Kansen en tellen
Kansen en Tellen Kans Als je met een dobbelsteen gooit en het resultaat is dat de kant met vijf stippen boven ligt, weet iedereen dat je zegt dat de kans daarop één op zes is. In de wiskunde formuleren we dat als volgt heel netjes: Experiment: gooien met een dobbelsteen Toevalsvariabele: A= het aantal stippen dat boven ligt Mogelijke waarden van de toevalsvariabele: 1, 2,3,4,5, of 6 We schrijven: 1 P(A =5) = 6 ( Spreek uit:: de kans op A is vijf is één-zesde; P staat voor probabilitas, probability, ..= kans) De verklaring is dat een (zogenaamde zuivere) dobbelsteen die eerlijk gegooid (aselect) wordt, zes gelijkwaardige uitkomsten heeft met alle dezelfde kans om op te treden. De kans op één van die uitkomsten zal dus één op zes zijn. Wat betekent deze kans nou precies? In ieder geval niet dat je bij zes keer gooien met een dobbelsteen één keer een vijf zal gooien! Wel dat als je héél vaak zou gooien ongeveer één-zesde deel ervan een vijf zal opleveren. Wiskundigen noemen dit de wet van de grote aantallen. Vaak is systematisch tellen nodig om kansen te bepalen Voorbeeld:
Je gooit nu met twee dobbelstenen en telt het totale aantal ogen. Hoe groot is de kans op 8 ogen? Antwoord: We doen het weer netjes: Experiment: gooien met twee dobbelstenen Toevalsvariabele: S = de som van het aantal stippen dat boven ligt Mogelijke waarden van de toevalsvariabele: 2, 3, 4, 5, ….tot en met 12 Gevraagd wordt:: P(S = 8 ) Let op: de elf mogelijke uitkomsten zijn nu niet meer gelijkwaardig. In totaal twee ogen is uitzonderlijker dan bijvoorbeeld in totaal acht ogen. We kunnen wel naar alle mogelijkheden kijken bij het gooien met twee dobbelstenen. Voor de duidelijkheid noemen we de ene dobbelsteen rood en de andere wit. In het schema hieronder zie je alle mogelijkheden:
1 van 6
Bosma , 18-7-2009 ,
Kansen en tellen
Één van de mogelijkheden die som is acht oplevert is als de witte dobbelsteen drie stippen boven geeft en de rode vijf.
Goed zichtbaar in dit schema is dat er in totaal 6 × 6 = 36 verschillende mogelijkheden zijn, die wel alle gelijkwaardig zijn en dus een kans van één op 36 hebben om op te treden.. 1 1 . Maar net zo goed: P( wit =1 én rood = 1) = . Bijvoorbeeld: P( wit =3 én rood = 5) = 36 36 Nu is het een kwestie van tellen hoeveel mogelijkheden som = 8 oplevert: In de figuur hiernaast tel je vijf mogelijkheden. Dus de gevraagde kans is: 5 P(S = 8 ) = 36
Kansregel van Laplace We gebruikten feitelijk de kansregel van Laplace: P( bepaalde gebeurtenis) =
het aantal gunstige uitkomsten het totaal aantal mogelijke uitkomsten
‘gunstige uitkomst’ betekent hier: een uitkomst die valt onder de bedoelde gebeurtenis Wel moet gelden dat alle uitkomsten gelijkwaardig zijn, dat wil zeggen dat ze allemaal een even grote kans hebben om op te treden (Wiskundigen noemen dat een symmetrische kansruimte ). productregel: Als je twee handelingen na elkaar verricht waarbij je de eerste handeling op p manieren kunt uitvoeren en de tweede op q manieren dan is het aantal mogelijkheden p×q Je kunt het vaak zichtbaar ma ken met een een boomdiagram of een wegendiagram. Je hoeft het diagram niet altijd helemaal af te tekenen. Probleem 1
Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er als je na elkaar gooit met a. twee munten ? (boomdiagram) b. zes munten ? (wegendiagram) c. twee dobbelstenen ? d. een munt en een dobbelsteen ? e. twee munten en drie dobbelstenen ?
2 van 6
Bosma , 18-7-2009 ,
Kansen en tellen
Trekken met en zonder teruglegging Veel kans– en telvragen kunnen vertaald worden naar een trekking óf met teruglegging óf zonder teruglegging. Bij beide kun je een boomdiagram gebruiken om de situatie te verduidelijken:
Trekken met teruglegging:
De boom hieronder staat voor een situatie waarin 5 keer getrokken wordt uit een vaas met twee knikkers met teruglegging. Neem bijvoorbeeld aan dat er een rode en een blauwe knikker in de vaas zit.
r
Dit eindpunt staat voor de ‘route’ : r, b, r, b, r; de volgorde van trekking is hier dus: Rood, blauw, rood, blauw en tenslotte weer rood
b Dit eindpunt staat voor de ‘route’ : b, b, r, b, r
Er zijn 25 = 32 eindpunten en dus ook 32 routes. We noemen deze boom een machtsboom.
Trekken zonder teruglegging:
De boom hieronder staat voor een situatie waarin 4 keer getrokken wordt uit een vaas met vier knikkers zonder teruglegging. Neem bijvoorbeeld aan dat er een rode, een blauwe, een gele en een witte knikker in de vaas zit.
3 van 6
Bosma , 18-7-2009 ,
Kansen en tellen
b g w
b g
r
g b
Dit eindpunt staat voor de ‘route’ : r, w, g, b ; de volgorde van trekking is hier dus: Rood, wit, geel en tenslotte blauw
b
g
w
Er zijn 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 = 4! eindpunten en dus ook 24 routes. We noemen deze boom een faculteitsboom. Probleem 2
Op hoeveel manieren kun je de letters A, B, C en D rangschikken? Antwoord: Dat kan op 4 · 3 · 2 · 1; we hebben een korte schrijfwijze hiervoor: 4! ( spreek uit: 4-faculteit) In het algemeen: n! = het aantal manieren waarop je n verschillende dingen kunt rangschikken. Er zijn n! volgordes. Probleem 2
Je mag elke letter van het alfabet gebruiken en de woorden hoeven geen betekenis te hebben. a. Op hoeveel manieren kun je een woord van 2 verschillende letters maken? Antwoord: 26 •3 25 12 twee factoren
b. Op hoeveel manieren kun je een woord van 3 verschillende letters maken? Antwoord: 26 •2 254 •3 24 14 drie factoren
c. Op hoeveel manieren kun je een woord van 4 verschillende letters maken? Antwoord: 26 • 25 • 24 •3 23 14 42 44 vier factoren
In het algemeen:
4 van 6
Bosma , 18-7-2009 ,
Kansen en tellen
n • (n − 1) • (n − 2) • L • (n − k + 1) : 144444424444443 k factoren
het aantal manieren waarop je k verschillende dingen kunt rangschikken als je kiest uit n. We zeggen:het aantal "permutaties" van k uit n1. Uitrekenen: Vaak zit er op een rekenmachine een knop: Het zit onder de nPk knop Probleem 3
Nu doet de volgorde niet ter zake. a. Op hoeveel manieren kun je 2 letters kiezen uit het alfabet? Antwoord: 26 •3 25 is nu te veel ; want elke combinatie van twee letters wordt dubbel 12 twee factoren
geteld (bijvoorbeeld de twee letters a en z komen voor als de ‘woorden’ az en za). We moeten 26 ⋅25 delen door 2 26 ⋅ 25 dus: 2 ⋅1 b. Op hoeveel manieren kun je 3 letters kiezen uit het alfabet? Antwoord: Nu komt elk drietal letters voor als 3 ⋅2 ⋅1 ‘woorden’ , dus in 6 verschillende permutaties 26 ⋅ 25 ⋅ 24 dus: 3 ⋅ 2 ⋅1 c. Op hoeveel manieren kun je 4 letters kiezen uit het alfabet? 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 Antwoord: 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 n • (n − 1) • (n − 2) • L • (n − k + 1) = het aantal manieren waarop je een groep van k dingen k • (k − 1) • (k − 2) • L • 1 kunt kiezen uit n verschillende dingen. De rangschikking is niet meer van belang. ⎛n⎞ Hiervoor wordt de notatie gebruikt: "n boven k" = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝k ⎠ We zeggen: het aantal "combinaties" van k uit n. Het zit onder de nCk knop. ⎛n⎞ n! Er geldt ook: ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ k ⎠ k !( n − k ) !
1
Dit wordt ook wel het aantal variaties van k uit n genoemd.
5 van 6
Bosma , 18-7-2009 ,
Kansen en tellen
Roosterwandelingen en de driehoek van Pascal De driehoek van Pascal in drie gedaantes: som = 1 som = 2 som = 4 som = 8 som = 16 som = 32
Er zijn 56 verschillende roosterwandelingen van startpunt S naar punt P (zonder omwegen).
Maar ook (als voorbeeld): 1. Als je acht keer met een munt gooit zijn er 56 rangschikkingen met 5 keer munt en 3 keer kop 2. Er zijn in een gezin van acht kinderen 56 verschillende mogelijkheden met 5 jongens en 3 meisjes
P
S
6 van 6
Bosma , 18-7-2009 ,
