinggung, jang ditarik pada lingkaran tsb. ditengah-tengah busur2 A ^ , A2A3, ........ . AnAx, djuga merupa-kan garis2 sisi suatu segi-n beraturan.

3.

D jik a pada segi-n beraturan AXA2........ An diletakkan segmentgaris jang sama, jaitu A ^ , A aB2, ---- AnBn pada sinar2 A1A2, A2A3, . . . . , AnAj, m aka B1; B2, ........ , Bn pun merupakan segi-n beraturan, jang sepusat dengan segi-n jang pertama. Buktikanlah.

4.

a. b.

5. a.

b. 238

B uktikan, bahwa suatu segi-(2n+l)-l uar beraturan, djika sisi2nja sama. Berlakukah dalil ini untuk suatu segi-2n-Iuar ? B uktikan, bahwa suatu segi-(2n+l)-dalam beraturan, djika sudut2nja sama. Berlaku djugakah dalil ini untuk suatu segi-2n-dalam ?

6.

D idalam lingkaran (M, R) terlukislah suatu segi-lima beraturan. a. H itun glah pandjang garistegaklurus pada sebuah diagonar segilima tsb. dari M. b. B uktikan, bahwa pemuat2 diagonal2 segilima tsb. ialah garis2 sisi sebuah segi-lima beraturan kedua. c. H itunglah sisi segi-lima kedua ini.

7. a.

b. 8.

9.

D idalam lingkaran (P, R) terlukis segi-sepuluh beraturan. H itunglah semua diagonal2 segi-sep uluh tsb. H itunglah djuga diagonal2 segi-enambelas-dalam-beraturannja.

H itunglah pada segi-delapan beraturan A ^ . , ........A8 dengan sisi ar a. projeksi2 AXA2 dan A2A3 pada A A , b. d j arak2 dari A 2 dan A3 ke A ^ , c. diagonal A jA 4. N jatakanlah luas sebuah segi-enambelas beraturan dengan :

a. b.

djari2 lingkaran-luarnja, jaitu R, sisinja, jaitu a.

10. Sisi segi-sepuluh beraturan A ^ ........A10 ialah a. Hitunglah luas r a. em pat persegi-pandjang AjAÂgA,; b. segitiga A3A4A5; c. trapesium A2A3A5A8. 11. a. b.

Lukislah sebuah segi-lima beraturan dengan sisi jang diketahui. Lukislah sebuah segi-sepuluh beraturan dengan apotema jan g diketahui. i

12. D iketahui : titik A, garis /, dan lingkaran y- Lukislah segilima ber aturan A B C D E ; B terletak pada l dan E pada y13.

B uk tikanlah, bahwa suatu segilima beraturan, djika semua sisinja dan tiga buah sudutnja sama.

sisi-

14.

Pada busur terketjil CD dari lingkaran-luar segilima beraturan A B C D E terletaklah titik M, Buktikan nasabah2 berikut:

15.

Dari titik M didalam sebuah segi -n beraturan ditarik garis2 tegaklurus pada garis2 sisi segi-/z tsb. Buktikanlah, bahwa djumlah garis2 tegaklurus itu sama dengan n kali apotema segi-n tadi. 239

16.

B uktikan, bahwa djum lah djarak2 berarah garis / ke titik su d u t2 suatu segi-n beraturan sama dengan n kali djarak berarah l ke titik P, titikpusat segi-rz tsb.

17.

a. D jik a A B sebuah talibusur dalam lingkaran (P, R) dan C ialah projeksi B pada garissinggung pada lingkaran di A, m aka A B 2 = 2R. BC; buktikanlah ini.

18.

19.

b.

B uktikan, bahwa djum lah kwadrat2 djarak2 titik M dari ling karan (P, R) ke-titiksudut2 suatu segi-n beraturan-dalam sama dengan 2nR 2.

c.

D jik a sn sisi segi-n tsb., djum lah kwadrat2 djarak2 ke titik M tengah2 sisi2 segi-n itu sama dengan \n(8R 2 — sn2). B uktikanlah.

d.

A chirnja, buktikanlah, bahwa djum lah kwadrat2 semua segmentgaris (sisi2 dan diagonal2), jang tiap kali menghubungkan dua titiksudut segi-n beraturan, sama dengan n2R 2.

a. D idalam lingkaran (P, R) terlukis suatu segi-n beraturan. B u k ti kan, bahwa cn, busur supplementer sisi segi-n sn, sama dengan dua kali apotema. Selandjutnja buktikanlah rumus2 b e rik u t: -------- saR b. Cn — v AR2 Sn2') C. C2n = “ , d. S2n (2 R -j- Cn) = Sn C2nozn B uktikan, rumus berikut (lihat no. 18).

a. b.

c2n — V R (2R + cn) ^rumus iipat dua Von Ceulen). s2n - V R (2 R — cn).

20.

Penggunaan berulang rumus nr. 19a, diikuti dengan penggunaan rumus nr. 19b, menghasilkan suatu tjara jang lebih m udah u ntuk memperoleh sisi segibanjak-dalam beraturan dengan ban jak nja sisi jang besar, daripada menggunakan rumus-lipat-dua dalil 119. Tentukanlah s64 dan s96 dengan pertolongan rumus2 ini.

21.

Sedjumlah n titik 2 membagi suatu lingkaran mendjadi n busur jang sama; ditariklah talibusur2 jang merupakan rangkaian tertutup, jang menegang k busur (k < n, dan k dan n satu terhadap jang lain ta k habis d ib a g i); dengan begitu, terbentuklah suatu segi-n bera turan berbentuk bintang. Hitunglah sisi segilima berbentuk bintang; djuga sisi segi-delapan berbentuk bintang.

240

BAB L IN G K A R A N ,

LUAS

XII.* DAN

PANDJANG

§ 72. Lingkaran ialah garislengkung tertutup,semua titik2-nja sama djauh dari suatu titik jang sama, jang terletak pada bidang lingkaran dan dise but pusat. Lingkaran membatasi sebahagian dari bidang rata dan luas bidang ini disebut luas lingkaran. Pada perhitungan2 hanjalah dapat di pergunakan gambar2 jang bergarislurus sadja dan inilah halnja djuga dengan apa jang akan menjusul. Ini djuga berlaku untuk menentukan keliling atau pandjang lingkaran. Djadi haruslah dikatakan dahulu, apa jang dimaksudkan dengan keliling lingkaran, dan pandjang garis lengkung pada um um nja. Dim isalkan, bahwa didalam garislengkung AE terlukis garis-patah A B C D E ; am billah selandjutnja pada tiap2 busur ketjil beberapa titik dan ditariklah talibusur2; maka terdjadilah garis patah jang lebih pan djang daripada garis patah pertam a; ini diteruskan. Limitnja, jaitu lim it garis patah inilah dinamakan pandjang garis lengkung-nja. Penen tuan lim it pada lingkaran tjukup mudah, karena disini segibanjak2 ber aturan jang baru dibitjarakan, amat berguna. U n tuk menghindarkan pemakaian perkataan jang terlalu pandjang, dipakailah notasi2 berikut. Ln = luas segi-// beraturan-luar lingkaran. K n = keliling segi-« tsb. /n = luas segi-// beraturan-dalam lingkaran. kn = keliling segi-// tsb. D alil2 123a dan b dengan mudah dapat dibuktikan oleh pembatja sendiri. DALIL a~

Lign

b-

[‘¿ n

<

I_ n •

ln

j

k% n

<

/Cn*

123. ^

la > K n

^

kn.

U ntuk b u k ti2 dalil2 124a dan b dibutuhkan beberapa dalil pertolongan. D a l i l p e r t o l o n g a n , k e -1. Banjak sisi suatu segibanjak-dalam ber aturan selalu dapat dipilih demikian rupa, sehingga sisinja mendjadi lebih ketjil dan untuk n jang lebih besar, tetap lebih ketjil daripada suatu segmentgaris sebarang jang ketjil, jakni d.

B u k t i : D jika r djari2-nja, maka ada bilangan n, sehingga nd > 8r (8 r — keliling budjursangkar luar), tetapi untuk tiap2 segi-rz-dalam 241 Plam m etrr — 16

r

beraturan dengan sisi an, berlakulah nan < 8r (lihatlah c diatas i n i ) ; dengan m enghubungkan ketidak-samaan2, jaitu :n a n < 8r < n d , m aka an < d. D a l i l p e r t o l o n g a n k e -2. Banjak sisi segi-n-dalam beraturan selalu dapat d ip iliti demikian, sehingga r — mn, mn ialah apotema segitigapusat, lebih ketjil daripada suatu segment garis ketjil jang sebarang e. B ukti :

Lihatlah pada gb. 244. CD = P D — "PC = r — mn = PA — PC ; tetapi selisih dua sisi segitiga lebih ketjil dari pada sisi ketiga, djadi: PA — PC < AC = i o n, karena an < 2e, djika n tjuk up besar, (lihat dalil pertolongan 1), m aka djuga r — mn < e. DALIL

Gb. 244: CD < e.

124a.

Luas segibanjak-luar beraturan dengan banjak sisi n, 2n, 4n, ...... , 2kn merupakan suatu barisan bilangan jang turun; pada segibanjak-dalam : barisan bilangan naik, Barisan2 ini lim itnja sama untuk k --- > C O . B ukti :

djadi :

Dalil 97 menghasilkan Ln : /n = r2 : mn2 (mn = apotema). (Ln — ln) : (r 2 — mn2) = Ln : r2.

(Ln — /n) • = • ^2(Ln — /n) : an2 = L n : 4r2. Suku jang terachir ialah luas budjursangkar-luar, sehingga L n < 4r2 (sebab n ditingkatkan, djadi bolehlah dimisalkan, bahwa n > 4), djadi, pada perbandingannja suku pertama lebih ketjil dari pada suku kedua, ja itu L n — /n < an2. Dengan melipat-dua n berulang-ulang, Ln mendjadi m akin ketjil dan /n makin besar, sedangkan (lihat dalil pertolongan 1), selisihnja lama-kelamaan mendjadi lebih ketjil dari pada luas suatu budjursangkar dengan sisi d; berapa djuga ketjil dipilihnja d. Maka dari itu dengan meningkatkan k, L2ka dan L 2/cn mendekati lim it L jang sama. L im it L, jaitu lim it persekutuan luas2 segibanjak2-dalam beraturan dan segibanjakz-luar beraturan dinamakan luas lingkaran. D jik a r dan r' djari2 dua buah lingkaran, Ln dan L 'n luas segi-rz-luarnja, m aka karena dalil 97 L n : L 'n = r2 : r '2-, pada peralihan ke lim it2 L dan L ' ; perbandingan ini tetap. Djadi L : L ' = r 2 : r'2, djadi L : r2 = L ' : r '2 ~ L " : r " 2 — 242

A rtinja : perbandingan luas lingkaran dan kwadrat djari2~nja sama untuk tiap" lingkaran. DALIL

124b.

Keliling segibanjak-luar-beraluran dengan n, 2n, 4n, . . . . . . 2 n sisi-, merupakan suatu barisan bilangan jang turun, keliling segibanjak-da amberaturan dengan n, 2n, 4 n , ........ . 2kn sisi2 merupakan suatu barisan bi langan jang naik. Barisan 2 ini limitnja sama untuk k

►0/0•

K n ' k n = r : mn, d ja d i

B u k ti :

(K n — kn) : (r — mn) = Kn : r dan (K n — kn) : 8(r — mn) = K n : 8r. 8r ia la h k e lilin g budjursan gk ar- lu ar; d ja d i K n < 8r, m a k a K n — *n <

8(r — mn); r — mn, d ja d i

lo n g a n

ke-2,

d ju g a

8(r — ma)

la m a - k e la m a a n m e n d ja d i lebih

a i Per

m e n u ru t

iaP

ke tjil daripa a

to n g a n g a ris e, b e ra p a k e tjil d ju g a e d ip ilih . K arena se arang s e g ib a n ja k 2 lu a r

m e ru pak an

barisan tu r u n ,

la m m e r u p a k a n b a ris a n n a ik d an selisihnja lam a-kelam aan d ari t ia p b ila n g a n k e tjil ja n g sebarang, m a k a keliling ini lim it s a m a . L im it ini dinamakan pandjang lingkaran { e i i n g

sesuai dengan keliling segibanjak).

ei

keliling2 segi e i

i g

.

T eranglah, bahw a keliling dua buah segibanja - uar^ . dengan b a n ja k n ja sisi ja n g sama, berbanding sebagai jari i

.

2

d a la m n ja , ja it u r dan r' djad i djuga lim it2-nja: K dan

“

uT . r -

K ' : r; - K " : r

-

........ ; jaitu:

p e rb a n

pandjang lingkaran dan djari2-nja, tetap. Luas2 segi2-2n-dalam beratur an dapat dinjatakan dengan : n. \anr dan lim itn ja ialah L.

Keliling2 segi2-/i-dalam beraturan dapat dinjatakan dengan nan, dan limitnja ialah K; n. $anr = L, dja di menghasilkan : \Kr = L-

Telah kita lihat, bahwa L = fr2 dan K - f'n f dan / ialah‘ Pe^ bandingan2 tetap jang telah dibitjarakan diatas, su s i usi djang L menghasilkan ¿ ' r r = / f , djadi f' = 2/. Djad, dj.ka pan d an g lingkaran dinjatakan dengan garistengahnja d, maka er apa

luas = fr2, dan K = keliling — fd. M enurut pembitjaraan (lihat dalil 124 b), bilangan / a didekati, djika keliling2 segibanjak2-daiam dan -luar, dinja a an g aristengahnja;

243

segi-6 segi-12 segi-24 segi-48 segi-96 segi-192 segi-384 segi-768

Luar 3,464 102 3,215 390 3,159 659 3,146 086 3,142 714 3,141 873 3,141 663 3,141610

Dalam 3 3,105 828 3,132 629 3,139 349 3,141031 3,141452 3,141 558 3,141584

Pada pengerdjaan landjut, kedua barisan mengapit bilangan /. Biasanja perbandingan pandjang dan garistengah suatu lingkaran (jang sementara telah dinjatakan dengan /) dinjatakan dengan huruf Ju n a n i tc. Bilangan tt, ia la h : 3,1415926535........ ; dib ulatk an: 3,1416; 1 - = 0,31831. 7T DALIL

125 a, b

Luas lingkaran dengan djari 2 r sama dengan sama dengan 2 n r .

k

r2; pandjang lingkaran

Sudah kurang lebih 250 tahun sebelum Masehi, Archimedes. men u nd juk kan dengan pertolongan segi-96-dalam dan -luar beraturan bahwa tc harus terletak antara 3 y- dan 3yj• Biasanja 3 y disebut per bandingan Archimedes; djadi perbandingan ini ketelitiannja sampai 2 desimal. Dalam th. 1585, Metius memberi pendekatan fff untuk t c , jang m em punjai ketelitian sampai 6 desimal; tetapi dalam th-1579 Vieta dengan pertolongan segi-3.217 = 393216-dalam dan -luar ber aturan, m endapat pendekatan jang m em punjai ketelitian sampai 9 desimal. Dalam abad2 ke 17, ke 18 dan ke 19, beberapa ahli2 berhitung telah m enghitung tc dengan lebih banjak desimal ¡ sebagai hasil jang gemilang dalam 1949 di Amerika, sebuah mesin telah menghitung dalam 96 djam sampai dengan 2040 desimal (lihat m adjallah Euclides Jg. X X V , hal. 159; disitu terdapat tc dalam 808 desimal). Tentu sadja hasil2 terachir ini tiada kepentingannja sedikitpun jang praktis; mereka hanja m enundjukkan untungnja pemakaian tjara mo dern dari pada tjara2 jang lama. • 244

§ 73. Ja n g dinam akan pandjang busurlingkaran ialah pandjang, jang berbanding dengan pandjang lingkaran sebagai sudut pusat jang beserta busur tsb. dengan sudut-penuhnja. Dari ketentuan i n i : DALIL

126«

Pandjang busur a° dari lingkaran a 2tcr. dengan djari2r, sama dengan Rumus untuk pandjang mendjadi mudah djika dipilih sebagai satu an s u d u t: ra d ia l ; suatu radial atau sudut-djari- ialah sudut pusat pada busur, jang pandjangnja sama de ngan djari2 lingkaran, lihat gb. 245. D jadi, pandjang busur sematjam itu ialah r, sehingga : DALIL

Pandjang busur dari p radial dengan pr.

126&

dari lingkaran dengan djari 2 r, sama

Karena pandjang busur dari 360° sama dengan 2nr, maka 360° = radial. 1OA D jadi : 1 radial = --- deradjat = 57°17'45". 7t Tidaklah m ungkin melukis sudut sebesar 1 radial dengan djangka dan mistar; lukisan-pendekatan terdapat pada § 75, nr. 3. M enghitung atau melukis suatu potongan garis, jang pandjangnja sama dengan pandjang busur jang diketahui, dinamakan rektifikasi (penentuan pandjang) busur tsb. Pada busur lingkaran, perhitungan pandjang m udah sadja, djika diketahui sudut pusatnja dan djari2 ling karan tem pat asalnja ; lukisan suatu segmentgaris jang sama pandjang dengan pandjang busur tsb. tidak dapat dikerdjakan dengan djangka dan mistar. D jadi haruslah kita puas dengan lukisan-pendekatan, jang harus mem enuhi dua sjarat, jaitu : 1. Lukisan harus sederhana, jang berarti: terdiri dari s e d ik it peketdjaan dengan djangka dan (atau) mistar. 245

2.

Kesalahan pendekatan tidak boleh lebih besar dari kesalahan jang rata-rata diperbuat pada lukisannja sendiri, jang disebabkan ketidak-telitian alat2 gambar dan pengamatan pantja-indera. S uatu lukisan pendekatan segmentgaris jang pandjangnja tcr de ngan diketahuinja r, jang sederhana dan djuga tjukup teliti, ialah lukisan Kochansky jang b e rik u t: A B = 2r ialah garis-tengah sete ngah lingkaran dan P pusatnja. Ta riklah garis2 tegaklurus pada AB di A dan di B, dan tentukanlah pada sebelah A B titik 2 C dan D, sehingga AC = 3r dan ¿_ P = 30°. Tariklah selandjutnja D E // BA, m aka D E = 2r dan A E = B D = \r \A37sehingga CD 2 =

4r2 + (3 — | V 3 )2r2 =

Gb. 246: C D

=

7C r.

(13 5/3 — 2 V 3) r2, m a k a : CD = r V 131/3 r V 9’869 232 T 3,14153 r71 = 3,14159, sehingga selisihnja hanja 0,00006 r, jang berarti, bahwa pada lingkaran dengan djari2 1 m, kesalahannja kurang lebih hanja 0,06 m m ; ini sudah pasti lebih ketjil dari pada kesalahan jang diperbuat pada lukisannja sendiri. U n tu k melukis suatu segmentgaris, jang dengan pendekatan sama pandjang dengan busur sebarang dari suatu lingkaran, m aka kita bekerdja sebagai berikut; lihat gb. 247; pada gb. ini AB busur jang tidak terlalu besar dari lingkaran (P,r). Tentukan pada perpandjangan A P titik M, sehingga PM = 2r dan tariklah garissinggung pada lingkaran di A. D jik a C titikpotong garissinggung itu dengan MB, m aka dengan

ic m i

jjc u iu jd iig

o ain o .

u v iû »

1-

‘- ' i

r

cm.

kesalahannja kurang dari 0,1 mm. §

74.

Ja n g dim aksud dengan lu a s s u a tu sektor lin g k a r a n , ialah luas, jang berbanding dengan luas lingkaran sebagai sudutpusat sektor dengan sudut penuh. 246

Dari definisi ini didapatlah dengan mudah : DALIL

127a.

Luas sektor lingkaran sama dengan setengah hasil perbanjakan djari2 dengan pandjang busur. B B u k t i . D jik a sudut pusat sektor-lingkaran (M, f) ialah a° dan b pandjang busur, maka m enurut ketentuan jang dik e tahu i:

luas sektor -

r2

a. Gb. 248: Luas sektor = */2 rt>-

360

a a Djadi : luas sektor = . -r r2 = br.-^z. 2 tt r = irb. J 360 “ 360 D jadi, kalau sektornja bersudutpusat a radial, maka : luas sektor a sehingga : Tir7Z DALIL

1276.

P ad a sebuah lingkaran dengan djari2 R, luas suatu sektor dengan sudut pusat sebesar a radial, sama-dengan laR '1. Luas suatu segmentlingkaran didapat djika busur segment tsb. lebih ketjil dari 180° (lihat gb. 249 a), sebagai selisih luas sektor-lingkaran dan segitiga. D jik a busur segment jaitu a, lebih besar dari 180°, maka luas sektor harus did ju m lahk an dengan luas segitiga. Djika r djari2 lingkaran,

A\ Gb. 249a: Luas segment.

/B

Gb. 249b: Luas segment.

m a k a luas segment dalam kedua hal ternjata sama dengan : 360' nrZ ~ ^r2sin a' D jik a busur segment sebesar a radial, maka rumus ini mendjadi \r2(a — sin a). 247

M enghitung sisi atau melukis budjursangkar, jang luasnja sama dengan luas lingkaran jang diketahui, dinamakan kwadratur lingkaran

tsb. Perhitungannja tjuk u p mudah; tetapi lukisannja tidak dapat dilak sanakan dengan pertolongan djangka dan mistar, sehingga seperti pada rektifikasi lingkaran, lagi kita harus puas dengan lukisan pendekatan. Sudah barang tentu ini dapat dirangkaikan kepada lukisan gb. 246. Sebab, djika L luasnja dan k pandjang lingkaran (P, r). karena z / = n r2 dan k = 2 tz r, m aka L = \rk. Djadi djika sisi budjursangkar jang ditjari ialah x, m aka ini dapat langsung diperoleh dari : x = V \rk. Sebagai tjontoh kita berikan lukisan jang berikut. Tariklah pada lingkaran (P, r) (lihat gb. 250) garistengah MQ ; pasanglah pada garis tegaklurus pada MQ di P potongan PA =

-f r.

Pasanglah selandjutnja pada sinar PQ potongan P B = ~ r, m aka keliling A P A B sama dengan: y r (3 + V '5 ) = 6,283 282 r, djadi kurang lebih 2nr, dengan kesalahan 0,000 10 r (terlalu besar). Djadi djika pada perpandjangan BP diambil potongan PC = PA dan pada perpandjangan PB potongan BD == BA, maka CD = l = 2k R. Tentukanlah titik pertengahan CD, jaitu S; pasanglah SE = r pada SD dan buatlah setengah lingkaran dengan CE sebagai garistengah. D jik a setengah lingkaran ini memotong garis tegaklurus pada MQ, di F, m aka

SF = x = V \rky sehingga luas budjursangkar dengan SF sebagai sisi dengan pendekatan sama dengan luas lingkaran (P, r). Karena disini x2 = \rk = 3,141 64 r2, budjursangkarnja kurang lebih terlalu besar 0,000 05 r2. ~ 248

SOAL-SOAL § 75. 1.

Lukislah lingkaran, jang kelilingnja sama dengan djumlah keliling2 tiga buah lingkaran jang diketahui.

2.

H itunglah djari2 lingkaran, jang pandjang busurnja, pada sebuah sisi segi-sepuluh-dalam beraturan sama dengan keliling suatu segi-lima beraturan, jang terlukis didalam lingkaran (P, R). Pada soal2 3, 4, 5 dan 6 diberikan pendekatan2, hitunglah kesalahannja; „kesalahan” berarti simpangan terbesar.

3.

Pada garissinggung dititik A pada lingkaran (P, R) dipasanglah berturut-turut A B = 3R dan BC = 2R. Pada garis tegaklurus pada AC di B diam billah BD = AB, setelah itu pada AP potongan A E = A D dan achirnja pada CA potongan CF = CE. Buktikanlah, bahwa sekarang Z A P F kurang lebih sama dengan 1 radial. Hi tunglah tg Z A PF.

4.

T ariklah garistengah AB dan djari2 PC, jang membentuk sudut 30° dengan PA. Tentukanlah projeksi C pada AB, jaitu D; tariklah garissinggung di B pada lingkaran dan pasanglah padanja: BE = 6r; m aka D E kurang lebih sama dengan 2-rzr.

5.

Tariklah garistengah AB dan pasanglah pada garissinggung di B potongan BC = BA. CP memotong lingkaran untuk pertama kali di D; pasanglah CE = CD pada CB dan perpandjangkanlah BC dengan CF = j- BC. Tariklah FG // EA (G pada BA), maka BG = 2 n r (Vieta).

6. T ariklah garistengah AB dan tariklah garis tegaklurus di A : AC = 4 r. Tentukanlah pada BC sebuah titik D, sehingga BD = r dan projeksi-kan D pada AB; E projeksi D pada AB. Tariklah DF // CE (F pada A B ) dan perpandjangkanlah AB dengan BG = 4r dan GH = FB; m aka A H ~ 2tc r (Jacob de Gelder). 7.

Lukislah suatu lingkaran, jang luasnja sama dengan djumlah luas 3 buah lingkaran jang diketahui.

8.

H itun glah djari2 suatu lingkaran, jang luasnja sama dengan luas segi-delapan beraturan, jang dilukis didalam lingkaran (P, R). 249

9.

H itunglah luas sektor-lingkaran jang bersudut-titikpusat 45°, dan ja n g kelilingnja sama dengan keliling suatu budjursangkar, jang dilukis didalaiu lingkaran (P, R).

10.

H itunglah luas suatu segment-lingkaran lingkaran (P, R), sud ut- titik pusatn ja: a. 60°; b. 90°; c. 45°; d. 36°; e. 72°.

11.

Bagilah suatu lingkaran (P, R) dengan dua buah lingkaran jang konsentris dengan (P, R) m endjadi tiga bagian jang sama luasnja.

12.

D idalam lingkaran (P, R) dilukis suatu segi-delapan beraturan, dan didalam .segi-delapan ini suatu lingkaran (P, R J lagi, didalam (P, R x) suatu segi-delapan beraturan lagi, dan didalam segi-delapan jang terachir ini suatu lingkaran (P, R 2) dst. Tentukanlah djum lah luas semua lingkaran2 itu djika dimisalkan, bahwa pekerdjaan itu di langsungkan sampai tak terhingga.

13.

D ua buah lingkaran berpotongan di titik 2 A dan B ;pusat2nja ter letak disebelah menjebelah AB; AB = a. D jika AB didalam ling karan jang satu ialah sisi segitiga-dalam beraturan, dan didalam lingkaran jang lain ialah sisi segi-sepuluh-dalam beraturan, m aka tentukanlah luas bangun persekutuan kedua buah lingkaran tsb.

14.

D iketahui dua buah titik M dan N; MN = R. Lingkaran2 (M, R) dan (N, R ) berpotongan di A dan B. Dari tiap lingkaran2 (A, 2R) dan (B, 2R ) digambarlah busur sebesar 60°, jang titik 2 udjungnja terletak pada kedua buah lingkaran jang pertama. H itunglah luas bangun jan g berbentuk bulat pandjang, jang terbentuk dengan djalan itu.

15.

Lingkaran2 (M,R ) dan (N, R) bersinggungan-luar, sedangkan ling karan2 (M, 2 R) dan (N, 2 R) berpotongan di A dan B. Dari tiap lingkaran2 (A, 3R ) dan (B, 3 R) digambarlah suatu busur sebesar 60°, jang titik 2 udjungnja terletak pada dua lingkaran jang pertama. H itunglah luas bangun jang berbentuk bulat pandjang, jang ter bentuk dengan djalan itu.

djika

16. M ialah titik pertengahan segmentgaris* AB, C terletak pada MA dan D pada MB, sehingga CM = MD. Pada satu fihak A B dilukislah setengah-Ungkaran2 a, p dan y, jang berturut-turut bergaristengah A B, AC dan D B, dan pada fihak jang lain setengah-lingkaran S dengan garistengah CD. Garis tegaklurus pada AB di M memotong 250

a di E dan S di F. Buktikanlah sekarang, bahwa luas bagian bidang ja n g dibatasi oleh keempat setengah-lingkaran2 tsb. sama dengan luas lingkaran dengan E F sebagai garis-tengah. 17.

B uk tik a n , bahw a luas bagian bidang, jang dibatasi oleh dua buah lingkaran jang konsentris, sama dengan luas lingkaran, jang bergaristengah talibusur lingkaran jang terbesar, jang menjinggung lingkaran jang terketjil.

18. a.

b.

Dengan BC, CA dan AB, jaitu sisi2 suatu segitiga siku2 (Z. C — 90°) sebagai garistengah, dilukislah lingkaran2 a, p . dan y. Buk tikanlah, bahwa djumlah luas bagian2 lingkaran2 a dan p, jg. terletak diluar lingkaran y, sama dengan luas A ABC (bulan2 Hippocrates). B uktikanlah pula, bahwa luas bagian y, jang terletak diluar a dan p, dikurangi dengan luas bagian persekutuan a dan p, sama dengan luas A ABC.

19. a.

b.

20. o.

b.

D idalam lingkaran a = (P, R) ditariklah garistengah AB dan suatu talibusur K L // AB dan sama dengan sisi budjursangkardalam lingkaran a. Seland ju tn ja , dilukislah lingkaran p, ja n g berg;aris-tengah KL. B uktikanlah, bahwa luas ba gian p, jang terletak diluar a, sama dengan luas KLP. B uktikan pula, bahwa djum lah luas bagian2 a, jang ter letak sefihak dengan p te.rhadap A B, tetapi selandjutnja terletak diluar p, sama dengan luas A KLP. t titiktinggi suatu segitiga lantjip ABC; (P, r) lingkaran-luarnja. Lingkaran2 (A, r), (B, r) dan (C, r) potong-memotong, ketjuali di P, masih lagi di titik2 D, E dan F. Buktikan, bahwa D, E dan F terletak pada lingkaran (T, r). Buktikanlah, bahwa luas bagian jang ber-garis2 pada gb. 251 sama dengan dua-kali luas A ABC.

251

ULANGAN

K ETIGA

§ 76. 1. A PB ialah garistengah tetap didalam lingkaran (P, r) dan C PD garistengah berubah-ubah. D dihubungkan dengan M, titiktengah AC, dan ditariklah garis AN tegaklurus pada DM. Diminta: tempat kedudukan titiktengah2 DM dan djuga tempat kedudukan N. 2. A D, B E dan CF ialah garistinggi2 A ABC, M dan N ialah projeksi2 F pada BC dan AC. Buktikanlah, bahwa titiktinggi T terletak pada satu garis dengan K, jaitu titikpotong AB dan MN, dan L, titikpotong D E dengan garis jang melalui C dan sedjadjar dengan AB. 3.

Lukislah suatu segitiga, djika diketahui alas AB, sudutpuntjak y, dan CD, jaitu garisbagi sudutpuntjak.

4. T ialah titiktinggi didalam segitiga Iantjip ABC. Di M, tengah2 AB, ditariklah garis tegaklurus MC', jang pandjangnja sama dengan CT; T dan C' terletak pada fihak jang berlainan terhadap AB. Dengan tjara jang sesuai, ditariklah ditengah-tengah BC dan AC, jaitu N dan O, garis2 tegaklurus N A ' dan O B ', berturut-turut dengan pandjang AT dan BT. Buktikanlah, bahwa A A ', B B ' dan CC' melalui satu titik S. D jika A dan B titik 2 tetap, dan /_ C tetap, tentukanlah tempat kedudukan S. 5. D jika pada suatu segi-enam-talibusur dengan diagonal2 A D, B E dan CF melalui satu titik, m aka AB. CD. E F = BC. D E. FA. B uktikan lah. 6.

Hitunglah sisi segi-40 beraturan, dilukis didalam lingkaran (P, R ).

7. D ua buah transversal, jaitu t dan t', memotong garis2 sisi A ABC, jaitu BC, CA dan AB, berturut-turut di K dan K ', M dan M', N dan N'. Garis2 MN', N K ' dan K M ' memotong garis2 sisi BC, CA dan A B berturut-turut di D, E dan F. Buktikanlah, bahwa titik 2 jang terachir ini kolineair. 8. Dari D, tengah2 BC, alas segitiga samakaki ABC, ditariklah garis D E tegaklurus pada AB; AC memotong garis tegaklurus ini di F. Dari F ditariklah garissinggung pada lingkaran-luar A ABC. D jika K titiksinggung garissinggung itu, m aka buktikanlah, bahwa A D F K samakaki. 252

9.

a.

b.

c.

Pada sisi2 suatu parallelogram ABCD dilukislah keluar: segitiga2 siku2 samakaki APB, BQC, C RD dan DSA. Buktikanlah, bahwa P, Q, R dan S merupakan titik2 sudut suatu budjursangkar. Dilukislah pula kedalam segitiga2 siku2 samakaki A P 'B , BQ'C, C R 'D dan D S'A. Buktikan, bahwa djuga P 'Q 'R 'S ' suatu budjursangkar. Buktikan, bahwa djumlah luas kedua buah budjursangkar itu sama dengan djumlah luas kedelapan buah segitiga2 samakaki.

10. Z ialah titikberat A ABC, Z' titikberat A AZC; CZ' memotong A B di D. a. Tentukanlah perbandingan AD : BD. b. D jik a titiksudut C bergerak sepandjang busur ACB dari lingkaran-luar A ABC, maka tentukanlah tempat kedudukan Z'. 11.

Dari A ABC, (P, R) ialah lingkaran-luarnja, sedang (I, r) lingkarandalam nja. D jika kuasa I terhadap kepada lingkaran (P, R), a kuasa A terhadap kepada lingkaran BIC, ¡B kuasa B terhadap kepada lingkaran CIA dan y kuasa C terhadap kepada lingkaran AIB, m aka buktikanlah nasabah :

12. N jatakanlah kuasa Z, jaitu titikberat A ABC, terhadap kepada lingkaran-dalam (I, r), dengan sisi2 segitiga itu, jaitu a, b dan c. 13.

I, Ia, lb dan Ic ialah pusat2 lingkaran2-dalain dan -singgung ABC. Buktikan : a. bahwa lingkaran2-luar segitiga2 Ialblc, Iblcl> Iah>I dan IcIaI berdjari-djari sama ; b. bahwa P, Pa, Pb dan P c, pusat2 keempat buah lingkaranMuar ini berturut-turut titik 2-bajangan-tjermin titik 2 I, Ia, Ib dan Ic terhadap kepada O, pusat lingkaran-luar A ABC.

14.

Pada suatu segitiga samakaki ABC, AB = BC = a dan AC = b; selandjutnja T titiktinggi, Z titikberat dan I dan O berturut-turut pusat2 lingkaran-dalam dan lingkaran-luar. a. N jatakanlah 01 : IT dengan a dan b ; b. D jik a a = 2b, maka buktikanlah, bahwa OZ = ZI = IT dan njatakanlah OZ dengan b. 253

15.

a. D idalam lingkaran (P, r) diketahui sebuah titik S. Melalui S ditariklah talibusur2 A B dan CD, jang sama pandjang dan tegaklurus satu terhadap jang lain. Lukislah suatu budjursangkar E F G H , sehingga E terletak pada AS, F pada CS dan G dan H pada busur jang terketjil dari kedua busur AC. b. D jik a luas budjursangkar tadi 2/5 luas suatu budjursangkar jang dilukis didalam lingkaran (P, r), m aka njatakanlah A D dengan r.

16.

a. . Pada A ABC a > b > c; tentukanlah tempat kedudukan titik 2, jang djaraknja sampai garissisi BC sama dengan djum lah djarak2nja sampai garis2-sisi CA dan AB. b. Tentukan djuga tempat kedudukan titik 2, jang djaraknja sam pai garissisi CA sama dengan djum lah djarak2-nja sampai garis2 sisi A B dan BC. c. Achirnja, tentukanlah tempat kedudukan titik 2, jang d jarak nja sampai garissisi AB sama dengan djum lah djarak2-nja sam pai garis2-sisi BC dan CA.

17.

Dari A ABC, (1, r) ialah lingkaran-dalainnja, dan (Ia, ra), (Ib, rb) dan (Ic, r c) ketiga buah lingkaran-singgungnja; P titiktengah A B. Garis2 PI, P ia> p ib dan P IC memotong garistinggi CD (D pada A B) berturut-turut di titik 2 E, E a, E„ dan E c. B uktikanlah, bahwa CE == r, CEa = ra, CEb = rb dan C E c = rc.

18.

AB ialah garistengah lingkaran (P, r); M sebuah titik didalam lin g karan. Dim inta : menentukan pada A B sebuah titik X dan pada lingkaran itu sebuah titik Y, sehingga X Y _|_ AB dan M X = X Y .

19.

Dari tiga buah lingkaran (Mj), (M J dan (M3), (Mx) dan (M2) ber potongan di A dan B, sedangkan (M2) dan (M3) berpotongan di C dan D. Garis A D memotong (Mx) lagi di A ' dan (M3) di D ', sedangkan garis BC masih memotong lingkaran (Mx) di B ' dan (M3) di C'. D im inta membuktikan : a. A ', B ', C', D ' terletak pada sebuah lingkaran (M4); b. keempat buah pusat lingkaran2 itu ialah titiksudut2 suatu djadjarangendjang.

20.

Lukislah pada lingkaran-luar suatu A ABC jang diketahui suatu titik M, jang untuknja berlaku : MA2 + 2MB2 = 3MC2.

21. AD, D E dan CF ialah garis2 tinggi dalam A ABC. Sekarang d jik a M itu projeksi B pada D E dan N projeksi F pada BC, m aka b u k ti kanlah, bahwa MN sedjadjar dengan AC. 254

l

22.

Dari A ABC, (P, R) ialah lingkaran-luar, (1, r) lingkaran-dalam dan T titiktinggi. Djika y == 60°, maka buktikanlah, b ah w a:] a. titik 2 A, B, P, I dan T terletak pada sebuah lingkaran ; b. PT = | a — b |.

23.

Dalam lingkaran (M, r) dilukiskan suatu segi-empat ABCD, jang diagonal-diagonalnja berpotongan tegaklurus disuatu titik O. Garis tegaklurus dari O pada AB memotong AB di E dan CD di R, dan garis tegaklurus dari O pada BC memotong BC di F dan DA di S, dan garis tegaklurus dari O pada CD memotong CD di G dan AB di P, sedangkan garis tegaklurus dari O pada DA di H dan BC di Q. Buktikanlah hal2 berikut i n i : a. P, Q, R dan S ialah titik2 pertengahan AB, BC, CD dan DA ; b. PQ RS suatu empat-persegi-pandjang ; c. tengah2 OM ialah pusat lingkaran-luar PQRS, jaitu y. d. lingkaran y djuga merupakan lingkaran-luar segi-empat EFGH; e. segi-empat EFG H bisiklis. (Suatu segi-empat disebut bisiklis, djika segi-empat itu berlingkaranluar dan berlingkaran-dalam).

24.

Pada lingkaran (P, r) diketahui titik2 A dan B dan pada perpandj angan AB, titik D. Dari D ditariklah garissinggung (titiksinggungnja C) pada lingkaran tadi; projeksi2 D pada garis AC dan BC, ialah E dan F. D jika PC dipotong oleh D E di M dan oleh D F di N, maka dim inta membuktikan, bah w a: a. AN J_ AB dan BM_|_ AB ; b. MP = PN.

25.

Diketahui dua buah titik A dan B dan garis m, jang memotong tegaklurus AB disuatu titik O, jang terletak pada perpandjangan BA. Melalui suatu titik P pada m dan titik2 A dan B. dilukislah ling karan, dan kemudian ditentukan suatu titik Q pada y, sehingga PB = PQ. Tentukanlah tempat kedudukan Q, djika P bergerak sepandjang garis m.

26.

Lukislah A ABC, djika daripadanja diketahui R, r dan ra, jaitu djari2 lingkaran-luar dan lingkaran-dalam dan lingkaran-singgung jang menjinggung BC = a.

27.

Pada BC, CA dan AB, sisi2 A ABC, dipilihlah b e r tu r u t- tu r u t t it ik 2 D, E dan F, sehingga (BCD) = (CAE) =» (ABF) = n (n < 0).

a. b.

Buktikanlah, bahwa segitiga2 ABC dan D E F titikberatnja sama • Tentukanlah tempat kedudukan titik 2 tengah2 DF, djika n berubah, tetapi tetap negatip. 255

28. Dalam A ABC, Z ialah titikberat, (I, r) lingkaran-dalam dan (Ia, ra) lingkaran-singgung pada sisi BC. a. Nasabah apakah jang terdapat antara sisi2-nja, djika IZ // BC? b. Buktikan, bahwa IaZ tidak mungkin sedjadjar dengan AB. 29. Didalam segitiga siku2 ABC (a = 90°), I ialah pusat lingkarandalam. Buktikan, bahwa Al. BI. Cl = a (a — b) (a — c). 30. Diketahui suatu empat-persegi-pandjang ABCD jang bentuk dan besarnja tetap, dan selandjutnja tiga buah lingkaran kesentris a, p dan y (pusat : P). Djika sekarang A berpindah sepandjang a, B sepandjang ¡3 dan C sepandjang y, maka buktikanlah, bahwa lintasan D ialah suatu lingkaran S, jang djuga berpusat P. 31.

Dalam A ABC, d a dan d p ialah garisbagi sudut2 a dan p. Djika diketahui, bahwa d a : d [3 = b : a, maka buktikanlah dengan dua djalan, bahwa A ABC samakaki, atau, bahwa y = 60°.

32. Melalui P, jaitu salah satu dari titikpotong2 antara lingkaran2 M dan N, ditariklah dua buah garis jang tegaklurus satu terhadap jang lain, jang memotong MN berturut-turut dititik A dan B, memotong lingkaran M di C dan D, dan memotong lingkaran N di E dan F. Buktikanlah, bahwa AC : AE = BD : BF. 33.

Pada A ABC, D, E dan F ialah titik2 tengah sisi2 BC, CA dan AB. T ialah titiktinggi dan K,_L dan M berturut-turut titiktengah2 TD, TE dan TF. Buktikanlah, bahwa garis2 AK, BL dan CM melalui satu titik.

34. Suatu segi-empat-garissinggung ABCD menjinggung lingkarandalamnja dititik-titik E, F, G dan H berturut-turut pada AB, BC, CD dan DA. Buktikanlah, bahwa : a. diagonal2 AC dan BD dan garis EG dan FH melalui satu titik; b. diagonal BD dan garis2 A F dan CE melalui satu titik. 35. Diketahui dua buah lingkaran (M, R) dan (N, r), jang bersinggungan di A. Melalui A ditariklah dua buah garis jang tegaklurus sesamanja, jaitu BC dan DE; B dan D pada lingkaran jang pertama, sedang C dan E pada lingkaran jang kedua. Buktikanlah, bahwa BC2 + D E 2 = 4M N2. •6. Tentukanlah titik M didalam suatu segitiga lantjip, sehingga garis2 bagi sudut2 BMC, CMA dan AMB berturut-turut sedjadjar dengan garis2 bagi sudut2 segitiga tsb. jaitu a, p dan y 56

37.

Dari suatu titik P ditariklah 3 buah sinar a, b dan c ; pada a terletak titik 2 A dan B, pada c titik 2 C dan D; dari titik 2 ini, A ', B', C' dan D ' ialah projeksi2nja pada b; Q ialah titikpotong A D ' dan BC', R titikpotong C B ' dan D A '. Buktikanlah, bahwa Q R J_ b.

38.

D idalam trapesium berpotongan di E. CD di F dan A B di punjai keliling jang

39.

Diketahui lingkaran2 (M, R) dan (N, r) dengan MN = d > R -f r. Kedua buah garissinggung-dalam persekutuannja dan salah satu dari garissinggung-luar persekutuannja membentuk suatu segitiga. N jatakanlah luas segitiga itu dengan R, r dan d, dan periksalah pendapatannja untuk hal, bahwa garis2 singgung-dalamnja tegaklurus satu terhadap jang lain.

40.

D im inta melukis suatu trapesium ABCD (A D // BC), dengan diketahui diagonal2 AC dan BD dan sudut2 A dan D.

41.

Diketahui dua buah lingkaran konsentris (P, R) dan (P, r), (R > r) dan sebuah titik tetap O didalam lingkaran jang terketjil. Suatu sudut siku2 dengan O sebagai titiksudut, kakinja jang satu memo tong lingkaran jang terbesar di A dan kaki jang lain memotong lingkaran jang terketjil di B. Tentukanlah tem pat kedudukan titik pertengahan AB, jaitu N, djika sudut siku2 itu berputar ter hadap O.

42.

Lukislah diluar lingkaran (P, R) suatu segi-enam, jang sudut2nja berganti-ganti : 90° dan 150°. a. Buktikanlah, bahwa sisi2 segi-enam tsb. sama semuanja. b. Hitunglah sisi2 dan luas segi-enam tadi. c. H itunglah diagonal2 segi-enam tsb.

43.

Pada A ABC, a = 90°; D ialah projeksi A pada BC. Lingkaran2 (I, r), (Ix, r j dan (Is, r2) ialah berturut-turut lingkaran2-dalam segi tiga ABC, ACD dan ABD . Nasabah apakah jang terdapat antara r, rx dan r2? Buktikanlah, bahwa A l J_ IXI2 dan A l — I ^ .

44.

Didalam A ABC, K ialah titik Lemoine. B uktikanlah, bahwa garis* sisi segitiga-titikkaki K terhadap kepada A ABC tegaklurus kepada garis2-berat ABC. Kemudian buktikan, bahwa K ialah titikberat segitiga-titikkakinja.

Planimetri — 17.

ABCD, perpandjangan sisi2 tegak A D dan BC Melalui E tariklah suatu garis, jang memotong G, sehingga trapesium A G FD dan GBCF memsama.

257

45.

D im in ta melukis suatu segitiga, djika diketahui djari2 lingkaran2singgungnja.

46.

Diketahui sebuah segi-empat A B C D , beserta garis2 1 dan m jang ber potongan. Lukiskan didalam segi-empat itu djadjarangendjang P Q R S (P pada AB, Q pada BC, dst.), sehingga PQ // l dan Q R // m.

47.

D iketahui sebuah lingkaran (P, r) dan titik tetap A. Pada lingkaran itu sekarang diam bil titik 2 B dan C, sehingga Z BAC = 90°, kem u dian disempurnakanlah empat-persegi-pandjang BACD. T entukan lah tem pat kedudukan D, djika B bergerak sepandjang lingkaran tadi.

48.

Pada sebuah 'segitiga BAC, jang samakaki dan siku2 AB == AC = c dan D titik pertengahan BC. a. Hitunglah djari2 lingkaran y, jang menjinggung sisi A B dan menjinggung lingkaran2 A B D dan ACD. b. D jika M dan N titiksinggung2 y dengan lingkaran2 A B D dan ACD, m aka buktikanlah, bahwa M N melalui titik pertengahan AD, jaitu O.

49. Diketahui sebuah lingkaran (O), dan titik C padanja dan pada garissinggung di C sebuah titik M. Melalui titik M ditariklah suatu garispotong, jang memotong lingkaran di A dan B. D im inta : tem pat k e d u d u k a n : o. titikberat A ABC, jaitu Z ; b. titiktinggi A ABC, jaitu T ; c. pusat lingkaran-titiksembilan, jaitu N. 50. Pada segitiga siku2 ABC, sisimiring AB = c, tetap. H itunglah kedua sisi tegaknja, u ntuk hal, bahwa hasilperbanjakan bagian2 AC, jang dibagi oleh garisbagi sudut B, suatu maksimum. 51.

Pada BC, dan CA, jaitu sisi2 A ABC, dilukiskan keluar segitiga2 samasisi BCA' dan CAB'. D jika D tangah2 CA', E tengah2 CB' dan F tengah2 AB, maka buktikanlah, bahwa A D E F samasisi.

52.

D idalam lingkaran (P, R) diketahui sebuah titik Z; selandjutnja, diketahui djuga sudut y. Lukiskan didalam lingkaran itu suatu segi tiga ABC, jang bertitikberat titik Z dan /_ C = y.

53.

Pada AB, BC dan CA, sisi2 suatu segitiga, dilukiskan keluar budjursangkar2 A B P P 1; BCQQ!, dan C A R R X; D ialah tengah2 AC. B uk ti kanlah, bahwa :

258

a. PQX = 2BD; b. PQX 1 ¿>2 + c2).

BD; c. P i^ 2 + Q R * + R P ,2 = 3(a2 +

54.

Diketahui sebuah lingkaran y, sebuah segmentgaris AB diluar y dan CD, sebuah talibusur y, jang sedjadjar dengan AB. Garis AC memotong lingkaran untuk kedua kalinja di E, dan garis BE me motong y sekali lagi di F, sedangkan D F dan A B berpotongan di P. Buktikanlah, bahwa djika CD berpindah sedjadjar, maka titik P letaknja tetap.

55.

Pada suatu segi-empat-talibusur ABCD, S ialah titikpotong diagonal2nja. Buktikanlah, bahwa titik 2 tinggi segitiga2 ABS, BCS, CDS dan DAS ialah titiksudut2 suatu paralelogram, jang diagonal2nja melalui titik 2 potong'garis2 sisi segi-empat-talibusur jang berhadaphadapan.

56. Sebuah transversal Z memotong AB dan AC, sisi2 A ABC di D dan E, dan memotong lingkaran luar A ABC di M dan N. Buktikanlah, bahwa lingkaran2 M BD dan MCE bersinggungan di M. 57.

Pada (P, R), jaitu lingkaran-luar A ABC, terletak sebuah titik tetap M, jang bukan A. Didalam lingkaran itu dilukiskanlah suatu segitiga A B ^ jang kedua, dengan B ^ // BC. Buktikanlah, bahwa garis2 titikkaki M terhadap kepada kedua segitiga itu masing2, sedjadjar.

58.

Didalam segi-empat ABCD diagonal2 AC dan BD berpotongan di S. D B diperpandjang dengan suatu bagian B F = D S dan CA dengan bagian A E = CS. Sisi AB memotong DC di G dan E F di H. Bukti' kan, bahwa G dan H simetris letaknja terhadap kepada titik perte ngahan AB. •

59.

Diketahui sebuah segitiga ABC dan sebuah potongan garis d; ten tukanlah titik Bx pada garissisi AB dan titik Cx pada garissisi AC, sehingga titik 2 B, C, Bx dan Cx konsiklis dan B1C1 = d.

60.

Sebuah potongan garis AB dibagi-bagi oleh tiga buah garis tegaklurus padanja, jaitu Z, m dan n, mendjadi empat bagian. Selandjutnja diketahui sebuah titik Q, jang tidak terletak pada garis2 ini. D im inta menentukan suatu titik X pada m, jaitu garis tegaklurus jang ditengah, sehingga P, titikpotong antara A X dan Z, R, titikpotong B X dengan n dan titik Q, kolineair.

'

259

BAB

XIII

G A R IS K U A S A D U A B U A H L IN G K A R A N . B E R K A S L IN G K A R A N . §77. P ada dua buah lingkaran, tem pat kedudukan titik 2 jang berkuasa sama terhadap kepada lingkaran2 tsb., penting sekali artinja. DALIL

128

Tempat kedudukan titik2, jang berkuasa sama terhadap kepada dua lingkaran, ialah suatu garis jang tegaklurus pada sentral. Garis ini disebut gariskuasa lingkaran2 tsb. B u k t i . Pada dalil 61 telah disebut hal2 letak dua lingkaran satu terha dap jang lain; pada tiap2 hal ini kita selidiki tempat gariskuasa itu. D jik a lingkaran2 ini saling bersinggungan, m aka tiap2 titik garissinggung per sekutuan dititiksinggungnja, berkuasa sama terhadap kedua lingkaran itu; djadi garissinggung tadi ialah gariskuasa. D jika lingkaran2 tadi ber potongan di A dan B, m aka tiap2 titik garis AB berkuasa sama terhadap kepada kedua lingkaran itu; djadi AB ialah gariskuasa. D jadi, tinggallah sekarang 2 hal jaitu, djika satu dari kedua lingkaran itu terletak diluar jang lain, dan bila lingkaran jang ketjil sama sekali terletak didalam lingkaran jang besar: *) lingkaran2 (M, R) dan (N, r) jang satu sama sekali terletak diluar jang lain; 2) lingkaran jang ketjil terletak sama sekali didalam jang besar. K ita selidiki sekarang, apakah pada sentralnja, jaitu garis MN, ada sebuah titik X jang berkuasa sama terhadap kepada kedua lingkaran itu; am billah R > r. *

H a l p e r t a m a . Sentralnja memotong lingkaran jang besar di A dan B,dan lingkaran jang ketjil di C dan D. X tidak m ungkin terletak pada

perpandjangan MA, dan djuga tidak pada perpandjangan ND, karena P A .P B < PC .PD dan QD.QC < QB.QA. Demikian pula X tak m ungkin 260

terletak digaristengah AB atau CD; tiap titik padanja berkuasa positif terhadap lingkaran jang satu dan negatif terhadap lingkaran jang lain. Djadi titik X hanja dapat terletak pada segmentgaris BC, B dan C sendiri diketjualikan; lihatlah sekarang gb. 253; MN = d, M X = p dan X N = q. Kuasa X terhadap kepada lingkaran t2 — p 2 — R 2, terha dap kepada C2 q2 — r2; X berkuasa sama terhadap kepada kedua ling karan itu, djika p2 — R 2 = q2 — r2; djadi < ^ - r=; J i p + q = d;

Susunan persamaan ini mempunjai sepasang akar p dan q\ djadi ada sebuah titik X . Tiap titik pada garis tegaklurus m di X pada sentral, misalnja Y, berkuasa sama terhadap kepada kedua lingkaran itu, karena Y M 2 — R 2 = Y X 2 + p2 — R 2. Y N 2 — r2 = Y X 2 + q2 — r2. Kuasa ini sama, karena p2 — R 2 = q2 — r2. P e r in g a t a n .Perhitungan p dan q menghasilkan : ¿2 _|_ R 2 _ P

=

2d

¿2 _ _ R 2 + r 2

r2 dan q =

2d

“

R 2 — r2 p— q = --- — ; ruas kedua positif, djadi p > q\ titiktengah MN, jaitu 0, terletak pada M X.

p = \d 4- 0 X ; pengurangan menghasilkan : p — 'q = 2 0 X ; \ R 2 — r2 R 2 — r2 < q = ld — 0 X ; p— q = ---^— ; djadi kita dapat 0 X = — ^ — • Lihat gb. 254. Kita tjari lagi titik X pada garis MN, jang berkuasa sama terhadap kepada lingkaran2 itu. Pembatja dapat menentukan sendiri, bahwa X tidak terletak pada segmentgaris AB, dan djuga ti'dak pada titik 2batasnja. Djadi X terletak H al

kedua.

\

261

pada perpandjangan AB atau pada perpandjangan BA. U ntuk jang pertam a: t2 = p 2 — R 2 = q2 — r2, djadi p2 — q2 = R 2 — r2. Ruas kedua positif; djuga p + q dan p — q; djadi p dan q dapat kita hitung. Garis âng tegaklurus di X pada garis MN ialah gariskuasanja. Pada perpandjangan AB tidak terdapat suatu titik S, jang berkuasa sam a terhadap kedua lingkaran tsb.; ini dapat kita fahami, demikian. U m pam akan SM = m dan SN = n; n (S,CX) = m2— R 2, n (S,C2) = n2— r-; m 2— R 2 ^ n2 — r2; sebab dari m2 — n2 =£ R 2— r2 ruas pertama negatif, sedang jang kedua positif. Perhitungan selandjutnja berlangsung dengan tjara jang sama se perti pada hal pertama. M enurut definisi pada halaman 207, maka PN 2 ialah kuasa titik P terhadap kepada lingkaran-titik (N ,0); djadi dalil 1146 berlaku pula untuk lingkaran-titik. Karena ini dapatlah ditarik kesim pulan, bahwa dalil 128 tetap berlaku, djika sa lah satu lingkaran tadi merupakan suatu ling karan-titik, atau djika keduanja lingkaran2 titik. D jadi, boleh pula kita memperkatakan tentang gariskuasa suatu lingkar an dan lingkaran-titik atau gariskuasa dua ling karan-titik. D jika suatu titik 'terletak diluar lingkaran, m aka kuasa titik ini terhadap kepada lingkaran tsb. sama dengan kwadrat garissinggung dari titik itu pada lingkaran ; karena itu, m aka u ntuk tiap2 titik pada gariskuasa dua lingkaran, dan jang terletak diluar lingkaran2, garissinggung2nja pada kedua lingkaran tsb., sama. Karena ini kita putuskan : DALIL

129a

Tempat kedudukan titik2-pusat lingkaran2 jang memotong tegaklurus dua buah lingkaran, terdiri dari bagian gariskuasa jang terletak diluar lingkaran2 itu. D jik a (P,/) suatu lingkaran jang memotong tegaklurus ling karan a dan ¡3, m aka P terletak diluar lingkaran2 tadi; garis2singgung B u k t i.

262

dari P pada lingkaran itu sama pandjang, djadi djuga kuasa2 P ter hadap kepada lingkaran2. Djadi P terletak pada gariskuasa a dan ß, ja itu m, tetapi tidak didalam lingkaran2 tsb. D jik a sebaliknja P' suatu titik pada m, jang tidak terletak didalam lingkaran a dan ß, m aka garissing gung2 dari P' pada a dan ß, sama; lingkaran jang bertitik pusat di P ' dan berdjaridjari garissinggung sema-tjam itu, akan memotong tegaklurus a dan ß. P e r i n g a t a n . Titik2 potong a dan ß, sebagai lingkaran2titik , termasuk baik dalam Gb. 255: (T ,t) memotong a dan ß tegaklurus; tem pat kedudukan jang y dibagi sama besar oleh a. dan ßtelah disebut pada dalil 129a, m aupun dalam tempat kedudukan jang disebut pada dalil ber ik u t ini :

DALIL

1296.

Tempat kedudukan titik2pusat lingkaran2, jang dibagi dua oleh 2 buah lingkaran, terdiri dari bagian gariskuasa jang terletak didalam ling karan2 itu. B u k t i , (lihat gb. 255). D jika y ( Q,p) suatu lingkaran, jang dibagi dua o leh'lingkaran2 a dan ß, maka Q tak mungkin terletak diluar lingkaran2 itu. T itik 2potong antara y dan a, jaitu titik2 A dan At, ialah titik2diam etral pada lingkaran ( Q,p ), demikian pula titik 2potong antara y dan ß, ja itu B dan Bt. Karena itu kuasa Q terhadap kepada a dan ß sama de

ngan — p 2; djadi Q terletak pada m. D jik a sebaliknja, Q' suatu titik pada m, jang terletak didalam lingkaran2 itu, m aka kuasa Q' terhadap kepada tiap lingkaran tadi sama dengan lawan kwadrat setengah talibusur jang bertitik tengah di Q'. D jadi, setengah-talibusur-setengah-talibusur itu sama, sehingga lingkaran jang bertitikpusat Q' dan berdjari-djari setengah talibusur itu, akan terbagi dua oleh kedua lingkaran itu.

ir

D A L IL

130

Selisih kuasa 2 M terhadap kepada lingkaran2 jang tidak konsentris Cx ( p i>ri) dan C2( P 2,r2), soma dengan perbanjakan rangkap P XP 2 dengan djarak berarah gariskuasa Cx dan C2 hingga M .

Gb. 256: Selisih kuasa M terhadap C, dan C2.

B u k t i , m gariskuasa C1 dan C2, M ' projeksi M pada PaP2, S projeksi M

pada m. (¿(M.CJ— ¡¿(M,C2) = M Pj2 — rj2 — MP22 + r22 = M 'P ^ — M 'P 22 — rx* + r22 = (W Q + OP,)2 — (JVTQ + QR>)2 - r,2 + r22 = QPZ2 — r,2 — Q P22+ r22 + 2. M 'Q (Q PX— QP2) = ^ . C , ) — i*(Q,C2) + 2. M V . P2PV D jum lah kedua suku jang pertama sama dengan nol, karena Q suatu titik garis kuasa; selandjutnja kita ambil M 'Q berlawanan, djika kita ganti dengan SM; djuga P ^ kita ambil berlawanan, djika kita pasang PxP2;djadi terdapatlah 2. P ^ . SM; besar harga m utlaknja ialah 2d SM. D jika kita ambil sebuah titik A pada lingkaran C2, m aka n(A,C2) = 0; dari [ ¿ (A ^ ) — (¿(AjCa) tinggallah suku pertamanja sadja; dari ruas kedua: 2. P ^ . SM, faktor 2. PXP2 untuk tiap tempat A, sama; terdapat lah sekarang: y.(A,C1) — 2d. SM. Akibat2 penting dari dalil 130, ialah: A k i b a t k e -1. D jik a suatu titik A berdjalan sepandjang satu dari kedua lingkaran jang diketahui, maka kuasa A terhadap kepada lingkaran jang lain, sebanding dengan djarak gariskuasanja sampai ke A.

264

Lihat pada gb. 256a; djarak m sampai titik 2 dan A 2, berbanding se bagai 2 dan — 1; kuasa terhadap kepada Cj ialah t2, kuasa A , terhadap kepada Cx ialah — k2; inipun berbanding sebagai 2 dan — 1 (diukur lagi: sebagai 242 dan 17“, djadi sebagai 576 dan — 289). Selandjutnja, dengan mudah dapat pula difaham kan : A k i b a t k e -2. D jika Cx dan C2 tidak konsentris dan k suatu bilangan-

tetap, maka tempat kedudukan titik 2 M, sehingga (¿(M.Cj) — (¿(M,C2) = kr ialah suatu garis tegaklurus pada sentral. Sebab, dengan begitu SM tetap (lihat gb. 256a). DALIL

131 a

Ketiga gariskuasa tiap dua dari tiga buah lingkaran, jang titik-titikpusatnja tidak kolineair, melalui satu titik. B u k t i . D jika m12 gariskuasa lingkaran C± dan C2, m23 gariskuasa ling

karan2 C2 dan C3, maka keduanja akan berpotongan, karena PXP2 dan P2P3 tid ak berimpit. Titikpotongnja K berkuasa sama terhadap kepada Cx dan C2 dan C3, djadi djuga harus terletak pada m13, jaitu gariskuasa Cx dan C3. Titik K ini dinamakan titikkuasa ketiga lingkaran itu. Rupa-rupanja titik ini, djika tidak terletak didalam lingkaran2 tadi, ialah titikpusat suatu lingkaran a (lihat gb. 257a), jang memotong tegaklurus lingkaran2 Clt C2 dan C3; lingkaran ini dinamakan lingkaran-ortogonal ketiga ling karan tadi. D jika K terletak didalam ketiga lingkaran itu (gb. 2576), m aka K titikpusat lingkaran p, jang dibagi dua oleh Clt C2 dan C3.

D jik a ketiga lingkaran itu melalui satu titik, m aka titik inilah titikkuasanja; dalam hal ini, lingkaran2 a dan p ialah lingkaran2 titik, jang ber 265

im p it dengan titikkuasa. D jika lingkaran2 Cv C2 dan C3 tid ak melalui satu titik dan titik 2pusatnja tidak kolineair, m aka hanja ada satu ling karan sadja dari a dan p. D jik a titik 2pusat Mlf M2 dan M3 kolineair, m aka garis2kuasa Cv C2 dan C3 sedjadjar dan lebih2, dalam hal istimewa m ungkin berim pit; hal terachir ini terdjadi misalnja, djika ketiga buah lingkaran itu melalui 2 buah titik jang sama. Sekarang dapat kita perluas dalil 131 a hingga: DALIL

1316.

Tiga buah lingkaran jang berlainan, bertitikkuasa satu, atau tak terhingga banjaknja. Dalam hal pertama, ketiga gariskuasanja berpotongan dititikkuasa, dalam hal kedua, garis2kuasanja berimpit. D jik a garis2kuasa tiap dua dari tiga lingkaran atau lebih berim pit, m aka kita sebut lingkaran2 itu koaksal. Teristimewa, semua lingkaran, jang melalui dua titik Sx dan S2, koaksal. Dengan pertolongan dalil 131«, dapatlah kita berikan penjelesaian jang m udah u n t u k : LU KISAN

XXV.

Melukis gariskuasa dua lingkaran jang tidak konsentris. d a n p e l a k s a n a a n . D jika dua buah lingkaran Cx dan C2 berpotongan, m aka m, pemuat talibusur persekutuannja, ialah garis kuasanja. D jika mereka itu bersinggungan, m aka garissinggung perse kutuan dititik-singgungnja itulah gariskuasanja.

P e r s e d ia a n

D jika Cx dan C2 tiada titik persekutuan (lihat gb. 258«), m aka kita lukis suatu lingkaran pertolongan H, jang bertitikpusat tidak pada sentral

Cj dan C2 dan jang memotong Cx dan C2; nij, gariskuasa Cx dan H, me motong m2, gariskuasa C2 dan H, di P; maka inilah titikkuasa ketiga buah lingkaran Cv C2 dan H. Djadi P terletak pada m, gariskuasa C1 dan C2; m diketemukan sebagai garistegaklurus pada sentral Cx dan C2 jang melalui P. Dapat pula ditentukan sebuah titik pada m dengan ling karan pertolongan kedua. B u k t i . Ini langsung didapat dari dalil 131(7. P e m b i t j a r a a n . Karena Cx dan C2 tidak konsentris, maka ada gariskuasa-

nja. Lukisannjapun akan berlangsung, djika salah satu dari lingkaran2 itu suatu lingkaran-titik; djika misalnja C2 suatu lingkaran-titik, maka (gb. 2586) A2 dan B2 berimpit, dan gariskuasa C2 dan H mendjadi garis-singgung di A2 pada H (harus diingat, bahwa H dibuat melalui A2, ialah B2). P e r in g a t a n . D jika C1 dan C 2 jang satu terletak sama sekali diluar jang lain, dapatlah gariskuasa itu diperoleh pula dengan mengingat, bahwa ia harus melalui titik2tengah garissinggung2 persekutuannja. § 78.

D jika suatu lingkaran a membagi dua lingkaran C, djadi, djika titik 2 potongnja A dan A t terletak diametral pada C, maka a disebut lingkarandiametral C. D jika (P, r) lingkaran C dan M titikpusat a, maka kwadrat djari2 a sama dengan PM2 + r2. Sebagai la wan PM2 — r2, jaitu pangkat M terhadap kepada lingkaran C, kita sebut sekarang PM2 + r2 anti-kuasa M terhadap kepada C. Anti-kuasa ini positif, sehingga dengan 'tiap titik sebagai titikpusat, mur\gkin ada suatu lingkaran diametral C. Selandjutnja kita lihat, bahwa djika a suatu lingkaran diametral C, maka u. (P, a) = — r2, dan sebaliknja. DALIL

132

Tempat kedudukan titik2, jang ber-anti-kuasa sama terhadap kepada 2 lingkaran, ialah suatu garis tegaklurus pada sentral. B u k t i . Cx (P1( rx) dan C2 (P2, r2) ialah lingkaran2nja. M sebuah titik tem

pat kedudukan jang ditjari, djika :

MP]2 + r ^ = M P / + r22 , djadi M P,2,' — PM22 = r * — r * ........

( ')

Karena itu, m aka berhubung dengan dalil ll lf l, tempat kedudukan M ialah suatu garis n J_ PjP,.

Gb. 260: Lingkaran 2 diametral dan garis antikuasa Cy dan C2.

Karena ( 1 ) : M P22 — rx2 = MPj2 — r22, maka M berkuasa sama ter hadap kepada lingkaran2 (P2, rx) dan (P u ^), sehingga tempat kedudukan M ialah n, gariskuasa lingkaran2 itu. Karena lingkaran2 ini terdjadi ber turut-turut karena pentjerminan Cx dan C2 terhadap sumbu PjPa, m aka n terdjadi dari pentjerminan m, gariskuasa Cr dan C2, n disebut garisanti-kuasa C1 dan C2. Q dan S, titik 2potong m dan n dengan PjP2 terletak simetris terhadap 0, titikpertengahan P ^ . Disinipun tiada keberatan, djika salah satu atau kedua lingkaran C± dan C2 itu lingkaran-titik; pada dua buah lingkaran-titik, dan um um nja, pada dua lingkaran jang sama, gariskuasa dan garis-anti-kuasa berimpit. Karena anti-kuasa M terhadap kepada suatu lingkaran C sama dengan kwadrat djari2 lingkaran-diametral C, jang berpusat di M, dap at lah kita putuskan sekarang: D A L I L 133

Tempat kedudukan iitik2pusat ialah garis-anti-kuasanja.

lingkar an2diametral du a■lingkaran

B u k t i , (lihat gb. 260). Dari pembitjaraan diatas, ternjata, bahwa M,

titikpusat lingkaran diametral Cx dan C2 beranti-kuasa sama terhadap kepada Cx dan C 2, djadi menurut dalil 132, harus terletak pada n, garisanti-kuasanja. Sebaliknja, antikuasa2 suatu titik M pada n terhadap 268

kepada Cx dan C2, sama, sehingga M titikpusat suatu lingkaran dia metral Cx dan C2 jang bersekutu. DALIL

134

Ketiga garis-anti-kuasa tiap dua dari tiga buah lingkaran, jang titik pusatnja tidak kolineair, melalui satu titik. B u k t i . D jika n 12 garis-anti-kuasa lingkaran2 Cx dan C2, dan n23 garisanti-kuasa C2 dan C3, maka mereka berpotongan, karena PXP2 dan P2P3 berpotongan. Titikpotongnja L beranti-kuasa sama terhadap Cv C2 dan C 3, djadi djuga harus terletak p a d a «31, garis-anti-kuasa Cx dan C3. Titik L ini bernama titik-antikuasa ketiga lingkaran itu; titik itu ialah titik pusat lingkaran diame tral persekutuannja. Lihat gb. 261, padanja dapat diikuti lukis an titik-anti-kuasa L dan Iingkaran-diametral a (L, r) lingkaran2 Cv C2 dan C3. Suatu lingkaran H memotong Cv C2 dan C3; pemuat talibusur persekutuan nja berpotongan di M, Q dan R. Garis2kuasa m12, m23 dan m31 bertu rut-turut ditarik mela lui M tegaklurus pada PXP2, melalui Q tegaklurus PaP3, melalui R tegaklurus pada P ^ . Kemudian, ditentukanlah garis2 antikuasanja; P2E disamakan dengan P3F; demikian pula dua jang lain; garis2 antikuasa niz, n23 dan n31 berpotongan pada titik anti-kuasa L. Tanklah LP3 dan kemudian SP3T J_ LP3; LT = r, ialah djari2 a, lingkaran pembagi dua. §

79.

Sebagai penggunaan teori garis2kuasa, kita buktikan dulu dalil 135. Ini m em punjai hubungan dengan gambar, jang terdjadi oleh suatu segitiga tidak samakaki dengan ketiga buah lingkaran Apollonius-nja. 269

D A L IL

135

Ketiga buah lingkaran Apollonius suatu segitiga jang tidak samakaki bersekutu dua buah titik.

B u k t i . Kita umpamakan a > b > c . D jik a (P a, Ra), (Pt>, Rt>) dan (P c, R c) ketiga buah lingkaran Apollonius A ABC, m aka dengan m udah kita mengerti, bahwa lingkaran2 (P a, Ra) dan (P b, R b) berpotongan, karena titik A pada lingkaran pertama terletak didalam lingkaran kedua dan

titik B pada lingkaran kedua terletak didalam lingkaran pertama. D jika M suatu titikpotong lingkaran2 itu, maka MB : MC = c: b dan MC : MA = a : c, karena ini, m aka MB : MA = a : b, sehingga M harus djuga ter270

letak pada lingkaran ketiga (Pc, R c)- Hal ini berlaku djuga u n tu k Q, titik potong jang lain dari kedua lingkaran jang pertama tadi. T itik2 Pa, Pb dan P c kolineair; sebab lingkaran2 itu bertalibusur sa ma, ja itu MQ; sentral tiap dua lingkaran ini membagi dua tegaklurus talibusur MQ ini. Garis P aPbPc bernama garis Lemoine. Pada gb. 263 kita lihat djuga lingkaran-luar A ABC, ja itu (O, R); k ita buktikan, bahwa lingkaran ini memotong tegaklurus ketiga lingkaran Apollonius. D A E = 90°, sebab A D membagi dua a dan A E memb'agi dua suplementnja; dengan perhitungan sedikit ternjata, bahwa kedua sudut jang dinjatakan dengan panah2 ketjil itu : £ ((3 — y); djadi /_ O A P a djuga 90°. Ini berarti, bahwa A P a menjinggung lingkaran-luar di A dan AO m enjinggung lingkaran Apollonius di A. Kuasa O terhadap kepada ketiga lingkaran Apollonius itu R 2, djadi O terletak pada gariskuasa MQ; lihat gb. 262. Karena P aA menjinggung lingkaran-luar di A, m aka PaA2 = PaB. P aC; djadi djuga P aD 2 = PaB. P aC. § 80 .

.

Sekarang, kita berikan tiga buah tjontoh penggunaan teori garis kuasa dan garis-anti-kuasa. TJONTOH

56

Diketahui lingkaran K dan titik A. C±dan C2, dua lingkaran berubahubah, bertitikpusat di P 1 dan P 2, keduanja melalui A dan menjinggung K; titiksinggung M x dan M 2 tidak merupakan titik 2 diametral pada K. Ten tukan tempat-kedudukan S, jaitu titikpotang M ±M 2 dengan Pi_P2P e n j e l e s a i a n . Lihat gb. 264a. Titik S suatu titikkesebangunan Cx dan C2 (bandingkan gb. 146), jaitu titikkesebangunan-Iuar, djika Ct dan C2 m enjinggung sedjenis K dan bila tidak, maka S titikkesebangunandalam. D jadi titik-titik Mj dan M2 ialah titik 2 invers-Iuar atau dalam Ci dan C2 (lihat dalil 115), sehingga SMX. SM2 = SA2. Ini berarti, bahwa titik S berkuasa sama terhadap kepada lingkar an K dan lingkarantitik A, sehingga S harus terletak pada gariskuasa m. D jik a sebaliknja S suatu titik pada m, maka ditariklah suatu garis m elalui S, jang memotong K di Mx dan M2, tetapi tidak melalui O, titikpusat K . Maka-ada satu lingkaran Clt jang menjinggung K di dan djuga melalui A, dan satu lingkaran C2, jang menjinggung K di M2 dan djuga melalui A. D jika Px-dan P2 titik 2 pusat Cx dan C2, dan S' titikpotong MiMg dengan PXP2, maka S' ialah suatu titikkesebangunan Cx dan C2, djadi : S'A^. S'M 2 = S'A 2, sehingga S' terletak pada m, seperti halnja

271

/

/

Gb. 264a: m tempat kedudukan S.

Gb. 264b.

dengan S; keduanja itu djuga terletak pada MjM-j, djadi mereka itu ber im pit. Djadi memang garis m itulah tempat kedudukan jang dit j ari. T JO N T O H 57

Tentukan tempat kedudukan titik2pusat lingkaran2, jang memotong tegaklurus lingkaran (Pj, rx) dan membagi dua lingkaran ( P 2, r2). P e n j e l e s a i a n . Djika (X,x) suatu lingkaran, jang memotong tegaklurus (Pi>ri) dan membagi dua lingkaran (P2,ra,) maka X P x2 — X P 22 = (/'i2 + x2) — (x2 — r22) = rx2 + r22. Karena ini, maka tempat kedudukan X ialah suatu garis l, tegaklurus pada P ^ (dalil lil a ) . ■Djika sebaliknja X ' suatu titik pada garis tegaklurus tadi, maka ada suatu lingkaran (X 'x '), jang membagi dua lingkaran (P2,r2). Maka : (lihat atas) : X '? ! 2 — X 'P 22= r 12 + r22, sedangkan x '2 = X 'P 22 + r 2. Karena itu, m aka X 'P 12 = /'i2 + x'2, sehingga ling karan (X ', x'), djuga memotong tegaklurus lingkaran (P i/i). DjaGb. 265: (X ,x ) memotong ( Plt r j tegaklurus dan memanplah temoat membagi dua sama besar ( P ¡¡, rJ . C11 memangian tempa

272

kedudukan X terdjadi dari garis tegaklurus l tersebut diatas, jang tidak memotong lingkaran (Px, Tj). Sebab, djika U titikpotong Z dengan P jP ,, m aka untuk titik ini berlaku : UPX2 — U P22 = rx2 + r22, djadi UP," > rx. Untuk melukiskan garis ini, kita tentukan dulu tempat kedudukan titik 2 pusat lingkaran2 jang ber-djari2 x, jang memotong tegaklurus ling karan (Pj, rx) dan kemudian, tempat kedudukan titik 2pusat lingkaran2 jang ber-djari2 x ( x > r2), jang membagi dua lingkaran (P2, r2). Tempat kedudukan tempat kedudukan ini, ialah lingkaran2 jang berpotongpotongan, asal x dipilih baik2. Pemuat talibusur persekutuannja itulah garis jang ditjari. T J O N T O H 58

a. b.

Buktikan, bahwa pada suatu sisi-empat lengkap : titik 2 tinggi keempat buah segitiga, jang dibentuk oleh tiap 3 dari 4 buah garissisinja, kolineair; ketiga lingkaran, jang bergaristengah diagonal, koaksal.

Sebelumnja, suatu sifat segitiga jang terkenal: T titiktinggi; AD, BE dan CF garis2tinggi. Maka TA.TD = TB.TE = TC.TF; sebab T titikkuasa ketiga lingkaran, jang dilukis dengan sisi2 segitiga ABC.sebagai garistengahnja. B u k t i , a. K ita pandang sisi-empat leng kap dengan garis2sisi AB, BD, D E dan EA; C ialah titikpotong AB dan D E, F titik potong A E dan BD. Segitiga2 jang dimaksud: ABF, ACE, BCD dan D E F dengan titik 2tinggi Tlf T2, T3 dan T4; dari empat itu hanja Tx dan T2 ja n g digambar. Dalam segitiga A B F .garis2 tingginja: A A 1( BBX dan FFX; djadi TXA. Gb. 266: T A .T D = T B .T E T jA i = TXB. TjBj. A dan Ax terletak pada = TC.TF. lingkaran K x dengan AD sebagai garistengah, B dan Bx pada lingkaran K 2 dengan BE sebagai garistengah, sehingga Tx berkuasa sama terhadap kepada kedua lingkaran tsb., djadi terletak pada gariskuasanja. Dengan djalan jang sesuai, ternjatalah, bahwa T3 berkuasa sama terhadap kepada lingkaran2 Kx dan K 2) djadi djuga terletak pada gariskuasanja: MQ; sebab: T3BB2 J_ CD; sehingga B 2 terletak pada lingkaran K 2; T3GD J_ CBA; lingkaran K x m elalui G. Menurut gb. 266, maka T3B. T3B2 = TSG. T3D; ruas per-

273 Planimetri—18

ta m a ialah kuasa T3 terhadap kepada lingkaran K 2, dan ruas kedua terhadap kepada lingkaran K x.

D jadi T3 berkuasa sama terhadap kepada kedua-duanja; d ja d iT 3 terle tak pada MQ, gariskuasa lingkaran2 Kx dan K 2, demi lan pu a 2 an 4. b. K arena TXF. TXFX = TXA. TXAX, kuasa T, terhadap kepada lingkaran K3 sama dengan kuasa Tx terhadap kepa a x an 2) U , • • , , , + i t x Han T D iadi ketiga lingkaran itu Hal ini djuga berlaku u ntu k T2, T3 dan i 4. «-'j koaksal, dan bergariskuasa persekutuan TXT2T3T4. § 81.

SO A L-SOAL

1. Diketahui: dua lingkaran Cx dan C2 dan dua titik Mx dan M 2. Lukis lah titikkuasa : a. Cx, C2 dan lingkaran-titik Mx; b. Cx dan lingkaran-titik Mx dan M2. 2.

Diketahui : dua titik M dan Q dan sebuah lingkaran C. Lukislah suatu lingkaran jang melalui M dan Q, dan . a. memotong tegaklurus lingkaran C; b. membagi dua lingkaran C.

3.

274

B uktikan, bahwa gariskuasa dua lingkaran jang berlainan, jang tidak konsentris dan sonder titik persekutuan, terletak lebih dekat ke-lingkaran jang terbesar daripada ke-lingkaran jang terketjil.

4.

Pada sisi2 A ABC BC, CA dan AB berturut-turut diambil titik 2 M Q dan R. Tentukan titikkuasa lingkaran2 jang berturut-turut bergaristengah AM, BQ dan CR. Titik istimewa apakah titik ini dalam A ABC?

5.

Buktikan, bahwa 6 buah gariskuasa tiap 2 dari Iingkaran-dalam dan lingkaran2-singgung A ABC, merupakan garisbagi2 dalam dan luar segitiga jang bertitiksudut pada tengah2 sisi.

t

6. Melalui G, titikkesebangunan Cx dan C2 ditarik suatu garis, jang memotong Cj di Ax dan B^ dan memotong C2 di A2 dan B2, Di A1 dan Bx ditarik garis2singgung pada Cx dan di A 2 dan B2 ditarik pula garissinggung pada C2. Buktikan, bahwa keempat garissinggung ini merupakan sisi-sisi suatu djadjarangendjang, jang sebuah diagonalnja melalui G, sedangkan diagonal jang lain merupakan gariskuasa Cx dan C2. 7. Melalui K, suatu titik pada gariskuasa dua lingkaran « dan (3, di tarik suatu garis, jang memotong kedua lingkaran tsb. jaitu me motong a di M dan M', dan (3 di Q dan Q'. Buktikan, bahwa |x(M,p): KQ>«) = KM : QK. 8.

Diketahui 3 buah lingkaran Clf C2 dan C3 dengan pusat2 Px, P2 dan P3. D jika m23, gariskuasa C2 dan C3, melalui Plf dan m13 melalui P2, maka m12 melalui P3; buktikan itu.

D ik e ta h u i: lingkaran C, garis l dan titik A pada l. Lukislah suatu lingkaran jang menjinggung / di A dan : a. memotong tegaklurus C; b. membagi dua C. / 10. Diketahui 4 buah lingkaran Cx = (P i/i) (* = 1» 2, 3, 4) dan sebuah segmentgaris a. Tentukan tempat kedudukan titik2 M, sehingga: 9.

a. b.

KM .Cj)

c. d.

K M jC j) ^ M ,^ )

-

+ ^(M,C2)= a2; K M ,C2) = a2; -f-|a(M,C2) 'i" = fl2> + !x(M,C2) = KM ,C3) + KM ,C4).

■ *

11. Gambarlah suatu segitiga beserta lingkaran-dalam dan lingkaransinggungnja pada sisi BC. Garisberat dari A memotong talibusursinggung lingkaran-dalam di G; perpandjangan garisberat ini • memotong talibusursinggung lingkaran-singgung di G'; talibusursinggung2 jang dimaksud tegaklurus pada d a. Buktikan, bahwa BG'CG suatu djadjarangendjang. 275

12. D iketahui 2 buah lingkaran Cx = (Pi>ri) dan C2 s (P 2,r2) (rx^ T^\ Tentukan tem patkedudukan titik 2pusat lingkaran2, jang* menit»3»* dua Cx dan dibagi dua oleh C2. 13. D iketahui titik 2 A, B dan P. Dengan A dan B sebagai titik 2p'js a t' dilukis lingkaran2 a dan p, jang memotong tegaklurus l i n g k a r a n (P, r). Tentukan tem pat kedudukan titik 2potong a dengan S, d jika r berubah. 14. Diketahui sebuah lingkaran C dan titik M. Suatu lingkaran ber ubah-ubah K melalui M dan menjinggung C. Tentukan te m p at kedudukan S, titikpotong garissinggung di M pada K dengan garissinggung persekutuan C dan K dititiksinggungnja. ’ 15. Diketahui lingkaran C = (P, r ) dan titik A. Dengan M, sebuah titik pada C, sebagai titikpusat, dilukis lingkaran K , jang melalui A. B uktikan, bahwa m, gariskuasa C dan K, m enjinggung suatu ling karan tetap, djika M berdjalan sepandjang lingkaran C 16.

E ialah titikpotong diagonal2 trapesium ABCD (AB // DC) B u k t i kanlah, bahwa lingkaran2 dengan garistengah A D dan BC bergariskuasa garis tegaklurus dari E pada AB.

17. a. Diketahui lingkaran C dan 2 buah titik A dan B. B u k t ik a n , bahwa m, gariskuasa C dan suatu lingkaran K jang melalui A dan B, berputar terhadap suatu titik tetap, djika K berubah-ubah. b. Lukislah suatu lingkaran, jang melalui A dan B dan m e n j i n g gung C. 18. Melalui titiksudut A ABC dilukis kedua lingkaran jang berturutturut menjinggung A B di A dan di B. Buktikan, bahwa lingkaran2 ini dengan lingkaran Apollonius A ABC jang melalui C, m asih bersekutu sebuah titik lagi, selain C. § 82.

BERKAS-BERKAS

L IN G K A R A N

D jika sebuah lingkaran C dan sebuah garis l diketahui, m aka m u dah difaham kan bahwa ada lingkaran2 tak terhingga banjaknja, jan g bergariskuasa garis l dengan lingkaran C itu. 1). D jika l memotong lingkaran C di A dan B, maka tiap lingkaran lain jang melalui A dan B, bergariskuasa l dengan C. 2). D jika Zmenjing276

w

gung lingkaran C di A, maka tiap lingkaran lain, jang menjinggung l di A, bergariskuasa garis / dengan C. 3). D jika C dengan Z tiada titik persekutuan (gb. 268), maka kita ambil titik M, jang tidak terletak

pada C dan djuga tidak pada Z, dan pada Zkita ambil titik 2 A dan B. Kita tentukan, pada AM titik Q, sehingga AM.AQ = ¡¿(A,C) dan titik R pada BM, sehingga BP. B R = ¡¿(B,C). Bagaimana hal itu dilaksanakan pada gb. 268, tentulah pembatja mengetahuinja. Lingkaran Cx jang melalui M, Q dan R, dengan C bergariskuasa garis /. Teranglah, bahwa dengan djalan ini kita dapat menemukan ling karan tak terhingga banjaknja, jang bergariskuasa garis Z dengan C. K u m p u l a n s e m u a lin g k a r a n , j a n g b e r g a r is k u a s a g a r is Zd e n g a n lin g k aran C, d i s e b u t berkaslingkaran. G a r i s Z b e r n a m a gariskuasa berkas ts b .,

dan,

lih a tla h

d a lil

1516,

g a r is k u a s a

tia p

pasang

l i n g k a r a n -11 b e r k a s

itu .

D jika P pusat C, maka teranglah, bahwa pusat2 semua lingkaran2 berkas itu terletak pada garis c, tegaklurus dari P pada Z; garis c ini ber nam a sentral berkas. D jika gariskuasa suatu berkaslingkaran, jaitu Z, memotong suatu eksemplar C dititik-titik A dan B, m aka semua lingkaran berkas itu-melalui A dan B; A dan B disebut titikdasar berkas itu. Lingkaran jang bergaristengah AB ialah lingkaran te rk e tjil! dari berkas itu; berkas ini tidak mengandung suatu lingkaran-titik. D jika Z menjinggung C, maka A dan B berimpit dan (A,O) satu-salunja Ungkarantitik berkas itu. Ber kas ini disebut berkassinggung. D jika l dan C tiada titik persekutuan, m aka berkas itu tiada bertitikdasar. D jika c ditarik dari P, titikpusat lingkaran C, tegaklurus pada /, dan O titikpotong l dengan c, m aka kuasa O terhadap C positif. D jika dium pamakan n(0,C) = m 2, maka lingkaran (O, m) akan memotong 277

tegaklurus tiap lingkaran berkas tadi. D jika garissinggung disuatu titik Mx, pada lingkaran ( 0 ,m) memotong sentral c di Px; m aka lingkaran Cx

Gb. 2 6 9 :

T i i i k 3 P o n c e le t.

jang berpusat Px dan berdjari-djari PiMj, ialah suatu eksemplar dari berkas tsb., karena 0 berkuasa sama terhadap Cx dan C, djadi l gariskuasanja. D jika Gi dan G2 titik 2potong c dengan lingkaran ( 0 ,m), m aka (G Ô ) (G2,0), keduanja merupakan lingkaran-titik dari berkas itu, se dangkan pada segmentgaris G ^ tidak mungkin ada titikpusat suatu eksemplar berkas satupun. Titik2 Gj dan G2 disebut titik2batas atau titik 2 Poncelet berkas. D jika titik 2 ini berimpit, maka m — 0 dan semua lingkaran berkas bersinggungan dititik 0 pada l; djuga titik 2dasarnja berimpit di O. Suatu berkas dengan dua titikbatas, tidak mempunjai titikdasar; suatu berkas dengan dua titikdasar, tidak mempunjai titikbatas. Sudah kita ketahui, bahwa suatu berkaslingkaran ditentukan oleh gariskuasa dan sebuah eksemplar berkas jang diketahui; tetapi djelas pula, bahwa berkas itu ditentukan djuga oleh dua eksemplarnja, karena kedua eksemplar itu menentukan gariskuasa. Ternjata pula, bahwa (lihat gb. 268), melalui tiap titik, jang tidak terletak pada gariskuasanja, ada satu dan hanja satu eksemplar berkas tsb. Djika titiknja terle tak pada gariskuasanja, maka gariskuasanja, bersama-sama dengan garis taksebenarnja, dianggap sebagai eksemplar berkas'jang berubah tjoraknja. K ita sekarang berpindah kepada pembitjaraan beberapa dalil jang penting mengenai berkas2 lingkaran. DALIL

136

Lingkaran2, jang terhadap kepadanja A berkuasa a dan B berkuasa b, membentuk suatu berkas dengan A B sebagai gariskuasa. 278

f

Lukislah suatu lingkaran C dan tariklah dari A dua buah garispotong A QM dan A Q 1M1. Buatlah suatu lingkaran Cx melalui M dan Qx; tariklah B R M , djuga B R ^ ; kuasa A terhadap C dan pangkat B terhadap C1 dapat kita misalkan berturut-turut a dan b. Lukislah lingkaran M Q R (K ) dan Ml Q1R 1(K 1); mereka bergariskuasa AB.

Sekarang, buktinja mudah, sebagai berikut i n i : djika /C2 suatu lingkaran lain dari berkas (K,m), maka ¡x(A,/C2) = n(A ,K) = a dan ^(B.Ko) = = b, sedangkan sebaliknja, djika per samaan2 ini berlaku untuk /C2, maka AB gariskuasa K dan /C2, djadi haruslah K 2 lingkaran dari berkas itu. Dari inilah didapat apa jang harus dibuktikan. D jika C = (P,r) suatu lingkaran, maka terhadap tiap lingkaran jang memotong tegaklurus C, kuasa P sama dengan r2 dan terhadap tiap lingkaran jang membagi dua C, kuasa P sama dengan r-, sedang kan dalam kedua hal tadi, kebalikannja djuga berlaku. Sebagai akibat2 penting dari dalil 136: A k i b a t p e r ta m a . Lingkaran2, jang memotong tegaklurus 2 buah lingkaran

( P lf r,) dan (P 2, r2) membentuk suatu berkas dengan gariskuasa P XP 2. A k i b a t k e d u a . Lingkaran 2, jang membagi dua 2 buah lingkaran (P v rx) dan ( P 2,r2) membentuk suatu berkas dengan gariskuasa P 1 P 2.

Lingkaran 2, jang memotong tegaklurus lingkaran (P lf rx) dan membagi dua lingkaran (P 2, r2), membentuk suatu berkas dengan gariskuasa P 1P 2. A k i b a t k e t ig a .

279

f

T J O N T O H 59

—

Tentukan tempat kedudukan titik 2 M, jang kuasanja terhadap kepada lingkaran2 C ^ P ltr^ dan C2(P 2,r2) berlawanan. P e n j e le s a ia n . Menurut sifatnja, M tidak terletak diluar tiap lingkaran tsb., dan djuga tidak didalam keduanja, tetapi, seperti dalam gb. 271, didalam lingkaran jang satu dan diluar jang lain. ¡¿(M,^) = px2 — rx2 dan |x(M,C2) = Pi — r22; disini px = MPXdan p2 — MP2. Djadi, menurut soalnja : px2 — r 2 + pa* _ r %= o atau p,2 + p22 = r 2 + r 2. Djika pandjang garisberat MO dalam A MPXP 2 kita sebut z, maka p 2 + p 2 = 2z2 + \d2 (d = PXP2). D ja d i: 2z2 -f %d2 = rx2 + r22, sehingga z = i V 2 r 2 + 2r 2 — d2.

Djadi, tempat kedudukannja ialah suatu lingkaran C3, jang berpusat di O, titiktengah PXP2; itupun, djika 2r±2 + 2r22 > d2. Tandasama tentu sadja memberikan lingkaran-titik O. Dalam hal lingkaran2 jang berpo tongan atau bersinggungan, titik2 A dan B, termasuk tempat kedudukan tsb.; disekitar A, dan djuga disekitar B, kuasa terhadap tiap dari'ling karan2 tadi ketjil sebarang; harga m utlaknja dan jang satu positif, jang lain negatif; keduanja berbatas O. Dalam hal2 ini, tinggallah dilu kis lingkaran (O, OA). Hendaknja pembatja menggambar hal2, djika lingkaran itu bersinggungan-dalam atau bersinggungan-luar. Tinggallah sekarang dua kemungkinan, jaitu djika kedua lingkaran tsb. jang satu sama sekali diluar jang lain atau jang ketjil sama sekali didalam jang besar; kita harus melukis lagi z, d a r i: z —2rx2 + 2r22 — d2; ada Sl?a*U ^ arSa z’ dj'ka 2r2 -f- 2r22 > d2, atau (rx + r2)2 + (rx — r22) > d2 ; djika lingkaran jang ketjil sama sekali terletak didalam jang besar, m a ka: rx + r2 > d, sehingga ada suatu lingkaran C3 jang memenuhi sebagai 280

tem pat kedudukan. D jika lingkaran2 itu jang satu terletak sama sekali diluar jang lain, maka ada kemungkinan, bahwa C3 ada, tetapi djuga ada kemungkinan, bahwa lingkaran itu tidak ada. Dan C3 dapat disebut lin g k a r an-anti-kuasa Cx dan C2; ini berarti, bahwa suatu titik M pada C3 kuasa2nja: ti(MA ) dan n(M*C2) berlawanan. §83. D jik a 2 buah lingkaran Cx dan C2 diketahui, maka menurut dalil 129a tiap titik M pada gariskuasanja /, jang tidak terletak didalam ling karan2 itu, merupakan titikpusat suatu lingkaran K = (M,p), jang me motong tegaklurus kedua lingkaran Cx dan C2. Karena kuasa M, terhadap C2 dan C2, p2, maka M berkuasa p 2 terhadap tiap eksemplar ber kas B jang ditentukan oleh Cx dan C2, sehingga K memotong tegaklurus semua lingkaran dari berkas tsb. Karenanja maka K disebut lingkar anortogonal ber

Gb. 272: L ingkaran ortogonal.

kas tsb. Djika B bertitik-batas Gi dan G2, maka haruslah K djuga me motong tegaklurus lingkaran2 ti tik (Gx, 0) dan (G2, 0) dari berkas B, djadi K melalui Gx dan G2. Menurut dalil 136, akibat per

tam a, m aka lingkaran2-ortogonal Cj dan C2, djadi, lingkaran2-ortogonal berkas B, djuga membentuk suatu berkas Bx, jang bergaris-kuasa c, jaitu sentral B, dan sentralnja ialah l, gariskuasa B. Lagi pula, titik2batas B ialah titik 2dasar Bt atau sebaliknja. Berkas2 B dan Blt jang masing2 terdiri dari lingkaran2 ortogonal berkas jang lain, disebut berkas-berkas-

lingkaran ortogonal. D jadi (bandingkan dengan gb. 273a dan b ) : DALIL

137

Pada tiap berkaslingkaran B terdapat satu dan hanja satu berkas ortogonal Bt; gariskuasa B ialah sentral Blt dan sebaliknja; titik2dasar B ialah titik2batas B lt atau sebaliknja. D jik a B suatu berkaslingkaran konsentris, maka eksemplar2 Bx ber ubah tjoraknja m endjadi garis jang melalui P, titikpusat B; maka dikata281

n

G b . 2 7 3 : B e r k a s lin g k a r a n o r th o g o n a l.

kanlah, bahwa berkaslingkaran Bj dalam hal ini berubah tjoraknja mendjadi berkassinar dengari pu ntjak P.

§ 84-

SOAL-SOAL.

1. Diketahui lingkaran Cx dan C2 dan titik 2 A dan B; tentukanlah tem pat kedudukan titikpusat lingkaran K jang berubah-ubah, djika diketahui, bahwa gariskuasa Cx dan K melalui A dan gariskuasa C2 dan K melalui B. 2.

Diketahui sebuah lingkaran C dan garis m, dan djuga titik M, garis Z dan lingkaran K. Lukislah suatu lingkaran dari berkas, jang bergariskuasa rn dan C, salah satu eksemplarnja, jang : a. melalui M; b. menjinggung l ; c. menjinggung K. Tiap kali bedakanlah hal2, djika m memotong lingkaran C, dan d jika m tiada titik persekutuan dengan C, dan djika m m enjing gung C.

3.

B uktikan, bahwa lingkaran-anti-kuasa dua lingkaran Cj dan C2 ialah tem pat kedudukan pusat2 lingkaran, jang memotong tegaklurus lingkaran jang satu dan dibagi dua oleh lingkaran jang lain, atau sebaliknja.

282

4.

Sebuah berkaslingkaran B ditentukan oleh suatu lingkaran C dan gariskuasa m, jang tiada bertitik persekutuan dengan C; c, sentralnja, dan G, sebuah titikbatas B. Garis l memotong C di A dan B dan memotong m di S; Z tidak berimpit dengan c. a. Buktikan, bahwa ada dua buah lingkaran Cx dan C2 pada B, jang menjinggung / (titik2-singgungnja : R, dan R,). b. B uktikan, bahwa ^ R , G R 2 = 90°.

5.

Suatu berkaslingkaran gariskuasanja m, jang selandjutnja diketahui karan dari berkas itu,

6.

Diketahui lingkaran (M,/'j) dan titik2 A, B dan C. Dim inta melukis lingkaran (N,r2) jang melalui A dan B dan lingkaran (0,r3) jang me lalui C, sehingga lingkaran2 (M,r2), (N,r2) dan (0,r3) dua-berdua ber potongan tegaklurus.

7.

D im inta melukis lingkaran, jang menjinggung lingkaran (P,r) jang telah diketahui dan ja n g ’gariskuasanja dengan suatu lingkaran C jang diketahui, sama dengan gariskuasa lingkaran C dengan sebuah titik M jang diketahui, jang terletak didalam lingkaran itu.

8.

Diketahui lingkaran (M,R) dan berkaslingkaran B, jang ditentukan oleh lingkaran (N,r) dan gariskuasa: m. Lukislah suatu lingkaran dari B, jang dibagi dua oleh (M, R).

9.

D jik a titik 2 A dan B terletak pada lingkaran, jang memotong tegak lurus semua lingkaran jang melalui titik2 C dan D, maka ada pula suatu lingkaran melalui C dan D, jang memotong tegaklurus semua lingkaran jang melalui A dan B. Buktikanlah.

ditentukan oleh sebuah lingkaran (M ,R) dan dengan (M, R) tiada bertitik persekutuan; pula lingkaran (N,r). Lukislah suatu ling jang membagi dua (N,r).

10. (P ,R ) ialah lingkaran-luar segi-empattalibusur ABCD. D jika a suatu lingkaran berubah-ubah dari berkas dengan titik2batas A dan B, dan p suatu lingkaran berubah-ubah dari berkas dengan titik 2batas C dan D, maka buktikanlah, bahwa gariskuasa lingkaran a dan p, jaitu m, melalui suatu titik tetap.

283

BAB

X IV .

INVERSI

§ 85. Pada bab ini dibitjarakan suatu transformasi jang sangat penting, ja itu inversi. Ja n g dim aksudkan, ialah s b b .: kita pilih suatu titik O, dan dari O ditariklah sinar, jang melalui titik A ; pada sinar ini, k ita tentukan titik Ai, sehingga O A .O A i = m ; m dapat positip dan negatip, dan j m | dapat dinjatakan dengan k z (k sedjumlah satuan pandjang). O dinam akan p u s a t dan m k u a s a in v e r s i ; in versi {O ,m ). D ik atak an, bahwa pada inversi ______________ m _______ ini titik A beralih atau di-inA Aj versi-kan ke titik A t; A t dina__►___► m akan titik invers A. Pada A Gb■274: O A O A i = m • dan Ai dapat pula dikatakan tentang titik-dasar dan titik-hasil-inversi, selandjutnja titik-titik ini dinam akan djuga titik - titik s e ra n g k a i. Me nentukan titik Ai dinam akan m e n g in v e rsik an A terhadap sentrum O dengan pangkat m . Lingkaran jang berpusat di O, dengan kwadrat djari-djarinja sama dengan harga m utlak kuasa inversi, djadi lingkaran (O, y/ \m | ), dina m akan lin g k a ra n - d a s a r inversi. D jadi inversi ditentukan oleh lingkarandasar dan tanda pangkatnja. Pada gambar, lingkaran-dasar digam bar dengan garis putus-putus. Karena OAi = m/OA, m aka OAi sebanding terbalik dengan OA („inversi” berarti perbalikan); djika m positip, maka A dan Ai terletak pada satu fihak terhadap O, dan djika m negatip, m aka A dan A t ter letak pada fihak2 jang berlainan terhadap O. Karena inversi (O, — m ) achirnja sama dengan inversi (O, m ) diikuti oleh perbanjakan (O, — 1), m aka djika jang dipandang hanja bentuk dan besar gambar invers, tju k u p kita m em perbintjangkan inversi2 dengan pangkat positip sadja. Dalam hal ini pangkat inversi biasanja ditentukan sebagai kwadrat suatu segmentgaris k, djadi kita katakan inversi (O, /c2). Tiap titik M, dengan OM = k , berimpit dengan titik inversnja; titik sematjam ini nam anja titik - im p it inversi. Banjak titik 2-impit ini tak terhingga, jaitu semua titik lingkaran (O, k ). Tiap titik jang terletak diluar lingkaran ini, titik-inversnja didalam lingkaran dan sebaliknja, asal titik O tidak tu ru t dibitjarakan. Karena titik-invers O, jaitu Oi tidak m ungkin merupakan titik sebenarnja, (sebab O O .O O i = 0), m aka pada tiap2 garis jang melalu1 284

O, titik djauh garis ini dipandang sebagai titik invers 0. Djika suatu titik jang berubah-ubah, jaitu P, bergerak sepandjang garis lengkung K, jang melalui 0 (lihat Px, P2> P3) . . . . pada gambar 275), maka titik invers P mendjauhi 0, djika P mendekati 0. Dalam hal ini, djika P djatuh di 0 , maka L, titik tak sebenarnja pada l (jaitu garissinggung

pada K di 0), dipandang sebagai titik invers 0. Dalam hal seperti ini, titik invers 0 tertentu oleh hubungan jang mengikat 0. Sebaliknja tiap titik tak sebenarnja tentu sadja titik invers-nja ialah pusat 0. D jika kuasa inversi negatip, u m p a m a :— k2, maka inversi-nja tid ak memiliki titik2 impit. Lingkaran (0, k) tetap, tetapi titik2 ling karan ini tidak tetap pada tem patnja; tiap titik lingkaran ini beralih ketitik diametralnja. Gambar Fi dinamakan gambar invers gambar F pada inversi (0 ,m), djika pada inversi tsb. titik2 F beralih ke-titik2 Fi (pada gb. 275 garis lengkung Ki ialah invers garis lengkung K). Dapat djuga dikatakan, bahwa Ft ialah tempat kedudukan titik2 invers dari titik F. F dinama kan bangundasar F t ; F dan Fi djuga disebut gambar2 serangkai. Menentukan Fj, djika F, 0 dan m diketahui, dinamakan meng-inversikan F terhadap kepada 0 sebagai sentrum dan dengan m sebagai kuasa. Dari definisi inversi ini, njatalah : djika Pi titik-invers P, maka djuga P invers Pj djadi djuga umumnja, djika Fi gambar invers F, seba lik nja F gambar invers Fj. Titik-invers P, pada inversi (0, /c2), jaitu Pi mudah dilukis. Djika P terletak pada lingkaran dasar (0 ,k) maka Pi berimpit dengan P. D jik a P terletak didalam lingkaran-dasar (lihatlah gb. 276 a) dan D titikpotong antara lingkaran-dasar dengan garis tegaklurus pada OP di P, m aka Pj ialah titik potong OP dengan garissinggung di D pada lingkaran-dasar, oleh karena OP.OPi = /c2. Karena pada gb. 276a se baliknja P djuga titik-invers P i ; maka untuk suatu titik P diluar ling 285

karan-dasar, tjukuplah lukisan titik-invers Pi jang diuraikan di atas dibalikkan. Ini berarti, bahwa kita melukis lingkaran jang bergaris-

Gb. 276: Melukis P ..

tengah OP, dan menarik talibusur persekutuan lingkaran ini dengan lingkaran-dasar. Talibusur ini memotong OP di Pi. D jik a kuasa inversi negatip (gb. 276 b), dan O E djari2 lingkarandasar jang tegaklurus pada OP, m aka garis tegaklurus di E pada PE memotong garis OP di Pt. D jik a 'h a ru s dilukis beberapa titik-invers pada inversi dengan kuasa positip atau negatip, ada faedahnja melukis lingkaran perto longan, sehingga kuasa O terhadap lingkaran ini sama dengan pangkat inversi (gb. 277). Untuk mendapat titik-invers P, lebih dulu pada lingkaran-pertolongan ditentukan titik Q, jang sama djauhnja dengan P dari O. Titik-invers Q, jaitu Qi, ialah titikpotong kedua antara OQ

®

Gb. 277b: K uasa - /c*.

dengan lingkaran pertolongan ; selandjutnja Pi terdapat, karena OPi = OQi. U ntuk melukis semua titik-invers jang diperlukan dengan tjara ini, djari2 lingkaran-dasar harus dipilih tju k u p pandjang. Ling karan pertolongan pada gb. 211a tentu sadja boleh digunakan pada kuasa positip, dan pada gb. 277b pada pangkat negatip. Pada pangkat positip k2, lukisan Pi dapat djuga dikerdjakan de ngan pertolongan beberapa segitiga sebangun ; jang sebuah sisi2nja 286

O P dan k, sisi* jang sesuai pada segitiga lainnja, jaitu k dan OPi; lihat gb. 278 a, segitiga samakaki OPS dan OSPi sebangun. Lukisan Pi se bagai berikut (lihat gb. 278b).

Gb. 278: Melukis. P .. i

Buatlah lingkaran2 (P, PO) dan (O,k); djika S titikpotong lingkaran2 tsb. lingkaran (S, k) memotong garis OP, selain di O, masih lagi dititik jang ditjari, jaitu Pj. Tetapi lukisan ini tidak selamanja m ungkin dikerdjakan. Sebab, supaja ada titik persekutuan antara lingkaran2 (P, PO) dan (O, k), perlu dan tjukup, bahwa j OP — k I < OP < OP + k, djadi OP > \k. D jika OP < i k, lukisan dengan tjara ini g ag al; djadi tjara pada gb. 277a lebih baik untuk digunakan. P e r h a t i a n . D jika diselidiki gambar2 dalam bab ini, biasanja lukisan2 jang dibitjarakan diatas tidak dimuat, supaja tidak memenuhi gambarnja. Dalam praktek dikerdjakan seperti b e rik u t: sebagai pangkat inversi dipilih um pam anja 2400 m m 2 ; djika OP = 30 mm, OP, = 80 m m , djika OQ = 57 mm, OQ, kurang lebih 42 mm, dsb. Pangkat

inversi

selalu d ip ilih

d e n g a n tegas se b alik n ja, lingkaran- dasar.

positip, k e tju a li d jik a

dan d in ja ta k a n

DALIL

dengan

A ?; k

d ik a ta k a n

ia la h

d ja r i2

138.

D jik a A i dan B\ titik2-invers A dan B pada inversi (O, k2), maka: a. Titik 2 A, B, A\ dan B\ konsiklis ; kKAB

b A ' B' = OA jOB B u k t i , a. Karena OA.OAi = OB.OBj = k2, maka (lihatlah dalil 114c), A, B, A i dan Bj, terletak pada satu lingkaran, ketjuali, djika A dan B terletak pada garis jang melalui O ; dalam keadaan terachir ini keempat titik tadi kolineair.

287

b. A OAB oo A OBjAj (dalil 93); OA = k2 k— ; AB = d ; AiB i :d = - : b ; a a k2d dj adi AiB, =

a ; OB =

b ; OAj

D jik a t it ik 2 O, A dan B terle ta k p a d a satu garis dengan u r u ta n in i, m a k a te n tu s ad ja diperoleh d ja w a b ja n g sam a u n tu k A ^ ; sebab k u ra n g ila h sad ja O terus-menerus, sehingga; a c h irn ja OAAi ber im p it dengan OBBj.

Djika titik2 A dan B tidak terletak pada fihak jang sama thd. O, /c2 /c2 k2 k2 k2(a + b) . . : maka OA, = —, OB: = — , djadiA.Bj = — + — = ---- r--•; disin 1 a 1 b 3 1 a b ab k2d a -f b = AB = d ; djadi djuga dalam hal ini AjBj = — . K ita peringatkan dengan sangat, bahwa pada gb. 279 sebenarnja Aj dan Bi titik2-invers A dan B, tetapi bahwa gambar invers segmentgaris AB bukanlah segmentgaris AjBi. P e r h a t ia n .

AB

dan AjBj

p ad a

gb. 279 satu

sam a la in anti-paralel

te rha da p OA dan OB.

§

86.

Sekarang akan kita selidiki bangun-bangun apakah didapat djika suatu garis dan sesuatu lingkaran diinversikan. DALIL

139.

a. Suatu garis lurus l, karena inversi (O, k2) beralih kepada garis itu sendiri, djika O terletak pada l. b. D jika O tidak terletak pada l, dan M ialah projeksi O pada l, maka pada inversi (O, k2), l beralih kelingkaran dengan O sebagai garistengah. B u k t i , a. Karena definisi inversi, maka tiap titik pada l, jang bukan O beralih ketitik pada l pula. Njatalah pula, bahwa sebaliknja, tiap titik l ialah titik-invers titik l, djadi gambar invers l terdiri dari seluruh garis l. b. D jika T titik / jang bukan M, dan Tj titik-invers T, m aka M, T, ^ dan Mi menurut dalil ,138a konsiklis, djadi /_ OTiMi = 90°, se

288

hingga Tj terletak pada lingkaran k dengan 0 M X sebagai garistengah. D jik a sebaliknja Si titik lingkaran ini dan bukan 0 atau Mi, dan S titik inverse m aka lagi M, S, Si dan konsiklis, djadi /_ MiMS = 90°, sehingga S terletak pada Z. Karena titik O pada lingkaran, adalah titikinvers titik-djauh Z, ling karan seluruhnja dengan OM sebagai garistengah ialah gambar invers Z. Dari gambar 280 djelaslah pula lukisan ‘gambar invers garis Z, jang tid a k melalui O. Tjukuplah ditarik OM _|_ Z (M pada Z) dan ditentukan titik invers M, jaitu Mj, dan seland ju t n ja ’ lingkaran dengan OMi sebagai Gb. 280: Gambar invers l. garistengah, ialah gambar invers Z. D jik a pangkat inversi positip, dan Z m em otong lingkaran dasar (0,ft) di Q dan R, m aka M1( ialah titikpotong antara OM dengan garis tegaklurus di R pada OR. D A L IL

140 a.

D jik a O terletak pada lingkaran C dan P\ titikinvers P terhadap O, m aka lingkaran ini pada inversi (O, ± k2) beralih ke garis tegaklurus d i P i pada OM , djadi kegaris melalui P x sedjadjar dengan garis-singgung t di O p ada. lingkaran C.

Menurut dalil 139 b, lingkarannja ialah gambar invers garis tegaklurus jang tsb. diatas; djadi garis jang terachir ini ialah gambar invers lingkarannja. B u k t i.

289 Planim etri — 19.

Lukisan gambar invers lingkaran (M, r) mudah djuga, lebih2 djika (M, r) memotong lingkaran-dasar. Sebab, djika Q dan R titikpotong2nja, m aka garis Q R ( = Ci) ialah gambar invers lingkaran (M, r), djika kuasanja positif (gb. 281 a); djika kuasanja negatif (gb. 281 b), invers C, ja itu Ci, melalui titiklaw an2 Qt dan RtP e r in g a t a n . Berkenaan dengan dalil

140a dan peringatan pada dalil 138, m aka lingkaran-luar segitiga ABC pada inversi dengan A sebagai pusat beralih kegaris lurus, jang anti-paralel dengan BC terhadap A. Karena garis ini menurut dalil 140a sedjadjar dengan garissinggung di A, pada lingkaran tadi, maka djuga garissinggung ini anti-paralel dengan BC terhadap /_ A. Jang terachir ini tentu sadja dapat djuga dibuktikan dengan langsung dengan dalil 112, akibat 2. DALIL

140 b.

D jik a O tidak terletak pada lingkaran C dan kuasa O terhadap C, dise but (i, maka lingkaran ini pada inversi (O, ± k2) beralih ke lingkaran C\, 4-k2 jang terdjadi dari C karena perbanjakan (O,---). t* B u k t i . Djika P suatu titik lingkaran (M, r), Pt titikinvers P dan Q titikpotong kedua antara OP dengan lingkaran tadi, m aka pada gb. 282 a dan b : OP.OPi = /c2 dan OP.OQ = n ;

di adi:

O P j= ^ ! o q . t*

Gb. 282: Lingkaran (N ,s) ialah gambar invers lingkaran ( M ,r ) .

sehingga Pt terletak pada lingkaran (N., s) (awas : N, dan bukannja Mi) jaitu hasil peralihan lingkaran C (M, r) djika diperbanjakkan dengan Njatalah djuga, bahwa sebaliknja, tiap titik lingkaran (N, s) ialah invers suatu titik lingkaran (M, r). 290

Pada gb. 282 c kuasa inversi negatif; djuga n negatif; djadi C diperbanjakkan dengan faktor positif.

P e r i n g a t a n k e -I. Oleh pembitjaraan diatas telah didjelaskan pernjataan : ,,titik 2-invers dua buah lingkaran” , (halaman 213). P e r in g a t a n Ke-II. D jika sebuah titik mendjalani lingkaran C dengan arah kekanan (lihatlah pada gb. 283 titik 2: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1); titik 2-inversnja bergerak pada lingkaran Ci dengan arah kekiri; lihat h, 2i, 3j, 4i ........ 8i, li. Djelaslah, djika kita bergerak dari 1 ke 2, djarak dari O, ja itu d, mendjadi lebih besar; dan karena bertambahnja d, m aka akan berkuranglah hasilbagi k2 : d.

Ke-III. D jika lingkaran (M, r) dengan lingkaran dasar tid a k bertitik persekutuan, gambar invers dapat diperoleh dengan tjara ja n g semudah-mudahnja dengan menginversikan titik 2 potong antara OM dan lingkaran (M, r), jaitu A dan B. D jika A t dan Bt titik 2-inversnja, A iB i ialah sebuah garistengah lingkaran (N, 5). P e r in g a t a n

Gb. 284: M elukis gambar invers lingkaran ( M ,r) dengan lingkaran dasar.

D jik a lingkaran (M, r) memotong lingkaran-dasar (O, k) di titik 2 C dan D (lihat gb. 284 a dan b), m aka titik 2 ini pada inversi (O, k2) beralih 291

kediri sendiri. D jik a E titikpotong kedua antara OD dengan lingkaran (M, r) m aka D N // EM, karena O titik kesebangtinan lingkaran2 (M,r) dan (N,s). D jadi lingkaran (N,s) dapat dilukis dengan mudah. Djika lingkaran (M,r) menjinggung lingkaran-dasar di R dan S titikpotong kedua antara M R dan lingkaran (M,r), tentukanlah titikinvers S, jaitu S i ; dan lingkaran (N, s) ialah lingkaran jang bergaristengah RSi. D jikalau M berimpit dengan O, tjukuplah di-inversi-kan satu titik lingkaran (M,r) sadja; m aka lingkaran (O, OAi) ialah gambar inversnja. Hendaklah diperhatikan akibat2 berikut ini, jaitu dari dalil 140 b, jang sangat penting. A k ib a t k e -1. D jik a ¡i kuasa lui O, maka pada inversi (O, n),

O terhadaplingkaran C jang tidak mela C beralih C sendiri.

k2

Sebab, pada dalil 140 b __ = 1 . D jika n positif, dari akibat ini vdapat ditarik kesimpulan lagi: A k ib a t k e -2 ( lihat gb. 285 a).Pada suatu inversi dengan kuasa positif, tiap lingkaran, jang memotong tegakluruslingkaran-dasar, beralih kediri sendiri. S = S it P = Qu Q = P h

Gb. 285: C = C/.

Sebaliknja, tiap lingkaran jang bukan lingkaran-dasar dan jang beralih kedirinja sendiri pada inversi, memotong tegaklurus lingkaran dasar. Pada inversi dengan kuasa negatif (gb. 285b), tiap lingkaran jang membagi dua lingkaran-dasar, beralih kediri-sendiri; S dan Si ialah titik 2 diametral pada lingkaran-dasar; P = Qu dan Q ^ P i . Hendaknja diperhatikan, bahwa pada gb. 285 a, djika P bergerak kearah kanan sepandjang C, titikinversnja Pt bergerak sepandjang C kearah kiri ; pada.gb. 285 b kedua titik tsb. bergerak searah. A k ib a t k e -3. D jik a lingkaran (M , r) bukan lingkarantitik dan {N, s) gambar invers-nja pada inversi (O, k2), maka M dan N pada inversi ini ■bukanlah titik2-invers.

292

OAM B ialah pemuat AB, garistengah lingkaran dengan titik pertengahan M ; djuga pembawa BiAj dengan titikpertengahan N; OA = a dan OB = b ; OM = i( a -f- b) ; ON = -J

n akan

la

M

djika a—^ ~ X $ ( — + — ) = k2, atau (a — b)2 = 0: hal 2 \a b' ini hanja terdjadi, djika a = b, djadi djika r = 0.

dj adi

Mi,

Dengan pertolongan dalil2 140 a dan 138 b dapatlah sekarang di berikan bukti jang mudah untuk dalil Ptolemaeus (dalil 115 a), dan u ntu k dalil 115 c. Sebab djika ABCD sebuah segi-empat talibusur, dengan A B = a, AC = p, BC = b, CD = c, DA = d, dan BD = q, tentu pada inversi (A, k2) lingkaran-luarnja beralih kegaris lurus, se hingga titik 2 inversinja B, C dan D, jaitu Bj, Ci dan D t kolineair. Karena Ci terletak diantara Bi dan Di, maka BiCi + CiDi = B i D j .................. (1) fc^b k2c k2a Menurut dalil 138 b : BiCi = — , CiDi = ——, dan BiDi — — —, seap dp ad hingga (1) m e n d ja d i: atau : bd + ac = p q ............ (2)

ap

dp

ad

D jik a A, B', C dan D tidak konsiklis, pada inversi (A, k2), Ct tidak djatuh pada BjDi, djadi BiCi + CiDi > B iD ^ sehingga dengan tjara jang sama diperolehlah : bd + ac > pq ; dengan ini djuga telah terbukti dalil 115 c. Sebaliknja, djika pada segiempat ABCD diketahui rumus (2), maka karena inversi (A, k2) harus293

lah ada rumus (1), djadi bahwa Ci terletak pada B1D 1. Djadi B, C, D dan A terletak pada satu lingkaran, sedangkan pasangan2 titik A, C dan B, D jang satu memisahkan jang lain. § 87. Pada gb. 288 /_ (Z, m) = 30°; sudut ini dibajangkan kepada m; bajangan-tjermin ialah /_ (Zs, m); panah pada sudut pertama pada bajangan-tjermin mendapat arah berlawanan ; /_ (l,m) = 30°, dan /_ (Zs, m) = — 30°. Djika pada suatu gambar telah dipilih suatu arah untuk bergerak, um pam a kekiri, dan ini disebut positif seperti di ilmu-ukur sudut, gerak kekanan dinamakan nega Gb. 288: Sudut1 berarah. tif. K ita beri sebuah tjontoh. Pada gam bar 289 a, telah dipilih arah EB pada ta lib u su rn ja; lingkarannja didjalani kekiri. Sudut di A antara kedua gambar berarah ialah sudut dengan kaki ke-1 AB dan kaki ke-2 A D ; di E : /_ E (B, G ); sudut2 ini harga m utlaknja sama, tetapi arahnja berlawanan ; jang pertama kekiri jang kedua kekanan. Pada gb. 289 b, di P : /_ (C^, C2) = /_ P(H, K), djadi kekanan ; di Q : Z. ( Clt Q (L, N), djadi k e k iri; djuga sudut2 ini berlawanan.

Gb. 289: Sudut 2 jang bertentangan arahnja.

Akan diselidiki sekarang, apakah inversi bersifat samasudut searah atau berlawanan. Untuk ini kita pandang sebuah garis lengkung K , jang berpangkal di suatu titik P, jang tidak berimpit dengan pusat inversi, jang mengubah P dan K mendjadi Pi dan Ki; melalui titik P itu djuga ada garis lengkung kedua, jaitu L ; Li melalui Pj. Garis lurus O P dinam akan Z; transversal garis2 lengkung ialah m ; m memotong K dan K i berturut-turut di Q dan Qi, L dan L\berturut-turut di R dan Rj. 294

%

Sekarang m diputar kekanan, sehingga bergerak disudut a kekanan, sampai berimpit dengan /; titik 2 Q dan R berimpit dengan P, Qi dan R i berim pit dengan Pi. PQ beralih ke garissinggung PA, P R ke PB ; pada gam bar2 invers: PiQt ke PtC (awas, ini bukan invers PA), P iR i ke P t D. Sekarang kami njatakan ialah, sudut2 dengan arah panah2 leng kung, berlawanan. B uktinja sebagai b e rik u t: M enurut dalil 138 a PQ QiO rdan P R R 1P1 ialah segiempat2 talibusur, ,. ( Z p (°> Q) + Z Pi (O, Q i) + a = 180°, (kalau perlu, lihatJa < ¿ P ( 0 , R) + Z Pi (O. Ri) + a = 180°. lah gb. 290 kiri atas) K urangilah jang atas dengan jang bawah dan gantilah — Z p (°* Q) dengan Z P(Q.O); djuga jang lainnja. Maka: Z P (Q » ° ) + Z P ( 0 , R ) + Z Pi(Q i. O) + Z P i(0 , R i) = 0, djadi: Z P (Q > R ) + Z Pi(Qi.

R i) = 0

(Pada

§ b- 2 9 0 : 62°

dan — 62°)-

Ini berlaku untuk kedudukan m, seperti pada gb. 290; pada waktu m dan l berimpit, PQ dan P R beralih ke PA dan PB, PiQi ke PC dan PD ; hubungan ini tetap berlaku, djadi (lihat sudut2 jang ada panahnja): Z P ( A , B) + Z Pi (C, D) = 0 (Pada gb. 290 34° dan — 34°).

K ita perhatikan djuga, bahwa pada inversi dengan kuasa positif, se perti pada gb. 290, garissinggung serangkai di P dan Pi jang satu ialah bajangan tjermin jang lain terhadap a, sumbu segmentgaris PPt ; artinja : A P dan CPX memotong a dititik jang sama, djuga PB dan PiD. Hasil penjelidikan ini dapat dinjatakan dengan bentuk i n i : DALIL

141.

Inversi bersifat sama sudut berlawanan-arah. D jadi djika misalnja dua lingkaran saling berpotongan tegaklurus, 295

g am bar inversnja djuga saling berpotongan tegaklurus ; ini berlaku d ju g a u n tu k garis dengan lingkaran atau dua g aris; dalam hal ini tanda sud ut tid a k penting ; jang utam a ialah, bahwa pemotongan tegaklurus sesudah inversi tetap pemotongan tegaklurus. K arena dua garis lengkung itu singgung-menjinggung disuatu t itik P, djika garis2 singgungnja di P berimpit, djadi djika garis2 sing g un g tsb. (djadi djuga garis2 lengkungnja) m em bentuk sudut 0° atau 180° di P, m aka m enurut dalil 141 ini akan berlaku pula u ntuk garis2 lengkung invers. A k ibatn ja jang penting ialah :

Akibat ke 1. D jik a dua garislengkung bersinggungan di P, djuga garis lengkung2 invers-nja akan bersinggungan di Pi, jaitu titikinvers P. Akibat ke 2. Lingkaran jang bersinggungan, pada inversi dengan pusat didalam atau diluar kedua lingkaran tsb., beralih ke lingkaran 2 jang ber singgungan sedjenis; pada inversi dengan pusat didalam lingkaran jang satu, dan diluar lingkaran jang lain, akan beralih ke lingkaran2 jang ber singgungan tidak sedjenis. D alil 141 dan kedua akibat ini sangat penting untuk penggunaan inversi. Sebab pada bermatjam-matjam soal tentang sudut dan ling karan dan persinggungan lingkaran, dapat digunakan inversi dan dalam p ada itu tid ak usah disangsikan, bahwa sudut2 itu tetap dan persing gungan beralih m endjadi persinggungan lagi, sedangkan satu lingkaran atau lebih dapat didjadikan garis lurus, jaitu dengan memilih pusatnja dengan sebaik-baiknja (lihatlah dalil 140 a), sehingga soalnja biasanja m endjadi sangat dipermudah oleh karenanja. D jadi, diandjurkan pada u m u m n ja , u ntu k m em ilih titik jang paling banjak dilalui oleh lingkaran2, sebagai pusat ; kuasa inversi lalu dipilih sedemikian, hingga salah satu dari lingkaran2 tsb. beralih kediri-sendiri. T J O'N T O H

60.

Diketahui lingkaran C — (M ,r), garis l dan titik P. Dim inta melukis lingkaran X , jang melalui P, menjinggung l dan memotong C dengan sudut 60°. C "X P e r s ia p a n . D jika P dipilih sebagai pusat inversi; lingkaran X jang dim inta akan ber alih mendjadi garislurus X x. D jika selandjutnja kuasa P terhadap lingkaran C dipilih sebagai kuasa inversi, C akan beralih kepada diri-sendiri, sedangkan / mendjadi lingkaran

Gb. 291 a. 296

lx. D jadi soalnja telah diubah oleh inversi mendjadi : melukis garis X i, jang menjinggung h, dan memotong Cj dengan sudut 60°. Karena semua garis jang memotong C dengan sudut 60° menjinggung Cx = (M ,£ r), tinggallah dilukis garissinggung persekutuan lingkaran2 k dan Cj. Ini harus di-inversi-kan kembali untuk mendapat lingkaran jang dim inta. L u k is a n .

D jika P terletak (seperti pada gb. 291 b) diluar lingkaran

Gb. 291b: Lingkaran X melalui P , menjinggung l dan memotong C dengan sudut 60°.

C, dan k pandjang garissinggung dari P kepada C, maka (P, k) ialah lingkaran-dasar inversi (P, k2). D jika A projeksi P pada /, kita tentukan dulu titik inversnja : A i ; seterusnja h ialah lingkaran jang bergaristengah PAj. Selandjutnja dibuatlah lingkaran Ct = (M,£ r), dan dilukislah garissinggung persekutuan kepada Cx dan ¡¡, jaitu X i. X i menjinggung /i di R i ; P R i memotong / di R ; R ini ialah titiksinggung l dan X . Pusat X , jaitu N, ialah titikpotong antara garis tegaklurus di R pada / dengan garis tegaklurus dari P pada X i ; sebab, X i invers X dan pusatnja P. D jika X i memotong lingkarandasar di D dan E, masih dapat diperiksa, bahwa X djuga melalui D dan, E. B u k t i . Karena X i menjinggung h dan Cv djadi memotong C dengan sudut 60°, maka X akan menjinggung / dan memotong C dengan sudut 60° (lihat um pam anja pada S), lagipula X melalui pusat, sehingga me menuhi permintaan.

297

M

Kepada lingkaran2 C,^ dan U sebanjak-banjaknja ada 4 buah garissinggung persekutuan (pada gb. 291 b hanja digam bar sebuah sadja), sehingga sebanjak-banjaknja 4 buah lingkaran memenuhi perm intaan. Sekarang akan diberikan bukti dalil Feuerbach dengan pertolong an inversi ; lihatlah halaman 212 gb. 213.

P e m b itja r a a n .

Gb. 292: D a lil Feuerbach.

Pada gb. 292 (I, r) lingkaran-dalam, (Ia, O lingkaran-singgung pada sisi BC dan e (pusat N) lingkaran-titik-sembilan a A B C ; ling karan ini a.l. melalui titik pertengahan sisi2, jaitu D, E, F. Titikpotong A l dengan BC, jaitu S, ialah titik-kesebangunan-dalam lingkaran2 (I, r) dan (Ia, ra) ; djadi, garissinggung-dalam persekutuan jang bukan BC, ja itu B 'C ', melalui S. Garissinggung pada e di D, jaitu D H , sedjadjar dengan garissinggung pada lingkaran luar A ABC di A, karena lingkaran ini djika diperbanjakkan dengan faktor — | dan titikberat A A BC sebagai pusat, mendjadi s, sedangkan D titikperbanjakan A. D jadi D H antiparalel dengan BC terhadap /_ A, djadi sedjadjar dengan B 'C '. Cl ialah garisbagi y, C Ia garisbagi sudutluarnja; djadi A l : IS = A Ia : S Ia ; projeksi2 A, I, S dan Ia pada garis sisi BC ialah G (titik ini terletak pada lingkaran N ), l', S dan I'a. D jadi djuga G l' : r s = G I a':

S U '. 298

Karena B Ia' = C l' ( = s — c), maka D I' = D Ia' ; pada halam an 271 telah didapat D I '2 = D I 'a2 = DS.DG. D jika sekarang dimisalkan DS . D G = k2, lingkaran2 a (I, r) dan ¡3 (Ia, ra) pada inversi (D, k2) beralih kediri-sendiri, sedangkan s beralih mendjadi garis lurus melalui S sedjadjar dengan D H , djadi mendjadi B'C'. Karena B 'C ' menjinggung lingkaran2 a dan (3, djadi, berhubung dengan akibat ke-1 dalil 141, djuga e harus menjinggung lingkaran2 tadi. Dengan menginversikan K dan L, ja itu titiksinggung2 B 'C ' dengan lingkaran2 itu, didapatlah titiksinggung2 antara e dengan (I, r) jaitu Ki dan Li. Ki diperoleh sebagai titik p o to ng kedua antara D K dan lingkaran (I, r) djuga Li sebagai titik-potong kedua antara D L dan lingkaran (Ia, ra). §88.

-T J O N T O H

61.

Buktikan, bahwa gambar invers suatu berkaslingkaran merupakan , berkaslingkaran lagi.

Gb. 293: Gambar invers sebuah berkaslingkaran adalah sebuah berkas lingkaran lagi.

B u k t i . D jik a B b e rk aslin g k a ran ja n g d ik e ta h u i, d a n

d an K 2 ia la h

299

f

i

I

dua lingkaran dari berkas ortogonal, m aka B ialah kumpulan lingkaran2 jang memotong tegaklurus K x dan K 2 (lihatlah dalil 137). Menurut dalil 141 gambar inversi B, jaitu Bi, ialah kumpulan lingkaran2 jang memo tong tegaklurus lingkaran2 invers: K xi dan /C2i. Menurut dalil 136, akibat ke-1, Bi djuga berkaslingkaran. Pada gb. 293 B ditentukan dengan lingkaran2 Cx dan C2, garispangkatnja ialah m, dan c sentralnja. Pada inversi dengan pusat O dan ling karan dasar G, beralihlah Cx dan C2 mendjadi lingkaran2 Cxi dan C2i. Lingkaran C jang melalui O beralih mendjadi garis lurus n = C i; djadi n haruslah gariskuasa B\ (lihatlah gb). Lingkaran K dari berkasortogonal B, jang melalui O, beralih mendjadi garis lurus K i = K, jang harus memotong tegaklurus semua lingkaran dari Bi, djadi sen tralnja B i. Selandjutnja m, gariskuasa B beralih mendjadi lingkaran dari B h jang melalui O ; invers m tidak ada pada gambar. Dalam hal, bahwa B m em punjai titik 2 dasar D dan E, buktinja mudah sekali, karena kum pulan semua lingkaran jang melalui D dan E beralih men djadi lingkaran2 jang melalui titik invers D dan E, jaitu D t dan Et ; ini masih berlaku djuga, djika D dan E berimpit. Karena inilah, m aka pada gb. 293 telah diambil berkas B dengan dua titik 2 batas Gx dan G2 ; pada inversi titik 2 ini (sebagai lingkaran2titik) beralih mendjadi titik 2 batas Bi, jaitu Gji dan G2i. Dalam hal2, djika B berkaslingkaran konsentris, atau djika pusatnja ialah sebuah titik dasar atau titik batas berkaslingkaran jang tidak konsentris, kita persilahkan melihat soal-soalnja (lihat § 89 no. 23 dan 24); dalilnja tetap berlaku, asal 'sadja berkassinar di anggap sebagai berkasling karan istimewa. T JO N T O H 62.

Buktikan, bahwa titiksudut2 A A B C pada inversi (P, k2) beralih mendjadi titiksudut2 A A iBiCi, jang sebangun dengan A D E F , jaitu segitiga titikkaki P terhadap A ABC . B u k t i. disebabkan karena inversi, AiBi antiparalel dengan AB ; Bj = /_ Dx, sebab B D P F segi-empat talibusur, karena sudut2 P D B dan P F B keduanja 90°. /_ A i2 = /_ C2 = Z D 2 karena alasan jang sama. D jadi' Aj dari A A iB ^ i sama dengan D dari A D EF, Z Bi = E dan Ct = /_ F. D jadi segitiga-segitiganja sebangun.

300

S 0 A L-S 0 A L 1. D jika gambar G pada inversi (0, m) beralih mendjadi G m dan Gn. Buktikanlah. pada inversi (0, n) mendjadi Gn, maka Gm 2.

Diketahui dua lingkaran Cj dan C2 dan titik M. D im inta melukis lingkaran jang melalui M dan : a. memotong tegaklurus Cx dan C2; b. memotong Cx dan C2 dengan sudut2 jang diketahui.

3.

Diketahui 3 buah lingkaran Cv C2, C3, jang melalui satu titik O ; lukislah lingkaran, jang menjinggung ketiga lingkaran tsb.

4.

Diketahui titik M, garis lurus l dan lingkaran C ; lukislah lingkaran jang melalui M dan menjinggung l dan C. \

5.

Diketahui titik 0, garis /, lingkaran C.dan segmentgaris k. Lukislah garis lurus melalui 0, jang memotong l di M dan memotong C di Q, sehingga OP. Q 0 = — k2.

6. Diketahui dua lingkaran Cx dan C2; pada C, diambil titik 2 Ax dan Bj dan pada C2 titik 2 A2 dan B2, sehingga Ax dan A2 dan djuga Bx dan B2 merupakan titik 2 inversluar (-dalam) Cx dan C2. B ukti kan, bahwa titikp.otong A1B1 dengan A2B2 terletak pada gariskuasa Cx dan C2. 7.

D ua lingkaran Cx dan £ 2 keduanja memotong tegaklurus (P, k). B uktikan, bahwa titikpotng S dan Sx dari Cx dan C2, merupakan titik 2 invers pada inversi (P, k2).

8.

D jika titik 2 A dan Ai titik2 invers pada inversi (P, /c2), buktikan, bahwa MA : MAi tidak berubah, djika M berdjalan sepandjang lingkarandasar (P, k).

9.

Lingkaran2 Q dan C2 memotong C3 dengan sudut siku2; Cx dan C2 m em punjai titik 2 persekutuan A dan B ; C2 dan C3 titik 2 E dan F, dan C3 dan. Cx titik 2 G dan H. Buktikan, bahwa lingkaran2 AFG dan A H E bersinggungan di A.

10. A B ialah garistengah lingkaran e; selandjutnja titik 2 C dan D ter letak pada £ ; AC dan BD potong-memotong di S. Buktikan, bahwa lingkaran SCD memotong tegaklurus lingkaran e. 301

11.

Diketahui titik 2 A, B, C, D. D jika lingkaran2 ABC dan A B D ber potongan tegaklurus, hal ini berlaku djuga bagi lingkaran2 ACD dan BCD.

12. D ua lingkaran Cx dan C2 berpotongan di A dan B. Garissinggung di A pada C2 memotong Cx lagi di Dx dan garissinggung di A pada Cj memotong C2 lagi di D 2. D jika lingkaran A D X D 2 selain di A, masih memptong garis AB lagi di E, maka AE = 2AB. Buktikanlah. 13. Diketahui sebuah titik A, lingkaran a, jang tidak melalui A dan pada a titik 2 B dan C. D jika M suatu titik a jang berubah-ubah, buktikan, bahwa lingkaran ABM dan ACM berpotongan dengan sudut jang tetap. 14. Tiga buah lingkaran ialah, Cv C2 dan C3, melalui satu titik M, titikpotong2 lainnja ialah S12, S23 dan S13 (S12 pada Cx dan C2, dst.). D i buatlah lingkaran jang melalui P dan S23 dan memotong tegak lurus Clf ; begitu djuga /C2 jang melalui P dan S13 dan memotong tegaklurus C2, dan K 3 jang melalui M dan S12 dan memotong tegaklurus C3. Buktikan, bahwa selain M, masih ada lagi sebuah titikpersekutuan: K lt K 2 dan K 3. 15. Diketahui tiga buah lingkaran a, ¡3 dan y ; P dan y berpotongan di A dan A ', y dan a di B dan B' dan a dan ¡3 di C dan C'. Melalui suatu titik P dibuatlah lingkaran2 PA A ', P B B ', dan PCC' ; buktikanlah, bahwa lingkaran2 ini masih harus m em punjai sebuah titik per sekutuan lagi selain P. 16. Dua buah lingkaran Cx dan C2 berpotongan tegaklurus di O ; ling karan C3 menjinggung Cx di Q dan C2 di R ; P suatu titik pada C3 jang bukan Q dan R. Buktikan, bahwa lingkaran2 POQ dan O P R berpotongan dengan sudut 45°. 17. A, B dan C dengan urut-urutan ini terletak^pada sebuah garis lurus. Suatu lingkaran e jang berubah-ubah melalui A dan B. C dihubung kan dengan K dan L, jaitu titiktengah2 kedua busur AB dari e. D jika CK dan CL berturut-turut masih memotong lagi lingkaran e di M dan Q, tentukanlah tempat kedudukan M dan Q. 18.

302

Diketahui 2 lingkaran berpotongan ,a dan p, dan lingkaran ketiga y. Lukislah lingkaran jang memotong tegaklurus « dan (3, dan memo tong y dengan sudut 60°.

19.

Diketahui garis l dan titik M, diluar l. Melalui M ditarik dua buah garis a dan b, jang membuat sudut lantjip

20.

Tentukanlah pusat inversi 0 , sehingga titik A, B dan C jang di ketahui mendjadi tiga titik Ai, Bi dan Ci jang kolineair, sedemikian, hingga Bi titiktengah AiCi.

21.

Diketahui lingkaran (M, R) dan (N, r); MN = d. Tentukan pusat dan kuasa inversi, jang mengubah lingkaran jang satu mendjadi lingkaran jang lainnja.

22

E m p at buah titik A, B, C dan D karena inversi (0, m) beralih ke pada Ai, Bi, Ci dan Di. Tentukanlah O, sehingga : a. A 1 B 1C1D 1 merupakan djadjarangendjang ; b. D i mendjadi pusat lingkaran-luar A A 1B1C1.

23.

a. Diketahui berkaslingkaran B dengan titikdasar2 P dan Q. Beralih kemanakah B pada inversi (P, m) ? b. Beralih kemanakah B ' , berkas-ortogonal B, pada inversi (P, m)? c. Selidikilah pada a) dan b), djika P dan Q berimpit. a.

24.

Diketahui berkaslingkaran konsentris B, dengan pusat P. Ber alih kemanakah B pada inversi (P, m) ? b. D jika 0 suatu titik jang bukan P, selidikilah kemana B (lihat a) beralih pada inversi (0, m).

25.

Tentukan gambar inversi berkassinar dengan puntjak T pada in versi (0, m) dalam kedua hal, jaitu djika: a. O berimpit dengan T ; b. O tidak berimpit dengan T.

26.

Diketahui dua lingkaran tak-konsentris Cx dan C2, jang tidak mempunjai titik persekutuan. Lukislah 0 , pusat inversi, jang meng ubah Cx dan C2 mendjadi lingkaran2 konsentris.

27.

a. b.

28.

Tentukanlah tempat kedudukan titik 2 P, jang segitiga-titikkaki-nja terhadap A ABC samakaki. * Lukislah titik 2 jang segitiga-titikkakinja terhadap A ABC samasisi.

Buktikan, bahwa ketiga lingkaran Apollonius A ABC berpotong an dua-berdua dengan sudut 60°. 303

B A B XV . SOAL P E R S IN G G U N G A N A PO LL O N IU S

§

90 .

Soal persinggungan Apollonius berisi lukisan lingkaran2, jang meme nuhi tiga ketentuan; tiap ketentuan m engharuskannja: melalui suatu titik atau menjinggung pada suatu garis atau pada suatu lingkaran. Hubungan antara sjarat2 tsb. ialah seperti berikut i n i : Melalui titik 2; menjinggung garis2 ; menjinggung lingkaran2 1............ 3 ..................................— .......................................— ...................... II 2 .............................. 1........................................ — . I I I............. 2 ............................... — ....................................... 1. I V ........ 1.............................. 2 ........................................— . V ....... 1.............................. — ..................................... .. 2. V I. '........ 1............................... 1....................................... 1. V II......... — .............................. 3 ........................................— . V II I — .............................. 2 ...................... ................ 1. I X ............. — .............................. 1 . . . ; ............................... 2. X .............— ............................... — ....................................... 3. Beberapa daripadanja dapat dikerdjakan dengan djalan jang m udah, sehingga untuk ini tjukuplah kita beri petundjuk jang singkat. I. Lihat dalil 34; V II. dalil 37. II.

M elalui M dan Q dan menjinggung l. Garis jang melalui M dan Q memotong l di S; garissinggung dari S

pandjangnja sama dengan V SM. SQ; garissinggung ini dapat kita pa sang pada kedua belah fihak S di l, dan dengan djalan ini terdapat dua buah titik singgung Tx dan T2; sumbu segmentgaris MQ memotong garis tegaklurus pada l di T, dititik P; maka PT itulah djari2nja. Ada dua buah lingkaran jang memenuhi permintaan itu, karena ada dua titik T; ketjuali, djika MQ / / 1, maka hanja ada satu lingkaran sadja. III.

M elalui M dan Q dan menjinggung lingkaran K. *

P e r s e d i a a n d a n p e l a k s a n a a n . Pada gambar 295, ialah suatu ling karan jang menjinggung lingkaran K. Karena lingkaran2 itu bersinggung an, m aka dapatlah ditarik garissinggung-persekutuan dititiksinggungpersekutuan. Titikpotongnja dengan MQ, ialah S. S suatu titik pada

304

r

gariskuasa kedua lingkaran tsb. Titik ini ditentukan dengan memakai lingkaranpertolongan H, jang memotong K di C dan D, dan melalui M dan Q. Dengan ini, tjukuplah sudah persediaan untuk pelaksanaannja. Buatlah lingkaran H melalui M dan Q; lingkaran ini memotong K di C dan D. Tariklah MQ dan CD; tariklah dari titikpotongnja : S, garissinggung2 STX dan ST2 pada K', PTX dan sumbu MQ berpotongan di Ojj T2P dan sum bu ini berpotongan di O,. P e n je l e s a ia n kedua. Perse diaan dan pelaksanaan. Karena inversi dengan M (atau Q) seba gai pusat, maka lingkaran2 jang dim inta itu berubah mendjadi Gb. 295: ^ dan X 2 melalui M dan Q garis2. Kita pilih M sebagai pusat dan menjiiiggung Kinversi, dan kwadrat garissing gung dari M pada K sebagai kuasa; K mendjadi K lagi dan Q mendjadi suatu titik Qi pada MQ. Invers lingkaran2 jang diminta ialah garissing gung2 jang ditarik dari Qi pada K i = K. Pada gambar 296 kita berikan

pelaksanaannja. M dan Q ialah titik2 jang diketahui, dan K lingkaran 305 planim etri-20

jang harus disinggung oleh X x dan X z. Berturut-turut (untuk pusat inversi M dan kuasanja: MA2): tentukanlah Qi,- K\ = K; tariklah garissinggung OiTji dan QiT2i kepada K; tariklah MTl( dan MT2l; pada K diperolehlah titik 2singgung Tj dan T2. Titikpotong TjP dengan sumbu MQ menghasilkan Oj, pusat lingkaran tarik pula T2P; titikpotcngnja dengan sumbu MQ ialah 0 2. Lingkaran2 X x dan X 2 dengan ini telah tertentu oleh titikpusat dan titiksinggungnja dengan lingkaran K jang telah diketahui. Hal, djika M dan Q terletak didalam lingkaran K, kita serahkan kepada pembatja. IV. M elalui M dan menjinggung l±dan l2. Teranglah bahwa kedua lingkaran jang diminta terletak didalam sudut /x dan /2 jang didalam nja terletak titik M. Tjerminkan M terhadap garisbagi sudut itu; lingkaran2 itu harus melalui M dan Ms, dan menjing gung l-y (atau /2); dengan demikian, maka hal ke-IV ini telah dikemba likan kepada hal ke-II. Penjelesaian kedua didapat dengan djalan memperbanjakkan : lukislah suatu lingkaran jang menjinggung lx dan /2 dan perbanjakkanlah lingkaran ini terhadap pusat S, jaitu titikpotong /j dan l2, hingga bangun-perbanjakannja melalui titik M. V. M elalui M dan menjinggung lingkaran2 Kx dan K 2. P e n j e l e s a i a n p e r t a m a . Lihatlah gb. 297a. X ialah suatu lingkaran jang menjinggung di T dan menjinggung K 2 di S; T titikkesebangunan-dalam X dan K lt S titikkesebangunan-dalam X dan K 2; T, S dan titikkesebangunan-Iuar K x dan K 2, jaitu titik G, ketiganja terletak pada satu garis. Pada gb. 297 b, T, S dan H, jaitu titikkesebangunan-dalam /Cj dan K 2, ketiganja kolineair (lihatlah untuk keduanja itu gb. 146). f

M

Gb. 291 Lingkaran X melalui M dan menjinggung K x dan K 2.

Pada gb. 297 a : GM . GM ' = 306 '

GS . GT — GD . GA == GC . GB; pada

gb. 297 b : HM . HM ' = HS . HT — H A . HC = HB . HD; keduanja m enurut dalil 114. Titik M ' pada gb. 297 a ditentukan dengan lingkaran M A D atau MBC, pada gb. 297 b dengan lingkaran MAC atau M BD . Dengan demikian lukisan ini telah dikembalikan kepada hal ke-III. P e l a k s a n a a n . Lihat gb. 298; diketahui lingkaran2 /<x dan K 2 dan titik

M. Tentukan titikkesebangunan-luar lingkaran2 /Cx dan /C2, jaitu G; lu kislah lingkaran MAD; lingkaran ini dipotong oleh GM di M'; kita lu kiskan sekarang lingkaran2 jang melalui M dan M ' dan menjinggung /<x. U n tu k itu, haruslah dilukis lingkaran-pertolongan melalui M dan M', jang memotong lingkaran /<x; dan lingkaran itu sudah ada, jaitu ling karan jang melalui M, A dan D, jang masih memotong /Cx lagi di Ex; M M ' dan A E X berpotongan di Sx; garissinggung2 dari Sx pada K ± ialah SXTX dan SXT2; garis TXP memotong sumbu MM' di Ox. Lingkaran (Ox, OxTx) ialah X x; OxN menghasilkan titiksinggung F pada K 2; PT2

menghasilkan titik 0 2 pada sumbu MM ; lingkaran JC2 = merupakan lingkaran kedua jang memenuhi permintaan.

02^ 2) Daripada 307

lingkaran jang melalui M, A dan D dapat pula diambil lingkaran jang melalui M dan titik 2 invers B dan C. Selandjutnja, masih ada lagi dua buah lingkaran jang menjinggung lingkaran-tidak-sedjenis K x dan K z. H titikkesebangunan-dalam K x dan /C2- K ita lukis lingkaran melalui M, A dan C (djuga dengan garis putus2) dan didapatlah pada lingkaran tsb. M " pada garis MH. Sekarang harus dilukis lingkaran jang melalui M dan M ", jang menjinggung K x, untuk itu ditariklah lingkaran-pertolongan melalui M dan M ", jang memotong K x; untuk itu, dapat dipergunakan lingkaran jang melalui M, A dan C; lingkaran ini bersekutu talibusur A E 2 dengan lingkaran K x. M M " memo tong A E 2 di S2; S2T3 dan S2T4 garissinggung2 dari S2 pada /Cx; PT3 dan T4P memotong sumbu M M ” berturut-turut di 0 3 dan 0 4; 0 3 titikpusat ling karan menjinggung X 3 = (0 3, 0 3T3), sedang 0 4 titikpusat lingkaran menjinggung jang keempat jaitu: X 4 = (040 4T4). Daripada lingkaran melalui M, A dan C, dapat pula dipilih lingkaran melalui M, B dan D.

P e n j e l e s a i a n k e d u a . Lingkaran2 jang diminta, ']aitu:Xx, X 2, X 3 dan X t melalui M; djika mereka itu kita inversikan dengan M sebagai pusat,

308

I

akan didapat garis2; lingkaran2 jang diketahui tetap lingkaran2, jang harus disinggung oleh keempat garis X ll; X 2i, X 3l dan X 4l. Untuk kuasa inversi kita ambil kuasa M terhadap lingkaran Ki, dan ini mendjadi i = K i, K 2 mendjadi /<2i; titiksinggung2 pada X ti ialah Alt dan Blt di dapat dengan menarik MAxi dan MB^. Karena titik2singgung Ax pada K x dan Bx pada K 2 sudah diketahui sekarang, dan pada lingkaran2 jang bersinggungan, pusat2 dan titiksinggungnja terletak pada satu garis, m aka 0 ^ titikpusat lingkaran X lt didapat dengan menarik A ^ dan BiPo. Dengan tjara jang sama diperoleh pula lingkaran2 X 2, X 3, dan X A. Kepada pembatja diandjurkan dengan sangat, supaja djangan hanja m engikuti pelaksanaan ini pada gambar sadja, tetapi melukis dan djugay. m em bangun sendiri hal ini dengan sangat teliti. V I. M elalui M , menjinggung garis l dan menjinggung lingkaran K 2.

309

I

P e n j e l e s a i a n p e r t a m a . Lukisan ini dapat dipandang sebagai hal isti mewa daripada hal diatas; l dipandang sebagai lingkaran /C2 jang ber ubah tjoraknja; djadi harus dilukis suatu lingkaran, jang menjinggung K 2 dan menjinggung lingkaran l. Titikkesebangunan-luar /C2 dan l, jang pada gb. 298 G, disini ialah D; titikkesebangunan H, disini : C; se bab, pada gb. 298, GD : GB = r2 : rx atau (GB — G D ) : (rx — r2) = GD : BD . r, r2, djadi D B : (rx — r2) = GD : r2 dan GD = ------; pada gb. 300 DB ri r2 dan r2 terhingga, tetapi rx besar tak terhingga, sehingga sekarang GD = 0 dan G berimpit dengan D; dengn tjara jang sama dapat ditundjukkan, bahwa C = H. D jika dengan tjara jang sama seperti pada gb. 298 telah didapat titik M', maka lukisan ini kita kembalikan kepada hal ke II. Pelaksanaannja dapat dilihat pada gb. 300; diketahui l, M dan /C2; tariklah m X h titik2potongnja dengan lingkaran K 2 ialah : D ( = G),

C (— H), dan dengan garis /: B. Lukislah lingkaran jang melalui B, C dan M ; MD menghasilkan M ' sebagai titikpotong kedua; kita lukis 310

lingkaran2, jang menjinggung Z dan melalui M dan M', sebagai b e rik u t: titikpotong MM' dengan Z ialah Ex, pembanding-tengah antara EXM dan EXM ' ialah ax: lingkaran (Ex, ax) menghasilkan titik 2singgung Tj dan T2; 0 x didapatlah pada garis tegaklurus di Tx pada l dan pada sumbu P P ' ; dengan djalan jang sama didapatlah 0 2; dengan demikian kita peroleh kedua lingkaran2 bersinggungan-luar X x dan X 2. K ita pergunakan untuk kedua lingkaran jang menjinggung-dalam K 2, titikkesebangunan-dalam H, disini C. Lingkaran jang melalui M, B dan D dipotong oleh MH di M ". M "M memotong Z di E2; sekarang haruslah dilukis a2, pembanding-tengah antara E2M dan E2M ''. Ling karan (Eo, a2) menghasilkan pada Z titik2singgungT3 dan T4; titik-potong garis tegaklurus di T3 pada Z dengan sumbu M M '' menghasilkan 0 3; dengan tjara jang sama didapatlah 0 4. Titik-singgung didapat dengan menarik PO^ P 0 2, P 0 3 dan P 0 4. P e n je le s a ia n

k e d u a . Lihat gb. 301; M titik jang diketahui, K ling

karan dan Z garisnja. Ambillah M sebagai sentrum inversi dan kuasa M terhadap kepada K sebagai kuasa inversi; lingkaran K tetap dan Z mendjadi lingkaran Zx jang melalui M. Pada lingkaran2 K i dan Zi ditariklah garissinggung2 persekutuannja X 1i, X 2\ , X 3i dan X i i; lihatlah X li; titiksinggungnja dengan Zi ialah T2i dengan Ki: titik Sx]. MTxi menghasil kan titiksinggung Ti pada Z; MSxi menghasilkan titiksinggung Sx pada K. Lingkaran jang menjinggung Z dititik Tlt menjinggung K di Sx dan me lalui M, berpusat di Ox; T A J_ Z; tariklah PSX. Lihatlah selandjutnja pada gb. 301, bagaimana diperolehnja pusat2 0 2, 0 3, dan 0 4. Sebanjakbanjaknja ada 4 lingkaran jang memenuhi sjarat2 jang diadjukan. V III. Menjinggung l, dan /2 dan menjinggung lingkaran K. D j i k a s u a t u lin g k a r a n X h a ru s m e n jin g g u n g /x d a n Z2 d a n m e n jin g g u n g lin g k a r a n K d e n g a n d ja r i2 r, m a k a a d a s u a tu lin g k a r a n k o n se n tris j a n g m e la lu i p u s a t K, ja n g m e n jin g g u n g p a d a ZV1 d a n ZV2, ja i t u g a ris2 ^ d a n Z2 ja n g d ig e se rk a n s e d ja u h p a n d ja n g d j a r i2; k e d u a n ja a d a d id a la m a ta u

k e d u a n ja it u

p u la a d a

p u s a t lin g k a r a n n ja . D e n g a n

d ilu a r

sudut

d e m ik ia n ,

ja n g

m aka

d id a la m n ja te rle ta k

soal

in i

d ik e m b a lik a n

k e p a d a h a l ke IV; s e b a n ja k - b a n ja k n ja 8 lin g k a r a n d a p a t m e m e n u h i p er m i n t a a n . P e la k s a n a a n n ja d is e ra h k a n k e p a d a p e m b a tfa .

P enjelesaian lain sudah te rd a p a t

p a d a tjo n to h 30, h a la m a n

110.

v

IX Menjinggung l dan menjinggung lingkaran* (K v rJ dan (K 2.r2); rx > r2. Ada sebuah garis Z dan dua lingkaran K x (Px, rx) dan K 2 (P2, r2); kita ambil rx> r 2. Sekarang kita kembalikan lukisan ini kepada hal ke VI, 311

k

dengan djalan sebagai berikut. Suatu lingkaran X jang menjinggung /, dan djuga K x dan /C2, konsentris dengan suatu lingkaran C jang menjing gung iv atau i'v menjinggung (Pv rx + r2) atau (P2, rx r2) dan jang m elalui P 2; disini lv ialah garis l jang digeserkan sedjauh r 2kesatu arah, dan /'v kearah jang berlawanan. Djadi: 1) 2) 3) 4)

Cx dan C2 menjinggung /v dan (P1( rx + r2), melalui P2; gb. 302 1. C3 dan C4 menjinggung /v dan (P^ rx — r2), melalui P2; gb. 302 II. C6 dan C6 menjinggung /'v dan (Plf rx + r2), melalui P2; gb. 302 III. gb.302IV. C 7 dan C8 menjinggung Z'v dan (P1( rx — r2), melalui P2;

Perbesarkanlah djari2 Cx — C4 dengan r2, usahakanlah supaja titik 2pusatnja tetap; m aka terdapatlah lingkaran2 X x X 4, jang memenuhi sjarat2 jang diminta. Perketjilkanlah djari2 C5— C8 dengan r 2; usahakan, supaja pusat2nja tetap; m aka didapatlah lingkaran2 X s — X s.

Gb. 302: Lingkaran 2, jang menjiggung l, K l dan K„. Penjelesaian kedua merupakan hal istimewa dari soal persing gungan ke-10, jaitu : garis itu dipandang sebagai suatu lingkaran jang berubah tjoraknja. 312

§

91.

Untuk lukisan jang ke-10 (melukis lingkaran2 jang menjinggung tiga lingkaran jang diketahui), haruslah sebelumnja diberikan beberapa teori tentang lingkaran"-isogonal dan lingkaranz-suplementer. D ua buah lingkaran jang bersinggungan-Iuar, membentuk sudut sebesar 180° dititik-singgungnja; pada persinggungan-dalam, sudut an tara lingkaran2 itu 0°. Suatu lingkaran X v jang bersinggungan-luar dengan ketiga lingkaran2 Kv K 2, K 3, membentuk sudut2 sama dengan ketiga lingkaran tsb; X lf ialah lingkaran-isogonal K v K 2 dan /C3. Suatu lingkaran X 2, jang memotong dua buah lingkaran dan K 2 berturutturut dengan sudut a dan 180° — a, dinamakan lingkaran-suplementer Kx dan /<„; sebagai hal istimewa, ialah apabila sudut2 itu 0° dan 180°; inilah halnja, djika X 2 menjinggung-dalam lingkaran K x dan menjinggung-luar K 2. Berpotongan dengan sudut 180° identik dengan bersinggunganluar; begitu djuga, berpotongan dengan sudut 0° dan bersinggungandalam. Sebanjak-banjaknja ada 23 lingkaran2 jang menjinggung 3 buah lingkaran jang diketahui, sebab banjaknja sama dengan banjak variasi 3 ber-3, dengan perulangan 2 buah unsur; (persinggungan).-luar dan (persinggungan)- dalam.

/<1

k

l<2

3

*1

luar

luar

luar

x 2

luar

luar

dalam

*3

luar

dalam

luar

* 4

luar

dalam

dalam

k

k

3

dalam

luar

luar

dalam

luar

dalam

X?

dalam

dalam

luar

*8

dalam

dalam

dalam

*5

i

2

Gb. 303 menundjukkan 2 lingkaran Cx dan C2 dengan titikkesebangunan-luarnja : G12; suatu garis melalui G12 memotong lingkaran2 itu dititik-titik invers : A dan Ai; pada tiap garis jang melalui G12,maka G12A. G12A i tetap. Dilukislah sekarang lingkaran K 12 dengan djari2 r dan dengan G12 sebagai pusat, sehingga r2 = G12Ai. G ^ ; lingkaran itu disebut Iingkaran-kuasa G12.

Jang dimaksud dengan lingkaran-lingkaran-kuasa dua buah lingkaran ialah lingkaran 2dasar inversi2, jang menjebabkan kedua lingkaran itu mendjadi serangkai satu terhadap jang lain; titik2 pusatnja merupakan titik 2 kesebangunan-luar dan dalam. Djika G12 dipakai sebagai pusat inversi dan 313

r2 sebagai kuasa, m aka Cj diubah mendjadi C2, C2 mendjadi Cv dan K n tetap. D jik a sekarang C3 lingkaran sebarang jang melalui A dan Av m aka lingkaran ini m embentuk sudut2 jang berlawanan dengan Cx dan C 2 (dalil 141). D jik a kita berdjalan sepandjang lingkaran Cv C2 dan C3 sem uanja menurut arah jang sama (pada gb. 303 : kekanan) dan djika

Gb. 303: C3 lingkaranisogonal C x dan C 2 ; C 8 j_ K lt .

tidak diperhatikan tanda2nja, maka sudut2 itu sama; pada gb. itu = 103°; C3 disebut lingkaran isogonal Cx dan C2, karena ia m embentuk sudut2 sama dengan Cx dan C2. D jika P titikpotong C3 dengan K i2, m aka G12P 2 = GA. GAi; djadi P titiksinggung garis G12P pada lingkaran C3; dengan perkataan lain C3 memotong tegaklurus K 12; tiap 2 lingkaran isogonal Cx dan C2 memotong tegaklurus lingkarankuasa K 12. Sebaliknja, tiap2 lingkaran, jang memotong tegaklurus K 1Z, seperti C4, ialah lingkaran isogonal Cx dan C2, karena pada inversinja, C4 tetap. Gb. 304 menundjukkan 3 lingkaran Cx, C2 dan C3 dengan 3 ling karan2 kuasanja : K 12, K 23 dan K 3l; tiap lingkaran jang memotong orto gonal K 12 dan /C31 (lihat lingkaran dengan titikpusat N), memotong ketiga lingkaran Clt C2 dan C3 dengan sudut2 jang sama; disini 50°; K 12 dan /C31 berpotongan di M dan Q, semua lingkaran2 ortogonal jang di maksud m embentuk suatu berkas, jang bergariskuasa garis G12G31 (dalii 317). D jadi sudah kita peroleh : 314

D A L I L

142

Lingkaran 2, jang memotong dengan sudut jang samabesar 3 buah ling karan jang diketahui, jang satu terletak, diluar jang lain, membentuk suatu berkas dan bergariskuasa sumbukesebangunan jang melalui ketiga buah titikkesebangunan-luarnja.

GI2

Gb. 304: 0 12 G 23 ia la h garis kuasa lingkaran 2 jan g memotong isogonal Clt C 2 dan C 3.

Gb. 304 menggambarkan hal, bahwa K 12 dan K 31 berpotongan dititik P dan Q; /C23 djuga melalui P dan Q; sebab, semua lingkaran ber kas Iingkaran2isogonal memotong tegaklurus lingkaran2kuasa K 12, K 23 dan I<31; lihat sekarang dalil 137; jang dimaksud dengan B disini ialah berkas lingkaran2isogonal; dengan Bj dimaksud ketiga buah lingkaran2kuasa dan dengan / dimaksudkan sumbukesebangunan. Djadi ketiga bu ah Iingkaran-kuasa itu harus melalui titik 2batas berkas B, dua daripad anja melalui M dan Q; djadi inilah titik 2batasnja, jang djuga dilalui oleh K 23. Semua lingkaran, jang memotong isogonal Cv C2 dan C3, ber pusat N pada MQ; sebagai djari2 diambil garissinggung dari N pada salah satu dari lingkaran2 K. Diantara lingkaran2 N ada pula sebuah jang memotong tegaklurus ketiga lingkaran Clt C, dan C3; lingkaran ini berpusat di O, titikkuasa ketiga lingkaran tsb., dan berdjari-djari akar 315

dari kuasa d2. Pada inversi, maka Cv C2 dan C3 tidak berubah, djika 0 dipilih sebagai pusat, dan d2 sebagai kuasa. Apa jang dibitjarakan disini, dipergunakan pada soal ke-10 pada lingkaran2 X x dan X 8, jang disebut pada halaman 312. Dalam ke-enam hal2 jang lainnja, haruslah dilukis lingkaran, jang menjinggung sedjenis dua dari tiga buah lingkaran2 dan menjinggung jang ketiga tidak sedjenis dengan jang dua lainnja. Sekarang kita selidiki hal dua buah lingkaran Cx dan C2 dengan titikkesebangunan-dalamnja H12; lihat gb. 305. Suatu garis melalui Hl2

Gb. 305: C , lingkaran supplem entair C, dan C 2.

memotong lingkaran2 itu dititik-titik invers A dan Ai, dengan H 21A .H 12Ai tetap, misalnja: — r2; lukislah sekarang lingkaran dengan H12 sebagai pusat dan r sebagai djari2; lihatlah L12. Pada inversi dengan H12 sebagai sentrum dan — r2 sebagai kuasa, maka C, diubah mendjadi C2 dan C2 m endjadi Cx dan lingkarankuasa L12 tetap. Buatlah lingkaran sebarang C3 melalui A dan Ax; pada inversi tsb., C3 tetap. Karena H12 terletak didalam C3, m aka C3 di A dan di Ax didjalani dengan arah jang sama; djadi sudut2 antara C3 dan Cx dan antara C3 dan C2, sama dititik-titik tersebut; djika semua lingkaran itu didjalani dengan arah kekanan, m aka sudut2 itu mendjadi suplementer; C3 disebut lingkaran suplemen ter Cx dan C2, karena ia m em bentuk sudut2 dengan C±dan C2 jang djumlah nja 180° (dalam gb. 305: 123° dan 57°). Titikpotong antara C3 dan L 12, ja itu pada inversi berubah mendjadi Q, karena H12M2 = r 2 ; djadi, P3H 12 ialah sumbu segmentgaris MQ; tiap lingkaran-suplementer m embagi dua lingkarankuasa L 12; sebaliknja, setiap lingkaran jang 316

m em bagi dua lingkaran L12 seperti halnja dengan C4, ialah suatu lingkaran-suplementer Cx dan C2, karena pada inversi, kedua titik jang terletak diametral, berubahlah jang satu mendjadi jang lain, dan ling karan itu seluruhnja tetap.

Pada gb. 306 kita dapati tiga buah lingkaran C2 dan C3 dengan lingkaran2kuasanja : L12, L23 dan K 31, dengan pusat2nja pada titik 2sebangun H10, H 23 dan G3I. Lingkaran2, jang membagi dua L12 dan L 23, gariskuasanja ialah sentral Ha2H23; semuanja memotong sentral tsb.; titikpotongnja diperoleh dengan melukis salah satu lingkaran-suplementer; u n tu k ini, teristimewa lingkaran O-lah jang patut dikemukakan, karena lingkaran ini memotong ortogonal ketiga buah lingkaran C, djadi: suatu lingkaran-suplementer. Lingkaran2, jang memotong suplementer lingkaran2 Cx dan C2, melalui dua titik tetap pada sumbukesebangunan H 12H 23, ja itu titik 2 M dan Q, titik-potong antara lingkaran-ortogonal Clt C2 dan C3 dengan garis H12H23. Suatu lingkaran, jang memotong C2 dengan sudut a (pada gb. 306 : 65°) dan memotong Cx dan C3 dengan sudut 180° — a, memotong Cj dan C3 dengan sudut jang sama; semua lingkaran2 ini memotong tegaklurus Kg!,- semua lingkaran, jang membagi-dua L 23 dan djuga memotong tegaklurus /C31, semuanja bergariskuasa H 23G13; karena lingkaran2 itu 317

semuanja memotong garis ini, maka mereka itu akan melalui titik2 jang sama, jaitu M dan Q, titik 2potong lingkaran O dengan H23GI3. Jang telah kita peroleh, ialah :

DALIL

143

Lingkaran 2, jang memotong-suplementer Cx dan C2, dan djuga C2 dan C3, djadi jang memotong-isogonal Ca dan C3, melalui M dan Q, dua buah titik pada sumbukesebangunan H 12H 12G13; M dan Q ialah titik2potong ling kar anlingkaran-ortogonal Clt C2 dan C3 dengan sumbukesebangunan.

§92. Lingkaran 2 jang menjinggung 3 buah lingkaran jang diketahui. Pj, P2 dan P3 titik2pusat lingkaran2 dengan djari2 rx > r2 > r3, lukislah lingkaran2 jang melalui titik P3, menjinggung lingkaran2 jang dilukis dengan Px dan P2 sebagai pusat dan dengan djari2 rx ± r3 dan r2 ± r3; maka hal ini mendjadi hal ke-V. P e n je l e s a ia n

P e n je l e s a ia n

a.

318

pertama.

kedua.

Lingkaran 2 jang menjinggung-dalam atau menjinggung-luar K v K 2 dan K 3 semuanja.

Pada gb. 307, Z ialah sumbukesebangunan jang melalui ketiga titikkesebangunan-luar. O titikpusat lingkaran-ortogonal C; C ialah salah satu lingkaran dari lingkaran2isogonal, sehingga ia termasuk dalam berkas, jang bergariskuasa Z. Ini berarti, bahwa titik2pusat lingkaran2 jang dim inta, jang sudah tentu lingkaran2 isogonal (180° atau 0 °), ter letak pada garis n, jang ditarik melalui O dan tegaklurus pada Z. Garissinggung-dalam persekutuan kepada dan X x (X x ialah lingkaran, jang menjinggung-luar K v /<2 dan /C3) memotong gariskuasa di A; titik ini djuga terletak pada k, pemuat talibusur persekutuan K ± dan C, se hingga dapat ditentukan dengan segera. D jadi, pelaksanaannja sebagai berikut (gb. 307) : tariklah garis Z melalui titik 2 G12 G23> dan G31; tentukan 0, titikkuasa K u K 2 dan K 3; tariklah dari O suatu garissinggung pada salah satu dari ketiga ling karan2 tadi; pandjangnja r; tariklah lingkaran-ortogonal C — (0, r); pem uat k, talibusur persekutuan dan C (dapat pula diambil tali busur persekutuan /C2 dan C atau K 3 dan C) memotong Z di A; tariklah garis2singgung A B dan AD pada K ±; PXB menghasilkan Ox, titik pusat X x pada n; DP* menghasilkan 0 8, titikpusat X 8, pada n.

b.

Lingkaran X 2, jang menjinggung-luar lingkaran K 3 dan lingkaran X lt jang menjinggung-dalam luar lingkaran K 3.

dan /<2, menjinggung-dalam dan K 2, dan menjinggung-

Gb. 309: Lingkaran2 X x — X 8 dengan pusat2 Ot — 0 8, jan g menjinggung lingkaran K Jr K 2 dan K 3 dengan Pusat P u P» dan P 3. OiOOsA~ ^12 O2OO1. 1 G)'¿H22H 31! 0^00^ _L GG'^Vl'¿¿HH 0400b JL G ^ H s1H 12;.

Lingkaran X 2 menjinggung-isogonal K x dan K 2 (keduanja 180°), tetapi menjinggung-suplementer K x dan K 3 dan djuga K 2 dan K 3 (180° dan 0°). Lingkaran X 7 djuga menjinggung isogonal K x dan K 2 (keduanja 0°), tetapi m enjinggung suplementer K x dan K 3 dan djuga K 2 dan /C3 (0° dan 180°). D jadi sudah semestinja kita pergunakan dalil 143; lihat lah selandjutnja pada gambar, sumbukesebangunan H 31H 23G12 dan titikkuasa O titikpusat lingkaran-ortogonal C. Lingkaran2 suplemen ter melalui M dan Q, jaitu titik-titikpotong dengan lingkaran C. Soal ini djadi sudah dikembalikan kepad a: melukis lingkaran2 melalui M dan Q, dan menjinggung K x. Sekarang, pelaksanaannja sebagai berikut i n i : diketahui lingkaran2 K x, K 2 dan K 3 dengan titik 2pusat P1( P2 dan P3. Tariklah garis / mela lui H 31, H 23 dan G12; tentukan O, titikkuasa lingkaran2 jang diketahui; tariklah dari O suatu garissinggung pada salah satu dari ketiga lingkaran itu; disini OB = r ; tariklah lingkaran-ortogonal C = = (0 , r). Lingkaran ini memotong K x dan A dan B; AB memotong sumbukesebangunan H 31H 23G12 di S; lukislah garis2singgung dari S pada K x; garis2singgung tadi ialah : STX dan ST2. T itik2pusat lingkaran2 jang ditjari terletak pada garis n, jang melalui o" dan tegaklurus pada sumbukesebangunan; MjTj m emotong n di 0 2, titikpusat lingkaran X 2, jang menjinggung-luar K x dan K 2 dan menjinggimg-dalam K z. Pada dan n terletak 0 7, titik pusat lingkaran X 7, jang menjinggung-dalam K x dan K z dan menjinggung-luar /C3. Dengan ini selesailah sudah pembitjaraan mengenai soal persing gungan ke-10 . H al2 3, 4 , 5 dan 6 pada halaman 304, 306 dan 309 sama dengan hal 2 dan 7 ; hal 2 bersjarat persinggungan-luar K x dan K 2, hal 3 bersjarat persinggungan luar K xdan K z, sedang hal ke-5 bersjarat persing gungan-luar K z dan /C3; djadi, pelaksanaannja sama. Hal ke-4 bersjarat persinggungan-dalam dua dari ketiga lingkaran tsb., dan djuga hal ke-6; djadi, sama dengan hal ke-7 . Pelaksanaan j ang lengkap kedelapan buah lingkaran pada satu gam bar, terlihat pad a gambar 309. § 93.

v

SOAL-SOAL.

Soal2 persinggUngan Apollonius dengan ketentuan2 jang tertentu; M ' projeksi M pada garjs / Ukuran2 diberikan dalam mm. 1.

2

H. I; M M ' ^

, 0. Q Q , = 40; m 'Q ' = 40.

n i. o k x (Pt 35); PM = 50. pQ = 60 321

pVanin,etri * 21 •

3.

4. 5.

IV. Z (*> ™) = 45°; MM' = 10; MM' 1 Z; M M " = 30;

M M " _L ni.

V. o (Plf 20); o (P2, 35); P2M = 30; P2M = 55. VI. M M 'J_ /; PP' J_ /; MM' = 10; P'M ' = 30; PP' =

70; r = 40.

6.

V III. Z (l>m) = 30°; PP'_[_ /; PP' = 25; P P " = 35;PP"J_ m\r — 20.

7.

IX . O (Plf 30); o (P2, 10); PjP, = 70; P jP / = 50; P2P2' = 35. * X . PXP2 = 120; P2P3 = 43; P3P! =110;/-, = 80; r2 = 28; r3 = 10.

8.

9. D ik e tah u i: dua buah lingkaran Cx dan C2, jang berpotongan dititiktitik A dan B; selandjutnja, sebuah titik M dan garis l. Lukislah dengan pertolongan inversi dengan A (atau B) sebagai pusat, suatu lingkaran jang menjinggung Cx dan C2, d a n : a. melalui M; b. menjinggung Z. 10.

322

Berilah suatu penjelesaian soal persinggungan ke-10 dengan per tolongan inversi, jaitu: a. untuk hal, bahwa sedikit-sedikitnja dua dari tiga buah lingkaran jang diketahui tadi berpotongan, atau bersinggungan; b. untuk hal, bahwa dua dari tiga buah lingkaran jang diketahui, tidak ada titik persekutuan.

B A B XVI LET AK

HA RM O NIS

§ 94. Pada garis / terletak titik A dan B ; C suatu titik pada /, D titik lain; djarak2 jang diarahkan —► CB ;

dari C ke A dan B kita tulis demikian : CA dan

—* — * CA DA sedangkan dari D ke A dan B, demikian : DA dan DB. ~ : — CB D B a ____________ ________________

O

l

B______________________ _ D

Gb. 310: (A , B ; C, D ).

ialah hasilbagi, perbandingan dua buah perbandingan ; hasil-bagi ini disebut perbandinganrangkap A, B, C, D. Daripada menulis hasilbagi dua buah hasilbagi, kita tuliskan sadja dengan singkat (A, B; C, D). A dan B ialah titik2udjung suatu segmentgaris; C dan D titik 2 pada pemuat segmentgaris itu. K ita berikan beberapa gambar dengan satuan pandjang cm. Arah positip ditundjukkan dengan anak panah.

D C A

..............................................

°

c

D

:

, ‘

D B

Gb. 311: ( A , B ; C, D ).

Pada ketiga garis itu : CA

DA

(A, B ; C, D) =

= CB

(A, B ; C, D)

-5 - : —

DB

CA DA — ► • — »• CB DB CA

DA

CB

DB

3 —5 g' • ^= b — 2. — 6

=

—3 — 3

— 92

1 ~z ; 5 I

323

rf\

T idak perlu kiranja diberi tjontoh lebih b a n ja k ; hendaknja diingatingat sadja oleh pembatja, bahwa misalnja (P, Q ; D, E) ialah tjara meD P EP nulis dengan singkat untuk : — : — ‘ DQ EQ Hal jang istimewa pentingnja, ialah djika (A, B ; C, D) sama de ngan — 1. Maka kita katakan, bahwa titik A, B ; C, D terletak harmonis atau membentuk suatu keempatan-titik harmonis-, dalam hal i n i : CA

DA

( 1)

CB DB Pandjang ke-empat segment2-garis dapat kita misalkan sebagai a, b, ka dan kb.

_

„

Gb. 312: (A B C ) = ~ - . ; ( A B D ) = _ •

Pada gb. 312 segment-garis AB berturut-turut dibagi-dalam dan dibagi-luar oleh C dan D, dalam perbandingan p : q. Titik2 A, B; C, D membentuk suatu ke-empatan harmonis. Demikian pula, letak pusat2 2 buah lingkaran dan kedua titik-kesebangunannja. Djuga sudut suatu segitiga, A

dan B, mem bentuk suatu keempatan harmonis dengan titik 2 potong antara dy dan ey dengan sisi AB; djadi, pada gb. 313 (A, B ; D, E) = — 1. D juga keempat titik-istimewa pada garis Euler m em bentuk ke em patan harmonis; lihat gb. 192, disitu (H, Z ; N, M) = — 1. Dari (1) dapat dili hat dengan segera, bahwa A dan B dapat ditukartukarkan satu sama lain dan djuga C dan D; dengan menulis (1) sebagai: AC

BC

AD BD njatalah , bahwa pasangan titik A, B dan C, D dapat ditukar-tukarkan. D jadi, segmentgaris CD dibagi-dalam oleh salahsatu dari A dan B, dan dibagi-luar oleh jang lain dalam perbandingan jang sama. D jadi, 324

samalah artinja, djika kita katakan, bahwa A, B, C dan D ; A, B, D dan C ; B, A, C dan D ; B, A, D dan C ; C, D, A dan B ; C, D, B dan A ; D, C, A dan B atau D, C, B dan A membentuk suatu keempatan harmonis. Tak lain, ialah, bahwa a : b = k a: kb dapat dituliskan dengan delapan tjara sebagai perbandingan, dan a : b = k a : kb ter hitung sebagai jang pertama. Untuk menundjukkan sifat-dapat-ditukar-tukarkannja A dan B, C dan D dan pasangan A, B dan C, D dengan lebih njata, kita katakan pula, bahwa pasangan2 titik A, B dan C, D saling memisah harmonis, serangkai harmonis atau terletak harmonis. T itik2 tiap pasang kita sebut serangkai harmonis terhadap pasang jang lain. Titik D dari keempatan harmonis A, B; C, D dinamakan titik harmonis ke-empat pada A, B dan C.

c

D 05

Gb. 314: Keempatan-titik harmonis istimewa.

Pada gambar2, sepasang huruf jang satu biasa dituliskan diatas garisnja, dan sepasang jang lain dibawahnja; sepasang jang satu kita njatakan dengan oreilon2 terbuka dan sepasang jang lain dengan oreilon2 tertutup. D jik a pada (1) C ialah titiktengah AB, maka ruas kiri sama dengan — 1, djadi haruslah (ABD) = 1, jang berarti, bahwa D ialah titik AB jang tidak-sebenarnja (lihat gb. 314). D ja d i: DALIL

144

Titik-titik udjung suatu segmentgaris dipisahkan harmonis oleh titiktengah segmentgaris tsb. dan titik-takterhingga pemuat segmentgaris tsb. Sebagai g a n ti: titik-takterhingga sesuatu garis, kita katakan pula: titik tak-sebenarnja suatu garis; titik2 jang biasa sebaliknja, kita sebut titik 2 sebenarnja. D jik a C b e rim p it dengan A, maka djuga D berimpit

dengan A ;

CA DA karena rrr; = — dan CA = 0, maka djuga DA = 0. Hal tiga titik CB DB berim pit ini, selandjutnja, dengan tidak usah dikatakan lagi, dianggap diluar pembitjaraan.

325

DALIL

145.

Pada tiap tiga titik pada suatu garis ada suatu dan hanja satu titik harmonis keempat.

Gb. 315: D ialah titik harmonis ke-empat B u k t i . Misalkan : AC =

a dan CB = b ( a > b) ; misalkan

BD =

x ;

djika A, B; C, D terletak harmonis, maka berlakulah - = --+ a + b . b x ’ setelah didjabarkan : (a — b) x = ab + b2.

b , maka x itu suatu bilangan tertentu, sehingga ada titik keempat, jaitu D, titik sebenarnja pada pemuat segmentgaris AB. H a l II., a = b ; dalam hal ini dikatakan, bahwa x = co ialah akarnja ; artinja : titik D ialah titik-takterhingga pada garis AB. K ita lihat, b a h w a : djika (A, B; C, D) = _ i dan C titiktengah AB, m aka D ialah titik-taksebenarnja pada garis AB, dan seb alik nja: djika dalam suatu ke-empatan-titik2 harmonis A, B ; C D titik D itu titik-tak-sebenarnja pada AB, maka C ialah titiktengah ’ segmentgaH al

I. a

^

§ 95. Diantara bilangan2 20, 8 dan 5 ada nasabah ■(20— 8) • (8— 5) = 20 : 5 ; selisih bilangan pertama dan kedua berbanding dengan selisih bi langan kedua dan ketiga, sebagai bilangan pertama dan ketiga Dikatakan, bahwa 20, 8 dan 5 membentuk suatu deret harmonis dan 8 ialah rata2-harmonis (pembanding-tengah harmonis) dari 20 dan 5 p, q dan r membentuk suatu ke-tiga-an harmonis diika (n ( q - r ) = p : r ; djadi, djika pr~ rq = pq _ pr at au Z 1 % ~ fa\ \ i j , ~ pembagian oleh pqr menghasilkan----- ------ _L P <1 q r ’ Djadi, kebalikan2nja merupakan suatu deret hitung • 1 i i — pembanding-ditengah setjara deret hitung — d a n — • q P r ’ q pembanding tengah harmonis p dan r.

qrL

Pada pemuat keempat titik A, B ; C dan D kita pilih suatu titikasal O dan kita pilih suatu arah positif. Absis2 keempat titik tsb berturut-turut a, b, c dan d ; djarak2 berarah diperoleh, misalnja u ntuk

326

AC, demikian : OA + AC - O C ^ d ja d U + AC _ c, ata[I «

= c_ „

Djadi nasabah harmonis C A : CB -J- DA • HR — n a-. • A' ,

¡nt (: :

(a + b) *(c + d) 2(ab r+i cd). * c=) % +j ° - « “ O « ---------

i

- •

“

• “ 8a"

_______________________ L_________________________B

—

_

0

'

D

Gb. 316: O A — a, O B = b, C)C = C, 0 0 = d.

Nasabah antara absis2 keempat buah titik harmonis itu disebut • nasabah harmonis. D jika A

dipilih sebagai titikasal, maka nasabah ini mendiadi 1 1 2 1 1 1 b(c + d) = 2a/, djadi y + y = y , sehingga — , — dan y memben tuk deret hitung. Dengan ini telah dibuktikan : DALIL

146.

'

D jika titik1 kolineair A, B ; C, D terletak harmonis, maka A B ialah rcia2 harmonis dari AC dan AD, dan sebaliknja. Disini kita mempunjai suatu alat mudah untuk menggambarkan suatu keempatan titik harmonis. Untuk itu dapatlah, misalnja 36 dibagi oleh 5, 4 dan 3 ; hasilnja berturut-turut: 7%, 9 dan 12. Ambillah A«------------- ------------------- 8

Ao------------ —------------ J

c B

°

Gb. 317' Kebalikannja merupakan deret hitung

sekarang (gb. 317) AD = 12 cm dan padanja AB = 9 cm dan AC = 7V cm maka A, B ; C, D suatu keempatan harmonis. Djika 24 di bagi oleh 4, 3, dan 2 maka terdapatlah : 6, 8 dan 12 dst. (lihat gb. 317). * Suatu pengenal lain jang M B ______ £ ------- “ “-0 c D letak harmonis empat buah Gb. 318: M C . M D = MA 2 = m b \

titik A, B ; C, D diperoleh dengan djalan mengambil

titiktengah AB, jaitu M, sebagai titikasal. Maka b = — a, dan nasabah harmonis mendjadi a2 = cd. Djadi, kita peroleh : 327 \

penting

D A L IL

147 a.

D jik a A dan B terpisah harmonis oleh C dan D, dan M titiktengah A B , maka M C . M D = M A 2, dan sebaliknja. T it ik t e n g a h M d in a m a k a n t e n g a h 2 p a s a n g a n - titik A, B. D j i k a M, C dan D kolineair, maka hasil perbanjakan M C . MD dinam akan ku asa M terhadap pasangan-titik C, D. Djadi hasil perbanjakan itu tadi sama dengan kuasa M terhadap kepada suatu lingkaran sebarang jang melalui C dan D. Sekarang, kita ubah pengenal pada dalil 147 a diatas kepada bentuk DALIL

147 b.

D jika dari dua pasang titik2kolineair, sepasang terletak diametral pada suatu lingkaran dan jang lain dilalui oleh suatu lingkaran kedua, maka pasangan2-titik itu saling memisahkan harmonis, djikalau kedua lingkaran itu berpotongari tegaklurus, dan sebaliknja. B u k t i. Djika lingkaran2 Cx dan C2 dengan pusat2 M dan N berpotongan tegaklurus, dan djika sebuah garis jang melalui M memotong Cj di A dan B dan memotong C2 di C dan D, maka haruslah dibuktikan, bahwa A, B dan C, D saling memisahkan harmonis. D jika S titikpotong antara C, dan C, maka MS 1 0b 3,9 potongan tegaklurus. NS, djadi MS menjinggung C2 di S. A k ib a t: MA2 = MS2 = M D . mc, djadi, menurut dalil 147 a, A, B; C, D suatu keempatan harmonis. D jika sebaliknja, jang terachir ini jang diketahui sebagai ganti per potongan tegaklurus antara CidanCj, m aka MS2= MA2 = MD. MC jang berakibat, bahwa MS menjinggung C2 di S, djadi MS NS, artinja Cx dan C2 saling berpo tongan tegaklurus. A k ib at . Lihat gb. 320; AB suatu segmentgaris ; Cx dan D, membagi-dalam dan luar garis A B dalam perbanding

D ,-

Qb 320:

328

dan K t memotong K tegak lurus.

an vx ; titiktengah CXDX, jaitu Nx, ialah pusat lingkaran Apollonius K x pada segmentgaris AB dan perbandingan vx. D jik a diam bil perban dingan v2, m aka diperolehlah titik 2 harmonis C2 dan D 2 dengan pusatnja N 2 dan lingkaran K 2. Tiap lingkaran, seperti Kx dan K 2, memotong tiap lingkaran jang melalui A dan B dengan siku2 ; N ^ 2 = NXA . NXB (dalil 147a) = NXSX2 ; djadi NXS, ialah garissinggung pada lingkaran K. Teristimewa : lingkaran2 Apollonius suatu segitiga memotong tegaklurus lingkaran luar segitiga tsb. (lihat djuga halaman 271). § 96. K um pu lan garis2 jang melalui suatu titik T dise bu t: berkassinar atau kipassinar. Titik T disebut puntjak, garis2nja dinamakan sinar* berkas itu (kipas). Berkas ditundjukkan dengan menjebut puntjaknja. E m p a t buah sinar suatu berkas T kita s e b u t: sinar-empat. D juga seka rang, T dinam akan puntjak sinar-empat a, b ; c, d atau T(A, B; C, D), d jik a A, B, C dan D titik 2 sinar2 a, b, c dan d. B aik pada suatu berkassinar m aupun pada sinar-empat, suatu garis ja n g

tid a k

tja k n ja

_ D Gb. 321 S in ar empat harmonis.

m e la lu i

d in a m a k a n

p u n su atu

transversal b e r k a s s i n a r a t a u transversal s i n a r - e m p a t t s b . Dengan perbandinganrangkap (a, b; c, d) a t a u T(A, B ; C, D) dimaksudkan perbandingan-rangkap titik 2 p o to n g ng an

s in a r2 su a tu

a, b, c, d

de

tra n s v e rs a l.

Suatu sinar-empat, jang, perbandingan-rangkapnja — 1, kita sebut

sinar-empat harmonis. Suatu sinar-empat harmonis, djika titik 2potong sinar2-nja dengan suatu transversal, terletak harm o nis; dan sebaliknja. Istilah2 jang dipakai u ntuk ke-empatan2 titik harmonis, kita pakai d ju ga u n tu k sinar-empat harmonis. K ita katakan misalnja, bahwa 2 pasang garis jang satu memisahkan harmonis jang lain ; kita katakan djuga sinar harmonis keempat dst.-nja. K rite riu m d ip e ro le h

dari

p e n tin g

b e r ik u t in i u n t u k

s in a r- e m p a t h a r m o n is , la n g s u n g

d e fin is i:

DALIL

148.

T (A , B ', C, D ) suatu sinar-empat harmonis ; melalui B ditariklah ga ris n sedjadjar dengan garis jang serangkai; garis ini memotong dua sinar 329

lainnja di P dan Q ; maka P B = BQ. Sebaliknja, djika hal ini terdjadi pada suatu sinar-empat, maka sinar-empat itu harmonis. T

B u k t i . A, B ; C, D membentuk suatu keempatan harmonis; ketentuan ini berarti,, bahwa, djika AC = a, CB = b, m aka AD dan BD berturutturut dapat dinjatakan dengan ka dan kb. PB Q // TA, d ja d i: |PB : TA = b : a

149.

D ua garis, terpisah harmonis oleh garis2 bagi sudut2 jatig diapitnja. Ini ternjata dari perpotongan dengan suatu garis jang sedjadjar dengan salah satu dari garis2 bagi dan penggunaan dalil 148. Kebalikan dalil 149 jang berikut ini dengan segera dapat dilihat: D jik a sinar2 c dan d dari suatu sinar-empat harmonis a, b ; c, d tegaklurus suatu terhadap jang lain, maka kedua sudut jang dibentuk oleh a dan b, dibagi dua olehnja. DALIL

150.

D ua buah diagonal suatu sisi-empat lengkap memisahkan harmonis titik2 sudut pada diagonal jang ketiga. Ini berarti, bahwa dua buah diagonal, dipandang sebagai garis2, membagi-dalam dan -luar diagonal jang ketiga, jang dipandang sebagai segmentgaris, dalam perbandingan jang sama. 330

B u k t i . AB, BC, CD dan D A sisi2 empat-sisi itu ; E titikpotong BA dan CD, F titikpotong CB dan DA.

c

Gb. 323: Segiempat lengkap ( E , F ; P Q ) =

_/.

Diagonal CA dan D B memotong diagonal jang ketiga berturuttu ru t di P dan Q ; harus kita buktikan, bahwa E dan F terpisah harmonis oleh P dan Q. M e n u r u t dalil Menelaos, digunakan pada A CEF dengan transver

sal D B Q , m aka : DC

QE

BF

D E ' QF' BC =

1

Melalui A ada tiga buah transversalsudut dalam satu segitiga jang sama; dalil Ceva menghasilkan : DC P E BF D E ‘ P F ' BC = ~ 1 o Hasilbagi ruas2 pertama kesamaan2 mi ialah — : —

dan

hasilbagi

ruas2-kedua kesamaan2 t a d i : — 1; d ja d i: (E, F ; P, Q ) = _ i ; artinja : E dan F terpisah harmonis oleh P dan Q. Pada gb. 323 djuga A, C , R, P terletak harmonis ; diagonal ke-2 dan ke-3 menentukan suatu keempatan-harmonis pada diagonal ke-1 ; djuga (D, B ; R, Q) = — 1Gb. 323 djuga dapat dipandang sebagai segi-empat lengkap; lihat gb. 324; keempat titik nja ialah A, B, C dan D ; keenam sisi2nja (lihat 1 _ 6) garis2 penghubungnja, jaitu AB, AC, A D, CD, BD dan BC ; dua buah sisi jang berhadap-hadapan (ambillah 2 huruf dari A, B,"C, D sebagai s is i; jang dua lainnja m enentukan sisi dihadapannja) berpo tongan disuatu titik d iag o n al; BA dan CD di E, AC' dan BD di F, DA dan CB di G. 331 «

•.

P

Letak harmonis seperti pada gb. 323, sekarang kita njatakan demi kian : dua buah titik diagonal suatu segi-empat lengkap memisahkan harmonis sisi2 jang melalui titik diagonal ketiga. u

Gb. 324: Sudutempattengkap (E ,G ; P ,Q ) = — /-

E dan G ialah titik 2 diagonal; jang la in n ja : F ; sisi2 jang melalui F diberi bernomor 2 dan 5 ; 2 memotong EG di P, 5 memotong EG di Q; sekarang (E, G; P, Q) = — 1, seperti jang telah dibuktikan diatas. E F memotong sisi2 3 dan 6 di H dan K (tidak disini) ; digambar letak * E, F; H, K harmonis. GF memotong 1 dan 4 ber turut-turut di L dan M; maka G, F ; L, M sua tu ke-empatan harmonis djuga. T JO N T O H 61.

Tempat kedudukan titik 2 Q, jang terpisah harmonis dari titik P oleh garis l dan m, ialah

Gb. 325: P , l dan m diketahui; ditjari TQ.

suatu garis jang melalui titikpotong T ; garis ini ialah sinar-harmonis ke-4 terhadap kepada l, m dan T P. B u k t i. PL M ialah suatu transversal l dan m, jang tidak melalui T. Tariklah melalui L garis jang sedjadjar dengan m ; garis ini memotong TP di A; buatlah sekarang LB = LA, m aka menurut dalil 148 : TB ialah sinarharmonis ke-4. D jika ditarik garis lain melalui P (lihat PLjM j) dan melalui Lx garis A jB j // m ( A ^ j = L ^ ) , m aka TBX djuga sinar-

332

harm onis ke-4; m enurut dalil 145, pada tiap ketigaan titik ada satu titik harmonis ke-4, djadi djuga pada tiap ketigaan sinar ada satu sinar harmonis ke-4. Lebih sederhana la g i: TLL^ ialah garisberat pada A T A B dan pada A T AjBj, djadi A L : LB = A ^ : L ^ ; lagi pula B A ¡I A jB u sehingga AXA, LXL dan B jB melalui satu titik , ja itu T, djadi B „ B dan T kolineair. § 97. A pa jang telah kita peladjari pada dalil

150, dapat kita pergu

nakan u n tu k melaksanakan : LUKISAN

XXVI

M elukis titik (sinar) harmonis ke-4 kepada tiga buah titik kolineair (sinar2 konkuren), jang diketahui. P e l a k s a n a a n . Sudah kita kenal lukisan titik harmonis ke-4: D, kepada

A, B dan C atas dasar definisi, jang mengatakan, bahwa C dan D membagi-dalam segmentgaris AB dengan perbandingan jang sama.

Gb. 326: Melukis titik harmonis ke-empat.

Pada gb. 326a dan b, kita pergunakan lagi definisi dengan tjara lain, dengan mempergunakan pertolongan: pembagian-luar dan -dalam suatu segmentgaris dengan perbandingan jang sama.

Gb. 327: M elukis titik harmonis ke-empat.

S uatu lukisan jang sama sekali berbeda kita peroleh dengan mem pergunakan dalil 150. Ini didjelaskan pada gambar2 327a dan b, jang 333

tid a k mem erlukan keterangan lebih landjut. Perhatikan, bahwa pada lukisan ini tiad a dipergunakan djangka. Lukisan sematjam ini disebut : lukisan-mistar. Pada gambar2 326 dan 327 titik 2 jang dim inta, ditundjukkan dengan tandatanja. Pada lukisan jang telah dibitjarakan tadi, tersimpul pula lukisan sinar harmonis ke-4 kepada 3 sinar2 konkuren jang diketahui.

Masih ada lagi tjara ketiga untuk melukiskan dengan m udah em pat buah titik harmonis ; dx membagi dua salah satu sudut antara l dan m, d2 membagi dua sudut-bersisian-nja; m aka l, m; du d2 merupakan suatu sinar empat harmonis. Pada tiap transversal ke-empat sinar itu terletaklah empat buah titik harmonis ; lihatlah A, B ; C, D. T JO N T O H ,

64.

SEGI-EMPAT H A R M O N IS

Pada gambar 329 A, C' ; B', D, ialah suatu ke -empatan harmonis. Ki a projeksikan ke-empatan itu dari suatu titik T pada lingkaran jang melalui T, A dan D; projeksi A dan D berturut-turut di A dan D. Dikatakan, bahwa A, C; B D terletak harmonis pada ling karan tsb., dan bahwa ABCD itu suatu segi-empat harmonis. U ntuk T telah dipilih satu ti tik pada sumbu A D, sehingga busur AT = busur TD. D jika diam bil suatu titik lain P, jang terletak pada busur A D jang m em uat T, dan kita hubung kan P dengan A, B, C dan D, m aka terdjadilah suatu sinarempat jang kongruen ; sebab ATB 334

A P B — ^ bs AB, dst.

Gb. 329: A B C D ialah segiempat harmonis

D ja d i, perbandingan-rangkap2 sinar2-empat T (A, C; B, D) sama dengan P(A, B ; C, D), dan djuga P(A, B ; C, D) suatu sinar-empat harmonis. D ja d i tidak kuranglah um um nja, djika puntjak T dipilih dem ikian, hingga TA = TD. Pandjang ke-empat buah talibusur TA, TB, TC dan T D kita sebut a, p, y dan a. Sudut2 dengan angka2 jang sama didalam n ja, sama besarnja. K ita turunkan sekarang suatu nasabah antara a, b, c dan d, sisi2 segi-empat talibusur ABCD ; lihat djuga a , b dan c pada A D. A T A B 'c o a T B A , djadi a' : a = a : (3 j = T(y A T D C ' co A TCD, djadi c' : c = TC' : a i P’ A T B 'C ' co A TCB, djadi b' : b = T C ': p. D jadi, a'c' : ac = b' : b = b 'd : bd; m aka A, C' ; B', D merupakan suatu ke-empatan harmonis, sehingga berlakulah nasabah a'c' = b'd ; djadi ac = bd ; atau dengan kata2 : hasil2-perbanjakan sisi2 berhadapan pada suatu segi-empat harmonis, sama ; keduanja m enurut dalil Ptolemaeus sama dengan i pq. K ita turunkan suatu sifat segi-empat harmonis; ini dapat pula kita definisikan sebagai suatu segi-empat talibusur, jang u n tu k n ja

Gb. 330: Invers titik* sudut segiempat harmonis merupakan keempatan-titik harmonis kolineair. berlaku ac = bd. Dari definisi ini kita turunkan, bahwa invers titik 2 sudut suatu segi-empat harmonis m em bentuk suatu ke-empatan-titikharmonis, djik a pusatnja diam bil pada lingkaran-luarnja. K ita perguna kan nasabah pada'dalil 138 ; disitu tertjantum , bahwa A ^ = k8. AB O A .O B ’ 335 r

d jik a sekarang kita sebut A 1B 1 itu a ’, AB a, dsb., m aka pada suatu kuasa k 2 : O A .O B . g '

O C.OD. c'

OB.OC .b'

J

O D .O A .d'

N jatalah, bahwa a'c' = b'd', karena ac = bd ; inilah definisi letak harm onis: Ai, Ci; Bi D t dalam bentuk rumus. Sebaliknja, ternjata, bahwa gambar-invers suatu keempatan titik harmonis terhadap suatu sentrum, jang tidak terletak pada pem uatnja, menghasilkan suatu segi-empat harmonis, jang lingkaranluarnja melalui sentrum inversi. §98.

SOAL-SOAL

1. D jika A, B ; C, D suatu ke-empatan titik harmonis dan M titiktengah AB, buktikanlah nasabah2 a. DA. D B =

D C . DM ; b. AB . CD -

2AD . CB =

2. Dari ke-empatan titik kolineair A, B, C, D

diketahui,

2AC . BD. bahwa N

titiktengah CD, sedangkan NA : N D = AC : BC. B uktikan, bahwa keempat titik2 tadi terletak harmonis. 3. Dalam A ABC D, E dan F titik 2-tengah BC, CA, dan AB ; Z Jitik berat dan M titikpotong D E dan CF. B uktikan, bahwa : CM. FZ = M Z . FC. 4. Melalui titiktengah BC, sisi segitiga ABC, jaitu D, ditarik garissedjadjar dengan garis-sisi A B dan AC, jang memotong garistinggi A E (E di BC) berturut-turut di P dan Q. Buktikan, bahwa (A,

E; P, Q) = — 1. 5. Diketahui sebuah segitiga ABC dan suatu titik P jang tidak ter letak pada salah satu sisinja. Lukiskan garis l melalui P, j an§ memotong garis sisi2 BC, CA dan AB berturut-turut di Q, R dan S, sehingga P, Q ; R, S stiatu keempatan-harmonis. 6. Diketahui dua buah garis a dan b jang berpotongan di S dan pada a suatu titik A jang bukan S. Suatu garis l melalui A m em otong 336

b di B ; pada / diambil pada kedua belah fihak B, 'bagian2 BP = BQ = BS dan ditentukan titik K jang serangkai harmonis pada A terhadap pasangan-titik P, Q. Tentukan tempatkedudukan K, djika / berputar terhadap A. 7.

Pada garis l diketahui pasangan-titik A, B. Lukiskanlah pada / pasangan titik C, D, jang memisahkan harmonis A, B, sehingga CD sama dengan segmentgaris a.

8

a

9

Pada salah satu kaki suatu sudut dengan titiksudut B diletakkan bagian2 BA = a dan BD = b dan pada kaki jang lain BC = a dan Melalui titjkpotong F antara AE dan CD ditariklah FG II CA (G pada AB); buktikan, bahwa BG merupakan, pembandingtengah harmonis dari a dan b.

10

Pada perpandjangan segmentgaris AB = a diambillah BC = b (a > b ), kemudian dilukiskan lingkaran jang bergaristengah AC dan berpusat di M, jaitu titiktengah AC. Garistegaklurus di B pada AC memotong lingkaran di D ; E ialah projeksi B pada N\D. D jika

Diluar lingkaran (/, m) dilukiskan trapesium samakaki ABCD, AB /j DC, A B = 2fl, D C = 2 b(a>b). Ditariklah IE // AB (E pada BC) dan IF _L BC (F pada BC), sedangkan G letaknja sedemi kian, hingga FG // BA dan IG JL BA. D jika IE =; r dan FG = h buktikanlah, bahwa r, m dan h berturut-turut pembandingtengah derethitung, deretukur dan harmonis dari a dan b. b. Buktikanlah, bahwa h < m < r dan c. m 2 = lir.

sekarang AM = r, BD = m dan D E = h, buktikanlah djuga sifat2 pada nomor 8 a, b dan c pada gambar ini.

337 P lan im e tri — 22.

BAB M A K S IM A

§

X V II

DAN

M IN IM A

99.

K ita pandang suatu kum pulan kebesaran2 K, jang untuknja telah didefinisikan pengertian2 „lebih besar” , „sama” dan „lebih ketjil” (misalnja : suatu kum pulan bilangan2-ukuran). D jika K terdiri dari kebesaran2 jang banjaknja terhingga, maka tentulah dapat ditundjukkan suatu kebesaran g, jang tidak ada kebe saran2 lainnja jang lebih besar daripadanja, dan djuga suatu kebesaran k jang m em punjai sifat, bahwa tiada terdapat kebesaran daripada K, jang lebih ketjil daripada k. Maka g dinamakan maksimum dan k dina makan minimum K ; dikatakan djuga, bahwa keduanja itu ekstfim K. Selandjutnja, akan ditilik tjara mentjari maksimum dan (atau) m inim um kebesaran2 ilmu-ukur jang sedjenis, m is a ln ja : dari suatu kum pulan segitiga2 jang semuanja memenuhi satu sjarat atau lebih, kita t j ari segitiga2, jang kelilingnja atau jang luasnja terbesar (terketjil). Dalam pada itu akan dipandang dulu hal2 jang dengan tjara jang m udah dapat dikembalikan kepada salah satu dari ketiga hal berikut ini : a) Hubungan terpendek antara dua titik A dan B ialah segmentgaris AB. b) Hubungan terpendek antara titik A dan garis l jang tidak melalui A, ialah garis tegaklurus dari A pada l. c) Hubungan terpendek antara titik A dengan suatu lingkaran (P, r) jang tidak melalui A, ialah segmentgaris jang menghubungkan A dengan titikpotong antara sinar P A dengan lingkaran. D ari semua potongangaris2 jang menghubungkan A dengan suatu titik lingkaran tsb. segment garis jang menghubungkan A dengan titikpotong antara perpandjangan A P dengan lingkaran itulah jang terpandjang. K ita berikan beberapa penggunaan jang sederhana. 1. Diketahui dua buah titik dan B dan suatu garis l, jang tidak memr punjai titik-persekutuan dengan segment / garis A B . Tentukan dari semua segitiga A B C , dengan C pada l, segitiga dengan keliling jang terketjil. P e n j e l e s a i a n . Oleh karena A B tetap, haruslah ditentukan titik C pada l, sehingga CA -f CB seketjil-ketjilnja. U ntuk itu, kita tentukan titik-ba-

338

Gb. 331: Keliling a b c paling ketjil.

ianean tierm in A terhadap l, jaitu: A s. U ntuk tiap2 titik C pada l r\ 1 r n _ r A 4- CB. Sekarang, Aa dan B itu titik 2 jang tetap, ASB i a t h ^ L 'g a n ¿ p e n d e k antara A . dan B. D jadi titik C jang ditjari «»A + ™

-

P A . + PB >

A ,B -

CA + CB. Dalam hal, bahwa l // AB, maka dari semua segi

p FR IN riT iN KE i

tiga2 jang alas dan luasnja diketahui, segitiga samakaki-lah jang terketjil • kelilingnja. p F B IN r. T . N KE 9 r

fcKINGATArs

Sebaliknja: Dari semua segitiga2 jang alas dan ke.

.

.

lilingnja diketahui, segitiga samakaki-lah jang terluas. B u k t i . Misalkan

AB alas jang d'ke tahui dan A ACB segitiga samakak. dengan keliling jang diketahui. ju kuplah kita pandang segitiga- jang letaknja sefihak dengan C terhadapAB.

A A BC p alin g besar. D jik a kita tarik garis / // A B me a m , p u n tja k segitiga sematjam itu harus J' terletak dibagian bidang antara AB dan l, djika kaki2nja tidak sama. Sebab djika p u ntjak nja terletak pada titik P pada l jang berlainan dengan C, m aka m enurut pembitjaraan diatas : PA + PB > CA + CB, sehingga keliling A A PB tidak sama dengan keliling jang diketahui. D jik a p u n tja k n ja terletak pada titik Q jang terhadap / pada fihak lain daripada A B , dan djika R titikpotong QB dengan l, maka: QA + QB > RA + RB CA + CB, sehingga A A QB pun tidak memiliki keliling jang dike tahui T ia p 2 segitiga jang tidak samakaki, dengan alas AB dan keli lin g jang diketahui, pu ntjak nja lebih dekat kepada AB daripada C, se hingga dari segitiga2 jang dimaksud diatas, A ACB lah jang terluas. 2.

Diketahui segitiga A B C , siku 2 pada C; Q dan R ialah projeksi2

titik P jang terletak pada A B , pada BC dan pada AC. Tentukan P pada A B , sehingga : P

PQ2 +

p * * minimum.

Karena untuk tiap2 titik P pada sisi AB berlaku : P Q 2 p c 2; tinggallah kita tentukan titik pada AB jang terdekat

e n je l e s a ia n .

_l_ p R 2 _

kepada C; djadi P haruslah projeksi C pada AB, jaitu D. 3 Diketahui dua buah titik A dan B dan lingkaran (P, r); tentukan lah pada lingkaran itu suatu titik C, sehingga harga C A 2 + C B 2 ekstrim. 339

Apabila C suatu titik pada lingkaran itu dan N titiktengah AB, maka CN2 == £(CA2 + CB2) — J A B 2, djadi : CA2 -|- CB2 = 2CN2 + \A B 2. Maka dari itu, oleh karena AB tetap,CA2 + CB2 berharga P e n je l e s a ia n .

A

Gb. 333: M inim um PQ- + PR'-.

Gb. 334: Extrim C A 2 + CB'-.

ekstrim,. djika harga CN ekstrim pula. Menurut dalil 60, CA2 + CB 2 akan m inim um , djika C berimpit dengan titikpotong D antara sinar MN dengan lingkaran itu dan suatu maksimum, djika C berimpit dengan titikdiametral D, jaitu D t. K ita beri lagi beberapa tjontoh jang agak sulit. T J O N T O H 65.

Buktikan, bahwa dari semua segitiga2 jang terlukis didalam segitiga lantjip A B C , segitiga-titikkaki dari titiktinggilah kelilingnja jang terketjil. B u k t i . K ita pandang dulu A P Q R , segitiga2-dalam A ABC, jang titiksudutnja P suatu titik tetap sisi AB. Dengan m udah titik 2sudut lain nja dapat ditentukan, sehingga keliling segitiga tsb. terketjil (lihat §5 nr. 21). U ntuk itu kita tentukan titik 2bajangan tjermin P terhadap BC dan

AC berturut-turut, jaitu: Ps dan PB'. Sekarang, djika PaPs" m em otong sisi2 BC dan AC berturut-turut pada Sx dan S2, m aka u ntuk Q haruslah 340

J

kita pilih S,, dan u ntu k R : S2. Sebab, keliling A P Q R sama dengan pandjang garispatah PaQ R P s'; djadi m inim al, djika Q dan R terletak pada PSPS'. Bahwa St dan S2 benar2 terletak pada sisi2 CB dan CA di sebabkan karena la n tjip nja A ABC. Oleh karena sudut2 a dan 0 lantiip P8,P's dan C terletak pada fihak A B jang sama, djadi diuea S d a n S Selandjutnja, ¿_ PSCP -f- ¿_ P C P 'S = 2y < 180°, sehingga A ABC ter letak didalam sudut-berat-kedalam Z PSC P'S, dan Sx dan S2 tidak m ung kin terletak pada perpandjangan2 AC dan BC atau pada C. K ita masih harus menentukan m inim um PSP 'S) djika P digerakkan sepandjang sisi AB. Oleh karena CPS = CP = CPS' dan PSCP ' = 2 (djadi: tetap), m aka PSPS' akan m inim um , djika CP m inim um , djadi d jik a CP garistinggi C pada AB. Segitiga P Q R jang terdjadi sekarang, kelilingnja terketjil. Oleh karena kita djuga dapat m ulai dari titiksudut Q atau R, m aka haruslah titik 2 ini masing2 titikkaki garistinggi2 dari A dan B, sehingga segitiga P Q R ialah segitiga-titikkaki titiktinggi segitiga ABC. D jik a A ABC tum pul atau siku2, m aka penurunan diatas tidak ber laku. D jik a m isalnja y > 90°, m aka PSP 'S akan memotong perpandjang an2 AC dan BC, atau djustru melalui C. D alam hal ini, djika P Q R segitiga-dalam A ABC, maka keliling P Q R = PSQ + Q R + R P's > PsC + CP's, djadi > 2 CP. D jikaD projeksi C pada A B , m aka tiap segitiga-dalam A ABC kelilingnja akan lebih besar dari 2 CD. Tetapi perbedaan antara keliling ini dengan 2 CD dap at d ib u a t ketjil m enurut kehendak kita, dengan menempatkan P di D , dan Q dan R tjuk u p dekat C. Sekarang tidak ada segitiga-dalam de ngan keliling-m inimum (ketjuali, djika A CDC jang berubah tjoraknja, ja n g terdiri dari garistinggi CD terhitung lipat dua, hendak dianggap sebagai suatu segitiga). K adan g 2, dalam m entjari harga2 ekstrim suatu kebesaran ilm u-ukur dapat ditem puh djalan sebagai berikut. D itjo b a melukis gam bar jang me m u a t kebesaran ini, seandainja kebesaran ini ber harga a. S elandjutnja, dari lukisan ini diturunkan harga2 ekstrim a itu, jang masih dapat dikerdjakan Iukisannja;- m aka harga itu pulalah harga2 ekstrim kebesaran tsb.

B

Tentukan dari semua segitiga, dengan a = 90° dan garistinggi A D = t, segitiga dengan lingkarandalam terketjil. P e n j e l e s a i a n . Dilukis segitiga siku2 ABC dengan

Gb• 337: M in im u m r.

garistinggi t, dan djari2 lingkaran-dalam dinam a P lan im e tri — 22a.

341

kan r. Sisimiring merupakan garissinggung luar pada lingkaran2 (I, r) dan (A, t). Supaja lukisan mungkin dikerdjakan, lingkaran-dalam tid ak boleh djatuh didalam lingkaran (A, t) ; sehingga haruslah r(l + \/2) ^ t, atau r > t (\/ 2 — 1). Dari sini dapat kita lihat, bahwa harga m inim um r sama dengan t(\/ 2— 1); djadi, segitiga BAC samakaki.

t, djadi r < Tetapi ini tidak berarti, bahwa \t merupakan harga m ak simum r, karena r tidak mempunjai harga maksimum. D jika r = \t, m aka segitiga itu akan berubah tjoraknja, karena salah satu dari titik 2 sudut B dan C menghilang ke tak-terhingga; r dapat mendekati \t dari fihak ketjil dengan tak terbatas, tetapi tak dapat m entjapai harga \t itu sendiri. P e r i n g a t a n . Dari lukisan itu djuga ternjata, bahwa haruslah 2 r <

§ 100. Dalam menentukan ekstrim2 kebesaran jang berubah-ubah, se ringkah dapat digunakan hasil2 dalam aldjabar dengan m enguntung kan. Akan dikemukakan disini, mana jang penting. Aac— b2, I. Funksi kwadratis ax2 -f- bx + c berharga ekstrim — — — untuk

b x = — ^

'¡-harga ini maksimum, djika a < 0, dan minimum,

djika

a > 0. I I . D jika x -f- y = s (s suatu bilangan positif tetap), maka xy m ak simum, djika x = y. I I I . D jik a xy = p2 (p suatu bilangan positif, tetap, dan x dan y positif), maka x + y minimum, djika x = y = p. II dan III dapat djuga dibuktikan dengan mudah setjara ilmuukur; dimisalkan, bahwa s dan p itu segment2garis jang diketahui, x dan y segment2garis jang berubah-ubah. II. D jika misalnja segment-garis AB = s (lihat gb. 338) m aka kita lukiskan setengah-lingkaran (P, £s) dengan AB sebagai garistengah. C titik berubah-ubah, diantara A dan B, sehingga AC = x dan CB = y. D jika garis tegaklurus di C pada AB memotong setengah-lingkaran tsb. di D, m aka m enurut dalil 106 b : CD2 = xy, sehingga xy m aksim um , djika CD maksimum. Ini terdjadi djika C berimpit dengan P, djadi djika x = y = 342

III. Pada sebuah garis melalui M, dipasang pada kedua belah fihak M potongan MQ = M R = p. Pada sumbu Q R dipilih sebuah titik P, dan diluk is lingkaran jang melalui Q dan R dengan P sebagai titikpusat.

B

Gb. 338: M ax im u m xy, d jik a x + y = s.

Gb. 339: M in im u m x + y, d jika xy = p 2.

D jik a suatu garis jang berubah-ubah melalui M, memotong lingkaran tsb. pad a C dan D , dan djika MC = x dan M D — y, m aka xy = p2 dan x + y = CD. Sekarang, x + y akan m inim al, djika CD berimpit dengan Q R , oleh karena djarak Q R ke P, terbesar, djadi djika x — y = p. K ita berikan disini beberapa penggunaan2 jang mudah.

P ad a kaki B C /_ A B C — 60° diketa 1. hui: titik D ; B D = d. Tentukan pada B A titik P , sehingga P B 2 + P D 2 seketjil-ketjilnja. P e n j e l e s a i a n . Misalkan PB = x, m aka P B 2 + P D 2 = 2x2 — dx + d2 dan m enurut I, ini akan m in im u m , u n tu k x = %d, sehingga P te lah tertentu letaknja pada BA. Soal ini dapat d juga dipetjahkan dengan sederhana setjara ilmu-ukur. D jik a m isalnja M tengah2 B D , m aka P B 2 + P D 2 = 2PM 2 + \d2 sehingga P B 2 + P D 2 m inim al, djika PM m in im a l. D ja d i, djik a Q projeksi M pada BA, P harus b e rim p it dengan Q; dan m emanglah BQ =

^ BM =

\d.

Gb. 340: P B + P D 2 harus minimal.

2. D alam A A B C dengan sudut2 a dan p lantjip, dilukis empatpersegi-p and jang2 P Q R S . ( P dan S pada AC, Q pada A B dan R pada B C ) ; tentukan dari semua empat-persegi-pandjang ini satu jang luasnja terbesar. AC = b ; t garistinggi dari B ; selandjutnja PQ = x, y. Oleh karena A Q B R co A ABC, m aka y : b — (t — x ) : t,

P e n je le s a ia n .

QR = f

343

I

djadi y = — (/ Oleh

karena _

x). D jika luas PQ R S = tetap,

haruslah diselidiki

b. x L, m aka L ----— (t

x).

bilam ana x(t — x) maksi

m um ; m enurut II hal ini terdjadi, djika x = t — x, djadi x = £f. Q dan R haruslah m asing2 terletak di-tengah2 BA danBC ; begitu djuga BC = a ; sehingga x : RC = t : a, dan y : B R = b : a, djadi L = xy = B R .R C . Oleh karena a, b dan t tetap, haruslah B R .R C m a k s im a l; a2 sekarang, B R + R C = a , sehingga m enurut II maksimum tertjapai, djika R ditengah-tengah BC. 3. D ari segitiga2 jang alas dan kelilingnja diketahui, segitiga mana kah jang terluas ? P e n j e l e s a i a n . Penjelesaian

setjara ilm u-ukur terdapat pada hal. 339 Dengan tjara aldjabar djalannja Gf>. 341: seperti berikut: djika c alas, 2s ke liling dan L luas A ABC, m aka L2 = s(s — a) (s tetap. D ju m la h faktor2 s — a dan s — b sama hasil perbanjakannja, dan djuga L, m enurut II sama, djadi, djika A ABC samakaki.

Luas P Q R S harus maximal.

— b) (s — c) ; s dan s — c dengan c, djadi tetap ; maksimal, djika mereka

D ari semua empat-persegi-pandjang jang luasnja L diketahui, 4. empat-persegi-pandjang manakah jang terketjil kekelilingnja ? P e n j e l e s a i a n . D jik a suatu empat-persegi-pandjang dengan luas L uku ran2n ja x dan y, m aka xy = L, sedangkan kelilingnja sama dengan 2(x + y). M enurut III keliling ini m inim al u ntuk x — y, djadi d ji ka empat-persegi-pandjang m erupakan budjursangkar. Hal ini dapat djuga diartikan dengan m udah setjara ilmu-ukur; sebab, djika budjur-sangkar A B C D dan empat-persegi-pan Gh. 342: Keliling A B C D < keliling A E F G . djang A E F G luasnja sama dan K titikpotong BC dengan FG, m aka luas B E F K = luas C D G K . Karena CD > E F, haruslah KC < K F , djadi keliling A BCD < keliling A E F G . Seperti djuga halnja dalam aldjabar ternjatalah, bahwa sifat2 II dan 344

III h a l. 3 4 2

d ju g a

ja n g

d e n g a n

p o s itif

b e rla k u

u n tu k

d ju m la h

le b ih

a ta u

dari

h a s il

d u a

kebesaran

p e r b a n ja k a n

ja n g

berubah- ubah

te ta p .

S uatu penggunaan sifat ini ia la h : 5. D a ri semua segitiga dengan keliling jang diketahui 2s, segitiga samasisilah jang terluas. P e n je le s a ia n .

s(s (s

a) (s

—

c)

—

D jik a

b) (s

—

—

m a k s im a l.

p e r b a n ja k a n n ja

L

lu a s

s e g itig a

c), s e h i n g g a K a re n a

m a k s im a l,

L

d ju m la h d jik a

ABC ak a n

deng an

k e tig a

m e re ka

k e lilin g 2s, m a k a

m a k s im a l,

d jik a

fa k to r2 te ta p ,

sam a,

d ja d i,

(s — ja itu

d jik a

L 2=

a) (s— b) s,

A

h a s il

ABC

s a m a s is i.

S O A L -*S 0 A L. § 101 1 . T entukan dari semua segitiga dengan alas dan sudutpuntjak jang diketahui, segitiga : o-

ja n g

b.

d e n g a n

lu a s n ja

te rb e sar,

k e lilin g

te rb e sar.

2 . a. T entukan dari semua segitiga dengan dua buah sisi diketahui, segitiga jan g luasnja terbesar. b. D iketahui suatu lingkaran (P, r) dan titik M; dim inta menarik garis m elalui M, jang memotong lingkaran tsb. di A dan B, se hingga A A P B seluas-luasnja. 3.

A B garistengah lingkaran (P, r) dan AC talibusur, jang membentuk sudut 9 dengan AB; D titik-tengah busur A B, jang tidak memuat C. T entukan 9 sehingga : a. A A BC seluas-luasnja; b. A A CD seluas-luasnja.

4. (a. T entukan titik , sehingga djum lah kwadrat djarak2nja ke titik 2s u d u t s u a t u s e g i t i g a A BC j a n g d i k e t a h u i , s e k e t j i l - k e t j i l n j a . b. D j i k a a, b d a n c s i s i 2 A ABC, t e n t u k a n p u l a t i t i k P, s e h i n g g a : a. P A 2 + b . P B 2 + c. PC2 s e k e t j i l - k e t j i l n j a . 5.

D i A dan B, titik 2 diametral pada lingkaran (P, r) ditariklah garis2 singgung a dan b pada lingkaran tsb. Suatu garissinggung ketiga: c, m em otong a di D dan b di C. Tentukan C, sehingga trapesium A BC D: a. luasnja seketjil-ketjilnja; b. kelilingnja seketjil-ketjilnja. 345

6.

Peringatan kedua pada hal. 339 memberikan suatu djawaban ; djika djawaban itu tidak diketahui, dapat penjelesaiannja dilaku kan dem ikian : misalkan alas 2b, djum lah sisi2tegak 2 a jang satu a + x dan jang lain a — x. Hitunglah tingginja jang terbesar.

7.

D iketahui empat-persegi-pandjang ABCD dengan sisi2 A B = a dan BC = b. Lukislah disekeliling empat-persegi-pandjang itu suatu em pat-persegi-pandjang jang seluas-luasnja dan njatakan luas m ak simal itu dengan a dan b.

8.

Lukiskanlah dalam lingkaran (P, r) empat-persegi-pandjang, a. jang seluas-luasnja; b. dengan keliling jang terbesar.

9.

Diketahui dua buah titik A dan B dan suatu garis Z. Tentukan pada Z titik P, sehingga /_ A PB suatu ekstrim, djika :*) a. A dan B tid ak terletak pada fihak Z jang sama, b. A dan B terletak pada satu fihak Z.

10.

D iketahui lingkaran e dan dua buah titik A dan B jang tidak ter letak pada lingkaran itu. Tentukanlah pada e titik M, sehingga Z A M B suatu ekstrim1), djika : a. A didalam dan B diluar e letaknja. b. e terletak pada satu fihak garis AB; c. s memotong perpandjangan BA didua titik; d. e memotong potongan-garis AB didua titik.

11. Tentukan budjur-sangkar jang terketjil, jang dilukis didalam suatu budjursangkar jang diketahui dengan sisi a. 12.

P suatu titik pada BC, alas A ABC, D dan E projeksi2 P pada garissisi2 AC dan BA. Tentukan P pada BC, sehingga luas A P D E m ak simal. •

13. a. D iketahui suatu sudut PAQ = a, dan djuga segmentgaris p. T entukanlah titik B pada A P dan C pada AQ, sehingga luas A A BC = p 2, sedangkan BC sependek-pendeknja; b. N jatakanlah harga m inim um BC dengan p dan a; c. Lukislah pada suatu A ABC jang diketahui, segmentgaris ter pendek jang membagi segitiga itu m endjadi dua bagian jang sama luasnja. x)

D engan ekstrim dim aksudkan : ekstrim m u tlak a ta u relatif.

346

14.

D id alan i suatu segitiga lantjip ABC dilukiskan empat-persegi-pand ja n g 2 P Q R S (P dan S pada BC, Q pada A B dan R pada AC); tentu kanlah empat-persegi-pandjang dengan diagonal terpendek.

15.

D ik e ta h u i suatu potongan-garis AB; C suatu titik padanja. Pada satu fih a k A B dilukiskan setengahlingkaran2 a, ¡3 dan y, jang garisteng ahnja berturut-turut BC, CA dan A B. Tentukanlah C pada AB, sehingga luas bagian bidang jang dibatasi- oleh a, (i dan y maksimal.

16.

Lukiskan didalam suatu lingkaran (P, r) jang diketahui suatu segi tiga sam akaki ACB dengan p u n tjak jang diketahui, jaitu C, se hingga hasil-perbanjakan ketiga sisinja sebesar-besarnja.

347

U L A N G A N

§

UMUM

102. 1.

D iketahui sebuah budjursangkar A B C D dengan sisi a; E dan F titik te ng ah2 A B dan BC, S titikpatong D E dan A F . B uktikan, bahw a C D SF suatu segiempat-talibusur, dan njatakanlah luasnja dengan a.

2.

a. Lukiskanlah dalam suatu sektor-lingkaran suatu segitiga-sainasisi. Berapa banjakkah penjelesaian jang m u n g k in ? b. Pada lingkaran (P, r) diketahui dua buah titik A dan B (A dan B bukan titik 2diametral), A B = k. H itunglah sisi segitiga samasisi, jang satu titik s u d u tn ja ada ditengah-tengah busur terketjil dari kedua busur A B, sedangkan titiksudut jang lain terletak di djari-djari PA dan PB.

3.

D iketahui tiga buah lingkaran C,, C2 dan C3, jang satu terletak diluar jan g lain. D im in ta m elukiskan suatu segitiga P Q R didalam C3, ja n g sud utnja P diketahui, sedangkan Q R menjinggung C2 dan P R m enjinggung C3. T erutam a tjarilah, berapa buah segitiga P Q R ja n g m em enuhi

4.

D ari A A BC : y = 90°, BC = a dan AC = 2 a. Buktikan, bahwa titiksinggung lingkaran-dalam membagi sisi BC m endjadi irisan mas.

5.

B uktikan, bahwa suatu segitiga salah satu sudutnja 30° (atau 150°), d jik a djari2 lingkaran-luarnja sama dengan salah satu sisinja.

6.

D ari trapesium A B C D (A B // CD) AC = dan B D = 20. H itunglah A B dan CD.

12V 2, A D = 13, BC =

15

7. D iketahui tiga buah lingkaran, djari2n ja sama, jang satu terletak diluar jan g lain. Lukiskanlah semua lingkaran jang m enjinggung ketiga lingkaran jang diketahui. 8.

Lukiskanlah suatu lingkaran ber-djari2 r, jang memotong tegaklurus sebuah lingkaran C dan memotong sebuah garis / dengan sudut 45°.

9.

P ada lingkaran a ada em pat buah titik A, B, C dan D. Melalui A dan B d ilu k is lah p, suatu lingkaran berubah-ubah, dan melalui C dan D suatu lingkaran y jang m enjinggung p. Tentukan te m p at k edudukan titiksinggung antara p dan y, jaitu R.

348

10.

A B suatu garistengah lingkaran e, C dan D dua buah titik pada e, AC dan B D berpotongan di S, A D dan BC berpotongan di T. B ukti kan, bahwa C, D , S dan T terletak pada lingkaran 8, jang memotong tegaklurus lingkaran e.

11.

D ua garis m dan n berpotongan di S dengan sudut
12.

D idalam lingkaran (P, r) ditarik dua buah talibusur AB dan CD tegaklurus satu terhadap jang lain, jang berpotongan didalam lingkaran itu dititik E. Buktikan : a. E A 2 + E B 2 + EC2 + E D 2 = 4r2; b. A B 2 + CD 2 + 4 P E 2 = 8r2; c. Selidikilah, apakah rumus ini djuga berlaku, djika E terletak pada atau diluar lingkaran tsb.

13.

N jatak anlah a, b, dan c, sisi2 A ABC dengan : a. garisberat2 za, zb dan zc; b. garistinggi2 /a, /b dan /c.

14.

Lukislah sebuah segi-empat, djika diketahui dua buah sudut jang berhadapan, luasnja dan kedua segment-garis jang m enghubung kan titik ztengah sisi2 jang berhadap-hadapan dua berdua.

15.

D iketahui dua buah titik A dan B, lingkaran Clf C2 dan C3 dan garis l. Lukislah suatu lingkaran X , jang membagi dua dan a. m elalui A dan B; b. m elalui A dan m enjinggung /; c. m em otong tegaklurus C2 dan C3; d. m em otong l dengan sudut 30° dan berdjari-djari r.

16.

a. D iketahui sebuah segilima-beraturan A B C D E dengan sisi a. Garis2 tegaklurus di A pada A B, di B pada BC dst. merupakan sisi2 segilima A j B j Cj D j E j . B uktikan, bahwa segilima inipun ber aturan. b. N jatak anlah A ^ dengan a. c. Dengan tjara jang diberikan pada a dapatlah diturunkan sebuah segilima A 2B2C2D 2E 2 dari A jB jC jD jE j, dan daripadanja A3B3C3 D 3E 3 dan begitu seterusnja. Buktikanlah, bahwa dari segilima2 349

ini (termasuk A B C D E ), baik dju m lah. kelilingnja, m aupun djum lah luasnja m em punjai lim it, dan tentukanlah lim it2 tsb. 17.

Sisi2 A ABC BC, CA dan AB diperpandjang berturut-turut dengan potongan2 CD = p, A E = q dan B F = r. D jik a (P, R) lingkaran-luar A ABC, m aka buktikanlah, bahwa : 4R. luas A D E F = aq(c + r) + br(a + p) + cp(b + q) + abc.

18.

Alt Blt Cj titiktengah2 sisi2 BC, CA, AB; Z titikberat A ABC, M sebuah titik sebarang. a. B uktikanlah, bahwa 2 M A2 = S MAX2.+ J 2 a2. b. T urunkanlah dari a, bahwa 2 MA2 = 3MZ2 + J 2 a2.

19.

D idalam sudut X O Y , jang tidak lebih besar dari 45°, diketahui, se buah titik A; projeksi sebuah titik P di O.Y pada O X ialah Q. Ten tu k a n P, sehingga A P + PQ m inim um .

20.

A B ialah garistengah lingkaran (P, r) dan M sebuah titik garistengah ini. a. D jik a CD suatu talibusur jang sedjadjar dengan AB, buktikan lah, bahwa : CM2 + D M 2 = AM 2 + BM2. b. Lukiskanlah talibusur CD, sehingga CD // AB dan Z CMD = 9v0 °.

21.

Sisi2 A ABC, ja itu a, b dan c, dalam urut-urutan ini m em bentuk suatu deret-ukur, sedangkan y = 90°. D jika r, djari2 lingkarandalam diketahui, lukislah A ABC.

22.

D idalam A A BC dilukis sebuah lingkaran; sedjadjar dengan A B ditariklah garissinggung pada lingkaran itu, jang memotong AC di Ax dan BC di Bx. D idalam A A jB jC dikerdjakan hal serupa itu pula, dst.nja. N jatakan djum lah luas semua lingkaran2-dalam jang diperoleh dengan tjara ini (termasuk jang pertama)-dengan sisi2 A ABC, ja itu a, b dan c.

23.

T entukanlah sebuah titik didalam A ABC, sehingga hasil-perbanjak an djarak2 dari titik itu ke-garissisi2 maksimum.

24.

M dan N titik 2tengah A D dan BC, jaitu sisi2 sedjadjar trapesium ABCD. B uktikanlah, bahwa lingkaran2-titik-sembilan segitiga2 A BC , B CD , C D A dan B A D semuanja melalui satu titik P, jang terletak pada M N.

350

25.

Pada lingkaran (P, r) diketahui dua titik A dan B dan pada talibusur A B titik 2 M dan Q, sehingga AM = MQ = QB. Sinar2 P M dan Q P m em otong lingkaran itu berturut-turut di D dan E. D jik a A E = E D = D B , hitunglah pandjang AB.

26.

D id a la m A ABC ditariklah garistinggi2 A D , B E dan CF; T titiktinggi; A v Bj dan Cx titiktengah2 BC, CA dan AB, dan A2, B 2 dan C2 titik te ng ah2 TA, TB dan TC. D im in ta m em buktikan: a. balnva garis2titikkaki A ,, B2 dan C2 terhadap A D E F , mem bentuk segitiga M Q R , jang homotetis dengan A ABC; b. bahwa garis2titikkaki Aj, Bx dan Cx terhadap A D E F tegaklurus pada sisi2 A ABC; c. bahw a garis2titikkaki tersebut di b m elalui satu titik O; d. bahw a, djika S titikberat A D E F , m aka titik 2 T, S dan O kolineair, sedangkan TS = 2SO.

27.

a. Dengan sisi2 sebuah segi-enam beraturan sebagai sisi2, dilukis kan budjursangkar2 jang terletak diluar segi-enam tsb. B ukti kanlah, bahwa titik sud u t2 budjursangkar2, jang bukan titiksudut2 segi-enam itu, ialah titik sud u t2 suatu segi-duabelas beraturan. b. N ja tak an luas segi-duabelas ini dengan sisi2 a segi-enam tsb.

28.

a. Pada lingkaran-luar segi-empat talibusur A BC D terletak titik M; d j arak2 M kegaris sisi2 AB, BC, CD dan D A berturut-turut Pif Pz> Ps dan pA. B uktikan pxp3 = p 2p4. b. Sebutkan dan buktikan sifat jang sesuai dengan sifat diatas un tu k suatu segi-2rc-dalam (n > 2). c. Sebuah lingkaran m enjinggung kaki2 segitiga samakaki ACB di A dan di B. D jik a M suatu titik lingkaran itu, m aka kwadrat dj arak M sampai A B , sama dengan hasil-perbanjakan djarak2 dari M sampai kedua sisi jang lain. T urunkanlah ini dari a. d. B erikanlah pula sekali lagi bu k ti langsung u n tu k sifat tsb. di c. e. D jik a titik M terletak pada lingkaran-luar A ABC, m aka hasil perbanjakan djarak2 sampai ketiga garis-sisi2nja sama dengan hasil perbanjakan djarak2 dari M sampai garissinggung2 di A, B dan C pada lingkaran tsb. B uktikanlah. -’ /. Sebutkan dan buktikanlah sifat jang sesuai 'dengan e untuk segin-dalam (n > 3 ) .

29.

Lukislah segi-empat A BCD,. djika diketahui AC, BD, sudut2 A dan C dan sudut antara AC dan B D . 351

30.

D ua lingkaran (M, R ) dan (N, r) bersinggungan-luar di C. T entukan lah pada lingkaran jang pertam a sebuah titik A dan pada lingkaran jang kedua sebuah titik B, sehingga /_ ACB sama dengan sudut ? jang diketahui dan luas A ABC maksimal.

31.

Melalui B dan C, jaitu titiksudut2 suatu segitiga samasisi A BC di tariklah garis2 m dan n, keduanja tegaklurus pada BC. Suatu garis l melalui A memotong m di M dan n di Q. T entukan tempatkedudukan2 titiksudut segitiga samasisi M Q R , djika Z berputar ter hadap A.

32.

Dengan sisi2 A ABC sebagai sisi2 dilukiskan keluar budjursangkar2; buktikan, bahw a luas segitiga jang bertitiksudut pada titiktengah2 budjursangkar2 tadi sama dengan.djum lah luas A ABC dan seper delapan djum lah luas budjursangkar2 itu.

33.

P sebuah titik sebarang, S titikpotong garis2 jang m enghubungkan titik 2 tengah2 sisi2 segi-empat A BCD jang berhadap-hadapan dua- 4 berdua ; a, b, c, dan d ialah sisi segi-empat tsb. e dan / diagonal2, dan m dan n bim edian2 (segmentgaris2 jang m enghubungkan titik tengah2 sisi2 jang berhadapan). Buktikan nasabah berikut ini : P A 2 + P B 2 + PC2 + P D 2 = 4PS2 + i (a2 + b°- + c2 + d2) + \ (e2 + /2 + m2 + n2).

34.

Dengan sisi2 A ABC sebagai sisi2, dilukiskan kedalam, segitiga2 samasisi BCA,, CABX dan ABCV B uktikan, bahwa : a. A A j = B B 1 = CCj ; b. lingkaran-luar2 segitiga2 samasisi itu melalui satu titik Tx; ■c. djuga garis2 AA lf B B! dan CCX melalui Tv

35.

D iketahui garis2 sedjadjar Z dan m, garis n, jang dipotongnja, dan titik P jang tidak terletak pada Z atau m. Suatu titik A bergerak sepandjang Z dan suatu titik B bergerak sepandjang m ,'sehingga A B j/ n. Lukiskan kedudukan2 AB, pada waktu /_ A PB ektrim.

36. A A ', B B ' dan CC' : garis2 tinggi segitiga lantjip ABC. (P, R) ling karan-luar segitiga ABC dipotong oleh B 'C ' di Mj, oleh C 'B ' di M a, oleh C 'A ' di Qu oleh A 'C ' di Q2, oleh A 'B ' di R x dan oleh B 'A ' di R 2.

a. B uktikan, bahwa: AMX = AM 2, BQX = B Q 2 dan C Rt = C R 2. b. B uktikan, bahwa AMX menjinggung lingkaran BC'M dan AM 2 m enjinggung lingkaran B 'C M 2. c. N jatakan AM X dengan a, b, c, jaitu sisi2 A ABC. 352

d. B uk tik an, bahwa A M ,2 -r AM 22 + BQX2 + BQ22 + CRX" -f- C R 22 = 2 a-. e. B uk tik an, bahwa lingkaran2 (A, AMX) dan (B, BCJj) berpotongan tegaklurus satu 37.

terhadap jang lain.

Pada sebuah lingkaran e diketahui empat titik A, B, C, dan D ; a suat u segmentgaris. Suatu titik M pada e dihubungkan dengan A dan B, M A dan M B memotong CD berturut-turut di titik 2 K dan L. T entukan M pada e, sehingga K L = a.

38.

a. D alam lingkaran (M, R) dilukiskan segi-empat ABCD ; titik 2 Ta, Tb, Tc, dan Td masing2 titiktinggi2 segitiga2 BCD, CDA, D A B dan ABC ; buktikan, bahwa segi-empat TaTbTcTd ^ segiem pat A B C D .

b. (N, R ) ialah lingkaran-luar segi-empat Ta Tb Tc Td T ; S titikpotong bim edian2 segi-empat A B C D ; P titik jang sesuai dengan S pada segi-empat Ta Tb Tc Td ; buktikan, bahwa S dan P terletak pada M N , dan tjarilah dengan perbandingan2 berapa M N itu dibaginja. c. D jik a E titikpo to ng BC dan A D , F titikpotong AB dan CD, dan T,, T„, T3 dan T4 masing2 titiktingg i2 segitiga2 CDE, A D F , A B E dan BCF, m aka titik 2 Tx, T2, T3 dan T4 terletak pada satu garis l dengan titiktengah MN, jaitu O. Buktikanlah. d. D jik a m garis jang m elalui titik 2 tengah AC dan BD, m aka b u k tik an lah , bahwa m melalui S dan tegaklurus pada /. Dim anakah letak garis n jang sesuai dengan m u ntu k segi-empat Ta Tb T c Td? e. B u k tik an lah , bahwa lingkaran2-titik-sembilan ke-empat segi tig a2 ja n g disebutkan dalam a, sem uanja melalui O. 39.

D ik e tah u i dua buah titik A dan B dan lingkaran e. y, sebuah ek sem plar dari berkas-lingkaran dengan A dan B sebagai titikdasar2, m em otong e di C dan D . B uk tik an, bahw a AC. A D : BC . BD tidak berubah, d jik a y diganti dengan eksemplar lain dari berkas tadi.

40.

Sebuah lingkaran (P, R ) dipotong oleh suatu garis dititik-titik A dan B. D id alam segment-lingkaran terketjil jang terpotong, di luk isk an lingkaran2 jan g m enjinggung busur A B dan talibusur A B a. B u k tik a n , bahw a garis jan g m enghubungkan titik 2 singgung lingkaran seperti ini m elalui sebuah titik tetap S. * b. L ukiskanlah lingkaran C jan g m em otong tegaklurus semua lingkaran jan g m enjinggung busur A B dan talibusur AB. 353

c. B uktikan, bahwa pada inversi dengan C sebagai lingkaraninversi, gambar seluruhnja beralih kegambar sendiri. 41.

a. Diketahui dua lingkaran (P, r) dan (0, R) djuga sebuah titik A pada lingkaran pertama dan sebuah titik B pada.jang kedua. Tentukan pada lingkaran pertama suatu titik C, dan pada jang kedua titik D, sehingga AC // BD dan CD sama dengan sebuah segmentgaris a. b. Lukiskan sebuah empat-persegi-pandjang jang garis-sisinja2 berturut-turut melalui A, B, C dan D jang diagonal2-nja sama dengan sebuah segmentgaris d.

42.

D iketahui dua buah lingkaran Ca dan C2 dan dua buah titik A dan B. Lukislah lingkaran X , jang melalui A dan B, sedangkan garis kuasa Cx dan X , ja itu m, harus menjinggung C2.

43. Tentukanlah tem patkedudukan titik 2 inversi sebuah titik M jang diketahui, terhadap tiap eksemplar sebuah berkas-lingkaran ja n g diketahui sebagai lingkaraninversi. 44. A B suatu garistengah lingkaran (P, r), C sebuah titik lingkaran ini. D ilukiskanlah keluar, pada BC dan CA, sisi2 A ABC, segitiga2 samasisi CBTj dan CAT2. Tentukan tem pat kedudukan T, dan T2, djika C berdjalan sepandjang lingkaran itu. 45.

D idalam lingkaran (P, r) ditarik garistengah AB dan pada perpandjangan A B diam bil titik C, sehingga BC = AB. Di C ditarik garis l tegaklurus pada AC, kemudian diam billah sebuah titik M pada l. M B memotong lingkaran sekali lagi di D, A D memotong / di Q. QB memotong garis jang melalui M dan sedjadjar dengan CA di R dan masih memotong lingkaran lagi di E, M B memotong garis jan g melalui Q dan sedjadjar dengan CA di S. B uktikanlah bahwa :

a. b. c. d. 46.

354

CM MB M, S,

. CQ tetap, kalau M berdjalan sepandjang garis / ; : MS = D B : DS ; e. SE melalui suatu titik te ta p ; E dan A ko line air; f. D R melalui suatu titik tetap. A dan R kolineair ;

D iketahui sebuah lingkaran (P) dan diluar lingkaran itu t it ik 2 A dan B. Lukiskanlah melalui A dan B suatu lingkaran (X ), sehing ga gariskuasa lingkaran2 (P) dan (X ) membagi A PA B dalam 2 bagian jan g sama luasnja.

47.

D iketahui A ABC dengan lingkaran-dalamnja (I, r), jang menjinggung sisi2 BC, CA d an A B berturut-turut pada titik 2 D, E dan F. D im in ta melukis lingkaran, jang melalui 1, menjinggung lingkaran (A, A F) dan m em otong lingkaran2 (B, BD) dan (C, CE) dengan sudut jang sama.

48.

D iketahui 2 buah garis berpotongan, jaitu l dan m, dan sebuah lingkaran (N, r) pada bidang Z dan m. Lukislah suatu lingkaran, jang m enjinggung garis2 Z dan m dan memotong tegaklurus ling karan (N, r).

49.

D iketahui dua buah lingkaran (M, R) dan (N, r), jang bersinggung an luar di A (R > r). Pada garissinggung persekutuannja di A, dike tahui titik P. Lukislah suatu lingkaran, jang melalui P dan menjinggung lingkaran2 jang diketahui.

50.

Pada lingkaran (P, r) diketahui sebuah titik A ; garis Z, jaitu garis singgung di A pada lingkaran tsb.; B titik diametral A. D ititik M pada lingkaran itu ditarik garissinggung m, jang memotong l di Q. K em udian dilukiskan lingkaran y, jang melalui M dan m enjing gung Z di Q; T, ialah titik diametral Q pada lingkaran y. D jik a sekarang titik M berdjalan sepandjang lingkaran (P, r), dim inta m em buk tik an, bahwa : a. T P = TQ ; b. kuasa B terhadap lingkaran y tetap; c. lingkaran y menjinggung suatu lingkaran tetap.

51.

Dititik-titik-sudut A ABC, ja itu A dan B, ditarik garissinggung2 pada lingkaran-luarnja (P, R ) ; garissinggung ini berpotongan di S. B u k tik a n , bahwa luas A ABC : luas A BSC = b2 : a2. Garis apakah CS itu ? D jug a buktikanlah ini dengan pertolongan sinar-empat harm onis C (K SM Q ), djika K titiktengah A B dan M dan Q titikpotong2 KS dengan lingkaran (P, R). D jik a CS memotong lingkaran nja lagi di T, m aka TC ialah bim edian didalam A ABT. B uk tik anlah.

52

L ingkaran2 (P, r) dan (O, R ) berpotongan dititik-titik C dan C'. Sebuah garis Zm enjinggung lingkaran (P, r) di A dan lingkaran (O, R) di B ; dy m em otong Z di D ; titik E serangkai harmonis dengan D terhadap A dan B. B uktikanlah, bahw a pusat lingkaran C D E ter letak di PO.

53.

O ialah pusat lingkaran-luar A A BC dan Z titikberatnja; r ialah suatu segmentgaris. D ilukiskanlah lingkaran2 (A, r), (B, r) dan 355

(C, r). K em udian dilukis ketiga lingkaran jang masing2 melalui 2 buah titiksudut A ABC dan memotong tegaklurus lingkaran jang berpusat dititiksudut jang ketiga. D jika P, Q dan R berturuttu ru t pusat2 lingkaran2 tsb. buktikan, bahwa : a. Z titikkuasa lingkaran2 (P), (Q) dan (R) ; b. O titikberat A P Q R . 54.

D iketahui lingkaran2 (M, r) dan (N, r), dan djuga sebuah titik P diluar lingkaran2 itu. L u k isk anlah: a. suatu lingkaran, jang melalui P dan jang m enjinggung luar kedua lingkaran t a d i ; b. suatu lingkaran, jang melalui P, m enjinggung luar lingkaran (M, r) dan menjinggung dalam lingkaran (N, r).

55. Melalui titik 2 sudut A ABC, jaitu A dan C, dilukislah lingkaran a ; kem udian melalui B dan C dilukis lingkaran /?, jang memotong tegaklurus p. Titikpotong kedua lingkaran itu jang bukan C, di sebut S. Tentukan tem pat kedudukan S dan sudut pada perpotong an tem pat kedudukan itu dengan lingkaran luar A ABC. ♦ 56. Suatu berkas-lingkaran ditentukan oleh eksemplar (M, R) dan gariskuasanja m, jang tiada bertitik persekutuan dengan (M, R ) ; selandjutnja, diketahui sebuah lingkaran lagi, ja itu (N, r). Lukiskan suatu lingkaran dari berkas tsb. jang membagi dua lingkaran (N, r). 57.

O luas A ABC dan zc garisberat dari C. Dilukis 2 lingkaran (M) dan (N), jang m elalui C dan menjinggung sisi A B berturut-turut di A dan B. B uk tik an lah , bahwa projeksi2 AC dan BC pada sentral MN, jaitu A 'C ' dan B-'C', keduanja sama dengan O : zc.

58.

D iketahui lingkaran (M, R ) dan berkas-lingkaran B, jang ditentu kan oleh eksemplar (N, r) dan gariskuasa m. Lukislah eksemplar B, ja n g dibagi dua oleh lingkaran (M, R).

59.

Lukislah P —

60.

356

Y =

A

ABC, djika d ik e ta h u i: BC =

a, garisbagi

da

dan

s-

D ik e tahu i garis Z, lingkaran K dan titik C, jang tidak terletak di l atau p u n di K , dan djuga sudut y. D im inta melukis A ABC, djika A dan B harus terletak pada Z, sedangkan /_ ACB == y dan lingkaran-luar A A B C harus m enjinggung K .

P E L B A G A I

x =

RUMUS

pb 4- Qa , ------ (rumus trapesium). P + <7

“

,7 ,/+ „= (Segitiga2 Pythagoras).

| + c‘ — 6* | p z=z ----- ------- (projeksi a kepada c). o.v2 = a.,b- -f- fljC2 —

(dalil Stewart). _

2

/a = ~a ^ S(S “ 0) (S ~ b) ~ e)’ Zft2 = _________ 2 __ _________ d a. = v'ftc — a,a2 = V bcs(s — a);

+ c2) ~

<-'« =

v ' aYa2 — b c = j ^ - ^ j V bc{c — b) (s — c).

L2 =

s(s — a) (s — ¿0 (s ¿?c

R

2U

— c) = V.6 (2 S a 262 — 2 a4).

flftc

L

4L ' r

s

L ’ ^

s ~ a'

[i.(L, C) = L P 2 — / 2; P l2 - R 2 — 2/?r; P Ia2. = R 2 + 2 R r&; N1=

$R — r; N l a = i R + ra.

D alam pem banding ber-turut2 irisan m a s ; pemb. terk. a; fa 2; f2a; /2 + / = 1 a; Y>a (— 1 + V 5); yza (3 — y/5)

dan p.t.

p ad + bc pq — ac + bd (Ptolemaeus), — = -------, F/ V q ab + cd pq <

ac + bd (bukan segiempat talibusur).

L2 = (s _

0)

(S _

C) (5-tf); R =

s3 — R\/3

s4 =

RV2

se = #

s8 = R V 2 - V 2

«i2 = ^ / ? ( a / 6 — \/2) «15 =

(ac + M ) ( a t f + ^ 4L 55 = s10 =

d5 =

■

10— 2\/5 i/2/?( — i + y 'S )

Y z R V 10 + 2 y /5 ■

M ^ ( V 10,+ 2 V 5 + V 3 — V 15)

S 3 = 2R\/3

S4 = 2/?

S6 =

S 6 = 2/3/?V 3

S , = 2R(\/ 2 — l)

S 10 = 2/jR\/ 25 — T05

2/?

__ 2 i/5 '

S „ = 2tf(2 — V 3 ) 357

S2n = ^

2/?2— R V' 4/?* — Sn2 =

Sn = W 4 / ? 2- s 22n; Sn = /?

e

_

20

V R ( R + i/2sn) — V R ( R — % sn) ;

- i - nR

V 4/?*- S 2n

____ 2gn/? ; c _ 2/? + V 4/?2 + 5 2n n

; Sn = n

V

j£ °g_

4/?2 + 5 2

8_s2n /?2 4/?2 — S22n"

L = {n. /?d = y2n . psn. Keliling lingkaran = ' 2 tc R ; luas lingkaran = k R 2; n = 3,141 592 6536 ; J _ = TC , j. , 1 radial =

1802 ---- =

0,318 310.

57°17'45".

7t

(a + b) (c + d) = 2(ab + cd)(relasi2 harmonis). \ m\ .A B O A ' . O B' O A O B = ~~\m\---- B ^ arak titika invers).

358

•

B A B

§

I II

1— 5 6— 12

III IV

13 14— 22 23— 29

V VI V II V III

Is i

30— 34 35— 40 41— 46 47— 52

IX

53 54— 59

X

60— 67

XI X II

68— 71 72— 75

X III X IV XV XVI X V II

76 77— 8485— 89 90— 93 94— 98 99— 101 102

Buku

L u k i s a n .................................................. T e m p a t k e d u d u k a n ........................... U l a n g a n p e r t a m a ................................. P erb and ingan segmentgaris. Lurus. P erb and ingan seharga antara seg m e n tg a ris ........................................... ................ M em perbanjak bangun H a l sebangun........................................ D a lil Menelaos dan C e v e ................. H al m enghitung segmentgaris. L u k isa n .................................................... U l a n g a n k e d u a .................................... M engukur sudut dengan busur lin g k a r a n .......................................... Relasi antara segmentgaris ber h u b u n g dengan lingkaran . . . . Segibanjak b e r a t u r a n ....................... L ingkaran. Luas dan pandjang . . U l a n g a n k e t i g a .......................... . . . Garis kuasa. Berkas lingkaran . . In v e r s i................................................... Soal persinggungan Apollonius . . . Letak h a r m o n is ................................ M ax im u m dan m in im a ................... U la n g a n

um um

...................................

D alil

H a la m a n

_

Gambar

Lukisan

Tjontoh

1— 13 14— 27

1— X I I I

1— 3 4 — 10

j |

13— 27 28— 46

j

47— 51 52— 72

68— 80

28— 55

X IV

11— 15

73— 99 100— 114 115— 133 134— 150

81— 89 90 91— 101 102— 105

56— 93 94— 110 111— 126 127— 149

X V — X V III X IX

16—23 24— 30 . 31 — 36 ' 37

151— 174

106— 111

150— 180

XX, XXI

38— 43

175— 181

—

—

—

—

|

XXII

44— 49

182— 205.

112,

113

181— 203

206— 230 230— 240 241— 251

114— 116 117— 122 123— 127

204— 230 231 — 243 244— 250

X X III, X X V

50— 55

252— 259 260— 283 284— 303 304— 322 323— 337 338— 347

128— 137 138— 141 142, 143 144— 150

252— 373 274— 294 295— 309 310— 330 331— 242

XXV

56— 59 60—62

XXVI

63, 64 65

—

348— 356 i 1

&Í.

ö«Bfut?di0d/!jeqiuay, *jö^ & £

.

LL

u-

Perpustakaan UI

T r o r ^ ? t J e t a k o leh

K Q L F j .-' D J A K A R T A

' U N T U K K U R S U S BI DAN BII ILMU PASTI. 'D IS A D U R D a r i v l a k k e m e e t k u n d e V O O R VOORTGEZETTE STUDIE O LEH

Recommend Documents