1
Schultz János EGYENLŐTLENSÉGEK A HÁROMSZÖG GEOMETRIÁJÁBAN
1. Igazoljuk, hogy egy szabályos háromszög belső pontját a csúcsokkal összekötő három szakaszból mindig szerkeszthető háromszög. 2. Egy téglalap belsejében vegyünk fel egy tetszőleges pontot és kössük össze a csúcsokkal. Mutassuk meg, hogy e négy összekötő szakasz között mindig van három, amelyekből háromszög szerkeszthető. 3. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög leghosszabb oldalához tartozó magassága nem hosszabb, mint ugyanezen oldal egy tetszőleges pontjából a másik két oldalegyenesre állított merőleges szakaszok hosszának az összege. 4. Egy háromszög olyan, hogy a belső szögfelezők hosszának összege egyenlő a súlyvonalak hosszának összegével. Igazoljuk, hogy a háromszög szabályos. 5. Igazoljuk, hogy bármely háromszögre sc R ≤ , mc 2r
ahol R a háromszög köré írt kör, r pedig a beírt kör sugara, sc és mc pedig rendre a c oldalhoz tartozó súlyvonala és magassága. 6.* Egy ABC háromszög oldalhosszúságai legyenek a, b, c. Egy P belső pontnak az A, B, C csúcsoktól vett távolságai rendre p, q, r, az a, b, c oldalegyeneseitől vett távolságai pedig rendre x, y, z. Igazoljuk, hogy a) cr ≥ ax + by,
b) p + q + r ≥ 2 ( x + y + z ) . 7.* Legyenek egy hegyesszögű háromszög a, b, c oldalához tartozó súlyvonalai és magasságai rendre sa, sb, sc illetve ma, mb, mc. Igazoljuk, hogy sa s s R + b + c ≤1+ , m a mb m c r
ahol R és r jelöli a köré, illetve a beírt kör sugarát.
2
8.* Legyenek háromszög a, b, c oldalához tartozó súlyvonalai rendre sa, sb, sc, a köré írt kör sugara pedig R. Igazoljuk, hogy a 2 + b2 + c2 ≤ sa + sb + sc . 2R 9.* Legyenek háromszög a, b, c oldalához tartozó súlyvonalai rendre sa, sb, sc, a köré írt kör sugara pedig R. Igazoljuk, hogy 9 sa + sb + sc ≤ R. 2 10*. Az ABC háromszög BC, CA és AB oldalaira kifelé azonos körüljárás szerinti hasonló háromszögeket írunk, amelyek rendre a következők: BDC, CEA és AFB. Igazoljuk, hogy AF + FB + BD + DC + CE + EA ≥ AD + BE + CF .
11.** Legyenek egy háromszög oldalai a, b, c, a hozzájuk tartozó súlyvonalak pedig sa, sb, sc. Igazoljuk, hogy sa sb sc 3 3 a b c a) b) + + ≥ . + + ≥2 3, s a sb sc a b c 2 12.** Legyen P tetszőleges pont az ABC háromszög síkjában. Igazoljuk, hogy a) a ⋅ PB ⋅ PC + b ⋅ PC ⋅ PA + c ⋅ PA ⋅ PB ≥ abc , b) a ⋅ PA2 + b ⋅ PB 2 + c ⋅ PC 2 ≥ abc , ahol a, b és c szokásos módon jelölve a háromszög három oldalának hosszúsága. 13. Jelölje S az ABC háromszög súlypontját, R pedig a köré írható kör sugarát. Jelölje rendre R1, R2, R3 az SBC, SCA, SAB háromszög köré írható körének sugarát. Igazoljuk, hogy R1 + R2 + R3 ≥ 3R.
14.* Az a, b és c egy háromszög oldalhosszúságai, melyekre a + b + c = 1 teljesül. Igazoljuk, hogy: a 2 + b 2 + c 2 + 4abc <
1 . 2
15. Az ABC háromszög BC, CA és AB oldalain adottak rendre az A1, B1 és C1 belső pontok úgy, hogy az AA1, BB1 és CC1 egyenesek egy pontra illeszkednek. Igazoljuk, hogy
t A1B1C1 t ABC
1 ≤ . 4
3
16.* A T területű ABC háromszög egy belső pontján át három egyenest húzunk, melyek segítségével kapjuk az eredeti háromszög egy-egy oldalán nyugvó T1, T2, T3 területű háromszögeket az ábra szerint. Igazoljuk, hogy 1 1 1 18 + + > . T1 T2 T3 T
17. Igazoljuk, hogyha a, b, c egy háromszög oldalhosszúságai, akkor a + b − c + b + c − a + c + a − b ≤ a + b + c.
18. Egy háromszög oldalhosszúságai a, b és c. Igazoljuk, hogy a−b b−c c−a 1 + + < . a+b b+c c+a 8
19. Legyenek a, b, c egy háromszög oldalai, s a kerület fele és r a beírt kör sugara. Igazoljuk, hogy 1
(s − a )
2
+
1
(s − b )
2
+
1
(s − c )
2
≥
1 . r2
20. Egy háromszög oldalhosszúságai a, b és c. Igazoljuk, hogy a 2 b(a − b ) + b 2 c(b − c ) + c 2 a (c − a ) ≥ 0 .
21.* Igazoljuk, hogyha a, b és c egy háromszög oldalhosszúságai, akkor a b c a c b 2 + + ≥ + + + 3 . b c a c b a
22.** Igazoljuk, hogyha a, b és c egy háromszög oldalai, akkor a 2 (2b + 2c − a ) + b 2 (2c + 2a − b ) + c 2 (2a + 2b − c ) ≥ 9abc .
23.** Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenségeket, ahol R a köré, r a beírt kör sugara, míg pl. ra az a oldalt kívülről érintő hozzáírt kör sugara: a b R + ≤ , b a r 2 s ≤ ra + rb + rc ≤ . b) s R r
a)
4
24.* Igazoljuk, hogyha a, b, c egy háromszög oldalhosszúságai és t a területe, akkor a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3 ⋅ t , b) a 2 + b 2 + c 2 − ( a − b ) − ( b − c ) − ( c − a ) ≥ 4 3 ⋅ t , 2
2
2
9abc ≥ 4 3 ⋅ t. a+b+c
c)
25.** Igazoljuk, hogyha p, q, r pozitív számokat jelölnek és a, b, c egy háromszög oldalhosszúságai és t a területe, akkor p 2 q 2 r a) a + b + c2 ≥ 2 3 ⋅ t , q+r r+ p p+q b)
pa 2 + qb 2 + rc 2 ≥ 4 pq + qr + rp ⋅ t.
26.* Az ABC hegyesszögű háromszög mely P belső pontjára lesz az x 2 + y 2 + z 2 összeg minimális, ahol x, y és z a P pontnak az oldalaktól mért távolságai? Szerkesszük meg ezt a pontot! 27. Igazoljuk, hogyha valamely háromszög oldalhosszúságaira a < szögekre <
+ 2
b+c , akkor a megfelelő 2
is igaz.
28. Mutassuk meg, hogyha , és egy tetszőleges háromszög szögei, akkor sin sin sin 2 + +
1 1 1 1 1 1 ≤ + sin + + sin + + sin .
29. Igazoljuk, hogy tetszőleges hegyesszögű háromszög szögeire teljesül, hogy
sin + sin + sin > 2. 30.* Igazoljuk, hogy bármely háromszög esetén cos 2 + cos 2 + cos 2 ≥ −
3 . 2
31. Igazoljuk, hogy tetszőleges háromszög esetén
a 2 cos + b 2 cos + c 2 cos ≤
1 2 a + b2 + c2 ) . ( 2
32.* Igazoljuk, hogy tetszőleges háromszög szögeire: sin + sin + sin ≤ cos
2
+ cos
2
+ cos
2
≤
3 3 . 2
5
Irodalom:
[1] Jaglom-Sklarszkij-Csencov: Válogatott feladatok és tételek... 2/2, Typotex, 2001 [ 2] Reiman István: A geometria és határterületei, Gondolat, 1986 [3] Titu Andreescu-Dorin Andrica: Complex Numbers from A to...Z, Birkhauser, 2006 [ 4] Molnár Emil: Matematikai versenyfeladatok gyűjteménye 1947-1970, Tankönyvkiadó, 1989 [5] Schultz János: 111 algebrai egyenlőtlenség, fazekas.hu, Matek portál, tanítási anyagok [ 6] Mitrinovic-Pecaric-Volenec: Recent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers, 1989 [ 7 ] Viktor Prasolov-Dimitry Leites: Problems in Plane Geometry Ebook, Art of Problem Solving [8] Schultz János: Elemi matematikai versenyfeladatok, Zalamat Alapítvány, 2011 [9] Surányi János: Matematikai versenytételek II., Tankönyvkiadó, 1988 [10] KVANT
[11] KöMaL
